中职职高数控铣专业《直线逼近非圆曲线的节点计算》教案讲义
中专校数控专业公开课教案：数控铣削编程与操作训练
（学生思考：对刀点所设定在哪里）
3．程序输入
（仔细检查程序输入正确与否）
4．程序模拟调试
5.毛坯装夹
6.尺寸测量
7.对刀操作
（注：必须检验对刀是否正确）
8.零件加工
9.工件尺寸精度检查
操作指导
1.指导学生注意实训规章制度，安全文明生产
2.指导学生正确操作数控机床
3.指导学生合理装夹毛坯工件
2.铣削方法
分成A、B两组，每组7人，由综合能力强的人担任组长
A组组内成员讨论此零件有几种加工方法，并编写加工程序，并填写好学生工作业
B组组内成员讨论此零件有几种加工方法，并编写加工程序，并填好学生工作业
教师对A、B两组最终确定的加工方法和编写的加工程序进行点评总结，选出最简单最合适的加工方法。
1.分析零件图纸
实际操作技能部分，一方面对学生在实际操作各个环节运用的有关方法，掌握技能水平进行鉴定，另一方面还要对学生的实践操作结果进行抽样测量、检查，
给予最终评定。
评价项目
项目评价内容
分值
自我评价
小组评价
教师评价
得分
理论知识
①指令格式及走刀罗先
5
②基础知识融会贯通
5
③零件图纸分析
5
④制定加工工艺
5
⑤加工技术文件的编制
5
四、归纳总结
1.牢记旋转指令G68的用法
2.平面凸轮廓的铣削方法
3.学生所加工零件，通过上面小组自评互评，教师点评，最后对两组零件总结评价
五、布置作业
布置课后练习题，预习明日课题，课前提问相关理论知识
六、教学后记
成功之处
不足之处
改进方法
电切削工(技师、高级技师)第四章
2.等弦长法直线逼近的节点计算
图4-3 等误差法直线逼近
3.等误差法直线逼近的节点计算
1)以起点A(xA，yA)为圆心、Δ允为半径画公差圆，得公差圆的方程为 2)作允差圆与曲线的公切线PT，并求公切线PT的斜率k，即 3)求切线PT的方程，解联立方程。 4)过点A作PT的平行线交曲线于点B，求平行线AB的方程 5)求点B的坐标，解联立方程。
2.生成轨迹及代码
1)生成轨迹。
2)生成代码。
图4-17 渐开线内内花键加工轨迹生成
三、已知函数方程曲线零件的编程
1.绘图 2.生成轨迹及代码
1.绘图
1)作点P1与点P2之间的函数方程曲线。 2)绘图C1。
图4-18 含有函数方程曲线的图形
1.绘图
3)绘直线L1、L3和L5
图4-19 【公式曲线】对话框
二、圆弧逼近的节点计算
1.圆弧分割法(曲率圆法)圆弧逼近的节点计算 2.三点圆法圆弧逼近的节点计算 3.相切圆法圆弧逼近的节点计算
1.圆弧分割法(曲率圆法)圆弧逼近的节点计算
图4-4 圆弧分割法求节点
1)求曲线y＝f(x)在起点(xn，yn)处的曲率半径Rn和曲率中心(圆心)坐 标(ξn，ηn)，即
图4-10 生成轨迹
1.扇形渐开线齿轮编程
(2)生成轨迹及代码 1)生成轨迹。 2)生成代码。
2.渐开线内花键的编程
(1)绘图 单击“绘制”→“高级曲线”→“花键”图标→在【渐开 线花键齿形参数】对话框(见图4-11)中，选择内花键、平齿根、压 力角=30°、渐开线花键的齿数=8、渐开线花键的模数=2.5→单击 “下一步”按钮→在【渐开线花键齿形预显】对话框(见图4-12)中， 输入齿顶圆角半径=0.15，齿根圆角半径=0.5，大径＝23.75，小径＝ 17.78，有效齿数＝8，精度＝0.01。
江苏省南华职业高级中学数控编程技术教案：非圆曲线节点坐标的与数学方法
江苏省南华职业高级中学教案授课主要内容或板书设计T:讲解S:理解5分钟T:讲解S:理解（2）常用的算法用直线段逼近非圆曲线，目前常用的节点计算方法有等间距法、等程序段法、等误差法和伸缩步长法；用圆弧段逼近非圆曲线，常用的节点计算方法有曲率圆法、三点圆法、相切圆法和双圆弧法。
①等间距直线段逼近法——等间距法就是将某一坐标轴划分成相等的间距。
如图3-2所示。
图3-2 等间距法直线段逼近②等程序段法直线逼近的节点计算——等程序段法就是使每个程序段的线段长度相等。
如图3-3所示。
