求离心率的取值范围方法总结
求离心率的经典方法归纳
求离心率的经典方法归纳
离心率是描述椭圆轨道形状的重要参数之一，有多种方法可以计算离心率。
以下是一些经典的方法：
1. 观测法：对于太阳系中的行星，可以根据其轨道在不同时间的观测数据来计算离心率。
2. Kepler第一定律：根据Kepler第一定律，行星在椭圆轨道上运行时，太阳位于轨道焦点处。
因此，可以通过测量轨道直径和焦距的比值来计算离心率。
3. 能量守恒法：通过能量守恒定律，可以得到行星在不同位置处的速度和距离之间的关系，从而计算出离心率。
4. 角动量守恒法：根据角动量守恒定律，可以得到行星在不同位置处的速度和距离之间的关系，从而计算出离心率。
5. 牛顿第二定律：通过牛顿第二定律，可以得到行星在不同位置处的加速度和距离之间的关系，从而计算出离心率。
总的来说，不同的方法适用于不同的情况，选择合适的方法可以更准确地计算离心率。
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求离心率取值范围的八种方法-求离心率的方法总结
为 ， 焦点 到相 应 准 线 的 距 离 不 小 于 １ 则 该 椭 圆 的 离 ．
心 率 的 取值 范 围是 （
Ａ．（ ， ） １
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Ｂ （ ） ． ０，
解 析 ： ｚ一 ２ Ｃ
解 析 ：设 Ｆ一目 由 Ｉ — ｌ ：２ ｌ ， ＰＦ１ ｌ ＰＦ２ １ ａ， ＰＦ】 一 ｌ
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５ ・ ４
数 学教 育研 究
２１ ０ １年第 ４ 期
４ｊ ＰＦ
得Ｉ 警 ｌ 警． 目 ：Ｆ＝ ＇ ｌ ＇ 一 Ｐ Ｐ 一 ． Ｆ ２ 一ｓ
１ ７ ９
焦 点 Ｆ作 双 曲线 在 第 一 ， 象 限 的渐 近 线 的垂 线 ｚ若 ｚ 三 ． 与 曲 线 Ｃ的 两 支 各 有 一 个 交 点 ． 双 曲 线 离 心 率 的 取 求 值范围．
２ １ 年 第 ４期 ０１
数 学 教 育 研 究
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求 离 心率 取值 范 围的八 种方 法
方 海 兵 （ 安徽省太和县第八中学 ２６０） ３６０
离 ， 是 圆 锥 曲 线 的 一 个 重 要 性 质 ， 近 几 年 高 ｌ ｆ 率 在
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考 中频 繁 出现 ， 求 离 心 率 的 取 值 范 围 又 是 较 为 复 杂 而 的 一种 ， 面 介 绍 八 种 求 离 心 率 的 方 法 ， 大 家 参 考 ． 下 供
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求离心率的范围问题整理分类
求离心率的范围问题求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。
2.利用线段长度的大小建立不等关系。
F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。
4.利用题目不等关系建立不等关系。
5. 利用判别式建立不等关系。
6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。
7.利用基本不等式，建立不等关系。
二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A ．12B ．13 C．2 D．32π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。
妙解离心率问题(解析版)
妙解离心率问题【目录】考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题考点二：焦点三角形顶角范围与离心率考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形考点八：焦点到渐近线距离为b考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题考点十一：渐近线平行线与面积问题考点十二：数形结合转化长度角度求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．考点要求考题统计考情分析离心率2023年新高考I 卷第5、16题，10分2023年甲卷第9题，5分2022年甲卷第10题，5分2022年浙江卷第16题，4分2021年甲卷第5题，5分2021年天津卷第8题，5分离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．求离心率范围的方法一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系．2.利用线段长度的大小建立不等关系．F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1 ∈a -c ,a +c ；F 1,F 2为双曲线x2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，PF 1 ≥c -a ．3.利用角度长度的大小建立不等关系．F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若∠F 1PF 2=θ，则椭圆离心率e 的取值范围为sin θ2≤e <1．4.利用题目不等关系建立不等关系．5.利用判别式建立不等关系．6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7.利用基本不等式，建立不等关系．1(2023•新高考Ⅰ)设椭圆C 1:x 2a2+y 2=1(a >1)，C 2:x 24+y 2=1的离心率分别为e 1，e 2．若e 2=3e 1，则a =()A.233B.2C.3D.6【答案】A【解析】由椭圆C 2:x 24+y 2=1可得a 2=2，b 2=1，∴c 2=4-1=3，∴椭圆C 2的离心率为e 2=32，∵e 2=3e 1，∴e 1=12，∴c 1a 1=12，∴a 21=4c 21=4(a 21-b 21)=4(a 21-1)，∴a =233或a =-233(舍去)．故选：A ．2(2023•甲卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为5，C 的一条渐近线与圆(x -2)2+(y -3)2=1交于A ，B 两点，则|AB |=()A.55B.255C.355D.455【答案】D【解析】双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为5，可得c =5a ，所以b =2a ，所以双曲线的渐近线方程为：y =±2x ，一条渐近线与圆(x -2)2+(y -3)2=1交于A ，B 两点，圆的圆心(2,3)，半径为1，圆的圆心到直线y =2x 的距离为：|4-3|1+4=15，所以|AB |=21-15=455．故选：D ．3(2022•甲卷)椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为()A.32B.22C.12D.13【答案】A【解析】已知A (-a ,0)，设P (x 0，y 0)，则Q (-x 0，y 0)，k AP =y 0x 0+a ，k AQ =y 0a -x 0，故k AP ⋅k AQ =y 0x 0+a ⋅y 0a -x 0=y 20a 2-x 20=14①，∵x 20a 2+y 20b 2=1，即y 20=b 2(a 2-x 20)a 2②，②代入①整理得：b 2a2=14，e =c a =1-b 2a 2=32．故选：A ．4(2021•甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2=60°，|PF 1|=3|PF 2|，则C 的离心率为()A.7B.13C.72D.132【答案】C【解析】设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则根据题意及余弦定理可得：m =3n12=m 2+n 2-4c22mn，解得m =67cn =27c ，∴所求离心率为2c 2a =2c m -n =2c 47c=72．故选：C ．5(2021•天津)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C ，D 两点，若|CD |=2|AB |，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.3【答案】A【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为x =-p2，由题意可得：p 2=c ，渐近线的方程为：y =±ba x ，可得A -c ,b 2a ，B -c ,-b2a ，C -c ,bc a ，D -c ,-bca，所以|AB |=2b 2a ，|CD |=2bca，由|CD |=2|AB |，解得：c =2b ，即a =b ，所以双曲线的离心率e =ca=2．故选：A ．6(2022•甲卷)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1 ⋅BA 2=-1，则C 的方程为()A.x 218+y 216=1B.x 29+y 28=1C.x 23+y 22=1D.x 22+y 2=1【答案】B【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为x 29m 2+y 28m 2=1(m >0)，则A 1(-3m ,0),A 2(3m ,0),B (0,22m )，由平面向量数量积的运算法则可得：BA 1 ⋅BA 2=(-3m ,-22m )⋅(3m ,-22m )=-9m 2+8m 2=-1，∴m 2=1，则椭圆方程为x 29+y 28=1．故选：B ．7(2022•全国)若双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与直线y =2x +1垂直，则C 的离心率为()A.5 B.5C.54D.52【答案】D【解析】由双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的方程可得渐近线方程为y =±b a x ，由题意可得b a =12，所以双曲线的离心率e =c a =1+b 2a 2=1+14=52，故选：D ．8(多选题)(2022•乙卷)双曲线C 的两个焦点为F 1，F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为()A.52B.32C.132D.172【答案】AC【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，设过F 1的切线与圆D :x 2+y 2=a 2相切于点P ，则|OP |=a ，OP ⊥PF 1，又|OF 1|=c ，所以PF 1=OF 12-OP 2=c 2-a 2=b ，过点F 2作F 2Q ⊥MN 于点Q ，所以OP ⎳F 2Q ，又O 为F 1F 2的中点，所以|F 1Q |=2|PF 1|=2b ，|QF 2|=2|OP |=2a ，因为cos ∠F 1NF 2=35，∠F 1NF 2<π2，所以sin ∠F 1NF 2=45，所以|NF 2|=QF 2sin ∠F 1NF 2=5a 2，则|NQ |=|NF 2|⋅cos ∠F 1NF 2=3a2，所以|NF 1|=|NQ |+|F 1Q |=3a2+2b ，由双曲线的定义可知|NF 1|-|NF 2|=2a ，所以3a 2+2b -5a 2=2a ，可得2b =3a ，即b a =32，所以C 的离心率e =c a =1+b 2a 2=1+94=132．