2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案

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2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题+Word版含答案

2018年济宁市高三模拟考试数学（理工类）试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}11M x x =-≤≤，{}2log 1N x x =<，则M N = A.{10}x x -≤<B．{01}x x <≤C．{12}x x ≤<D．{12}x x -≤<2.若复数20182(1i)i z =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =A．1i+B．iC．12i -D.12i 3.设变量x ，y 满足约束条件02390210x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的取值范围是A．[6,)+∞B．[5,)+∞C．[0,6]D．[0,5]4.已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（2a >且1a ≠）.则下列命题为真命题的是A．p q ∨B．p q ∧C.()p q⌝∧D．()p q⌝∨5.执行下列程序框图，若输入的n 等于7，则输出的结果是A．2B．13C.12-D．3-6.将函数()2sin()13f x x π=--的图象向右平移3π个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则g()y x =的图象的一个对称中心为A．(,0)3πB．(,0)12π C.(,1)3π-D．(,1)12π-7.如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为A．33B．12C.22D．328.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x 的图象关于1x =对称，当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，则(2017)(2018)f f +的值为A．2-B．1- C.0D．19.已知O 是ABC ∆的外心，4AB = ，2AC =，则()AO AB AC ⋅+=A．10B．9C.8D．610.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示.我们可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[0,1]随机抽取200个实数对(,)x y ，其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 共有56个.则用随机模拟的方法估计π的近似值为A．227B．257C.7225D．782511.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为A．8πB．16πC.32πD．64π12.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 3a Bb Ac -=，则tan()A B -的最大值为A．5B．5C.3D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线2212x y -=的渐近线方程为．14.观察下列各式：3211=332113+=33321236++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅照此规律，第n 个等式可为．15.在24(23)x x --的展开式中，含有2x 项的系数为．（用数字作答）16.如图所示，已知Rt ABC ∆中，AB BC ⊥，D 是线段AB 上的一点，满足2AD CD ==，则ABC ∆面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足123111223n b b b b n n+++⋅⋅⋅+=*()n N ∈（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设(1)()nn n n c a b =--，求数列{}n c 的前2n 项和2n S .18.(本小题满分12分)如图，在以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多面体中，90ACB ︒∠=，面ACDE 为直角梯形，//DE AC ，90ACD ︒∠=，23AC DE ==，2BC =，1DC =，二面角B AC E --的大小为60︒.（1）求证：BD ⊥平面ACDE ；（2）求平面ABE 与平面BCD 所成二面角（锐角）的大小；19.(本小题满分12分)为缓解某地区的用电问题，计划在该地区水库建一座至多安装4台发电机的水电站.为此搜集并整理了过去50年的水文数据，得如下表：年入流量X 4080X <<80120X ≤<120160X ≤<160X ≥年数103082将年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位:亿立方米）在以上四段的频率作为相应段的概率，并假设各年得年入流量相互独立.（1）求在未来3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 的限制，并有如下关系：年入流量X 4080X <<80120X ≤<120160X ≤<160X ≥发电机最多可运行台数1234已知某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；某台发电机未运行，则该台发电机年亏损1500万元，若水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由.20.(本小题满分12分)已知抛物线E ：22x py =的(2)p >焦点为F ，点M 是直线y x =与抛物线E 在第一象限内的交点，且5MF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）不过原点的直线l 与抛物线E 相交于两点A ，B ，与y 轴相交于点Q ，过点A ，B 分别作抛物线E 的切线，与x 轴分别相交于两点C ，D .判断直线QC 与直线BD 是否平行？直线QC 与直线QD 是否垂直？并说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()ln 2af x x x x=++()a R ∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数2g()()(2)2ax xf x x x =-+-在其定义域内有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312x x e ⋅>（e 为自然对数的底数）.（二）选考题：共10分。

湖南省常德市2018届高三第一次模拟数学试题(理)-含答案

湖南省常德市2018届高三第一次模拟数学试题（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，满分150分，时量120分钟．注意事项：1．所有试题的答案请在答题卡的指定区域内作答． 2．考试结束后，只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}13M x x =-<<，{}2680N x x x =-+<，则=N M A.()1,3 B.()2,3 C.()2,4 D.()1,42．复数z满足()1z i = (i 为虚数单位)，则z =A.14B.12C.1D.2 3．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3314,8S a ==，则6a = A.16 B.32 C.64 D.1284．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为34y x =±，则双曲线C 的离心率为B.53D.545．已知单位向量,a b满足3a b += a 与b 的夹角为A.6πB.4πC.3πD.2π6．如图所示，在ABC ∆内随机选取一点P ，则PBC ∆的面积不超过ABC ∆面积一半的概率是 A.12 B.14 C.13 D.34AP7．把函数()sin 2f x x x -的图像向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图像, 则函数()y g x =在下列哪个区间上是单调递减的A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[],0π- 8．执行如图所示程序框图，则输出的S 的值为 A.4 B.8 C.20- D.4-9．《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④. 一蚁往上爬，遇圈则绕圈. 爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺）问：此民谣提出的问题的答案是 A. 72.705尺 B. 61.395尺 C. 61.905尺 D. 73.995尺 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为 A ．43πB.27D.2711．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，则直线l 的斜率为A.2±B.1±C.D.第8题图正视图侧视图俯视图第10题图12．设函数,若且,则mn 的取值范围为A.(3,3+B.(3,3+ C.()1,3 D.(]1,3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．13．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21x f x =-，则(2)f -=.14．6)12)(1(--x xx 的展开式中，3x 的系数是.（用数字填写答案）15．已知),(y x P 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+004m x y x y x 表示的平面区域M 内任意一点，若目标函数y x z 35+=的最大值等于平面区域M 的面积，则m =.16．已知数列{}n a 中，110,()31nn n a a a n N a *+<=∈+，数列{}n b 满足：()n n b na n N *=∈，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，当7=n 时n S 有最小值，则1a 的取值范围是.三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 02B Cb a c+=+. （Ⅰ）求角B 的大小;（Ⅱ）若4b a c =+=，求ABC ∆的面积.2()21f x x x =--1,m n >>()()f m f n =18．(本小题满分12分)某网络营销部门为了统计某市网友2016年12月12日的网购情况,从该市当天参与网购的顾客中随机抽查了男女各30人，统计其网购金额，得到如下频率分布直方图：千元的顾客称为“非网22⨯列联表，并从“非网购达人”、“网购达人中随机选取人进行问卷调查．设为（参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++）19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，DC AB //，PAD ∆是等边三角形， 82==AD BD ，54=AB .（Ⅰ）证明：平面PBD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角D PA B --的余弦值．20．(本小题满分12分)23ξ第19题图频率已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交，所得弦长为1，斜率为k (0k ≠)的直线l 过点()1,0，且与椭圆C 相交于不同的两点A B ，．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使得无论k 取何值，2214k MA MB k ⋅-+为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数mx x x x f -=ln )(的图像与直线1-=y 相切. （Ⅰ）求m 的值，并求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若3()g x ax =，设)()()(x g x f x h -=，讨论函数)(x h 的零点个数.请考生在第22，23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为22sin()4πρθ=+，直线l 的参数方程为212x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点. （Ⅰ）求AB 的长度;（Ⅱ）若曲线2C 的参数方程为34x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），P 为曲线2C 上的任意一点，求PAB ∆的面积的最小值.23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()1,f x x x R =-∈ （Ⅰ）求不等式()34f x -≤的解集;（Ⅱ）若2()(3)2f x f x m m ++≥-恒成立，求实数m 的取值范围.数学（理科）参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． C第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．3- 14．180- 15．2- 16．11,1821⎛⎫-- ⎪⎝⎭三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）解：（I ）由cos cos 02B Cb a c+=+知： (2)cos cos 0a c B b C ++=由正弦定理知：(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++=.............3分即2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++= 2sin cos sin()A B B C ∴=-+即1cos 2B ∴=-,又 (0,)B π∈.............5分23B π∴=.............6分（II ）在△ABC 中由余弦定理知：2222cos b a c ac B =+-22()22cos b a c ac ac B ∴=+--.............8分又24,3b ac B π+==13162ac ac ∴=-+3ac =.............10分1sin 2ABC s ac B ∴== .............12分 18．（本小题满分12分）解： (I).............2分635.62.730304515)3181227(6022>=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K所以有99%的把握认为“网购达人”与性别有关 .............6分 (II)由题可知ξ的可能取值为：0,1,2,3；5521)0(31239===C C p ξ5527)1(3122913===C C C p ξ 22027)2(3121923===C C C p ξ2201)3(31233===C C p ξ所以ξ的分布列为：ξ的期望43220132202725527155210)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ............12分 19．（本小题满分12分）解：（I ）证明：在中，由于,,,,故.……2分又，，， ………4分又PBD BD 平面⊂，故平面⊥PBD 平面…………5分（II ）法1:如图建立空间直角坐标系，, ,)32,0,2(-=PA ,.………7分设平面的法向量),,(z y x n =,由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=-⇒⎩⎨⎧=⋅=⋅y x z x y x z x AB n PA n 23084032200令,32=x 则2,3==z y , 则)2,3,32(=.………9分易得平面PAD 的一个法向量为)0,1,0(=，ABD ∆4AD =8BD =AB =∴222AD BD AB +=AD BD ⊥PAD ABCD ⊥平面平面，PAD ABCD AD = 平面平面BD ABCD ⊂平面BD PAD ∴⊥平面PAD D xyz -()0,0,0D ()4,0,0A (2,0,,P ()0,8,0,B ()4,8,0AB =-PAB则1957193||||,cos ==>=<m n m n m n ， ………11分则所求余弦值为1957. ………12分法2:由（I ）知，则过点D 作E PA DE 于⊥，连接BE ，则E 为线段PA 的中点，则BD PA DE PA ⊥⊥且, 则BDE PA 平面⊥，则BED ∠为二面角D PA B -- 的平面角， ………9分在直角三角形BED 中，192)32(8,32,822=+=∴==BE DE BD ，则195719232cos ==∠BED 。