图3-3 等程序段法直线段逼近③等误差法直线段逼近得节点计算——任意相邻两节点间的逼近误差为等误差。
各程序段误差 均相等, 程序段数目最少。
但计算过程比较复杂，必须由计算机辅助才能完成计算。
在采用直线段逼近非圆曲线的拟合方法中，是一种较好的拟合方法。
课堂教学安排教学过程主要教学内容及步骤T:讲解S:理解5分钟T:分析S:理解图3-4 等误差法直线段逼近④曲率圆法圆弧逼近的节点计算——曲率圆法是用彼此相交的圆弧逼近非圆曲线。
其基本原理是从曲线的起点开始，作与曲线内切的曲率圆，求出曲率圆的中心。
如图3-5所示。
图3-5 曲率圆法圆弧段逼近⑤三点圆法圆弧逼近的节点计算——三点圆法是在等误差直线段逼近求出各节点的基础上，通过连续三点作圆弧，并求出圆心点的坐标或圆的半径，如图3-6所示。
图3-6 三点圆法圆弧段逼近课堂教学安排教学过程主要教学内容及步骤T:讲解S:理解T:讲解S:理解10分钟⑥相切圆法圆弧逼近的节点计算——如图3-7所示。
采用相切圆法，每次可求得两个彼此相切的圆弧，由于在前一个圆弧的起点处与后一个终点处均可保证与轮廓曲线相切，因此，整个曲线是由一系列彼此相切的圆弧逼近实现的。
可简化编程，但计算过程繁琐。
图3-7相切圆法圆弧段逼近4、列表曲线型值点坐标的计算实际零件的轮廓形状，除了可以用直线、圆弧或其他非圆曲线组成之外，有些零件图的轮廓形状是通过实验或测量的方法得到的。
中职数学基础模块下册直线与圆的位置关系ppt课件
例2：如图，已知直线l：3xy60 和圆心为C的圆 ， x2y22y40判断直线 l 与圆的位置关系；
分析：依据圆心到直线的距离与半径长的关系，
判断直线与圆的位置关系（几何法）；
解法一：圆 x2y22y40可化为 x2(y1)25.
其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 5 ，点C （0，1）到直
线 l 的距离
dr
直线和圆相交
d< r
∟ ∟
r
直线和圆相切
d= r
d
几何法
r
d
直线和圆相离
d> r
数形结合： 位置关系
数量关系
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
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3212
10 2
所以，直线 l 与圆相交．
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
分析 :根据直线与圆的方程组成的方程组解的情况来判断（代数法）
（2）
（3）
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？
方法一：判断公共点个数 （1）直线和圆有两个公共点，直线与圆相交； （2）直线和圆只有一个公共点，直线与圆相切； （3）直线和圆没有公共点，直线与圆相离．
中职职高数控铣专业《由直线和圆弧组成的零件轮廓的基点计算》教案讲义
对于圆弧，均可化为圆的标准方程
（2-4）
式中， 、 为圆弧的圆心坐标，R为圆弧半径。
解上述直线与直线、直线与圆弧、圆弧与圆弧联立的方程组，即可求出相关的基点坐标。
当数控装置没有刀补功能时，需要计算出刀具中心轨迹上的基点坐标。这时，可根据零件的轮廓和刀具半径求零件轮廓的等距线。
直线的等路线方程为
（2-5）
同心圆的方程为
（2-6）
式中， 为刀具半径。解上述相关等距线方联立的方程组即可求出刀心轨迹的基点坐标。
由直线和圆弧组成的零件轮廓的基点计算
平面零件轮廓曲线多由直线和圆弧组成，大多数数控机床都具有直线和圆弧插补功能、刀具半径补偿功能，因此只需计算出零件轮廓的基点坐标即可。
计算时，首先选定零件坐标系的原点，然后列出各直线和圆弧的数学方程，求出相邻几何元素的交点或切点即可。
对于直线，均可化为一次方程的一般形式
《数控加工技术》教学大纲(数控铣削加工)
