典型教案1 1 1参数估计的矩法和极大似然法

合集下载

1矩估计和极大似然估计

16/22
设总体 X 的分布函数中含 k 个未知参数
1 , 2 , k .
步骤一：记总体 X 的 m 阶原点矩 E(Xm)为 am , m =1,2,„,k. 一般地, am (m =1, 2, „, K) 是总体分布故, 中参数或参数向量 (1, 2, „, k) 的函数。 am (m=1, 2, „, k) 应记成: am(1,2,…,k), m =1, 2, „, k.
13/22
例3：设总体X的均值为，方差为2，求和 2 的矩估计。
解：由
E(X) , 2 2 2 E(X ) .
^ X, 即 ^ n 2 1 2 2 X i X . n i 1
14/22
即
ˆ X, ˆ2 1 n 2 (Xi X ) . n i 1
依样本对参数θ 做出估计，或估计参数 θ 的某个已知函数 g(θ ) 。这类问题称为参数估计。参数估计包括：点估计和区间估计。
4/22
为估计参数 µ ，需要构造适当的统计量 T( X1, X2 , „ , Xn )，一旦当有了样本，就将样本值代入到该统计量中，算出一个值作为 µ的估计，称该计算值为 µ的一个点估计。
故，均值,方差2的矩估计为
ˆ X, 即 n 1 2 1 n 2 2 S . ˆ （ X X ) i n n i 1
15/22
如：正态总体N( , 2) 中和2的矩估计为
ˆ X, ˆ2 1 n 2 （ X X ) . i n i 1
19/22
又如：若总体 X∼ U(a, b)，求a, b的矩估计。
解：列出方程组
ˆ, E( X ) 2 ˆ Var ( X ) .

概率论与数理统计教案(48课时)

概率论与数理统计教案（48课时）第一章随机事件及其概率本章的教学目标及基本要求(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念；(2)掌握随机事件之间的关系与运算，；(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算；学会几何概率的计算；(4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。

了解概率的公理化定义。

(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes公式及其意义。

理解事件的独立性。

本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率2学时第三节等可能概型(古典概型)2学时第四节条件概率第五节事件的独立性2学时三.本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系;2）古典概型及概率计算;3）概率的性质;5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四.教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件;2）注意让学生理解事件4uB,AuB 、AcB,4-B,4B = ®,A... 的具体含义,理解事件的互斥关系；根定律；4)条件概率, 全概率公式和Bayes 公式 3) 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和1)事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；2)讲清楚抽样的两种方式有放回和无放回；思考题和习题思考题：1.集合的并运算和差运算-是否存在消去律？2.怎样理解互斥事件和逆事件？3.古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布本章的教学目标及基本要求(1)理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；(2)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二.本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布）2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算2学时三.本章教学内容的重点和难点a）随机变量的定义、分布函数及性质；b）离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；C）六个常见分布（二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布）；四.教学过程中应注意的问题a）注意分布函数F（x） P{X x}的特殊值及左连续性概念的理解；b）构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；c）构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；d）连续型随机变量的分布函数F（x）关于x处处连续，且P（X x） 0，其中x为任意实数，同时说明了P（A） 0不能推导A 。

概率论与数理统计第七章-1矩估计法和极大似然估计法

数理统计
例5
设总体 X ~N( μ , σ 2) , μ , σ 2 未知 . x1 ,
, xn
是来自 X 的样本值 , 试求 μ , σ 2的最大似然估计量 . 解 X 的概率密度为
数理统计
定义用样本原点矩估计相应的总体原点矩 ,
用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 . 矩估计法的具体做法如下设总体的分布函数中含有k个未知参数 θ1 , θ2 , 那么它的前k阶矩 μ1 , μ2 ,
, θk ,
, μk , 一般
l xi P{ X xi ;1 , 2 , , k } l E ( X l ) l 1 hl (1 , 2 , , k ) x l p ( x; , , , )dx 1 2 k
数理统计
点估计问题的一般提法设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已
知, 是待估参数 . X 1 , X 2 ,, X n 是 X 的一个样本, x1 , x2 ,, xn 为相应的一个样本值 .
点估计问题就是要构造一个适当的统计量 ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ), 用它的观察值 ˆ ( x1 , x2 ,, xn ) 来估计未知参数 . ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n )称为的估计量. 通称估计, ˆ. ˆ ( x1 , x2 ,, xn )称为的估计值. 简记为
先看一个简单例子：某位同学与一位猎人一起外出打猎 . 一只野兔从前方窜过 .
数理统计
只听一声枪响，野兔应声倒下 . 如果要你推测，是谁打中的呢？
数理统计
你可能会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎人射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了极大似然估计法的基本思想 .