情况二：当直线与双曲线交于一支时，如图，记切点为A ，连接OA ，则|OA |=a ，|F 1A |=b ，过F 2作F 2B ⊥MN 于B ，则|F 2B |=2a ，因为cos ∠F 1NF 2=35，所以|NF 2|=5a 2，|NB |=3a2，|NF 2|-|NF 1|=5a 2-3a2-2b =a +2b =2a ，即a =2b ，所以e =c a =1+b 2a2=1+14=52，A 正确．故选：AC ．9(2023•新高考Ⅰ)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2．点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⊥F 1B ，F 2A =-23F 2B，则C 的离心率为．【答案】355【解析】(法一)如图，设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，B (0,n )，设A (x ,y )，则F 2A =(x -c ,y ),F 2B=(-c ,n )，又F 2A =-23F 2B ，则x -c =23c y =-23n，可得A 53c ,-23n ，又F 1A ⊥F 1B ，且F 1A =83c ,-23n ,F 1B =(c ,n )，则F 1A ⋅F 1B =83c 2-23n 2=0，化简得n 2=4c 2．又点A 在C 上，则259c 2a 2-49n 2b 2=1，整理可得25c 29a 2-4n 29b2=1，代n 2=4c 2，可得25c 2a 2-16c 2b 2=9，即25e 2-16e 2e 2-1=9，解得e 2=95或15(舍去)，故e =355．(法二)由F 2A =-23F 2B ，得|F 2A||F 2B |=23，设|F 2A |=2t ,|F 2B |=3t ，由对称性可得|F 1B |=3t ，则|AF 1 |=2t +2a ,|AB|=5t ，设∠F 1AF 2=θ，则sin θ=3t 5t =35，所以cos θ=45=2t +2a5t，解得t =a ，所以|AF 1 |=2t +2a =4a ,|AF 2|=2a ，在△AF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ=16a 2+4a 2-4c 216a2=45，即5c 2=9a 2，则e =355．故答案为：355．10(2022•浙江)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，过F 且斜率为b4a 的直线交双曲线于点A (x 1，y 1)，交双曲线的渐近线于点B (x 2，y 2)且x 1<0<x 2．若|FB |=3|FA |，则双曲线的离心率是．【答案】364．【解析】(法一)如图，过点A 作AA ′⊥x 轴于点A ′，过点B 作BB ′⊥x 轴于点B ′，由于B (x 2，y 2)且x 2>0，则点B 在渐近线y =b a x 上，不妨设B m ,bam ,m >0，设直线AB 的倾斜角为θ，则tan θ=b 4a ，则|BB ||FB |=b 4a ，即b am |FB|=b 4a ，则|FB ′|=4m ，∴|OF |=c =4m -m =3m ，又|AA ||BB |=|AF ||BF |=13，则|AA |=13|BB |=bm 3a =bc 9a ，又|FA ||FB|=|AF ||BF |=13，则|FA |=13|FB |=4m 3，则|x 1|=3m -4m 3=5m 3=5c 9，∴点A 的坐标为-5c 9,bc9a ，∴25c 281a 2-b 2c 281a 2b 2=1，即c 2a2=8124=278，∴e =c a =364．(法二)由y =b 4a (x +c )y =b a x，解得B c 3,bc 3a，又|FB |=3|FA |，所以点A 的纵坐标为y 1=bc9a，代入方程y =b 4a (x +c )中，解得x 1=-5c 9，所以A -5c 9,bc 9a ，代入双曲线方程中，可得c 2a 2=278，所以e =c a =364．故答案为：364．考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：椭圆：e =1sin α+cos α=12sin α+π4，根据α范围求解值域．双曲线：e =1cos α−sin α=12cos α+π4，根据α范围求解值域．1(2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π3，则该椭圆的离心率e 的取值范围是()A.22,3-1B.22,63C.3-1,63D.63,62【答案】B【解析】如图所示，设椭圆得左焦点为F ，连接AF ,BF ，则四边形AFBF 为矩形，则AB =FF =2c ,AF =BF ，所以BF +BF =BF +AF =2a ，在Rt △ABF 中，由∠ABF =α，得AF =AB sin α=2c sin α,BF =AB cos α=2c cos α，所以2c sin α+2c cos α=2a ，所以c a =1sin α+cos α=12sin α+π4，因为α∈π12,π3，所以α+π4∈π3,7π12，所以2sin α+π4∈62,2 ，所以e =c a ∈22,63.故选：B .1(2024·高三单元测试)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π6，则该椭圆的离心率e 的取值范围为()A.3-1,63 B.3-1,32C.64,63D.0,63【答案】A【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′．则四边形AFBF ′为矩形．因此|AB =|FF ′|=2c ．|AF |+|BF |=2a ．所以|AF |=2c sin α，|BF |=2c cos α．∴2c sin α+2c cos α=2a ．∴e =1sin α+cos α=12sin α+π4，∵α∈π12,π6，∴α+π4∈π3,5π12，∴sin α+π4 ∈32,2+64，其中sin 5π12=sin π6+π4 =sin π6cos π4+cos π6sin π4=12×22+32×22=2+64，∴2sin α+π4 ∈62,1+32．∴e ∈3-1,63．故选：A ．2(2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π4，则该椭圆的离心率e 的取值范围为()A.22,63 B.3-12,32C.3-1,63D.22,32【答案】A【解析】设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ，BF ，可知四边形AFBF 为矩形，从而可知AB =FF =2c ，且AF +BF =2a ，由∠ABF =α，可得AF =2c sin α，BF =2c cos α，结合2c sin α+2c cos α=2a ，可得ca=1sin α+cos α，根据α∈π12,π4 ，求出范围即可.如图所示，设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ，BF，则四边形AFBF 为矩形，所以AB =FF =2c ，AF +BF =AF +AF=2a ，由∠ABF =α，可得AF =AB ⋅sin α=2c sin α，BF =AB ⋅cos α=2c cos α，∴2c sin α+2c cos α=2a ，即c a =1sin α+cos α=12sin α+π4，∵α∈π12,π4，∴α+π4 ∈π3,π2 ，∴sin α+π4 ∈32,1 ，∴2sin α+π4 ∈62,2 ，∴e =c a ∈22,63.故选：A .3(2024·河南驻马店·高三统考期末)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2(a >b >0)右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⋅BF =0，设∠BAF =θ且θ∈π4,5π12，则双曲线C 离心率的取值范围是()A.(2,2] B.[2,+∞) C.(2,+∞) D.(2,+∞)【答案】C【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为F ，连接AF ,BF ，因为AF ⋅BF=0，所以四边形AFBF 为矩形，所以AB =FF =2c ，因为AF =2c cos θ，BF =2c sin θ，AF -AF =2a ，所以2c sin θ-2c cos θ=2a ，所以e =1sin θ-cos θ=12sin θ-π4，∵θ∈π4,5π12 ，∴θ-π4∈0,π6 ，2sin θ-π4 ∈0,22 ，∴e ∈2,+∞ ，故选：C考点二：焦点三角形顶角范围与离心率F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2=θ，则cos θ≥1−2e 2(当且仅当动点为短轴端点时取等号)．1(2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是椭圆上的一个动点，若使得满足ΔPF 1F 2是直角三角形的动点P 恰好有6个，则该椭圆的离心率为()A.12B.32C.22D.33【答案】C【解析】由题意知，椭圆的最大张角为900，所以b =c ，所以a =2c ，所以e =c a =22=22，故选：C ．1(2024·江西抚州·高三统考期末)设F 1,F 2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点p ,使∠F 1PF 2=120°,则椭圆离心率的取值范围是()A.0,32B.0,32C.32,1D.32,1【答案】D【解析】F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，c >0，设P x 1,y 1 ，则|PF 1|=a +ex 1，|PF 2|=a -ex 1．在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos120°=-12=a +ex 1 2+a -ex 1 2-4c 22a +ex 1 a -ex 1，解得x 21=4c 2-3a 2e 2．∵x 21∈0,a 2，∴0≤4c 2-3a 2e 2<a 2，即4c 2-3a 2≥0．且e 2<1∴e =c a ≥32．故椭圆离心率的取范围是e ∈32,1 2(2024·宁夏·高三校联考阶段练习)已知F 1，F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为()A.12，22B.22，1 C.0，22D.12，22【答案】B【解析】若椭圆C 上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，即以F 1F 2为直径的圆与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)有交点，设F 1(-c ,0),F 2(c ,0)，x 2+y 2=c 2x 2a 2+y 2b 2=1，解得x 2=(2c 2-a 2)⋅a 2c 2≥0，即2c 2-a 2≥0，e ≥22，又0<e <1，故e ∈22，1.