《数控加工技术》课程教学大纲第一部分理论（数控铣削加工技术）总学时：48学时适用专业：机电一体化技术专业一、大纲说明（一）课程说明数控技术在现代企业的大量应用，使制造技术正朝着数字化的方向迈进，出现了以信息驱动的现代制造技术，其核心就是数控加工设备替代了传统的加工设备。
同时，数控技术正在朝着高精度、高速度、高柔性、高可靠性以及复合化的方向发展。
当前，在人才需求方面，除需要具有数控技术基本知识和能力的高技术人才，还急需大批数控技术应用型人才，及数控编程、数控设备操作及其维修人员。
而职业技术院校高职层次的数控专业，就是培养这样一类的人才。
在高职数控专业教学计划中，《数控技工技术》是一门必修的专业课。
总之，它的任务就是培养能够熟练掌握现代数控机床编程、操作的应用型高级技术人才。
(二)性质和任务：《数控加工技术》是我院机电类专业的重要专业课，学习的目的在于使学生通过学习，掌握零件数控加工的编程方法，提高数控机床的操作能力和数控加工的工艺处理能力。
在教学和自学中都应坚持学以致用、理论联系实际的原则，既要注意理论知识的学习，更要注意运用知识和机床实际操作能力培养。
二、课程教学目标（一）基本理论教学目标本课程是一门既学基本理论知识又要熟练掌握数控加工技能的一门理论与实践结合的课程，通过理论讲解使学生全面掌握数控铣床加工工艺、数控编程知识、数字处理能力、数控车床设备应用的能力。
（二）技能实训教学目标本课程要求学生在掌握基本理论工艺与编程方法的基础上，通过数控铣加工基本技能实训训练、核心技能训练、综合技能训练，通过科学的评价体系、国家职业标准、顶岗实习等，获得综合职业能力，为与生产岗位的无缝对接，完成职业岗位的能力需求奠定基础。
三、大纲内容第一章概述教学目的：通过学习使学生了解数控机床的基本知识。
掌握数控机床的概念，掌握数控机床的组成及各部分的作用，掌握按伺服系统特点分类的方法，了解其它分类方法，了解数控机床的使用、加工特点。
数控课程设计--数控中非圆曲线逼近的算法实现
课程设计课程名称数控技术课程设计题目名称_数控中非圆曲线逼近的算法实现学生学院__机电工程学院专业班级机械设计制造及其自动化学号学生姓名指导教师_成绩评定教师签名2012 年 07 月 05 日广东工业大学数控技术课程设计任务书题目名称数控中非圆曲线逼近的算法实现学生学院机电工程学院专业班级机械设计制造及其自动化2009级3班姓名学号一、课程设计的内容用计算机高级编程语言（如VB，VC++等）来实现非圆曲线的逼近，可任选（1）直线逼近（如等间距法、等弦长法、等误差法等）、或（2）圆弧逼近。
要求在满足允许误差的前提下，使得逼近的直线段或圆弧段的数量最少（即最优解），根据加工曲线轮廓自动生成刀具中心轨迹，自动生成加工NC代码。
二、课程设计的要求与数据具体的要求如下：（1）列出一般的直线或圆弧逼近的算法（流程图）。
（2）列出改进的直线或圆弧逼近的算法（流程图）——即优化算法。
比较改进前与改进后的两种算法结果。
（3）针对给定的某一由非圆曲线所构成的平面轮廓，根据指定的走刀方向、起刀点，自动生成CNC代码。
(4)有刀具自动补偿功能，根据给定的补偿量和进给方向自动计算刀具中心轨迹，有过切报警功能。
（5）在屏幕上显示该非圆曲线所构成的平面轮廓。
根据给定的进给速度能模拟加工过程，并在屏幕上留下刀具所走中心轨迹。
非圆曲线选择（根据组员最大最小学号选择，选择方法：若本组学号最小的同学学号为xxxxxxa，学号最大的同学学号为yyyyyyb，取p=a％8+1, q=b％8+1，若q==p,则q=p+1; 则该组选择的非圆曲线组合为第p组和第q组。
注：’％’是取余运算）：1：渐开线凸轮；2：双曲线3：椭圆曲线4：正弦线5：星形线6：心脏线7：抛物线8：外摆线三、课程设计应完成的工作每组学生应在规定时间内，独立完成所选题目。
运用VB或其它编程语言，编写计算机软件在WINDOWS实现数控装置的计算机仿真。
要求清楚地分析问题、提出算法、确定人机界面、列出流程图，最后用程序验证，完成软件测试，并且提交程序说明书。
中职职高数控铣专业《圆弧逼近非圆曲线的节点计算》教案讲义
圆弧逼近非圆曲线的节点计算常用的用圆弧逼近非圆曲线的节点计算方法有两种：圆弧分割法和三点圆作图法。
