图像变换理论
图象变换-概念.
时域和频域之间的变换可用数学公式表示如下：
正变换
f ( f ) A( f ),( f ) 逆变换
为能同时表示信号的振幅和相位，通常采用复数表示
法，因此可用复数表示为
数
字
图
正变换
f ( f ) F( f )
象
逆变换
处 完成这种变换，一般采用的方法是线性正交变换。
理
图象变换－通用描述
通用公式（一维）－正变换，
N 1
T (x, v) f (x, y)g2 ( y, v) y0
N 1
数
T (u, v) T (x, v)g1(x, u)
字
x0
可分离的和对称核－
图 利用矩阵的优点：得到 T AFA
象 的变换矩阵可分解成若 BTB BAFAB
处 干个具有较少非零元素 B A1 F BTB
理
的矩阵乘积，可以减少
以上一维傅立叶变换可以很容易地推广到二维，如果 二维函数f(x, y)满足狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶变换 对为
F[ f (x, y)] F (u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy
F 1[F (u, v)] f (x, y) F (u, v)e j2 (uxvy)dudv
（有益于处理）；正交变换的特点是在变换域中，图
像的能量集中分布在低频部分，边缘和线信息反映在
数 高频成分上。
字
变换的实例－对数变换（乘除变为加减）；拉氏变换 （微分方程的求解）；傅立叶变换（频谱分析和滤
图 波）。
象
图像变换的应用－图像增强、恢复、特征提取、压缩 和形状分析。
处 常见变换－沃尔什－哈达玛；哈尔变换；离散余弦变
图像灰度变换 原理
图像灰度变换原理
图像灰度变换是一种图像处理的方法，通过改变图像的灰度级别来增强或调整图像的显示效果。
其原理是对图像中的每个像素点进行灰度级别的转换。
常用的灰度变换函数有线性灰度变换、非线性灰度变换和直方图均衡化。
线性灰度变换是指通过线性映射将原图像的灰度级别转换为新的灰度级别。
常见的线性灰度变换函数有平移、缩放和对比度调整。
平移是将当前灰度级别加上一个偏移量，从而改变整个图像的亮度。
缩放是将灰度级别乘上一个缩放因子，从而调整图像的对比度。
对比度调整是通过同时进行平移和缩放，改变图像的亮度和对比度。
非线性灰度变换是指通过非线性函数将原图像的灰度级别转换为新的灰度级别。
常见的非线性灰度变换函数有幂律变换和对数变换。
幂律变换是通过对原图像的每个像素点进行幂次运算，从而调整图像的亮度和对比度。
对数变换是将原图像的灰度级别取对数，从而改变图像的亮度和对比度。
直方图均衡化是一种将原图像的灰度级别映射到均匀分布的灰度级别上的方法。
其原理是通过计算原图像的灰度直方图，并根据直方图进行灰度级别的重新分布。
这样可以增强图像的对比度和细节，并改善图像的视觉效果。
通过灰度变换，可以调整图像的亮度、对比度、色彩等特性，从而改善图像的视觉效果、增强图像的细节和信息。
在图像处
理和计算机视觉领域，灰度变换是一种常用的图像增强和预处理方法。
第4章 图像变换 (1)
数字图像处理
数字图像处理
• 图像（正交）变换广泛地应用在图像增强、
图像复原、特征提取、图像识别和图像编码压 缩等处理中。
• 常用(正交)变换：
– 傅里叶变换 – 离散余弦变换 – 小波变换 – 离散K-L变换
• 典型变换：
– 傅里叶变换——频率域
傅里叶变换
数字图像处理
• 法国数学家傅里叶
• 任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/ 或余弦和的形式，每个正弦和/或余弦乘以不同 的系数（傅里叶级数）。
相位谱(相位角)：(u, v) arctan[I (u, v) R(u, v)]