故选：B .3(2024·高三课时练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是()A.0,22B.22,1C.0,12D.12,1【答案】B【解析】当动点P 从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角∠F 1PF 2渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点P 0处时，张角∠F 1PF 2达到最大值．∵椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2是钝角，∴△F 1P 0F 2中，∠F 1P 0F 2>90°，∴Rt △OP 0F 2中，∠OP 0F 2>45°，∴b <c ，∴a 2-c 2<c 2，∴a 2<2c 2，∴e >22，∵0<e <1，∴22<e <1．椭圆离心率的取值范围是22,1，故选B ．考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题sin 2α2e 椭2+cos 2α2e 双2=1，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围1(2024·全国·高三专题练习)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当1e 1e 2取最大值时，e 1，e 2的值分别是()A.22，62B.12，52C.33，6 D.24，3【答案】A【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，c =a 2-b 2，x 2a 21-y 2b 21=1，c =a 21+b 21．设PF 1 =m ，PF 2 =n ．m >n ．则m +n =2a ，m -n =2a 1，∴m =a +a 1，n =a -a 1．因为∠F 1PF 2=π3，所以cos π3=m 2+n 2-2c 22mn =12，即a +a 1 2+a -a 1 2-4c 2=a +a 1 a -a 1 ．∴a 2+3a 21-4c 2=0，∴1e 21+3e 22=4，∴4≥21e 21×3e 22，则1e 1e 2≤23，当且仅当e 1=22，e 2=62时取等号．故选：A ．1(2024·湖南·高三校联考期末)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P ，Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且QF 2⊥F 2P ，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则4e 21+e 22最小值等于．【答案】92【解析】设椭圆长半轴为a 1，双曲线实半轴为a 2，F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，P 为两曲线在第一象限的交点，Q 为两曲线在第三象限的交点，如图，由椭圆和双曲线定义与对称性知PF 1 +PF 2 =2a 1，PF 1 -PF 2 =2a 2，四边形PF 1QF 2为平行四边形，QF 2 =PF 1 =a 1+a 2，PF 2 =a 1-a 2，而QF 2⊥F 2P ，则PF 1⊥F 2P ，因此F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2，即4c 2=a 1+a 2 2+a 1-a 2 2=2a 21+2a 22，于是有2c 2=a 21+a 22，则2=a 21c 2+a 22c 2，1e 21+1e 22=2，所以4e 21+e 22=12(4e 21+e 22)1e 21+1e 22=125+e 22e 21+4e 21e 22≥125+2e 22e 21⋅4e 21e 22=92，当且仅当e 21=34，e 22=32时取等号．故答案为：922(2024·湖北咸宁·校考模拟预测)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F 1,F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若PF 1 =24，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2，则3e 1e 2的取值范围是()A.19,+∞B.1,+∞C.13,+∞D.12,+∞【答案】B 【解析】设椭圆与双曲线的半焦距为c ，椭圆长半轴为a 1，双曲线实半轴为a 2，PF 1 =r 1，PF 2 =r 2，∵△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，点P 在第一象限内，∴PF 2 =F 1F 2 ,PF 1 >PF 2 ,PF 2 +F 1F 2 >PF 1 ，即r 1=24，r 2=2c ，且r 1>r 2，2r 2>r 1，2c <24，4c >24，解得：6<c <12．在双曲线中，PF 1 -PF 2 =2a 2，∴e 2=c a 2=2c 2a 2=2c r 1-r 2=2c 24-2c =c12-c ；在椭圆中，PF 1 +PF 2 =2a 1，∴e 1=c a 1=2c 2a 1=2c r 1+r 2=2c 24+2c =c12+c；∴e 1e 2=c 12+c ⋅c 12-c =1144c2-1；∵6<c <12，∴36<c 2<144，则1<144c 2<4，∴0<144c 2-1<3，可得：1144c2-1>13，∴3e 1e 2的取值范围为1,+∞ .故选：B .考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体椭圆与双曲线的4a 通径体如图，若AF 2⊥F 1F 2，易知AF 2 =b 2a ，若AF 1 =λF 1B (λ>1)，则一定有AF 1 =λ+12⋅b 2a，根据AF 1 +AF 2 =2a 可得λ+32⋅b 2a =2a ，即λ+34⋅(1-e 2)=1⇒e =λ-1λ+31(2024·河南新乡·高三统考期末)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1的直线交双曲线C 的左支于M 、N 两点，若MF 2 =F 1F 2 ，且2MF 1 =NF 1 ，则双曲线C 的离心率是()A.43B.53C.52D.32【答案】B【解析】如下图所示：MF 2 =F 1F 2 =2c ，由双曲线的定义可得MF 1 =MF 2 -2a =2c -2a ，所以，NF 1 =2MF 1 =4c -4a ，则NF 2 =NF 1 +2a =4c -2a ，由余弦定理可得cos ∠MF 1F 2=MF 12+F 1F 2 2-MF 2 22MF 1 ⋅F 1F 2=c -a2c ，cos ∠NF 1F 2=NF 12+F 1F 2 2-NF 2 22NF 1 ⋅F 1F 2=c -3a4c ，因为cos ∠NF 1F 2=cos π-∠MF 1F 2 =-cos ∠MF 1F 2，故c -3a 4c =-c -a 2c ，整理可得3c =5a ，故该双曲线的离心率为e =c a =53.故选：B .1(2024·甘肃庆阳·高三校联考阶段练习)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆C 于M ，N 两点.若MN +NF 2 =2MF 2 ，且MF 2⊥NF 2，则椭圆C 的离心率为()A.33B.55C.22D.66【答案】B【解析】因为MN +NF 2 =2MF 2 ，所以可设NF 2 =m -d ，MF 2 =m ，MN =m +d m >0,d >0 ，因为MF 2⊥NF 2，所以m -d 2+m 2=m +d 2，解得m =4d ，因为NF 2 +MF 2 +MN =4a =3m ，所以NF 2 =a ，MF 2 =43a ，MN =53a ，所以cos ∠F 2MN =MF 2 MN=45，在△MF 1F 2中，F 1F 2 =2c ，MF 1 =2-MF 2 =23a ，由cos ∠F 2MF 1=23a 2+43a 2-(2c )22×23a ×43a =45，可得a 2=5c 2，即椭圆C 的离心率为55.故选：B .2(2024·湖南衡阳·校联考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，∠MF 2N =90°，且4F 2N =3F 2M ，则椭圆的离心率为()A.13B.12C.33D.55【答案】D【解析】如图所示，设F 1F 2 =2c ，∵4F 2N =3F 2M ，设F 2N =3t ，则F 2M =4t ，在Rt △F 2MN 中，MN =NF 22+MF 2 2=5t ，由椭圆定义可知F 1N =2a -3t ，F 1M =2a -4t ，F 1N +F 1M =MN =4a -7t =5t ，解得a =3t ，所以F 1N =2a -3t =3t =F 2N ，F 1M =2a -4t =2t ，在△F 1NF 2中，可得cos ∠NF 1F 2=c3t，在△F 1MF 2中，由余弦定理可得cos ∠MF 1F 2=c 2-3t 22ct，∵∠NF 1F 2+∠MF 1F 2=π，∴cos ∠NF 1F 2+cos ∠MF 1F 2=0，即c 3t +c 2-3t 22ct=0，解得c =35t 5，所以椭圆离心率e =c a =55.故选：D .考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体如左图，若AF 2⊥AB ，AB 过原点，且AF 1=λF 1B ，∠AF 1F 2=α，则e cos α=λ−1 λ+1可得离心率．如右图，若BF 2⊥AC ，AB 过原点，且AF 2=λF 2C(0<λ<1)，通过补全矩形，可得AF 1⊥AC ，AF 2 =λ+12⋅b 2a ，借助公式e cos α=λ−1 λ+1可得离心率．1(2024·山东济南·校联考)设F 1，F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1 ⋅AF 2 =0，AF 2 =2F 2B，则椭圆E 的离心率为()A.23B.34C.53D.74【答案】C【解析】因为AF 2 =2F 2B ，不妨令AF 2 =2F 2B =2m m >0 ，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，由椭圆的定义可得，AF 1 +AF 2 =2a ，BF 1 +BF 2 =2a ，则BF 1 =2a -m ，AF 1 =2a -2m ，又AF 1 ⋅AF 2=0，所以AF 1⊥AF 2，则△AF 1F 2和△AF 1B 都是直角三角形，则AF 1 2+AB 2=BF 1 2，即2a -2m 2+9m 2=2a -m 2，解得m =a3，所以AF 1 =43a ，AF 2 =23a ，又F 1F 2 =2c ，AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2，所以169a 2+49a 2=4c 2，因此c 2a2=59，所以椭圆E 的离心率为c a =53.