第5讲数论综合

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小学奥数总复习教程

朗培教育小学数学奥数第1讲计算（一）速算与巧算第2讲计算（二）比较大小、估算、定义新运算第3讲数字谜、数阵图、幻方第4讲数论（一）整除、奇偶性、极值问题第5讲数论（二）约数倍数、质数合数、分解质因数第6讲数论（三）带余除法、同余性质、中国剩余定理第7讲几何（一）平面图形第8讲几何（二）曲线图形第9讲几何（三）立体图形第10讲典型应用题（一）和差倍、年龄、植树问题第11讲典型应用题（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题第12讲牛吃草问题第13讲行程（一）相遇追及、电车问题第14讲行程（二）平均速度、变速度、流水、电梯第15讲行程（三）行程中的比例第16讲分数与百分数经典透析例１大学图书馆内有一书架故事书，借出总数的７５％之后，又放上６０本，这时书架上的书是原来总数的３１，求现在书架上放着多少本书？例２一瓶可乐饮料，一次喝掉一半后，连瓶共重７００克；如果喝掉饮料的３１后，连瓶共重８００克，求瓶子的重量？例３在希望学校学生阅览室里，女生占全教室人数的９４，后来又进来两名女生，这时女生占全教室人数的１９９，问阅览室里原来有多少人？例４做一项工程，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当于甲、乙每天工作效率和的５１；如果三人合做只需８天就完成了，那么乙一人单独做需要多少天才能完成？例５Ａ、Ｂ、Ｃ三个桶里都有水，如果把Ａ桶内３１的水倒入Ｂ桶，再把Ｂ桶内４１的水倒入Ｃ桶，最后再把Ｃ桶内７１的水倒入Ａ桶，这时各桶内的水都是１２升，求每个桶内原有水多少升？例６三种动物赛跑，已知狐狸的速度是兔子的７０％，兔子的速度是松鼠的２倍，一分钟内松鼠比狐狸少跑１６米，那么半分钟内兔子比狐狸多跑多少米？例７《中华人民共和国个人所得税法》第１４条规定中附有下表。

个人所得税税率（工资、薪金所得适用）目前，上表中“全月应纳税所得额”是从工资、薪金收入中减去１６００元后的余额，它与相应税率的乘积就是应缴的税款数。

数论算法讲义5章(原根与指标)

第 5 章原根与指标（一）内容● 指数 ● 原根● 有原根的整数 ● 指标（对数）（二）重点● 原根及其意义 ● 有原根的整数的条件 ● 指标及其性质5.1 指数及其基本性质准备知识：（1）欧拉定理：m ＞1，(a,m)＝1，则()m a ϕ≡1（mod m ）（2）问题：①()m ϕ是否是使得上式成立的最小正整数？ ②该最小正整数有何性质？ (一) 指数和原根概念【定义5.1.1】（定义1）设m ＞1，(a,m)＝1，则使得e a ≡1（mod m ）成立的最小正整数e 叫做a 对模m 的指数（或阶），记作m ord (a)。

若a 的指数e ＝()m ϕ，则a 叫做模m 的原根。

(二) Diffie —Hellman 密钥交换算法全局公开量q 素数α q 的原根（α<q ）交换公开密钥 A →B ： A Y B →A ： B Y例如：● 素数q ＝353，原根α＝3● A 选 A X ＝97，计算A Y ≡973≡40 mod 353 ● B 选 B X ＝233，计算B Y ≡2333≡248 mod 353 ● A 与B 交换● A 计算密钥 K ≡97248≡160 mod 353 ● B 计算密钥 K ≡23340≡160 mod 353(三) 用定义求指数和原根【例1】（按定义求指数和原根）（例1）m ＝7，则ϕ(7)＝6。

且11≡1，32≡1，63≡1，34≡1，65≡1，26≡1（mod 7）故对模数7而言，1，2，3，4，5，6的指数分别为1，3，6，3，6，2。

列表表示为因此，3，【例2】（快速求指数）（例2）m ＝14＝2·7， ϕ(14)＝6，则11≡1，33≡－1，35≡－1，39≡1，311≡1，213≡1（mod7）列表故3，5【例3】（无原根的整数）（例3）m ＝15＝3·5， ϕ(15)＝8，则同理，可知模数m ＝9时，其原根为2，5；而整数8则没有原根。

数论(五)、数论(六)(讲义)

, m k数论五、六（同余定理）严文兰知识点：1 费马小定理：(1)若 p 为素数，则对任意的a ，有a p≡ a (mod p ) ，即 p | a p- a 。

(2)若 p 为素数，则对任意的 p /| a ，有ap -1≡ 1(mod p ) ，即 p | a p -1 - 1 。

2.欧拉定理：若(a , m ) = 1 ，则a ϕ( m )≡ 1(mod m ) 。

其中ϕ (m ) 为欧拉函数，表示1, 2,, m 这m 个数中与m 互质的数的个数。

公式：若质因数分解m = p α1p αk ，则ϕ (m ) = m (1 - 1 ) (1 - 1) 。

1k p p1 k3.威尔逊定理：若 p 为素数，则( p - 1)! ≡ -1(mod p ) 。

4.拉格朗日定理：若素数 p /| a ，则a + a x + + a x n ≡ 0(mod p ) 在模 p 下最多n 个解。

n1n5.中国剩余定理：若m , 两两互质，则 ⎧x ≡ b 1(mod m 1 )有公共解 x ，且在模m 1⎨x ≡ b (mod m )1下唯一。

⎩ k k一、费马小定理与欧拉定理1. 求最小正整数200320022001的末三位数。

2. 设 p 为素数，求满足条件的正整数 n ，使得对于所有的正整数 x ，若 p | x n- 1 ，则p 2 | x n - 1 。

3. 求2561- 2, 3561 - 3, ,561561 - 561的最大公因数。

4. 已知整数n > 1，证明n /| 2n- 1 。

5. 已知数列{a }满足a = 1, a= 3a + 2 n1 n +1n(1) 证明{a n }是正整数数列； (2)是否存在正整数m ，使得2015 | a m 。

