初中几何三角形五心及定理性质电子教案
(完整版)初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或
∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等
垂心定理
图1 图2
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
初中的几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或
∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等
垂心定理
图1 图2
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
三角形的五心综合讲稿(陶平生)
【几何十讲】
三角形的五心-B （欧拉线心）
（外心、重心与垂心） 陶平生
三角形的五心是指内心、外心、重心、垂心与旁心；在数学竞赛中占有十分重要的位置． 从赛题统计方面来看，其中又以内心问题最为突出，必须熟悉五心的基本性质，基本构形，常用辅助线以及基本定理的应用．
外心、重心与垂心
ABC ∆的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则有
(1)、,,O G H 三点共线（欧拉线）且
:::1:2OG GH DG AG DO AH ===；
(2)、2,2,2BOC A COA B AOB C ∠=∠=∠=；
(3)、1
3
AGB BGC CGA ABC ∆=∆=∆=∆；
(4)、,,HAB HBC HCA ∆∆∆与ABC ∆具有相
等的外接圆半径；
(5)、ABC ∆的垂心H 是其垂足三角形的内心．
例1、ABC ∆中，O 为外心，
三条高,,AD BE CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ， FD 和AC 交于点N ；
求证：0
(1)、,OB DF OC DE ⊥⊥；0
(2)、OH MN ⊥． （2001全国联赛）
证一、（纯几何方法）设OK AB ⊥于K ，则1
=
=2
KOB AOB C ∠∠，
又由AFDC 共圆，
D
则BFD C KOP ∠==∠，所以KOPF 共圆，所以0
==90OPF OKF ∠∠，因此
OB DF ⊥，同理有OC DE ⊥．
为证OH MN ⊥，由,AEDB AFDC 分别共圆，=,==FDB A MDB EDC A ∠∠∠，
2FDM A BOC ∠==∠，设OB CF T =，在直角三角形BTF 中，由于DF BT ⊥， 则==OTC BTF DFB ∠∠∠，因此COT ∆∽MDF ∆，且其对应边互相垂直． 作DG ∥MN ，于是只要证，OH DG ⊥，
初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A （∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等
垂心定理
图1 图2
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
三角形五心及其性质(一)2024
三角形五心及其性质（一）引言概述：
三角形是几何学中研究最为广泛的基本图形之一，而三角形的五心则是三角形内外有关角点的特殊点。在本文中，我们将重点介绍三角形的五心及其性质。通过深入研究五心的定义、位置以及与三角形关键元素的关系，我们可以进一步了解三角形的几何特性和运算规律。
正文：
Ⅰ. 内心及其性质
1. 定义：内心是指三角形内部到三边距离之和最短的点，通常用I表示。
2. 位置：内心位于角平分线的交点，即三角形三条角的平分线的交点。
3. 性质：
a. 内心到三角形各顶点的距离相等。
b. 内心到三角形三边的距离之和等于内心到三角形周长的距离。
Ⅱ. 重心及其性质
1. 定义：重心是指三角形三个顶点和重心的连线交于一点的点，通常用G表示。
2. 位置：重心位于三角形三条中线的交点，即三角形边中点的连线交点。
3. 性质：
a. 重心到三角形各顶点的距离相等。
b. 重心离每条边的距离比例为2:1。
c. 重心将三角形的每条中线按照比例2:1的分点。
Ⅲ. 外心及其性质
1. 定义：外心是指三角形三个顶点围成的圆的圆心，通常用O表示。
2. 位置：外心位于三角形外接圆的圆心。
3. 性质：
a. 外心到三个顶点的距离相等。
b. 外心到三边的距离相等。
Ⅳ. 垂心及其性质
1. 定义：垂心是指三角形三条高线的交点，通常用H表示。
2. 位置：垂心位于三角形各顶点到对边垂线的交点。
3. 性质：
a. 垂心到三个顶点的距离相等。
b. 垂心到三边的距离之和最短。
Ⅴ. 内心及其性质
1. 定义：外心是指三角形三个顶点相应的三个三角形外切圆的圆心，通常用Ia, Ib, Ic表示。
初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或
∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等
垂心定理
图1 图2
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
(完整版)初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或
∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等
垂心定理
图1 图2
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
三角形的五心(教学课件201911)
重心
引入
外心
内心
垂心
与三角形的心有关问题举例
三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
二.与五心有关的性质有哪些?这些性质你能证明吗? 如: 1.重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式.
2.三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距 离的 2 倍. 垂心、外心，重心的共线性(欧拉线)
3.∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，则 D 为 △BCI 的外心. 三.与三角形的心有关的几何竞赛题的思考.你会吗?
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质：
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线 长的计算.
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍.
(3) SBGC
SCGA
SAGB
1 3
SABC
.
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆
外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点). △ABC 的外心一般用字母 O 表示，它具有如下性质：
初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质之马矢奏春创作
三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心.
三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单.（重心原是一个物理概念,对等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名）
重心的性质：
1、重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1.
2、重心和三角形任意两个极点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.
3、重心到三角形3个极点距离的平方和最小.
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是极点坐标的算术平均数,即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3,（Y1+Y2+Y3）/3）.
5. 以重心为起点,以三角形三极点为终点的三条向量之和即是零向量.
外心定理
三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心.
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形的外心.