故选：C .1(2024·安徽池州·高三统考期末)设F 1、F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1-c ,0 的直线交椭圆E 于A ,B 两点，若AF 1=3 F 1B ，且AB ⊥AF 2，则椭圆E 的离心率是()A.12B.52C.32D.22【答案】D【解析】设FB 1=k (k 0 ⇒ AF 1=3k ,AB =4k ⇒ AF 2=2a -3k , BF 2|=2a -k ，再由BF 2|2= AF 2|2+|AB |2⇒AF 2 =3k ⇒ΔAF 1F 2是等腰直角三角形⇒c =22a ⇒e =22，故选D ,2(2024·湖北黄冈·高三统考期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，AF 2 =λF 2B ，且AF 1 ⋅AF 2 =0，椭圆C 的离心率为22，则实数λ=()A.23B.2C.13D.3【答案】D【解析】因为AF 2 =λF 2B ，设AF 2 =λF 2B =t (t >0)，由椭圆的定义可得：AF 1 +AF 2 =2a ，则AF 1 =2a -t ，因为AF 1 ⋅AF 2=0，所以AF 1⊥AF 2，所以AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2，即(2a -t )2+t 2=4c 2，又因为椭圆C 的离心率为22，所以a =2c ，则有(2a -t )2+t 2=4c 2=2a 2，所以t =a ，则λF 2B =a ，则F 2B =aλ，由BF 1 +BF 2 =2a ，所以BF 1 =2a -aλ，因为AF 1 ⋅AF 2 =0，所以AF 1⊥AF 2，所以AF 1 2+AB 2=BF 1 2，即a 2+a 21+1λ 2=2a -a λ2，解得：λ=3，故选：D .考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题同角余弦定理使用两次1已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若│AF 2 =2F 2B ，AB │=BF 1 ，则C 的方程为()A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1D.x 25+y 24=1【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设F 2B =n ，则AF 2 =2n ,BF 1 =AB =3n ，由椭圆的定义有2a =BF 1 +BF 2 =4n ,∴AF 1 =2a -AF 2 =2n ．在△AF 1B 中，由余弦定理推论得cos ∠F 1AB =4n 2+9n 2-9n 22⋅2n ⋅3n =13．在△AF 1F 2中，由余弦定理得4n 2+4n 2-2⋅2n ⋅2n ⋅13=4，解得n =32．∴2a =4n =23,∴a =3,∴b 2=a 2-c 2=3-1=2,∴所求椭圆方程为x 23+y 22=1，故选B ．法二：由已知可设F 2B =n ，则AF 2 =2n ,BF 1 =AB =3n ，由椭圆的定义有2a =BF 1 +BF 2 =4n ,∴AF 1 =2a -AF 2 =2n ．在△AF 1F 2和△BF 1F 2中，由余弦定理得4n 2+4-2⋅2n ⋅2⋅cos ∠AF 2F 1=4n 2,n 2+4-2⋅n ⋅2⋅cos ∠BF 2F 1=9n 2 ，又∠AF 2F 1,∠BF 2F 1互补，∴cos ∠AF 2F 1+cos ∠BF 2F 1=0，两式消去cos ∠AF 2F 1,cos ∠BF 2F 1，得3n 2+6=11n 2，解得n =32．∴2a =4n =23,∴a =3,∴b 2=a 2-c 2=3-1=2,∴所求椭圆方程为x 23+y 22=1，故选B ．1(2024·江西九江·高三九江一中校考期末)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 左右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且PF 2=2F 2Q，若△PQF 1为以Q 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为()A.7B.2C.213D.3【答案】C【解析】由题意QF 1 -QF 2 =PQ -QF 2 =PF 2 =2a ，又PF 2=2F 2Q ，所以QF 2 =a ，从而QF 1 =3a ，PF 1 =4a ，PQ =3a ，△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=(4a )2+(2a )2-(2c )22×4a ×2a =5a 2-c 24a 2，△PF 1Q 中．cos ∠F 1PF 2=12PF 1PQ =2a 3a =23，所以5a 2-c 24a 2=23，7a 2=3c 2，所以e =c a =213，故选：C ．2(2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)左右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且PF 2=3F 2Q，若△PQF 1为以Q 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为()A.3 B.2C.2D.3【答案】C【解析】由题意QF 1 -QF 2 =PQ -QF 2 =PF 2 =2a ，又PF 2=3F 2Q ，所以QF 2 =23a ，从而QF 1 =83a ，PF 1 =4a ，PQ =83a ，△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=(4a )2+(2a )2-(2c )22×4a ×2a =5a 2-c 24a2，△PF 1Q 中．cos ∠F 1PF 2=12PF 1PQ =2a 83a =34，所以5a 2-c 24a 2=34，2a 2=c 2，所以e =c a =2，故选：C ．考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形当F 2A =F 2B 或者AB =4a 时，令∠AF 1F 2=α,则一定存在①F 1M =F 2B ，②e =1cos2α1(2024·河南·高三校联考阶段练习)设F 2为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点，直线l ：x -3y +c =0(其中c 为双曲线C 的半焦距)与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，若MN⋅F 2M +F 2N=0，则双曲线C 的离心率是()A.153B.53C.13D.52【答案】D【解析】设双曲线C 的左焦点为F 1，如图，取线段MN 的中点H ，连接HF 2，则F 2M +F 2N =2F 2H．因为MN ⋅F 2M +F 2N =0，所以MN ⋅F 2H =0，即MN ⊥F 2H ，则MF 2 =NF 2 ．设MF 2 =NF 2 =m ．因为MF 2 -MF 1 =NF 1 -NF 2 =2a ，所以NF 1 -NF 2 +MF 2 -MF 1 =NF 1 -MF 1 =MN =4a ，则MH =NH =2a ，从而HF 1 =m ，故HF 2 =4c 2-m 2=m 2-4a 2，解得m 2=2a 2+2c 2．因为直线l 的斜率为13，所以tan ∠HF 1F 2=HF 2 HF 1=2c 2-2a 22a 2+2c2=13，整理得c 2-a 2a 2+c 2=19，即5a 2=4c 2⇒e =52，故选：D ．1(2024·贵州·校联考模拟预测)设F 2为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线l ：x -2y +c =0(其中c 为双曲线C 的半焦距)与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，若MN ⋅F 2M +F 2N=0，则双曲线C 的离心率是()A.53B.43C.153D.233【答案】C【解析】设双曲线C 的左焦点为F 1，如图，取线段MN 的中点H ，连接HF 2，则F 2M +F 2N =2F 2H ．因为MN ⋅F 2M +F 2 N =0，所以MN ⋅F 2H =0，即MN ⊥F 2H ，则MF 2 =NF 2 ．设MF 2 =NF 2 =m ．因为MF 2 -MF 1 =NF 1 -NF 2 =2a ，所以|NF 1|-|NF 2|+|MF 2|-|MF 1|=NF 1∣-MF 1 = MN |=4a ，则|MH |=|NH |=2a ，从而|HF 1|=m ，故HF 2 =4c 2-m 2=m 2-4a 2，解得m 2=2a 2+2c 2．因为直线l 的斜率为12，所以tan ∠HF 1F 2=HF 2 HF 1 =2c 2-2a 22a 2+2c 2=12，整理得c 2-a 2a 2+c 2=14，即3c 2=5a 2，则c 2a 2=53，故e =c 2a 2=153．故选：C2(2024·全国·高三长垣市第一中学校联考开学考试)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1作斜率为33的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于M ,N 两点，且F 2M +F 2N ⋅MN =0，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.5D.2【答案】A【解析】如图，设D 为MN 的中点，连接F 2D .易知F 2M +F 2N =2F 2D ，所以F 2M +F 2N ⋅MN =2F 2D ⋅MN =0，所以F 2D ⊥MN .因为D 为MN 的中点，所以F 2M =F 2N .设F 2M =F 2N =t ，因为MF 2 -MF 1 =2a ，所以MF 1 =t -2a .因为NF 1 -NF 2 =2a ，所以NF 1 =t +2a .所以MN =NF 1 -MF 1 =4a .因为D 是MN 的中点，F 1D =F 1M +MD ，所以MD =ND =2a ,F 1D =t .在Rt △F 1F 2D 中，F 2D =4c 2-t 2；在Rt △MF 2D 中，F 2D =t 2-4a 2.所以4c 2-t 2=t 2-4a 2，解得t 2=2a 2+2c 2.所以F 2D =2c 2-2a 2,F 1D =t =2a 2+2c 2.因为直线l 的斜率为33，所以tan ∠DF 1F 2=F 2D F 1D =2c 2-2a 22a 2+2c2=33，所以c 2-a 2a 2+c 2=13,c 2=2a 2，c =2a ，所以离心率为ca= 2.故选：A3(2024·全国·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，连接AF 2，BF 2，在△ABF 2中，sin ∠ABF 22=14，AB =BF 2 ，则双曲线C 的离心率为()A.3 B.2C.3D.2【答案】D【解析】设BF 1 =m ，则由双曲线定义可得BF 2 =2a +m ，AF 1 =2a ，AF 2 =4a ，由sin ∠ABF 22=14可得m =6a ，再在△BF 1F 2中根据余弦定理即可列出式子求出离心率.设BF 1 =m ，则由双曲线定义可得BF 2=2a +m ，AF 1 =AB -BF 1 =BF 2 -m =2a ，则AF 2 =4a ，则sin∠ABF 22=2a 2a +m =14，解得m =6a ，从而BF 2 =8a .