直角坐标系下的画图及其转换公式

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直角坐标系中图形的平移与坐标的变化

靖边县第四中学八年级数学导学案主备教师：审核：主讲教师：NO:

班级：小组：姓名：组内评价：教师评价：

学生自主学习方案

（1）（A）（B）（C）（D）

、如图，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是

五、课堂小结：（3分钟完成，B、C层同学总结，A层同学点评）

，，

8050

BCD BC

∠=

中考数学专题：平面直角坐标系

教学目标：1.学会在平面直角坐标系中求点的坐标，图形的面积，字母的取值范围。

2.解决平面直角坐标系中的综合问题

1. 复习

定义：为了用一对实数表示平面内的点，在平面内画两条互相垂直的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x 轴或横轴，铅直的数轴叫做y 轴或纵轴。

⎡⎤⎣⎦数轴

平面直角坐标系 ,x x y x y ⎧⎪⎪⎧⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎪→→⎨⎨⎪⎪→→⎡⎤⎣⎦⎩⎪⎪⎪⎩b 第一象限第二象限轴位置轴垂直于y 轴且原点重合第三象限第四象限轴平面轴把平面分成六个部分x 轴y 轴

⎡⎤⎣⎦点

数轴→点

平面直角坐标系→点→点的坐标 ⎧⎪→⎨⎪⎩

b 已知点确定坐标＋－已知坐标确定点

点的坐标

→点到点的距离[]∍直线()()(

)[]|a-h||b-m|x y x h y m ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪=⎧⎪⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩

轴：P(a,b)到x 轴的距离为|b|坐标轴轴：P(a,b)到y 轴的距离为|a|

点p a,b 到的距离为[与坐标轴平行的直线]点p a,b 到的距离为[任意直线]点p a,b 到直线Ax+By+C=0的距离为

|Aa+Bb+C|

[点]

d =任意两点

⊃1122121211221221(,0)(,0)||||(0,)(0,)||||P a P a PP a a P b P b PP b b ⎧→=-⎧⎪⎨→=-⎩⎨⎪⎩与在坐标轴上的两点与点到原点的距离：P(a,b)到原点的距离点的坐标

⊃[一点]特殊位置上的点的坐标⊃(,)0[](,)0[]

[]

(,)P a b x b P a b a P a b y =⎧⎨=⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎨⎩€€€€€€€€在轴上坐标轴在y 轴上P(a,b)在第一象限a>0,b>0P(a,b)在第二象限a<0,b>0[象限]P(a,b)在第三象限a<0,b<0

极坐标方程画图步骤

极坐标方程是一种描述平面上点位置的数学表达式，它使用极径和极角来确定点的坐标。通过极坐标方程，我们可以绘制出各种有趣的图形，如螺旋线、圆形、心形等。本文将介绍使用极坐标方程画图的步骤。

步骤一：了解极坐标系

在开始之前，我们需要了解什么是极坐标系。在直角坐标系中，我们使用x轴和y轴来确定点的位置。而在极坐标系中，我们使用极径（r）和极角（θ）来确定点的位置。极径表示点与原点的距离，极角表示点与x轴的夹角。

步骤二：确定极坐标方程

确定要绘制的图形后，我们需要确定相应的极坐标方程。不同的图形具有不同的极坐标方程，下面是一些常见的示例：

圆形

圆形的极坐标方程是简单的，它只需要一个参数-半径（r）。极坐标方程表示为：r = a（a为常数），它表示距离原点a单位距离的所有点构成的圆。

螺旋线

螺旋线的极坐标方程是：r = aθ（a为常数）。螺旋线是围绕原点旋转并向外扩展的曲线。

心形线

心形线的极坐标方程是：r = a(1 - sinθ)（a为常数）。它的曲线形状类似于心形。

根据要绘制的图形的特点，选择相应的极坐标方程。

步骤三：确定参数范围

在绘制图形之前，我们需要确定参数的范围。根据极坐标方程的性质，选择适当的参数范围可以确保图形被完整地绘制出来。一般来说，极坐标方程中的θ取值范围是0到2π（一周的范围），r的取值范围取决于具体的图形。