矩估计和极大似然估计

X1, X2 , … , Xn . 依样本对参数θ 做出估计，或估计参数θ 的某个已知函数 g(θ ) 。这类问题称为参数估计。
参数估计包括：点估计和区间估计。
4/22
为估计参数 µ，需要构造适当的统计量 T( X1, X2 , … , Xn )，
一旦当有了样本，就将样本值代入到该统计量中，算出一个值作为µ的估计，称该计算值为 µ的一个点估计。
解: 先求总体的均值和2阶原点矩。
E( X ) x 1 e(x) d x

0
(θ
y

)e y
d
y
令y=(x-μ )/θ
θ 11/22 .
E( X 2 ) x2 1 e(x) d x

令y=(x-μ )/θ

0
(θ
y

)2 e y

nX
2

1
n
n i1
(Xi

X
)2
,

ˆ X
1
n
n
(Xi
i1

X
)2
.
ˆ, ˆ 为参数 , 的矩估计。
13/22
例3：设总体X的均值为，方差为2，求和 2 的矩估计。
E(X) , 解：由 E(X2) 2 2.
即
^ X,
的矩估计。
这种参数估计法称为参数的矩估计法，简称矩法。
19/22
又如：若总体 X∼ U(a, b)，求a, b的矩估计。
解：列出方程组
E( X ) ˆ,

Var
(
X
)

ˆ

参数估计-矩法和极大似然法

它首先是由德国数学家高斯在 1821年提出的 . 然而,这个方法常归功于英国统计学家费歇 .
Gauss
Fisher
费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质 .
最大似然法的基本思想
先看一个简单例子：某位同学与一位猎人一起外出打猎 . 一只野兔从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 如果要你推测，是谁打中的呢？你会如何想呢?
你就会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎人射中的 .
这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想 .
最大似然估计原理：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为 f
(x1,x2,… ,xn ; ) .
当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：
L( ) f (x1, x2 ,…, xn; )
这里 x1, x2 ,…, xn 是样本的观察值 .
似然函数：
L( ) f (x1,x2,…, xn; )
L( )看作参数的函数，它可作为将以多大可
能产生样本值 x1, x2,… ,xn 的一种度量 .
i 1
i 1
对p求导并令其为0，
d ln L( p) dp
1 p
n i 1
xi
1 1 p
(n
n i 1
xi )=0
得
pˆ
1 n
n i 1
xi
x
即为 p 的最大似然估计值 .
从而 p 的最大似然估计量为
pˆ ( X1,
1n , X n ) n i1 X i X
求最大似然估计(MLE)的一般步骤是：