在△BF 1F 2中，F 1F 2 2=BF 1 2+BF 2 2-2BF 1 ⋅BF 2 cos ∠F 1BF 2，即4c 2=36a 2+64a 2-2×6a ×8a ×1-2sin 2∠ABF 22 ，解得e =ca =2.故选：D .考点八：焦点到渐近线距离为b双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线l1:y=bax，l2:y=-bax，过右焦点作FM⊥l1，FN⊥l2，由于渐近线方程为y=±bax，故MF2OM=NF2ON=ba，且斜边OF2=c，故MF2OF2=NF2OF2=bc，故OM=ON=a，MF2=NF2=b.1(2024·河南新乡·高三校联考阶段练习)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，直线l与双曲线C的左支交于E点，且H恰为线段EF2的中点，则双曲线C的离心率为()A.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】连结EF1，因为点O,H分别为F1F2和EF2的中点，所以OH⎳EF1，且EF1⊥EF2设点F2c,0到一条渐近线y=bax的距离d=bca2+b2=b，所以EF2=2b，又EF2-EF1=2a，所以EF1=2b-2a，Rt△EF1F2中，满足2b-2a2+4b2=4c2，整理为：b=2a，双曲线的离心率e=ca=a2+b2a2=5.故选：D1(2024·吉林白山·高三校联考阶段练习)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M(异于坐标原点O)，若线段MF1交双曲线于点P，且MF2⎳OP则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.52D.6【答案】A【解析】不妨设渐近线的方程为y=-bax，因为MF2⎳OP，O为F1F2的中点，所以P为MF1的中点，将直线OM，MF1的方程联立y=-baxy=ab(x+c)，可得M-a2c,abc，又F 1-c ,0 ，所以P -c +-a 2c 2,ab 2c 即P -a 2+c 22c ,ab 2c，又P 点在双曲线上，所以a 2+c 224a 2c 2-a 24c2=1，解得ca =2，所以该双曲线的离心率为2，故选：A .2(2024·山西运城·高三统考期末)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以OF 1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，若线段MF 1交双曲线于点P ，且PF 2 =5PF 1 ，则双曲线的离心率为()A.264B.344C.2D.3【答案】C【解析】根据题意，不妨取点M 在第二象限，题中条件，得到k MF 1=ab，记∠MF 1F 2=∠PF 1F 2=θ，求出cos θ=b c ，根据双曲线定义，得到PF 2 =5a 2，PF 1 =a 2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，即可得出结果.因为以OF 1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，不妨取点M 在第二象限，所以MF 1⊥OM ，则k MF 1⋅k OM =-1，因为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±b a x ，则k OM =-b a ，所以k MF 1=a b ；记∠MF 1F 2=∠PF 1F 2=θ，则tan θ=a b ，由tan θ=a b sin 2θ+cos 2θ=1解得cos θ=b c ，因为PF 2 =5PF 1 ，由双曲线的定义可得PF 2 -PF 1 =2a ，所以PF 2 =5a 2，PF 1 =a2，由余弦定理可得：cos θ=bc =PF 1 2+F 1F 2 2-PF 2 22PF 1 ×F 1F 2=a 24+4c 2-25a242×a 2×2c，则2c 2-3a 2=ab ，所以2a 2+b 2 -3a 2=ab ，整理得2b 2-ab -a 2=0，解得b =a ，所以双曲线的离心率为e =c 2a 2=b 2+a 2a 2= 2.故选：C .3(2024·辽宁·统考模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F ，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A .若△OFA (O 为坐标原点)的面积等于14c 2(c 为双曲线C 的半焦距)，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3 C.2 D.5【答案】A【解析】设双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F (c ,0)，双曲线C 的一条渐近线方程设为bx +ay =0，可得AF =bc a 2+b 2=b ，OA =c 2-b 2=a ，△OAF 的面积为14c 2，即有12ab =14c 2，化为4a 2(c 2-a 2)=c 4，e 4-4e 2+4=0，解得e = 2.故选：A .4(2024·广西南宁·统考)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，过点F 1的直线与两条渐近线的交点分别为M 、N 两点(点F 1位于点M 与点N 之间)，且MF 1 =2F 1N，又过点F 1作F 1P ⊥OM 于P (点O 为坐标原点)，且|ON |=|OP |，则双曲线E 的离心率e =()A.5B.3C.233D.62【答案】C【解析】不妨设M 在第二象限，N 在第三象限，如下图所示：因为ON =OP ，∠F 1OP =∠F 1ON ，所以△F 1OP ≅△F 1ON ，所以∠F 1PO =∠F 1NO =90°，F 1P =F 1N ，又l OM :y =-bax ,F 1-c ,0 ，所以F 1P =F 1N =-bca1+b 2a 2=b ，所以ON =OP =c 2-b 2=a ，所以MF 1 =2F 1N =2b ，因为tan ∠F 1OP =b a ,tan ∠MON =tan2∠F 1OP =3b a ，所以2ba 1-b 2a 2=3b a ，所以b 2a 2=c 2-a 2a2=e 2-1=13，所以e =233.故选：C .考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形利用几何法转化1(2024·江西九江·高三九江一中校考阶段练习)F 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左焦点，过点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若3FA =FB，则此双曲线的离心率为()A.2 B.53C.233D.3【答案】D【解析】由题意得：F -c ,0 ，双曲线渐近线方程为：y =±b ax若A 为直线FA 与y =-b a x 交点，B 为直线FA 与y =bax 交点则k FA =a b ∴直线FA 方程为：y =a bx +c ，与y =-b a x 联立可得：x A =-a 2c 直线FA 方程与y =b a x 联立可得：x B =a 2cb 2-a2由3FA =FB 得：3-a 2c +c =a 2c b 2-a 2+c ，即-3a 2+2c 2=a 2c 2c 2-2a 2∴-3+2e 2=e 2e 2-2，即e 4-4e 2+3=0，解得：e 2=3或1(舍)∴e =3由双曲线对称性可知，当A 为直线FA 与y =b a x 交点，B 为直线FA 与y =-bax 交点时，结论一致故选：D 1(2024·广西玉林·校考模拟预测)过双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点F 引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C 的离心率的取值范围是()A.(2，+∞) B.(3，+∞)C.(2，+∞)D.(3，+∞)【答案】A【解析】由题意双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1的渐近线y =±b a x ，右焦点F (c ,0)，不妨设过右焦点F (c ,0)与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为y =-ab(x -c )与y =-b a x 联立得-b a x =-a b (x -c )，所以x =a 2c a 2-b 2，y =-abc a 2-b 2，所以交点坐标为a 2c a 2-b 2,-abca 2-b2，因为交点在第二象限，所以-abca 2-b 2>0a 2c a 2-b 2<0，因为a >0，b >0，c >0，所以a 2c >0，abc >0，所以a 2-b 2<0，即a<b ，因为c =a 2+b 2>a 2+a 2=2a ，所以e =ca>2aa=2，即e ∈2,+∞ 故选：A2(2024·江西新余·统考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，过右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为点A ，l 与C 的另一条渐近线交于点B ，若AF =25AB，则C 的离心率为()A.305B.2C.233D.52【答案】A【解析】如下图所示：双曲线的渐近线方程为y =±b ax ，即bx ±ay =0，所以，AF =bc b 2+a 2=b ，则OA =OF 2-AF 2=c 2-b 2=a ，因为AF =25AB ，则AB =52b ，设∠AOF =α，则∠BOF =α，所以，∠AOB =2α，tan α=AF OA =b a ，tan2α=AB OA=5b2a ，由二倍角的正切公式可得tan2α=2tan α1-tan 2α，即2ba1-b a 2=5b 2a ，可得b 2a 2=15，因此，e =c a =1+b 2a2=1+15=305.故选：A .考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题以F 1F 2为直径作圆，交一条渐近线y =bax 于点B ，BF 1交另一条渐近线于点A ，则令∠BOF 2=α,则∠BF 1F 2=α2，e =1+tan 2α1(2024·全国·校联考)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线C 及其一条渐近线在第一象限分别交于A ,B 两点，且OF =2OA -OB(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率是()A.2. B.3 C.322D.233【答案】D【解析】设双曲线的半焦距为c ，由x =cx 2a 2-y 2b2=1得到A c ,b 2a ，由y =b a x x =c 得到B c ,bca ，而F (c ,0)，OF =2OA -OB ⇔OA =OF +OB2，即点A 是线段FB 的中点，所以bc a =2b 2a ,c =2b ，所以e =c a =2b c 2-b 2=233.故选：D1(2024·山西晋城·统考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与直线bx -ay =0在第一象限交于点A ，若tan ∠AF 2O =2，则双曲线C 的离心率为()A.53B.32C.3D.2【答案】A【解析】由题意可得|AO |=|OF 2|=c ，即有△AOF 2为等腰三角形，设∠OAF 2=∠AF 2O =α，则∠AOF 2=π-2α，所以tan ∠AOF 2=tan π-2α =-tan2α=2tan αtan 2α-1=2×222-1=43即为b a =43，所以e =c a =1+b 2a2=1+169=53，故选：A 2(2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，若以F 1F 2为直径的圆和曲线C 在第一象限交于点P ，且△POF 2恰好为正三角形，则双。
