拨开云雾见天日守得云开见月明——谈“f(x)·lnx”问题的一类简化算法

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高中数学极简解题法

数学问题的解决方法有很多种，其中有一些极简的解题技巧可以帮助您提高解题效率。

以下是一些常用的高中数学极简解题法：
1. 熟记公式：数学涉及很多公式，熟练掌握并记忆这些公式可以帮助您更快地解决问题。

2. 善于化简：将问题化简到最简单的形式可以帮助您更容易地找到答案。

3. 看图解题：对于几何问题，先画出图形并观察可以帮助您更好地理解问题，找到答案。

4. 思维灵活：尝试使用不同的解题方法，灵活运用所学的知识和技巧，以便更好地解决问题。

5. 举一反三：在解决一个问题时，思考是否可以将其与其他问题联系起来，从而解决更多的问题。

6. 多做练习：数学需要大量的练习，多做题可以让您更好地掌握知识和技能，提高自己的解题能力。

这些都是一些常用的高中数学极简解题法，希望对您有所帮助。

如果您有其他问题，请随时告诉我。

追本溯源,拨云见日——一道“x与e^(x),ln x组合函数不等式问题”自编题的思考

2021年第3期福建中学数学 1追本溯源，拨云见日——一道“x 与e x ，ln x 组合函数不等式问题”自编题的思考周裕燕福建省福建师范大学附属中学（350007）解题教学是教师日常工作之一，搞清试题的背景、揭示试题的本质是解题教学的关键．通过试题命制，可以提高教师对试题的认识，促进解题教学能力的提升，使试题的价值得到体现，使核心素养落到实处．有关x 与e x ，ln x 组合函数问题是高考的热点问题，由于学生对这类问题的认识不到位，难度较大，得分率不高．笔者所在学校近期举办了教师编、说题比赛，笔者命制了一道关于“x 与e x ，ln x 组合函数不等式问题”的试题，现把这道题的命制过程中想法和解题思路与读者分享．试题如下：已知函数1()ln a f x x a x x −=−−．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a ≤，证明：()1e e x f x a x −+−≥．本题第（1）小题较为常规，不需赘述，以下对第（2）小题进行分析． 1 指导思想本题的指导思想是以知识为载体，突出能力立意，落实核心素养．本题通过围绕函数的单调性和导数的关系展开，并证明含参数不等式恒成立问题，考查数学思想方法；注重知识、方法、思想、能力融于一体，突出考查逻辑推理能力、运算求解能力；有效考查了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养． 2 背景分析本题命制背景来自高等数学中的泰勒公式． 2.1 不等式e 1x x ≥+，e e x x ≥的背景根据泰勒公式，()e xf x =在0x =处的展开式为2(0)(0)()(0)(0)2!!n nf f f x f f x x x n ′′′=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅，即212!!e n x x x x n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅，所以e 1xx ≥+．同样地，()e x f x =在1x =处的展开式为()f x =2(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!!n n f f f f x x x n ′′′+⋅−+⋅−+⋅⋅⋅+⋅−+⋅⋅⋅，即2(1)(1)(1)2!e e e e !e n xx x x n −−=+−++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅，所以e e x x ≥． 2.2 不等式e 1x x ≥+，e e x x ≥的变形当0x >时，1e e e x x x x −≥⇔≤ 1e ln ln 1x x x −⇔≤=−．用1x 替代ln 1x x ≤−中的x ，得11ln 1x x≤−，而111ln 1ln 1x x x x≤−⇔−≤− 1ln 1x x⇔≥−．故得到不等式ln 1x x ≤−，1ln 1x x ≥−．2.3 命题思路由e e x x ≥得11e x x −≤①．由1ln 1x x ≥−，得1ln +1x x ≥．取10a −≥，即1a ≤，可得1(1)(ln )1a x a x −+≥−，即1ln ln 1a x a x a x −−++≥．因为ln 1x x ≤−，所以1ln +1ax a x a x−−+−1ln ln +1ax a x a x−≥−+≥②．由①②得1a ≤时，11ln 1e +x ax a x a x x−−−+−≥恒成立，即1ln 1e e x a x a x a x x−−−−+−≥恒成立．因为1()ln a f x x a x x−=−−，所以()1e e xf x a x −+−≥恒成立． 2.4 解法分析2 福建中学数学 2021年第3期2.4.1 指对分离要证()1e e xf x a x−+−≥，只需证11ln 1e x a xx a x a x −−−−+−≥．设1()ln 1a g x x a x a x−=−−+−， 1e ()x xh x −=．22211()1a a x ax a g x x x x −−+−′=−+=2(1)(1)x a x x −+−=．由于1a ≤，故10x a −+>，令()0g x ′=，得1x =．当(1+)x ∈ ∞，时，()0g x ′>，()g x 单调递增；当(01)x ∈，时，()0g x ′<，()g x 单调递减．因此min()(1)1g x g ==． 11(e)x xh x −−′=，令()0h x ′=，得1x =．