高考数学一轮复习课时分层训练42两条直线的位置关系文北师大版

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高考数学北师大理一轮复习第章平面解析几何两条直线的位置关系文档

1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.【知识拓展】1．一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.2．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0 (λ∈R )，但不包括l 2. 3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件： (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 (1)充分性：当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行；(2)必要性：当直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行时有a ＝－2或1. 所以“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件，故选A.2．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1答案 C解析依题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2. ∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．－1或－7 D.133答案 A解析 l 1的斜率为－3＋m 4，在y 轴上的截距为5－3m4，l 2的斜率为－25＋m ，在y 轴上的截距为85＋m .又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m 得，m 2＋8m ＋7＝0，得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故不符合题意；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m＝－4，符合题意．4．(2015·蚌埠模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________．答案 25解析由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b＝1(a ，b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ·ab＝25(当且仅当b a ＝ab，即a ＝b ＝5时取等号)．5．(教材改编)若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________. 答案 0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一两条直线的平行与垂直例1 (1)已知两条直线l 1：(a －1)·x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2D ．－1或2(2)已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________. 答案 (1)D (2)－2解析 (1)若a ＝0，两直线方程为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0.当a ≠0时，若两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或a ＝2，选D.(2)方法一 ∵l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a2＝－1，解得a ＝－2. 方法二 ∵l 1⊥l 2， ∴a ＋2＝0，a ＝－2.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x 、y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得：(1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)方法一当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2. 当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22.所以α＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等．故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.方法二由A 1B 2－A 2B 1＝0，得2sin 2α－1＝0，所以sin α＝±22.所以α＝k π±π4，k ∈Z .又B 1C 2－B 2C 1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. 故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2. 题型二两条直线的交点与距离问题例2 (1)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________________________________________________________________________．答案 (1)⎝⎛⎭⎫－16，12 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 解析 (1)方法一由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.方法二如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k P A ＜k ＜k PB . ∵k P A ＝－16，k PB ＝12.∴－16＜k ＜12.(2)方法一当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|， ∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．方法二当AB∥l时，有k＝k AB＝－1 3，直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)．∴直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d ＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.(2)正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．解点C到直线x＋3y－5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离 d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离 d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0. 题型三对称问题命题点1 点关于点中心对称例3 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案 x ＋4y －4＝0解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例4 (2015·日照模拟)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－3313，413 解析设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 命题点3 直线关于直线的对称问题例5 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)．∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a－x，y′＝2b－y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n－bm－a×⎝⎛⎭⎫－AB＝－1，A·a＋m2＋B·b＋n2＋C＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于()A．2 B．1C.83 D.43答案 D解析建立如图所示的坐标系：可得B(4,0)，C(0,4)，故直线BC的方程为x＋y＝4，△ABC的重心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0＋43，0＋4＋03，设P (a,0)，其中0<a <4，则点P 关于直线BC 的对称点P 1(x ，y )，满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋x 2＋y ＋02＝4，y －0x －a ·(－1)＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4－a ，即P 1(4,4－a )，易得P 关于y 轴的对称点P 2(－a,0)，由光的反射原理可知P 1，Q ，R ，P 2四点共线，直线QR 的斜率为k ＝4－a －04－(－a )＝4－a 4＋a ，故直线QR 的方程为y ＝4－a4＋a(x ＋a )，由于直线QR 过△ABC 的重心(43，43)，代入化简可得3a 2－4a ＝0，解得a ＝43，或a ＝0(舍去)，故P ⎝⎛⎭⎫43，0，故AP ＝43.18．妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．典例求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程．思维点拨因为所求直线与3x ＋4y ＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 (c ≠1)．规范解答解依题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 (c ≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.温馨提醒与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋C 1＝0 (C 1≠C )，再由其他条件求C 1. 二、垂直直线系由于直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解．典例求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．思维点拨依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．规范解答解因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C 1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C 1＝0，解得C 1＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.温馨提醒与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋C 1＝0，再由其他条件求出C 1.三、过直线交点的直线系典例求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．思维点拨可分别求出直线l 1与l 2的交点及直线l 的斜率k ，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．规范解答解方法一解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.温馨提醒本题方法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；方法二则采用了过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解．[方法与技巧]1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法．[失误与防范]1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑．2．在运用两平行直线间的距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有 ( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0 D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 答案 C解析若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据垂直关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．2．已知过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．1答案 B解析由题意得：k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m－6－m，k CD ＝5－30－(－4)＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m －6－m ＝12，所以m ＝－2.3．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0＜k ＜12，所以kk －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限． 4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点 ( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4) D ．(4，－2)答案 B解析直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．5．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．x ＋2y －4＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋6y －16＝0 D ．6x ＋y －8＝0答案 A解析由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．6．已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}且M ∩N ＝∅，则a ＝________. 答案－2或－6解析由题可知，集合M 表示过点(2,3)且斜率为3的直线，但除去(2,3)点，而集合N 表示一条直线，该直线的斜率为－a2，且过(－1,0)点，若M ∩N ＝∅，则有两种情况：①集合M 表示的直线与集合N 所表示的直线平行，即－a2＝3，解得a ＝－6；②集合N 表示的直线过(2,3)点，即2a ＋2×3＋a ＝0，解得a ＝－2，综上，a ＝－2或－6.7．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________. 答案 0或83解析由题意得⎩⎨⎧a ＋b (a －1)＝0，4a 2＋(－b )2＝|b |(a －1)2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83.8．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________．答案－1 1 2 2解析若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan45°＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.9．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)， ∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.10．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解 (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∵点A (5,0)到l 的距离为3， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤P A (当l ⊥P A 时等号成立)．∴d max ＝P A ＝(5－2)2＋(0－1)2＝10.B 组专项能力提升 (时间：25分钟)11．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3答案 C解析因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0. 欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值，而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2.所以m 2＋n 2的最小值为4.12.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a .Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9＝12a 2＋4·36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a2≥1272＋72＝6.13．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案 (2,4)解析如图，设平面直角坐标系中任一点P ，P 到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和为P A＋PB＋PC＋PD＝PB＋PD＋P A＋PC≥BD＋AC＝QA＋QB＋QC＋QD，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．∵A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)，∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，直线BD的方程为y－5＝－(x－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y－2＝2(x－1)，y－5＝－(x－1)，得Q(2,4)．14．已知直线l：y＝12x－1，(1)求点P(3,4)关于l对称的点Q；(2)求l关于点(2,3)对称的直线方程．解(1)设Q(x0，y0)，由于PQ⊥l，且PQ中点在l上，有⎩⎪⎨⎪⎧y0－4x0－3＝－2，y0＋42＝12·x0＋32－1，解得⎩⎨⎧x0＝295，y0＝－85，∴Q⎝⎛⎭⎫295，－85.(2)在l上任取一点，如M(0，－1)，则M关于点(2,3)对称的点为N(4,7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点N且与l平行，∴所求方程为y－7＝12(x－4)，即为x－2y＋10＝0.15．已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋(－1)2＝7510，所以⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72，又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1， l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12；(舍去) 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718. 所以存在点P ⎝⎛⎭⎫19，3718同时满足三个条件．。

