高考试卷-高三数学九月联考试题 理.doc
上海市青浦高级中学2024-2025学年高三上学期9月考试数学试卷(含答案)
上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测高三 数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．直线的倾斜角大小为__________．2．在的展开式中，含项的系数为__________．3．已知集合，集合，则__________．4．若关于x ，y 的方程组有唯一解，则实数a 满足的条件是__________．5．已知x ，，则“”是“”的____________________条件．6．已知，的最小值为__________．7．从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为__________．8．已知函数，且，则方程的解是__________．9．已知集合，，若，则m 的取值范围是__________．10．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________．11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上任意一点，M 是线段PF 上的点且，则直线OM 斜率的取值范围是__________．12．对于定义在D 上的函数，若同时满足：（1）对任意的，均有；（2）对任意的，存在，且，使得成立，则称函数10x +=51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 211x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭{1,0,1,2,3}B =-A B = 2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩y ∈R ||||||x y x y -=+0xy <1ab =2249a b +()21xf x -=+2log (1),0()(),0x x g x f x x +≥⎧=⎨-<⎩()2g x =5322A x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭{13,}B x m x m m =+≤≤∈R ∣A B A = 1222(0)y px p =>4PM MF = ()y f x =x D ∈()()0f x f x -+=1x D ∈2x D ∈21x x ≠-()()1122f x x x f x -=-()y f x =为“等均”函数．下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的序号是__________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分．第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．若实数a ，b 满足，则下列不等式中恒成立的是（）A ．B．C ．D ．14．在2022北京冬奥会单板滑雪U 型场地技巧比赛中，6名评委给A 选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分，则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差15．如图所示，在正方体中，M 是棱上一点，若平面与棱交于点N ，则下列说法中正确的是（ ）A ．存在平面与直线垂直B ．四边形可能是正方形C ．不存在平面与直线平行D ．任意平面与平面垂直16．已知无穷数列的各项均为实数，为其前n 项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是（ ）A ．，，，…，为等差数列，，，，…，为等比数列B ．，，，…，为等比数列，，，，…，为等差数列C ．，，，…，为等差数列，，，…，，…为等比数列D ．，，，…，为等比数列，，，…，，…为等差数列三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥中，平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，，，()f x x =1()1x f x x -=+2()f x x =()sin f x x =0a b >>22a b +>22a b +<a b +>a b +<1111ABCD A B C D -1AA 1MBD 1CC 1MBND 1BB 1MBND 1MBND 11A C 1MBND 1ACB {}n a n S 2024k >1k k S S +>1a 3a 5a 21n a -2a 4a 6a 2n a 1a 3a 5a 21n a -2a 4a 6a 2n a 1a 2a 3a 2024a 2024a 2025a n a 1a 2a 3a 2024a 2024a 2025a n a P ABCD -PD ⊥//AB CD 60BAD ∠=︒，．（1）在侧面PBC 中能否作出一条线段，使其与AD 平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；（2）若四棱锥的体积是，求直线BP 与平面PCD 所成角的大小．18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）记为数列的前n 项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、．当车速为v （米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，）阶段0、准备1、人的反应2、系统反应3、制动时间秒秒2AD AB ==4CD =P ABCD -n S {}n a 11a =n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭13{}n a 121112na a a +++< 0t 1t 2t 3t 0d 1d 2d 3d [0,33.3]v ∈[0.5,0.9]k ∈0t 10.8t =20.2t =3t距离米米（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间．（精确到0.1秒）（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆的左、右焦点分别为、、点在椭圆上，且．（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为k 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若，O 为坐标原点，求直线l 的方程；（3）点P 、Q 为椭圆上的两个动点，O 为坐标原点，若直线OP 、OQ 的斜率之积为，求证：为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设函数，直线l 是曲线在点处的切线．（1）当，求单调区间；（2）求证：l 不经过；（3）当时，设点，，，B 为l 与y 轴的交点，与分别表示和的面积．是否存在点A 使得成立？若存在，这样的点A 有几个？020d =1d 2d 23120d v k=()d v 0.9k =2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>1F 2F T ⎛- ⎝124TF TF +=Γ(1,0)Γ35OM ON ⋅=- Γ14-22||||OP OQ +()ln(1)(0)f x x k x k =++≠()y f x =(,())(0)t f t t >1k =-()f x (0,0)1k =(,())(0)A t f t t >(0,())C f t (0,0)O ACO S △ABO S △ACO △ABO △215ACO ABO S S =△△上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测高三 数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．2．53．4．5．必要不充分6．127．8．39．10．1112．①③二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．C 14．D 15．D 16．C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）不能．因为梯形ABCD 中，，，，所以AD 不平行于BC ，则AD 与BC 必相交于一点，设为M ，面，在侧面PBC 中不能作AD 的平行线．（2）过点B 作于H ，连接PH ，因为平面ABCD ，平面ABCD ，所以，所以平面PCD ，所以PH 是BE 在平面PCD 内的射影，所以是直线BP 与平面PCD 所成角，因为中，，，所以是等边三角形，所以，，又因为，所以，所以，所以中，，又因为四棱锥的体积是所以，解得，所以中，，，直线BP 与平面PCD 所成角大小是18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）π6{1,0}-6a ≠2543m ≤58//AB CD 2AB =4CD =AD ∴ PBC M =∴BH CD ⊥PD ⊥BH ⊂PD PH ⊥BH ⊥BPH ∠ABD △2AB AD ==60BAD ∠=︒ABD △60ADB ∠=︒2BD =//AB CD 120ADC ∠=︒60BDC ∠=︒Rt BDH △BH =1DH =P ABCD -111(2332V Sh h ==⋅+=2h =Rt BPH △PH ==BH =tan BH BPH PH ∠===arctan解：（1），当时，，作差，累加得，满足，．（2），．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）由题意得，，当时，，（秒）．（2）根据题意，要求对于任意，恒成立，即对于任意，，即恒成立，由得，，即，解得，（米/秒），（千米/小时），汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时．20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，且．，椭圆的方程．（2）设，，2233n n n n S n n S a a ++=⇒=2n ≥1113n n n S a --+=111n n a n a n -+=-1(1)2n a n n a +=1a n a (1)2n n n a +∴=11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭1211112121na a a n ⎛⎫∴+++=-< ⎪+⎝⎭ 0123()d v d d d d =+++21()2020d v v v k ∴=++0.9k =2()2018v d v v =++20()1112 3.118v t v v =++≥+=+=[0.5,0.9]k ∈()80d v <[0.5,0.9]k ∈21208020v v k ++<2160120k v v <-[0.5,0.9]k ∈111,201810k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2160110v v ∴<-2106000v v +-<3020v -<<020v ∴≤<360020721000⨯=∴ 2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>1F 2F T ⎛- ⎝Γ124TF TF +=21a b =⎧⎨=⎩∴2214x y +=()11,M x y ()22,N x y根据题意得，，与联立，整理可得，根据韦达定理可得①②将①代入②，解得，即直线l 的方程为或．（3）证明：设直线，联立方程组，得，，又直线，同理可得，为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）当时，，得的单调增区间是，单调减区间是．（2），，，整理得，假设l 过原点，，设，，(1)y k x =-2214x y +=22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2222148440k x k x k +-+-=212221228144414k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩()()()()22212121212121231115OM ON x x y y x x k x k x k x x k x x k ⋅=+=+--=+-++=- 1k =±1y x =-1y x =-+:OP y kx =2244y kx x y =⎧⎨+=⎩22414x k =+()()222222241||114k OP x y k x k +∴=+=+=+1:4OQ y x k=-222161||41k OQ k +=+2222222244161205||||5414141k k k OP OQ k k k +++∴+=+==+++1k =-()(1)1x f x x x'=>-+()f x (0,)+∞(1,0)-()ln(1)(0)f x x k x k =++≠()11k f x x∴'=++:[ln(1)]1()1k l y t k t x t t ⎛⎫∴-++=+- ⎪+⎝⎭1ln(1)(0)11k kt y x k t k t t⎛⎫=+-++≠ ⎪++⎝⎭ln(1)0*1t t t -⇒++=+()ln(1)1t F t t t=+-+2211()01(1)(1)t F t t t t '=-=>+++所以在上严格增，，与*式矛盾．所以l 不经过原点．（3），，由（2）知时，，，，，设，，，极大值，极小值，又，所以在上有两个零点．存在点A 使得且点A 有两个．()F t (0,)+∞()0F t ∴>ln(1)1t t t∴+>+(,ln(1))A t t t ++(0,ln(1))C t t ++1k =0,ln(1)1t B t t ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭215ACO ABO S S = △△112||||15||||22OC AC OB AC ∴⨯⋅=⨯2||15||OC OB ∴=15()213ln(1)1t g t t t t =-+++(0)t >222294(21)(4)()(1)(1)t t t t g t t t -+--'==++13613ln 022g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭(4)2013ln 50g =-<40(8)1613ln 903g =-+>()g t (0,)+∞∴215ACO ABO S S =△△。
2025届东北三省9月联考数学试卷+答案
东北三省精准教学2024年9月高三联考数学本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24x A x =<，13log 1B x x=>−，则A B = （ ）A.(0,2)B.(,2)−∞C.(,3)−∞D.∅2.已知5250125(21)x a a x a x a x +=++++ ，则2a =（ ） A.10B.20C.40D.803.已知{}n a 是无穷数列，13a =，则“对任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=+”是“{}n a 是等差数列”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为8m ，高为3m ，则该屋顶的面积约为（ ）A.215πmB.220πmC.224πmD.230πm5.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，若抛物线上一点M 满足||2MF =，60OFM ∠=°，则p =（ ）A.3B.4C.6D.86.如图，3,5A α 是函数sin 6yx π − 图象上的一点，则tan 26πα+=（ ）A.247−B.247C.724−D.7247.已知函数()f x ，对任意的,x y ∈R 都有()2()2()xyf x y f y f x +=+，且(1)2f =，则下列说法不正确．．．的是（ ） A.(0)0f =B.()2xf x 是奇函数 C.()y f x =是R 上的增函数D.()*()2n f n n n =⋅∈N8.已知直线1:50l ax y −+=与直线2:40()l x ay a a +−+=∈R 的交点为P ，则点P 到直线:3l y x =−距离的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量(1,2)a =，(2,1)b =− ，则下列判断正确的是（ ）A.(3,1)a b +=B.(2,2)a b ⋅=−C.a b ⊥D.||||a b =10.现统计具有线性相关关系的变量X ，Y ，Z 的n 组数据，如下表所示：并对它们进行相关性分析，得到11Z b X a =+，Z 与X 的相关系数是1r ，22Z b Y a =+，Z 与Y 的相关系数是2r ，则下列判断正确的是（ ）附：经验回归方程 y bxa =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==−−=−∑∑ ，ay bx =− ，相关系数nx y r =A.10y x =B.222110σσ=C.1210b b =D.21r r =11.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 是菱形，其所在平面为α，且60BAD ∠=°，122AB AA ==.O 是AC ，BD 的交点，P 是平面α内的动点（图中未画出）.则下列说法正确的是（ ）A.若12C P =，则动点P 的轨迹长度为2πB.若190OC P ∠=°，则动点P 的轨迹是一条直线C.若1OP C P =，则动点P 的轨迹是一条直线D.若动点P 到直线1OC 的距离为1，则PA PC +为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z 的实部为2，且z2i+为纯虚数，则复数z =___________.13.已知双曲线22:9C x y −=，点N 的坐标为(,)m n ，其中,{1,2,3}m n ∈，存在过点N 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且点N 为弦AB 的中点，则点N 的坐标是___________.（写出一个符合条件的答案即可）14.已知0a >且0x >时，不等式21e ln()04x a x m a−++>恒成立，则正数m 的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数32()231f x x ax =−+.（1）当1a =时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若0x =是函数()f x 的极小值点，求实数a 的取值范围.16.（15分）某市为了解车主用车的能源类型与对该市交通拥堵感受的关系，共调查了100名车主，并得到如下的22×列联表：觉得交通拥堵觉得交通不拥堵合计 燃油车车主 30 20 50 新能源车车主25 25 50 合计5545100（1）将频率估计为概率，从该市燃油车和新能源车车主中随机抽取1名，记“抽取到燃油车车主”为事件1A ，“抽取到新能源车车主”为事件2A ，“抽取到的车主觉得交通拥堵”为事件1B ，“抽取到的车主觉得交通不拥堵”为事件2B ，计算()11P B A ，()12P B A ，比较它们的大小，并说明其意义；（2）是否有90%的把握认为该市车主用车的能源类型与对该市交通拥堵的感受有关？将分析结果与（1）中结论进行比较，并作出解释. 附表及公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，n a b c d =+++.17.（15分）如图，已知斜三棱柱111ABC A B C −中，侧面11BB C C ⊥侧面11AA B B ，侧面11BB C C 是矩形，侧面11AA B B 是菱形，160BAA ∠=°，22AB BC ==，点E 是棱1AA 的中点.（1）证明：BE ⊥平面11BB C C ； （2）求二面角11A B C E −−的余弦值.18.（17分）已知直线:2l x =经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 且被椭圆C 截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(4,0)P 的动直线m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且直线l 上的点M 满足//AM FP，求证：直线MB 过定点，并求该定点的坐标.19.（17分）二进制是在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，在这一系统中，通常用两个不同的符号0，1来表示数.如果十进制中的整数()1110222{0,1},0,1,,kk k k i n a a a a a i k −−=⋅+⋅++⋅+∈= ，则这个数在二进制下记为110k k a a a a − ，即()101102()k k n a a a a −= .记十进制下的整数n 在二进制表示下的各位数字之和为()n ϕ，即01()k n a a a ϕ=+++ . （1）计算(7)ϕ；（2）证明：(43)(21)1n n ϕϕ+=++； （3）求数列(){}321nϕ⋅−的前n 项和n S .东北三省精准教学2024年9月高三联考数学参考答案及解析1．【答案】A【解析】由题可知(,2)A −∞，(0,3)B =，因此(0,2)A B = . 2.【答案】C【解析】3225C 240a =⋅=.3.【答案】A【解析】对任意的*,m n ∈N ，都有m nm n a a a +=+， 令1m =，可以得到11n n a a a +=+，因此{}n a 是公差为1a 的等差数列； 若21na n =+，则2112a a a +≠+， 故“对任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=+”是“{}n a 是等差数列”的充分不必要条件. 4.【答案】B【解析】由题知，圆锥底面圆半径4m r =，高3m h =⇒母线5m l =， 因此圆锥的侧面积为2π20πm S rl ==.5.【答案】A【解析】||||cos 603p MF MF =+⋅°=. 6.【答案】D【解析】由图可知ππ,π62α−∈， 又因为π3sin 65α −=，所以π4cos 65α−=−， 所以22πππππsin 2cos 2cos sin π732366tan 2πππππ624cos 2sin 22sin cos 32366ααααααααα−+−−−− +==−=−= −+−−−.7.【答案】C【解析】令0x y ==，得到(0)(0)(0)f f f =+，因此(0)0f =，所以选项A 正确；令y x =−，得到02()2()x x f x f x −=−+，即()()22xx f x f x −−=−，所以选项B 正确； 条件可以化为()()()222x y x yf x y f x f y ++=+，记()()2x f xg x =，因此()()()g x y g x g y +=+，()g x x =符合条件，从而()2x f x x =⋅，不是R 上的增函数，所以选项C 不正确； 令x n =，1y =，得(1)2(1)2()n f n f f n +=+，即11(1)()(1)222n n f n f n f ++=+，又1(1)12f =，所以()2n f n是首项为1，公差为1的等差数列，()1(1)12nf n n n =+−⋅=，所以D 选项正确. 8.【答案】D【解析】直线1l ，2l 分别过定点(0,5)A ，(4,1)B −，且互相垂直，所以点P 的轨迹是以AB 为直径的圆（不含点()0,1），这个圆的圆心坐标为()2,3−，半径为圆心到直线l距离为d因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为(0,1)，因此取值范围是. 9.【答案】ACD【解析】根据向量的坐标运算(3,1)a b +=，220a b a b ⋅=−=⇒⊥，||||ab == ，所以选项ACD 正确.10.【答案】ACD【解析】由公式可以得到选项ACD 正确，2221100σσ=，选项B 不正确. 11.【答案】BCD【解析】对于选项A ，点P 的轨迹是以C的圆，其轨迹长度是，所以选项A 错误；对于选项B ，点P 的轨迹是过点1C 且垂直1OC 的平面与α的交线，所以选项B 正确； 对于选项C ，点P 的轨迹是过1OC 的中点且垂直1OC 的平面与α的交线，所以选项C 正确；对于选项D ，空间中到直线1OC 的距离为1的点的轨迹是一个以1OC 为轴的圆柱面，因此点P 的轨迹是一个以O 为中心的椭圆，短半轴长为1，长半轴长a 满足sin 3012a a °⇒，从而半焦距c =，因此点A ，C 为该椭圆的焦点，4PA PC +=，所以选项D 正确. 12.【答案】24i −（5分） 【解析】设z 2i y =+，zi 2it =+（,y t ∈R ，0t ≠），则2i 2i y t t +=−+， 所以2t =−，4y =−，故z 24i =−. 13.【答案】(1,2)（或(1,3)，(2,3)）（5分） 【解析】法一：设()11,A x y ，()22,B x y ，则22119x y −=，22229x y −=，两式相减得到12121212y y y y lx x x x +−⋅+−， 又122x x m +=，122y y n +=，因此AB m k n=， 所以直线AB 的方程为()my nx m n−=−， 与双曲线22:9C x y −=联立得22229m n m x x n n −−+=， 即()2222222221290n m mm n m x x n n n n − −−−⋅−−=， 因此()()()22222222222224490n mn mn m m n n n n−−− ∆=⋅+⋅+>， 整理后得到22n m >.所以点N 的坐标可以为(1,2)，(1,3)，(2,3). 法二：由题意易知，双曲线22:9C x y −=的渐近线为y x =±， 因为,{1,2,3}m n ∈，所以(,)N m n 在双曲线靠原点的一侧， 又因为点N 为弦AB 的中点，故A ，B 一定位于双曲线的两支上， 所以1mn<，即||||m n <. 所以点N 的坐标可以为(1,2)，(1,3)，(2,3). 14.【答案】(0,e]（5分）【解析】将a 视为主元，设21()e ln()(0)4x g a a x m a a=−++>，则21()e ln()ln()e ln()4xx g a a x m x m x m a =−++≥−+=−+，当且仅当21e 4x a a=时取等号，故当0x >时，e ln()0xx m −+>恒成立. 设()e ln()(0)xh x x m x =−+>， 则1()e x h x x m′=−+，()h x ′单调递增，且011(0)e 1h m m ′=−=−， ①若110m−≥，即1m ≥时，则()(0)h x h ′′>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增， 故只需(0)0h ≥，即1ln 0m −≥，解得1e m ≤≤； ②若110m−<，即01m <<时， ()e ln()(1)(1)20x h x x m x x m m =−+>+−+−=−>，即01m <<时，()0h x >恒成立. 综上，m 的取值范围是(0,e]. 15.【答案】（1）(0,1)（5分）（2）(,0)−∞（8分）【解析】解：（1）当1a =时，32()231f x x x =−+，（1分）2()666(1)f x x x x x ′=−=−，（2分）由()0f x ′<解得01x <<，（4分） 所以函数()f x 的单调递减区间为(0,1).（5分）（2）()6()f x x x a ′=−，()0f x ′=时，0x =或x a =. （6分）①若0a <，当x a <或0x >时，()0f x ′>， 当0a x <<时，()0f x ′<， 因此0x =时，函数()f x 取极小值； （8分）②若0a =，当0x <或0x >时，()0f x ′>， 因此0x =不是函数()f x 的极值点； （10分） ③若0a >，当0x <或x a >时，()0f x ′>， 当0x a <<时，()0f x ′<， 因此0x =时，函数()f x 取极大值. （12分） 综上，a 的取值范围是(,0)−∞. （13分） 16.【答案】（1）答案见解析（7分） （2）答案见解析（8分）【解析】解：（1）由题意得()1135P B A =， （2分） ()1212P B A =，（4分）()()1112P B A P B A >，（5分）说明从抽样情况来看，燃油车车主觉得交通拥堵的比例比新能源车车主觉得交通拥堵的比例更高.（7分）（2）22100(30252025)1001002.7065545505011999χ××−×===<××××，（10分）因此没有90%的把握认为该市车主用车的能源类型与是否觉得该市交通拥堵有关， （12分） 说明调查人数太少，（1）中的结论不具有说服力，需要调查更多车主. （15分）17.【答案】（1）证明见解析（6分）（2（9分）【解析】（1）证明：因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC BB ⊥，（1分）又因为侧面11BB C C ⊥侧面11AA B B ，平面11BB C C 平面111AA B B BB =， 所以BC ⊥平面11AA B B ，（3分） 因为BE ⊂平面11AA B B ，所以BC BE ⊥.（4分）菱形11AA B B 中，160BAA ∠=°，所以1AA B △是等边三角形， 又E 是1AA 的中点，所以1BE AA ⊥，得1BE BB ⊥， （5分）又1BB BC B = ，1BB ，BC ⊂平面11BB C C ， 所以BE ⊥平面11BB C C .（6分）（2）解：由（1），如图，以B 为坐标原点，BE ，1BB ，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.因为22AB BC ==，所以sin 60BE AB °==，（7分） 因此1(0,2,0)B，1A，E ，(0,0,1)C ，（8分）所以1(0,2,1)B C =−，12,0)B E =−，111,0)B A =− ， 设平面1EB C 的法向量为()111,,m x y z =，由1m B C ⊥，得1120y z −+=，由1m B E ⊥1120y −=，令11y =，得2m=， （10分）设平面11A B C 的法向量为()222,,n x y z =，由1n B C ⊥，得2220y z −+=，由11n B A ⊥220y −=，令21y =，得2n =， （12分）cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅所以二面角11A B C E −−. （15分）18.【答案】（1）22184x y += （5分）（2）证明见解析，定点坐标为(3,0) （12分）【解析】（1）解：由题意得2c =，将x c =代入椭圆方程，可以求到两交点坐标为22,b a ±，（1分）所以2b a =，因此240a −−=， （2分）解得a =a =，2b =， （4分） 即椭圆方程为22184x y +=. （5分）（2）证明：当直线m 的斜率为0时，直线MB 的方程为0y =，此时//AM FP ； （7分）当直线m 的斜率不为0时，可设直线m 的方程为4x ty =+，代入椭圆方程，得到()222880t y ty +++=， （9分） 由0∆>，得到t <t >，因此A ，B 点不在直线l 上， （10分） 设点()11,A x y ，()22,B x y ， 则12282ty y t +=−+，12282y y t =+， （12分） 则1212y y t y y +=−， （13分）因为//AM FP ，所以()12,M y ，所以直线MB 的方程为2112(2)2y y y y x ty −−=−+，令0y =，得到()121212(2)ty y y y y x −−=−−， （14分） 所以121121212122223ty y y y y y x y y y y −−+−+=+=−−，综上，直线MB 过定点()3,0. （17分）19.【答案】（1）(7)3ϕ=（3分） （2）证明见解析（6分）（3）232n n nS +=（8分）【解析】（1）解：因为27122=++，所以(7)1113ϕ=++=. （3分）（2）证明：设012122k k n a a a ++⋅++⋅ ，即01(21)k n a a a ϕ+=+++ ， （6分）则2101432(21)11222k k n n a a a ++=++=+⋅+⋅++⋅ ， （8分） 所以01(43)1(21)1k n a a a n ϕϕ+=++++=++ . （9分）（3）解：因为112132122121222n n n n ++−⋅−=+−=+++++ ， （13分） 所以()3211n n ϕ⋅−=+， （15分）因此数列(){}321n ϕ⋅−的前n 项和为22(1)322n n n nS n +++=⋅=. （17分）。