山西省2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知单元素集合，则（）A. 0B. -4C. -4或1D. -4或0【答案】D【解析】由于只有一个元素,故判别式为零,即,故选D.2. 某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（）A. 6种B. 12种C. 18种D. 24种【答案】B【解析】方法数有种.故选B.3. 已知函数，若，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于,故函数为奇函数,由于,故函数为定义域上的增函数,而,所以,故选D.4. 在平行四边形中，点为的中点，与的交点为，设，则向量（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,故选C.5. 已知抛物线，过点的直线与相交于两点，为坐标原点，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线方程为,代入抛物线方程得,所以,由于,解得,故选.6. 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以为边,将图形补形为长方体,长方体外接球即阳马的外接球,长方体的对角线为球的直径,即,故球的表面积为.选B.7. 若满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数分别在点和点处取得最大值与最小值,故选A.8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的是10，则与输出结果的值最接近的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,, ,,……,此时不成立,输出.故选B.9. 在中，点为边上一点，若，，，，则的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,且,在中,有余弦定理,有,解得,在中,可得.则.选C.10. 某市1路公交车每日清晨6：30于始发站A站发出首班车，随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙二人某日早晨均需从A站搭乘该公交车上班，甲在6：35-6：55内随机到达A站候车，乙在6：50-7：05内随机到达A站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系,分别表示甲,乙二人到达站的时刻,则坐标系中每个点可对应某日甲乙二人到达车站时刻的可能性.根据题意,甲乙二人到达站时间的所有可能组成的可行域是图中粗线围成的矩形,而其中二人可搭乘同一班车对应的区域为黑色区域,根据几何概型概率计算公式可知,所求概率为.11. 如图，中，，若其顶点在轴上运动，顶点在轴的非负半轴上运动.设顶点的横坐标非负，纵坐标为，且直线的倾斜角为，则函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得,对应的图象应该是A.【点睛】本小题主要考查平面几何中的动点轨迹问题,考查三角函数作图方法.三角函数作图可采用五点作图法:先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图像.12. 定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（）A. -1B.C.D.【答案】C【解析】函数为偶函数,且当时,函数为减函数,时,函数为增函数.若对任意的，不等式恒成立，则,即,所以.当时,,所以,解得,所以.当,时,不等式成立,当时,,无解,故,的最大值为.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性与单调性,考查不等式恒成立问题的转化方法及利用分类讨论的方法解含有绝对值的不等式.函数的奇偶性的判断,则函数为偶函数,若则函数为奇函数.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】依题意有且,解得.14. 已知，则__________．【答案】【解析】由得,所以.15. 过双曲线的右焦点，且斜率为2的直线与的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】由双曲线及其渐近线可知,当且仅当时,直线与双曲线的右支有两个不同的公共点,故,故.16. 一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为1，则该正方体的体积是__________．【答案】【解析】依题意可知,该正方体的一条对角线即为俯视方向(如图1),距最高点最近的三个顶点构成的平面与俯视方向垂直(如图2),由俯视图中正六边形的边长为,可知图3中,故图2中,正方体面对角线长为,故棱长为,所以体积为.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图,考查几何体的体积公式. 三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知等比数列中，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】(1)利用基本元的思想,将已知转化为,解方程求得,由此求得.(2)化简,利用并项求和法求得其前项和.【试题解析】（1）设等比数列的公比为，则，因为，所以，因为，解得，所以；（2），设，则，.18. 某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？【答案】（1）（2）①15元②公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利【解析】【试题分析】(1)根据所给数据可知包裹件数在之间的天数为，由此计算出概率为.(2) ①利用总费用除以,得到平均费用为.②分别计算出两种情况下公司平均每日利润的分布列及期望值,根据期望值可判断公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.【试题解析】（1）样本中包裹件数在之间的天数为48，频率，故可估计概率为，显然未来3天中，包裹件数在之间的天数服从二项分布，即，故所求概率为；（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加（元），将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）因，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.19. 如图，在多面体中，四边形为菱形，，，且平面平面.（1）求证：；（2）若，，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【试题分析】(1)连接,根据菱形的几何性质有,由面面垂直的性质定理可知平面,所以,,,所以平面,所以.(2) 设，过点作的平行线，以为坐标原点建立空间直角坐标系,通过计算平面和平面的法向量来求二面角的余弦值. 【试题解析】（1）证明：连接，由四边形为菱形可知，∵平面平面，且交线为，∴平面，∴，又，∴，∵，∴平面，∵平面，∴；（2）解：设，过点作的平行线，由（1）可知两两互相垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以，设平面的法向量为，则，即，取，则为平面的一个法向量，同理可得为平面的一个法向量.则，又二面角的平面角为钝角，则其余弦值为.20. 已知椭圆：过点，且两个焦点的坐标分别为，.（1）求的方程；（2）若，，为上的三个不同的点，为坐标原点，且，求证：四边形的面积为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【试题分析】(1)通过椭圆的定义求得,而,由此求得,进而求得椭圆方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,代入,利用弦长公式求得,利用点到直线的距离公式求得原点到直线的距离,由此求得四边形的面积.【试题解析】（1）由已知得，∴，则的方程为；（2）当直线的斜率不为零时，可设代入得：，设，则，，设，由，得，∵点在椭圆上，∴，即，∴，，原点到直线的距离为.∴四边形的面积：.当的斜率为零时，四边形的面积，∴四边形的面积为定值.【点睛】本小题主要考查利用椭圆定义求椭圆方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查一元二次方程根与系数关系.在求椭圆方程的过程中,首先注意到题目给定椭圆的焦点坐标,和椭圆上一点坐标,故采用椭圆的定义,即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和相等,并且和为,由此求得椭圆方程.21. 已知函数.（1）当时，若函数恰有一个零点，求的取值范围；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】(1) 或 (2)【试题解析】（1）函数的定义域为，当时，，所以，①当时，时无零点，②当时，，所以在上单调递增，取，则，因为，所以，此时函数恰有一个零点，③当时，令，解得，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.要使函数有一个零点，则即，综上所述，若函数恰有一个零点，则或；（2）令，根据题意，当时，恒成立，又，①若，则时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符题意.②若，则时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符题意.③若，则时，恒有，故在上是减函数，于是“对任意，都成立”的充要条件是，即，解得，故.综上，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用函数导数研究函数的单调性,最值,考查利用函数的导数求解不等式恒成问题.要通过求解不等式恒成立问题来求得参数的取值范围,可将不等式变形成一为零的形式,然后将另一边构造为函数,利用函数的导数求得这个函数的最值,根据最值的情况来求得参数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线.（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，求的极坐标方程；（2）若直线（为参数）与相交于两点，且，求的值.【答案】(1) (2) 或【解析】【试题分析】(1)先将的参数方程消参变为直销坐标方程,把代入上述方程可得到的方程,代入极坐标和直角坐标转化公式可求得的极坐标方程.(2)写出直线的极坐标方程,分别代入的极坐标方程,求得对应,结合可求得的值.【试题解析】（1）的普通方程为，把代入上述方程得，，∴的方程为，令，所以的极坐标方程为；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，由，得，由，得，而，∴，而，∴或.23. 【选修4-5：不等式选讲】已知函数.（1）若的最小值不小于3，求的最大值；（2）若的最小值为3，求的值.【答案】(1) (2) 或-4【解析】【试题分析】(1)由,求得的取值范围和最大值.(2)对分成和三类,去绝对值,将变为分段函数,利用最小值为求得的值.【试题解析】（1）因为，所以，解得，即；（2），当时，，所以不符合题意，当时，，即，所以，解得，当时，同法可知，解得，综上，或-4.。

山东省聊城市2018届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试卷(含解析)

山东省聊城市2018届高三第一次模拟考试数学试题（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选A.2. 设复数，则（）A. 4B. 2C.D. 1【答案】C【解析】,故选C.3. 设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】,故公差.故选B.4. 我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨设两条直角边为,故斜边,即大正方形的边长为,小正方形边长为,故概率为.5. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由得,故是递增数列,反之也成立,所以为充要条件.选C.6. 已知直线与抛物线：相交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设,代入抛物线得,两式相减得,即,即直线的斜率为,由点斜式得,化简得,故选D. 7. 已知函数，不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于,所以函数为奇函数,且为单调递增函数,故,所以,故选A.8. 已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4，且在双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线的左焦点的距离为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为,所以.双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个,即双曲线右顶点到右焦点的距离为,故,由于,解得,右顶点到左焦点的距离为,故选D.9. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1.5，则输入的值应为（）A. 4.5B. 6C. 7.5D. 9【答案】B【解析】,判断是,,判断是,,判断是, ,判断否,输出,故选B.10. 在中，边上的中线的长为2，点是所在平面上的任意一点，则的最小值为（）A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则．设点P的坐标为，则，故，当且仅当时等号成立．所以的最小值为．选C．11. 如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设底边长和高为,则三棱锥的体积为.底面外接圆半径,故几何体外接球的半径为,体积为.故比值为.故选C.12. 已知函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,在上单调递减.若,则在上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故.故需当时,且,使得第一段有一个零点,故.对于第二段,,故需在区间有两个零点,,故在上递增,在上递减,所以,解得.综上所述,【点睛】本小题主要考查函数的图象与性质,考查含有参数的分段函数零点问题的求解策略,考查了利用导数研究函数的单调区间,极值,最值等基本问题.其中用到了多种方法,首先对于第一段函数的分析利用了分离常数法,且直接看出函数的单调性.第二段函数利用的是导数来研究图像与性质.13. 设，满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】4【解析】,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值为.[点睛]本小题主要考查线性规划的基本问题,考查了指数的运算. 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；③确定要画不等式所表示的平面区域.14. 某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分，对这些产品的一项质量指标进行了检测，整理检测结果得到如下频率分布表：据此可估计这批产品的此项质量指标的方差为__________．【答案】144【解析】由题意得这批产品的此项质量指标的平均数为，故方差为．答案：点睛：在频率分布直方图中平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和，在频率分布表中平均数的估计值等于每个分组的中点值乘以该组频率之和．利用类似的方法也可根据频率分布直方图或频率分布表求得方差．15. 的展开式中常数项为__________．【答案】672【解析】表示9个相乘，从这9个中选取6个且只取其中的，从剩余的3个中只取，相乘后即可得到常数项，故常数项为．答案：16. 若函数在开区间内，既有最大值又有最小值，则正实数的取值范围为__________．【答案】【解析】,其中,,故,解得,故,解得.17. 已知数列满足，.（Ⅰ）证明：是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）递推公式是型时，通常等式两边同时加，构成新的等比数列，（Ⅱ）求和时采用分组求和的方法，其中是差比数列，采用错位想减法。