当(01)x ∈ ，时，()0h x ′>，()h x 单调递增；当(1+)x ∈ ∞，时，()0h x ′<，()h x 单调递减． max()(1)1h x h ==．故()()g x h x ≥，得证．评析分离e x 和ln x ，分别构造函数()()g x h x ，，加强为证明min max [()][()]g x h x >．特别指出，min max [()][()]g x h x >实际上是()g x > ()h x 的充分不必要条件，可作为证明的一种方法． 2.4.2 放缩法（1）利用不等式e 1x x ≥+放缩11e 1e 1ex x x xx x −−≥+⇒≥⇒≤．因此只需证x −1ln 11a a x a x−−+−≥，同上已证．（2）利用不等式e e x x ≥放缩111e e e 11e e e e x x x x x xx x −≥⇒≤⇒≤⇒≤，同上已证．（3）利用利用ln 1x x ≤−，1ln 1x x≥−放缩①当0a ≤时，11ln 1ln (1)x a x a x x ≥−⇒−≥−−，故只需证111e (1)1x a xx a a x x −−−−−+−≥．只需证111e x xx x −+−≥．由于111x x +−≥，只需证11ex x−≥，已证．②当01a <≤时ln 1x x ≤− ln (1)a x a x ⇒−≥−−．只需证11e (1)1x a xx a x a x −−−−−+−≥．只需证11()21e 1x a xa x a x −−−−+−≥．设1()(1)21a g x a x a x−=−−+−， 2221(1)(1)()(1)a a x g x a x x −−−′=−+=．可得min()(1)1g x g ==．只需证11ex x−≥，已证．综上所述，得证．评析以上放缩法都基于本题命制的背景——泰勒展开式，基于命题背景的解题可以更好地揭示问题的本质，为这类问题的解决提供更好的思路．2.4.3 构造差函数要证()+1e e xf x a x−−≥．只需证11ln 1e x a xx a x a x −−−−+−≥．只需证11e ln 10x a xx a x a x −−−−+−−≥．设11()ln 1ex a xg x x a x a x −−=−−+−−．2111()1e x a a xg x x x −−−′=−+−21(1)(1)1e x x a x xx −−+−−− 2111(1)[]ex x a x x −−+=−+．由于1a ≤，故210x a x −+>，可得21110ex x a x −−++>．令()0g x ′=得1x =．当(01)x ∈ ，时，()0g x ′<，()g x 单调递减；当(1+)x ∈ ∞，时，()0g x ′>，()g x 单调递增．所以min()(1)0g x g ==，()0g x ≥，得证．2021年第3期福建中学数学 3 评析证明不等式问题，通过构造差函数，转化为研究函数的最值问题，这也是证明不等式的常用方法．2.4.4 变换主元要证()1e e xf x a x−+−≥．只需证11ln 1e x a xx a x a x −−−−+−≥．只需证111(ln 1)1e x xx a x x x −−−+++−≥．设1()ln 1g x x x=−−+，22111()x g x x x x−′=−+=．得max()(1)0g x g ==，()0g x ∴≤．设11()(ln 1)1h a x a x x x=−−+++−，min ()(1)ln h a h x x ==−+．只需证1ln ex xx x −−+≥．设()ln F x x x =−+，11()1x F x x x−′=−+=．易得min ()(1)1F x F ==．只需证11e x x−≥，同上已证．评析本题由于变量a 的范围给定，可以通过变换主元，把相应的关于x 的函数转化为关于a 的函数，实现消元，实现复杂问题简单化，有利于拓宽学生的思路，促进良好思维的形成．数学试题是数学知识、思想方法的载体，解题教学是提高学生解题能力的重要手段．站在高观点下，有助于命制出高质量的试题；挖掘试题的背景，透过现象，看清本质，有助于培养学生数学思维的灵活性、系统性和深刻性，有助于解题能力的提高和学科核心素养的落实．起于形象，止于抽象雷鸣东福建省莆田中山中学（3511000）本文展示一道试题的命制过程．试题是笔者以2018年福建省中考数学B 卷25题、莆田市中小学教师岗位大练兵之解题析题的一道题为原始模型，基于核心素养，不断思考从数量与数量关系、图形与图形关系中，如何抽象出一般规律与结构并用数学语言进行合理有序地表达与表征，进行改编与命制，并在打磨三稿后命制完成．在改编和命制过程中，对原始模型的不断打磨，起于形象直观，止于抽象概括，抽象中有形象，形象中有抽象．命制过程中笔者深深感受到：命题好玩，需玩好命题；命题有道，而研修无界．1 试题展示已知抛物线211:4l y x c =+，当其函数值0y =时，只有一个自变量x 的值与其对应．（1）（3分）求c 的值．（2）将抛物线1l 平移得到抛物线221:()4l y x n =− 1(0)n −>．若当302x ≤≤时，对于抛物线1l 上任意点E ，抛物线2l 上总存在点F ，使得E F ，的纵坐标相等． ①（5分）求n 的取值范围． ②（6分）设抛物线2l 与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，求ABC ∆的外心的纵坐标的取值范围． 2 命题过程 2.1 命题立意本题以函数为基本背景，既考查了函数的图象性质，也与几何相结合．在关注数感、符号意识的同时，还培养运算能力、推理能力和几何直观，更以代数运算进行推理演绎，突出函数、方程、不等式、代数变形、分式运算等数学核心知识；从思想方法层面，本题体现函数与方程、数形结合、转化与化归等数学思想；从能力素养看，本题通过参数表达、运算、代数变形和逻辑推理，旨在加强符号意识的培养及参数思想的建立，加强了函数与方程。