6. 是否存在整数a , b ，使得a + b , ab - 1都是完全平方数？7. 求方程 x 2 + 5 = y 3的整数解。

第5讲数论(数的整除)

第5讲数论（数的整除）1、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。

a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。

整除属于除尽的一种特殊情况。

2、整除的基本性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（可加性）（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（可乘性）（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则a也能被c整除；（传递性）（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。

3、15以内数的整除特征：（1）能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。

（2）能被5整除的数的特征：个位是0或5。

（3）能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

（4）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

（5）能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

（6）能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

（7）能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

（对于数位较多的数，可用“奇三位”和减去“偶三位”和。

）例1：（1）判断13574是否是11的倍数；（2）判断1059282是否是7的倍数；（3）判断3546725能否被13整除。

练习：126、248、368、472、582、1234、5678、2468、2340、97532这些数中能被4整除的数有____________________________________________；8的倍数有____________________________。

数论算法讲义5章原根与指标

数论算法讲义5章原根与指标在数论中，原根和指标是两个重要的概念。

原根是指与一个模n互素的整数a，使得对于任意正整数k，a^k(mod n)都不会等于1、指标是一种特殊的数论函数，可以用来判断一个数与模n是否互素。

5.1原根首先，我们需要了解模运算的概念。

在数学中，当我们求一个整数除以另一个整数的余数时，称为模运算。

例如，5 mod 3 = 2，表示5除以3的余数是2定义：设n>1为正整数，a是n的一个原根，是指a与n互素，并且对于任意正整数k，有a^k(mod n)≠1原根的存在性定理：对于每一个正整数n>1，都存在一个原根。

即对于任意正整数n>1，存在一个与n互素的正整数a，使得a是n的原根。

原根的性质：若a是n的原根，则a+kn也是n的原根，其中k为任意整数。

5.2指标指标是一种特殊的数论函数，用来判断一个数与模n是否互素。

指标的值只有0、1或-1三种可能。

定义：设a为整数，n为正整数。

a关于n的指标（或称勒让德符号）定义为1a与n互素0a能被n整除-1a不能被n整除，且与n互素指标的性质：（1）对于互素的整数a、b和正整数n，有以下三个基本性质：a) (ab/n) = (a/n)(b/n)b)(a^k/n)=(a/n)^kc)(1/n)=1（2）若a≡b(mod n)，则(a/n) = (b/n)（3）若a与n互素，则(a/n) ≡ a^(φ(n)/2) (mod n)，其中φ(n)为欧拉函数。

5.3应用原根和指标在密码学和计算机科学中有广泛的应用。

在密码学中，原根和指标被用于构造公钥密码系统，如Diffie-Hellman密钥交换协议和RSA加密算法。

原根可以用来生成随机数，从而提高密码的安全性。

指标则可以用来判断一个数是否为素数，从而加密和解密数据。

在计算机科学中，原根和指标被用于构造伪随机数生成器。

伪随机数生成器是根据确定性算法生成的一系列数字，看起来是随机的。

原根和指标可以用于生成伪随机数序列，从而模拟真正的随机数据。

五年级寒假第5讲-数论一(教师版)

abcd 也是 9 的倍数；由于 bcda 是 11 的倍数，那么其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 11 整除，也就是(b+d)与(c+a)的差能被 11 整除．所以 abcd 的奇数位数字之和(d+b)与偶数位数字之和(c+a)的差也能被 11 整除，也就是说 abcd 也是 11 的倍数．根据题意 abcd 是 13 的倍数，所以 abcd 是 9，11，13 的公倍数．9×11×13=1287，所以 abcd 一定是 1287 的倍数，又是四位数，可能为 1287，2574，3861，5148，6435，7722，9009，其中 7722，9009 出现重复数字，可以排除；由于 dabc 是 7 的倍数，将剩余的数一一检验，发现只有 3861 满足这一点，所以 abcd 就是 3861．
设这个十全数为 4876abcd20．由于它能被 11 整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之和的差能被 11 整除，即 8+6+b+d+0−(4+7+a+c+2)=b+d+1−(a+c)被 11 整除，可能是 b+d+1=a+c+11、 b+d+1=a+c、b+d+1+11=a+c．由于 a、b、c、d 四个数分别为 1、3、5、9 中的一个，只能是 b+d+1=a+c+11，即 b+d=a+c+10．所以 b、d 是 9 和 5；a、c 是 3 和 1，这个十全数只能是 4876391520，4876351920， 4876193520，4876153920 中的一个．由于它能被 7、13、17 整除，经检验，只有 4876391520 符合条件．