2018年高三一模考试理科数学试卷及答案

. 第 17～ 21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答 . 第（ 22）、（ 23）题为选考题，考生根据要求作答 .
（一）必考题：共 60 分 .
17. 已知数列 { a n } 为单调递增数列，
S n 为其前
n 项和，
2S n
a2 n
n.
（ 1）求 { a n } 的通项公式；
（ 2）若 b n
PQ
的平行线交抛物线于点 M ，直线 Q M 交 y 轴于点 N ，则
．
NO
16. 在 A B C 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， A B 边上的高为 h ，若 c 2 h ，
则a
b
的取值范围是．
ba
三、解答题：共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6
D．向左平移个单位长度
3
9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（
）
5
A． 5 4 2 B． 9 C． 6 5 2 D．
3
2
2
10. 已知 F 为双曲线 C ： x 2
y
2
1 ( a 0 , b 0 ) 的右焦点，过点 F 向 C 的一条渐近线引垂
ab
线，垂足为 A ，交另一条渐近线于点 B . 若 O F F B ，则 C 的离心率是（
12. 已知 P ， A ， B ， C 是半径为 2 的球面上的点， P A P B P C 2 ， A B C 9 0 ，点
B 在 A C 上的射影为 D ，则三棱锥 P A B D 体积的最大值是（
）
A． 3 3 B． 3 3
4
8
C． 1 D． 3

2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷理科一参考答案与试题解析

2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}2．（5分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数4．（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数则（）A．2+πB．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得9．（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A．﹣73 B．﹣61 C．﹣55 D．﹣6310．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．3212．（5分）若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则=．14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为．15．（5分）在等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n=a2n ﹣a2n，n∈N*，则数列{b n}的前2n项和为．﹣116．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF 的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足．（1）求a及角A的大小；（2）求的值．18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°．（1）求证：BD⊥CC1；（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（，）内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；（2）分别记直线l：，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|．（1）求不等式f（x）≤10﹣|x﹣3|的解集；（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥16．2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}【解答】解：A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，C={x|x=2n，n∈N}，可得（A∪B）∩C={0，2，4}，故选C．2．（5分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i【解答】解：由，得x+yi==2+i，∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．故选：A．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，∴a4+a5+a6+a7=2（a1+a10）=18，∴a1+a10=9，∴=45．故选：D．4．（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设AB=2，则BC=CD=DE=EF=1，∴S=××=，△BCIS平行四边形EFGH=2S△BCI=2×=，∴所求的概率为P===．故选：A．5．（5分）已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x=a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线C：的右焦点F（c，0），双曲线的渐近线方程为y=x，由x=a代入渐近线方程可得y=b，则A（a，b），可得AF的中点为（，b），代入双曲线的方程可得﹣=1，可得4a2﹣2ac﹣c2=0，由e=，可得e2+2e﹣4=0，解得e=﹣1（﹣1﹣舍去），故选：D．6．（5分）已知函数则（）A．2+πB．C．D．【解答】解：∵，=∫cos2tdt===，∴=（）+（﹣cosx）=﹣2．故选：D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：第1次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2；第2次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=3；第3次循环后，S==2，不满足退出循环的条件，k=4；…第n次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=n+1；…第2018次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2019第2019次循环后，S==2，满足退出循环的条件，故输出的S值为2，故选：C8．（5分）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得【解答】解：函数=sin（2ωx）﹣•+=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，∴•=，∴ω=2，f（x）=sin（4x﹣）=cos[（4x﹣）﹣]=cos（4x﹣）．故把函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位，可得f（x）的图象，故选：B．9．（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A．﹣73 B．﹣61 C．﹣55 D．﹣63【解答】解：展开式中所有各项系数和为（2﹣3）（1+1）6=﹣64；=（2x﹣3）（1+++…），其展开式中的常数项为﹣3+12=9，∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为﹣64﹣9=﹣73．故选：A．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF，底面是正六边形，有一PAF侧面垂直底面，且P在底面的投影为AF中点，过底面中心N作底面垂线，过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线，两垂线的交点即为球心O，设△PAF的外接圆半径为r，，解得r=，∴，则该几何体的外接球的半径R=，∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S=4πR2=．故选：C．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．32【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），设直线l1：y=k1（x﹣1），直线l2：y=k2（x﹣1），由题意可知，则，联立，整理得：k12x2﹣（2k12+4）x+k12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，设D（x3，y3），E（x4，y4），同理可得：x3+x4=2+，由抛物线的性质可得：丨AB丨=x1+x2+p=4+，丨DE丨=x3+x4+p=4+，∴|AB|+|DE|=8+==，当且仅当=时，上式“=”成立．∴|AB|+|DE|的最小值24，故选：C．12．（5分）若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；则在∈[6，8）上，f（x）=23•f（x﹣6），则有﹣12≤f（x）≤4，则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；对于函数，有g′（x）=﹣+x+1==，分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）=+m，若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8，解可得m≤，即m的取值范围为（﹣∞，]；故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则=．【解答】解：根据题意，向量，，若，则•=2sinα﹣cosα=0，则有tanα=，又由sin2α+cos2α=1，则有或，则=（，）或（﹣，﹣），则||=，则=2+2﹣2•=；故答案为：14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），=，令t=5x﹣3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最小值为﹣2．∴目标函数的最小值为．故答案为：．15．（5分）在等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n=a2n ﹣a2n，n∈N*，则数列{b n}的前2n项和为．﹣1【解答】解：等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设首项为a1，公比为q，则：，整理得：，解得：．则：，所以：b n=a2n﹣1﹣a2n==﹣22n﹣4，则：T 2n ==．故答案为：．16．（5分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的取值范围为（0，）．【解答】解：∵PF ⊥AF ，PF ⊥EF ，AF ∩EF=F ， ∴PF ⊥平面ABCD ．设PF=x ，则0＜x ＜1，且EF=DF=x ．∴五边形ABCEF 的面积为S=S 梯形ABCD ﹣S △DEF =×（1+2）×1﹣x 2=（3﹣x 2）． ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积V=（3﹣x 2）x=（3x ﹣x 3），设f （x ）=（3x ﹣x 3），则f′（x ）=（3﹣3x 2）=（1﹣x 2）， ∴当0＜x ＜1时，f′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，1）上单调递增，又f （0）=0，f （1）=． ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的范围是（0，）．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足．（1）求a及角A的大小；（2）求的值．【解答】解：（1）由2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得﹣2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，即﹣2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，在△ABC中，sinB＞0，所以．又A∈（0，π），所以．在△ABC中，c=2b=2，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=7，所以．（2）由，得=，所以．18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°．（1）求证：BD⊥CC1；（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．【解答】解：（1）连接A1B，A1D，AC，因为AB=AA1=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，于是A1B=A1D．设AC与BD的交点为O，连接A1O，则A1O⊥BD，又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC．又AA1⊂平面A1AC，所以BD⊥AA1，又CC1∥AA1，所以BD⊥CC1．（2）由，及，知A 1B⊥A1D，于是，从而A1O⊥AO，结合A1O⊥BD，AO∩AC=O，得A1O⊥底面ABCD，所以OA、OB、OA1两两垂直．如图，以点O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系O ﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），C（﹣1，0，0），，，，由，得D1（﹣1，﹣1，1）．设（λ∈[0，1]），则（x E+1，y E+1，z E﹣1）=λ（﹣1，1，0），即E（﹣λ﹣1，λ﹣1，1），所以．设平面B1BD的一个法向量为，由得令x=1，得，设直线DE与平面BDB1所成角为θ，则，解得或（舍去），所以当E为D1C1的中点时，直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（，）内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=．【解答】解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．（2）①∵Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ=，σ≈，∴P（＜Z＜）=P（﹣＜Z＜+）=，∴Z落在（，）内的概率是．②根据题意得X～B（4，），；；；；．∴X的分布列为X01234P∴．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）由已知可得解得a2=2，b2=c2=1，所求椭圆方程为．（2）由得（1+2k2）x2+8kx+6=0，则△=64k2﹣24（1+2k2）=16k2﹣24＞0，解得或．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设存在点D（0，m），则，，所以==．要使k AD+k BD为定值，只需6k﹣4k（2﹣m）=6k﹣8k+4mk=2（2m﹣1），k与参数k无关，故2m﹣1=0，解得，当时，k AD+k BD=0．综上所述，存在点，使得k AD+k BD为定值，且定值为0．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=e2﹣2（a﹣1）x﹣b，其导数为f'（x）=e x﹣2（a﹣1），当函数f（x）在区间[0，1]上单调递增时，f'（x）=e x﹣2（a﹣1）≥0在区间[0，1]上恒成立，∴2（a﹣1）≤（e x）min=1（其中x∈[0，1]），解得；当函数f（x）在区间[0，1]单调递减时，f'（x）=e x﹣2（a﹣1）≤0在区间[0，1]上恒成立，∴2（a﹣1）≥（e x）max=e（其中x∈[0，1]），解得．综上所述，实数a的取值范围是．（2）函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，则g'（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，分析可得f（x）=g'（x）．由g（0）=g（1）=0，知g（x）在区间（0，1）内恰有一个零点，设该零点为x0，则g（x）在区间（0，x0）内不单调，所以f（x）在区间（0，x0）内存在零点x1，同理，f（x）在区间（x0，1）内存在零点x2，所以f（x）在区间（0，1）内恰有两个零点．由（1）知，当时，f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f（x）在区间（0，1）内至多有一个零点，不合题意．当时，f（x）在区间[0，1]上单调递减，故f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意；所以．令f'（x）=0，得x=ln（2a﹣2）∈（0，1），所以函数f（x）在区间[0，ln（2a﹣2）]上单调递减，在区间（ln（2a﹣2），1]上单调递增．记f（x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2），因此x1∈（0，ln（2a﹣2）]，x2∈（ln（2a﹣2），1），必有f（0）=1﹣b＞0，f （1）=e﹣2a+2﹣b＞0．由g（1）=0，得a+b=e，所以，又f（0）=a﹣e+1＞0，f（1）=2﹣a＞0，所以e﹣1＜a＜2．综上所述，实数a的取值范围为（e﹣1，2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；（2）分别记直线l：，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．【解答】解：（1）圆C1：（θ是参数）消去参数θ，得其普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式并化简，得圆C1的极坐标方程，由圆C2的极坐标方程，得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2代入上式，得圆C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（2）由（1）知圆C1的圆心C1（﹣1，﹣1），半径r1=a；圆C 2的圆心C2（1，1），半径，，∵圆C1与圆C2外切，∴，解得，即圆C1的极坐标方程为．将代入C1，得，得；将代入C2，得，得；故．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|．（1）求不等式f（x）≤10﹣|x﹣3|的解集；（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥16．【解答】解：（1）此不等式等价于或或解得或或3＜x≤4．即不等式的解集为．（2）证明：∵m＞0，n＞0，m+2n=mn，，即m+2n ≥8，当且仅当即时取等号．∴f（m）+f（﹣2n）=|2m+1|+|﹣4n+1|≥|（2m+1）﹣（﹣4n+1）|=|2m+4n|=2（m+2n）≥16，当且仅当﹣4n+1≤0，即时，取等号．∴f（m）+f（﹣2n）≥16．。

