人教B版高中数学必修一阶段检测试题一

合集下载

人教B版(2019)高中数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》检测卷(含答案)

人教B 版（2019）高中数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》检测卷一、单选题（本题有12小题，每小题5分，共60分）1．设全集为实数集R ，集合{}3,2,1,0,1,2,3A =---，{}2B x x =≥，则()RA B =（）A ．{}2,3B ．{}2,1,0,1--C ．{}3,2,1,0---D ．{}3,2,1,0,1---2．设x 、y R ∈，则“x y ≥”是“x y ≥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．“1x >"是“11x<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列结论中，错误的是（） A ．“1x =”是“20x x -=”的充分不必要条件B ．已知命题2:,10p x R x ∀∈+>，则2:,10p x R x ⌝∃∈+≤C ．“220x x +->”是“1x >”的充分不必要条件；D ．命题：“x R ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“0x R ∃∈，0sin 1x >”；5．已知：p ：1x ，2x 是方程2560x x +-=的两根，q ：126x x ⋅=-，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知命题:1p x ∀>，4220212022x x +>，则p ⌝为（）A ．1x ∃≤，4220212022x x +≤B ．1x ∀>，4220212022x x +≤C ．1x ∃>，4220212022x x +≤D ．1x ∀≤，4220212022x x +>7．命题“()0,x ∀∈+∞，x 3＋3x ≥1”的否定是（）． A ．()0,x ∃∈+∞，x 3＋3x ＜1 B ．()0,x ∃∈+∞，x 3＋3x ≥1 C ．()0,x ∀∈+∞，x 3＋3x ＜1D ．x 3＋3x ≤18．已知集合{|25}M x x =-<<，{}33N x x =-≤≤，则M N ⋃=（） A ．{}3,2,1,0,1,2,3,4--- B ．{}1,0,1,2,3- C ．[)3,5-D ．(]2,3-9．设集合{0,1,2,3,4,5}U =，{0,2,3,5}M =，则UM =（）A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{0,4,5}D ．{1,4,5}10．已知集合{}1,2A =，{},,B x x a b a A b A ==-∈∈，则集合B 中元素个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．411．设a ∈R ，则“3a >”是“23a a >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知全集{}2,1,0,1U =--，集合{}220A x x x =+-=，{}0,1B =，则()U A B ⋃=（）A ．{}2,1,0--B ．{}2,1,1--C ．2,0,1D ．{}2,1,0,1--二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13．命题“2000,230x x x ∃∈-+<R ”，此命题的否定是________命题．（填“真”或“假”）14．设命题:p n N ∀∈，22n n >，则p ⌝为________．15．,A B 是集合{}1,2,3,4的非空子集，则满足A B =∅的有序集合对(),A B 共有_______个． 16．设集合{}1,2,3,4A =，[)1,3B =，则A B =________.三、解答题（本题有6小题，共70分）17．（10分）已知集合{|2A x x =-或3}x ，{}B |05x x =<<，{}|12C x m x m =-≤≤ （1）求A B ，()R A B ；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围．18．（12分）设全集为R ，集合P ＝{x |3＜x ≤13}，非空集合Q ＝{x |a ＋1≤x ＜2a －5}，（1）若a ＝10，求P ∩Q ； ()R P Q ；（2）若()Q P Q ⊆，求实数a 的取值范围19．（12分）设集合{}250A x x ax =-+>，{}25B x x =<<．（1）若集合R A =，求实数a 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．20．（12分）已知0m >，()():150p x x +-≤，:11q m x m -≤≤+. （1）若5m =，p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.21．（12分）已知集合{|25},{|121}A x x B x m x m =-<<=+≤≤- （1）当3m =时，求()R A B ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.22．（12分）设集合{}2=40A x R x x ∈+=，{}22=2(1)10,B x R x a x a a R ∈+++-=∈，若B A ⊆，求实数a 的值．参考答案1．D 【分析】先求得B R ，再根据交集运算即可得出结果. 【详解】 {}2B x x =≥,{}2B x x ∴=<R ,{}3,2,1,0,1,2,3A =---()RAB ∴={}3,2,1,0,1---.故选：D. 2．A 【分析】根据充要条件的定义，结合不等式的性质，举实例，可得答案．【详解】解：①若x y ，||x x ，||x y ∴成立，∴充分性成立，②当3x =-，2y =时，||x y 成立，但x y 不成立，∴必要性不成立，x y ∴是||x y 的充分不必要条件，故选：A ． 3．A 【分析】由11x<得10x x -<，即1x >或0x <可进行判断.【详解】由11x<得10xx -<，即1x >或0x <，所以1x >能够得到11x <，但是11x<不一定得到1x >， “1x >”是“11x<”成立的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含 4．C 【分析】根据充分必要条件和全称量词的否定形式判断即可. 【详解】当1x =时，20x x -=.当20x x -=时，1x =或0x =.“1x =”是“20x x -=”的充分不必要条，A 对.对于含有一个量词的全称命题p ：“任意的”x M ∈，()p x 的否定，p ⌝是：“存在”x M ∈，()p x ⌝.B 对.同理，D 对.当220x x +->时，1x >或2x <-.当1x >时，220x x +->.“220x x +->”是“1x >”的必要不充分条件，C 错. 故选：C. 5．A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可【详解】解：由2560x x +-=，得(1)(6)0x x -+=，解得1x =或6x =-，因为1x ，2x 是方程2560x x +-=的两根，所以126x x ⋅=-，当126x x ⋅=-时，1x ，2x 也可以不是方程260x x --=的两个根，所以p 是q 的充分不必要条件，故选：A 6．C 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可知命题p 的否定为1x ∃>，4220212022x x +≤. 故选：C. 7．A 【分析】将“任意”改为“存在”，只否定结论. 【详解】“()0,x ∀∈+∞，x 3＋3x ≥1”的否定是“()0,x ∃∈+∞，x 3＋3x ＜1”. 故选：A. 8．C 【分析】由已知集合，应用集合的并运算，求M N ⋃即可. 【详解】由题意，M N ⋃={}{|25}33{|35}x x x x x x -<<⋃-≤≤=-≤<， ∴M N ⋃=[)3,5-. 故选：C 9．A 【分析】根据补集的定义计算可得；【详解】解：因为{0,1,2,3,4,5}U =，{0,2,3,5}M =，所以{}1,4UM =故选：A 10．C 【分析】由集合B 的描述知{1,2}a ∈、{1,2}b ∈，可求出x a b =-，即得集合B 的元素个数. 【详解】解：由题意知：{1,2}a ∈，{1,2}b ∈，{}{}|,,0,1,1B x x a b a A b A ==-∈∈=-，∴集合B 中元素个数为3. 故选：C. 11．A 【分析】由23a a >，解得0a <或3a >．利用充分、必要条件的定义即可判断出．【详解】解：由23a a >，解得0a <或3a >． ∴ “3a >”是“23a a >”的充分不必要条件．故选：A ． 12．B 【分析】解一元二次方程用列举法表示集合A ，然后求出U B ，最后按集合的并集概念进行运算即可. 【详解】{}{}2201,2A x x x =+-==-，U{2,1}B =--，∴()U {2,1,1}A B ⋃=--.故选：B 13．真【分析】写出命题的否定形式，再判断真假即可. 【详解】命题“2000,230x x x ∃∈-+<R ”，此命题的否定为“2,230x x x ∀∈-+≥R ”，由()2223120x x x -+=-+≥，显然成立，所以命题的否定是真命题. 故答案为：真 14．2,2n n N n ∃∈≤【分析】根据命题的否定的定义求解．【详解】命题:p n N ∀∈，22n n >的否定是：2,2n n N n ∃∈≤．故答案为：2,2n n N n ∃∈≤． 15．50 【分析】根据题意可知{}1,2,3,4U =，当集合A 确定后，集合B 是UA 的非空子集，分别计算A 中有1、2、3个元素时有序集合对(),A B 的个数之和即可. 【详解】设{}1,2,3,4U =，因为A B =∅，所以B 是UA 的非空子集，当A 中只有一个元素时，(),A B 的个数为()342128⨯-=个，当A 中只有2个元素时，(),A B 的个数为()262118⨯-=个，当A 中只有3个元素时，(),A B 的个数为()14214⨯-=个，所以共有2818450++=个，故答案为：50. 16．[]{}1,34⋃ 【分析】直接根据并集的定义计算可得；【详解】解：因为{}1,2,3,4A =，[)1,3B = 所以[]{}1,34A B =⋃ 故答案为：[]{}1,34⋃17．（1）{}|35A B x x =≤<，(){25}R A B x x ⋃=-<<∣；（2）()5,11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【分析】（1）进行根据交集、并集和补集的定义运算即可；（2）根据BC C =可得出C B ⊆，然后讨论C 是否为空集：C =∅时，12m m ->；C ≠∅时得到不等式组，然后解出m 的范围即可．【详解】解：（1）因为{|2A x x =-或3}x ，{}B |05x x =<< 所以{}|35A B x x =≤<，{}|23RA x x =-<<(){}{}{}|23|05|25RA B x x x x x x =-<<<<=-<<（2）由B C C =，则C B ⊆ 当C =∅时，12m m ->，所以1m <- 当C ≠∅时，101225m m m m ->⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，所以512m <<综上：实数m 的取值范围为()5,11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭18．（1）{|1113}x x ，{|1315}x x <<；（2） (]6,9. 【分析】（1）把a 的值代入求出集合Q ，再由交集、补集的运算求出P Q ，(R P Q ⋂；（2）由()Q P Q ⊆得Q P ⊆，再由子集的定义列出不等式组，求出a 的范围．【详解】（1）当10a =时，{|1115}Q x x =<，又集合{|313}P x x =<，所以{|313}{|1115}{|1113}P Q x x x x x x ⋂=<⋂<=，{|3RP x x =或13}x >，则(){|1315}R P Q x x ⋂=<<；（2）由()Q P Q ⊆得，Q P ⊆，因为Q φ≠，则125132513a a a a +<-⎧⎪+>⎨⎪-⎩，解得69a <，综上所述：实数a 的取值范围是(]6,9.19．（1）a -<；（2）a < 【分析】（1）由判别式小于0可得；（2）题意说明B A ⊆，即250x ax -+>在(2,3)上恒成立，分离参数后，由基本不等式求得函数的最小值可得结论．【详解】解：（1）∵{}250A x x ax R =-+>=，∴2200a ∆=-<，∴a -<（2）∵x A ∈是x B ∈的必要条件，∴B A ⊆，∵250x ax -+>，∴min 5a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，()2,5x ∈，∵5x x +≥5x x+，即x =∴min 5x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴a <20．（1）{41x x -≤<-或}56x <≤；（2）[)4,+∞ 【分析】（1）由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可得p 与q 一真一假，然后分p 真q 假、p 假q 真两种情况，分别列出关系式，求解即可；（2）由p 是q 的充分条件，可得[][]1,51,1m m -⊆-+，则有01115m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，从而可求出实数m的取值范围. 【详解】（1）当5m =时，:46q x -≤≤，由()()150x x +-≤，可得15x -≤≤，即P ：15x -≤≤. 因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，故p 与q 一真一假，若p 真q 假，则1564x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或，该不等式组无解；若p 假q 真，则1546x x x <->⎧⎨-≤≤⎩或，得41x -≤<-或56x <≤.综上所述，实数x 的取值范围为{41x x -≤<-或}56x <≤.（2）由题意，P ：15x -≤≤，:11q m x m -≤≤+，因为p 是q 的充分不必要条件，故[][]1,51,1m m -⊆-+，故111115m m m m -<+⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，得4m ≥，故实数m 的取值范围为[)4,+∞.21．（1）(){}5R A B =；（2）3m <.【分析】（1）根据集合的运算法则计算；（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，然后分类B =∅和B ≠∅求解．【详解】（1）当3m =时，B 中不等式为45x ≤≤，即{}|45B x x =≤≤，∴{|2R A x x =≤-或5}x ，则(){}5R A B =（2）∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，①当B =∅时，121m m +>-，即2m <，此时B A ⊆；②当B ≠∅时，12112215m m m m +≤+⎧⎪+>-⎨⎪-<⎩，即23m ≤<，此时B A ⊆.综上m 的取值范围为3m <.22．a ≤－1或a ＝1.【分析】先求出集合A ，当A ＝B 时，满足B A ⊆，再由根与系数的关系可求出实数a 的值；当B A ≠时，分B ≠∅和B =∅两种情况求解即可【详解】∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1. (2)当B A ≠时，又可分为两种情况． ①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1；当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件； ②当B =∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1.。

