高中数学 §4.2.3 直线与圆的方程的应用教案 新人教A版必修2

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高一数学423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2

高一数学423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2

同理可求得过点 A′(-3,-3)的圆 C 的切线方程 3x-4y -3=0 或 4x-3y+3=0,
即为所求光线 m 所在直线的方程.
解题时需注意的问题是:直线的点斜式适用 于斜率存在的情况,由图知此题中,入射光线所在直线应有两 条,若 k 只有一解,应考虑 k 不存在的情况.
2-1.坐标平面上点(7,5)处有一光源,将圆 x2+(y-1)2=1 16
解:∵圆与 y 轴相切,且圆心在直线 x-3y=0 上, 故设圆的方程为(x-3b)2+(y-b)2=9b2.
又∵直线 y=x 截圆得弦长为 2 7, 则由垂径定理有|3b-2 b|2+( 7)2=9b2, 解得 b=±1. 故所求圆方程为
(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9.
2.弦长问题: 圆的弦长的计算:常用弦心距 d,弦长的一半12a 及圆的半 径 r 所构成的直角三角形来解:r2=d2+(12a)2.
弦长问题 例 1:根据下列条件求圆的方程:与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 .
思维突破:研究圆的问题,既要理解代数方法,熟练运用解 方程思想,又要重视几何性质及定义的运用.
关于圆的弦长问题,可用几何法从半径、 弦心距、半弦所组成的直角三角形求解,也可用代数法弦长公 式求解.
1-1.一直线经过点 P-3,-23被圆 x2+y2=25 截得的弦 长为 8, 求此弦所在直线方程.
解:当斜率 k 存在时,设所求方程为 y+32=kx+3,即 kx -y+3k-32=0.
由已知,弦心距OM= 52-42=3,
由点到直线的距离公式,得
|2-0+b|= 2
3,即 b=-2±
6,

高中数学第4章圆的方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式课件新人教A版必修2

高中数学第4章圆的方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式课件新人教A版必修2

设点 P(a,b,c)为空间直角坐标系中的点,则
对称轴(或中心或平面) 点 P 的对称点坐标
原点
(-a,-b,-c)
x轴
(a,-b,-c)
y轴
(-a,b,-c)
z轴
(-a,-b,c)
xOy 平面
(a,b,-c)
yOz 平面
(-a,b,c)
xOz 平面
(a,-b,c)
关于谁谁不变,其它变相反
3.空间两点间的距离公式
『规律方法』 确定点(x0,y0,z0)的位置的四种方法 方法一 确定点(x0,y0,z0)的位置,可以通过从原点出发先沿x轴移动|x0|个 单位长度,再沿y轴移动|y0|个单位长度,然后沿z轴移动|z0|个单位长度得到. 注意:沿坐标轴正向还是负向移动由x0,y0,z0的符号决定. 方法二 在x轴上找出点M1(x0,0,0),过点M1作与x轴垂直的平面α;再在y轴 上 找 出 点 M2(0 , y0,0) , 过 点 M2 作 与 y 轴 垂 直 的 平 面 β ; 最 后 在 z 轴 上 找 出 点 M3(0,0,z0),过点M3作与z轴垂直的平面γ,于是平面α,β,γ交于一点,该点即 所求点(x0,y0,z0).
平面上任意两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)之间的距离公式|AB|= x1-x22+y1-y22, 那么空间中任意两点 A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)之间的距离公式是怎样的呢?
1.空间直角坐标系
定义 画法
以空间中两两__垂__直____且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z 轴,这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标 __原__点____,x轴、y轴、z轴叫做_坐__标__轴___.通过每两个坐标轴的平面叫做 _坐__标__平__面_,分别称为xOy平面、yOz平面、__z_O_x____平面

人教A版高中数学必修二《圆的一般方程》教学设计

人教A版高中数学必修二《圆的一般方程》教学设计

《4.1.2圆的一般方程》教学设计一、教材分析《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时.圆作为常见的简单几何图形,在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识,是研究二次曲线的开始,对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习,无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义,所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.二、目标分析知识与技能:(1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点(2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程,进而求出圆心和半径(3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程过程与方法:(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力;(2)加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用,认识研究问题中由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想,充分了解分类思想在数学中的重要地位,强化学生的观察,思考能力。

(3)增强学生应用数学的意识.情感,态度与价值观:(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识;(2)培养学生勇于思考,探究问题的精神。

(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.教学重点: (1).圆的一般方程。

(2).待定系数法求圆的方程。

教学难点: (1).圆的一般方程的应用。

(2).待定系数法求圆的方程及选用合适的圆方程。

三、教学内容与过程一、复习引入圆的标准方程为:222()()x a y b r -+-=把圆的标准方程展开,并整理得220x y Dx Ey F ++++=思考:此方程都能表示圆么?二、课堂探究观察下列各式,先将它们分别配方,然后分析它们是否表示圆?(设计意图)通过对这两个问题的探究,.一方面引导学生22(1)2410+-++=x y x y 22(2)2460+--+=x y x y回顾了旧知,另一方面,抓住了学生的注意力,把学生的思维引到研究圆的方程上来,激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识,不但易于保持,而且易于迁移。

人教版高中数学必修2《直线与圆的位置关系》教案

人教版高中数学必修2《直线与圆的位置关系》教案
本节课教学难点:理解可以通过直线与圆的方程所组成的方程组的解来确定它们的位置关系.
四、教学过程设计
解析几何就是用代数方法研究几何图形,当然也要研究几何图形的位置关系,直线与直线的位置关系已经研究清楚,这节课我们研究直线与圆的位置关系。
1.问题情境
问题1.直线与圆的位置关系有几种?在平面几何中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?
师生活动:学生解答,解释出错原因。
6.课堂小结
问题9判断直线与圆的位置关系有哪些方法?
问题10当直线与圆相交时,如何求弦长?
设计意图:巩固所学知识,培养学生归纳概括能力.
师生活动:学生思考,教师引导时应涉及到“如何求弦长”以及判断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的步骤是什么?
人教版高中数学必修2《直线与圆的位置关系》教案这篇文章共11261字。
(2)通过消元,得到一个一元二次方程;
(3)求出其判别式△的值;
(4)判断△的符号:
若△>0,则直线与圆相交;
若△=0,则直线与圆相切;
若△<0,则直线与圆相离.
4.例题示范
例1如图,已知直线:和圆心为的圆,
(1)判断直线与圆的位置关系;
(2)如果相交,求它们交点的坐标.
设计意图:通过例题巩固判断直线与圆的位置关系方法,关注量与量之间的关系.使学生体验用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论.
4.当直线与圆有公共点时,能通过联解方程组得出直线与圆的公共点的坐标.
5.当直线与圆相交时,会求圆的弦长,以及能解决与弦长相关的简单问题.
6.通过直线与圆的位置关系的代数化处理,使学生进一步认识到坐标系是联系“数”与“形”的桥梁,从而更深刻地体会坐标法思想.
教学应对
三、教学问题诊断

