不等关系与不等式第一课时

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人教版七年级数学下册教学课件(人教版) 第九章不等式与不等式组第1课时解一元一次不等式

归纳总结
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，其步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为 1．
针对训练
1.解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) 5x＋15＞4x－1；
(2) 2(x＋5)≤3(x－5)；
(3) x 1＜ 2x 5；
知识点三一元一次不等式的特殊解
例3 求不等式3(x＋1)≥5x－9的非负整数解．
解析：求不等式的非负整数解，即在原不等式的解集中找出它所包含的“非负整数”特殊解；因此先需求出原不等式的解集．
解：∵解不等式3(x＋1)≥5x－9得x≤6. ∴不等式3(x＋1)≥5x－9的非负整数解为 0，1，2，3，4，5，6.
等式；(4)是一元一次不等式．
归纳总结
判断一个不等式是否为一元一次不等式的步骤：先对所给不等式进行化简整理，再看是否满足： (1)不等式的左、右两边都是整式； (2)不等式中只含有一个未知数； (3)未知数的次数是1且系数不为0. 当这三个条件同时满足时，才能判定该不等式是一元一次不等式．
针对练习
课堂小结
解一元一次不等式的一般步骤和根据如下：
步骤
根据
1
去分母
不等式的基本性质 3
2
去括号
单项式乘以多项式法则
3
移项
不等式的基本性质 1
合并同类项，得 4 ax>b，或ax<b (a≠0)
合并同类项法则
5 系数化为1
不等式的基本性质 3
归方F纳法法正确理解关键词语的含义是准确解题的关键，
“非负整数解”即0和正整数解．
当堂练习
1.下列不等式中，是一元一次不等式的是( C )

《不等关系与不等式》第一课时参考教案

课题: §3.1不等式与不等关系第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。

【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。

【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。

如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。

人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。

在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。

2.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h，写成不等式就是：v40引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩ 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。

问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。

§3.1.1不等关系与不等式(第一课时)

§3.1.1不等关系与不等式（第一课时）教学重点：理解不等式的意义，建立适当的不等式（组）表示不等关系．教学难点：如何从具体问题情境中抽象出数学模型并建立不等式．教学过程：一、设置情境，引发思考学生辅助学习素材1．视频：（1）国庆50周年阅兵式；（2）祖国大地山川秀美；（3）道路限速路标；（4）天平测质量；（5）跷跷板游戏．【制作提示】用数学的眼光看世界，认识世界，感受现实世界中相等关系与不等关系普遍存在，感受数学之美，增强用数学的意识．等量关系体现了数学的对称美、统一美、和谐美、平衡美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出数学的奇异美、层次美．2．你还能举出哪些更多的不等关系的实例？3．你能否用所学过的哪种数学知识来表示和研究这些不等关系？二、提出问题，激发探究学生活动：尝试用适当的不等式表示下列问题中所蕴含的不等关系：1．设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，表示d与|AB|之间的不等关系．2．某种杂志原以每本世纪末2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，使销售总收入不低于20万元应怎样表示？3．小圆的半径为r，大圆的半径为R，两圆的圆心距离为d，若两圆相交，则d应满足什么关系？4．学习素材中蕴含不等关系的表示．建构数学：把生活中的具体问题转化成数学问题，并用恰当的数学模型（不等式）表示出来即为本节课的核心问题．其具体步骤为：实际问题：不等关系→（抽象概括）→数学问题：不等式数学模型：不等式→（刻画）→实际问题：不等关系三、巩固结论，尝试应用〖例1〗某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍，怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？〖问题〗（1）本例涉及哪几个变量？（2）哪句话中体现了不等关系？〖例2〗某单位计划10月份组织员工到泰山旅游，人数估计在10~25人之间．甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到泰山旅游的价格都是每人200元，甲旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠；乙旅行社表示先免去一位旅客的旅游费用，其余游客八折优惠．问该单位怎样选择，使其支付的旅游费用较少？〖问题〗（1）若有10人，应选择哪家旅行社？（2）满足什么条件，选择甲旅行社更优惠？（3）满足什么条件，选择乙旅行社更优惠？（4）你对解决本例中的问题有什么想法？〖例3〗由下表给出了甲、乙、丙三种食物的维生素含量及其成本．现欲将三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含有35000单位的维生素A 和40000单位的维生素B，设甲、乙两种食物各取x kg、y kg，那么x、y应满怎样的关系？〖问题〗（1）从这段话中可以抽象出哪几种不等关系？（2）混合食品有哪几中成分组成，含量各为多少？（3）各成分中的维生素A和维生素B的含量又是多少？四、反思小结，理论升华（1）解决实际问题的常规步骤：实际问题：不等关系→（抽象概括）→数学问题：不等式数学模型：不等式→（刻画）→实际问题：不等关系（2）一个重要数学模型：不等关系．【反馈练习】（只列出不等关系，不求解）（1）a与b的和是非负数；（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”；（3）在一个面积为350m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ大于宽Ｗ的4倍．（4）有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用a、b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）．（5）某种植物适宜生长在温度在18°～20°的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0.55°．现测得山脚下的平均温度为22°，试问该植物种植在山区多高处较为适宜？（6）某市政府准备投资1800万元兴办一所中学,经调查,班级数量以20到30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别为28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量）所满足的条件是什么？五、布置作业1．书面作业：教材P83习题3．1 A组第4、5题B组第3题2．课外思考：b克糖水中有a克糖（b>a>0），若再加入m克（m>0）糖，则糖水更甜了，为什么？你能否用不等式的知识给出合理的解释？。