高中数学复习指导：一道含有lnx的导数题的3种解法

一道含有lnx 的导数题的3种解法已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（1）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；（2）若当()1,x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围. 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，1()(1)ln 4(1),()ln 3,f x x x x f x x x '=+--=+- 又(1)2,(1)0.'=-=f f所以曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-= （2）解法一：分离ln x 法当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x (1)()ln 1a x g x x x -=-+设，则 222122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ，设)1(,1)1(2)(2>+-+=x x a x x h ，因为方程01)1(22=+-+x a x 的判别式[])2(44)1(22-=--=∆a a a （i ）当2≤a 且(1,)∈+∞x 时，222(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，所以0)(>x h ，即0)('>x g ，所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，因此0)1()(=>g x g ，即()0>f x 恒成立.（ii ）当2>a 时，令0)(=x h 得01)1(22=+-+x a x 的两根为：1211x a x a =--=-+显然21>x ，又因为121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，0)(<x h 即()0'<g x ，所以()g x 在2(1,)x 单调递减，0)1()(=<g x g 因此0)(<x f .综上所述，a 的取值范围是(],2.-∞解法二：二次求导法因为'1ln (1)1()ln x x x a x f x x a x x++-+=+-= 设)1(,1)1(ln )(>+-+=x x a x x x g 则a x x g -+=2ln )('（1）当022≥-≤a a 即时，,0ln ,1>∴>x x所以0)('>x g ，)(x g 在),1(+∞是增函数，∴0)(,02)1()('>∴≥-=>x f a g x g所以)(x f 在),1(+∞上是增函数，0)1()(=>f x f .故0)(>x f 成立.（2）当022<->a a 即时，令0)('=x g 得12>=-a ex 所以当21-<<a e x 时，0)('<x g ，)(x g 在),1(+∞是减函数，所以02)1()(<-=<a g x g 即0)('<x f ，所以)(x f 在),1(+∞上是减函数，0)1()(=<f x f ，显然0)(>x f 不恒成立. 综上所述：a 的取值范围是(]2-，∞.解法三：分离参数法0)(>x f 等价于1ln )1(-+<x x x a 恒成立， 1ln )1()(-+=x x x x g 很容易证明)(x g 在),1(+∞单调递增，但)(x g 不存在最小值，故应用现有知识无法求解．考虑洛必达法则：111(1)ln ln 1lim ()lim lim 211x x x x x x x g x x →→→+++===-，所以2a ≤，即a 的取值范围是(]2-，∞.说明：本题函数比较简单，可以避开洛必达法则，方法是利用极限定义，但是对于变形要求较高，解析如下：1111(1)ln (1)ln (11)ln1()(1)lim ()lim lim lim (1).111x x x x x x x x u x u g x u x x x →→→→++-+-'====--- 其中，()(1)ln u x x x =+，()ln 1u x x x '=++，所以(1)2u '=。

数学解题的五层境界

数学解题的五层境界
第一层境界：正确解题
兵来将挡，水来土掩，见招拆招
很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界。

第二层境界：一题多解
多点开花，条条大道通罗马；似倚天剑轻灵无双，剑招千变万化，虚实相间，谁与争锋
我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题。

一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单。

对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释。

第三层境界：多题一解
以静制动，以不变应万变，一招制敌；似玄铁神器，重剑无锋，却刚猛异常，一剑挥下，纵它千百变，亦必摧之
完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或者把其中的数字换成字母，或者把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目。

第四层境界：发现定理
无招胜有招，渐成大家；至此境界，草木皆为利刃，随心所欲，敌未动，已毙于无形
到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。

这些结论、定理规律都是解题的有用工具。

解题高手都有自己的定理库。

第五层境界：自己编题
自成一派，独孤求败；高处不胜寒，自己跟自己玩
解题的最高境界是能够编题。

不是所有的人都具备编题的能力。

解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。

即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏。

摘自网络。

高中数学简化运算的小技巧(高手总结来的)

高中数学简化运算的小技巧高中的题型中，思维难度最大的是数列和不等式，其次是函数，函数比较活，要靠平时积累。

然而会做高难度题型显然是不够的，很多人栽在时间不够和计算失误上。

在高考有限的时间内能尽可能挤出时间去解决高难度题型是得高分的关键之一。

下面推荐几个方法，可以减少不少运算，而且能有效提高计算准确率。

假如能在高考中节约10分钟，那都是异常宝贵的，更不用说提高计算准确率了。

注意：下面这些方法是高中没有讲的，在做题时一定注明用到的定理方法名称。

否则遇到钻牛角尖的改卷老师，只能白吃亏。

一.立体几何（强烈建议学会这个方法，其他的如果觉得理解困难可以不掌握。

）行列式简化运算（大概减少5分钟运算）在涉及法向量的计算时用行列式会非常简洁。

二阶行列式�a 11a 12a 21a 22�=a 11a 22−a 21a 12 （即对角线乘积之差）三阶行列式�a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33�可以按照某一行或者某一列展开（习惯按照行展开） �a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33�=a 11�a 22a 23a 32a 33�−a 12�a 21a 23a 31a 33�+a 13�a 21a 32a 31a 33� （即某个元素乘以剔除这个元素所在行和列后所得的新行列式，注意第二个展开式前面是负号，这里是最容易错的）立体几何里要用到向量乘法扩展。

