2019高中数学第2章直线的方程5 距离问题(两点间距离,点到直线的距离)学案苏教版必修2

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直线的两点式方程-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件(共43张PPT)

3.会用中点坐标公式求两点的学运算的数学素养.
中点坐标.
2
某区商业中心 O 有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东 P 处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为 1 km 和 4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于 A、B 两处，并使区商业中心 O 到 A、 B 两处的距离之和最短．
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2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．
34
1．过 P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是( )
A．3x＋2y＝0
第二章直线和圆的方程
2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程
1
学习目标
核心素养
1.掌握直线方程两点式的形式、 1.通过直线两点式方程的推导，提
特点及适用范围．(重点) 升逻辑推理的数学素养.
2.了解直线方程截距式的形式、 2.通过直线的两点式方程和截距
特点及适用范围．(重点) 式方程的学习，培养直观想象和数
19
1．[变条件]本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”，求直线 l 的方程．
[解] 当截距均为零时，设直线方程为 y＝kx，把点(4，－3)代入得－3＝4k，解得 k＝－34，所求的直线方程为 y＝－34x，即 3x＋4y＝ 0.
20
当截距均不为零且相反时，可设直线方程为ax＋－ya＝1，把点(4，－3)代入得4a＋－－3a＝1，解得 a＝7，所求直线方程为7x＋－y7＝1，即 x －y－7＝0，
[解] 设直线方程的截距式为a＋x 1＋ay＝1. 则a＋6 1＋－a2＝1，解得 a＝2 或 a＝1，则直线方程是2＋x 1＋2y＝1 或1＋x 1＋1y＝1，即 2x＋3y－6＝0 或 x＋2y－2＝0.

第二章直线和圆的方程(单元解读)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)

也可以综合运用几何方法和代数方法，这种综合是充分借助图形的几何性质，一定程度上简化代数运算，最后得到图形之间的位置关系.
本章选学内容
本章还安排了 1. “方向向量与直线的参数方程” 2. “笛卡儿与解析几何” 3. “坐标法与数学机械化”等选学内容，
目的是拓展学生的知识面，让学生从多种角度认识直线方程的表示形式，了解解析几何产生的过程，以及我国数学家吴文俊先生运用坐标法进行几何定理机器证明的杰出贡献.
1. 用向量方法推导点到直线的距离公式， 2. 以及对直线与直线的方程， 3. 圆与圆的方程之间关系的认识，
坐标法是解析几何最基本的研究方法
• 本章研究直线、圆及其相关问题，用的是坐标法. • 坐标法是解析几何最基本的研究方法， • 它建立了几何与代数之间的联系，体现了数形结合的思想.
七、本章学业要求
准方程. • 把圆的标准方程展开，得到圆的一般方程. • 圆的标准方程和一般方程是圆的方程的两种形式，它们
各有自己的特点，而且两者之间可以互化.
第5节是“直线与圆、圆与圆的位置关系”.
综合运用直线和圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系，以及一些简单的数学问题和实际问题.
图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以严格定量刻画.定量刻画的方法既可以完全运用代数的方法，通过运算求解，得到图形之间的位置关系；
第1节“直线的倾斜角与斜率”，
• 通过一点和一个方向确定一条直线，引入直线倾斜角刻画直线的倾斜程度（方向）；
• 然后通过具体实例，由具体到一般，通过向量法，用直线上两点的坐标刻画倾斜角；
• 把倾斜角的正切值表示为这两点纵坐标的差与横坐标的差的商，进而引出直线斜率的概念；
• 建立过两点的直线斜率公式，以及直线的斜率与其方向向量的关系.由于两条直线平行或垂直取决于它们的方向，所以由它们斜率的关系可以判断两条直线平行或垂直的位置关系. ’

2.3.3 点到直线的距离公式~2.3.4-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册第二章

思考1 点P (x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离怎样计算？答案 P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|； P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|. 思考2 两直线都与坐标轴平行，可以利用公式求距离吗？答案可以. 应用公式时要把直线方程都化为一般式方程.
思考辨析判断正误
解如图，显然有0<d≤|AB|. 而|AB|＝ 6＋32＋2＋12＝3 10. 故所求的 d 的变化范围为(0,3 10].
(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
跟踪训练1 (1)点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为__2__5__.
(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为_－__6_或__12__.
解析由|3mm＋22＋＋13|＝|－mm＋2＋4＋1 3|，得|3m＋5|＝|m－7|，∴m＝－6 或 m＝12.
解由直线l平行于直线3x－4y＋1＝0，可设l的方程为3x－4y＋c＝0，又点 P 到 l 的距离为 3，所以|3×322－＋4×－34＋2 c|＝3. 解得c＝21或c＝－9，所以，所求直线方程为 3x－4y＋21＝0或3x－4y－9＝0.
反思感悟
求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求. (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝ |C1－C2| .
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题. 2.掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离.