高考数学一轮总复习课时规范练39两条直线的位置关系北师大版

课时规范练39两条直线的位置关系基础巩固组1.(2021四川资阳中学月考)若直线l1:(a+2)x+(1-a)y-3=0与l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直，则实数a的值为()A.1B.-1C.±1D.-322.(2021北京昌平模拟)直线x+ay+2=0与直线ax+y+2a2=0平行，则实数a的值为()A.1或-1B.0或-1C.-1D.13.已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直，垂足为点(1，p)，则m+n-p等于()A.24B.20C.4D.04.与直线l:2x-3y+1=0关于y轴对称的直线的方程为()A.2x+3y+1=0B.2x+3y-1=0C.3x-2y+1=0D.3x+2y+1=05.直线l0:4x-y-4=0与l1:x-2y-2=0及l2:4x+3y-12=0所得两交点间的距离为()A.32√17 B.314√17C.914√17 D.3√176.直线l1，l2是分别过A(1，1)，B(0，-1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为()A.x+2y-3=0B.x-2y-3=0C.2x-y-1=0D.2x-y-3=07.三条直线x+y=0，x-y=0，x+ay=3构成三角形，则实数a的取值可以是()A.-1B.1C.-1或1D.58.若a>0，点A(2，a)到直线l:x-2y+3=0距离为√5，则a=.9.已知M(-1，2)，直线l:2x+y-5=0，点M关于直线l的对称点Q的坐标是.综合提升组10.(2021北京高三二模)点P(cos θ，sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为()A.[125,17 5]B.[75,12 5]C.[75,17 5]D.[125,24 5]11.等腰直角三角形ABC的直角顶点为点C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标是()A.(0，0)B.(0，2)C.(4，6)或(2，0)D.(6，4)12.已知直线l1:ax-y+1=0，l2:x+ay+1=0，a∈R，以下结论错误的是()A.不论a为何值，直线l1与直线l2都互相垂直B.当a变化时，直线l1，l2分别过定点A(0，1)，B(-1，0)C.不论a为何值，直线l1与l2都关于直线x+y=0对称D.若直线l1与l2交于点M，则|MO|的最大值为√213.(2021河北高三二模)直线l1:x+ay-2=0(a∈R)与直线l2:y=34x-1平行，则a=，l1与l2的距离为.创新应用组14.已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P，使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”.下列直线是“切割型直线”的有.x;④直线y=2x+1.①直线y=x+1;②直线y=2;③直线y=43课时规范练39 两条直线的位置关系1.C 解析:因为直线l 1:(a+2)x+(1-a )y-3=0与l 2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直，所以(a+2)(a-1)+(1-a )(2a+3)=0，得a 2=1，解得a=±1.故选C .2.C 解析:因为直线x+ay+2=0与直线ax+y+2a 2=0平行，所以{1×1−a ×a =0,1×2a 2-a ×2≠0即{a =±1,a ≠0,a ≠1, 所以a=-1.故选C .3.D 解析:由两直线垂直得2m+4×(-5)=0，解得m=10，所以原直线为10x+4y-2=0.又因为垂足(1，p )同时满足两直线方程，所以代入得{10×1+4p -2=0,2×1−5p +n =0,解得{p =−2,n =−12,所以m+n-p=10-12+2=0.故选D .4.B 解析:设点M (x ，y )是所求直线上的任意一点，则其关于y 轴的对称点M'(-x ，y )在直线l :2x-3y+1=0上，所以-2x-3y+1=0，即2x+3y-1=0.故选B .5.C 解析:由{4x -y -4=0,x -2y -2=0,得{x =67,y =−47,即直线l 0与l 1的交点A 的坐标为(67,-47)，由{4x -y -4=0,4x +3y -12=0,得{x =32,y =2,即直线l 0与l 2的交点B 的坐标为(32,2)，所以|AB|=√(67-32)2+(-47-2)2=9√1714. 故选C .6.A 解析:当两条平行直线与直线AB 垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为k AB =1−(−1)1−0=2，所以k 1=-12，所以直线l 1的方程为y-1=-12(x-1)，即x+2y-3=0.故选A .7.D 解析:由题意可得直线x+y=0与x-y=0都过原点，而无论a 为何值，直线x+ay=3不过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay=3与另两条直线不平行，所以a ≠±1.故选D . 8.5 解析:由点到直线的距离公式可得√5=√5=√5，即|5-2a|=5.又因为a>0，所以a=5.9.(3，4) 解析:设Q (x 0，y 0).因为点M (-1，2)关于直线l 的对称点是点Q ，所以{y 0-2x 0-(-1)×(−2)=−1,2×x 0-12+y 0+22-5=0,解得{x 0=3,y 0=4,即Q (3，4). 10.C 解析:点P 到直线的距离为d=√32+42=|5sin(θ+φ)-12|5，其中sin φ=35，cos φ=45. 由三角函数性质易知，5sin(θ+φ)-12∈[-17，-7]，故d ∈[75,175].故选C .11.C 解析:设B (x ，y ).根据题意可得{k AC k BC =−1,|BC|=|AC|,即{3−43−0·y -3x -3=−1,√(x -3)2+(y -3)2=√(0-3)2+(4−3)2,解得{x =2,y =0或{x =4,y =6,所以B (2，0)或B (4，6). 故选C .12.C 解析:对于A ，因为a ×1+(-1)×a=0恒成立，所以不论a 为何值，直线l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确;对于B ，易知直线l 1恒过点A (0，1)，直线l 2恒过点B (-1，0)，故B 正确;对于C ，在直线l 1上任取点(x ，ax+1)，其关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1，-x )，代入直线l 2的方程x+ay+1=0，可知左边不恒等于0，故C 不正确;对于D ，由{ax -y +1=0,x +ay +1=0,解得{x =-a -1a 2+1,y =-a+1a 2+1, 所以M -a -1a 2+1,-a+1a 2+1，所以|MO|=√(-a -1a 2+1) 2+(-a+1a 2+1) 2=√2a 2+1≤√2，所以|MO|的最大值为√2，故D 正确.故选C .13.-4325解析:l2方程可化为3x-4y-4=0.因为l1∥l2，所以13=a-4≠-2-4，解得a=-43，所以直线l1:x-43y-2=0，即3x-4y-6=0，所以它们之间的距离为d=√32+(−4)2=25.14.②③解析:①点M到直线y=x+1的距离d=√2=3√2>4，故该直线上不存在点P，使|PM|=4，该直线不是“切割型直线”;②点M到直线y=2的距离d=2<4，故该直线上存在点P，使|PM|=4，该直线是“切割型直线”;③点M到直线y=43x的距离d=4，故该直线上存在点P，使|PM|=4，该直线是“切割型直线”;④点M到直线y=2x+1的距离d=√5=11√55>4，故该直线上不存在点P，使|PM|=4，该直线不是“切割型直线”.故答案为②③.。

适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：两条直线的位置关系课件北师大版

点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括 l2.
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
1.当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( × )
2.若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( × )
直线方程必须是一般式
|C 1 -C 2 |
线线距
d= 2 2
两条平行直线 Ax+By+C1=0 与
A +B
Ax+By+C2=0(A2+B2≠0)间的距离应用两平行直线的距离公式
时,直线方程必须是一般式,且
可以转化为点到直线的距离
x,y 的对应系数分别对应相等
常用结论
1.五个关于对称的结论
(1)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).
l1与l2重合⇔k1=k2且b1=b2
l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2
l1:y=k1x+b1
l2:y=k2x+b2
两直线平行时,它们的斜率可能都不存在
l1与l2相交⇔k1≠k2
l1⊥l2⇔ k1k2=-1
当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2
两条直线的方程
位置关系的判定
若 A1,A2,B1,B2,C1,C2 均不为 0,则 l1 与 l2 重合
5 13
A.
26
4 13
B.
13
2 13
C.
13
)
3 13
D.
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2024届新高考一轮复习北师大版 40 两条直线的位置关系作业