本节仅介绍圆弧分割法。
圆弧分割法应用在曲线y ＝f （x ）为单调的情况下，若不是单调曲线，可以在拐点处将曲线分段，使每段曲线为单调曲线。
如图所示，用圆弧分割法进行节点计算的方法与步骤如下：1.求轮廓曲线y ＝f （x ）起点（x n ，y n ）的曲率圆。
其半径为nn n y y R '''+=2/32)1( (2-19) 圆心坐标为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'''++='''+'-=n nn n n n n n n y y y y y y x 22)(1)(1ηξ (2-20)2.求以（ξn ，ηn ）为圆心，以R n ±δ允为半径的圆与曲线y ＝f （x ）的交点解联立方程⎩⎨⎧=±=-+-)()()()(222x f y R y x n n n 允δηξ (2-21)得到（x ，y ）值，即为圆弧与y ＝f （x ）的交点（x n+1，y n+1）。
式中，当轮廓曲线曲率递减时，取R n ＋δ允为半径；当轮廓曲线曲率递增时，取R n －δ允为半径。
重复以上步骤依次算妯分割轮廓曲线的各节点坐标。
3. 求出)(x f y =上两相邻节点间逼近圆弧的圆心所求两节点间的逼近圆弧是以),(n n y x 为始点，以),(11++n n y x 为终点，以n R 为半径的圆弧。
分别以),(n n y x 和),(11++n n y x 为圆心，以n R 为半径作两个圆，两圆弧的交点就是所求的圆心坐标。
即由联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-++22121222)()()()(n n n n n n R y y x x R y y x x (2-22)解得的),(y x 即为所求逼近圆弧的圆心坐标),(m m ηξ。
等误差法直线逼近非圆曲线的节点计算(数控作业+附加程序+经典)
数控技术作业等误差法直线逼近非圆曲线的节点计算由于大部分数控机床不具备对非圆曲线刀尖轨的插补指令，因此在编制此类曲线刀尖轨迹的数控程序时通常用直线段或圆弧段予以替代。
由于直线替代法简单、直观，因此使用较多。
用直线段替代非圆曲线的方法如图1所示。
在满足精度要求的条件下，可用折线段替代非圆曲线。
图中a、b、c、d等称为节点，实现刀尖轨迹数控编程的关键就是确定这些节点。
为简化计算，常采用等间距法和等步长法来确定节点。
等间距法是在理论曲线与直线的最大偏差小于允许偏差(δ最大≤δ允)的条件下，令各节点在x轴上的投影的间距∆x相等。
等步长法是在理论曲线与直线的最大偏差小于允许偏差(δ最大≤δ允)的条件下，令各节点间的直线长度∆L相等。
它们的共同特点是计算较为简单。
但当各节点之间曲线的曲率变化较大时，由于∆x和∆L为定值，因此会造成被加工零件的表面粗糙度变化较大，从而影响工件的表面加工质量；同时，曲线曲率的变化也使工件的加工误差δ发生变化。
另一方面，等间距法的间距和等步长法的步长均是根据加工精度由非圆曲线的最小曲率半径确定的，因此这两种方法在整个非圆曲线内会产生很多节点，使计算和编程相当繁琐。
如采用等误差直线逼近法则可有效避免上述问题。
1 等误差直线逼近的理论计算等误差直线逼近法的特点是令各节点间非圆曲线与直线的误差δ相等。
其具体求解步骤如下：（1）以起点a( x a ，y a )为圆心、δ为半径作圆，确定允许误差的圆方程为(x-x a )2+(y-y a )2=δ2(1) （2）圆与曲线的公切线PT 的斜率为y T -y px T -x p(2) （3）式中的x T 、y T 、x p 、y p 需通过求解下列联立方程获得：{ y T -y p =f 1'( x p )( x T -x p )y p =f 1( x p ) (3)y T -y p =f 2'(x T )(x T -x p )y T =f 2(x T )式中：f 1(x)——误差圆函数f 2(x)——加工曲线函数（4）可知与PT 平行的弦ab 的斜率为K ，则弦ab 的直线方程为y-y a =K(x-x a ) (4)（5）联立曲线方程和弦ab 方程，可求得b 点坐标为{ y=f 2(x) y-y a =k(x-x a ) (5)（6）重复上述步骤即可顺次求得c 、d 、e 等各点坐标。