点到直线的距离公式-高二数学上学期人教A版(2019)选择性必修第一册第二章直线和圆的方程

d Ax0 By0 C A2 B2
注： 1.用此公式时直线方程必须先化成一般式 2.此公式是在A≠0、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式也成立；
LOGO
分子是P点坐标代入直线方程左边
分母是直线未知数
x、y系数平方和的
算术根
例题讲解 LOGO
例 1：求点 P(2,1) 到下列直线的距离：
①
“设而不求” “整体代换”
Bx
Ay
Bx0
Ay0
②
A x x0 B y B x x0 A y
y0 y0
0
Ax0
By0
C
③ ④
③式的平方+ ④式的平方得：
(x x0 )2 y y0 2
Ax0 By0 C A2 B2
PQ Ax0 By0 C A2 B2
l x
|y0|
O
x0
x
探究新知
【引例 1】点 P(1,2) 到直线 l : 3x 2 的距离为________.
解：直接画图得到距离
d
2 3
(1)
5 3
.
【引例 2】原点 O 到直线 l：3x+2y-26=0 的距离为_______.
解法 1：作 OQ⟂ l，垂足为 Q，直线 OQ 的方程为 2x-3y=0，且与直线 l 的方程联立，
B2 ( Ax0 By0 C)2 ( A2 B2 )2
( Ax0 By0 C)2 A2 B2
能否不求点Q 的坐标？
PQ | | Ax0 By0 C | A2 B2
探究新知 LOGO
(1)方法:根据点到直线距离的定义,将点到直线距离转化为两点之间的距离. (2)缺点:思路自然但运算量较大. (3)思考:仔细观察求解过程, 思考引起复杂运算的原因是什么? (4)对策:由此能否给出简化运算的方法? 追问：能否从方程组中直接求出 x x0, y y0 ？

2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步1.5平面直角坐标系中的距离公式练习(含解析)北师大版必修2