课时规范练40 两条直线的位置关系基础巩固组1.(2023·山东青岛模拟)设集合A={(x ,y )|y=2x-3},B={(x ,y )|4x-2y+5=0},则A ∩B= ( )A.⌀B.{(118,14)} C.{(18,-114)} D.{(-18,-134)} 答案:A解析:由直线4x-2y+5=0,得y=2x+52.因为直线y=2x+52与直线y=2x-3的斜率相等,截距不相等,所以两直线相互平行,故A ∩B=⌀. 2.(2023·江苏无锡高三检测)在平面直角坐标系xOy 中,点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点为( ) A.(-1,2) B.(2,-1) C.(1,3) D.(3,1)答案:D解析:设点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点是(a ,b ),则{a 2-b+42+1=0,b -4a=-1,解得{a =3,b =1.3.(多选)(2023·山东青岛高三开学考试)已知直线l 1:4x-3y+4=0,l 2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m ∈R ),则( )A.直线l 2过定点(-3,-1)B.当m=1时,l 1⊥l 2C.当m=2时,l 1∥l 2D.当l 1∥l 2时,两直线l 1,l 2之间的距离为1 答案:ACD解析:对于A,l 2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m ∈R )变形为m (x-y+2)+2x-y+5=0,令{x -y +2=0,2x -y +5=0,则{x =-3,y =-1,因此直线l 2过定点(-3,-1),故A 正确;对于B,当m=1时,l 1:4x-3y+4=0,l 2:3x-2y+7=0,4×3+(-3)×(-2)≠0,故两直线不垂直,故B 错误;对于C,当m=2时,l 1:4x-3y+4=0,l 2:4x-3y+9=0,44=-3-3≠94,故两直线平行,故C 正确;对于D,当l 1∥l 2时,则满足m+24=-(m+1)-3≠2m+54⇒m=2,此时l 1:4x-3y+4=0,l 2:4x-3y+9=0,则两直线间的距离为√42+(-3)=1,故D 正确.故选ACD .4.已知A (4,0),B (0,4),从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后,再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( ) A.3√3 B.6 C.2√10 D.2√5答案:C解析:由题意直线AB 的方程为x+y=4,设P 关于直线AB 的对称点Q (a ,b ),则{ba -2=1,a+22+b2=4,解得{a =4,b =2,即Q (4,2).又P 关于y 轴的对称点为T (-2,0),所以光线所经过的路程为|QT|=√(-2-4)2+(0-2)2=2√10.5.(2023·福建福州高三检测)若直线ax+2y+1=0与直线x cos 2π3+y-1=0互相垂直,则a= . 答案:4解析:由题意得a2·cos 2π3=-1,解得a=4.6.已知直线l 过点P (-1,2),且点A (2,3),B (-4,5)到直线l 的距离相等,则直线l 的方程为 . 答案:x+3y-5=0或x=-1解析:(方法1)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k (x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知√k 2+1=√k 2+1,即|3k-1|=|-3k-3|,解得k=-13,所以直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=-1,符合题意.故所求直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.(方法2)当AB ∥l 时,直线l 的斜率k=k AB =-13,则直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 过AB 的中点(-1,4)时,直线l 的方程为x=-1.故所求直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.综合提升组7.(2023·湖北武汉模拟)某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x+2y+1=0和x+2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x-4y+c 1=0和3x-4y+c 2=0,则|c 1-c 2|=( ) A.2√3 B.2√5 C.2 D.4答案:B解析:设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c 2=0的交点为A ,联立{x +2y +1=0,3x -4y +c 2=0,解得{x =-c 2+25,y =c 2-310,故A -c 2+25,c 2-310.同理,设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c 1=0的交点为B ,则B -c 1+25,c 1-310,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c 1=0的交点为C ,则C -c 1+65,c 1-910,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c 2=0的交点为D ,则D -c 2+65,c 2-910.由菱形的性质可知AC ⊥BD ,且AC ,BD 的斜率均存在,所以k AC ·k BD =-1,则c 2-310-c 1-910-c 2+25+c 1+65·c 1-310-c 2-910-c 1+25+c 2+65=-1,即36-(c 2-c 1)24[16-(c 2-c 1)2]=-1,解得|c 1-c 2|=2√5.8.(2023·河北大名高三检测)已知点P (-2,2),直线l :(λ+2)x-(λ+1)y-4λ-6=0,则点P 到直线l 的距离的取值范围为 . 答案:[0,4√2)解析:把直线l :(λ+2)x-(λ+1)y-4λ-6=0化为(2x-y-6)+λ(x-y-4)=0,联立{2x -y -6=0,x -y -4=0,解得{x =2,y =-2,即直线l 过定点M (2,-2).又k PM =-2-22-(-2)=-1,且λ+2λ+1×(-1)≠-1,所以直线PM 与l 不垂直,所以点P 到直线l 的距离的最大值小于|PM|=√(2+2)2+(-2-2)2=4√2,即点P 到直线l 的距离的取值范围为[0,4√2).9.(2023·四川成都七中高三检测)已知△ABC 的顶点B (5,1),AB 边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0.(1)求直线AB 的方程.(2)在①②两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. ①角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0; ②BC 边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0.,求直线AC 的方程.解:(1)因为AB 边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0,所以直线AB 的斜率为k=-2. 又因为△ABC 的顶点B (5,1),所以直线AB 的方程为y-1=-2(x-5),即2x+y-11=0. (2)若选①:角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0, 由{2x +y -11=0,x +2y -13=0,解得{x =3,y =5,所以点A (3,5).设点B 关于x+2y-13=0的对称点B'(x 0,y 0),则{y 0-1x 0-5×(-12)=-1,x 0+52+2×y 0+12-13=0,解得{x 0=375,y 0=295,所以B'375,295.又点B'375,295在直线AC 上,所以k AC =5-2953-375=211.所以直线AC 的方程为y-5=211(x-3),即2x-11y+49=0. 若选②:BC 边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0, 由{2x +y -11=0,2x -y -5=0,解得{x =4,y =3,所以点A (4,3).设点C (x 1,y 1),则BC 的中点在直线2x-y-5=0上,所以2×5+x 12−1+y 12-5=0,即2x 1-y 1-1=0,所以点C 在直线2x-y-1=0上.又点C 在直线x-2y-5=0上,由{x -2y -5=0,2x -y -1=0,解得{x =-1,y =-3,即C (-1,-3),所以k AC =-3-3-1-4=65.所以直线AC 的方程为y-3=65(x-4),即6x-5y-9=0.创新应用组10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A (2,0),B (0,4),C (-4,0),则其欧拉线方程为 . 答案:x-y+2=0解析:设△ABC 的重心为G ,垂心为H ,由重心坐标公式得x=2+0+(-4)3=-23,y=0+4+03=43,所以G -23,43.由题,△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x=0,直线BC :y=x+4,A (2,0),所以△ABC 的边BC上的高线所在直线方程为y=-x+2,联立{x =0,y =-x +2⇒H (0,2).所以欧拉线GH 的方程为y-2=2-430-(-23)x ,即x-y+2=0.。