新教材人教B版高中数学选择性必修第一册各章综合测验及模块测验含答案解析

人教B 选择性必修第一册综合测验第一章空间向量与立体几何............................................................................................ 1 第二章平面解析几何 .................................................................................................... 15 模块综合测验 . (28)第一章空间向量与立体几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A.有相同起点的向量 B .等长的向量C.共面向量 D .不共面向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 显然不是有相同起点的向量,A 不正确; 由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B 不正确. 又∵AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,C 正确,D 不正确. 2.已知a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),则下列结论正确的是( ) A.a ∥c ,b ∥c B.a ∥b ,a ⊥c C.a ∥c ,a ⊥b D.以上都不对a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),∴a ·b =-4+0+4=0,∴a ⊥b .∵-4-2=-6-3=21,∴a ∥c .3.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .4.如图所示,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD.M ,G 分别是BC ,CD 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗C.AG ⃗⃗⃗⃗⃗D.MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗M ,G 分别是BC ,CD 的中点,∴12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AG⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.在四棱锥P-ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于 ( )A.1 B .2C.13D .26ABCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{4x -2y +3z =0,-4x +y =0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n =(3,12,4), 四棱锥的高h=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=2613=2.6.已知两不重合的平面α与平面ABC ,若平面α的法向量为n 1=(2,-3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),则( ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC 相交但不垂直D.以上均有可能,n 1·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n 1⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×1+1×1=0,得n 1⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n 1⊥平面ABC ,所以平面α的法向量与平面ABC 的法向量共线,则平面α∥平面ABC.7.直线AB 与直二面角α-l-β的两个面分别交于A ,B 两点,且A ,B 都不在棱l 上,设直线AB 与α,β所成的角分别为θ和φ,则θ+φ的取值范围是( ) A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90° C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°,分别过点A ,B 向平面β,α作垂线,垂足为A 1,B 1,连接BA 1,AB 1.由已知α⊥β,所以AA 1⊥β,BB 1⊥α,因此∠BAB 1=θ,∠ABA 1=φ.由最小角定理得∠BAA 1≥θ,而∠BAA 1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA 1≤90°,当AB ⊥l 时,θ+φ=90°,应选B .8.长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}中元素的个数为( )A.1 B .2 C .3 D .4长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,∴建立如图的空间直角坐标系, 则A 1(1,1,0),A 2(0,1,0),A 3(0,0,0),A 4(1,0,0), B 1(1,1,2),B 2(0,1,2),B 3(0,0,2),B 4(1,0,2), 则A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),与A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)相等的向量为A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 4B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2)相等的向量为A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)相等的向量为A 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4,与A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)相等的向量为A 3B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2)相等的向量为A 4B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,体对角线向量为A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3, A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,综上集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的个数为3个.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.设向量a ,b ,c 可构成空间一个基底,下列选项中正确的是( ) A.若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z cD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底a,b,c是空间一个基底,知:在A中,若a⊥b,b⊥c,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z c,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,∴左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,∴左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=√59,∵a-b-c=(-1,-3,7),∴|a-b-c|=√59,∴左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是 ()A.A1E⊥AC1B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DGD.A1E∥CH解析设正方体的棱长为1,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(1,0,1),E (1,12,0),C (0,1,0),F (0,1,12),C 1(0,1,1),H 0,12,1,G (12,0,1),A (1,0,0),B (1,1,0),D (0,0,0),则A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,12),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,1),CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-12,1), 所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,所以A 1E 与AC 1不垂直,故A 错误; 显然平面ADD 1A 1的一个法向量v =(0,1,0), 有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =0,所以BF ∥平面ADD 1A 1,故B 正确; BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BF ⊥DG ,故C 正确; A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CH⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A 1E ∥CH ,故D 正确. 12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°;④AB 与CD 所成的角为60°.其中正确的结论有( ) A.① B.②C.③D.④,建立空间直角坐标系Oxyz ,设正方形ABCD 的边长为√2,则D (1,0,0),B (-1,0,0),C (0,0,1),A (0,1,0),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AC ⊥BD ,①正确.又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, 所以△ACD 为等边三角形,②正确. 对于③,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BCD 的一个法向量, cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√1=√2=-√22.因为直线与平面所成的角∈[0°,90°],所以AB 与平面BCD 所成的角为45°,故③错误.又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√2=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB 与CD 所成的角为60°,故④正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a 的正四面体中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . -a 22a 的正四面体中,AB=BC=a ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,AC ⊥BD.∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·a cos120°+0=-a22.14.已知a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则xy= .2a +2b =(1+2x ,4,-y+4),2a -b =(2-x ,3,-2y-2),因为(a+2b )∥(2a-b ),所以存在λ∈R 使得1+2x=λ(2-x )且4=3λ且-y+4=λ(-2y-2),所以λ=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.设PA ⊥Rt △ABC 所在的平面α,∠BAC=90°,PB ,PC 分别与α成45°和30°角,PA=2,则PA 与BC 的距离是 ;点P 到BC 的距离是 . √3 √7AD ⊥BC 于点D ,∵PA ⊥面ABC ,∴PA ⊥AD.∴AD 是PA 与BC 的公垂线.易得AB=2,AC=2√3,BC=4,AD=√3,连接PD ,则PD ⊥BC ,P 到BC 的距离PD=√7. 16.已知向量m =(a ,b ,0),n =(c ,d ,1),其中a 2+b 2=c 2+d 2=1,现有以下命题:①向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值(即与c ,d 无关); ②m ·n 的最大值为√2;③<m ,n >(m ,n 的夹角)的最大值为3π4;④若定义u ×v =|u |·|v |sin <u ,v >,则|m×n |的最大值为√2. 其中正确的命题有 .(写出所有正确命题的序号)取z 轴的正方向单位向量a =(0,0,1),则cos <n ,a >=n ·a|n ||a |=√c 2+d 2+12×1=√2=√22,∴向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值π4,命题正确;②m ·n =ac+bd ≤a 2+c 22+b 2+d 22=a 2+c 2+b 2+d 22=1+12=1,当且仅当a=c ,b=d 时取等号,因此m ·n 的最大值为1,命题错误;③由②可得|m ·n |≤1,∴-1≤m ·n ≤1, ∴cos <m ,n >=m ·n|m ||n | =√a 2+b 2·√c 2+d 2+12≥-1×√2=-√22, ∴<m ,n >的最大值是3π4,命题正确; ④由③可知:-√22≤cos <m ,n >≤√22,∴π4≤<m ,n >≤3π4,√22≤sin <m ,n >≤1,∴m×n =|m|×|n|×sin <m ,n >≤1×√2×1=√2,命题正确.综上可知,正确的命题序号是①③④.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧棱AM 的长为3,且AM 和AB ,AD 的夹角都是60°,N 是CM 的中点,设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试以a ,b ,c 为基向量表示出向量BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求BN 的长.⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+12b+12c , |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-12a+12b+12c 2 =14(a 2+b 2+c 2-2a ·b-2a ·c+2b ·c )=174. 所以|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√172,即BN 的长为√172.18.(12分)如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面边长为√2. (1)设侧棱长为1,求证:AB 1⊥BC 1;(2)设AB 1与BC 1所成的角为π3,求侧棱的长.1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为BB 1⊥平面ABC , 所以BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又△ABC 为正三角形,所以<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-<BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-π3=2π3. 因为AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1+1=0, 所以AB 1⊥BC 1.(1)知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1.又|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12,所以|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,即侧棱长为2.19.(12分)已知空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,求向量c ; (2)已知向量k a +b 与b 互相垂直,求k 的值; (3)求△ABC 的面积.∵空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2), ∵|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴c =m BC⃗⃗⃗⃗⃗ =m (2,1,-2)=(2m ,m ,-2m ), ∴|c |=√(2m )2+m 2+(-2m )2=3|m|=3,∴m=±1,∴c =(2,1,-2)或c =(-2,-1,2). (2)由题得a =(-1,-1,0),b =(1,0,-2),∴k a +b =k (-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k ,-k ,-2),∵向量k a +b 与b 互相垂直,∴(k a +b )·b =1-k+4=0,解得k=5.∴k 的值是5. (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,-2), cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√5=-√10,sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1-110=√10,∴S △ABC =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=12×√2×√5×√10=32.20.(12分)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.(1)用向量法证明E ,F ,G ,H 四点共面; (2)用向量法证明:BD ∥平面EFGH ;(3)设M 是EG 和FH 的交点,求证:对空间任一点O ,有OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).如图,连接BG ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 由共面向量定理的推论知E 、F 、G 、H 四点共面.(2)因为EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以EH ∥BD ,又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH , 所以BD ∥平面EFGH.(3)连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG , 由(2)知EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 同理FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG⃗⃗⃗⃗⃗ , EH ∥FG ,EH=FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1212(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).21.(12分)(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面AA 1B 1B 为正方形,AB=BC=2,E ,F 分别为AC 和CC 1的中点,D 为棱A 1B 1上的点,BF ⊥A 1B 1. (1)证明:BF ⊥DE ;(2)当B 1D 为何值时,平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小?如图,连接A 1E ,取BC 中点M ,连接B 1M ,EM.∵E ,M 分别为AC ,BC 中点, ∴EM ∥AB.又AB ∥A 1B 1,∴A 1B 1∥EM ,则点A 1,B 1,M ,E 四点共面,故DE ⊂平面A 1B 1ME.又在侧面BCC 1B 1中,△FCB ≌△MBB 1,∴∠FBM=∠MB 1B. 又∠MB 1B+∠B 1MB=90°,∴∠FBM+∠B 1MB=90°,∴BF ⊥MB 1.又BF ⊥A 1B 1,MB 1∩A 1B 1=B 1,MB 1,A 1B 1⊂平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥DE.(2)∵BF ⊥A 1B 1,∴BF ⊥AB ,∴AF 2=BF 2+AB 2=CF 2+BC 2+AB 2=9. 又AF 2=FC 2+AC 2,∴AC 2=8,则AB ⊥BC.如图,以B 为原点,BC ,BA ,BB 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (2,0,0),A (0,2,0),E (1,1,0),F (2,0,1).则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-1,2),设DB 1=t ,则D (0,t ,2),0≤t ≤2.则平面BB 1C 1C 的法向量为m =(0,1,0),设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -y +z =0,-x +(t -1)y +2z =0,∴n =(1+t ,3,2-t ). 则cos <m ,n >=√(1+t )+32+(2-t )=√2t 2-2t+14.要求最小正弦值,则求最大余弦值.当t=1时二面角的余弦值最大,2时二面角正弦值最小.则B1D=1222.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平AD=1,CD=√3.面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12(1)求证:平面PBC⊥平面PQB;(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°?AD,AD∥BC,Q为AD的中点,BC=12∴BC∥QD,BC=QD,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴BQ∥CD.∵∠ADC=90°,∴BC⊥BQ.∵PA=PD,AQ=QD,∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,∴PQ ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q,∴BC⊥平面PQB.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PQB.(1)可知PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,√3),B(0,√3,0),C(-1,√3,0),∴QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-√3), PC=√(-1)2+(√3)2+(-√3)2=√7.设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,-√3λ),且0≤λ≤1,得M (-λ,√3λ,√3−√3λ),∴QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,√3(1-λ)).设平面MBQ 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,QB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{-λx +√3λy +√3(1-λ)z =0,√3y =0.令x=√3,则y=0,z=λ1-λ,∴平面MBQ 的一个法向量为m =√3,0,λ1-λ. 设平面PDC 的法向量为n =(x',y',z'),则{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{√3y '=0,x '+√3z '=0.令x'=3,则y'=0,z'=-√3,∴平面PDC 的一个法向量为n =(3,0,-√3).∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°, ∴cos60°=|n ·m ||n ||m |=|3√3-√3·λ1-λ|√12·√3+(λ1-λ) 2=12,∴λ=12.∴PM=12PC=√72.即当PM=√72时,平面QMB 与平面PDC 所成的角大小为60°.第二章平面解析几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 ( ) A.1 B.2C.3D.4cos 2θ+sin 2θ=1,∴P 为单位圆上一点,而直线x-my-2=0过点A (2,0),∴d 的最大值为|OA|+1=2+1=3,故选C .2.已知点P (-2,4)在抛物线y 2=2px (p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)P (-2,4)在抛物线y 2=2px 的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).3.已知直线l 1:x cos 2α+√3y+2=0,若l 1⊥l 2,则l 2倾斜角的取值范围是( ) A.[π3,π2) B.[0,π6] C.[π3,π2] D.[π3,5π6]l 1:x cos 2α+√3y+2=0的斜率k 1=-2√3∈[-√33,0],当cos α=0时,即k 1=0时,k 不存在,此时倾斜角为12π,由l 1⊥l 2,k 1≠0时,可知直线l 2的斜率k=-1k 1≥√3,此时倾斜角的取值范围为[π3,π2).综上可得l 2倾斜角的取值范围为[π3,π2].4.(2021全国乙,文11)设B 是椭圆C :x 25+y 2=1的上顶点,点P 在C 上,则|PB|的最大值为( ) A.52 B.√6 C.√5 D.2方法一)由椭圆方程可得a=√5,b=1,故椭圆的上顶点为B (0,1).设P (x ,y ),则有x 25+y 2=1, 故x 2=5(1-y 2),由椭圆的性质可得-1≤y ≤1.则|PB|2=x 2+(y-1)2=5(1-y 2)+(y-1)2=-4y 2-2y+6=-4y 2+y2+6=-4y+142+254.因为-1≤y ≤1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52. (方法二)由题意可设P (√5cos θ,sin θ)(θ∈R ),又B (0,1),则|PB|2=5cos 2θ+(sin θ-1)2=5cos 2θ+sin 2θ-2sin θ+1=-4sin 2θ-2sin θ+6,于是当sin θ=-14时,|PB|2最大,此时|PB|2=-4×116-2×(-14)+6=-14+12+6=254,故|PB|的最大值为52.5.在一个平面上,机器人到与点C (3,-3)的距离为8的地方绕C 点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A (-10,0)与B (0,10)的直线的最近距离为( ) A.8√2-8 B.8√2+8C.8√2D.12√2C (3,-3)距离为8的地方绕C 点顺时针而行,在行进过程中保持与点C 的距离不变,∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示;∵A (-10,0)与B (0,10),∴直线AB 的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0, 则圆心C 到直线AB 的距离为d=√1+1=8√2>8,∴最近距离为8√2-8.6.设P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上的点,F 1,F 2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F 1PF 2=90°,△F 1PF 2的面积是7,则a+b 等于( ) A.3+√7 B.9+√7C.10D.16,不妨设点P 是右支上的一点,|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则{ 12mn =7,m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,c a =43,∴a=3,c=4.∴b=√c 2-a 2=√7.∴a+b=3+√7.7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h ,跨径为a ,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x 2=-2py (p>0).∵该抛物线经过点(a2,-ℎ),代入抛物线方程可得a 24=2hp ,解得p=a 28ℎ.∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a 28ℎ.8.平面直角坐标系中,设A (-0.98,0.56),B (1.02,2.56),点M 在单位圆上,则使得△MAB 为直角三角形的点M 的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则k AB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则k l1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=√2=21√2100<1,直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M;②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,同理可得,直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,此时原点O到直线l2的距离d=√2=179√2100>1,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=√4+4=2√2,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=√2,此时|OC|=√(0.02)2+(1.56)2=√2.4340,则有√2-1<|OC|<√2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.综合可得,共有4个符合条件的点M.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2bAB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.10.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.3√2+1D.8y=kx-1恒过定点A(0,-1)点,当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为√(-3)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离的范围为[0,6].11.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2P(x,y),则k PA+k PB=2,即yx+2+yx-2=2(x≠±2),整理得x2-xy=4(x≠±2),所以曲线C 是中心对称图形,不是轴对称图形,故C 正确,A 错误;由x 2-xy=4>2=x 2+y 2,所以曲线C 上所有的点都在圆x 2+y 2=2外,故B 正确; 由x 2-xy=4可知,x ∈R 且x ≠0,x ≠±2,故D 错误. 12.已知P 是椭圆E :x 28+y 24=1上一点,F 1,F 2为其左右焦点,且△F 1PF 2的面积为3,则下列说法正确的是 ( )A.P 点纵坐标为3B.∠F 1PF 2>π2C.△F 1PF 2的周长为4(√2+1)D.△F 1PF 2的内切圆半径为32(√2-1)P 点坐标为(x ,y ),S=12×2c×|y|=12×4×|y|=3,得y=32或y=-32,故A 错误;椭圆中焦点三角形面积为S=b 2tan θ2(θ为焦点三角形的顶角),S=4tan θ2=3,得tan θ2=34,则θ2<π4,∠F 1PF 2<π2,故B 错误;C △F 1PF 2=2a+2c=4(√2+1),故C 正确;设△F 1PF 2的内切圆半径为R ,12R (4√2+4)=3,得R=32(√2-1),故D 正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P (1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 .4x 或y=x+3,分2种情况讨论:①直线经过原点,则直线l 的方程为y=4x ;②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a ,把点P (1,4)代入可得1-4=a ,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3.综上可得,直线的方程为y=4x 或y=x+3.14.若双曲线x 2m −y 2m -5=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m 的值为 .或-2c=3,当双曲线的焦点在x 轴上时,m>5,c 2=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y 轴上时,m<0,c 2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=-2.15.如图,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线,与抛物线及其准线分别交于A ,B ,C 三点,若FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的方程为 ,|AB|= .√3(x-1)163F (1,0),准线方程为x=-1,设C (-1,m ),B (a ,b ),∵FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(-2,m )=3(a-1,b )=(3a-3,3b ),则3a-3=-2,m=3b ,即a=13,此时b 2=4×13,得b=-√43=-2√33,即m=-2√3,则C (-1,-2√3),则AB 的斜率k=2√32=√3,则直线方程为y=√3(x-1),代入y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0,得x 1+x 2=103,即|AB|=x 1+x 2+2=103+2=163.16.已知点O (0,0),A (4,0),B (0,4).若从点P (1,0)射出的光线经直线AB 反射后过点Q (-2,0),则反射光线所在直线的方程为 ;若从点M (m ,0),m ∈(0,4)射出的光线经直线AB 反射,再经直线OB 反射后回到点M ,则光线所经过的路程是 (结果用m 表示).2y+2=0 √2m 2+32,设点P 1(a ,b )与点P (1,0)关于直线AB 对称,则P 1在反射光线所在直线上,又由A (4,0),B (0,4),则直线AB 的方程为x+y=4,则有{ba -1=1,a+12+b2=4,解得{a =4,b =3,即P 1(4,3), 反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12, 则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0;设点M 1(a 0,b 0)与点M 关于直线AB 对称,点M 2与M 关于y 轴对称,易得M 2(-m ,0); 线段M 1M 2的长度就是光线所经过的路程,则有{b 0a 0-m=1,m+a2+b 02=4,解得{a 0=4,b 0=4-m ,即M 1(4,4-m ),又由M 2(-m ,0),则|M 1M 2|=√(4+m )2+(4-m )2=√2m 2+32.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2,4),B (0,-5),C (10,0),线段AC 的垂直平分线为l.(1)求直线l 的方程;(2)点P 在直线l 上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P 的坐标.直线AC 的斜率为k AC =4-02-10=-12,所以直线l 的斜率为k 1=2,直线AC 的中点为(6,2),所以直线l 的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A 关于直线l 的对称点为点C ,所以直线BC 与直线l 的交点即为|AP|+|BP|最小的点.由B (0,-5),C (10,0)得直线BC 的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程{x -2y -10=0,2x -y -10=0,解得{x =103,y =-103,所以点P 的坐标为(103,-103). 18.(12分)已知直线l :ax-y-3a+1=0恒过定点P ,过点P 引圆C :(x-1)2+y 2=4的两条切线,设切点分别为A ,B.(1)求直线AB 的一般式方程;(2)求四边形PACB 的外接圆的标准方程.∵直线l :y-1=a (x-3).∴直线l 恒过定点P (3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A (3,0). 由圆的性质可知AB ⊥PC ,∵k PC =1-03-1=12,∴k AB =-2,所以直线AB 的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0. (2)由题意知|PC|=√(3-1)2+(1-0)2=√5.∵PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,所以四边形PACB 的外接圆是以PC 为直径的圆,PC 的中点坐标为(2,12),所以四边形PACB 的外接圆为(x-2)2+(y -12)2=54.19.(12分)已知F 1,F 2分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,F 2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F 1PF 2=60°时,△PF 1F 2的面积为48√3,求此双曲线的方程.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0,则点F 2到渐近线距离为√b 2+a 2=b (其中c 是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a 2+b 2=c 2,解得b=43a ,故所求双曲线的渐近线方程是4x ±3y=0.(2)因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=|F 1F 2|2,即|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|=4c 2. 又由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,相减得|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2.根据三角形的面积公式得S=12|PF 1|·|PF 2|sin60°=√34·4b 2=√3b 2=48√3,得b 2=48. 由(1)得a 2=916b 2=27,故所求双曲线方程是x 227−y 248=1.20.(12分)已知过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,斜率为√24的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.抛物线x 2=2py 的焦点为(0,p2),所以直线AB 的方程为y=√24x+p 2, 联立{y =√24x +p2,x 2=2py ,消去x ,得4y 2-5py+p 2=0,所以y 1+y 2=5p4,由抛物线定义得|AB|=y 1+y 2+p=9,即5p4+p=9,所以p=4.所以抛物线的方程为x 2=8y. (2)由p=4知,方程4y 2-5py+p 2=0, 可化为y 2-5y+4=0,解得y 1=1,y 2=4,故x 1=-2√2,x 2=4√2. 所以A (-2√2,1),B (4√2,4).则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√2,1)+λ(4√2,4)=(-2√2+4√2λ,1+4λ).因为C 为抛物线上一点,所以(-2√2+4√2λ)2=8(1+4λ),整理得λ2-2λ=0,所以λ=0或λ=2.21.(12分)(2021全国乙,文20)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值.在抛物线C 中,焦点F 到准线的距离为p ,故p=2,C 的方程为y 2=4x.(2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).又F (1,0),则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1),QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x 2,-y 2). 因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x 2-x 1=9(1-x 2),y 2-y 1=-9y 2, 得x 1=10x 2-9,y 1=10y 2.又因为点P 在抛物线C 上,所以y 12=4x 1,所以(10y 2)2=4(10x 2-9), 则点Q 的轨迹方程为y 2=25x-925. 易知直线OQ 的斜率存在.设直线OQ 的方程为y=kx ,当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由{y =kx ,y 2=25x -925,得k 2x 2=25x-925,即k 2x 2-25x+925=0,(*)当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即(-25)2-4k 2·925=0,解得k=±13,所以直线OQ 斜率的最大值为13. 22.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等.已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)面积为S 椭圆=πab(1)求椭圆的离心率的值;(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M 生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M 的轨迹方程.建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∵内外椭圆有相同的离心率且共轴,可得内椭圆长轴为b ,设内椭圆短轴长为b',焦距长为c',得ca =c 'b ,c'=bca ,b'2=b 2-c'2=b 2-b 2c2a 2=b 2(a 2-c 2)a 2=b 4a 2.∴内椭圆的方程为y 2b 2+x 2b 4a 2=1.图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等,由对称性只需S 外=3S 内,即πab=3πb ·b 2a 得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2),故e=√63.(2)同(1)建立如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为6,∴a=3,又e=√63,∴c=√6,b 2=3. 则外椭圆方程为x 29+y 23=1.设点M (x 0,y 0),切线方程为y-y 0=k (x-x 0),代入椭圆方程得,(1+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x+3(y 0-kx 0)2-9=0.∴Δ=36k 2(y 0-kx 0)2-4(1+3k 2)[3(y 0-kx 0)2-9]=0.化简得(x 0-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-3=0.∵两条切线互相垂直,∴k 1k 2=-1,即y 02-3x 02-9=-1,即x 02+y 02=12(x 0≠±3).当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±√3),(-3,±√3)也满足方程,∴轨迹方程为x 2+y 2=12.模块综合测验一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3,则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,若点Q (-1,-1),那么|PQ|的取值范围为( ) A.[√2,3√2] B.[√2,2√2] C.[2√2,3√2] D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m (x-2)+n (y-2)=0,故直线过定点M (2,2),坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,故∠OPM=90°,所以P 在以OM 为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2, 故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),则p2则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|SA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x -√2z =0,m ·SB⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33,∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4.又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误;过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b|a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P是椭圆C:x 26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.C的焦距为√5B.C的离心率为√306C.圆D在C的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x 26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.。

