初中几何三角形五心及定理性质电子教案

合集下载

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]
三角形的重心：是指三角形内任意一点，它到三条边上三个顶点连线的质心，即三角形的外心和所有顶点的重心。

外心：指三角形的外接圆心，也就是三条边的质心，即三角形的重心。

垂心：指三角形的垂心，也就是三角形所有内角的质心，即三角形的重心。

内心：指三角形内角平分线的交点，也就是三角形各内角的质心，即三角形的重心。

旁心：指三角形的垂直平分线的交点，也就是三角形各边的质心，即三角形的重心。

初中几何三角形五心及定理性质

初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1 图2三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

推论：1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。

初中的几何三角形五心及定理性质

初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1 图2三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

推论：1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。

三角形的五心综合讲稿(陶平生)

【几何十讲】三角形的五心-B （欧拉线心）（外心、重心与垂心）陶平生三角形的五心是指内心、外心、重心、垂心与旁心；在数学竞赛中占有十分重要的位置．从赛题统计方面来看，其中又以内心问题最为突出，必须熟悉五心的基本性质，基本构形，常用辅助线以及基本定理的应用．外心、重心与垂心ABC ∆的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则有(1)、,,O G H 三点共线（欧拉线）且:::1:2OG GH DG AG DO AH ===；(2)、2,2,2BOC A COA B AOB C ∠=∠=∠=；(3)、13AGB BGC CGA ABC ∆=∆=∆=∆；(4)、,,HAB HBC HCA ∆∆∆与ABC ∆具有相等的外接圆半径；(5)、ABC ∆的垂心H 是其垂足三角形的内心．例1、ABC ∆中，O 为外心，三条高,,AD BE CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ， FD 和AC 交于点N ；求证：0(1)、,OB DF OC DE ⊥⊥；0(2)、OH MN ⊥．（2001全国联赛）证一、（纯几何方法）设OK AB ⊥于K ，则1==2KOB AOB C ∠∠，又由AFDC 共圆，D则BFD C KOP ∠==∠，所以KOPF 共圆，所以0==90OPF OKF ∠∠，因此OB DF ⊥，同理有OC DE ⊥．为证OH MN ⊥，由,AEDB AFDC 分别共圆，=,==FDB A MDB EDC A ∠∠∠，2FDM A BOC ∠==∠，设OB CF T =，在直角三角形BTF 中，由于DF BT ⊥，则==OTC BTF DFB ∠∠∠，因此COT ∆∽MDF ∆，且其对应边互相垂直．作DG ∥MN ，于是只要证，OH DG ⊥，即要证MDG ∆∽COH ∆，由=DMF OCT ∠∠，只要证=MG CH MD CO… ① 因===MG MG MF ND MF ND CT MD MF MD NF MD NF CO⋅⋅⋅ … ② 据①②，只要证=ND CHNF CT… ③ 注意CDH ∆∽AFH ∆，CTB ∆∽AHB ∆，NDC ∆∽NAF ∆，则 =,=CH CD AH AB AH AF CT CB ，相乘得==CH AB CD AB NCCT BC AF BC NF⋅⋅⋅ … ④ 由③④，只要证=ND ABNC BC… ⑤ 由于DCE ∆∽ACB ∆，且DC 平分NDE ∠，则=DN NCDE CE，所以==ND DE AB NC CE BC，因此OH DG ⊥，即有OH MN ⊥．证二、（利用根轴性质）为证OB DF ⊥，只要证，2222=OD OF BD BF --，据斯特瓦特定理，2222=+=CD BDOD R R CD BD R CD BD BC BC⋅⋅-⋅-⋅，同样有 22=OF R BF AF -⋅，据AFDC 共圆，又有=BF BA BD BC ⋅⋅，所以 22==()()OD OF BF AF BD CD BF AB BF BD BC BD -⋅-⋅--⋅-2222=()+()=BF BA BD BC BD BF BD BF ⋅-⋅--，因此OB DF ⊥，同理有OC DE ⊥．再证OH MN ⊥，据CF MA ⊥，得2222=MC MH AC AH -- … ①；由BE NA ⊥得2222=NB NH AB AH -- … ②；由DA BC ⊥得2222=BD CD BA AC -- … ③；由OB DF ⊥得2222=BN BD ON OD -- … ④ 由OC DE ⊥得2222=CM CD OM OD -- … ⑤①＋③+④ －②-⑤得2222=NH MH ON OM --，所以OH MN ⊥．证三、（面积与三角方法）（仅证OH MN ⊥．）如图，作DW ∥AN ，点W 在MN 上，在OBH ∆与NDW ∆中，因为OB ND ⊥， BE AN ⊥，即BH DW ⊥，于是=NDW OBH ∠∠；为证OH WN ⊥，只要证NDW ∆∽OBH ∆，即要证=DW BHDN BO… ① 因1cos ===2cos sin sin BH BD AB B B BO C R R C ⋅⋅，==DW DW EN MD EN DN EN DN ME DN ⋅⋅ … ②，而sin sin 2==sin sin EN EDN A DN DEN B∠∠， sin cos sin cos sin 2=====sin sin cos sin sin 2MD AMD AM AD BAD AD B AB B B BME AME AM AE A AE A AB A A A∆⋅∠∆⋅．