人教版高中数学必修二 4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用 学案+课时训练

人教版高中数学必修二 4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用 学案+课时训练

人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.(重点、易错点)2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分,完成下列问题.1.几何法:若两圆的半径分别为r1、r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|0≤d<|r1-r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ=0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是()A.外离B.相交C.内切D.外切[解析]两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的圆心分别为(0,0)和(4,-3),半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d=42+(-3)2=5.又4-3<5<3+4,故两圆相交.[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分,完成下列问题.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A.1.4米B.3.5米C.3.6米D.2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系.如图,设蓬顶距地面高度为h,则A(0.8,h-3.6).半圆所在圆的方程为:x2+(y+3.6)2=3.62,把A(0.8,h-3.6)代入得0.82+h2=3.62,∴h=40.77≈3.5(米).[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时,两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0相交、相切、相离?[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1-r2|和r1+r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程,C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.圆C1的圆心为C1(-2,3),半径r1=1;圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2=50-k(k<50).从而|C1C2|=(-2-1)2+(3-7)2=5.当1+50-k=5,k=34时,两圆外切.当|50-k-1|=5,50-k=6,k=14时,两圆内切.当|r2-r1|<|C1C2|<r2+r1,即14<k<34时,两圆相交.当1+50-k<5或|50-k-1|>5,即0≤k<14或34<k<50时,两圆相离.1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤:(1)化成圆的标准方程,写出圆心和半径;(2)计算两圆圆心的距离d;(3)通过d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围,必要时可借助于图形,数形结合.2.应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的,要理清圆心距与两圆半径的关系.1.已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为:(1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含.[解]圆C1,C2的方程,经配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,∴圆心C 1(a,1),C 2(2a,1),半径r 1=4,r 2=1.∴|C 1C 2|=(a -2a )2+(1-1)2=a .(1)当|C 1C 2|=r 1+r 2=5,即a =5时,两圆外切;当|C 1C 2|=r 1-r 2=3,即a =3时,两圆内切.(2)当3<|C 1C 2|<5,即3<a <5时,两圆相交.(3)当|C 1C 2|>5,即a >5时,两圆外离.(4)当|C 1C 2|<3,即a <3时,两圆内含.考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2-2x -2y +1=0的公共弦所在直线被圆C 3:(x -1)2+(y -1)2=254所截得的弦长. [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长=2r 2-d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2+y 2=1,x 2+y 2-2x -2y +1=0的解, 两式相减得x +y -1=0.因为A ,B 两点的坐标满足 x +y -1=0,所以AB 所在直线方程为x +y -1=0,即C 1,C 2的公共弦所在直线方程为x +y -1=0,圆C 3的圆心为(1,1),其到直线AB 的距离d =12,由条件知r 2-d 2=254-12=234,所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232=23.1.圆系方程一般地过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x2.求两圆x 2+y 2-2x +10y -24=0和x 2+y 2+2x +2y -8=0的公共弦所在直线的方程及公共弦长.[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2+y 2-2x +10y -24=0,x 2+y 2+2x +2y -8=0,两式相减得x -2y +4=0,此为两圆公共弦所在直线的方程.法一:设两圆相交于点A ,B ,则A ,B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x -2y +4=0,x 2+y 2+2x +2y -8=0,解得⎩⎨⎧ x =-4,y =0或⎩⎨⎧x =0,y =2.所以|AB |=(-4-0)2+(0-2)2=25,即公共弦长为2 5.法二:由x 2+y 2-2x +10y -24=0,得(x -1)2+(y +5)2=50,其圆心坐标为(1,-5),半径长r =52,圆心到直线x -2y +4=0的距离为d =|1-2×(-5)+4|1+(-2)2=3 5. 设公共弦长为2l ,由勾股定理得r 2=d 2+l 2,即50=(35)2+l 2,解得l =5,故公共弦长2l =2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x -2)2+(y +3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗?[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2,-3)到直线x-y+2=0的距离减去圆的半径2,即|2+3+2|12+(-1)2-2=722-2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,请建立适当的坐标系,用坐标法求B城市处于危险区内的时间.[分析]如图,以A为原点,以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.射线AC为∠xAy的平分线,则台风中心在射线AC上移动.则点B到AC的距离为202千米,则射线AC被以B为圆心,以30千米为半径的圆截得的弦长为2302-(202)2=20(千米).所以B城市处于危险区内的时间为t=2020=1(小时).[典例3] 为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1),它的附近有一条公路,从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7 km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,求DE的最短距离.图4-2-1[分析]建立适当坐标系,求出圆O的方程和直线BC的方程,再利用直线与圆的位置关系求解.[解答]以O为坐标原点,过OB,OC的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,则圆O的方程为x2+y2=1,因为点B(8,0),C(0,8),所以直线BC的方程为x8+y8=1,即x+y=8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时,DE为最短距离.此时DE长的最小值为|0+0-8|2-1=(42-1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3.一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?[解] 以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图),其中取10 km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9,港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),则轮船航线所在直线l的方程为x7+y4=1,即4x+7y-28=0.圆心(0,0)到航线4x+7y-28=0的距离d=|-28|42+72=2865,而半径r=3,∴d>r,∴直线与圆外离,所以轮船不会受到台风的影响.【学习检测巩固提高】1.已知圆C1:(x+1)2+(y-3)2=25,圆C2与圆C1关于点(2,1)对称,则圆C2的方程是()A.(x-3)2+(y-5)2=25 B.(x-5)2+(y+1)2=25C.(x-1)2+(y-4)2=25 D.(x-3)2+(y+2)2=25[解析]设⊙C2上任一点P(x,y),它关于(2,1)的对称点(4-x,2-y)在⊙C1上,∴(x-5)2+(y+1)2=25.[答案] B2.一辆卡车宽1.6 m,要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m),则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m [解析]圆半径OA=3.6,卡车宽1.6,所以AB=0.8,所以弦心距OB= 3.62-0.82≈3.5(m).[答案] B3.圆x2+y2+6x-7=0和圆x2+y2+6y-27=0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2+y2+6x-7=0的圆心为O1(-3,0),半径r1=4,圆x2+y2+6y-27=0的圆心为O 2(0,-3),半径为r 2=6,∴|O 1O 2|=(-3-0)2+(0+3)2=32,∴r 2-r 1<|O 1O 2|<r 1+r 2,故两圆相交.4.已知实数x 、y 满足x 2+y 2=1,则y +2x +1的取值范围为__ [34,+∞) __. [解析] 如右图所示,设P (x ,y )是圆x 2+y 2=1上的点,则y +2x +1表示过P (x ,y )和Q (-1,-2)两点的直线PQ 的斜率,过点Q 作圆的两条切线QA ,QB ,由图可知QB ⊥x 轴,k QB 不存在,且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ,则它的方程为y +2=k (x +1),由圆心到QA 的距离为1,得|k -2|k 2+1=1,解得k =34.所以y +2x +1的取值范围是[34,+∞). 5.求以圆C 1:x 2+y 2-12x -2y -13=0和圆C 2:x 2+y 2+12x +16y -25=0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一:联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2+y 2-12x -2y -13=0x 2+y 2+12x +16y -25=0, 相减得公共弦所在直线方程为4x +3y -2=0.再由⎩⎨⎧4x +3y -2=0x 2+y 2-12x -2y -13=0, 联立得两圆交点坐标(-1,2)、(5,-6).∵所求圆以公共弦为直径,∴圆心C 是公共弦的中点(2,-2),半径为12(5+1)2+(-6-2)2=5. ∴圆C 的方程为(x -2)2+(y +2)2=25.解法二:由解法一可知公共弦所在直线方程为4x +3y -2=0.设所求圆的方程为x 2+y 2-12x -2y -13+λ(x 2+y 2+12x +16y -25)=0(λ为参数).可求得圆心C (-12λ-122(1+λ),-16λ-22(1+λ)). ∵圆心C 在公共弦所在直线上,∴4·-(12λ-12)2(1+λ)+3·-(16λ-2)2(1+λ)-2=0, 解得λ=12.∴圆C 的方程为x 2+y 2-4x +4y -17=0.人教版高中数学必修二第4章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1.圆x 2+y 2-2x -5=0和圆x 2+y 2+2x -4y -4=0的交点为A 、B ,则线段AB 的垂直平分线方程为( )A .x +y -1=0B .2x -y +1=0C .x -2y +1=0D .x -y +1=0[解析] 解法一:线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ,由圆心C 1(1,0),C 2(-1,2),得l 方程为x +y -1=0.解法二:直线AB 的方程为:4x -4y +1=0,因此线段AB 的垂直平分线斜率为-1,过圆心(1,0),方程为y =-(x -1),故选A .[答案] A2.圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2-4y =0的位置关系为( )A .外离B .相交C .外切D .内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0),半径长r 1=1;圆O 2的圆心坐标为(0,2), 半径长r 2=2;1=r 2-r 1<|O 1O 2|=5<r 1+r 2=3,即两圆相交.[答案] B3.若圆(x -a )2+(y -b )2=b 2+1始终平分圆(x +1)2+(y +1)2=4的周长,则a 、b应满足的关系式是()A.a2-2a-2b-3=0 B.a2+2a+2b+5=0C.a2+2b2+2a+2b+1=0 D.3a2+2b2+2a+2b+1=0[解析]利用公共弦始终经过圆(x+1)2+(y+1)2=4的圆心即可求得.两圆的公共弦所在直线方程为:(2a+2)x+(2b+2)y-a2-1=0,它过圆心(-1,-1),代入得a2+2a+2b+5=0.[答案] B4.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程是()A.(x-5)2+(y+7)2=25 B.(x-5)2+(y+7)2=9C.(x-5)2+(y+7)2=15 D.(x+5)2+(y-7)2=25[解析]设动圆圆心为P(x,y),则(x-5)2+(y+7)2=4+1,∴(x-5)2+(y+7)2=25.[答案] A5.两圆x2+y2=16与(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0)在交点处的切线互相垂直,则r =()A.5B.4C.3D.2 2 [解析]设一个交点P(x0,y0),则x20+y20=16,(x0-4)2+(y0+3)2=r2,∴r2=41-8x0+6y0,∵两切线互相垂直,∴y0x0·y0+3x0-4=-1,∴3y0-4x0=-16.∴r2=41+2(3y0-4x0)=9,∴r=3.[答案] C6.半径长为6的圆与y轴相切,且与圆(x-3)2+y2=1内切,则此圆的方程为()A.(x-6)2+(y-4)2=6 B.(x-6)2+(y±4)2=6C.(x-6)2+(y-4)2=36 D.(x-6)2+(y±4)2=36[解析]半径长为6的圆与x轴相切,设圆心坐标为(a,b),则a=6,再由b2+32=5可以解得b=±4,故所求圆的方程为(x-6)2+(y±4)2=36.7.已知M 是圆C :(x -1)2+y 2=1上的点,N 是圆C ′:(x -4)2+(y -4)2=82上的点,则|MN |的最小值为( )A .4B .42-1C .22-2D .2[解析] ∵|CC ′|=5<R -r =7,∴圆C 内含于圆C ′,则|MN |的最小值为R -|CC ′|-r =2.[答案] D8.过圆x 2+y 2=4外一点M (4,-1)引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为( )A .4x -y -4=0B .4x +y -4=0C .4x +y +4=0D .4x -y +4=0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2+y 2-4x +y =0,经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线,将两圆的方程相减得4x -y -4=0,这就是经过两切点的直线方程.[答案] A9.已知两圆相交于两点A (1,3),B (m ,-1),两圆圆心都在直线x -y +c =0上,则m +c 的值是( )A .-1B .2C .3D .0 [解析] 两点A ,B 关于直线x -y +c =0对称,k AB =-4m -1=-1. ∴m =5,线段AB 的中点(3,1)在直线x -y +c =0上,∴c =-2,∴m +c =3.[答案] C10.已知圆M :x 2+y 2-2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是22,则圆M 与圆N :(x -1)2+(y -1)2=1的位置关系是( )A .内切B .相交C .外切D .相离[解析] 由题知圆M :x 2+(y -a )2=a 2,圆心(0,a )到直线x +y =0的距离d =a 2,所以2a 2-a 22=22,解得a =2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |=2,两圆半径之差为1、半径之和为3,故两圆相交.二、填空题11.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为23,则a=.[解析]两个圆的方程作差,可以得到公共弦的直线方程为y=1a,圆心(0,0)到直线y=1a的距离d=|1a|,于是由(232)2+|1a|2=22,解得a=1.[答案] 112.圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9与圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4外切,则m的值为________.[解析]C1(m,-2),r1=3,C2(-1,m),r2=2,由题意得|C1C2|=5,即(m+1)2+(m+2)2=25,解得m=2或m=-5.[答案]2或-513.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是.[解析]∵点A(a,b)在圆x2+y2=4上,∴a2+b2=4.又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,则d=|C1C2|=a2+b2=4=2,∴d=r1+r2.∴两圆外切.[答案]外切14.与直线x+y-2=0和圆x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x-6)2+(y-6)2=18,则过圆心(6,6)且与直线x+y -2=0垂直的方程为x-y=0.方程x-y=0分别与直线x+y-2=0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(-3,-3).由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间,故所求圆的圆心为(2,2),半径为2,即圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.[答案](x-2)2+(y-2)2=215.判断下列两圆的位置关系.(1)C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0;(2)C1:x2+y2-2y=0,C2:x2+y2-23x-6=0;(3)C1:x2+y2-4x-6y+9=0,C2:x2+y2+12x+6y-19=0;(4)C1:x2+y2+2x-2y-2=0,C2:x2+y2-4x-6y-3=0. [解析](1)∵C1:(x-1)2+y2=4,C2:(x-2)2+(y+1)2=2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0),半径r1=2,圆C2的圆心坐标为(2,-1),半径r2=2,d=|C1C2|=(2-1)2+(-1)2= 2.∵r1+r2=2+2,r1-r2=2-2,∴r1-r2<d<r1+r2,两圆相交.(2)∵C1:x2+(y-1)2=1,C2:(x-3)2+y2=9,∴圆C1的圆心坐标为(0,1),r1=1,圆C2的圆心坐标为(3,0),r2=3,d=|C1C2|=3+1=2.∵r2-r1=2,∴d=r2-r1,两圆内切.(3)∵C1:(x-2)2+(y-3)2=4,C2:(x+6)2+(y+3)2=64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3),半径r1=2,圆C2的圆心坐标为(-6,-3),半径r2=8,∴|C1C2|=(2+6)2+(3+3)2=10=r1+r2,∴两圆外切.(4)C1:(x+1)2+(y-1)2=4,C2:(x-2)2+(y-3)2=16,∴圆C1的圆心坐标为(-1,1),半径r1=2,圆C2的圆心坐标为(2,3),半径r2=4,∴|C1C2|=(2+1)2+(3-1)2=13.∵|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,∴两圆相交.16.求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程.[解] 法一:解方程组⎩⎨⎧x 2+y 2+6x -4=0,x 2+y 2+6y -28=0, 得两圆的交点A (-1,3),B (-6,-2).设所求圆的圆心为(a ,b ),因为圆心在直线x -y -4=0上,故b =a -4. 则有(a +1)2+(a -4-3)2 =(a +6)2+(a -4+2)2,解得a =12,故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-72, 半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12+12+⎝ ⎛⎭⎪⎫-72-32=892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +722=892,即x 2+y 2-x +7y -32=0. 法二:∵圆x 2+y 2+6y -28=0的圆心(0,-3)不在直线x -y -4=0上,故可设所求圆的方程为x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2+6y -28)=0(λ≠-1),其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫-31+λ,-3λ1+λ,代入x -y -4=0,求得λ=-7. 故所求圆的方程为x 2+y 2-x +7y -32=0.17.已知圆M :x 2+y 2-2mx -2ny +m 2-1=0与圆N :x 2+y 2+2x +2y -2=0交于A 、B 两点,且这两点平分圆N 的圆周,求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减,得公共弦AB 所在的直线方程为2(m +1)x +2(n +1)y -m 2-1=0,由于A 、B 两点平分圆N 的圆周,所以A 、B 为圆N 直径的两个端点,即直线AB 过圆N 的圆心N ,而N (-1,-1),所以-2(m +1)-2(n +1)-m 2-1=0,即m 2+2m +2n +5=0,即(m +1)2=-2(n +2)(n ≤-2),由于圆M 的圆心M (m ,n ),从而可知圆心M 的轨迹方程为(x +1)2=-2(y +2)(y ≤-2).18.已知圆O :x 2+y 2=1和定点A (2,1),由圆O 外一点P (a ,b )向圆O 引切线PQ ,切点为Q ,|PQ |=|P A |成立,如图.(1)求a,b间的关系;(2)求|PQ|的最小值.[解析](1)连接OQ,OP,则△OQP为直角三角形,又|PQ|=|P A|,所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2=1+|P A|2,所以a2+b2=1+(a-2)2+(b-1)2,故2a+b-3=0.(2)由(1)知,P在直线l:2x+y-3=0上,所以|PQ|min=|P A|min,为A到直线l的距离,所以|PQ|min=|2×2+1-3|22+12=255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1.已知实数x、y满足x2+y2-2x+4y-20=0,则x2+y2的最小值是() A.30-105B.5-5C.5D.25[解析]x2+y2为圆上一点到原点的距离.圆心到原点的距离d=5,半径为5,所以最小值为(5-5)2=30-10 5.[答案] A2.圆x2+y2-2x-5=0和圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A、B,则线段AB 的垂直平分线方程为()A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(-1,2)连线所在直线,故由y-02-0=x-1-1-1,得x+y-1=0.[答案] A3.方程y=-4-x2对应的曲线是()[解析]由方程y=-4-x2得x2+y2=4(y≤0),它表示的图形是圆x2+y2=4在x轴上和以下的部分.[答案] A4.y=|x|的图象和圆x2+y2=4所围成的较小的面积是()A.π4B.3π4C.3π2D.π[解析]数形结合,所求面积是圆x2+y2=4面积的1 4.[答案] D5.方程1-x2=x+k有惟一解,则实数k的范围是()A.k=-2B.k∈(-2,2)C.k∈[-1,1)D.k=2或-1≤k<1[解析]由题意知,直线y=x+k与半圆x2+y2=1(y≥0只有一个交点.结合图形易得-1≤k<1或k= 2.[答案] D6.点P是直线2x+y+10=0上的动点,直线P A、PB分别与圆x2+y2=4相切于A、B两点,则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A .24B .16C .8D .4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S =2×12|P A |×|OA |=2OP 2-OA 2=2OP 2-4,∴当直线OP 垂直直线2x +y +10=0时,其面积S 最小.[答案] C7.已知圆C 的方程是x 2+y 2+4x -2y -4=0,则x 2+y 2的最大值为( )A .9B .14C .14-65D .14+6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x +2)2+(y -1)2=9,圆心为C (-2,1),半径为3.|OC |=5,圆上一点(x ,y )到原点的距离的最大值为3+5,x 2+y 2表示圆上的一点(x ,y )到原点的距离的平方,最大值为(3+5)2=14+6 5.[答案] D8.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l 1:ax +3y +6=0,l 2:2x +(a +1)y +6=0与圆C :x 2+y 2+2x =b 2-1(b >0)的位置关系是“平行相交”,则实数b 的取值范围为( )A .(2,322)B .(0,322)C .(0,2)D .(2,322)∪(322,+∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x +1)2+y 2=b 2.由两直线平行,可得a (a +1)-6=0,解得a =2或a =-3.当a =2时,直线l 1与l 2重合,舍去;当a =-3时,l 1:x -y -2=0,l 2:x -y +3=0.由l 1与圆C 相切,得b =|-1-2|2=322,由l 2与圆C 相切,得b =|-1+3|2= 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时,b < 2.所以,当l 1、l 2与圆C “平行相交”时,b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2,b ≠322,故实数b 的取值范围是(2,322)∪(322,+∞).[答案] D9.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.106B.206C.306D.40 6 [解析]圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为252-12=46,所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD=12×10×46=20 6.[答案] B10.在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为()A.4π5B.3π4C.(6-25)πD.5π4[解析]原点O到直线2x+y-4=0的距离为d,则d=45,点C到直线2x+y-4=0的距离是圆的半径r,由题知C是AB的中点,又以斜边为直径的圆过直角顶点,则在直角△AOB中,圆C过原点O,即|OC|=r,所以2r≥d,所以r最小为25,面积最小为4π5,故选A.[答案] A二、填空题11.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A、B两点,则直线AB 的方程是________.[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线,因此该直线方程为:x2+y2-10-[(x-1)2+(y-3)2-20]=0,即x+3y=0.[答案]x+3y=012.已知M={(x,y)|y=9-x2,y≠0},N={(x,y)|y=x+b},若M∩N≠∅,则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法,注意y =9-x 2,y ≠0等价于x 2+y 2=9(y >0),它表示的图形是圆x 2+y 2=9在x 轴之上的部分(如图所示).结合图形不难求得,当-3<b ≤32时,直线y =x +b 与半圆x 2+y 2=9(y >0)有公共点.[答案] (-3,32]13.某公司有A 、B 两个景点,位于一条小路(直道)的同侧,分别距小路 2 km 和2 2 km ,且A 、B 景点间相距2 km ,今欲在该小路上设一观景点,使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果,则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大.由平面几何知识,该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点,以小路所在直线为x 轴,过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系.由题意,得A (2,2)、B (0,22),设圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=b 2.由A 、B 在圆上,得⎩⎨⎧ a =0b =2,或⎩⎨⎧a =42b =52,由实际意义知⎩⎨⎧ a =0b =2.∴圆的方程为x 2+(y -2)2=2,切点为(0,0),∴观景点应设在B 景点在小路的投影处.[答案] B 景点在小路的投影处14.设集合A ={(x ,y )|(x -4)2+y 2=1},B ={(x ,y )|(x -t )2+(y -at +2)2=1},若存在实数t ,使得A ∩B ≠∅,则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合,即A 、B 表示两个圆,A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点),由于两圆半径都是1,因此两圆圆心距不大于半径之和2,即(t -4)2+(at -2)2≤2,整理成关于t 的不等式:(a 2+1)t 2-4(a +2)t +16≤0,据题意此不等式有实解,因此其判别式不小于零,即Δ=16(a +2)2-4(a 2+1)×16≥0,解得0≤a ≤43. [答案] [0,43]三、解答题15.为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图),它的附近有一条公路,从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ,接着向东再走7 km 到达公路上的点B ;从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ,修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ,求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点,过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴,建立平面直角坐标系,则圆O 的方程为x 2+y 2=1,因为点B (8,0)、C (0,8),所以直线BC 的方程为x 8+y 8=1,即x +y =8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时,DE 为最短距离,此时DE 的最小值为|0+0-8|2-1=(42-1)km. 16.某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB 是36 m ,拱高OP 是6 m ,在建造时,每隔3 m 需用一个支柱支撑,求支柱A 2P 2的长.(精确到0.01 m)[解析] 如图,以线段AB 所在的直线为x 轴,线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系,那么点A 、B 、P 的坐标分别为(-18,0)、(18,0)、(0,6).设圆拱所在的圆的方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.因为A 、B 、P 在此圆上,故有⎩⎨⎧ 182-18D +F =0182+18D +F =062+6E +F =0,解得⎩⎨⎧ D =0E =48F =-324.故圆拱所在的圆的方程是x 2+y 2+48y -324=0.将点P 2的横坐标x =6代入上式,解得y =-24+12 6.答:支柱A 2P 2的长约为126-24 m.17.如图,已知一艘海监船O 上配有雷达,其监测范围是半径为25 km 的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发,径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿,速度为28 km/h.问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长?(要求用坐标法)[解析]如图,以O为原点,东西方向为x轴建立直角坐标系,则A(40,0),B(0,30),圆O方程x2+y2=252.直线AB方程:x40+y30=1,即3x+4y-120=0.设O到AB距离为d,则d=|-120|5=24<25,所以外籍轮船能被海监船监测到.设监测时间为t,则t=2252-24228=12(h)答:外籍轮船能被海监船监测到,时间是0.5 h.18.已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道?假设货车的最大宽度为a m,那么要正常驶入该隧道,货车的限高为多少?[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,那么半圆的方程为:x2+y2=16(y≥0).将x=2.7代入,得y=16-2.72=8.71<3,所以,在离中心线2.7 m处,隧道的高度低于货车的高度,因此,货车不能驶入这个隧道.将x=a代入x2+y2=16(y≥0)得y=16-a2.所以,货车要正常驶入这个隧道,最大高度(即限高)为16-a2m.。