高中数学本册素养等级测评课时作业(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学试题

本册素养等级测评一、单选题(本大题共5小题，每小题8分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“∃x ＜0，使x 2－3x ＋1≥0”的否定是( C ) A ．∃x ＜0，使x 2－3x ＋1＜0 B ．∃x ≥0，使x 2－3x ＋1＜0 C ．∀x ＜0，使x 2－3x ＋1＜0 D ．∀x ≥0，使x 2－3x ＋1＜0解析：命题“∃x ＜0，使x 2－3x ＋1≥0”的否定是“∀x ＜0，x 2－3x ＋1＜0”，故选C ． 2．设f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ＋7(其中a 、b 、c 为常数，x ∈R )，若f (－7)＝－17，则f (7)＝( A )A ．31B ．17C ．－31D ．24解析：令g (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ，则g (x )为奇函数． ∴f (－7)＝g (－7)＋7＝－17，∴g (－7)＝－24. ∴f (7)＝g (7)＋7＝24＋7＝31.3．对于α：a －1a ＋1＞0，β：关于x 的方程x 2－ax ＋1＝0有实数根，则α是β成立的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由α：a －1a ＋1＞0解得a ＞1或a ＜－1，β：关于x 的方程x 2－ax ＋1＝0有实数根，则Δ＝a 2－4≥0，解得a ≥2或a ≤－2.∵{a |a ≥2或a ≤－2}{a |a ＞1或a ＜－1}，∴α是β成立的必要不充分条件，故选B ．4．关于x 的不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1＜0的解集为R ，则实数a 的取值X 围为( D )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，1B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－35，1C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1∪{－1} D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1 解析：当a 2－1＝0时，a ＝±1，若a ＝1，则原不等式可化为－1＜0，显然恒成立；若a ＝－1，则原不等式可化为2x －1＜0，不恒成立，所以a ＝－1舍去；当a 2－1≠0时，因为(a 2－1)x 2－(a －1)x －1＜0的解集为R ，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＜0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1＜0，解得－35＜a ＜1.综上，实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1.故选D ． 5．若关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图像可以是( D )解析：因为关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，所以函数y ＝f (x )与y ＝2的图像在(－∞，0)内有交点，观察图像可知只有D 中图像满足要求．6．已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( B )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a ＞0)，当且仅当y＝ax 时取等号，所以(x ＋y )·⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋a y的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立，所以a ≥4，故选B ．7．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α，β是函数f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是( C )A ．a ＜α＜b ＜βB ．a ＜α＜β＜bC ．α＜a ＜b ＜βD ．α＜a ＜β＜b解析：∵α，β是函数f (x )的两个零点，∴f (α)＝f (β)＝0.又∵f (a )＝f (b )＝－2＜0，结合二次函数的图像(如图所示)可知a ，b 必在α，β之间，故它们之间的关系可能为α＜a ＜b ＜β.故选C ．8．函数f (x )＝x |x |.若存在x ∈[1，＋∞)，使得f (x －2k )－k ＜0，则实数k 的取值X 围是( D )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(12，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 解析：当k ≤12时，x －2k ≥0，因此f (x －2k )－k ＜0，可化为(x －2k )2－k ＜0，即存在x∈[1，＋∞)，使g (x )＝x 2－4kx ＋4k 2－k ＜0成立，由于g (x )＝x 2－4kx ＋4k 2－k 的对称轴为直线x ＝2k ≤1，所以g (x )＝x 2－4kx ＋4k 2－k 在[1，＋∞)上单调递增，因此只要g (1)＜0，即1－4k ＋4k 2－k ＜0，解得14＜k ＜1.又因为k ≤12，所以14＜k ≤12.当k ＞12时，f (x －2k )＝(x －2k )|x －2k |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2k 2，1≤x ≤2k ，x －2k 2，x ＞2k .当1≤x ≤2k 时，f (x －2k )－k ＝－(x －2k )2－k ＜0恒成立，满足存在x ∈[1，＋∞)，使得f (x －2k )－k ＜0成立．综上，k ＞14.故选D ．二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．设全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合M ＝{0,1,4}，N ＝{0,1,3}，则( AC ) A ．M ∩N ＝{0,1} B ．∁U N ＝{4} C ．M ∪N ＝{0,1,3,4} D ．集合M 的真子集个数为8解析：由题意，M ∩N ＝{0,1}，A 正确；∁U N ＝{2,4}，B 不正确；M ∪N ＝{0,1,3,4}，C 正确；集合M 的真子集个数为23－1＝7，D 不正确；故选AC ．10．下列对应关系f ，能构成从集合M 到集合N 的函数的是( ABD )A ．M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，N ＝{－6，－3,1}，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－6，f (1)＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1 B ．M ＝N ＝{x |x ≥－1}，f (x )＝2x ＋1 C ．M ＝N ＝{1,2,3}，f (x )＝2x ＋1D ．M ＝Z ，N ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1，n 为偶数时，f (n )＝1解析：对于A ，M ＝{12，132}，N ＝{－6，－3,1}，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－6，f (1)＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1，满足函数的定义“集合M 中每一个元素在集合N 中都有唯一的元素与之对应”，则f 能构成从集合M 到集合N 的函数，满足题意；对于B ，M ＝N ＝{x |x ≥－1}，f (x )＝2x ＋1，满足函数的定义“集合M 中每一个元素在集合N 中都有唯一的元素与之对应”，则f 能构成从集合M 到集合N 的函数，满足题意；对于C ，M ＝N ＝{1,2,3}，f (x )＝2x ＋1，∵f (2)＝5∉N ，∴不满足函数的定义“集合M 中每一个元素在集合N 中都有唯一的元素与之对应”，则f 不能构成从集合M 到集合N 的函数，不满足题意；对于D ，M ＝Z ，N ＝{－1,1}，n 为奇函数时，f (n )＝－1，n 为偶函数时，f (n )＝1，满足函数的定义“集合M 中每一个元素在集合N 中都有唯一的元素与之对应”，则f 能构成从集合M 到集合N 的函数，满足题意；故选ABD ．11．已知f (x )＝x ＋1x －1(x ≠±1)，则下列各式成立的是( CD ) A ．f (x )＋f (－x )＝0 B ．f (x )·f (－x )＝－1 C ．f (x )－1f －x＝0D ．f (x )·f (－x )＝1解析：∵f (x )＋f (－x )＝x ＋1x －1＋－x ＋1－x －1＝2x 2＋2x 2－1≠0，∴A 不符合题意，∵f (x )·f (－x )＝x ＋1x －1×－x ＋1－x －1＝1，∴B 不符合题意，D 符合题意，∵f (x )－1f －x ＝x ＋1x －1－－x －1－x ＋1＝0，∴C 符合题意；故选CD ．12．下列命题中正确的是( AC ) A ．y ＝x ＋1x(x ＜0)的最大值是－2B ．y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值是2C ．y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最大值是2－4 3D ．y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最小值是2－4 3解析：y ＝x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以A 正确；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2＞2，取不到最小值2，所以B 错误；y ＝2－3x －4x (x ＞0)＝2－⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－43，当且仅当3x ＝4x 时，等号成立，所以C 正确；y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值是2－43，所以D 错误．故选AC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则函数f (x )的解析式为__f (x )＝2x ＋7__.解析：由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)． ∵f (x )满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17， ∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17，即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7.∴f (x )＝2x ＋7.14．函数y ＝3－2x －x 2的定义域是__[－3,1]__，值域为__[0,2]__.解析：要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1.∴定义域为[－3,1]．∵－x 2－2x ＋3＝－(x －1)2＋4 ∴y ＝－x 2－2x ＋3的值域为[0,2]．15．关于x 的不等式x 2－ax ＋a ＋3≥0在区间[－2,0]上恒成立，则实数a 的取值X 围是__[－2，＋∞)__.解析：由题意得a ≥x 2＋3x －1＝(x －1)＋4x －1＋2.因为－2≤x ≤0，所以－3≤x －1≤－1.所以(x －1)＋4x －1＋2＝－[(1－x )＋41－x]＋2≤－24＋2＝－2. 当且仅当x ＝－1时取到等号．所以a ≥－2. 故实数a 的取值X 围为[－2，＋∞)． 16．给出以下四个命题：①若集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，A ＝B ，则x ＝1，y ＝0；②若函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)； ③函数f (x )＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)；④若f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (1)＝1，则f 2f 1＋f 4f 3＋…＋f 2 018f 2 017＋f 2 020f 2 019＝2 020.其中正确的命题有__①②__.(写出所有正确命题的序号)解析：①由A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，A ＝B 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＝x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝x 2.(舍)故x ＝1，y＝0，正确；②由函数f (x )的定义域为(－1,1)，得函数f (2x ＋1)满足－1＜2x ＋1＜1，解得－1＜x ＜0，即函数f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)，正确；③函数f (x )＝1x的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，不能用并集符号，错误；④由题意f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (1)＝1，则f 2f 1＋f 4f 3＋…＋f 2 018f 2 017＋f 2 020f 2 019＝f 1·f 1f 1＋f 3·f 1f 3＋…＋f 2 017·f 1f 2 017＋f 2 019·f 1f 2 019＝f (1)＋f (1)＋…＋f (1)＝1＋1＋…＋1＝1010，错误．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |mx ＋2＝0}． (1)若A ∪(∁R B )＝R ，某某数a 的取值X 围； (2)若C ∩B ＝C ，某某数m 的取值X 围．解：(1)∵B ＝{x |1≤x ≤2}，∴∁R B ＝{x |x ＜1或x ＞2}．又∵A ＝{x |x ＜a }，A ∪(∁R B )＝R ，∴a ＞2，即实数a 的取值X 围是(2，＋∞)． (2)∵C ∩B ＝C ，∴C ⊆B . 当C ＝∅时，m ＝0符合题意．当C ≠∅时，由mx ＋2＝0得x ＝－2m ，故1≤－2m≤2，解得－2≤m ≤－1.综上可知，实数m 的取值X 围为[－2，－1]∪{0}．18．(12分)若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |x 2＋x ＋a ＝0}，且B ⊆A ，某某数a 的取值X 围．解：A ＝{－3,2}．对于x 2＋x ＋a ＝0，①当Δ＝1－4a ＜0，即a ＞14时，B ＝∅，B ⊆A 成立；②当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，B ⊆A 不成立；③当Δ＝1－4a ＞0，即a ＜14时，若B ⊆A 成立，则B ＝{－3,2}，∴a ＝－3×2＝－6. 综上，a 的取值X 围为a ＞14或a ＝－6.19．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1(a ≠0)． (1)若函数f (x )有两个零点，某某数a 的取值X 围；(2)若函数f (x )在区间(0,1)与(1,2)上各有一个零点，某某数a 的取值X 围．解：(1)函数f (x )有两个零点，即方程ax 2－2x ＋1＝0(a ≠0)有两个不等实根，令Δ＞0，即4－4a ＞0，解得a ＜1.又因为a ≠0，所以实数a 的取值X 围为(－∞，0)∪(0,1)．(2)若函数f (x )在区间(0,1)与(1,2)上各有一个零点，由f (x )的图像过点(0,1)可知，只需⎩⎪⎨⎪⎧f 0＞0，f 1＜0，f 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＞0，a －1＜0，4a －3＞0，解得34＜a ＜1.所以实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1. 20．(12分)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定X 围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/米3)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4＜x ≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/米3)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据：2取1.4)．解析：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f (x )＝4y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x－4，0≤x ≤4，20－2x ，4＜x ≤10.则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4.当4＜x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4＜x ≤8.综上，得0≤x ≤8，即若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天． (2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度g (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－x －6－1＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x－a －4≥214－x ·16a14－x－a －4＝8a －a －4.因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4.所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4. 令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6. 21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )＜0的解集；(2)若对一切x ＞2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)g (x )＝2x 2－4x －16＜0，即(2x ＋4)(x －4)＜0， ∴－2＜x ＜4，∴不等式g (x )＜0的解集为{x |－2＜x ＜4}． (2)∵f (x )＝x 2－2x －8.当x ＞2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15，即x 2－4x ＋7≥m (x －1)．∴对一切x ＞2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立．而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2x －1×4x －1－2＝2(当且仅当x ＝3时等号成立)，∴实数m 的取值X 围是(－∞，2]．22．(12分)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，且函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(1)求f (－1)，并证明函数y ＝f (x )是偶函数；(2)若f (4)＝2，解不等式f (x －5)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ≤1.解：(1)令x ＝y ≠0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0. 再令x ＝1，y ＝－1可得f (－1)＝f (1)－f (－1) ＝－f (－1)，∴f (－1)＝0.证明：令y ＝－1可得f (－x )＝f (x )－f (－1)＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)∵f (2)＝f (4)－f (2)，∴f (2)＝12f (4)＝1.又f (x －5)－f (3x )＝f (x 2－5x 3)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5x 3≤f (2)．∵f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增， ∴－2≤x 2－5x3≤2且x 2－5x3≠0，解得－1≤x ＜0或0＜x ≤2或3≤x ＜5或5＜x ≤6.所以不等式的解集为{x |－1≤x ＜0或0＜x ≤2或3≤x ＜5或5＜x ≤6}．。

高中数学本册综合测试题(B)新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学试题

本册综合测试题(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014～2015学年度某某德阳五中高一上学期月考)若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >a }，满足A ⊆B ，则实数a 的取值X 围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a ≥1D ．a ≤2[答案] A[解析] 将集合A 、B 分别表示在数轴上，如图所示．∵A ⊆B ，∴a ≤1.2．(2014～2015学年度某某市第一中学高一上学期期中测试)函数g (x )＝2x＋5x 的零点所在的一个区间是( )A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(1,2)D ．(－2，－1)[答案] B[解析] g (－1)＝12－5<0，g (0)＝20＝1>0，故选B ．3．已知f (x 2)＝ln x ，则f (3)的值是( ) A ．ln3 B ．ln8 C ．12ln3 D ．－3ln2[答案] C[解析] 设x 2＝t ，∵x >0，x ＝t ， ∴f (t )＝ln t ＝12ln t ，∴f (x )＝12ln x ，∴f (3)＝12ln3.4．(2014～2015学年度某某某某中学高一上学期月考)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (－2)＝( )A ．－5B ．5C ．3D ．－3[答案] B[解析] ∵x >0时，f (x )＝x 2＋1，∴f (2)＝5. 又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)＝5.5．若m ＝(2＋3)－1，n ＝(2－3)－1，则(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2的值是( ) A ．1 B ．14 C ．22D ．23[答案] D[解析] ∵m ＝(2＋3)－1＝2－3，n ＝(2－3)－1＝2＋ 3.∴(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2＝3＋32＋3－323－323＋32＝2436＝23. 6．函数f (x )＝x 2－5x ＋6x －2的定义域是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x <2或x >3}C ．{x |x ≤2或x ≥3}D ．{x |x <2或x ≥3}[答案] D[解析] 解法一：验证排除法：x ＝3时，函数f (x )有意义，排除A 、B ；x ＝2时，函数f (x )无意义，排除C ，故选D ．解法二：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6≥0x －2≠0，解得x <2或x ≥3，故选D ．7．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．根据已知信息，题中二次函数图象不具有的性质是( ) A ．过点(3,0) B ．顶点(2，－2) C ．在x 轴上截线段长是2 D ．与y 轴交点是(0,3) [答案] B[解析] ∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(1,0)， ∴1＋b ＋c ＝0，又二次函数的图象关于直线x ＝2对称，∴b ＝－4，∴c ＝3.∴y ＝x 2－4x ＋3，其顶点坐标为(2，－1)，故选B ．8．(2015·某某文，3)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．b <c <a[答案] C[解析] ∵c ＝1.50.6＞1,0＜b ＝0.61.5＜0.60.6＝a ＜1，∴b ＜a ＜c .9．(2014～2015学年度某某某某市金台区高一上学期期中测试)若lg a ＋lg b ＝0(a ≠1，b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝b x 的图象( )A ．关于直线y ＝x 对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称[答案] C[解析] ∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg ab ＝0，∴ab ＝1，∴b ＝1a.∴f (x )＝a x 与g (x )＝b x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 的图象关于y 轴对称．10．函数f (x )＝log 2(－x 2＋1)的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0]D ．[0,1)[答案] C[解析] 由－x 2＋1>0，得－1<x <1.令u ＝－x 2＋1(－1<x <1)的单调递增区间为(－1,0]，又y ＝log2u 为增函数，∴函数f (x )的单调递增区间为(－1,0]．11．(2015·某某理，10)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1x ＜12xx ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值X 围是( )A ．[23，1]B ．[0,1]C ．[23，＋∞)D ．[1，＋∞)[答案] C[解析] 由f (f (a ))＝2f (a )可得f (a )≥1，故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12a≥1，二者取并集即得a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，故选C ． 12．已知某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝0.1x 2－11x ＋3 000，每台产品的售价为25万元，则生产者为获得最大利润，产量x 应定为( )A ．55台B ．120台C ．150台D ．180台[答案] D[解析] 设利润为S ，由题意得，S ＝25x －y ＝25x －0.1x 2＋11x －3 000＝－0.1x 2＋36x －3 000＝－0.1 (x －180)2＋240， ∴当产量x ＝180台时，生产者获得最大利润，故选D ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)已知f (x )＝x 22－x＋(3x ＋1)0，则函数f (x )的定义域为________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2 [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2－x >03x ＋1≠0，∴x <2，且x ≠－13，故函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2.14．(2014～2015学年度某某南开中学高一上学期期中测试)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1x <1－2x ＋3x ≥1，则f [f (2)]＝____.[答案] 2[解析] f (2)＝－4＋3＝1，f (－1)＝(－1)2＋1＝2， ∴f [f (2)]＝f (－1)＝2.15．(2014～2015学年度某某一中高一上学期期中测试)函数y ＝x 2＋1，x ∈[－1,2]的值域为__________．[答案] [1,5][解析] ∵x ∈[－1,2]，∴当x ＝0时，y min ＝1，当x ＝2时，y max ＝5. ∴函数y ＝x 2＋1，x ∈[－1,2]的值域为[1,5]．16．设M 、N 是非空集合，定义M ⊙N ＝{x |x ∈M ∪N 且x ∉M ∩N }．已知M ＝{x |y ＝2x －x 2}，N ＝{y |y ＝2x ，x >0}，则M ⊙N 等于________．[答案] {x |0≤x ≤1或x >2}[解析] ∵M ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |y >1}，∴M ∩N ＝{x |1<y ≤2}，M ∪N ＝{x |x ≥0}， ∴M ⊙N ＝{x |0≤x ≤1或x >2}．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2014～2015学年度某某某某市十三校高一上学期期中测试)已知非空集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，且A ∩B ＝A ，某某数a 的取值X 围．[解析] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ． ∴当A ＝∅时，2a －2≥a ，∴a ≥2.当A ≠∅时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a2a －2≥2，解得a ≤1.综上可知，实数a 的取值X 围是a ≤1或a ≥2.18．(本小题满分12分)(2014～2015学年度某某某某中学高一上学期期中测试)计算下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412 －(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫33823 ＋(1.5)2＋(2×43)4； (2)lg 25＋lg2×lg500－12lg 125－log 29×log 32.[解析] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412 －(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫33823 ＋(1.5)2＋(2×43)4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412 －(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫27823 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫212×3144＝32－1－94＋94＋12＝252. (2)lg 25＋lg2×lg500－12lg 125－log 29×l og 32＝lg 25＋lg2(2＋lg5)－lg 15－lg9lg2×lg2lg3＝lg5(lg2＋lg5)＋lg4＋lg5－2 ＝lg100－2＝2－2＝0.19．(本小题满分12分)(2014～2015学年度某某省实验中学高一月考)已知二次函数f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，x ∈[－5,5]．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)某某数k 的取值X 围，使函数y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． [解析] (1)当k ＝1时，f (x )＝2x 2－2x －5＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －122－112，∵x ∈[－5,5]，∴当x ＝12时，f (x )min ＝－112，当x ＝－5时，f (x )max ＝55.(2)当k ＝0时，f (x )＝－2x －2在区间[－5,5]上是减函数，当k ≠0时，由题意得12k ≥5或12k≤－5， ∴0<k ≤110或－110≤k <0.综上可知，实数k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－110，110.20．(本小题满分12分)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收入最大？最大月收入是多少元？ [解析] (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为3 600－3 00050＝12，所以能租出100－12＝88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x (x 为50的整数倍)元时，租赁公司的月收入为y 元，则y ＝⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050·(x －150)－x －3 00050×50＝－150x 2＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.所以当x ＝4 050时，y max ＝307 050.故当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收入最大，最大月收入为307 050元．21．(本小题满分12分)(2014～2015学年度某某省实验中学高一月考)已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )．(1)求f (1)的值；(2)已知f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求a 的取值X 围； (3)证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )．[解析] (1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0.(2)∵f (xy )＝f (x )＋f (y ), f (3)＝1， ∴f (9)＝f (3)＋f (3)＝2.∴f (a )>f (a －1)＋2化为f (a )>f (a －1)＋f (9)＝f (9a －9)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －1>0a >9a －9，解得1<a <98.(3)∵f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y·y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋f (y )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y＝f (x )－f (y )．22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝lg(m x－2x)(0<m <1)． (1)当m ＝12时，求f (x )的定义域；(2)试判断函数f (x )在区间(－∞，0)上的单调性并给出证明； (3)若f (x )在(－∞，－1]上恒取正值，求m 的取值X 围．[解析] (1)当m ＝12时，要使f (x )有意义，须(12)x －2x >0，即2－x >2x，可得：－x >x ，∴x <0∴函数f (x )的定义域为{x |x <0}．(2)设x 2<0，x 1<0，且x 2>x 1，则Δ＝x 2－x 1>0 令g (x )＝m x－2x，则g (x 2)－g (x 1)＝m x2－2 x2－m x1＋2 x1 ＝m x2－m x1＋2 x1－2 x 2 ∵0<m <1，x 1<x 2<0， ∴m x2－m x1<0,2 x1－2 x2<0g (x 2)－g (x 1)<0，∴g (x 2)<g (x 1)∴lg[g (x 2)]<lg[g (x 1)]， ∴Δy ＝lg(g (x 2))－lg(g (x 1))<0， ∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．(3)由(2)知：f (x )在(－∞，0)上是减函数， ∴f (x )在(－∞，－1]上也为减函数，∴f (x )在(－∞，－1]上的最小值为f (－1)＝lg(m －1－2－1) 所以要使f (x )在(－∞，－1]上恒取正值，只需f (－1)＝lg(m －1－2－1)>0，即m －1－2－1>1，∴1m >1＋12＝32，∵0<m <1，∴0<m <23.。