2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.
3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合.
5、外心到三极点的距离相等
垂心定理
图1 图2
三角形的三条高（所在直线）交于一点,该点叫做三角形的垂心.
垂心的性质：
1、三角形三个极点,三个垂足,垂心这7个点可以获得6个四点圆.
初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质
令狐采学
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等
垂心定理
图1 图2
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质
三角形的重心,外心,垂心,心坎和旁心称之为三角形的五心.
三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,心坎定理,旁心定理的总称
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证实,十分简略.（重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量平均的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名）重心的性质：
1.重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1.
2.重心和三角形随意率性两个极点构成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.
3.重心到三角形3个极点距离的平方和最小.
4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是极点坐标的算术平均数,即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3,（Y1+Y2+Y3）/3）.
5. 以重心为起点,以三角形三极点为终点的三条向量之和等于零向量.
外心定理
三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心.
外心的性质：
1.三角形的三条边的垂直等分线交于一点,该点即为该三角形的外心.
2.若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或
∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.
3.当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合.
5.外心到三极点的距离相等
垂心定理
图1 图2
三角形的三条高（地点直线）交于一点,该点叫做三角形的垂心.
垂心的性质：
1.三角形三个极点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.
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初中几何三角形五心定律及性质
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定
理的总称
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐
标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或
∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重
合。
5、外心到三顶点的距离相等
垂心定理
图1 图2
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
三角形的五心
三角形的“五心”（6）
教学目的：使学生进一步巩固三角形“五心”的有关性质，并通过一题多解，培养学
生的发散思维能力。
教学过程：
例7、如图，O 、I 为△ABC 的外心和内心，AD 是BC 边上的高，I 在线段OD 上，AB ≠AC ，求证：△ABC 的外接圆半径等于BC 边上的旁切圆半径。（1998年全国高中数学联赛）
分析一：△ABC 的BC 边上的旁切圆是与边AB 、AC 的延长线以及边BC 都相切的圆。
根据前面介绍的旁心的性质可知旁切圆半径可用三角形
三边及面积表示，应用正弦定理，可转化为外接圆半径的倍
数，由此得下面的证明思路。
证法一：如图所示，记AB= c ，BC=a ，AC=b ，设AI 的延长线交△ABC 的外接圆O 于K 点，则OK 是⊙O 的半
径，记为R ，因为OK ⊥BC ，所以OK ∥AD 。
∴
①
C B R
B
c OK AD IK AI sin sin 2sin ===又，
B IB
C ABI ∠=∠=∠21
，
A CAK CBK ∠=∠=∠2
1
，
A BAK C AC
B AKB ∠=∠∠=∠=∠2
1
,所以
②2
sin 2sin
2sin 22cos 2sin 2sin sin 2cos 2sin 2sin 212sin 2
1△△A C B C B A C C B BK AB B A BI BK B BI AB S S IK AI KBI
ABI ⋅=⋅=⋅=+⋅⋅⋅⋅==由①、②可得2
sin
2sin
2sin 2sin sin 2A C B C B ⋅=
⋅所以1
2
cos 2cos 2sin 4=C
初中数学竞赛讲解教材 第五讲 三角形的五心
第五讲 三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.
一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；
引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点
N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =2
1∠BAC ， ∠PP ′C =21∠PNC =2
1∠BAC . ∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .
从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有
P ′B :P ′C =BP :PC .
例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以
△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.
(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，
△CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外
心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ，
∠SO 3Q =2∠C .
∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+
初高中数学衔接课程教案01-三角形的五心
初高中数学衔接课程教案01三角形的五心
一、知识点梳理
1、三角形的重心：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心． 性质：（1）三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． （2）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等．
（3）三角形所在平面内的所有点中，三角形的重心到三个顶点的距离的平方和最小． 2、三角形的垂心：三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心．
性质：（1）锐角三角形的垂心在三角形的内部；直角三角形的垂心在三角形的直角顶点处；钝角三角形的垂心在三角形的外部．
（2）三角形的三个顶点、三个垂足和垂心这7个点可以得到6个共圆的四点组合． （3）斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．
3、三角形的外心：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点称为三角形的外心． 过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
三角形有且只有一个外接圆．
性质：（1）三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．
（2）锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形
的外心在三角形外．
4、三角形的内心：三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心． 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
性质：（1）三角形的内心到三边的距离相等，都等于三角形内切圆半径． （2）若三角形的三条边长分别为a,b,c ，面积为s ，则其内切圆半径2s
(完整版)初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或
∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等
垂心定理
图1 图2
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
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初中几何三角形五心定律及性质
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或
∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等
垂心定理
图1 图2
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
推论：
1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。（图1）
2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。（图1）
3. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。（图2）
定理证明
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB
证明：
连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90度
∴A、B、D、E四点共圆
∴∠ADE=∠ABE
又∵∠ODC=∠OEC=90度
∴O、D、C、E四点共圆
∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度
∴∠ACF+∠BAC=90度
∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立
内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC 边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
5、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
6、（内角平分线分三边长度关系）
△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB 于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
7、内心到三角形三边距离相等。
旁心定理
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。旁心一定在三角形外。
2、任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。
3、旁心到三角形三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
巧记诗歌
三角形五心歌（重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心
三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．垂心
三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.
内心
三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．