高考数学一轮复习专题训练—两直线的位置关系

两直线的位置关系考纲要求1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行． (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解． 3．距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.4．对称问题(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.1．两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． 2．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)两直线l 1，l 2有可能重合．(2)如果l 1⊥l 2，若l 1的斜率k 1＝0，则l 2的斜率不存在．2．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( ) A.235 B ．2310C ．7D ．72答案 D解析由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72. 3．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．答案－9解析由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.4．(2021·银川联考)若直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8答案 B解析 ∵直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，∴－a 4×25＝－1，∴a ＝10，∴直线ax ＋4y －2＝0的方程即为5x ＋2y －1＝0. 将点(1，c )的坐标代入上式可得5＋2c －1＝0，解得c ＝－2.将点(1，－2)的坐标代入方程2x －5y ＋b ＝0得2－5×(－2)＋b ＝0，解得b ＝－12. ∴a ＋b ＋c ＝10－12－2＝－4.故选B.5．(2020·淮南二模)设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x ＋4y ＋1＝0,3x ＋2y －2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的充分不必要条件，故选A.6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．答案 4解析法一由题意可设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4.法二设P ⎝⎛⎭⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.考点一两直线的平行与垂直【例1】已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2. 法二由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧aa －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6，可得a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立；当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23.法二由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0，可得a ＝23.感悟升华 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．【训练1】 (1)(2020·宁波期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 (1)A (2)1解析 (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0. (2)由题意知 m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.考点二两直线的交点与距离问题【例2】 (1)(2020·淮南模拟)已知直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，－1 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(－1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－13，12(2)(2021·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．答案 (1)D (2)[0,10]解析 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋2k ＋1＝0，2x ＋y －2＝0，解得x ＝1－2k 2＋k ，y ＝2＋6k2＋k(k ≠－2)．∵直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限， ∴1－2k 2＋k >0，且2＋6k2＋k >0. 解得－13<k <12.故选D.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．感悟升华 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为对应相等．【训练2】 (1)(2021·贵阳诊断)与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0(2)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________．答案 (1)C (2)5x ＋3y －1＝0解析 (1)设与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠－1)， ∴|－1－m |22＋12＝55，解得m ＝0或m ＝－2. ∴与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0. (2)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.考点三对称问题角度1 点关于点对称【例3】过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．答案 x ＋4y －4＝0解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.感悟升华 1.点关于点的对称：点P (x ，y )关于M (a ，b )对称的点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .2．直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解．角度2 点关于线对称【例4】一束光线经过点P (2,3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q (1,1)，则入射光线所在直线的方程为________．答案 5x －4y ＋2＝0解析设点Q (1,1)关于直线l 的对称点为Q ′(x ′，y ′)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ′－1x ′－1＝1，x ′＋12＋y ′＋12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y ′＝－2，即Q ′(－2，－2)，由光学知识可知，点Q ′在入射光线所在的直线上，又k PQ ′＝3－－22－－2＝54， ∴入射光线所在直线的方程为y －3＝54(x －2)，即5x －4y ＋2＝0.感悟升华 1.若点A (a ，b )与点B (m ，n )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)对称，则直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直平分线段AB ，即有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.2．几个常用结论(1)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．(2)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． (3)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x,2b －y )．角度3 线关于线对称【例5】 (1)(2021·成都诊断)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( ) A ．3x －4y ＋5＝0 B ．3x －4y －5＝0 C ．3x ＋4y －5＝0D ．3x ＋4y ＋5＝0(2)直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________．答案 (1)D (2)x －2y ＋3＝0解析 (1)设所求直线上点的坐标(x ，y )，则关于x 轴的对称点(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以所求对称直线方程为3x ＋4y ＋5＝0，故选D. (2)设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.感悟升华求直线l 1关于直线l 对称的直线l 2有两种处理方法：(1)在直线l 1上取两点(一般取特殊点)，利用点关于直线的对称的方法求出这两点关于直线l 的对称点，再用两点式写出直线l 2的方程．(2)设点P (x ，y )是直线l 2上任意一点，其关于直线l 的对称点为P 1(x 1，y 1)(P 1在直线l 1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x ，y 表示出x 1，y 1，再代入直线l 1的方程，即得直线l 2的方程．【训练3】已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程．解 (1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，即A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧ a ＝613，b ＝3013，即M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，N (4,3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.活用直线系方程具有某些共同特点的所有直线的全体称为直线系，直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用．在直线方程求解中，可以由特定条件设出直线系方程，再结合题目中其他条件求出具体直线，这个解题思路在解决许多问题时，往往能起到化繁为简，化难为易的作用．一、相交直线系方程【例1】已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解法一解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0,2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0. 法二设所求直线l 的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知P (0，2)，将其代入方程，得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.法三设所求直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.二、平行直线系方程【例2】已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1与x 轴、y 轴围成面积为8的三角形，请求出直线l 1的方程．解设直线l 1的方程为x －3y ＋c ＝0(c ≠6)，令y ＝0，得x ＝－c ；令x ＝0，得y ＝c 3，依照题意有12×|－c |×⎪⎪⎪⎪c 3＝8，c ＝±4 3.所以l 1的方程是x －3y ±43＝0. 【例3】已知直线方程3x －4y ＋7＝0，求与之平行且在x 轴、y 轴上的截距和是1的直线l 的方程．解法一设存在直线l ：x a ＋y b ＝1，则a ＋b ＝1和－b a ＝34组成的方程组的解为a ＝4， b ＝－3.故l 的方程为x 4－y 3＝1，即3x －4y －12＝0. 法二根据平行直线系方程可设直线l 为3x －4y ＋c ＝0(c ≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－c 3，c 4，由－c 3＋c 4＝1，知c ＝－12.故直线l 的方程为3x －4y －12＝0. 三、垂直直线系方程【例4】求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋c ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋c ＝0，解得c ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.思维升华直线系方程的常见类型1．过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)；2．平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )；3．垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；4．过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2).A 级基础巩固一、选择题1．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A. 2B ．2－ 2 C.2－1D ．2＋1答案 C解析由题意得|a －2＋3|1＋1＝1. 解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.2．(2021·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3 答案 C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.3．已知直线l 过点(0,7)，且与直线y ＝－4x ＋2平行，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－4x －7B ．y ＝4x －7C ．y ＝4x ＋7D ．y ＝－4x ＋7 答案 D解析过点(0,7)且与直线y ＝－4x ＋2平行的直线方程为y －7＝－4x ，即直线l 的方程为y ＝－4x ＋7，故选D.4．已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0垂直，则ab 的最小值为() A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．2 3 答案 B解析由已知两直线垂直可得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，又b >0，所以ab ＝b ＋1b .由基本不等式得b ＋1b ≥2b ·1b ＝2，当且仅当b ＝1时等号成立，所以(ab )min ＝2.故选B.5．坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－45，85 B ．⎝⎛⎭⎫－45，－85C.⎝⎛⎭⎫45，－85 D ．⎝⎛⎭⎫45，85答案 A解析设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 02－2×y 02＋2＝0，y 0＝－2x 0，解得⎩⎨⎧ x 0＝－45，y 0＝85，即所求点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，85.6．(2020·上海浦东新区期末)直线x －2y ＋2＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．2x ＋y －4＝0答案 A解析设P (x ，y )为所求直线上的点，该点关于直线x ＝1的对称点为(2－x ，y )，且该对称点在直线x －2y ＋2＝0上，代入可得x ＋2y －4＝0.故选A.7．(2021·豫西五校联考)过点P (1,2)作直线l ，若点A (2,3)，B (4，－5)到它的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．4x ＋y －6＝0或x ＝1B ．3x ＋2y －7＝0C ．4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0D ．3x ＋2y －7＝0或x ＝1答案 C解析若A ，B 位于直线l 的同侧，则直线l ∥AB .k AB ＝3＋52－4＝－4，∴直线l 的方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0；若A ，B 位于直线l 的两侧，则直线l 必经过线段AB 的中点(3，－1)，∴k l ＝2－－11－3＝－32， ∴直线l 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0. 综上，直线l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0，故选C.8．(2020·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有( )A ．a ＝13，b ＝6 B ．a ＝－3，b ＝16 C ．a ＝3，b ＝－16D ．a ＝－13，b ＝－6 答案 D解析由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称，所以直线y ＝ax ＋2上的点(0,2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2,0)在直线y ＝－3x ＋b 上，所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6,0)在直线y ＝ax ＋2上，所以6a ＋2＝0，所以a ＝－13. 二、填空题 9．(2021·南昌联考)已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________．答案 x ＋2y －3＝0解析由题意可知圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1,2)，由已知得直线l 2的斜率k ＝－12，所以直线l 2的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0. 10．直线x －2y －3＝0关于定点M (－2,1)对称的直线方程是________．答案 x －2y ＋11＝0解析设所求直线上任一点(x ，y )，则关于M (－2,1)的对称点(－4－x,2－y )在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x )－2(2－y )－3＝0，即x －2y ＋11＝0.11．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则PQ 的最小值为________．答案 2910解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. 12．以点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________．答案 25解析因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－－2－3－0＝－43.k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34. 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ，故四边形ABCD 为矩形．故S 四边形ABCD ＝|AB |·|AD |＝1－42＋5－12×0－42＋－2－12＝25.B 级能力提升13．设△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠B ，∠C 的平分线的方程分别是x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程是( )A ．y ＝3x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝2x ＋5D ．y ＝－x 2＋52 答案 C解析 A 关于直线x ＝0的对称点是A ′(－3，－1)，关于直线y ＝x 的对称点是A ″(－1,3)，由角平分线的性质可知，点A ′，A ″均在直线BC 上，所以直线BC 的方程为y ＝2x ＋5.故选C.14．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( )A ．2 3B ．10C ．14D ．215 答案 B解析由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，此方程是过直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|PQ |＝10，即d 的最大值为10.故选B.15．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，若点A (5,0)到直线l 的距离为3，则l 的方程为________．答案 x ＝2或4x －3y －5＝0解析法一两直线交点为(2,1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x －2＝0，此时A 到直线l 的距离为3，符合题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋(1－2k )＝0. 由点到线的距离公式得d ＝|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，故所求直线方程为4x －3y －5＝0. 综上知，所求直线方程为x －2＝0或4x －3y －5＝0.法二经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12. 所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.16．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．答案 2解析因为点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，所以当点P 处的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．因为直线y ＝x －2的斜率等于1，函数y ＝x 2－ln x 的导数y ′＝2x －1x (x >0)，令y ′＝1，可得x ＝1或x ＝－12(舍去)，所以在曲线y ＝x 2－ln x 上与直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.。

