直线与圆

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直线与圆的位置关系—知识讲解

直线与圆的位置关系—知识讲解责编：常春芳【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，（1）d＜r直线l与⊙O相交；（2）d=r直线l与⊙O相切；（3）d＞r直线l与⊙O相离.要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线.【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系【高清ID号：356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5∙⨯(cm)，（1）当r=2cm时，CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离【答案】B.类型二、切线的判定与性质2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．【思路点拨】作垂直，证半径．【答案与解析】证明：过D作DF⊥AC于F．∵∠B＝90°，∴DB⊥AB．又AD平分∠BAC，∴ DF＝BD＝半径．∴ AC与⊙D相切．【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可．3．（2016•三明）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．【思路点拨】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．【总结升华】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．【思路点拨】（1）连接OD，证明OD∥AD即可；（2）作DF⊥AB于F，证明△EAD≌△FAD，将DE转化成DF来求.【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝EAD．∴EA∥OD．∵DE⊥EA，∴DE⊥OD．又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）如上图，作DF⊥AB，垂足为F．∴∠DFA＝∠DEA＝90°．∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD．∴AF＝AE＝8，DF＝DE.∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．。

直线与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点在圆外⇔d ＞r ．点在圆上⇔d=r ．点在圆内⇔d ＜r ．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆相交⇔d ＜r ，直线与圆相切⇔d=r ，直线与圆相离⇔d ＞r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系：①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．(3)设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R 和r ，则①两圆外离⇔d ＞R+r ；有4条公切线；②两圆外切⇔d=R ＋r ；有3条公切线；③两圆相交⇔R －r ＜d ＜R+r （R ＞r ）有2条公切线；④两圆内切⇔d=R －r （R ＞r ）有1条公切线；⑤两圆内含⇔d ＜R —r （R ＞r ）有0条公切线．（注意：两圆内含时，如果d 为0，则两圆为同心圆）4.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（）例题2图A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；• 当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（）A. 15 B. 30 C. 45 D.604. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移个单位长. OD C B Ax y M B A O C l B A 例题3图例题8图例题9图 •A B P C EF •O 例题10图第3题图第4题图第5题图第6题图OO2O16. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC ＝1，，则⊙O的半径等于（）A.45B.54C.43D.657.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长63，以3为半径⊙O的同心圆与直线AB的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定8.如图，在ABC△中，12023AB AC A BC=∠==，°，，A⊙与BC相切于点D，且交AB AC、于M N、两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．9.如图，B是线段AC上的一点，且AB：AC=2：5，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是______cm．12.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30º，弦EF∥AB，连结OC交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为_________．13. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm，∠P=60°．求弦AB的长．中考题型一、选择题1.（2009年·宁德中考）如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB的长为（）A．43 B．4 C．23 D．2（第1题图）（第2题图）2.（2009年·潍坊中考）已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）A．2R B．3R C．R D．32RBPAOC第8题图第9题图第11题图第10题图第12题图第13题图3.（2009年·襄樊中考）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C,若∠A=25°则∠D 等于（）A ．40°B ．50°C ．60° D．70°（第3题图）（第4题图）4．（2009年湖南省邵阳市）如图AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结BC 交圆0于点D,连结AD,若∠ABC ＝450,则下列结论正确的是（） A.AD ＝21BC B.AD ＝21AC C.AC ＞AB D.AD ＞DC二、填空题5.（2009年·綦江县中考）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交O ⊙于点C ，连结BC ，若34A ∠=°，则C ∠= ．（第5题图）（第6题图）6.（2009年·庆阳市中考）如图直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有个．三、解答题7.（2009桂林百色）如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过A 点作直线MN ，若∠MAC＝∠ABC ．（1）求证：MN 是半圆的切线；（2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于G ，过D 作DE⊥AB 于E ，交AC 于F ．求证：FD ＝FG ．（3）若△DFG 的面积为4.5，且DG ＝3，GC ＝4，试求△BCG 的面积．课后练习题一、填空题：1、在直角坐标系中，以点（1,2）为圆心，1为半径的圆必与y轴，与x轴2、直线m上一点P与O点的距离是3，⊙O的半径是3，则直线m与⊙O的位置关系是3、R T⊿ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，则以2.4cm为半径的⊙C与直线AB的位置关系是4、如图1，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于D，且∠A=30°，⊙O半径为2cm，则CD=5、如图2，AB切⊙O于C，点D在⊙O上，∠EDC=30°，弦EF∥AB，CF=2，则EF=6、如图3，以O为圆心的两个同心圆中，大圆半径为13cm,小圆半径为5cm，且大圆的弦AB切小圆于P，则AB=7、如图4，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=30°，点P在射线OA上，且OP=6cm，以P为圆心，1cm为半径的⊙P以1cm/s的速度沿射线PB方向运动。

