第二章模糊集合1
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模糊数学1、模糊集、隶属度函数、如何确定隶属度函数
模糊数学1、模糊集、⾪属度函数、如何确定⾪属度函数
------------------------2021.3.14更新------------------------------
⼀个关于模糊和概率的趣味⼩问题
------------------------2021.3.14更新------------------------------
------------------------2020.8.17更新------------------------------
总算学完了，这懒病改改改了，放⼀下所有的笔记链接
集合的概念：⼀些具有相同特征的不同对象构成的全体，也称集或者经典集合。
经典集合的特征函数（和模糊集的⾪属度函数⼀样）：
f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1\quad x \in A \\ 0\quad x \notin A \\ \end{array} \right.
⼀个经典集合A，它的特征函数为f()，那么怎么判断⼀个新的对象x是不是属于这个集合呢，计算f(x)是0还是1，是1代表属于A，是0代表不属于。
与之对应的是模糊集合，假设A是⼀个模糊集合，它的⾪属度函数是\mu _A ( \cdot )，那么⼀个新的对象x属于A的程度就是\mu _A (x)（是⼀个0到1之间的数）。⾪属度函数的构造极为重要，⼀般根据这个模糊集的性质相关。⼀般也把A的⾪属度函数写成A( \cdot )接下来是模糊集的表⽰⽅法，共三种：扎德表⽰法，序偶表⽰法，向量表⽰法。假设论域U = \left\{ {x_1 ,x_2 , \cdot \cdot \cdot ,x_n }
1 模糊集合及其运算
∧ 表示取小。 表示取小。
例 设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集 ，在U 设论域 商品集)， 商品集 上定义两个模糊集： 商品质量好” 上定义两个模糊集： A =“商品质量好” B =“商 商品质量好 商 品质量坏” 品质量坏”，并设 A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0). 则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”. 商品质量不好” 商品质量不坏” 商品质量不好 商品质量不坏 Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1). 可见A 商品质量不好≠ 可见 c ≠B, Bc ≠A. 商品质量不好≠商品质量坏 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) ≠U, ∪ A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) ≠φ .
模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有： 模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有： （1）Zadeh表示法 ） 表示法
A( x1) A( x2 ) A( xn ) A= + +L+ x1 x2 xn
A( xi ) 对模糊集A的隶属度是 这里 表示 xi 对模糊集 的隶属度是 A( xi ) 。 xi
如
在论域U中任意给定一个元素 及任意给定一个 在论域 中任意给定一个元素u及任意给定一个 中任意给定一个元素 经典集合A， 用函数表示为： 经典集合 ，则必有 u ∈ A 或者u ∉ A ，用函数表示为：
模糊集合
第二章：模糊集合与模糊计算
模糊理论的产生一方面是为描述客观世界中的模糊现象，另一方面是为了将人类的知识引入到智能系统中去，提高智能系统的智能水平。“模糊”译自英文“Fuzzy”一词，其含义可以解释为：“朦胧的、模糊的；不精确的；不合逻辑的、不分明的”。因此，曾有人提议兼顾其音义将Fuzzy译为“乏晰”，但最终没有得到大众的认可。经过数十年的发展，“模糊”作为一个技术形容词已经得到了广泛使用。如模糊计算、模糊推理、模糊控制等等。
§2.1 模糊性分析
2.1.1 模糊性
在客观世界中，有的概念在特定的场合有明确的外延，例如国家、货币、法定年龄、地球是行星等等。而有的概念的外延往往并不明确，例如发展中国家、著名球星、俊男靓女、冷与热等等。是不是发展中国家，不同的人有不同的理解。这种没有明确外延的概念，我们说它具有模糊性(fuzziness)。当然，模糊性通常是指对概念的定义及理解上的不确定性，如酷、聪明、舒适等等。关于什么是聪明，我们永远不可能列举出它应满足的全部条件。至于什么是酷，不同的时代可能有不同的理
解。不容置疑的是在现实生活中，这种模糊现象是普遍存在的。 模糊性来源于事物的变化过程。处于过渡阶段，事物的基本特征就是性态的不确定性，类属的不清晰性，也就体现出模糊性。例如“青年人”这个模糊概念。根据图2.1.1给出的关于人的成长阶段，按照经典集合的描述方法，一般认为年龄在14~25岁之间的人是青年人，其特征函数值取为1，其它年龄段的人都不是青年人。
儿
童
时
期
少年时期青年时期中年时期老年时期年龄
模糊数学——第2次课模糊集合概念