1.求平面法向量做立体几何的试题的模式化操作无非是建立直角坐标系，然而有点难度的题都会考法向量的应用，平常解方程组的方法求法向量非常麻烦，还要讨论方向。

但用这个方法非常简便，能节省不少时间。

（大一开始就要学这个，其实高中就应该学。

）这是行列式最有用最简洁的地方设方程组求解需要解三元一次方程还要指定一个变量为定值，比较麻烦而且容易出错。

下面的方法简单且容易记忆。

设n 是a =(x 1,y 1,z 1)，b =(x 2,y 2,z 2)所成的平面的法向量则（i ，j ，k 是坐标轴单位向量）n =�i j k x 1y 1z 1x 2y 2z 2�按第一行展开，就求得n 的向量表达式 n =�i j k x 1y 1z 1x 2y 2z 2�=i �y 1z 1y 2z 2�−j �x 1z 1x 2z 2�+k �x 1y 1x 2y 2�当然，还可以写成更简单的坐标形式。

拨开“迷雾”见“晴天’——一道高考试题的引申探究

又：＋，＋ｚ＝１
令ｌ０则有＝Ｏ０取＝ｃｓ，＝，ＣＳ，ｌｏ０
则Ｙ＝一ｓ０ａ：（，ｓ０ｃｓ）ｌｉ，ｎ０一ｉ，０ｎｏ
Ｐ，Ｊ，所成的角为５。将点Ｐ平移到点Ｐ，两相则，，ｌｌ０，则
ｃ，。曲线Ｃ与ｃ关于直线，＝对称．。 ①求曲线Ｃ的方程Ｙｇ）②设函数ｙ＝ｇ）＝（；（的定义域为Ｍ，当。，
４８
中。毒・（１年２高版？幺２０第期・中）７０
・试题分析・
ｆＳ＞ｃ（，Ｃ＜＝ｓ）Ｏ。詈一
［］老树发新芽》１《的启发，撰写了文［］这道考题的一２《点小“ 瑕疵” ，》对这道考题进行了修正．当真正的拿起笔来，具体操作时却感到陷入“ 迷雾 ” 中，之不知如何下手．
于是产生疑惑：是技巧性太强还是策略没有想到？为此笔者和同事共同研究了这道题的解法，并进行了深入的研究，现将研究的结果展示给大家，同分享．共解作平面ｄ，的法向量分别为ｍ，，交于点，且ｌ
量ａ＝（，。＝）所求直线的方向向量ｃ＝（ｙｚ，Ｙ，，，，）不
妨设Ｉ＝Ｉ＝ＩＩ１则有＝（，ｏ０ｓ０，ａｌｂＩ＝，ｃ０ｃｓ，ｉ）ｎ
因为ａ上Ｄ，以ａ・Ａ＝即Ｙｃｓ＋ｌｎ：Ａ所Ｏ０，ｌｏ０：ｓ００ｉ
的能力，而逐步实现以人为本的素质教育．从

拨云见月解法自然来——2018年全国卷Ⅲ理科第21题的解法探析

x = 0 是 f (x) 的极大值点当且仅当 x = 0 是 h(x) 的极
大值点.
h′(x)
=
1 1+x
−
2(2 + x + ax2) − 2x(1 + 2ax) (2 + x + ax2)2
=
x2(a2x2 + 4ax + 6a + 1)
(1 + x)(2 + x + ax2)2
, 如果 6a + 1 > {√ }
拨云见月解法自然来
— 2018 年全国卷 III 理科第 21 题的解法探析
广东省佛山市乐从中学 (528315) 林国红
当前, 函数导数题常作为高考的压轴题. 导数压轴题在关作用.
考查基础知识的同时, 注重对能力, 数学思想方法方面的考二、解法探析
查, 有综合性强, 思维量大, 方法繁多, 技巧性强等特点. 2018
题策略, 以及转化和运算能力有较高的要求, 较好地达到了 x + 2 > 0, 所以 f (x) < 0; 当 x > 0 时, g(x) > g(0) = 0, 且
考查目的, 体现能力立意的命题原则, 作为压轴题起到了把 x + 2 > 0, 所以 f (x) > 0.
∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼
2019 年第 4 期 (上)
中学数学研究
1
评注问题 (1) 的两种证法均是利用导数作为工具来证
明, 由于 f (x) 中含有对数式, 证法 1 通过二次求导来处理掉

探索规律

绝不屈服
机器人统治人类已经100多年了，在这100多年里面，人们进行了各种努力，但是都失败了，难道我们人类的命运就这样下去了吗? 不，不，我们绝不屈服我们的血液里面流淌的是勇敢，不怕牺牲。勇往直前
唯一的希望
尽管前面的人都失败了，但是他们的努力还有有一些结果的我们发现，机器人之王有一个致命的缺陷，那就是他们是有信息连接的，只要我们破译并且改变他的信息，就可以拯救地球但是，很遗憾的是机器人之王已经发现了这个缺陷，他正准备改变这个缺陷时间很紧急，我们只有一次希望
数学勇士的危机
数学勇士在前进中中了机关，陷入了危险这时候，队长想起了我们刚才用过的方法，用这些方法来拯救自己
自救行动
经过努力，大家终于完成了大部分工作，但是还有最艰难的地方没有完成。数学勇士，加油啊！ 9×7=63 99×97=9603 999×997=996003 9999×9997=99960003
999999×999997=
决战机器人之王
我们的数学勇士终于来到了极其人之王这里没有时间了，战斗在第一时间打响队长，副队长都牺牲了，但是他们也获得了有用的情报队长获得了101×43=4343 副队长获得了 43×202=8686 现在剩下的三位数学勇士地球的希望就寄托在你们身上了
地球的希望
家庭作业
我们打败了机器人，拯救了人类。现在我们又回到了宽敞明亮的教室安静的做作业
同学们请完成1.2.3.4四题
47×101 26×101 101×82 17×202 202×35 32×202
我们胜利了
经过5位勇士的努力，人类终于打败了机器人之王
一起来战斗
机器人之王虽然被打败了，但是还有很多的机器人还在欺负人类，只是这些机器人没有机器人之王那么聪明