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系知识要点：1．直线和圆的位置关系如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么：（1）直线l 和相交⇔d ＜r ，直线和圆有两个交点；（2）直线l 和⊙O 相切⇔d=r ，直线和圆只有一个交点；（3）直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ，直线和圆没有交点。

2．切线的判定和性质：（1）判定：经过半径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

（2）性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

3．外切多边形：（1）和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。

（2）圆的外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边的和相等。

4．切线长定理：（1）在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

(1)(2)(3)二星级题：1．已知⊙A 的直径为6，A 点坐标是（－3，－4），则⊙A 与x 轴的位置关系是，与y 轴的位置关系是，与直线y=x 的位置关系是。

2．如图所示，已知菱形ABCD ，对角线AC=16，BD=12，以B 点为圆心，以R 为半径作⊙B 与AD 相切。

求⊙B 的半径。

3．已知C 是AB 的中点，D 点在OC 延长线长，AC 平分∠BAD 。

求证：AD 是⊙O 的切线。

三星级题：1．如图，已知同心⊙O ，外⊙O 的弦AB 、AC 切内⊙O 于点M 、N ，过M 、N 两点的直线交外⊙O 于点D 、E 。

求证：∠DAB=∠EDC 。

2．如图，已知等边三角形一边长的高为h ，内切圆半径为r ，求证：h=3r 。

BDE如图所示，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，以AB 为直径作⊙O 切DC 于E 点。

直线和圆的关系

直线和圆的关系证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：①当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径。

直线和圆的关系 11.直线和圆的关系 1① 相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

② 相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

③ 相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。

④ 直线和圆的关系 12.圆的切线① 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

如图，直线l就是⊙O的切线。

此外，经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；垂直于切线且过切点的直线必过圆心。

② 切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径。

如上图，若直线l是⊙O的切线，A为切点，则l丄OA.3. 切线长① 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

② 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B切点分别为A，B，则PA=PB，∠OPA=∠OPB.4.切线的判定和性质的应用(1)辅助线的练习利用切线的性质进行计算或演示的常用辅助线是连接圆心和切点，利用垂直直角三角形解决相关问题。

(2) 证明直线与圆相切的三种途径证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）①.证直线过半径外端且垂直于这条半径（即运用判定定理）②.证圆心到直线的距离等于圆的半径（即证d=r)③.当题目已知直线与圆的公共点时，一般用方法②，当题目未知直线与圆的公共点时，一般用方法③，方法①运用较少。

判断直线与圆位置关系的方法1、代数法:联立直线方程和圆方程，解方程组，如果方程组无解，则直线与圆分离，如果方程组有一组解，则直线与圆相切，如果方程组有两组解，则直线与圆相交。

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系1.直线方程的一般式：Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)2.圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r 2（圆心为(a,b) ,半径为r.）3.圆的一般方程：22220,40.Dx Ey F F y x D E ++++=+->其中，圆心为（,22D E --）半径为224r D E F =+-. 二、直线与圆的位置关系（3种）1直线与圆相交，有两个公共点；2直线与圆相切，只有两个公共点；3直线与圆相离，没有公共点。

问题：如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？Eg ：如图，已知直线l:3x+y-6和圆心为C 的圆x 2+y 2-2y-4=0，判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。

分析：方法一，判断直线L 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系. 判断方法1：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组成的方程组,根据解的个数来判断研究：若有两组不同的实数解,即 <０则相交；若有两组相同的实数解,即＝０,则相切；若无实数解,即＜０,则相离．判断方法2：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断:当d<r 时,直线与圆相交;当d=r 时,直线与圆相切;当d>r 时,直线与圆相离．1.判断直线４x －３y=50与圆22100x y +=位置关系．如果相交，求出交点坐标．2.已知过点M （-3，-3）的直线L 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45，求直线L 的方程。