2025届山东高三9月七校联考高三数学试题
2024-2025学年上学期高三九月七校联考数学试卷本页4页 满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知矩形U 表示全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）A ．()U AB ∪B ．()U A B ∩C ．()U B A ∩D ．()U A B ∩2．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S 求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足6p ，8a b +=，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知点A 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，若A 到抛物线焦点的距离为5，且A 到x 轴的距离为4，则p =（ ）A ．1或2B ．2或4C ．2或8D ．4或84．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P 为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P 出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P ，则该质点运动的最短路径长为（ ）A ．B ．6C ．6πD ．3π5．将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9随机填入33×的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（ ）A ．89!B ．129!C ．249!D ．489!6．定义：已知数列{}()*n a n ∈N 的首项11a =，前n 项和为n S .设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++−=成立，则称此数列为“&k λ”数列.若数列{}()*n a n ∈N 是”数列，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ）A ．234n −×B ．21(1)34(2)n n n −= ×≥C ．243n −×D ．21(1)43(2)n n n −= ×≥ 7．在(1)(2)()()x x x m x n ++++的展开式中，含3x 的项的系数是7，则m n +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞单调递减，若a +∈R ，且满足()()313log log 22f a f a f +≤，则a 的取值范围是（ ） A ．1,99 B ．1,9 −∞ C ．1,22 D ．[)10,9,9 +∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A ．πi 3eB ．i πe 1=−C ．xi e cos sin x x =+D ．πi 2e 的共轭复数为i −10．对于随机事件A ，B ，若2()5P A =，3()5P B =，()14P B A =，则（ ） A ．3()20P AB = B ．()16P A B = C ．9()10P A B += D ．1()2P AB =11．如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，动点P 在对角线1BD 上，过P 作垂直于1BD 的平面α，记平面α与正方体1111ABCD A B C D −的截面多边形（含三角形）的周长为L ，面积为S ，(,BP x x =∈，下面关于函数()L x 和()S x 的描述正确的是（ ）A ．()S x ；B ．()L x 在x =C ．()L x 在 上单调递增，在上单调递减；D ．()S x 在 上单调递增，在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH ，其中1,AB O =为正八边形的中心，则AB HD ⋅=.13．已知数列{}n a 满足12a =，21a =，33a =−，且21n n n a a a λ++=+，则5a = . 14．已知函数()223,0ln ,0x x x f x x x ++≤= >，若存在实数123,,x x x 且123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()()()112233++x f x x f x x f x 的最大值为 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题13分）已知锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a c c B −=． (1)证明：2B C =；(2)若2a =，求cos 1C b c +的取值范围．16.（本小题15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,2n n a a S +==+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设22log 11n n b a =−，求数列{}n b 的前n 项和n T .17.（本小题15分） 如图，四边形ABCD 为菱形，PB ⊥平面ABCD ．(1)证明：平面PAC ⊥平面PBD ；(2)若PA PC ⊥，二面角A BP C −−的大小为120°，求PC 与BD 所成角的余弦值．18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，点P 为C 上一点，12PF F 周长为2，其中O 为坐标原点．(1)求C 的方程；(2)直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点， （i ）求OAB △面积的最大值；（ii ）设OQ OA OB =+ ，试证明点Q 在定直线上，并求出定直线方程．19.（本小题17分）已知函数()()1ln 1e x f x a x x +=+−. (1)当0a <时，求() f x 的单调区间；(2)若函数() f x 存在正零点0x ， （i ）求a 的取值范围； （ii ）记1x 为() f x 的极值点，证明：013x x <.。
贵州省2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考)数学试题答案
数学参考答案·第1页（共9页）贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCBCBCAA【解析】1．由题，{|13}A x x x =<->或，{1234}B =，，，，则{4}A B = ，故选D ．2．对于A 选项，1y x=-的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，该函数在(0)-∞，和(0)+∞，上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，2ln y x =的定义域为(0)(0)-∞+∞ ，，，该函数在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增， 在定义域内不单调；对于C 选项，32y x ==[0)+∞，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，e x y x =的定义域为R . (1)e x y x '=+∵，当(1)x ∈-∞-，时，0y '<；当(1)x ∈-+∞，时，0y '>，e x y x =∴在(1)-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C ．3．537232a a a =+=∵，516a =，6426d a a =-=，3d =，1544a a d =-=，故选B ．4．设点00()A x y ，，则20000252||4y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，整理得582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2p =或8p =，故选C ．5．(23)f x -∵的定义域为[23]，. 当23x ≤≤时，1233x -≤≤，()f x ∴的定义域为[13]，，即[13]A =，. 令1213x -≤≤，解得12x ≤≤，(21)x f -∴的定义域为[12]，， 即[12]B =，. B A ⊆∵，∴“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B ．6．由题，()()()e ()e ()()()5e ()5e x xx xg x g x f x fx hx h x f x f x --⎧=-+=-+⎧⎪⇒⎨⎨=---=--+⎩⎪⎩，，，解得()3e 2e x xf x -=+，所以()3e 2e x x f x -=+≥，当且仅当3e 2e x x -=，即12ln 23x =时，等号成立，min ()f x =∴C ．数学参考答案·第2页（共9页）7．设51x ⎫+⎪⎭的二项展开式的通项公式为53521551C C kkk k kk T xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，0k =，1，2，3，4，5，所以二项展开式共6项. 当0k =，2，4时的项为无理项；当1k =，3，5时的项为有理项. 两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为223326C C 25C +=，故选A ． 8．由题，1C ：22(1)(1)2x y -+-=，即圆心为1(11)C ，(20)M ，，(02)N ，，MN 为1C 的直径. 1C ∵与2C 相外切，12||C C =+=∴. 由中线关系，有222222121||||2(||||)2(182)40C M C N C C C M +=+=⨯+=，22||||C M C N ∴≤2222||||202C M C N +=，当且仅当22||||C M C N =时，等号成立，所以22||||C M C N 的最大值为20，故选A ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ACDBCBCD【解析】9．对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，()202420252024(1)20252024E X m n n n n =+=-+=+. 01n <<∵，2024()2025E X <<∴，正确；对于D 选项，令2024Y X =-，则Y 服从两点分布，()(1)D Y n n mn =-=，()(2024)()D X D Y D Y mn =+==∴，正确，故选ACD.10．令2()21g x ax ax =-+，244a a ∆=-，对于A 选项，()f x 的定义域为0a ⇔=R 或0010a a >⎧⇔<⎨∆<⎩，≤，故A 错误；对于B 选项，()f x 的值域为()g x ⇔R 在定义域内的值域为0(0)0a a >⎧+∞⇔⇔⎨∆⎩，，≥1≥，故B 正确；对于C 选项，()f x 的最大值为2()g x ⇔在定义域内的最小值为011511616(1)16a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩，，故C 正确；对于D 选项，()f x 有极值()g x ⇔在定义域内有极值01(1)0a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩，且0a ≠，故D 选项错误，故选BC.数学参考答案·第3页（共9页）11．对于A 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)(0)1g f -=，(0)1f =-，故A 错误；对于B 选项，由()(3)f x g x ''=+可得()(3)f x g x C =++，C 为常数，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)()1g x f x --=，则(1)(3)1g x g x C --+-=，令1x =-，得(2)(2)1g g C --=，所以1C =-，所以(1)(3)g x g x -=+，()g x 的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对于C 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(3)(1)(1)g x g x g x +=-=-+，所以(2)()g x g x +=-，(4)(2)g x g x +=-+ ()g x =，所以()g x 是一个周期为4的周期函数，()(3)1f x g x =+-，(4)(7)f x g x +=+ 1(3)1()g x f x -=+-=，所以()f x 也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，(2)(0)(4)g g g =-=-，又(3)(1)0g g ==，又()g x 是周期为4的周期函数，所以20251()(1)0k g k g ===∑，故D 正确，故选BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号 12 13 14 答案 e14433e 6-【解析】12．设切点坐标为()t t a ，，ln x y a a '=∵，∴切线方程为ln x y a a x = . 将()t t a ，代入得ln t t a a t a = ，可得1log e ln a t a==，∴切点纵坐标为e log e t a a a ==. 13．先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有22A 种方法，再安排梵净山的位置共有13C 种方法，再排其余元素共有44A 种排法，故共有214234A C A 144= 种不同的方案.14．设123()()()f x f x f x t ===，由()f x 的函数图象知，23t <≤，又122x x +=-，3ln x t =∵，3e t x =，112233()()()2e t x f x x f x x f x t t ++=-+∴. 令()2e t t t t ϕ=-+，23t <≤，()t ϕ'= (1)e 20t t +->，()t ϕ∴在(23]，上单调递增，则3max ()(3)3e 6t ϕϕ==-，112233()()()x f x x f x x f x ++∴的最大值为33e 6-.四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）解：数列{n a }是首项为1，公比为3的等比数列，因此11133n n n a --=⨯=；…………………………………………………………………………………（3分）数学参考答案·第4页（共9页）数列{n b }是首项为1，公比为34的等比数列，因此，1133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）可得121121121333344n n n n n n n c a b a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫=++++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121333344n n --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12101111141111331444414n n n n n ----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 214314n n -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， ………………………………………………………（10分）因为2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以413n n c a <≤，所以4.3n n n a c a <≤ …………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接1A C ，设11A C C G O = ，连接1HO A G ，，三棱台111A B C ABC -，则11A C AC ∥，又122CG AC ==， ∴四边形11A C CG 为平行四边形，则1.CO OA = ………………………………………………………………（2分）∵点H 是BC 的中点，∴1BA OH ∥. …………………………………………………………………（4分）又OH ⊂平面1C HG ，1A B ⊄平面1C HG ，∴1A B ∥平面1C HG . …………………………………………………………………（6分）（2）解：因为平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2∶5， 所以111127C GHC A B C ABC V V --=，即11111121()373GHC ABC A B C S CC S S CC =++ △△△， 化简得12GHC ABC S S =△△， 图1数学参考答案·第5页（共9页）此时点H 与点B 重合. ……………………………………………………………（8分）1190C CA BCC ∠=∠=︒，∵11C C BC CC AC BC AC C ⊥⊥= ∴，，且都在平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ， 又ABC △为等腰直角三角形，则BG AC ⊥. 又由（1）知11A G CC ∥，则1A G ⊥平面ABC ， 建立如图2所示的坐标系G xyz -，…………………………………………………（10分）则(200)(020)(000)(020)H A G C -，，，，，，，，，，，，11(02(122)1)C B --，，，，，.设平面1C HG 的法向量()n x y z =，，，1(022)(200)GC GH =-= ，，，，，， 则22020y z x -+=⎧⎨=⎩，，令1y =，解得(011)n =，，， 设平面1B GH 的法向量1()(112)m a b c GB ==-，，，，，，则2020a b c a -+=⎧⎨=⎩，，令2b =，解得(021)m = ，，. ……………………………………（12分） 设二面角11C GH B --的平面角为θ，|||cos |=|cos |||||m n m n m n θ〈〉==，=， ………………（14分）所以sin θ==所以二面角11C GH B --的正弦值为10. …………………………………………（15分）解得21m =，即双曲线N ：2212y x -=. ………………………………………………（3分） 因为双曲线M 与双曲线N 的离心率相同， 不妨设双曲线M 的方程为222y x λ-=， 因为双曲线M 经过点(22)，，所以42λ-=，解得2λ=，则双曲线M 的方程为221.24x y -= ………………………………………………（6分） 图2数学参考答案·第6页（共9页）（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为11223344()()()()y kx t A x y B x y C x y D x y =+，，，，，，，，，联立222y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，，消去y 并整理得222(2)220k x ktx t λ----=，此时222222Δ44(2)(2)0202k k t t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩，，可得22k <，…………………………………（8分）当2λ=时，由韦达定理得21222kt x x k +=-，221242t x x k --=-；当1λ=时，由韦达定理得23422kt x x k +=-，232422t x x k --=-，………………………（10分）则||||2AB CD ==== 化简可得222t k +=， …………………………………………………………………（13分） 由（1）可知圆O ：222x y +=，则圆心O 到直线l的距离d ==== 所以直线l 与圆O 相切或相交. …………………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为： 在[020)，内有0.00252020010⨯⨯=（只）； 在[2040)，内有0.006252020025⨯⨯=（只）； 在[4060)，内有0.008752020035⨯⨯=（只）； 在[6080)，内有0.025********⨯⨯=（只）； 在[80100]，内有0.00752020030⨯⨯=（只）.…………………………………………（1分） 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：数学参考答案·第7页（共9页）单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计70130200……………………………………………………………………………………………（3分） 零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.…………………………………………………………………………………………（4分） 根据列联表中数据，得220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯. ………………………………………………………………………………………（6分） 根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.…………………………………………………………………………………（7分） （2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”. 记事件A ，B ，C 发生的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ， 则160()0.8200P A ==，20()0.540P B ==， ……………………………………………（9分） 0.20.509()1()().1P C P A P B =-=-⨯=，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9P =.……………………………（11分） （ii ）由题意，知随机变量(1000.9)X B ，，所以()1000.990.E X np ==⨯= ………………………………………………（13分）又()C 0.90.1()012k k n kn P k n X k -=⨯⋅⋅==⨯⋅，，，，，设0k k =时，()P X k =最大， 所以000000000000100119910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⨯⨯⨯⎪⎩≥，≥， ………………………………（15分） 解得089.990.9k ≤≤，因为0k 是整数，所以090k =.…………………………………（17分）数学参考答案·第8页（共9页）19．（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：22sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos (12sin )sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-.………………………………（4分）若选②，证明如下：22cos3cos(2)cos 2cos sin 2sin (2cos 1)cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--3232cos cos 2(1cos )cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-. ………………………………（4分）（2）(i)解：2()33f x x a =-'， …………………………………………………………（5分） 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增，至多有一个零点；令()0fx '>，得x <x >，所以()f x 在(上单调递减，在(-∞，，)+∞上单调递增．0f <⎪⎩，220a -<⎪⎩，且3222(4)(4)3(4)(4)(516)0f a a a a aa aa a +=+-++=++++>，所以()f x 在4)a +上有唯一一个零点，同理-<2(22)0g a-=-+=<， 所以()f x 在(-上有唯一一个零点.又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知a 的取值范围为(04).， …………………………………………………（10分） (ii)证明：设22133()()3())(x f x x x x x ax x a x ==----+， 则23211(0)f x x x a ==-=.又04a <<，所以1a =. ………………………………………………………………（11分） 此时(2)10(1)30(1)10(2)30f f f f -=-<-=>=-<=>，，，，方程3031x x -+=的三个根均在(22)-，内，…………………………………………（12分）数学参考答案·第9页（共9页）方程3031x x -+=变形为3143222x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，令ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则由三倍角公式31sin 33sin 4sin .2θθθ=-= 因为3π3π322θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以7ππ5π3666θ=-，，，7ππ5π.181818θ=-，，…………………………………………………………………………………………（14分） 因为123x x x <<，所以12327ππ52sin2si π181n n 81si 8x x x =-==， ……………………………………………………………………………（15分）所以222221π7ππ7π21cos 21cos 18184sin4sin 99x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭- 137ππ5π7π2cos2cos 2sin 2sin .991818x x =-=--=- …………………………………（17分）。
2025届山东新高考联合质量测评高三9月联考数学试卷及答案