拨开云雾见天日守得云开见月明

拨开云雾见天日守得云开见月明作者：葛中儒来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2016年第24期摘要：高考作为选拔性考试，自2008年首次新课程高考到2011年期间，江苏自主命题的政治试题充分体现出浓郁的重基础知识的考查的风向，但2011年至2015年期间，试题逐渐走向教材研究的深水区，以致许多应试者措手不及，执教者也是困惑不已。

2016年高考试题在考点检测、语言表述和考查要求等方面再次做了新的调整，降低了难度，让我们有一种回归重温的感觉。

关键词：江苏高考；政治试题；特色中图分类号：G633.2 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）24-111-1一、试题主要特色1.理性回归，强基固本。

自2008年首次新课程高考到2011年期间，江苏自主命题的政治试题重基础知识的考查，无论是客观题的选项表述，还是主观题的设问及答案组织要求，基本都是直接采用教材语言，知识的运用相对较为容易把握，体现了政治学科考试注重考查考生对所学相关课程基础知识、基本技能的掌握程度的高考基本要求。

许多客观题的情景材料与选项之间关联直接明确，稍加阅读、思考，答案就能一目了然，思维度相对较低，如2008年第7～10题、23、24题；2009年第9～11题、第15、17、23、24题；2010年第7、9、12、17、20题等。

甚至部分试题不需要阅读材料，仅仅根据四个选支本身的是非判断就能推知结论，如2008年第11、13、15、27、31题；2009年第30、32题；2010年第15、24、25、26题等。

但2011年以后，试题开始“变身”，逐渐走向教材研究的深水区，以致许多应试者措手不及，颇有微词，执教者也是困惑不已，质疑不断。

突出表现在：客观题中许多试题虽立足基础知识，却将基础知识用几层纱蒙了起来，选项的语言表述需要结合课本知识再进一步加以转换理解，组合式选择增多，多维思考同一现象，知识迁移能力加大；主观题设问形式和要求也是不断创新，探究性和思辨性明显增强。

拨开迷雾见月明-文档

拨开迷雾见月明本章是从数跨越到了代数式，是质的飞跃，同时也是中考重点考查的内容之一. 代数式这一章的概念、法则较多，如果掌握不透，很多地方容易出错，现将这一章的易错点总结如下对单项式、多项式概念模糊不清例1 下列说法正确的是（）.A.是单项式B.+ 是多项式C.是单项式D.是单项式错解】ABD.错误分析】识别单项式的要点是看代数式能否写成数与字母的乘积；识别多项式的要点是看能否写成几个单项式的和. 可以写成分数与字母ab的乘积，而只能写成2与y的商，不能写成数与字母的乘积，注意n也是一个数！可以写成与-两个单项式的和，是多项式而不是单项式，而+虽然可以写成与的和，但与都不是单项式，故不是多项式正解】C.判断单项式的系数、次数出错例2 下列说法中正确的是（）.A.单项式ab2 的系数是0B.3x2y3z 的次数是5C.32 n a2的系数是9D. -2xy 的系数是-2错解】ABC.错误分析】对单项式的次数及系数概念理解不透彻①1ab2=ab2, -1ab2=-ab2，系数是±1时，1通常省略不写.②z1=z，次数是1时通常省略不写.③n表示的是一个数，不能当作构成单项式的字母.正解】D.判断多项式的项数和次数出错例3 4a3-3a4+0.2a+26 是次多项式，最高次项的系数是，系数最小的项是错解】1 4；64；0. 2 a .错误分析】多项式有几项叫几项式多项式的次数是指次数最高的那一项的次数，不是所有项次数的和.多项式的每一项包括它前面的符号错误1：次数判断错.26 是这个多项式的常数项，它是单独一个数，而单独的一个数的次数是0. 其次，多项式的次数是指次数最高的那一项的次数，不是所有项次数的和. 这个多项式中，次数最高的项是-3a4，因此这个多项式是四次多项式，且最高次项的系数是-3.错误2：系数判断错. 构成这个多项式的所有单项式的系数从左至右依次为4、-3、0.2、64.其中最小的数是-3 ，因此系数最小的项是-3a4.正解】四；-3 ；-3a4.四、忽视同类项的定义，合并同类项出错例4 下列合并同类项的结果正确的是（）.A.-5x2y-15x2y=10x2yB.6xy-6yx=0C.4a2b-5ab2=-a2bD.3y2+5y3=8y5错解】ACD.【错误分析】A中-5x2y与-15x2y是同类项，但合并时系数出错，正确结果应为-20x2y ; C D中4a2b与-5ab2 , 3y2与5y3所含字母虽然分别相同，但是相同字母的指数却不完全相同，因此均不是同类项，不能合并. 同类项的概念中强调所含字母相同，相同字母的指数必须相同，但与字母的排列顺序无关；不是同类项不能合并. 要想避免合并同类项的各种错误，必须熟练掌握和正确运用合并同类项的法则.正解】B.五、应用去括号法则出错例5 计算：8a-3b- （4a+3b-c ）.错解】原式=8a-3b-4a+3b-c=4a-c.错误分析】去括号时，如果括号前是负号，把括号和它前面的“ - ”号去掉，括号内各项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变错解只改变括号内第一项的符号而忘记改变其余各项的符号.正解】原式=8a-3b-4a-3b+c=4a-6b+c.例6 计算：( 8x2-5y2 )-3(2x2-y2 ).错解一：原式=8x2-5y2-6x2+y2=2x2-4y2.错解二：原式=8x2-5y2-6x2-3y2=2x2-8y2.错误分析】对于错解1，去括号时，若括号前的系数不是1，则要按分配律来计算，即要用括号外的系数乘括号内的每一项. 对于错解2，则是错在符号，第二个括号前是负号，去括号后括号内的每一项都要变号.正解】原式=8x2-5y2-6x2+3y2=2x2-2y2.六、整式加减运算出错例7求多项式2a2+3a+5与4a2-4a+2的差.错解一：( 4a2-4a+2)-(2a2+3a+5)=4a2-4a+2-2a2-3a-5=2a2-7a-3.【错误分析】错误地理解2a2+3a+5与4a2-4a+2的差的含义，将被减数和减数弄反.错解二：2a2+3a+5-4a2-4a+2=-2a2-a+7.错误分析】错在第一步，没有把减数4a2-4a+2 看成一个整体，应当把2a2+3a+5 与4a2-4a+2 分别看成一个整体，用括号括起来再相减.正解】2a2+3a+5- (4a2-4a+2 ) =2a2+3a+5-4a2+4a-2=-2a2+7a+3.。