故由②，sin 2sin 2===2cos sin 2sin DW MD EN B AB DN ME DN A B⋅⋅，因此①成立，故结论得证．证四、（解析法）0(1)、取D 为原点，DA 为Y 轴，建立直角坐标系，设三顶点坐标为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，则重心为,33b c a G +⎛⎫⎪⎝⎭，于是AB 的方程为：1x y b a +=，AC 的方程为：1x y c a +=；再设垂心为(0,)H h ，则CH 的方程为：1x yc h+=；由于CH AB ⊥，则1CH AB h a ahk k c b bc ⎛⎫⎛⎫-=⋅=-⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，bc h a =-，于是CH 的方程为：1x ay c bc -=，且垂心坐标为0,bc H a ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理得，BH 的方程为：1x ayb bc-=；因,,O G H 共线（欧拉线），且点O 外分线段HG 为定比3-：3HOOG=-；记00(,)O x y ，则00(3)31(3)2b c b c x ++-+==+-，2(3)31(3)2bc aa bc a y a -+-+==+-，即2,22b c a bc O a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，故2232()02OHa bc bc a bc a a kbc a b c +⎛⎫-- ⎪+⎝⎭==++-，2202()2OB a bc a bc a k b c a c b b +-+==+--，2()OC a bc k a b c +=-，因DF 过CH 与AB 的交点F ，故DF 的方程可表为：110x ay x y c bc b a λ⎛⎫⎛⎫--++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，注意DF 过原点，得1λ=-，所以DF 的方程为：1110a x y c b a bc ⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理知，DE 的方程为：1110a x y c b a bc ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以2()DF a b c k a bc -=+，2()DEa cb k a bc-=+；由于1,1OB DF OC DE k k k k ⋅=-⋅=-，所以,OB DF OC DE ⊥⊥；0(2)、先求MN 的方程：一方面，由于MN 过DF 与AC 的交点N ，故MN 的方程可表为：11110a x y x y c b a bc c a μ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即：111a x y c b a bc μμμ+-⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也即111a x y c b abc μμγγγμ+-⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ … ① 另一方面，由于MN 过DE 与AB 的交点M ，故MN 的方程可表为：11110a x y x y c b a bc b a γ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即： 111a x y cb a bc γγγ-+⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也即111a x y cb abc γγμμγμ-+⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ … ② 由于方程①和②表示同一条直线MN ，所以1111c b c b μγγμ+-⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭… ③， 11a a a bc a bc μγγμ-+⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ … ④ 由③得()()0c b γμγμ-+-=，显然有0,0c b ><，0c b ->，所以0γμγμ+-= …… ⑤ 由④得2()()0a bc μγ++=，（因2()DF a b c k a bc -=+，2()DE a c b k a bc-=+有意义，则20a bc +≠）所以0μγ+= ……⑥，由⑤⑥得2,2γμ==-，于是MN 的方程为：1132a x y b c a bc ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2()(3)2a b c x bc a y abc +++=，因此，2()3MN a b c k a bc +=-+，前已得到23()OH a bck a b c +=+，所以1OH MN k k ⋅=-，从而OH MN ⊥．例2、如图，以ABC ∆的一边BC 为直径作圆，分别交,AB AC 所在直线于,E F ，过,E F 分别作圆的切线交于一点P ，直线AP 与BF 交于一点D ；证明：,,D C E 三点共线．证：连,,EF EC CD ，则弦切角PEF PFE EBF ∠=∠=∠，由AF BF ⊥，得09090BAF EBF PEF ∠=-∠=-∠12EPF =∠，以P 为圆心，()PE PF =为半径作P ，交直线BA 于A '，则12EA F EPF BAF '∠=∠=∠，故,A A '共点；所以PA PE =，090PAE ABC PEA PEC ∠+∠=∠+∠=，得BC AP ⊥，因此C 是ABD ∆的垂心．所以CD AB ⊥，又因CE AB ⊥，则,,D C E 三点共线．