试卷类型：A山东新高考联合质量测评9月联考试题高三数学2024.9本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置.2.选择题答案必须使用2B 铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B 铅笔作答，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠、不破损.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(,),,A x y y x x y =≥∈Z ，{}2(,)log (2)B x y y x ==+，则A B 中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.无数个2.“21x<”是“2x >”的（ ）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件3.已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，若94S S <，且150S >，则当n S 取得最小值时，n =（）A.3B.6C.7D.84.已知关于x 的不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为(4,1)−，则29c a b++的取值范围为（）A.[6,)−+∞B.(,6)−∞ C.(6,)−+∞ D.(,6]−∞−5.已知函数()2sin f x x ax =−，a ∈R ，若曲线()f x 在点ππ,22f处的切线方程为0x y k ++=，则函数()f x 在(0,2π)内的单调递减区间是（ ）A.π5π,33B.(0,π]C.[π,2π)D.π50,,π,2π336.若使不等式2(1)0x a x a +−−≤成立的任意一个x ，都满足不等式|32|1x +>，则实数a 的取值范围为（）A.1,3−∞B.1,3 −+∞C.1,3 −∞D.1,3 +∞7.若函数32()1f x x x x =−−−的图象与直线y k =有3个不同的交点，则实数k 的取值范围为（）A.22,227B.222,27−−C.(2,)−+∞D.22,27 −∞−8.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数.已知数列{}n a 满足21a =，2n n S na =，若()lg 1n n b a =+ ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2024T =（）A.4956B.4965C.7000D.8022二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正实数a ，b ，满足1a b +=，则（）A.22a b+≥+≤C.234a b +≤D.1122a b+≥+10.记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A.{}n a 是递增数列 B.{}1n n a a +是等比数列C.n n S a不是等比数列 D.n S ，2n n S S −，32n n S S −，…成等比数列11.已知e ()(1)1xf x x x =>−+，()(1)e (1)xg x x x =−<，且()() 1.01f a f b ==，()()0.99g c g d ==.若a b >，c d >，则（ ）A.0a b +>B.0a d +>C.0b c +> D.0c d +>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合[,1]M a a =+，且“x M ∀∈，10xa −>（0a >，且1a ≠）”是假命题，则实数a 的取值范围为__________.13.等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若21S =−，8417S S =，则6S =__________. 14.已知曲线11y ax x=−，2(1)ln y a x =+，若曲线1y ，2y 恰有一个交点，则实数a 的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）解关于x 的不等式：(38)1()32m x m x −>∈−R .16.（15分）在数列{}n a 中，12a =，12112n n na a a ++=+，n +∈N . （1）求证：数列(){}lg 1n a +为等比数列；（2）设数列{}n b 满足112nn nb a a =++，求数列{}n b 的前n 项和n S 的最小值. 17.（15分）如图，一海岛O 离岸边最近点B 的距离是120km ，在岸边距点B 300km 的点A 处有一批药品要尽快送达海岛.已知A 和B 之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为90km ，快艇时速为60km.设海运起点C 到点B 的距离为 k m x .2.2≈）（1）写出运输时间()t x 关于x 的函数；（2）当点C 选在何处时运输时间最短？18.（17分）已知函数()ln ()f x mx x m =+∈R .（1）当1m =−时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）若函数2()()ln g x f x x x =++，求函数()g x 极值点的个数；（3）当1m =时，若()(1)f x k x b ≤++在(0,)+∞上恒成立，求证：(e 1)(1)b k ≥+−.19.（17分）已知数列{}n a 的首项为2，n S 为数列{}n a 的前n 项和，12n n S qS +=+，其中0q >，*n ∈N .（1）若3a 是22a 和24a +的等差中项，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221n y x a −=的离心率为n e，且2e =，证明：1234663nn e e e e ++++>⋅−；（3）在（1）的条件下，记集合{}n Ax x a ==，{}*21,B x x n n ==−∈N ，若将A B 所有元素从小到大依次排列构成一个新数列{}n b ，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使得112n n T b +>成立的n 的最小值.山东新高考联合质量测评9月联考 高三数学参考答案及评分标准2024.9一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.B2.C3.C4.D5.A6.C7.B8.B二、多选题：本题共3小题，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ABD10.BCD11.AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.（0，1）13.21−14.()0,+∞四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）解：原不等式可化为(33)28032m x mx −+−>−，即()()3328320m x m x −+−−> .（1）当1m =时，不等式可化为6(32)0x −×−>，解得23x <.（2）当1m >时，822333m m −>−，解得23x <或8233m x m −>−. （3）当01m <<时，822333m m −<−，解得282333m x m −>>−. （4）当0m <时，282333m m −<−，解得282333m x m −<<−.（5）当0m =时，原不等式可化为1>，解集为∅.综上所述：当1m >时，不等式的解集为282,,333m m − −∞+∞ −；当1m =时，不等式的解集为2,3−∞；当01m <<时，不等式的解集为822,333m m − − ；当0m <时，不等式的解集为282,333m m −−；当0m =时，不等式的解集为∅. 16.（15分）（1）证明：因为12112n n na a a ++=+，n +∈N ，212n n n a a a +∴=+.()2211211n n n n a a a a +∴+=++=+.()()()21lg 1lg 12lg 1n n n a a a +∴+=+=+，()()1lg 12lg 1n n a a ++∴=+. 所以数列(){}lg 1n a +是以lg 3为首项，2为公比的等比数列.（2）解：由（1）得()1lg 1(lg 3)2n n a −+=⋅，则1231n n a −=−，11122n n n a a a +=−+，所以1122112n n n n n b a a a a ++ =−=−.221223111*********12222123131n nn n n n S a a a a a a a a ++ ∴=−+−++−=−=−=− −− . 因为数列{}n S 递增，134n S S =≥∴.所以数列{}n S 的最小值为34.17.（15分）解：（1）由题意知||OC =，||300AC x =−，300()(0300)90xt x x −∴=+≤≤. （2）()12221202111()2609090x xt x −+×′=×−−. 令()0t x ′=，得x =当0x <<()0t x ′<，当300x <<时，()0t x ′>，所以105.6x≈时()t x 取最小值.所以当点C 选在距B 点105.6km 时运输时间最短.18.（17分）（1）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln f x x x =−+，()11f x x′=−+， 所以(1)1f =−，(1)0f ′=，所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为1y =−.（2）解：22()()ln 2ln g x f x x x x mx x =++=++，()22222(0)x mx g x x m x x x++′=++=>，对于方程2220x mx ++=，216m ∆=−，①当44m −≤≤时，2160m ∆=−≤，()0g x ′≥，此时()g x 没有极值点；②当4m <−时，方程2220x mx ++=的两根为1x ，2x ，不妨设12x x <， 则1202mx x +=−>，121x x =，120x x <<，当10x x <<或2x x >时，()0f x ′>，当12x x x <<时，()0f x ′<，此时1x ，2x 是函数()g x 的两个极值点；③当4m >时，方程2220x mx ++=的两根为3x ，4x ，且3402mx x +=−<，341x x =，故30x <，40x <，当(0,)x ∈+∞时，()0g x ′>，故()g x 没有极值点；综上，当4m <−时，函数()g x 有两个极值点； 当4m ≥−时，函数()g x 没有极值点.（3）证明：由()(1)f x k x b ≤++在(0,)+∞上恒成立，得ln (1)x x k x b +−+≤在(0,)+∞上恒成立，设()ln (1)h x x x k x =+−+，1()1h x k x′=+−，当1k ≤时，()0h x ′≥，()h x 在(0,)+∞上单调递增，此时()b h x ≥显然不恒成立.当1k >时，若10,1x k ∈ − ，则()0h x ′>，()h x 在10,1k −上单调递增，若1,1x k ∈+∞− ，则()0h x ′<，()h x 在1,1k+∞ −上单调递减，所以max 1111()ln 1ln(1)11111h x h k k k k k k k==+−+=−−−−−−−−，所以ln(1)1k k b −−−−≤.要证(e 1)(1)b k ≥+−成立，因为1k >，即证明e 11bk ≥−−−.因为ln(1)111b k k k k −−−−≥−−令1(0)k t t −=>，ln 2()t t p t t −−−=，2ln 1()t p t t +′=，令()0p t ′=得1e t =， 当10,e t∈ 时，()0p t ′<，()p t 在10,e上单调递减，当1,e t ∈+∞ 时，()0p t ′>，()p t 在1,e +∞上单调递增，所以min 1()e 1e p t p ==−−，所以e 11bk ≥−−−，所以(e 1)(1)b k ≥+−成立.19.（17分）（1）解：由12n n S qS +=+①可知， 当2n ≥时12n n S qS −=+②，两式相减可得1n n a qa +=，所以{}n a 从第二项开始是公比为q 的等比数列，当1n =时，代入可得1212a a qa +=+，即22a q =，所以{}n a 是公比为q 的等比数列.又3a 是22a 和24a +的等差中项，所以322224a a a ++，即22320q q −−=， 解得2q =或12−（舍去），所以()*2n n a n =∈N . （2）证明：由双曲线的性质可知，ne =，由（1）知{}n a 是首项为2，公比为q的等比数列，故2e =43q =， 所以()1*423n n a n −=∈N .所以1423n n e − >=，则21123414444322222664333313nn nn e e e e −−++++>+⋅+⋅++⋅=⋅=⋅−− . （3）解：{2,4,8,16,32,64,128,}A = ，与集合B 相比，元素间隔大，所以在集合B 中加了几个A 中的元素考虑，1个：112n =+=，23T =，31236b =； 2个：224n =+=，410T =，51260b =； 3个：437n =+=，730T =，812108b =； 4个：8412n =+=，1294T =，1312204b =； 5个：16521n =+=，21318T =，2212396b =； 6个：32638n =+=，381150T =，3912780b =；发现2138n ≤≤时，112n n T b +−与0的大小关系发生变化，以下采用二分法查找：30687T =，3112612b =，所以所求n 应在2229−之间， 25462T =，2612492b =，所以所求n 应在2629−之间，27546T =，2812540b =， 26503T =，2712516b =，因为272812T b >，而262712T b <，所以使得112n n T b +>成立的n 的最小值为27.。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
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2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
2024新高考「九省联考」数学试题+答案及解析(高清版)
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！1九省2024年新高考数学普通高考适应性测试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20【解答】样本数据按照从小到大排列为10，12，14，14，16，20，24，30，40， 中位数为16， 故选：B.2.椭圆2221(1)x y a a +=>的离心率为12，则a =（ ）A.B. C. D. 2【解答】由12c e a ==，则12c a =；由方程可得21b =，即2222314b ac a =−==，所以243a =，又0a >，则a =故选：A.3.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，376a a +=，1217a =，则16S =（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180【解答】由等差数列项与项的性质：37526a a a +==，则53a =，51220a a +=； 由等差数列项与和的性质：161165128()8()160.S a a a a =+=+= 故选：C.4.设,αβ是两个平面，,m l 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A.若,//,//m l αβαβ⊥，则m l ⊥ B. 若,,//m l m l αβ⊂⊂，则//αβC. 若,//,//m l l αβαβ⋂=，则//m lD.若,,//m l m l αβ⊥⊥，则αβ⊥【解答】由已知条件，,m l 可能共面，也可异面，A 错； 若n αβ=，m ∥n ，l ∥n ，也符合要求，B 错；m ∥l ，,,m l αβ⊥⊥则α∥β，D 错，故选：C.5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ） A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种【解答】乙丙之间如果没有甲，则甲一定在两端，与已知矛盾，所以甲一定在乙丙之间，从甲乙丙之外的两人中选一人放在乙丙之间有122C =种方法，与甲之间的顺序有2种方法，乙丙之间的顺序有2种方法， 这4人看作一个整体和剩下的一人排序有2种方法， 所以总计有2×2×2×2=16种不同排法， 故选：B.6.已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点，点P 满足(1,3)OP =−，记P 的轨迹为E ，则（ ）A.EB. E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到lD. E 是两条平行直线 【解答】设00(,),(,)Q x y P x y ，则00(,)(1,3)QP x x y y =−−=−，那么0013x x y y −=⎧⎨−=−⎩，即0013x x y y =−⎧⎨=+⎩；因为00(,)Q x y 在直线:210l x y ++=上，则00210x y ++=，所以(1)2(3)10x y −+++=，即P 点轨迹E 的方程260x y ++=，ABD 错，两平行直线之间距离d ==C 对， 故选：C.7.已知3,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 24tan 4πθθ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，则21sin 22cos sin 2θθθ+=+（ ）A.14 B. 34 C. 1 D. 32【解答】由tan 24tan()4πθθ=−+，则22tan tan 141tan 1tan θθθθ+=−−−， 整理得22tan 5tan 2(2tan 1)(tan 2)0θθθθ++=++=，故1tan 2θ=−或tan 2θ=−， 又3(,)4θππ∈−，故tan (1,0)θ∈−，所以1tan 2θ=−. 222221sin 2sin cos 2sin cos tan 12tan tan 112cos sin 22cos 2sin cos 22tan 24θθθθθθθθθθθθθθ++++++====+++. 故选：A.8.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过坐标原点的直线与C交于A ，B 两点，211222,4F B F A F A F B a =⋅=，则C 的离心率为（ ）A.B. 2C.D.【解答】由双曲线的对称性，四边形12F BF A 为平行四边形. 设11||2||2F B F A m ==，由双曲线定义11||||2F B F A m a −==， 故1212||||24,||||2F B F A m a F A F B m a ======,2222222||||cos 42cos 4,F A F B F A F B AF B a a AF B a ⋅=∠=⋅⋅∠=21cos 2AF B ∠=， 2212,33AF B F BF ππ∠=∠=， 在21F BF 中由余弦定理，22221(4)(2)(2)1cos 2422a a c F BF a a +−∠==−⋅⋅，解得2227,c e e a===故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学 (解析版)
数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.下列函数在其定义域内单调递增的是（ ）A. B.C. D.3.已知等差数列满足，则（ ）A.2B.4C.6D.84.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（ ）A.1或2B.2或4C.2或8D.4或85.已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）A.B.C.D.7.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（ ）{}{}2230,1,2,3,4A xx x B =-->=∣A B ⋂={}1,2{}1,2,3{}3,4{}41y x=-2ln y x =32y x =e xy x ={}n a 376432,6a a a a +=-=1a =A ()2:20C y px p =>A A x p =()23f x -[]2,3()f x (),21xA f -B x A ∈x B ∈()f x R ()()e xg x f x -=+()()5e xh x f x =-()g x ()h x ()f x e 2e51x ⎫⎪⎭A.B. C. D.8.已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（ ）A.20B.C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（ ）20242025A.B.服从两点分布C.D.10.已知函数，下列说法正确的是（ ）A.的定义域为，当且仅当B.的值域为，当且仅当C.的最大值为2，当且仅当D.有极值，当且仅当11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A.B.的图象关于直线对称C.的一个周期是4D.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为__________.13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安25351323221:220C x y x y +--=x y M N 2C 1C 22C M C N ⋅X ,m n X Pm n1m n +=X ()20242025E X <<()D X mn=()()214log 21f x ax ax =-+()f x R 01a <<()f x R 1a …()f x 1516a =()f x 1a <R ()f x ()g x ()f x '()g x '()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+()1g x +()00f =()g x 2x =()f x 20251()0k g k ==∑()0,0(0x y a a =>1)a ≠顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数若存在实数且，使得，则的最大值为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n 个图形中实心区域的面积为.（1）写出数列和的通项公式；（2）设，证明.16.（本小题满分15分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，为线段的中点，为线段上的点.（1）若点为线段的中点，求证：平面；（2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角的正弦值.()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩…123,,x x x 123x x x <<()()()123f x f x f x ==()()()112233x f x x f x x f x ++n n n a n b {}n a {}n b 121121n n n n n c a b a b a b a b --=++++ 43n n n a c a <…111A B C ABC -111A B C V ABC V 111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠====== AC H BC H BC 1A B ∥1C GH 1C GH 111A B C ABC -2:511C GH B --17.（本小题满分15分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点的焦距为.（1）分别求和的方程；（2）已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D，，判断直线与圆的位置关系.18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii ）以（i ）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.()2222:10,0x y M a b a b -=>>2222:12x y N m m-=M ()2,2,N M N l M ,A B N C AB CD=l 222:O x y a +=[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,10022⨯0.01α=P P X ()E X ()P X k =k参考公式：（其中为样本容量）参考数据：0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87919.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明；（2）已知函数有三个零点且.（i ）求的取值范围；（ii ）若，证明：.()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx α3sin33sin 4sin θθθ=-3cos34cos 3cos θθθ=-()323f x x ax a =-+123,,x x x 123x x x <<a 1231x x x =-222113x x x x -=-贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCBCAA【解析】1.由题，或，则，故选D.2.对于A 选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，的定义域为，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C.3.，故选B.4.设点，则整理得，解得或，故选C.5.的定义域为.当时，的定义域为，即.令，解得的定义域为，即.“”是“”的必要不充分条件，故选B.{1A xx =<-∣{}3},1,2,3,4x B >={}4A B ⋂=1y x=-()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+2ln y x =()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+32y x ==[)0,∞+e x y x =().1e xy x =+'R (),1x ∞∈--0y '<()1,x ∞∈-+0y '>x e y x ∴=(),1∞--()1,∞-+53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-= ()00,A x y 200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2p =8p =()23f x - []2,323x ……()1233,x f x -∴……[]1,3[]1,3A =1213x -……()12,21xx f ∴-……[]1,2[]1,2B =,B A ⊆∴ x A ∈x B ∈6.由题，解得，所以，即时，等号成立，C.7.设的二项展开式的通项公式为，，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.8.由题，，即圆心为，且，为的直径.与相外切，.由中线关系，有，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCBCD【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，，正确；对于D 选项，令，则服从两点分布，，，正确，故选ACD.10.令，对于A 选项，的定义域为或，故A 错误；对于B 选项，的值域为在定义域内的值域为()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x xx xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩()3e 2e x xf x -=+()3e 2e xxf x -=+…3e 2e x x -=12ln 23x =min ()f x ∴=51x ⎫⎪⎭53521551C C ,0,1,2kkk k kk T x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭3,4,50,2,4k =1,3,5k =223326C C 2C 5+=221:(1)(1)2C x y -+-=()11,1C ()()2,0,0,2M N MN 1C 1C 2C 12C C ∴=+=()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=…22C M C N =22C M C N ⋅()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<< 2024Y X =-Y ()()1D Y n n mn =-=()()()2024D X D Y D Y mn ∴=+==()2221,Δ44g x ax ax a a =-+=-()f x 0a ⇔=R 0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩…()f x ()g x ⇔R，故B 正确；对于C 选项，的最大值为在定义域内的最小值为，故C 正确；对于D 选项，有极值在定义域内有极值且，故D 选项错误，故选BC.11.对于A 选项，因为为奇函数，所以，又由，可得，故A 错误；对于B 选项，由可得为常数，又由，可得，则，令，得，所以，所以的图象关于直线对称，故B 正确；对于C 选项，因为为奇函数，所以，所以，所以是一个周期为4的周期函数，，所以也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为为奇函数，所以，又，又是周期为4的周期函数，所以，故D 正确，故选BCD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案144【解析】12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得切点纵坐标为.13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩……()f x ()2g x ⇔()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩()f x ()g x ⇔()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩0a ≠()1g x +()10g =()()11g x f x --=()()()101,01g f f -==-()()3f x g x '=+'()()3,f x g x C C =++()()11g x f x --=()()11g x f x --=()()131g x g x C --+-=1x =-()()221g g C --=1C =-()()()13,g x g x g x -=+2x =()1g x +()()()311g x g x g x +=-=-+()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=()g x ()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=()f x ()1g x +()()()()10,204g g g g ==-=-()()310g g ==()g x 20251()(1)0k g k g ===∑e33e 6-(),,ln ,txt a y a a ='∴ ln x y a a x =⋅(),tt aln tta a t a ⋅=1log e,ln a t a==∴e log e t a a a ==22A 13C余元素共有种排法，故共有种不同的方案.14.设，由的函数图象知，，又，.令在上单调递增，则，的最大值为.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.（2）证明：由（1）可得因为，所以，所以.16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接，设，连接，44A 214234A C A 144⋅⋅=()()()123f x f x f x t ===()f x 23t <…1232,ln x x x t +=-= ()()()3112233e ,2e t t x x f x x f x x f x t t =∴++=-+()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴…(]2,3()3max ()33e 6t ϕϕ==-()()()112233x f x x f x x f x ∴++33e 6-{}n a 11133n n n a --=⨯={}n b 341133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n nn n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-2114314411334n n nnn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦413n n c a <…43n n n a c a <…1AC 11AC C G O ⋂=1,HO A G三棱台，则，又，四边形为平行四边形，则.