步骤四：绘制图形

有了极坐标方程和参数范围，我们就可以开始绘制图形了。

首先，选择一个合适的坐标系，即绘制图形的画布。可以使用绘图软件或手工绘制，根据具体情况选择。

球坐标系与直角坐标系的矢量转换例题

首先要搞清楚r, phi, theta是什么。

r很清楚，就是向量的本身的长度，也就是，r = 根号(x^2 + y^2 + z^2)，r

的方向是 radial direction,就是本身那个向量的方向。

phi和theta是两个角度。物理书中，一般习惯是，

theta是向量和z轴的夹角。phi是向量在xy平面上的投影和x轴的夹角。（你可以根据我的描绘自己画张图，比较好看出来。）

那么，很明显，z = r * cos(theta)

xy 平面上那个投影的长度 = r * sin(theta)

所以，x = r * sin(theta) * cos(phi)

y = r * sin(theta) * sin(phi).

theta和phi也是有方向的。他们的方向不是那么重要。是逆时针走的话是他

们增加的方向（正方向）。

你的那个例子，

w向量＝w乘以z向量, 是说，w在直角坐标系中，是指向z轴正方向的一个

向量。

r是任意一个向量。

所以，

w向量叉乘r向量＝ w向量长度 * r向量长度 * w、r的夹角（很明显就是theta,画图看出) * 一个方向向量。

这个方向向量用右手定则判定，右手从w 握向r，拇指方向。

仔细想想，这个方向就是phi的方向。

我也可以简单说下原因，基本上一个3维的右手坐标系，比如xyz直角坐标系，两个坐标系方向叉乘会得到第三个方向。x 叉 y = z方向，y 叉 z = x方向，z 叉 x = y 方向。

在球坐标系也是一样的，theta方向，phi方向和r方向。

22.4(2)平面直角坐标系中图形的位似变换

C'
x
12
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大.
放大后对应点的坐标分别是多少?
A′( -4 ,-6 ), B′( -4 ,-2 ), C′( -12 ,-4 )
y
A
C
B
x
o
B”
A”
例题1.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐
大，相似比为2，则A’’（-2，-3）、B’’（-4，-6）、
C’’（-8、-4）
• 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以三角形的一个靠近原点的顶点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标变成ka-(k-1)或-ka+(k+1),a为原顶点的横纵坐标. 如：在以O为原点的坐标系内，△ABC的顶点坐标分别为A（1,1）、B（2,3）、C（4,2），若以A为位似中心在△ABC同侧放大，相似比为2，则A’坐标为（1,1）、B’（3,5）、C’（7,3 ）；若以O为位似中心在△ABC异侧放大，相似比为2，则 A’’（1，1）、B’’（-1，-3）、C’’（-5、-1）。
6、在平面直角坐标系中在作（x,y） (x,ay)或（ax,y）变换时，
叫伸缩变换。
探索3 整个图形形状不变,大小扩大2倍后, 对应的坐标又有什么变化呢?

初一数学平面直角坐标系

平面直角坐标系

知识点睛

一、平面直角坐标系

1．有序实数对

有顺序的两个数a 与b 组成的实数对，叫做有序实数对，记作()a b ，．注意：当a b ≠时，()a b ，和()b a ，是不同的两个有序实数对． 2．平面直角坐标系

在平面内有两条公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做横轴或x 轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或y 轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做坐标原点；x 轴和y 轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面．

3．象限

x 轴和y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，

第三象限，第四象限．

注意：（1）两条坐标轴不属于任何一个象限．

（2）如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位． 4．点的坐标

对于坐标平面内的一点A ，过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a 、b 分

别叫做点A 的横坐标和纵坐标，有序实数对()a b ，

叫做点A 的坐标，记作A ()a b ，．坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．

注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．二、坐标平面内特殊点的坐标特征

1．各象限内点的坐标特征

点()P x y ，在第一象限⇔00x y >>，；点()P x y ，在第二象限⇔00x y <>，；点()P x y ，在第三象限⇔00x y <<，；

点()P x y ，在第四象限⇔00x y ><，．2．坐标轴上点的坐标特征

高斯直角坐标系的相关概念

高斯直角坐标系是一种三维直角坐标系，也称为笛卡尔坐标系。它是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯所提出的。