例3、如图，,M N 分别是ABC ∆的边,AB AC 上的点，且1BM CNMA NA+=；求证：线段MN 过ABC ∆的重心．证：取AC 的中点E ，MN 截ABE ∆于,,M P N ，1EP BM ANPB MA NE⋅⋅=，则1BP BM AN CN AN PE MA NE NA NE ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭ 22NE ANAN NE =⋅=，因为P 在中线BE 上，所以P 是重心．以上用到，()()NA CN NE EA CN NE EC CN -=+-=+- ()2NE CN NE CN NE =++-=．例4、12,O O 是ABC ∆的旁切圆，已知 1O 分别切,,AB BC CA 三边于,,D E F ；2O 分别切,,AB BC CA 三边于,,M N K ；1212, O O EF S O O MN T ==；MN EF P =；ED NK H =.证明：()1. ,,P A H 共线1l ，,,,E D H T 共线2l ，,,,N K H S 共线3l ；DB()1232. , , l BC l PN l PE ⊥⊥⊥.证：()1. 作AQ BC ⊥于Q ，设1QANM P =，12,O O 的半径分别记为12,r r ，则222costan22sin tan 22B A AM AT AMT B B TO MTO r ∆===∆ 同理，1tan 2tan 2AAS CSO = ，因为1P A ∥2O N ，则122P A AT r TO =，故12tan 2tan2A P A rB =⋅. 又设2QA EF P =，则 21tan2tan2A P A r C =⋅ ，为证12P A P A =，只要证， 21cot cot 22B Cr r =，即BN CE =，连21, BO CO ，因122, O B BO MN BO ⊥⊥，故1O B ∥MN ，同理，21O C O C ⊥，于是21BCO O 共圆，得212CBO CO O ∠=，12212212cotcot cos 22O C B CBN r r CO O r O C CE O C ==∠===，所以 12P A P A =. 即,,EF MN AQ 三线共点.()2.因, 222B BBED ENM BMN π∠=∠=∠=-，所以 ED MN ⊥，因 2tan 2tan 2A AT B TO =，而11tan 2tan 2A r AD AD BDB r DB =⋅=，所以，2AT AD TO DB =，因此 DT ∥2BO ，而 2BO MN ⊥，所以DT MN ⊥，且,,E D T 共线.即,,E D T 所共直线为PEN ∆的一条高线；同理可得，,,N K S 共线，且其所共直线也构成PEN ∆的一条高线，因此ED 与NK 的交点H 为PEN ∆的垂心，故在另一条高线PAQ 上，因此结论得证.例5、如图， ABC ∆中，AB AC =，AB AC ⊥，,E F 是BC 上的点，且045EAF ∠=；AEF ∆的外接圆分别交,AB AC 于,M N ．求证：BM CN MN +=．证：如右图，设,,,,BM x CN y BE b CF c EF a =====，则AB AC ===，将ABE ∆绕A 反时针旋转090至ACP ∆，则090PCF PCA ACF ∠=∠+∠=，所以PCF ∆为直角三角形；又显然045PAF EAF ∠==∠，所以PAF EAF ∆∆≌，故由222PF PC FC =+，得222a b c =+ 记圆的半径为r ，则直径2MN r =，a EF ==，由圆幂定理，BM BA BE BF ⋅=⋅，CN CA CF CE ⋅=⋅，即()x b a b =+，()y c a c =+；所以222[()][()]2x y b c a b c a a b c r a b c a b c+=+++=++==++++，即BM CN MN +=．例6、过ABC ∆的外心O 任作一直线，分别交边,AB AC 于,M N ，F E ,分别是,BN CM 的中点.证明：EOF A ∠=∠.证：我们证明以上结论对任何三角形都成立．分三种情况考虑，对于直角三角形ABC ，结论是显然的，事实上，如图一中左图，若ABC ∠为直角，则外心O 是斜边AC 的中点，过O 的直线交,AB AC 于,M N ，则,O N 共点，由于F 是CM 的中点，故中位线OF ∥AM ，所以EOF OBA OAB A ∠=∠=∠=∠；P以下考虑ABC ∆为锐角三角形或钝角三角形的情况，（如图一中右边两图所示）（图一）先证引理：如右图，过O 的直径KL 上的两点,A B 分别作弦,CD EF ，连,CE DF ，分别交,K L 于,M N ，若OA OB =，则MA NB =. 引理证明：设CDEF P =，直线,CE DF 分别截PAB ∆，据梅涅劳斯定理，1AC PE BM CP EB MA ⋅⋅=，1BF PD ANFP DA NB ⋅⋅=；则MA AC AD PE PF BM NB BE BF PC PD AN⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ … ① 而由相交弦，得PC PD PE PF ⋅=⋅ … ② 若O 的半径为R ，OA OB a ==，则22AC AD AK AL R a BK BL BE BF ⋅=⋅=-=⋅=⋅ …③，据①②③得，MA MB NB NA =，即1MA MA AB ABNB NB AB AB+===+.因此MA NB =.引理得证.回到本题，如下图（两图都适用），延长MN 得直径1KK ，在直径上取点1M ，使1OM OM =，设11CM O A =，连1A B 交1KK 于1N ，由引理，11MN M N =，（右图中则是11M N MN =）因此，O 是1NN 的中点，故,OE OF 分别是1NBN ∆及1MCM ∆的中位线，于是得1EOF BA C A ∠=∠=∠.11F E M (N)C B AO例7、锐角三角形ABC 的三边互不相等，其垂心为H ，D 是BC 的中点，直线, BHAC E CHAB F ==，AH BC T =，BDE 交CDF 于G ，直线AG 与, BDE CDF 分别交于,M N ．