部编版数学六年级上册第5讲.神奇的九

2.
在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4□ 32 □是 9 的倍数. 请随便填出一种，
并检查自己填的是否正确.
【分析】一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4 □3 2 □是 9 的倍数，
而 4 3 2 9, 所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数．依次填入 3、6，因为
将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为 6 的
数称为“好数”，那么不超过 2012 的“好数”的个数为
，这些“好数”的最大公因数是
．
【分析】一个数与其各位数字之和模 9 同余，显然这个数除以 9 余 6，这是一个同余类，其内部的
数从小到大排成一个等差数列，公差为 9 首项为 6 ，末项为 2004 ，其个数为
n个6
(n-1)个 2 (n-1)个7
法 2：原式 9999999 2222222 (10000000 1) 2222222
22222220000000 2222222
22222217777778 所以，各位数字之和为 7 9 63 法 3：原式 9999999 2222222
(10000000 1) 2222222
注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是错误的。但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的数字谜问题。
例5
（2010 年第 15 届华杯赛决赛第 5 题）
第１１级下超常体系教师版５

数论--奇数偶数奇偶分析-第5讲奇数和偶数竞赛班教师

第五讲奇数和偶数一、基础知识整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.1.代数式中的奇偶问题例1. （★★）一个奇数的完全平方数先减去1再除以4，得到的是一个奇数还是一个偶数，请说明理由.【解】设这个奇数是2n+1,那么它的平方减1再除以4以后得n(n+1),连续2个整数必然是1个奇数1个偶数，那么乘积一定是偶数.例2（★★第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□×□＝□□÷□＝□.【解】因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.例3 (★★第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.（C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数【解】由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x 也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）例4.(★★)在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.【解】因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数于是题设的代数和应为偶数.例5. (★★)黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？（【解】开始是一奇数一个偶数，根据规则变成的新数是奇数*偶数+奇数+偶数，仍然是一个奇数，此时我们有2个奇数，一个偶数，如果还用奇数和偶数来进行运算的话我们新添的仍然是奇数，若用2个奇数进行运算，则新添的数是奇数*奇数+奇数+奇数，仍然是奇数。

数论.第5讲.位值、进制与完全平方数

第五讲位值、进制与完全平方数知识点拨一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e ×10+f。

二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

板块一位值原理三、完全平方数1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

2.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

六年级奥数讲义-数论综合(含答案)