该坐标系由三个相互垂直的轴构成：x轴、y轴和z轴。每个轴都有正方向和负方向，其中x轴的正方向指向右侧，y轴的正方向指向上方，z轴的正方向则指向观察者。

高斯直角坐标系的主要应用是在物理学和工程学领域中，用于描述三维空间中的物理量和位置。例如，在地图制作中，高斯直角坐标系可以用来表示地球表面的经度、纬度和高度。

在理解高斯直角坐标系时，一些常用的技巧包括：通过画图来可视化坐标系的结构；使用向量和矩阵来计算坐标系中的物理量；了解坐标系的正负方向以及如何将不同坐标系之间进行转换。

直角坐标化为参数方程

直角坐标系是数学中最常用的坐标系之一，由一个首先设定的原点、一条水平的X轴和一条垂直的Y轴组成。对于每一点，都可以用一个

两个坐标来定位。在数学中，直角坐标系用来表示和定位几何形体，

以及表示和描述数据集。

直角坐标可以用参数方程来表示。参数方程是由参数x和y来定义

函数的一种方法，它可以将函数中未定义的变量用参数方程表示出来。参数方程定义了一个点的位置，因此可以使用它来表示直角坐标系中

的任意一点。

在直角坐标系中，可以用方程x = a(cos θ)+ b*sin θ 和 y

= a(sin θ)+ b*cos θ来定义点的位置，其中a为点距原点的横纵坐标的距离，b为点相对原点的角度，θ是角的比例因子，表示从原点

开始到被求出的点的弧度数。

因此，对于在直角坐标系中表示的任意一点，只要知道其距离原点

和其角度，就可以使用参数方程来定位它。它也可以用于画图和分析

图表，所以它在求解数学问题中是非常有用的。

在使用参数方程来表示点的位置时，我们可以使用极坐标代替直角

坐标，尤其是当物体是圆形的时候。它的参数方程为： x = a * cos

θ y = a * sin θ ,其中 a 表示点距原点的距离，θ表示从原

点开始，经过点所绕过的总弧度数。

另外，在直角坐标系中，可以用参数方程来表示一条直线，参数方

程为：ax + by + c = 0，其中 a, b, c 是不全为 0 的常数。如果 a 为 0，则直线垂直于 y 轴；如果 b 为 0，则直线垂直于 x 轴；如果a, b 不全为 0，则直线的方程为 y = ax + b 。

图说平面直角坐标系的使用技巧

陋该点分￣￣ｘ、轴的垂线，图１示，Ｊｌ轴ｙｕＪ如所缎
如果有意要显示某点的坐标．以从可
２： — ＢＡ． —一一ｒ一－
● ● ＪｔＪ－Ｊ ‘
更加清晰明了．
ｌｙ６＿
可以在点的旁边直接标注点的坐标，如图
－
ຫໍສະໝຸດ Baidu
， ●
一
２示．所
４Ｊｌ
３
相邻两个刻度线之间的距
一
４－
－
－
离可以不等于单位长度“ ” １
如果点的坐标的绝对值较大，每相邻
曰
６－
图５
０：二：二卅
图７
而不ｉｘ和山的负半轴．ｍ轴ｉ
轴和轴可以分别表示不
可以画一段折线来表示数
图８
（接第５上２页）例５求（＋＋ …的展开式巾共有多ａｂｃ）
少项．
（）Ｘ＝时，２３ … ８３所以２当Ｉ１则Ｘ＋＝，
３０＿
３
曰（３
，
２）
２Ｏ一