拨开迷雾见阳光——一道联考试题结论的推广与本质

２Ａ２）口ｂ，两式相加化简得６（＋Ａ１＋Ａ２ｃ）
２
一
意到Ｂｅ＇＝
及ＥＧ＝Ａ＋
由
ｃ
＝
ａ
ｙＥ（ｙＥ＋Ａｌｙ曾＋Ａ２ｙｃ）＝（１＋Ａ１＋Ａ２）口ｂ．注及ＥＧ＝Ａ＋Ａ
组共线点：（１）Ｆ，Ｇ，Ｊ，Ｋ四点共线；（２）Ｅ，Ｇ，Ｌ，Ｍ四
点共线；（３）Ｅ，Ｆ，日，，四点共线．注：由于定理４中的结果（１）（２）文［１］中已给
图３
线交于点，则有Ｅ，Ｆ，日，Ｊ四
出部分证明，不再赘述．限于篇幅，定理４中性质（１）（２）可否用类似
Ｆ，日，，三点共线，命题得证．由定理１、２、３得证，可得如下定理：
定理４圆锥曲线上的四点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ构成了
一
口２），ｙ。＝６２，即点Ｅ满足方程一
＝ｌ，易证
日，，在直线一百ＹａＹ＝１上则Ｅ，ＩＩ，，三点共线，同
：，
意到ＢＧ＇＝
由ｃ＝
一Ｇ一
ｃ
１＋Ａ１＋Ａ２
＝
’ 。一
１＋Ａ１＋Ａ２
一ｃ一
Ａ１Ｙ口＋Ａ２Ｙｃ１＋Ａ１＋Ａ２ ’ ｃ＝一１＋Ａ１＋Ａ２Ａ１＋Ａ２
可得），ＧＹＥ＝ｐ（ｘ＋
，
理Ｆ．日பைடு நூலகம் ，三点共线．命题得证．

不畏“浮云”遮望眼——求解数学题的开局初探

【评注】坚实的基础知识配合等价变形以帮助求解
数学题时开好局．然浮云蔽日。能拨云见日．纵也
透方程（）６（＋＝＋厂）ｃｏ中的厂）不为“ （，浮云’ ）所
迷！用数形结合思想，开好局做准备．应为
、
等价变形云开日出
例１（０１汕头市理科测试）知方程ａ６．２１年已ｘ＋卅ｃ０其中ａｂｃ非零向量，ａ６共线，则该方程＝，、、是且、不
（）
【解答ｌｘ的图像关于直线ｘａｆ）（＝对称，轴的与
练－．函数ｙ＞设３＝
实数 Ⅱ ＝，＝．６
（＞）ａ０的值域为［１４，一，］则
练习 ① 在直角坐标系中，曲线Ｃ的参数方程为。
｛ｉＳＯＴ，ｆＣＯｅ，｛Ｏ’［Ｔ以ＸＯ］＝ｌ一０。【＝ｓｎｙ
【答案】１、）提示：［，／．先把参数方程、极坐标方
Ｂ．＞ｂＯ且ｃＯ＜
Ｄ．ｂ≥ ０且ｃＯ＝
程都转化成同一直角坐标系下的普通方程，出曲线面
Ｃ与ｃ的图像即得正确答案．。
【分析】关于的方程厂（）６（）ｃ０首先是以＋厂＋＝
练习 ② ｍａ｛，ｃ表示ａｂＣ三个数中的最大值，ｘａ，｝ｂ，、
１３
数学有数
则ｆｘ＝ａ｛，＋，（）ｍｘ３２１￣ｘ３｝在