高考数学一轮复习课时分层训练42两条直线的位置关系文北师大版

课时分层训练(四十二)两条直线的位置关系A 组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点A (1，－2)，B (m,2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1 C [因为线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3.] 2．(2016·北京高考)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A ．1B ．2C ． 2D ．2 2C [圆心坐标为(－1,0)，所以圆心到直线y ＝x ＋3即x －y ＋3＝0的距离为|－1－0＋3|12＋－12＝22＝ 2.]3．若直线(a ＋1)x ＋2y ＝0与直线x －ay ＝1互相垂直，则实数a 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 C [由⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12×1a ＝－1，得a ＋1＝2a ，故a ＝1.] 4．(2018·安阳模拟)两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1,2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( )【导学号：00090272】A ．(5，＋∞)B ．(0,5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34]D [当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，|PQ |＝－1－22＋[2－－3]2＝34，因此l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34]．] 5．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)B [直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．]二、填空题6．点(2,1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为________．(0,3) [设对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－1x 0－2＝－1，x 0＋22－y 0＋12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝3，故所求对称点为(0,3)．]7．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________．x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0 [设直线l 1的方程为x ＋y ＋C ＝0(C ≠－1)，由题意知|C ＋1|2＝2，即|C ＋1|＝2，解得C ＝1或C ＝－3，因此直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.] 8．(2018·郑州模拟)已知b >0，直线x －b 2y －1＝0与直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0互相垂直，则ab 的最小值等于________．2 [由题意知b 2＋1－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，又b >0，则ab ＝b ＋1b≥2(当且仅当b ＝1时等号成立)， ∴ab 的最小值为2.]三、解答题9．求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)． 5分∵l 3的斜率为35，∴l 的斜率为－53， 8分则直线l 的方程为y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0. 12分 10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．[解] (1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，2分 ∴直线l 恒过定点(－2,3).5分(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大.7分又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15， ∴直线l 的斜率k l ＝－5. 10分故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.12分 B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·泰安模拟)如图811所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )图811A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5A [易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1(4,2)与A 2(－2,0)两点间的距离．于是|A 1A 2|＝4＋22＋2－02＝210.]2．(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为________．【导学号：00090273】10 [由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴M 位于以PQ 为直径的圆上．∵|PQ |＝9＋1＝10，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10.]3．若m ＞0，n ＞0，点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点在直线x －y ＋2＝0上，求1m ＋1n的最小值．[解] 易知点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点为M (1－n,1＋m ).3分又点M (1－n,1＋m )在直线x －y ＋2＝0上，∴1－n －(1＋m )＋2＝0，即m ＋n ＝2. 6分于是1m ＋1n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥1＋12·2n m ·m n ＝2， 10分当且仅当m ＝n ＝1时，上式等号成立．因此1m ＋1n 的最小值为2. 12分。

高考数学一轮复习(基础+提升)第8篇第2讲两条直线的位置关系精品课时训练北师大版

第2讲两条直线的位置关系基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )．A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x＋2y －1＝0. 答案 A2．(2014·济南模拟)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝ ( )．A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或2解析若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线若平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2. 答案 D3．已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为 ( )．A.85 B.32 C ．4D ．8解析 ∵直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32. 答案 B4．(2014·渭南模拟)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以kk －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限．答案 B5．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点( )．A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．答案 B 二、填空题6．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9. 答案－97．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．解析由a sin A ＝bsin B ，得b sin A －a sin B ＝0.∴两直线垂直．答案垂直8．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°. 其中正确答案的序号是________．解析很明显直线l 1∥l 2，直线l 1，l 2间的距离为d ＝|1－3|2＝2，设直线m 与直线l 1，l 2分别相交于点B ，A ，则|AB |＝22，过点A 作直线l 垂直于直线l 1，垂足为C ，则|AC |＝d ＝2，则在Rt △ABC 中，sin ∠ABC ＝|AC ||AB |＝222＝12，所以∠ABC ＝30°，又直线l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°.答案 ①⑤三、解答题9．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：(1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合．解 (1)由已知1×3≠m (m －2)，即m 2－2m －3≠0，解得m ≠－1且m ≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交． (2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2. (4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，即m ＝3时，l 1与l 2重合．10．求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．解由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2的交点为(1,2)，设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得k ＝0或43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )． A.24，12B.2，22C ．2，12D.22，12解析 ∵d ＝|a －b |2，a ＋b ＝－1，ab ＝c ，又|a －b |＝1－4c ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，从而d max ＝22，d min ＝12.答案 D2．(2014·南昌模拟)已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0与x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )．A ．11B ．10C ．9D ．8解析由两直线垂直，得－1a·2＝－1，解得a ＝2.所以中点P 的坐标为(0,5)．则OP ＝5，在直角三角形中斜边的长度AB ＝2OP ＝2×5＝10，所以线段AB 的长为10. 答案 B 二、填空题3．已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．解析由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，如图，所以四边形的面积S ＝2k 2×2＋(4－k ＋4)×2×12＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18.答案 18三、解答题4．(1)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大；(2)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点Q ，使得Q 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．图1解 (1)如图1，设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，直线l 的斜率为k 1，则k 1·k BB ′＝－1.即3·b －4a＝－1.∴a ＋3b －12＝0.① 又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0.即3a －b －6＝0.②解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．图2(2)如图2，设C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245. ∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267，故Q 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫117，267.。