高中数学第一章集合综合测试(B)新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学试题

第一章综合测试(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014～2015学年度某某育才中学高一上学期月考)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x 2－y 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－4，故选D ．2．(2015·新课标Ⅱ理，1)已知集合A ＝{－2，－1,0,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}[答案] A[解析] 由已知得B ＝{x |－2<x <1}，故A ∩B ＝{－1,0}，故选A ．3．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)已知全集U ＝{0,1,2}，且∁U A ＝{2}，则集合A 等于( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{1}D ．∅ [答案] B[解析] ∵U ＝{0,1,2}，且∁U A ＝{2}，∴A ＝{0,1}．4．(2014～2015学年度德阳五中高一上学期月考)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，P ＝{1,2,3,4,5}，Q ＝{3,4,5,6,7}，则P ∪(∁U Q )＝( )A ．{1,2}B ．{3,4,5}C ．{1,2,6,7}D ．{1,2,3,4,5} [答案] D[解析] ∁U Q ＝{1,2}，P ∪(∁U Q )＝{1,2,3,4,5}．5．(2015·某某理，1)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A BD ．B A[答案] D[解析] 根据子集的定义，B A，故选D．6．(2014～2015学年度某某某某市高一上学期期中测试)已知集合M＝{x|y＝2－x}，N ＝{y|y＝x2}，则M∩N＝( )A．∅B．{(1,1)}C．{x|x≥0} D．{y|y>0}[答案] C[解析] M＝{x|y＝2－x}＝R，N＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，∴M∩N＝{x|x≥0}．7．(2014·某某文，1)设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝( )A．(－∞，5] B．[2，＋∞)C．(2,5) D．[2,5][答案] D[解析] S∩T＝{x|x≥2}∩{x|x≤5}＝{x|2≤x≤5}，故选D．8．已知A∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A共有( )A．2个B．4个C．6个D．8个[答案] B[解析] ∵A∩{－1,0,1}＝{0,1}，∴0∈A,1∈A．又∵A∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，∴－2,2可能是集合A的元素，也可能不是集合A的元素．∴A＝{0,1}或A＝{0,1，－2}，或A＝{0,1,2}，或A＝{0,1，－2,2}．9．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{1,3,4}B．{2,4}C．{4,5}D．{4}[答案] D[解析] A∩B＝{1,2,3}∩{2,4}＝{2}，图中阴影部分所表示的集合是∁B(A∩B)＝{4}．10．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则( )A ．a ＝3，b ＝2B ．a ＝2，b ＝3C ．a ＝－3，b ＝－2D ．a ＝－2，b ＝－3[答案] B[解析] ∵A ∩B ＝{(2,5)}，∴(2,5)∈A ，(2,5)∈B ， ∴5＝2a ＋1,5＝2＋b ，∴a ＝2，b ＝3.11．已知集合A ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0}，若A ∩R ＝∅，则实数m 的取值X 围是( ) A ．m <4 B ．m >4 C ．0<m <4 D ．0≤m <4[答案] A[解析] ∵A ∩R ＝∅，∴A ＝∅，即方程x 2＋mx ＋1＝0无解，∴Δ＝(m )2－4<0， ∴m <4.12．在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d ⊗(a ⊕c )＝( ) A ．a B ．b C ．c D ．d[答案] A[解析] 由题中表格可知，a ⊕c ＝c ，d ⊗(a ⊕c )＝d ⊗c ＝a ，故选A ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．若{a,0,1}＝{c ，1b，－1}，则a ＝______，b ________，c ＝________.[答案] －1 1 0[解析] ∵1b≠0，∴c ＝0，a ＝－1，b ＝1.14．(2014～2015学年度某某启东中学高一上学期月考)若集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∩B ＝________.[答案] {x |2<x <3}[解析] A ∩B ＝{x |1<x <3}∩{x |2<x <4} ＝{x |2<x <3}．15．已知U ＝{2,3，a 2＋6a ＋13}，A ＝{|a －1|,2}，∁U A ＝{5}，则实数a ＝________. [答案] －2[解析] ∵∁U A ＝{5}，∴5∉A,5∈U ，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a －1|＝3a 2＋6a ＋13＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝3a 2＋6a ＋8＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－3a 2＋6a ＋8＝0，解得a ＝－2.16．有15人进家电超市，其中有8人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有2人，则这两种都没买的有________人．[答案] 2[解析] 设两种都没买的有x 人，由题意知，只买电视的有6人，只买电脑的有5人，两种均买了的有2人，∴6＋5＋2＋x ＝15，∴x ＝2.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)设全集U ＝{x ∈Z |0≤x ≤10}，A ＝{1,2,4,5,9}，B ＝{4,6,7,8,10}，C ＝{3,5,7}．求：A ∪B ，(A ∩B )∩C ，(∁U A )∩(∁U B )．[解析] U ＝{x ∈Z |0≤x ≤10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A ∪B ＝{1,2,4,5,6,7,8,9,10}， A ∩B ＝{4}，(A ∩B )∩C ＝{4}∩{3,5,7}＝∅. ∁U A ＝{0,3,6,7,8,10}， ∁U B ＝{0,1,2,3,5,9}， ∴(∁U A )∩(∁U B )＝{0,3}．18．(本小题满分12分)(2014～2015学年度某某师X 大学附属第二中学高一上学期月考)已知全集U ＝{x |x －2≥0或x －1≤0}，A ＝{x |x <1或x >3}，B ＝{x |x ≤1或x >2}．求：A ∩B ，A ∪B ，(∁U A )∩(∁U B )，(∁U A )∪(∁U B )．[解析] U ＝{x |x ≥2或x ≤1}，∴∁U A ＝{x |x ＝1或2≤x <3}，∁U B ＝{x |x ＝2}． ∴A ∩B ＝{x |x <1或x >3}，A ∪B ＝{x |x ≤1或x >2}，(∁U A )∩(∁U B )＝{x |x ＝2}，(∁U A )∪(∁U B )＝{x |x ＝1或2≤x <3}．19．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}中只有一个元素，试求出实数k 的值，并用列举法表示集合A ．[解析] ∵集合A 中只有一个元素，∴方程kx 2－8x ＋16＝0只有一个实根或有两个相等的实数根．①当k ＝0时，方程－8x ＋16＝0只有一个实数根2，此时A ＝{2}． ②当k ≠0时，由Δ＝(－8)2－64k ＝0，得k ＝1，此时A ＝{x |x 2－8x ＋16＝0}＝{4}．综上可知，k ＝0，A ＝{2}或k ＝1，A ＝{4}．20．(本小题满分12分)(2014～2015学年度某某正定中学高一上学期月考)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－1≤x ≤4m －2}，P ＝{x |x >2或x ≤1}．(1)若m ＝2，求M ∩P ；(2)若M ∩P ＝R ，某某数m 的取值X 围． [解析] (1)m ＝2时，M ＝{x |－1≤x ≤6}， ∴M ∩P ＝{x |－1≤x ≤1或2<x ≤6}． (2)若M ∪P ＝R ，则有4m －2≥2，∴m ≥1.21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x <－1或x ≥1}，B ＝{x |x ≤2a 或x ≥a ＋1}，若(∁R B )⊆A ，某某数a 的取值X 围．[解析] ∵B ＝{x |x ≤2a 或x ≥a ＋1}， ∴∁R B ＝{x |2a <x <a ＋1}．当2a ≥a ＋1，即a ≥1时，∁R B ＝∅⊆A ，当2a <a ＋1，即a <1时，∁R B ≠∅，要使∁R B ⊆A ，应满足a ＋1≤－1或2a ≥1，即a ≤－2或12≤a <1.综上可知，实数a 的取值X 围为a ≤－2或a ≥12.22．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |x 2－4ax ＋2a ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若A ∩B ≠∅，求a 的取值X 围．[解析] ∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅，即方程x 2－4ax ＋2a ＋6＝0有实数根，∴Δ＝(－4a )2－4(2a ＋6)≥0，即(a ＋1)(2a －3)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥02a －3≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤02a －3≤0，解得a ≥32或a ≤－1.①又B ＝{x |x <0}，∴方程x 2－4ax ＋2a ＋6＝0至少有一个负实数根．若方程x 2－4ax ＋2a＋6＝0没有负实数根，则需有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2＝4a ≥0x 1·x 2＝2a ＋6≥0，解得a ≥32.所以方程至少有一负实数根时有a <32.②由①②取得公共部分得a ≤－1.即当A ∩B ≠∅时，a 的取值X 围为a ≤－1.。

人教B版高中数学必修一练习册

《高中数学·函数》配套练习册目录第1节集合与集合的表示方法 ................................. - 3 - 第2节简单不等式........................................... - 5 - 第3节集合之间的关系和运算 ................................. - 6 - 复习一....................................................... - 8 - 第4节函数的定义.......................................... - 12 - 第5节函数的定义域和值域 .................................. - 13 - 第6节函数的表示方法...................................... - 16 - 第7节函数的性质1 ......................................... - 19 - 阶段测试卷.................................................. - 22 - 第8节函数的性质2 ......................................... - 25 - 第9节函数的性质3 ......................................... - 29 - 第10节一次、二次函数..................................... - 31 - 第11节函数的零点及应用................................... - 38 -复习二 ...................................................... - 41 - 第12节指数与指数函数 ..................................... - 47 - 第13节反函数 ............................................. - 51 - 第14节对数与对数函数 ..................................... - 52 - 第15节幂函数 ............................................. - 56 - 复习三 ...................................................... - 58 - 综合测试卷 .................................................. - 61 -第1节集合与集合的表示方法1、下列各组对象中不能构成集合的是（）。

(人教版B版)高中数学必修第一册第三章综合测试试卷01及答案

第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知2()1f x x =+，则[(1)]f f -的值等于（）A .2B .3C .4D .52.已知函数()1f x x =+，其定义域为{1,0,1,2}-，则函数的值域为（）A .[0,3]B .{0,3}C .{0,1,2,3}D .{|0}y y …3.函数y = ）A .{|01}x x ……B .{| 1 1}x x x --＜或＞C .{|01}x x x ¹-＜且D .{}|1 0x x x ¹-¹且4.已知二次函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且函数图像截x 轴所得的线段长为8，则函数()y f x =的零点为（）A .2，6B .2，6-C .2-，6D .2-，6-5.若函数()y f x =的定义域是{|01}x x ≤≤，则函数()()(2)(01)F x f x a f x a a =+++＜＜的定义域是（）A .1|22a a x x -ìü-íýîþ≤B .|12a x x a ìü--íýîþ≤C .{|1}x a x a --≤≤D .1|2a x a x -ìü-íýîþ≤≤6.如图所示，可表示函数()y f x =的图像的只可能是（）A B C D7.已知函数2()1f x ax bx =++为定义在[2,1]a a -上的偶函数，则a b +的值是（）A .1B .1-C .1或1-D .0或18.若()f x 满足()()f x f x -=-，且在(,0)-¥上是增函数，(2)0f -=，则()0xf x ＜的解集是（）A .(2,0)(0,2)-UB .(,2)(0,2)-¥-UC .(,2)(2,)-¥-+¥U D .(2,0)(2,)-+¥U 9.设函数()f x 与()g x 的定义域是{|1}x x Î¹±R ，函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于（）A .2221x x -B .211x -C .221x -D .221x x -10.已知2()21(0)f x ax ax a =++＞，若()0f m ＜，则(2)f m +与1的大小关系式为（）A .(2)1f m +＜B .(2)1f m +=C .(2)1f m +＞D .(2)1f m +…11.函数()f x =（）A .是奇函数但不是偶函数B .是偶函数但不是奇函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数又不是偶函数12.已知2()2f x x x =+，若存在实数t ，使()3f x t x +…对[1,]x m Î恒成立，则实数m 的最大值是（）A .6B .7C .8D .9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.已知1,[0,1],()2,[0,1],x f x x x Îì=í-Ïî，当[()]1f f x =时，x Î__________.14.关于x 的方程240x x a --=有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为__________.15.已知函数719()1x f x x +=+，则()f x 的图像的对称中心是__________，集合{}*|()x f x Î=N __________.16.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则52f f æöæöç÷ç÷èøèø的值是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数2()2||1f x x x =--.（1）利用绝对值及分段函数知识，将函数()f x 的解析式写成分段函数；（2）在坐标系中画出()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的单调区间和值域.18.（本小题满分12分）已知函数()f x 对任意实数x 均有()2(1)f x f x =-+，且()f x 在区间[0]1，上有解析式2()f x x =.（1）求(1)f -和(1.5)f 的值；（2）写出()f x 在区间[2,2]-上的解析式.19.（本小题满分12分）函数2()1ax bf x x +=+是定义在(,)-¥+¥上的奇函数，且1225f æö=ç÷èø.（1）求实数a ，b 的值.（2）用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数；（3）写出()f x 的单调减区间，并判断()f x 有无最大值或最小值.如有，写出最大值或最小值（无需说明理由）.20.（本小题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x ，且(1)f x -的图像关于点(1,0)对称，当0x ＞时，1()3x f x x=-.（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t ÎR ，不等式()()22220f t t f t k -+-＜恒成立，求实数k 的取值范围.21.（本小题满分12分）对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足下列条件：①()f x 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[,]a b D Í，使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()()x D y f x =Î为闭函数.（1）求闭函数3y x =-符合条件②的区间[,]a b .（2）判断函数31()(0)4f x x x x=+＞是否为闭函数？并说明理由；（3）判断函数y k =+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k 的取值范围.22.（本小题满分12分）设函数()f x 的定义域为R ，当0x ＞时，()1f x ＞，对任意,x y ÎR ，都有()()()f x y f x f y +=g ，且(2)4f =.（1）求(0)f ，(1)f 的值.（2）证明：()f x 在R 上为单调递增函数.（3）若有不等式1()2f x f x x æö+ç÷èøg ＜成立，求x 的取值范围.第三章测试答案解析一、1.【答案】D【解析】由条件知(-1)2f =，(2)5f =，故选D .2.【答案】C【解析】将x 的值依次代入函数表达式可得0，1，2，3，所以函数的值域为{0,1,2,3}，故选C .3.【答案】C【解析】由条件知10x +¹且0x x -＞，解得0x ＜且1x ¹-.故选C 4.【答案】C【解析】由于函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，所以直线2x =为二次函数()y f x =图像的对称轴，根据二次函数图像的性质，图像与x 轴的交点必关于直线2x =对称.又两交点间的距高为8，则必有两交点的横坐标分别为1246x =+=，2242x =-=-.故函数的零点为2-，6.故选C .5.【答案】A【解析】由条件知01,021,x a x a +ìí+î…………，又01a ＜＜则122a ax --≤≤，故选A .6.【答案】D【解析】由函数定义可得，任意一个x 有唯一的y 与之对应，故选D .7.【答案】B【解析】因为函数2()1f x ax bx =++为定义在[2,1]a a -上的偶函数，所以21a a =-，1a =-，0b =，因此1a b +=-，故选B.8.【答案】A【解析】根据题意可知函数是奇函数，且在(,0)-¥，(0,)+¥上是增函数，对()0xf x ＜，分0x ＞，0x ＜进行讨论，可知解集为(2,0)(0,2)-U ，故选A.9.【答案】B【解析】1()()1f x g x x -=-∵，1()()1f x g x x ---=--∴，1()()1f xg x x +=--∴，21122()111f x x x x =-=-+-∴，21()1f x x =-，故选B .10.【答案】C【解析】因为2()21(0)f x ax ax a =++＞，所以其图像的对称轴为直线1x =-，所以()(2)0f m f m =--＜，又(0)1f =，所以(2)1f m +＞，故选C .11.【答案】A【解析】由定义城可知x ，因此原式化简为()f x =，那么根据函数的奇偶性的定义，可知该函数是奇函数不是偶函数，故选A .12.【答案】C【解析】由题意知，对任意[1,]x m Î，2()2()3x t x t x +++…恒成立，这个不等式可以理解为()f x t +的图像在直线3y x =的图像的下面时x 的取值范围.要使m 最大，需使两图像交点的横坐标分别为1和m .当1x =时，3y =，代入可求得4t =-（0t =舍去）.进而求得另一个交点为(8,24)，故8m =.故选C.二、13.【答案】[0,1][2,3]{5}U U 【解析】因为1,[0,1],()2,[0,1],x f x x x Îì=í-Ïî所以要满足元[()]1f f x =，需()[0,1]f x Î，[0,1]x Î或2[0,1]x -Î或5x =，这样解得x 的取值范围是[0,1][2,3]{5}U U .14.【答案】(0,4)【解析】原方程等价于24x x a -=，在同一坐标系内作出函数24y x x =-与函数y a =的图像，如图所示：平移直线y a =，可得当04a ＜＜时，两图像有4个不同的公共点，相应地方程240x x a --=有4个不相等的实数根，综上所述，可得实数a 的范围为04a ＜＜.15.(1,7)-{13,7,5,4,3,0,1,2,3,5,11}-----【解析】因为函数71912()711x f x x x +==+++，则()f x 的图像的对称中心为(1,7)-，集合{|()}{13,7,5,4,3,0,1,2,3,5,11}x f x *Î=-----N 16.【答案】0【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，因此令12x =-，可知11112222f f æöæö-=-ç÷ç÷èøèø，所以102f æö=ç÷èø，分别令32x =-，52x =-，可得302f æö=ç÷èø，502f æö=ç÷èø，令1x =-.得(0)0f =，因此可知502f f æöæö=ç÷ç÷èøèø.三、17.【答案】（1）22321,0()2||121,0x x x f x x x x x x ì--=--=í+-î＜….（2）图像如图所示.单调增区间为(1,0)-，(1,)+¥，单调减区间为(,1)-¥-，(0,1).值域为[2,)-+¥.18.【答案】（1）由题意知(1)2(11)2(0)0f f f -=--+=-=，1111(1,5)(10.5)(0.5)2248f f f =+=-=-´=-.（2）当[0,1]x Î时，2()f x x =；当(1,2]x Î时，1(0,1]x -Î，211()(1)(1)22f x f x x =--=--；当[1,0)x Î-时，1[0,1)x +Î，2()2(1)2(1)f x f x x =-+=-+；当[2,1)x Î--时，1[1,0)x +Î-，22()2(1)22(11)4(2)f x f x x x éù=-+=-´-++=+ëû.所以22224(2),[2,1),2(1),[1,0),(),[0,1],1(1),(1,2].2x x x x f x x x x x ì+Î--ï-+Î-ïï=íÎïï--Îïî19.【答案】（1）2()1ax bf x x +=+∵是奇函数()()f x f x -=-∴，2211ax b ax bx x -++=-++∴，0b =∴.故2()1axf x x =+，又1225f æö=ç÷èø∵，1a =∴（2）证明：由（1）知2()1xf x x =+，任取1211x x -＜＜＜，()()()()()()1212121222121211111x x x x x xf x f x x x x x ---=-=++++1211x x -∵＜＜＜，1211x x -∴＜＜，120x x -＜，1210x x -＞，2110x +＞，2210x +＞，()()120f x f x -∴＜，即()()12f x f x ＜，()f x ∴在(1,1)-上是增函数.（3）单调减区间为(,1),(1,)-¥-+¥.当1x =-时，min 1()2f x =-；当1x =时，max 1()2f x =.20.【答案】（1）由题意知()f x 的图像关于点(0,0)对称，是奇函数，∴(0)0f =当0x ＜时，0x -＞，1()3x f x x--=--∴，又∵函数()f x 是奇函数.∴()()f x f x -=-，1()3x f x x=-∴.综上所述，1(0),()30(0).x x f x xx ì-¹ï=íï=î（2）2(1)(0)03f f =-=∵＜，且()f x 在R 上单调.∴()f x 在R 上单调递减.由()()22220f t t f t k -+-＜，得()()2222f t t f t k ---＜.∵()f x 是奇函数，∴()()2222f t t f k t --＜，又∵()f x 是减函数，∴2222t t k t --＞即2320t t k --＞对任意t ÎR 恒成立，∴4120k D =+＜，得13k -＜.21.【答案】（1）由题意，3y x =-，在[,]a b 上单调递减，则33,,,b a a b b a ì=-ï=-íï>î解得1,1,a b =-ìí=î所以，所求区间为[1,1]-.（2）取11x =，210x =，则()()1273845f x f x ==，即()f x 不是(0,)+¥上的减函数.取，1110x -=，21100x =，()()12331010040400f x f x =++=＜，即()f x 不是(0,)+¥上的增函数.所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数.（3）若y k =是闭函数，则存在区间[,]a b ，在区间[,]a b 上，函数()f x 的值域为[,]a b，即a kb k ì=ïí=+ïî∴a ，b为方程x k =+的两个实根，即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=-……有两个不等的实根，故两根均大于等于2-，且对称轴在直线2x =-的右边.当2k -…时，有220,(2)2(21)20,212,2k k k ìïD ï-+++-íï+ï-î＞…解得924k --….当2k -＞时，有220,(21)20,21,2k k k k k k ìïD ï-++-íï+ïî＞＞…无解.综上所述，9,24k æùÎ--çúèû.22.【答案】（1）因为(20)(2)(0)f f f +=g ，所以44(0)f =×，所以(0)1f =，又因为24(2)(11)(1)f f f ==+=，且当0x ＞时，()1f x ＞，所以(1)2f =.（2）证明：当0x ＜时，0x -＞，所以()1f x -＞，而(0)[()]()()f f x x f x f x =+-=-g ，所以1()()f x f x =-，所以0()1f x ＜＜，对任意的12,x x ÎR ，当12x x ＜时，有()()()]()()()1212222121f x f x f x x x f x f x f x x -=é-+-=--ë，因为120x x ＜＜，所以120x x -＜，所以()1201f x x -＜＜，即()1210f x x --＜，所以()()120f x f x -＜，即()()12f x f x ＜，所以()f x 在R 上是单调递增函数.（3）因为1()12f x f x æö+ç÷èøg ＜，所以11(1)f x f x æö++ç÷èø＜，而()f x 在R 上是单调递增函数，所以111x x ++，即10x x+＜，所以210x x +＜，所以0x ＜，所以x 的取值范围是(,0)-¥.。