A {( x1 , A( x1 )), ( x2 , A( x2 )),, ( xn , A( xn ))} 1 0.8 0.2 0 可表示为： 如例1 A 1 2 3 4 A 1,1 , 2,0.8 , 3,0.2 , 4,0 （3）向量表示法 A ( A( x1 ), A( x2 ),, A( xn ))
0 0 u 50 u 50 2 1 O(u ) (1 ( ) ) 50 u 100 5
1
0 50
2014年6月26日
14
U 100
再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属 于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：
1 0 u 25 u 25 2 1 Y (u ) (1 ( ) ) 25 u 100 5
2014年6月26日
9
表示方法1的说明
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn
不是分式求和，只是一个符号 “分母”是论域U的元素 “分子”是相应元素的隶属度 当隶属度为0时，该项可以不写入
2014年6月26日
10
模糊集合及其运算
（2）序偶表示法
1
Y
B（u）
1
0u 25
u 25 2 1 (1 ( ) ) 5
第二章模糊控制理论基础
模糊集合 特征函数 隶属度函数（0～1连续变化值）
例：人对温度的感觉(0C ~40C的感觉)：
“舒适”的温度：15C ~25C
“热”：
25C以上
“冷”： 15C 以下
经典集合：14.99C属于“冷”；15.01 C属于舒适。 与人的感觉一致吗？
(T) (T)
1.0 冷
舒
适 温
热
度
0 15 25 40 C
四种方法： 1、模糊统计法
基本思想：论域U上的一个确定的元素v0是否属于一个可变动的清 晰集合A*作出清晰的判断。
对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同的边界。但它们都对 应于同一个模糊集A。
模糊集A 年轻人
v0
清晰集A1* 清晰集A2*
论
17-30岁 20-35岁
域 U
所有人
计隶算属步度骤函：数在确每立次的统方计法中：，v0是固定的（如某一年龄）， A*的值是可变的，作n次试验,则
A 0.6 0.5 1 0.4 0.3
u1 u2 u3 u4 u5
0.5 0.6 0.3 0.4 0.7 B
u1 u2 u3 u4 u5
则A、B的并运算：
A B 0.6 0.5 0.5 0.6 1 0.3 0.4 0.4 0.3 0.7 0.6 0.6 1 0.4 0.7
示。
uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。
例：人对温度的感觉(0C ~40C的感觉)：
“舒适”的温度：15C ~25C
“热”：
25C以上
“冷”： 15C 以下
经典集合：14.99C属于“冷”；15.01 C属于舒适。 与人的感觉一致吗？
(T) (T)
1.0 冷
舒
适 温
热
度
0 15 25 40 C
四种方法： 1、模糊统计法
基本思想：论域U上的一个确定的元素v0是否属于一个可变动的清 晰集合A*作出清晰的判断。
对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同的边界。但它们都对 应于同一个模糊集A。
模糊集A 年轻人
v0
清晰集A1* 清晰集A2*
论
17-30岁 20-35岁
域 U
所有人
计隶算属步度骤函：数在确每立次的统方计法中：，v0是固定的（如某一年龄）， A*的值是可变的，作n次试验,则
A 0.6 0.5 1 0.4 0.3
u1 u2 u3 u4 u5
0.5 0.6 0.3 0.4 0.7 B
u1 u2 u3 u4 u5
则A、B的并运算：
A B 0.6 0.5 0.5 0.6 1 0.3 0.4 0.4 0.3 0.7 0.6 0.6 1 0.4 0.7
示。
uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。
模糊逻辑理论基础
向量表示法：
A (1,0.9,0.7,0.5,0.3,0.1,0,0,0,0)
序偶表示法：
A (1,1),(2,0.9),(3,0.7),(4,0.5),(5,0.3),(6,0.1)
3.模糊集合基本运算 模糊集合是用隶属函数表征，逐点对隶属函数 运算。
设A、B是U上的模糊子集，u U
A.空集 B.全集 C.等集 D.补集
特征函数：
1 u A CA(u) 0 u A CA(u) 集合A的特征函数， 隶属度100％
CA (u)
1
u
0 uA uA uA
1. 模糊集合的定义
设给定论域U， A 为u 到[0，1]闭区间的任一
映射：
A：U[0，1]。
u A (u)
注意：1. U是普通集合，U的子集是模糊集合。
模糊数学的主要内容有： 模糊集合论，模糊逻辑，模糊推理。
a .经典二值逻辑与模糊逻辑的区别 经典二值逻辑 ：有明确边界，被讨论对象属性确定 模糊逻辑 ：表示对象属于某一类的程度。 如： 集合大于5的实数，用经典集合A表示
A x | x 5
边界5，比5大得多的自然数程度
A x, A (x) | x X 模糊集合隶属度表示
如: “老年人”集合，“胖子”集合 没有明确的外延概念。
查德1965年提出模糊集合概念 程度取值[0，1]。
论域：所有元素的全体，或研究事物的范围 {ui}U,i 1, 2, , n 电压：150v-220v
A (1,0.9,0.7,0.5,0.3,0.1,0,0,0,0)