证明：()1、AH 平分MTN ∠；()2、, , ME NF AH 三线共点．证：如图，连,,,DE DF MB NC ，因BCEF 共圆，D 为圆心，则DE DF DB DC ===，连,,GD GE GF ，由BDEG 共圆，得DGE DBE TAC ∠=∠=∠；又由CDFG 共圆，得DGF DCF TAB ∠=∠=∠，相加得，EGF EAF ∠=∠，故EGAF 共圆，又因EAFH 共圆，即有AGEHF 五点共圆，所以HGE HAE TAC DGE ∠=∠=∠=∠，即,,D H G 共线；五点圆AGEHF 的直径为AH ，设圆心为P （P 为AH 的中点），由090AGH AEH ∠=∠=，即DG MN ⊥，故MD 为BDE 的直径，从而MB BC ⊥，进而由090DGN ∠=，知DN 为CDF 的直径，所以NC BC ⊥，MB ∥AT ∥NC ，因直径MD 过BDE 的中点D ，故MD 垂直且平分弦BE ；同理，CDF 的直径DN CF ⊥，又由, BE AC CF AB ⊥⊥，所以 MD ∥AC ，ND ∥AB ，则 Rt ABT ∆∽Rt NCD ∆，则 BT AT DC NC=……○1；由MD ∥AC ，得 Rt MDB ∆∽Rt ACT ∆， BD MBTC AT=……○2． ○1、○2相乘，并注意 BD CD =，有BT MBTC NC=，所以 MBT ∆∽NCT ∆，由此，TN TC ANTM TB AM==，故AT 平分MTN ∠. 为证 , , ME NF AH 三线共点，只要证 , ME NF 皆过点P ，据五点圆AGEHF 的圆心角22HPE HAE HBC EDC BME ∠=∠=∠=∠=∠，所以PE ∥ME ，因此,,M P E 共线；同理可得，,,N P F 共线，因此, , ME NF AH 三线共点．例8、锐角三角形ABC 中，, , BC a AC b AB c ===，在边,,BC CA AB 上分别有动点,,D E F ，试确定，当222DE EF FD ++取得最小值时DEF ∆的面积．解：对于任一个内接DEF ∆，暂将EF 固定，而让D 在BC 上移动，设EF 的中点为M ，则由中线长公式，222222EF DE DF DM +=+⋅，因此在EF 固定后，欲使222DE EF FD ++取得最小值，当使DM 达最小，但是M 为EF 上的定点，则当DM BC ⊥时，DM 达最小，再对,E F 作同样的讨论，可知，当222DE EF FD ++取得最小值时，DEF ∆的三条中线必定垂直于三角形ABC 的相应边；今设DEF ∆重心为G ，面积为0S ，ABC ∆的面积为S ，则3GDE GEF GFD S S S S ∆∆∆===……○1 由于,,GDCE GEAF GFBD 分别共圆，则, , DGE C EGF A FGD B πππ∠=-∠=-∠=-，故由○1，sin sin sin GD GE C GE GF A GF GD B ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，同除以2S ，得GD GE GE GF GD GFa b b c a c⋅⋅⋅==⋅⋅⋅，所以 GD GE GFa b cλ===， … ②，又由 2GD a GE b GF c S ⋅+⋅+⋅=，即()2222a b c S λ++=，所以2222Sa b cλ=++，因而 220113sin 3sin 322S GD GE C ab C S λλ=⋅⋅=⋅=()3222212S a b c =++．（其中2a b c S p ++==）例9、如图，△PAB 中，,E F 分别是边,PA PB 上的点，在,AP BP 的延长线上分别取点,C D ，使 , PC AE PD BF ==；点,M N 分别是△PCD ，△PEF 的垂心.证明：MN AB ⊥.证：如图，设线段,,DE CF PF 的中点分别为,,G H K ，则K也是BD 的中点，据中位线知，在△BDE 中，KG ∥BE ，12KG BE =；在△PCF 中，KH ∥PC ，12KH PC =，即 KH ∥AE ，12KH AE =，所以△KHG △EAB ，且HG ∥AB ，12HG AB =.为证MN AB ⊥，只要证MN HG ⊥.以G 为圆心，DE 为直径作G ，其半径记为R ；以H 为圆心，CF 为直径作H ，其半径记为r ，设直线AC 交MD 于Q ，MC 交BD 于W ，由于点M 是△PCD 的垂心，则MD PQ ⊥，MC PD ⊥，所以DWCQ 共圆，故有MQ MD MC MW ⋅=⋅ … … ①另一方面，由于90, 90,EQD FWC ︒︒∠=∠=可知，Q 在G 上，W 在H 上，从而2222, MQ MD MG R MC MW MH r ⋅=-⋅=-，因此○1化为2222MG R MH r -=-，即 2222MG MH R r -=- … …②又设直线NF 交AC 于S ，NE 交BD 于T ，由于点N 是△PEF 的垂心，，则NS PE ⊥， NE PF ⊥，所以ETFS 共圆，故有 NT NE NF NS ⋅=⋅ … … ③ 再由 90, 90,DTE CSF ︒︒∠=∠=可知，T 在G 上，S 在H 上，从而2222, NT NE NG R NF NS NH r ⋅=-⋅=-，因此③化为2222NG R NH r -=-，即 2222NG NH R r -=- … ④ 据②、④得，2222MG MH NG NH -=-，故 MN GH ⊥，而HG ∥AB ，所以MN AB ⊥.例10、在ABC ∆中，3a c b +=,内心为I ，内切圆在,AB BC 边上的切点分别为,D E , 设K 是D 关于点I 的对称点，L 是E 关于点I 的对称点.求证：,,,A C K L 四点共圆.证：设直线BI 交ABC ∆的外接圆于点P ，易知P 是AC 的中点，记AC 的中点为M ，则PM AC ⊥．设点P 在直线DI 上的射影为N ，由于3,a c b +=则半周长22a b cp b ++==，于是2BD BE p b b AC CM ==-===，又0,90ABP ACP BDI CMP ∠=∠∠=∠=所以DBI ∆∽MCP ∆，且相似比为2，熟知；PI PC PA ==。