高考文科数学《空间直角坐标系》课件

点 O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做________．通过每两个坐标轴的平面叫做________，
分别称为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使∠xOy
＝________，∠yOz＝________．
(2)在空间直角坐标系中，让右手拇指指向________的正方向，食指指向________ 的正方向，如果中指指向________的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
解：因为△ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，所以|AB|＝|AC|，即（4－10）2＋（1＋1）2＋（9－6）2 ＝（4－x）2＋（1－4）2＋（9－3）2，化简得(4－x)2＝4，解得 x＝2 或 6．故填 2 或 6．
在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)， (2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图为________，俯视图为________．
2．求空间点 P 的坐标的方法方法一：①过点 P 作一个平面平行于坐标平面 yOz，这个平面与 x 轴的交点记为 Px，它在 x 轴上的坐标为 x，这个数 x 叫做点 P 的横坐标；②过点 P 作一个平面平行于坐标平面 xOz，这个平面与 y 轴的交点记为 Py，它在 y 轴上的坐标为 y，这个数 y 叫做点 P 的纵坐标；③过点 P 作一个平面平行于坐标平面 xOy，这个平面与 z 轴的交点记为 Pz，它在 z 轴上的坐标为 z，这个数 z 叫做点 P 的竖坐标．显然 x 轴上点的坐标形如(x，0，0)，xOy 平面上点的坐标形如(x，y，0)．方法二：从点 P 向三个坐标平面作垂线，所得点 P 到三个平面的距离等于点 P 的对应坐标的绝对值，进而可求点 P 的坐标．

第15讲平面直角坐标系(二)

第15讲平面直角坐标系（二）

教学目的

1．建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置．

2．了解可以用不同的方式确定物体的位置．

3．在同一坐标系中，会用坐标表示平移变换．

典题精析

【例1】在平面直角坐标系中，将点A（－2，3）先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后得到B点的坐标是．

【解法指导】在平面直角坐标系中，将点P（x，y）向右或向左平移a个单位，可以得到P’（x＋a，y）或P’（x－a，y），将点P（x，y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到P’（x，y＋b）或P’（x，y－b）．一句话：右、上作加，左、下作减．即B点的坐标为（－4，5），所以B点的坐标为（－4，5）．

变式练习

01．在平面直角坐标系中，将点A（5，－2）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到点B的坐标是．

02．在平面直角坐标系中，将点M（3，－4）平移到点N（－1，4），是经过了先向，再向，而得到的．

03．点A（－5，－b）经过先向下平移3个单位，再向左平移2个单位长度后得到点B（a，－1），则ab ＝．

【例2】△ABC三个顶点坐标分别是A（4，3）B（3，1）C（1，2）

⑴将△ABC向右平移1个单位，得到△A1B1C1，再向下平移2个单位长度得到△A2B2C2，求△A2B2C2三个顶点的坐标．

⑵将△ABC三个顶点坐标的横坐标都减去5，纵坐标不变得到△A3B3C3，则△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？

⑶将△ABC三个顶点坐标的纵坐标都加上5，横坐标不变得到△A4B4C4，则△A4B4C4与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？

平面直角坐标系与函数及图像

第三模块函数

3.1平面直角坐标系与函数及图像

考点一、平面直角坐标系内点的坐标

1．有序数对

(1)平面内的点可以用一对有序实数来表示．例如点A在平面内可表示为

A(a，b)，其中a表示点A的横坐标，b表示点A的纵坐标．

(2)平面内的点和有序实数对是一一对应的关系，即平面内的任何一个点可以用

一对有序实数来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点．(3)有序实数对表示这一对实数是有顺序的，即(1,2)和(2,1)表示两个不同的点．

2．平面内点的坐标规律

(1)各象限内点的坐标的特征

点P(x，y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；

点P(x，y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；

点P(x，y)在第三象限⇔x＜0，y＜0；

点P(x，y)在第四象限⇔x＞0，y＜0.

(2)坐标轴上的点的坐标的特征

点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；

点P(x，y)在y轴上⇔x＝0，y为任意实数；

点P(x，y)在坐标原点⇔x＝0，y＝0.

【例1】在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限，则m的取值范围是________．

解析：由第一象限内点的坐标的特点可得：m>0，m－2>0，解得m＞2.