学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。

请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。

【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。

已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。

如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。

【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。

六年级下册数学试题-小升初能力训练：数论综合——余数问题(解析版)全国通用

第05讲数论综合——余数问题【一】了解“除法算式——a b qr b r ÷=> ()” 及应用1：一个两位数除以一位数，所得的商若是最小的两位数，那么被除数最大是 .1010989108=910898÷=⇒∴÷=∴⨯+=最小的两位数是两位数一位数余数求最大值一位数最大是，余数最大是两位数两位数2：用某自然数a 去除1707，得到商是37，余数是r ，求a 和r.17073717073717073746546461707463755375424545451707453742424645542a r a r a ra a r a a r a a r r =+⎧÷=⇒⎨>⎩÷==⎧∴=⇒÷=⇒⎨=⎩+=<=⎧∴=⇒÷=⇒⎨=⎩==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩综上：或3：523除以一个数得到的商是10，并且除数与余数的差是5，求除数与余数.带余除法52310523105555523(5)105231152310(5)x x x x x x ÷=÷=+∴÷+=∴÷=∴=++法一：法二：除数余数除数余数余数与除数的差是余数与除数的差是若设余数为，则除数为若给余数加上除数 =52311=48=43434348x ∴÷=∴ 除数，余数余数是，除数是4：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是 .484848484841532448794848415794798324A B A B A B A B A B A B x A x B x x x A =+⎧÷=⇒=+÷=⇒⎨+++=⎩=⎧+∴⎨=⎩++++===⨯+=法一：法二：若设为，则为则5：某个除法算式的被除数、除数、商与余数之和为115，如果被除数和除数都扩大为原来的2倍，得到的除法算式中被除数、除数、商与余数之和为223，那么原来的算式中商是 .11522222222311522237A B CD A B C D A B C D A B C D C ÷=⇒+++=÷=⇒+++=∴=⨯-=22222(22)22222a b q r a bq r a bq ra b bq r b q r a b q r a b q r÷=⇒=+⇒=+÷=+÷=∴÷=⇒÷=证明：6：某个整数除36，商和余数相等，那么这个整数可能是 .3636(1)136=8111735b c c bc c c b b b cb ÷=⇒=+=++>是的因数，但是枚举：、、、7：在大于2015的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有多少个？5758575756201558=3443355635122a c c c a c c c c c =+=⎧÷=⇒⎨<⎩÷⇒∴=-+= 的最大值是的最小值是个数（个）【二】余数性质（余数特征+余数可加可减可乘性+余数周期性）251425281253393999100001000100109999(91)99999a b c d e abcde a b c d ea b c d abcde a ⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩=⨯+⨯+⨯+⨯+++++=⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯被和整除：末位尾系被和整除：末位被和整除：末位被、整除：各位数字和是、的倍数和系被整除：两位一段，求和证明： [弃9法整特征]除0000100999999711131110001001()10000100010010()bc dea bc abcde ab cde ab cde ab abc a bc de a bd c de e +⨯+=⨯+⨯+⎧⎨⎩=⨯+=⨯+-=⨯+⨯+++⨯+⨯+ 被、和整除：三位一段，奇数段偶段和差系被整除：奇位和偶位和证明： [()(999)910019911999910019911(]a a b b c c d e c a d e a b c d a c m e a mc e b c nf b nc f a b mc e nc f m n d b ++-+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯++⨯-+⨯++⨯-+⎪=⨯+⨯+⨯+⨯+⎩÷==+⎧⎧⇒⎨⎨÷==+⎩⎩+=+++=+ 对于（1）余数可加可减可乘2)()()()()()()()()()()()1192329c e f a b ce f a b mc e nc f m n c e f a b ce f a b mc e nc f mnc mcf nec ef a b ce f ++⇒+÷+⇒-=+-+=-+-⇒-÷-⇒⨯=+⨯+=+++⇒⨯÷⨯⇒÷÷ （2）（3）余数可加举性余数可减性余数可乘性例259753295⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪÷⎧⎧⎪⎨⎨⎪÷⎩⎩⎩或者（一）余数特征+余数可加可减可乘性的“基础练习”1：将假分数5051525354557⨯⨯⨯⨯⨯化成带分数后，真分数部分是多少？5051525354557505152535455123456(24)(35)681561166(mod 7)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯=⨯⨯≡⨯⨯≡只要计算除以的余数即可（二）余数特征+余数可加可减可乘性的“拓展练习”71310010100101010110101100101001010110101101010110ABCDABCDABCD BCD DAB B C D D A B A B C D ABC DAB CDA BCD CDA ABC C D A A B C A B C D A B ⎧=+=+++++⎪=+++⎪⎨=+=+++++⎪⎪=+++⎩-=++证明：判断能被和整除奇段和偶段和奇偶10110110101109191919191()91713713C D A B C D B A D C B A D C ABCDABCDABCD +----=-+-=-+-=⨯∴ 能被和整除1：（1）求20172017201720172017个除以9的余数. （2）求20146666个除以7的余数.201712017201720172017201711120171(mod 9)≡≡≡个个 20146666666666100120146335466666666666660302(mod 7)=⨯÷=∴≡≡-≡≡≡个2：求1020162017201620162016个除以7的余数.9201620163603603602016201620167020162016201670201720162016201620172016000(mod 7)1428577110000001000000711000712017201600020172016(mod 7)20÷∴÷⇒≡⨯+=∴÷∴÷⇒≡个10个个个个172016201710000201620177110000742016701404=⨯+÷÷÷∴=⨯+=余数可乘，余数3：求15!