第2章 控制系统的数学描述-V1.2 (1)
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2 a o 2 T
e
d o t dt
K e t
T i
o t d o t d Ra J dt 2 R a f K T K e dt K T ei t
2
考虑到:
d dt
可将上式改写成
Tm JRa /( Ra f ke kT ) 电机时间常数 K m kT /( Ra f ke kT ) 电机传递系数
通过对微分方程的求解、特征根分析等方法可以了解系统稳定 性、变量动态响应轨迹等性能。
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
2.1.1 建立微分方程
0 0
x x
1 x
e dx e dx
)]0
0
t
n 11 x x
0
x e dx
n x
0
x n d ( e x )
x x n 1 [ x (令 ex st , ( e )d ( x ) dx 则 dt t0 s s x 0n n x n 1e dx n( n ) 1 n！ n x n st 根据定义有L [ t 10 ( t )] t e dt n 1 x e dx 0 0 s ( n 1 ) n! n 1 n 1 s s
duo (t ) i (t ) C dt
消去中间变量i (t )，可得
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
将上面四个方程联立，可得
o t
3
d J L
a
3
dt
t d L f R J Ra f K K dt
2 a a o 2 T
e
d o t K T ei t dt
若忽略电枢电感，可简 化为：
t d R J dt Ra f K K
B点：当r变化△ r， y=y0+△ y
0 r0 r0+△r
函数在（r0 , y0 ）点连续可微，在A点展开成泰勒级数，即
1 d 2 f (r ) df (r ) 2 y f (r0 ) ( r r ) ( r r ) 0 0 2 2! dr r r dr r r0 0 df (r ) y y0 略去高次项， (r r0 ) dr r r0
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
例2.1.2 机械系统
• 机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机 械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为 角位移）两种。
例 一个由弹簧-质量-阻尼器组成 的机械平移系统如图所示。m为物 体质量， k 为弹簧系数， f 为粘性 阻尼系数，外力F(t)为输入量，位 移x(t)为输出量。 列写系统的运动方程。
Leabharlann Baidu.1.2
非线性系统的线性化
实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度 的非线性，如下图所示。
放大器饱和
电机死区
齿轮间隙
继电器开关特性
严格讲：所有系统都是非线性的
尽管线性系统的理论已经相当成熟，但 非线性系统的理论还远不完善。 另外，迭加原理不适用于非线性系统，
这给解非线性系统带来很大不便。
故我们尽量对所研究的系统进行线性化处理， 然后用线性理论进行分析。实践证明，这样做 能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际 意义。
对相似系统。
在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量。
例2.1.3 机电系统 电枢控制式直流电动机
电枢绕 组电阻 电枢绕 组电感 电机及负载折合 到电机轴上的粘 性摩擦系数
Ra
La
电机 转矩
电机输 出转角
电机及负载折 合到电机轴上 的转动惯量
ei(t)
电机电枢 输入电压
em ia
电机感应 反电动势
作业
• 习题：2-1(1)(2)
2.2
拉氏变换及反变换
一种解线性微分方程的简便方法 分析工程控制系统的基本数学方法
拉氏变换 时域微分方程 复变函数代数方程 拉氏反变换
2.2.1 拉氏变换定义
1、当t 0时，xt 0;
对于函数 xt ，满足下列条件
当t 0时，xt 在每个有限区间分段连 续。
建立控制系统的微分方程，需要了解整个系统的组成环节 和工作原理。列写微分方程的一般步骤如下：
分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量
（必要时还要考虑扰动量），并根据需要引进一些中间变量。
根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工作条件忽略一些次要因素， 并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分方程。 常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿定律和热力学定律等等。
消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程 即系统的数学模型。
例 2.1.1 电气系统
电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件
组成的电路，又称电气网络。
仅由电阻、电感、电容(无源器件)组成的电气网络称为无源网络。如
果电气网络中包含运算放大器(有源器件)，就称为有源网络。
例 由电阻R、电感L和电容C组成无源网络。 ui输入，uo输出，求微分方程。 L R +
+ ui(t)
－
i(t)
C
uo(t)
－
解 设回路电流为 i ( t ) 如图所示。由基尔霍夫电压定律可得到
di (t ) L Ri (t ) uo (t ) ui (t ) dt
式中i ( t )是中间变量。
o
3
m Ti(t) P15单摆 图 2-5 单 摆
3!
o
5
5!