人教课标版高中数学必修二《圆与圆的位置关系》教案-新版

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4.2.2 圆与圆的位置关系(一)核心素养通过学习圆与圆的位置关系,掌握解决问题的方法――代数法、几何法. (二)学习目标1.明确两个圆之间的五种位置关系.2.能根据给定的两个圆的方程判断两个圆的位置关系.3.两圆相交时的公共弦方程及弦长计算.(三)学习重点圆与圆的位置关系及其判断方法.(四)学习难点1.用圆的方程解决问题.2.用几何法和代数法判断两圆之间的位置关系.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务(1)读一读:阅读教材,明确:圆与圆的五种位置关系——外离、外切、相交、内切、内含的几何含义是:(2)记一记:直线与圆的位置关系的判断方法 方法一:几何方法设两圆的圆心距d ,半径12,r r ,则: ①当12d r r >+时,圆1C 与圆2C 相离; ②当12d r r =+时,圆1C 与圆2C 外切; ③当<-||21r r 12d r r <+时,圆1C 与圆2C 相交; ④当12||d r r =-时,圆1C 与圆2C 内切; ⑤当12||d r r <-时,圆1C 与圆2C 内含;步骤:①计算两圆半径12,r r ;②计算两圆圆心距d ;③根据d 与12,r r 的关系判断两圆的位置关系. 方法二:代数方法方程组22111222220x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩ 有两组不同实数解⇔相交;有两组相同实数解⇔相切(内切或外切);无实数解⇔相离(外离或内含). 2.预习自测(1)根据图片说出圆与圆之间的位置关系.【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合【解题过程】根据图像和定义直接得出结果 【思路点拨】看两圆交点个数【答案】(图一至图六依次为)外离、内含、内含、外切、内切、相交. (2)判断下列两圆的位置关系()()12222=-++y x 与()()165222=-+-y x .【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合 ()()221222255r r --+-==+,所以两圆外切.【思路点拨】看圆心距和半径间的关系 【答案】外切. (二)课堂设计 1.知识回顾(1)直线与圆的位置关系:相离、相交、相切;(2)判断直线与圆的位置关系的方法:根据圆心到直线的距离;根据直线的方程和圆的方程组成方程组的实数解的个数; (3)与圆相切的直线方程的计算方法. 2.问题探究探究一 圆与圆的位置关系★●活动① 明确概念我们知道根据圆心到直线距离的长度与圆半径长度的比较之后,明确了直线与圆有三种位置关系,分别是:相离、相切和相交. 那么圆与圆之间也同样有这样的关系,我们通过两个圆半径之间与两圆圆心之间距离的长度还有公共点的个数比较来判断两个圆的位置关系:当公共点个数为0时,若21r r d +>,则两圆外离,若21r r d -<,则两圆内含;当公共点个数为1时,若21r r d +=,则两圆外切,若21r r d -=,则两圆内切;当公共点个数为2时,2121r r d r r +<<-,则两圆相交. 【例题】【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合【解题过程】根据图像和定义直接得出结果 【思路点拨】看两圆圆心距和两半径的关系【答案】(图一至图五依次为)外离、外切、相交、内切、内含. 【设计意图】解决数学问题,体会概念与数形结合方法. ●活动② 给定方程,判断位置关系当我们给定两圆的方程,有几种判别两圆位置关系的方法呢?(抢答)首先是代数法:设两个圆的方程组成的方程组为22111222220,0,x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩ 如果方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交; 有两组相同的实数解⇔两圆外切或内切;无实数解⇔ 两圆相离或内含. 其次是几何法:设两圆圆心分别为O 1、O 2,半径为r 1、r 2(r 1≠r 2),则O 1O 2>r 1+r 2⇔相离;O 1O 2=r 1+r 2⇔外切;|r 1-r 2|<O 1O 2<r 1+r 2⇔相交;O 1O 2=|r 1-r 2|⇔内切;O 1O 2<|r 1-r 2|⇔内含.看下面的例题判断两圆07622=-++x y x 与027622=-++y y x 的位置. 【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合、方程思想【解题过程】第一个圆的方程07622=-++x y x 可以改写为()16322=++y x ,第二个圆的方程027622=-++y y x 可以改写为()36322=++y x ,两圆圆心的的距离为()()23030322=-+-半径和为1021=+r r ,半径差为122r r -=,故两圆相交.【思路点拨】看两圆圆心距和两半径的关系 【答案】相交.【设计意图】通过对概念理解和计算方法的运用,加深对圆与圆位置关系的理解. 探究二 两圆相交时的公共弦方程及弦长计算 ●活动① 根据图像判断公切线的条数在直线与圆的位置关系一节中我们探究了在圆内、圆上、圆外一点做圆的切线的问题,发现在圆内没有切线、在圆上有一条切线、在圆外有两条切线. 同理我们可以探究两圆的位置关系,再以此判断两圆的公切线的条数. 那么大家可以总结出来吗?(抢答)总结公切线条数如下:若两圆外离,两圆有四条公切线;相交,两圆有两条公切线;若两圆外切,两圆有三条公切线;若两圆内切,两圆有一条公切线;若两圆内含,两圆没有公切线.●活动② 给定两圆的方程,判断公切线的条数我们想要判定公切线的条数首先需要我们判定两圆位置关系.【例题】判断两圆07622=-++x y x 与027622=-++y y x 的公切线条数. 【知识点】圆与圆位置关系、公切线【数学思想】数形结合【解题过程】2211(3)16,(3,0),4x y o r ++=-=,2221(3)36,(0,3),6x y o r ++=-=122121210o o r r r r =-=<<+=则,则两圆相交,所以有2条公切线 【思路点拨】两圆的位置关系是相交 【答案】2●活动③ 过两圆交点的圆系方程的应用当两圆相交时,两圆有两个交点,这两个交点所在直线就是一条公共弦,那么这条弦的方程该如何计算呢?(举手回答)法一:联立两圆方程求出两圆交点,并用两点式求出直线方程. 法二:两圆相交,则两圆相减的方程为公共弦方程.例1 圆224410x y x y ++--=与圆222130x y x ++-=相交于,P Q 两点,求直线PQ 的方程.【知识点】圆与圆位置关系、公共弦问题 【数学思想】方程思想【解题过程】两圆的公共弦方程就是两式相减的直线方程,22(441)x y x y ++---22(213)0x y x ++-=可得260x y -+=【思路点拨】两圆方程相减得出一条直线 【答案】260x y -+=;【同类训练】求以圆1C :22122130x y x y +---=和圆2C :221216250x y x y +++-=公共弦为直径的圆的方程.【知识点】圆与圆位置关系、公共弦问题 【数学思想】方程思想【解题过程】解法一:22221221301216250x y x y x y x y ⎧+---=⎪⎨+++-=⎪⎩相减得公共弦所在直线方程4320x y +-=,再由224320122130x y x y x y +-=⎧⎨+---=⎩联立得两交点坐标()1,2A -、()5,6B -.∵所求圆以AB 为直径,∴圆心是AB 的中心点()2,2M -,圆的半径为152r AB ==.于是圆的方程()()222225x y -++=. 解法二:(使用圆系方程求解:120o o λ+=)设所求圆2212x y x +--()222131216250y x y x y λ-++++-=()λ参数,得圆心()()1212162,2121λλλλ⎛⎫---- ⎪ ⎪++⎝⎭, ∵圆心在公共弦AB 所在直线上,∴()()121216243202121λλλλ⎛⎫⎛⎫--⨯-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,解得12λ=. 故所求圆的方程2244170x y x y +-+-=即()()222225x y -++=. 【思路点拨】圆心在公共弦上 【答案】2244170x y x y +-+-= 探究三 两圆位置关系中的参数问题 ●活动① 已知两圆位置关系,求参数范围同直线与圆位置关系一样,我们在圆与圆位置关系的题目中同样涉及到参数的求解问题,接下来就根据这一道例题来掌握这一类问题中使用的代数思想. 例2 m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相交,求实数m 的范围. 【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合、方程不等式【解题过程】圆0118622=--++y x y x 改写为()()364322=-++y x ,则两圆圆心距离为5,使得两圆相交,则6562121+=+<<-=-m r r m r r ,最终解出.()121,1∈m【思路点拨】根据定义即可 【答案】()121,1∈m 【同类训练】已知圆0542:2221=-++-+m y mx y x C ,圆03222222=-+-++m my x y x C :,当m 为何值时,(1)圆C 1与圆C 2外切;(2)圆C 1与圆C 2内含?【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合、方程不等式【解题过程】对于圆C 1与圆C 2的方程,经配方后()()92221=++-y m x C :;()()41222=-++m y x C :. (1)如果C 1与C 2外切,则有()()232122+=+++m m ,()()252122=+++m m ,01032=-+m m ,解得25=-=m m 或.(2)如果C 1与C 2内含,则有()()232122-<+++m m ,1)2()1(22<+++m m ,0232<++m m ,解得12-<<-m ,∴当25=-=m m 或时,圆C 1与圆C 2外切;当12-<<-m 时,圆C 1与圆C 2内含. 【思路点拨】根据定义建立不等式 【答案】25=-=m m 或;12-<<-m 3.课堂总结 知识梳理(1)两个圆的位置关系一共有五种:外离、外切、相交、内切、内含. (2)给定两圆方程来判断两个圆之间的位置关系可以使用代数方法和几何方法. (3)两圆相交时公共弦所在直线和弦长的计算以及该弦的圆系方程. 重难点归纳(1)圆与圆的位置关系及其判断方法. (2)圆系方程解决问题. (三)课后作业 基础型 自主突破1.两个大小不等的圆,其位置关系有几种?分别是什么? 【知识点】考察几种圆与圆位置关系的定义 【数学思想】归类总结 【解题过程】直接根据定义回答 【思路点拨】根据定义即可【答案】五种,内含、内切、相交、外切、外离2.圆4)2(22=++y x 与圆9)1()2(22=-+-y x 的位置关系为__________.【知识点】两圆方程判断两圆位置 【数学思想】【解题过程】∵两圆的圆心距为17)01()22(22=-++, 又∵231723+<<-,∴两圆相交 【思路点拨】定义 【答案】相交3.已知圆0882221=-+++y x y x C :和 圆0144:222=---+y x y x C ,试判断圆C 1与圆C 2的位置关系.【知识点】已知两圆方程判断两圆位置 【数学思想】【解题过程】圆心距:5335-<<+ 【思路点拨】定义解题 【答案】相交4.若圆222x y m +=与圆2268x y x y ++-110-=相交,求实数m 的取值范围. 【知识点】已知位置关系,求参数范围,不等式 【数学思想】不等式方程思想【解题过程】1122(0,0),;(3,4),6O r m O r =-=,125,O O = 则因为两圆相交,所以656,m m -<<+解得m ∈(11,1)(1,11)--.【思路点拨】使用相交时圆心距离与两圆半径之间的关系来求解 【答案】(11,1)(1,11)--.5.判断两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的位置关系,若相交,请求出其公共弦长 .【知识点】两圆位置关系,弦长 【数学思想】方程思想【解题过程】把两圆改写成222212:(1)1;:(2)4;o x y o x y -+=+-=122112o o -<=<+ ,所以两圆相交,两圆相减可得直线方程为20x y -=,1o d l ===到直线的弦长 【思路点拨】定义解题. 6.两圆2222440,2120x y x y x y x ++-=++-=相交于A ,B 两点,则直线AB 的方程是 .【知识点】两圆相交时求公共弦的方程 【数学思想】方程思想【解题过程】()()0122442222=-++--++x y x y x y x 【思路点拨】两圆方程相减即可 【答案】260x y --=. 能力型 师生共研7.已知01r <<+,则两圆222x y r +=与22(1)(1)2x y -++=的位置关系是 .【知识点】圆与圆的位置关系判别 【数学思想】数形结合【解题过程】两圆心距离为2,与两圆半径和与两圆半径差比较 【思路点拨】定义解题 【答案】相交8.已知圆()22422010x y ax ay a +-++-=与圆224x y +=相切,则a 的值为_________.【知识点】圆与圆的位置关系 【数学思想】方程思想.、分类讨论 【解题过程】圆()22422010x y ax ay a +-++-=改写成222(2)()5(2)x a y a a -+-=-,d =圆心距相切可得22+或者22-解得1a =±.【思路点拨】定义解题,得出方程【答案】1a =±探究型 多维突破9.求过圆221:420C x y x y +-+=和圆222:240C x y y +--=的交点,且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程. 【知识点】过两圆交点的圆系问题【数学思想】方程思想【解题过程】圆方程可设为222242(24)0x y x y x y y λ+-+++--=,求出圆心21(,)11λλλ-++,带入直线:2410l x y +-=可得13λ=,再代入所设方程可得圆的方程为22310x y x y +-+-=【思路点拨】圆系【答案】22310x y x y +-+-=10.已知圆2260x y x +-=与圆22244x y y m +-=-(0)m >,则m = 时,两圆相切.【知识点】两圆位置【数学思想】分类讨论思想【解题过程】 两圆改成2211(3)9,(3,0),3x y o r -+==,22222(2),(0,2),x y m o r m +-==d =圆心距,若外切则3,3;3m m m =+=-=-,解得3m =+【思路点拨】两圆相切分为两种:内切和外切3±自助餐1.已知圆221:2610C x y x y ++-+=,圆222:42110C x y x y +-+-=,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.【知识点】相交两圆的公共弦问题【数学思想】数形结合【解题过程】两圆相减【思路点拨】结论解题【答案】0643=+-y x ;245. 2.已知圆0342:22=+-++y x y x C .若圆Q 与圆C 关于直线03=--y x 对称,求圆Q 的方程;【知识点】圆与圆位置关系的综合运用【数学思想】数形结合【解题过程】(1)将圆的方程化成标准式()()22122=-++y x ,圆心()21,-C ,半径2=r ,圆心()21,-C 关于直线03=--y x 的对称点()45-,Q ,圆Q 半径2=r ,∴圆Q 的方程为()()24522=++-y x . 【思路点拨】圆关于直线对称还是圆【答案】()()24522=++-y x ; 3.已知点(5,4)P ,圆C :2268110x y x y +---=,过P 作圆D ,使C 与D 相切,并且使D 的圆心坐标是正整数,求圆D 的标准方程.【知识点】位置关系、圆的方程【数学思想】分类讨论思想【解题过程】点P 在圆C 内部,所以圆D 与圆C 内切,设圆D ()()222x a y b r -+-=,由点在圆上和两圆内切得到133a r =-,14r ≤≤,讨论r后只有2r =和4满足,圆D 方程为()()22744x y -+-=或()()221416x y -+-=.【思路点拨】在圆与圆的位置关系中有内切和外切两种【答案】()()22744x y -+-=或()()221416x y -+-=.4.圆经过直线240x y ++=与圆222410x y x y ++-+=的两个交点,并且面积最小,求此圆的方程.【知识点】两圆位置关系、圆系方程【数学思想】数形结合【解题过程】抓住直线即为直径【思路点拨】通过圆系方程可知,该直径是公共弦 【答案】221364()()555x y ++-= 5.已知圆1C :222210x y kx k +-+-=和圆2C :2222(1)20x y k y k k +-+++=,则当它们圆心之间的距离最短时,两圆的位置关系如何?【知识点】两圆位置关系、最值【数学思想】函数思想【解题过程】圆1C 的方程可以改写为()122=+-y k x ,圆2C 改写为()()1122=+-+k y x 两圆圆心距离最短时1222++k k ,21-=k ,此时22min =d 【思路点拨】两圆距离最短不仅大于0而且小于2.【答案】两圆的位置关系为相交.6.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆4)1()3(221=-++y x C :和圆4)5()4(222=-+-y x C :.(1)若直线l 过点)04(,A ,且被圆C 1截得的弦长为32,求直线l 的方程;(2)设P 为平面上的点,满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2,它们分别与圆C 1和圆C 2相交,且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标.【知识点】直线与圆、圆与圆位置关系的综合运用【数学思想】数形结合、方程思想【解题过程】(1)由于直线4=x 与圆C 1不相交,所以直线l 的斜率存在 设直线l 的方程为)4(-=x k y ,圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ,因为直线l 被圆C 1截得的弦长为32,所以1)3(222=-=d . 由点到直线的距离公式,得21)43(1k k d +---=,从而0)724(=+k k ,即0=k 或247-=k , 所以直线l 的方程为0=y 或028247=-+y x .(2)设点),(b a P 满足条件,不妨设直线l 1的方程为0),(≠-=-k a x k b y ,则直线l 2的方程为)(1a x kb y --=-. 因为圆C 1和C 2的半径相等,及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等,所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等, 即2211)4(151)3(1kb a k k b a k +--+=+----,整理得bk a k b ak k --+=-++4531, 从而bk a k b ak k --+=-++4531或bk a k b ak k ++--=-++4531, 即3)2(+-=-+a b k b a 或5)8(-+=+-b a k b a ,因为k 的取值有无穷多个,所以⎩⎨⎧=+-=-+0302a b b a 或⎩⎨⎧=-+=+-0508b a b a , 解得5212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或⎪⎩⎪⎨⎧=-=21323b a 这样点P 只可能是点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,251P 或点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,232P . 经检验点P 1和P 2满足题目条件【思路点拨】条件直译【答案】(1)0282470=-+=y x y 或;(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,251P 或点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,232P .。