除以17的余数.15!4!(56)(71113)(89)(10121415)243010017225210015!7131541415916021069654636181(mod 7)15!(29)(36)(413)(57)(815)(1012)(1114)171=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⇒≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯≡⨯⨯≡⨯≡⨯≡≡=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯法一：法二：每个括号内两数之积都是除以余 15!171∴÷ 的(2)!1(mod )p p p ⇔-≡延伸说明：上一题的（2）是威尔逊原理内容：是质数（三）余数周期性的“基础练习”1：兔子数列：1、1、2、3、5、8、13、……，第2017项除以5的余数.5112303314044320224101123033020201720100172÷=兔子数列每一项除以的余数如下：周期是，，即余2：分别求出23456789103333333333、、、、、、、、、除以7的余数.发现规律，并求出1003除以7的余数. 并试求231001+3+3+3++3除以7的余数.234567891010043333333333326451326461006164334(mod 7)⇒÷=⇒≡≡、、、、、、、、、、、、、、、、、、周期是若为01231002+2+2+2++2除以7呢？61016165(132645)1613262116162(mod 7)⇒÷=⇒≡+++++⨯++++≡⨯+≡周期是原式3：今天是周四，100010天之后将是周几？234567891010004101010101010101010103264513264610006166410104(mod 7)⇒÷=⇒≡≡⇒、、、、、、、、、、、、、、、、、、周期是周一（四）余数周期性的“拓展练习” 1：求3332除以31的余数.33133333231535334812228(mod 31)n ∴÷=⇒≡≡≡研究除以的余数容易发现周期是只要考虑除以的余数，容易发现周期是42：求332的末位数字.33133481333(mod10)÷=⇒≡≡寻找末位就是相当于除以10的余数周期现象：1、3、9、7、1、3、9、7、……，周期是4(1)(2)(3)x Nx N x N x x 以下是固定值，是变量对于，其个位数字是4个一循环对于，其个位数字是10个一循环对于，其个位数字是20个一循环3：求123420132014123420132014+++++除以10所得的余数是多少？12341920201234192014765636901636567490944,201420100141001004(14765636901636)=463463++++++++++++++++++++++++=÷=⨯++++++++++++++除以10的余数就是相当于寻找其个位数字，底数指数都是变化的，即周期为先计算的个位数字：为“”其个位数字是即个整周期还多出14个个位数字即为“”的个3位数字是，即答案就是34：求2007200720072007200712342006++++计算结果的个位数字是多少？200732007320073200720072007200720073333311(mod10)22(mod10)20072007(mod10)1234200612342006(mod10)≡≡≡+++++≡+++++首先，按规律，底数不变指数变化，其个位数字的周期是每4个一循环即、、得到：然后，按规律，底数变化指数不变，其个位数字的周期是每10个一循环 33333333333333331234105(mod10)1234200652001234561(mod10)+++++≡+++++≡⨯++++++≡ 又因为，所以，【一】化余数为整除（余数相同）（一）余数已知1：某个整数除41，余数是5，那么这个整数可能是几？ 415(415)03603636181296b bbb b ÷⇒-÷⇒÷⇒=是的因数，、、、、2：某个整数除31，余数是7，那么这个整数可能是几？ 317(317)024********b bbb b ÷⇒-÷⇒÷⇒=是的因数，、、同余问题3：某个整数除67、151得到的余数都是11，那么这个整数可能是几？(6711)05606711(15111)01400561408415111(15167)0840(56,140,84)28112814b b b b b b b b b b b b -÷÷⎧⎧÷⎧⎪⎪⇒-÷⇒÷⇒⇒⎨⎨⎨÷⎩⎪⎪-÷÷⎩⎩=>∴=是、、的公因数是最大公因数的因数，且、4：某个额整数除229、337得到的余数都是13，这个整数最大是几？最小是几？ (22913)021*******(33713)0324033713(337229)01080216324108(216,324,108)1081310818b b b b b b b b b b b b -÷÷⎧⎧÷⎧⎪⎪⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨÷⎩⎪⎪-÷÷⎩⎩⇒⇒=>∴是、、的公因数是最大公因数的因数，且最大为，最小为（二）余数未知1：某个大于1的整数除41、11得到的余数相等，那么这个整数可能是几？ 41(4111)030030302153105611b rb bb b br÷⎧⇒-÷⇒÷⇒=⎨÷⎩是的因数，、、、、、2：某个大于1的整数除89、71得到的余数相同，那么这个整数可能是几？89(8971)01801818293671b rb bb b br÷⎧⇒-÷⇒÷⇒=⎨÷⎩是的因数，、、、、3：某个大于1的整数除17、53、113得到的余数相同，那么这个整数可能是几？ 17(5317)036053(11317)0960369660113(11353)0600(36,96,60)12122634b r b bb r b b b b b r b b b ÷-÷÷⎧⎧⎧⎪⎪⎪÷⇒-÷⇒÷⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪÷-÷÷⎩⎩⎩=∴=是、、的公因数是最大公因数的因数、、、、【二】化余数为整除（余数不同）（一）余数已知1：某个整数除47余5，除65余2，那么这个整数可能是几？ 475(475)04204263652(652)0630(42,63)215217b bbb b b bbb b ÷-÷÷⎧⎧⎧⇒⇒⇒⇒⎨⎨⎨÷-÷÷⎩⎩⎩=>∴=是、的公因数是最大公因数的因数，且、2：（拓展）用一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是多少？ 13（二）余数未知1：某个整数除29、56的余数分别是a 、3a +，这个数可能是几？ 2929(5329)0240245635333324128462924529125298524,12,8()56248561285680294129654(),6()56405662b aba bbb ba baa b b b b b b b ÷÷⎧⎧⇒⇒-÷⇒÷⇒⎨⎨÷+÷⎩⎩+≥⇒>∴=÷÷÷⎧⎧⎧===⎨⎨⎨÷÷÷⎩⎩⎩÷÷⎧⎧==⎨⎨÷÷⎩⎩是的因数、、、、验证：舍去舍去舍去综上2412b =，、2：某个整数除47、121、232的余数分别是a 、2a +、5a +，这个数可能是几？