极大似然估计法

《概率论与数理统计》典型教案教学内容：极大似然估计法教学目的：通过本节内容的教学，使学生： 1、明确极大似然估计法是在总体分布类型已知的情况下的一种常用的参数估计方法；2、理解极大似然思想；3、掌握求极大似然估计值的一般步骤，会求常见分布参数的极大似然估计值．教学重点：1、对极大似然思想阐述；2、极大似然估计值的求解．教学难点：对不能通过求导方法获得极大似然估计的值的确定．教学时数：２学时．教学过程：引例：某位同学与一位猎人一起外出打猎，一只野兔从前方窜过．只听一声枪响，野兔应声到下，如果要你推测，这一发命中的子弹是谁打的？你就会想，只发一枪便打中，由于猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率，看来这一枪是猎人射中的．这个例子所作的推断就体现了极大似然法的基本思想．一、极大似然思想一般地说，事件A 与参数Θ∈θ有关，θ取值不同，则)(A P 也不同．若A 发生了，则认为此时的θ值就是θ的估计值．这就是极大似然思想．看一例子：例１、设袋中装有许多黑、白球，不同颜色球的数量比为3:1，试设计一种方法，估计任取一球为黑球的概率P ．分析：易知P 的值无非是1/4或3/4．为估计P 的值，现从袋中有放回地任取3只球，用X 表示其中的黑球数，则),3(~P b X ．按极大似然估计思想，对P 的取值进行估计．解：对P 的不同取值，X 取3,2,1,0=k 的概率可列表如下:X ０１２３41=P 6427 6427 649 64143=P641 64964276427故根据极大似然思想即知：⎪⎩⎪⎨⎧===3,2,431,0,41ˆk k P ．在上面的例子中，P 是分布中的参数，它只能取两个值：1/4或3/4，需要通过抽样来决定分布中参数究竟是1/4还是3/4．在给定了样本观测值后去计算该样本出现的概率，这一概率依赖于P 的值，为此需要用1/4、3/4分别去计算此概率，在相对比较之下，哪个概率大，则P 就最象那个．二、似然函数与极大似然估计1、离散分布场合：设总体X 是离散型随机变量，其概率函数为);(θx p ，其中θ是未知参数．设n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本．n X X X ,,,21 的联合概率函数为∏=ni i X p 1);(θ，这里，θ是常量，n X X X ,,,21 是变量．若我们已知样本取的值是n x x x ,,,21 ，则事件},,,{2211n n x X x X x X === 发生的概率为∏=ni i x p 1);(θ．这一概率随θ的值而变化．从直观上来看，既然样本值n x x x ,,,21 出现了，它们出现的概率相对来说应比较大，应使∏=ni i x p 1);(θ取比较大的值．换句话说，θ应使样本值n x x x ,,,21 的出现具有最大的概率．将上式看作θ的函数，并用)(θL 表示，就有：∏===ni i n x p x x x L L 121);();,,,()(θθθ （１）称)(θL 为似然函数．极大似然估计法就是在参数θ的可能取值范围Θ内，选取使)(θL 达到最大的参数值θˆ，作为参数θ的估计值．即取θ，使);,,,(max )ˆ;,,,()(2121θθθθnn x x x L x x x L L Θ∈== （２）因此，求总体参数θ的极大似然估计值的问题就是求似然函数)(θL 的最大值问题．这可通过解下面的方程0)(=θθd dL （３）来解决．因为L ln 是L 的增函数，所以L ln 与L 在θ的同一值处取得最大值．我们称)(ln )(θθL l =为对数似然函数．因此，常将方程（３）写成：0)(ln =θθd L d （４）方程（４）称为似然方程．解方程（３）或（４）得到的θˆ就是参数θ的极大似然估计值．如果方程（４）有唯一解，又能验证它是一个极大值点，则它必是所求的极大似然估计值．有时，直接用（４）式行不通，这时必须回到原始定义（２）进行求解．２、连续分布场合：设总体X 是连续离散型随机变量，其概率密度函数为);(θx f ，若取得样本观察值为n x x x ,,,21 ，则因为随机点),,,(21n X X X 取值为),,,(21n x x x 时联合密度函数值为∏=ni i x f 1);(θ．所以，按极大似然法，应选择θ的值使此概率达到最大．我们取似然函数为∏==ni i x f L 1);()(θθ，再按前述方法求参数θ的极大似然估计值．三、求极大似然估计的方法1、可通过求导获得极大似然估计：当函数关于参数可导时，常可通过求导方法来获得似然函数极大值对应的参数值．例２、设某工序生产的产品的不合格率为p ，抽n 个产品作检验，发现有T 个不合格，试求p 的极大似然估计．分析：设X 是抽查一个产品时的不合格品个数，则X 服从参数为p 的二点分布),1(p b ．抽查n 个产品，则得样本n X X X ,,,21 ，其观察值为n x x x ,,,21 ，假如样本有T 个不合格，即表示n x x x ,,,21 中有T 个取值为１，T n -个取值为０．按离散分布场合方法，求p 的极大似然估计．解：（１）写出似然函数：∏=--=ni x x i i P p p L 11)1()(（２）对)(p L 取对数，得对数似然函数)(p l ：∑∑==--+-=--+=ni i ni i i p p x p n p x p x p l 11)]1ln([ln )1ln()]1ln()1(ln [)(（３）由于)(p l 对p 的导数存在，故将)(p l 对p 求导，令其为０，得似然方程：0)1(11)111(1)(11=-+--=-++--=∑∑==ni i n i i x p p p n p p x p n dp p dl （４）解似然方程得：x x n pni i ==∑=11ˆ （５）经验证，在x p=ˆ时，0)(22<dp p l d ，这表明x p =ˆ可使似然函数达到最大（６）上述过程对任一样本观测值都成立，故用样本代替观察值便得p 的极大似然估计为：X p=ˆ 将观察值代入，可得p 的极大似然估计值为：nTx p==ˆ，其中∑==ni i x T 1．