功率谱(谱密度)：P(u, v) F(u, v) 2 R2 (u, v) I 2 (u, v)
数字图像处理
(2) 二维傅里叶变换举例
例：给定二维方波 f (x,y) 如图4-3（教材图3-19） 所示，求其傅里叶变换F(u,v)。
复数表示： F(u) = R(u) + j I(u)
指数表示： F(u) F(u) e j(u)
幅度谱：
F (u)
1
R2 (u) I 2 (u) 2
相位谱： (u) arctan[I (u) / R(u)]
功率谱（谱密度）： P(u) F(u) 2 R2 (u) I 2 (u)
1
数字图像处理
(3) 一维离散傅里叶变换(DFT)
一维离散傅里叶变换公式为：
F (u)
1
N 1
j 2ux
f (x)e N
N x0
逆变换为：
N 1
j 2ux
f (x) F (u)e N
u0
u 0,1,, N 1
x 0,1,, N 1
图像变换
如普通坐标系的点(2,3)的齐次坐标可以是：
(1,1.5,0.5)，(4,6,2)，(6,9,3)等。
普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”
普通坐标w =>齐次坐标 齐次坐标/w =>普通坐标 当w = 1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”
f(x,y) 减去背景图像b(x,y) g(x,y) 添加蓝色背景
图像的错切效果
在这个错切变换中，蒙娜丽莎的图像被变形，但是中心的 纵轴在变换下保持不变。（注意：角落在右边的图像中被 裁掉了。）蓝色的向量，从胸部到肩膀，其方向改变了， 但是红色的向量，从胸部到下巴，其方向不变。因此红色 向量是该变换的一个特征向量，而蓝色的不是。因为红色 向量既没有被拉伸又没有被压缩，其特征值为1。所有沿着 垂直线的向量也都是特征向量，它们的特征值相等。它们 构成这个特征值的特征空间。
=
图像的或运算
模板运算：提取感兴趣的子图像
=
图像的与运算
0 1＝0 1 0＝0 0 0＝0 求两个子图像的相交子图
1 1＝1
^
= 模板运算：提取感兴趣的图像^=图像加法运算举例
＋
＝
图像加法运算举例
图像加法运算举例
图像加法运算举例
图像减法运算举例
=
图像减法运算举例
因为前n个坐标是普通坐标系下的n维坐标。
图像的仿射变换
—— 齐次坐标的特点
(x,y)点的齐次坐标为（xw，yw,w) xw=wx，yw=wy,w≠0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线 ：
xw yw
wx wy
zw
图像变换原理
图像变换原理图像变换是一种通过改变图像的像素值或空间关系，以得到新的视觉效果或数据表示的技术。
它在计算机图形学、计算机视觉、图像处理等领域中具有重要的应用。
图像变换可以分为两类：几何变换和像素变换。
几何变换是通过改变图像的形状、位置、大小或者方向来实现的。
常见的几何变换包括平移、旋转、缩放和错切等操作。
平移是通过将图像在水平和垂直方向上的像素值进行移动来实现的，旋转是将图像绕着某个中心点旋转一定角度，缩放是通过改变图像的像素间距来改变图像的大小，而错切是通过改变图像像素之间的相对位置来改变图像的形状。
像素变换是通过改变图像的像素值来实现的。
常见的像素变换包括亮度调整、对比度调整、颜色空间转换和直方图均衡化等操作。
亮度调整是通过改变图像的亮度值来调整图像的明暗程度，对比度调整是通过改变图像的像素值范围来调整图像的清晰程度，颜色空间转换是将图像从一个颜色空间转换到另一个颜色空间，而直方图均衡化是通过改变图像的像素分布来增强图像的对比度和细节。
图像变换的原理主要包括以下几个方面：1. 像素级处理：图像变换是在图像的每个像素上进行的，通过改变每个像素的数值或颜色来实现图像的变换。