2018年高考数学(理科)模拟试卷一含答案解析.doc

2018年高考数学(理科)模拟试卷(一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016年四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是() A．6 B.5C．4D．31.B解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5.故选B.2．(2016年山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i,其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i2．B解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋b i＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B.3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M1-1，该四棱锥最长棱的棱长为()图M1-1A．1 B.2 C.3D．23．C解析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，SA＝SC2＋AC2＝SC2＋AB2＋BC2＝3.故选C.图D1884．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A. B. C. D.4．C解析：f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为.进入循环体，a＝－，否，k＝1，a＝－2，否，k＝2，a＝1，ππππ6342π4 5．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n同时成立，则正整数n的最大值是() A．3B．4C．5D．65．B解析：因为[x]表示不超过x的最大整数．由[t]＝1，得1≤t<2，由[t2]＝2，得2≤t2<3.由[t3]＝3，得3≤t3<4.由[t4]＝4，得4≤t4<5.所以2≤t2<5.所以6≤t5<45.由[t5]＝5，得5≤t5<6，与6≤t5<45矛盾，故正整数n的最大值是4.6．(2016年北京)执行如图M1-2所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为()图M1-2A．1B．2C．3D．46．B解析：输入a＝1，则k＝0，b＝1；12此时a＝b＝1，输出k，则k＝2.故选B.7．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m＋n的值是()7．C解析：由题意，得＝88，n＝9.所以m＋n＝12.⎪⎩x≥0，图M1-3A．10B．11C．12D．1378＋88＋84＋86＋92＋90＋m＋957故选C.8．(2015年陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知分别生产1吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()项目A/吨B/吨甲31乙22原料限额128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元8．D解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，则利润z＝3x＋4y.⎧⎪3x＋2y≤12，由题意可得⎨x＋2y≤8，y≥0.其表示如图D189阴影部分区域：图D189当直线3x＋4y－z＝0过点A(2,3)时，z取得最大值，所以zmax＝3×2＋4×3＝18.故选D.9．(2016年新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有() A．18个B．16个C．14个D．12个9．C解析：由题意，必有a1＝0，a8＝1，则具体的排法列表如下：10．(2016 年天津 )已知函数f(x)＝sin 2ω x ＋ sin ωx － (ω>0)，x ∈ ⎛ 1⎤ ⎛ 1⎤ ⎡5 ⎫ A. 0， ⎥ B. 0， ⎥∪⎢ ，1⎪ ⎛5⎤ ⎛ 1⎤ ⎡1 5⎤ C. 0， ⎥ D. 0， ⎥∪⎢ ， ⎥ 1－cos ω x sin ω x 1 2 ⎛ ⎛π ⎫ 10.D 解析：f(x)＝＋－＝ sin ω x － ⎪，f(x)＝0⇒sin ω x － ⎪ k π ＋⎛1 1⎫ ⎛5 5⎫ ⎛9 9⎫ ⎛1 1⎫ ⎛5 ⎫ ⎛ 1⎤ ⎡1 5⎤因此 ω ， ⎪∪ ， ⎪∪ ， ⎪∪…＝， ⎪∪ ，＋∞⎪⇒ω∈ 0， ⎥∪⎢ ， ⎥.故选4 ⎭ A ．3 B. C ．23 D. ∥PA ，所以 OE ⊥底面 ABCD ，则 O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即 O 为球心， PC ＝1 1 4 ⎛1 ⎫ 243π 7 PA2＋AC2＝ PA2＋8，所以由球的体积可得 π PA2＋8⎪3＝，解得 PA ＝ .故选1 12 2 2R.若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是()⎝ 8⎦ ⎝ 4⎦ ⎣8 ⎭⎝ 8⎦ ⎝ 8⎦ ⎣4 8⎦2 2 2 2 ⎝ ⎝ 4 ⎭ ＝0，π4所以 x ＝ (π，2π)，(k ∈Z)．ω⎝8 4⎭ ⎝8 4⎭ ⎝8 4⎭ ⎝8 4⎭ ⎝8 ⎭ ⎝ 8⎦ ⎣4 8⎦D.11．四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA底面ABCD ，AB ＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为⊥243π 16的同一球面上，则P A ＝()729211．B 解析：如图 D190，连接 AC ，BD 交于点 E ，取 PC 的中点 O ，连接 OE ，则 OE122 23 ⎝2 ⎭ 16 2B.12．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴两侧，若 OA ·OBA ．4 B. C. D. 10OA · OB ＝6，所以 x 1· x 2＋y 1· y 2＝6，从而(y 1· y 2)2＋y 1· y 2－6＝0，因为点 A ，B 位于 x 轴的两侧，所以 y 1· y 2＝－3，故 m ＝3，不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y 1>0，又 F ，0⎪，所以 △S ABO ＋△S ⎝4⎭8 2 y1 2 8×3×(y 1－y 2)＋ × y 1＝ y 1＋，即 y 1＝时取等号，故其最小值为 .故选 B.|c|·|a| |c|·|b| 5a2 －y214．设F 是双曲线C ：x2b图D190→→＝6(O 为坐标原点△)，则 ABO 与△AOF 面积之和的最小值为()3 1317 2 2412．B 解析：设直线 AB 的方程为 x ＝ty ＋m ，点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线 AB 与 x轴的交点为 M (m,0)，将直线方程与抛物线方程联立，可得 y 2－ty －m ＝0，根据韦达定理有 y 1· y 2＝－m ，因为 →→⎛1 ⎫AFO 1 1 1 13 9 ＝2 2 4 8 2y1 ≥213 9 1 313 13y1 ·y1· · ＝，当且仅当＝9 6 13 3 132y1 13 2第Ⅱ卷(非选择题满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23 题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．13．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.13．2 解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则 c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝ 5，|b |＝2 5，c·a c·b 5m ＋8a · c ＝5m ＋8，· c ＝8m ＋20.∵c 与 a 的夹角等于 c 与b 的夹角，∴ ＝ .∴8m ＋20 ＝ .解得 m ＝2.2 5b2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．16．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤ ”发生的概率为________．⎛π ⎫ ⎛5π ⎫ 6⎝ 6 ⎭ 1－0 ＋ π － ⎪ ⎪17．解：(1)设{a n }的公比为 q ，{b n }的公差为 d ，由题意知 q >0.由已知，有⎨c,2b )在双曲线上，有－＝1，则 e 2＝5，e ＝ 5. 11⎡ ⎤0，16.解析：由正弦函数的图象与性质知，当 x ∈⎢∪⎢ ，π ⎥时，sin x ≤ .⎥π 36 ⎦ ⎣ 6 ⎩14. 5 解析：根据双曲线的对称性，不妨设 F(c,0)，虚轴端点为(0，b )，从而可知点(－c2 4b2a2 b215．(2016 年北京)在(1－2x)6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)15．60 解析：根据二项展开的通项公式 T r ＋1＝C r6·(－2)r x r 可知，x 2 的系数为 C 26(－2)2＝60，故填 60.123⎣ ⎦ 2⎭ ⎝ 所以所求概率为＝ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分 )已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5 －3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．⎧⎪2q2－3d ＝2， ⎪q4－3d ＝10. 消去 d ，得 q 4－2q 2－8＝0.解得 q ＝2，d ＝2.所以{a n }的通项公式为 a n ＝2n －1，n ∈N *， {b n }的通项公式为 b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有 c n ＝(2n －1)2n －1，设{c n }的前 n 项和为 S n ，则 S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n .两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3. 所以 S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.18．( 本小题满分 12 分 )(2014 年大纲 )设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．18．解：记 A 1 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备，i ＝0,1,2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备．(1)因为 P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i )＝C i2×0.52，i ＝0,1,2，∠P AB＝90°，BC＝CD＝AD，E为边AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A·C＋B·A·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A)P(C)＋P(B)P(A)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.19．(本小题满分12分)(2016年四川)如图M1-4，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝12(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．图M1-419．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形．所以CD∥EB.从而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)方法一，由已知，CD⊥P A，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.所以AH＝.在△Rt P AH中，PH＝PA2＋AH2＝，所以sin∠APH＝＝.作Ay⊥AD，以A为原点，以AD，AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图D192所以PE＝(1,0，－2)，EC＝(1,1,0)，AP＝(0,0,2)PEEC→则sinα＝＝|n|·|AP|2×22＋－＋123所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.设BC＝1，则在Rt△P AD中，P A＝AD＝2.如图D191，过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知P A⊥平面ABCD，从而P A⊥CE.于是CE⊥平面P AH.所以平面PCE⊥平面P AH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．在△Rt AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，22322AH1PH3图D191图D192方法二，由已知，CD⊥P A，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC＝1，则在△Rt P AD中，P A＝AD＝2.→→所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，→→→设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，⎧⎪n·→＝0，由⎨⎪⎩n·→＝0，⎧⎪x－2z＝0，得⎨⎪⎩x＋y＝0.设x＝2，解得n＝(2，－2,1)．设直线PA与平面PCE所成角为α，|n·AP|2→1＝.1320．(本小题满分12分)(2016年新课标Ⅲ)设函数f(x)＝ln x－x＋1.(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1< <x ；20．解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－1，令 f ′(x)＝0，解得 x ＝1.故当 x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln < －1，即 1< <x.ln c 令 g ′(x)＝0，解得 x 0＝ .21．解：(1)设椭圆 C 的方程为＋＝1(a >b >0)，因为点 B(2， 2)在椭圆 C 上，所以＋＝1.②所以椭圆 C 的方程为＋＝1.因为直线 y ＝kx(k ≠0)与椭圆＋＝1 交于两点 E ，F ，(1)讨论f(x)的单调性；x －1ln x(3)设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .1x当 0<x <1 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当 x >1 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．(2)由(1)知，f(x)在 x ＝1 处取得最大值，最大值为 f(1)＝0. 所以当 x ≠1 时，ln x <x －1.1 1 x －1x x ln x(3)由题设 c >1，设 g (x)＝1＋(c －1)x －c x ，则 g ′(x)＝c －1－c x ln c.c －1 lnln c当 x <x 0 时，g ′(x)>0，g (x)单调递增；当 x >x 0 时，g ′(x)<0，g (x)单调递减．c －1由(2)知，1<ln c <c ，故 0<x 0<1.又 g (0)＝g (1)＝0，故当 0<x <1 时，g (x)>0. 所以 x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .21．( 本小题满分 12 分 )(2016 年广东广州综合测试一)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B(2， 2 )在椭圆C 上，直线y ＝kx(k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．x2 y2a2 b2因为椭圆的左焦点为 F 1(－2,0)，所以 a 2－b 2＝4.①4 2a2 b2由①②，解得 a ＝22，b ＝2. x2 y28 4(2)因为椭圆 C 的左顶点为 A ，则点 A 的坐标为(－2 2，0)．x2 y28 4设点 E(x 0，y 0)(不妨设 x 0>0)，则点 F(－x 0，－y 0)．⎪⎩ 84 .所以 x 0＝ 2，则 y 0＝ .－ ⎝ 2⎫2⎫2⎪ ，即 x 2＋y 2＋ y ＝4.⎛ 4π ⎫(2，π)、B 2， ⎪.⎛4π 4π ⎫ 22．解：(1)将 A 、B 化为直角坐标为 A(2cos π，2sin π)，B 2cos ，2sin ⎪，即 A ，⎪⎨ d ＝＝⎧⎪y ＝kx ，联立方程组⎨x2 y2＋＝1消去 y ，得 x 2＝81＋2k22 1＋2k2 2 2k 1＋2k2k所以直线 AE 的方程为 y ＝ (x ＋2 2)．1＋ 1＋2k2因为直线 AE ，AF 分别与 y 轴交于点 M ，N ，2 2k ⎛ 2 2k ⎫令 x ＝0 得 y ＝，即点 M 0， ⎪.1＋ 1＋2k2 ⎝ 1＋ 1＋2k2⎭ ⎛ 2 2k ⎫同理可得点 N 0， ⎪.⎝ 1－ 1＋2k2⎭⎪ 2 2k 2 2k ⎪ 2 所以|MN |＝⎪ ⎪＝⎪1＋ 1＋2k2 1－ 1＋2k2⎪⎛ 设 MN 的中点为 P ，则点 P 的坐标为 P 0，－ ⎝＋|k|2⎫⎪.k ⎭.⎛ ⎛ 则以 MN 为直径的圆的方程为 x 2＋ y ＋ ⎪ ＝k ⎭ ⎝＋ |k| 2 2⎭ k令 y ＝0，得 x 2＝4，即 x ＝2 或 x ＝－2.故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1(2,0)，P 2(－2,0)，请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分 10 分)选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线C 的参数方程是⎧x ＝2cos θ ， ⎪⎩y ＝sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A 、B 的极坐标分别为A⎝ 3 ⎭(1)求直线AB 的直角坐标方程；(2)设M 为曲线C 上的动点，求点M 到直线AB 距离的最大值．⎝ 3 3 ⎭ B 的直角坐标分别为 A(－2,0)，B(－1，－ 3)，k AB ＝－ 3－0 －1＋2＝－ 3，∴直线 AB 的方程为 y －0＝－ 3(x ＋2)，即直线 AB 的方程为 3x ＋y ＋2 3＝0.(2)设 M (2cos θ，sin θ)，它到直线 AB 的距离|2 3cos θ ＋sin θ ＋2 3| | 13 2θ ＋φ2＋2 3|，2 ⎧⎪x≤ ， ⎩ 解得 1<x ≤ ，或 <x < . ⎧⎪ ⎪ 5 所以原不等式的解集为⎨x ⎪1<x< ⎪⎩ ⎪∴d max ＝13＋2 3 .23．(本小题满分 10 分)选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x －2|－|2x －a|，a ∈R .(1)当a ＝3时，解不等式f(x)>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f(x)<0恒成立，求a 的取值范围． 23．解：(1)当 a ＝3 时，f(x)>0，即|x －2|－|2x －3|>0， 3 等价于⎨ 2 ⎪⎩x －1>0， ⎧⎪3<x<2，或⎨2 ⎪⎩－3x ＋5>0，⎧⎪x≥2，或⎨ ⎪－x ＋1>0. 3 3 5 2 2 33 ⎫⎪ ⎬. ⎪⎭ (2)f(x)＝2－x －|2x －a|，所以 f(x)<0 可化为|2x －a|>2－x ， ①即 2x －a >2－x ，或 2x －a <x －2.①式恒成立等价于(3x －2)min >a 或(x ＋2)max <a ， ∵x ∈(－∞，2)，∴a ≥4.。