4747(11947)07201212119(22747)018002325227(227119)0108072180108(72,180,108)36536181296473636b a b a b b b a b a b b b a b a b b b b b b b ÷÷-÷÷⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪÷+⇒÷⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪÷+÷-÷÷⎩⎩⎩⎩⇒⇒=>∴=÷=是、、的公因数是最大公因数的因数，且、、、、验证：114718114712111213613,181211813,12121121(),2323616232181623212447924765912194(),612161()23297232643618b b b b b ÷÷⎧⎧⎧⎪⎪⎪÷=÷=÷⎨⎨⎨⎪⎪⎪÷÷÷⎩⎩⎩÷÷⎧⎧⎪⎪=÷=÷⎨⎨⎪⎪÷÷⎩⎩=舍去舍去舍去综上，、3：一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a +、2a 、a ，求这个自然数的和a 的值.429+54248482(848791)0570791279127912(1000791)0209050050010002(1000848)0152057209152(57,209,15b a ba b a b b b a ba b a b b b a b a b a b b b b ÷÷÷-÷÷⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪÷⇒÷⇒÷⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪÷÷÷-÷÷⎩⎩⎩⎩⎩⇒⇒是、、的公因数是最大公因数的因数2)19519571911192091912152196196b b b b a =>∴=÷⎧⎪=÷⎨⎪÷⎩==，且验证：综上，，4：已知60、154、200被某数除所得的余数分别是1a -、2a 、31a -，求这个自然数的值. 22222333361(3721154)03567060161154154154(61154)2001201(9394201)09193020135679193(3567,9193)b a b b b a b a b a b a b a b ab a b a b b b a b b ⎧⎛÷⇒-÷⇒÷÷-÷⎪ ⎧⎧ ÷⎪⎪⎪⎝÷⇒÷⇒⎨⎨⎨⎛⨯÷⎪⎪⎪÷-÷⇒-÷⇒÷ ⎩⎩⎪ ÷⎝⎩⇒⇒=是、的公因数是最大公因数的因数29296029229154299200292629b b b ∴=÷⎧⎪=÷⎨⎪÷⎩=验证：综上，5：（拓展）糖果254粒，饼干210块，水果186个. 某幼儿园人数超过40人，平均分给学生，余下糖果、饼干、水果比是1:3:2，求共有多少人？没人每种各分多少个？5082(508186)032202541862210321031862(440210)02300(254186)3322230(322,230)4640223254202210201862b ab b b a b a b a b a b a b b b a b b b b b ⎧÷⎧⇒-÷⇒÷÷⎧⎨⎪÷⎪⎪⎩÷⇒⎨⎨÷⎧⎪⎪÷⇒-÷⇒÷⎨⎩⎪+÷⎩⎩⇒⇒=<∴=÷=÷÷是、的公因数是最大公因数的因数，且、验证：254231()23210233018623223b b ÷⎧⎧⎪⎪=÷⎨⎨⎪⎪÷⎩⎩=舍去，综上，6：有一个整数，用它除70、110、160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？121233111221233370110(70110160)()340502900290160707070121101333531718316011b r b r b r r r bb b b rbr b b r b r b r b r b r r r b b b b r b r b ÷⎧⎪÷⇒++÷++⇒÷⇒÷⇒⎨⎪÷⎩÷≤÷≥+⎧⎧⎪⎪÷⇒≥+⇒≥+++⇒≥⇒≥⇒≥⎨⎨⎪⎪÷≥+⎩⎩∴=是的因数现在讨论的就是范围对来说，其中,290,2,145,5,58,10,29581105815229b b =÷==对于，，不成立综上，【三】同余方程 1：（铺垫）（1）解同余方程：45(mod11)x ≡45(mod11)41151(45)110451144(mod11)5115245(mod11)4511(mod11)416(mod11)(4,7)14(mod 7)x x x x x x x x x x ≡÷⎧⇒-÷⇒-=⇒=⇒≡⎨÷⎩≡≡+≡=∴≡ 转化：试除：(mod )(,)1(mod )(mod )()()0()()()()(,)1(mod )ac bc m c m a b m ac m x pac bc m ac bc m x y c a b m x y bc m y p c a b m x y c m m a b a b m a m b m a b a b m m m ≡=≡÷=⎧≡⇒-÷=-⇒-=-⎨÷=⎩-=-=-≡÷÷--=证明：若，当时，有开始：对“”，有对“”，若，为的因数若想让“”，即让“的余数等于的余数”，即“化为分数相减为整数”同时，确实为整数，得证.（2）解同余方程：729(mod13)x x ≡+729(mod13)7131(729)130(29)135913()(59)130592677(mod13)2729(mod13)59(mod13)59132(mod13)5x x x r x x x rx x x x xx x x x x ≡+÷⎧⇒--÷⎨+÷⎩-=⨯⎧⇒-÷⇒⎨-=⇒=⇒≡⎩-≡≡≡+⨯ 转化：试除： 35(mod13)(5,13)17(mod13)x ≡=∴≡2：用枚举法检验的方法，找出有那些整数x 满足：35(mod 7)x ≡，用一个同余式来表示结果.135(mod 7)411184(mod 7)235(mod 7)357(mod 7)312(mod 7)(4,7)14(mod 7)x x x x x x x ≡=≡≡≡+≡=∴≡ ，枚举得到、、、，表示为3：求解同余方程：3843(1)(mod13)x x +≡+. 8343(1)(mod13)83433(mod13)83334(mod13)5334313(mod13)58(mod13)58x x x x x x x x x +≡++≡+-≡-≡-+⨯≡≡+第一步：化简第二步：（试除法） 134(mod13)XX 5383(mod13)560(mod13)1524(mod13)(5,13)112(mod13)211(mod13)(XX ) 5x x x x x x ⨯⨯≡⨯≡≡=∴≡≡⨯ （法）法888(mod13)21113(mod13)4064(mod13)224(mod13)12(mod13)12(mod13)x x x x x ≡⨯≡+≡≡≡≡5：（拓展）老师选了一个两位数，然后讲这个数乘23，并且加上79，发现正好是111的倍数，你能猜出老师选的是什么数吗？23790(mod111)2311179(mod111)2332(mod111)235325(mod111)115160(mod111)x x x x x x +≡≡-≡⨯≡⨯≡设这个两位数为，得到 4160(mod111)40(mod111)40.x x ≡≡ 即这个两位数是一：余同加余，差同减差，和同加和 1：小强家有很多巧克力:。