若总体X 的分布中含有多个未知参数k θθθ,,,21 时，似然函数L 是这些参数的多元函数),,(1k L θθ ．代替方程（３），我们有方程组),,2,1(0)(ln k i L i==∂∂θ，由这个方程组解得kθθθˆ,,ˆ,ˆ21 分别是参数k θθθ,,,21 的极大似然估计值．例３、设某机床加工的轴的直径与图纸规定的中心尺寸的偏差服从),(2σμN ，其中2,σμ未知．为估计2,σμ，从中随机抽取100=n 根轴，测得其偏差为10021,,,x x x ．试求2,σμ的极大似然估计．分析：显然，该问题是求解含有多个（两个）未知参数的极大似然估计问题．通过建立关于未知参数2,σμ的似然方程组，从而进行求解．解：（１）写出似然函数：212222)(2212)(2)2(21),(σμσμπσσπσμ∑===---=--∏ni i i x n ni x ee L（２）写出对数似然函数：21222)(21)2ln(2),(∑=---=n i i x n l μσπσσμ（３）将),(2σμl 分别对2σμ、求偏导，并令它们都为０，得似然方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=∂∂=-=∂∂∑∑==0)(212),(0)(1),(1242221222ni i n i i x n l x l μσσσσμμσμσμ （４）解似然方程组得：x =μˆ，∑=-=ni i x x n 122)(1ˆσ （５）经验证2ˆ,ˆσμ使),(2σμl 达到极大，（６）上述过程对一切样本观察值成立，故用样本代替观察值，便得2,σμ的极大似然估计分别为：X =μˆ，2122)(1ˆn n i i S X X n =-=∑=σ．２、不可通过求导方法获得极大似然估计：当似然函数的非零区域与未知参数有关时，通常无法通过解似然方程来获得参数的极大似然估计，这时可从定义（２）出发直接求)(θL 的极大值点．例4、设总体X 服从均匀分布),0(θU ，从中获得容量为n 的样本n X X X ,,,21 ，其观测值为n x x x ,,,21 ，试求θ的极大似然估计．分析：当写出其似然函数)(θL 时，我们会发现)(θL 的非零区域与θ有关，因而无法用求导方法来获得θ的极大似然估计，从而转向定义（２）直接求)(θL 的极大值．解：写出似然函数：⎩⎨⎧≤≤≤=-其它场合,00,)()()1(θθθn n x x L为使)(θL 达到极大，就必须使θ尽可能小，但是θ不能小于)(n x ，因而θ取)(n x 时使)(θL 达到极大，故θ的极大似然估计为：)(ˆn X =θ．进一步，可讨论估计θˆ的无偏性：由于总体),0(~θU X ，其密度函数与分布函数分别为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,00,1)(θθx x p ，⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=θθθx x x x x F ,10,0,0)(，从而)(ˆn X =θ的概率密度函数为：θθθ<<==--y ny y p y F n p nn n 0,)()]([11ˆ θθθθθθθ≠+====⎰⎰1)()()ˆ(0ˆ)(n ndy ny dy y yp X E E nnn 这说明θ的极大似然估计)(ˆn X =θ不是θ的无偏估计，但对θˆ作一修正可得θ的无偏估计为：)(11ˆn X nn +=θ．通过修正获得未知参数的无偏估计，这是一种常用的方法．在二次世界大战中，从战场上缴获的纳粹德国的枪支上都有一个编号，对最大编号作一修正便获得了德国生产能力的无偏估计．综上，可得求极大似然估计值的一般步骤．四、求极大似然估计的一般步骤1、由总体分布导出样本的联合概率函数（或联合密度）；2、把样本联合概率函数（或联合密度）中自变量看成已知常数，而把参数θ看作自变量，得到似然函数)(θL ；3、求似然函数)(θL 的最大值点（常转化为求对数似然函数)(θl 的最大值点）；4、在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的极大似然估计值．五、极大似然估计的不变性求未知参数θ的某种函数)(θg 的极大似然估计可用极大似然估计的不变原则，证明从略．定理（不变原则）设θˆ是θ的极大似然估计，)(θg 是θ的连续函数，则)(θg 的极大似然估计为)ˆ(θg ．例5、设某元件失效时间服从参数为λ的指数分布，其密度函数为0,);(≥=-x e x f x λλλ，λ未知．现从中抽取了n 个元件测得其失效时间为n x x x ,,,21 ，试求λ及平均寿命的极大似然估计．分析：可先求λ的极大似然估计，由于元件的平均寿命即为X 的期望值，在指数分布场合，有λ1)(=X E ，它是λ的函数，故可用极大似然估计的不变原则，求其极大似然估计．解：（１）写出似然函数：∑===-=-∏ni iix nni x eeL 11)(λλλλλ（２）取对数得对数似然函数：∑=-=ni i x n l 1ln )(λλλ（３）将)(λl 对λ求导得似然方程为：0)(1=-=∑=ni i x n d dl λλλ （４）解似然方程得：xxnni i1ˆ1==∑=λ经验证，λˆ能使)(λl 达到最大，由于上述过程对一切样本观察值成立，故λ的极大似然估计为：X1ˆ=λ；根据极大似然估计的不变原则，元件的平均寿命的极大似然估计为：X X E ==λˆ1)(．五、小结1、极大似然估计的思想；2、求解未知参数极大似然估计的一般步骤；3、极大似然估计的不变原则．五、作业见参考文献1的第278页第4，5，6页．参考文献：1、苏均和主编：概率论与数理统计，上海财经大学出版社．1999年1版．2、茆诗松等编著：概率论与数理统计，中国统计出版社．1999年1版．3、魏振军编：概率论与数理统计三十三讲，中国统计出版社．2000年1版．4、唐生强主编：概率论与数理统计复习指导，科学出版社．1999年1版．。