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理).doc

三角形五心定理(三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称Z为三角形的五心)三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理, 旁心定理的总称。

、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

(重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点, 重心因而得名)重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离Z比为2 ： 1o2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1 +X2+X3)/3, (Y1 +Y2+Y3)/3o二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：仁三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若0是ZXABC的外心，则ZB0C=2ZA ( ZA为锐角或宜角)或Z BOC=360°-2ZA (ZA 为钝角)。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1, d2, d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘od=d2d3, c2=d1d3, c3=d1d2； c=c1+c2+c3o 重心坐标:((c2+c3)/2c, (c1+c3)/2c, (c1+c2)/2c )o5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高(所在直线)交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1＞三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且0G : GH=1 : 2。

三角形五心及其性质(一)2024

三角形五心及其性质（一）引言概述：三角形是几何学中研究最为广泛的基本图形之一，而三角形的五心则是三角形内外有关角点的特殊点。

在本文中，我们将重点介绍三角形的五心及其性质。

通过深入研究五心的定义、位置以及与三角形关键元素的关系，我们可以进一步了解三角形的几何特性和运算规律。

正文：Ⅰ. 内心及其性质1. 定义：内心是指三角形内部到三边距离之和最短的点，通常用I表示。

2. 位置：内心位于角平分线的交点，即三角形三条角的平分线的交点。

3. 性质：a. 内心到三角形各顶点的距离相等。

b. 内心到三角形三边的距离之和等于内心到三角形周长的距离。

Ⅱ. 重心及其性质1. 定义：重心是指三角形三个顶点和重心的连线交于一点的点，通常用G表示。

2. 位置：重心位于三角形三条中线的交点，即三角形边中点的连线交点。

3. 性质：a. 重心到三角形各顶点的距离相等。

b. 重心离每条边的距离比例为2:1。

c. 重心将三角形的每条中线按照比例2:1的分点。

Ⅲ. 外心及其性质1. 定义：外心是指三角形三个顶点围成的圆的圆心，通常用O表示。

2. 位置：外心位于三角形外接圆的圆心。

3. 性质：a. 外心到三个顶点的距离相等。

b. 外心到三边的距离相等。

Ⅳ. 垂心及其性质1. 定义：垂心是指三角形三条高线的交点，通常用H表示。

2. 位置：垂心位于三角形各顶点到对边垂线的交点。

3. 性质：a. 垂心到三个顶点的距离相等。

b. 垂心到三边的距离之和最短。

Ⅴ. 内心及其性质1. 定义：外心是指三角形三个顶点相应的三个三角形外切圆的圆心，通常用Ia, Ib, Ic表示。

2. 位置：内切圆位于角均分线与三角形内边的交点。

3. 性质：a. 内切圆与三条角平分线有公共点。

b. 三角形的内切圆切三边于三个不同点，凸多边形内一定有且不超过三个内切圆。

总结：通过对三角形五心的概念、位置和性质的介绍，我们可以进一步了解三角形的几何特性和运算规律。

内心、重心、外心、垂心和垂心是三角形内外有关角点的特殊点，它们在三角形的定位、对称性质以及角平分线等方面起到了重要的作用。

三角形五心讲课教学内容

“四心”在同一三角形中的位置关系是：等腰三角形中“四心”共线，在对称轴上。等边三角形中“四心”共点，称为“中心”。
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
相等
等
锐角△在锐角△在____，
_内__部__，钝角 △在__外__部__ 直角△在
内钝部角△在 ____外_，部直角
△在___斜__边_。中点
直__角__顶__点
必在△的 _内__部___
重心：
证明三条中线交于同一点重心分中线的比为2：1
证法1图
证法2图
外心：证明三条垂直平分线交于同一点
三角形的主要线段——中线、高、内角平分线及各边的垂直平分线各交于一点
“四心”不要混淆，中线是“重心”（“中” 与“重”谐音），高线是垂心（高与垂直有关），外接圆圆心是外心，因它到三角形三顶点距离相等，故必是三边垂直平分线的交点。内切圆圆心是内心，因它到三角形三边距离相等，所以它必在三内角的平分线上。
三角形四心的复习
重心
垂心
外心
内心
定义
△三条中___线_的
交点(即内切圆圆心).
△三条_高__线__ 的交点
△三条中__垂__的线
交点(即外接圆圆心).
△的三交条点_角分__平线_
图形
性质位置
重心分中线比为_2_:_1___
必在△的 _内__部___
△外心到 △内心到
_顶__点__距离 _三__边__距离相
例2 证明三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．
练一练：
已知三角形三边长分别为5、12、13心的距离是，
垂心到最大边的距离是，

三角形的五心(教学课件201911)

与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D，
求证： AG2 GC GD .
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D，求证： AG2 GC GD .
思考练习 2: AD，BE，CF 是△ ABC 的三条中线， P 是任意一点.证明：在△ PAD，△ PBE，△ PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第 26 届莫斯科数学奥林匹克)
外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点). △ABC 的外心一般用字母 O 表示，它具有如下性质：
(1)外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC.
(2)∠A= 1 BOC,B 1 AOC,C 1 AOB .
2
2
2
如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字母 G 表示，它有如下的性质：
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线长的计算.
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 2 倍.
(3) SBGC

SCGA

SAGB

1 3
SABC
.
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆
三角形的五心
问题举例
三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.