序偶表示法：
A (1,1),(2,0.9),(3,0.7),(4,0.5),(5,0.3),(6,0.1)
3.模糊集合基本运算 模糊集合是用隶属函数表征，逐点对隶属函数 运算。
设A、B是U上的模糊子集，u U
A.空集 B.全集 C.等集 D.补集
特征函数：
1 u A CA(u) 0 u A CA(u) 集合A的特征函数， 隶属度100％
CA (u)
1
u
0 uA uA uA
1. 模糊集合的定义
设给定论域U， A 为u 到[0，1]闭区间的任一
映射：
A：U[0，1]。
u A (u)
注意：1. U是普通集合，U的子集是模糊集合。
模糊数学的主要内容有： 模糊集合论，模糊逻辑，模糊推理。
a .经典二值逻辑与模糊逻辑的区别 经典二值逻辑 ：有明确边界，被讨论对象属性确定 模糊逻辑 ：表示对象属于某一类的程度。 如： 集合大于5的实数，用经典集合A表示
A x | x 5
边界5，比5大得多的自然数程度
A x, A (x) | x X 模糊集合隶属度表示
如: “老年人”集合，“胖子”集合 没有明确的外延概念。
查德1965年提出模糊集合概念 程度取值[0，1]。
论域：所有元素的全体，或研究事物的范围 {ui}U,i 1, 2, , n 电压：150v-220v
计算机智能控制第2讲模糊数学的基本概念1
则
模糊集合运算图示
模糊集运算的基本定律
定理2-1 模糊集运算基本定律：设U为论域，A、B、C为U 中的任意模糊子集，则下列等式成立：
（1）幂等律 （2）结合律 （3）交换律 （4）分配律 （5）同一律 （6）零一律 （7）吸收律 （8）德.摩根律 （9）双重否认律
模糊集的截集
从模糊中寻找确定，“矬子里选将军”
定义：设Aλ∈F(U), λ∈[0,1] 则：
(1)
称Aλ为A
的一个-λ截集，称λ为阈值（或置信水平）
。
(2) 的一个-λ强截集。
称Aλ为A
Biblioteka Baidu
(3) SuppA={u|u∈U, A(u)>0} ，A的支集
KerA={u|u ∈U,A(u)=1} ，A的核。
计算机智能控制
第2讲模糊数学的基本概念
内容介绍
1、模糊数学的基本概念 2、模糊集合概述 3、模糊关系概述
模糊数学的基本概念
模糊集理论是美国加州大学控制专家 L.A. Zadeh (查德)1965年开创的
模糊数学的基本概念
1、模糊集和隶属函数 定义 1 论域X 到[0,1]闭区间上的任意映射
μ A ： X →[0,1] x →μ A (x) 都确定 X 上的一个模糊集合A ， μ A叫做A的隶属
λ截集、核、支集图示
2 模糊集合(1)
i A= ∫ µ A ( xi ) / x X
X 为离散对象集合
X 为连续空间（通常为实轴）
注意: 注意 ∑ 和 ∫
并非求和与积分符号.
上述三个例子分别可写为 C = 0.8 /上海 + 0.9 /北京 + 0.7 /天津 + 0.6 /西安 C = 0.1/0 + 0.3/1 + 0.7/2 + 1.0/4 + 0.3/5 + 0.1/6
µ A ( λ x1 + (1 − λ ) x 2 ) ≥ min{ µ A ( x1 ), µ 2 ( x 2 )}
13
µ A ( λ x 1 + (1 − λ ) x 2 ) ≥ min{ µ A ( x 1 ), µ 2 ( x 2 )}
普通函数凸的定义: 普通函数凸的定义 f ( λ x1 + (1 − λ ) x 2）≥ λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x 2 ) 它的定义比模糊凸的定义严格 凸模糊集实质上是隶属函数具有单峰特性。 凸模糊集实质上是隶属函数具有单峰特性。
⑧ 语言变量
15
16
模糊与概率的差别： 模糊与概率的差别： 口极渴的人饮用哪杯液体？ 口极渴的人饮用哪杯液体？
C
A
µ L (C ) = 0.91
P [ A∈L] = 0.91 r
X 为离散对象集合
X 为连续空间（通常为实轴）
注意: 注意 ∑ 和 ∫
并非求和与积分符号.
上述三个例子分别可写为 C = 0.8 /上海 + 0.9 /北京 + 0.7 /天津 + 0.6 /西安 C = 0.1/0 + 0.3/1 + 0.7/2 + 1.0/4 + 0.3/5 + 0.1/6
µ A ( λ x1 + (1 − λ ) x 2 ) ≥ min{ µ A ( x1 ), µ 2 ( x 2 )}
13
µ A ( λ x 1 + (1 − λ ) x 2 ) ≥ min{ µ A ( x 1 ), µ 2 ( x 2 )}
普通函数凸的定义: 普通函数凸的定义 f ( λ x1 + (1 − λ ) x 2）≥ λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x 2 ) 它的定义比模糊凸的定义严格 凸模糊集实质上是隶属函数具有单峰特性。 凸模糊集实质上是隶属函数具有单峰特性。
⑧ 语言变量
15
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模糊与概率的差别： 模糊与概率的差别： 口极渴的人饮用哪杯液体？ 口极渴的人饮用哪杯液体？
C
A
µ L (C ) = 0.91
P [ A∈L] = 0.91 r
模糊控制技术-第二章
图2.3 隶属函数向最大值 两边延伸的差别
图2.4 非凸模糊集合隶属函数
23