3.已知动直线L:y=kx+5和圆C ：()2211x y -+=，试问k 为何值时，直线与圆相切、相离、相交？4.若两直线y ＝x ＋2a 和y ＝2x ＋a ＋1的交点为P ，P 在圆x2＋y2＝4的内部，则a 的取值范围是5.圆221x y +=上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是。

直线与圆的关系

直线与圆的关系
直线和圆是数学中的重要概念，它们之间的关系被应用于解决各种问题，并在
不同的研究领域中发挥着重要作用。

直线是指任意给定两点之间的最短路径，它是一个平行四边形中所有顶点的连线。

而圆即一个由一个点为中心，由某一距离为半径的闭合曲线形成的球面。

圆的方程可以表示为：x²+y²=r²，圆的方程的参数包括圆的半径r和圆心位置（h，k）。

直线和圆之间的关系是十分重要的。

通常情况下，直线可以与圆有四种关系：
穿过圆心、与圆相切、穿过圆、相交。

第一种关系是直线穿过圆心，这意味着圆心落在直线上，满足直线方程
y=mx+b，圆方程可以表示为（x-h）²+（y-k）²=r²。

第二种情况是直线与圆相切，此时直线满足直线方程y=mx+b，圆方程可以表
示为（x-h）²+（y-k）²=r²，这意味着直线的斜率等于半径的平方根。

第三种情况是直线穿过圆，这意味着直线满足直线方程y=mx+b，而圆方程可
以表示为（x-h）²+（y-k）²=r²，此时，斜率不等于半径的平方根。

第四种情况是直线与圆相交，满足直线方程y=mx+b，圆方程可以表示为（x-h）²+（y-k）²=r²，斜率可以大于，小于或等于半径的平方根。

在总结以上，我们可以看出，直线和圆之间的关系是一个复杂的问题，有四个
基本的关系，所有的情况都取决于斜率以及圆半径的大小。

因此，要求学生了解直线和圆之间的关系和方程，从而判断他们之间的不同关系，尤其是线与圆相交和线与圆相切等情况，这需要深入研究和分析。

直线与圆的位置关系的数学知识点

直线与圆的位置关系的数学知识点
直线与圆的位置关系的数学知识点
①直线和圆无公共点，称相离。

AB与圆O相离，dr。

②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。

AB 与⊙O相交，d
③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

AB与⊙O相切，d=r。

(d为圆心到直线的距离)
平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程
如果b^2-4ac0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴(或垂直于x轴)，将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1
当x=-C/Ax2时，直线与圆相离;。