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(一)数学(理)试题word含答案

普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学(一)本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}260,,1,0,1,2,A x x x x N B A B =-++>∈=-⋂=则A ．{1，2}B ．{0，1，2)C ．(0，1}D ．{－1，0，1，2}2．已知i 为虚数单位，复数z z z ==A ．2--B ．2-+C ．4-+D ．1--3．已知双曲线C ：()2210C x my m -=>：的一条渐近线方程为x =2y ，则该双曲线的实轴长与虚轴长之差为 A ．12-B ．12C ．1-D ．14．已知随机变量X ～N(2，1)，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形ABCD 中随机投掷一点，则该点恰好落在阴影部分的概率为(附：若随机变量()2~,N ξμσ，则()(0.6827,2P P μσξμσμσξ-≤≤+≈-≤≤)20.9545.μσ+≈A ．0.1359B ．0.170625C ．0.829325D ．0.86415．执行如图所示的程序框图，若输入的4x =，则输出的n 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．杨辉是中国南宋时期的一位杰出的数学家、数学教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，按从上到下、从左到右的顺序数，把第1个1记为(1，1)，第2个1记为(2，1)，第3个1记为(2，2)，第4个1记为(3，1)，第5个1记为(3，2)，依次类推，第21个1应记作A ．(10，2)B ．(11，1)C ．(11，2)D ．(12，1)7．已知命题2:,210p x R mx mx ∀∈-+>，命题q ：指数函数()()0,1x f x m m m =>≠且为减函数，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的图像的一个对称中心是A ．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．7,012π⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,04π⎛⎫⎪⎝⎭9．已知一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为8163π+，则正视图中线段AB 的长为 A ．2B ．4C ．6D ．810．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上，且212PF F F ⊥，过点P 作1F P 的垂线交x 轴于一点A ，若212AF c =，记椭圆C 的离心率为e ，则2e =AB．3C ．12D111．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,4,3,sin cos a b c b c a A C ==+，且sin cos cos c A A A =，点M 在边BC 上，且AB AC AM xyxy ABAC=+，则的最大值为 A.3B.4C.8D.912．已知函数()3291,0,1,0,x x x x f x ex -⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()()222g x f x f x t =-+⎡⎤⎣⎦恰有8个不同的零点，则实数t 的取值范围为 A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,43⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题。

XXX(XXX、XXX等)2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案

XXX(XXX、XXX等)2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案2018年XXX一模考试数学理科答案如下：一、选择题：XXX二、填空题：13.1 14.三、解答题：17.（本题满分12分）解：（Ⅰ）令n=1，得4a1=a1/(2+2a1-3)，且a1>0，解得a1=3.当n≥2时，4Sn-4Sn-1=a_n-a_n-1+2a_n-2-2a_n-3，即4a_n=a_n-a_n-1+2a_n-2-2a_n-3，整理得(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1-2)=1/2，Qa_n>0，故a_n-a_n-1=2，所以数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，故a_n=2n+1.Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=(-1)^n/(2an-14n+4n^2(n+1))。

Qa_n>0.于是Tn=b1+b2+。

+b_n=(1-1/2+1/3-1/4+。

+(-1)^(n-1)/n)/(2n-14n+4n^2(n+1))=(1-1/2+1/3-1/4+。

+(-1)^(n-1)/n)/(2(n-1)^2+2(n-1)+1).18.（本题满分12分）解：（1）由已知X的可能取值为100,200,300，X的分布列为：X P 100 0.2 200 0.4 300 0.4.2）由已知①当订购200台时，E(Y)=[200×100-50×(200-100)]×0.2+200×200×0.8=(元)。

②当订购250台时，E(Y)=[200×100-50×(250-100)]×0.2+[200×200-50×(250-200)]×0.4+[200×250]×0.4=（元）。

综上所求，当订购250台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台。

19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD。

河北省邯郸市2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题(word版含答案)