2)变量所取隶属函数通常对称和平衡 3)隶属函数要符合人们的语义顺序，避免不 恰当的重叠 • 模糊控制系统隶属函数通常应遵循： ①论域中的每个点应该至少属于一个隶属函 数的区域，同时，它一般应该属于至多不 超过两个隶属函数的区域； ②对同一个点没有两个隶属函数同时有最大 隶属度； ③当两个隶属函数重叠，重叠部分任何点的 隶属函数和应该小于等于1。 24
32
(2)模糊矩阵的合成
• 定义 一个n行m列的模糊矩阵R=(rij)n×m对 一个m行l列的模糊矩阵S=(sjk)m×l的合成
R S 指的是 一个n行l列的模糊矩阵T，T的第
i行第k列元素tik 等于R的第i行的元素与S的 第k列的对应元素两两先取较小者，然后在 所得的结果中取较大者，即
33
3)关系矩阵
• 关系R可以用矩阵来表示，称为关系矩阵， 其中元素rij基于特征函数 CR(u,v)的定义， 即
(2.6)
• 与序偶(ui,vj)∈R 对应者记为1，与序偶(ui, vj)R对应者记为0。
36
• 例：设X＝{１，２，３，４}，Y＝{a，b， c}，Z＝{α，β}，Χ到Y的关系R及Y到Z的关 系S可表示为下图。
10
例： U
{ ，，，，，，，，， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}
模糊集合的基本概念
二者处理不确定性 1] 度量值都在[0，上取值
共同点
概念上：随机现象，有 明确含义；模糊现象， 没有明确外延； 不同点根源上：条件不充分； 概念外延不明确造成； 手段上：随机中把握广 义因果关系； 统计；模糊中确定广义排中 集；
四、前景 涉及到国民经济各领域，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、军事、 经济管理…… 特别值得一提：20世纪90年代末，空调、冰箱、洗衣机、洗碗机等家用电器中广泛采用 模 糊控制技术，日本走在了前列。20世纪90年代初，在杭州产生了第一台模糊控制洗衣机。
参考书 1.模糊数学及其应用、冶金工业出版社、北京科技大学。1993/4 2.模糊数学方法及其应用、华中科技大学出版社。2000/5 3.模糊数学及其应用、武汉大学出版社。2002/3 4.模糊理论及其应用、国防科技大学出版社。1998/11
5.模糊模式识别及应用、西南交大出版社。1999/1
6.模糊数学原理与应用、华南理工大学出版社。2003/3 7.模糊数学与经济分析、山东大学出版社。1999/9 8.模糊系统、模糊神经网络及应用程序设计、上海科技技术文献出版社。1998/12
0, 0 u 50 1 Qu u502 ~ 1 , 50 u 20 5
1, 1 Y u u 25 2 1 ~ , 5
0 u 25 25 u 200
共同点
概念上：随机现象，有 明确含义；模糊现象， 没有明确外延； 不同点根源上：条件不充分； 概念外延不明确造成； 手段上：随机中把握广 义因果关系； 统计；模糊中确定广义排中 集；
四、前景 涉及到国民经济各领域，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、军事、 经济管理…… 特别值得一提：20世纪90年代末，空调、冰箱、洗衣机、洗碗机等家用电器中广泛采用 模 糊控制技术，日本走在了前列。20世纪90年代初，在杭州产生了第一台模糊控制洗衣机。
参考书 1.模糊数学及其应用、冶金工业出版社、北京科技大学。1993/4 2.模糊数学方法及其应用、华中科技大学出版社。2000/5 3.模糊数学及其应用、武汉大学出版社。2002/3 4.模糊理论及其应用、国防科技大学出版社。1998/11
5.模糊模式识别及应用、西南交大出版社。1999/1
6.模糊数学原理与应用、华南理工大学出版社。2003/3 7.模糊数学与经济分析、山东大学出版社。1999/9 8.模糊系统、模糊神经网络及应用程序设计、上海科技技术文献出版社。1998/12
0, 0 u 50 1 Qu u502 ~ 1 , 50 u 20 5
1, 1 Y u u 25 2 1 ~ , 5
0 u 25 25 u 200
模糊控制系统2.1 模糊集合
类似的规则2和规则3的输出分别为ZE’和NS’， 它们的峰值均为0.4。
19
3、 Sugeno方法
Sugeno方法与Mamdani和Lusing Larson方法的不 同之处在于它的输出MF是一个常数或者与输入存 在线性关系。 当输出MF是常数(单值)时，被称为零阶Sugeno方 法；如果输出MF与输入有一阶线性关系，它被称 为一阶Sugeno方法。
15
步骤 5 ：解模 糊。 最后，模糊 输出(面积) 转化为精确 输出 ( 小费为 16.7%) ， 即 一个单纯的 数字.
典型的解模糊方法有重心法 (COA)。
16
2.1.3推理方法 1、Mamdani方法
考虑一个模糊系统中的三条规则，其一般表述形式如下： 规则 1 ：如果 X 是负小 (NS) 且 Y 是零 (ZE) ，那么 Z 是正小 (PS); 规则2：如果X是零(ZE)且Y是零(ZE)，那么Z是零(ZE)； 规则 3 ：如果 X 是零 (ZE) 且 Y 是正小 (PS) ，那么 Z 是负小 (NS)。 其中，X和Y是输入变量；Z是输出变量；NS、ZE和PS是 模糊集合。
三条规则采用 同样的方法被 评价，其结果 显示在图的最 右边。
规则1：如果服务差或者食物不好，那么小 费就少。规则2：如果服务好，那么小费一 般。规则3：如果服务极好，或者食物很美 味，那么小费多。 14
第二章：二、模糊集合的运算
式中，符号 ” “∨ 为取极大值运算。 定义 2－5 交：交 （A ∩ B) 的隶属函数 µ A∩B 对所有 u ∈ U 被逐点定义为小运算，即