2019秋四年级上册金牌班讲义第5讲课堂练习(教师版)

JP(4)第五讲课堂练习解答姓名1、计算：9⨯17 + 91÷17 - 5⨯17 + 45 ÷17 = 。

答案：76。

解析：原式= 9⨯17 - 5⨯17 + 91÷17 + 45 ÷17=（9- 5）⨯17 +（91+ 45）÷17 = 4 ⨯17 +136 ÷17 = 68 + 8 = 76知识点：计算——巧算2、若四位数9a8a 能被15 整除，则a 代表的数字是。

答案：5。

解析：因为15是3和5的倍数，所以9a8a 既能被3整除，也能被5整除。

能被5 整除的数的个位数字是0或5，能被3整除的数的各位数字的和是3的倍数。

当a= 0 时，9+ a + 8 + a = 17 ，不是3的倍数；当a= 5 时，9+ a + 8+ a = 27 ，是3的倍数。

所以，a代表的数字是5。

知识点：整除——能被3、5 整除的数的特征3、若有A、B、C、D、E 五个人排队，要求A 和B 两个人必须不站在一起，则有排队方法。

答案：72 种。

解析：由题意知，五个人排队共有5⨯ 4⨯ 3⨯ 2⨯1=120 种排法，可以利用“捆绑法”让 A 和 B 站在一起，视其为一个人，则与其他三人看作四人，共有4⨯ 3⨯ 2⨯1=24 种排法，其中A 和B 的排法为2⨯1=2种，根据乘法原理，有24⨯ 2=48 种排法，所以A 和B 必须不站在一起共有120 - 48=72 （种）排法。

知识点：组合数学——乘法原理4、有一个六位数的邮政编码，由于被滴上了墨水，所以有两个数字看不清楚，只看到20●09●。

现知道这个编码可以被99 整除，且各位数字均不相同，这个编码是。

答案：208098解析：邮政编码数是99 的倍数，而99=9×11，所以密码数既是9 的倍数也是11 的倍数。

设这个编码为20a09b ，由题意。

因为9 | 20a09b 且11| 20a09b 。

数论专题全集

数论专题第一讲数的整除一、基础知识与方法对策1、整除的相关概念如果整数a除以非零整数b得到整数商c而没有余数，那么就说数a能被数b整除。

或者说数b整除数a。

记为：b︱a 由于a÷b=c可以改写成b×c=a，所以b、c叫做a的因数（又称约数），a叫做b、c的倍数。

2、整除的性质1．如果自然数a和b都能被自然数c整除，那么，它们的和（a+b）或差(a-b)也能被c整除。

例如：60能被5整除，40能被5整除，它们的和60+40=100及差60-40=20也能被5整除。

2．几个自然数相乘，如果其中一个因数能被某一个自然数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。

例如：26能被13整除，26×29×38的积也能被13整除。

3．如果一个自然数能被互质的两个数中的每一个数整除，那么，这个数就能被这两个互质数的积整除。

例如：3和4是互质数，24分别能被3和4整除，那么，24就能被3与4的积12整除。

3、整除的特征①、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数一定是2的倍数。

②、5的倍数的特征：个位上是0、或5的数一定是5的倍数。

③、3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和如果是3的倍数，那么这个数一定是3的倍数。

④、9的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和如果是9的倍数，那么这个数一定是9的倍数。

⑤、4的倍数的特征：一个数的末两位上的数是4的倍数，那么这个数一定是4的倍数。

⑥8的倍数的特征：一个数的末三位上的数是8的倍数，那么这个数一定是8的倍数。

⑦11的倍数的特征：一个数从个位统计算起，奇数位上的数字的和与偶数位上数字的和相减（大减小）所得的差，如果是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。

⑧7、11、13的倍数特征：一个数从个位算起，数三位，然后把这个数分成前后两个部分，这两个部分对应的两个数相减（大减小），如果得到的差是7、11、13的倍数，那么这个数就是7、11、13的倍数。

第五讲余数问题-(带完整答案)五年级奥数

第五讲余数问题内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。

小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。

余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。

例题讲析基本性质1：被除数=除数×商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。

余数小于除数。

理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了。

在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。

【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。

法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。

【例2】（第十三届迎春杯决赛）已知一个两位数除1477，余数是49.那么，满足那样条件的所有两位数是 .分析：1477-49=1428是这两位数的倍数，又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17，因此所求的两位数51或68或84.【例3】（第十届迎春杯决赛）一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数.分析：设这个数为n，除以9所得余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13—8=5，又显然q≤13.q=5时，r=8，n=5×8+4=44；q=6时，r=7，n=6×8+4=52；q=7时，r=6，n=7×8+4=60；q=8时，r=5，n=8×8+4=68；q=9时，r=4，n=9×8+4=76；q=10时，r=3，n=10×8+4=84；q=11时，r=2，n=11×8+4=92；q=12时，r=1，n=12×8+4=100；q=13时，r=0，n=13×8+4=108.满足条件的自然数共有9个：108，100，92，84，76，68，60，52，44.【例4】（北京八中小升初入学测试题）有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。

初中数学竞赛讲座——数论部分5(最小公倍数)

第五讲最小公倍数一、基础知识：对于4，8，12这一组数，24，48和72等都能被它们中的每一个数整除，24，48和72等都叫它们的公倍数，而24是公倍数中最小的，把这个概念推广到一般情形，有如下的定义：如果1a ,2a ，…，n a 和m 都是正整数，且m a m a m a n |,...,|,|21，那么m 叫做1a ,2a ，…，n a 的公倍数。

公倍数中最小的数叫做1a ,2a ，…，n a 的最小的公倍数，记作[1a ,2a ，…，n a ]。

如果m 是1a ,2a ，…，n a 的公倍数，那么km （k 是正整数）也是它们的公倍数，因此不存在最大公倍数。

一些性质：(1)若a b |，则[a , b ]=a .(2)若[a , b ]=m ，且n 为正整数，则[na , nb ]=nm 。

(3)若b n a n |,|，则[]nb a nb n a ,,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡最大公约数与最小公倍数这两个概念有着密切的联系，下面的性质揭示了它们的关系。