2. 空间转换：图像变换可以在图像的整个空间范围内进行，也可以只在图像的局部区域进行。
3. 插值方式：在对图像进行变换时，需要对新像素的像素值进行估计。
插值是一种常用的方法，通过对周围已知像素的像素值进行加权平均或其他数学处理来估计新像素的像素值。
4. 变换模型：不同的图像变换可以使用不同的数学模型来描述。
常见的变换模型包括仿射变换、透视变换和非线性变换等。
图像变换的原理和方法是计算机图形学和图像处理领域的基础知识，它为我们理解图像的特征提取、目标识别、图像增强和图像生成等问题提供了重要的工具和思路。
随着计算机技术的不断发展，图像变换的应用和研究也在不断深入和扩展，为我们实现更加丰富多样的图像处理和图像生成效果提供了可能。
图像的几何变换
1.1齐次坐标
这种用n＋1维向量表示n维向量的方法称为齐次坐标表 示法。 因此，2D图像中的点坐标(x, y)通常表示成齐次坐标 （Hx, Hy, H），其中H表示非零的任意实数，当H＝1 时，则(x, y, 1)就称为点(x, y)的规范化齐次坐标。 由点的齐次坐标（Hx, Hy, H）求点的规范化齐次坐标(x, y, 1)，可按如下公式进行：
1、几何变换基础
几何变换常用于摄象机的几何校正过程，这对于利用 图像进行几何测量的工作是十分重要的。 如：仿射变换（Affine Transformation），它属于射 影几何变换，多用于图像配准（Image Registration） 作为比较或匹配的预处理过程； 图像卷绕（Image Warping），即用控制点控制变换 过程，通过插值运算，将一幅图像逐渐变化到另一幅 图像的图像变形（Morphing）过程是其典型的应用， 多见于影视特技及广告的制作。
1.1齐次坐标
设点P0(x0,y0)进行平移后，移到P(x,y),其中x方向的 平移量为x,y方向的平移量为y。那么，点P(x,y) 的坐标为：
x x0 x y y0 y
这个变换用矩阵的形式可以表示为：
x 1 y 0
其中fx,fy>1为放大， fx,fy<1 为缩小。
2、图像比例缩放
放大 后
(x , y) (x0 , y0 ) O x
缩放 前 y
2、图像比例缩放
比例缩放所产生的图像中的像素可能在原图像中找不 到相应的像素点，这样就必须进行插值处理。 插值处理常用的方法有两种， 一种是直接赋值为和它 最相近的像素值；另一种是通过一些插值算法来计算 相应的像素值。 前一种方法计算简单， 但会出现马赛克现象；后者处 理效果要好些，但是运算量也相应增加。 在下面的算法中直接采用了前一种做法。实际上，这 也是一种插值算法， 称为最邻近插值法（Nearest Neighbor Interpolation）。
图像几何变换的原理及应用
图像几何变换的原理及应用1. 引言图像几何变换是指通过对图像进行旋转、平移、缩放和仿射变换等操作，改变图像的位置、大小和形状，以达到特定的目的。
在计算机视觉、图像处理和计算机图形学等领域中，图像几何变换被广泛应用于图像的校正、增强、变换和特征提取等任务。
2. 原理图像几何变换的原理基于几何学的相关理论。
对于二维图像来说，可以通过变换矩阵对图像进行坐标变换，从而实现图像的几何变换。
以下是常见的图像几何变换操作及其原理：2.1 旋转旋转是指将图像按一定角度绕某个中心点进行旋转变换。
旋转操作可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 00 0 1其中，θ表示旋转的角度。
通过对每个像素进行坐标变换，可以实现图像的旋转。
2.2 平移平移是指将图像沿着水平或垂直方向进行平移操作，即改变图像的位置。