µ A∩ B = µ A (u ) ∧ µ B (u )
( 2 − 7)
式中，符号“∧” 为取极小值运算。定义 定义2－6 补：模糊集合A的补隶属函数 µ A对所有 u ∈ U 被逐点定义为 µ A＝1－µ （u ) (2 − 8) A
在相及矩阵中取每一行有最小值，按所得值的大小排列得 1<3/5<4/7 结论是长子最像父亲（1），三子次之（0.6），次子最不像父亲 （0.57）。由此，可以确定出隶属度函数的大致形状。
中的特征函数或隶属度函数来定义类似的操作。设A、B为U µ 中两个模糊子集，隶属函数分别为 µ A 和 B ，则模糊集合 中的并、交、补等运算可以这样定义。 定义 2－4 并：并（ A ∪ B ）隶属函数分别为 µ A∪B 对所有 u ∈ U 被逐点定义为取大运算，即
µ A ∪ B＝µ（u ) ∨ µ B (u ) − 6) (2 A
a + b = a + b − ab
a ∧ b = ab ⋅
(2 − 18)
(2 ຫໍສະໝຸດ Baidu 19)
∧
由定义可知，如 a, b ∈ [0 , 1] , 则 a ⋅ b ∈ [0 , 1] , a + b ∈ [0 , 1] 。 定义2－8 设 A , B ∈ F (U ) ，则 （1）A与B的代数积记作A•B，运算规则由下式确定 µ A⋅B (u ) = µ A (u ) µ B (u ) ∀ u ∈U (2 − 20) （2）A与B的代数和记作A+B,运算规则由下式确定
µ A∩ B = µ A (u ) ∧ µ B (u )
( 2 − 7)
式中，符号“∧” 为取极小值运算。定义 定义2－6 补：模糊集合A的补隶属函数 µ A对所有 u ∈ U 被逐点定义为 µ A＝1－µ （u ) (2 − 8) A
在相及矩阵中取每一行有最小值，按所得值的大小排列得 1<3/5<4/7 结论是长子最像父亲（1），三子次之（0.6），次子最不像父亲 （0.57）。由此，可以确定出隶属度函数的大致形状。
中的特征函数或隶属度函数来定义类似的操作。设A、B为U µ 中两个模糊子集，隶属函数分别为 µ A 和 B ，则模糊集合 中的并、交、补等运算可以这样定义。 定义 2－4 并：并（ A ∪ B ）隶属函数分别为 µ A∪B 对所有 u ∈ U 被逐点定义为取大运算，即
µ A ∪ B＝µ（u ) ∨ µ B (u ) − 6) (2 A
a + b = a + b − ab
a ∧ b = ab ⋅
(2 − 18)
(2 ຫໍສະໝຸດ Baidu 19)
∧
由定义可知，如 a, b ∈ [0 , 1] , 则 a ⋅ b ∈ [0 , 1] , a + b ∈ [0 , 1] 。 定义2－8 设 A , B ∈ F (U ) ，则 （1）A与B的代数积记作A•B，运算规则由下式确定 µ A⋅B (u ) = µ A (u ) µ B (u ) ∀ u ∈U (2 − 20) （2）A与B的代数和记作A+B,运算规则由下式确定
模糊集合
6、模糊集合的表示-无限集
当论域U为无限集时，A = ∫x∈U μA(x) / x
注意：这里的积分号不表示积分，也不表示求
和，而是表示各个元素与隶属度对应关系的一个 总括。
这种表示法可以推广到有限、无限、离散、连续等 各种情况。
举例：
设论域U＝[0,100]表示人的年龄，“年轻Y”与
“年老O”两个模糊集。
x1 85 A ( x1 ) 0.85; x2 75 A ( x2 ) 0.75 x3 98 A ( x3 ) 0.98; x4 30 A ( x4 ) 0.30 x5 60 A ( x5 ) 0.60
这样就确定了一个模糊子集A，它表示出小组的同学 对“性格稳重”这个模糊概念的符合程度。
~ ~
则“又高又胖”
AI B 0.4 a 0.3 b 0. c 0.5 d 0.2 e
~ ~
则“不高”
~
A 0.4 a 0.7 b 0.1 c 0.5 d 0. e
Example3
例3： 设论域U＝[0,100]表示人的年龄，“年轻Y” 与“年老O”两个模糊集。给出模糊集合Y∩O， Y∪O的隶属函数曲线.
1
1
x
x 50 2 0 BI A 1 x 50 x 51 0 x 50 5
1
智能控制技术-第二章
传统： PID
y
kx
a
dx dt
b
xdt
模糊控制的特点：改善模糊控制性能的最 有效方法是优化模糊控制规则，模糊控制 规则带有主观性。
模糊控制理论应用于如在测量数据不确切， 要处理的数据量过大以致无法判断它们的 兼容性、一些复杂可变的被控对象等场合。
三、模糊控制特点
（1）、无需知道被控对象的数学模型； （模糊控制是以人对被控系统的控制经验 为依据而设计的控制器）
F
(
x)
1
x
x0 x0
F (5) 0.2
2、若U为离散域，模糊集合的三种表示方法 (1）查德表示法： n
F F (ui ) / ui i 1
注意不表示“求和”，只是表示与它对应F的隶 属度对应关系。
(2) 序偶表示法：
F (u1, (u1)),(u2, (u2)),...,(un, (un))
U IR L di dt
步进电机和丝杠机构的设计工作
步进电机驱动器拟采用美国太平洋科技的6410驱动卡，可实现 256细分。电机采用E22NC-LPLNN-NS50 ，步距角1.8度。 丝杠为Steinmeyer丝杠，导程0.5毫米。
该系统理论分辨率为：0.5/（360*256/1.8） mm=9.77 nm 报价单如下：
第二章__模糊集合
第二章模糊集合
2.1 经典集合论概述