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系位置关系有三种：相交、相切、相离．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：（1）代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次方程，求出其∆的值，然后比较判别式∆与0的大小关系．若0∆<，则直线与圆相离；若0∆=，则直线与圆相切；若0∆>，则直线与圆相交．（2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系：d r <⇔相交，d r =⇔相切，d r >⇔相离．二、计算直线被圆截得的弦长的常用方法（1）几何方法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算．（2）代数方法：运用韦达定理及弦长公式2221(1)[()4]A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-三、圆与圆的位置关系的判定设2222221111122222:()()(0),:()()(0)C x a y b r r C x a y b r r -+-=>-+-=>，则有：12121C C r r C >+⇔与2C 外离；12121C C r r C =+⇔与2C 外切；1212121r r C C r r C -<<+⇔与2C 相交；1212121()C C r r r r C =-≠⇔与2C 内切；12121C C r r C <-⇔与2C 内含；四、圆的切线方程问题（1）已知22222222123:,:()(),:0,O x y r O x a y b r O x y Dx Ey F +=-+-=++++=则以00(,)M x y 为切点的1O 的切线方程200;xx yy r +=2O 的切线方程200()()()(),x a x a y b y b r --+--=3O 切线方程0000()()022D x xE y y xx yyF ++++++= （2）已知圆的222x y r +=的切线斜率为k ，则圆的切线方程为21y kx r k =±+（3）已知切线过圆外一点11(,)P x y ,可设切线方程为11(),y y k x x -=-利用相切条件确定斜率k ，此时必有两条切线，不能漏掉斜率不存在的那一条切线．（4）切线长公式：从圆外一点00(,)P x y 引圆222()()x a y b r -+-=的切线，则P 到切点的切线段长为22200()()d x x y y r =-+--；从圆外一点00(,)P x y 引圆220x y Dx Ey F ++++=的切线，则P 到切点的切线段长为220000d x y Dx Ey F =++++五、圆系方程（1）同心圆系2220000()(),,x x y y r x y -+-=为常数，r 为参数．（2）圆心共线且半径相等圆系22200()(),x x y y r -+-=r 为常数，圆心00(,)x y 在直线0ax by c ++=上移动．（3）过两已知圆22(,)0(1,2)i i i i f x y x y D x E y F i =++++==的交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=即12(,)(,)0(1)f x y f x y λλ+=≠-．当1λ=-时，方程变为121212()()0,D D x E E y F F -+-+-=表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心垂直的直线．（4）过直线与圆交点的圆系方程：直线:0l Ax By C ++=与圆22:0C x y Dx Ey F ++++=相交，则方程22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=表示过直线l 与圆C 的两个交点的圆系方程．题型一、直线与圆相交【例1】直线10x y -+=与圆()2211x y ++=的位置关系是_________．【例2】圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有_________个．【例3】判断直线210x y -+=和圆2222410x y mx my m +--+-=的位置关系，结论为（）A ．相交但直线不过圆心B ．相交且直线过圆心C ．相交或相切D ．相交、相切或相离【例4】自点()64P -，向圆2220x y +=引割线，所得弦长为62，则这条割线所在直线的方程是．【例5】直线023=+-y x 被圆224x y +=截得的弦长为_______.【例6】若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l ：y kx =的距离为22，则k 的取值范围是_________．【例7】圆22(2)(3)4x y -++=上与直线20x y -+=距离最远的点的坐标是_________．【例8】若直线l 与圆22(1)4x y ++=相交于A ,B 两点，且线段AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l的方程为．题型二、直线与圆相切【例9】若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(12)P -，，则ab 的积为_________．【例10】过点()4,4引圆()()22134x y -+-=的切线，则切线长是_________．【例11】动圆C 经过点)0,1(F ，并且与直线1-=x 相切，若动圆C 与直线122++=x y 总有公共点，则圆C 的面积（）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π【例12】求过点(24)A ，向圆224x y +=所引的切线方程为．【例13】已知圆的方程为22220x y ax y a ++++=，一定点为(1,1)A --，要使过定点A 作圆的切线有两条，则a 的取值范围是_________．【例14】过点(2,4)A --且与直线l ：3260x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程为．【例15】过直线2x =上一点M 向圆()()22511x y ++-=作切线，则M 到切点的最小距离为_______．【例16】已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆:C 222210x y x y +--+=的两条切线，,A B 是切点，那么四边形PACB 面积的最小值为_______，此时P 点的坐标为_______．【例17】已知圆224O x y +=：，过点(2,4)P 与圆O 相切的两条切线为,PA PB ，其中A B 、为切点，求直线AB 的方程．题型三、综合问题【例18】直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是_________．【例19】圆224x y +=被直线3230x y +-=截得的劣弧所对的圆心角的大小为_________．【例20】过点()2,0P 与圆22230x y y ++-=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是_________．【例21】若直线220(,0)ax by a b -+=>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b+的最小值为____________．【例22】若过定点(10)M -，且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是____________．【例23】若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是_________．【例24】直线经过点332P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，被圆2225x y +=截得的弦长为8，则此弦所在直线方程为____________．课后练习【题1】圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是_________．【题2】直线2x =被圆224x a y -+=（）所截得的弦长等于23，则a 的为_________．【题3】如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是________．【题4】经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为____________．【题5】过点(1,2)P 的直线将圆22450x y x +--=分成两个弓形，当这两个弓形面积之差最大时，这条直线的方程为____________．【题6】过点(1,2)的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =_________．【题7】已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740()l m x m y m m +++--=∈R ．（1）证明直线l 与圆相交；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最小时，求直线l 的方程．【题8】已知圆22:2440C x y x y +-+-=，问最否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在，写出直线方程；若不存在，说明理由．。