平移操作可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：1 0 tx0 1 ty0 0 1其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴上的平移距离。
通过对每个像素进行坐标变换，可以实现图像的平移。
2.3 缩放缩放是指改变图像的尺寸大小。
缩放操作可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：sx 0 00 sy 00 0 1其中，sx和sy分别表示在x轴和y轴上的缩放比例。
通过对每个像素进行坐标变换，并根据缩放比例进行采样，可以实现图像的缩放。
2.4 仿射变换仿射变换是指通过线性变换和平移来对图像进行变换。
仿射变换可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：a11 a12 txa21 a22 ty0 0 1其中，a11、a12、a21和a22分别表示仿射变换的线性变换部分，tx和ty分别表示平移部分。
通过对每个像素进行坐标变换，并根据变换矩阵进行计算，可以实现图像的仿射变换。
3. 应用图像几何变换在各个领域中有着广泛的应用，以下列举了一些常见的应用场景：3.1 图像校正在图像处理中，由于各种因素的影响，例如相机畸变、透视变换等，图像可能会出现失真或畸变。
图像的几何变换
3.2 图像的镜像变换
1． 理论基础
图像的镜像变换分为两种：一种是 水平镜像,另一种是垂直镜像。
图像的水平镜像操作是以原图像的 垂直中轴线为中心，将图像分为左右两 部分进行对称变换；
以此类推。在原图基础上，每行隔一个像素取一 点，每割一行进行操作。如下图3-4所示。
●●
●
●●
（a）原图中的某4个像素 素
（b）对应新图的1个像
从上可见图，3-放4 大图像与缩缩小示小意的图原理不同。
2. 理论验证
（a）原图
（b）长宽缩小0.5倍的效果图
(c）长宽各放大2倍的效果图
3.流程设计
(1) 取得原图的数据区指针。 (2) 通 过 对 话 框 获 得 放 大 整 数 比 例 ：
1. 理论基础
tx
坐标原点
(x0,y0)
ty
(x1,y1)
图3-1 像素平移示意图
显然（x0,y0）和（x1,y1）的关系如下：
x1=x0+tx y1=y0+ty
2. 理论验证
x
(y
3. 流程设计
(1) 取得原图的数据区指针。 (2) 通过对话框输入偏移量tx,ty。 (3) 开辟一个同样大小的缓冲区。 (4) 对原图依次循环每个像素，每读入一
第3章 图像的几何变换
本章要点：
➢ 图像的平移 ➢ 图像的镜像变换 ➢ 图像的缩放 ➢ 图像的转置 ➢ 图像的旋转
3.1 图像的平移
1. 理论基础
图 像 平 移 （ Translation ） 是 将 图 像中所有的点都按照指定的平移量,进 行水平、垂直移动。
10、图像的几何变换——平移、镜像、缩放、旋转、仿射变换
10、图像的⼏何变换——平移、镜像、缩放、旋转、仿射变换1.⼏何变换的基本概念 图像⼏何变换⼜称为图像空间变换，它将⼀副图像中的坐标位置映射到另⼀幅图像中的新坐标位置。
我们学习⼏何变换就是确定这种空间映射关系，以及映射过程中的变化参数。
图像的⼏何变换改变了像素的空间位置，建⽴⼀种原图像像素与变换后图像像素之间的映射关系，通过这种映射关系能够实现下⾯两种计算：原图像任意像素计算该像素在变换后图像的坐标位置变换后图像的任意像素在原图像的坐标位置对于第⼀种计算，只要给出原图像上的任意像素坐标，都能通过对应的映射关系获得到该像素在变换后图像的坐标位置。
将这种输⼊图像坐标映射到输出的过程称为“向前映射”。
反过来，知道任意变换后图像上的像素坐标，计算其在原图像的像素坐标，将输出图像映射到输⼊的过程称为“向后映射”。