由于模糊集合是建立在经典集合的基础之上，并且由此发展起来的。所以，作为模糊数学的预备知识，在讨论模糊集合之前，本节将首先简略地介绍经典集合论中与模糊数学关系密切的内容。如果读者已经对经典集合论比较熟悉，则可以越过本节内容，直接从下节开始学习。
2.1.1模糊集合的概念
集合的概念是数学中最基本的概念之一，正如在几何中难以给出点、直线的确切定义一样，在集合论中对集合也很难做出一个十分确切的定义。但是为了明确起见，下面还是给出一个一般的描述性的定义。
定义2-1 具有某种共同性质的事物的全体称为“集合”，而每一个别事物称为该集合的“元素”。
由以上定义可知，集合是由元素组成的，它可以理解为存在于世上的任何客观物体——无论是具体的还是抽象的。例如，诸如地球、人、花、桌子、分子等实体，诸如整数、四边形、软件、资本主义等概念，诸如鬼、耶稣、疼痛、占有、坚持等意念。事
实上，集合与一个概念在人脑中的形成密切相关。一个概念的形成大致需要经过两个方面：一方面是从内在条件把握各个有关因素对这个概念所作的规定，即此概念的内在涵义，我们将其称为概念的“内涵”；另一方面就是此概念所包含的东西，换言之就是符合此概念的事物全体，我们称其为概念的“外延”。内涵与外延是刻画概念的两个方面，它们是相辅相成的。
简言之，外延实际上是表现概念的一个集合。
集合的元素可以任意多，并且一些完全毫不相关的事物都可以是同一集合中的元素。例如：S={1,马,地球,女,青菜}，但事实上这种集合通常都对我们的研究问题毫无意义。在实际中，我们讨论问题时总是限制在一定的范围之内进行的。例如，当考虑“计算机”、“软件”等问题时，通常决不会将它们与性别、地上有多少沙粒、艾滋病等毫不相关的事物一起讨论。所以在讨论集合前常常需要首先给出我们研究的对象范围——“论域”。论域本身是一种特殊的集合，它的选取一般不唯一，应根据具体情况研究的需要而定。例如，讨论部分正整数集合时，论域通常可取自然数集合或整数集合，也可取实数集合，甚至正整数集合本身。
模糊集合及其运算
集，记作 C A B 。
模糊集合的基本运算
5、模糊集合的交集 若有三个模糊集合A、B、C，对于所有的 x X ，均
有 c (x) A (x) B (x) MIN[A (x), B (x)]，则称C为A和B的交 集，记作C A B。 6、模糊集合的补集 若有两个模糊集合A与B,对于所有的 x X 均有 B (x) 1 A(x) 则称B为A的补集，记作 B A 。
R (xn , yn )
模糊关系的合成
设X,Y,Z是论域，R是X到Y的一个模糊关系，S是Y
到Z的一个模糊关系，则X到Z的模糊关系T可以
表示为R到S的合成，记为 T R S 它具有隶属度
T
(x,
z)
yY
(
R
(x,
y)
S
( y,
z))
其中V是并的符号，“*”是二项积符号，在本课程
模糊集合的其它表示方式
例2.1 在整数1，2，…，10组成的论域中，即论语
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},设A表示“几个”这样一个模
糊集合。并设各元素属于A的隶属度函数依次为 A ( x) ＝{0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,0.3,0,0},则A可表示为
A={ (x, A(x)) x X }={(1,0),(2,0),(3,0.3),(4,0.7),(5,1),(6,1)
模糊集合的基本运算
5、模糊集合的交集 若有三个模糊集合A、B、C，对于所有的 x X ，均
有 c (x) A (x) B (x) MIN[A (x), B (x)]，则称C为A和B的交 集，记作C A B。 6、模糊集合的补集 若有两个模糊集合A与B,对于所有的 x X 均有 B (x) 1 A(x) 则称B为A的补集，记作 B A 。
R (xn , yn )
模糊关系的合成
设X,Y,Z是论域，R是X到Y的一个模糊关系，S是Y
到Z的一个模糊关系，则X到Z的模糊关系T可以
表示为R到S的合成，记为 T R S 它具有隶属度
T
(x,
z)
yY
(
R
(x,
y)
S
( y,
z))
其中V是并的符号，“*”是二项积符号，在本课程
模糊集合的其它表示方式
例2.1 在整数1，2，…，10组成的论域中，即论语
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},设A表示“几个”这样一个模
糊集合。并设各元素属于A的隶属度函数依次为 A ( x) ＝{0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,0.3,0,0},则A可表示为
A={ (x, A(x)) x X }={(1,0),(2,0),(3,0.3),(4,0.7),(5,1),(6,1)
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2.1.3
关系
• 关系的定义 定义2-5 从集合X到集合Y的一个“二元关系R”，定义为笛卡儿积 X×Y的 一个子集 R X×Y。特别地，当X=Y时，称R为“X上的二元关系”。 对于任意x∈X，y∈Y，若x、y之间存在关系R，则记为xRy。事实上，关 系R可以描述为集合： R={(x，y)|(x∈X)∧(y∈Y)∧xRy} 显然，当xRy时必有(x，y)∈R。
①A=B
②A B或A
B
③B A或B A
•集合论中最基本的概念： (1)对于任意两个集合A、B，若A的每一个元素都是B的元素，则称A 是B的“子集”，记为A B或B A；若B中存在不属于A的元素， 则称A是B的“真子集”，记为A B或B A。
(2)两集合“相等”，当且仅当A