【人教A版】高中数学必修二:第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.2.1

【人教A版】高中数学必修二:第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.2.1

4.2.1 直线与圆的位置关系[学习目标] 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.知识点一 直线与圆的位置关系及判断思考 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时,二者在侧重点上有什么不同? 答 代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系,只是角度不同,代数法侧重于“数”的计算,几何法侧重于“形”的直观. 知识点二 圆的切线问题 1.求圆的切线的方法(1)求过圆上一点(x 0,y 0)的圆的切线方程:先求切点与圆心的连线的斜率k ,则由垂直关系,知切线斜率为-1k ,由点斜式方程可求得切线方程.如果k =0或k 不存在,则由图形可直接得切线方程为y =y 0或x =x 0. (2)求过圆外一点(x 0,y 0)的圆的切线方程:几何法:设切线方程为y -y 0=k (x -x 0),即kx -y -kx 0+y 0=0.由圆心到直线的距离等于半径,可求得k ,切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时,直线x =x 0是否为圆的切线. 代数法:设切线方程y -y 0=k (x -x 0),即y =kx -kx 0+y 0,代入圆的方程,得到一个关于x 的一元二次方程,由Δ=0求得k ,切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时,直线x =x 0是否为圆的切线. 2.切线段的长度公式(1)从圆外一点P (x 0,y 0)引圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的切线,则P 到切点的切线段长为 d =(x 0-a )2+(y 0-b )2-r 2.(2)从圆外一点P (x 0,y 0)引圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的切线,则P 到切点的切线段长为d =x 20+y 20+Dx 0+Ey 0+F .题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx -y -m -1=0,圆的方程x 2+y 2-4x -2y +1=0.当m 为何值时,圆与直线(1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点.解 方法一 将直线mx -y -m -1=0代入圆的方程化简整理得, (1+m 2)x 2-2(m 2+2m +2)x +m 2+4m +4=0. ∵Δ=4m (3m +4),∴当Δ>0,即m >0或m <-43时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;当Δ=0,即m =0或m =-43时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;当Δ<0,即-43<m <0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.方法二 已知圆的方程可化为(x -2)2+(y -1)2=4, 即圆心为C (2,1),半径r =2.圆心C (2,1)到直线mx -y -m -1=0的距离 d =|2m -1-m -1|1+m 2=|m -2|1+m 2.当d <2,即m >0或m <-43时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;当d =2,即m =0或m =-43时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;当d >2,即-43<m <0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.反思与感悟 直线与圆位置关系判断的三种方法:(1)几何法:由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断. (2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.跟踪训练1 若直线4x -3y +a =0与圆x 2+y 2=100有如下关系:①相交;②相切;③相离.试分别求实数a 的取值范围. 解 方法一 (代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x -3y +a =0,x 2+y 2=100,消去y ,得25x 2+8ax +a 2-900=0. Δ=(8a )2-4×25(a 2-900)=-36a 2+90 000. ①当直线和圆相交时,Δ>0, 即-36a 2+90 000>0,-50<a <50; ②当直线和圆相切时,Δ=0, 即a =50或a =-50; ③当直线和圆相离时,Δ<0, 即a <-50或a >50. 方法二 (几何法)圆x 2+y 2=100的圆心为(0,0),半径r =10, 则圆心到直线的距离d =|a |32+42=|a |5, ①当直线和圆相交时,d <r , 即|a |5<10,-50<a <50; ②当直线和圆相切时,d =r , 即|a |5=10,a =50或a =-50; ③当直线和圆相离时,d >r , 即|a |5>10,a <-50或a >50. 题型二 圆的切线问题例2 过点A (4,-3)作圆(x -3)2+(y -1)2=1的切线,求此切线的方程. 解 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A 在圆外.(1)若所求直线的斜率存在,设切线斜率为k , 则切线方程为y +3=k (x -4).即kx -y -3-4k =0, 因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1, 所以|3k -1-3-4k |k 2+1=1,即|k +4|=k 2+1, 所以k 2+8k +16=k 2+1.解得k =-158.所以切线方程为y +3=-158(x -4),即15x +8y -36=0. (2)若直线斜率不存在,圆心C (3,1)到直线x =4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x =4. 综上,所求切线方程为15x +8y -36=0或x =4.反思与感悟 1.过一点P (x 0,y 0)求圆的切线方程问题,首先要判断该点与圆的位置关系,若点在圆外,切线有两条,一般设点斜式y -y 0=k (x -x 0)用待定系数法求解,但要注意斜率不存在的情况,若点在圆上,则切线有一条,用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率,再由点斜式可直接得切线方程.2.一般地,有关圆的切线问题,若已知切点则用k 1·k 2=-1(k 1,k 2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式,若未知切点则用d =r (d 为圆心到切线的距离,r 为半径)列式.跟踪训练2 圆C 与直线2x +y -5=0相切于点(2,1),且与直线2x +y +15=0也相切,求圆C 的方程.解 设圆C 的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2. 因为两切线2x +y -5=0与2x +y +15=0平行, 所以2r =|15-(-5)|22+12=4 5.所以r =2 5.所以|2a +b +15|22+1=r =25,即|2a +b +15|=10;①|2a +b -5|22+1=r =25,即|2a +b -5|=10.② 又因为过圆心和切点的直线与切线垂直, 所以b -1a -2=12.③联立①②③,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-2,b =-1.故所求圆C 的方程为(x +2)2+(y +1)2=20. 题型三 圆的弦长问题例3 求直线x -3y +23=0被圆x 2+y 2=4截得的弦长.解 方法一 直线x -3yy +23=0和圆x 2+y 2=4的公共点坐标就是方程组⎩⎨⎧x -3y +23=0,x 2+y 2=4的解. 解这个方程组,得⎩⎨⎧x 1=-3,y 1=1,⎩⎪⎨⎪⎧x 2=0,y 2=2. 所以公共点的坐标为(-3,1),(0,2),所以直线x -3y +23=0被圆x 2+y 2=4截得的弦长为(-3-0)2+(1-2)2=2. 方法二 如图,设直线x -3y +23=0与圆x 2+y 2=4交于A ,B 两点,弦AB 的中点为M ,则OM ⊥AB (O 为坐标原点), 所以|OM |=|0-0+23|12+(-3)2= 3.所以|AB |=2|AM |=2OA 2-OM 2 =222-(3)2=2. 反思与感悟求直线与圆相交时弦长的两种方法:(1)几何法:如图1,直线l 与圆C 交于A ,B 两点,设弦心距为d ,圆的半径为r ,弦长为|AB |,则有⎝⎛⎭⎫|AB |22+d 2=r 2. 即|AB |=2r 2-d 2.(2)代数法:如图2所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2 =1+k 2|x 1-x 2| =1+1k2|y 1-y 2|, 其中k 为直线l 的斜率.跟踪训练3 直线x +2y -5+5=0被圆x 2+y 2-2x -4y =0截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.46 答案 C解析圆的方程可化为C:(x-1)2+(y-2)2=5,其圆心为C(1,2),半径r=5.如图所示,取弦AB的中点P,连接CP,则CP⊥AB,圆心C到直线AB的距离d=|CP|=|1+4-5+5|12+22=1.在Rt△ACP中,|AP|=r2-d2=2,故直线被圆截得的弦长|AB|=4.数形结合思想例4直线y=x+b与曲线x=1-y2有且只有一个交点,则b的取值范围是()A.|b|= 2B.-1<b≤1或b=-2C.-1≤b<1D.非以上答案分析曲线x=1-y2变形为x2+y2=1(x≥0),表示y轴右侧(含与y轴的交点)的半圆,直线y=x+b表示一系列斜率为1的直线,利用数形结合思想在同一平面直角坐标系内作出两种图形求解.解析曲线x=1-y2含有限制条件,即x≥0,故曲线并非表示整个单位圆,仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中,画出y=x+b与曲线x=1-y2(就是x2+y2=1,x≥0)的图象,如图所示.相切时,b=-2,其他位置符合条件时需-1<b≤1.故选B.答案B解后反思求解直线与曲线公共点的问题,首先要借助图形进行思考;其次要注意作图的完整准确,使得图形能够反映问题的全部;最后在求解中还要细心缜密,保证计算无误.1.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心答案C解析方法一圆心(0,0)到直线kx-y+1=0的距离d=11+k2≤1<2=r,∴直线与圆相交,且圆心(0,0)不在该直线上.方法二 直线kx -y +1=0恒过定点(0,1),而该点在圆内,故直线与圆相交,且圆心不在该直线上.2.已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案 B解析 ∵点M (a ,b )在圆x 2+y 2=1外,∴a 2+b 2>1. ∴圆心(0,0)到直线ax +by =1的距离d =1a 2+b2<1=r ,则直线与圆的位置关系是相交. 3.平行于直线2x +y +1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ) A.2x -y +5=0或2x -y -5=0 B.2x +y +5=0或2x +y -5=0 C.2x -y +5=0或2x -y -5=0 D.2x +y +5=0或2x +y -5=0 答案 D解析 依题意可设所求切线方程为2x +y +c =0,则圆心(0,0)到直线2x +y +c =0的距离为|c |22+12=5,解得c =±5.故所求切线的直线方程为2x +y +5=0或2x +y -5=0. 4.设A 、B 为直线y =x 与圆x 2+y 2=1的两个交点,则|AB |等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 D解析 直线y =x 过圆x 2+y 2=1的圆心C (0,0), 则|AB |=2.5.过原点的直线与圆x 2+y 2-2x -4y +4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为________. 答案 2x -y =0解析 设所求直线方程为y =kx ,即kx -y =0.由于直线kx -y =0被圆截得的弦长等于2,圆的半径是1,因此圆心到直线的距离等于12-⎝⎛⎭⎫222=0,即圆心(1,2)位于直线kx -y =0上.于是有k -2=0,即k =2,因此所求直线方程是2x -y =0.1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中,几何法要结合圆的几何性质进行判断,一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元,计算量大,不如几何法简捷.2.一般地,在解决圆和直线相交时,应首先考虑圆心到直线的距离,弦长的一半,圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组,消去y ,组成一个一元二次方程,利用方程根与系数的关系表达出弦长l =k 2+1·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=k 2+1|x 1-x 2|.3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时,要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时,切线只有一条;当点在圆外时,切线有两条.一、选择题1.直线l :y -1=k (x -1)和圆x 2+y 2-2y =0的位置关系是( ) A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切 答案 C解析 l 过定点A (1,1),∵12+12-2×1=0,∴点A 在圆上,∵直线x =1过点A 且为圆的切线,又l 斜率存在, ∴l 与圆一定相交,故选C.2.已知直线l 过圆x 2+(y -3)2=4的圆心,且与直线x +y +1=0垂直,则l 的方程是( ) A.x +y -2=0 B.x -y +2=0 C.x +y -3=0 D.x -y +3=0答案 D解析 圆x 2+(y -3)2=4的圆心为点(0,3),又因为直线l 与直线x +y +1=0垂直,所以直线l 的斜率k =1.由点斜式得直线l :y -3=x -0,化简得x -y +3=0.3.已知圆C 与直线x -y =0及x -y -4=0都相切,圆心在直线x +y =0上,则圆C 的方程为( )A.(x +1)2+(y -1)2=2B.(x -1)2+(y +1)2=2C.(x -1)2+(y -1)2=2D.(x +1)2+(y +1)2=2答案 B解析 由条件,知x -y =0与x -y -4=0都与圆相切,且平行,所以圆C 的圆心C 在直线x -y -2=0上.由⎩⎪⎨⎪⎧x -y -2=0,x +y =0,得圆心C (1,-1).又因为两平行线间距离d =42=22,所以所求圆的半径长r =2,故圆C 的方程为(x -1)2+(y +1)2=2.4.过点P (-3,-1)的直线l 与圆x 2+y 2=1相切,则直线l 的倾斜角是( ) A.0° B.45° C.0°或45° D.0°或60° 答案 D解析 设过点P 的直线方程为y =k (x +3)-1,则由直线与圆相切知|3k -1|1+k 2=1,解得k =0或k =3,故直线l 的倾斜角为0°或60°.5.圆x 2+y 2-4x +6y -12=0过点(-1,0)的最大弦长为m ,最小弦长为n ,则m -n 等于( )A.10-27B.5-7C.10-3 3D.5-322答案 A解析 圆的方程x 2+y 2-4x +6y -12=0化为标准方程为(x -2)2+(y +3)2=25. 所以圆心为(2,-3),半径长为5. 因为(-1-2)2+(0+3)2=18<25, 所以点(-1,0)在已知圆的内部, 则最大弦长即为圆的直径,即m =10. 当(-1,0)为弦的中点时,此时弦长最小. 弦心距d =(2+1)2+(-3-0)2=32, 所以最小弦长为2r 2-d 2=225-18=27, 所以m -n =10-27.6.在圆x 2+y 2+2x +4y -3=0上且到直线x +y +1=0的距离为2的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 C解析 圆心为(-1,-2),半径r =22,而圆心到直线的距离d =|-1-2+1|2=2,故圆上有3个点满足题意.7.直线y =kx +3与圆(x -3)2+(y -2)2=4相交于M ,N 两点,若|MN |≥23,则k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤-34,0 B.⎝⎛⎦⎤-∞,-34∪[0,+∞) C.⎣⎡⎦⎤-33,33 D.⎣⎡⎦⎤-23,0 答案 A解析 设圆心为C ,弦MN 的中点为A ,当|MN |=23时,|AC |=|MC |2-|MA |2=4-3=1.∴当|MN |≥23时,圆心C 到直线y =kx +3的距离d ≤1. ∴|3k -2+3|k 2+(-1)2≤1,∴(3k +1)2≤k 2+1. 由二次函数的图象可得 -34≤k ≤0. 二、填空题8.设直线ax -y +3=0与圆(x -1)2+(y -2)2=4相交于A ,B 两点,且弦AB 的长为23,则a =________. 答案 0解析 圆心到直线的距离d =|a -2+3|a 2+1=22-(3)2=1,解得a =0. 9.圆心在直线x -2y =0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为23,则圆C 的标准方程为________. 答案 (x -2)2+(y -1)2=4解析 设圆C 的圆心为(a ,b )(b >0),由题意得a =2b >0,且a 2=(3)2+b 2,解得a =2,b =1.所以所求圆的标准方程为(x -2)2+(y -1)2=4.10.在平面直角坐标系xOy 中,直线x +2y -3=0被圆(x -2)2+(y +1)2=4截得的弦长为________. 答案2555解析 圆心为(2,-1),半径r =2.圆心到直线的距离d =|2+2×(-1)-3|1+4=355,所以弦长为2r 2-d 2=222-(355)2=2555.11.若直线l :y =x +b 与曲线C :y =1-x 2有两个公共点,则b 的取值范围是_______. 答案 [1,2)解析 如图所示,y =1-x 2是一个以原点为圆心,长度1为半径的半圆,y =x +b 是一个斜率为1的直线,要使直线与半圆有两个交点,连接A (-1,0)和B (0,1),直线l 必在AB 以上的半圆内平移,直到直线与半圆相切,则可求出两个临界位置直线l 的b 值,当直线l 与AB 重合时,b =1;当直线l 与半圆相切时,b = 2.所以b 的取值范围是[1,2). 三、解答题12.已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0(m ∈R ). (1)求证不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明 因为l 的方程为(x +y -4)+m (2x +y -7)=0(m ∈R ),所以⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -7=0,x +y -4=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =1, 即l 恒过定点A (3,1).第11页 共11页 因为圆心为C (1,2),|AC |=5<5(半径),所以点A 在圆C 内,从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解 由题意可知弦长最小时,l ⊥AC .因为k AC =-12,所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1),所以l 的方程为2x -y -5=0.13.已知直线l 过点P (1,1)并与直线l 1:x -y +3=0和l 2:2x +y -6=0分别交于点A ,B ,若线段AB 被点P 平分,求:(1)直线l 的方程;(2)以原点O 为圆心且被l 截得的弦长为855的圆的方程. 解 (1)依题意可设A (m ,n ),B (2-m,2-n ), 则⎩⎪⎨⎪⎧ m -n +3=0,2(2-m )+(2-n )-6=0,即⎩⎪⎨⎪⎧m -n =-3,2m +n =0, 解得A (-1,2).又l 过点P (1,1),易得直线AB 的方程为x +2y -3=0, 即直线l 的方程为x +2y -3=0.(2)设圆的半径长为r ,则r 2=d 2+⎝⎛⎭⎫4552,其中d 为弦心距,d =35,可得r 2=5,故所求圆的方程为x 2+y 2=5.。