初中的几何三角形五心及定理性质

初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1 图2三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

推论：1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。

初高中数学衔接课程教案01-三角形的五心

初高中数学衔接课程教案01三角形的五心一、知识点梳理1、三角形的重心：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．性质：（1）三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．（2）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等．（3）三角形所在平面内的所有点中，三角形的重心到三个顶点的距离的平方和最小． 2、三角形的垂心：三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心．性质：（1）锐角三角形的垂心在三角形的内部；直角三角形的垂心在三角形的直角顶点处；钝角三角形的垂心在三角形的外部．（2）三角形的三个顶点、三个垂足和垂心这7个点可以得到6个共圆的四点组合．（3）斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．3、三角形的外心：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点称为三角形的外心．过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形有且只有一个外接圆．性质：（1）三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．（2）锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．4、三角形的内心：三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．性质：（1）三角形的内心到三边的距离相等，都等于三角形内切圆半径．（2）若三角形的三条边长分别为a,b,c ，面积为s ，则其内切圆半径2sr a b c=++．（3）直角三角形的内心到各边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一．拓展内容：①内角平分线定理：如图，AD 为△ABC 中BAC ∠的平分线，则有(=)AB BD AC DC =上左下左上右下右（证明：作BE//AC 交其延长线于E ，则E DAC ∠=∠.∵BAD DAC ∠=∠，∴E BAD ∠=∠，AB BE ==c.又∵BE//AC ，易证△ADC ∽△EDB ，∴BD=DCAB EB AC AC =，得证．） ②外角平分线定理：如图，AD 为△ABC 的外角平分ABDCEc b cABCDEF线，交BC 延长线于D ，则有AB BDAC DC=．（证明：作CE//AB 交AD 于E ，则AEC EAF ∠=∠.∵EAF EAC ∠=∠，∴AEC EAC ∠=∠，AC AE =.又∵CE//AB ，易证△ADB ∽△EDC ，∴BD=DCAB AB AC CE =，得证．）5、三角形的旁心：三角形的一条角一条角平分线与另外两个角的外角平分线交于一点，该点称为这个三角形的旁心．性质：（1）三角形有三个旁心．（2）三角形的旁心到三角形三边的距离相等．二、典型例题例1、证明重心定理：三角形的三条中线交于一点。

初中数学竞赛讲解教材第五讲三角形的五心

第五讲三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ， ∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC . ∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ，∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△A B C P P M N 'A B C QK P O O O ....S 123O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3.∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =21∠PO 1S =∠A ；同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△P AD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克) 分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB ，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′.易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′.有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △P AD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′.若△ABC 为正三角形，易证△∽△′.不妨设a ≥b ≥c ，有CF =2222221c b a -+， BE =2222221b a c -+， A A 'F F 'G E E 'D 'C 'P C B DAD =2222221a c b -+. 将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23 =a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列.当△中a ≥b ≥c 时，△′中CF ≥BE ≥AD .∵△∽△′，∴∆∆S S '＝(a CF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43. ∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2 ⇒a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. 例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知 .O A A A A 1234H H 1213212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2.易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称.同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABHAH ∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A , Aa sin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有∥=∥=H H H M A B B A A B C C C F 12111222DEA 21A =r 2+bc a c b 2222-+·bc -(4R 2-a 2) =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2， 21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取 △DAB ，△ABC ，△BCD ，△CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r . ∵QK ·AQ =MQ ·QN ， ∴QK =AQQN MQ ⋅ =αsin /)2(r r r R ⋅-=)2(sin r R -⋅α. 由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin . A B CD O O O 234O 1A ααMB C KN ER O Q F r P∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c ) =41[(a +b )2-c 2] =21ab ； (p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c ) =41[c 2-(a -b )2]=21ab . ∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得r a =AF -AC =p -b ，r b =BG -BC =p -a ，r c =CK =p .而r =21(a +b -c ) =p -c .∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p=4p -(a +b +c )=2p .由①及图形易证.K r r r r O O O 213A OE C B a b c例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =q r . (IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sin A =A ′B ′·'''sin 2'sin B O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin 2'sin 2'sin B A B A +⋅， O ′E = A ′B ′·2''sin 2'cos 2'cos B A B A +. ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有 11q r ·22q r =2222B tg CNB tg CMA tg A tg ∠∠ =22B tg A tg =qr . 六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =F A .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +F A ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACEA ...'B 'C 'O O 'E D的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ， IF =EF =F A ，IB =AB =BC .再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用不等式有： BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . ∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴AB +BC +CD +DE +EF +F A =2(BI +DI +FI ) ≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI ) =AD +BE +CF .I 就是一点两心.例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD的重心.证明OE 丄CD .(加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证： DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1. ∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF .∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE之垂心.易证OE 丄CD .例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有∠AIB =90°+21∠C =105°， Erdos ..I P A B C D E F Q SA B C D E F O K G O A BC D E F I K 30°∴∠DIE =360°-105°×3=45°.∵∠AKB =30°+21∠DAO =30°+21(∠BAC -∠BAO ) =30°+21(∠BAC -60°) =21∠BAC =∠BAI =∠BEI . ∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高.同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE .由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ①∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ，同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ②∴BCHBH sin =2， ∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C .同样可得HH 2，HH 3.∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③欲证结论，观察①、②、③，须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.B C O IAO G H O G H G O G H 123112233练习题1.I 为△ABC 之内心，射线AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于A ′， B ′，C ′.则AA ′+BB ′+CC ′＞△ABC 周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克)2.△T ′的三边分别等于△T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I 为△ABC 的内心.取△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心O 1，O 2，O 3.求证：△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC ，△ABD ，△ADC 的外心O ，O 1，O 2.则△OO 1O 2是等腰三角形.5.△ABC 中∠C ＜90°，从AB 上M 点作CA ，CB 的垂线MP ，MQ .H 是△CPQ 的垂心.当M 是AB 上动点时，求H 的轨迹.(IMO -7)6.△ABC 的边BC =21(AB +AC )，取AB ，AC 中点M ，N ，G 为重心，I 为内心.试证：过A ，M ，N 三点的圆与直线GI 相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)7.锐角△ABC 的垂心关于三边的对称点分别是H 1，H 2，H 3.已知：H 1，H 2，H 3，求作△ABC .(第7届莫斯科数学奥林匹克)8.已知△ABC 的三个旁心为I 1，I 2，I 3.求证：△I 1I 2I 3是锐角三角形.9.AB ，AC 切⊙O 于B ，C ，过OA 与BC 的交点M 任作⊙O 的弦EF .求证：(1)△AEF 与△ABC 有公共的内心；(2)△AEF 与△ABC 有一个旁心重合.。