非圆曲线的逼近 讲解
课程课程设计任务设计任务设计任务用计算机高级编程语言(如VB,VC++等)来实现非圆曲线的逼近,可任选直线逼近(等间距法、等弦长法、等误差法等)或圆弧逼近. 要求在满足允许误差的前提下, 使得逼近的直线段或圆弧段数的数量最少(即最优解). 要求如下:(1)列出一般的直线或圆弧逼近的算法(流程图). (2) 列出改进的直线或圆弧逼近的算法(流程图)—即优化算法. 比较改进前与改进后的两种算法结果 .(3) 针对任意给定的某一由非圆曲线所构成的平面轮廓, 根据指定的走刀方向、起刀点 ,自动生成CNC 代码 .(4) 在屏幕上显示该非圆曲线所构成的平面轮廓 .软件设计过程软件设计过程非圆曲线的逼近算法及程序设计非圆曲线的逼近算法及程序设计1．等间距的直线逼近的节点等间距的直线逼近的节点算法算法算法已知方程y=f(x), 根据给定的△x 求出x i , 将x i 代入y=f(x)即可求得一系列y i . x i 、y i 即为每个线段的终点坐标 ,并以该坐标值编制直线程序段. △x 的大小取决于曲线的曲率和允许误差δ . 一般先取△x=0.1试算并校验 . 误差校验方法如下 : 如图, MN 为试算后的逼近线段, 作MN平行于MN且两直线距离为δ允.图1 等间距逼近根据节点的坐标可求得MN方程: ax+by+c=0则ax+by=c±δ允√a⌒2+b⌒2求解联立方程:δ允=(ax+by-c)/ ±√a⌒2+b⌒2y=f(x)如果无解,即没有交点,表示逼近误差小于δ允;如果只有一个解, 即等距线与轮廓线相切, 表示逼近误差等于δ允; 如果有两个或两个以上的解, 表示逼近大于δ允, 这时应缩小等间距坐标的增量值, 重新计算节点和验算逼近误差, 直至最大的逼近误差小于或等于δ允.算法：1、 给定的△x=0.1求出x i , 将x i 代入y=f(x)即可求得一系列y i . x i2、 求允许误差δ.3、 If δ<= 精度值0.001？a) 是, if 达到终点？i. 是， goto Step 4：ii. 否， i=i+1,goto Step 1;b) 否，△x=0.5*△x，goto Step14、 End非圆曲线非圆曲线数学处理数学处理数学处理的一般的一般的一般方法方法方法数控系统一般只有直线和圆弧插补的功能，对于非圆曲线轮廓，只有用直线或圆弧去逼近它，“节点”就是逼近线段与非圆曲线的交点。
江苏省南华职业高级中学数控编程技术教案：直线、圆弧插补指令G01的应用 免费
直线、圆弧插补指令G01/G02/G03的应用
教学难点
直线、圆弧插补指令G01/G02/G03的应用
更新、补
充、删节
内容
无
课外作业
P94 4（1）（2）（3）Biblioteka 教 学 后 记教 学 目 的
知识目的：1．掌握直线、圆弧插补指令G01/G02/G03的编程格式及编程方法，计算方法。
2．掌握暂停指令G04用途、编程格式及方法
能力目的：通过本章的学习，使学生了解常用准备功能的类型、特点，掌握常用准备功能指令的编程格式和编程方法。
思想目标：提升学生对数控编程的兴趣，加深认识和理解。
江苏省南华职业高级中学
教案
课题序号
17
授课班级
周次
7
授课课时
2
授课形式
讲授
授课章节
名称
习 题 课
使用教具
无
教 学 目 的
知识目的：1．掌握直线、圆弧插补指令G01/G02/G03的编程格式及编程方法，计算方法。
2．掌握暂停指令G04用途、编程格式及方法
能力目的：通过本章的学习，使学生了解常用准备功能的类型、特点，掌握常用准备功能指令的编程格式和编程方法。
思想目标：提升学生对数控编程的兴趣，加深认识和理解。
教学重点
直线、圆弧插补指令G01/G02/G03的应用
教学难点
直线、圆弧插补指令G01/G02/G03的应用
更新、补