1．5 平面直角坐标系中的距离公式填一填1.两点间的距离公式 (1)数轴上：一般地，数轴上两点A ，B 对应的实数分别是x A ，x B ，则|AB |＝|x B －x A |. (2)平面直角坐标系中：一般地，若两点A ，B 对应的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12. 2．点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，则d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 3．两平行线间的距离两条平行直线的方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，两条直线间的距离记为d ，即d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2.判一判1.原点O 到点P (x ，y )的距离为|OP |＝x 2＋y 2.(√) 23．平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．(√)4．直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离是|C 1－C 2|.(×)5．原点到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是|C |A 2＋B2.(√)6．平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(√) 7．连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(×)8想一想1. 提示：点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式．2．两条平行直线间的距离公式写成d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时对两条直线应有什么要求？提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x ，y 的系数分别对应相等． 3．两条平行直线间距离有哪几种求法？提示：(1)直接利用两平行线间的距离公式．(2)在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．(3)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①当两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②当两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|. 4．距离公式综合应用的常见类型有哪些？提示：(1)最值问题．①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题．利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题．立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．思考感悟：练一练1.已知A (3,7)，B A ．5 B. 5 C ．3 D ．29 答案：B2．已知直线上两点A (a ，b )，B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( ) A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A ，B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上，但不是线段AB 的中点D ．原点一定在线段AB 的垂直平分线上答案：D3．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A ．3 2 B.22C ．3 D.322答案：D4．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离等于( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．2 答案：A5．直线l 1：x ＋y ＝0与直线l 2：2x ＋2y ＋1＝0间的距离是________．答案：24知识点一两点间距离公式的应用1.已知点A (2，m )与点B (m,1)间的距离是13，则实数m ＝( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．－4或1 解析：∵|AB |＝m －22＋1－m 2＝13，∴m 2－3m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝4. 答案：C2．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________．解析：BC 中点为(－1,2)，所以BC 边上中线长为2＋12＋1－22＝10. 答案：10知识点二求点到直线的距离3.已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．± 2解析：由题意，得|a －1＋1|12＋－12＝1，即|a |＝2，所以a ＝± 2.故选D. 答案：D4．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是( ) A.10 B ．2 2 C. 6 D ．2解析：由题意可知|OP |的最小值即原点(0,0)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|－4|2＝2 2.知识点三两条平行直线间的距离5.12b ＋c 等于( )A ．－12B ．48C ．36D ．－12或48解析：将l 1：3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0，因为两条直线平行，所以b ＝8. 由|10－c |62＋82＝3，解得c ＝－20或c ＝40.所以b ＋c ＝－12或48.故选D. 答案：D6．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.21313C.51326 D.71326解析：由两直线平行可知36＝2m ≠－31，故m ＝4.又方程6x ＋4y ＋1＝0可化简为3x ＋2y ＋12＝0，∴平行线间的距离为|12－－3|22＋32＝71326.故选D. 答案：D知识点四对称问题7.直线y ＝3xA ．y ＝3x －10B ．y ＝3x －18C ．y ＝3x ＋4D ．y ＝4x ＋3解析：在直线上任取两点A (1，－1)，B (0，－4)，则其关于点P 的对称点A ′，B ′可由中点坐标公式求得为A ′(3，－1)，B ′(4,2)，由两点式可求得方程为y ＝3x －10.答案：A8．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线的方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0解析：由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0(C ≠－6)．在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3,0)，其关于点(1，－1)对称的点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，解得C ＝8. 故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0. 答案：D综合知识距离公式的综合应用9.已知△ABC 中，A (2，－1)，B (4,3)，C (3，－2)． (1)求BC 边上的高所在直线方程的一般式； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)因为k BC ＝3－－24－3＝5，所以BC 边上的高AD 所在直线斜率k ＝－15.所以AD 所在直线方程为y ＋1＝－15(x －2)．即x ＋5y ＋3＝0.(2)BC 的直线方程为：y ＋2＝5(x －3)．即5x －y －17＝0，点A 到直线BC 的距离为|2×5－－1－17|52＋－12＝626. 又因为|BC |＝3－42＋－2－32＝26，所以△ABC 的面积S ＝12×626×26＝3.10．已知直线l 1经过点A (0,1)，直线l 2经过点B (5,0)，且直线l 1∥l 2，l 1与l 2间的距离为5，求直线l 1，l 2的方程．解析：∵直线l 1∥l 2，∴当直线l 1，l 2垂直于x 轴时，直线l 1的方程为x ＝0，直线l 2的方程为x ＝5，这时直线l 1，l 2之间的距离等于5，符合题意．当直线l 1，l 2不垂直于x 轴时，可设其斜率为k ，依题意得，直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，直线l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0.由两条平行直线间的距离公式，得|1＋5k |1＋k2＝5，解得k ＝125.∴直线l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，直线l 2的方程为12x －5y －60＝0.综上，符合题意的直线l 1，l 2的方程有两组：l 1：x ＝0，l 2：x ＝5或l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0.基础达标一、选择题1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( )A ．3 B.53C ．1 D.22解析：点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×－1－2|02＋32＝53，选B. 答案：B2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( )A ．0 B.34C ．3D ．0或34解析：点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m ＝0或m ＝34，选D.答案：D3．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为( ) A.1310 B.135 C.72 D.235解析：直线3x ＋4y －12＝0，即直线6x ＋8y －24＝0，根据直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0平行，可得a ＝6，故两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为|－24－11|36＋64＝72. 答案：C4．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝3－12＋1－32＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.答案：C5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，原点O 到l 的距离为1，且l 与y 轴正半轴有交点．则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b .又l 与y 轴正半轴有交点，知b >0，即x ＋y －b ＝0(b >0)，原点O (0,0)到直线x ＋y －b ＝0(b >0)的距离为|0＋0－b |12＋12＝1，解得b ＝2(b ＝－2舍去)，所以所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 答案：A6．已知△ABC 的三个顶点是A (－a,0)，B (a,0)和C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，32a ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形解析：因为k AC ＝32a a 2＋a ＝33，k BC ＝32a a2－a＝－3，k AC ·k BC ＝－1，所以AC ⊥BC ，又|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝3|a |. |BC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －02＝|a |，|AC |≠|BC |. 所以△ABC 为直角三角形．答案：C7．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 C. 2 D ．4解析：由题意，知点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，即c ＝－6，∴点M 在直线x ＋y －6＝0上，∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即|－6|2＝3 2.答案：A 二、填空题8．已知点A (－1,2)，B (3，b )的距离是5，则b ＝________.解析：根据两点间的距离公式，可得3＋12＋b －22＝5，解得b ＝5或b ＝－1. 答案：5或－19．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4， ∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或17310．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋n ＝0平行且距离为10，则m ＋n ＝________. 解析：因为两直线平行，所以m ＝2，由两平行线的距离公式知⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－n 232＋12＝10，解得n ＝14或n ＝－26.所以m ＋n ＝16或m ＋n ＝－24. 答案：16或－2411．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________________________________________________________________________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，所以k ＝2或k ＝－23.所以所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝012．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________．解析：求x 2＋y 2的最小值，就是求2x ＋y ＋5＝0上的点到原点的距离的最小值，转化为坐标原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离d ＝522＋12＝ 5. 答案： 5 三、解答题13．已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P 点垂直于x 轴的直线满足条件，此时直线l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)过P 点且与原点O 距离最大的直线是过P 点且与OP 垂直的直线．由l ⊥OP ，得k l k OP＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，存在过点P 且到原点距离最大为5的直线，因此不存在过点P 到原点距离为6的直线．14．已知直线l 1：x ＋3y －3m 2＝0和直线l 2：2x ＋y －m 2－5m ＝0相交于点P (m ∈R )． (1)用m 表示直线l 1与l 2的交点P 的坐标；(2)当m 为何值时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短？并求出最短距离．解析：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3m 2＝0，2x ＋y －m 2－5m ＝0，得x ＝3m ，y ＝m 2－m ，∴直线l 1与l 2的交点P 的坐标为(3m ，m 2－m )．(2)设点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离为d ，d ＝|3m ＋m 2－m ＋3|2＝|m 2＋2m ＋3|2＝|m ＋12＋2|2＝m ＋12＋22，∴当m ＝－1时，即P 点坐标为(－3,2)时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短，最短距离为 2.能力提升15.已知两点A (2,3)，B (4,1)，直线l ：x ＋2y －2＝0，在直线l 上求一点P . (1)使|PA |＋|PB |最小； (2)使||PA |－|PB ||最大．解析：(1)可判断A ，B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由直线的两点式方程得直线A 1B 的方程为y －1－95－1＝x －4－25－4，即y ＝711(x －4)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，y ＝711x －4＋1得直线A 1B 与l 的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫5625，－325，由平面几何知识可知，此时|PA |＋|PB |最小．(2)由直线的两点式方程求得直线AB 的方程为y －31－3＝x －24－2，即x ＋y －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x ＋y －5＝0得直线AB 与l 的交点为P (8，－3)，此时||PA |－|PB ||最大．16．已知三条直线l 1：mx －y ＋m ＝0，l 2：x ＋my －m (m ＋1)＝0，l 3：(m ＋1)x －y ＋(m ＋1)＝0，它们围成△ABC .(1)求证：不论m 取何值时，△ABC 中总有一个顶点为定点； (2)当m 取何值时，△ABC 的面积取最值？并求出最值．解析：(1)证明：设直线l 1与直线l 3的交点为A .由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴点A 的坐标为(－1,0)，∴不论m 取何值，△ABC 中总有一个顶点A (－1,0)为定点．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋my －m m ＋1＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝m ＋1，即l 2与l 3交点为B (0，m ＋1)．再由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，x ＋my －m m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m m 2＋1，y ＝m 3＋m 2＋mm 2＋1，即l 1与l 2交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫mm 2＋1，m 3＋m 2＋m m 2＋1.设边AB 上的高为h ， ∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝12·1＋m ＋12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m m ＋1m 2＋1－m 3＋m 2＋m m 2＋1＋m ＋1m ＋12＋1＝12·|m 2＋m ＋1|m 2＋1＝12·m 2＋m ＋1m 2＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m m 2＋1.当m ＝0时，S ＝12；当m ≠0时，S ＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1m ＋1m . ∵函数f (x )＝x ＋1x的值域为[2，＋∞)∪(－∞，－2]．∴－12≤1m ＋1m <0或0<1m ＋1m≤12，∴14≤S <12或12<S ≤34. 当m ＝1时，△ABC 的面积的最大值为34，当m ＝－1时，△ABC 的面积的最小值为14.。