高三数学考试（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则（）A. -1B. 1C.D.【答案】A【解析】选A.2. 设全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，选B.3. 某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，只有通过前一天才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（）A. 0.56B. 0.336C. 0.32D. 0.224【答案】D【解析】该选手只闯过前两关的概率为，选D.4. 的内角，，所对的边分别为，，.已知，，且，则（）A. 6B.C.D. 7【答案】A【解析】因为所以选A.5. 如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】几何体如图，所以体积为，选C.6. 若函数在上是增函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，选A.7. 记不等式组，表示的平面区域为，点的坐标为.有下面四个命题：：，的最小值为6；：，；：，的最大值为6；：，.其中的真命题是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】作可行域如图：则过点（4，-2），z取最大值6，最小值为O到直线距离的平方，即；最大值为O到点（4，-2）距离的平方，即为20；所以，为真命题，选C.8. 若的展开式中的系数为80，其中为正整数，则的展开式中各项系数的绝对值之和为（）A. 32B. 81C. 243D. 256【答案】C【解析】由题意得，的展开式中各项系数的绝对值之和为，选C.9. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中的单位为钱，则输出的，分别为此题中好、坏田的亩数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设好田为x,坏田为y，则A中；B中正确；C中；D中，所以选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10. 若仅存在一个实数，使得曲线：关于直线对称，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，选D.【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间11. 设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径为，若二面角的正切值为，则（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】取线段AB中点D，设P在底面ABC 射影为O，设AB=a,则，为二面角的平面角，，,选C.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 12. 设双曲线：的左顶点与右焦点分别为，，以线段为底边作一个等腰，且边上的高.若的垂心恰好在的一条渐近线上，且的离心率为，则下列判断正确的是（）A. 存在唯一的，且B. 存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内C. 存在唯一的，且D. 存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内【答案】A【解析】由题意可设，可得的垂心H，因为的垂心恰好在的一条渐近线上，所以，所以存在唯一的，且，当时无零点，选A.点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 在平行四边形中，若，则__________．【答案】2【解析】在平行四边形中，，且，则，所以；故填1.14. 若圆：的圆心为椭圆：的一个焦点，且圆经过的另一个焦点，则圆的标准方程为__________．【答案】【解析】，即圆的标准方程为.15. 若，，则__________．【答案】2【解析】因为，所以，，，，即.16. 已知集合，，，若集合的子集的个数为8，则的取值范围为__________．【答案】【解析】作函数图像，因为集合的子集的个数为8，所以集合的子集的元素为3，因此，即的取值范围为.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知数列，的前项和分别为，，，且.（1）求；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据分组求和法分成一个等差与一个等比数列的和的和，再分别求和，（2）因为，所以利用错位相减法以及分组求和法求和.试题解析：解：（1）依题意可得，，…，，∴.（2）∵，∴，∴.又，∴.∴，∴，则，∴，故.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18. 某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有3个红球，3个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取3个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；③若取得的3个小球只有1种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包；④若取得的3个小球有3种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包；⑤若取得的3个小球只有2种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包.抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.（1）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）；（2）记一次抽奖获得的红包奖金数（单位：元）为，求的分布列及数学期望，并计算这20位顾客（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值.【答案】（1）中位数为110，平均数为131（2）【解析】试题分析：（1）根据数据得中位数，根据平均数定义得平均数，（2）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求均值.试题解析：解：（1）获得抽奖机会的数据的中位数为110，平均数为.（2）的可能取值为2，5，10，，，，则的分布列为故.这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，故共有14次抽奖机会.所以这20位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为元.19. 如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，，分别为棱与的中点，，为线段上的动点，其中，更靠近，且.（1）证明：平面；（2）若与平面所成角的正弦值为，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据正三角形性质得，结合线面垂直得.因此可得平面，即.再根据，得平面，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解平面法向量，根据向量数量积求夹角，再根据线面角与向量夹角互余关系列方程，解得N坐标，最后根据向量数量积求异面直线与所成角的余弦值.试题解析：解：（1）证明：由已知得为正三角形，为棱的中点，∴，在正三棱柱中，底面，则.又，∴平面，∴.易证，又，∴平面.（2）解：取的中点，的中点，则，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，则，易知是平面的一个法向量，∴，解得.∴，，，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为.20. 已知，抛物线：与抛物线：异于原点的交点为，且抛物线在点处的切线与轴交于点，抛物线在点处的切线与轴交于点，与轴交于点.（1）若直线与抛物线交于点，，且，求；（2）证明：的面积与四边形的面积之比为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）先联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理以及弦长公式列方程，解得p，再根据向量数量积求；（2）先求M坐标，再求直线方程，进而求得A,B,C坐标，即得面积，最后作商.试题解析：（1）解：由，消去得.设，的坐标分别为，，则，.∴，∵，∴.∴.（2）证明：由，得或，则.设直线：，与联立得.由，得，∴.设直线：，与联立得.由，得，∴.故直线：，直线：，从而不难求得，，，∴，，∴的面积与四边形的面积之比为（为定值）.21. 已知函数，.（1）比较与的大小，并加以证明；（2）当时，，且，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）构造差函数，求导得单调性，根据零点存在定理确定零点区间以及满足条件，根据单调性确定函数最小值取法，最后确定最小值大于零.（2）先确定函数单调性，得，再根据，确定.试题解析：（1）解：.证明如下：设，∵为增函数，∴可设，∵，，∴.当时，；当时，.∴，又，∴，∴.∵，∴，∴，.（2）证明：设，令，得，，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，设，∵，∴，即.当时，，则.当时，，∵，∴，∴.当或时，不合题意.从而.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）将曲线的参数方程化为普通方程，并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求曲线与曲线交点的极坐标.【答案】(1)的普通方程为（或）；的直角坐标方程为.(2).【解析】试题分析：（1）先求出t，再代入消元将曲线的参数方程化为普通方程，根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求曲线与曲线交点的直角坐标，再化为极坐标.试题解析：解：（1）∵，∴，即，又，∴，∴或，∴曲线的普通方程为（或）.∵，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为.（2）由得，∴（舍去），，则交点的直角坐标为，极坐标为.23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先将函数化为分段函数，而动直线过定点，结合图像可得的取值范围.试题解析：解：（1）由，得或或，解得，故不等式的解集为.（2），作出函数的图象，如图所示，直线过定点，当此直线经过点时，；当此直线与直线平行时，. 故由图可知，.。

山东省济南市2018届高考第一次模拟考试数学(理)试题含答案

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S 2018 ．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.每 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 b cos A a cos B 2c . （1）证明： tan B 3tan A ；（2）若 b c a
A．
13 5 B． 2 3
C．
4 3
D．
2 6 3
x
12.设 x1 ， x2 分别是函数 f ( x ) x a 是（）
和 g ( x ) x log a x 1 的零点（其中 a 1 ），则 x1 4 x2 的取值范围
A． [4, ) B． (4, )
C． [5, )
B．34，55
C．21，13
D．55，34 ）
10.设函数 f ( x ) log 1 (1 x 2 )
2
1 ，则使得 f ( x ) f (2 x 1) 成立的 x 的取值范围是（ 1 2 x
1
A． ( ,1] B． [1, ) C． ,1 D． , 1, 3 3
程为（）
x2 y 2 1 A． 36 32
x2 y2 x2 y2 x2 y2 1 C． 1 D． 1 B． 9 8 9 5 16 12 3 1 a4 的等差中项为，则 a1 的值为（ 2 2
）
5.已知正项等比数列 {an } 满足 a3 1 ， a5 与 A．4 B．2 C．
3.已知某 7 个数的平均数为 4，方差为 2，现加入一个新数据 4，此时这 8 个数的平均数为 x ，方差为 s ，

江西省南昌市2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题有答案AlUPHn

第一次模拟测试卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}4A x N y x =∈=-，{}21,B x x n n Z ==+∈，则A B =I ( )A.(],4-∞B.{}1,3C.{}1,3,5D.[]1,3 2.欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。