人教A版高中数学必修2《四章 圆与方程 小结》教案_2

人教A版高中数学必修2《四章 圆与方程  小结》教案_2

第四章圆与方程小结教学设计一、教材分析:本章在第三章“直线与方程”的基础上,在直角坐标系中建立圆的方程,并通过圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系。

在直角坐标系中建立几何对象的方程,并通过方程研究几何对象,这是研究几何问题的重要方法,通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合。

坐标法是贯穿本章的灵魂,在教学中要让学生充分的感受体验。

二、教学目标:1.了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题;掌握圆的标准方程和一般方程,加深对圆的方程的认识。

2.能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系,能用直线与圆的方程解决一些简单问题。

3.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置,会用空间两点间的距离公式。

4.通过本节的复习,使学生形成系统的知识结构,掌握几种重要的数学思想方法,形成一定的分析问题和解决问题的能力。

三、教学重点:解析几何解题的基本思路和解题方法的形成。

教学难点:整理形成本章的知识系统和网络。

四、教学过程:(一)回顾本章知识结构图(二)回顾本章知识1、圆的定义 平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 叫做圆,定点叫做圆心,定长叫做圆的半径。

2、圆的方程(1)圆的标准方程 以(a,b )为圆心,r 为半径的圆的标准方程为:(2)圆的一般方程①②本章知识结构圆 与 方 程222)()(r b y a x =-+-022=++++F Ey Dx y x F E D r E D F E D 421)2,2(042222-+=-->-+,半径为圆心为,表示圆的一般方程,当2,2(0422E D F E D --=-+,只表示一个点当③3、直线与圆的位置关系▲4、圆与圆的位置关系以及公切线,不表示任何图形。

当0422<-+F E D▲4条公切线3条公切线2条公切线1条公切线0条公切线5、与圆有关的弦长问题▲6、空间中两点间距离公式空间中任意一点 到点 之间的距离是),,(1111z y x P ),,(2222z y x P(三)夯实基础25)3(825)3(85)3(85)3(8)1,5()3,8(.122222222=++-=-++=++-=-++-y x D y x C y x B y x A A C )()()()(的圆的标准方程为()且过点圆心为点4.4.24.4.24.4.24.4.2,,22,202322----=+-++D C B A c b a c by ax y x 的值依次为()的圆,则)为半径为表示圆心(方程22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=的取值范围是表示圆,则a a ay ax y x 02.422=+-++____内切相交相切相离位置关系是()和圆或的取值范围是()的内部,则)在圆点(D C B A y y x x y x Da a Ca a B a A a a y a x 0402611110114)()(1,15222222=-+=-+±=>-<<<<<-=++-6323262)2()2(03814320131040744722222221D C B A y x y x D C B A y x y x C y x y x C 截得的弦长等于()被圆直线条条条条则两圆的公切线有()的方程为圆的方程是若圆=-++=+-=+--+=+--+ 相交、相切、相离?与圆为何值时直线当0401922=-+=--x y x y mx m(四)思考(五)课堂小结:本章的知识点主要是实现由形到数的一种转变,所以在今后的学习中要把握关键,寻求规律,掌握方法,要时刻把握好直线与圆的综合问题、相交及交点等问题的应用以及直线与圆的实际应用。

高中数学直线与圆教案

高中数学直线与圆教案

高中数学直线与圆教案
教学目标:
1. 理解直线与圆的性质及相关定理
2. 掌握直线与圆的交点求解方法
3. 能够应用所学知识解决相关问题
教学重点:
1. 直线与圆的公共部分
2. 直线与圆的交点求解
教学难点:
1. 利用直线与圆的性质解决较复杂问题
2. 应用所学知识综合思考
教学准备:
1. 教材:高中数学教材
2. 教具:黑板、粉笔、几何工具
教学步骤:
一、导入(5分钟)
引入直线与圆的概念,让学生了解它们之间的关系,并激发学生学习兴趣。

二、讲解直线与圆的性质(15分钟)
1. 直线与圆的位置关系
2. 直线与圆的交点情况
3. 直线与圆相交时的性质
三、示范求解例题(15分钟)
通过实际例题,演示如何求解直线和圆的交点,让学生掌握方法和技巧。

四、学生练习(20分钟)
布置练习题,让学生独立思考并解答,引导他们灵活运用所学知识。

五、总结归纳(5分钟)
总结本节课的重点内容,强化学生对直线与圆的理解和掌握。

教学延伸:
1. 探究直线与圆的其他性质和定理
2. 进一步应用所学知识解决实际问题
教学反思:
本节课主要围绕直线与圆的性质展开,通过讲解、示范和练习让学生逐步理解和掌握相关
知识。