第二章直线与圆的方程教材分析及教学建议课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册

程
约2课时
2.5直线与圆、圆与圆的位置关系约3课时
小结与复习
约2课时
三.新、旧教材的内容变化
3.1 内容安排的变化
《新大纲》的选择性必修一第二章将《原大纲》直线部分的有向线段、两点间距离公式、线段定比分点等内容移至必修二第六章“平面向量”，将《原大纲》选学内容直线参数方程移到本章第68页中探究与发现，圆的参数方程移到本章第89页拓广探索第10题。
①通过“对于直角坐标系内的直线，它的位置由哪些条件确定？”引导学生思考：平面几何中是“两点确定一条直线”，有了坐标系作为参照系，这种条件可以有哪些变化。
②在学生认识到可以用直线与坐标轴的位置关系来确定后，再引入倾斜角概念。在此基础上再讨论如何用代数方法表示直线的“倾斜程度”，由此引入斜率概念。
问题一：已知实数 x, y 满足3x 4y 10 ，求 x2 y2 的最小值.
问题二：已知实数 x, y 满足 x2 y2 1，求 y 的取值范围.
x2
问题三：已知方程组
y y
kx x2
1
.
试讨论 k 的取值范围，使得该方程组分别有一解、二解和无解.
（3）重视分类思想在教学中的渗透。例如：直线倾斜角的定义、直线斜率的定义、如何用直线的点斜式和斜截式设直线方程、过圆外一点求圆的切线方程时要注意什么、设直线的截距式方程时又要注意什么等。
3.4思想方法呈现的变化
③通过引导语：“在直角坐标系中，给定一点P0(x0，y0)和斜率k，
就能唯一确定一条直线，即平面直角坐标系中的点在不在这条直线上，
完全由点P0(x0，y0)和斜率k确定。也就是说，直线上任意一点P(x， y)的坐标完全由P0的坐标x0，y0和k确定。那么这种关系的代数表达式

2.3.3点到直线的距离公式2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

问题1 如图，已知点 P( x0 , y0 ) ，直线 l : Ax By C 0 ( A 0, B 0)
如何求点 P 到直线 l 的距离？
A
解：设A 0, B 0, 由PQ l , 以及直线l的斜率为 ,
B
B
可得l的垂线PQ的斜率为 ,因此,
A
B
故：垂线PQ的方程为y y0 ( x x0 ), 即Bx Ay Bx0 Ay0 .
ԦQ
P2
O
P1
垂直的单位向量, 则PQ是 PM 在n上的投影向量, PQ PM n .
已知 P ( x0 , y0 ) ，设 M ( x, y ) 满足 l 的直线方程 Ax By C 0， PM ( x x0 , y y0 )
探究交流
问题3:向量是解决空间距离、角度问题的有力工具,能否用向量方法求点到直线的距离呢?

,
B
PR2 PS2
A2 B2 Ax By C .
0
0
AB
从三角形面积公式可知
d·∣RS∣=∣PR∣•∣PS∣
所以
d
Ax0 By0 C
A B
2
2
易证，当A=0或B=0时，以上公式仍适用。
探究交流
问题5：比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它们各有什么
故原点到直线l : x y的距离为0.
小试身手
2.求下列点到直线的距离 :
(1) A( 2, 3),
(1) d
l : 3 x 4 y 3 0;
| 3 ( 2) 4 3 3 |
3 4
2
(2) B(1, 0),

第2章2.3.4 两条平行线间的距离课件-人教A版高中数学选择性必修第一册(共31张PPT)