直线与圆的位置关系

精心整理直线与圆、圆与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相离．(2)代数法：[知识拓展](1)(2)(3)2．设圆O圆O2[(1)4条．(2)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×)(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×)(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√)1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离答案 B2．(2013·安徽)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1B．2C．4D．4答案 C3．两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x－y＋＝0上，则m＋c的值等于________．答案4．⊥BC，答案例1(1)(2)AC．答案例2(2)②与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；③过切点A(4，－1)．(1)答案x＝2或4x－3y＋4＝0(2013·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．题型三圆与圆的位置关系例3(1)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是________________________．(2)两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是________．(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，若由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．答案(1)x－2y＋4＝0(2)2(3)x＝(1)圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为()A．外离B．外切C．相交D．内切(2)设M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，且M∩N≠?，求a的最大值和最小值．(1)与直线2x＋yA.πC．(6APB ＝90°A．7B答案典例() A．[1B．(C．[2D．()A.C. D.答案(3)D(4)DA组专项基础训练(时间：45分钟)1．(2014·湖南)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于()A．21B．19C．9D．－11答案 C2．(2013·福建)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0答案 D3．若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为() A.B．2C．4D．2答案 B4．(2013·山东)过点P(3,1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为() A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0答案 A522A．1B答案6答案7．0，则m答案8答案9(1)(2)(1)∴S即△(2)∴10所在的(1)(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．解(1)矩形ABCD的外接圆的方程是(x－2)2＋y2＝8.(2)故l的方程为y－2＝－(x－3)，即x＋2y－7＝0.B组专项能力提升(时间：25分钟)11．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定答案 A12．设曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案 B13．(2013·江西)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线lA.B答案14答案15．为等答案16(1)(2)若a解(2)即|。

直线与圆知识点总结

直线与圆知识点总结1. 直线与圆的位置关系：- 直线与圆可能相交于两个点，这种情况称为相交。

- 直线与圆可能与圆外部割线相切于一点，这种情况称为相切。

- 直线可能与圆没有交点，这种情况称为相离。

2. 判断直线与圆的位置关系：- 使用勾股定理可以判断直线与圆是否相交。

设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。

若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。

- 使用两点式可以判断直线与圆的位置关系。

设直线上两点为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

计算直线的斜率m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，若直线的斜率存在且非零，则直线与圆相交或相离；若直线的斜率不存在或为0，则直线可能与圆相切或相离。