离心率问题的7种题型15种方法(教师版)
目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。
离心率取值范围问题的求解方法
线 ｚ：３ｚ一 ４ｙ— Ｏ交 椭 圆 Ｅ 于 Ａ ，Ｂ 两 点 。 若 ｌ ＡＦ ｌ＋ ｌ ＢＦ ｌ一 ４，点 Ｍ 到 直 线 ￡的 距 离 不 小
ａ ｚ
３
一 十 ｎ，３Ｐ ２— ５ｇ一 ２＞ Ｏ，所 以 ８＞ ２ 或 ｅ＜
‘
于 了４ 则 椭 圆 Ｅ 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是 （ ）。
Ｉ ｐ Ｉ
一 ｅ 得 ：—
一 ｅ。 由 焦 半 径 公 式 得 ：
高 考 中 解 析 几 何 试 题 的 一 个 倍 受 青 睐 的 考 查 点 ，其 求 解 策 略 的 关 键 是 建 立 目 标 不 等 式 ，建 立 不 等 式 的 方 法 一 般 有 ：利 用 曲 线 定 义 ，利 用
南 一 的离心率ｅ的取值范围是‘
＋ １。
又 ＞ｌ，所以 ∈（１， ＋１）。
一
一
， 则
：：：一
“１＿组
≤ 一 ，即 一 。
ｅ － ２ｅ～ １≥ ０，解 得 １＜ ｅ≤ １＋ 。
曲 线 的 几 何 性 质 ，利 用 题 设 指 定 条 件 等 。
一
借助 定义 求离心 率
由 圆 锥 曲 线 的 统 一 定 义 知 ，圆 锥 曲 线 的
立 竿 见 影 ：若 双 曲 线 一 一 １（ ＞ ｏ ，
、
倒 ９ 已知双曲线 ＬＣ ２一 ｙ ２—１（“＞。 ，
左 、右 焦 点 分 别 为 Ｆ．、Ｆ ，如 果 椭 圆 上 存 在 点 ６＞ ｏ）的 左 ，右 焦 点 分 别 为 Ｆ ｌ（ Ｏ），Ｆ ２（
Ｐ ，使 Ｆ·ＰＦｚ一 ９０￣求 离 心 率 的 取 值 范 围 。
解 析 ：由 椭 圆 定 义 ，有 ２ａ — ｌ ＰＦ ｆ＋ Ｉ ＰＦ。ｌ，平 方 后 得 ：
求解离心率的范围问题
求解离心率的范围问题离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.一、【知识储备】求离心率的方法离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：（1）直接求出a 、c ，求解e ：已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解； （2）变用公式，整体求出e ：以椭圆为例，如利用e ===e == （3）构造a 、c 的齐次式，解出e ：根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造出a 、c 的齐次式，进而得到关于e 的方程，通过解方程得出离心率e 的值. 二、求解离心率的范围的方法1 借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值 等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率 的范围.【例1】 已知椭圆的中心在O ,右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是_____________.【答案】：⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 x【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【牛刀小试】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是______________.【答案】2[,1)2【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB ，则两切线形成的角APB ∠最小，若椭圆1C 上存在点P 令切线互相垂直，则只需090APB ∠≤，即045APO α=∠≤， ∴02sin sin 452b a α=≤=，解得222a c ≤，∴212e ≥，即22e ≥，而01e <<， ∴212e ≤<，即2[2e ∈. 2借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.Bo F 1FAxy【例2】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】26[,]23【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2sin 2cos 2c c a αα+=，然后借助已知条件,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦利用三角函数的图象求解离心率的范围. 【牛刀小试】过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若31＜k ＜21, 则椭圆的离心率的取值范围是.【答案】(32,21)【解析】如图所示：2AF a c =+|，222a c BF a-=，()2222222tan a c BF a c a k BAF AF a c a a c --=∠===++， 又∵31＜k ＜21，∴()221132a c a a c -<<+，∴2111312e e -<<+，解得1223e <<．3 借助函数的值域求解范围根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例3】已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为_________________. 【答案】2(,1)2【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系，得到函数关系式21112e m =-+，进而根据m 的范围，借助反比例函数求解离心率的范围.【牛刀小试】已知两定点(2,0)A -和(2,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为______________.【答案】26【解析】由题意可知，2c =，由2c e a a==可知e 最大时需a 最小，由椭圆的定义||||2PA PB a +=，即使得||||PA PB +最小，如图，设(2,0)A -关于直线3y x =+的对称点(,)D x y ，由11202322y x y x -⎧⋅=-⎪⎪+⎨+-+⎪=+⎪⎩，可知(3,1)D -. 所以22||||||||||1526PA PB PD PB DB +=+≥=+=，即226a ≥，所以262a ≥，则2626c e a=≤=. 4 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆()2222100x y a b a b+=>>，中，a x a -≤≤，P 是椭圆上任意一点，则1a c PF a c -≤≤+等。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。
例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。
解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。
变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。
解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。
因此，选C。
变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。
变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。
设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。
设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。
其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。
求离心率范围的几种方法
如 舞 — ） 列 来解 决．其 中新 数．在通 常 是 特 殊 数 列 （ ， ｃ ２ 差 数 列 、 比数 列 ）列 构 造 新 数 列 过程 中 等 磐 ＝ 等 待
２ ａ
（ ） ，
・ ． 。
定 系 数 法 使 用 最 多． 构 造 出的 新 数 列 中 ， 在 等 比数 列 较 多． 考 纲 中 ， 然 对 递 推 数 列 只 要 在 虽
．ｅｄ ＝ｄ ｄ ， ｅ ＝ ｄ ． ２ ｅ １ 即 ｄ ． １
・
．
解得 ｌ ￣， ＋１ ＜ｅ ｆ ＿ ｉ
巩 固练 习 ：
１设 双 曲线 Ｃ： ｙ 一１ ｎ ） 直 线 ． Ｘ － （ ＞０ 与 －
．一 ｎ — ｅ 一 Ｃ
点评 ： 点在 双 曲线 或抛 物 线 的 张 口内（ ） 外 也 有类似 的性 质． 二 、 线与 圆锥 曲线的位 置关 系 直
【 ２ 过双 曲线 一 一１口 ，＞０ 例 】 （＞０ ６ ）
的右 焦点 Ｆ作它 的一条 渐近线 ｙ＝－ｘ 的垂线 －
－
ｂ
． ．
Ｌ． 若直 线 Ｌ与 双 曲线 的左 右 两 支 各 有一 个 交 点 ， 双 曲线 的离 心率 的取值 范围． 求
（１ ＝ ３ ， ≥ ２ ６） ２ （ ）
又 ｂ ＝３满 足 上 式 ， 以 ｂ 一 ３ （ 所 ２ ∈
Ｎ ） ．
频率很高， 并且 问题并不局限于写 出数列的前 几 项． 以应对 已知递 推 公 式求 通 项 公式 要 求 所 达 到理解 和 掌握 的程 度是有 必要 的．
且 Ｐ到左 准线 的距离 为 ｄ． ｄ，Ｐ ，ＰＦ 若 １Ｆ １１ ｚ １
又 Ｉ ＋ １ ２≥２． ｆ ｃ ＰＦ ＰＦ ｆ
所 以
求离心率范围的六种方法
求解离心率范围六法在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。
离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。
因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。
笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。
一、利用椭圆上一点P (x ,y )坐标的取值范围，构造关于a ,b ,c 的不等式例1 若椭圆()012222 b a by a x =+上存在一点P ，使︒=∠900PA ，其中0为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。