方法点拨：此类问题的一般方法是根据点在坐标系中的符号特征，建立不等式组或者方程(组)，把点的问题转化为不等式组或方程(组)来解决．

考点二、平面直角坐标系内特殊点的坐标特征

1．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征

(1)平行于x 轴(或垂直于y 轴)的直线上点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数．

(2)平行于y 轴(或垂直于x 轴)的直线上点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数．

平面直角坐标系对称变换

【摘要】

平面直角坐标系对称变换是一种重要的数学概念，通过在平面直角坐标系下进行对称变换，可以改变图形的位置、形状和大小。本文将介绍关于平面直角坐标系的基本概念，平面对称变换的定义以及其意义，同时讨论了各种对称变换方法和如何进行平面直角坐标系对称变换。对称变换在几何学和工程学等领域有着广泛的应用，能够简化问题的求解过程并提高计算效率。平面直角坐标系对称变换不仅在理论研究中具有重要意义，而且在实际应用中也起到了重要的作用。展望未来，随着科学技术的不断发展，平面直角坐标系对称变换将继续在更多领域展现其重要性，成为数学研究和工程实践中不可或缺的一部分。

【关键词】

平面直角坐标系对称变换、对称变换、基本概念、定义、意义、方法、应用领域、重要性、未来发展。

1. 引言

1.1 什么是平面直角坐标系对称变换

平面直角坐标系对称变换是指在平面直角坐标系中，通过某种规则将图形围绕某个中心点或轴进行对称操作，从而得到新的图形。这种变换通常可以分为对称轴对称和点对称两种形式。对称轴对称是指

当图形绕着一条直线旋转180度时，图形和原图形完全一致；而点对

称是指当图形围绕一个点旋转180度时，图形和原图形完全一致。

在平面几何学中，对称变换是一种非常重要的变换方式。通过对

称变换，我们可以更好地理解图形的性质、特点和关系。对称变换可

以帮助我们简化问题，找出规律，从而更加高效地解决一些复杂的数

学问题。对称变换还可以美化图形，增加图形的美感和艺术性，使得

图形更加优雅和动人。

平面直角坐标系的对称变换是一种非常有趣且实用的数学概念，

七下数学《平面直角坐标系》坐标系中描点画图综合

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为：A （﹣2，4），B （﹣4，2），C （﹣3，1），按下列要求作图．

（1）画出△ABC 关于x 轴对称的图形△1A 1B 1C （点A 、B 、C 分别对应1A 、1B 、1C ）；

（2）写出1A 、1B 、1C 坐标：1A ，1B ，1C ；

（3）求△1A 1B 1C 的面积；

（4）请在y 轴上找出一点P ，满足线段AP +1B P 的值最小，并写出P 点坐标．

2．在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别是()()()0,12,1,,4,4A B C -．

（1）请在所给的坐标系中画出ABC ；

（2）画出ABC 关于y 轴对称的A B C '''（其中A '､B '､C '分别是A ､B ､C 的对应点）．

3．已知平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 的坐标分别为(1,0)-、(2,3)-、(3,1)-．

（1）作出ABC 关于y 轴对称的A B C '''，直接写出B '，C '两点的坐标：B '（），C '（

）；（2）直接写出A B C '''的面积，A B C S '''=△________；

（3）若点(,2)P a a +与点Q 关于y 轴对称，且8PQ =，则点P 的坐标________．

4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 、点B 在网格中的位置如图所示，

第7讲：平面直角坐标系的基本公式(教师版)

平面直角坐标系的基本公式

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

平面上两点间的距离公式和中点坐标公式；两点间距离公式的推导；会运用这两个公式解题．

一、数轴上的基本公式

1．一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或称在这条直线上建立了直线坐标系，在数轴上，若点P 与x 对应，称P 的坐标为x ，记作P (x )．

2．位移是一个既有大小，又有方向的量，通常称作位移向量，本书中叫做向量．从点A 到点B 的向量，记作AB →，A 为AB →的起点，B 为AB →的终点，线段AB 的长度称作AB →

的长度，记作|AB →

|.数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．．．．．.． 3．在数轴上，点A 作一次位移到点B ，再由点B 作一次位移到点C ，则位移AC →称作位移AB →

与位移BC →的和．，记作AC →＝AB →＋BC →. 在数轴上，任意三点A 、B 、C ，向量AB →、BC →、AC →

的坐标都具有关系：AC ＝AB ＋BC.

4设AB →

是数轴上的任一个向量，O 为原点，点A (x 1)、B (x 2)，则AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1，A 、B 两点的距离d (A ，B )＝|AB |＝|x 2－x 1| . 二、平面直角坐标系的基本公式