新教材人教B版高中数学必修第一册练习-集合及其表示方法答案含解析

1.1.1集合及其表示方法第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.1集合及其表示方法考点1元素与集合的概念1.(2019·江西临川一中高一期中)下列所给对象不能组成集合的是()。

A.一个平面内的所有点B.所有小于零的实数C.某校高一(1)班的高个子学生D.某一天到某商场买过货物的顾客答案：C解析：A.“一个平面内的所有点”的标准确定,能组成集合;B.“所有小于零的实数”的标准确定,能组成集合;C.“某校高一(1)班的高个子学生”的标准不确定,因而不能组成集合;D.“某一天到某商场买过货物的顾客”的标准确定,能组成集合。

2.(2019·北京通州区高一期中)把“notebooks”中的字母组成一个集合,则该集合中的元素个数是()。

A.5B.6C.7D.8答案：C3.已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是()。

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案：D4.(2019·丹东东港二中检测)已知集合A={2,-1},集合B={m2-m,-1},且A=B,则实数m等于()。

A.2B.-1C.2或-1D.4答案：C5.由实数x ,-x ,|x |,√x 2,-√x 33所组成的集合中最多含有( )。

A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素答案：A解析： ∵√x 2=|x |,-√x 33=-x ,|x |=±x ,∴由实数x ,-x ,|x |,√x 2,-√x 33所组成的集合中最多含有2个元素。

故选A 。

【易错点拨】集合中的元素必须是互异的,求解出集合中的参数,必须代入集合中一一检验元素的互异性。

考点2元素与集合的关系6.(2019·山东德州高一(上)期中)已知方程x 2-16=0的解是集合A 中的元素,则下列关系不正确的是( )。

A.4∈AB.{-4}∈AC.-4∈AD.4∈A 且-4∈A 答案：B7.(2019·北京朝阳区陈经纶中学高一(上)期中)已知集合A ={x |x (x -1)=0},那么( )。

人教B版高中数学必修一人教版B版综合试题

绝密★启用前人教版B版必修一数学综合试题考试范围：必修一；考试时间：120分钟；命题人：学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y|y=x2-1}与集合{（x，y）|y=x2-1}是同一个集合；（3）1，32，64，|−12|，0.5这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．A.0个B.1个C.2个D.3个2.若函数f（x）=lg（x2+ax-a-1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.（-3，+∞）B.[-3，+∞）C.（-4，+∞）D.[-4，+∞）3.已知函数y =f （x ）的定义域为（0，+∞），当x ＞1时，f （x ）＜0，且对任意的x ，y ∈R ，恒有f （xy ）=f （x ）+f （y ），则不等式f （x ）+f （x -2）≥f （8）的解集为（） A.（2，4] B.[-2，4]C.[4，+∞）D.（-∞，-2]∪[4，+∞） 4.函数y =√log 12(5x −2)的定义域是（）A.[35，+∞）B.（25，+∞）C.[25，35]D.（25，35]5.已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，f （1）=1，且对任意x ∈R 都有f （x +4）=f （x ），则f （99）等于（）A.-1B.0C.1D.996.已知a =20.3，b =log 0.23，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是（） A.a ＜b ＜c B.c ＜b ＜a C.b ＜a ＜c D.b ＜c ＜a7.设f （x ）是定义在实数集R 上的函数，满足条件y =f （x +1）是偶函数，且当x ≥1时，f （x ）=（12）x -1，则f （23），f （32），f （13）的大小关系是（）A.f （23）＞f （32）＞f （13）B.f （23）＞f （13）＞f （32）C.f （32）＞f （32）＞f （13） D.f （13）＞f （32）＞f （23）8.定义在R 上的奇函数f （x ），当x ＜0时，f(x)=1x+1，则f(12)等于（） A.23 B.-23 C.2 D.-2 9.函数f(x)=log 5(6x +1)的值域为（）A.（0，+∞）B.[0，+∞）C.（1，+∞）D.[1，+∞） 10.函数y =12x 2−lnx 的单调减区间是（）A.（0，1）B.（0，1）∪（-∞，-1）C.（-∞，1）D.（-∞，+∞）11.下列函数中，既是偶函数又在（-∞，0）上单调递增的函数是（） A.y =x 2B.y =e xC.y =log 0.5|x |D.y =sinx12.已知奇函数f （x ）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且不等式f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0对任意两个不相等的正实数x 1，x 2都成立，在下列不等式中，正确的是（） A.f （-5）＞f （3） B.f （-5）＜f （3） C.f （-3）＞f （-5） D.f （-3）＜f （-5）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.如果关于x 的不等式2kx 2+kx -38＜0对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是______．14.函数y=lg（x2-1）的递增区间为______．15.已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的减函数，且f（x-1）＜f（1-3x），则x的取值范围是______．16.若方程|3x-1|=k有两个不同解，则实数k的取值范围是______．三、解答题(本大题共5小题，共70分)17.如图，在平面直角坐标系x O y中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系x O y中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18.设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c 的图象经过点（-1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数y=12x2+12的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．19.全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，（1）求A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；（2）若集合C={x|x＞a}，A⊆C，求a的取值范围．20.（1）已知f（x）的定义域为[-2，1]，求函数f（3x-1）的定义域；（2）已知f（2x+5）的定义域为[-1，4]，求函数f（x）的定义域．21.某单位决定建造一批简易房（房型为长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为x ，两侧墙的长为y ，所用材料费为p ，试用x ，y 表示p ；（2）在材料费的控制下简易房面积S 的最大值是多少？并指出前面墙的长度x 应为多少米时S 最大．【答案】1.A2.A3.A4.D5.C6.D7.A8.D9.A 10.A 11.C 12.C 13.（-3，0] 14.（1，+∞） 15.（12，23] 16.（0，1）17.解：（1）设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c ， ∵A （1，0）B （0，3）C （-4，0）， ∴{a +b +c =0c =316a −4b +c =0，解得：a =-34，b =-94，c =3，∴经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =-34x 2-94x +3；（2）在平面直角坐标系x O y 中存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形，理由为：∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，当BP 平行且等于AC 时，四边形ACBP 为菱形， ∴BP=AC=5，且点P 到x 轴的距离等于OB ，∴点P 的坐标为（5，3），当点P 在第二、三象限时，以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P 的坐标为（5，3）时，以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形18.解：（1）函数f （x ）=ax 2+bx +c 的图象经过点（-1，0），可得a -b +c =0，又a =1，b =2，则f （x ）=x 2+2x +1，由新定义可得g （x ）=x 为函数f （x ）的一个承托函数；（2）假设存在常数a ，b ，c ，使得y =x 为函数f （x ）的一个承托函数，且f （x ）为函数y =12x 2+12的一个承托函数．即有x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+12恒成立，令x =1可得1≤a +b +c ≤1，即为a +b +c =1，即1-b =a +c ，又ax 2+（b -1）x +c ≥0恒成立，可得a ＞0，且（b -1）2-4ac ≤0，即为（a +c ）2-4ac ≤0，即有a =c ；又（a -12）x 2+bx +c -12≤0恒成立，可得a ＜12，且b 2-4（a -12）（c -12）≤0，即有（1-2a ）2-4（a -12）2≤0恒成立．故存在常数a ，b ，c ，且0＜a =c ＜12，b =1-2a ，可取a =c =14，b =12．满足题意．19.解：（1）∵A={x |3≤x ＜10}，B={x |2＜x ≤7}，∴A ∩B=[3，7]；A ∪B=（2，10）；（C U A ）∩（C U B ）=（-∞，3）∪[10，+∞）；（2）∵集合C={x |x ＞a }，∴若A ⊆C ，则a ＜3，即a 的取值范围是{a |a ＜3}． 20.解：（1）∵函数y =f （x ）的定义域为[-2，1]，由-2≤3x -1≤1得：x ∈[-13，23]，故函数y =f （3x -1）的定义域为[-13，23]；’ （2）∵函数f （2x +5）的定义域为[-1，4]，∴x ∈[-1，4]， ∴2x +5∈[3，13]，故函数f （x ）的定义域为：[3，13]．21.解：（1）依题得，p =2x ×450+2y ×200+xy ×200=900x +400y +200xy 即p =900x +400y +200xy ；（2）∵S=xy ，∴p =900x +400y +200xy ≥2√900×400S +200S=200S+1200√S ，又因为p ≤3200，所以200S+1200√S ≤3200，解得-16≤√S ≤10，∵S ＞0，∴0＜S ≤100，当且仅当{xy =100900x=400y ，即x =203时S 取得最大值．答：每套简易房面积S 的最大值是100平方米，当S 最大时前面墙的长度是203米．【解析】1.解：（1）中很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性；（2）中集合{y |y =x 2-1}的元素为实数，而集合{（x ，y ）|y =x 2-1}的元素是点；（3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素；（4）集合{（x ，y ）|xy ≤0，x ，y ∈R}中还包括实数轴上的点．故选A（1）（3）中由集合元素的性质：确定性、互异性可知错误；（2）中注意集合中的元素是什么；（4）中注意x =0或y =0的情况．本题考查集合元素的性质和集合的表示，属基本概念的考查． 2.解：令t =x 2+ax -a -1，∵函数f （x ）=lg （x 2+ax -a -1）在区间[2，+∞）上单调递增，又外层函数y =lgt 为定义域内的增函数，∴需要内层函数t =x 2+ax -a -1在区间[2，+∞）上单调递增，且其最小值大于0，即{22+2a −a −1>0−a2≤2，解得：a ＞-3． ∴实数a 的取值范围是（-3，+∞）．故选：A ．由复合函数为增函数，且外函数为增函数，则只需内函数在区间[2，+∞）上单调递增且其最小值大于0，由此列不等式组求解a 的范围．本题考查了复合函数的单调性，关键是注意真数大于0，是中档题． 3.解：取0＜x 1＜x 2，则x 2x 1＞1，则f （x 2x 1）＜0，又∵f （xy ）=f （x ）+f （y ），∴f （x 2）-f （x 1）=f （x 2x 1•x 1）-f （x 1）=f （x 2x 1）+f （x 1）-f （x 1）=f （x 2x 1）＜0， ∴f （x 2）＜f （x 1），∴f （x ）在（0，+∞）上的单调递减．则不等式式f （x ）+f （x -2）≥f （8）等价为式f [x （x -2）]≥f （8），即{x ＞0x −2＞0x 2−2x ≤8，即{x ＞0x ＞2−2≤x ≤4，解得2＜x ≤4，即不等式的解集为（2，4]，故选：A ．根据函数单调性的定义，判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，根据条件确定满足条件的函数解不等式即可得到结论．本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键，考查学生的运算能力．4.解：函数y =√log 12(5x −2)，∴log 12（5x -2）≥0，即0＜5x -2≤1，解得2＜5x ≤3，即25＜x ≤35；∴函数y 的定义域是（25，35]．故选：D ．根据二次根式的性质与对数函数的图象与性质，列出不等式求出解集即可．本题考查了二次根式与对数函数的性质和应用问题，是基础题目． 5.解：∵f （x ）是定义在R 上的偶函数，f （1）=1，且对任意x ∈R 都有f （x +4）=f （x ）， ∴f （99）=f （4×25-1）=f （-1）=f （1）=1．故选：C ．由已知推导出f （99）=f （4×25-1）=f （-1）=f （1），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 6.解：∵a =20.3＞20=1，b =log 0.23＜log 0.21=0，0=log 31＜c =log 32＜log 33=1， ∴a ，b ，c 的大小关系是b ＜c ＜a ．故选：D ．利用对数函数、指数函数的单调性求解．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意利用对数函数、指数函数的单调性的合理运用． 7.解：∵y =f （x +1）是偶函数， ∴f （-x +1）=f （x +1），即函数f （x ）关于x =1对称．∵当x ≥1时，f （x ）=（12）x -1为减函数， ∴当x ≤1时函数f （x ）为增函数．∵f （32）=f （12+1）=f （-12+1）=f （12），且13＜12＜23， ∴f （23）＞f （32）＞f （13），故选：A ．根据函数y =f （x +1）是偶函数得到函数关于x =1对称，然后利用函数单调性和对称之间的关系，进行比较即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件求出函数的对称性是解决本题的关键．8.解：∵当x ＜0时，f(x)=1x+1， ∴f(−12)=1−12+1=2∵在R 上的奇函数f （x ）， ∴f(12)=−f(−12)=−2 故选D根据已知的解析式，先求出f(−12)的值，再利用R 上的奇函数f （x ）性质，即可求出f(12)的值．本题重点考查函数的性质，解题的关键是正确运用函数的解析式，合理运用函数的奇偶性．9.解：y =6x +1是增函数，并且y ＞1，y =log 5x 也是增函数，所以函数f(x)=log 5(6x +1)的值域为：（0，+∞）．故选：A ．判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可．本题考查函数的单调性以及函数的值域的求法，考查函数思想的应用以及计算能力． 10.解：函数y =12x 2−lnx ，其定义域为（0，+∞）．那么：y ′=x -1x ，令y ′=0，解得：x =1．当x ∈（0，1）时，y ′＜0，那么函数y 在x ∈（0，1）上是单调性减函数．故选：A ．求出函数y 的定义域，利用导函数研究其单调性即可．本题考查了函数单调性的求法，利用了导函数研究其单调性．属于基础题． 11.解：A 、y =x 2是偶函数，在（-∞，0）上是减函数，A 不正确；B．y=f（x）=e x，且f（-x）=e-x≠-f（x），所以y=e x不是偶函数，B不正确；C．y=f（x）=log0.5|x|的定义域是{x|x≠0}，且f（-x）=log0.5|-x|=f（x），则该函数为偶函数，且x＜0，y=log0.5（-x），则由复合函数的单调性知：函数在（-∞，0）上是减函数，C 正确；D．y=sinx是奇函数，在（-∞，0）上不是单调函数，D不正确，故选C．分别利用基本初等函数的函数奇偶性和单调性判断A、B，根据函数奇偶性的定义、对数函数、复合函数的单调性判断C，由正弦函数的性质判断D．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断方法，复合函数的单调性，熟练掌握基本初等函数的奇偶性和单调性是解题的关键．12.解；∵对任意正实数x1、x2（x1≠x2），恒有不等式f(x1)−f(x2)x1−x2＞0，f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），∴f（x）在区间（-∞，0）、（0，+∞）单调递增，∴f（-3）＞f（-5），故选：C．根据不等式f(x1)−f(x2)x1−x2＞0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，得到f（x）在区间（-∞，0）、（0，+∞）单调递增，从而求出答案．考查函数的单调性的定义及应用定义比较函数值的大小，是一道基础题．13.解：不等式2kx2+kx-38＜0对一切实数x都成立，k=0时，不等式化为−38＜0恒成立，k≠0时，应满足{k2−8k(−38)<0k<0，解得-3＜k＜0．综上，不等式2kx2+kx-38＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是（-3，0]．故答案为：（-3，0]．根据不等式2kx2+kx-38＜0对一切实数x都成立，讨论k=0和k≠0时，即可求出k的取值范围．本题考查了分类讨论思想的应用问题，也考查了不等式恒成立的问题，是中档题．14.解：由x2-1＞0，解得x＞1或x＜-1，则函数的定义域是{x|x＞1或x＜-1}，令t=x2-1，则函数在（1，+∞）单调递增，∵y=lgt在定义域上单调递增，∴函数f（x）=lg（x2-1）的单调递增区间是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）根据对数的真数大于0求出函数的定义域，在此基础上研究真数，令t =x 2-1，分别判断内层和外层函数的单调性，再结合复合函数的单调性法则，可得出原函数的单调增区间．本题以对数函数模型为例，考查了同学们对复合函数单调性的掌握，解题时应该牢记复合函数单调性的法则：“同增异减”，注意需要先求出函数的定义域． 15.解：由题意：函数f （x ）是定义在[-1，1]上的减函数，故有：{−1≤x −1≤1−1≤1−3x ≤1x −1＞1−3x ，解得：12＜x ≤23故答案为：（12，23]根据函数的基本性质求解．本题考查了函数的基本性质的运用，属于基础题． 16.解：作函数y =|3x-1|的图象如下，，结合图象可知，实数k 的取值范围是（0，1）．作函数y =|3x -1|的图象，结合图象解得．本题考查了学生的作图能力及图象的变换的应用，同时考查了数形结合的思想． 17.（1）设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c ，将A ，B ，C 带入构造方程组，可求出a ，b ，c 的值，得到抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系x O y 中存在一点P （5，3），使得以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 18.（1）由题意可得c =1，进而得到f （x ），可取g （x ）=x ；（2）假设存在常数a ，b ，c 满足题意，令x =1，可得a +b +c =1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在．本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用赋值法和判别-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------式法，考查运算能力，属于中档题．19.（1）根据集合的基本运算即可求A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；（2）根据集合关系A⊆C，即可求a的取值范围．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．20.（1）根据函数定义域的求法，直接解不等式-2≤3x-1≤1，即可求函数y=f（3x-1）的定义域；（2）由x∈[-1，4]，可得2x+5∈[3，13]，可得答案．本题考查了函数的定义域的求法，求复合函数的定义域时，注意自变量的范围的变化，本题属于基础题21.（1）根据题意可分别求得前面墙，两侧墙和房顶的费用，三者相加即可求得P．（2）利用P的表达式和基本不等式求得关于√S的不等式关系，求得√S的范围，以及等号成立条件求得x的值．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．。