点是的中点，.又平面平面，平面.（2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，所以，即，化简得，此时点与点重合.，且都在平面，则平面，111A B C ABC -11AC ∥AC 122CG AC ==∴11AC CG 1CO OA = H BC 1BA ∴∥OH OH ⊂11,C HG A B ⊄1C HG 1A B ∴∥1C HG 1C GH 111A B C ABC -2:511127C GHC AB V V B C ABC -=-()1111121373GHC ABC AB C S CC S S CC ⋅⋅=⋅⋅+⋅V V V 12GHC ABC S S =V V H B 1190C CA BCC ∠∠== 11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=ABC 1CC ⊥ABC又为等腰直角三角形，则.又由（1）知，则平面，建立如图2所示的坐标系则，设平面的法向量，则令，解得，设平面的法向量，则令，解得.设二面角的平面角为，，所以，所以二面角.17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线的焦距为，解得，即双曲线.因为双曲线与双曲线的离心率相同，不妨设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，所以，解得，则双曲线的方程为.ABC V BG AC ⊥1A G ∥1CC 1A G ⊥ABC ,G xyz -()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0H A G C -()()110,2,2,1,1,2C B --1C HG ()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-= 220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩1y =()0,1,1n = 1B GH ()()1,,,1,1,2m a b c GB ==- 20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩2b =()0,2,1m = 11C GH B --θcos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=== sin θ==11C GH B --N =21m =22:12y N x -=M N M 222y x λ-=M ()2,242λ-=2λ=M 22124x y -=（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，联立消去并整理得此时可得，当时，由韦达定理得；当时，由韦达定理得，则，化简可得，由（1）可知圆，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切或相交.18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；在）内有（只）；在）内有（只）；在）内有（只）；在内有（只）由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只l l ()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2222220,k x ktx t λ----=()()222222Δ44220,20,2k t k tt k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩22k <2λ=212122224,22kt t x x x x k k--+==--1λ=234342222,22kt t x x x x k k--+==--ABCD ====222t k +=22:2O x y +=O l d ====l O [)0,200.00252020010⨯⨯=[20,400.006252020025⨯⨯=[40,600.008752020035⨯⨯=[60,800.025********⨯⨯=[]80,1000.00752020030⨯⨯=10253570++=指标值抗体小于60不小于60合计有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得.根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.（2）（i ）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.记事件发生的概率分别为，则，.所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.（ii ）由题意，知随机变量，所以.又，设时，最大，所以解得，因为是整数，所以.19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：若选②，证明如下：.0H 220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯0.01α=A =B =C =,,A B C ()()(),,P A P B P C ()()160200.8,0.520040P A P B ====()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=0.9P =()100,0.9X B ~()1000.990E X np ==⨯=()()C 0.90.10,1,2,,k k n k n P X k k n -==⨯⨯= 0k k =()P X k =00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩089.990.9k ……0k 090k =()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-（2）（i ）解：，当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；当时，令，得；令，得令，得或所以在上单调递减，在上单调递增.有三个零点，则即解得，当时，，且，所以在上有唯一一个零点，同理所以在上有唯一一个零点.又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，综上可知的取值范围为.（ii ）证明：设，则.又，所以.此时，方程的三个根均在内，方程变形为，令，则由三倍角公式.因为，所以.()233f x x a =-'0a …()0f x '…()f x (),∞∞-+0a >()0f x '=x =()0f x '<x <<()0f x '>x <x >()f x ((),,∞∞-+()f x (0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩04a <<04a <<4a +>()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a +=+-++=++++>()f x )4a +()2220,g a -<-=-=-<()f x (-()f x (()f x a ()0,4()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---()212301f a x x x ==-=04a <<1a =()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>3310x x -+=()2,2-3310x x -+=3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭31sin33sin 4sin 2θθθ=-=3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-因为，所以，所以.123x x x <<1237ππ5π2sin ,2sin ,2sin 181818x x x =-==222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭137ππ5π7π2cos 2cos 2sin 2sin 991818x x =-=--=-。
高三数学9月份联考试题 理含解析 试题
五大联盟2021届高三数学9月份联考试题理〔含解析〕一、选择题1. 集合，，那么中的元素的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】因为或者，所以，应选答案C。
2. ，为虚数单位，，那么( )A. 9B.C. 24D.【答案】A【解析】因为，所以，那么，应选答案A。
3. 幂函数的图象过点，那么函数在区间上的最小值是( )A. B. 0 C. D.【答案】B【解析】由题设，故在上单调递增，那么当时取最小值，应选答案B。
4. ，，，这三个数的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。
5. 设等比数列的前项和为，且，那么( )A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】B【解析】由题设，，所以，应选答案B。
6. 设满足约束条件，那么的最大值为( )A. 3B.C. 1D.【答案】A【解析】画出不等式组表示的区域如图，那么问题转化为求动直线在上的截距的最小值的问题，结合图形可知：当动直线经过点时，，应选答案A。
7. 函数的最大值为3，的图象的相邻两条对称轴间的间隔为2，与轴的交点的纵坐标为1，那么( )A. 1B.C.D. 0【答案】D【解析】由题设条件可得，那么，所以，将点代入可得，即，又，所以，应选答案D。
8. 执行如下图的程序框图，假设输入，那么输出的结果为( )A. 80B. 84C. 88D. 92【答案】A【解析】9. 在长方体中，，，，点在平面内运动，那么线段的最小值为( )A. B. C. D. 3【答案】C【解析】由题意问题转化为求点到平面的间隔，由于，所以边上的高，故三角形的面积为，又三棱锥的体积，所以，应选答案C。
10. 假设关于的不等式在上恒成立，那么实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式，可化为，那么问题转化为求函数的图像在函数下方，画出函数的图像及函数的图像，显然当不成立，故，结合图像当且仅当时满足题设，即，也即，应选答案D。
高三数学9月联考试题 理扫描 试题
四中、临川一中等2021届高三数学9月联考试题理〔扫描版〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日名校学术联盟·2021届高三年级教学质量检测考试(一)数学〔理科〕参考答案1.【答案】B【解析】依题意，{}{}228042A x x x x x =+-<=-<<，故[)0,2A B =，应选B.2.【答案】A【解析】依题意，()()()()3i 6i 3i 183i 6i 1836i 6i 6i 6i 373737m m m m m mz +++++--+====+--+，那么1836m m -=+，解得157m =，应选A. 3.【答案】B【解析】依题意，131********n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=--，化简可得2log 6n =，故[]2n =，那么第2日B. 4.【答案】C【解析】运行该程序，第一次，999,2S k ==；第二次，995,4S k ==；第三次，979,6S k ==；第四次，915,8S k ==；第五次，659,10S k ==，第六次365,12S k =-=，此时0S <，故输出的k 的值是12，应选C.5.【答案】D 【解析】依题意，ln 2334<<，故命题p 为真；而()124248b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2b a =时等号成立，故命题q 为假；故q 、p q ∧、p q ⌝∨（）为假，()p q ∧⌝为真，应选D. 6.【答案】A【解析】不妨设1AE =，在△AME 中，由正弦定理，00sin 75sin 60AE AM=，解得326AM -=，那么阴影局部面积为3262331AME ANE S S ∆∆--+=⨯⨯=，而1ABC S ∆=，故所求概率332P -=，应选A. 7.【答案】C【解析】作出该几何体1111ABCD A B C D -的直观图，旋转一定的角度后，得到的图形如下列图所示，观察可知，16CA =，15A D =，13A B =，应选C.8.【答案】B【解析】依题意，不妨设点M 〔x,y 〕在第一象限，联立225,,x y by x a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得55,ax b y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔其中222b a c +=〕，可知四边形MNPQ 552a b=，即225c ab =，解得12b a =〔2b a =舍去〕，故所求渐近线方程为12y x =±，应选B.9.【答案】B【解析】依题意，函数()f x 为偶函数，故1k =-，那么()()320g k x g x ++-+=即为()()132g x g x -++-=-，故函数()g x 的图象的对称中心为()1,1-，应选B.10.【答案】D【解析】依题意，()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭；当0x =时，33x ππω+=；令32x ππω+=，解得6x πω=；令532x ππω+=，解得136x πω=；令932x ππω+=，解得256x πω=；那么1316251,6πωπω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得132566ππω≤<，观察可知，选D. 11.【答案】A【解析】设()00,M x y ，()11,N x y ，那么直线MA 1的斜率为1003MA y k x -=，由11NA MA ⊥，所以直线NA 1的斜率为1003NA x k y =--．于是直线NA 1的方程为：0033x y x y =-+-．同理，NA 2的方程为：0033x y x y =--+．联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=． 因为()00,M x y 在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-．所以012x x =-． 所以1212012MA A NA A S xS x ∆∆==，应选A. 12.【答案】C【解析】依题意，2e e xxx mx m ->，故()21e xx m x >+，即()21ex x m x >+，令()2e x x f x =，故()()222'e ex xx xx x f x --==，故当(),0x ∈-∞时，()'0f x <，当()0,2x ∈时，()'0f x >，当()2,x ∈+∞时，()'0f x <，作出函数()f x 的图象如下所示，可知三个正整数解为1,2,3；令()2e e xxg x x mx m =--，那么()33393e e 0g m m =-->，()444164e e 0g m m =--≤，解得431695e 4e m ≤<，应选C.13.【答案】3262-【解析】依题意，223326236a b ⎛⎫⋅=+⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭. 14.【答案】5【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下列图阴影局部所示，观察可知，当直线2z x y =-过点55,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，2z x y =-取最大值，最大值为5.15.【答案】8027【解析】依题意，二项式展开式的通项为66221662233rrr rr rr r T C xx C x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令642r -=，解得4r =，故所求4x 项的系数为446280327C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 16.【答案】3172【解析】设内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,依题意，222cos cos 42a cb AB BC B ac B +-⋅⋅===，而BC BA AC b -===2226a c +=，而1sin 2ABC S ac B ∆====≤a c =时等号成立， 故△ABC17.【解析】〔1〕依题意，设BD x =，那么AD ，3BC x =,又,43B AB π==.在△ABD 中，由余弦定理得3cos4216322π⋅⋅-+=x x x ，即2280x x +-=，解得2x =，或者4-=x 〔舍去〕. 那么36BC x ==；〔5分〕〔2〕 在△ ABC 中，设A,B,C 所对的边分别为a,b,c ， 由正弦定理sin sinb c B C=，得sin sin c B C b ==； 又AC b AB c =>=，所以B C >，那么C 为锐角，所以cos 3C =；那么()1sin sin sin cos cos sin 2BAC B C B C B C ∠=+=+==.〔10分〕18.【解析】〔1〕依题意，设数列{}n a 的公差为d ， 因为191019019S a ==，所以1010=a ，故1051105a a d -==-，故n a n =，故()12n n nS +=；〔4分〕〔2〕依题意，121n n b n b n ++=，∴()11112n nb b n n n+=≥+， ∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111b =为首项，12为公比的等比数列，112n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12n n nb -=， 01221123122222n n n n n T ---=+++++，23111231222222n n n n nT --=+++++，∴2111111122121222222212n n n n n nn n n T --+=++++-=-=--， 所以1242n n n T -+=-.〔12分〕 19.【解析】〔1〕依题意 ，所求平均数为20.260.36100.28140.12180.04⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.4 2.16 2.8 1.680.727.76=++++=；〔3分〕 〔2〕依题意，完善表中的数据如下所示：故()222000800600200400333.3310.828100010001200800K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯；故有99.9%的把握认为“愿意购置该款电视机〞与“民的年龄〞有关；〔7分〕 〔3〕依题意，44,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故()41105625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()3141416155625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()22241496255625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33414256355625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()4425645625P X ⎛⎫===⎪⎝⎭； 故X 的分布列为：故()416455E X =⨯=.〔12分〕20.【解析】〔1〕证明： 不妨设2BD =，那么1AD =；由090BAD ∠=，得3AB =，那么060CBD ∠=，从而BCD ∆是等边三角形， 可得2,3DC BCD π=∠=，故BD 平分ADC ∠；∵E 为CD 的中点，1DE AD ==，∴BD AE ⊥， 又∵,SB AE SBBD B ⊥=，SB ⊂平面SBD ，BD ⊂平面SBD ，∴AE ⊥平面SBD ；〔4分〕 〔2〕作SO BD ⊥于O ,连OC ,由〔1〕易知平面SBD ⊥平面ABCD ,平面SBD 平面ABCD BD =，∴SO ⊥平面ABCD ， ∴SCO ∠为SC 与平面ABCD 所成的角，4SCO π∠=，又∵∠SBD =∠SDB , ∴SB SD =,∴O 为BD 的中点,,3OC BD OS OC ⊥==同（1）设AD=1，则， 以,,OB OC OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，那么()()()()1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,3B C D S -，∴()1,0,3SB =-，()()0,3,3,1,0,3SC SD =-=--，设平面SCD 的一个法向量为(),,n x y z =， 由0,0,n SC n SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得33030y z x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令1z =得()3,1,1n =-，设直线SB 与平面SCD 所成角为θ，那么15sin SB n SB nθ⋅==.〔12分〕21.【解析】〔1〕依题意，直线l ：28y x =+，联立22,28,x y y x ⎧=⎨=+⎩故24160x x --=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，那么124x x +=，1216x x =-，故1220MN x =-==；〔5分〕〔2〕联立0,40,x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得2x y ==，故()2,2A ，设直线l 的方程为：4(2)y k x -=+，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 那么11112(2)222AM y k x k x x -++==--，22222(2)222AN y k x k x x -++==--， 212121212121212[(2)2][(2)2][2()4]2(4)4(2)(2)2()4AM ANk x k x k x x x x k x x k k x x x x x x +++++++++++==---++， 联立抛物线22x y =与直线4(2)y k x -=+的方程消去y 得22480x kx k ---=，可得122x x k +=，1248x x k =--，代入AM AN k k ⋅可得1AM AN k k ⋅=-.〔12分〕 22.【解析】〔1〕依题意，()1sin ln 12f x x x x =-++， 而()11'1cos 2f x x x =-+，故()1'12cos12f =-， 即曲线)(x f y =在点〔)1(,1f 〕处的切线的斜率为1cos 212-；〔3分〕 〔2〕依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，那么1t >． 令()sin ,0,y x x x =-∈+∞，故'1cos 0y x =-≥，故函数sin y x x =-在()0,+∞上单调递增， 所以2211sin sin x x x x ->-，从而2121sin sin x x x x ->-；因为()()12f x f x =，所以11122211sin ln 1sin ln 122x x m x x x m x -++=-++，所以()()()2121212111ln ln sin sin 22m x x x x x x x x --=--->-，所以212120ln ln x x m x x -->>-；下面证明2121ln ln x x x x --1ln t t ->()ln 0t <*．设())ln 1h t t t=>，所以()210h t --'=<在()1+∞，恒成立．所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证．所以2m ->， 即12214x x m <．〔12分〕 制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高三数学9月联考试题理试题
中学、一中2021届高三年级9月结合考试制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
理科数学试题一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1．tan165=( )A ．23--B ．23-+C ．23-D ．23+2．集合1{|0}xA x x-=≥， {|lg(21)}B x y x ==-，那么=B A ( ) A ．1(0,)2 B ．1（,1)2 C ．1（,1]2 D ．1[,1]23．命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<〞为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．4a ≥B ．4a >C ．1a ≥D ．1a > 4．函数()sin ln ||f x x x x =+在区间[2,2]ππ-上的大致图象为( )5．R 上的单调函数log ,3()7,3a x x f x mx x ≥⎧=⎨+<⎩满足(2)1f =，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．3]B ．(0,1)C ．3D ． 3]6．电流强度I (单位：安)随时间是t (单位：秒)变化的函数sin()(0,0,0)2I A t A πωϕωϕ=+>><<的图象如下图，那么当0.01t =秒时，电流强度是( )A ．5-安B ．5安C ．53安D ．10安7．围棋棋盘一共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑〞“白〞“空〞三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作?梦溪笔谈?中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二〞种，即5210000，以下数据最接近36152310000的是( ) 〔lg30.477≈〕 A ．3710- B ．3610- C ．3510- D ．3410-8．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1xy =,现向该正方形内抛掷1枚豆子,那么该枚豆子落在阴影局部的概率为 ( )A ．32ln 24- B ．12ln 24+ C ． 52ln 24- D ．12ln 24-+ 9．2662sin 70cos 430-= ( )A ．8B ．8-C ．86-D ．4610．(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，那么(23)0f x ->的解集是( )A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，，11．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+-=0,230＞,2ln )(2x x x x x x x x f 的图像上有且仅有四个不同的关于直线1-=y 对称的点在1)(-=kx x g 的图像上，那么k 的取值范围是( )A ．)43,31( B ．)43,21( C ．)1,31( D ．)1,21( 12．假设对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226(,0)x x ax b x a R b ≤++≤∈>恒成立，那么实数b 的最大值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12 二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分． 13．在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作角α，角4πα+的终边经过点(2,1)P -.那么sin2α= ．14．tan()7cos()2ππαα-=+，11cos()14αβ+=-，,(0,)2παβ∈，那么β= ___ _． 15．函数2()ln f x x ax x =++有两个不同的零点，那么实数a 的取值范围是 ．16．函数()f x ，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x .①假设2()(1)f x x =-，那么[0,3](2)D = ；②假设22,0,()21,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩那么[,2](1)a a D +-的取值范围是 ．三、解答题：本大题一一共6大题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17．(本小题12分〕:p 1x 和2x 是方程2:20p x mx --=的两个实根，不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，:q 关于x 的方程2210ax x ++=的解集有唯一子集，假设p 或者q 为真，p 且q 为假，务实数a 的取值范围．18． (本小题12分〕函数44()2cos sin 1f x x x x ωωω=+-+ (其中01ω<<)，假设点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心．(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的最小正周期； (2) 将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，用 “五点作图法〞作出函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象．19．(本小题12分〕自2018年9月6日美拟对华2000亿美元的输美商品加征关税以来，HY 战逐步晋级，我国某种出口产品的关税税率为t ，场价格x (单位：千元)与场供给量p (单位：万件)之间近似满足关系式：2(1)()2kt x b p --=，其中,k b 均为常数．