思考 3：两条平行直线间的距离公式写成 d＝ |CA1－2＋CB22| 时对两条直线应有什么要求？
[提示] 两平行直线的方程都是一般式，且x、y的系数应分别相等．
跟踪训练
跟踪训练1 两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( )
A.4
B. 2 13
C. 5 13
D. 7 10
∴由两点式方程得对角线方程为：－y1－52－0 0＝15x＋＋11，即 2x＋y＋2＝0.
由x3＋x－3yy－－53＝＝00，可得正方形另一顶点坐标为75，65，又正方形中心为 P(－1,0)，
∴由两点式得另一对角线方程为：65y－－00＝75x＋＋11，即 x－2y＋1＝0. 综上可知正方形的两条对角线方程为 x－2y＋1＝0 或 2x＋2y＋2＝0.
【解析】 ∵与 l 平行的直线方程为 5x－12y＋b＝0，根据两平行直线间的距离公式得 52＋|b－－6|122＝3，解得 b＝45 或 b＝－33. ∴所求直线方程为 5x－12y＋45＝0 或 5x－12y－33＝0.
课堂小结
点到直线的距离与两条平行线间的距离
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
当堂检测
1．平行直线 l1：3x－y＝0 与 l2：3x－y＋ 10＝0 的距离等于( )
A．1
B．0
C． 10
D．3
【答案】A [l1、l2 的距离为 d＝| 3120＋－102|＝1.选 A.]
2．分别过点 A(－2,1)和点 B(3，－5)的两条直线均垂直于 x 轴，则这两条直线间的距离是________．
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝152. ∴l1 的方程为 12x－5y＋5＝0， l2 的方程为 12x－5y－60＝0. 若直线 l1，l2 的斜率不存在，则 l1 的方程为 x＝0，l2 的方程为 x＝5，它们之间的距离为 5，满足条件．则满足条件的直线方程有以下两组： l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0； l1：x＝0，l2：x＝5.

点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离高二数学 (人教A版2019选择性必修第一册)

由平面几何知识知，l∥AB或l过AB中点．
1
3−0+2+1
2 +1
，
1
解得k＝0或k＝− 2.
故所求的直线方程为y＝1或x＋2y＝0.
kAB＝− 2，若l∥AB，则l的方程为x＋2y＝0.
若l过AB的中点N(1,1)，则直线方程为y＝1，
∴所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0.
（三）典型例题
3．已知l1：Ax＋By＋C1＝0(A，B不同时为0)，l2：Ax＋By＋C2＝0(C2≠C1)，如何推导出l1与l2间的距离公式？
【提示】在直线l1：Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2：Ax＋By＋C2＝0的距离就是这
两条平行直线间的距离，即d＝
因此d＝
1 −2
+0
−
3
×
+
2
2
−0
直观想象和数学运算的核心
素养。
围绕两直线一般方程的系数的变化来
揭示两直线方程联立解的情况，从而
判定两直线的位置特点.“点到直线的
距离”是从初中平面几何的定性作图
，过渡到了解析几何的定量计算，为
以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线
的进一步学习奠定了基础，具有承前
启后的重要作用．
通过直线交点的求法，距离公式的应
−1×0+2−1
02 +12
＝1.
（三）典型例题
例2. 求过点M(－2,1)且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线方程．
【解析】法一：当斜率不存在时，不符合题意；
当斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋1＝0.