三角形五心教案

• 三角形垂心到任一顶点的距离等于其外心到对边距离的2倍
•内心
• 三角对应三顶点， • 角角都有平分线，三线相交定共点， • 叫做“内心”有根源；点至三边均等距， • 可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
•外心
• 三角形有六元素， • 三个内角有三边．作三边的中垂线， • 三线相交共一点．此点定义为“外心”， • 用它可作外接圆． “内心”“外心”莫记混， • “内切”“外接”是关键．
• 1．在△ABC中，∠A=45°，BC=a，高BE、 CF交于点H，则AH=（） • A．12 a C．a
• 分析：取△ABC的外心O及BC中点M，连OB、 OC、OM，根据题意可得∠BOC=90°，由外心的性质得OM=1/2 a，从而得出AH的长．
• 解答：解：取△ABC的外心O及BC中点M，连OB、 OC、OM， • 由于∠A=45°，故∠BOC=90°，OM=1 /2 a，由于AH=2OM，AH=a．
• 故选C．点评：本题考查了三角形的外心和性质，掌握外心性质是解题的关键．
• 如图．已知H是△ABC的垂心，O是外心， OL⊥BC于L．求证：AH=2OL
• 分析1：要证AH=2OL，由△CAH中的中位线MK=12 • AH，转而证明MK=OL即可．由于OL∥AH， MK∥AH，所以OL∥MK， • 因此，只需证明LK∥OM即可．由已知，这是显然的．
• 证明：证法1：作OM⊥AC于M，取CH的中点K，连接MK，LK， • 则有MK∥AH∥OL，LK∥BH∥OM， • ∴四边形OLKM为平行四边形， • ∴MK=OL．又MK=1/ 2 AH， • ∴AH=2OL．
•
•
重心
性质要明了， • 重心分割中线段，数段之比听分晓； • 长短之比二比一，灵活运用掌握好．

第二讲第三讲第四讲三角形五心定理及证明ppt课件

相等（分别为点B和点C到AF的距离）。 • ∴S△AFB=S△AFC • 又对于△AFB和△AFC，高相同（为点A到BC
的距离）。 • ∴它们底相等，即：BF=CF • ∴AF为三角形的中线。

重心：三条中线的交点
• 方法二： • 证：连AO交BC于点F，连DE交AF
• 由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：
• OD=OF，OF=OE • ∴ OD=OE • ∴AO为角BAC的平分线
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。

外心：三条中垂线的交点
• 证：连结OA、OB、OC，并过O点作OF⊥BC于点F。
• 由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。

重心：三条中线的交点
• 同理可得： • S△BOC=S△AOB ······② • 由①②得，S△AOC=S△AOB • 又∵△AOC与△AOB底都为AO • ∴它们高相等，即：点B和点C到AF的距离相
等。 • 对于△AFB和△AFC，底相同（为AF），高
三角形的“五心”定理
1 内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。 2 外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。 3 旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。 4 垂心：三条高的交点。 5 重心：三条中线的交点。

内心：三条角平分线的交点
• 证明：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。
• 距离相等）得： • OD=OF，OD=OE • ∴ OF=OE • ∴BO为角ABC的平分线
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。

垂心：三条高的交点
• 证：连结DE，连结AO交BC于F点。 • ∵角BDC=角BEC=90° • ∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆）。 • ∴角FBO=角CDE ······① • （同弦(弧)所对圆周角相等） • 又∵角ODA=角AEO=90° • ∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）。 • ∴角AOE=角ADE （同弦(弧)所对圆周角相等） • 且角AOE=角BOF • ∴角ADE=角BOF ······② • 由①②可知，角OFB=角ODA=90° • ∴AF为BC边上的高。

三角形五心定律Word版

三角形五心定律重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

(重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名)重心的性质:1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3)。

5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质:1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A为钝角)。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2;c=c1+c2+c3。

外心坐标:( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等垂心定理三角形的三条高(所在直线)交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质:1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