根据欧拉公式可知，3x i e 表示的复数位于复平面中的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.已知角α的终边经过点()sin 47,cos 47P °°，则()sin 13α-=°( ) A.12 3 C.12- D.3 4.已知奇函数()'f x 是函数()()f x x R ∈是导函数，若0x >时()'0f x >，则( )A.()()()320log 2log 3f f f >>-B.()()()32log 20log 3f f f >>-C.()()()23log 3log 20f f f ->>D.()()()23log 30log 2f f f ->>5.设不等式组3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为M ，若直线y kx =经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( ) A.1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.平面内直角三角形两直角边长分别为,a b 22a b +，22a b +间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为123,,S S S 223123S S S ++则三棱锥顶点到底面的距离为( ) 1233223123S S S S S S ++ 123223123S S S S S S ++ 1232231232S S S S S S ++ 1232231233S S S S S S ++ 7.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为( )A.33 64+ B.152C.63+ D.88.执行如图程序框图，则输出的n等于( )A.1B.2C.3D.49.函数()()()2sinx xe e xf x xeππ-+=-≤≤的图象大致为( )A B C D10.已知具有线性相关的五个样本点()10,0A，()22,2A，()33,2A，()44,2A，()56,4A，用最小二乘法得到回归直线方程1:l y bx a=+，过点1A，2A的直线方程2:l y mx n=+，那么下列4个命题中，①,m b a n>>；②直线1l过点3A；③()()552211i i i ii iy bx a y mx n==--≥--∑∑④5511i i i ii iy bx a y mx n==--≥--∑∑.(参考公式()()()1122211n ni i i ii in ni ii ix y nxy x x y ybx nx x x====---==--∑∑∑∑，a y bx=-)正确命题的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个11.设函数()1,121,1x ax af xx a x a-⎧⎛⎫<+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-≥+⎩，若()f x的最大值不超过1，则实数a的取值范围为( )A.3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B.3,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭C.5,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.35,24⎡⎫--⎪⎢⎣⎭12.已知椭圆22:12412x yE+=，O为坐标原点，,A B是椭圆上两点，,OAOB的斜率存在并分别记为OAk、OBk，且12OA OBk k⋅=-，则11OA OB+的最小值为( )A.2B.13C.2D.2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()3121xx⎛⎫+-⎪⎝⎭展开式中的常数项为________________.14.平面向量()1,a m=r，()4,b m=r，若有()()20a b a b-+=r r r r r，则实数m=________________.15.在圆224x y+=上任取一点，则该点到直线220x y+-=的距离[]0,1d∈的概率为________________.16.已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的200公里处，若()24cos25αβ-=，则v=__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列{}n a的前n项和为n S，满足4421S a=-，3321S a=-.(1)求{}n a的通项公式；(2)记()21logn n nb a a+=⋅，数列{}n b的前n项和为n T，求证：121112nT T T+++<….18.某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[]50,100，按照区间[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀.(1)完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；(2)从乙班[)70,80，[)80,90，[]90,100分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[)80,90发言的人数为随机变量X，求X的分布列和期望.19.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，132AB BC AP AD ====，AC BD O =I ，过O 点作平面α平行于平面PAB ，平面α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点E ，F ，G ，H .(1)求GH 的长度；(2)求二面角B FH E --的余弦值.20.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，124y y =-.(1)求抛物线方程；(2)点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且AD EF ⊥，求ABD △面积的最小值及此时直线AD 的方程.21.已知函数()()ln f x ax bx =+在点()()1,1f 处的切线是0y =.(1)求函数()f x 的极值；(2)当()()210x mx e f x x m e e-≥+<恒成立时，求实数m 的取值范围(e 为自然对数的底数). 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 的极坐标方程；(2)若直线12,l l 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，()2=3R πθρ∈，设直线12,l l 与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求OMN △的面积. 23.已知()223f x x a =+.(1)当0a =时，求不等式()23f x x +-≥的解集；(2)对于任意实数x ，不等式()212x f x a +-<成立，求实数a 的取值范围.NCS20180607项目第一次模拟测试卷理科数学参考答案及评分标准一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二.13．4 14. 2± 15. 1316.100 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17.【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由434S S a -=得，43422a a a -=,所以432a a =，所以2q =. 又因为3321S a =-，所以11112481a a a a ++=-，所以11a =. 所以12n n a -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1212log ()log (22)21n n n n n b a a n -+=⋅=⨯=-，所以21(21)2n n T n n +-==，所以22212111111111+++1121223(1)n T T T n n nL L L +++=<++++创- 11111111222231n n n=+-+-++-=-<-L . 18.（Ⅰ）依题意得2240(12202820) 3.333 2.70640403248K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”（Ⅱ）从乙班[70,80),[80,90),[90,100]分数段中抽人数分别为2，3，2…依题意随机变量X 的所有可能取值为0123，，，2134343377418(0),(1),3535C C C P X P X C C ======1234333377121(2),(3)3535C C C P X P X C C ======所以18121459()123353535357E X =???= 19. 【解析】（Ⅰ）【法一】（Ⅰ）因为//a 平面PAB ，平面a I 平面ABCD EF =， O EF Î，平面PAB I 平面ABCD AB =，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP ，因为BC ∥,6,3AD AD BC ==，所以BOC D ∽DOA D ，且12BC CO AD AO ==，所以12EO OF =，11,23CE CB BE AF ====，同理13CH EH CO PC PB CA ===，连接HO ，则有HO ∥PA ，所以HO EO ⊥，1HO =，所以13EH PB ==，同理，223FG PA ==，过点H 作HN ∥EF 交FG 于N ，则GH ==【法二】因为//a 平面PAB ，平面a I 平面ABCD EF =，O EF Î,平面PAB I 平面ABCD AB =，根据面面平行的性质定理，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP ，因为//,2BC AD AD BC =,所以BOC DOA ∽D D ，且12BC CO AD OA ==, 又因为COE D ∽AOF D ，AF BE =,所以2BEEC =，同理2AF FD =,2PG GD =， 123,233EF AB EH PB FG AP ====== 如图：作//,,//,HN BC HN PB N GM AD GM PA M ==I I 所以//,HN GM HN GM =，故四边形GMNH 为矩形，即GH MN =,在PMN D 中,所以MN ==，所以GH =（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系(3,0,0),(0,2,0),(3,2,0),(2,2,1)B F E H ,(1,2,1),(2,0,1)BH FH =-=u u u r u u u r , 设平面BFH 的法向量为(,,)n x y z =r ,2020n BH x y z n FH x z ìï?-++=ïíï?+=ïîr u u u r r u u u r ,令2z =-，得3(1,,2)2n =-r , 因为平面//EFGH 平面PAB ，所以平面EFGH 的法向量(0,1,0)m =u r3cos ,||||m n m n m n ×===u r r u r r u r r ，二面角B FH E -- 20.【解析】（Ⅰ）依题意(,0)2p F ，当直线AB 的斜率不存在时，2||4,2AB p p =-=-=当直线AB 的斜率存在时，设:()2p AB y k x =- 由22()2y px p y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，化简得2220p y y p k --= 由124y y =-得24p =，2p =，所以抛物线方程24y x =.（Ⅱ）设00(,)D x y ，2(,)4t B t ，则(1,)E t -，又由124y y =-，可得244(,)A t t- 因为2EF t k =-，AD EF ⊥，所以2AD k t =，故直线2424:()AD y x t t t+=- 由2248240y x x ty t ⎧=⎪⎨---=⎪⎩，化简得2216280y ty t ---=，所以10102162,8y y t y y t +==--. 所以10|||AD y y =-==设点B 到直线AD 的距离为d，则22222816|4||8|t t t d ---++== 所以1||162ABD S AD d ∆=⋅=≥，当且仅当416t =，即2t =± 2:30t AD x y =--=时，, 2:30t AD x y =-+-=时，.21. 【解析】（Ⅰ）因为()ln()f x ax bx =+，所以1()a f x b b ax x¢=+=+，因为点(1,(1))f 处的切线是0y =，所以(1)10f b ¢=+=，且(1)ln 0f a b =+= 所以,1a e b ==-，即()ln 1f x x x =-+（(0,)x ??）所以11()1x f x x x-¢=-=，所以在(0,1)上递增，在(1,)+?上递减所以()f x 的极大值为(1)ln 10f e =-=，无极小值.（Ⅱ）当21()x mx e f x x e e-?(0)m <在(0,)x ??恒成立时, 由（Ⅰ）()ln 1f x x x =-+，即ln 112x mx x e x e+?+(0)m <在(0,)x ??恒成立，【法一】设ln 11(),()2e e x mx x g x h x x +==+-，则(1)()e x m x g x -'=，2ln ()x h x x '=-，又因为0m <，所以当01x <<时，()0,()0g x h x ''<>；当1x >时，()0,()0g x h x ''><. 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，min ()(1)em g x g ==； ()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max 1()(1)1eh x h ==-. 所以(),()g x h x 均在1x =处取得最值，所以要使()()g x h x ≥恒成立，只需min max ()()g x h x ≥，即11e em ≥-，解得1e m ≥-，又0m <，所以实数m 的取值范围是[10)e ，-.【法二】设ln 11()2x x mx g x x e e +=--+（(0,)x ??），则2ln (1)()x x m x g x x e --¢=+ 当01x << 时，ln 0x ->，10x -<，则2ln 0x x ->，(1)0x m x e ->，即()0g x ¢> 当1x > 时，ln 0x -<，10x ->，则2ln 0x x -<，(1)0x m x e-<，即()0g x ¢< 所以()g x 在(0,1)x Î上单调递增，在(1,)x ??上单调递减. 所以max 1()(1)120m g x g e e ==-+-?，即11m e e?，又0m < 所以实数m 的取值范围是[10)e ，-.22. 【解析】（Ⅰ）由参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=+⎩2，得普通方程22(2)4x y -+=，所以极坐标方程2222cos sin 4sin 0r q r q r q +-=，即4sin r q =. （Ⅱ）直线()1π:R 6l q r =?与曲线C 的交点为,O M ，得||4sin 26M OM p r ===，又直线()22π:R 3l q r =?与曲线C 的交点为,O N ，得2||4sin 3N ON p r ===且2MON π∠=，所以11||||222OMN S OM ON D ==创. 23. 【解析】（Ⅰ）当0a =时，()|2||2||2|3f x x x x +-=+-?，0223x x x ì<ïïíï-+-?ïî 得13x ?；02223x x x ì＃ïïíï+-?ïî 得12x ＃；2223x x x ì>ïïíï+-?ïî 得2x >，所以()|2|2f x x +-?的解集为1(,][1,)3-?+?U .（Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|21|()2x f x a +-<成立，即2|21||23|2x x a a +-+<恒成立，又因为222|21||23||2123||31|x x a xx a a +-+?--=-，要使原不等式恒成立，则只需2|31|2a a -<，当0a <时，无解；当0a ＃时，2132a a -<，解得13a <?当a >时，2312a a -<1a <<. 所以实数a 的取值范围是1(,1)3.。

