江苏省淮安市淮海中学高三数学三统模拟测试试题(一)苏教版

数学Ⅰ卷 命题人：肖海峰
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．
． 1．已知集合{}1 3 5 9U =，，，
，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U
A B = ▲ ．
【答案】{}5
2. 已知
2(,)a i
b i a b R i
+=-∈，其中i 为虚数单位，则a b += ▲ ． 【答案】3
【解析】本题考查复数的四则运算．因为22(,)a i
ai b i a b R i
+=-=-∈，所以，a ＝1，b ＝
2，所以a b +＝3．
3． 用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，将400名学生随机地编号为
400~1，按编号顺序平均分为20个组。

若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，
则第20组抽取的号码为 ▲ ．
3.【答案】391
4． 从1,2,3,4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ▲ ． 4.【答案】
23
【解析】本题考查古典概型．基本事件总数为6，符合要求的事件数为4，故所求概率为23
． 5．已知单位向量,i j 满足(2)j i i -⊥，则,i j 的夹角为 ▲ ． 5．【答案】
3
π
【解析】本题考查平面向量的垂直和数量积的计算．因为(2)j i i -⊥，所以(2)0j i i -=，
即2
2 i j i ⋅-＝0，所以，2||||cos 10i j θ-= ，即1
cos 2
θ=
，则,i j 的夹角为3π．
6.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 6.【答案】205
1
100
223I While I I I S I End While
←<←+←+注 意 事 项
考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。

3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

7．已知实数x ，y 满足11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2x y +的最大值是 ▲ ．
【答案】
32
【解析】本题考查线性规划．可行域为三角形区域，最优解为11
(,)22
．
8
、已知cos()410π
θ+
=-
，(0,)2
π
θ∈，则sin(2)3πθ-= ▲ ．
【解析】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和（差）的正弦、余弦．根据题意，
3(,)444
π
ππ
θ+
∈，所
以
sin()4
π
θ+
=
，故
24
sin 2sin[2()]cos2()12cos ()42445
ππππθθθθ=+-=-+=-+=
，
3
cos2cos[2()]sin 2()2sin()cos()424445πππππθθθθθ=+-=+=++=-
，
因
此
413sin(2)()3525πθ-=⋅--=
9、直线23+=x y 与圆心为D 的圆()()
13
12
2=-+-y x 交于B A ,两点，直线BD AD ,的
倾斜角分别为βα,，则()βα+tan = ▲ ．4
3
- 10．设P 为24
12
-=
x y 图象C 上任意一点，l 为C 在点P 处的切线，则坐标原点O 到l 距离的最小值为 ▲ ．2
11、已知椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点，M 、N 是
椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，若121
4
k k ⋅=，则椭圆的离心率为 ▲ ．
【解析】本题考查椭圆的标准方程和几何性质．设00(,)M x y ，则00(,)N x y -，
2
2
2
2200012222220000(1)14x b y y y b a k k x a a x a x a x a -⋅=⋅====+---，可得2234a c =
，从而c e a ==． 11．
【答案】
2
12．若0,0a b >>，且21a b +=
，则22(4)S a b =+ 的最大值是 ▲ ．
12．【答案】
1
2
【解析】由
22
a b
+≥得12≤
，221
42
a b +≥，所以
2222
1(4)(2)22S a b a b ⎡⎤=+=+-⎣⎦≤
，当且仅当1
22
a b ==时取到等号．
12.已知a >0，b >0，函数f (x )＝x 2
＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数，则f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为________．
根据函数f (x )是偶函数可得ab －a －4b ＝0，函数f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为ab .由ab －a －4b ＝0，得ab ＝a ＋4b ≥4ab ，解得ab ≥16(当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立)，即f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为16.
13．设函数()x x x x f 5323+-=，{}n a 为公差不为0的等差数列，若101021=+++a a a ，
则()()()1021a f a f a f +++ = ▲ ．
30
14. 定义在R 上的函数()f x 满足(2)f x -是偶函数，且对任意x R ∈恒有
(3)(1)2014f x f x -+-=，又(4)2013f =，则(2014)f = .