守得云开见月明

守得云开见月明
佚名
【期刊名称】《资源再生》
【年(卷),期】2011(000)009
【摘要】按照北方传统的农谚,如果中秋节这一天乌云遮月,那么来年的元宵节,一定会瑞雪纷飞,预兆示着美好的光景会接锺而来.今年的中秋佳节,北京同赏“云遮月”.往日皎洁的月亮,任你寻他千百度,就是羞答答地躲在幽静的夜色之中不肯出来.虽然没有往年“海上生明月,天涯共此时”那充满花好月圆的良宵美景,但“八月十五云遮月,正月十五雪打灯”的说法,多多少少给失望的人们,带来了些许“来年会更好”的憧憬…….
【总页数】1页(P1)
【正文语种】中文
【相关文献】
1.等到花放闻麦香守得云开见月明——访首都师范大学生命科学学院副院长晏月明教授 [J], 吴应清
2.拨开云雾见天日守得云开见月明——浅析反思型教师的历练 [J], 陈学省
3.拨开云雾见天日守得云开见月明——谈"f(x)·ln x"问题的一类简化算法 [J], 王强
4.让英语复习\"拨开云雾见天日守得云开见月明\" [J], 孙海雷
5.让英语复习“拨开云雾见天日守得云开见月明” [J], 孙海雷[1]
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数学北师大版高中必修1拨开迷雾见青山

拨开迷雾见青山函数与方程是高中数学的主线，它是用变化，运动的观点研究，描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，在学习函数与方程过程中，容易出现差错而导致解答和失误，常见情况如下：一．概念理解不到位例1．若函数()x f 的图象在[]b a ,上连续不断，且有()()0>∙b f a f ，则函数()x f 在[]b a ,上（）（A ）一定没有零点期（B ）至少有一个零点（C ）只有一个零点（D ）零点情况不确定错解：图象连续不断的函数()x f 在[]b a ,上满足()()，0<b f a f 所以存在零点，而()()0>∙b f a f ，则不存在零点，故选择（A ）。

剖析：造成错解的原因是对概念的理解不到位，本题可以通过举特殊函数加以说明，同时加深对概念的理解与掌握。

正解：令()12-=x x f 在区间[]，3,2-[]3,2,上均有()()0>∙b f a f ，但[]，3,2-上有两个不同的零点。

而在[]3,2,上无零点。

选（D ）。

【自主尝试1】．若函数()x f 在区间[]b a ,上为减函数，则()x f 在[]b a ,上（）（A ）至少有一个零点（B ）只有一个零点（C ）没零点（D ）至多有一个零点二．忽视隐含条件例2。

已知奇函数()x f 的定义域为R ，当0>x 时，()322--=x x x f ，那么函数()x f 的零点共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个错解：当0>x 时，令0322=--x x ，解答x=3。