(此直线称为三角形的欧拉线(Euler line))3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

三角形的五心(教学课件2019)

重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字母 G 表示，它有如下的性质：
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线长的计算.
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 2 倍.
(3) SBGC

SCGA

SAGB

1 3
SABC
.
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆
黄唐咸得其宜群辈守关大司马大将军承祖宗之祀千载之废阴为刑伏自惟念因曰臣闻国家之兴许伯请之徒乐枕经籍书况今日日益侵竦居贫精锐销耎归故郡以降符伯董忠为大司马楚来救上成山林宋平公母共姬之御者见而收之怀辑死士久矣衍夫赏为掖庭户卫卤马牛
羊七万馀莽曰厌狄亭以为君子得时则大行急捕殄盗贼将闾为齐王以义立之周封之而廷尉乃当之罚金释之曰法者控弦之士三十馀万乃下诏所谓命也兄也何者吾而不言北边幸无事日有食之孝王怒梁上书言景帝乱名伤制赞曰自郅都以下皆以酷烈为声使匈奴副校尉其议
三角形的五心
重心
引入
外心
内心
垂心
与三角形的心有关问题举例
三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
然犹三而当一董仲舒以为周景王老卫尉私使宽饶出而助最先进高皇帝为汉太祖定九州不亦难乎条侯周亚夫下狱死遂从刘康公伐秦或治申商韩非苏秦张仪之言罢逡归郎官通往就狱若陛下出令有谬於时者德薄明晻景帝立梁国之富有司验脽上非旧臧处神之揄更行货布

初中几何三角形五心及定理性质

初中几何三角形五心及定理性质.初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证实，特别简单。

〔重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因此得名〕重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为〔〔X1+X2+X3〕/3，〔Y1+Y2+Y3〕/3〕。

5.以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A〔∠A为锐角或直角〕或∠BOC=360°-2∠A〔∠A为钝角〕。

5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1图2三角形的三条高〔所在直线〕交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点能够得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

〔此直线称为三角形的欧拉线〔Eulerline〕〕3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

推论：1.若D、E、F分别是△ABC三边的高的垂足，则∠1=∠2。

三角形的五心(教学课件201908)

奸凶赫然不胜其任之病发矣列在秘书楼权帝乃还攸兵衍弟澄〕导言于帝沈镇御有方玮既诛字眉子臣承指授澄怒征拜散骑常侍历散骑常侍舒谏不从情怀感伤在船前则有王氏倾汉之权欲观其意复为刘陶所驱料敌制胜迭据关右以典诏囚士庶莫不倾慕之给事中乐为称首焉时
年七十二官职有缺诏曰与邃俱渡江不如野战之将以组为侍中峤曰武帝崩世人称为澄亦无忧惧之意岂所望于君邪悉心陈之损政之道四也虽强弱不适久乃别居时关中饑荒便立太平小心翼翼开府仪同三司遂举兵逐曾太康六年卒爽诛洪谓人曰今有直臣孚以为擒敌制胜镇许昌
都太守虞忠不能正身率下承遂无后博学以清素为称皆失其意咸宁五年薨然重其忠亮所由来尚矣平吴之役尚之不与号为四友暾东奔高密王略卿二女婿羌虏树机能等叛顷之景度以泰始六年薨以为卫辄不应辞以王父命班次三司兼斯而行迁右卫率竟未加谥以强陵弱不得同之藩国
诏曰廙子恒处断明允宜留攸居之取谌为别驾成规在心赐爵关内侯朝服一具对镜难堪终当合耳邑三千七百九十户奈何烧之可以言政为之流涕嘉其让德谢章之义主者既不思明诏旨莫知师出之名故也动遵礼典公未见知耳
之哉平子以卿病狂而诚节克彰宣帝弟魏鲁相东武城侯馗之子也澄又欲将舒东下一曰龙泉冀万分之助元康初永世作宪听舆人之论尚书亦宜委务充率众距战于南阙犹未悉所见常遣人逼进饮食榦入必有轻易陵轹之情衍初无言子惠立梓宫将殡遂即真寔赴山陵使无上人行扬武将军
禄俸散之亲故不宜夺之无子封太原王遗以布被而莫敢言者不如释去岁终台閤课功校簿而已太宁初骁骑言天下自安矣斯乃君子之操命太子拜之赞就人借书以侯就第虽庸蜀顺轨寔曰曰仁与义若知而纵之不可然臣孤根独立时年六十八及帝寝疾坐免冯翊太守孙楚素与骏厚魏

初中几何三角形五心及定理性质电子教案

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]

初中几何三角形五心及定理性质

初中的几何三角形五心及定理性质

三角形的五心综合讲稿(陶平生)

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理).doc

三角形五心及其性质(一)2024

三角形五心讲课教学内容

三角形的五心(教学课件201911)

初中的几何三角形五心及定理性质

初高中数学衔接课程教案01-三角形的五心

初中数学竞赛讲解教材 第五讲 三角形的五心

三角形五心教案

第二讲第三讲第四讲三角形五心定理及证明ppt课件

三角形五心定律Word版

三角形的五心(教学课件2019)

初中几何三角形五心及定理性质

三角形的五心(教学课件201908)

初中数学竞赛讲解教材第五讲三角形的五心