北师大版2020高考数学一轮复习课后限时集训43两条直线的位置关系文_含解析

课后限时集训(四十三)(建议用时：60分钟)A 组基础达标一、选择题1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定C [∵21≠12，∴两条直线相交，又2×1＋1×2≠0，故两条直线不垂直．] 2．(2019·遵义四中月考)“a ＝2”是“直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件D [a ＝2时，直线2x ＋3y －1＝0和直线6x ＋4y －3＝0不垂直，不是充分条件；直线ax ＋3y －1＝0和直线6x ＋4y －3＝0垂直时，可得a ＝－2，所以不是必要条件，故选D.]3．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0A [由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－1k PQ ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.]4．已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8A [因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8. 又因为l 2⊥l 3，所以－1n×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.]5．平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1,1)对称的直线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝2x －3D [在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于点(1,1)对称的点为M (2,1)，点B 关于点(1,1)对称的点为N (1，－1)．由两点式求出对称直线MN 的方程为y ＋11＋1＝x －12－1，即y ＝2x －3.] 二、填空题6．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．5 [易知A (0,0)，B (1,3)且两直线互相垂直，即△APB 为直角三角形，∴|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝|AB |22＝102＝5. 当且仅当|PA |＝|PB |时，等号成立．]7．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为__________．(1,1) [设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0，x 0＞0，曲线y ＝1x 在点P 处的切线斜率k 2＝－1x 20(x 0＞0)，又因为曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e x | x ＝0＝1，k 1k 2＝－1，所以x 20＝1，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1,1)．]8．已知点A (1,0)，B (3,0)，若直线y ＝kx ＋1上存在一点P ，满足PA ⊥PB ，则k 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0 [法一：设P (x 0，kx 0＋1)，依题意可得k PA ·k PB ＝－1，即kx 0＋1x 0－1×kx 0＋1x 0－3＝－1，即(k 2＋1)x 20＋(2k －4)x 0＋4＝0，则Δ＝(2k －4)2－16(k 2＋1)≥0，化简得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0. 法二：若直线y ＝kx ＋1上存在点P ，满足PA ⊥PB ，则直线y ＝kx ＋1与以AB 为直径的圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，故|2k ＋1|1＋k 2≤1，即3k 2＋4k ≤0，故－43≤k ≤0，k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0.] 三、解答题9．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1,2)，求：(1)点A 和点C 的坐标；(2)△ABC 的面积．[解] (1)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A (－1,0)．又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，所以AC 所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率为－2，故BC 所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋，y －2＝－x －，得点C 的坐标为(5，－6)． (2)因为B (1,2)，C (5，－6)，所以|BC |＝－2＋＋2＝45，点A (－1,0)到直线BC ：y －2＝－2(x －1)的距离为d ＝－－4|5＝65，所以△ABC 的面积为12×45×65＝12. 10．(2019·沈阳模拟)l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，(1)当l 1，l 2间的距离最大时，求直线l 1的方程；(2)当l 1，l 2间的距离为1时求l 2的方程．[解] (1)当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又k AB ＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.(2)当l 1⊥x 轴时，l 1方程为x ＝1，l 2方程为x ＝0，l 1与l 2间距离为1，满足题意．当l 1不垂直于x 轴时，设l 1斜率为k ，则l 1，l 2方程分别为y －1＝k (x －1)，y ＋1＝kx ，所以l 1与l 2间距离为d ＝|2－k |1＋k 2＝1，解得k ＝34.所以l 2方程为y ＝34x －1，综上所述，l 2方程为x ＝0或3x －4y －4＝0.B 组能力提升1．已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线D [因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，故选D.]2．已知点A (－1,2)，B (3,4)．P 是x 轴上一点，且|PA |＝|PB |，则△PAB 的面积为( )A ．15 B.552 C ．6 5 D.152D [设AB 的中点坐标为M (1,3)，k AB ＝4－23－－＝12，所以AB 的中垂线方程为y －3＝－2(x －1)．即2x ＋y －5＝0.令y ＝0，则x ＝52，即P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0， |AB |＝－1－2＋－2＝2 5.P 到AB 的距离为|PM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－522＋32＝352. 所以S △PAB ＝12|AB |·|PM |＝12×25×352＝152.] 3．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．6x －y －6＝0 [设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′.所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －－·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.即M ′(1,0)．又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.]4．已知点A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.[解] 设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点坐标为(3，－2)．又k AB ＝－3＋14－2＝－1， ∴线段AB 的垂直平分线的斜率为1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②联立①②求得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝277，b ＝－87.∴点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.。

高考数学一轮复习课时训练两条直线的位置关系北师大版

A 级基础达标演练 (时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·茂名模拟)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )．A ．3x ＋2y －1＝0B ．2x －3y ＋5＝0C ．3x ＋2y ＋7＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案 A2．(2011·湖州模拟)“m ＝2”是“直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的( )．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 m ＝2时，直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行，故充分性成立；反之，直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行时，m ＝2，故必要性成立．所以“m ＝2”是“直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的充要条件．答案 A3．(2011·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0，关于x 轴对称的直线方程为( )． A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0. 答案 A4．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )． A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析所求直线过点A 且与OA 垂直时满足条件，此时k OA ＝2，故求直线的斜率为－12，所以直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.答案 A5．(2012·西安调研)已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y－2＝0，则实数m 的值是( )． A ．－2 B ．－7 C ．3 D ．1 解析由已知条件可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m ＝3. 答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．(★)(2011·江苏南通、扬州、泰州二模)若直线ax －2y ＋2＝0与直线x ＋(a －3)y ＋1＝0平行，则实数a 的值为________．解析 (回顾检验法)由两直线平行的条件得a (a －3)＝－2，解得a ＝1或2，经检验，a ＝2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a 的值为1. 答案 1【点评】本题一定要回顾检验.因为本题用了平行条件A 1B 2－A 2B 1＝0来求a 值，而平行条件中未除掉重合的情况，因此把所求a 值再代入原直线方程检验.)7．(2011·东北三校二模)已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.解析由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.答案 358．(2012·舟山模拟)已知1a ＋1b＝1(a ＞0，b ＞0)，点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为________．解析点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b5＝15(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当a 2＝2b 2且a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号．答案35＋2105三、解答题(共23分)9．(11分)求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程．解由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2交点为(1,2)，设所求直线y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2，∴k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.10．(12分)(2012·合肥月考)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.B 级综合创新备选 (时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个解析三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23，故实数m 的取值最多有4个．答案 C2．(2012·沧州模拟)若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )．A.722B.922C.1122D.91010解析由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得：点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722. 答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·厦门模拟)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)．解析记直线m 的倾斜角是θ.由题意知直线l 1、l 2间的距离等于22＝ 2.又直线m 被直线l 1、l 2所截得的线段的长是22，因此直线m 与直线l 1的夹角的正弦值等于222＝12，直线m 与直线l 1的夹角是30°，又直线l 1的倾斜角是45°，因此θ＝15°或θ＝75°，故正确答案的序号是①⑤. 答案 ①⑤4．(2012·绍兴模拟)已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．解析由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18.答案 18三、解答题(共22分)5．(10分)(2012·荆州二检)过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程. 解设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.∵|AB |＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 3k ＋42＝2，整理，得7k 2－48k －7＝0，解得k 1＝7或k 2＝－17.因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0，或7x －y －5＝0.6．(12分)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， ∴a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.。