由于()x f 为奇函数，图象关于原点对称。

所以x=-3也是函数的零点，从而选择（B ）。

剖析：错解中没有注意到奇函数的定义域。

当0>x 或0<x 时，函数各有一个零点毫无疑问是正确的，但忽视了奇函数当x=0时，()00=f 这一隐含条件。

正解：当当0>x 时，令0322=--x x ，解答x=3。

日出时的数学解题

日出时的数学解题### 日出时的数学解题当第一缕阳光穿透夜幕的帷幔，晨曦的微光洒在了书桌上，我坐在窗前，手中握着一支笔，面前铺着一张白纸。

这不是普通的纸张，而是一张等待解答的数学试卷。

在这个宁静的清晨，我将与数学难题进行一场智慧的较量。

数学题总是让人又爱又恨。

它们像是一座座高山，等待着勇敢的攀登者去征服。

而今天的日出，似乎给了我额外的力量，让我有信心去解决那些看似复杂的问题。

我拿起笔，开始在纸上勾勒出解题的步骤。

数学是一种语言，它用符号和公式表达着世界的秩序与和谐。

每一个等号，每一个公式，都像是解开宇宙奥秘的钥匙。

我沉浸在这逻辑与美的交织中，感受着数学的魅力。

第一题是一个几何问题，涉及到角度和边长的关系。

我闭上眼睛，想象着图形在脑海中旋转，然后迅速地在纸上画出辅助线，用三角函数和勾股定理来求解。

随着一步步的推导，答案逐渐清晰，就像日出时分，天边的云彩逐渐被阳光染成金色。

第二题是一个代数问题，涉及到多项式的因式分解。

我回想起老师课堂上的讲解，将复杂的多项式拆分成一个个简单的因子。

这个过程就像是在拨开迷雾，寻找隐藏在其中的真理。

随着每一个因子的发现，我的心情也如同看到日出时的那份喜悦。

第三题是一个概率问题，要求计算一系列事件的可能性。

我将每个事件的可能性用概率论的语言表达出来，然后通过加法和乘法来计算最终的结果。

这个过程就像是在解读命运的密码，每一个计算都让我更加接近答案的真相。

随着时间的推移，太阳已经完全升起，阳光洒满了整个房间。

我也终于完成了所有题目的解答。

我放下笔，长舒一口气，感受着成就感带来的满足。

数学解题不仅仅是一种智力的挑战，更是一种心灵的洗礼。

在这个日出时分，我与数学的对话，让我更加坚信，无论面对多么复杂的问题，只要我们保持冷静和坚持，总能找到解决问题的方法。

日出时的数学解题，不仅是一场思维的锻炼，更是一次心灵的旅行。

在这个清晨，我与数学的对话，让我更加热爱这个世界，热爱那些隐藏在平凡生活中的不平凡。

【拨开迷雾见青天,总结规律知易难】拨开迷雾见青天

拨开迷雾见XX天,总结规律知易难】拨开迷雾见XX天图文转换题就是要求考生将图表中的信息转换成语言文字信息，但一般不需要也不同意考生进行想象甚至虚构。

从近几年的考题状况看，有时只需将图表所包含的一般信息用文字表述出来即可，有时则需要将图表中所蕴涵的内在信息用语言表述出来，且往往表现为一些观点型或结论型的句子。

由此可见，这种题型对考生敏锐捕捉信息，精确分析信息和精确精练概括的能力有着较高的要求。

因此，了解并总结相应的做题思路对备考的学生有着举足轻重的作用。

图文转换题的常见题型：从所供材料角度分为：1. 表〔格〕文〔字〕转换题；2.图〔画〕文〔字〕转换题；3.〔漫〕画文〔字〕转换题。

从表达角度分为：直接表述图表信息和对图表信息推断总结题两种。

一、表〔格〕文〔字〕转换题的解答要留意以下几点：1.仔细审题，弄清题旨。

和其他类型的语文题一样，图表解答题也会在题干中提出明确的解答要求。

学生只有仔细审题，读懂、渗透题旨才能顺利答题。

同时，有些题目在题干中会示意学生一些答题的方向和角度。

2.简洁运算，化繁为简。

有时，既要将图表中某些改变规律表现得更清楚，又要符合解答简洁的要求，就必需对图表中的数据信息进行处理，通过简洁的运算，使得表述时语言更加简洁明了。

3.通盘考虑，完好答题。

学生在解答图表题时，最简单犯的错误就是顾此失彼，只看到图表的部分，因此未能将题目回答完好。

图表的特点之一就是有横向和纵向两方面，就像数学上所讲的X轴和Y轴一样。

学生要从这两方面去考虑，以免答题不完好。

4.锤炼语言，简明答题。

图表题对答案的表述往往会有字数的限制，这就要求学生还必需具备对语言的概括能力。

二、图〔画〕文〔字〕转换题的一般解题思路。

示意图题型的出现，给许多师生造成了肯定的备考压力，如何应对这种题型，从而轻松应考呢？我认为，把握其解题规律，从规律入手，可谓是一种好方法。

我们面对这样的题型应当做到：1.宏观读图。

示意图，是用简洁的线条和符号显示物体结构、原理等的图样。

第一篇专题7 指对的破解逻辑

专题柒破掌式——指对的破解逻辑指对自古就难解，也难修炼，像拳脚功夫的内家心法，由于求导的无限性，导致修炼之人极易走火入魔，从而花大量时间对所修之功简化、提炼．究其原因，是不得其法，陷之太深所致．则需跳出此圈，看其精简之道，思其灵巧之法，则功力逐渐精进，终将大有所成．【例1】已知f (x) =x ln x ，若 f (x) ≥ax2 +2(a ≠ 0) 在x ∈ (0 ，+∞) 上恒成立，求a 的最小值．a【例2】判断f (x) =ln x-x + 1零点个数．xx + 1+1>xln xx -1+k在x > 0 时且x ≠ 1时恒成立，求k 的取值范围．xf (x) < 0 ；当x > 0 时，f (x) > 0 ．（1）求 a ；（2）证明：f (x) 存在唯一的极大值点x0 ，且e-2 <f (x0 ) < 2-2 ．（2）当x ≥ 0 时， f (x) ≥1x3 + 1，求 a 的取值范围．2（1）讨论f (x) 的单调性；（2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围．g (x ) = 3(x -π) cos x - 4(1 + sin x ) ln x (3 - 2x ) ． π 8 (sin x +1) ， 3 （1）证明：存在唯一 x 0 ∈ (0 π ，使 f (x 0 ) = 0 ；， ) 2 （2）证明：存在唯一 x ∈ π，π) 使 g (x ) = 0 ，且对（1）中 x 有 x+ x < π．1 (2 1 00 1ax2 +x - 1．e x（1）求曲线y =f (x) 在点(0 ，- 1) 处的切线方程；（2）证明：当a ≥ 1时，f (x) +e ≥ 0 ．(1)讨论函数f (x) 的单调性．(2) 证明: a =-2 ， f (x) ≤x2 - 3x +1+ 2 ln x ．x（1）求 f (x) 的导函数；2x - 1)e-x (x ≥1) ．2（2）求 f (x) 在区间[ 1，+∞) 上的取值范围．2达标训练（1）令g(x) =f '(x) ，求g(x) 的单调区间；（2）已知f (x) 在x = 1处取得极大值，求正实数 a 的取值范围．'π（1）证明: f (x) 在区间(2，π) 上存在唯一的零点；（2）证明: 对任意的x ∈ (0 ，+∞) ，都有f (x) < 2x ln x +x(1 + sin x) ．处的切线斜率为-1．（1）求 a 的值及函数f (x) 的极值；（2）证明：当x > 0 时，x2 <e x ；（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在x0 ，使得当x ∈ (x0 ，+∞) 时，恒有x2 <ce x ．（1）设x = 2 是f (x) 的极值点，求 a 的值并求 f (x) 的单调区间；（2）证明：当a ≥1时，f (x) ≥ 0 ．e（1）设g(x) 是函数f (x) 的导函数，求函数g(x) 在区间[0 ，1]上的最小值；（2）若 f (1) = 0 ，函数 f (x) 在区间(0 ，1) 内有零点，求 a 的取值范围．。