高中数学人教版B必修一练习题及详解

练习四函数的单调性一、选择题1．若是的单调增区间，，且，则有（）A．B．C．D．2．函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．3．下列函数中，在区间上递增的是（）B．C．D．A．4. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．5. 设函数在上是减函数，则有（）A．B．C．D．6. 如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题7．函数的单调递增区间是____________.8．已知函数在是增函数，则,,的大小关系是__________________________.9．函数的单调递增区间是_______.10．若二次函数在区间是减函数，在区间上是增函数，则________.三、解答题11. 证明函数在上是增函数.12．判断函数在区间上的单调性，并给出证明．13．已知函数在上是减函数，且，求的取值范围．能力题14．若函数在上是单调递增函数，求的取值范围.15．讨论函数在内的单调性.练习四一、选择题二、填空题7．8．9．10．三、解答题11．设，且，则，则.，∴∴.∴在上是增函数.12．函数在区间上单调递增．证明如下：设，且，则，则．，∴，，，∴，∴在区间上的单调递增.13．函数在上是减函数，且,∴解得. ∴的取值范围是.能力题14．在上是单调增函数,∴ ，解得∴.15．，对称轴.∴若，则在上是增函数；若，则在上是减函数，在上是增函数；若，则在上是减函数.练习五函数的奇偶性一、选择题1．若是奇函数，则其图象关于（）A．轴对称B．轴对称C．原点对称D．直线对称2．若函数是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数图象上的是（）A．B．C．D．3．下列函数中为偶函数的是（）B．C．D．A．4. 如果奇函数在上是增函数，且最小值是5，那么在上是（）A．增函数，最小值是-5 B．增函数，最大值是-5C．减函数，最小值是-5 D．减函数，最大值是-55. 已知函数是奇函数，则的值为（）A．B．C．D．6.已知偶函数在上单调递增，则下列关系式成立的是( )A．B．C．D．二、填空题7．若函数是奇函数，，则的值为____________ .8．若函数是偶函数，且，则与的大小关系为__________________________.9．已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如右图所示，那么f (x) 的值域是 .10．已知分段函数是奇函数，当时的解析式为，则这个函数在区间上的解析式为．三、解答题11. 判断下列函数是否具有奇偶性：(1)； (2) ；(3)； (4)； (5).12．判断函数的奇偶性，并指出它的单调区间.13．已知二次函数的图象关于轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数的单调递增区间. 能力题14．设是定义在上的偶函数,且在上是增函数,则与（）的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．与的取值无关若函数15．已知是奇函数，是偶函数，且在公共定义域上有，求的解析式. 练习五一、选择题二、填空题 7． 8． 9．10．三、解答题11．(1)奇函数，(2)非奇非偶，(3)偶函数，(4) 非奇非偶函数，(5)偶函数12．偶函数. ∴函数的减区间是和，增区间是和.13．二次函数的图象关于轴对称，∴，则，函数的单调递增区间为.能力题14．B (提示: 是定义在上的偶函数,且在上是增函数,∴在上是减函数，.,∴，因此. )15．得 .练习六一次函数与二次函数一、选择题1．已知一次函数，满足，，则（）D．A．B．C．2．下列关于函数，的结论正确的是（）A．递增函数B．递减函数C．最小值是2 D．最大值是53．函数的值域为（）A．B．C．D．4. 若二次函数在区间是减函数，在区间上是增函数，则（）A．B．C．D．5. 若二次函数图象关于轴对称，则函数的单调增区间为 ( )A．B．C．D．6.函数上是单调递增的奇函数，则( )A．B．C．D．二、填空题7．二次函数的图象的顶点坐标为________，对称轴方程是_________ .8．已知定义域为，则实数的区值范围是 .9．已知，则直线一定不经过第象限.10．已知是一次函数的图象与轴交点的横坐标，又二次函数的图象与轴有交点则.三、解答题11. 已知二次函数：（1）求它的图象顶点坐标和与轴交点的坐标；（2）作出它的图象；（3）求点关于图象对称轴的对称点的坐标.12．已知函数判断该函数的奇偶性，并求该函数的最小值及单调区间.13．写出二次函数在区间上的最大值和最小值.能力题14．设函数，已知且，求实数的取值范围.15．已知，为常数，且，，且，方程有相等实根.（1）求函数的解析式，函数的最大值，并比较与的大小.若，判断的奇偶性，并证明你的结论.练习六一、选择题二、填空题7．，8．9．三10．三、解答题11．（1）顶点坐标，与轴交点的坐标，；（2）略；（3）二次函数图象对称轴为，∴点关于图象对称轴的对称点为，即.12．偶函数，，单减区间和；单增区间和. 13．当时，；当时，；当时，；当时,.能力题14．，即由于，，代入上式又有可解得的取值范围是.15．（1）由，得；由方程有相等实根，得，并且，即，由得，∴，，∴，故是奇函数.练习七函数的应用一、选择题t01．某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是（）2．某商店卖、两种价格不同的商品，由于商品连续两次提价%，同时商品连续两次降价%，结果都以每件元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是（） A ．多赚元 B ．少赚元 C ．多赚元 D ．利益相同3．拟定从甲地到乙地通话分钟的电话费由给出，其中，是大于或等于的最小整数，(如，，)，则从甲地到乙地通话时间为分钟的话费为（）A ．B ．C ．D ．4．有一批材料可以建成长为的围墙，如果用材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积是（）A ．B ．C ．D ．5．某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为（）A ．元B ．元C ．元D ．元6．抛物线型拱桥的跨度是米，拱高是米，建桥时每隔米用一根支柱支撑，其中最长的支柱是（）A ．米B ．米C ．米D ．米二、填空题7．某乡镇现在人均一年占有粮食千克，如果该乡镇人口平均每年增长%，粮食总产量平均每年增长%，那么年后若人均一年占有千克粮食，则函数关于的解析式是______________________.8．某客运公司定客票的方法是：如果行程不超过，票价是元，如果超过，超过部分按元定价，则客运票价元与行程公里数之间的函数关系式是．9．一个高中研究性学习小组对本地区年至年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭万盒．10．某商人将彩电先按原价提高%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了元，则每台彩电原价是元.三、解答题11．把长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若求此框架围成平面图形的面积与之间的函数关系式，并求其定义域.12．经市场调查，某商品在过去天内的销售量和价格均为时间（）的函数，且销售量近似地满足（，）；前天价格为（，），后天的价格为（，），试写出该种商品的日销售额与时间的函数关系．13．某商场购进一批单价为元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格．经试验发现，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，若按元的价格销售时，每月能卖件，假定每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数．（1）试求与之间的关系式；（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能时每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？能力题14．某宾馆有相同标准的床位张，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床价每天的租金）不超过元时，床位可以全部租出，当床位高于元时，每提高元，将有张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位订一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用表示床价，用表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）（1）把表示成的函数，并求出其定义域；（2）试确定该宾馆床位定为多少时既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？15．经研究发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述总量所用的时间，开始讲题时，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力，表示提出和讲授概念的时间（单位：分），有以下的公式：（1）开讲后分钟与开讲后分钟比较，学生的接受能力何时强呢？（2）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长的时间？（3）若讲解这道数学题需要的接受能力以及分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这道题？练习七一、选择题二、填空题7．8．9．10．三、解答题11．.,由,有.12．13．设（），由解得所以．设利润为，则有所以，当时有最大值为元．能力题14．（1）由已知有，令解得且．所以函数的定义域为．（2）当时，显然当时，取得最大值为（元）；当时，，仅当时，取最大值．又因为，所以当时，取得最大值，最大值为元．比较两种情况的最大值，所以当床位定价为元时净收入最多．15．，，所以．所以开讲后分钟学生的接受能力比开讲后分钟强．当时，，所以是增函数，．当时，是递减的函数，所以，故开讲后钟学生达到最强的接受能力，并维持分钟．当时，令，解得．当时，令，解得则．因此，学生达到或超过的接受能力的时间分钟，小于分钟，故这位老师不能在学生所需状态下讲完这道题．练习九指数与指数函数一、选择题1．计算的结果是（）A．B．C．D．2．将根式化成分数指数幂为（）C．D．A．B．3．某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林％，则第四年造林（）A．亩B．亩C．亩D．亩4．曲线分别是指数函数的图象,则与的大小关系是 ( )A．B．C．D．5．若，则下列不等式中成立的是( )A．B．C．D．6．要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位二、填空题7．函数是指数函数，则的取值为 . 8．比较下列各组数的大小:(1)______ ; (2) ______;(3)______9．函数的定义域是．10．若，则 .三、解答题11．化简12．已知函数的定义域是，求的取值范围.13．设，是上的偶函数．求的值；证明在上是增函数．能力题14. 已知，当该函数的值域为时，求的取值范围．15. 已知，判断的奇偶性；证明．练习九一、选择题二、填空题7．8．> > >9．10．三、解答题11．.12．由，得，因为定义域为，所以. 13．因为是上的偶函数，所以，即，解得，因为所以．在上任取，且，则，因为且，所以，即，且，所以式，即．所以在上是增函数．能力题14．设，则，即．因为，所以，所以．15．任取且，则．因为所以是偶函数．当时，，即，所以．所以，所以．因为是偶函数，所以当时，．所以当且时，都有.练习十对数与对数函数一、选择题1．若，那么用表示是（）A．B．C．D．2．若等于（）C．D．A．B．3．下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是（）A．B．C．D．4．下列函数与有相同图象的一个函数是（）A．B．C．D．5．函数（）A．是偶函数，在区间上单调递增B．是偶函数，在区间上单调递减C．是奇函数，在区间上单调递增D．是奇函数，在区间上单调递减6．已知，为不等于1的正数，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．二、填空题7．使对数式有意义的的取值范围是．8．比较大小； 1；0；0；；.9．函数与的图像关于对称．10．函数的值域是__________.三、解答题11．已知函数的定义域是，函数的定义域是，确定集合、的关系？12．已知函数在区间上的最大值是最小值的倍，求的值．13．已知函数且．（1）求函数的定义域；（2）求使的的取值范围．能力题14．（1）若函数的定义域为，求的取值范围；（2）若函数的值域为，求的取值范围．15．已知函数．（1）求函数的定义域；（2）讨论函数的奇偶性和单调性．练习十一、选择题二、填空题7．且8．9．轴10．三、解答题11．∵或，,∴．12．∵函数在区间上是减函数，∴．13．（1）函数的定义域是；（2）当时，；当时，．能力题14．（1）恒成立，则，得．（2）须取遍所有的正实数，当时，符合条件；当时，则，得，即．15．（1）函数的定义域为；（2）∵，∴为奇函数；在上为减函数．练习十一幂函数一、选择题1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A．B．C．D．2．所有幂函数的图象都通过点（）A．B．C．D．3．函数在区间上的最大值是（）B．A．C．D．4．下列函数中为偶函数的是（）A．y =B．y = xC．y = x2 D．y = x3+15．当时，函数与函数的图象（）A．关于原点对称B．关于轴对称C．关于轴对称D．关于直线对称6．若函数在上为增函数，则的取值范围是（）A．B．C．R D．二、填空题7．函数的定义域是．8．比较大小；；.9．已知幂函数的图象经过点，这个函数的解析式为．10．已知幂函数，若，则幂函数在区间上是增函数；若，则幂函数在区间上是减函数．三、解答题11．比较下列两个代数式值的大小：（1），；（2），12．已知函数f (x) =-2.（1）求f (x) 的定义域；（2）证明函数f (x) =-2在 (0，+∞)上是减函数.13．已知幂函数轴对称，试确定的解析式.能力题14．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，写出图象，，，相应的解析式.15．求证：函数在R上为奇函数且为增函数.练习十一一、选择题二、填空题7．8．9．10．，三、解答题11．；≤12．（1）f (x) 的定义域是｛x∈R| x≠0｝；（2）设x1，x2是(0，+∞)上的两个任意实数，且x1 < x2，则x = x1-x2 < 0，y = f (x1) - f (x2) =-2- (-2) =-=.因为x2- x1 = -x >0，x1x2 >0 , 所以y >0.因此 f (x) =-2是 (0，+∞)上的减函数.13．由能力题14．：；：；：；：15．∵，∴在R上为奇函数.设x1，x2是R上的两个任意实数，且x1 < x2，则x = x1- x2 < 0，y = f (x1) - f (x2) =, 因为，=，由于，，且不能同时为0，否则，故.所以y<0.因此函数在R上为增函数.。

高二数学(人教B版)选修1-1阶段性测试题1

阶段性测试题一(第一章基本知能检测)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中，不表示命题的一个是( )A ．3>8B ．0是自然数C ．杭州是省会城市D ．他去哪儿 [答案] D[解析] 选项D 不涉及真假．2．下列命题是真命题的为( )A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2 [答案] A[解析] 判断命题的真假，根据选项容易选出A.3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题和逆否命题中( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真 [答案] D[解析] 原命题与其逆否命题同真假，原命题真，故选D.4．命题“π≥3.14”使用的逻辑联结词的情况是( )A ．没有使用逻辑联结词B ．使用了逻辑联结词“且”C ．使用了逻辑联结词“或”D ．使用了逻辑联结词“非”[答案] C[解析] “π≥3.14”的意思为：“π>3.14或π＝3.14”．故选C.5．设p ：x <－1或x >1；q ：x <－2或x >1，则¬p 是¬q 的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ¬p ：－1≤x ≤1，¬q ：－2≤x ≤1，¬p ⇒¬q ，而¬q ⇒/ ¬p .6．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题( )A ．是真命题B ．是假命题C ．不一定是真命题D ．不一定是假命题 [答案] A[解析] 一个命题的逆命题与否命题真值相同．7．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] ∵N M ，∴若a ∈N ，则a ∈M ，当a ＝52时，a ∈M ，但a ∉N ，故选B. 8．a ＝3是直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行且不重合的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] C[解析] 当直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行时，有a (a －1)＝6，解得a ＝3或a ＝－2.当a ＝－2时，两直线重合．9．下列判断不正确．．．的是( ) A ．命题“若p 则q ”与“若¬q 则¬p ”互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a <b ”的充要条件C ．“矩形的两条对角线相等”的否定为假D ．命题“∅{1,2}或4∈{1,2}”为真[答案] B[解析] 由am 2<bm 2⇒a <b ，但a <b ⇒/ am 2<bm 2.例如：m ＝0时，故选B.10．如果命题“¬(p 或q )”为假命题，则( )A ．p 、q 均为真命题B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 中至少有一个真命题D ．p 、q 中至多有一个真命题[答案] C[解析] “¬(p 或q )”为假，则“p 或q ”为真，故p 、q 中至少有一个为真．11．“1x 2>1y 2”是“|x |<|y |”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] |x |<|y |⇔x 2<y 2，1x 2>1y 2⇔1x 2－1y 2>0 ⇔y 2－x 2x 2y 2>0⇔y 2－x 2>0⇔x 2<y 2. 当x 2＝0，y 2≠0时，x 2<y 2成立，但1x 2无意义，故选A. 12．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a x≥1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] a ＝18⇒2x ＋a x＝2x ＋18x ≥22x ×18x＝1. 另一方面，对任意正数x,2x ＋a x≥1，只要2x ＋a x ≥22x ×a 8x ＝22a ≥1⇒a ≥18，所以选A. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．命题“如果ab 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是________．[答案] 如果a ，b 至少有一个为零，则ab 为零[解析] 将原命题的结论和条件进行“换位”及“换质”，即得其逆命题．14．用“p ∨q ”“p ∧q ”“¬q ”填空．命题“－x 2＋2≤2”是________形式，命题“奇数的平方不是偶数”是________形式．[答案] “p ∨q ” “¬p ”15．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若¬p 是¬q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是________．[答案] 0≤a ≤12[解析] 命题p ：|4x －3|≤1⇔12≤x ≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇔a ≤x ≤a ＋1.∵¬p 是¬q 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1，∴0≤a ≤12. 16．已知：①命题“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“如果m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题；④命题“如果A ∩B ＝A ，则A B ”的逆否命题．其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．[答案] ①②③[解析] ①逆命题：若x ，y 互为倒数，则xy ＝1，是真命题．②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题．如，a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，有|a|＝|b|＝2，但a ≠b .③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0”是真命题．这是因为当m <0时Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m >0恒成立，故方程有根，所以其逆否命题也是真命题．④若A ∩B ＝A ，则A ⊆B .故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解析] 逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0；真命题．否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1；真命题．逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0；真命题．18．(本题满分12分)已知命题p {x |1－c <x <1＋c ，c >0}，命题q (x －3)2<16，且p 是q的充分而不必要条件．求c 的取值范围．[解析] 命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，由(x －3)2<16可解得命题q 对应的集合B ＝{x |－1<x <7}，∵p 是q 的充分而不必要条件，∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ c >01－c ≥－11＋c ≤7，解得：0<c ≤2，经检验知c ＝2也符合题意，所以所求c 的取值范围为0<c ≤2.19．(本题满分12分)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根；命题q ：关于x 的方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，已知命题p 和q 中，一个为真命题，一个为假命题，求m 的取值范围．[解析] p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0m >0解得m >2. q ：Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0解得1<m <3.∵p ，q 中一真一假．∴有两种可能，即p 真q 假或者p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >2m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21<m <3，解得：m ≥3或1<m ≤2.20．(本题满分12分)指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ；(2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0；(3)p ：a >2，q ：a >5；(4)p ：a <b ，q ：a b<1. [解析] (1)在△ABC 中，∠A >∠B ⇔BC >AC .所以p 是q 的充要条件．(2)a ＝3⇒(a ＋2)(a －3)＝0，但(a ＋2)(a －3)＝0⇒/ a ＝3.所以p 是q 的充分而不必要条件．(3)a >2⇒/ a >5，但a >5⇒a >2，所以p 是q 的必要而不充分条件．(4)a <b ⇒/ a b <1，且a b<1⇒/ a <b ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件． 21．(本题满分12分)已知p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋116a )的定义域为R ；q ：a ≥1.如果命题“p ∨q 为真，p ∧q 为假”，求实数a 的取值范围．[解析] 由p 真可知⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4a ·116a <0，解得a >2，由p ∨q 为真，p ∧q 为假知，p 和q 中一个为真、一个为假．若p 真q 假时a 不存在，若p 假q 真时1≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围是1≤a ≤2.22．(本题满分14分)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p 与q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．[解析] 当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a >1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同两点等价于(2a －3)2－4>0.即a <12或a >52. (1)p 正确，q 不正确．则a ∈(0,1)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪12≤a ≤52且a ≠1，即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1. (2)p 不正确，q 正确．则a ∈(1，＋∞)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0<a <12或a >52，即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞.综上所述，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.。

