2.1.3 向量的减法

张喜林制2.1.3 向量的减法考点知识清单1．相反向量的定义(1)向量a 的相反向量是指与a____、____的向量，记为 ，零向量的相反向量是 ． (2)相反向量与相等向量的区别与联系：一个是 ，一个是 . 2．=--)(a =-+)(,a a3．若,b a -=则a ，b 是 向量，且=+b a .4．向量的差向量a 加上b 的 向量，叫做a 与b 的差，即=-b a +a ．即一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的 5．如果两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以 的终点为起点， 的终点为终点的向量．要点核心解读l.a 的相反向量 (1)相反向量的定义与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量，记作-a(如图2-1 -3 -1所示)． (2)关于相反向量有如下结论：①,0)()(=+-=-+a a a a ,.)(a a =--②③若a ，b 是互为相反的向量，则.0,,=+-=-=b a a b b a 2．向量的减法 (1)向量减法的定义①先定义相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作.a -并且规定零向量的相反向量仍为零向量，于是有.)(a a =--②再定义向量的减法：两个向量a 与b 的差为a 与b 的相反向量的和，即⋅-+=-)(b a b a 求两向量差的运算叫做向量的减法． (2)向量减法的作图①已知向量a 、b （如图2 -1-3 -2所示），作,,b OB a OA ==则,OB OA b a BA -=-=即向量:等于终点向量减起点向量.利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．②利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作,,O ,.b b a b a -===-作出则⋅-+=)(b a 如图2-1-3 -3，由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．(3)向量减法的几何作法体现了向量减法的几何意义．3．向量减法的定义的另一种方式 (1)定义已知向量a ，b （如图2 -1-3 -4），作,,b a ==则,a BA b =+向量叫做向量a 与b 的差，并记作,b a -即.b a -=-=(2)两个重要结论①如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量，②一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量减去它的始点相对于点O 的位置向量, 或简记“终点向量减起点向量”，如图2 -1-3 -4所示．4．需要注意的几个问题(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，,B BA A =-就可以把减法化为加法．在用三角形法则做向量减法时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减数”即可．(2)以向量b A a A ==⋅D ,B 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为,B ,D ,C b a D a b B b a A -=-=+=这一结论在以后的应用中还是非常广泛的，应该理解并会应用．(3)两个重要结论：①在平行四边形ABCD 中，.,=-=+.||||||||||||b a b a b a +≤±≤-②典例分类剖析考点1向量减法法则[例1] 如图2 -1-3 -5，已知不共线的两个非零向量a ，b ，求作向量：.,,b a a b b a ---- [解析] 根据向量减法的三角形法则或相反向量作图．作 a b b a b a -=-===,0,，则(如图2 =1 -3 -6)． 对于,b a --可用下列两种作法：方法一：作b a b O a OA --==-=BA ,.B ,则(如图2-1-3 -7)．方法二：作,,b O a ==再以,O ⋅为邻边作平行四边形OACB ． 则b a C --=（如图2 -1-3 -8）．[点拨] (1)作两个向量的差必须把两向量移到同一起点．(2)作向量b a --时可先作向量,b a +然后再作其相反向量．1．(1)如图2 -1-3 -9，在□ABCD 中，已知,,b DB a AB ==用a 、b 表示向量.⇒AC AD 、(2)如图2-1 -3 -10，已知正方形ABCD 的边长等于1，,,,c b a ===试作向量：.;c b a c b a +-++②①考点2 向量加减法的运算[例2]化简：=---)()(AB [解析] 本题主要运用加减法法则进行运算．++=+-=---DC AB BD AC AB BD AC CD AB )()(=+BD CA DC BD AB ()(++.0)=+[答案]0[点拨] 向量的加、减混合运算可利用相反向量将加、减法统一成加法进行运算，也可以利用减法公式C =-(正用、逆用均可）进行运算．解法一是统一成加法；解法二是利用减法公式；而解法三是将每一向量转化为以0为始点的向量．2．化简.OC CO OB OA --+- 考点3 向量加减法的综合应用[例3] 已知向量a 、b 的模长分别是,6||,4||==b a 求||b a +的最大值和最小值．