充、删节
内容
无
课外作业
P81 5（4）
教 学 后 记
课题序号
18
授课班级
周次
8
授课课时
2
授课形式
讲授
8数控第8次课教案
二、圆弧逼近方法
用圆弧来逼近数学方程式所表达的非圆曲线时，一般可采用下述两种方法：
1、方法一
采用上述“等插补段”法或“等插补误差”法求出各节点的坐标，然后再用三点作圆方法求各段圆弧的圆心与半径。如图2。
宜宾职业技术学院教案Yibin Vocational＆Technical College
课程名称
数控编程
教学主题
非圆曲线的逼近处理
授课班级
授课时间
授课地点
教学目标：1、了解非圆曲线的直线逼近方法；
2、了解非圆曲线的圆弧逼近方法。
设计：
利用多媒体课件精讲——举例——学生练习、提问——讲评——小结
教学内容与板书
备注
小结：
1、非圆曲线的逼近方法；
2、直线逼近方法；
3、圆弧逼近方法。
课后小结
作业
布置
作业：2-9
预习：数控车床的程序编制
Y
P1
P2
O1 P3
OX
图2
2、方法二
直接利用二次曲线方程，采用等差逼近法进行圆弧逼近。
<作黑板图简单介绍>
略
三、列表曲线的数学处理方法
这种曲线需要二次逼近，第一次逼近要用数学方程式逼近列表曲线，第二次逼近用数控系统具有的插补功能直线或圆弧逼近。
根据学生接受能力可作适当调整
结合图形简单介绍方法原理
宜宾职业技术学院教案Yibin Vocational＆Technical College
一、直线逼近方法
直线逼近法中用的较多的是弦线法。关键在于插补段长度及插补误差控制。由于各种曲线上各点的曲率不同，如果要使各插补段长度均相等，则各段插补的误差大小不同。反之，如果要使个段插补误差相同，则各插补段长度不等。下面简单介绍常用的两种处理方法。
非圆曲线的等误差直线逼近
曲线 的起点, 为 编程许 用
误差。现以 P 0 为圆心、 为
半径作 一 个误 差圆, 然 后 作
一条与误差圆、非圆曲线 y =
f ( x ) 均相切的直线, 即公切
线 m m , 切 点 分 别 为: PS
图 1 线性非 圆曲 线逼近图
( xS , yS ) 、PT ( xT , yT ) , 由此可得:
The lapping and cutting experiment of the diamond tools
Song Jian Wu Minjing
Abstract In this paper, four types material of diamond( natural singe crystal、DEBEERS MONODITE、PCD、CVD) are applied in the ex periment. Some basic data is gained and emphatically discusses the experimental conclusion. In the lapping experiment, the lapping meth od and efficiency and integrity of diamond tool are comprised, While the super precise cutting is done. Key words: PCD tools CVD tools Natural diamond tools Surface finish
PCD 聚晶金刚石刀具、PCBN( 聚晶立方氮化硼) 切 削工具以及 CVD 薄膜与厚膜金刚石切削工具、类金刚 石膜( DLC) 、金刚石膜和 CBN 膜涂层切削工具有广阔 的应用前景, 尤其是精密和超精密加工技术发展对切 削工具的需求, 促使这些切削工具迅猛发展。
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直线逼近非圆曲线的节点计算
平面轮廓除了直线和圆弧外，还有椭圆、双曲线、抛物线、阿基米德螺旋线等函数曲线。
对于这类曲线，无法直接用直线、圆弧插补指令进行加工，而常用直线段或圆弧段逼近曲线，因此需计算出相邻二逼近直线或圆弧的节点坐标。