2.3.2两点间的距离公式教学设计-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.3.2两点间的距离公式教学设计一、教材分析本节课是人教A版高中数学（2019）选修一第二章第二节课2.3.2-两点间的距离公式.本节课是在学习了直线的倾斜角和斜率、直线的方程以及两直线的交点坐标之后进行的，是对前面学习内容的延续与深入，也是后续学习点到直线的距离、圆与圆的位置关系等知识的基础.本节课通过构造直角三角形，使用勾股定理推导两点间距离公式，并应用公式解决简单的平面几何问题，是对学生应用“坐标法”解决几何问题的一次很好的训练.二、学情分析学生对勾股定理十分熟悉，可引导学生构造直角三角形，利用勾股定理推导两点间的距离公式，体会数形结合思想的运用.学生已经初步了解“坐标法”，可引导学生建立平面直角坐标系，用代数的方法解决简单的平面几何问题.三、教学目标1、知识与技能（1）能推导两点间的距离公式并会简单应用.（2）会用代数的方法证明简单的平面几何问题.2、过程与方法（1）通过由特殊到一般的方法引导学生推导两点间的距离公式，使学生体会数形结合的思想方法.（2）引导学生建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题求解，体验转化与化归的数学思想.3、情感态度价值观（1）通过实际问题引入，激发学生学习兴趣.（2）在知识生成过程中，培养学生发散思维，多角度思考问题的能力.（3）培养学生主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度.四、教学重难点1、教学重点：两点间距离公式的推导过程及运用.2、教学难点：使学生明白推导两点之间距离公式时辅助线的构造，运用勾股定理推导两点间距离公式，使学生明白从特殊到一般的思想，以及两点间距离公式的灵活运用.五、教学过程（一）创设情景，引入课题师：我们在初中的时候学过数轴上两点间的距离公式，大家回忆一下怎样求数轴上两点间的距离.问题一：如图，设数轴x上的两点分别为A、B，怎样求|AB|?生：|AB|=|a-b|.师：那么怎样求直角坐标系中两点间的距离呢？这节课我们就来探讨一下直角坐标系中两点间的距离的求法.（在黑板上书写课题）（二）探究新知师：首先我们在直角坐标系中给定两点，看看怎样求它们之间的距离.(师生研讨) 请同学们解决以下问题:问题2：如图，在直角坐标系中，点C （4,3），D （4,0）， E （0,3），如何求C 、D 间的距离|CD|，C 、E 间的距离|CE|及原点0与C 的距离|0C|? (让学生思考一分钟，请学生回答) 生: |CD|=|3-0|=3. |CE|=|4-0|=4在直角三角形CDO 中，用勾股定理解得: |OC|=54322=+ 师:那么，同学们能否用以前所学知识解，决以下问题:问题3:对于直角坐标系中的任意两点P(x1,y1)、P(x2,y2)，如何求P 、P1的距离|P1P2|？从p1、p 2这两点的位置来看，我们用以前所学的知识很难解决这个问题师:根据问题2中求原点0到C的距离|OC|，构造直角三角形，再用勾股定理计算的方法，我们想求解问题3是不是也可以构造一个直角三角形.如右图，过点P1分别向轴x和y轴作垂线P1M1和P1N1，垂足分别为M (x，0)和N(0， y1)，过点P2分别向轴x和y轴作垂线时PM和PN，垂足为M2(x2, 0)和N2 (0，y2)，延长直线P1N1与P2M2相交于点Q，则三角形P1QP2是直角三角形.在直角三角形P1QP2中，由勾股定理可以得到，|P1P|^2 =|P1Q|^2+| QP2|^2.要求|P1P2|，必须知道|P1Q|和|QP2|的值.为了计算|P1Q|和|QP2|，就要求Q的坐标，而点Q的横坐标与P2的横坐标相同，纵坐标与P1的纵坐标相同，则Q的坐标为(x2,y1).于是有：|P1Q|=|x2-x2|， |QP2| =|y2-y1|，所以|P1P2|^2=|x2-x1|^2+|y2-y1|^2，则|P1P2|=√|x2−x1|2+|y2−y1|2，这就是我们今天所要学习的两点间的距离公式.(三)讲授新课两点P (x, y)、R (x2, y2) 间的距离公式：|P1P2|=√|x2−x1|2+|y2−y1|2两点间的距离公式在以后的学习中运用很广泛，其中有一种很常见的情况大家一定要注意，那就是原点O（0，0）与任一点p(x,y)距离：|OP|=√x2+y2(四)基础练习练习：求下列两点间的距离：（1）A（6，0），B(-2,0)（2）C(0,-4)，D(0,-2)由学生回答：(1)|AB|=√(−2−6)2+(0−0)2=8(2)|CD|=√(0−0)2+(−2−(−4))2=2(五)巩固练习通过对这个例题的求解，同学们对两件距，离公式的应用有了初步的了解，下面请同学们独立完成一个练习，看大家能不能做，得又快又准.练习：已知A (1,2)，B(5,2) ,若|P4|=√10，|PB|=√2,求点P的坐标.(请一个学生到黑板.上完成，其余学生独立完成，完成后教师讲解)分析：先设P点的坐标为(x，y) .然后用两点间的距离公式表示出|P4|=√10，|PB|=√2，可以得到两个关于x，y的方程，联立方程求解出x，y的值，P点的坐标就求出来了.解:设点p的坐标为(x，y) ，则有：(x-1)^2+(y-2)^2=10；(x-5)^2+(y-2)^2=2解之得： x=4，y=1或3所以，点p的坐标为(4,1)或(4,3)(六)课时小结这节课的内容就是这些，最后我们来回顾一下这节课的内容.同学们总结一一下，这节课学习了什么?(师生一起总结)首先我们用勾股定理推导了直角坐标系中.任意两点间的距离公式，即两点P (x1，y1)、P (x2，y2)间的距离公式: |P1P2|=√|x2−x1|2+|y2−y1|2其次同学们要注意一种特殊的情况:原点o(0，0)与任一点P (x，y)的距离: |OP|=√x2+y2同学们要学会用两点间的距离公式求直角坐标系中两点间的距离，并要掌握它的一些应用. （七）课后作业学案练习 1、2题。