[解析] (1)当a 、b 不共线时，如图2 -i -3 -ii 所示：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得|,|||||||||0||AB OA OB AB A +<<-即.10||2<+<b a(2)当向量b 、b 共线时，要分同向与反向两种情况．若向量a 、b 同向，如图2 -1 -3 -12所示，+=||||OA OB ||AB .10||,1064=+=+=b a 即若向量a 、b 方向相反，如图2 -1 -3 -13所示，=||||,246||=-=-即.2||=+b a 故||b a +的最大值为10，最小值为2．3．(1)若=||AB ,5||,8=则||的取值范围是(2)如图2-1-3 -14，①当a 、b 满足什么条件时，?||||b a b a -=+b a +②与b a -可能是相等向量吗？③当a 与b 满足什么条件时，b a +平分a 与b 所夹的角？学业水平测试1．下面四个式子中不能化简成的是( )．A +-.B +-.BC DC AB C +-).( )().(MC BC BM AB D -+-2．如果a 、b 是非零向量，|,|||b a >那么a 与b 的方向相反是b a b a -=+||||的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．b a b a +、、为非零向量，且b a +平分a 与b 的夹角，则( )．b a A =. b a B ⊥. ||||.b a C = D ．以上都不对4．下列各等式或不等式中|;|||||||||b a b a b a +<+<-① |;|||1|||||b a b a b a +=+=-② |;|||||||||b a b a b a +<+=-③ .||||||||||b a b a b a +=+<-④一定不能成立的个数是( )． 0.A 1.B 2.C 3.D5．已知等腰,90,o C ABC Rt =∠∆M 为斜边的中点，设,a CM =,b CA =试用向量a 、b 表示、、MB AM CB .高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分x8 =40分）1．已知非零向量a 与b 同向，则b a -( )．A ．必定与a 同向B ．必定与b 同向C ．必定与a 是平行向量D ．与b 不可能是平行向量 2．在△ABC 中，,1|||C |||===CA B AB 则|B |AC A -等于( )．0.A 1.B 3.C 2.D3．给出下列等式：=--=-+=+a a b b a a b b a 0;;.0)(;)(;=-+=---a a a a a 正确的个数是( )．2.A3.B4.C5.D4．下列命题：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么b a +的方向必与a 、b 之一的方向相同； ②在△ABC 中，必有;0=++B A③若,0=++B AB 则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若a 、b 均为非零向量，则||||||b a b a ++与一定相等， 其中真命题的个数是( )． 0.A 1.B 2.C 3.D5．（2006年广东高考题）如图2 -1 -3 -15，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则等于( )．BC A 21.+- BC B 21.-- C 21.- D 21.+6．（2006年全国高考题）设平面向量321,,a a a 的和=++321a a a .0如果平面向量321,,b b b 满足|,|2||t i a b =且i a 顺时针旋转 30后与i b 同向，其中,3,2,1=i 则( )．0.321=++-b b b A 0.321=+-b b b B0.321=-+b b b C 0.321=++b b b D7．（2007．年湖南高考题）若0、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )．OE OF EF A +=. OE OF EF B -=. OE OF EF C +-=. OE OF EF D --=.8．（2006年上海高考题）在□ABCD 中，下列结论中错误的是( )．A =. AC ADB =+.C =-. 0.=+AD D二、填空题（5分x4 =20分）9．如图2 -1 -3 -16，在△OAM 中，;AM OA OM +=在△MOB 中，B -=0在△AOB 中，= （用图中所标向量表示）．10.如图2-1 -3 -17，有一边长为lcm 的正方形ABCD ，设==++==||,,,c b a c AC b BC a 则=+-||,c b a =+--||,C b a11.（2006年安徽高考题）在□ABCD 中，===b A a A ,,M ,3为BC 的中点，则=（用a ，b 表示）．12.若非零向量αβ满足|,|||βαβα-=+则α与β所成角的大小为三、解答题（10分x4 =40分）13.如图2-1 -3 -18所示，0是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示）使,,d c A b a =-=+并画出c b -和.d a +14．三个大小相同的力a 、b 、c 作用在同一物体 P 上，使物体P 沿a 方向做匀速运动，设,,,c b P a ===判断△ABC 的形状．15.已知任意四边形ABCD ，O 为其内部一点，且满足++,0D C =+O O 试确定该点的位置．16．求证：).|||(|2||||2222b a b a b a +=-++。