矩估计和极大似然估计

=θ2+(θ+μ)2
注意到令 θ μ X , 2 θ M 2 . DX = E ( X2 )－( EX )2=θ2

2 1 ˆ M2 (Xi X ) , n i 1 ˆ X M . μ n
2
14
第二节
极大似然估计
第七章
极大似然估计
15
极大似然估计法: 定义7.1 设是
1, 第i次取到不合格品； Xi i 1, 2, , n. 0, 第i次取到合格品.
解因 p=EX, 故 p 的矩估计量为
1 ˆ X X i f n ( A) p n i 1
(即出现不合格产品的频率).
9
n
例5
设总体X ~ U [a, b], a, b未知；X 1 , , X n
1100
可用两种方法：矩法估计和极大似然估计.
28
1 x e , x0 X : p( x; ) ( 0) 0 , other
1）矩法估计
令 X
1 EX x e dx 0 则可得的矩法估计量为：ˆ X .

x
1 n A1 X i X n i 1
1 ˆ 则 x (0 75 1 90 6 1) 1.22 250
ˆ 1.22。所以 X 估计下面我们通过几个例子说明利用矩估计法求未知参数的过程。
6
例2
22
令
即
所以参数
的极大似然估计量为
23
例3
解
设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X 的一个样本,
，求参数λ的极大似然估计值。
似然函数为:

参数估计公式最大似然估计矩估计

参数估计公式最大似然估计矩估计参数估计是概率统计中的一个重要问题，它是通过样本数据对总体参数进行估计。

参数估计的方法有很多种，其中最常用的是最大似然估计和矩估计。

本文将介绍和比较这两种参数估计方法。

一、最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过最大化样本数据的似然函数来估计参数值。

似然函数是关于参数的函数，表示在给定参数下观测到样本数据的概率。

最大似然估计的目标是选择使观测到样本数据的概率最大的参数值。

在最大似然估计中，假设总体分布的形式已知，参数是未知的。

通过观测到的样本数据，可以计算出似然函数的具体形式，并通过对似然函数进行求导等方法，求出使得似然函数取得最大值时的参数值。

最大似然估计的优点是在大样本情况下具有较好的渐进性质，即当样本大小趋于无穷时，最大似然估计的估计值将趋于真实参数值。

然而，最大似然估计的缺点是对于小样本情况下，估计结果可能不够准确，且对于非典型样本分布，可能会出现估计值不存在或者不唯一的情况。

二、矩估计矩估计是另一种常用的参数估计方法，它通过样本数据的矩（原点矩或者中心矩）与总体矩的对应关系，来估计参数的值。

矩估计的基本思想是使用样本的矩来逼近总体的矩，从而得到参数的估计值。

在矩估计中，假设总体分布的形式已知，参数是未知的。

通过观测到的样本数据，可以计算出样本的矩和总体的矩，并通过将样本的矩与总体的矩进行匹配，从而得到参数的估计值。

矩估计的优点是在小样本情况下估计结果相对较好，且计算简单，不需要求解似然函数，特别适用于非典型样本分布。

然而，矩估计的缺点是在大样本情况下，估计结果可能不够准确，且对于非典型样本分布，可能会出现估计值不存在或者不唯一的情况。

三、比较与应用最大似然估计和矩估计在参数估计中都有各自的优缺点，因此在实际问题中需要根据具体情况进行选择。

通常来说，最大似然估计更加常用，特别适用于大样本情况下和典型样本分布。

而矩估计更适合于小样本情况下和非典型样本分布。

矩估计量和矩估计值

矩估计量和矩估计值
求矩估计量、矩估计值和极大似然估计值的详细过程：
1、根据题目给出的概率密度函数，计算总体的原点矩（如果只有一个参数只要计算一阶原点矩，如果有两个参数要计算一阶和二阶）。

由于有参数这里得到的都是带有参数的式子。

如果题目给的是某一个常见的分布，就直接列出相应的原点矩（E(x)）。

2、根据题目给出的样本。

按照计算样本的原点矩，让总体的原点矩与样本的原点矩相等，解出参数。

所得结果即为参数的矩估计值。

矩估计量的背景知识：
简单的讲，概率密度函数表示的就是随机变量X在某点的概率（所有点的概率和为1）。

对于连续型的随机变量，其图像通常为一个连续的曲线，离散型的随机变量的图像一般是一个一个点组成。

“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。

似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。

这里类似于“贝叶斯方法”的思路。

矩估计和极大似然估计-PPT文档资料

当总体标准差0已知，区间应该是
x 1 . 9 6
0
, x 1 . 9 6 n n
0
例7.2.4 在例7.2.1 测量问题中，总体来自N (,2 ) ，假如有 9 个观测数据 x1， x2， …，x9 (1). 当2 (即仪器精度) 未知时，钻石重量的区间估计是 s s x 2 . 3 1 , x 2 . 3 1 9 9 (2). 假如已经知道测量仪器的精度0 ，则钻石重量的区间估计应该用
样本统计量± “抽样误差” 来构造。
抽样误差与置信水平有关，一般默认置信水平 0.95
例7.2.1 某人得到了一块钻石(精确重量是未知参数)，他用一台标准差为的秤测量了n 次，得到数据 x1， x2， …，xn 他应该如何去估计？ (1). 采用点估计的想法，…… (2). 采用区间估计，应该是在某个范围内，而且
7 . 5 3 t ( 1 1 ) 2 . 2 0 1 4 . 7 8 0 . 0 2 5 3 . 4 6 4 1 1 2
因此可以构造出一个区间 (31.4,41.0) □
s
历史数据表明，科学家研究工作的黄金时期是31岁半到41岁间。这个年龄段他们将有可能做出重要工作。这个结论的可靠程度是 95% 。
科学发现日心说望远镜、天文学基本定律科学家哥白尼伽利略时间 1543 1600 年龄 40 43
动力学、万有引力、微积分
电的本质燃烧即氧化
牛顿
富兰克林拉瓦锡
1665
1746 1774
23
40 31
地球的演变
进化论光的电磁特性放射性量子力学
莱尔
达尔文麦克思韦居里普朗克

参数估计-矩法和极大似然法

(4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就得参数的最大似然估计值 .
可靠性数学基础
例设总体 X ~N( μ , σ )2 ,
2 μ , σ未知 .
x1 ,
, xn
是来自 X 的样本值 , 试求 μ , σ 2的最大似然估计量 . 解 X 的概率密度为
f ( x) 1 2 e
( x )2 2 2
Fisher
可靠性数学基础
最大似然法的基本思想
先看一个简单例子：某位同学与一位猎人一起外出打猎 . 一只野兔从前方窜过 .
只听一声枪响，野兔应声倒下 . 如果要你推测，是谁打中的呢？你会如何想呢?
可靠性数学基础
你就会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎人射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想 .
1
n
可靠性数学基础
且是的增函数