忽略高阶小量，则 sino o
m l
d o t m g o t 0 2 dt
2
线性化步骤：
找出静态工作点 （工作点不同，所得方程系数也不同）
在工作点附近展开成泰勒级数
略去高阶项，得到关于增量的线性化方程
同理： j t j t e 1t Lcost 1t L e 2 1 1 1 s 2 2 2 s j s j s
例2.2.4幂函数 t 1t
n
设( ) 则( n 1 )
o (t)
T J
f
流过电枢绕 组的电流
if= 常数
P13 图 2-4 电枢 控 制 直 流 电动机
Ra
La
根据基尔霍夫定律，有 dia t ei t Ra i a t La dt em t
根据磁场对载流线圈的作用定律，有 T t
ei(t) ia em T
可知：对于同一个系统，若从不同的角度研究问题，则所得出 的数学模型式不一样的。
d Tm K m ei (t ) dt
注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各 项写在方程的右边，与输出量有关的各项写在方程的左边。 方程两边各导数项均按降阶顺序排列。
单输入、单输出系统微分方程的一般形式：
o t an xo t a0 xo t a1 xo t an1 x m m 1 i t bm xi t t bm1 x b0 xi t b1 xi 其中：n m
n n 1
0 1t { 1
,
t 0 t 0
1
0
t
L1t 1t e
0
st
1 st 1 dt e s 0 s
例2.2.2 指数函数 e 1t
t
1
L e 1t
t
0
t
0
0
e 1t e
t
st
dt
e
s t
dt
1 s
e
s t
1 0 s
例2.2.3 正弦函数sin t 1t 和余弦函数cost 1t
根据欧拉公式：
e cos j sin j e cos j sin
j
可利用L e 1t 的结果。
d x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
2
2
F
m
k
x
k和f分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。 负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反； 粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。
比较上面两个例子可见，虽然它们为两种不同的物理系统，
但它们的数学模型的形式却是相同的 我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统 例如上述RLC串联网络系统和弹簧-质量-阻尼器系统即为一
t
si n 则 cos
e
j
e
j
2j j j e e 2
jt jt 1 1 1 e e Lsin t 1t L 1t 2 j 2 j s j s j 1 s j ( s j ) 1 2 j 2 2 2 2 2 2 2 2 j s j 2 j s j s
公式描述
2.1 控制系统的微分方程描述 2.2 拉氏变换及反变换 2.3 控制系统的传递函数描述 2.4 控制系统的动态结构图 2.5 控制系统的信号流图
图形描述
控 制 系 统 描 述
2.6 状态空间方程
2.1 控制系统的微分方程描述
微分方程可以描述被控量（系统输出）和给定量（系统输入） 或扰动量（扰动输入）之间的函数关系。
F m f
k
x
解 在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速 度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力F为输入量，位 移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关 系和牛顿第二定律，可列出作用在m上的力和加速度之间的关系 为
d x dx m 2 F f kx dt dt
第2章 控制系统的数学描述
数学模型：
描述系统输入、输出变量及内部变量之间因果关系的数学表达式。 建立数学模型的方法有两种：
解析法：分析系统各环节运动机理，按照其遵循的物理化学规
律列写输入输出变量之间关系的数学表达式。
实验法：对系统输入某种测试信号，记录系统或各环节输出变
量的运动响应。通过数据处理选择一种数学模型可以近似地表示 这种响应，该过程称为系统辨识。
o (t)
J
f
if= 常数
K i t
T a
P13 图 2-4 电枢 控 制 直 流 电动机
其中， K T——电机力矩常数
d o t em t K e dt 其中， K e——反电势常数
根据电磁感应定律，有
根据牛顿第二定律定律 ，有 d o t d 2 o t T t f J dt dt 2
线性化条件：
1. 非线性因素对系统影响很小 2. 系统变量只发生微小偏移，可通过 切线法进行线性化，求其增量方程
不是各个变量的绝对数量， 而是它们偏离平衡点的量
y=f(r) r—元件的输入信号，y—元件的输出信号 设原运行于某平衡点（静态工作点）
y y0 + △ y y0 A B
A点：r=r0 , y=y0 ,且y0=f(r0)
df (r ) y K r , K dr r r0
根据牛顿第二定律，有 ： m g sin o t m l
2 d o t dt 2
o (t)
l
将 sin o 在 o 0 附 近 用 台劳级数展开，得： sin o o
t 0
2、 xt e
dt ，其中 — 正实数
则可定义xt 的拉氏变换为X s st X s Lxt xt e dt
0
象函数 原函数
1 s j t 复变量 量纲
例2.2.1 单位阶跃函数 1t
e
d o t dt
K e t
T i
