高中数学 第三章 统计案例 1 回归分析(课时2)课件 新人教B版选修23
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高中数学第3章统计案例3.1回归分析课件北师大版选修2-3
设 y＝kx，令 t＝1x，则 y＝kt.由 y 与 x 的数据表可得 y 与 t 的数据表：
t
4
2 1 0.5 0.25
y 16 12 5
2
1
作出 y 与 t 的散点图如图所示．
1．下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归
分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对
2．利用相关系数 r 来检验线性相关显著性水平时，通常与 0.75 作比较，若 r>0.75，则线性相关较为显著，否则为不显著．
求线性回归方程 (2016·九江高二检测)某服装商场为了了解毛衣的月销售量 y(件)与月
平均气温 x(℃)之间的关系，随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温，
其数据如下表：
阶
阶
析
1.1 回归分析
学
阶 段 二
1.2 相关系数
业 分
层
1.3 可线性化的回归分析
测 评
1．了解回归分析的思想和方法．(重点) 2．掌握相关系数的计算和判断线性相关的方法．(重点) 3．了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．(难点)
[基础·初探]
教材整理 1 回归分析
下列数据 x，y 符合哪一种函数模型( )
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 2 2.69 3 3.38 3.6 3.8 4 4.08 4.2 4.3
A.y＝2＋13x
B．y＝2ex
C．y＝2e1x
D．y＝2＋ln x
【解析】 分别将 x 的值代入解析式判断知满足 y＝2＋ln x.
【答案】 D
n
xiyi－n x y
高中数学第三章统计案例本章整合课件北师大版选修23
线性回归方程 y=a+bx 经过样本的中心点(������, ������),(������, ������)称为样本 点的中心,回归直线一定经过此点.
专题1 专题2 专题3
应用1观察两个相关变量的如下数据:
x -1 -2 -3 -4 -5 5 4 3 2 1 y -0.9 -2 -3.1 -3.9 -5.1 5 4.1 2.9 2.1 0.9
关系越强,在线性相关关系较强,即|r|>0.75时,求线性回归方程.
专题1 专题2 专题3
解:(1)列出下表,并用科学计算器进行计算.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑
xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 550
yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 917
=
���1���(x1+x2+x3+…+xn),������ = ���1���(y1+y2+y3+…+yn).
再由 a=������-b������求出 a 的值,最后写出线性回归方程.
(2)线性回归直线在y轴上的截距a和斜率b都是通过样本估计而 来,存在着误差,这种误差可能导致预报结果的偏差.
(3)线性回归方程y=a+bx中的b表示x每增加1个单位时y的变化量, 而a表示y不随x的变化而变化的量.
(1)求
b
时利用公式
b=������=∑1∑n(x(i-������x������)-(���y���)i2-y) i=1
=
������=∑������=∑1���������1���������������������2������ ���-���-������������������������2������,先求出������
专题1 专题2 专题3
应用1观察两个相关变量的如下数据:
x -1 -2 -3 -4 -5 5 4 3 2 1 y -0.9 -2 -3.1 -3.9 -5.1 5 4.1 2.9 2.1 0.9
关系越强,在线性相关关系较强,即|r|>0.75时,求线性回归方程.
专题1 专题2 专题3
解:(1)列出下表,并用科学计算器进行计算.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑
xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 550
yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 917
=
���1���(x1+x2+x3+…+xn),������ = ���1���(y1+y2+y3+…+yn).
再由 a=������-b������求出 a 的值,最后写出线性回归方程.
(2)线性回归直线在y轴上的截距a和斜率b都是通过样本估计而 来,存在着误差,这种误差可能导致预报结果的偏差.
(3)线性回归方程y=a+bx中的b表示x每增加1个单位时y的变化量, 而a表示y不随x的变化而变化的量.
(1)求
b
时利用公式
b=������=∑1∑n(x(i-������x������)-(���y���)i2-y) i=1
=
������=∑������=∑1���������1���������������������2������ ���-���-������������������������2������,先求出������
高中数学第3章统计案例1回归分析课件北师大版选修2_3
[解] (1)散点图如图．
(2) x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，
y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
5
∑xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.
i＝1 5
∑x2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.