用直线逼近非圆曲线的常用数学方法有三种：等间距法、等步长法和等误差法。
2.3.1等间距法
等间距法就是将某一坐标轴划分为相等的间距，然后求出曲线上相应的节点，将相邻节点连成直线，用这些直线段组成的折线代替原来的轮廓曲线。
如图所示，沿X 轴方向取等间距Δx ，已知曲线方程为y ＝f （x ）。
由起点开始，设起点为（x 0，y 0），则x 1＝x 0＋Δx ，将x 1代入y ＝f （x ）得到y 1，则（x 1，y 1）即为求出的逼近直线的第一个节点。
根据x i ＝x i-1＋i.Δx 依次求出y i ＝f （x i ）得到一系列节点坐标。
Δx 的取值应保证各逼近直线段与曲线y ＝f （x ）间的最大法向距离小于编程允许误差δ允。
一般先取Δx =0.1试算出节点坐标，然后选择曲线上曲率最大的曲线段进行逼近误差校验。
2.3.2等步长法
等步长直线逼近即所有逼近线段的长度都相等，如图所示。
计算步骤如下：
1.求R min ：已知曲线方程为y ＝f （x ），由于曲线各处的曲率不等，等步长逼近后最大逼近误差δmax 必然产生在曲率最大的地方，也即曲率半径最小的地方。
曲线上任一点的曲率半径为 y y R '
''+=2
/32)1( （2-10） 令
0=dx dR ，得 0)1(322=''''--'''y y y y
（2-11） 将y ＝f （x ）、y ′、y ′′、y m 代入可求得x ，将x 代入式（2-4）即可求得R min 。
R min 为
曲线上最小曲率半径。
2. 确定允许的步长L:如图2.2所示，在给定的允许误差允δ下的步长L 为： 允允δδmin 2min 2min 22)(2R R R L ≈--= (2-12)
3.求节点坐标),(i i y x ：以曲线起点a ),(00y x 为圆心，以步长L 为半径作圆与曲线)(x f y =相交于b 点),(11y x ，求联立方程组
⎩⎨⎧==-+-)
()()(2
22x f y L y y x x a a (2-13) 可求得),(11y x 。
4. 顺序以b 、c …为圆心，重复步骤3)，即可求得其余各节点的坐标值。
等步长法计算过程简便，常用于曲率变化不大的轮廓曲线的节点计算。
2.3.3等误差法
该方法使得所有逼近线段的误差δ相等，以相等的误差来确定各插补段的步长。
如图
2.3所示。
设零件轮廓曲线方程为y ＝f （x ），计算步骤如下：
1.作允差圆
以起点a ),(a a y x 为圆心，以允许误差允δ为半径作圆，称为允差圆。
其方程为
222)()(允δ=-+-a a y y x x (2-14)
2.求允差圆与曲线)(x f y =的公切线PT ，点),(),,(T T p p y x T y x P 分别为该圆和曲线)(x f y =的公切线的切点，则切线的斜率K 为 P
T P T x x y y K --= (2-15) 为求T y 、P y 、T x 、P x ，需求解联立方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=-=-'=-=曲线切线方程曲线方程允差圆切线方程允差圆方程))(()())(()(P T T P T T T
P T P P T P P x x x f y y x f y x x x F y y x F y (2-16)
其中,)(x F y =为允差圆方程。
3. 过起点a 作直线ab ，使ab 平行于公切线PT ，交曲线)(x f y =于b 点，则直线ab 的方程为：
)(a a x x K y y -=- (2-17)
4.求下面联立方程组的解，即可得节点坐标),(b b y x
⎩
⎨⎧=-=-)()(x f y x x K y y a a (2-18) 5.以b 点为圆心，以允许误差允δ为半径作圆交曲线于c 点，重复上述步骤依次求得c 、
d 、
e ……各节点坐标。
利用等误差法，程序段数目最少，但计算过程较复杂。
适用于复杂形状的零件以及曲率变化较大的轮廓曲线的节点计算。