将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。

3. 求直线与圆的交点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。

解这个方程即可得到直线与圆的交点的x坐标。

将得到的x坐标代入直线的方程，可以求得对应的y坐标。

4. 求直线与圆的切点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

平面几何中的圆与直线的位置关系

平面几何中的圆与直线的位置关系在平面几何中，圆与直线是两种常见的几何元素，它们之间的位置关系是几何学中的一个重要研究内容。

本文将讨论圆与直线在平面上的不同位置关系，以及对应的性质和定理。

一、圆与直线的位置关系之相离当一个直线与一个圆没有任何交点时，我们称这两者为相离的关系。

具体而言，相离有以下三种情况：1. 直线在圆的外部：当直线的位置离开圆，且没有与圆相交时，我们说直线在圆的外部。

在这种情况下，直线与圆之间的最短距离等于两者的半径之差。

2. 直线与圆相切：当直线恰好与圆相切于一点时，我们称这两者为相切的关系。

在这种情况下，直线与圆的切点即为其唯一的交点。

此时，直线与圆的切点到圆心的距离等于圆的半径。

3. 圆在直线的外部：当圆完全在直线的一侧，且没有与直线相交时，我们说圆在直线的外部。

此时，直线与圆之间的最短距离等于两者的半径之和。

二、圆与直线的位置关系之相交当一个直线与一个圆相交于两个不同的交点时，我们称这两者为相交的关系。

具体而言，相交有以下两种情况：1. 直线通过圆：当一条直线正好经过圆心时，这条直线被称为直线通过圆。

在这种情况下，直线与圆有无数个交点，且直线与圆的切点到圆心的距离等于圆的半径。

2. 直线与圆相交于两点：当直线与圆相交于两个不同的交点时，我们称这两者为相交于两点的关系。

在这种情况下，直线与圆的交点满足以下性质：- 直线与圆的交点到圆心的距离等于圆的半径。

- 直线与圆的交点所在的弦垂直于直线，并且两者的交点处于弦的中垂线上。

三、圆与直线的位置关系之相切当一个直线与一个圆仅在一点处相切时，我们称这两者为相切的关系。

相切有以下两种情况：1. 直线外切圆：当直线与圆只在圆的外切点相切时，我们说直线外切圆。

在这种情况下，直线与圆的切点到圆心的距离等于圆的半径。

2. 直线内切圆：当直线与圆在圆的内切点相切时，我们说直线内切圆。

在这种情况下，直线与圆的切点到圆心的距离等于圆的半径。

四、圆与直线的位置关系之包含当一个圆完全包含在直线的内部时，我们称圆被直线包含。

圆与直线的位置关系

圆与直线的位置关系圆与直线是几何学中常见的图形，它们之间的位置关系包括相离、相切和相交三种情况。

本文将详细探讨这些情况，并通过几何推理和实例来解释。

1. 圆与直线相离：当直线与圆没有任何交点时，它们被视为相离的。

直线可能是圆心到圆周的垂直线，或者不经过圆心的一般直线。

无论直线与圆相切于内侧还是外侧，只要它们没有交点，就可以判定为相离的情况。

2. 圆与直线相切：相切是指直线与圆仅有一个交点，且交点位于圆上。

这种情况下，直线的斜率与圆心到直线的距离有一定的关系。

具体而言，如果直线的斜率与圆心到直线的距离相等，则可判断为相切关系。

相切分为外切和内切两种情况。

2.1 外切情况：当直线与圆相切于圆外时，被视为外切。

此时，直线与圆心的连线垂直于直线，且直线与圆的切点在圆心与直线之间的连线上。

2.2 内切情况：当直线与圆相切于圆内时，被视为内切。

此时，直线与圆心的连线垂直于直线，且直线与圆的切点在圆心与直线之间的连线上。

3. 圆与直线相交：当直线与圆有两个交点时，它们被视为相交。

直线可以穿过圆或与圆相切于圆上。

相交分为两种情况。

3.1 直线穿过圆：当直线穿过圆时，它将与圆有两个交点。

在这种情况下，可以进一步判断两个交点与圆心的位置关系，即是否位于圆的同侧或异侧。

3.2 直线与圆相切于圆上：当直线与只与圆相切于圆上时，它将与圆有两个重合的交点。

这种情况下，直线的斜率与圆心到直线的距离不等。

通过上述讨论，我们可以看出，圆与直线的位置关系涉及直线的斜率、圆心到直线的距离以及交点的位置。

这种关系对于解决几何问题和实际应用具有重要意义。

我们可以通过几何推理和计算来判断圆与直线的位置关系，进而解决与其相关的问题。

例如，在建筑设计中，确定某个圆形花坛是否与墙面的直线相交或相切，可以决定是否需要调整花坛的位置和形状，从而达到更美观和合理的效果。

在机械制图中，分析零件的圆形定位孔与直线轴线的位置关系，有助于确定装配的精度和可靠性。

直线与圆的位置关系

专题直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆有三种位置关系：相交、相切和相离（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。

（2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。

（3）直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

2.直线与圆的位置关系的性质和判定设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，可归纳如下结论：（1）直线l 与⊙O 相交⇔d r < （2）直线l 与⊙O 相切⇔d r = （3）直线l 与⊙O 相离⇔d r > 3.4．5．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

6．圆的切线的判定方法：（1）定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

（2）数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

（3）定理：过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线。

7．三角形的内切圆、三角形内心的概念：与三角形三边都相切的圆有且只有一个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形的三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