当关税税率75%t =时，假设场价格为5千元，那么场供给量约为1万件；假设场价格为7千元，那么场供给量约为2万件．(1)试确定,k b 的值；(2)场需求量q (单位：万件)与场价格x 近似满足关系式：2xq -=，当p q =时，场价格称为场平衡价格，当场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值． 20．(本小题12分〕抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ．(1)假设当点A 的横坐标为3，且ADF ∆为等边三角形，求C 的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C ，假设点001(,0)()2D x x ≥，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为0(,0)x -，并求点P 到直线AB 的间隔 d 的取值范围．21．(本小题12分〕函数R a ax ax e x x f x ∈+++=,221)1()(2.(1)讨论)(x f 极值点的个数；(2)假设)2(00-≠x x 是)(x f 的一个极值点，且-2e >)2(-f ，证明: 1<)(0x f .请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分． 22．〔本小题10分〕【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M 的直角坐标为(1,0)，假设直线l cos()104πθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，〔m 为参数〕．〔1〕求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；〔2〕设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB+．23．〔本小题10分〕【选修4-5：不等式选讲】函数2()4f x x ax =++，()11g x x x =++-．〔1〕求不等式()3g x ≥的解集；〔2〕假设21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，务实数a 的取值范围．中学、一中2021届高三年级9月结合考试理科数学试题〔参考答案〕B C B B C A B A C D D A13． 35- 14．3π15． (1,0)- 16． 3； [1,4] 17．【解析】假设p 真，因为12,x x 是方程220x mx --=的两个实根，所以12x x m +=,122x x ⋅=-所以12x x -==，所以当[1,1]m ∈-时，12max3x x -=， ……3分所以由不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，所以6a ≥或者1a ≤- ……5分假设q 真，那么2210ax x ++=的解集为空集，2240a ∆=-<， ………………………7分解得：1a > ………………………8分 因为p 或者q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 一真一假． ……………………9分假设p真q假，那么有6a ≥或者1a ≤-且1a ≤， 得1a ≤- ……………………10分假设p假q真，那么有16a -<<且1a >， 得16a << …………………11分综上知，实数a 的取值范围是(,1](1,6)-∞-． (12)分18．【解析】(1) 2222()2(cos sin )(cos sin )1f x x x x x x ωωωωω=+-++2cos 212sin(2)16x x x πωωω=++=++ (1)分因为点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心，所以36k ωπππ-+=，k Z ∈，所以132k ω=-+，k Z ∈ .………………………2分因为01ω<<，所以10,2k ω==， 所以()2sin()16f x x π=++ .………………………4分最小正周期2T π= ………………………5分(2)由(1)知，()2sin()16f x x π=++，向左平移6π个单位得2sin()13y x π=++，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变1()2sin()123g x x π=++ (7)分当[,3]x ππ∈-时，列表如下： ………………………10分123x π+ 6π-2π π32π 116πx π-23π-3π 43π 73π 3π ()f x0 1 31 1-那么函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象如下图： ………………………12分19．【解析】〔1〕由22(10.75)(5)(10.75)(7)1222k b k b ----⎧=⎪⎨=⎪⎩得22(10.75)(5)0(10.75)(7)1k b k b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，解得5,1b k == ………………………6分(2)当p q =时，2(1)(5)22t x x ---=，所以2(1)(5)t x x --=- ，故211125(5)10x t x x x=+=+-+- ………………………9分 而25()f x x x=+在(0,4]上单调递减， 所以当4x =时，()f x 有最小值414此时，112510t x x=++-获得最大值5， ………………………11分 故，当4x =时，关税税率的最大值为500% ………………………12分20．【解析】(1)由题知(,0)2p F ，32p FA =+，那么(3,0)D p +，FD 的中点坐标为33(,0)24p+， 那么33324p+=，解得2p =，故C 的方程为24y x =． …………………………4分 (2)依题可设直线AB 的方程为0(0)x my x m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，那么22(,)E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得20440y my x --=， …………………………5分因为012x ≥，所以2016160m x ∆=+>，124y y m +=，1204y y x ⋅=-， …………………………6分设P 的坐标为(,0)P x ，那么22(,)P PE x x y =--，11(,)P PA x x y =--， 由题知//PE PA ，所以2112()()0P P x x y x x y -⋅+-⋅=，即2221121212211212()()44P y y y y y y y y x y x y y y x +++=+==， …………………………7分 显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证00P x x +=， 由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即12221211()4y y y y +=-， 所以124y y -=，所以21212()416y y y y +-⋅=．即220161616m x +=，201m x =-， 01x <， …………………………10分又因为012x ≥，所以0112x ≤<，d ===t =∈，202x t =-，22(2)42t d t t t -==-， 易知4()2f t t t =-在(1,2上是减函数，所以,2)3d ∈． …………………………12分21．【解析】〔1〕)(x f 的定义域为R ，()(2)()xf x x e a '=++ ……………………………1分假设0a ≥，那么0x e a +>，所以当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '<；当(2,)x ∈-+∞时，()0f x '>， 所以)(x f 在(,2)-∞-上递减，在(2,)-+∞递增所以2x =-为)(x f 唯一的极小值点，无极大值，故此时)(x f 有一个极值点．……………2分假设0a <，令()(2)()0xf x x e a '=++=，那么12x =-，2ln()x a =-当2a e -<-时，12x x <，那么当1(,)x x ∈-∞时，()0f x '>；当12(,)x x x ∈时，()0f x '<；当2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．所以12,x x 分别为)(x f 的极大值点和极小值点，故此时)(x f 有2个极值点．…………………3分当2a e -=-时，12x x =, ()(2)()0xf x x e a '=++≥且恒不为0，此时)(x f 在R 上单调递增，无极值点 ……………………………………………4分 当20e a --<<时，12x x >，那么当2(,)x x ∈-∞时，()0f x '>；当21(,)x x x ∈时，()0f x '<； 当1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．所以12,x x 分别为)(x f 的极小值点和极大值点，故此时)(x f 有2个极值点．…………………5分综上，当2a e -=-时，)(x f 无极值点；当0a ≥时，)(x f 有1个极值点；当2a e -<-或者20e a --<<时，)(x f 有2个极值点． (6)分(2)证明：假设00(2)x x ≠-是)(x f 的一个极值点，由〔1〕可知22(,)(,0)a e e --∈-∞--又22(2)2f e a e ---=-->，所以2(,)a e -∈-∞-，且02x ≠-， (7)分那么0ln()x a =-，所以201()(ln())[ln ()2ln()2]2f x f a a a a =-=-+--， 令ln()(2,)t a =-∈-+∞，那么t a e =-，所以21()(ln())(22)2t g t f a e t t =-=-+-故1()(4)2tg t t t e '=-+ (10)分又因为(2,)t ∈-+∞，所以40t +>，令()0g t '=，得0t =．当(2,0)t ∈-时，()0g t '>，()g t 单调递增，当(0,)t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减 所以0t =是()g t 唯一的极大值点，也是最大值点，即()(0)1g t g ≤=，故(ln())1f a -≤，即0()1f x ≤ …………………12分22．【解析】〔1cos()104πθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得10x y --=， …………………2分因为244x m y m ⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =． …………………5分〔2〕点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上，设直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕，代入24y x =，得280t --=， …………………7分 设点,A B 对应的参数分别为12,t t，那么12t t +=128t t =-， 所以1212111||||t t MA MB t t -+====． …………………10分 23．【解析】〔1〕()3g x ，即|1||1|3x x ++-，不等式等价于1(1)(1)3x x x -⎧⎨-+--⎩或者11(1)(1)3x x x -<<⎧⎨+--⎩或者1113x x x ⎧⎨++-⎩， 解得32x ≤-或者32x ≥， …………………4分 所以()3g x ≥的解集为33|22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． …………………5分 〔2〕因为21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使得12()()f x g x ≤成立，所以min min ()()([2,2])f x g x x ≤∈-， …………………6分 又min ()2g x =，所以min ()2([2,2])f x x ≤∈-，当22a -≤-，即4a ≥时，min ()(2)424822f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥； 当22a -≥，即4a ≤-时，min ()(2)424822f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-； 当222a -<-<，即44a -<<时22min ()()42242a a a f x f =-=-+≤，解得a ≥a ≤-，所以4a -<≤-4a ≤<，综上，实数a 的取值范围为(,[22,)-∞-+∞． …………………10分制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
高三数学9月份联考试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校仁寿一中等西南四八校2021届高三数学9月份联考试题理〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
{}24A x x =<，{}2,1,0,1B =--，那么AB =〔〕A.{}0,1B.{}1,0,1-C.{}2,1,0--D.{}2,1,0,1--【答案】B 【解析】 【分析】先计算得到集合A ，再计算A B 得到答案.【详解】{}{}24=-22A x x x x =<<<故答案选B【点睛】此题考察了集合的交集，属于根底题型. 2.()()131i i +-=〔〕A.42i +B.24i +C.22i -+D.22i -【答案】A 【解析】 【分析】把复数乘积展开，化简为a +bi 〔a 、b ∈R 〕的形式，可以判断选项． 【详解】∵〔1+3i 〕〔1-i 〕＝1+3+3i-i ＝4+2i 应选：A ．【点睛】此题考察复数代数形式的运算，是根底题．x ∈R ，那么“21x <〞是“31x <〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进展判断即可． 【详解】由2x<1得x<0，由“x 3<1〞得x ＜1，x<0是x ＜1的充分不必要条件 那么“2x<1〞是“x 3<1〞的充分不必要条件， 应选：A ．【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决此题的关键．p ：0x ∀>，lg 0x >，那么p ⌝是〔〕A.0x ∀>，lg 0x ≤B.00x ∃>，0lg 0x < C.0x ∀>，lg 0x < D.00x ∃>，0lg 0x ≤【答案】D 【解析】 【分析】p ：∀x ＞0，总有lgx ＞0， p 为：∃x 0＞0，使得lg x 0≤0，应选：D ．{}n a 中，242a a +=，53a =，那么{}n a 的前6项和为〔〕A.6B.9C.10D.11【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列{a n }通项公式列方程组求出a 1，d ，由此能求出{a n }的前6项和． 【详解】∵在等差数列{a n }中，a 53=，a 2+a 4＝2，∴1111433242a d a d a d a d +=⎧⎨+++=+=⎩，解得a 11=-，d 1=， ∴{a n }的前6项和S 6的值：616562S a d ⨯=+=61⨯-+（）15×19=． 应选B ．【点睛】此题考察等差数列的前n 项和的公式，考察等差数列的通项公式的应用，考察运算求解才能，是根底题．()()506f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的局部图像，假设AB 4=，那么()1f -=〔〕A.-1B.1C.32-D.32【答案】D 【解析】 【分析】 由图可设A 〔a，那么B 〔a 2T +，AB =〔2T，，利用向量模的坐标运算，求得T 2πω==4，从而可得ω的值，代入x=-1计算可得结果．【详解】设A 〔a，函数f 〔x〕=〔ωx +56π〕的周期为T ，那么B 〔a 2T+，，∴AB =〔2T ，224T =+12=16， ∴T 2＝16， ∴T 2πω==4，解得：ω2π=．∴f 〔x 〕=〔2πx +56π〕，∴f 〔-1〕32=， 应选：D ．【点睛】此题考察函数y ＝A sin 〔ωx +φ〕的图象解析式确实定及应用，涉及向量模的坐标运算及其应用，属于中档题．7.()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.假设(1)2f =，那么(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=〔〕A.50-B.0C.2D.50【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=, 因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考察求值问题，常利用奇偶性及周期性进展变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．8.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A.10B.20C.40D.80【答案】C 【解析】分析：写出103152r rr r T C x -+=，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrrr r rr T Cx C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令103r 4-=,那么r 2=所以22552240rr C C =⨯=应选C.点睛：此题主要考察二项式定理，属于根底题。
高三数学9月第一次统一考试试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学9月第一次统一考试试题理〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合要求的．{|110}A x x =-<，集合{|lg 1}B x x =，那么A B =〔〕A.{|110}x x -≤<B.{|110}x x -≤≤C.{|010}x x <<D.{|010}x x <≤【答案】C 【解析】 【分析】对集合B 内的不等式进展计算，然后根据交集运算得到答案. 【详解】集合B 中，解不等式1lg x ≤，得010x <≤，所以集合{}=010B x x <≤而集合{|110}A x x =-<所以A B ={|010}x x <<，应选C 项.【点睛】此题考察对数不等式的计算，集合交集的运算，属于简单题.2.在复平面内，复数z 满足(1)4z i -=，那么复数z 在复平面内对应的点在〔〕 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】 【分析】对条件中的式子进展计算化简，得到复数z ，从而得到其在复平面对应的点的坐标，得到答案.【详解】由(1)4z i -=，得4221z i i==+- 所以z 在复平面对应的点为()2,2，所以对应的点在第一象限.应选A 项.【点睛】此题考察复数的计算，复平面的相关概念，属于简单题.a 和b 的夹角为120︒，k ∈R ，那么||ka b +的最小值为〔〕A.34C.1D.32【答案】B 【解析】 【分析】 对||kab +平方，然后将单位向量a 和b 的模长和夹角带入，得到关于k 的函数，然后得到其最小值，从而得到答案. 【详解】()2222||=2ka b k a a b b ++⋅+因为a 和b 是单位向量，且夹角为120︒ 所以()2222||=2ka b k a ka b b ++⋅+21324k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭34≥，所以||kab +≥所以||ka b + 【点睛】此题考察向量模长的表示，求模长的最小值，属于简单题,4.tan α=2παπ<<，那么sin cos αα-=〔〕【解析】∵tan 2πααπ=<<∴23πα=∴1sin 22αα==-∴1sin cos 2αα+-=应选A 5.：6log 5a=，0.3b π=，1ln2c =，那么以下结论正确的选项是〔〕 A.a b c << B.b a c <<C.c b a <<D.c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】分别将,,a b c 与特殊值0,1进展比较，然后判断出其大小关系，得到答案.【详解】因为()6log 501a =∈，，()0.31+b π=∈∞，，()1ln ,02c =∈-∞ 所以c a b <<， 应选D 项.【点睛】此题考察比较指数值和对数值的大小，属于简单题. 6.执行如下列图程序框图，假设输入的4k=，那么输出的s =〔〕A.34B.45C.56D.67【答案】C【分析】根据程序框图的要求，得到每次循环对应的,s n 的值，再根据判断语句，完毕循环，输出s 的值，得到答案.【详解】根据程序框图的循环语句可知第一次循环，4,0,0kn s ===，此时n k ≤，1n =，112s =⨯； 第二次循环，14,1,12k n s ===⨯，此时n k ≤，2n =，11+1223s =⨯⨯； 第三次循环，114,2,+1223k n s ===⨯⨯，此时n k ≤，3n =，111++122334s =⨯⨯⨯； 第四次循环，1114,3,++122334k n s ===⨯⨯⨯，此时n k ≤，4n =，1111+++12233445s =⨯⨯⨯⨯； 第五次循环，11114,3,+++12233445k n s ===⨯⨯⨯⨯，此时n k ≤，5n =，11111++++1223344556s =⨯⨯⨯⨯⨯； 第六次循环，4,5k n ==，不满足n k ≤，循环停顿，输出11111++++1223344556s=⨯⨯⨯⨯⨯ 应选C 项.【点睛】此题考察根据输入值求程序框图的输出值，裂项相消求数列的和，属于简单题.()sin f x x x =-，那么不等式2(1)(33)0f x f x -++>的解集是A.(,4)(1,)-∞-+∞B.(,1)(4,)-∞-+∞C.(1,4)-D.(4,1)- 【答案】C【分析】由题意，根据函数的解析式，求解函数()f x 是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为21(33)x x ->-+，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，函数()sin f x x x =-，那么()1cos 0f x x '=-≥，所以函数()f x 是定义域上的单调递增函数， 又由()()sin()(sin )f x x x x x f x -=---=--=-，即函数()f x 定义域上的奇函数，又由不等式2(1)(33)0f x f x -++>可转化为2(1)(33)[(33)]f x f x f x ->-+=-+即21(33)xx ->-+，即2340x x --<，解得14x -<<，即不等式的解集为(1,4)-，应选C.【点睛】此题主要考察了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式2340x x --<是解答的关键，着重考察了转化思想，以及分析问题和解答问题的才能，属于根底题.8.如图，在正方形区域内任取一点，那么此点取自阴影局部的概率是〔〕1B.)241π-C.)241π+D.16【答案】B 【解析】 【分析】利用定积分先求出阴影局部的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影局部的面积()()44cos sin sin cos 1Sx x dx x x ππ=-=+=⎰，正方形面积为24π，所以所求概率为)224114ππ=.【点睛】此题主要考察与面积有关的几何概型.()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，那么以下结论中错误的选项是A.函数()f x 的值域与()g x 的值域一样B.假设0x 是函数()f x 的极值点，那么0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数【答案】C 【解析】 【分析】先求出()f x 的导数，结合解析式的特点来判断.【详解】()sin g x cosx x =+，所以选项A 正确；由极值点定义可知选项B 正确；把()f x 的图像向右平移2π个单位，得到()sin()sin cos 22y cos x x x x ππ=-+-=-与()g x 不相等；应选C. 【点睛】此题主要考察三角函数的图像和性质.三角函数的图像变换主要平移方向和系数的影响. 10.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
高三数学9月月考试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校内蒙古HY2021届高三数学9月月考试题理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.，，那么的元素个数为A.1B.2C.3D.4A.p，qB.“〞是“〞的必要不充分条件C.D.2.设函数，那么的值是A.3B.6C.8D.123.函数的最大值为M，最小值为m，那么A.0B.1C.2D.44.函数有两个不同的零点，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.5.a的最小值为A.2B.C.D.6.函数，满足和是偶函数，且，设，那么A. B. C. D.7.函数的图像与x轴切于点，那么的极大值、极小值分别为A.，0B.0，C.，0D.0，8.当时，，那么a的取值范围是9.关于函数有下述四个结论：是偶函数在区间单调递增在有4个零点的最大值为2其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.10.函数，那么的极大值点为A. B.1 C.e D.2e11.函数与函数的图象上存在关于y轴对称的点，那么实数a的取值范围为A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题〕12.，，三个数中最大数的是______．13.，，且，那么______．14.______p：方程的实数解的个数为2，q15.假设，那么在处获得极值；16.假设不等式的解集为P，的定义域为Q，那么“〞是“〞的充分不必要条件17.为正常数，，假设，，，那么实数a的取值范围是______三、解答题〔本大题一一共7小题〕18.p：；q：函数在区间上有零点．19.Ⅰa的取值范围；20.Ⅱ假设p是q成立的充分不必要条件，务实数m的取值范围．21.22.23.24.25.26.27.28.假设函数，且其导函数的图象过原点．29.Ⅰ当时，求函数的图象在处的切线方程；30.Ⅱ假设存在使得，务实数a的最大值．31.32.33.34.35.36.37.38.三棱锥中，，，，N为AB上一点，，M，S分别为PB，BC的中点．39.Ⅰ证明：；40.Ⅱ求SN与平面CMN所成角的大小．41.43.44.45.椭圆：：的离心率为，过的左焦点的直线l：被圆：截得的弦长为．46.求椭圆的方程；47.设的右焦点为，在圆上是否存在点P，满足，假设存在，指出有几个这样的点不必求出点的坐标；假设不存在，说明理由．48.49.50.51.52.53.54.55.函数，．56.Ⅰ试讨论的单调性；57.Ⅱ记的零点为，的极小值点为，当时，求证：．58.59.60.61.62.63.64.65.在平面直角坐标系xOy中，设倾斜角为的直线l的参数方程为为参数在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B．66.假设，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；67.假设为与的等比中项，其中，求直线l的斜率．68.69.70.71.72.73.74.75.函数，为常数且假设，求不等式的解集；假设函数在上有两个零点，求的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：，或者，，或者，，0，，的元素个数为3个；应选：C．首先化简集合B求出其补集，然后与集合A进展交集运算．此题考察了集合的交集、补集的运算，特别注意元素的属性．2.【答案】Cp，qA错误；可得，反之不成立，也成立，“〞是“〞的充分不必要条件，故BCD错误．应选：C．由p且q的真值表可判断A；由充分必要条件的定义和二次方程的解法，可判断BCD3.【答案】D【解析】解：根据题意，函数，，那么；应选：D．根据题意，由于，结合函数的解析式可得，进而计算可得答案．此题考察分段函数的应用，涉及函数值的计算，属于根底题．4.【答案】C【解析】解：，且，；设，那么函数是定义域上的奇函数；又的最大值为M，最小值为m，的最大值是，最小值是；，那么．应选：C．化简函数，设，那么函数是定义域上的奇函数；由的最大值与最小值，得出的最大值与最小值，由此求出的值．此题考察了函数的奇偶性与最值的应用问题，是根底题目．5.【答案】C【解析】【分析】此题考察分段函数的零点问题解法，注意运用定义法和函数的单调性，考察方程思想，运算求解才能，属于中档题．由分段函数，分别判断时，时，的单调性，可得恰有一个零点，由对数函数的单调性，即可得到a的范围．【解答】解：由函数，，为增函数，最多一个零点．当时，，即有，由，可得．当时，，可得或者舍去，那么实数a的取值范围是．应选C．6.【答案】Da，利用配方法与指数函数的性质即可求得实数aa的最小值为．应选：D．7.【答案】B【解析】解：由题意得：，，故，那么，应选：B．根据函数的奇偶性和周期性求出，从而求出答案．此题考察了函数的奇偶性和周期性问题，考察函数求值，是一道根底题．8.【答案】A【解析】解：对函数求导可得，，由，可得由，得或者，当或者时，函数单调递增；当时，函数单调递减当时，取极大值，当时，取极小值0，应选A．对函数求导可得，，由，可求p，q，进而可求函数的导数，然后由导数判断函数的单调性，进而可求函数的极值此题主要考察了导数在求解函数的单调性、函数的极值中的应用，属于导数根本方法的应用9.【答案】B【解析】【分析】此题主要考察了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属根底题由指数函数和对数函数的图象和性质，将不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：时，要使，由对数函数的性质可得，数形结合可知只需，即对时恒成立解得10.【答案】C3个零点，故错误；当，时，获得最大值2，故正确，故正确是，应选C．11.【答案】D【解析】【分析】此题考察了函数的单调性、极值问题，考察导数的应用，求出的值是解题的关键．求出的值，求出函数的解析式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值点即可．【解答】解：，令，可得：，，令，解得：；令，解得：．故在递增，在递减，时，获得极大值2ln2，那么的极大值点为：2e．应选：D．12.【答案】C此题主要考察函数的图象，把方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，导数的应用，属于中档题．