但是，在使⽤向前映射处理⼏何变换时却有⼀些不⾜，通常会产⽣两个问题：映射不完全，映射重叠映射不完全输⼊图像的像素总数⼩于输出图像，这样输出图像中的⼀些像素找不到在原图像中的映射。
上图只有(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)四个坐标根据映射关系在原图像中找到了相对应的像素，其余的12个坐标没有有效值。
映射重叠根据映射关系，输⼊图像的多个像素映射到输出图像的同⼀个像素上。
上图左上⾓的四个像素(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)都会映射到输出图像的(0,0)上，那么(0,0)究竟取那个像素值呢？要解决上述两个问题可以使⽤“向后映射”，使⽤输出图像的坐标反过来推算改坐标对应于原图像中的坐标位置。
这样，输出图像的每个像素都可以通过映射关系在原图像找到唯⼀对应的像素，⽽不会出现映射不完全和映射重叠。
所以，⼀般使⽤向后映射来处理图像的⼏何变换。
从上⾯也可以看出，向前映射之所以会出现问题，主要是由于图像像素的总数发⽣了变化，也就是图像的⼤⼩改变了。
在⼀些图像⼤⼩不会发⽣变化的变换中，向前映射还是很有效的。
第4章图像变换(Image Transform)
例4.1一个简单二维函数的中心谱。 图4.1（a）显示了在 512 512 像素尺寸的黑色 背 景 上 叠 加 一 个 20 40 像 素 尺 寸 的 白 色 矩 形 。
图4.1（a）
4.2 离散傅里叶变换（Discrete Fourier
Transform）
此图像在进行傅里叶变换的计算之前被乘以 1x y ，从
d xd y
（4.8）
F
1
F (u, v)
f ( x, y )
F (u, v) e
j2 ux vy
dudv
（4.9） 式中 u、v是频率变量。与一维的情况一样， 二维函数的傅里叶谱、能量和相位谱为:
4.1 连续傅里叶变换的定义 (Definition of Continuous Fourier Transform)
每1列求变换再乘以 N
e
x 0
N 1
j 2ux / N
y 0
N 1
f x, y e j 2vy / N
1 N 1 j2 vy / N F ( x, v) N f x, y e N y 0
v 0,1,, N 1
再对 F
数字图像处理
武汉理工大学 信息学院
第4章图像变换(Image Transform)
4.1 连续傅里叶变换 4.2 离散傅里叶变换 4.3 快速傅里叶变换 4.4 傅里叶变换的性质 4.5 图像傅里叶变换实例 4.6 其他离散变换
一、 图象变换的引入 1. 方法：对图象信息进行变换，使能量保持但重新分配。 2. 目的：有利于加工、处理[滤除不必要信息(如噪声)， 加强/提取感兴趣的部分或特征]。 二、 方法分类 可分离、正交变换: 2D-DFT , 2D-DCT , 2D-DHT, 2D-DWT 。
计算机视觉技术中的变换与旋转算法详解
计算机视觉技术中的变换与旋转算法详解计算机视觉是一门研究如何使计算机“看”和理解图像和视频的学科。
其中，变换与旋转算法是非常重要的技术之一。
变换与旋转算法可以将图像进行变形、旋转、缩放等操作，以实现图像处理、图像识别、图像增强等应用。
本文将详细介绍计算机视觉技术中的变换与旋转算法。
一、图像变换算法图像变换算法是指将原始图像进行变形，包括平移、缩放、剪切等操作。
根据需求，可以使用不同的变换算法来处理图像。
1. 平移变换算法平移变换是指将图像在二维平面上沿x轴和y轴方向进行移动。
平移变换的算法是通过改变图像每个像素的坐标来实现的。
具体算法如下：- 假设需要将图像沿x轴平移tx，y轴平移ty个单位，新坐标为(x', y')；- 新坐标(x', y') = 原始坐标(x, y) + (tx, ty)；- 对于所有的像素，根据上述算法计算新的坐标。