河北省保定市2018届高考第一次模拟考试数学(理)试题有答案AlUqMn

2018年高三第一次模拟考试理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,1,2A =--，集合{}|B k A y kx R =∈=在上为增函数，则A B I 的子集个数为（） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．42. 设a 为1i -的虚部，b 为()21i +的实部，则a b +=（） A ． -1 B ． -2 C ． -3 D ．03.已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i =L L ，回归直线方程为1ˆ2yx a =+，若()1186,2OA OA OA +++=u u u r u u u r u u u u r L L ，（O 为原点），则a = （） A ．18 B ．18- C ．14 D ．14- 4. 已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-r r，则0x <或4x >是向量a r 与b r 夹角为锐角的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A BC 、、三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为（） A ． 8 B ．7 C. 6D ．56.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．43310+ B ．43310- C. 43310-+ D ．43310--7.如图所示的程序框图中，输出的S 为（）A．9922 3-B．100223-C.101223-D．102223-8. 已知函数()f x既是二次函数又是幂函数，函数()g x是R上的奇函数，函数()()()11g xh xf x=++，则()()()()()()()()() 201820172016101201620172018h h h h h h h h h++++++-+-+-+-=L L（）A．0 B． 2018 C. 4036 D．40379. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．24π B．36π C. 40π D．400π10. 已知向量44sin,cos22x xa⎛⎫= ⎪⎝⎭r，向量()1,1b=r，函数()f x a b=r rg，则下列说法正确的是（）A．()f x是奇函数 B．()f x的一条对称轴为直线4xπ=C. ()f x的最小正周期为2π D．()f x在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数11.已知双曲线()222109x ybb-=>的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且Fe与双曲线的渐近线相切，若过点A作Fe的两条切线，切点分别为,M N，则MN=（）A．8 B．2 C. 23．4312. 令11t x dx -=⎰，函数()()122413321log 2x x f x x t x ⎧⎛⎫+≤- ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+>- ⎪⎪⎝⎭⎩，()()()2142212xx ax a x g x x ⎧-+≤⎪=⎨⎪->⎩满足以下两个条件：①当0x ≤时，()0f x <或()0g x <；②(){}|0A f x x =>，(){}|0B g x x =>，A B R =U ，则实数a 的取值范围是（） A ．11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．11,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. ()()511ax x ++的展开式中2x 的系数是5，则a = ．14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了；乙说：丙做对了；丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.” 请问他们三个人中做对了的是．15.已知实数,x y 满足2202200x y x y x y --≥⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，若32z x y =-取得最小值时的最优解(),x y 满足()20ax by ab +=>，则4a bab+的最小值为． 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，6b =，且22cosB a ac b =-，O 为ABC ∆内一点，且满足00,30OA OB OC BAO ++=∠=u u u r u u u r u u u r r ，则OA =u u u r ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 满足：()1122,n n n a a a n n N ++-=+≥∈，且121,2a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1121,n n n n a b a b n n N ++=≥∈g g ，且11b =.求数列{}n b 的通项公式，并求其前n 项和n T .18.某品牌服装店五一进行促销活动，店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性，约定打折办法如下：有两个不透明袋子，一个袋中放着编号为1，2，3的三个小球，另一个袋中放着编号为4，5的两个小球（小球除编号外其它都相同），顾客需从两个袋中各抽一个小球，两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数（如，一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2，5，则该顾客所习的买衣服打7折）.要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知A B C 、、三位顾客各买了一件衣服. （1）求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率；（2）A B 、两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服，设X 为打折后两位顾客的消费总额，求X 的分布列和数学期望.19. 如图，四棱台1111A B C D ABCD -中，1A A ⊥底面111,3,23,2ABCD A B A A AB AC ====，平面11A ACC ⊥平面11,C CDD M 为1C C 的中点.（1）证明：1AM D D ⊥；（2）若030ABC ∠=，且AC BC ≠，求二面角111B CC D --的正弦值.20. 椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设(),P x y 为椭圆C 上任一点，F 为其右焦点，A B 、是椭圆的左、右顶点，点P '满足()4,0PP x '=-u u u r. ①证明：PP PF'u u u r u u u r 为定值；②设Q 是直线4x =上的任一点，直线AQ BQ 、分别另交椭圆C 于M N 、两点，求MF NF +的最小值. 21. 已知函数()()ln 1axf x x a R x =-∈+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明: ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21x t y t a =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos sin 0l b ρθρθ-+=与2:4cos C ρθ=-e 相交于A B 、两点，且090AOB ∠=. （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M N 、，证明：22C M C N g （2C 为圆心）为定值. 23. 已知函数()1f x x =+.（1）解关于x 的不等式()210f x x -+>；（2）若函数()()()1g x f x f x m =-++，当且仅当01x ≤≤时，()g x 取得最小值，求()1,2x ∈-时，函数()g x 的值域.试卷答案一、选择题1-5: DABBB 6-10: ACDCD 11、12：DB二、填空题13. -1 14. 甲 15. 9 16. 3三、解答题17.解：（1）由()*1122,n n n a a a n n N +-=+≥∈知数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公差为211a a -=，所以n a n =；（2）∵()121n n nb n b +=+， ∴()11112n n b b n n n +=≥+g ，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111b =为首项，12为公比的等比数列， 112n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12n n nb -=， 01221123122222n n n n n T ---=+++++L ，23111231222222n n n n nT --=+++++L ， ∴2111111122121222222212n n n n n n n n n T --+=++++-=-=--L ，所以1242n n n T -+=-. 18.解：打5，6，7，8折的概率分别为112111,,,32632336==⨯⨯，（1）事件A 为“三位顾客中恰有两位顾客打6折”，所以()223122339P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭g ；（2）X 的可能取值为2000，2200，2400，2600，2800，3000，3200，()11120006636P X ==⨯=，()11122002639P X ==⨯⨯=，()111122400263339P X ==⨯⨯+⨯=， ()111110526002233663618P X ==⨯⨯+⨯⨯==，()111122800233369P X ==⨯+⨯⨯= ，()11130002639P X ==⨯⨯=，()11132006636P X ==⨯=，所以X 的分布列为X2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200P136 19 29 518 29 19 136()200022002400260028003000320026003699189936E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元. 19.（1）证明：连接1AC ，∵1111A B C D ABCD -为四棱台，四边形1111A B C D :四边形ABCD ， ∴111112A B ACAB AC==，由2AC =得，111AC =，又∵1A A ⊥底面ABCD ，∴四边形11A ACC 为直角梯形，可求得12C A =，又2,AC M =为1CC 的中点，所以1AM C C ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面11C CDD ，平面11A ACC ⋂平面111C CDD C C =， ∴AM ⊥平面111,C CDD D D ⊂平面11C CDD ， ∴1AM D D ⊥；（2）解：在ABC ∆中，03,2,30AB AC ABC ==∠=，利用余弦定理可求得，4BC =或2BC =，由于AC BC ≠，所以4BC =，从而222AB AC BC +=，知AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，()()()(130,0,0,,0,2,0,,0,2A B C C M ⎛ ⎝⎭，由于AM ⊥平面11C CDD ，所以平面11C CDD的法向量为30,2AM ⎛= ⎝⎭u u u u r ，设平面11B BCC 的法向量为(),,m x y z =u r，()BC =-u u u r，(10,CC =-u u u u r ，102000BC m y CC m y ⎧⎧=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩u u u r u r g u u uu r u r g设y =()m =u r ，cos ,5m AM m AM m AM===u r u u u u r u r u u u u r g u r u u u u r g ，∴sin ,m AM =即二面角111B CC D --20.解：（1）由12c a =得2234a b =，把点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程为221914a b +=，∴221913a a+=得24a =， ∴23b =，椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由（1）知221,143x y c +==，142PF x ====-u u u r ，而4PP x '=-u u u r，∴2PP PF'=u u u r u u u r 为定值；②设()4,Q m 若0m =，则4MF NF +=，若0m ≠，因为()()2,0,2,0A B -，直线():26m QA y x =+，直线():y 22mQB x =-，由()2226143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()222227441080m x m x m +++-=， ∴()224108227M m x m --=+，得2225427m x m -+=+，由()2222143m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2222344120m x m x m +-+-=， ∴2241223N m x m -=+g ，得22263N m x m-=+，由①知()()114,422M N MF x NF x =-=-， ∴222224222125426484844448122273308130M N x x m m m MF NF m m m m m m ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+-+-+=-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ⎪++⎝⎭，∵228118m m+≥=（当且仅当29m =即3m =±时取等号） ∴224818130m m≤++，即MF NF +的最小值为3.21.解：（1）()()()()()()2221211011a x ax x a x f x x x x x x +-+-+'=-=>++，令()()221p x x a x =+-+，①20a -≥即2a ≤时，()1p x >，故()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,+∞上单调递增； ②当()2240a ∆=--≤即04a ≤≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；③当4a >时，由于()0f x '=的两根为0x =>，所以()f x在220,,,22a a ⎛⎫⎛⎫--+∞ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为增函数，在⎝⎭为减函数，综上：4a ≤时，函数()f x 在()0,+∞为增函数；4a >时，函数()f x在,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为增函数，在2222a a ⎛--+ ⎪⎝⎭为减函数；（2）由（1）知4a >，且12122,1x x a x x +=-=，∴()()()()()()122112121212121211ln ln ln 1111ax x ax x ax ax f x f x x x x x a x x x x ++++=-+-=-=-++++，而()1222222ln ln 22222212a a x x a a a f f a a -+---⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+g， ∴()()121222ln 2ln 2222222f x f x x x a a a a f a ++--⎛⎫-=-++=-+⎪⎝⎭，设()()2ln2422a ah a a -=-+>，则()()2114022222a h a a a -'=-=<--g ，所以()h a 在()4,+∞上为减函数，又()40h =，所以()0h a <，所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 22.（1）解：直线l 和圆2C 的普通方程分别为()220,24x y b x y -+=++=，090AOB ∠=，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，所以20,2b b -+==；（2）证明：曲线()21:0C x ay a =>，可知直线l的参数方程为222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线1C得21402t a t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，21402a a ∆=+>恒成立，设M N 、两点对应的参数分别为12t t 、，则124812t t ==g ，所以22128C M C N t t ==g g 为定值.23.解：（1）2211011x x x x +-+>⇒+>-，①211211x x x x ≥-⎧⇒-<<⎨+>-⎩，②2111x x x φ<-⎧⇒⎨-->-⎩，所以，不等式的解集为{}|12x x -<<；（2）()1111g x x x m x x m x x m m =+++=-+++≥-+++=+，当且仅当()()10x x m -++≥g 时取等号，∴110m ++=，得2m =-，∴()1g x x x =+-，故当()1,2x ∈-时，()21101012112x x g x x x x -+-<<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<<⎩，所以()g x 在()1,2x ∈-时的值域为[)1,3.。

2018届高三第一次模拟考试试卷数学(理) 含答案

2018年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设全集{}{}{}2,1,0,1,2,|1,2,0,2U A x x B =--=≤=-，则()U C AB =A. {}2,0-B.{}2,0,2-C. {}1,1,2-D. {}1,0,2- 2.已知复数()1z i i =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3.已知等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若34542a a a ++=，则7S =A. 98B. 49C. 14D. 147 4.下列命题中正确的是A.若两条直线和同一平面所成角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线垂直D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5.《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年.在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖膳.已知“鳖膳”的三视图如图所示，则该鳖膳的外接球的表面积为A. 200πB. 50πC. 100πD.36.函数22ln x x y x=的图象大致是7.中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术.下面的程序框图的算法思路源于“大衍求一术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为20,17，则输出的c =A. 1B. 6C. 7D. 118.为了调查广告与销售额的关系，某厂商对连续5年的广告费和销售额进行了统计，得到统计数据如下表（单位：万元）。