答案：1
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知平面向量(sin(),cos )m C C π=-，
(sin(),sin )2
n B B π
=+，且sin 2m n A ⋅=．
（1）求sin A 的值；
（2）若1,cos cos 1a B C =+=，求边c 的值． 15．【解析】（1）由题意，sin2sin cos sin cos A C B B C =+ …………………………2分
得2sin cos sin()sin A A B C A =+= ………………………………………………4分
由于ABC ∆中sin 0A >，2cos 1A ∴=，1
cos 2
A =………………………………5分
∴sin A =………………………………………………………6分 （2）由cos cos 1B C +=得cos()cos 1A C C -++= ………………………………7分
即sin sin cos cos cos 1A C A C C -+=，1
cos 12
C C +=…………9分 得sin()16C π+=，250,3666
C C ππππ<<∴<+<
，平方得3C π
∴=……………12分
所以ABC ∆为正三角形，1c ∴=………………………………………………… 14分 16．（本小题满分14分）
(2013·苏州质检)如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知∠ACB ＝90°，M 为A 1B 与AB 1的
交点，N 为棱B 1C 1的中点， (1)求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；
(2)若AC ＝AA 1，求证：MN ⊥平面A 1BC . 证明 (1)连接AC 1，因为M 为A 1B 与AB 1的交点，
所以M 是AB 1的中点，又N 为棱B 1C 1的中点．所以MN ∥AC 1，………………3分
又因为AC 1⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ，
所以MN ∥平面AA 1C 1C . …………………………7分 (2)因为AC ＝AA 1，所以四边形AA 1C 1C 是正方形， 所以AC 1⊥A 1C ，又AC 1∥MN ，所以A 1C ⊥MN .
又因为ABC ­A 1B 1C 1是直三棱柱，…………………………9分
所以CC 1⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC . …………………………11分
又因为∠ACB ＝90°，所以AC ⊥BC ，
因为CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ，又AC 1⊂平面AA 1C 1C ， 所以BC ⊥AC 1，
因为MN ∥AC 1，所以MN ⊥BC ，又MN ⊥A 1C ，
又BC ∩A 1C ＝C ，所以MN ⊥平面A 1BC . …………………………14分 17．（本小题满分14分）
如图，ABCD 是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF ，其中动点E 、
F 分别在CD 、BC 上，且△ECF 的周长为常数a （单位：百米）．
（1）求景观带面积的最大值；
（2）当a=2时，请计算出从A 点欣赏此景观带的视角（即∠EAF ）．
17．解析：（1）设,EC x CF y ==，则22x y x y a ++=（※）
F
E D C B
A
（第17题）
由基本不等式，(2x y +≥= 3分
所以，△ECF 的面积2
2
11
22S xy =≤=……………… 5分
当且仅当22
x y ==
时等号成立
2
……………………………………… 6分 （2）记,EAD FAB αβ∠=∠=，,(0,),(0,)22
ππ
αβαβ∈+∈,
则tan 1,tan 1x y αβ=-=- 故22()
tan()1(1)(1)x y x y x y x y xy
αβ---++=
=---+-
由（※）可得，2
()2
a xy a x y =+-，即2()2xy x y =+-………………… 10分
代入上式可得，2()
tan()2()
x y x y αβ-++=
-+=1
所以()2
4
EAF π
π
αβ∠=
-+=
故当2a =时，视角EAF ∠为定值4
π
……………………………………………… 14分
18．（本小题满分16分）
如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)y x a b a b
+=>>的右焦点为(1 0)F ，,离心率
.分别过O ,F 的两条弦AB ,CD 相交于点E (异于A ,C 两点),且OE EF =.
(1)求椭圆的方程; (2)求证:直线AC ,BD 的斜率之和为定值.