2. 缩放变换算法缩放变换是指改变图像的大小，可以放大或缩小图像。
缩放变换算法可以通过改变像素的间距来实现。
具体算法如下：- 假设原始图像大小为（m,n），缩放后的图像大小为（m',n'）；- 在缩放后的图像上，每个像素的坐标为（i',j'）；- 根据原始图像和缩放后图像的大小关系，计算新的坐标（i,j）；- 根据新的坐标（i,j），通过双线性插值或最近邻插值等算法计算像素的灰度值。
3. 剪切变换算法剪切变换是指将图像的某一部分裁剪出来并保留。
剪切变换算法可以通过改变像素的选择来实现。
具体算法如下：- 假设需要剪切的区域为[x1, x2, y1, y2]，新的图像大小为（w, h）；- 对于每个像素的坐标（i,j），- 如果新的坐标在[x1, x2, y1, y2]范围内，则保留该像素；- 根据新的图像大小（w, h），计算新的像素坐标。
二、图像旋转算法图像旋转是指将图像在平面上绕某一中心点进行旋转。
图像的几何变换（一）
图像的⼏何变换（⼀）图像的⼏何变换是指改变图像的⼏何位置、⼏何形状、⼏何尺⼨等⼏何特征。
⼀.图像的平移图像平移是将⼀幅图像中所有的点都按照指定的平移量在⽔平、垂直⽅向移动，平移后的图像与原图像相同。
利⽤齐次坐标，变换前后图像上的点P0(x0,y0)和P(x,y)之间的关系可以⽤如下的矩阵变换表⽰为平移变换的⼏点说明：①平移后图像上的每⼀点都可以在原图像中找到对应的点。
对于不在原图像中的点，可以直接将它的像素值统⼀设置为0或这255（对于灰度图就是⿊⾊或者⽩⾊);②若图像平移后并没被放⼤，说明移出的部分被截断，原图像中有像素点被移出显⽰区域。
③若不想丢失被移出的部分图像，则将新⽣成的图像扩⼤。
代码如下：clear all;close all;I = imread('lenna.jpg');delta_x = 10; % ⽔平⽅向的偏移量delta_y = 10; % 垂直⽅向的偏移量[M N] = size(I); % 原图像的宽度和⾼度I2 = zeros(M, N);for x = 1 : Mif x + delta_x <= Mfor y = 1 : Nif y + delta_y <= NI2(x + delta_x, y + delta_y) = I(x, y);endendendendsubplot(1, 2, 1), imshow(I);subplot(1, 2, 2), imshow(uint8(I2));平移后的图像显⽰如下：⼆.图像的旋转⼀般图像的旋转是以图像的中⼼为原点，旋转⼀定的⾓度，即将图像上的所有像素都旋转⼀个相同的⾓度。
图像的旋转变换也可以⽤矩阵变换表⽰。
设点P0(x0, y0)旋转θ⾓后的对应点为P(x, y)，则变换公式为：或者是利⽤公式进⾏图像旋转变换时，需要注意如下两点：①为了避免图像信息的丢失，图像旋转后必须进⾏平移变换。
②图像旋转之后，会出现许多空洞点，我们必须对这些空洞点进⾏填充处理，否则图像旋转后的效果不好,⼀般也将这种操作称作为插值处理。
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（4）
f
(x1 ) x1
2
x2
f
(x2 a
)
注意：从代数到图形，从图形到代数，即代数
图形，即为数形结合
本质：同一事物的不同表现形式。
（5）讲解例题把握：运算的本质是位置
这个位置是 x1
这个位置是 x29 - 让每个人平等地提升自我例如：f（7+x） = f（3-x）
这个位置是 y1
变换的题型： 2、已知新函数、及变换 过程，求原函数
3、已知原函数，及新函 数，求变换过程
解决变换问题的基本步骤：
，知二求一
第一步：第二步：找出原自变量（用 t 表示），新自变量（用 x 表示） 第三步：列出原自变量 t 与新自变量 x 之间的关系式，解出 x， 根据题目要求，看着 x 与 t 的关系式说话 三、伸缩变换