特征函数法：由于任一特征函数都能唯一地确定一个集合，所
以也常常采用它来描述任何种类的集合。例如，以实数域R为论域， 则有理数集合Q的特征函数为：
0 X q ( x) 1
x为无理数 x为有理数
文氏图：采用图①②③表示集合很直观形象，故被广泛应用于
集合论中。但这种方法缺乏描述上的严格性，所以使用范围有一定 的限制。
0 O(x)= 2 1 (1 (( X 50) / 5) )
Y(x)=
0 X 50 50 X 100
1
2 1 (1 (( X 25) / 5) )
0 X 25 25 X 100
例2-21 设A表示“接近5的整数”，则模糊集合A可表示为： ①A={(3,0.2),(4,0.5),(5,1),(6,0.5),(7,0.2)}; ②A=0.2/3+0.5/4+1/5+0.5/6+0.2/7; ③A(x)= (1 ( x 5)2 ) 1
0 CHale Waihona Puke BaiduS (x) = 1 xS xS
•
常见的集合表示方法
枚举法： 对于元素不多的集合，可以将它的所有元素
都一一列出，对于具有明显的顺序规律的集合仅列出 部分元素，而将集合中的其它一些元素隐含表示。例 如： “大于2小于6的整数集合”＝｛３，４，５｝。 “自然数集合”＝｛１，２，３，…｝。
rij
0 = 1
( xi , y j ) R ( xi , y j ) R
• 逆关系 定义2-6 设R是一个集合X到集合Y的关系，则从Y到X的关系 R T={(y,x)|(x,y)∈R } 称之为R的“逆关系”。 • 合成关系 定义2-7 令R是集合X到集合Y的关系，而S是集合Y到Z的关系，则称R· S 为R与S的“合成关系”：R· S={(x，y)| y∈Y((x，y)∈R∧(y，z)∈S)}。 特别地，关系R自身的合成运算称为R的“幂运算”：
1 1 0 = 0 1 0 0 0 0
, S=
0 1 0 0 0 1 0 0 1
, 则有
R· = S
1 1 0 0 1 0 0 0 0
·
0 1 0 0 0 1 0 0 1
• 划分 设S是一个给定集合,A={ A1 , A2 ,…,
①S=
An },且 Ai S, i=1,2, …,n,若
A
i 1
m
i
,即 Ai 的并集覆盖了S; 称为划分A的“类”。
② Ai A j =φ,i≠j且i、j=1,2, …,n,即互不相交； A A 则称A为S的一个“划分”，而集合1 A2, ,…,n
第二章模糊集合
2.1 经典集合论概述 2.1.1集合的概念 • 经典集合的定义 定义2-1 具有某种共同性质的事物的全体称为“集合”， 而每一个别事物称为该集合的“元素”。 • 论域 ：在讨论集合前常常需要首先给出我们研究的对象范围， 这个范围就称为论域。论域本身是一种特殊的集合，它的选取 一般不唯一，应根据具体情况研究的需要而定。
• 等价类 设R是集合X上的等价关系，对任意给定的x∈X,由所有与x有关系R的 元素组成的集合称为x的“等价类”，记为 R x ， xR ={ y| y∈X,(x,y)∈R } 定理2-1 设R是集合X上的等价关系 则由R的等价类组成的集合构成X 的一个划分。 例2-15 设集合X={a,b,c,d}上的关系R为 R={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)} 可以证明R是等价关系,并且它的等价类为
2.1.2 集合的运算及其性质
• 经典集合运算 定义2-3 令A、B为论域 U中任意两个集合，则定义 ① A与B的“并集”：A∪B={ x |( x∈A)∨( x∈B)} ② A与B的“交集”：A∩B={ x |( x∈A)∧( x∈B)} ③ A与B的“差集”：A－B={ x |( x∈A)∧( x B)} ④ A的“补集”：～A=U－A={ x|( x A)∧( x∈U)} 定义2-4 令A、B为论域中任意两个集合，则定义 C ① A与B的“并集”为A∪B，且 A B C A (x)∨ = (x)； CB C C ② A与B的“交集”为A∩B，且 A B C A (x)∧B (x)； = CB ③ A与B的“差集”为A-B，且C A B C A (x)∧(1= (x))； CA C ④ A的“补集”为～A，且 ~ A = 1－ (x)。
• 定义域 由R的所有元素中第一客体x组成的集合称为关系R的”定义域”，记为： D(R)={x|(x,y)∈R}； • 值域 由R的所有元素中第二客体y组成的集合称为关系R的“值域”，记为： C(R)={y|(x,y)∈R}。
• 关系矩阵 令集合X={ x1, x 2 ,…，x n },Y={ y1, y 2 ,…， y m},X到Y存在关系R，则关系R的 r “关系矩阵”为R (=ij ) nm ,其中 M
• 逆映射 定义2-11 设f: X→Y是1-1对应的映射，则f所构成的逆关系称之为f的“逆 映射”，记为: Y→X。
2.2模糊集合概念 • 模糊集合的定义 定义2-12 论域X上的“模糊集合”A定义为： A={(x,A(x))|x∈X} 或者 A={(x,μ(x))| x∈X } 其中A(x)称为“隶属函数”，它满足：A:X→M，这里，M称为 “隶属空间”。 • 隶属度 隶属函数A(x)用于刻画元素x对模糊集合A的隶属程度——“隶属 度”。所以，模糊集合A的每个元素(x,A(x))都能明确地表现出x的隶 属等级。A(x)的值越大，x的隶属程度就越高。 • 模糊集合与经典集合之间的关系 模糊集合概念是经典集合概念的推广，而经典集合是模糊集合的 特例。 当隶属函数A(x)的值域为集合{0,1}时，模糊集合A便退化为经典 集合，而隶属函数就等同于特征函数。