o t d o t d Ra J dt 2 R a f K T K e dt K T ei t
2
考虑到:
d dt
可将上式改写成
Tm JRa /( Ra f ke kT ) 电机时间常数 K m kT /( Ra f ke kT ) 电机传递系数
通过对微分方程的求解、特征根分析等方法可以了解系统稳定 性、变量动态响应轨迹等性能。
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
2.1.1 建立微分方程
0 0
x x
1 x
e dx e dx
)]0
0
t
n 11 x x
0
x e dx
n x
0
x n d ( e x )
x x n 1 [ x (令 ex st , ( e )d ( x ) dx 则 dt t0 s s x 0n n x n 1e dx n( n ) 1 n！ n x n st 根据定义有L [ t 10 ( t )] t e dt n 1 x e dx 0 0 s ( n 1 ) n! n 1 n 1 s s
duo (t ) i (t ) C dt
消去中间变量i (t )，可得
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
将上面四个方程联立，可得
o t
3
d J L
a
3
dt
t d L f R J Ra f K K dt
2 a a o 2 T
e
d o t K T ei t dt
若忽略电枢电感，可简 化为：
t d R J dt Ra f K K
B点：当r变化△ r， y=y0+△ y
0 r0 r0+△r
函数在（r0 , y0 ）点连续可微，在A点展开成泰勒级数，即
1 d 2 f (r ) df (r ) 2 y f (r0 ) ( r r ) ( r r ) 0 0 2 2! dr r r dr r r0 0 df (r ) y y0 略去高次项， (r r0 ) dr r r0
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
例2.1.2 机械系统
• 机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机 械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为 角位移）两种。
例 一个由弹簧-质量-阻尼器组成 的机械平移系统如图所示。m为物 体质量， k 为弹簧系数， f 为粘性 阻尼系数，外力F(t)为输入量，位 移x(t)为输出量。 列写系统的运动方程。
Leabharlann Baidu.1.2
非线性系统的线性化
实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度 的非线性，如下图所示。
放大器饱和
电机死区
齿轮间隙
继电器开关特性
严格讲：所有系统都是非线性的
尽管线性系统的理论已经相当成熟，但 非线性系统的理论还远不完善。 另外，迭加原理不适用于非线性系统，
这给解非线性系统带来很大不便。
故我们尽量对所研究的系统进行线性化处理， 然后用线性理论进行分析。实践证明，这样做 能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际 意义。
对相似系统。
在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量。
例2.1.3 机电系统 电枢控制式直流电动机
电枢绕 组电阻 电枢绕 组电感 电机及负载折合 到电机轴上的粘 性摩擦系数
Ra
La
电机 转矩
电机输 出转角
电机及负载折 合到电机轴上 的转动惯量
ei(t)
电机电枢 输入电压
em ia
电机感应 反电动势
作业
• 习题：2-1(1)(2)
2.2
拉氏变换及反变换
一种解线性微分方程的简便方法 分析工程控制系统的基本数学方法
拉氏变换 时域微分方程 复变函数代数方程 拉氏反变换
2.2.1 拉氏变换定义
1、当t 0时，xt 0;
对于函数 xt ，满足下列条件
当t 0时，xt 在每个有限区间分段连 续。
建立控制系统的微分方程，需要了解整个系统的组成环节 和工作原理。列写微分方程的一般步骤如下：
分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量
（必要时还要考虑扰动量），并根据需要引进一些中间变量。
根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工作条件忽略一些次要因素， 并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分方程。 常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿定律和热力学定律等等。
消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程 即系统的数学模型。
例 2.1.1 电气系统
电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件
组成的电路，又称电气网络。
仅由电阻、电感、电容(无源器件)组成的电气网络称为无源网络。如
果电气网络中包含运算放大器(有源器件)，就称为有源网络。
例 由电阻R、电感L和电容C组成无源网络。 ui输入，uo输出，求微分方程。 L R +
+ ui(t)
－
i(t)
C
uo(t)
－
解 设回路电流为 i ( t ) 如图所示。由基尔霍夫电压定律可得到
di (t ) L Ri (t ) uo (t ) ui (t ) dt
式中i ( t )是中间变量。
o
3
m Ti(t) P15单摆 图 2-5 单 摆
3!
o
5
5!