如何把图形表达成代数，步骤如下： ①图形由点组成 ②点放入坐标系，存在有序数对（x，y） ③有序数对（x，y）可以写成方程 4、轴对（1） 判断轴对称图形
（2） 已知对称轴找对称点（已知：x0=a，则两个对称点：a+x，a-x） （3）已知对称点找对称轴
例：已知二次函数
f（x1）=f（x2），则对称轴：
x0
x1
2
x2
,
5、放入到直角坐系：用对称点表达对称轴（图形由点组成：在直角坐标系中：
点可以用有序数对表达，有序数对可以写成方程。对称轴（x0=a）⊥x 轴，对称 点写成坐标。）（图形）
y
(x2,f(x2))
O
（x1,f(x1)）
x
对称轴x= x1+x2 2
(x,
)
2、同理
自变量相同 函数值减少了 2
过（x，
） 图像向下平移 2 个单位
(x,
)
3、同理
自变量相同 函数值增加了 1
过（x， ）
图像向上平移 1 个单位 (x,推广到一般函数：
函数值增加了 k
过（x， ） 图像向上(下)平移∣k∣个单位 (x,
过(t, )
图像关于 y 轴对称
如上右图：
自变量互为相反数
y
(-t, )
x O
结论：函数
与
11
的图像关于 y 轴对称。
例题：关于 x 轴对称 1、
过(t, )如图： - 让每个人平等地提升自我函数值互为相反数 图像关于 x 轴对称 自变量相同
y
(t, )
x O
2、 推广到一般函数
函数值互为相反数
第一步：
向右平移 个单位
原函数
改为
新函数
原自变量 t
解出
代入原函数解析式
原自变量对应原函数
验证了左加右减
新自变量 x
新自变量对应新函数
第二步，自变量不变，函数值增加 1，得到
所以，新函数的解析式为
。
练习：将函数
得到的函数解析式。
的图像向左平移 个单位，再向下平移 2 个单位，求
例 3：已知变换过程B(x2,f(x2))
A（x1,f(x1)）
x1+x2 f(x1)+f(x2)
M( ,
)
2
2
2、特点：对称中心是对称点连线的中点 3、转化为代数：为解析几何打下基础，体现了代数与图形的统一。
如何把图形表达成代数，步骤如下： （1）图形有点组成 （2）点放入坐标系，存在有序数对（x，y） （3）有序数对（x，y）可以写成方程 4、放入到直角坐标系；用对称点表达对称中心（图形有点组成：在直角坐标系 中：点可以用有序数对表达，有序数对可以写成方程 A（x1，y1），B（x2，y2）关 于点 M（a，b）中心对称（图形）
A（x1,f(x1)）
y
B(x2,f(x2))
x1+x2 f(x1)+f(x2)
M( , 2
2
)x
O
（1）任取 A、B 对称点代表着图形内所有的点，A、B 两点关于点 M（a，b）中心
对称。
（2）因为 A、B 两点关于点 M（a，b）中心对称，所以的 A、B 两点横坐标、纵
坐标被 M（a，b）平分。因此在数轴上，a，b 分别为中点 x1，x2，即 y1，y2 的中
（1）任取 A、B 对称点代表着图形内所有的点，A、B 两点关于 x0=a 对称。 （2）对于函数，其对称轴一般为 x0=a，即对称轴 x0=a⊥x 轴，又 AB∥x 轴， 从而 AB⊥对称轴 x0=a 这条直线。因此，y1=y2，等价于 AB⊥对称轴 x0=a。 （3）A、B 两点被直线 x0=a 垂直平分。因此在数轴上，a 为中点。 即：a-x1=x2-a，得到：2a= x1+x2，从而 x1 x2 a （定值）过(来自, )图像关于 x 轴对称
如图：
自变量相同y
x,f(x)
x O
x,-f(x)
结论：函数
与
3、
的图像关于 x 轴对称。
过(t, )
图像不变
如图：
y
图像关于 y 轴对称
y
y = 2x
x O
推广到一般x0= 7 x 3 x =5 2
y0= f (7 x) f (3 x) 6 =3