由题意可化为在上有解即在上有解，即函数与在上有交点，画出函数与在上的图象，求得直线和曲线相切的条件，即可得到所求a的范围．【解答】解：由题意知，方程在上有解，即，即在上有解，即函数与在上有交点，的导数为，当时，，函数在递减；当时，，函数在递增．可得处函数获得极大值，函数与在上的图象如图，当直线与相切时，切点为，可得，由图象可得a的取值范围是．应选：C．13.【答案】【解析】解：由于，，，那么三个数中最大的数为故答案为：运用指数函数和对数函数的单调性，可得，，，即可得到最大数．此题考察数的大小比较，主要考察指数函数和对数函数的单调性的运用，属于根底题．14.【答案】【解析】解：，，，，，，，故答案为：．根据对数的运算和性质即可求出．此题考察了对数的运算和性质，属于根底题．15.【答案】【解析】解：假设p：方程的实数解的个数为2，根据函数的图象，p正确．qqP，即．的定义域为Q，那么，所以那么“〞是“〞的充分不必要条件．正确．故答案为：直接利用函数的图象和函数的极值点的应用及函数的定义域的应用求出结果．此题考察的知识要点：函数图象和性质的应用，导数的极值点的应用，函数的定义域的应用，主要考察学生的运算才能和转换才能，属于根底题型．16.【答案】【解析】解：a为正常数，，当时，，其对称轴为，．当时，递增，即，，，，，．解得．实数a的取值范围是．a为正常数，，利用二次函数与指数函数的单调性画出函数图象，进而得出a满足的条件．此题考察了二次函数与指数函数的单调性、函数零点，考察了数形结合方法、推理才能与计算才能，属于中档题．17.【答案】解：Ⅰ当时，p：，那么：或者．函数在区间上单调递增，且函数在区间上有零点，，解得，那么qa的取值范围是．Ⅱ：，q：，且p是q成立的充分条件．，即．又是q成立的不必要条件，不等式组等号不能同时成立．．综上得，实数m的取值范围是．【解析】Ⅰ当时，求解不等式化简p，可得，由函数在区间上单调递增且有零点，得到关于a的不等式组，求得aa的取值范围可求；Ⅱ由结合p是q成立的充分条件，可得，又p是q成立的不必要条件，可得不等式组等号不能同时成立，由此求得实数m的取值范围．此题考察交、并、补集的混合运算，考察充分必要条件的断定与应用，考察数学转化思想方法，是中档题．18.【答案】解：，求导数，可得，由得，．，．函数的图象在处的切线方程为，即．Ⅱ存在，使得，，，当且仅当时，．的最大值为【解析】Ⅰ求导函数，利用导函数的图象过原点，化简函数，进而可求函数的图象在处的切线方程；Ⅱ存在，使得，再别离参数，利用根本不等式，即可求得实数a的最大值．此题考察导数知识的运用，考察导数的几何意义，考察别离参数，根本不等式的运用，解题的关键是正确求出导函数，属于中档题．19.【答案】证明：设，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．那么0，，1，，0，，0，，0，，分Ⅰ，因为，所以分Ⅱ，设y，为平面CMN的一个法向量，那么令，得1，．因为，所以SN与平面CMN所成角为．【解析】由，N为AB上一点，，我们不妨令，然后以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系．由此不难得到各点的坐标要证明，我们可要证明即可，根据向量数量积的运算，我们不难证明；要求SN与平面CMN所成角的大小，我们只要利用求向量夹角的方法，求出SN和方向向量与平面CMN 的法向量的夹角，再由它们之间的关系，易求出SN与平面CMN所成角的大小．假设向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式即可求解20.【答案】解：在直线l的方程中，令，得，即得，，又离心率，，，椭圆的方程为．圆心到直线l：的间隔为，又直线l被圆截得的弦长为，由垂径定理得，故圆的方程为：．设圆上存在点，满足，即，，那么，整理得此方程表示圆心在点，半径是的圆，，故有，即两圆相交，有两个公一共点．圆上存在两个不同点P，满足，【解析】第问，由，，及的坐标满足直线l的方程，联立此三个方程，即得，，从而得椭圆方程；第问，根据弦长，利用垂径定理与勾股定理得方程，可求得圆的半径r，从而确定圆的方程，再由条件，将点P满足的关系式列出，通过此关系式与圆的方程联络，再探求点P的存在性．此题考察了椭圆的性质，直线与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系，弦长计算，属于中档题21.【答案】解：Ⅰ，假设，那么，在递增；假设，那么一正一负两根，且正根是，当时，，递增，时，，递减；综上，时，在递增；时，在递增，在递减；Ⅱ，，故在递增，又，，故存在零点，且在递减，在递增，即是的极小值点，故，由知，，故，又，故，由Ⅰ知，时，在递增，故．【解析】Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ结合函数的极小值点，得到，又，故，从而证明结论．此题考察了函数的单调性，极值问题，考察导数定义域以及不等式的证明，考察转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．22.【答案】解：，直线l的点斜式方程为，化简得：，由得，根据互化公式可得曲线C的直角坐标方程为，将直线l的参数方程代入并整理得：，，得，，设A，B对应的参数为，，那么，由得，即，化简得，，，，，根据判别式舍去负值，所以斜率为．【解析】根据直线方程的点斜式可得直线l的普通方程，根据互化公式可得曲线C的直角坐标方程；根据参数t的几何意义以及等比中项列式可解得．此题考察了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：由于，故函数．假设，那么，即，解得；假设，那么，即，，故不等式无解．综上所述：的解集．因为，所以因为函数在上有两个零点有两种情况：可以在上有一零点，在上有一零点；或者在上有两个零点．当在上有两个零点，那么有，，所以不等式组无解．当在上有一零点，在上有一零点，，且，，，所以k的取值范围为．不妨令，，令，那么在区间上为减函数，，【解析】由于，故函数，分类讨论去掉绝对值，求得的解集．由题意可得，在在上有一零点，在上有一零点；或者在上有两个零点．分别求得k的范围，再利用二次函数的性质求得的取值范围．此题主要考察带有绝对值的函数，方程根的存在性以及个数判断，二次函数的性质，属于中档题．。
高三数学9月月考试题理含解析1
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三9月月考数学试卷数学〔理科〕本套试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部．第I卷1至2页，第II卷2至4页．总分值是150分．考试时间是是120分钟．本卷须知：2．选择题使需要用2B铅笔填涂在答题卡对应题目的号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写之答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．在在考试完毕之后以后将答题卡收回．第一卷〔选择题，一共60分〕一．选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1.为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为〔〕A.第二象限B.第一象限C.第四象限D.第三象限【答案】C【解析】，复数在复平面内对应坐标为，所以复数在复平面内对应的点在第四象限，应选C.2.，函数的定义域为，，那么以下结论正确的选项是〔〕A. B. C. D.【答案】A【分析】求函数定义域得集合M，N后，再判断．【详解】由题意，，∴．应选A．【点睛】此题考察集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．3.f〔x〕=ax2+bx是定义在[a﹣1，3a]上的偶函数，那么a+b的值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由定义域关于原点对称求出a的值，再由f〔﹣x〕=f〔x〕求得b的值，那么答案可求．【详解】由f〔x〕=ax2+bx是定义在[a﹣1，3a]上的偶函数，得a﹣1=﹣3a，解得：a=．再由f〔﹣x〕=f〔x〕，得a〔﹣x〕2﹣bx=ax2+bx，即bx=0，∴b=0．那么a+b=．应选：B．【点睛】此题考察了函数奇偶性的性质，函数是偶函数或者奇函数，其定义域关于原点对称，是根底题．，那么不等式f〔x〕＜f〔﹣1〕的解集是〔〕A.〔﹣3，﹣1〕∪〔3，+∞〕B.〔﹣3，﹣1〕∪〔2，+∞〕C.〔﹣3，+∞〕D.〔﹣∞，﹣3〕〔﹣1，3〕【答案】A【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的范围进展求解即可．【详解】由函数的解析式得f〔﹣1〕=1﹣4+6=3，那么不等式等价为f〔x〕＜3，假设x＞0得﹣x+6＜3，得x＞3，假设x≤0，那么不等式等价为x2+4x+6＜3，即x2+4x+3＜0，得﹣3＜x＜﹣1，综上不等式的解集为〔﹣3，﹣1〕∪〔3，+∞〕，应选：A．【点睛】此题主要考察不等式的求解，根据分段函数的表达式分别进展求解是解决此题的关键．：,：,( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】x+21﹣x=2，化为：〔2x〕2﹣2•2x+2=0，解得2x=，∴x=∀x∈N*，〔〕x≥〔〕xx+21﹣x=2，化为：〔2x〕2﹣2•2x+2=0，解得2x=，∴x=∧〔￢q〕，应选：C．满足，那么函数的零点所在的区间是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为，所以，所以函数是增函数，又因为，根据零点存在定理可知函数的零点所在的区间是，应选B.考点：1、函数的单调性；2、零点存在定理.【方法点睛】此题是一个关于函数的单调性与函数零点问题的综合性问题，属于中档题.解决此题的根本思路是，首先根据题目条件判断出实数的取值范围，再根据此范围判断出函数在其定义域上的单调性，最后再应用零点存在定理，即可得到函数的零点所在的区间，从而使问题得到解决.，那么的大致图象为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数奇偶性定义判断函数的奇偶性，再给函数求导判断单调性，最后代入特殊点判断.【详解】因为，所以函数为奇函数，排除B选项，求导：，所以函数单调递增，故排除C选项，令，那么，故排除D.应选A.【点睛】此题考察函数图像的判断，由对称性可知可以先由奇偶性判断，由其图像趋势可知可以利用单调性判断，最后比照两图像可以用代入特殊点的方式判断，一般要根据函数图像的差异代入相应的点.是奇函数，且在内是增函数，又，那么的解集是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意画出函数的单调性示意图，由不等式xf〔x〕＜0可得，x与f〔x〕的符号相反，数形结合求得不等式的解集．【详解】由题意可得，函数f〔x〕在〔﹣∞，0〕上是增函数，且f〔﹣3〕=﹣f〔3〕=0，函数的单调性示意图如下列图：由不等式xf〔x〕＜0可得，x与f〔x〕的符号相反，结合函数f〔x〕的图象可得，不等式的解集为〔﹣3，0〕∪〔0，3〕，【点睛】此题主要考察函数的单调性和奇偶性的应用，表达了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．9.函数,那么在(1，3)上不单调的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为函数f〔x〕=ax2﹣4ax﹣lnx与x轴在〔1，3〕有交点，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质判断即可．【详解】f′〔x〕=2ax﹣4a﹣=，假设f〔x〕在〔1，3〕上不单调，令g〔x〕=2ax2﹣4ax﹣1，那么函数g〔x〕=2ax2﹣4ax﹣l与x轴在〔1，3〕有交点，a=0时，显然不成立，a≠0时，只需，解得：a＞，应选：C【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．的最大值为，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】讨论x＜0时，运用根本不等式可得最大值f〔﹣1〕=a，求得x＞0的函数的导数，讨论a=0显然成立；a＞0，求得单调性，可得最大值，可令最大值小于等于a，解不等式可得所求范围．【详解】当x＜0时，f〔x〕=x++a+2≤﹣2+a+2=a，当且仅当x=﹣1，即f〔﹣1〕获得最大值a，当x＞0时，f〔x〕=alnx﹣x2，导数为f′〔x〕=﹣2x，假设a=0时，f〔x〕=﹣x2＜0，显然成立；假设a＞0，那么可得f〔x〕在〔0，〕递增，〔，+∞〕递减，可得f〔〕获得极大值，且为最大值aln﹣，由题意可得aln﹣≤a，解得0＜a≤2e3，综上可得0≤a≤2e3，应选：C．【点睛】此题考察函数的最值的求法，注意运用根本不等式和函数的导数，判断单调性，考察运算才能，属于中档题．，假设，那么〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：先利用数形结合得到，判断函数的单调性，得到函数在为增函数，从而可得结果.时，，所以函数，在为增函数，通过平移可得，在为增函数，作出与的图象，，可得，故，应选C.点睛：此题主要考察函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地提醒了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形〞1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．，假设函数的图象与轴的交点个数不少于2个，那么实数的取值范围为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得函数y=f〔x〕的图象与直线y=m〔x+1〕的交点个数至少为2个，分别作出y=f〔x〕的图象和直线y=m〔x+1〕，分别求得直线与x＜0的曲线相切，以及x＞1的曲线相切的m的值，和经过点〔1，〕时m 的值，结合图象可得m的范围．【详解】函数g〔x〕=f〔x〕﹣mx﹣m的图象与x轴的交点个数不少于2个，即为函数y=f〔x〕的图象与直线y=m〔x+1〕的交点个数至少为2个，分别作出y=f〔x〕的图象和直线y=m〔x+1〕，当直线与曲线在x＜0相切时，设切点为〔s，t〕，由y=〔〕x的导数为y′=﹣〔〕x ln2，可得m=﹣〔〕s ln2，t=〔〕s=m〔s+1〕，解得m=﹣2eln2，由x＞1时，联立直线y=m〔x+1〕和y=﹣x2+4x﹣，可得﹣x2+〔4﹣m〕x﹣m﹣=0，由相切条件可得△=〔4﹣m〕2﹣4〔m+〕=0，解得m=6﹣〔6+舍去〕，由直线经过点〔1，〕，可得m=，那么由图象可得m的范围是[，6﹣]∪〔﹣∞，﹣2eln2]．应选：D．【点睛】此题考察导数的运用：求切线的斜率，考察分类讨论思想方法和方程思想、以及数形结合思想方法，属于中档题．第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．的图象过点，那么的值是__________．【答案】【解析】设幂函数，把点代入函数，得，解得，那么，，故答案为.是定义在实数集上周期为2的奇函数，当时，，那么__________.【答案】1【解析】【分析】利用函数的周期为2，且函数为奇函数，得到f〔〕+lg14=f〔〕+lg14=f〔﹣〕+lg14=﹣f〔〕+lg14，再利用当x∈〔0，1]时，f〔x〕=lg〔x+1〕，能求出结果．【详解】∵函数f〔x〕是定义在实数集R上周期为2的奇函数，当x∈〔0，1]时，f〔x〕=lg〔x+1〕，∴f〔〕+lg14=f〔〕+lg14=f〔﹣〕+lg14=﹣f〔〕+lg14=﹣lg+lg14=lg〔14×〕=lg10=1．故答案为：1．【点睛】此题考察函数值的求法，考察函数性质等根底知识，考察运算与求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．15.假设函数f〔x〕=+m在区间[a，b]上的值域为[，]〔b＞a≥1〕，那么实数m的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】由题意可得，即+m=在[1，+∞〕上有2个不等实数根，故函数y=的图象和直线y=﹣m在[1，+∞〕上有2个交点，数形结合求得m的范围．【详解】由于函数f〔x〕=+m在区间[a，b]上有意义且是增函数，值域为[，]，b＞a≥1，故有，∴+m=在[1，+∞〕上有2个不等实数根，故函数y=的图象和直线y=﹣m在[1，+∞〕上有2个交点．如下列图：当m=0时，函数y=的图象〔红线〕和直线y=﹣m〔虚的蓝线〕相切于点〔2，1〕．当直线y=﹣m〔实蓝线〕经过点〔1，0〕时，由0=﹣m，求得m=，数形结合可得m的范围是〔0，]，故答案为：〔0，]．【点睛】此题主要考察求函数的定义域和值域，二次函数的性质应用，求得，是解题的关键，属于中档题．，(e是自然对数的底数)，对任意的R，存在，有，那么的取值范围为____________.【答案】【解析】【分析】问题转化为f〔x〕max≤g〔x〕max，分别求出f〔x〕和g〔x〕的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．【详解】对任意的x1∈R，存在x2∈[，2]，有f〔x1〕≤g〔x2〕，故f〔x〕max≤g〔x〕max，f′〔x〕=，〔x＞0〕，令f′〔x〕＞0，解得：0＜x＜e，令f′〔x〕＜0，解得：x＞e，故f〔x〕在〔0，e〕递增，在〔e，+∞〕递减，故f〔x〕max=f〔e〕=，g′〔x〕=﹣2ex+a，①a≤0时，g′〔x〕≤0，g〔x〕在[，2]递减，g〔x〕max=g〔〕=﹣e•+a≥，解得：a≥+〔舍〕，②a＞0时，令g′〔x〕=0，解得：x=，〔i〕≤即a≤时，g〔x〕在[，2]递减，结合①，不合题意，舍，〔ii〕＜＜2即＜a＜4e时，g〔x〕在[，〕递增，在〔，2]递减，故g〔x〕max=g〔〕=≥，解得：a≥2；〔iii〕≥2即a≥4e时，g〔x〕在[，2]递增，g〔x〕max=g〔2〕=﹣4e+2a≥，解得：a≥2e+，综上，a≥2，故答案为：[2，+∞〕．【点睛】此题考察了函数恒成立问题，考察函数的单调性问题，考察导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．三．解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．＞0，p：x2﹣2x﹣8≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．〔1〕假设p是q的充分不必要条件，务实数m的取值范围；〔2〕假设m=5，“p∨∧【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据充分不必要条件的定义进展求解即可．〔2【详解】〔1〕由x2﹣2x﹣8≤0得﹣2≤x≤4，即p：﹣2≤x≤[﹣2，4]，p是q的充分不必要条件，∴A⊊B，∴，解得：m≥4．〔2〕∵“p∨∧∴①假设p真q假，那么，无解，②假设p假q真，那么，解得：﹣3≤x＜﹣2或者4＜x≤7．综上得：﹣3≤x＜﹣2或者4＜x≤7．，是否存在实数，使函数有三个不同的零点，假设存在，求出的取值范围，假设不存在，说明理由．【答案】.【解析】【分析】要使函数有三个不同的零点，即使函数的图象与轴的正半轴有三个不同的交点【详解】∵，∴，．令，那么或者，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴，，当充分接近0时，，当充分大时，，要使函数有三个不同的零点，即使函数的图象与轴的正半轴有三个不同的交点；故应有，解得，∴存在实数，使函数有三个不同的零点，所以的取值范围是．【点睛】本小题主要考察函数的单调性、极值、最值等根本知识，考察运用导数研究函数性质的方法，考察运算才能，考察函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的才能．．〔1〕求函数的单调区间；〔2〕设，求函数在区间上的最大值．【答案】〔1〕单调递减区间为，单调递增区间为；〔2〕当时，最大值为；当时，最大值为；当时，最大值为．【解析】【分析】〔1〕求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间；〔2〕对a分类讨论，明确函数的单调性，从而得到函数的最值.【详解】〔1〕，由，解得；由，解得．所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．〔2〕由〔1〕可知：①当时，即，在上是增函数，所以此时；②当，时，即，在处获得极大值，也是它的最大值，所以此时；③当时，在上是减函数，所以此时．综上，函数在区间上的最大值；当时，为；当时，为；当时，为．【点睛】函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．(2)假设函数f(x)在上单调递增，那么f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；假设函数f(x)在上单调递减，那么f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．20.函数u〔x〕=〕〔Ⅰ〕假设曲线u〔x〕与直线y=0相切，求a的值．〔Ⅱ〕假设e+1＜a＜2e，设f〔x〕=|u〔x〕|﹣，求证：f〔x〕有两个不同的零点x1，x2，且|x2﹣x1|＜e．〔e 为自然对数的底数〕【答案】〔1〕；〔2〕见解析.【解析】【分析】〔Ⅰ〕设出切点坐标，求出函数的导数，根据斜率是0，求出a的值即可；〔Ⅱ〕求出必存在x0∈〔e，2e〕，使得u〔x0〕=0，即=lnx0，通过讨论x的范围，求出函数的零点的范围，从而证明结论即可．【详解】〔Ⅰ〕设切点又切点在函数上，即〔Ⅱ〕证明:不妨设，，所以在上单调递减，又，所以必存在，使得，即.①当时，，所以在区间上单调递减，注意到，所以函数在区间上存在零点，且.……10分②当时,所以在区间上单调递增，又，且，所以在区间上必存在零点，且.综上，有两个不同的零点、，且.【点睛】此题考察切线方程问题，考察函数的单调性、最值问题，考察导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．21.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C:(>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为:〔t为参数〕,直线l与曲线C分别交于M,N两点．(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)假设|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求的值．【答案】(1)曲线C:,直线的普通方程为；(2)．【解析】试题分析：(1)由代入可得曲线C普通方程，直线l参数方程，两式相减消去参数，可得直线l的普通方程；(2)设两交点M,N对应的参数分别为t1,t2，将直线的参数方程代入抛物线方程可得，韦达定理求出，又|MN|2=|PM|·|PN|得(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1·t2=t1·t2,解得．解：(1)由得曲线C:,消去参数t可求得,直线l的普通方程为．4分(2)直线l的参数方程为(t为参数),代入,得,设两交点M,N对应的参数分别为t1,t2,那么有,．因为|MN|2=|PM|·|PN|,所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1·t2=t1·t2,解得．12分考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化,参数方程．.〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设不等式解集非空，务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕或者【解析】【分析】〔1〕通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f〔x〕≤6的解集；〔2〕由题意可得|a﹣1|应大于函数f〔x〕=|2x+1|+|2x﹣3|的最小值，而由绝对值的意义可得f〔x〕的最小值为4，故有a2﹣3a＞4，由此求得实数a的取值范围【详解】〔1〕，〔2〕因为，当且仅当时取等故不等式解集非空，等价于或者.。
高三数学上学期9月联考试题应届理试题
卜人入州八九几市潮王学校毛坦厂2021届高三数学上学期9月联考试题〔应届〕理一、选择题〔一共12小题，每一小题5分，一共60分〕 1、集合，集合，那么A ∩B=()A ．B ．C ．D ．2、〕①“都有〞的否认是“使得〞;②“〞是“〞成立的充分条件;，那么方程④幂函数的图像可以出如今第四象限。
A.0B.1C.2D.33、在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，而函数的图象与的图象关于y 轴对称，假设，那么的值是()A.-eB.-e1C.eD.e1 4、函数2()ln(43)f x x x =-+的单调递增区间是()A ．(－∞,1)B ．(－∞,2)C ．(2,+∞)D ．(3,+∞)5、 函数与函数的图象可能是 〔 〕6、函数⎩⎨⎧≥++<+-+=0,2)1(log 0,3)34()(2x x x a x a x x f a 〔a ＞0且a ≠1〕是R 上的单调函数，那么a 的取值范围是〔〕A.3(0,]4 B.3[,1)4 C.]43,32[ D.]43,32( 7、 1.30.20.20.7,3,log 5ab c ===，那么ɑ，b ，c 的大小关系〔〕A.a c b <<B.c a b <<C.b c a <<D.c b a << 8、定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，假设(3)1f =，那么不等式(21)1f x +<的解集为〔〕A ．(－1,1)B ．(－1,+∞)C．(－∞,1)D．(－∞,－1)∪(1,+∞)9、函数()12f x x x =+-f (x )有〔〕A ．最小值12，无最大值B ．最大值12，无最小值 C ．最小值1，无最大值D ．最大值1，无最小值10、定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)21()21(x f x f -=+，在区间]0,21[-上递增，那么〔〕A)2()2()3.0(f f f << B.)2()3.0()2(f f f << C.)2()2()3.0(f f f << D.)3.0()2()2(f f f <<11、定义在R 上函数f(x),对任意的x 1,x 2∈[2021,+∞)且x 1≠x 2，都有[f(x 1)-f(x 2)](x 1-x 2)<0,假设函数y=f(x+2021)为奇函数，(a-2021)(b-2021)<0且a+b>4034,那么〔〕 A.f(a)+f(b)>0B.f(a)+f(b)<0C.f(a)+f(b)=0D.以上都不对 12、设()f x 是定义在R 上的奇函数,且()10f =,当0x >时,有()()f x xf x >'恒成立,那么不等式()0xf x >的解集为()A.(－∞,0)∪(0,1)B.(－∞,－1)∪(0,1)C.(－1,0)∪(1,+∞)D.(－1,0)∪(0,1) 二．填空题〔一共4题，每一小题5分，一共20分〕13、f (x)=ax ²+bx 是定义在[a -1,3a ]上的偶函数，那么a +b=___________14、设函数()()321f x x a x ax =+-+．假设()f x 为奇函数，那么曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为___________．15、方程062)1(22=++-+m x m x有两个实根21,x x ，且满足41021<<<<x x ，那么m 的取值范围是___________． 16函数f 〔x 〕=e x﹣e ﹣x①f〔x 〕是奇函数；②f〔x 〕在R 上是单调递增函数； ③方程f 〔x 〕=x 2+2x 有且仅有1个实数根；④假设对任意x∈〔0，+∞〕，都有f 〔x 〕＞kx ，那么k 的最大值为2．三．解答题〔一共6小题，一共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤。
高三数学9月月考试题理含解析试题1