18．【答案】(1)解:由题意,得1c =
,c e a =,
故a , ……………… 2分
从而2221b a c =-=, ……………… 4分
所以椭圆的方程为2
212
x y +=. ① ……………… 6分 (2)证明:设直线AB 的方程为y kx =, ②
直线CD 的方程为(1)y k x =--, ③ 由①②得,点A ,B
的横坐标为由①③得,点C ,D
, ……………… 10分
记11( )A x kx ，,22( )B x kx ，,33( (1))C x k x -，,44( (1))D x k x -，, 则直线AC ,BD 的斜率之和为 13241324
(1)(1)
kx k x kx k x x x x x ----+
-- ……………… 12分 132413241324(1)()()(1)
()()x x x x x x x x k x x x x +--+-+-=⋅--
1234123413242()()()
()()
x x x x x x x x k x x x x --+++=⋅
--
22
222
13242(1)2420212121()()
k k k k k k x x x x -⎛⎫---+ ⎪+++⎝⎭=⋅
-- 0= ……………………………………………… 16分
（第18题）
19．(本小题满分16分)
设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，S 6＝22． （1）求S n ；
（2）若从{a n }中抽取一个公比为q 的等比数列{a k n }，其中k 1＝1，且
k 1＜k 2＜…＜k n ＜…，k n ∈N *．
①当q 取最小值时，求{ k n }的通项公式；
②若关于n (n ∈N *)的不等式6S n ＞k n ＋1有解，试求q 的值．
19．解：（1）设等差数列的公差为d ，则611665222S a d =+
⋅⋅=，解得2
3
d =，…2分 所以(5)
3
n n n S +=
. …………4分 （2）因为数列}{n a 是正项递增等差数列，所以数列}{n k a 的公比1>q ，
若22=k ，则由382=a ，得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(3
2
932+=n ， 解得*3
10
N n ∉=
，所以22>k ，同理32>k ； …………6分 若42=k ，则由44=a ，得2=q ，此时1
22-⋅=n k n a ，
另一方面，2(2)3n k n a k =+，所以2(2)23
n
n k +=，即1322n n k -=⨯-， ………8分
所以对任何正整数n ，n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．所以最小的公比2=q ．
所以22
31
-⋅=-n n k ． …………10分 （3）因为124
23
n n n k k a q -+=
=，得132n n k q -=-，而1q >， 所以当1q >且q N ∈时，所有的1
32n n k q -=-均为正整数，适合题意； 当2q >且q N ∉时，1
32n n k q N -=-∈不全是正整数，不合题意.
而16n n S k +>有解，所以
2(5)2
13n
n n q
++>有解，经检验，当2q =，3q =，4q =时，1n =都是
2(5)2
13n
n n q ++>的解，适合题意； ……………12分
下证当5q ≥时，2(5)213n n n q ++>无解, 设2(5)2
3n n
n n b q
++=， 则212[(1)(75)7]
3n n n
q n q n q b b q
+-+-+--=， 因为
57
022q q
-<-，所以2()2[(1)(75)7]f n q n q n q =-+-+-在*n N ∈上递减，
又因为(1)0f <，所以()0f n <恒成立，所以10n n b b +-<，所以1n b b ≤恒成立， 又因为当5q ≥时，11b <，所以当5q ≥时，16n n S k +>无解. ……………15分 综上所述，q 的取值为2,3,4. ………………16分
20．（本小题满分16分）
已知函数32()f x x x b =-++，()ln g x a x =． （1）若()f x 的极大值为
4
27
，求实数b 的值； （2）若对任意[]1,x e ∈，都有2()(2)g x x a x -++≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）当0b =时，设()(),1
(),1
f x x F x
g x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩≥，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存
在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形
斜边中点在y 轴上？请说明理由．
20．解析：（1）由32()f x x x b =-++，得2()32(32)f x x x x x '=-+=--，
令()0f x '=，得0x =或
2
3
． 当x 变化时，()f x '及()f x 的变化如下表：
所以()f x 的极大值为24
()327
f b =
+=427， 0b ∴=．…………………………………………………………………………………4分
（2）由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(ln )2x x a x x -≤-．
[1,],ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，
ln x x ∴<，即ln 0x x ->
22ln x x a x x -∴≤-恒成立，即2min 2()ln x x
a x x -≤-……………………………………………6分
令22(),([1,])ln x x t x x e x x
-=∈-，求导得，2(1)(22ln )()(ln )x x x t x x x -+-'=
-，
当[1,]x e ∈时，10,0ln 1,22ln 0x x x x -≥≤≤+->，从而()0t x '≥，
()t x ∴在[1,]e 上为增函数， min ()(1)1t x t ∴==-，
1a ∴≤-．………………………………………………………………………………8分
（3）由条件，32,()ln ,x x F x a x ⎧-+=⎨⎩
1
1x x <≥，
假设曲线()y F x =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧，……9分 不妨设(,())(0)P t F t t >，则32(,)Q t t t -+，且1t ≠．
POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，0OP OQ ∴⋅=， 232()()0t F t t t ∴-++= （*），
是否存在P ，Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解．………………………11分 ①若01t <<时，方程()*为()()
232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解；…………………………………………………………………………………………12分
②若1t >时，方程()*为(
)
232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()1
1ln t t a
=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t
'=++， 显然，当1t >时，()0h t '>， 即()h t 在()1,+∞上为增函数，
()h t ∴的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，
∴当0a >时，方程（*）总有解． ∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．……………16分
淮安市淮海中学高三年级三统模拟测试(一)
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲
如图，等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ． 求证：∠DAE =∠BAC .
B ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵1237A -⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
， (Ⅰ)求逆矩阵1A -；（Ⅱ）若矩阵X 满足31
AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，试求矩阵X ．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知点3,)6P ，直线:cos()224l +=，求点P 到直线l 的距离．
D ．选修4—5：不等式选讲
已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请
在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位
考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回. 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的
规定位置．
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫
米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
A
B
D
O
P
证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)
如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ．
（1）若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦 值的大小；
（2）若二面角A －PB －C ，求 PA 的长度．
23．（本小题满分10分）
设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A 不是B 的子集，且B 也不是A 的子集．
（1）若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对(A ,B )的个数； （2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ,B )的个数．
数学Ⅱ（附加题） 参考答案
21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲
证明：∵ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ， ∴AD =BC ． 从而AD BC =．
∴∠ACD =∠BAC . ……………………………………………………4分 ∵AE 为圆的切线，∴∠EAD =∠ACD . …………………………………8分 ∴∠DAE =∠BAC . ……………………………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换
解：（1）设1-A =a
b c d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1237-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=327327a b a b c d c d +--⎡⎤⎢⎥+--⎣⎦=1001⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
∴
31,
270,
30,
27 1.
a b
a b
c d
c d
+=
⎧
⎪--=
⎪
⎨
+=
⎪
⎪--=
⎩
解得
7,
2,
3,
1.
a
b
c
d
=
⎧
⎪=-
⎪
⎨
=
⎪
⎪=-
⎩
∴1-
A=
72
31
-
⎡⎤
⎢⎥
-
⎣⎦
…………6分
（2）
72319
3118
-
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
X…………10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：点P
的直角坐标为，…………………………………………………4分
直线l的普通方程为40
x y
--=，………………………………………8分
从而点P到直线l
=…………………………10分
D．选修4—5：不等式选讲
证明：左边-右边=2222
()(1)1(1)[(1)1]
y y x y x y y yx y x
-+--+=--++………4分=(1)(1)(1)
y xy x
---，………………………………………………………6分∵1
x≥，1
y≥，
∴0,0,0
111
y xy x
---
≤≥≥．………………………………………………8分从而左边-右边≤0，
∴2222
1x
x y xy y x y
++++
≤．………………………………………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
22．解：连结OC．
∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，∴PO⊥平面ABC．从而PO⊥AB，PO⊥O C．
∵AC=BC，点O是AB的中点，∴OC⊥AB．
且
OA OB OC
===．……………2分如图，建立空间直角坐标系O xyz
-．
（1）2
PA a
=
，PO．
(0,,0) A
，,0)
B
，,0,0)
C，
)P
，D ． …………4分
从而(0,)PA =-，，
()22
CD =-，．
∵2cos ,2PA CD PA CD a
PA CD
⋅<>=
=
= ∴异面直线PA 与CD ． ……………………………6分 （2）设PO h =，则(0,0,)P h ．∵ PO ⊥O C ，OC ⊥AB ，∴OC ⊥平面P AB ． 从而(2,0,0)OC a =是平面PAB 的一个法向量． 不妨设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，
∵(0,)PB h =-，，(2,0)BC a =
-，，0,
0.
n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∴
,.hz x y ==⎪⎩
不妨令x =1，则y =1，z =
2(1,1,n
=． ………………………8分 2OC n
OC n
a ⋅==
，化简，得222
3h a =．
∴PA =
． …………………………………10分 23．解：（1）110； ………………………………………………………………3分
（2）集合M 有2n
个子集，不同的有序集合对(A ,B )有2(21)n
n
-个．
若A ⊂≠B ，并设B 中含有*
(1,)k k n k ∈N ≤≤个元素，则满足A ⊂≠B 的有序
集合对 (A ,B ) 有
1
(21)232n
n n
k
k
k
k
k
n n n
n
n k k k C
C C ===-=-=-∑∑∑个 ． …………………6分 同理，满足B ⊂≠A 的有序集合对(A ,B )有32n n
-个． …………………8分
故满足条件的有序集合对(A ,B )的个数为
2(21)2(32)4223n n n n n n n ---=+-⨯ ………………………………………………10分。