2
2
即对称中心为（5,3）
特例： 奇函数：对称中心为（0,0）（由一般到特殊）（图形）
y
O (0,0)
y1=y2，即 f（x1）=f（x2）； x1 x2 0, x0=0，x1=-x2； 2
这个位置是 y1
这个位置是 y2
偶函数：
f
x1 ( x1 )
x2 f(
0 x2
)
结论：一般地轴对称：（4）
f
(x1 ) x1
2
x2
f
(x2 a
)
特例：偶函数即为自变量为互为相反数，函数值不变（图形）
看关系说话：新自变量 x 由原自变量 t+2（向右平移）得到 ，所以
把原函数图像向右平移 2 个单位得到新函数图像。
3、
自变量增加 2
过(t,
) 图像向左平移 个单位 ( ,
函数值相同
)令 2t=
,
这两个位置相同
原函数
改为
(区别新函数的自变原自变量 t 2t=
将函数 数图像与 分析：第一步：
的图像向右平移 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的函
的图像重合，求函数
的解析式。
图像向下平移 1 个单位
所以
图像向右平移改为
新函数
原自变量 t
解出
代入新函数解析式
新自变量对应新函数
新自变量 x
原自变量对应原函数
即 x=
新自变量 x (运算的本质是位置)
看关系说话：新自变量 x 由原自变量 （向左平移）得到 ，所以 把原函数图像向左平移 个单位得到新函数图像。
推广到一般函数 ：
自变量变化了 k
过(t, ) 图像向(左)右平移∣ k∣个单位 (t-k, )令 t=x+k,
函数值相同
这两个位置相同
原函数
改为
(区别新函数的自变量 x)
即就是偶函数图像关于 y 轴对称。
y
(x2,f(x2))
（x1,f(x1)）
x O
对称轴x= x1+x2 =0 2
例题：关于 y 轴对过(t, )
图像关于 y 轴对称
如图：
自变量互为相反数
y
(-t, )
x O
2、 推广到一般函数
函数值相同
所以，得到原函数的解析式为
。
练习：将函数
的函数图像与
的图像向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到
的图像重合，求函数
的解析式。
四、 轴对称图形：把握两点 1、几何特点：图形沿对称轴轴折叠------重合（图形）
对称轴
2、本质特征：对称轴垂直平分对称点连线 3、转化为代数：为解析几何打下基础，体现了代数与图形的统一。
看关系说话：新自变量 x 由原自变量 t-1（向左平移）得到 ，所以
把原函数图像向左平移 1 个单位得到新函数图像。
2、同理：
自变量增加 2
过(t,
) 图像向右平移 2 个单位 (t+2,
函数值相同
)令 t=x-2,则 x=t+2
这两个位置相同
原函数
改为
新函数
(区别新函数的自变量 x)
原自变量 t
t=x-2 即 x=t+2 新自变量 x (运算的本质是位置)
过(t, )
图像不变
图像关于 y 轴对折
y
x O
结论：
4、
图像不变 图像沿 y 轴对折
过(t, ) 如图：
图像不变 图像沿 x y
x
x
O
推广到一般函数：
过(t, )
图像不变
图像关于 x 轴对折
y
x O
结论：
图像不变 图像关于 x 轴对折
五、中心对称图形 1、几何特征：沿对称中心图像变换
图像变换的本质即就是图像上的点的变换。
一、上下平移变换：
1、 将函数
的图像经过怎样的变换得到函数
的图像？
过（-1， ）
过（0， ）
过（1, ） 过（2, ）
函数值增加了 1
………
过(x, ) 图像向上平移 1 个单位
(-1，
)
（0，
）
（1,
）
（2，
）
………
自变量缩短一半
过(t, ) 纵坐标不变，横坐标缩短为原来一半 ( ,
函数值相同
)令 2x= ,则 x=
这两个位置相同
原函数