卜人入州八九几市潮王学校双流区双流2021届高三数学9月月考试题理〔含解析〕第一卷选择题〔60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.请将你选择之答案涂到答题卡上.z 满足(1)1z i i -=+〔i 是虚数单位〕，那么z =〔〕A.0B.12 C.1D.32【答案】C 【解析】 【分析】先求出复数z,再求|z|得解.【详解】由题得21(1)2,||11(1)(1)2i i iz i z i i i ++====∴=--+ 应选：C【点睛】此题主要考察复数的除法运算和复数的模的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.{|A x y ==，{}2|230,B x xx x Z =--<∈，那么A B =〔〕A.{}1,2,3 B.{}1,2 C.{}2D.{}1【答案】B 【解析】 【分析】 分别求解出集合A 和集合B ，根据交集定义求得结果.【详解】{}{}101A x x x x =-≥=≥，()(){}{}|310,0,1,2B x x x x Z =-+<∈=此题正确选项：B【点睛】此题考察集合运算中的交集运算，属于根底题.()241,0log ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，那么()()1f f =〔〕A.0B.1C.2D.3【答案】A 【解析】 【分析】将1x =代入解析式求得()10f =，再将0x =代入解析式即可求得结果.【详解】由题意得：()21log 10f ==()()()010410f f f ∴==-=此题正确选项：A【点睛】此题考察根据分段函数解析式求解函数值，属于根底题.a ，b是非零向量，那么“a b a b+=-〞是“a ，b 夹角为2π〞的〔〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量的运算进展判断即可． 【详解】2222||2||20a b a b a b ab a b ab ab +=-⇔++=+-⇔=，向量a ，b 是非零向量，0aba b a ∴=⇔⊥⇔，b夹角为2π∴“a b a b+=-〞是“a ，b 夹角为2π〞的充要条件． 应选：C ．【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，根据向量的运算是解决此题的关键． 5.某几何体的三视图如以下图，其中正视图中的曲线为圆弧，那么该几何体的体积为〔〕 A.322π- B.644π- C.164π- D.16π-【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图复原几何体，可知几何体为一个长方体切掉14个圆柱，分别计算长方体和14个圆柱的体积，作差得到结果.【详解】由三视图可知，几何体为一个长方体切掉14个圆柱 长方体体积：122416V =⨯⨯=；14个圆柱的体积：221144V ππ=⨯⨯= ∴几何体体积：1216V V V π=-=-此题正确选项：D【点睛】此题考察几何体体积的求解问题，关键是可以通过三视图准确复原几何体.()xe f x x=的图像的大致形状是〔〕A. B. C.D.【答案】C 【解析】 【分析】 利用导数研究()f x 的单调性，可排除,B D ；根据0x <时()f x 的符号可排除A ，从而得到结果.【详解】由题意得：()()()210x x e f x x x -'=≠当(),0x ∈-∞，和()0,1时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>()f x ∴在(),1-∞，()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可排除,B D当0x <时，()0f x <恒成立，可排除A此题正确选项：C【点睛】此题考察函数图象的识别，关键是可以通过导数的知识求得函数的单调性，再结合特殊位置的符号进展排除；易错点是忽略函数定义域的要求.(1,1)X N ~，其正态分布密度曲线如以下图，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，那么落入阴影局部的点的个数的估计值是〔〕 注：假设2(,)XN μσ，那么()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈.A.6038B.6587C.7028D.7539【答案】B 【解析】分析：根据正态分布的定义，可以求出阴影局部的面积，利用几何概型即可计算． 详解：∵()1,1X N ~，112μσμσ∴==+=，． ∵68.26%P X μσμσ-+=∴（＜＜），0268.26%P X =（＜＜），那么1234.13%P X =（＜＜），∴阴影局部的面积为0.6587． ∴正方形ABCD 中随机投掷10000个点，那么落入阴影局部的点的个数的估计值是6587．应选D ．点睛：此题考察了正态分布、几何概型，正确理解正态分布的定义是解题的关键，属于中档题．22aFeS bO +点燃232cFe O dSO +，某人设计了一个如以下图的程序框图，那么①②③处应分别填入〔〕A.ac =，323c d b +=，2c c =+B.a c =，322c db +=，1c c =+ C.2a c =，322c db +=，2c c =+D.2a c =，322c db +=，1c c =+【答案】D 【解析】 【分析】比较方程的两边，由元素守恒可得,,a b c 的数量关系． 【详解】结合元素守恒易知2a c =，322c d b+=，1c c =+.【点睛】此题考察程序框图，考察推理论证才能.()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线所成的锐角为60，那么双曲线的离心率为〔〕B.2 或者2 或者【答案】C【解析】 【分析】根据渐近线倾斜角与斜率的关系可得ba的值，根据双曲线,,a b c 的关系可求得离心率. 【详解】设斜率为正的渐近线的倾斜角为θ那么3tan tan 303θ==或者()tan tan 9030tan 603θ=-==即3b a =或者b a =2222113c a e a -=-=或者222213c a e a -∴=-=解得：3e=2 此题正确选项：C【点睛】此题考察双曲线离心率的求解，涉及到双曲线渐近线的斜率问题；易错点是忽略两渐近线的夹角可能是倾斜角的二倍，也可能是倾斜角余角的二倍.()()sin x f x e x a =+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，那么实数a 的取值范围是〔〕A.)+∞B.[)1,+∞C.()1,+∞D.()+∞【答案】B 【解析】 【分析】 将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化为4x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭，那么只需10a 即可，解不等式求得结果.【详解】由题意得：()()sin cos 4x x x f x e x a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增()0f x '∴≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立又0xe >04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立当,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦ (14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 此题正确选项：B【点睛】此题考察根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；此题解题关键是可以将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.O 的半径为4，矩形ABCD 的顶点都在球O 的球面上，球心O 到平面ABCD 的间隔为2，那么此矩形的最大面积为〔〕 A.12 B.18C.24D.30【答案】C 【解析】 【分析】推导出BD ＝，当AB ＝AD 时，矩形ABCD 的面积最大，此时AB 2+AD 2＝2AB 2＝48，由此能求出此矩形的最大面积．【详解】∵球O 的半径为4，矩形ABCD 的顶点都在球O 的球面上， 球心O 到平面ABCD 的间隔为2，∴12BD ==BD ＝，由不等式性质得到得到：当AB ＝AD 时，矩形ABCD 的面积最大， 此时AB 2+AD 2＝DB 2＝48， 解得AB 2＝AD 2＝24，∴此矩形的最大面积S ＝AB 2＝24． 应选：C ．【点睛】此题考察矩形的最大面积的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．[)0,∞+上的函数()f x 满足：当02x ≤<时，()22f x x x =-；当2x ≥时，()()32f x f x =-.记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,,,,,n a a a 并记相应的极大值为12,,,,,n b b b 那么11222020a b a b a b +++的值是〔〕 A.201931⨯+B.191931⨯+ C.192031⨯+D.202031⨯+【答案】A 【解析】 【分析】确定函数极大值点及极大值求得21n a n =-.1,3n n b -=，再求和即可【详解】由题当当0x 2≤<时，()()22f x 2x x 11,x =-=--+极大值点为1，极大值为1当x 2≥时，()()fx 3f x 2=-.那么极大值点形成首项为1公差为2的等差数列，极大值形成首项为1公比为3的等比数列 故21na n =-.1,3n nb -=,故()1213n n n a b n -=-设S=121911222020113353393a b a b a b +++=++++3S=12201333393+++两式相减得-2S=1+2(1219333+++)-()19202020313312393238313-=+⨯-=---∴S=201931⨯+应选：A【点睛】此题考察数列与函数综合,错位相减求和,确定n a 及n b 的通项公式是关键,考察计算才能,是中档题第二卷非选择题〔90分〕本卷包括必考题和选考题两局部.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须答题，第22-23题为选考题，考生根据要求答题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，将答案填在答题卡相应横线上〕x ，y 满足240100x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，那么z x y =+的最大值为______.【答案】3 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域，将问题转化为直线y x z =-+在y 轴截距最大值的求解问题；通过平移y x z =-+可知过A 时，截距最大，代入A 点坐标即可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如以下图阴影局部所示： 当z x y =+取最大值时，直线y x z =-+在y 轴截距最大平移直线y x =-可知，当y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最大又()1,2A max 123z ∴=+=此题正确结果：3【点睛】此题考察线性规划中的最值问题的求解，关键是可以将问题转化为直线在y 轴截距的最值问题的求解，通过图象平移找到最优解.81)2x的展开式的常数项是___________． 【答案】7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r +1项，再根据项的次数为零解得r ，代入即得结果.详解：二项式81)2x 的展开式的通项公式为848318811C ()C 22rr r r r r r T x x --+==⋅⋅,令8403r-=得2r ，故所求的常数项为2821C =7.2⋅点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出特定项的系数. 15.a ∈R p ：[]1,2x ∀∈，20x a -≥q ：x ∃∈R ，2220x ax a ++-=p q ∧a 的取值范围是_____．【答案】2a ≤-或者1a = 【解析】 【分析】p 为1a ≤q 为2a ≤-或者1a ≥. p ：“[]1,2x ∀∈，20x a -≥〞为真；那么10a -≥， 解得：1a ≤，q ：“x ∃∈R ，2220x ax a ++-=〞为真，那么()24420aa ∆=--≥，解得：2a ≤-或者1a ≥，p q ∧2a ≤-，或者1a =，故答案为：2a ≤-或者1a = 123.()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，,与抛物线C 的准线相交于点N ，假设:1:2FM MN =，那么实数a 的值是______．【解析】 【分析】 过M作抛物线的准线的垂线且垂足为K，连接MK，由抛物线的定义得MF MK=，由||:||1:2FM MN =，得||:||KN KM =，利用斜率得a 的方程求解即可【详解】依题意得焦点F 的坐标为,04a ⎛⎫⎪⎝⎭， 过M 作抛物线的准线的垂线且垂足为K ，连接MK ，由抛物线的定义知MF MK =，因为||:||1:2FMMN =，所以||:||KN KM =，又01404FN k a a -==--，N||||F KN k KM =-=，所以4a -=3a =.故答案为3【点睛】此题考察抛物线的定义及简单几何性质，熟记定义，准确转化题意是关键，是根底题 三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-．()1求A ；()22a =，ABC ABC 求的周长．【答案】〔1〕3π；〔2〕【解析】 【分析】〔1〕在ABC ∆中，由正弦定理及题设条件，化简得1cos 2A =，即可求解。
九月联考数学(理)
高三年级九月联考数学试题（理）本试卷共2 页，共22 题。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将准确的答案填涂在答题卡上。
）1．已知集合{}{}20log2,32,,x xA xB y y x R=<<==+∈则A B⋂=A．()1,4B．()2,4C．()1,2D．()1,+∞2．下列命题中准确的是A．0,x∃>使“00x xa b>”是“0a b>>”的必要不充分条件B．命题“()0000,,ln1x x x∃∈+∞=-”的否定是“()0000,,ln1x x x∀∉+∞≠-”C．命题“若22,x=则x x=”的逆否命题是“若x x≠≠22x≠”D．若p q∨为真命题，则p q∧为真命题3．函数()232lg2x xf xx-+=-的定义域为A．()1,2B．(]1,3C．()(]1,22,3⋃D．()(]1,22,3-⋃4．曲线sin,cosy x y x==和直线0,2x xπ==所围成的平面区域的面积为A．()2sin cosx x dxπ-⎰B．()42sin cosx x dxπ-⎰C．()2cos sinx x dxπ-⎰D．()42cos sinx x dxπ-⎰5．已知函数2()2cosf x x x=+，若'()f x是()f x的导函数，则函数'()f x在原点附近的图象大致是A B C D6．已知定义在R上的函数()12-=-mxxf(m R∈)为偶函数．记()()mfcfbfa2,log,log52431==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，则cba,,的大小关系为A．cba<<B．bac<<C．bca<<D．abc<<7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2y x=上，则sin24πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为A．B C．D8．将函数()()sin22f x xπϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数()g x的图象关于原点对称，则函数()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为A．12-B．12C．D9．已知函数()32f x x bx cx d=+++的图象如图所示，则函数2122log33cy x bx⎛⎫=++⎪⎝⎭的单调减区间为A．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B．()3,+∞C．1,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭D．(),2-∞-10．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为A．3000元B．3800元C．3818元D．5600元11．已知函数()cosf x x=，,,a b c分别为ABC∆的内角,,A B C所对的边，且222334a b c ab+-=，则下列不等式一定成立的是A．()()sin cosf A f B≤B．()()sin sinf A f B≤C．()()cos sinf A f B≤D．()()cos cosf A f B≤12．已知函数()()()2,tf x x t t t R=--+∈设()()()()()()(),,,,a a bb a bf x f x f xa b f xf x f x f x≥⎧⎪>=⎨<⎪⎩若函数()y f x x a b=-+-有四个零点，则b a-的取值范围是A．(,2-∞--B．(,2-∞C．()2-D．()2-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线1y x=+与曲线()lny x a=+相切，则a的值为___________．14．计算2tan cos242cos+4πααπα⎛⎫-⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭=_______________．15．若正数,a b 满足2363log 2log log ()a b a b +=+=+，则11a b+的值为_________． 16．直线:l y m =(m 为实常数)与曲线:|ln |E y x =的两个交点A 、B 的横坐标分别为1x 、2x ，且12x x <,曲线E 在点A 、B 处的切线P A 、PB 与y 轴分别交于点M 、N ．下列结论： ① ||2MN =； ② 三角形P AB 可能为等腰三角形； ③ 若点P 到直线l 的距离为d ，则d 的取值范围为(0,1)；④ 当1x 是函数2()ln g x x x =+的零点时，AO (O 为坐标原点)取得最小值． 其中准确结论的序号为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）设函数24()cos(2)2cos .3f x x x π=-+，（Ⅰ）求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值时x 的集合；（Ⅱ）已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若3(),22f B C b c +=+=，1a =，求ABC ∆ 的面积的最大值． 18．（本小题满分12分） 已知函数()()()23f x x m x m =--++（其中1m <-），()22xg x =-． （Ⅰ）若命题“()2log 1g x <”是真命题，求x 的取值范围；（Ⅱ）设命题p ：()()()1,,00x f x g x ∀∈+∞<<或；命题q ：()()()1,0,0x f x g x ∃∈-•<．若p q ∧是真命题，求m 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知函数()()2,ln f x x x g x x =-=．（Ⅰ）求函数()()y f x g x =-的极值；（Ⅱ）求函数()[]2,1,y f xg x x e =-∈⎡⎤⎣⎦的值域．20．（本小题满分12分） 已知函数2()2ln f x x ax =-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若αβ、都属于区间[]1,4,且1βα-=，()()f f αβ= ，求实数a 的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知函数()cos sin x f x e x x x =-，()sin x g x x =，其中e 是自然对数的底数． （Ⅰ）12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．22．（本小题满分10分）已知函数()121f x m x x =---+（Ⅰ）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（Ⅱ）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．2016届襄阳五中 宜昌一中 龙泉中学高三年级九月联考理科数学参考答案及评分标准二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2 14．1 15． 72 16．①③④ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：（Ⅰ）2444()cos(2)2cos (cos2cos sin 2sin )(1cos2)333f x x x x x x πππ=-+=+++ 1cos221cos(2)123x x x π=-+=++ ························ 3分所以)(x f 的最大值为2 ····································································· 4分 此时)(232,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+πππ故x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ ······················································ 6分（Ⅱ）由题意，231]3)(2cos[)(=+++=+πC B C B f ，即.21)322cos(=+-ππA化简得21)32cos(=-πA ······································································· 8分()0A π∈，，)35,3(32πππ-∈-∴A ，只有332ππ=-A ，.3π=A ·········· 9分 在ABC ∆中，1,3a A π==由余弦定理，2222cos3a b c bc π=+- ··············· 10分即221b c bc bc =+-≥，当且仅当b c =取等号， 1sin 244ABC S bc A ∆==≤························································ 12分18．解：（Ⅰ）∵命题“()2log 1g x <”是真命题， 即()222log 1x-<， ∴0222x<-<，解得12x <<． ∴x 的取值范围是()1,2； ················· 4分（Ⅱ）∵p ∧q 是真命题，∴p 与q 都是真命题．当1x >时，()220xg x =->，又p 是真命题，则()0f x <． ······················ 6分1m <- 23m m ∴<-- ()023f x x m x m ∴<⇒<>--或 31m ∴--≤ 解得4m ≥- ······························································· 8分当10x -<<时，()220xg x =-<．∵q 是真命题，则()1,0,x ∃∈-使得()0f x >，而()023f x m x m >⇒<<--，1m <- 21m ∴<- 31m ∴-->- 解得2m <- ······················· 11分 综上所述：42m -≤<-． ······································································ 12分19．解：（Ⅰ）因为()()2ln y f x g x x x x =-=--,所以()()221112121x x x x y x x x x+---'=--== ··································· 2分因为0x >，所以当01x <<时，0y '<；当1x >时，0y '>．即函数()()y f x g x =-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ········· 4分 故当1x =时，函数y 有极小值0，无极大值． ········································· 6分 （Ⅱ）()()()()()222ln 2ln 2ln 5ln 6y f xg x x x x x x x x x =-=---=-+⎡⎤⎣⎦令ln u x x =,当[]1,x e ∈时,ln 10u x '=+>,所以ln u x x =在[]1,e 上单调递增， 所以0u e ≤≤，2()56y h u u u ==-+， ················································ 9分 ()h u 图象的对称轴52u =．()h u 在5[0,]2上单减，在5(,]2e 上单增． min 51()24h u h ⎛⎫==-⎪⎝⎭，又()()206,56h h e e e ==-+，则max ()6h u =． 所以所求函数的值域为1,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ························································· 12分20．解：（Ⅰ）()222()0ax f x x x-'=> ······················································· 1分 01 当0a ≤时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增；02 当0a >时，由()0f x '>得0x <<； 由()0f x '<得x >； 则()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减； ·························· 4分综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(0,上单调递增，在)+∞上单调递减． ········· 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a ≤时，()f x 在[1,4]上单增，不合题意，故0a >． ······· 6分由()()f f αβ= 则222ln 2ln a a ααββ-=-，即2ln 2ln ()0a αβαβ-++=即2ln 2ln(1)(21)0a ααα-+++= [1,3]α∈ ()*设()2ln 2ln(1)(21)h x x x a x =-+++ [1,3]x ∈ ···························· 8分 22()201h x a x x '=-+>+在(1,3)上恒成立；所以()h x 在[1,3]上递增， ···· 9分由()*式，函数()h x 在[1,3]有零点，则(1)02ln 230242ln ln 2(3)02ln32ln 470733h a a h a ≤-+≤⎧⎧⇒⇒≤≤⎨⎨≥-+≥⎩⎩故实数a 的取值范围为242[ln ,ln 2]733． ·················································· 12分21.解：（Ⅰ） 由题意，12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，等价于[]1max 2max ()()f x m g x ≤+． ······················································ 1分()(cos sin )(sin cos )()cos (1)sin xxxf x e x x x x x e x x e x '=--+=--+，当π[,0]2x ∈-时，()0f x '>，故()f x 在区间π[,0]2-上单调递增，所以0x =时，()f x 取得最大值1．即 max ()1f x = ································ 3分 又当π[0,]2x ∈时，()cos x g x x '=，()sin 0x g x x ''=-< 所以()g x '在π[0,]2上单调递减，所以()()010g x g ''≤=，故()g x 在区间π[0,]2上单调递减，因此，0x =时，max ()(0)g x g ==．所以1m ≤1m ≥．实数m的取值范围是)1,+∞． ··················································· 5分 （Ⅱ）当1x >-时，要证()()0f x g x ->，只要证e cos sin sin 0x x x x x x -->，即证(()e cos 1sin x x x x >+，由于cos 0,10x x +>，只要证e 1x x + ··································································· 7分 下面证明1x >-时，不等式e 1xx >+令()()e11xh x x x =>-+，则()()()()22e 1e e 11x xxx x h x x x +-'==++，当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以当且仅当0x =时，()h x 取最小值为1． ············································· 9分法一：k，则cos sin k x x =，即sin cos x k x -，即sin()x ϕ-，1≤，即11k -≤≤，所以max 1k =，而()()min 01h x h ==，但当0x =时，()010k h =<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，maxmine 1x x ⎛⎫> ⎪+⎝⎭，即e 1xx >+ 综上所述，当1x >-时，()()0f x g x ->成立． ······································· 12分法二：令()x ϕ()cos ,sin A x x与点()B 连线的斜率k ，所以直线AB的方程为：(y k x =，由于点A 在圆221x y +=上，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切， 当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时，直线AB 取得斜率k 的最大值为1．而当0x =时，()(0)010h ϕ=<=；0x ≠时，()1h x k >≥．所以，min max ()()h x x ϕ>，即e 1xx >+ 综上所述，当1x >-时，()()0f x g x ->成立． ······································· 12分法三：令()x ϕ()x ϕ'=， 当32,()4x k k N ππ=+∈时，()x ϕ取得最大值1，而()()min 01h x h ==，但当0x =时，()()0010h ϕ=<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，minmax ()()h x x ϕ>，即e 1x x >+ 综上所述，当1x >-时，()()0f x g x ->成立． ······································· 12分22．解：（Ⅰ）当5m =时，()36,12,1143,1x x f x x x x x +<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩， ······························ 3分由()2f x >易得不等式解集为4,03⎛⎫-⎪⎝⎭········································ 5分 （Ⅱ）()222312y x x x =++=++，该函数在1x =-处取得最小值2,因为()31,13,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1x =-处取得最大值2m -, ·········· 7分所以二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图像恒有公共点，只需22m -≥，即4m ≥． ······························································ 10分。
陕西省渭南市渭南高级中学2025届高三上学期9月份联考数学试题(含答案)