解：设()00,y x P 为椭圆上一点，则122220=+b y a x . ① 因为︒=∠900PA ，所以以O A 为直径的圆经过点P ，所以020020=+-y ax x . ②联立①、②消去0y 并整理得当a x =0时，P 与A 重合，不合题意，舍去。
所以2220ba ab x -=又a x 00，所以a ba ab 2220-， 即 ()22222c a b a -=得2122 ac ，即223e又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a ,b ,c 不等式例2 已知双曲线()0,01x 2222 b a by a =-左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为p ,ι是双曲线左支上一点，并且221PF PF d =，由双曲线第二定义得ed =1PF ，所以12PF PF e =. ① 由又曲线第一定义得a PF 2PF 12=- ②由①-②得在21PF F ∆中，所以 c e ea e a 21212≥-+- ， 即e e e ≥-+11. 又1 e ，从而解得e 的取值范围是(]21,1+。
三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式例3 设椭圆()012222 b a by a x =+的两焦点为F 1、F 2，问当离心率E 在什么范围内取值时，椭圆上存在点P ，使21PF F ∆=120°.解：设椭圆的焦距为2c ，由椭圆的定义知a PF PF 221=+.在21PF F ∆中，由余弦定理得=212221PF PF PF PF ++ =（21221)PF PF PF PF -+所以22212122244a PF PF PF PF c a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤=- 所以23,4322≥≤a cc a 得. 又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a ,b ,c 的不等式例4 如图1，已知椭圆长轴长为4，以y 轴为准线，且左顶点在抛物线1y 2-=x 上，求椭圆离心率e 的取值范围。
离心率及范围总结
. 离心率求解总结一．椭圆的离心率1.离心率e=a c=21）（a b -、e 2=1-2）（ab 2.焦半径︱P F 1︱=a+ex 0 ︱P F 2︱= a-ex 0 2,1cos ep b MF p e aθ==-3.∠F 1BF 2 ， ∠A 1BA 2为最大张角4.P 是椭圆上一点，∠PF 1F 2=α ∠PF 2F 1=β， 则e=βαβαsin sin sin ++）（=cos2cos2e αβαβ+=- 5.AF FB λ=u u u r u u u r 2221cos 1e λθλ-⎛⎫= ⎪+⎝⎭6.e = 其中P 为椭圆上任意一点，A,B 为顶点12,k kx二．双曲线的离心率①e == ② e = 其中P 为双曲线上任意一点，A,B 为顶点12,k k 为斜率 ③sin2sin2e αβαβ+=- ∠PF 1F 2=α ∠PF 2F 1=β 一．含直角三角形及夹角的离心率例1在椭圆中有一点P 12PF PF ⊥求椭圆的离心率0,0a b a c >>>>OM b≥分析: b<OP<c例2．过椭圆右焦点1F 的直线交椭圆与P,Q 两点且满足1PF PQ ⊥ 若15sin 13FQP ∠=，求椭圆的离心率 分析：1PF =5x, 1F Q =13x PQ =12x, 11PQ PF FQ ++=4a 例3椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ,求e?变形1：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2 =60°，求e 的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。
巧解双曲线的离心率
巧解双曲线的离心率离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。
经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。
下面就介绍一下常见题型和巧解方法。
1、求离心率的值（1）利用离心率公式ace =，先求出c a ,，再求出e 值。
（2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出ab，再求出e 值。
例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为__________.分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得34=a b解答：由已知可得34=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e .（3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。
例如：010222=-+⇒=-+e e a ac c例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。
解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--⇒-=⋅=⇒-=-⋅e e a c c a b c ba b所以215+=e （负舍） 2、求离心率的取值范围求离心率的取值范围关键是建立不等关系。
（1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。
例3 若双曲线22221x y a b-=（0>>b a ），则双曲线离心率的取值范围是_________.分析：注意到0>>b a 的条件 解答：），（21)(10102∈+=⇒>>⇒>>ab e a b b a（2）利用平面几何性质建立c a ,不等关系求解e 的取值范围。
高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法
高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法高中数学常见题型解法归纳——离心率取值范围的常见求法求圆锥曲线离心率的取值范围是高考中的一个热点和难点。
对于椭圆、双曲线和抛物线，我们需要清楚它们的离心率取值范围，并且自己求出的离心率的范围必须和这个范围求交集。
求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：方法一：利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系。
先求出曲线的变量，然后利用它们的范围建立离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围。
例如，对于椭圆的左右焦点分别为$(\pm c,0)$，如果椭圆上存在点$P(x,y)$，使得$PF_1+PF_2=2a$，其中$F_1,F_2$为焦点，$2a$为长轴长度，则求离心率的取值范围为$\frac{c}{a}<e<1$。
方法二：直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式。
根据已知中的不等关系，得到关于离心率的不等关系，再转化为离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围。
例如，已知双曲线的右焦点为$(c,0)$，若过点$P(2\cos\theta,\sin\theta)$且倾斜角为$\alpha$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是$e>\sec\alpha$。
方法三：利用函数的思想分析解答。
根据题意，建立关于离心率的函数表达式，再利用函数来分析离心率函数的值域，即得离心率的取值范围。
例如，设$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$，则此双曲线的离心率的取值范围是$e>\frac{a}{b}$。
需要注意的是，对于椭圆的离心率、双曲线的离心率和抛物线的离心率，求出离心率的取值范围后，必须和它本身的范围求交集，以免扩大范围，出现错解。
离心率的求值或取值范围问题
离心率的求值或取值范围问题【方法技巧】方法1 定义法解题模板：第一步 根据题目条件求出,a c 的值 第二步 代入公式ce a=，求出离心率e . 方法2 方程法解题模板：第一步 设出相关未知量；第二步 根据题目条件列出关于,,a b c 的方程； 第三步 化简，求解方程，得到离心率.方法3 借助平面几何图形中的不等关系解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步 将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式， 第三步 解不等式，确定离心率的范围.方法4 借助题目中给出的不等信息解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等；第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.方法5 借助函数的值域求解范围解题模板：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；第二步 通过确定函数的定义域；第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【应用举例】【例题1】若椭圆经过原点，且焦点分别为12(0,1),(0,3)F F ，则其离心率为（ ）A ．34 B ．23 C ．12 D ．14【答案】C 【解析】试题分析：根据椭圆定义，原点到两焦距之和为2a=1＋2，焦距为2c=2，所以离心率为12. 考点：椭圆的定义. 【难度】较易【例题2】点P （-3，1,过点P 且方向为a =（2，-5）的光线经直线y=－2反射后通过椭圆的左焦点，则此椭圆离心率为（ ）【答案】A 【解析】试题分析：因为给定点P （-3，1根据光线的方向为a =（2，-5）y=-2与入射光线的斜率互为相反数可知焦点的坐标为（1，0），因此可知 A 考点：本试题考查了椭圆性质的知识点。
点评：解决该试题的关键是利用椭圆的反射原理得到直线斜率的特点，结合平面反射光线与入射光线的斜率互为相反数，得到c 的值，同时得到a,b,c 的关系式，进而得到结论，属于基础题。
离心率专题
