求离心率的取值范围方法总结

求离心率的取值范围

求离心率的取值范围

椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率。求椭圆与双曲线离

心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。

下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。

一、利用曲线的范围，建立不等关系

例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P，

使，求离心率e的取值范围。

例2．已知椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，

求椭圆的离心率e的取值范围。二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系

例1．已知

12

、

F F是椭圆的两个焦点，满足的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率

的取值范围是（）

Ａ．(0,1)Ｂ．

1

(0,]

2

Ｃ．

2

(0,)

2

Ｄ．

2

[,1)

2

例2．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。

例3. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。

例4.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )．

A．

23

2

3

⎛⎤

⎥

⎝⎦ B．

3

2

3

⎡⎫

⎪

⎢⎪

⎣⎭ C．

3

3

⎛⎫

+∞

⎪

⎪

⎝⎭ D．

23

3

⎡⎫

+∞⎪

⎢⎪

⎣⎭

例5.过双曲线的左焦点

1

F且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A、B两点，若在双曲线的虚轴所在直线上存在一点C，使得0

90

ACB

∠=，双曲线的离心率e的取值范围为_______________

.

三、利用曲线的定义和焦半径范围，建立不等关系

例1．已知双曲线的左右焦点分别为

、

，点P 在双曲线的右支上，

且，求此双曲线的离心率e 的取值范围。

例2．已知双曲线

22

22

1(0,0)x y

a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使

1221sin sin PF F a

PF F c

∠=∠，求该双曲线的离心率的取值范围。

四、利用点与圆锥曲线的位置关系，建立不等关系

例1.已知ABC ∆的顶点B 为椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆

上，若ABC ∆的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围.

五、利用判断式，建立不等关系

例1.在椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>上有一点M ，12,F F 是椭圆的两个焦点，若2

212MF MF b ⋅=，

求椭圆的离心率.的范围。

例2．设双曲线

与直线

相交于不同的点A 、B 。求双曲线的离心率e

的取值范围。

六、利用均值不等式，建立不等关系。

例1. 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22

22>>--的右支上，双曲线两焦点为21F F 、，

|

PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。

七、利用函数的值域，建立不等关系

例1.设1a >，则双曲线22

22

1(1)

x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ） Ａ．(2,2) Ｂ．(2,5) Ｃ．(2,5) Ｄ．(2,5)

例2.椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=⋅OB OA （O 为

原点），若椭圆长轴长的取值范围为

[]6,5，求椭圆离心率的范围.

八、利用三角函数有界性，建立不等关系

例1.双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，

则双曲线离心率的取值范围是（ ） Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