忽略高阶小量，则 sino o
m l
d o t m g o t 0 2 dt
2
线性化步骤：
找出静态工作点 （工作点不同，所得方程系数也不同）
在工作点附近展开成泰勒级数
略去高阶项，得到关于增量的线性化方程
同理： j t j t e 1t Lcost 1t L e 2 1 1 1 s 2 2 2 s j s j s
例2.2.4幂函数 t 1t
n
设( ) 则( n 1 )
o (t)
T J
f
流过电枢绕 组的电流
if= 常数
P13 图 2-4 电枢 控 制 直 流 电动机
Ra
La
根据基尔霍夫定律，有 dia t ei t Ra i a t La dt em t
根据磁场对载流线圈的作用定律，有 T t
ei(t) ia em T
可知：对于同一个系统，若从不同的角度研究问题，则所得出 的数学模型式不一样的。
d Tm K m ei (t ) dt
注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各 项写在方程的右边，与输出量有关的各项写在方程的左边。 方程两边各导数项均按降阶顺序排列。
单输入、单输出系统微分方程的一般形式：
o t an xo t a0 xo t a1 xo t an1 x m m 1 i t bm xi t t bm1 x b0 xi t b1 xi 其中：n m
n n 1
0 1t { 1
,
t 0 t 0
1
0
t
L1t 1t e
0
st
1 st 1 dt e s 0 s
例2.2.2 指数函数 e 1t
t
1
L e 1t
t
0
t
0
0
e 1t e
t
st
dt
e
s t
dt
1 s
e
s t
1 0 s
例2.2.3 正弦函数sin t 1t 和余弦函数cost 1t
根据欧拉公式：
e cos j sin j e cos j sin
j
可利用L e 1t 的结果。
d x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
2
2
F
m
k
x
k和f分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。 负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反； 粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。
比较上面两个例子可见，虽然它们为两种不同的物理系统，
但它们的数学模型的形式却是相同的 我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统 例如上述RLC串联网络系统和弹簧-质量-阻尼器系统即为一
t
si n 则 cos
e
j
e
j
2j j j e e 2
jt jt 1 1 1 e e Lsin t 1t L 1t 2 j 2 j s j s j 1 s j ( s j ) 1 2 j 2 2 2 2 2 2 2 2 j s j 2 j s j s
公式描述
2.1 控制系统的微分方程描述 2.2 拉氏变换及反变换 2.3 控制系统的传递函数描述 2.4 控制系统的动态结构图 2.5 控制系统的信号流图
图形描述
控 制 系 统 描 述
2.6 状态空间方程
2.1 控制系统的微分方程描述
微分方程可以描述被控量（系统输出）和给定量（系统输入） 或扰动量（扰动输入）之间的函数关系。
F m f
k
x
解 在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速 度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力F为输入量，位 移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关 系和牛顿第二定律，可列出作用在m上的力和加速度之间的关系 为
d x dx m 2 F f kx dt dt
第2章 控制系统的数学描述
数学模型：
描述系统输入、输出变量及内部变量之间因果关系的数学表达式。 建立数学模型的方法有两种：
解析法：分析系统各环节运动机理，按照其遵循的物理化学规
律列写输入输出变量之间关系的数学表达式。
实验法：对系统输入某种测试信号，记录系统或各环节输出变
量的运动响应。通过数据处理选择一种数学模型可以近似地表示 这种响应，该过程称为系统辨识。
o (t)
J
f
if= 常数
K i t
T a
P13 图 2-4 电枢 控 制 直 流 电动机
其中， K T——电机力矩常数
d o t em t K e dt 其中， K e——反电势常数
根据电磁感应定律，有
根据牛顿第二定律定律 ，有 d o t d 2 o t T t f J dt dt 2
线性化条件：
1. 非线性因素对系统影响很小 2. 系统变量只发生微小偏移，可通过 切线法进行线性化，求其增量方程
不是各个变量的绝对数量， 而是它们偏离平衡点的量
y=f(r) r—元件的输入信号，y—元件的输出信号 设原运行于某平衡点（静态工作点）
y y0 + △ y y0 A B
A点：r=r0 , y=y0 ,且y0=f(r0)
df (r ) y K r , K dr r r0
根据牛顿第二定律，有 ： m g sin o t m l
2 d o t dt 2
o (t)
l
将 sin o 在 o 0 附 近 用 台劳级数展开，得： sin o o
t 0
2、 xt e
dt ，其中 — 正实数
则可定义xt 的拉氏变换为X s st X s Lxt xt e dt
0
象函数 原函数
1 s j t 复变量 量纲
例2.2.1 单位阶跃函数 1t