(4)若[a , b ]=m ，则1,=⎪⎭⎫⎝⎛b m a m (5)],[),(b a abb a =由性质(5)知，在已知a , b 两数的最大公约数和最小公倍数之一时，便很容易求出另一个。

二、典型例题例1 某正整数与24的最大公约数和最小公倍数分别为4和168，求这个正整数。

解：设所求正整数为x ，则由(x , 24)=4，有x =4n (n 是正整数)。

于是有 [4n , 24]=168.根据性质（4），有124168,4168=⎪⎭⎫⎝⎛n ，即 .17,42=⎪⎭⎫⎝⎛n 由n42是正整数，得n 可能取的值是1，2，3，6，7，14，21，42。

分别代入上式检验，只有n =7。

故所求正整数是28。

例2.（1999年希望杯初一2试）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数中选出五个组成五位数, 使得这个五位数能被3,5,7,13都整除，这样的五位数中最大的是___________.解：所求五位数能被3、5、7、13整除，当然也能被3、5、7、13的最小公倍数整除.即这个五位数是3×5×7×13=1365的倍数.通过除法,可算出五位数中1365的最大倍数是73×1365=99645. 但99645的五个数码中有两个9,不合题意要求,可依次算出 72×1364=98280(两个8重复,不合要求). 71×1365=96915(两个9重复,不合要求). 70×1365=95550(三个5重复,不合要求). 69×1365=94185(五个数码不同). 因此,所求的五位数最大的是94185.例3 已知两个正整数的和是45，它们的最小公倍数是168，求这两个数。

奥数讲义数论专题：数论综合

华杯赛数论专题：数论综合例1.小于2000又与2000互质的数有800个，这800个数相加的和是多少？【答案】800000【解答】如果a是小于2000且与2000互质的数，则（2000－a）也是这种数。

因为1000不与2000互质，所以a≠2000－a。

又因为a与（2000－a）之和是2000，所以800个小于2000且与2000互质的数可以分为400组，每组的和都是2000，这800个数的和是2000×400＝800000。

例2.有四个不同的非零自然数，其中任意两个数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数。

为使这四个数的和尽可能小，这四个数应分别是几？【答案】1，7，13，19【解答】任意两（或三）个数的和是2（或3）的倍数，说明四个数除以2（或3）的余数相同，所以四个数除以6的余数相同。

最小是1，7，13，19。

例3.有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的。

求所有这样的三位数。

【答案】117，108，207【解答】一个三位数，如果这本身增加3，得到的新三位数的各位数字之和就减少到原来三位数的。

则增加3时，计算中有进位。

我们知道：如果进行加法计算时，有进位，每进位一次，则和的各位数字之和比各个加数的数字之和的总和减少9。

设原来三位数的数字之和是x。

因增加3，得到的仍是一个三位数，则最多有两次进位。

如果有一次进位，则新三位数的各位数字之和是x＋3－9＝x－6。

得到方程：（x－6）×3＝x。

解得：x＝9。

如果有两次进位，则新三位数的各位数字之和是x＋3－9×2＝x－15。

得到方程：（x－15）×3=x。

此方程无整数解。

所以原三位数的各位数字之和是9。

原三位数的百位数字最小是1，个位数字最小是7。

这样的三位数有三个：117，108，207。

验证：117＋3＝120。

117的各位数字之和是9，120的各位数字之和是3，3＝9×。

数论算法讲义5章(原根与指标)

若a 的指数e ＝()m ϕ，则a 叫做模m 的原根。

且11≡1，32≡1，63≡1，34≡1，65≡1，26≡1（mod 7）故对模数7而言，1，2，3，4，5，6的指数分别为1，3，6，3，6，2。

小升初奥数第5讲数论综合

第九讲：小升初专项复习（七）——数论综合一、训练目标知识传递：掌握数论的相关知识，并能用之分析、解决一些数论基本问题。

能力强化：分析能力、理解能力、推理能力、转化能力、推算能力、综合能力。

思想方法：整除思想、奇偶思想、比较思想、对应思想、恒等思想、同余思想。

二、知识与方法归纳数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力，数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”．因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了．任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作．”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论显得格外重要，数论研究的是奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数——整数及其内部关系，但是从这些简单的数中诞生了“哥德巴赫猜想”这样的难题，它们吸引数学家们花费数十年、甚至整世纪努力研究．小学数学竞赛和小升初择校考试中的数论问题，常常涉及整数的整除性、质数与合数、约数与倍数、带余除法、奇数与偶数和整数的分解与分拆同余、中国剩余定理等．三、经典例题例1.某自然数除2840，余数是32，这个自然数最小是多少？例2.有四个小朋友，年龄逐个增加一岁，4个人年龄的乘积是3024，问其中年龄最大的一个是几岁？例3.要使4个数的乘积135×975×342×（）的结果最后5位数字全是0，（）内的数最小应是多少？例4.一本陈年老账上记着：88只桶，共□67.9□元。

这里□处字迹不清。

请把□处数字补上，并求桶的单价。

例5.在2012后面补上3个数字，组成一个七位数，使它能分别被3、4、5整除，这个七位数最大是多少？例6.一个正整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个完全平方数。

例7.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，求乙数.例8.○×（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.例9.有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。

第5讲数论综合

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