取其它值时，L( , ) 0.
故使 L( , )达到最大的 , 即的MLE 是
min xi
* 1 i n
于是
n 1 * xi * n i 1 即 * , *为 , 的MLE .
可靠性数学基础
1 ( x ) e , x X ~ f ( x ) , 为未知参数其它 0,
其中 >0,求 , 的最大似然估计. 解：似然函数为
1 ( xi ) ， xi e L( , ) i 1 其它 0,
可靠性数学基础
最大似然估计原理：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为 f (x1,x2,… ,xn ; ) . 当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：

矩估计和极大似然估计课件

,
EX
x
x( 1)dx
1
x dx ,
1
1
x
ˆ ˆ 1
,
解得
ˆ x .
x 1
19
例7. 设总体X的概率密度为
p(
x)
1 θ
e
(
x
)/
,
0,
x ; x .
其中θ＞0，μ与θ是未知参数，X1，X2，…,Xn，
是X 的一组样本，求μ与θ的矩估计量.
解
x
EX
x θ
e
θ dx
令 y x ,
L( ) L( x1,, xn; ) 为的函数，
n
p( xi ; ), 为样本的似然函数。
25
i 1
样本的似然函数 L( ) L( x1,, xn; ) 现从中挑选使概率L( x1 ,, xn; ) 达到最大的参数
ˆ，作为θ的估计值。即取 ˆ 使得：
L(
x1
,,
xn
;ˆ)
max
D
L(
x1
若母体的分布中包含多个参数，
即可令 L 0,i 1,, k.
i
或 ln L 0,i 1,, k.
i
解k个方程组求得1
,,
的极大似然估计值。
k
28
例1 设 X ~ B(1, p); X1,, X n 是来自总体X的一
个样本，试求参数 p 的极大似然估计值.
解：设 x1 ,, xn 是一个样本值。X的分布列为：
特别，若 X ~ N(, 2 ), , 2未知；
则
ˆ X ,
ˆ 2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
14

矩估计和极大似然估计的求解步骤

2 1
(n
1)

2 0.975
(4)

0.484,
2
(n 1)

2 0.025
(4)

11.143
2
2
由样本值得：S 2 0.01425 , 代入数据计算区间上、下限，
得 2的置信度为95%的置信区间为：(0.0051,0.1178)。
总结：
2已知,的置信区间

(X Z , X Z )
小节：推导置信区间的步骤
（1）寻求一个含有待估参数θ（而不含其他任何未知参数）的统计量U ，且其分布已知.
（2）对事先给定的置信度1-α，确定分位点. （3）解不等式，求得待估参数θ的置信区间.
例1: 设总体X~N(µ，52)，随机抽取容量为16的样
__
本，求得 x 65 , 试求µ的置信度为95%的置信
使得 P ˆ1 ˆ2 1 (1)
成立，则称随机区间 ˆ1,ˆ2 为参数的置信度
为1－的置信区间。 1－称为置信度。
说明:
1、（1）式的含义是指总体参数θ 以1- 的概率
包含在 ˆ1,ˆ2 内，而不被包含的概率仅为。若取 =0.05, (1)式是指θ 以95的概率包含在 ˆ1,ˆ2 内,不
2
2
2 n 1 y
2
例3:求课本P124例2 中 2的置信度为95%的置信区间。解： 2的置信度为1-α 的置信区间为：

n

2

2
1S 2 n 1
，n
2 1
1S n
2
2
1

对给定的α=1-0.95=0.05，查表知

如何求解参数的矩估与极大似然估计

如何求解参数的矩估与极大似然估计一、矩估计若统计量Ｔ作为总体参数θ（或g(θ )）的估计时，Ｔ就称为θ（或g(θ )）的估计量。

定义 6.1矩估计量设n X X X ,,,21 是总体Ｘ的样本，Ｘ的分布函数),,:(1k x F θθ 依赖于参数k θθ,,1 ，假定X 的r 阶矩为),,,(1k r r EX θθα =,,,1k r =（或r 阶中心矩）相应的样本矩记为),,,(1n r X X A 如下的k 个议程k r a X X A k r n r ,,1),,,(),,(11 ==θθ （6.1）的解，称为未知参数k θθ,,:1 的矩估计。