课时作业4：2.1 第一课时不等关系与不等式

2.1 等式性质与不等式性质第一课时不等关系与不等式基础达标一、选择题1.下面能表示“a 与b 的和是非正数”的不等式为( ) A.a ＋b <0 B.a ＋b >0 C.a ＋b ≤0D.a ＋b ≥0解析 a 与b 的和是非正数，即a ＋b ≤0. 答案 C2.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T 满足关系为( ) A.T <40 B.T >40 C.T ≤40D.T ≥40解析 “限重40吨”用不等式表示为T ≤40. 答案 C3.设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M >N B.M ＝N C.M <ND.与x 有关解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴M >N .答案 A4.下列不等式，正确的个数为( )①x 2＋3>2x (x ∈R )；②a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2；③a 2＋b 2≥2(a －b －1). A.0 B.1 C.2D.3解析 ①x 2＋3－2x ＝(x －1)2＋2>0，∴x 2＋3>2x ；②a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－ab (a ＋b )＝(a ＋b )(a 2－2ab ＋b 2)＝(a ＋b )(a －b )2，(a －b )2≥0，但a ＋b 的符号不能确定，∴②不一定正确；③a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1).故①③正确，选C. 答案 C5.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是( )A.h 2>h 1>h 4B.h 1>h 2>h 3C.h 3>h 2>h 4D.h 2>h 4>h 1解析根据四个杯的形状分析易知h 2>h 1>h 4或h 2>h 3>h 4. 答案 A 二、填空题6.不等式a 2＋4≥4a 中，等号成立的条件为________. 解析令a 2＋4＝4a ，则a 2－4a ＋4＝0，∴a ＝2. 答案 a ＝27.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则ab －a 2________b 2(填“<”，“>”，“＝”). 解析两式作差得，ab －a 2－b 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22－34b 2<0，所以，ab －a 2<b 2.答案 <8.(多空题)一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写出不等式为______________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为____________.解析由题意知，汽车原来每天行驶x km ，8天内它的行程超过2 200 km ，则8(x ＋19)>2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km ，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即8xx －12>9.答案 8(x ＋19)>2 200 8xx －12>9 三、解答题9.一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来. 解据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N ). 10.设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小. 解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号.能力提升11.已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M <N B.M >N C.M ＝ND.无法确定解析 ∵0<a 1<1，0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N ，故选B. 答案 B12.有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数. 解设宿舍有x 间，则学生有(4x ＋19)人，依题意， ⎩⎨⎧4x ＋19<6x ，4x ＋19>6（x －1）.解得192<x <252. ∵x ∈N *，∴x ＝10，11或12.学生人数分别为59，63，67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人.创新猜想13.(多选题)下列说法错误的是()A.某人月收入x元不高于2 000元可表示为“x<2 000”B.小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y”C.变量x不小于a可表示为“x≥a”D.变量y不超过a可表示为“y≥a”解析对于A，x应满足x≤2 000，故A错误；对于B，x，y应满足x<y，故B错误；C正确；对于D，y和a的大小关系可表示为“y≤a”，故D错误.答案ABD14.(多空题)已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a ＝b＝________，取得最小值.解析根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0即a＝b＝±1时等号成立.答案2±1。

人教A版高中数学必修第一册《等式性质与不等式性质》优秀课件

学习新知——实数大小关系的基本事实
两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.
如果 a>b⇔ a-b>0 .
依据
如果 a＝b⇔ a-b=0 .
如果 a<b⇔ a-b<0 .
结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与 0 的大小
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综上， x6 1 x4 x2 .
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例题讲解例 3. a,b R，比较 a2 b2 与 2ab 的大小．
解： a2 b2 2ab a b2 0 ．
所以 a,b R， a2 b2 2ab ，当且仅当 a b 时取等号．
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人教A版（2019）高中数学必修第一册第二章《等式性质与不等式性质》第一课时课件（共15 张ppt ）
学习新知——实数大小关系的基本事实
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b.

人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：第一课时不等关系与不等式

a>b a＝b
a-b>0 a-b=0
作差法可以比较两个实数的大小
a<b
a-b<0
3.一般地， a，b∈R，有a2＋b2≥ 2ab ，当且仅当 a=b 时，等号成立.
教材拓展补遗 [微判断] 1.a不小于b可以表示为a>b.( × )
提示 a不小于b应表示为a≥b. 2.若x－y>0，我们就说x大于y.( √ ) 3.代数式x2＋1一定大于代数式2x.( × )
2.某高速公路对行驶的各种车辆的速度 v 的最大限速为 120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m.用不等式(组)表示为( ) A.v≤120 km/h B.d≥10 m C.v≤120 km/h 或 d≥10 m v≤120 km/h， D.d≥10 m 解析两个条件同时成立，需用不等式组表示. 答案 D
提示 ∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，故错误.
[微训练] 1.下面列出的不等式中，正确的是( )
A.a不是负数，可表示成a>0 B.x不大于3，可表示成x<3 C.m与4的差是负数，可表示成m－4<0 D.x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0 解析 a不是负数，可表示成a≥0；x不大于3可表示成x≤3；m与4的差是负数，可表示成m－4<0；x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0. 答案 C
【训练1】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 解设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则

3.1不等式与不等关系(第一课时)

典例讲评例2.若若
x≠2
2
或
2
y ≠ −1x ≠ 2
M = x + y − 4x + 2y , N = − 5
求证：求证：M
>N
Q 证明： M − N = x2 + y2 − 4x + 2y + 5 ----（1）作差（）
= x2 − 4x + 4 + y 2 + 2 y + 1
= ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 ------（2）变形（）又 x ≠ 2 或 y ≠ −1
课堂小结
3.用差比法”比较两个实数的大小， 3.用“差比法”比较两个实数的大小，一般分三步进行：作差→变形→定号→ 般分三步进行：作差→变形→定号结论. 其中变形的目的在于判断差式的符号，其中变形的目的在于判断差式的符号，常用的变形手段有因式分解、配方等. 用的变形手段有因式分解、配方等.
a
b
大数对应的点位于小数对应的点的右边
新知探究
a －b ＞0
⇔
a＞ ⇔a＞b
a－b=0
⇔a=b
新知探究
a －b ＜0 a －b ＞0 a－b=0 a －b ＜0
客观事实：（作差法比较大小的原理）客观事实：（作差法比较大小的原理）：（作差法比较大小的原理
a＜ ⇔ a ＜b
a＞ ⇔a＞b ⇔a=b a＜ ⇔ a＜b
ì f ³ 2.5% ï ï í ï p ³ 2.3% ï ï î
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，某种杂志原以每本2.5元的价格销售， 2.5元的价格销售可以售出8万本.据市场调查，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1 0.1元每提高0.1元，销售量就可能相应减少 2000本若把提价后杂志的定价设为x 2000本.若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元？ 20万元不低于20万元？

等式与不等式性质第一课时参考教学方案

《等式性质与不等式性质（第一课时）》教学设计教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用．教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式．GEOGEBRA、PPT课件，用纸做四个全等的直角三角形．一、整体感知问题1：请同学们阅读本章引言的文章，说说本章要学习的内容是什么？和初中所学的哪些内容有联系？对我们今后学习数学有什么作用？用什么方法来研究本章内容？师生活动：学生自主阅读后、讨论交流．预设的答案：1．本章主要研究的内容是方程和不等式，包括不等关系和不等式，基本不等式和一元二次不等式的研究，通过回顾、梳理初中学习的等式内容，提炼出其中蕴含的思想方法，用一次函数的观点看一次方程、不等式中蕴含的思想方法，用于研究不等式和一元二次不等式有关问题．2．方程和不等式是重要的数学工具，可以解决数学内外的各种问题，为今后学习作工具上的准备，另外，用函数的观点看方程和不等式是一种重要的思想方法，体现了数学知识之间的联系性和整体性，为今后的学习作思想方法上的准备．设计意图：一章的起始课，首先要从整体上把握所学内容，让学生明确本章内容的地位、作用、内在联系及研究方法，有助于学生良好认知结构的建立和完善．引语：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，首先来学习等式性质和不等式性质．（板书：等式性质和不等式性质）二、新知探究1．从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式问题2：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40 km/h ；（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不小于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．师生活动：学生分别用不等式表达，若有表达不准确，或表达困难的，引导学生先用符号表示题中的量，再用不等号表示问题中的不等关系．预设的答案：（1）设速度为v km/h ，则0＜v ≤40；（2）⎩⎨⎧≥≥%3.2%5.2p f ；（3）设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c ；（4）设C 是线段AB 外任意一点，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE ．追问1：你还能举出几个具有相等与不等关系的实际问题的例子吗？这些不等关系如何用式子表示？师生活动：学生自己举例，并用等式和不等式表示，在这个过程中教师不断启发学生，使得结论更科学和严谨．追问2：在上述问题的解决中，你经历了怎样的思考过程？师生活动：学生总结，教师完善：阅读实际问题——引入变量——将实际问题的文字语言转化为符号语言——找到量之间的关系——获得需要的不等式．设计意图：通过创设问题情境，让学生经历从实际问题中抽象出不等式，明确数学的价值和作用，提高学生数学抽象素养．并通过这组问题的解决，提炼出所用的方法，为后面解决问题做好铺垫．2．研究不等式性质的必要性问题3：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？师生活动：学生独立思考，分析数量关系后用不等式表达．设计意图：两个实数大小关系的基本事实的初步应用，让学生体会作差比较法在比较大小中的作用．4．重要不等式的探究和证明问题5：图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？师生活动：首先让学生用四个全等的直角三角形拼接出图形，小组交流不同人的拼接图形中的不同，之后教师利用几何画板进图1行动态演示：改变直角三角形两直角边长，让学生直观感觉图形的变化．然后按照前面的程序，引入符号，比如用a，b表示直角三角形的两条直角边，寻找关系，写出不等式．然后以小组为单位合作探究，展示成果．预设方案1：学生已经发现重要不等式，让学生展示其发现过程．预设方案2：学生没有发现重要不等式，可以进一步启发．追问1：你能用字母表示出图中四个直角三角形和大正方形的面积吗？预设的答案：用a，b表示直角三角形的两条直角边，则直角三角形的面积为2ab，大正方形的面积为a2+b2．追问2：在变化过程中四个直角三角形的面积和大正方形面积之间存在着相等和不等关系，你能表示出来吗？师生活动：学生得到a2+b2＞2ab．教师进一步变化图形，引导学生观察当a=b时，小正方形的面积为0，这时a2+b2=2ab．综合两类情况，得到a2+b2≥2ab，当a=b且仅当时取等号．追问3：上述过程中，a，b为正数，如果a，b∈R，式子是否成立？为什么？师生活动：引导学生分析问题，回归到用“两个实数大小关系的基本事实”作差比较，并规范证明过程．证明：∵a2+b2-2ab=( a-b)2≥0，∴a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．设计意图：对实际问题深入分析，发现不等关系，引入符号，表示不等关系，感受到由“形”到“数”的转换过程．利用软件演示图形的动态变化，感受图形从量变到质变的过程，培养学生直观想象素养．通过追问，让学生经历猜想到证明不等式的一般过程，为不等式性质和基本不等式的学习奠定基础．对问题情境的分析中让学生感受数学文化的价值．三、归纳小结，布置作业问题6：本节课我们主要学习了哪些知识，为什么要研究这些内容？研究这些内容有什么作用？师生活动：师生一起总结．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确研究两个实数大小关系的基本事实是为了研究不等式的性质，解决解不等式问题．两个实数大小关系的基本事实使数学运算参与问题解决之中，可以比较两个实数的大小．四、目标检测设计1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系：（1）某高速公路规定通过车辆的车货高度h 从地面算起不超过4 m ；（2）a 与b 的和是非负实数；（3）如图，在一个面积小于350 m 2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L 大于宽W 的4倍．设计意图：考查从实际问题中抽象出不等式的能力．2．比较(x +3)(x +7)和(x +4)(x +6)的大小．设计意图：考查用两个实数大小关系的基本事实比较大小应用能力3．已知a ＞b ，证明b b a a >+>2．设计意图：考查用两个实数大小关系的基本事实比较大小的应用能力．参考答案：1．（1）h ≤4 （2）a +b ≥0 （3）⎩⎨⎧><++WL W L 4350)10)(10( 2．(x +3)(x +7)＜(x +4)(x +6)3．∵a ＞b ，。

《等式性质与不等式性质》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第一课时不等关系与不等式)

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4．设 M＝a2，N＝－a－1，则 M、 M＞N [M－N＝a2＋a＋1＝
N 的大小关系为________．
a＋122＋34＞0，
∴M＞N.]
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合作探究提素养
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用不等式(组)表示不等关系【例 1】京沪线上，复兴号列车跑出了 350 km/h 的速度，这个速度的 2 倍再加上 100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的 3 倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
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解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
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3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？
第二章一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式
2
学习目标
核心素养
1.会用不等式(组)表示实际问题中 1. 借助实际问题表示不等式，提升
的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)
数学建模素养． 2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养.
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1．用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，要求菜园的面积不小于 216 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系．
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[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以 0<x≤18，

第二章 2.2 第一课时基本不等式

ab＝4，a＋2 b＝5，所以 a<
a＋b ab< 2 <b.
答案 B
规律方法利用基本不等式比较实数大小的注意事项 1.利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积). 2.利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
x2＋2 【训练1】比较大小： x2＋1 ________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).
解析由于 a2＋1－a＝a－122＋34>0，故①恒成立；
由于a＋1ab＋1b＝ab＋a1b＋ba＋ab≥2
ab·a1b＋2
ba·ab＝4.当且仅当abab＝＝aba，1b，即
a＝b＝1 时，“＝”成立，故②恒成立；
由于(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 成立，故③恒成立；
1 A.2
B.a2＋b2
C.2ab
D.a
解析 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·a＋2 b2＝12.
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
∵0<a<b 且 a＋b＝1，∴a<12.∴a2＋b2 最大.
答案 B
3.若 x>0，则 x＋1x________2(填“＝”，“≥”，“≤”，“>”，“<”).
证明 ∵a，b 均为正实数，∴a12＋b12≥a2b，∵a2b＋ab≥2 2，∴a12＋b12＋ab≥2 2(当且仅当 a＝b 时取等号).
1.通过学习基本不等式培养数学抽象素养，通过运用基本不等式进行证明提升数学运算及逻辑推理素养.
2.两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当 a＝b 时，a＋2 b＝ ab；另一方面：当a＋2 b＝ ab时，也有 a＝b.

【课件】等式性质与不等式性质+第一课时不等关系与不等式高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

3．作差法比较实数的大小一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号 →下结论．作差后变形是比较大小的关键一步.
限时小练
1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒12厘米，人跑开的速度是每秒 4 米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到 100 米以外的安全区，导火索的长度 x(厘米)应该满足的不等式为( )
巩固与练习(3)
例 3. 已知 a>0，求证：a＋a1≥2.
证明法一利用 a2＋b2≥2ab.
∵a>0， ∴a＋a1＝(
a)2＋
1 2 a
≥2 a·1a＝2. 当且仅当 a＝1 时，等号成立．
法二
∵a＋a1－2＝(
a)2＋
1a2－2
＝
a－ 1a2≥0，
∴a＋a1≥2.
深化与思考
1.比较两数的大小或证明不等式，最基本的方法是作差比较法，其关键是作差变形，判断差的符号．
全票，其余人可享受 7.5 折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折
优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队
的收费哪家更优惠．
限时小练
限时小练
限时小练
简解答：
课堂作业
1、练习1,2,3 2、预习本节剩余部分。
本节内容结束 THANKS
代数复习等式
数式不等式
复习引入方程(组)
一元一次不等式(组)
函数
解不等式（组）的理论依据是什么？方程（组）、不等式与函数之间有什么联系？
复习引入
常见的不等关系有哪些？你能用文字语言和符号语言表述吗？
文字语言大于小于
大于或等于（不小于）小于或等于（不大于）
符号语言＞＜ ≥ ≤

2.2基本不等式(第一课时)课件(人教版)

必须要满足条件：(1)
；
(2)
；
(3)
.
练一练
4.试判断x(2-x)(0<x<2)与 1 的大小关系.
解答：
+(2−) 2
x(2-x)≤(
) =1
2
, 只有x=1时才取等号
2.2.1 基本不等式
思维篇
知识篇
素养篇
问
核
心
素
养
之
题
逻
辑
推
理
分
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２
二次式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
a×a+b×b
≥
a×b+b×a
自乘的和
不小于
互乘的和
①
如果把两个数相乘看成一
次合作“圈地”(如图)，那
b
a
b
a
么公式 ①折射诞生活的哲理：
自立自强比互相合作更
重要！
1 重要不等式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
①
特别地：
；
1 2
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S ．
4
提示：因为x，y都是正数，所以x＋y ≥2 ．
无论是“和”定还是“积”定，不等号的另一侧部分将会取得最
+
数
学
建
模
1.已知x，y都是正数，求证：
析
方
法
总
结
值，且都在x＝y时取得等号.
基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当