2.3.1两条直线交点的坐标 2.3.2两点间距离公式教案-高中数学人教版(2019)选择性必修一

2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式一、内容解析内容解析第 3 节“直线的交点坐标与距离公式”是运用直线的方程判断两条直线的位置关系，求两条直线相交时交点的坐标；推导点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式.求两直线的交点坐标的方法，学生在初中的一次函数中已经学会使用，高中阶段则重新从直线上点的坐标与直线的方程的关系的角度切入，加深了对求交点坐标的本质的理解.在前节已经学习了如何利用直线的方程来判断两直线的位置关系的基础上，本节要通过解两条直线的方程组成的方程组，从解的个数来判断两直线的位置关系.距离问题是欧氏几何的基本问题之一，在欧氏几何中，把两点间线段的长度定义为距离. 而两点间的距离公式与过两点的直线斜率公式是平面解析几何中两个最基本的公式. 教科书中用向量方法得出平面上两点间的距离公式，同时，还设置了问题引导学生思考两点间的距离公式是否可以使用勾股定理来解决，使学生了解两种推导两点间距离的方法，并且能够评价对两种方法的体会.运用坐标法解决平面几何问题主要是培养学生数形结合的数学思想.将坐标语言的表述应用于平面几何问题有助于培养学生的直观想象、数学运算素养.通过对平面几何问题的解决，使得学生首先会用原理、公式、并通过练习实现学生达到熟练掌握运算方法、技巧的能力.结合以上分析，确定本节课的教学重点：求两条直线交点坐标、判断两直线的位置关系、求两点间的距离.二、目标和目标解析1.目标与学科素养目标：（1）理解解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；（2）了解根据方程组的解的个数判定两条直线的位置关系；（3）掌握平面上两点间的距离公式；（4）理解用坐标法证明简单的平面几何问题.素养：（1）数学抽象：掌握平面内两点间的距离公式；（2）数学运算：求两直线的交点坐标、判断两直线的位置关系、求两点间的距离；（3）数学建模：用坐标法解决平面几何问题.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能列出方程组，并正确求出两直线的交点坐标.（2）能够根据方程组解的个数判断两直线的位置关系．（3）能够运用公式求出两点间的距离.（4）能够根据题意，建立合适的平面直角坐标系，完成对平面几何问题的证明.三、教学问题诊断分析学生在初中的一次函数中已经能够解决过求两直线交点的问题，在2.2节直线的方程一节中也学习了如何用直线的方程来判断两直线的位置关系.在本节中从曲线上的点与曲线方程的关系入手，揭示解方程组法求两直线交点坐标的本质.由于前面学生已有知识的铺垫，理解这一点应该不太困难.从两曲线公共点个数来判断它们的位置关系，是几何中的重要方法，在解析几何后面的位置关系问题的研究中还要多次出现，要让学生理解这种判断两曲线位置关系的思路，从而理解通过方程组解的个数来判断两直线位置关系的方法.学生在必修课程中已经接触过已知起点坐标和终点坐标的向量求解模长的问题，这实际上为本节课两点间的距离公式提供了基础.实际上，本节中两点间距离公式就是通过求一个向量的模长来证明的.因此，两点间距离公式的推导和记忆都不会对学生造成太大的认知障碍.但是对于两点间距离公式的应用，会给学生带来一些困扰.首先，就是运算量会稍大一些；其次，对于简单的平面几何问题的证明，是否想到通过建系用坐标法解决、怎么建系以及建系后的运算都会使学生的学生产生困难.本节课的教学难点是用坐标法解决平面几何问题.四、教学过程设计（一）概念的引入在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，本节课我们学习的主要问题是两条直线的交点坐标以及平面内两点间距离问题.问题1：点与直线的关系是什么？师生活动：学生独立思考、讨论交流．教师提示，引导学生从点与直线的关系入手，并填写表格.设计意图：通过对点与直线关系的复习，帮助学生再次明确曲线上的点的坐标满足曲线方程.问题2：如果两直线11110l:A x+B y+C=，22220l:A x+B y+C=相交于一点A,若点A的坐标为()m,n则点A的坐标与这两条直线的方程有何关系?师生活动：学生独立思考、讨论交流．设计意图：引导学生明确公共点同时在两条直线上，因此公共点的坐标应该同时满足两条直线的方程，也就是公共点的坐标就是方程组的解..（二）概念的理解（1）两条直线的交点坐标问题1：求两条直线交点坐标的方法是什么？师生活动：学生独立思考，根据复习引入部分的探讨回答问题．设计意图：总结复习引入部分的探究，并得到求交点坐标的方法.问题2：直线1111:0,l A x B y C ++=2222:0,l A x B y C ++=它们的方程组成的二元一次方程组为1112220;0.A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩当方程组有唯一解时，直线1l 与2l 的位置关系是怎样的？当方程组有无数个解时，直线1l 与2l 的位置关系是怎样的？当方程组无解时，直线1l 与2l 的位置关系是怎样的？师生活动：指导学生分析，找到方程组的解的情况与两条直线位置关系之间的对应关系.学生讨论，在教师的指导下总结.设计意图：.通过问题引起学生对方程组解的个数与直线间位置关系二者之间的联系的思考，使学生理解可以通过解方程组的方法来判断直线的位置关系.问题3：根据对问题2的研究，我们可以怎么样判断直线1l 与直线2l 的位置关系？师生活动：学生思考、讨论交流，总结结论.设计意图：对问题2的探究进行总结归纳，同时得到判断两直线位置关系的方法．问题4：你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会？师生活动：学生思考、讨论交流，教师总结.设计意图：让学生回忆使用斜率的方法解决本题，并与解方程组的方法进行比较，体会两种方法的联系与区别：用斜率判断和解方程组判断这两种方法都是通过代数方法研究直线与直线的位置关系.用斜率容易判断直线与直线的平行或相交（垂直），但无法直接得出相交时两直线的交点坐标.（2）两点间的距离公式我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的.所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.下面我们就来研究这个公式.请同学们阅读教科书第72页的探究部分：如图2.3-2，已知平面内两点111222()()P x ,y ,P x ,y ，如何求1P ，2P 间的距离12PP ？问题1：此公式与两点的先后顺序有关吗？师生活动：学生思考、讨论交流. 设计意图：通过问题，使学生明确公式与点的顺序无关，从而加深对公式的理解. 问题2：当直线12P P 平行于x 轴时，12PP 怎么表示？当直线12P P 平行于y 轴时，12PP 怎么表示？师生活动：学生思考、讨论交流.设计意图：两点间距离公式适用于两个点在平面内任意位置的问题，使学生明确公式与点的顺序无关.问题3：你能利用111222()()P x ,y ,P x ,y 构造直角三角形，再用勾股定理推到两点间距离公式吗？师生活动：学生思考、讨论交流，教师总结.设计意图：先引导学生如何构造直角三角形，再利用分类讨论思想，使用勾股定理推导出两点间的距离公式，并与向量法的推导形成对比，让学生体会方法的不同.（三）概念的巩固应用例1.求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：12:3420,:220.+-=++=l x y l x y师生活动：学生分析解题思路，并尝试写出解题过程.教师可以根据学生的解题过程是否规范，条理是否清楚进行讲解.设计意图：利用例1使学生明确求交点坐标的方法，会使用解方程组的方法求解两条直线的交点坐标，并能根据直线方程画出图形.例2.判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标：（1）12:0:3100;l x y l x y -=+3-=，，（2）12:340:6210;l x y l x y -+=--=，（3）12:3450:68100.l x y l x y +-=+-=，师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.设计意图：利用例2使学生巩固利用方程组解的个数判断两直线位置关系的方法. 练习2.分别判断下列直线的位置关系,若相交,求出它们的交点.(1)12:27:3270l x y l x y -=+-=和;(2)12:2640:41280l x y l x y -+=-+=和;(3)12:4240:23l x y l y x ++==-+和.师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．设计意图：利用与例2完全类似的问题，有针对性的对判断两直线位置关系的方法进行巩固.例3.已知点2()1,A -，(2),7B ，在x 轴上求一点P ,使PA PB =，并求PA 的值. 师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.设计意图：通过例3使学生巩固两点间距离公式，以及学会将已知条件中的几何关系转化为代数语言.除此之外，也培养学生的数学运算的素养..练习3.已知点(3),6A ，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标．师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．设计意图：利用与例4完全类似的问题，有针对性的对例题进行巩固.例4.用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍教师引导学生分析解题思路，与学生共同完成解题过程，并向学生提出以下问题：问题1：证明过程的第一步是什么？问题2：建系后的步骤是什么？问题3：写出点的坐标后，应继续做什么？问题4：用坐标进行代数运算后的步骤是什么？问题5：通过这个例题，我们利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤应该是怎样的？问题6：根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法？师生活动：学生阅读证明过程，教师以问题串的形式向学生提出问题，学生交流讨论，教师归纳总结.设计意图：问题1，2,3，4,5的作用是引导学生注意解题步骤，并启发学生概括出坐标法解决平面几何问题的基本步骤；问题6引导学生明白，对于同一个问题，建系的方法并不唯一，但是我们应该选择更有利于我们运算的坐标系.比如，建系时可以利用相互垂直的两直线作为坐标轴；应该让几何图形的边或顶点等几何元素更多的位于坐标轴上；也可以利用几何图形的对称性，以对称轴为其坐标轴；等等.△的形状．练习4.已知点(3),(3,3),--，判断ABC,1(1,7)A B C师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．设计意图：通过练习4，使学生巩固用坐标法解决平面几何问题的基本思想，本题可以使用两种不同的方法进行解决，通过一题多解，拓宽学生的思维，提升学生逻辑推理的数学素养.（四）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识，本节课我们学习了以下问题：（1）求两条直线的交点坐标；（2）判断两直线的位置关系；（3）两点间的距离公式；（4）用坐标法解决平面几何问题.设计意图：从方法以及公式两个方面对本节课的知识进行归纳小结，使学生从整体上把握本节课所学的知识.布置作业：教科书第72页，练习1,2,3；教科书第74页，练习1,2,3.。