二、最（极）大似然估计设总体Ｘ的密度函数θθ),,(x f 是参数或参数向量，n X X X ,,,21 是该总体的样本，对给定的一组观测值n x x x ,,,21 ，其联合密度是θ的函数，又称似然函数，记为：其中Θ为参数集，若存在,),,(ˆˆ1Θθθ∈=n x x 使Θθθθ∈≥),()ˆ(L L 就称 ),,(ˆ1n x x θ是θ的最大似然估计值，而),,(ˆ1nX X θ是θ的最大似然估计量。

注：１）对给定的观测值，)(θL 是θ的函数，最大似然估计的原理是选择使观测值n x x x ,,,21 出现的“概率”达到最大的θˆ作为θ的估计。

２）最大似然估计具有不变性，即若θˆ是θ的最大似然估计，则)(θg 的最大似然估计为)ˆ(θg 。

但是，矩估计不具有不变性，例如假定θ是X 的矩估计，一般情形下，2θ的矩估计不是2X 。

1. 设总体ξ服从指数分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤=-001)(1x x ex f x θθ，（θ>0）试求参数θ的矩估计和极大似然估计.解：ξ的概率密度为()1,0;,00,0xe xf x x θθθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩似然函数为： ()11i x n i L eθθθ-=⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∏而令得到：11ˆn i i x n θ==∑=X 因此得到参数θ的极大似然估计量为：11ˆn i i X n θ==∑矩估计求法如下：因为1E μξθ==令111ni i A x n θ===∑则11ˆn i i x n θ==∑从而θ的矩估计量为11ˆn i i X n θ==∑=X2. 设母体ξ具有指数分布，密度函数为⎩⎨⎧<≤=-00),(x xe xf xλλλ，（λ>0）试求参数λ的矩估计和极大似然估计. 解：参数λ的矩估计求法为：因为令：则λ的矩估计量为：111ˆnii nA Xλ===∑极大似然估计求法如下：ξ的概率密度为(),0,0,0x e x f x x λλλ-⎧≥=⎨<⎩似然函数为：而1ln ln nii L n xλλ==-∑令1ln 0ni i d L n x d λλ==-=∑解得λ的极大似然估计量为：1ˆnii nxλ==∑3. 设总体X ～N(μ,1), ),,(1n X X 为来自X 的一个样本，试求参数μ的矩估计和最大似然估计.解：矩估计求法为：令111ni i A x n μ===∑则11ˆni i x n μ==∑ 极大似然估计求法为： X 的概率密度为：似然函数为：而令即解得μ的极大似然估计量为：11ˆni i x n μ==∑。

参数估计极大似然法

参数估计极大似然法参数估计是统计学中的一个重要问题，其目标是根据观测数据来估计未知参数的值。

极大似然法（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的参数估计方法，它是在给定观测数据情况下，通过寻找使得观测数据出现概率最大的参数值来进行参数估计的。

极大似然法的基本思想是，对于给定的观测数据，将参数看作是自变量，而观测数据的概率函数则是关于参数的函数。

最大化这个概率函数，即寻找参数空间中的一个点，使得在此点处的似然函数取得最大值，并称这个点上的参数值为极大似然估计值。

首先，我们需要定义似然函数。

给定一个随机变量X，其概率密度函数为f(x;θ)，其中θ为待估的参数。

对于n个独立同分布的观测值{x1, x2, ..., xn}，其似然函数L(θ; x1, x2, ..., xn)定义为：L(θ; x1, x2, ..., xn) = f(x1;θ) *f(x2;θ) * ... * f(xn;θ)经过对数变换，我们可以将似然函数转化为对数似然函数，即：ln L(θ; x1, x2, ..., xn) = ln f(x1;θ) + ln f(x2;θ) + ...+ ln f(xn;θ)这样的转换是合理的，因为对数函数是一个连续且单调递增的函数，最大化对数似然函数值等价于最大化似然函数值。

接下来，我们需要找到使得对数似然函数取得最大值的参数值。

为了寻找这个极值点，我们可以使用一些优化算法，比如梯度下降法、牛顿法等。

这些算法可以通过不断迭代来逼近最大化对数似然函数值的参数值。

当然，寻找极大似然估计值的过程可能会面临一些困难，比如求解似然函数和对数似然函数的最大值可能涉及到复杂的计算问题，此外，对于一些复杂模型，可能无法直接找到解析解。

在这些情况下，我们可以利用数值优化算法来近似求解，或者通过一些近似方法来简化问题。

需要注意的是，极大似然估计的结果并不一定是无偏的，也不一定是最优的。