描述法：对于有些集合是很难一一列出集合元素的，其
元素间也不存在任何顺序规律性。例如“猫科动物”、 “实数集合”。可以通过形式描述的手段表示集合， 设集合S的元素具有属性P,则 S =｛x｜P(x)｝其中竖线 左边为集合元素符号，而右边是集合元素所具有的性 质。例如： “实数集合R”＝｛ x｜x为实数｝
R 2=R· , R
R n = R· n 1 R
例2-13 设X={1,2,3},Y={a,b,c},Z={$,@,#},现有从X到Y的关系R和从Y到Z的关 系S：R={(1,a),(1,b),(2,b)} S={(a,@),(b,#),(c,#)}, 则R· S={(1,@),(1,#),(2,#)}。下图给出了本例的复合关系的图示。采用下 面的矩阵运算也能得到相同的结果： R
• 模糊幂集 定义2-13 由论域X上所有模糊集合构成的集合F(X)称为“模糊幂集”。 • 模糊幂集的特点 ①模糊幂集自身是经典集合 ②论域X上的模糊幂集真包含了经典幂集
• 模糊集合的表示方法 ⑴序偶表示法或称向量表示方法 ⑵查德(Zadeh)方法 ①Σ符号法：这种表示法适合于论域为有限集合或可列集合时的模糊集合 x 的描述。设论域为X={ x1， 2 ，…, x n }，A为X上的一个模糊集合，则A可记为：
• 经典集合论的基本要求 ：在论域中选出一个元素a，同时给 定一个集合Ａ。则a或者“属于”A或者“不属于”A，两者必 a 居其一，并且只居其一。当a属于A时记为 A ，而当a不属 a A 于A时记为 。
•几种常用的集合分类 ①当一个集合中的元素数目有限时，称其为“有限集合”， 否则为“无限集合”。 ②设S为无限集合，若S与自然数集合N之间存在1—1对应的 关系，则称S为“可列集合”，否则称其为“不可列集合”。 ③不含任何元素的集合称为“空集”，记为φ；含有论域中所 有元素的集合称为“全集”，记为U。 •特征函数
例2-14 容易证明以下关系的性质： ①“朋友”关系是对称的，“父子”关系不是对称的； ②整数集合中的“≤”关系是自反的、传递的，但不是对称的； ③实数集合中的“相等”关系是自反的、对称的，且又是传递的。
• 相似关系 定义2-8 设R是非空集合X上的关系,若R具有自反性和对称性，则称R 是集合X上的“相似关系”。 • 等价关系 定义2-9 设R是非空集合X上的关系,若R具有自反性、对称性和传递性, 则称R是集合X上的“等价关系”。
0 1 1 = 0 0 1 0 0 0
• 关系中最重要的三条性质 设R是非空集合X上的关系，则 (1)若对于任意x∈X均有(x,x)∈R，则称关系R具有“自反性”； (2)对有任意x、y∈X，如果由(x,y)∈R能保证(y,x)∈R，则称关系R具 有“对称性”； (3)若对于任意x、y、z∈X，若(x,y)∈R且(y,z)∈R时必有(x,z)∈R， 则称关系R具有“传递性”。
A=
A(u ) / u
i 1 i
n
i
②符号法：这种表示法适合于任何种类的论域，特别是无限论域中的模糊 集合的描述。对于任意论域X中的模糊集合A可记为： A=
xX
A( x) / x
⑶隶属函数方法 用解析表达式表示隶属函数。 当论域为实数集合中的某个区间时，有时将模糊集合的隶属函数用解析 表达式表示很方便。 例2-19 对于年龄区间X=(0,100)中的“年老”和“年轻”这两个模糊集 合O、Y，它们的隶属函数分别可表示为：
•经典集合运算的基本性质 (1)交换率： A∪B=B∪A；A∩B=B∩A。 (2)结合率： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C； A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。 (3)分配率： A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)； A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。 (4)幂等率： A∪A=A；A∩A=A (5)吸收率： A∪(A∩B)=A； A∩(A∪B)=A。 (6)对偶率： ～(A∪B)=～A∩～B； ～(A∩B)=～A∪～B。 (7)互补率： A∪～A=U； A∩～A=φ。 (8)对合率： ～(～A)= A。 (9)同一率： A∪φ=A； A∩U=A。 (10)零率： A∪U=U； A∩φ=φ。 (11)传递率：若A B及B C，则A C。
aR =bR ={a,b}
cR= d R ={c,d}
2.1.4 映射 • 映射的定义 定义2-10 设f是从集合X到集合Y的一个关系，若对于任意x∈X，存在唯 一的y∈Y，使得(x,y)∈f，则称关系f是从集合X到集合Y的一个“映射”，记为 f：X→Y。 • 几类常见的映射 ① 对于映射f: X→Y,若其值域等于Y，则称f是“映上的”，否则是“映内 x1 x 2 x1 x2 的”。 x1 · ② 对于映射f:xX→Y, 、 ∈X，若当 ≠ 时必有 2 f( )≠f( ) 则称f是“一对一的”。 · 如果映射f: X→Y即是一对一的，又是映上的，则称f是“1-1对应的”。 ③
B且B
A。
(3)论域 U包含任何集合A，即A U。
(4)对于任意集合A，恒有φ A。 (5)对于一个集合A，由其所有子集作为元素构成的集合称为A的“幂 集”，记为: ρ(A)={ X|X A } (6)设X、Y为两个集合，则X和Y的笛卡儿积(又称“直积”)定义为: X×Y = {(x，y)| x∈X，y∈Y}