8．三角形的外接圆、三角形外心的概念：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

9．切线长的概念：已知过圆外一点P 可以作圆的两条切线，如图，点P 和切点,A B 之间的线段,PA PB 的长，称为点P 到⊙O 的切线长。

10．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

11、圆与圆的位置关系：（1）两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部。

（2）两圆外切：两圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部。

（3）两圆相交：两圆有两个公共点。

（4）两圆内切:两圆有唯一的公共点并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部。

圆和直线的位置关系

圆和直线的位置关系圆和直线是几何学中常见的基本几何形状。

它们之间的位置关系对于解决许多几何问题都至关重要。

本文将探讨圆和直线之间的各种可能的位置关系，并给出具体的例子来帮助读者更好地理解。

一、直线穿过圆的情况首先，我们来看直线穿过圆的情况。

当一条直线与圆相交时，有三种可能的情况：直线与圆相交于两个点、直线与圆相切于一个点或直线完全包围圆。

1. 直线与圆相交于两个点当一条直线与圆相交于两个点时，我们称之为直线与圆相交。

在这种情况下，我们可以通过连接两个交点来得到直线与圆的交点线段（弦）。

这个弦是圆上的一条线段，其长度等于两个交点之间的距离。

2. 直线与圆相切于一个点当一条直线与圆相切于一个点时，我们称之为直线与圆相切。

在这种情况下，直线在相切点处与圆的切线重合，且直线垂直于切线。

直线与圆的相切点是圆上的一个确定的点，其坐标可以通过解几何方程来求得。

3. 直线完全包围圆当一条直线完全包围圆时，我们称之为直线包围圆。

在这种情况下，直线的两个端点在圆的外部，且直线没有与圆相交的点。

直线与圆的位置关系可以通过判断直线方程和圆方程的关系来确定。

二、直线与圆的相对位置关系除了直线穿过圆的情况外，还存在直线与圆的其他相对位置关系。

这些关系包括直线在圆的内部、直线在圆的外部和直线与圆的切线垂直关系。

1. 直线在圆的内部当一条直线完全在圆的内部时，我们可以称之为直线在圆的内部。

在这种情况下，直线的所有点都位于圆的内部，没有与圆相交或相切的点。

2. 直线在圆的外部当一条直线完全在圆的外部时，我们可以称之为直线在圆的外部。

在这种情况下，直线的所有点都位于圆的外部，没有与圆相交或相切的点。

3. 直线与圆的切线垂直关系当一条直线与圆的切线垂直时，我们称之为直线与圆的切线垂直关系。

在这种情况下，直线与圆的切线的斜率乘以圆的切线的斜率为-1，即两条线段互为垂直。

举例来说，设定一个圆的圆心坐标为(0,0)，半径为r，则圆的方程可以表示为x^2 + y^2 = r^2。

判断直线与圆的位置关系方法

判断直线与圆的位置关系方法一、点到直线的距离公式：设直线的方程为Ax+By+C=0，圆的圆心坐标为(h,k)，半径为r，点的坐标为(x1,y1)。

点到直线的距离公式为：d=，A*x1+B*y1+C，/√(A^2+B^2)。

1.当d>r时，直线与圆无交点，直线与圆相离。

2.当d=r时，直线与圆只有一个交点，该交点即为点到直线的垂线与圆的交点。

3.当d<r时，直线与圆有两个交点，求解交点的方法可以利用点到直线的垂线方程。

二、点到圆的距离公式：设直线的方程为Ax+By+C=0，圆的圆心坐标为(h,k)，半径为r，点的坐标为(x1,y1)。

点到圆的距离公式为：d=√((x1-h)^2+(y1-k)^2)。

1.当d>r时，直线与圆无交点，直线与圆相离。

2.当d=r时，直线与圆只有一个交点，该交点即为点到圆的垂线与圆的交点。

3.当d<r时，直线与圆有两个交点，求解交点的方法可以利用点到直线的垂线方程。

三、直线与圆的交点公式：设直线的方程为Ax+By+C=0，圆的圆心坐标为(h,k)，半径为r，直线与圆的交点分别为(x1,y1)和(x2,y2)。

则交点的坐标有以下两种求解方法：1.代入方程法：将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程。

解这个方程可以得到x1和x2的值，将其代入直线的方程即可得到相应的y值。

最终求出交点的坐标。

2.垂线法：设直线的方程为y = kx + b，对其求出斜率 k 并确定直线的垂线的斜率为 -1/k。

将直线的方程代入圆的方程得到一个关于 x 的一元二次方程，解这个方程可以得到 x1 和 x2 的值，将其代入直线的方程即可得到相应的 y 值。

最终求出交点的坐标。

以上是判断直线与圆的常用方法，可以根据具体问题选择合适的方法来解决。

同时也需要注意解析几何中的一些特殊情况，如直线与圆相切、相交、相离等情况，对于这些情况需要综合考虑以上的公式和几何特性来判断两者的位置关系。

圆和直线的位置关系知识点

圆和直线的位置关系知识点圆和直线的位置关系是数学中非常重要的知识点，它们广泛应用于各种领域，如图形设计、建筑、物理和工程学等。

本文将探讨圆和直线之间的位置关系，包括相交、相切和不相交等情况。

一、圆和直线的相交从几何的角度来看，如果一条直线与圆相交，则该直线经过圆的两个点。

这两个点被称为圆与直线的交点。

如图1所示，直线AB与圆O相交于点C和点D。

图1 圆与直线相交我们可以得出如下结论：1. 如果直线的斜率等于圆心到直线的垂线的斜率，则圆与直线相切。

2. 如果直线的斜率大于或小于圆心到直线的垂线的斜率，则圆与直线相交。

二、圆和直线的相切当直线与圆只有一个公共点时，我们称圆和直线相切。