椭圆离心率专题1.求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．2.求离心率范围的常用思路(1)通过几何方法如点的坐标、三角形中的不等关系等转化为离心率的取值范围．(2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的范围．题型一:分类讨论 1．若椭圆2215x y m+=的离心率为e =，则m 的值为 题型二：利用正余弦定理1．已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>， 1F ， 2F 是椭圆C 的两个焦点，点P 在椭圆C 上，且1230PF F ∠=︒， 2190PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率是2.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，焦距为2c ，若直线()3y x c =+与椭圆交于点，且满足12212MF F MF F ∠=∠ ，则椭圆的离心率是（ ）B ．1C ．．3.椭圆C 的焦点为F 1(-1,0），F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A,B 两点，若AF 2=2F 2B,AB=BF 1，椭圆的离心率为题型三：焦点弦的定比分弦问题1．倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A ． 32B ． 23C ． 22D ． 33 2．设12F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过点()1,F c o -的直线交椭圆E 于,A B 两点，若113AF F B =，且2AB AF ⊥，则椭圆E 的离心率是（ ）A ． 12B ． 52C ． 32D ． 22 3．已知焦点在x 轴的椭圆222:13x y C b+= (0)b >的左、右焦点分别为，直线AB 过右焦点2F ，和椭圆交于,A B 两点，且满足223AF F B =， 0160F AB ∠=，则椭圆的离心率为题型四：利用中位线和相似1．如图，设椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右顶点为A ，右焦点为F ， B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ）A ． 12B ． 13C ． 23D ． 142．已知椭圆的左焦点为1F ，右焦点为2F .若椭圆上存在一点P ，且以椭圆的短轴为直径的圆与线段2PF 相切于线段2PF 的中点，则该椭圆的离心率为（ ）A ． 13B ． 23C ． 36D ． 53 题型五：椭圆的中点弦问题1．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b+=1(0)a b >>与不过坐标原点O 的直线:l y = kx m +相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为____ ___.12,F F C2．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ）A ． 12⎛ ⎝⎭B ． 2⎝⎭C ． 14⎛ ⎝⎭D ． 11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．已知椭圆C ： 22221x y a b+= （0a b >> ），点M ， N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使102MH NH k k ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭， ，则离心率e 的取值范围为（ ）A ． 12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ． 02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，C ． 12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ． 02⎛ ⎝⎭， 题型六：张角最值1．已知F 1、F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，椭圆C 上不存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ． [√22，1)B ． [12，1)C ． (0，√22]D ． (0，12] 2．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上动点P ,左、右焦点分别为F 1、F 2，当P 点运动时，∠F 1PF 2的最大角为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为___ __． 题型七：利用椭圆的焦半径范围1．已知F 1，F 2分别是椭圆C : 22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ． 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ． 1,32⎡⎢⎣⎦ C ． 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦2．已知椭圆22221(0)x y a b c a b+=>>>的左、右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心， b c -为半径作圆2F ，过椭圆上P 作此圆的切线，切点为T ，且PT )a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是3．椭圆M ： ()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ， P 为椭圆上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c =则椭圆M 的离心率e 的取值范围是A ． 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． 1,22⎡⎢⎣⎦C ． ,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ． 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．已知以两坐标轴为对称轴的椭圆E 的一个长轴端点M 及一个短轴端点N 在直线24y x =-+上.（1）求椭圆E 的离心率.（2）若P 是椭圆C 上一点，（异于M ，N ），试求PMN 面积的最大值.。
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求离心率的取值范围
求离心率的取值范围
椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率。
求椭圆与双曲线离
心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。
求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。
下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。
一、利用曲线的范围，建立不等关系
例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P，
使，求离心率e的取值范围。
例2．已知椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，
求椭圆的离心率e的取值范围。
二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系
例1．已知
12
、
F F是椭圆的两个焦点，满足的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率
的取值范围是（）
Ａ．(0,1)Ｂ．
1
(0,]
2
Ｃ．
2
(0,)
2
Ｄ．
2
[,1)
2
例2．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。
若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。
例3. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。
若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。
例4.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )．
A．
23
2
3
⎛⎤
⎥
⎝⎦ B．
3
2
3
⎡⎫
⎪
⎢⎪
⎣⎭ C．
3
3
⎛⎫
+∞
⎪
⎪
⎝⎭ D．
23
3
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎪
⎣⎭
例5.过双曲线的左焦点
1
F且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A、B两点，若在双曲线的虚轴所在直线上存在一点C，使得0
90
ACB
∠=，双曲线的离心率e的取值范围为_______________
.
三、利用曲线的定义和焦半径范围，建立不等关系
例1．已知双曲线的左右焦点分别为
、
，点P 在双曲线的右支上，
且，求此双曲线的离心率e 的取值范围。
例2．已知双曲线
22
22
1(0,0)x y
a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使
1221sin sin PF F a
PF F c
∠=∠，求该双曲线的离心率的取值范围。
四、利用点与圆锥曲线的位置关系，建立不等关系
例1.已知ABC ∆的顶点B 为椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆
上，若ABC ∆的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围.
五、利用判断式，建立不等关系
例1.在椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>上有一点M ，12,F F 是椭圆的两个焦点，若2
212MF MF b ⋅=，
求椭圆的离心率.的范围。
例2．设双曲线
与直线
相交于不同的点A 、B 。
求双曲线的离心率e
的取值范围。
六、利用均值不等式，建立不等关系。
例1. 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22
22>>--的右支上，双曲线两焦点为21F F 、，
|
PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。
七、利用函数的值域，建立不等关系
例1.设1a >，则双曲线22
22
1(1)
x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ） Ａ．(2,2) Ｂ．(2,5) Ｃ．(2,5) Ｄ．(2,5)
例2.椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=⋅OB OA （O 为
原点），若椭圆长轴长的取值范围为
[]6,5，求椭圆离心率的范围.
八、利用三角函数有界性，建立不等关系
例1.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，
则双曲线离心率的取值范围是（ ） Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞。