2007年高中总复习第一轮数学第七章 7.2 两条直线的位置关系

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高考数学一轮复习第七章第二讲两直线的位置关系课件

③应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数分别化为相等.
【变式训练】 1.已知点 P(1，2)，则当点 P 到直线 2ax＋y－4＝0 的距离最大时，a＝( )
A.1B.－41Biblioteka 1 C.4D. 5
解析：因为直线恒过定点 A(0，4)，则当 PA 与直线垂直时，点 P 到直线的距离达到最大值，此时过点 P，A 的直线的斜率为
将点A(－1，2)的坐标代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－ m2)y＋3m2＋1＝0中，
(m2＋2m＋3)·(－1)＋(1＋m－m2)·2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2 ＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，
2.三个距离公式 (1)两点间的距离公式两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离： |P1P2|＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2. (2)点到直线的距离公式点 A(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离： d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
(3)两条平行直线间的距离公式 l1：Ax＋By＋C＝0，l2：Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)，l1 与 l2 间的距离：
|2k－k32＋＋k1＋2|＝|－4k－k25＋＋1k＋2|，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得
k＝－13.所以直线 l 的方程为 y－2＝－13(x＋1)，即 x＋3y－5＝0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l的方程x＝－1，也符合题意.
答案：x＋3y－5＝0 或 x＝－1
考点三对称问题
－2＝0互相垂直，∴(m－4)m＋m(m＋2)＝0，∴2m2－2m＝0，∴m
＝0 或 m＝1，∴“m＝1”是“直线 l1：(m－4)x＋my＋1＝0 与直线 l2：mx＋(m＋2)y－2＝0 互相垂直”的充分不必要条件.故选 A.

两条直线的位置关系知识点总结

两条直线的位置关系知识点总结在几何学中，直线是最基本的几何元素之一。

考虑两条直线之间的位置关系是几何学的一个基本问题。

在这篇文章中，我们将讨论两条直线的位置关系，并总结一些重要的知识点。

平行线当两条直线在同一平面内，且它们不相交（或在一个点相交）时，这两条直线被称为平行线。

我们常常使用符号“||”来表示平行线。

如果直线l和m平行，则我们可以表示它们为l || m。

平行线有一些重要的性质。

首先，平行线之间的距离始终相等。

其次，平行线之间的夹角始终相等。

因此，如果我们有两条平行线和一条横穿它们的第三条直线，则其中每一组相邻角度都相等。

这被称为平行线的交错内角定理。

垂直线另一种常见的直线位置关系是垂直线。

当两条直线在同一平面内且它们交叉成直角时，这两条直线被称为垂直线。

我们通常使用符号“⊥”来表示垂直。

垂直线也有一些重要的性质。

首先，当两条直线垂直相交时，它们之间的夹角恰好是90度。

其次，如果我们有一条直线和另一条线的垂线交叉，那么其中每一组相邻的角都是补角相等的。

这称为垂线的垂直角定理。

倾斜线倾斜线是指既不是平行线也不是垂直线的直线。

在考虑倾斜线的位置关系时，我们可能需要使用一些比较专业的术语。

首先，我们可以使用夹角的概念来描述两条倾斜线之间的位置关系。

如果两条倾斜线之间的夹角小于90度，则这两条线是锐角。

如果夹角等于90度，则这两条线是垂直线。

如果夹角大于90度，则这两条线是钝角。

其次，我们可以使用距离的概念来描述两条倾斜线之间的位置关系。

两条倾斜线之间的距离是它们之间最短的距离。

如果两条倾斜线从不相交，则它们的距离为零。

如果两条倾斜线相交，它们的距离将大于零。

总结在几何学中，考虑两条直线之间的位置关系是一个基本问题。

平行线的距离相等，夹角相等；而垂直线的夹角为90度，其相邻角度是补角相等的。

倾斜线的位置关系可以用夹角和距离来描述。

对于倾斜线，我们可以使用术语锐角、垂直线和钝角来描述它们之间的夹角。

两直线的位置关系课件

平行线的性质
01
02
03
性质1
平行线之间的距离处处相等。
性质2
两条平行线被一条横截线所截，同位角相等，内错角相等。
性质3
平行线的交替内角相等，即交替内角和为180度。
平行线的判定方法
判定方法1
同一平面内，如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等或内错角相等，则这两条直线平行。
判定方法2
两直线的位置关系课件
目录
Contents
• 两直线的位置关系概述 • 两直线平行 • 两直线垂直 • 两直线相交 • 两直线异面
01 两直线的位置关系概述
定义与分类
分类
平行、相交、重合。
相交
两直线在同一平面内，有一个公共点。
定义
两直线位置关系是指两条直线在同一平面内的相对位置。
平行
两直线在同一平面内，没有公共点。
判定方法3
如果一条直线与另一条直线的斜率的乘积为-1，则这两条直线互相垂直。
04 两直线相交
相交线的定义
相交线
两条直线在同一平面内只有一个公共点，则称这两条直线为相交线。
分类
根据相交的角度，相交线可以分为垂直相交和平行相交。
相交线的性质
唯一公共点
两条相交线只有一个公共点，即交点。
垂直性质
如果两条直线垂直相交，则它们的斜率互为负倒数。
垂直线的性质
性质1
垂直线上的任意一点到另一条直线的距离都相等，且等于两条直
线之间的距离。
性质2
两条垂直线之间的夹角为90度。
性质3
两条垂直线之间的线段是互相平分的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
垂直线的判定方法

两条直线的位置关系ppt

两条直线的位置关系
目录 CONTENT
• 两条直线平行 • 两条直线相交 • 两条直线重合 • 两条直线的斜率关系
01
两条直线平行
定义
01
两条直线平行是指它们在同一平面内，且不相交。
02
平行线是直线间的一种位置关系，而不是指两条直线的方向或斜率相同。
判定方法
同位角相等
同旁内角互补
如果两条直线被第三条直线所截，且同位角相等，则这两条直线平行。
在平面几何中，两条重合的直线可以视为一条直线的两种不同表达方式，它们具有相同的长度和方向。
04
两条直线的斜率关系
斜率相等
总结词
当两条直线的斜率相等时，它们是平行的。
详细描述
在平面坐标系中，如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线将平行不相交。例如，直线$y = x$和直线$y = x + 1$ 的斜率都为1，因此它们是平行的。
详细描述
在平面坐标系中，如果一条直线垂直于x轴，那么它的斜率不存在。这是因为垂直于x 轴的直线的y坐标是常数，而x坐标可以取任意值，所以斜率无法定义。例如，直线$x = 1$就是一条垂直于x轴的直线，其斜率不存在。
感谢您的观看
THANKS
图像法
在平面直角坐标系中，我们可以直接观察两条直线的图像，找到它们的交点。这种方法需要一定的几何直觉和观察力。
性质
唯一性
两条相交的直线在平面内只有一个交点。
不平行性
两条相交的直线不会平行，因为平行线在平面内没有交点。
对称性
如果两条直线关于某一直线对称，那么这两条直线一定相交于该对称轴上的一点。
两条直线相交
定义
01

高考数学一轮总复习课件：两直线的位置关系

例1 (1)(2021·江西八校联考)已知直线l1：kx＋y＋3＝0， l2：x＋ky＋3＝0，且l1∥l2，则k的值为__－__1____．
【思路】根据两直线平行列关于k的方程，解出k的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足l1∥l2，即可得出实数k的值．
【解析】 ∵直线l1：kx＋y＋3＝0，l2：x＋ky＋3＝0，且l1 ∥l2，
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
＝0.若2．l1∥(课l2本，习则题a的改值编为)已_－_知_12_直__线__l，1：若axl1＋⊥yl＋2，5则＝a0的，值l2：为x－2y＋7 _____2___．
3．直线y＝kx－k－2恒过定点__(_1，__－__2)_．
解析 y＝kx－k－2＝k(x－1)－2.当x＝1，y＝－2时恒成立， ∴直线恒过定点(1，－2)．
【解析】要使点P到直线x－y－4＝0有最小距离，只需点P为曲线与直线x－y－4＝0平行的切线的切点，即点P为曲线上斜率为1的切线的切点，设P(x0，y0)，x0>0， y＝x2－lnx，y′|x＝x0＝2x0－x10＝1，解得x0＝1或x0＝－12(舍去)，点P(1，1)到直线x－y－4＝0的距离为|1－12－4|＝2 2，所以曲线y＝x2－lnx上任一点到直线x－y－4＝0的距离的最小值为2 2.
【思路】结合图形，根据点到直线的距离公式求解．
【解析】 (1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2. 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0. 由已知得|－k22k＋－11|＝2，解得k＝34. 此时l的方程为3x－4y－10＝0.

7-2两条直线的位置关系

第七章
直线与圆的方程
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第七章
直线与圆的方程
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第七章
直线与圆的方程
●基础知识平面中两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．一、两直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. l1∥l2⇔ k1＝k2且b1≠b2 . 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0. l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A2C1≠A1C2(或B1C2≠B2C1)．两平行线Ax＋By＋C1＝0和Ax＋By＋C2＝0的距离为d ＝ .
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第七章
直线与圆的方程
(3)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2，
又－＝－1，∴n＝8. 即m＝0，n＝8时，l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1. 总结评述：若直线l1、l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝ 0与A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2的必要条件是A1B2－A2B1＝
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第七章
直线与圆的方程
解析：∵直线 y＝2 与直线 x＋y－2＝0 的斜率分别为 k1 ＝0，k2＝－1. k1－k2 0＋1 ∴tanθ＝| |＝| |＝1， 1＋k1k2 1－0×1 π π 又∵θ∈(0， ]，∴θ＝ . 2 4
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高三数学第一轮总复习7.2两直线的位置关系课件2.ppt

k2 - k1 1 k1k2
-1- 1
1
2 (-1)
1
-3.
2
4
因为l1,l2,l3所围成的三角形是等腰三角形，
Hale Waihona Puke 所以θ1=θ2，tanθ1=tanθ2=-3，
即
k3 1
- k2 k3k2
-3，即 k 3 1
1- k3
-3，解得k3=2.
又因为直线l3经过点(-2，0)，
所以直线l3的方程为y=2(x+2)，即2x-y+4=0.
即|x1-x2|=3，所以(x1+x2)2-4x1x2=9.
11
于是(1-m)2-m2=9，解得m=-4.
此时，Δ=16(m-1)2-16m2＞0.
所以直线l的方程是y=2x-4，即2x-y-4=0.
设点C到直线l的距离为d，则d= | 2 a - 4 | .
5
因为S△ABC≥9,所以
1| AB|d 9即,
A、B两点，且|AB|=3 5 , 点C(a，0)为x轴上一动
点，若△ABC的面积不小于9，求a的取值范围.
解：设直线l的方程为y=2x+m,代入y2=4x,
得(2x+m)2=4x，即4x2+4(m-1)x+m2=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
x1x2
1-m,x1x2
m2. 4
因为|AB|= 3 5 , 所以 |x1-x2| 12235,
7.2 两直线的位置关系
第二课时
题型4
求直线的方程
1. 已知等腰直角三角形ABC中，C=90°，
直角边BC在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是

07-第七章_直线和圆的方程

直线的方程〖考纲要求〗理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程。

〖双基回顾〗1、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按__________________________________________________________,那么角就叫做直线的倾斜角。

规定：当直线和x 轴平行或重合时其倾斜角为：_ __，所以直线的倾斜角的取值范围是：_______________.2、直线的斜率是指：_____________________________________________.3、经过两面点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)的直线的斜率公式为：k =_______________.4、直线方程的五种形式及其应用范围：方程名称方程形式应用条件点斜式斜截式两点式一般式〖课前训练〗1、直线9x －4y =36的纵截距为………………………………………………………………………（）(A )9 (B )－9 (C ) －4 (D ) 94- 2、直线l 1：y =ax +b ，l 2：y =bx +a （a 、b 是不等的正数）的图象应该是…………………………（）3、直线经过点P （－2，－1）并且在两坐标轴上的截距和为0，则此直线方程为 .4、两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，在方向向量为a =(1,k )的直线上且AB =t ，则|y 1－y 2|=________（用t ,k 表示）. 〖典型例题〗1、若2π-<α<0，则直线y =xcot α的倾斜角是……………………………………………………（）（A ）α （B ）απ-2 （C ）2πα- （D ）απ+2、下列四个命题中真命题是…………………………………………………………………………（）(A )经过点P (x o ,y o )的直线都可以用方程y －y o =k (x －x o )表示.(B )经过任意两不同点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)=(x －x 1)(y 2－y 1)表示.(C )不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示. (D )经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示.(A ) (B ) (C ) (D ) l 1 l 2 y O x y O x y O x y O x l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 25、求将直线x －y 3+=2绕点()3,2逆时针旋转12π后所得直线方程.6、求过点P (0,1)的直线，使它夹在两已知直线l 1：2x ＋y －8=0和l 2：x －3y ＋10=0间的线段被点P 平分。

高三第一轮复习数学---两直线的位置关系

高三第一轮复习数学---两直线的位置关系一、教学目标：1、掌握两条直线平行与垂直的判断条件，能根据直线的方程判断两条直线的位置关系；2、掌握两条直线所成角和点到直线的距离公式；掌握对称和三角形的高、中线、角平分线等知识的处理方法。

3、两条直线位置关系的讨论，常常转化为对表示它们的两个二元一次方程的讨论。

注意数形结合思想的应用。

二、教学重点：1、两直线平行和垂直的充要条件，根据直线方程判断两直线的位置关系。

2、到角与夹角的计算。

3、两直线的交点及过交点的直线系方程。

4、点到直线与两平行直线间的距离。

三、教学过程：（一）主要知识：1、直线与直线的位置关系：（1）有斜率的两直线l 1：y=k 1x+b 1；l 2：y=k 2x+b 2；有：①l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2； ②l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1；③l 1与l 2相交⇔ k 1≠k 2 ④l 1与l 2重合⇔k 1=k 2 且b 1=b 2。

（2）一般式的直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0有：①l 1∥l 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0；B 1C 2-B 2C 1≠0 ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0③l 1与l 2相交⇔ A 1B 2-A 2B 1≠0 ④l 1与l 2重合⇔ A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1=0。

2、到角与夹角：3、l 1到l 2的角：直线l 1绕交点依逆时针旋转到l 2所转的角θ∈),[π0有tan θ=21121k k k k ⋅+-（k 1·k 2≠-1）。

l 1与l 2的夹角θ，θ∈],[20π有tan θ=|21121k k k k ⋅+-|（k 1·k 2≠-1）。

4、点与直线的位置关系：若点P （x 0，y 0）在直线Ax+By+C=0上，则有Ax 0+By 0+C=0；若点P （x 0，y 0）不在直线Ax+By+C=0上，则有Ax 0+By 0+C ≠0，此时到直线的距离：2200BA CBy Ax d +++=。

两直线位置关系

2 的值是－ . 3
2 m＝－， 3 得所以 m m ≠1.
2 答案：－ 3
第17页
高考一轮总复习
对应学生书P96 题型一两条直线平行与垂直关系的应用
【例1】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，
求满足下列条件的a、b的值． (1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
3＋ 5λ 5 1 其斜率－＝－，解得 λ＝ . 3 5 2＋ 2λ 代入直线系方程，即得 l 的方程为 5x＋ 3y－ 1＝ 0.
第27页
高考一轮总复习
规律方法：运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R
第18页
高考一轮总复习
解析：(1)由已知可得l2的斜率必存在，∴k2＝1－a. 若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.
∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0. 即4＝3a(与a＝1矛盾)． ∴此种情况不存在，即k2≠0.
第19页
高考一轮总复习
重合
k1＝k 2，且 b1 ＝b2
A1B2－A2B 1＝B 2C1 －B1C2＝A1C2－
高考一轮总复习
第3页
两条直线的夹角 (1)l1 到 l2 的角： ①定义：直线 l 1 与 l 2 相交，l 1 依逆时针方向旋转到与 l 2 重合时所转的角，叫做 l 1 到 l2 的角，记为 θ1. k2－k 1 ②计算公式：tanθ1＝ (1＋k 1k 2≠0)． 1＋k 1k2
)
解析：本题考查特殊情况(即一直线斜率为 0)下两直线的夹角 π 问题．如图所示，可知，两直线夹角为 . 4

高考数学一轮复习第七章解析几何第2讲两直线的位置关系课件理

第十九页，共三十八页。
∴|2－212＋＋1C|＝|2－221＋＋11|.解得 C＝－3. 因此所求直线 l 的方程为 y＝2x－3. 方法三，在直线 y＝2x＋1 上任取两个点 A(0,1)，B(1，3)，则点 A 关于点(1,1)对称的点为 M(2,1)，点 B 关于点(1,1)对称的点为 N(1，－1).由两点式求出对称直线 MN 的方程为1y＋＋11＝2x－－11，即 y＝2x－3.
l1：Ax＋By＋C＝0， l2：Ax＋By＋C′＝0
(C≠C′)
|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22
d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|
d＝|CA与直线(zhíxiàn) 3x－4y＋5＝0，关于 x 轴对称的直线方程为_______3_x_＋_4_y_＋__5_＝__0_；关于 y 轴对称的直线方程为________3_x_＋__4_y_－___5_＝；0 关于原点对称的直线方程为_______3_x_－__4_y_－__5＝__0_；关于直线 y＝x 对称的直线方程为________3_y_－__4_x_＋__5_＝_；0 关于直线 y＝－x 对称的直线方程为_______4x_－__3_y_＋__5_＝__0.
斜截式 k1＝k2，且b1≠b2 k1＝k2，且b1＝b2 k1·k2＝___－_1____
第四页，共三十八页。
2.三个距离(jùlí)公式
两点间的距离公式
点到直线的距离公式
两平行线间的距离公式
条件
距离公式
两点 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)
点 A(x0，y0)，直线 l： Ax＋By＋C＝0
答案(dá àn)：y＝2x－3
第二十页，共三十八页。
【规律方法】中心对称：解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标(zuòbiāo)公式.①点 P(x，y)关于点 M(a，b)的对称点 P′(x′，

第7讲两条直线的位置关系(解析版)

第7讲两条直线的位置关系【知识点拨】考点1：同一平面内两条直线的位置关系同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.知识要点（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.（2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.（3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点.两条直线相交只有一个交点.考点2：对顶角、补角、余角1.余角与补角（1）定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．知识要点(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．知识要点(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角.（2）性质：对顶角相等．考点3：垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图．知识要点⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：90∠=°CD⊥AB．AOC2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．知识要点(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．知识要点（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（1）知识要点（2）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【考点精讲】考点1：余角和补角【例1】（2021秋•黄埔区期末）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，∠α与∠β一定相等的图形个数共有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：第1个图，∠α+∠β＝180°﹣90°，互余；第2个图，根据同角的余角相等，∠α＝∠β；第3个图，∠α+∠β＝180°，互补．第4个图，根据等角的补角相等∠α＝∠β；综上所述，∠α与∠β一定相等的图形个数共有2个，故选：C．【例2】（2021秋•原州区期末）一个角的度数为51°14'36″，则这个角的余角为（）A．38°45′24″B．39°45'24″C．38°46′24″D．39°46′24″【解答】解：这个角的余角＝90°﹣51°14'36″＝89°60′﹣51°14'36″＝38°45′24″．【变式训练1】（2021秋•南京期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF ＝180°．所有正确结论的序号是．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；∵OF平分∠AOD，∴∠AOF＝∠DOF，而∠AOE＝∠DOE，∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，∵∠COE＝∠BOE，∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．故答案为：①②④．【变式训练2】（2021秋•延边州期末）一个角的补角等于它的余角的度数的3倍，求这个角的度数．【解答】解：设这个角的度数是x，则180°﹣x＝3（90°﹣x），解得x＝45°．故这个角是45°．【变式训练3】（2021秋•和平区期末）一个角的补角比这个角的余角的4倍少60°，这个角的度数是【解答】解：设这个角为x，由题意得，180°﹣x＝4（90°﹣x）﹣60°，解得x＝40°．故答案为：40．【变式训练4】（2021秋•路北区期末）一个角的余角比这个角的少30°，求这个角的大小．【解答】解：设这个角的度数为x，则它的余角为（90°﹣x），由题意得：x﹣（90°﹣x）＝30°，解得：x＝80°．答：这个角的度数是80°．考点2：相交线【例1】（2021秋•淮北月考）下列说法正确的是（）A．直线AB和直线BA是同一条直线B．直线是射线的2倍C．射线AB与射线BA是同一条射线D．三条直线两两相交，有三个交点【解答】解：A、直线AB和直线BA是同一条直线，故本选项说法正确．B、直线和射线不能度量，故本选项说法不正确．C、射线AB与射线BA方向相反，不是同一条射线，故本选项说法不正确．D、三条直线两两相交有三个或一个交点，故本选项说法不正确．故选：A．【例2】（2018秋•海州区校级月考）同一平面内互不重合的三条直线的交点个数有个．【解答】解：由题意画出图形，如图所示：故答案为：0、1、2、3．【变式训练1】（2021秋•鼓楼区校级月考）观察图形，下列说法正确的个数是（）①直线BA和直线AB是同一条直线；②射线AC和射线AD是同一条射线；③线段AC和线段CA是同一条线段；④三条直线两两相交时，一定有三个交点．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①直线没有方向，直线BA和直线AB是同一条直线，故①说法正确；②射线AC和射线AD是同一条射线，故②说法正确；③线段AC和线段CA是同一条线段，故③说法正确；④三条直线两两相交时，一定有三个交点，还可能有一个，故④说法不正确．共3个说法正确．故选：C．【变式训练2】（2017春•临漳县期末）三条直线相交，最多有个交点．【解答】解：三条直线相交时，位置关系如图所示：判断可知：最多有3个交点．【变式训练3】探究型问题如图所示，在同一平面内，两条直线相交时最多有1个交点，三条直线相交时最多有3个交点，四条直线相交时最多有6个交点．（1）当五条直线相交时交点最多会有多少个？（2）猜想n条直线相交时最多有几个交点？（用含n的代数式表示）（3）算一算，同一平面内10条直线最多有多少个？（4）平面上有10条直线，无任何3条交于一点（3条以上交于一点也无），也无重合，它们会出现31个交点吗？如果能给出一个画法；如果不能请说明理由．【解答】解：（1）如图，∵两条直线相交，最多有1个交点，三条直线相交，最多有1+2＝3个交点，四条直线相交，最多有1+2+3＝6个交点．∴五条直线相交，最多有1+2+3+4＝10个交点；（2）n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝个交点；（3）10条直线相交，最多有＝45个交点；（4）会出现31个交点，如下图所示：【变式训练4】（2011•南安市模拟）附加题：（1）计算：3+（﹣1）＝．（2）两直线相交有且只有个交点．【解答】解：（1）3+（﹣1）＝2；（2）如图：两直线相交，只有1个交点．考点3：对顶角、邻补角【例1】（2021秋•铁西区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠BOD＝42°，则∠AOM等于（）A．138°B．148°C．159°D．169°【解答】解：∵OM平分∠BOD，∠BOD＝42°，∴∠BOM＝∠BOD＝×42°＝21°，∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝159°，故选：C．【例2】（2021秋•潮阳区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON＝90°．若∠MOC＝35°，则∠BON的度数为．【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，∠MOC＝35°，∴∠MOA＝∠MOC＝35°，∵∠MON＝90°，∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠MOA＝180°﹣90°﹣35°＝55°．故选：55°．【变式训练1】（2021秋•叙州区期末）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，则∠BOD的大小为．【解答】解：∵∠COE是直角，∴∠COE＝90°，∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣34°＝56°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠COE＝56°，∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝56°﹣34°＝22°，∴∠BOD＝∠AOC＝22°．故答案为：22°．【变式训练2】（2021秋•遵化市期末）已知，如图，直线AB和CD相交于点O，∠AOD＝30°，OE平分∠AOD，∠AOC内的一条射线OF满足∠EOF＝90°，求∠COF的度数．【解答】解：∵∠AOD＝30°，OE平分∠AOD∴∠EOD＝∠AOD＝15°，∵∠EOF＝90°，∴∠DOF＝∠EOD+∠EOF＝90°+15°＝105°∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝180°﹣105°＝75°．【变式训练3】（2021秋•南岗区期末）在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）A． B．C．D．【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角；B、∠1与∠2是对顶角；C、∠1与∠2不是对顶角；D、∠1与∠2不是对顶角；故选：B．考点4：垂线【例1】（2021秋•德惠市期末）如图，OA⊥OB，若∠1＝55°16′，则∠2的度数是（）A．35°44′B．34°84′C．34°74′D．34°44′【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠1＝55°16′，∴∠2＝90°﹣55°16′＝34°44′．故选：D．【例2】（2021秋•香坊区期末）在同一平面内，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC＝40°，射线OE ⊥CD，则∠BOE的度数为°．【解答】解：情况一，如图1，∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°，∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°，∴∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣40°＝50°；情况二，如图2，∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°，∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°，∴∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝90°+40°＝130°；综上所述，∠BOE的度数为50°或130°，故答案为：50或130．【变式训练1】（2021秋•洪山区期末）如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．0个【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；∵OF平分∠AOD，∴∠AOF＝∠DOF，而∠AOE＝∠DOE，∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，∵∠COE＝∠BOE，∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．故选：B．【变式训练2】（2021秋•建邺区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．（1）图中∠BOE的补角是；（2）若∠COF＝2∠COE，求∠BOE的度数；（3）试判断OF是否平分∠AOC，并说明理由；请说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝180°，∠COE+∠DOE＝∠COD＝180°，∠COE＝∠BOE ∴∠BOE的补角是∠AOE，∠DOE故答案为：∠AOE或∠DOE；（2）∵OE⊥OF．∠COF＝2∠COE，∴∠COF＝×90°＝60°，∠COE＝×90°＝30°，∵OE是∠COB的平分线，∴∠BOE＝∠COE＝30°；（3）OF平分∠AOC，∵OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．∴∠BOE＝∠COE，∠COE+∠COF＝90°，∵∠BOE+∠EOC+∠COF+∠FOA＝180°，∴∠COE+∠FOA＝90°，∴∠FOA＝∠COF，即，OF平分∠AOC．【变式训练3】（2021秋•香坊区校级期中）如图，直线AB⊥CD，EF经过点O，∠2＝2∠1，则∠3＝°．【解答】解：∵AB⊥CD，∴∠1+∠2＝90°，又∵∠2＝2∠1，∴3∠1＝90°，∴∠1＝30°，∴∠3＝∠1＝30°，故答案为：30．【变式训练4】（2021秋•余杭区期末）直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）如图①，若∠BOC＝130°，求∠AOE的度数；（2）如图②，射线OF在∠AOD内部．①若OF⊥OE，判断OF是否为∠AOD的平分线，并说明理由；②若OF平分∠AOE，∠AOF＝∠DOF，求∠BOD的度数．【解答】解：（1）∵∠BOC＝130°，∴∠AOD＝∠BOC＝150°，∠BOD＝180°﹣∠BOC＝50°∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝25°∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝155°．答：∠AOE的度数为155°（2）①OF是∠AOD的平分线，理由如下：∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°∴∠BOE+∠AOF＝90°∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE∴∠DOE+∠AOF＝90°∠DOE+∠DOF＝90°∴∠AOF＝∠DOF∴OF是∠AOD的平分线；②∵∠AOF＝∠DOF，设∠DOF＝3x，则∠AOF＝∠5x，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝5x∴∠DOE＝2x∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝4x5x+3x+4x＝180°∴x＝15°．∴∠BOD＝4x＝60°．答：∠BOD的度数为60°．考点5：垂线段最短【例1】（2021秋•南关区期末）如图，AC⊥BC于点C，点D是线段BC上任意一点，若AC＝6，则AD的长不可能是（）A．5.5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵AC⊥BC于点C，点D是线段BC上任意一点，AC＝6，∴AD≥6，故选：A．【例2】（2021春•桦南县期末）如图，计划在河边建一水厂，可过C点作CD⊥AB于D点．在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这样设计的依据是．【解答】解：计划在河边建一水厂，可过C点作CD⊥AB于D点．在D点建水厂，可使水厂到村庄C 的路程最短，这样设计的依据是垂线段最短，故答案为：垂线段最短．【变式训练1】（2021秋•门头沟区期末）永定河，“北京的母亲河”．近年来，我区政府在永定河治理过程中，有时会将弯曲的河道改直，图中A、B两地间的河道改直后大大缩短了河道的长度．这一做法的主要依据是（）A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．两点之间，线段最短【解答】解：把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度就发生了变化，这一做法的主要依据是：两点之间线段最短．故选：D．【变式训练2】（2021秋•侯马市期末）如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示），依据是；（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是．【解答】解：（1）如图，点M即为所示．依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短（2）如图，点N即为所示．依据是两点之间线段最短；故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短；两点之间线段最短．【变式训练3】（2021春•三台县期中）如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段BN的长度，这样测量的依据是．【解答】解：测量的依据是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．考点6：点到直线的距离【例1】（2021春•长春期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点A到直线BC的距离是（）A．线段AC的长B．线段BC的长C．线段AD的长D．线段AB的长【解答】解：根据点到直线的距离定义：点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离，得：点A到直线BC的距离为过A做BC的垂线，即图中的线段AD的长．故选：C．【例2】（2021春•岳阳期末）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝5，BC ＝12，AC＝13，下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①∠ADB＝90°；②∠A＝∠DBC；③点C到直线BD的距离为线段CB的长度；④点B到直线AC的距离为．【解答】解：①∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，故①正确；②∵∠ABD+∠A＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，∴∠A＝∠DBC，故②正确；③点C到直线BD的距离为线段CD的长度，故③错误；④点B到直线AC的距离为×5×12×2÷13＝，故④正确．故答案为：①②④．【变式训练1】（2021春•江汉区月考）如图，AD⊥AC交BC的延长线于点D，AE⊥BC交BC的延长线于点E，CF⊥AB于点F，则图中能表示点A到直线BC的距离的是（）A．AD的长度B．AE的长度C．AC的长度D．CF的长度【解答】解：图中能表示点A到直线BC的距离的是AE的长度，故选：B．【变式训练2】（2018春•青浦区期中）如图，①过点Q作QD⊥AB，垂足为D，②过点P作PE⊥AB，垂足为E，③过点Q作QF⊥AC，垂足为F，④连接P、Q两点，⑤P、Q两点间的距离是线段的长度，⑥点Q到直线AB的距离是线段的长度，⑦点Q到直线AC的距离是线段的长度，⑧点P到直线AB的距离是线段的长度．【解答】解：①②③④作图如图所示：⑤根据两点之间距离即可得出P、Q两点间的距离是线段PQ的长度，⑥根据点到直线的距离可得出点Q到直线AB的距离是线段QD的长度，⑦根据点到直线的距离可得出点Q到直线AC的距离是线段QF的长度，⑧根据点到直线的距离可得出点P到直线AB的距离是线段PE的长度，故答案为PQ，QD，QF，PE．考点7：平行线【例1】（2021春•环江县期中）在同一平面内，两条直线可能的位置关系是（）A．平行B．相交C．相交或平行D．垂直【解答】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交，故选：C．【例2】（2021春•金山区期末）在长方体ABCD﹣EFGH中，与平面ABCD和平面ABFE都平行的棱是．【解答】解：观察图形可得，与平面ABCD和平面ABFE都平行的棱是GH．故答案为：GH．【变式训练1】（2021春•博白县期末）在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是．【解答】解：∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c．故答案为a∥c．【变式训练2】（2021春•英德市期中）同一平面内两条直线的位置关系有（）A．相交、垂直B．相交、平行C．垂直、平行D．相交、垂直、平行【解答】解：同一平面内的两直线只有相交于平行两种位置关系．故选：B．【变式训练3】（2021春•西湖区校级月考）（原创题）如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？【解答】解：（1）（2）如图所示，（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．【课后巩固】一．选择题1．（2021秋•松山区期末）如果∠α＝52°25′，则∠α的余角的度数为（）A．38°25′B．37°45′C．37°35′D．127°35′【解答】解：∵∠α＝52°25′，则∠α的余角的度数＝90°﹣52°25′＝89°60'﹣52°25'＝37°35′．故选：C．2．（2021秋•松山区期末）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β均为锐角且相等的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余，不符合题意；B、根据同角的余角相等，∠α＝∠β，且∠α与∠β均为锐角，符合题意；C、根据等角的补角相等∠α＝∠β，但∠α与∠β均为钝角，不符合题意；D、∠α+∠β＝180°，互补，不符合题意．故选：B．3．（2021秋•辽阳期末）如图，∠AOB和∠COD都是直角．下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②∠AOD+∠BOC＝180°；③若OB平分∠COD，则OC平分∠AOB；④∠AOD的平分线和∠BOC的平分线是同一条射线．其中正确的是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠BOC，∠BOD＝90°﹣∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD；故①正确．②∵∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，故②正确；③∵∠AOB＝∠COD＝90°，OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝45°，则∠AOC＝90°﹣45°＝45°∴OC平分∠AOB；故③正确．④∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC＝∠BOD（已证）；∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．故④正确．故选：A．4．（2021秋•邢台期中）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（）A．100个B．135个C．190个D．200个【解答】解：2条直线相交最多有1个交点，1＝×1×2，3条直线相交最多有3个交点，3＝1+2＝×2×3，4条直线相交最多有6个交点，6＝1+2+3＝×3×4，5条直线相交最多有10个交点，10＝1+2+3+4＝×4×5，…n条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）．20条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）＝×20×19＝190．故选：C．5．（2021秋•石景山区期末）如图所示，用量角器度量一些角的度数，下列结论中错误的是（）A．OA⊥OC B．∠AOD＝135°C．∠AOB＝∠COD D．∠BOC与∠AOD互补【解答】解：观察图象可知，OC⊥OA，∠AOB＝∠COD，∠OBC与∠AOD互补，故A，C，D正确，故选：B．6．（2021秋•大冶市期末）下列说法：①若|a|＝﹣b，|b|＝b，则a＝b＝0；②若﹣a不是正数，则a为非负数；③|﹣a2|＝（﹣a）2；④若+＝0，则＝﹣1；⑤平面内n条直线两两相交，最多个交点．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：①若|a|＝﹣b，|b|＝b，则a＝b＝0，故本选项正确；②若﹣a不是正数，则a为非负数，故本选项正确；③|﹣a2|＝（﹣a）2，故本选项正确；④若+＝0，则a，b异号，即＝﹣1，故本选项正确；⑤平面内n条直线两两相交，最多n（n﹣1）个交点，故本选项错误．故选：C．7．（2021春•澧县期末）在△ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：根据直角三角形的性质得：PC≤3，∴CP长的最大值为3，故选：C．8．（2021春•营山县期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（）A．20°B．55°C．20°或125°D．20°或55°【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得①两个角相等时，如图1：∠B＝∠A＝x°，x＝3x﹣40解得，x＝20，故∠A＝20°，②两个角互补时，如图2：x+3x﹣40＝180，所以x＝55，3×55°﹣40°＝125°故∠A的度数为：20°或125°．故选：C．二．填空题9．（2021秋•潮阳区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON＝90°．若∠MOC＝35°，则∠BON的度数为55°．【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，∠MOC＝35°，∴∠MOA＝∠MOC＝35°，∵∠MON＝90°，∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠MOA＝180°﹣90°﹣35°＝55°．故选：55°．10．（2021秋•南京期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．所有正确结论的序号是①②④．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；∵OF平分∠AOD，∴∠AOF＝∠DOF，而∠AOE＝∠DOE，∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，∵∠COE＝∠BOE，∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．故答案为：①②④．11．（2021秋•定西期末）若∠A＝76°30'，则∠A的补角的度数是103°30′．【解答】解：180°﹣∠A＝180°﹣76°30′＝103°30′，故答案为：103°30′．12．（2021秋•辽阳期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC＝∠BOD，则∠AOC＝72°．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，∴∠AOC+∠BOD＝180°，又∵∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝108°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣108°＝72°，故答案为：72°．13．（2021秋•南岗区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD＝132°，则∠EOC＝42°．【解答】解：∵∠AOD＝132°，∴∠COB＝132°，∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°，∴∠COE＝132°﹣90°＝42°，故答案为：42．14．（2021秋•揭西县期末）如图，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠DOC＝30°，OM是∠DOC平分线，ON是∠COB的平分线，则∠MON的度数是45°．【解答】解：∵OM是∠DOC平分线，ON是∠COB的平分线，∴∠COM＝∠DOM＝∠COD，∠BON＝∠CON＝∠BOC，∵∠BOC+∠COD＝∠BOD＝90°，∴∠COM+∠CON＝∠BOD＝45°＝∠MON，故答案为：45°15．（2021秋•惠城区期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东62°的方向上，观测到小岛B在它南偏东38°12′的方向上，则∠AOB的补角的度数是100°12′．【解答】解：∵OA是表示北偏东62°方向的一条射线，OB是表示南偏东38°12′方向的一条射线，∴∠AOB＝180°﹣62°﹣38°12′＝79°48′，∴∠AOB的补角的度数是180°﹣79°48′＝100°12′．故答案是：100°12′．16．（2021秋•建湖县期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，有下列结论：①∠AOC 与∠COE互为余角；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC＝∠COE；④∠COE与∠DOE互为补角；⑤∠AOC 与∠DOE互为补角；⑥∠BOD与∠COE互为余角．其中错误的有③⑤．（填序号）【解答】解：∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣90°＝90°＝∠AOC+∠COE，因此①不符合题意；由对顶角相等可得②不符合题意；∵∠AOE＝90°＝∠AOC+∠COE，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此③符合题意；∠COE+∠DOE＝180°，因此④不符合题意；∠EOC+∠DOE＝180°，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此⑤符合题意；∠BOD＝∠AOC，且∠COE+∠AOC＝90°，因此⑥不符合题意；故答案为：③⑤17．（2021秋•南岗区校级期中）已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝110°或70°．【解答】解：分两种情况进行讨论：①如图1所示，若OM在AC上方，∵OD平分∠BOC，∴∠COD＝∠BOD，∵4∠BOE+∠BOC＝180°，∠AOB+∠BOC＝180°，∴∠AOB＝4∠BOE，即∠AOE＝3∠BOE，设∠BOE＝α，则∠AOE＝3α，∠BOD＝70°﹣α＝∠COD，∵∠AOC为平角，∴∠AOE+∠DOE+∠COD＝180°，即3α+70°+70°﹣α＝180°，解得α＝20°，∴∠BOE＝20°，又∵OM⊥OB，∴∠MOB＝90°，∴∠MOE＝∠BOE+∠MOB＝20°+90°＝110°；②如图2所示，若OM在AC下方，同理可得，∠BOE＝20°，又∵OM⊥OB，∴∠MOB＝90°，∴∠MOE＝∠MOB﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°；综上所述，∠MOE的度数为110°或70°．故答案为：110°或70°．三．解答题18．（2021秋•呼和浩特期末）如图，∠AOC和∠BOD都是直角．（1）判断∠COB与图中哪个角相等，并简单写出理由；（2）若∠DOC＝30°，过点O作∠AOB的平分线OE，则∠AOE的度数为75°，并简单写出求解过程．【解答】解：（1）∠COB与图中的∠AOD相等，∵∠AOC和∠BOD都是直角，∴，∴∠COB＝∠AOD；（2）∠AOE的度数为75°，∵∠BOD＝90°，∠DOC＝30°，∴∠COB＝∠BOD﹣∠DOC＝60°，又∵∠AOC＝90°，∴∠AOB＝∠COB+∠AOC＝60°+90°＝150°，∵OE平分∠AOB，∴＝75°．故答案为：75°．19．（2021秋•中山市期末）如图，直线ED上有一点O，∠AOC＝∠BOD＝90°，射线OP是∠AOD的平分线，（1）说明射线OP是∠COB的平分线；（2）写出图中与∠COD互为余角的角．【解答】解：（1）∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOD﹣∠AOC＝∠AOD﹣90°＝∠AOD﹣∠BOD，∴∠COD＝∠AOB，∵射线OP是∠AOD的平分线；∴∠POA＝∠POD，∴∠POA﹣∠AOB＝∠POD﹣∠COD，∴∠POB＝∠POC，∴射线OP是∠COB的平分线；（2）∵∠COD＝∠AOB，∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOE＝∠BOC，∵∠COD+∠BOC＝90°，∴图中与∠COD互为余角的角有∠BOC和∠AOE．20．（2021秋•武威期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF ＝34°．求∠AOD的度数．【解答】解：∵∠COE是直角，∴∠COE＝90°，∵∠COF＝34°，∴∠EOF＝56°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝56°，∴∠AOC＝56°﹣34°＝22°，∴∠AOD＝180°﹣22°＝158°．21．（2021秋•新宾县期末）已知，如图，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．（1）如图1，若∠MOC＝28°，求∠BON的度数．（2）若∠MOC＝m°，则∠BON的度数为2m°．（3）由（1）和（2），我们发现∠MOC和∠BON之间有什么样的数量关系？（4）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，试问∠MOC和∠BON之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵∠MOC＝28°，∠MON＝90°，∴∠NOC＝90°﹣28°＝62°，又∵OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠NOC＝62°，∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣62°×2＝56°，（2）如图1，∵∠MOC＝m°，∠MON＝90°，∴∠NOC＝90°﹣m°＝（90﹣m）°，又∵OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠NOC＝（90﹣m）°，∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣（90﹣m）°×2＝2m°，故答案为：2m°；（3）由（1）和（2）可得：∠BON＝2∠MOC；（4）∠MOC和∠BON之间的数量关系不发生变化，如图2，∵OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠NOC，∵∠MON＝90°，∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC，∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC，即：∴∠BON＝2∠MOC．22．（2021秋•大东区期末）在∠AOB和∠COD中，（1）如图1，已知∠AOB＝∠COD＝90°，当∠BOD＝40°时，求∠AOC的度数；（2）如图2，已知∠AOB＝82°，∠COD＝110°，且∠AOC＝2∠BOD时，请直接写出∠BOD的度数；（3）如图3，当∠AOB＝α，∠COD＝β，且∠AOC＝n∠BOD（n＞1）时，请直接用含有α，β，n的代数式表示∠BOD的值．【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOD＝40°，∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90°+90°﹣40°＝140°，答：∠AOC的度数为140°；（2）如图2，∵∠AOB＝82°，∠COD＝110°，∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝82°+110°﹣∠BOD，又∵∠AOC＝2∠BOD，∴2∠BOD＝82°+110°﹣∠BOD，∴∠BOD＝＝64°，答：∠BOD的度数为64°；（3）如图3，∵∠AOB＝α，∠COD＝β，∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝α+β﹣∠BOD，又∵∠AOC＝n∠BOD，∴n∠BOD＝α+β﹣∠BOD，∴∠BOD＝，答：∠BOD＝．23．（2021秋•建邺区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．（1）图中∠BOE的补角是∠AOE或∠DOE；（2）若∠COF＝2∠COE，求∠BOE的度数；（3）试判断OF是否平分∠AOC，并说明理由；请说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝180°，∠COE+∠DOE＝∠COD＝180°，∠COE＝∠BOE ∴∠BOE的补角是∠AOE，∠DOE故答案为：∠AOE或∠DOE；（2）∵OE⊥OF．∠COF＝2∠COE，∴∠COF＝×90°＝60°，∠COE＝×90°＝30°，∵OE是∠COB的平分线，∴∠BOE＝∠COE＝30°；（3）OF平分∠AOC，∵OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．∴∠BOE＝∠COE，∠COE+∠COF＝90°，∵∠BOE+∠EOC+∠COF+∠FOA＝180°，∴∠COE+∠FOA＝90°，∴∠FOA＝∠COF，即，OF平分∠AOC．24．（2021秋•定西期末）将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．（1）如图①，若∠AOB＝155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数．（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论．（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由．【解答】解：（1）∠AOD＝∠BOC＝155°﹣90°＝65°，∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；（2）∠AOD＝∠BOC，∠AOB+∠DOC＝180°；（3）∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOB+∠DOC＝180°．25．（2021秋•中山区期末）如图2，已知直角三角板CAB和直角三角板EAD，∠CAB＝45°，∠EAD＝30°．将两块三角板摆放在一起，且点A重合，过点A作射线AH、AF，且∠DAH＝∠DAB，∠CAF＝∠CAE．（1）按图1所示位置摆放，则∠HAF＝40°；（2）按图2所示位置摆放，求∠HAF的值；（3）按图3所示位置摆放，且∠EAH＝3∠BAF，求的值．【解答】解：（1）∵∠DAH＝∠DAB＝∠EAD＝30°＝20°，∴∠CAF＝∠CAE＝∠CAB＝45°＝15°，∴∠HAF＝∠CAB+∠EAD﹣（∠DAH+∠CAF）＝45°+30°﹣（20°+15°）＝40°，故答案为：40°；（2）∵∠CAF＝∠CAE，∠CAE＝∠CAB+∠BAE，∠CAB＝45°，∴∠CAF＝（45°+∠BAE）＝15°+∠BAE，∵，∵∠DAB＝∠EAD+∠BAE，∴∠EAD＝30°，∴，∴∠HAF＝∠CAD﹣∠DAH﹣∠CAF，＝30°+∠BAE+45°﹣20°﹣﹣15°﹣∠BAE，＝40°；（3）设∠BAF＝α，∴∠EAH＝3α，∴∠BAH＝40°﹣α，∵，∴，∴∠DAH＝2∠HAB，∴30°+3α＝2（40°﹣α），∴α＝10°，∴∠CAF＝∠CAB﹣∠BAF＝35°∴∠CAD＝180°﹣35°﹣10°＝135°，∴．26．（2021秋•怀安县期末）已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝60°）（1）如图1摆放，点O、A、C在一直线上，则∠BOD的度数是多少？（2）如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是多少？（3）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【解答】解：（1）∠BOD＝90°﹣60°＝30°；（2）∠BOC＝∠COD＝×60°＝30°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°；（3）∠BOD+∠AOC＝90°﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°，（∠BOD+∠AOC）＝×30°＝15°，∠MON＝（∠BOD+∠AOC）+∠COD＝15°+60°＝75°即∠MON的度数不会发生变化，总是75°．27．（2021秋•望花区期末）已知点O为直线AB上的一点，∠BOC＝∠DOE＝90°．（1）如图1，当射线OC、射线OD在直线AB的两侧时，请回答结论并说明理由；①∠COD和∠BOE相等吗？②∠BOD和∠COE有什么关系？（2）如图2，当射线OC、射线OD在直线AB的同侧时，请直接回答；①∠COD和∠BOE相等吗？②第（1）题中的∠BOD和∠COE的关系还成立吗？【解答】解：（1）①∠COD＝∠BOE，∵∠BOC＝∠DOE＝90°，∴∠BOC+∠BOD＝∠DOE+∠BOD，即：∠COD＝∠BOE，②∠BOD+∠COE＝180°，∵∠DOE＝90°，∠AOE+∠DOE+∠BOD＝∠AOB＝180°，∴∠BOD+∠AOE＝180°﹣90°＝90°，∴∠BOD+∠COE＝∠BOD+∠AOE+∠AOC＝90°+90°＝180°，（2）①∠COD＝∠BOE，∵∠COD+∠BOD＝∠BOC＝90°＝∠DOE＝∠BOD+∠BOE，∴∠COD＝∠BOE，②∠BOD+∠COE＝180°，∵∠DOE＝90°＝∠BOC，∴∠COD+∠BOD＝∠BOE+∠BOD＝90°，∴∠BOD+∠COE＝∠BOD+∠COD+∠BOE+∠BOD＝∠BOC+∠DOE＝90°+90°＝180°，因此（1）中的∠BOD和∠COE的关系仍成立．。

高三数学第一轮复习讲义7.2 两直线的位置关系全国通用

§ 两直线的位置关系班级姓名学号例1：已知两直线L 1：m35=5－3m, L 2：2m6=8，当m 为何值时，L 1与L 2，（1）相交，（2）平行，（3）重合，（4）垂直。

例2：在△ABC 中，|AB|=|AC|，∠A=120°，A （0，2），BC 所在直线方程为3－－1=0,求边AB 、AC 所在的直线方程。

例3：正方形中心在M （－1，0），一条边所在的直线方程为3－5=0，求其他三边所在直线的方程。

例4：一直线过点2的方程分别为2－1=0，3－=0，则直线m 关于直线的对称直线m ′的方程为。

5、过L 1：3－5－10=0和L 2：1=0的交点，且平行于L 3：2－5=0的直线方程为。

6、△ABC 中，a, b, c 是内角A 、B 、C 的对边，且ginA 、ginB 、ginC 成等差数列，则下列两条直线L 1：in 2A ·inA ·－a=0与L 2：in 2B ·inC ·－C=0的位置关系是：（）A 、重合B 、相交（不垂直）C 、垂直D 、平行【拓展练习】1、两直线a －4=0与－－2=0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是：（）A 、－1－1 C 、a22、设两直线L 1，L 2的方程分别为0cos 1sin ,0cos 1=-++=+-ααααy x b , a, b 为常数，a 以第三象限角，则L 1与L 2 （）A 、平行B 、垂直C 、平行或重合D 、相交但不一定垂直3、设a, b, , a b k =p b a =+11, n 为何值时，两直线m3n=0, 3m1=0 （）A 、相交B 、平行C 、重合D 、垂直7、已知△ABC 中，点A （3，－1），AB 边上的中线所在直线的方程为610－59=0, ∠B 的平分线所在直线的议程为－410=0，求BC 边所在直线的方程。

8、已知定点A （0，a ），B （0, b ）, a>b>0，试在轴正半轴上求一点C ，使∠ACB 取得最大值。

高三数学(文科)一轮复习《两直线的位置关系》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)

＋5＝0互相平行，则实数m的值为(
)
A．2 B．－1
C．1 D．0
答案：C
解析：两直线平行，其系数满足关系式－3m＝－3(2－m)，解得m＝1.
3．[必修2·P101习题T2改编]已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0
的距离为1，则a的值为(
)
A. 2
B．2－ 2
C． 2－1 D． 2＋1
称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y
＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × )
公式
( − ) −( − )
|AB|＝___________________
点到直线
的距离
+ 0 +
P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C
＝0的距离为d
d＝________________
2 + 2
两平行线
间的距离
直线Ax＋By＋C1＝0到直线
Ax＋By＋C2＝0的距离为d
3．经过直线2x－y＝0与x＋y－6＝0的交点，且与直线2x＋y－1＝0
件是A1A2＋B1B2＝0.
2．六种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y).
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，
y)．
(3)点 (x，y)关于直线y＝x的对称点为 (y，x)，关于直线y＝－x的对

高三数学高考基础复习课件：第七章第2课时两条直线的位置关系

∠B的角平分线，故直线BA与BC关于直线BT对称，进而
可得到A点关于直线BT的对称点A′在直线BC上，其坐
标
x，y
可由方程组
y xx
1
3 3
1 -1 4 4 y 1
10
解得
0
x
1，
2
2
y 7即为(1，7)，直线BC的方程即为直线BA′的方程.
3.直线l过点(1，0)，且被两平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0 所截得的线段长为9，求直线l的方程. 【解题回顾】(1)解法一给出了这类问
4.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0和x+y+1=0的交点，正方形一边所在直线的方程为x+3y-5=0，求其他三边的方程.
【解题回顾】注意平行直线系方程和垂直直线系方程的使用.
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延伸·拓展
5.已知数列｛an｝是公差d≠0的等差数列，其前n项和为Sn. (1)求证：点P 1 1 ， S 1 1 ， P 2 2 ， S 2 2 ， P 3 3 ， S 3 3 ，， P n n ， S n n 在同一直线l1上. (2)若过点M1(1，a1)，M2(2，a2)的直线为l2，l1、l2的夹角为
α，tan α 2 4
【解题回顾】本题是直线方程与数列、不等式的一个综合题，关键是把 S n 看成一个等差数列，同时也是关于n的
n 一次函数，进而转化为直线方程.
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误解分析
不能把 S n 灵活变换角度看成关于n的一次函数，进而转化 n
为直线方程是出错的主要原因.
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4.已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，
1).一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上

大纲版数学理科高考总复习7-2两条直线的位置关系

解：解法一：设直线 l 的方程为 y－2＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＋2＝0. 由题意知|2k－k32＋＋k1＋2|＝|－4k－k25＋＋1k＋2|，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－13. ∴直线 l 的方程为 y－2＝－13(x＋1)，即 x＋3y－5＝0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x＝－1，也符合题意．
• y＝(a＋2)x＋1⇔(a＋2)x－y＋1＝0.
• ∵两直线垂直，
• ∴a(x＋2)＋(－1)(－1)＝0.
• 题型一两条直线的位置关系
• 典例1 已知两直线l1：x＋m2y＋6＝0， l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，当m为何值合【 l当2：．时解mx＝】＝，20，l时1当与∴，mlll1＝21∥：：0lx2时＋(1，4)y相＋l1：交6＝x＋；0，6＝(l220：)，平3y＋行2；＝0(，3)重
• A．1或3
B．1或5
• C．3或5
D．1或2
• 解析：由2(k－3)(4－k)＋2(k－3)＝0，得k＝3或k＝5.
• 经检验，可知它们均满足题意．
• 答案：C
• 4．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
• A．x＋2y－1＝0 ＝0
B ． 2x ＋ y － 1
• C．2x＋y－3＝0 ＝0
由 PP′⊥l，可知 kPP′＝－32＝x0y＋0 5，而 PP′的中点 Q 的坐标为(x0－2 5，y20)， Q 点在 l 上，∴3·x0－2 5－2·y20＋7＝0.
由x0y＋0 5＝－32， 32x0－5－y0＋7＝0，
得xy00＝＝－－11317323，.
根据直线的两点式方程可得 l 的方程为：29x－2y＋33＝0.