高考数学一轮复习学案：两条直线的位置关系学案理北师大版

第二节两条直线的位置关系［考纲传真］(教师用书独具)1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.(对应学生用书第132页)［基础知识填充］1. 两条直线平行与垂直的判定(1) 两条直线平行 ① 对于两条不重合的直线丨1,丨2，若其斜率分别为 k 1 , k 2,则有l 1 // l 2? k _ k 2.② 当直线l 1 ,1 2不重合且斜率都不存在时，I 1 / I 2. (2) 两条直线垂直① 如果两条直线11, 12的斜率存在，设为 k 1, k 2，则有|1丄12? k 1 • k 2=- 1. ② 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，I 1丄I 2.2. 两条直线的交点的求法直线 I 仁 Ax + By + G= 0, I 2： Ax + By + C 2= 0( A , B , C , A, B, C 2为常数)，则A i x + By + G = 0,I 1与I 2的交点坐标就是方程组的解.Ax + Ry + C 2= 03.三种距离P (X 1, y" , F 2(X 2, y 2)两点之间的距离| PF 2d = \/(X 2- x“2+ (y 2-y 1)2点P o (x o , y o )到直线I : Ax + By + G = 0的距离 | AX )+ By) + q d^A 2+ B平行线Ax + By + G = 0与Ax + By + G = 0间的距离’丄G -QI d4.线段的中点坐标公式若点B, F 2的坐标分别为(X 1, y 1), (X 2, y 2)，线段PF 2的中点M 的坐标为(x , y ),X 1 + X 2此公式为线段PF 2的中点坐标公式［知识拓展］三种常见的直线系方程(1) 平行于直线 Ax + By + G = 0的直线系方程：Ax + By +入=0(入工G ). (2) 垂直于直线 Ax + By + G = 0的直线系方程：Bx - Ay +入=0.2能用双基自主测评I 梳理自测巩固基础知识(3) 过两条已知直线Ax+ By+ G= 0, Ax + E2y+ C2= 0交点的直线系方程：Ax + By+ C + 入(Ax + B 2y + C 2)= 0(不包括直线 Ax + B 2y + C 2 = 0).［基本能力自测］1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“x”) (1) 当直线l 1和12斜率都存在时，一定有k l = k 2? I 1 // I 2.( ) (2) 如果两条直线丨1与丨2垂直，则它们的斜率之积一定等于一 1.()(3) 点P ( X o , y o )到直线y = kx + b 的距离为 —〔+ |^丄 )(4) 已知直线 I 1： A 1X + By + C = 0, I 2： Ax + By + C 2= 0(A, B , C , A 2, Ba , G 为常数)，若直线丨1丄丨2,贝U A 1A 2+ BR= 0.()(5) 若点P, Q 分别是两条平行线I 1,丨2上的任意一点，贝U P, Q 两点的最小距离就是两条平行线的距离.()(6) 若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交. ()［答案］⑴ x (2) x (3) x ⑷ V (5) V (6) V2.(教材改编)已知点(a, 2)( a >0)到直线I : x — y + 3= 0的距离为1,贝U a 等于()B. 2— 2D. 2 + 1又 a>0,.°. a="i2 — 1.]3 .已知直线 11: ax + (3 — a ) y +1 = 0, 12 x — 2y = 0.若丨1丄12,则实数a 的值为(对应学生用书第133页)两条直线的平行与垂直题型分类突破I 祸探求规律方法 A. 一 2 C. 2 — 1[由题意得|a— 2 + 3|= 1 ,V 2TWiT■■'I⑴设 a € R,则"a = 1” 是"直线 11： ax + 2y — 1 = 0 与直线 12： x + (a + 1)y + 4 = 0平行”的( )D.既不充分也不必要条件⑵若直线l i ： (a — 1)x + y — 1 = 0和直线12： 3x + ay + 2= 0垂直，则实数 a 的值为( ) B.—C.(1) A (2)D [(1)当 a = 1 时，显然 I 1//I 2, 右 I 1 / 12，贝V a (a + 1) — 2 x 1 = 0, 所以a = 1或a =— 2.所以a = 1是直线I 1与直线12平行的充分不必要条件.3(2)由已知得 3( a — 1) + a = 0,解得 a = 4.］［规律方法］1.已知两直线的斜率存在，判断两直线平行、垂直的方法 1两直线平行？两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； 2两直线垂直？两直线的斜率之积等于- 1.2.由一般式判定两条直线平行、垂直的依据若直线 11:Ax + Biy + C = 0,12 ：Ax + B 2y + C 2= 0，则① 11 / 12? AB 2 — AB = 0,且 AQ — A 2G 子0 或 BC 2— BC/0:②丨1丄 12? AA 2+ BB = 0.易错警示：当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x , y 的系数不能同时为零这一隐含条件.［跟踪训练］(1)(2017 •广东揭阳一模)若直线 m>+ 2y + m= 0与直线3m )+ ( m- 1)y + 7 = 0 平行，则m 的值为( )A. 7B. 0 或 7C. 0D. 4(2)(2017 •安徽池州月考)已知b >0,直线(b 2+ 1)x + ay + 2 = 0与直线x — b 2y — 1 = 0互相垂直，则ab 的最小值等于 ________________ .(1) B (2) 2 ［(1) •••直线 m>+ 2y + m= 0 与直线 3m )+ (m- 1)y + 7 = 0 平行， ••• mm - 1) = 3n K 2,「. m= 0 或 7,A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件 A.3经检验，都符合题意.故选 B.(2)由题意知0. T直线(b1 2+ 1)x+ ay+ 2= 0与直线x —b2y—1 = 0互相垂直，••• —2b + 1 1h• F=-1，2b +1 2bab=—^(a>0) , ab》~b = 2,当且仅当b= 1时取等号，• ab的最小值等于 2.]■■■'I(1)求经过两条直线I仁x + y —4= 0和12: x —y + 2 = 0的交点，且与直线2x—y —1 =0垂直的直线方程为___________ .【导学号：79140268】(2)直线I过点P( —1,2)且到点A(2,3)和点B( —4,5)的距离相等，则直线I的方程为.了x+ y — 4 = 0,(1) x + 2y —7 = 0 (2) x + 3y —5 = 0 或x = —1 [(1)由得|x—y+ 2 = 0, x= 1,y=3，• I 1与l 2的交点坐标为(1,3).设与直线2x —y— 1 = 0垂直的直线方程为x+ 2y+ c= 0,则 1 + 2X 3+ c= 0,「. c=—7.•••所求直线方程为x + 2y—7 = 0.(2) 法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y —2= k(x+1),即kx—y + k + 2 = 0.|2 k—3+ k+ 2|丨—4k—5+ k+ 2|由题意知 ----- 2= -------- 2 - ,1即|3 k—1| = | —3k —引,• k = —3,31•直线l 的方程为y —2= —#x+1)，即x+ 3y— 5 = 0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=—1,也符合题意.1法二：当AB// l时，有k= k AB=—3,直线l的方程为1y—2= —3(x + 1)，即x+ 3y —5= 0.3当I 过AB 中点时，AB 的中点为(一1,4), 「•直线I 的方程为x =— 1.故所求直线I 的方程为x + 3y — 5 = 0或x =— 1.］［规律方法］1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程•2.处理距离问题的两大策略1点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求2动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算［跟踪训练］(1)(2017 •河北省“五个一名校联盟”质检)若直线I 1： x + ay + 6 = 0与丨2:(a — 2)x + 3y + 2a = 0平行，则11与丨2间的距离为()□ 8.」2 B. 丁⑵ 已知点F (4 , a )到直线4x — 3y — 1 = 0的距离不大于3，贝U a 的取值范围为■ a ( a — 2) = 3,1 a 62a 丰 18,(1) B (2) [0,10][(1)因为 l 1 //I 2，所以a ~2=3丰区，所以 a z 20,2解得a =— 1,所以1仁x — y + 6= 0, 12： x — y + 3 = 0，所以丨1与12之间的距离d =3解得0w a w 10,所以a 的取值范围是［0,10］.］对称冋题C.3D. 8」3 3⑵由题意得，点F 到直线的距离为 |4 x 4—3x a — 1| 5 =|15 — 3a |= 5|15 — 3a |5<3,即 |15 — 3a | < 15, ¥，故选B. 3创 ⑴ 过点R0,1)作直线I 使它被直线11: 2x + y — 8= 0和丨2： x — 3y + 10= 0截得的线段被点P 平分，则直线I 的方程为 _____________________ •(2)平面直角坐标系中直线y = 2x + 1关于点(1,1)对称的直线I 方程是 ______________ •(1) x + 4y — 4 = 0 (2) y = 2x — 3 ［(1)设丨 1 与 I 的交点为 A (a,8 — 2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点巳—a, 2a — 6)在12上，把B 点坐标代入12的方程得—a — 3(2 a—6) + 10= 0,解得a = 4,即点A (4,0)在直线I 上，所以由两点式得直线I 的方程为x + 4y — 4 = 0.(2)法一：在直线I 上任取一点P'(x , y )，其关于点(1,1)的对称点R2 — x,2— y )必在直线 y = 2x + 1 上，••• 2— y = 2(2 — x ) + 1，即 2x — y — 3 = 0. 因此，直线I 的方程为y = 2x — 3.法二：由题意，I 与直线y = 2x + 1平行，设I 的方程为2x — y + c = 0( c 丰1),贝U 点 (1,1)到两平行线的距离相等，• |2 — 1 + c | _ 22+ 1 |2 — 1 + 1| 21，解得 c = — 3.2 + 1 因此所求直线I 的方程为y = 2x — 3. 法三：在直线y = 2x + 1上任取两个点 A (0,1) , B (1,3)，则点A 关于点(1,1)对称的点M 2,1)，点B 关于点(1,1)对称的点N(1 , — 1).由两点式求出对称直线 MNy + 1 x — 1的方程为 1+^=2—^，即 y =2x —3.]［母题探究］1.在题⑵ 中"将结论”改为"求点 A (1,1)关于直线y = 2x +1的对称点”，则结果如何?［解］设点A (1,1)关于直线y = 2x + 1的对称点为 A (a , b ),2•在题(2)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线 x — y = 0对称”，则结果如何？［解］在直线y = 2x + 1上任取两个点A (0,1),耳1,3)，则点A 关于直线x — y = 0的对称点为M (1,0)，点B 关于直线x — y = 0的对称点为 N (3,1),所以b — 1X 2=— 1 ,解得3a = —5,a —19 b= 5，故点A (1,1)关于直线y =2x + 1的对称点为则AA 的中点为 1+ bT ，3 9、5，5 .y 一1 x 一3根据两点式，得所求直线的方程为^ = ，即x —2y — 1 = 0.0—1 1 —3［规律方法］常见对称问题的求解方法 1中心对称x z = 2a — x , 满足£ , y '= 2b — y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决2轴对称①点 A a , b 关于直线 Ax + By + C = B?=li ，A 1一 B =- 1，a + mb + n A- 2 + B- 2 +C= 0.即转化为垂直与平方问题 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决［跟踪训练］⑴ 已知点A (1,3)关于直线y = kx + b 对称的点是政—2,1)，则直线y = kx + b在x 轴上的截距是 _________ .【导学号：79140269】 (2)(2017 •河北五校联考)直线ax + y + 3a — 1 =0恒过定点 M 则直线2x + 3y — 6 =0 关于M 点对称的直线方程为( A. 2x + 3y — 12= 0 C. 2x — 3y + 12= 0(1) 5 (2) D ［(1)由题意得线段6-3一 11 + 2直线y = kx + b 垂直，故2= k3 5 3 5 5 ,=kx + b 的方程即为 y =— ?x + 4.令y = 0,即一？x + ~ = 0，解得x =石，故直线 y = 5kx + b 在x 轴上的截距为-.6x + 3= 0，(2) 由 ax + y + 3a — 1= 0，可得 a (x + 3) + (y — 1) = 0,令可得 x =— 3,l y — 1 = 0,y = 1,「. M — 3,1) , M 不在直线 2x + 3y — 6= 0 上，设直线 2x + 3y — 6= 0 关于 M 点| — 6 + 3 — 6| | — 6+ 3 + c |对称的直线方程为 2x + 3y + c = 0( c 工一6)，贝U -------------- = ------------------ ，解得 cp 4+9 p 4+9①点P x , y 关于Q a , b 的对称点P x ', y!的对称点A m, n ，则有n — b I m- a X)B. 2x — 3y — 12 = 0 D. 2x + 3y + 12 = 0AB 的中点一12在直线 y = kx + b 上,直线 AB 与 -k =— 1,3 5/、解得k = — ^, b = 4.所以直线y•-1 + b ,=12或c =-6（舍去），•••所求方程为2X + 3y+ 12= 0，故选D.]2 [由兰=—2,得a= 2.]4. 已知点R —1,1)与点Q3,5)关于直线I对称，则直线I的方程为________________ .x + y —4= 0 ［线段PQ的中点坐标为(1,3),直线PQ的斜率k1= 1 ,二直线I的斜率k2=—1,二直线I的方程为x + y— 4 = 0.］5. _____________________________________________________ 直线1仁x—y + 6 = 0与丨2：3x—3y + 2= 0的距离为______________________________________ .［直线11可化为3x —3y+ 18= 0,贝U 11 / 12，所以这两条直线间的距离 d = |18 —2| ^232+ 32= 3 .]。