新教材人教B版高中数学选择性必修第一册全册书各章节课时练习题及章末综合测验含答案解析

人教B选择性必修第一册全册练习题文档中含有大量可修改的数学公式，在网页中显示可能会出现位置错误等情况，下载后均可正常显示、编辑。

第一章空间向量与立体几何...................................................................................................... - 2 -1.1空间向量及其运算......................................................................................................... - 2 -1.1.1空间向量及其运算.............................................................................................. - 2 -1.1.2空间向量基本定理.............................................................................................. - 9 -1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系................................................................ - 17 -1.2空间向量在立体几何中的应用................................................................................... - 25 -1.2.1空间中的点、直线与空间向量........................................................................ - 25 -1.2.2空间中的平面与空间向量................................................................................ - 32 -1.2.3直线与平面的夹角............................................................................................ - 44 -1.2.4二面角 ............................................................................................................... - 53 -1.2.5空间中的距离 ................................................................................................... - 70 -第一章综合测验 ................................................................................................................... - 81 - 第二章平面解析几何 ................................................................................................................... - 95 -2.1坐标法 .......................................................................................................................... - 95 -2.2直线及其方程............................................................................................................. - 102 -2.2.1直线的倾斜角与斜率...................................................................................... - 102 -2.2.2直线的方程 ..................................................................................................... - 108 -2.2.3两条直线的位置关系...................................................................................... - 119 -2.2.4点到直线的距离.............................................................................................. - 126 -2.3圆及其方程 ................................................................................................................ - 133 -2.3.1圆的标准方程 ................................................................................................. - 133 -2.3.2圆的一般方程 ................................................................................................. - 140 -2.3.3直线与圆的位置关系...................................................................................... - 146 -2.3.4圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 154 -2.4曲线与方程................................................................................................................. - 162 -2.5椭圆及其方程............................................................................................................. - 168 -2.5.1椭圆的标准方程.............................................................................................. - 168 -2.5.2椭圆的几何性质.............................................................................................. - 176 -2.6双曲线及其方程......................................................................................................... - 186 -2.6.1双曲线的标准方程.......................................................................................... - 186 -2.6.2双曲线的几何性质.......................................................................................... - 194 -2.7抛物线及其方程......................................................................................................... - 202 -2.7.1抛物线的标准方程.......................................................................................... - 202 -2.7.2抛物线的几何性质.......................................................................................... - 209 -第二章综合训练 ................................................................................................................. - 217 -第一章空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算1.下列命题中为真命题的是( ) A.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等2.下列向量的运算结果为零向量的是( ) A.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗B.PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗D.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗3.已知e 1,e 2为单位向量,且e 1⊥e 2,若a =2e 1+3e 2,b =k e 1-4e 2,a ⊥b ,则实数k 的值为( ) A.-6 B.6C.3D.-3a ·b=0,e 1·e 2=0,|e 1|=|e 2|=1,所以(2e 1+3e 2)·(k e 1-4e 2)=0,所以2k-12=0, 所以k=6.故选B .4.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.a 2 B.12a 2 C .14a 2 D .√34a 2⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·12AD ⃗⃗⃗⃗⃗=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14a×a×12+a×a×12=14a 2.5.(多选)已知四边形ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD 连接AC ,BD ,PB ,PC ,PD ,则下列各组向量中,数量积一定为零的是( ) A.PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B .DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗ C.PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BA⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(BC⃗⃗⃗⃗⃗ )2≠0. 因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥CD , 即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,又因为AD ⊥AB ,AD ⊥PA ,所以AD ⊥平面PAB ,所以AD ⊥PB ,所以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,同理PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,因此B,C,D 中的数量积均为0.故选B,C,D .6.设e 1,e 2是平面内不共线的向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+k e 2,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+3e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k= .87.化简:12(a +2b -3c )+5(23a -12b +23c)-3(a -2b +c )= .+92b -76c8.如图,平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=1,AA'=2,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,则AC'的长为 .√11AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12+12+22+2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°=11,则|AC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√11. 9.在四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AC ,BD 的中点,求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =右边,得证. 10.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是C 1D 1,D 1D 的中点,正方体的棱长为1. (1)求<CE⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值; (2)求证:BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12.又|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52,所以cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF⃗⃗⃗⃗⃗ >=25.1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), 所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .11.已知空间向量a =(t ,1,t ),b =(t-2,t ,1),则|a -b |的最小值为( ) A.√2 B.√3C.2D.4a =(t ,1,t ),b =(t-2,t ,1),∴a -b =(2,1-t ,t-1),则|a-b |=√22+(1-t )2+(t -1)2=√2(t -1)2+4, ∴当t=1时,|a-b |取最小值为2.故选C .12.设平面上有四个互异的点A ,B ,C ,D ,已知(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B .等腰三角形 C.钝角三角形 D .锐角三角形DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,即△ABC 是等腰三角形. 13.如图,已知PA ⊥平面ABC ,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC 等于( )A.6√2 B .6C.12D .144PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =36+36+36+2×36×cos60°=144,所以PC=12. 14.给出下列几个命题:①方向相反的两个向量是相反向量;②若|a|=|b|,则a=b 或a=-b ;③对于任意向量a ,b ,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中所有真命题的序号为 .①,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故①错误;对于②,若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等,但方向没有任何联系,故不正确;只有③正确.15.等边三角形ABC 中,P 在线段AB 上,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 .-√22|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a (a>0),由题知,0<λ<1.如图, CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=a 2λ-12a 2, PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(1-λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(λ-1)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=λ(λ-1)a 2, 则a 2λ-12a 2=λ(λ-1)a 2, 解得λ=1-√22λ=1+√22舍.16.如图,平面α⊥平面β,AC ⊥AB ,BD ⊥AB ,且AB=4,AC=6,BD=8,用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2√29CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16+36+64=116,∴|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√29.17.已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,AA'的中点为E ,点F 为D'C'上一点,且D'F=23D'C'.(1)化简:12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)设点M 是底面ABCD 的中心,点N 是侧面BCC'B'对角线BC'上的34分点(靠近C'),设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =αAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +βAD ⃗⃗⃗⃗⃗ +γAA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试求α,β,γ的值.由AA'的中点为E ,得12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D'F=23D'C',因此23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23D 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .从而12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+34(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+34(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此α=12,β=14,γ=34.18.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,M ,N 分别是A 1B ,B 1C 1上的点,且BM=2A 1M ,C 1N=2B 1N.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c . (1)试用a ,b ,c 表示向量MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若∠BAC=90°,∠BAA 1=∠CAA 1=60°,AB=AC=AA 1=1,求MN 的长.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(c-a )+a+13(b-a ) =13a+13b+13c.(2)因为(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2a ·b+2b ·c+2a ·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5,所以|a+b+c|=√5,所以|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13|a+b+c |=√53,即MN=√53. 19.如图所示,已知线段AB 在平面α内,线段AC ⊥α,线段BD ⊥AB ,且AB=7,AC=BD=24,线段BD 与α所成的角为30°,求CD 的长.AC ⊥α,可知AC ⊥AB ,过点D 作DD 1⊥α, D 1为垂足,连接BD 1,则∠DBD 1为BD 与α所成的角,即∠DBD 1=30°,所以∠BDD 1=60°,因为AC ⊥α,DD 1⊥α,所以AC ∥DD 1,所以<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°,所以<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°.又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为BD ⊥AB ,AC ⊥AB , 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.故|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=242+72+242+2×24×24×cos120°=625, 所以|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=25,即CD 的长是25.20.如图所示,在矩形ABCD 中,AB=1,BC=a ,PA ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD 的上方),则边BC 上是否存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ?Q (点Q 在边BC 上),使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 连接AQ ,因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥QD. 又PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 即点Q 在以边AD 为直径的圆上,圆的半径为a2.又AB=1,所以当a2=1,即a=2时,该圆与边BC 相切,存在1个点Q 满足题意; 当a2>1,即a>2时,该圆与边BC 相交,存在2个点Q 满足题意; 当a 2<1,即a<2时,该圆与边BC 相离,不存在点Q 满足题意. 综上所述,当a ≥2时,存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当0<a<2时,不存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .1.1.2 空间向量基本定理1.如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点.若A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.-12a +12b +c B.12a +12b +c C.12a -12b +c D.-12a -12b +c1M =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12(-a +b )=-12a +12b +c .2.对于空间一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,且有6OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.O ,A ,B ,C 四点共面 B.P ,A ,B ,C 四点共面 C.O ,P ,B ,C 四点共面 D.O ,P ,A ,B ,C 五点共面6OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.又三个向量的基线有同一公共点P ,∴P ,A ,B ,C 四点共面. 3.(多选)已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任意一点O ,有OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 的值不可能为 ( ) A.1 B .0 C .3D .13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且M ,A ,B ,C 四点共面,∴x+13+13=1,∴x=13.4.已知向量a ,b ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a +6b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7a -2b ,则一定共线的三点是( ) A.A ,B ,D B .A ,B ,C C.B ,C ,D D .A ,C ,DAD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a +6b =3(a +2b )=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A ,所以A ,B ,D 三点共线. 5.下列说法错误的是( )A.设a ,b 是两个空间向量,则a ,b 一定共面B.设a ,b 是两个空间向量,则a ·b =b ·aC.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ,b ,c 一定不共面D.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ·(b+c )=a ·b+a ·c设a ,b 是两个空间向量,则a ,b 一定共面,正确,因为向量可以平移;B.设a ,b 是两个空间向量,则a ·b=b ·a ,正确,因为向量的数量积满足交换律;C.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ,b ,c 可能共面,可能不共面,故C 错误;D.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ·(b+c )=a ·b+a ·c ,正确,因为向量的数量积满足分配律.故选C .6.设e 1,e 2是空间两个不共线的向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+k e 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1+4e 2,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1-2e 2,且A ,B ,D 三点共线,实数k= .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7e 1+(k+6)e 2,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即7e 1+(k+6)e 2=x e 1+xk e 2,故(7-x )e 1+(k+6-xk )e 2=0,又e 1,e 2不共线, ∴{7-x =0,k +6-kx =0,解得{x =7,k =1,故k 的值为1. 7.在以下三个命题中,所有真命题的序号为 .①三个非零向量a ,b ,c 不能构成空间的一个基底,则a ,b ,c 共面;②若两个非零向量a ,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a ,b 共线; ③若a ,b 是两个不共线的向量,而c=λa +μb (λ,μ∈R 且λμ≠0),则{a ,b ,c }构成空间的一个基底.与a ,b 共面,不能构成基底.8.已知平行六面体OABC-O'A'B'C',且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c . (1)用a ,b ,c 表示向量AC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)设G ,H 分别是侧面BB'C'C 和O'A'B'C'的中心,用a ,b ,c 表示GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-a .(2)GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =GO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-OG ⃗⃗⃗⃗⃗ +OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12(a+b+c+b )+12(a+b+c+c )=12(c-b ).9.已知三个向量a ,b ,c 不共面,并且p =a +b -c ,q =2a -3b -5c ,r =-7a +18b +22c ,向量p ,q ,r 是否共面?λ,μ,使p =λq +μr ,则a +b -c =(2λ-7μ)a +(-3λ+18μ)b +(-5λ+22μ)c .∵a ,b ,c 不共面,∴{2λ-7μ=1,-3λ+18μ=1,-5λ+22μ=-1,解得{λ=53,μ=13,即存在实数λ=53,μ=13,使p =λq +μr ,∴p ,q ,r 共面.10.如图所示,四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形,且不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点.判断CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否共线?M ,N 分别是AC ,BF 的中点,而四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形,∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB⃗⃗⃗⃗⃗ .又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12FB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12FB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FN ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即CE⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.11.如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=2CD ,点O 为空间内任意一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a +y b +z c ,则x ,y ,z 分别是 ( ) A.1,-1,2 B.-12,12,1 C.12,-12,1 D.12,-12,-1⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a -12b+c ,因此,x=12,y=-12,z=1.故选C .12.在平行六面体ABCD-EFGH 中,若AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3z DH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y+z 等于( )A.76 B .23C .34D .56于AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,对照已知式子可得x=1,-2y=1,3z=1,故x=1,y=-12,z=13,从而x+y+z=56.13.(多选)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P ,M 为空间任意两点,如果有PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么对点M 判断错误的是( ) A.在平面BAD 1内 B .在平面BA 1D 内 C.在平面BA 1D 1内 D .在平面AB 1C 1内=PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6(PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-4(PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =11PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -6PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -4PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且11-6-4=1, 于是M ,B ,A 1,D 1四点共面.14.已知空间单位向量e 1,e 2,e 3,e 1⊥e 2,e 2⊥e 3,e 1·e 3=45,若空间向量m =x e 1+y e 2+z e 3满足:m ·e 1=4,m ·e 2=3,m ·e 3=5,则x+y+z= ,|m |=.√34为e 1⊥e 2,e 2⊥e 3,e 1·e 3=45,空间向量m =x e 1+y e 2+z e 3满足:m ·e 1=4,m ·e 2=3,m ·e 3=5,所以{(xe 1+ye 2+ze 3)·e 1=4,(xe 1+ye 2+ze 3)·e 2=3,(xe 1+ye 2+ze 3)·e 3=5,即{x +45z =4,y =3,45x +z =5,解得{x =0,y =3,z =5,所以x+y+z=8,|m |=√34.15.已知O 是空间任一点,A ,B ,C ,D 四点满足任三点均不共线,但四点共面,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +4z DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2x+3y+4z= .1=2x BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +4z DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -3y OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -4z OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .由四点共面的充要条件知-2x-3y-4z=1, 即2x+3y+4z=-1.16.如图,设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点,E 为OC 的中点,若AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求x ,y 的值.AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-32OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以x=12,y=-32.17.已知非零向量e 1,e 2不共线,如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+e 2,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+8e 2,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1-3e 2,求证:A ,B ,C ,D 四点共面.:令λ(e 1+e 2)+μ(2e 1+8e 2)+v (3e 1-3e 2)=0,则(λ+2μ+3v )e 1+(λ+8μ-3v )e 2=0.∵e 1,e 2不共线,∴{λ+2μ+3v =0,λ+8μ-3v =0.易知{λ=-5,μ=1,v =1是其中一组解,则-5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴A ,B ,C ,D 四点共面.证法二:观察易得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2e 1+8e 2)+(3e 1-3e 2)=5e 1+5e 2=5(e 1+e 2)=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .由共面向量知,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面. 又它们有公共点A ,∴A ,B ,C ,D 四点共面.18.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是B 1D 1的中点,求证:B 1C ∥平面ODC 1.1C ⃗⃗ =B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵O 是B 1D 1的中点,∴B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,且B 1C ⊄平面OC 1D. ∴B 1C ∥平面ODC 1.19.如图所示,四边形ABCD 是空间四边形,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边CB ,CD 上的点,且CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:四边形EFGH 是梯形.E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =CG ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34FG⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|FG ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∵点F 不在EH 上,∴四边形EFGH 是梯形. 20.已知平行四边形ABCD ,从平面ABCD 外一点O 引向量OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:(1)点E ,F ,G ,H 共面; (2)直线AB ∥平面EFGH.∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB⃗⃗⃗⃗⃗ . 而OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 同理,EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EG ⃗⃗⃗⃗⃗ k =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ k+EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ k,即EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又它们有同一公共点E ,∴点E ,F ,G ,H 共面. (2)由(1)知EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB ∥EF .又AB ⊄平面EFGH , ∴AB 与平面EFGH 平行,即AB ∥平面EFGH.1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系1.已知向量a =(1,-2,1),a +b =(-1,2,-1),则向量b 等于( ) A.(2,-4,2) B .(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) D .(2,1,-3)2.向量a =(1,2,x ),b =(2,y ,-1),若|a |=√5,且a ⊥b ,则x+y 的值为( ) A.-2 B .2 C.-1 D .1{√12+22+x 2=√5,2+2y -x =0,即{x=0,y=-1,∴x+y=-1.3.若△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为()A.√10B.-√10C.2√D.±√10⃗⃗⃗ =(-6,1,2k),CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,-k),则CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6)×(-3)+2+2k(-k)=-2k2+20=0,∴k=±√10.4.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形=(3,4,2),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,1,3),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3,1).由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得A为锐角;由CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得C为锐角;由BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得B为锐角.所以△ABC为锐角三角形.5.(多选)如图所示,设Ox,Oy是平面内相交成θ(θ≠π2)角的两条数轴,e1,e2分别是与x,y轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系xOy为θ反射坐标系,若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x e1+y e2,则把有序数对(x,y)叫做向量OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的反射坐标,记为OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),在θ=2π3的反射坐标系中,a=(1,2),b=(2,-1).则下列结论正确的是()A.a-b=(-1,3)B.|a|=√3C.a⊥bD.a∥b=(e1+2e2)-(2e1-e2)=-e1+3e2,则a-b =(-1,3),故A 正确; |a |=√(e 1+2e 2)2=√5+4cos2π3=√3,故B 正确;a ·b =(e 1+2e 2)·(2e 1-e 2)=2e 12+3e 1·e 2-2e 22=-32,故C 错误;D 显然错误.6.已知向量a =(1,2,3),b =(x ,x 2+y-2,y ),并且a ,b 同向,则x+y 的值为 .a ∥b ,所以x1=x 2+y -22=y3,即{y =3x ,①x 2+y -2=2x ,②把①代入②得x 2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0, 解得x=-2或x=1. 当x=-2时,y=-6;当x=1时,y=3.则当{x =-2,y =-6时,b =(-2,-4,-6)=-2a ,向量a ,b 反向,不符合题意,故舍去. 当{x =1,y =3时,b =(1,2,3)=a , a 与b 同向,符合题意,此时x+y=4.7.已知向量a =(5,3,1),b =-2,t ,-25,若a 与b 的夹角为钝角,则实数t 的取值范围为 . 答案-∞,-65∪-65,5215解析由已知得a ·b =5×(-2)+3t+1×-25=3t-525,因为a 与b 的夹角为钝角,所以a ·b <0,即3t-525<0,所以t<5215.若a 与b 的夹角为180°,则存在λ<0,使a =λb (λ<0), 即(5,3,1)=λ-2,t ,-25, 所以{5=-2λ,3=tλ,1=-25λ,解得{λ=-52,t =-65, 故t 的取值范围是-∞,-65∪-65,5215.8.已知O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,求Q 的坐标. 解设OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ),QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=23λ-432-13.当λ=43时,QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值,此时点Q 的坐标为43,43,83.9.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长AB=2,AB 1⊥BC 1,点O ,O 1分别是棱AC ,A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求该三棱柱的侧棱长;(2)若M 为BC 1的中点,试用向量AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)求cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >.设该三棱柱的侧棱长为h ,由题意得A (0,-1,0),B (√3,0,0),C (0,1,0),B 1(√3,0,h ),C 1(0,1,h ),则AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,h ),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,h ),因为AB 1⊥BC 1,所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1+h 2=0,所以h=√2.(2)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(3)由(1)可知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,√2),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0), 所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1=-2,|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√6=-√66.10.(多选)已知点P 是△ABC 所在的平面外一点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,4),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),则( ) A.AP ⊥AB B.AP ⊥BP C.BC=√53 D.AP ∥BC⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2-2+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB ,故A 正确;BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+6-3=6≠0,∴AP 与BP 不垂直,故B 不正确;BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√62+12+(-4)2=√53,故C 正确;假设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则{1=6k ,-2=k ,1=-4k ,无解,因此假设不成立,即AP 与BC 不平行,故D 不正确.11.已知点A (1,0,0),B (0,-1,1),若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)的夹角为120°,则λ的值为( ) A.√66 B .-√66C.±√66D .±√6OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-λ,λ), cos120°=(OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2λ2+1×2=-12,可得λ<0,解得λ=-√66.故选B .12.已知点A (1,-1,2),B (5,-6,2),C (1,3,-1),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为 .4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3), ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√42+(-5)×√42+(-3)=-5√41,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ > =√42+(-5)2×-5√41=-4.13.已知空间向量a =(1,-2,3),则向量a 在坐标平面xOy 上的投影向量是 .-2,0)14.已知A ,B ,C 三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),则点P 的坐标是 .,12,0)CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3,-4),设P (a ,b ,c ), 则(a-2,b+1,c-2)=(3,32,-2),∴a=5,b=12,c=0,∴P (5,12,0). 15.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,侧棱P A ⊥底面ABCD ,AB=√3,BC=1,P A=2,E 为PD 的中点.建立空间直角坐标系, (1)求cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB⃗⃗⃗⃗⃗ >; (2)在侧面P AB 内找一点N ,使NE ⊥平面P AC ,求N 点的坐标.解(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (√3,0,0),C (√3,1,0),D (0,1,0),P (0,0,2),E 0,12,1,从而AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,-2). 则cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =2√7=3√714.∴<AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值为3√714. (2)由于N 点在侧面P AB 内,故可设N 点坐标为(x ,0,z ),则NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x ,12,1-z , 由NE ⊥平面P AC 可得,{NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{(-x ,12,1-z)·(0,0,2)=0,(-x ,12,1-z)·(√3,1,0)=0,化简得{z -1=0,-√3x +12=0,∴{x =√36,z =1,即N 点的坐标为√36,0,1.16.已知点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5).(1)求以向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在有向线段为边的平行四边形的面积; (2)若|a |=√3,且向量a 分别与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直,求向量a .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,3),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3,2), 设θ为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角, 则cos θ=AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+1+9·√1+9+4=12,∴sin θ=√32.∴S ▱=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ=7√3. ∴以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为边的平行四边形面积为7√3. (2)设a =(x ,y ,z ),由题意,得{-2x -y +3z =0,x -3y +2z =0,x 2+y 2+z 2=3.解得{x =1,y =1,z =1或{x =-1,y =-1,z =-1.∴a =(1,1,1)或a =(-1,-1,-1). 17.P是平面ABC外的点,四边形ABCD是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1).(1)求证:P A ⊥平面ABCD ; (2)对于向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),c =(x 3,y 3,z 3),定义一种运算:(a×b )·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1,试计算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值;说明其与几何体P-ABCD 的体积关系,并由此猜想向量这种运算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值的几何意义.⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)·(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB.同理,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1)·(4,2,0)=-4+4+0=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即P A ⊥AD.又AB ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,AB ∩AD=A ,∴P A ⊥平面ABCD.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=48, 又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√105,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6, V=13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >·|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16,可得|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=3V P-ABCD . 猜测:|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |在几何上可表示以AB ,AD ,AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB ,AD ,AP 为棱的四棱柱的体积).18.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为4的正方形,A 1C 1与B 1D 1交于点N ,BC 1与B 1C 交于点M ,且AM ⊥BN ,建立空间直角坐标系. (1)求AA 1的长; (2)求<BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >;(3)对于n 个向量a 1,a 2,…,a n ,如果存在不全为零的n 个实数λ1,λ2,…,λn ,使得λ1a 1+λ2a 2+…+λn a n =0成立,则这n 个向量a 1,a 2,…,a n 叫做线性相关,不是线性相关的向量叫线性无关,判断AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否线性相关,并说明理由.以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设AA 1的长为a ,则B (4,4,0),N (2,2,a ),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,a ),A (4,0,0),M (2,4,a 2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,a2),由BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即a=2√2,即AA 1=2√2.(2)BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,2√2),cos <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63, <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=arccos √63.(3)由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,√2),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-4,0),λ1(-2,4,√2)+λ2(-2,-2,2√2)+λ3(0,-4,0)=(0,0,0),得λ1=λ2=λ3=0,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 线性无关.1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量1.已知l 1的方向向量为v 1=(1,2,3),l 2的方向向量为v 2=(λ,4,6),若l 1∥l 2,则λ等于( ) A.1 B .2 C .3 D .4l 1∥l 2,得v 1∥v 2,得1λ=24=36,故λ=2.2.空间中异面直线a 与b 所成角的取值范围是( ) A.[0,π] B.(0,π) C.(0,π2] D.(0,π2),空间中异面直线a 与b 所成角的取值范围是(0,π2]. 3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,若E 为A 1C 1的中点,则直线CE 垂直于( ) A.BDB.ACC.A 1DD .A 1A。