在教学过程中,要尽可能提供多样化的例题,引导学生灵活运用所学知识解决问题。

同时,要注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力,让他们在实践中不断提高。

新人教A版必修2高中数学学案教案: §4.2.2 圆与圆的位置关系教案

新人教A版必修2高中数学学案教案: §4.2.2 圆与圆的位置关系教案

§4.2.2 圆与圆的位置关系一、教材分析本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.根据学生的基础,学习的自觉性和主动性,自主学习和探究学习能力,平时的学习养成的善于观察、分析和思考的习惯,同时由于本节课从内容结构与思维方法上与直线与圆的位置关系相似,学生对上节课内容掌握较好,从而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的障碍,因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆位置关系来自主研究圆与圆的位置关系.二、教学目标1.知识与技能(1)理解圆与圆的位置的种类;(2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长;(3)会用连心线长判断两圆的位置关系.2.过程与方法设两圆的连心线长为l,则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点:(1)当l >r1+r2时,圆C1与圆C2相离;(2)当l = r1+r2时,圆C1与圆C2外切;(3)当|r1–r2|<l<r1+r2时,圆C1与圆C2相交;(4)当l = |r1–r2|时,圆C1与圆C2内切;(5)当l<|r1 –r2|时,圆C1与圆C2内含.3.情态与价值观让学生通过观察图形,理解并掌握圆与圆的位置关系,培养学生数形结合的思想.三、教学重点与难点教学重点:求弦长问题,判断圆和圆的位置关系.教学难点:判断圆和圆的位置关系.四、课时安排1课时五、教学设计(一)导入新课思路1.平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢?如何判断圆与圆之间的位置关系呢?判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步:计算两圆的半径R,r;第二步:计算两圆的圆心距O1O2,即d;第三步:根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系.两圆的位置关系:外离外切相交内切内含d>R+r d=R+r |R-r|<d<R+r d=|R-r| d<|R-r|在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢?这就是我们本堂课研究的课题,教师板书课题圆与圆的位置关系.思路2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,那么,圆与圆的位置关系有哪几种呢?如何判断圆与圆之间的位置关系呢?教师板书课题:圆与圆的位置关系. (二)推进新课、新知探究、提出问题①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种?②判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗?③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗?④根据你所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢?⑤如何判断两个圆的位置关系呢?⑥若将两个圆的方程相减,你发现了什么?⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢?活动:教师引导学生回顾学过的知识、举例,并对学生活动进行评价;学生回顾知识点时,可互相交流.教师引导学生阅读教科书中的相关内容,注意个别辅导,解答学生疑难,并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考,发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求解,对这些学生应该给予表扬.同时强调,解析几何是一门数与形结合的学科.启发学生利用图形的特征,用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流,寻找解决问题的方法,并能通过图形的直观性,利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径.讨论结果:①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是外离、外切、相交、内切、内含.②判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆的位置关系的判定,目前我们只有初中学过的几何法,利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.③略.④根据所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与两圆半径(r,R)的和与差之间的关系.⑤判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:1°当d>R+r时,圆C1与圆C2外离;2°当d=R+r时,圆C1与圆C2外切;3°当|R-r|<d<R+r时,圆C1与圆C2相交;4°当d=|R-r|时,圆C1与圆C2内切;5°当d<|R-r|时,圆C1与圆C2内含;二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交;若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切;若无实数解,两圆相离.总结比较两种方法的优缺点.几何方法:直观,容易理解,但不能求出交点坐标.代数方法:1°只能判断交点,并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切,无交点时不能判断内含还是外离).2°优点是可以求出公共点.⑥若将两个圆的方程相减,得到一个一元一次方程,既直线方程,由于它过两圆的交点,所以它是相交两圆的公共弦的方程.⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问题.由点到直线的距离公式来判断.(三)应用示例思路1例1 已知圆C 1:x 2+y 2+2x+8y-8=0,圆C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系.活动:学生思考交流,教师引导提示,判断两圆的位置关系有两种基本的方法,要合理使用.方法一看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,方法二利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.解:方法一:圆C 1与圆C 2的方程联立得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---+=-+++)2(.0244)1(,08822222y x y x y x y x①-②得x+2y-1=0,③由③得y=21x+,把上式代入①并整理得x 2-2x-3=0.④方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0,所以方程④有两个不等的实数根,即圆C 1与圆C 2相交.方法二:把圆C 1:x 2+y 2+2x+8y-8=0,圆C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0,化为标准方程,得(x+1)2+(y+4)2=25与(x-2)2+(y-2)2=10.圆C 1的圆心是点(-1,-4),半径长r 1=5;圆C 2的圆心是点(2,2),半径长r 2=10.圆C 1与圆C 2的连心线的长为22)24()21(--+--=35,圆C 1与圆C 2的半径长之和为r 1+r 2=5+10,半径长之差为r 1-r 2=5-10.而5-10<35<5+10,即r 1-r 2<35<r 1+r 2,所以圆C 1与圆C 2相交,它们有两个公共点A 、B.点评:判断两圆的位置关系,一般情况下,先化为标准方程,利用几何法判断较为准确直观.变式训练判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16,(2)x 2+y 2+6x-7=0与x 2+y 2+6y-27=0.解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r 1=1和r 2=4,两圆的圆心距d=22)25()2(2[-+--=5.因为d=r1+r 2,所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y 2=16,x 2+(y+3)2=36. 故两圆的半径分别为r 1=4和r 2=6,两圆的圆心距d=23)03()30(22=-+-. 因为|r 1-r 2|<d <r 1+r 2,所以两圆相交.例2 已知圆C 1:x 2+y 2+2x-6y+1=0,圆C 2:x 2+y 2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.活动:学生审题,思考并交流,探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联立方程组,消去x 2项、y 2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长.解:设两圆交点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则A 、B 两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-++)2(.01124)1(,01622222y x y x y x y x①-②,得3x-4y+6=0.因为A 、B 两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(-1,3),半径r=3. 又点C 1到直线的距离为d=22)4(3|63431|-++⨯-⨯-=59.所以AB=2524)59(322222=-=-dr ,即两圆的公共弦长为524.点评:处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用.思路2例1 求过点A(0,6)且与圆C:x 2+y 2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.图1活动:学生思考交流,回顾圆的方程的求法,教师引导学生注意题目的条件,灵活处理,如图1.所求圆经过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.解:将圆C 化为标准方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为C(-5,-5),半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.由题意,知O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心M(a,b)在直线x-y=0上,则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=-+-,0,)6()0(,)0()0(222222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===.23,3,3r b a 于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.点评:求圆的方程,一般可从圆的标准方程和一般方程入手,至于选择哪一种方程形式更恰当,要根据题目的条件而定,总之要让所选择的方程形式使解题过程简单.例2 已知⊙O 方程为x 2+y 2=4,定点A(4,0),求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹方程.活动:教师引导学生回顾学过的知识,两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心线长等于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件,然后将这个几何条件坐标化,即得到它的轨迹方程.解法一:设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以|PA|即为动圆半径. 当动圆P 与⊙O 外切时,|PO|=|PA|+2; 当动圆P 与⊙O 内切时,|PO|=|PA|-2. 综合这两种情况,得||PO|-|PA||=2. 将此关系式坐标化,得|2222)4(y x y x +--+|=2.化简可得(x -2)2-32y =1.解法二:由解法一可得动点P 满足几何关系||OP|-|PA||=2,即P 点到两定点O 、A 的距离差的绝对值为定值2,所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点,2为实轴长的双曲线,中心在OA 中点(2,0),实半轴长a=1,半焦距c=2,虚半轴长b=322=-a c ,所以轨迹方程为(x -2)2-32y =1.点评:解题的过程就是实现条件向结论转化的过程,对于圆与圆,要综合平面几何知识、解析几何、代数知识,将条件转化成我们熟悉的形式,利用常规思路去解,求点的轨迹更要注意平面几何的知识运用.(四)知能训练课堂练习P 141练习题(五)课堂小结本节课主要学习了圆与圆的位置关系,判断方法:几何方法和代数方法.(六)作业习题4.2 A 组8、9、10、11.。

【人教A版】高中数学必修二:第4章《圆与方程》导学案设计(含答案)

【人教A版】高中数学必修二:第4章《圆与方程》导学案设计(含答案)

1.圆的方程(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,其中圆心是C(a,b),半径长是r.特别地,圆心在原点的圆的标准方程为x2+y2=r2.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a,b,r或D,E,F),而确定这三个参数必须有三个独立的条件,因此,三个独立的条件可以确定一个圆.(3)求圆的方程常用待定系数法,此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长,或圆心到直线的距离,通常可用圆的标准方程;如果已知圆经过某些点,通常可用圆的一般方程.2.点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程,那么该点在圆上.②如果点到圆心的距离等于半径,那么点在圆上.(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x,y)>0,则该点在圆外;若满足F(x,y)<0,则该点在圆内.②点到圆心的距离大于半径则点在圆外;点到圆心的距离小于半径则点在圆内.注意:若P点是圆C外一定点,则该点与圆上的点的最大距离:d max=|PC|+r;最小距离:d min=|PC|-r.3.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:相交、相离、相切,其判断方法有两种:代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组,根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时,圆上的点到直线的最大距离为d+r,最小距离为d-r,其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时,圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.(3)当直线与圆相切时,经常涉及圆的切线.①若切线所过点(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则切线方程为x0x+y0y=r2;若点(x0,y0)在圆(x -a)2+(y-b)2=r2上,则切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.②若切线所过点(x0,y0)在圆外,则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率,则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的交点的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0,λ是待定的系数.4.圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,其判断方法有两种:代数法(通过解两圆的方程组成的方程组,根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d 与半径长r,R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时,可先求出两圆公共弦所在直线的方程,再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则,空间上的任意一点都与有序实数组(x,y,z)一一对应.(2)空间中P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.(3)可利用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一 求圆的方程求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程,利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为:(1)选择圆的方程的某一形式;(2)由题意得a ,b ,r (或D ,E ,F )的方程(组);(3)解出a ,b ,r (或D ,E ,F );(4)代入圆的方程.例1 有一圆与直线l :4x -3y +6=0相切于点A (3,6),且经过点B (5,2),求此圆的方程. 解 方法一 设圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2,则圆心为C (a ,b ),由|CA |=|CB |,CA ⊥l , 得⎩⎪⎨⎪⎧(a -3)2+(b -6)2=(a -5)2+(b -2)2=r 2,b -6a -3×43=-1.解得a =5,b =92,r 2=254.∴圆的方程为(x -5)2+⎝⎛⎭⎫y -922=254. 方法二 设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,圆心为C ,由CA ⊥l ,A (3,6)、B (5,2)在圆上,得⎩⎪⎨⎪⎧32+62+3D +6E +F =0,52+22+5D +2E +F =0,-E 2-6-D 2-3×43=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧D =-10,E =-9,F =39.∴所求圆的方程为:x 2+y 2-10x -9y +39=0.方法三 设圆心为C ,则CA ⊥l ,又设AC 与圆的另一交点为P ,则CA 方程为y -6=-34(x-3),即3x +4y -33=0. 又k AB =6-23-5=-2,∴k BP =12,∴直线BP 的方程为x -2y -1=0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x +4y -33=0,x -2y -1=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =7,y =3.∴P (7,3).∴圆心为AP 中点⎝⎛⎭⎫5,92,半径为|AC |=52.∴所求圆的方程为(x -5)2+⎝⎛⎭⎫y -922=254. 跟踪训练1 若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y =1相切,则圆C 的方程是______. 答案 ()x -22+⎝⎛⎭⎫y +322=254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心,且圆经过点(0,0)和(4,0),所以设圆心为(2,m ).又因为圆与直线y =1相切,所以(4-2)2+(0-m )2=|1-m |,所以m 2+4=m 2-2m +1,解得m =-32,所以圆的方程为(x -2)2+⎝⎛⎭⎫y +322=254. 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点,切线问题更是重中之重,判断直线与圆的位置关系以几何法为主,解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征,利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系,以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.例2 如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 1:(x +3)2+(y -1)2=4和圆C 2:(x -4)2+(y -5)2=4.(1)若直线l 过点A (4,0),且被圆C 1截得的弦长为23,求直线l 的方程; (2)设P 为平面上的点,满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2,它们分别与圆C 1和圆C 2相交,且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标.解 (1)由于直线x =4与圆C 1不相交,所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y =k (x -4),圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ,因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23,所以d =22-(3)2=1.由点到直线的距离公式得d =|-3k -1-4k |1+k 2,从而k (24k +7)=0.即k =0或k =-724,所以直线l 的方程为y =0或7x +24y -28=0.(2)设点P (a ,b )满足条件,不妨设直线l 1的方程为y -b =k (x -a ),k ≠0,则直线l 2的方程为y -b =-1k (x -a ).因为圆C 1和圆C 2的半径相等,且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等,所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等,即|1-k (-3-a )-b |1+k 2=⎪⎪⎪⎪5+1k (4-a )-b 1+1k2,整理得|1+3k +ak -b |=|5k +4-a -bk |,从而1+3k +ak -b =5k +4-a -bk 或1+3k +ak -b = -5k -4+a +bk ,即(a +b -2)k =b -a +3或(a -b +8)k =a +b -5, 因为k 的取值范围有无穷多个,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a +b -2=0,b -a +3=0或⎩⎪⎨⎪⎧a -b +8=0,a +b -5=0,解得⎩⎨⎧a =52,b =-12或⎩⎨⎧a =-32,b =132.这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52,-12或点P 2⎝⎛⎭⎫-32,132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件.跟踪训练2 已知圆M :(x -1)2+(y -1)2=4,直线l 过点P (2,3)且与圆M 交于A ,B 两点,且|AB |=23,求直线l 的方程.解 (1)当直线l 存在斜率时,设直线l 的方程为y -3=k (x -2),即kx -y +3-2k =0.作示意图如图,作MC ⊥AB 于C . 在Rt △MBC 中, |BC |=3,|MB |=2, 故|MC |=|MB |2-|BC |2=1,由点到直线的距离公式得|k -1+3-2k |k 2+1=1, 解得k =34.所以直线l 的方程为3x -4y +6=0.(2)当直线l 的斜率不存在时,其方程为x =2, 且|AB |=23,所以适合题意.综上所述,直线l 的方程为3x -4y +6=0或x =2. 题型三 与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时,最常用的方法是函数法,把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式,用函数或方程的知识,尤其是配方的方法求出最值或范围;除此之外,数形结合的思想方法也是一种重要方法,直接根据图形和题设条件,应用图形的直观位置关系得出要求的范围.例3 在△ABO 中,|OB |=3,|OA |=4,|AB |=5,P 是△ABO 的内切圆上一点,求以|P A |,|PB |,|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值. 解 如图所示,建立平面直角坐标系,使A ,B ,O 三点的坐标分别为A (4,0),B (0,3),O (0,0). 设内切圆的半径为r ,点P 的坐标为(x ,y ), 则2r +|AB |=|OA |+|OB |,∴r =1.故内切圆的方程为(x -1)2+(y -1)2=1, 整理得x 2+y 2-2x -2y =-1.①由已知得|P A |2+|PB |2+|PO |2=(x -4)2+y 2+x 2+(y -3)2+x 2+y 2 =3x 2+3y 2-8x -6y +25.② 由①可知x 2+y 2-2y =2x -1,③将③代入②得|P A |2+|PB |2+|PO |2=3(2x -1)-8x +25=-2x +22. ∵0≤x ≤2,∴|P A |2+|PB |2+|PO |2的最大值为22,最小值为18.又三个圆的面积之和为π⎝⎛⎭⎫|P A |22+π⎝⎛⎭⎫|PB |22+π⎝⎛⎭⎫|PO |22=π4(|P A |2+|PB |2+|PO |2), ∴以|P A |,|PB |,|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值为112π,最小值为92π.跟踪训练3 已知实数x ,y 满足方程(x -3)2+(y -3)2=6,求x +y 的最大值和最小值. 解 设x +y =t ,由题意,知直线x +y =t 与圆(x -3)2+(y -3)2=6有公共点, 所以d ≤r ,即|3+3-t |2≤ 6.所以6-23≤t ≤6+2 3.所以x +y 的最小值为6-23,最大值为6+2 3.题型四 分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一,是历年高考的重点,其实质就是将整体问题化为部分问题来解决,化成部分问题后,从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论,在求直线的斜率问题时,用斜率表示直线方程时都要分类讨论.例4 已知直线l 经过点P (-4,-3),且被圆(x +1)2+(y +2)2=25截得的弦长为8,求直线l 的方程.解 圆(x +1)2+(y +2)2=25的圆心为(-1,-2),半径r =5.①当直线l 的斜率不存在时,则l 的方程为x =-4,由题意可知直线x =-4符合题意. ②当直线l 的斜率存在时,设其方程为y +3=k (x +4), 即kx -y +4k -3=0. 由题意可知⎝⎛⎭⎪⎫|-k +2+4k -3|1+k 22+⎝⎛⎭⎫822=52,解得k =-43,即所求直线方程为4x +3y +25=0.综上所述,满足题设的l 方程为x =-4或4x +3y +25=0.跟踪训练4 如图,已知以点A (-1,2)为圆心的圆与直线l 1:x +2y +7=0相切.过点B (-2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ,N 两点,Q 是MN 的中点,直线l 与l 1相交于点P . (1)求圆A 的方程;(2)当|MN |=219时,求直线l 的方程. 解 (1)设圆A 的半径为r .由于圆A 与直线l 1:x +2y +7=0相切, ∴r =|-1+4+7|5=2 5.∴圆A 的方程为(x +1)2+(y -2)2=20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时,易知x =-2符合题意;②当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y =k (x +2),即kx -y +2k =0.连接AQ ,则AQ ⊥MN . ∵|MN |=219, ∴|AQ |=20-19=1, 则由|AQ |=|k -2|k 2+1=1,得k =34.直线方程为3x -4y +6=0.综上,直线l 的方程为x =-2或3x -4y +6=0. 题型五 数形结合思想数形结合思想:在解析几何中,数形结合思想是必不可少的,而在本章中,数形结合思想最主要体现在几何条件的转化上,尤其是针对“方法梳理”中提到的第二类问题,往往题目会给出动点满足的几何条件,这就不能仅仅依靠代数来“翻译”了,必须结合图形,仔细观察分析,有时可能需要比较“绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件列出一个相对简洁的式子,但这样可以在很大程度上减少计算量,大大降低出错的机率. 例5 已知三条直线l 1:x -2y =0,l 2:y +1=0,l 3:2x +y -1=0两两相交,先画出图形,再求过这三个交点的圆的方程. 解 画图如下:由直线方程易知l 2平行于x 轴,l 1与l 3互相垂直, ∴三个交点A ,B ,C 构成直角三角形, ∴经过A ,B ,C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.由⎩⎪⎨⎪⎧ x -2y =0,y +1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =-1.∴点A 的坐标为(-2,-1).由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +y -1=0,y +1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =-1.∴点B 的坐标为(1,-1).∴线段AB 的中点坐标为(-12,-1).又∵|AB |=|1-(-2)|=3.∴圆的方程是(x +12)2+(y +1)2=94.跟踪训练5 已知点A (-1,0),B (2,0),动点M (x ,y )满足|MA ||MB |=12,设动点M 的轨迹为C .(1)求动点M 的轨迹方程,并说明轨迹C 是什么图形; (2)求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值;(3)设直线l :y =x +m 交轨迹C 于P ,Q 两点,是否存在以线段PQ 为直径的圆经过点A ?若存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由题意,得|MA |=(x +1)2+y 2, |MB |=(x -2)2+y 2.∵|MA ||MB |=12,∴(x +1)2+y 2(x -2)2+y 2=12, 化简,得(x +2)2+y 2=4.∴轨迹C 是以(-2,0)为圆心,2为半径的圆. (2)设过点B 的直线为y =k (x -2). 由题意,得圆心到直线的距离d =|-4k |k 2+1≤2.解得-33≤k ≤33.即k min =-33. (3)假设存在,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y =x +m ,(x +2)2+y 2=4,得2x 2+2(m +2)x +m 2=0. ∴x 1+x 2=-m -2,x 1x 2=m 22. ①y 1+y 2=m -2,y 1y 2=m 2-4m2. ②设以PQ 为直径经过点A 的圆的圆心为O ,则O 的坐标为O (x 1+x 22,y 1+y 22),|OA |=|OP |, (x 1+x 22+1)2+(y 1+y 22)2 =(x 1+x 22-x 1)2+(y 2-y 12)2. 整理得(x 1+x 2+2)2+(y 1+y 2)2=(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2-4x 1x 2-4y 1y 2,③ 将①②代入③得m 2-3m -1=0, 解得m =3±132.故当m =3±132时,存在线段PQ 为直径的圆经过点A .初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题,本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质,如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题,将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果.圆是非常特殊的几何图形,它既是中心对称图形又是轴对称图形,它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用,所以在实际解题中常用几何法,充分结合圆的平面几何性质.那么,我们来看经常使用圆的哪些几何性质:(1)圆的切线的性质:圆心到切线的距离等于半径;切点与圆心的连线垂直于切线;切线在切点处的垂线一定经过圆心;圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.(2)直线与圆相交的弦的有关性质:相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线;弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边,满足勾股定理.(3)与直径有关的几何性质:直径是圆的最长的弦;圆的对称轴一定经过圆心;直径所对的圆周角是直角.。