2025届高三年级9月份联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.复数满足，则的虚部是（）A. B. C. D.3.若，且，则（）A.1B.C.D.或4.已知，则（）A. B. C. D.5.两圆锥母线长均为3，体积分别为，侧面展开图面积分别记为，且，侧面展开图圆心角满足，则（）A.{}{}231,,450A y y x xB x x x==-∈=--≤N A B⋂=[]1,5-{}2,5{}1,2,5-[]0,5z()433iz z+=+z32-3i23i2-32()()2,1,3,2a tb t==+a b⊥t=1-2-1-2-()443sin cos,0,π225θθθ-=∈221sin2coscos sinθθθθ++=-2635-325-314-1728-12,V V12,S S1212SS= 12,θθ122πθθ+=12VV=6.命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数，甲：；乙：为单调递增数列，则（ ）A.甲正确，乙正确 B.甲正确，乙错误C.甲错误，乙正确D.甲错误，乙错误8.已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，函数的对称中心为，则（ ）（注：）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某学校有甲､乙､丙三个社团，人数分别为14､21､14，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行某项兴趣调查.已知抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人做进一步的深入访谈，用表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则（ ）A.从甲､乙､丙三个社团抽取的人数分别为2人､3人､2人B.随机变量C.随机变量的数学期望为D.若事件“抽取的3人都感兴趣”，则10.已知，则（ ）A.B.在上单调递增()()()227,12:4ln 21,21x ax x p f x a x a x ⎧+--≤≤⎪=⎨++---<<-⎪⎩(]2,2x ∈-()4:1ax q g x x +=-()1,+∞p q ()sin ln f x x x =+()y f x ={}n x n ()1ππnn x n -<<()21π2n n x ⎧⎫-⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭R ()f x []0,1()()()221f x f x f ++=-()1y f x =-()2,0ln3 1.099,ln20.693≈≈()20240f =()()0.5 1.60f f +>()()21.5log 48f f >()12sin1ln3f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭X 57,7X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭X 157A =()27P A =()e ex x xf x x =+()()ln2ln4f f =()f x ()0,1C.，使D.，使11.“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的.如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，则.在平面直角坐标系中，我们把到两定点的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”.设“新椭圆”上任意一点设为，则（）A.已知点，则B.“新椭圆”关于轴，轴，原点对称C.的最大值为D.“新椭圆”围成的面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的左､右焦点为，右顶点为为上一动点（不与左､右顶点重合），设的周长为，若，则的离心率为__________.13.若曲线与曲线有公共点，且在公共点处有公切线，则实数__________.14.若，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在某象棋比赛中，若选手甲和选手乙进入了最终的象棋决赛，经赛前数据统计发现在每局象棋比赛中甲和m ∃∈R ()2f m=n ∃∈R ()2f n =-AB (),d A B (),d A B AC CB =+()()1122,,,A x y B x y ()2121,d A B x x y y =-+-xOy ()()12,0,,0(0)F c F c c ->2()a a c >(),P x y ()()3,3,6,7A B (),5d A B =x y x a222a c +2222:1(0)x y C a b a b+=>>12F F 、,B A C 12AF F V 2,m BF n =4mn=C ()ln x f x x=()2(0)g x ax a =>a =)()99*1,x x y +=∈N 222x y -=乙获胜的概率分别为和，且决赛赛制为7局4胜制，求：（1）前3局中乙恰有2局获胜的概率；（2）比赛结束时两位选手共进行了5局比赛的概率.16.（本小题满分15分）记的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若为边上的中点，求的长.17.（本题满分15分）如图，三棱柱中，，且与均为等腰直角三角形，.（1）若为等边三角形，证明：平面平面；（2）若二面角的平面角为，求二面角的平面角的余弦值.18.（本小题满分17分）已知双曲线的左､右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于两点，且的周长为16.（1）求的方程；（2）过作直线与交于两点，若，求直线的斜率.19.（本小题满分17分）已知函数.（1）当时，证明：；（2）现定义：阶阶乘数列满足.若，证明：.2313ABC V ,,A B C ,,a b c cos sin 0a C C b c -+=A 2,ABC b S M ==V BC AM 111ABC A B C -2AB =ABC V 1ABA V 1π2ACB AA B ∠=∠=1A BC V 1AA B ⊥ABC 1A AB C --π311B A C B --2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>12,,F F E y =1F x E A B 、2ABF V E 2F l E C D 、223CF F D =CD 0()e ,()!inxi x f x g x i ===∑0x ≥()()f x g x ≥1n +{}n a ()()111n n a n a +=++11a =()()ln 1ln 11n a n n n <++-+2025届高三年级9月份联考数学参考答案及解析一､选择题1.C 【解析】，所以.故选C.2.D 【解析】，即.则，虚部为.故选D.3.D 【解析】或-2.故选D.4.A 【解析】由，于是由可得...故选A.5.B 【解析】如图，，又.{1,2,5,8,},{15}A B xx =-=- ∣……{}1,2,5A B ⋂=-()()433i 3i 1i 3z z z z z +=+⇒+=⇒-=-()()()()31i 31i 333i 1i 1i 1i 222z -+-+-====----+33i 22z =-+322,320,1a b a b t t t ⊥∴⋅=++=∴=- 4422sincos sin cos 2222θθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭223sin cos cos 225θθθ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭()3cos ,0,π5θθ=-∈4πtan ,,π32θθ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭()()2221sin2(cos sin )cos sin cos cos cos cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθθθθθ++++=+=+-+⋅--411tan 3263cos 41tan 53513θθθ-+=+=-=--+1111212221312,2π36π,1232l S l l l l S l l ⨯===+=⨯=∴=⨯ 22π,4πl =1122122π,2π,1,2l r l r r r ==∴==.故选B.6.A 【解析】若在上为减函数，则，解得在为增函数，则，即，因为“”能推出“”，反之不成立，所以命题是命题的充分不必要条件.故选A.7.B 【解析】函数的定义域为，导函数，令，得，所以的极值点为函数与函数的图象的交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与函数的图象，由图可知，在区间内，函数与函数的图象，有且仅有1个交点，且，所以命题甲正确；因为，函数为增函数，所以，所以随着的增大，与越来越接近，距离越来越小，所以数列为递减数列，命题乙错误.故选B.21111222221π31π3r hV h h V r h ⋅∴==∴===⋅()()()227,124ln 21,21x ax x f x a x a x ⎧+--⎪=⎨++---<<-⎪⎩……(]2,2x ∈-()2240(1)2171a a a a ⎧-⎪+<⎨⎪-+⋅----⎩……()()14454;11a x a ax a g x a x x -+++-<-===+-- (4)1a x +-()1,∞+40a +<4a <-54a -<-…4a <-p q ()sin ln f x x x =+()0,∞+()1cos (0)f x x x x=+>'()0f x '=1cos x x =-()f x cos (0)y x x =>1(0)y x x=->cos (0)y x x =>1(0)y x x =->()()()*1π,πn n n -∈N cos (0)y x x =>1(0)y x x=->()1ππn n x n -<<10n n x x +>>1(0)y x x=->()()*121π110cos 2n n n n x x +--<-<=∈N n n x ()21π2n -()21π2n n x ⎧⎫-⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭8.C 【解析】由题意得的对称中心为，即，则，又，令，得，则，所以，函数为偶函数，的周期为4，又在上单调递减，的大致图象如下：A 选项错误；，B 选项错误；，则，C 选项正确；因为，所以D 选项错误.故选C.二､多选题9.ACD 【解析】甲､乙､丙三个社团的人数比为，所以抽取的人数分别为2人､3人､2人，正确；随机变量服从超几何分布，，所以，B 错误，C 正确；，D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】A.，选项A 正确；B.()f x ()1,0()()20f x f x ++-=()10f =()()()221f x f x f ++=-1x =-()()()()()1121,110f f f f f +-=-=-=()()20f x f x ++=()()f x f x -=()f x ()f x ()f x []0,1()f x ()()()2024450600,f f f =⨯=≠()()()()0.5 1.60.5 1.50f f f f +<+=()()()22222log 48log 484log 3,1.5log log 32f f f =-==<<()()21.5log 48f f >ππ1,,2sin1,1ln32sin1243⎛⎫∈∈<<<<⎪⎝⎭()()()1ln ln3ln32sin1,3f f f f ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭2:3:2A X ()35237C C ,(1C k k P X k k -===2,3)()515377E X =⋅=()3537C 2C 7P A ==()()4ln442ln22ln2ln4ln2ln442ln24ln22f f =+=+=+=.设，因为时，单调递增，，所以时，，所以在上单调递减，选项B 错误；C.时，时，，当且仅当时取等号，由B 选项知时，“”不成立，所以.选项C 错误；D.设在单调递增，，，使得，即，此时.选项D 正确.故选AD.11.BC 【解析】A.，故A 错误；B.设“新椭圆”上任意一点为，则，即.将点代入，得，即，方程不变，所以“新椭圆”关于轴对称，将点代入得，，即，方程不变，所以“新椭圆”关于轴对称，将点代入得，，即，方程不变，所以“新椭圆”关于原点对称，所以“新椭圆”关于轴，轴，原点对称，故B 正确；C.因为0，所以，即，所以或或，解得，故C 正确；D.因为所以“新椭圆”的图象为：()()()()()()21e e ,,00,e x x xx x x f x x x ∞∞'--+=∈-⋃+()()e ,e 1xxg x x g x '=-=-01x <<()g x ()()010g x g >=>01x <<()0e ,0xx f x '<<<()f x ()0,10x <()0;0f x x <>()e 2e x x x f x x =+=…e xx =0x >=()2f x ≠()()e ,xh x x h x =+(),0∞-()111e 0h --=-+<12111e 0,1,222h x -⎛⎫⎛⎫-=-+>∃∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()e 0xh x x =+=e xx =-()e 2ex x xf x x =+=-(),63737d A B =-+-=(),P x y ()()12,,2d P F d P F a +=2x c y x c y a +++-+=(),x y -22x c x c y a -++--+=22x c x c y a ++-+=y (),x y -22x c x c y a ++-+-=22x c x c y a ++-+=x (),x y --22x c x c y a -++--+-=22x c x c y a ++-+=x y y …20a x c x c -+--…2a x c x c ++-…2x c x c x c a -⎧⎨---+⎩……2c x c x c x c a -<<⎧⎨+-+⎩…2x cx c x c a ⎧⎨++-⎩……a x a -……22a y -=2,2,,2,x x cc c x c x x c --⎧⎪-<<⎨⎪⎩……故新椭圆所围成的面积为：，故D 错误.故选BC.三､填空题12.【解析】的周长，所以，解得，得.故答案为.13. 【解析】设公共点为，得，解得.故答案为.14. 【解析】由题意可得当为奇数时，因为，所以的项的符号，与的对应项的符号相反；当为偶数时，因为，所以的项的符号，与.因为，又结合上述分析，可知.所以.故答案为-1.四､解答题15.解：（1）每局比赛乙获胜的概率均为，故前3局乙恰有2局获胜的概率为.（2）第一种情况，比赛结束时恰好打了5局且甲获胜，()222a c-1312AF F V 222,m a c BF n a c =+==-224m a c n a c +==-3a c =13c e a ==1313e()00,x y 20000020ln 1ln 2x ax x x ax x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩1301e ,3e x a ==13e 1-99999999999999999901)(1C .(1C (C (1)rrr rr r r r r r x ===+===+=⋅=-∑∑∑r (1)1r -=-99(199(1+r (1)1r -=99(1-99(1+*,x y ∈n 99(1x =()()229999992(1(1(1)1x y x x -=+-=⨯=-=-13223122C 339⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭则概率为第二种情况，比赛结束时恰好打了5局且乙获胜，则概率为，所以比赛结束时两位选手共进行了5局比赛的概率为.16.解：（1）由正弦定理可得，.，，.由得，.（2）由得，.故由，即，.17.解：（1）取中点，连接.33421264C ,333243⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭3341218C 333243⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭648824324327+=sin cos sin sin sin sin cos A C A C B C A C --+=-()sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin 0A C A C A C C A C A C C -++=-+=()0,πC ∈ sin 0C ∴≠π1cos 10sin 62A A A ⎛⎫-+=⇒+= ⎪⎝⎭0πA <<2π3A =11sin 222ABC S bc A c ==⨯⨯=V 3c =2AB AC AM +=222||2||4AB AC AB AC AM ++⋅∴=2222cos ||4c b bc A AM ++=221322237244⎛⎫++⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭==AM ∴= AB O 1,CO A O因为为等腰直角三角形，且，所以.又因为为等边三角形，所以且，所以，所以.又因为，且平面并相交于点，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）法一：如图所示，过点中点作轴平面，并以所在的射线分别为轴，轴，且点必然在平面上，结合（1）可知，所以即为二面角的平面角，ABC V 2AB =BC AC ==11A B A A ==1A BC V 1AC =1112A O CO AB ===22211A O CO AC +=1A O CO ⊥1A O AB ⊥AB CO ⊂､ABC O 1A O ⊥ABC 1AO ⊂1A AB 1AA B ⊥ABC AB O z ⊥ABC ,OC OB x y 1A xOz 1,A O AB CO AB ⊥⊥1A OC ∠1A AB C --因此，所以，从而可以得到，且，则.由，得.设平面的法向量为，平面的法向量为，则有.即，不妨令，则，故二面角.（2）法二：如图，取中点，连接，因为，且平面并相交于点，所以平面，1π3A OC ∠=1π6A Oz ∠=112A ⎛ ⎝()()()0,1,0,0,1,0,1,0,0A B C -11(0,2,0),,0,,(1,1,0)2AB A C BC ⎛===- ⎝ 11A B ∥11,AB A B AB =()110,2,0A B = 1BAC ()111,,n x y z = 11B AC ()222,,m x y z =111100,00A C m A C n A B m BC n ⎧⎧⋅=⋅=⎪⎪⎨⎨⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩ 11221121100,22020x z x z x y y ⎧⎧-=-=⎪⎪⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩)),n m == cos ,n m n m n m ⋅=== 11B A C B --1AC D ,OD BD 1,AB A O AB OC ⊥⊥1,A O OC ⊂1AOC O AB ⊥1AOC因为，所以平面.平面，所以平面平面，则二面角为，设二面角，不难知二面角.因为，所以即为二面角的平面角，即.，所以即为二面角的平面角，因此，进一步，为等边三角形，所以.则则所以二面角的平面角的正切值为从而得二面角18.解：（1）时，，，，11A B ∥AB 11A B ⊥1AOC 11A B ⊂11B AC 11B A C ⊥1AOC 11B A C O --π21B A C O θ--=11π2B AC B θ--=-11,OD A C BD A C ⊥⊥BDO ∠1B A C O --BDO ∠θ=1,A O AB CO AB ⊥⊥1A OC ∠1A AB C --1π3A OC ∠=1AOC V 11A C =OD ==tan OB OD θ==11B A C B --πtan 2θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭11B A C B --x c =- 2b y a =±211b AF BF a∴==2222b AF BF a a∴==+，.（2）由（1）知，显然直线的斜率存在，当的斜率为0时，不成立，当的斜率不为0时，设，，.，.又，.，，故直线.19.解：（1）令函数，要证明时，，即证明24416b a b a a⎧=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩221:13a y E x b =⎧⎪⇒-=⎨=⎪⎩()22,0F l l 223CF F D = l ()11:2,,l x my C x y =+()22,D x y ()2222231129013x my m y my y x =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩ 2221Δ36360,310,3m m m =+>-≠≠121222129,3131m y y y y m m ∴+=-⋅=--223CF F D = 123y y ∴=-22222122319331m y m y m ⎧-=-⎪⎪-∴⎨⎪-=⎪-⎩①②222164:313m m ∴=--①②2115m ∴=CD ()()()g x h x f x =0x …()f x ()g x …()1,h x …，，所以当时，单调递减，所以，故原不等式成立.（2）将左右同除以，有即，累加有，即，由（1）知，，即，所以.所以!，所以，时也满足，所以所以，下面证明，令数列，，因为1111()e ,()!(1)!i i nn x i i x x f x g x i i i --''====⋅=-∑∑()()()()()()()()()2g x f x g x f x g x g x h x f x f x '='--'='0!enx x n =-…0x …()h x ()()0h x h …1=()()111n n a n a +=++()1!n +()111,1!!!!n n n a a a n n n n ++==++()111!!!n n a a n n n +-=+()111!1n a a n +-+11!ni i ==∑1111(1)!!n n i a n i +==++∑()()11f g >11e 1!ni i =>+∑1111e (1)!!n n i a n i +==+<+∑()1e 1n a n +<⋅+()e !2n a n n <⋅…1n =e !,n a n <⋅()ln 1ln !n a n <+()()()ln !1ln 1n n n n <++-()()()1ln 1ln !n b n n n n =++--12ln210b =->()()()()()()()12ln 21ln 1!1ln 1ln !n n b b n n n n n n n n +⎡⎤-=++-+-+-++++=⎣⎦，因为，故只需判断的符号，令，则，令时，单调递增，所以，所以，即故数列单调递增，所以，故原不等式成立.()()2212ln 12ln 112n n n n n n n ++⎛⎫+-=+- ⎪+++⎝⎭20n +>21ln12n n n +-++21n t n +=+2111,ln ln 112n t t n n t+>-=+-++()()2111ln 1(1),F x x x F x x x x=+->=-'()21,1,x x x∞-=∈+()()0,F x F x '>()()10F x F =…1ln 10t t+->21ln 0,12n n n +->++{}n b ()()()ln 1ln !1ln 11n a n n n n <+<++-+。
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（全国II 卷）陕西省高三数学九月联考试题 理
注意事项：
1本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
2.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
3.考试范围：必修1～5，选修2—1，2—2，2—3。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合2{4120},{2}A x x x B y y x =--<==+，则A B =I
A.[0，6)
B.[2，6)
C.(－2，0]
D.φ
2.
3229i i
-=+ A.12318585i - B.12318585i -+ C.12318585i + D.12318585i -- 3.已知346log 15,log 20,log 30,a b c === 则
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>a>c
D.b>c>a
4.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故。
“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事。
她们分别是中国古代的四大美女。
某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为
A.13
B.712
C.512
D.12
5.函数3()sin x e f x x x =+ 的图象大致为
6.2734()x x - 的展开式中，x 4项的系数为
A.－280
B.280
C.－560
D.560
7.已知A(2，4)，B(4，1)，C(9，5)，D(7，8)，现有如下四个结论：
①AB AC ⊥u u u r u u u r ； ②四边形为平行四边形；
③AC BD ⊥u u u r u u u r 与夹角的余弦值为729； ④85AB AC +=u u u r u u u r ； 则上述正确结论的序号为
A.①③
B.②④
C.①④
D.②③
8.《九章算术》卷七——盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。
问人数、羊价各几何？”翻译为：”现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人岀七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”。
为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填
A. k>20
B. k>21
C. k>22
D. k>23
9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为2P 在正方形A 1B 1C 1D 1上，且A 1，C 到P 的距离
分别为2
，CP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为
12 D.13
10.已知椭圆C ：22
182
x y +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2点且与椭圆C 交于M ，N 两点，且MA AN =u u u r u u u r ，若2OA AF =，则直线l 的斜率为
A.1±
B.12±
C.13±
D.14
± 11.关于函数()sin
cos 22x x f x =+有下述三个结论： ①函数f(x)的图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称；②函数f(x)的最小正周期为π；③0x R ∃∈
，0()1f x =。
其中正确结论的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
12.在三棱锥S －ABC 中，AC ＝2AB ＝4，BC
＝AS ⊥SC ，平面ABC ⊥平面SAC ，则当△CBS 的面积最大时，三棱锥S －ABC 内切球的半径为
A.0.125
B.0.25
C.0.5
D.0.75
0.25≈ 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.已知函数3ln(2)()x f x x x =-，则曲线y ＝f(x)在11(,())22
f 处的切线方程为 14.设实数x ，y 满足2105x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩
，则z ＝x ＋4y 的最小值为
15.若随机变量ξ服从正态分布N(9，16)，则(313)P ξ-<≤＝
参考数据：若2
~(,)N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=， (22)0.9545P μσξμσ-<≤+=，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+=。
16.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在C 的渐近线上，且MF 1⊥MF 2，122MF b MF =+，则2
2b a
＝ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
记首项为1的数列{a n }的前项n 和为S n ，且123(31)n n n n S a +=-g。
(1)求证：数列{a n }是等比数列；
(2)若29(1)(log )n n n b a =-⋅，求数列{b n }的前2n 项和。
18.(本小题满分12分)
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222
222cos a c b c bc A
+-=-。
(1)求A 的值；
(2)若AM ⊥BC ，垂足为M ，且BC ＝12，求AM 的取值范围。
19.(本小题满分12分)
如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，∠PDC ＝∠PCD ，∠CPB=∠CBP ，BC=2AB ，PD ⊥BC ，点M 是线段AB 上靠近A 的三等分点。
(1)求证：PC ⊥PA ；
(2)求二面角M ―PC ―B 的余弦值。
20.(本小题满分12分)
记抛物线C ：y 2
＝－2x 的焦点为F ，点M 在抛物线上，，N(－3，1)斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点。
(1)求MN MF +的最小值；
(2)若M(－2，2)，直线MP ，MQ 的斜率都存在，且k MP ＋k MQ ＋2＝0；探究：直线l 是否过定点，
若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。
21.(本小题满分12分)
已知函数2
()2ln ,()12()f x x ax g x x f x =+=+-。
(1)讨论函数f(x)在[4，＋∞)上的单调性；
(2)若a>0，当(1,)x ∈+∞时，g(x)≥0，且g(x)有唯一零点，证明：a<1。
22.(本小题满分12分)
某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随机调查了300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所示，其中a －b ＝0.016。
(1)求这300名玩家测评分数的平均数；
(2)由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中至少有1人认为游戏需要改进的话，公司则将对该款游戏进行回收改进。
已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为p(0<p<1)，且每款游戏之间改进与否相互独立。
(i)对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；
(ii)每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人，今年所有游戏的研发总费用为50万元，现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测，假设公司的预算为110万元，判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明。