高中数学模块检测含解析新人教B版选择性必修第一册

模块综合检测本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．3 x －y ＋1＝0 B ．3 x －y －3 ＝0 C ．3 x ＋y －3 ＝0D ．3 x ＋y ＋3 ＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－3 .又直线过点(－1，0)，所以直线方程为y ＝－3 (x ＋1)，即3 x ＋y ＋3 ＝0.2．已知向量a ＝(－1，1，0)，b ＝(1，0，2)，且k a ＋b 与a －2b 互相垂直，则k ＝( ) A ．－114B ．15C ．35D ．114解析：选D k a ＋b ＝(－k ＋1，k ，2)，a －2b ＝(－3，1，－4)，由(k a ＋b )·(a －2b)＝3(k －1)＋k －8＝0，解得k ＝114.3．经过点(1，0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.4．若双曲线C 1：x 22 －y 28 ＝1与C 2：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45 ，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 由题意得，b a＝2⇒b ＝2a .①因为C 2的焦距2c ＝45 ，所以c ＝a 2＋b 2＝25 .② 联立①②，得b ＝4，故选B.5．直线x －2y ＋2＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －4＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．2x ＋y －4＝0解析：选A 法一：设P (x ，y )为所求直线上的点，该点关于直线x ＝1的对称点为(2－x ，y )，且该对称点在直线x －2y ＋2＝0上，代入可得x ＋2y －4＝0.故选A.法二：直线x －2y ＋2＝0与直线x ＝1的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 ，则所求直线过点P .因为直线x －2y ＋2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率为－12，故所求直线的方程为y －32＝－12(x－1)，即x ＋2y －4＝0.故选A.6．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1，BD 的中点，则直线AD 1与EF 所成角的余弦值是( )A ．12 B ．32 C ．63D ．62解析：选C 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为2，则A (2，0，0)，D 1(0，0，2)，E (0，0，1)，F (1，1，0)，所以AD 1―→＝(－2，0，2)，EF ―→＝(1，1，－1)，故cos 〈AD 1―→，EF ―→〉＝AD 1―→·EF ―→| AD 1―→||EF ―→| ＝－422×3 ＝－63 ，所以直线AD 1与EF 所成角的余弦值是63. 故选C.7．在椭圆x 24 ＋y 2＝1上有两个动点P ，Q ，E (1，0)为定点，EP ⊥EQ ，则EP ―→·QP ―→的最小值为( )A ．4B ．3－3C ．23D ．1解析：选C 由题意得EP ―→·QP ―→＝EP ―→·(EP ―→－EQ ―→)＝EP ―→2－EP ―→·EQ ―→＝EP ―→2.设椭圆上一点P (x ，y )，则EP ―→＝(x －1，y )，∴EP ―→2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24 ＝34 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋23 ，又－2≤x ≤2，∴当x ＝43时，EP ―→2取得最小值23.8．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若AM ⊥MP ，则点P 形成的轨迹的长度为( )A ．76 B ．75 C ．74D ．72解析：选D 建立空间直角坐标系，如图．设A (0，－1，0)，B (0，1，0)，S (0，0，3 )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32 ，P (x ，y ，0).于是有AM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，32 ，MP ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，y ，－32 .因为AM ⊥MP ，所以AM ―→·MP ―→＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，32 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y ，－32 ＝0，即y ＝34 ，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆内的长度为2×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342 ＝72 .故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．平行于直线x ＋y ＋1＝0，且与圆x 2＋y 2＝4相切的直线的方程是( ) A ．x ＋y ＋22 ＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x ＋y －22 ＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：选AC 根据题意，所求直线平行于直线x ＋y ＋1＝0，则设所求直线的方程为x ＋y ＋m ＝0，若所求直线与圆x 2＋y 2＝4相切，则|m |2＝2，解得m ＝±22 ，则所求直线的方程为x ＋y ±22 ＝0.10.如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论，正确的是( )A ．A 1M ∥D 1PB ．A 1M ∥B 1QC ．A 1M ∥平面DCC 1D 1 D ．A 1M ∥平面D 1PQB 1解析：选ACD ∵A 1M ―→＝A 1A ―→＋AM ―→＝A 1A ―→＋12 AB ―→，D 1P ―→＝D 1D ―→＋DP ―→＝A 1A ―→＋12AB ―→，∴A 1M ―→∥D 1P ―→，从而A 1M ∥D 1P ，可得A 、C 、D 正确．又B 1Q 与D 1P 不平行，∴B 1Q 与A 1M 不平行，可得B 错误．11．已知两点A (－5，0)，B (5，0)，若直线上存在点P ，使|PA |－|PB |＝6，同时存在点Q ，使|QB |－|QA |＝6，则称该直线为“一箭双雕线”，给出下列直线，其中为“一箭双雕线”的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝2C ．y ＝43xD ．y ＝2x解析：选AB 由题意知，满足条件的直线应与双曲线x 29－y 216＝1的左、右两支分别相交，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，∵选项A ：y ＝x ＋1，斜率k ＝1，直线与双曲线的左、右两支分别相交，选项B ：y ＝2，斜率为0，直线与双曲线的左、右两支分别相交，∴A 、B 满足题意．12．已知O 是坐标原点，A ，B 是抛物线y ＝x 2上不同于O 的两点，OA ⊥OB ，下列四个结论中，所有正确的结论是( )A ．|OA |·|OB |≥2 B ．|OA |＋|OB |≥22C ．直线AB 过抛物线y ＝x 2的焦点 D ．O 到直线AB 的距离小于等于1解析：选ABD 设A (x 1，x 21 )，B (x 2，x 22 )，则OA ―→·OB ―→＝0，即x 1x 2(1＋x 1x 2)＝0，所以x 2＝－1x 1.对于A ，|OA |·|OB |＝x 21（1＋x 21）·1x 21 ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 21 ＝1＋x 21 ＋1x 21＋1 ≥2.当且仅当x 1＝±1时取等号，正确；对于B ，|OA |＋|OB |≥2|OA |·|OB | ≥22 ，正确；对于C ，直线AB 的方程为y －x 21 ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1(x －x 1)，不过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，错误；对于D ，原点到直线AB ：⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1x1x －y ＋1＝0的距离d ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 12＋1 ≤1，正确．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知方程x 2＋y 2－2x －2y ＋F ＝0表示半径为2的圆，则实数F ＝________．解析：法一：因为方程x 2＋y 2－2x －2y ＋F ＝0表示半径为2的圆，所以4＋4－4F 4 ＝4，得F ＝－2.法二：方程x 2＋y 2－2x －2y ＋F ＝0可化为(x －1)2＋(y －1)2＝2－F .因为方程x 2＋y 2－2x －2y ＋F ＝0表示半径为2的圆，所以F ＝－2.答案：－214．已知直线l 1：ax ＋y ＋3a －4＝0和l 2：2x ＋(a －1)y ＋a ＝0，则原点到l 1的距离的最大值是________；若l 1∥l 2，则a ＝________．解析：直线l 1：ax ＋y ＋3a －4＝0等价于a (x ＋3)＋y －4＝0，则直线过定点A (－3，4)，当原点到l 1的距离最大时，满足OA ⊥l 1，此时原点到l 1的距离的最大值为|OA |＝（－3）2＋42＝5.若l 1∥l 2，则a (a －1)－2＝0，∴a ＝2(舍去)，a ＝－1. 答案：5 －115．已知双曲线x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________．解析：由题意可得e ＝ca＝2，则c ＝2a ，其中一个焦点为F (c ，0)，渐近线方程为bx ±ay ＝0，所以bc b 2＋a2＝bcc ＝b ＝1，又c 2＝4a 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝13，所以所求的双曲线方程为3x 2－y 2＝1. 答案：3x 2－y 2＝116.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝3 ，点M 在棱CC 1上，且MD 1⊥MA ，则当△MAD 1的面积最小时，棱CC 1的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (3 ，0，0). 设M (0，1，t )，D 1(0，0，z )，0≤t ≤z ，则MD 1―→＝(0，－1，z －t )，AM ―→＝(－3 ，1，t ). ∵MD 1⊥MA ，∴MD 1―→·AM ―→＝－1＋t (z －t )＝0，即z －t ＝1t，则S △MAD 1 ＝12|AM ||MD 1|＝12 ×4＋t 2 ×1＋（z －t ）2 ＝12 （4＋t 2）⎝⎛⎭⎪⎫1＋1t 2＝125＋t 2＋4t2≥12 5＋4 ＝32，当且仅当t 2＝4t 2 ，即t ＝2 ，z ＝322 时等号成立，故CC 1的长为322 .答案：322四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知双曲线的渐近线方程是y ＝±23 x ，焦距为226 ，求双曲线的标准方程．解：若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝23，c 2＝a 2＋b 2＝26，解得a 2＝18，b 2＝8，所以所求双曲线的方程为x 218 －y 28＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝23，c 2＝a 2＋b 2＝26，解得a 2＝8，b 2＝18，所以所求双曲线的方程为y 28 －x 218＝1.综上，所求双曲线的方程为x 218－y 28＝1或y 28－x 218＝1.18．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心C 在直线y ＝x 上，且与x 轴正半轴相切，点C与坐标原点O 的距离为2 .(1)求圆C 的标准方程；(2)斜率存在的直线l 过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 且与圆C 相交于A ，B 两点，求弦长|AB |的最小值．解：(1)由题意可设C (a ，a )，半径为r . ∵|CO |＝2 ＝a 2＋a 2，∴a ＝±1. 又圆C 与x 轴正半轴相切，∴a ＝1，r ＝1， ∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. (2)设直线l 的方程为y －12 ＝k (x －1)，点C 到直线l 的距离d ＝121＋k 2，弦长|AB |＝21－14（1＋k 2）， ∴当k ＝0时，弦长|AB |的最小值为3 .19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，PA ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明：PC ⊥AD ；(2)求二面角A PC D 的正弦值．解：如图，以点A 为坐标原点，AD ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)， D (2，0，0)，C (0，1，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－12，12，0 ，P (0，0，2). (1)证明：易得PC ―→＝(0，1，－2)， AD ―→＝(2，0，0)，则PC ―→·AD ―→＝0，所以PC ⊥AD .(2)易得PC ―→＝(0，1，－2)，CD ―→＝(2，－1，0). 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z ). 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC ―→＝0，n ·CD ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.令z ＝1，可得n ＝(1，2，1).又AD ―→＝(2，0，0)是平面PAC 的一个法向量，所以cos 〈AD ―→，n 〉＝AD ―→·n |AD ―→||n| ＝66 ，从而sin 〈AD ―→，n 〉＝306 .所以二面角A PC D 的正弦值为306. 20．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值．解：(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到准线的距离为4， ∴2＋p2＝4，∴p ＝4，∴抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x 得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝8，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝8m .∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0， ∴m ＝0或m ＝－8.经检验，当m ＝0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意．当m ＝－8时，Δ＝242－4×64＞0，符合题意．综上，实数m 的值为－8.21．(本小题满分12分)如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，其中ABCD 为矩形，ADEF 为梯形，AF ∥DE ，AF ⊥FE ，AF ＝AD ＝2DE ＝2.(1)求证：EF ⊥平面BAF ； (2)若二面角A BF D 的余弦值为24，求AB 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴BA ⊥AD ，∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，又平面ABCD ∩平面ADEF ＝AD ，BA ⊂平面ABCD ，∴BA ⊥平面ADEF .又EF ⊂平面ADEF ，∴BA ⊥EF . 又AF ⊥EF ，且AF ∩BA ＝A ， ∴EF ⊥平面BAF .(2)设AB ＝x (x ＞0).以F 为坐标原点，AF ，FE 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系F xyz ，如图．则F (0，0，0)，E (0，3 ，0)，D (－1，3 ，0)，B (－2，0，x )，∴DF ―→＝(1，－3 ，0)，BF ―→＝(2，0，－x ).由(1)知EF ⊥平面ABF ，∴平面ABF 的一个法向量可取n 1＝(0，1，0). 设n 2＝(x 1，y 1，z 1)为平面BFD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF ―→＝0，n 2·DF ―→＝0，即⎩⎨⎧2x 1－z 1x ＝0，x 1－3y 1＝0，令y 1＝1，则n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，1，23x .∵cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝14＋12x2＝24，解得x ＝3 (负值舍去)，∴AB ＝3 . 22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a >b >0)的离心率e ＝63 ，过点A (0，－b )和B (a ，0)的直线与原点的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (－1，0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由．解：(1)直线AB 的方程为：bx －ay －ab ＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，ab a 2＋b 2＝32，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在这样的k 值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋3y 2－3＝0，得 (1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0. ∴Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0.①设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12k 1＋3k2，x 1x 2＝91＋3k 2．②而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.要使以CD 为直径的圆过点E (－1，0)，当且仅当CE ⊥DE 时，则y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1.即y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0.③将②式代入③整理解得k ＝76 .经验证k ＝76 使①成立．综上可知，存在k ＝76，使得以CD 为直径的圆过点E .。

人教B版高中数学选择性必修第一册综合检测卷一课件

2, 2
6
3
审题指导对于A,由几何体A1BC1-ACD1的外接球与正方体ABCD-A 1B1C1D1的外接球相同,可求得半径;对于B,利用面面平行的定义即可判断;对于C, 找到异面直线CD与A1M所成的角,结合线面垂直的性质,将所成角的正弦值用含 B1M的式子表示,再结合B1M的取值范围,即可求解;对于D,建立空间直角坐标系, 利用空间向量,结合三角函数的知识可进行求解.
解题思路对于A,易知几何体A1BC1-ACD1的外接球与正方体ABCD-A1B1C1D1的
外接球相同,则半径r = 2=2 2,2故A22错误3;
2
对于B,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1且AA1=CC1,故四边形A1ACC1为平行四边形,所以A1C1∥AC,而A1C1⊄平面ACD1,AC⊂平面ACD1,故A1C1∥平面ACD1, 同理可证A1B∥平面ACD1,又因为A1C1∩A1B=A1,A1C1,A1B⊂平面A1BC1, 所以平面A1BC1∥平面ACD1,又A1M⊂平面A1BC1, 所以A1M∥平面ACD1,故B正确;
如图,过点M作准线的垂线,垂足为M',
过G作GH垂直于准线,垂足为H,
则△GFM的周长为|MG|+|MF|+|GF|=|MG|+|MM'|+ 5 ≥|GH|+ 5 =3+ 5 ,
当且仅当点M的坐标为(1,2)时取等号,故D选项正确.
故选ABD.
方法总结处理焦点弦,焦半径长度问题的方法 (1)常规处理手段:求交点坐标然后用距离公式(含参的问题不适合); (2)处理此类问题的通法:弦长公式结合根与系数的关系; (3)抛物线的定义结合焦点弦公式.
3

人教B版高中数学必修一一次函数测试题及答案.doc

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作一、选择题1、下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x 中，是一次函数的有（）（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个 2、下面哪个点不在函数32+-=x y 的图像上（）（A ）（-5，13）（B ）（0.5，2）（C ）（3，0）（D ）（1，1）3、直线y=kx+b 在坐标系中的位置如图，则( ) （第13题图）（A ）1,12k b =-=- （B ）1,12k b =-= （C ）1,12k b ==- （D ）1,12k b ==4、下列一次函数中，随着增大而减小而的是（）（A ）x y 3= （B ）23-=x y （C ）x y 23+= （D ）23--=x y5、已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则k ，b 的符号是( )(A) k>0，b>0 (B) k>0，b<0(C) k<0，b>0 (D) k<0，b<0 二、填空6、已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是。

7、若函数y= -2x m+2是正比例函数，则m 的值是。

8、已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k= 。

9、已知y 与x 成正比例，且当x ＝1时，y ＝2，则当x=3时，y=____ 。

10、点P （a ，b ）在第二象限，则直线y=ax+b 不经过第象限。

11、已知一次函数y=kx-k+4的图象与y 轴的交点坐标是(0，-2)，那么这个一次函数的表达式是______________。

12、已知点A(-21，a), B(3，b)在函数y=-3x+4的象上,则a 与b 的大小关系是____ 。

13、地面气温是20℃,如果每升高100m,气温下降6℃,则气温t （℃）与高度h （m ）的函数关系式是__________。

人教B版高中数学必修一高一复习周测之一.docx

—————————— 新学期新成绩新目标新方向 ——————————桑水大庆铁人中学2016-2017高一数学复习周测之一一．选择题1．方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是（） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5-2．若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2 }，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅3．由实数x 、－x 、|x |、x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素4．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{y |(y －1)2＝0}C ．{x ＝1}D ．{1} 6．若集合A 、B 、C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系是( ) A ．A C B ．C A C ．A ⊆C D ．C ⊆A 7．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪SC ．(M ∩P )∩∁I SD ．(M ∩P )∪∁I S8．设全集U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，集合M ＝{(x ，y )|y －3x －2＝1}，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M∪N )等于( ) A ．∅ B ．{(2,3)} C ．(2,3) D ．{(x ，y )|y ＝x ＋1} 9．已知集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是( )A ．x 0∈NB ．x 0∉NC ．x 0∈N 或x 0∉ND ．不能确定10．集合M 由正整数的平方组成，即M ＝{1,4,9,16,25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的．M 对下列运算封闭的是( ) A ．加法 B ．减法 C ．乘法 D ．除法 11．若}450|{2≤++≤=ax x x A 是单元素集合，则实数a 的值为( )D C B A 3232±±±不存在这样的实数12．集合M ＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n ＋1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m ＋1，m ∈Z }之间的关系是( )A ．S P MB ．S ＝P MC ．S P ＝MD ．P ＝M S 二．填空题13．设集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a ∈R }，若A ∩B ＝B ，则a 的取值集合为________。