在图2中，直线和圆相切于点E。

图2 圆与直线相切这里我们介绍一个重要的结论：相切的直线是圆的切线。

圆的切线定义为与圆相切的直线。

如图3所示，圆O的切线为直线PO。

图3 圆的切线三、圆和直线不相交如果直线经过圆的中心，但不与圆相交，那么该直线被称为圆的直径。

圆的直径是圆的最长距离，它被定义为通过圆心且两端点在圆上的直线。

如图4所示，直线MN为圆O的直径。

图4 圆的直径另外，如果一条直线不经过圆的中心，并且距离圆心的距离等于圆的半径，则该直线被称为圆的割线。

如图5所示，直线EF是圆O的割线。

图5 圆的割线四、结论在本文中，我们介绍了圆和直线之间的三种位置关系：相交、相切和不相交。

我们还提到了相切的直线是圆的切线，圆的直径是圆的最长距离，圆的割线距离圆心的距离等于圆的半径。

这些知识点在数学中非常重要，对于理解圆形和直线在几何学、物理学和工程学中的应用有着重要的作用。

直线与圆的位置关系(相交

二、直线与圆的位置关系（相交，相切，相离）已知圆()()()222:0C x a y b r r -+-=>，直线:0L Ax By C ++=。

1、位置关系的判定：判定方法1：联立方程组()()2220x a y b rAx By C ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩，得到关于x （或y ）的方程（1）0∆>⇔相交；（2）0∆=⇔相切；（3）0∆<⇔相离。

判定方法2：若圆心(),a b 到直线L 的距离为d ，（1）d r <⇔相交；（2）d r =⇔相切；（3）d r >⇔相离。

例1、判断直线()():11210L m x m y m ++-+-=与圆22:9O x y +=的位置关系。

法一：直线():210L m x y x y -+++-=恒过点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且P 在圆O 内，所以直线L 与圆O 相交。

法二：圆心O 到直线L 的距离为d ==当3d <时，()()2221922m m -<+，2144170m m m R ∴++>∴∈ 所以直线L 与圆O 相交。

法三：联立方程，消去y 得()()22222142251480m x m m x m m +++--+-= ()()24322569692120684114417m m m m m m m ∴∆=-+-+=-++当1m ≠时，0∆>，直线与圆相交；当1m =时，直线L:12x =-，此时直线L 与圆O 相交。

[评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的基本方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量的计算，因此体现了数形结合的优点。

例2、求圆221x y +=上的点到直线3425x y +=的距离的最大最小值法一：设()cos ,sin P αα为圆上一点，则点P 到直线的距离为()5sin255dα+ϕ-==所以当()sin1α+ϕ=-时，max6d=，当()sin1α+ϕ=时，min4d=。

直线与圆的位置关系知识点

直线与圆的位置关系知识点一、直线与圆的位置关系※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.※2. 直线与圆的位置关系的数量特征:设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①d<r <===> 直线L和⊙O相交.②d=r <===> 直线L和⊙O相切.③d>r <===> 直线L和⊙O相离.※3. 切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.※4. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.注：证明直线是圆的切线的方法：已知点在圆上，连半径证垂直；未知点在圆上，作垂直证垂线段的长度等于圆的半径。

※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.※6. 三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.[补充]（只做了解）1.圆的外切四边形两组对边和相等2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角3.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角4.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等5.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.二、练习题一、选择题 1、（2013济宁）、如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为 A ．4 B ．33C ．6D ．322、(20XX 年山东东营)如图，四边形ABCD 为菱形，AB=BD ，点B 、C 、D 、G 四个点在同一个圆⊙O 上，连接BG 并延长交AD 于点F ，连接DG 并延长交AB 于点E ，BD 与CG 交于点H ，连接FH ，下列结论：①AE=DF ；②FH ∥AB ；③△DGH ∽△BGE ；④当CG 为⊙O 的直径时，DF=AF ．其中正确结论的个数是（ D ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 43、(20XX 年山东东营)如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（）A 。