北师大数学必修二课时分层作业两条直线的位置关系含解析

课时分层作业(十六) 两条直线的位置关系(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A.1aB ．aC ．－1aD ．－1a 或不存在D [若a ＝0，则l 2的斜率不存在；若a ≠0，则l 2的斜率为－1a .]2．过点(－1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0B [设直线方程为x －2y ＋C ＝0，将(－1,0)代入上式，得C ＝1，所求方程为x －2y ＋1＝0.]3．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形C [k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角．]4．平行于直线4x ＋3y －3＝0，且不过第一象限的直线的方程是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0B [平行于直线4x ＋3y －3＝0的直线具有形式4x ＋3y ＋c ＝0，故排除A 、D.但选项C 中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件，故应选B.]5．直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a ，和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，a 等于( )A ．－7或－1B ．－7C ．7或1D ．－1B [因为两直线平行，所以(3＋a )·(5＋a )＝2×4，解得a ＝－1或－7.当a ＝－1时，两直线重合，故a ＝－7.]二、填空题6．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，给出下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD .其中正确的是________．(把正确选项的序号填在横线上)①④ [∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD .]7．与直线3x －2y ＋6＝0平行且纵截距为9的直线l 的方程为________．3x －2y ＋18＝0 [设直线l 的方程为3x －2y ＋b ＝0，令x ＝0，y ＝b 2＝9，得b＝18，故所求的直线方程为3x －2y ＋18＝0.]8．已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为________．0或1 [当m ＝0时，A (0,3)，B (0,4)，C (1,2)，D (1,0)，此时直线AB 与直线CD 的斜率均不存在，满足直线AB 与直线CD 平行；当m ≠0时，由题意，可得k AB ＝m ＋4－32m －m ＝m ＋1m ，k CD ＝2－0m ＋1－1＝2m.∵直线AB 与直线CD 平行，所以m ＋1m ＝2m ，解得m ＝1.综上m ＝0或1.]三、解答题9．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标．(1)∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)；(2)∠MPN是直角．[解]设P(x,0)，(1)∵∠MOP＝∠OPN，∴OM∥NP，∴k OM＝k NP.又k OM＝2－02－0＝1，k NP＝0－(－2)x－5＝2x－5(x≠5)，∴1＝2x－5，∴x＝7，即P(7,0)．(2)∵∠MPN＝90°，∴MP⊥NP，∴k MP·k NP＝－1.k MP＝22－x(x≠2)，k NP＝2x－5(x≠5)，∴22－x×2x－5＝－1，解得x＝1或x＝6，即P(1,0)或(6,0)．10．已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4)．(1)若l1∥l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，求a的值．[解]kl1＝k AB＝a－13－1＝a－12.(1)若l1∥l2，则3＋a≠2，且kl2＝k MN＝4－2(a＋3)－2＝2a＋1＝a－12，即a≠－1且a2＝5，∴a＝±5.(2)当a＋3＝2，即a＝－1时，l2无斜率，此时kl 1＝－1，∴l 1与l 2不垂直；当a ＋3≠2，即a ≠－1时，kl 2＝2a ＋1，由l 1⊥l 2，得kl 1·kl 2＝a －12·2a ＋1＝－1，即a ＝0.[等级过关练]1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y ＝0 B [k BC ＝3－11－3＝－1，∴高所在直线斜率为1，∴方程为y －1＝1×(x ＋1)，即x －y ＋2＝0.]2．两直线的斜率分别是方程x 2＋2 019x －1＝0的两根，那么这两直线的位置关系是( )A ．垂直B ．相交但不垂直C ．平行D ．重合A [设两直线的斜率分别为k 1，k 2，∵k 1，k 2是方程x 2＋2 019x －1＝0的两根，利用根与系数的关系得，k 1k 2＝－1，∴两直线的位置关系是垂直．]3．已知平行四边形ABCD 中，A (1,1)，B (－2,3)，C (0，－4)，则点D 的坐标为________．(3，－6) [设D (x ，y )，由题意可知，AB ∥CD 且AD ∥BC ，∴k AB ＝k CD 且k AD ＝k BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－1－2－1＝y ＋4x ，－4－30＋2＝y －1x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－6， ∴D 点的坐标为(3，－6)．]4．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)且与直线2x ＋3y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．－23 [由题意知两直线的斜率均存在，且直线l 与斜率为－23的直线垂直，则直线l 的斜率为32，于是32＝1－(－1)(－a －2)－(a －2)＝2－2a＝－1a ，解得a ＝－23.] 5．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4,2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．[解] (1)当∠A ＝∠D ＝90°时，如图①所示，∵四边形ABCD 为直角梯形，∴AB ∥DC 且AD ⊥AB .易求得m ＝2，n ＝－1.(2)当∠A ＝∠B ＝90°时，如图②所示，∵四边形ABCD 为直角梯形，∴AD ∥BC 且AB ⊥BC .∴k AD ＝k BC ，k AB ·k BC ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n －2m －2＝－3，n ＋1m －5×(－3)＝－1，解得m ＝165，n ＝－85. 综上所述，m ＝2，n ＝－1或m ＝165，n ＝－85.。

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