2.3.3点到直线的距离公式-高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)

.
当 = ，或 = 时，上述公式仍然成立.
课本P77 练习
2．求下列点到直线的距离:
(1)(− ，)，： + + = ；
(2)(，)，： + − = ；
(3)(， − )，： + = .
课本P77 练习
3．已知点(− ，)到直线： − + = 的距离为1，求的值.
−1 + 0 − 4
5
ℎ=
=
2
12 + 12
1
5
2
因此， = × 2 × = 5
2
2
y
A
2
1
h
B
C
-1 O
1
2
3
x
利用两点距离公式求三边长度
利用余弦定理求角
利用正弦定理面积公式进行计算
点 , 到直线： + + = 的距离
=
+ +
+
代入上式，得 ⋅ =
l
P

+
因此 = = ⋅ =
− − −
+ +
+
.
P1
x
上述两种方法：
第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算
得到结果，思路自然；
第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算．
y
P
l
Q
O
x
问题1 我们该如何求到直线的距离？
首先，作图，先做出点到直线的距离
如图，点到直线的距离，就是从点到直线的垂
y

两点间的距离公式(同步课件)-2024-2025学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)

(1 + 3)2 +(7 − 1)2 = 52 = 2 13，
|BC| =
(1 − 3)2 +(7 + 3)2 = 104 = 2 26.
∴|AB|2 + |AC|2 = |BC|2 ，且|AB| = |AC|，∴∆ABC是等腰直角三角形.
(2)∵S∆ABC =
1
|AC|
2
1
2
∙ |AB| = × ( 52)2 = 26，
第二章
直线和圆的方程
2.3.2两点间的距离公式
复习导入
直线的方程
点斜式
直线方程
已知条件
适用条件
斜截式
两点式
截距式
一般式
− 0 = ( − 0 )
= +
− 1
− 1
=
2 − 1 2 − 1

+ =1

Ax+By+C=0
(A,B不同时为0)
直线上一定点
y
y
P2 (x2，y2)
y
P1 (x1，y1)
P2 (x2，y2)
P1 (x1，y1)
O
①
P1 (x1，y1)
x
|1 2| = |2 − 1 |
O
x
②
|1 2| = |2 − 1 |
两点间的距离公式：|1 2 | =
Q (x2，y1)
P2 (x2，y2)
O
|1 2 | =
③
x
练习巩固
练习2：试在∆ABC中，AD是边BC上的中线.求证：|AB|2 + |AC|2 = 2(|AD|2 + |DC|2 ).