必修二 4.2.3 直线与圆的方程的应用 教案

必修二 4.2.3 直线与圆的方程的应用 教案

4.2.3 直线与圆的方程的应用教学目标复习梳理直线与圆方程知识系统,利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题,学会建立知识与方法之间的联系,初步体验数形结合的意识,学习分析问题与解决问题的方法。

教学重难点教学重点:直线的知识以及圆的应用教学难点:用坐标法解决平面几何.教学过程复习准备:(1) 直线方程有几种形式? 分别为什么?(2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些?(3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?(4) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系?(5) 如何根据圆的方程,判断它们之间的位置关系?讲授新课:提出问题、自主探究例1. 如图是一桥圆拱的示意图,根据提供信息完成以下计算:圆拱跨度AB =84米,拱高A 6P 6=15米,在建造时每隔7米需用一个支柱支撑,求:支柱A 3P 3的长度(精确到0.01米).方法一:在O AA Rt 6∆中 R 2 =422 +(R-15)2 可求出半径R ,而在CO P Rt 3∆中222321-=R C P ,∴O A C P P A 6333-=,从而可求得33P A 长度。

能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解?方法二:先求圆的方程,再把求33P A 长度看成3P 的纵坐标。

首先应建立坐标系。

如何建系?四种不同的建系方案:分组解答,同学自选一种建系方案,同桌之间可以互相协作,相互探讨。

归纳总结、巩固步骤总结解决应用问题的步骤:(1)审题----分清条件和结论,将实际问题数学化;(2)建模----将文字语言转化成数学语言或图形语言,找到与此相联系的数学知识,建立数学模型;(3)解模----求解数学问题,得出数学结论;(4) 还原----根据实际意义检验结论,还原为实际问题.流程图: 实际问题 数学问题 数学结 实际问题结论(审题) (建模) (解模) (还原)深入讨论、提炼思想在上面问题求解过程中,我们通过“建系”,利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。

(人教A版)必修2课件:4-2-3 直线与圆的方程的应用

(人教A版)必修2课件:4-2-3 直线与圆的方程的应用
第四章 4.2 4.2.3
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设圆C的圆心为C(x1,y1), 则可得圆C的方程为(x-x1)2+(y-y1)2=y21, 即x2+y2-2x1x-2y1y+x21=0. ② ①-②,得2x1x+2y1y-1-x21=0. ③ ③式就是直线EF的方程,设CD的中点为H,其坐标为 (x1,y21),将H代入③式,得
第四章 4.2 4.2.3
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几种特殊对称: ①关于原点对称:P(x,y)→P′(-x,-y); ②关于x轴对称:P(x,y)→P′(x,-y); ③关于y轴对称:P(x,y)→P′(-x,y); ④关于直线y=x对称:P(x,y)→P′(y,x); ⑤关于直线y=-x对称:P(x,y)→P′(-y,-x).
第四章 4.2 4.2.3
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圆心(0,0)到直线4x+7y-28=0的距离d=
4|22+8| 72=
28 , 65
而半径r=3,
∵d>r,∴直线与圆相离,所以轮船不会受到台风的影响.
第四章 4.2 4.2.3
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这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”,又简 称为“一建二算三译”.
第四章 4.2 4.2.3
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用坐标法证明正方形的对角线互相垂直.
第四章 4.2 4.2.3
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第四章 4.2 4.2.3

高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用精品教案 新人教A版必修2

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直线与圆的方程的应用〔一〕教学目标1.知识与技能〔1〕理解掌握,直线与圆的方程在实际生活中的应用.〔2〕会用“数形结合〞的数学思想解决问题.2.过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:将代数运算结果“翻译〞成几何结论.3.情态与价值观让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力.〔二〕教学重点、难点重点与难点:直线与圆的方程的应用.教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入你能说出两点间的距离公式直线方程的四种形式及圆的方程的两种形式吗?学生思考后作答教师再引入课题现在我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.启发并引导学生回顾,从而引入新课.应用举例3.阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题?AB = 20m,拱高OP = 4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到).解析:建立图所示的直角坐标系,使圆心在y轴上.设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r,那么圆的方程是x2 + (y –b)2 = r2.下面确定b和r的值.因为P、B都在圆上,所师:指导学生观察教科书上的图形特征,利用平面坐标系求解.生:自学例4,并完成练习题1、2.师:分析例4并展示解题过程,启发学生利用坐标法求,注意给学生留有总结思考的时间.指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择.以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x 2 + (y –b )2 = r 2.于是,得到方程组2222220(4),10(0)b r b r ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得b = –10.5,r 22所以,圆的方程是x 2 + (y + 10.5)22.把点P 2的横坐标x = –2代入圆的方程,得(–2)2 + (y + 10.5)22, 取2210.514.5(2)y +=--(P 2的纵坐标y >0平方根取正值).所以2214.5(2)10.5y =---≈14.36 – =3.86(m)4.你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗?教师引导学生分析圆的方程中,假设横坐标确定,如何求出纵坐标的值.使学生加深对圆的方程的认识. 5.你能利用“坐标法〞解决例5吗?例5 内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.师:引导学生建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示相应的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题.生:建立适当的直角坐标系,探求解决问题的方法.证明:如图,以四边形ABCD 互直垂直的对角线CA ,DB 所在直线分别为x 轴,yA (a ,0),B (0,b ),C (c ,0),D (0,d ).过四边形ABCD 外接圆的圆心O ′分别作AC 、BD 、AD 的垂线,垂足分别为M 、N 、E 分别是线段AC 、BD 、AD 的中点.由线段的中点坐标公式,得2O M a cx x '+==巩固“坐标法〞,培养学生分析问题与解决问题的能力.2O N b dy y '+== ,22E E a d x y == 所以2222||()()22222212a c ab d dO E b c '=+-++-=+又22||BC b c =+ 所以1||||2O E BC '=. 6.完成教科书第140页的练习题2、3、4.练习2 赵州桥的跨度是,圆拱高约为.求这座圆拱桥的拱圆的方程.练习 3 某圆拱桥的水面跨度20m ,拱高4m.现有一船,宽10m ,水面以上高3m ,这条船能否从桥下通过? 练习4 等边△ABC 中,点D 、E 分别在边BC 、AC 上,且1||||3BD BC =,|CE | = 13|CA |,AD 、BE 相交于点P .求证AP ⊥CP .教师指导学生阅读教材,并解决课本第140页的练习题2、3、4,教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据.练习2解:建立如下图的直角坐标系.|OP | = ,|AB | = .即有A (–18.7,0),B (18.7,0),C(0,7.2) .设所求圆的方程是(x –a )2+ (y –b )2 = r 2. 于是有 222222222(18.7),(18.7),(7.2)a b r a b r a b r ⎧++=⎪-+=⎨⎪+-=⎩解此方程组,得 a = 0,b = –20.7,r = 27.9. 所以这这圆拱桥的拱圆的方程是x 2 + (y + 20.7)22 (0≤y ≤7.2)练习3解:建立如下图的坐标系.依题意,有A (–10,0),B (10,0),P (0,4),D (–5,0),E (5,0).设所求圆的方程是(x –a )2+ (y –b )2 = r 2.于是有使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化,加深“坐标法〞的解题步骤.222222222(10),(10),(4)a b r a b r a b r⎧++=⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 解此方程组,得a = 0,b = –10.5,r = 14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x 2 + (y + 10.5)22 (0≤y ≤4). 把点D 的横坐标x = –5代入上式,得y = 3.1.由于船在水面以上高3m ,3<3.1,所以该船可以从桥下穿过.练习4解: 以B 为原点,BC 边所在直线为x 轴,线段BC 长的16(3,3),(0,0),(6,0)A B C .由,得D (2,0),(5,3)E . 直线AD 的方程为33(2)y x =-. 直线BE 的方程为 3(5)35y x =-+. 解以上两方程联立成的方程组,得53,377x y ==. 所以,点P 的坐标是153(,3)77.直线PC 的斜率39pc k =-. 因为333()19AD pc k k =⨯-=-, 所以,AP ⊥CP .练习题 直角△ABC 的斜边为定长m ,以斜边的中点O 为圆心作半径为长定长n 的圆,BC 的延长线交此圆于P 、Q 两点,求证|AP |2 + |AQ |2 + |PQ |2为定值.7.你能说出练习题蕴含了学生独立解决练习题,教师组织学生讨论交流.证明:如图, 以O 为原点,分别以直线PQ 为x 轴,建立直角坐标系. 反馈学生掌握“坐标法〞解决问题的情况,巩固所学知什么思想方法吗?于是有(,0),(,0)22m mB C -, (,0)2n P -,(,0)2nQ设A (x ,y ),由,点A 在圆2224m x y +=上. AP 2 + AQ 2 + PQ 2= 22222()()22n n x y x y n +++-++ =222223322222m x y n n ++=+(定值)识.归纳总结 8.小结:〔1〕利用“坐标法〞解决问题的需要准备什么工作?〔2〕如何建立直角坐标系,才能易于解决平面几何问题?〔3〕你认为学好“坐标法〞解决问题的关键是什么?〔4〕建立不同的平面直角坐标系,对解决问题有什么直接的影响呢? 师:指导学生完成练习题. 生:阅读教科书的例3,并完成.教师引导学生自己归纳总结所学过的知识,组织学生讨论、交流、探究.对知识进行归纳概括,体会利用“坐标法〞解决实际问题的作用.课后作业学生独立完成巩固所学知识备选例题例1 一圆形拱桥,现时的水面宽为22米,拱高为9米,一艘船高,船顶宽4米的船,能从桥下通过吗?[解析]建立坐标系如下图:C (–11,0 ),D (11,0),M (0,9)可求得过C 、D 、M 三点的圆的方程是22220101()()99x y ++= 故A 点坐标是(2,y 1),那么22120101()()499y +=- 得y 1≈8.82,(取y 1>0)∴y 1>7.5,因此船不能从桥下通过.例2 设半径为3km 的圆形村落,A 、B 两人同时从村落中心出发,A 向东,B 向北,A 出村后不久改变前进方向,斜着沿切于村落圆周的方向前进,后来恰好与B 相遇,设A 、B 两人的速度一定,其比为3:1,问A 、B 两人在何处相遇.[解析]由题意以村中心为原点,正东方向为x 轴的正方向,正北为y 轴的正方向,建立直角坐标系,设A 、B 两人的速度分别的为3v km/h ,v km/h ,设A 出发a h ,在P 处改变方向,又经过b h 到达相遇点Q ,那么P (3av ,0)Q (0,(a + b )v ),那么|PQ | = 3bv ,|OP | = 3av ,|OQ | = 〔a + b 〕v在Rt △OPQ 中|PQ |2 = |OP |2 + |OQ |2得5a = 4b0()30PQ v a b k av -+=-∴34PQk =-设直线PQ 方程为34y x b =-+ 由PQ 与圆x 2+ y 2= 9相切,22|4|343b =+解得154b =故A 、B 两人相遇在正北方离村落中心154km. 例3 有一种商品,A 、B 两地均有售且价格相同,但某居住地的居民从两地往回运时,每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍.A 、B 相距10km ,问这个居民应如何选择A 地或B 地购买此种商品最合算?(仅从运费的多少来考虑)[解析]以AB 所在的直线为x 轴,AB 的中点为原点建立直角坐标系. |AB | = 10,所以A (–5,0),B (5,0)设P (x ,y )是区域分界线上的任一点,并设从B 地运往P 地的单位距离运费为a ,即从B 地运往P 地的运费为|PB |·a ,那么运住A 地的运费|PA |·3a当运费相等时,就是|PB |·a = 3a ·|PA |,即22223(5)(5)x y x y ++=-+整理得2222515()()44x y ++=① 所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A 或B 地购买,在圆内的居民应选择在A地购买,在圆外的居民应选择在B 地购买.。

人教A版高中数学必修二第四章直线与圆的方程的应用教案新

人教A版高中数学必修二第四章直线与圆的方程的应用教案新

4.2.3 直线与圆的方程的应用
一、教学目标
1、知识与技能
(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质;
(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;
(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题.
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
3、情态与价值观
让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力.
二、教学重点、难点:
重点与难点:直线与圆的方程的应用.
三、教学设想。

高中数学 《圆的标准方程》教案11 新人教A版必修2

高中数学 《圆的标准方程》教案11 新人教A版必修2

4.1.2 圆的一般方程(一)教学目标1.知识与技能(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径,掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.(2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程,能用待定系数法求圆的方程.(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2.过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3.情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索.(二)教学重点、难点教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数,D、E、F.教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用.备选例题例1 下列各方程表示什么图形?若表示圆,求出圆心和半径.(1)x 2 + y 2+ x + 1 = 0;(2)x 2 + y 2 + 2ac + a 2= 0 (a ≠0);(3)2x 2 + 2y 2+ 2ax – 2ay = 0 (a ≠0). 【解析】(1)因为D = 1,E = 0,F = 1,所以D 2 + E 2– 4F <0 方程(1)不表示任何图形;(2)因为D = 2a ,E = 0,F = a 2,所以D 2 + E 2 – 4F = 4a 2 – 4a 2= 0, 所以方程(2)表示点(–a ,0);(3)两边同时除以2,得x 2 + y 2+ ax – ay = 0,所以D = a ,E = – a ,F = 0. 所以D 2 + E 2– 4F >0, 所以方程(3)表示圆,圆心为(,)22a a -,半径|r a =. 点评:也可以先将方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4,–2)、Q (–1,3)两点,且在y 轴上截得的线段长为. 【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时,为简化运算,则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一:设圆的方程为: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将P 、Q 的坐标分别代入①得4220310D E F D E F -+=-⎧⎨--=⎩令x = 0,由①,得y 2+ Ey + F = 0 ④②③由已知|y 1 – y 2| = y 1,y 2是方程④的两根.∴(y 1 – y 2)2 = (y 1 + y 2) – 4y 1y 2 = E 2– 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组,得2012D E F =-⎧⎧⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩D=-10或E=-8F=4 故所求方程为:x 2 + y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 + y 2– 10x – 8y + 4 = 0. 法二:求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ①∵所求圆的圆心C 在直线①上,故设其坐标为(a ,a – 1), 又圆C的半径||r CP == ②由已知圆C 截y轴所得的线段长为C 到y 轴的距离为|a|.222r a =+ 代入②并将两端平方,得a 2– 5a + 5 = 0, 解得a 1 = 1,a 2 = 5.∴12r r ==故所求的圆的方程为:(x – 1)2+ y 2= 13或(x – 5)2+ (y – 4)2= 37.【评析】(1)在解本题时,为简化运算,要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标,否则计算要复杂得多.(2)涉及与圆的弦长有关问题,常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之,以简化运算.例3 已知方程x 2 + y 2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t 2)y + 16t 4+ 9 = 0表示一个圆,求 (1)t 的取值范围;(2)该圆半径r 的取值范围.【解析】原方程表示一个圆的条件是D 2 +E 2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t 2)2 – 4(16t 4 + 9)>0即7t 2– 6t – 1<0,∴117t -<<(2)2222224224(3)(1)(169)76143167()77D E F r t t t t t t +-==++--+=-++=--+∴2160,07r r <≤<<。

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第(1)课时课题:书法---写字基本知识课型:新授课教学目标:1、初步掌握书写的姿势,了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点:基本笔画的书写。

难点:运笔的技法。

教学过程:一、了解书法的发展史及字体的分类:1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体:颜、柳、赵、欧体,分类出示范本,边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求:1、书写姿势:做到“三个一”:一拳、一尺、一寸(师及时指正)2、了解钢笔的性能:笔头富有弹性;选择出水顺畅的钢笔;及时地清洗钢笔;选择易溶解的钢笔墨水,一般要固定使用,不能参合使用。

换用墨水时,要清洗干净;不能将钢笔摔到地上,以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括:横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习,教师指导。

(姿势正确)4、运笔的技法:起笔按,后稍提笔,在运笔的过程中要求做到平稳、流畅,末尾处回锋收笔或轻轻提笔,一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果,以求字的美观、大气。

5、学生练习,教师指导。

(发现问题及时指正)四、作业:完成一张基本笔画的练习。

板书设计:写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考:通过导入让学生了解我国悠久的历史文化,激发学生学习兴趣。

这是书写的起步,让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础,必须认真书写。

课后反思:学生书写的姿势还有待进一步提高,要加强训练,基本笔画也要加强训练。

总第(2)课时课题:书写练习1课型:新授课教学目标:1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思,并用钢笔写出符合要求的的字。

重点:正确书写6个字。

难点:注意字的结构和笔画的书写。

教学过程:一、小结课堂内容,评价上次作业。

二、讲解新课:1、检查学生书写姿势和执笔动作(要求做到“三个一”)。

2、书写方法是:写一个字看一眼黑板。

(老师读,学生读,加深理解。

)3、书写教学“杏花春雨江南”6个字。

杏:上大下小,上面要写得大,大在哪里?(大在撇捺)写的时候撇捺要舒展,象燕子张开的翅膀;下面的“口”要写得小,左右两竖要内斜,稍扁;“木”的竖写在竖中线上。

花:也是上下结构,草字头两竖要内斜;下面单人旁起笔对准上面的左竖,竖弯钩起笔对准上面的右竖;竖弯钩要舒展,(用红笔描竖弯钩,并在旁边书写一个大的竖弯钩)要求弯处圆转,不能僵硬(书写僵硬的竖弯钩,并在旁边打×)。

春:上部三横都是短横,收笔处不要顿;撇画最长,捺画从哪里起笔?从第三横下面起笔,不能碰到撇;下面“日”的两竖要竖直,不能斜。

雨:旁边两竖要内斜,上横短,中竖写在竖中线上;从下面看,哪一笔最低?钩最低,中竖最短;四个点都是斜点。

江:左右结构,左窄右宽左边三点水第二点略向外展;右边“工”字上横是短横,下横是长横;中竖略斜。

南:上横短;下边两竖内斜;框架中两横都是短的,中间一竖悬针;三个竖画左、中差不多长,右竖钩最低;横折钩要写出弯势。

4、学生练习,教师巡回指导。

三、讲评:收上学生的作业,进行批改和评比,对写得好的进行表扬,并加盖☆符号章,然后贴在展示板上,向学生展示。

板书设计:书写练习1、杏花春雨江南我的思考:进一步加强写字姿势训练,这是根本。

在了解字结构的基础上更好的把握每个字的书写。

及时对书写情况进行反馈,同时通过奖励激发学生兴趣。

课后反思:通过字形的比较,学生基本上学会了笔画位置的比较,但是还需要不断的引导。

第(3)课时课题:书写练习2课型:新授课教学目标:1、掌握车字旁写法,并能把“轻”字写端正。

2、完成书写练习。

重点:正确地书写“轻”字难点:“车”字旁的书写。

教学过程:一、讲评上一课作业情况。

1、表扬书写优秀者,展示其作业。

2、指出存在的主要缺点并进行针对性的练习。

二、指导“车”字旁写法:1、出示范字,观察“车”字旁写法。

2、讨论明确其书写要领:“车”字旁分四笔完成,整个偏旁左重右轻,不超过竖中线。

第一笔横稍短。

第二笔撇折收笔于横中线。

第三笔垂露竖,应在第一笔横下的正中位置起笔。

最后一笔,比第一横长一些,离折笔稍近一些。

3、练写“车”字旁。

三、指导临写“轻”字。

1、观察范字。

2、明确写法。

“轻”字的写法:“轻”字左窄右宽,右边的第一笔起笔与左边的第一笔短横相齐平,底部大体相齐,右边上下两部分基本相等。

四、课后延伸书写:斩、转板书设计:书写练习2、轻、斩、转我的思考:以复习巩固导入,并有针对地进行纠正。

明确字的重心及每个笔画在田字格中分布的位置,使学生初步掌握字的结构特点。

在练习书写“车”字旁的基础上,更好的把握整个字的字形。

课后及时巩固,拓展。

课后反思:学生基本上能把握好字在田字格中的位置,处理好左右的布局。

第(4)课时课题:结构特点(六)课型:新授课教学目标: 1、懂得以宝盖头、穴字头等作为字头的字宜上大而下小。

2、通过练习,写好课文中的例字。

重点:掌握以宝盖头、穴字头等作为字头的字宜上大而下小难点:把握好字的结构。

教学过程:一、复习巩固二、教学新课1.讲解以宝盖头、穴字头等作为字头的字(1)教师讲解字头的书写。

(2)学生练习书写,教师指导书写。

(3教师根据实际情况小结,提出要求。

2.指导书写例字(1)出示例字:“宝”:首先要控制好字头,摆正位置,下面的“玉”字占格子的一半以上,特别是最后一横宜稍长,使整个字立正。

“穷”:下面的力字宜正,不宜写得太小。

(其余字略)(2)学生练习,师巡回指导。

3、提出注意点三、讲评:收上学生的作业,进行批改和评比,对写得好的进行表扬,并加盖☆符号章,然后贴在展示板上,向学生展示。

板书设计:结构特点(6)宝、穷、写、会、奔我的思考:使学生更好的把握好字的结构,同时在教师的指导下提高学生辨别能力。

激励学生更好的书写。

第(5)课时课题:怎样写好字课型:复习课教学目标:1、让学生能够正确认识,端正态度。

教学过程:一、正确的学书之路1.临帖临帖是学习书法的最根本的方法。

古往今来,没有一个书法家是不经临习而成功的,没有一个字写得好的人是不经过临帖的。

只有临帖,取法唐楷、晋行、汉隶、秦篆等传统的东西,才会有所获。

2.专一学书首先应师承一家,建立根据地,然后再发展。

这就有一个选帖的问题,选帖的标准:①好帖;②喜欢。

选定帖后专心致志,认真临习,坚持不懈,直至形同神似。

这个时期检验你学习得怎样,首先看临得像不像,再看笔法笔意。

3.博采众长当对一本帖或一家书体临习达到形同神似之后,就要广涉其他好帖,取其营养加以吸收消化,融会贯通。

4.字外功夫练字的同时经常要多读书,多掌握方方面面的知识,加强自身修养。

总之一句话,加强字外功夫的训练。

在此基础上,逐步形成自己的风格,便自成一家。

综上所述,我们可以把正确的学书之路概括为:二、科学的学书方法明确了正确的学书之路之后,我们还要掌握科学的学习方法,有了科学的学习方法,就可得到较好的学习效果。

1.临帖和摹帖这既是正确学书之路的开端,又是正确学书方法中的根本点,必须坚信不疑,坚定不移。

摹帖和临帖各有优点,效果各异。

姜夔《续书谱》中说:“临书易失占人位置,而多得古人笔意,摹书易得古人位置,而多失古人笔意,临书易进,摹书易忘。

”其中的“笔意”即指笔法、笔势及线条意趣。

“临”的方法就是看着字帖,照着写。

只要仔细地临,便容易掌握笔法笔意.从而把范本的精髓学到手。

“摹”的方法,就是用薄纸蒙在帖上,直接地描画。

所以字形基本上不会走样,多摹几遍,有利于把握结构。

但摹书看不清笔法,“易失笔意”,虽然间架不错.但没有笔法,字就僵化。

所以,初学者可以临摹并用,相互补充。

2.每天定量事实证明,任何事情都有一个由量变到质变的过程,练字也一样,写得太少,练习量跟不上,就谈不上进步;当然盲目机械地多写,疲倦了效果也不好。

一定的量才能达到的一定的效果,较佳的量才能达到较佳的效果。

3.循序渐进学习书法,在勤学苦练的基础上,还应该懂得它是一个循序渐进的过程:第一,先正楷,后行草。

苏轼说:“真生行,行生草。

真如立,行如行,草如走。

”就是说楷、行、草书三者如同人的立、走、跑,如果人连站都不能站,怎么能走和跑呢?如果没有楷书基础,直接写行书、草书,就会疏于法度,流于轻滑飘浮。

行书、草书是楷书的流、便、疏、散,学好楷书之后,加强用笔的流动呼应,行草就容易上手。

等到楷法熟练,再写行草时.便可悟到两者相通之处,可相辅相成,互相促进,相得益彰。

第三,先点画,后结构,再章法。

书法是线条的艺术,也就是以基本点画为基础的艺术。

基本点画不好,整字或整篇的艺术性就无从谈起。

由于钢笔尖性硬,在线条变化上相对简单得多,故钢笔书法学习在结构上花的时间多,而在用笔、点画上相对较少。

但这并不是说点画用笔不重要,相反,它是钢笔书法的基本功,只有在点画书写的基本功扎实之后,才可能去把握结构。

在结构上有了一定的基础后,整幅字的章法就容易把握了。

第(6)课时课题:结构特点(七)课型:新授课教学目标:1、了解“皿”、“土”等做字底的字的结构特点,学习这类字的写法。

2、通过练习,写好课文中的例字。

重点:掌握字的结构,学习写法。

教学过程:一、观察例字,进行讨论:(1)这些字是什么结构?(2)它们分别是什么字底?(3)书写上有什么特点?二、教师示范小结三、指导要点盘:上半部分宜瘦长,下面要宽扁。

皇:“白”字头是方形结构的,要写的紧凑些,略小;“王”上两横短,下横长,略大。

至:第一横不要太斜,撇折点也不要太斜;下面的“土”要端正,下横要长。

竖:上半部分要摆好位置,左右不要分开;下面的“立”,点在正中,上横短,点撇要呼应,下横适当拉长。

四、学生练习,教师指导。

五、收上学生的作业,进行批改和评比,对写得好的进行表扬,并加盖☆符号章,然后贴在展示板上,向学生展示。

板书设计:结构特点(七)、盘至竖我的思考:通过自主观察来了解字形。

在逐字的教学指导中使学生学会自主分析,养成良好的学习习惯。

课后反思:部分学生在练习中还需要指导。

第(7)课时课题:结构特点(八)课型:新授课教学目标:1、了解上下相同、左右相同这类字的结构特点,学习这类字的写法。

2、通过练习,写好课文中的例字。

重点:掌握这类字的结构,学习写法。

教学过程:一、例字,再说说它们有什么共同的特点。

二、读课文中的一段话,说说这段话的意思。

三、教师示范并小结。

四、范字指导提要哥:下面的部分要先写“口”再写竖钩,注意笔顺。

竹:左竖回锋,有撇略高于和长于左撇。

羽:左小右大,其中的4点要摆好位置,使其显得丰满些。

吕、昌:口和曰要写成扁方形,上下重复,上小下大。

兢:语文课文中还没有出现过,这个字可只让学生知道其书写方法,左边的竖弯钩改成竖提。

五、收上学生的作业,进行批改和评比,对写得好的进行表扬,并加盖☆符号章,然后贴在展示板上,向学生展示。

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