思考：在回归分析中，通过线性回归方程求出的函数值一定是实 数值吗？为什么？
[提示] 不一定是实数值，例如，人的体重与身高存在一定的线 性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食 情况，是否喜欢运动等．
2．相关系数
(1)相关系数 r 的计算
假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，
可线性化的回归分析
[探究问题] 1．如何解答非线性回归问题？ [提示] 非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以 画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、 对数函数等)图像作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数， 然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到 解决．其一般步骤为：
2．已知 x 和 y 之间的一组数据，则下列四个函数中，模拟效果 最好的为哪一个？
x
1
2
3
y
3
5.99
12.01
①y＝3×2x－1; ②y＝log2x； ③y＝4x; ④y＝x2.
[提示] 观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在 曲线 y＝3×2x－1 附近，所以模拟效果最好的为①.
【例 3】 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
第三章 统计案例
§1 回归分析 1.1 回归分析 1.2 相关系数 1.3 可线性化的回归分析
高中数学3.2回归分析课件新人教B选修23
注意：(1)在散点图中，横坐标代表一个变量，纵坐标代表 一个变量，所以散点图中每个点可设为(x，y)．
(2)从散点图中我们可以看到点散布的位置是从左下角到右 上角的区域内，即一个变量的值由小到大时，另一个变量的值 也由小到大，这种关系我们称为正相关，反之，如果两个变量 的散点图中点散布的位置由左上角到右下角的区域，即一个变 量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种关系称为 负相关．
从图可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系， 且当数学成绩减小时，物理成绩也在由大变小，即它们正相关．
二、回归直线方程 1．回归直线方程的思想方法 (1)回归直线：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布 从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具 有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)最小二乘法：实际上，求回归直线方程的关键是如何用 数学的方法来刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最 小”．即最贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关 系．
i＝1
i＝1
r 具有以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近于 1，线性相关程度 越强；|r|越接近于 0，线性相关程度越弱．
检验的步骤如下： (1)作统计假设：x 与 Y 不具有线性相关关系； (2)根据小概率 0.05 与 n－2 在附表中查出 r 的一个临界值 r0.05； (3)根据样本相关系数计算公式算出 r 的值； (4)作统计推断．如果|r|>r0.05，表明有 95%的把握认为 x 与 Y 之间具有线性相关关系．如果|r|≤r0.05，我们没有理由拒绝原 来的假设．这时寻找回归直线方程是毫无意义的．
三、回归分析
对于变量 x 与 y 随机抽取到的 n 对数据(x1，y1)，(x2，y2)，…， (xn，yn)，检验统计量是样本相关系数
高中数学第3章统计案例3.2回归分析课件新人教B版选修2_3
^
解 由②中线性回归方程当 x＝9 时，y ＝0.7×9－2.3＝4，
预测记忆力为 9 的同学的判断力约为 4.
要点二 相关性检验 例2 下面的数据是从年龄在40到60岁的男子中随机抽出的6个 样本，分别测定了心脏的功能水平y(满分100)以及每天花在看电 视上的平均时间x(小时).
看电视的平均时间x 4.4 4.6 2.7 5.8 0.2 4.6
i＝1
a^＝ y －b^ x ≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以 y 对 x 的回归直线方程是y^＝0.625x＋22.05.
(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩. 解 x＝96，则y^＝0.625×96＋22.05≈82， 即可以预测他的物理成绩是82.
规律方法 (1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基 础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图 上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归 分析. (2)求回归直线方程，第一应注意到，只有在散点图大致呈 线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的 回归直线方程毫无意义.
学科
学生 A B CDE
数学成绩(x)
88 76 73 66 63
物理成绩(y)
78 65 71 64 61
(1)画出散点图； 解 散点图如图.
(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程； 解 x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
2.回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实 值吗？ 答 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时 候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系， 但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、 是否喜欢运动等.
解 由②中线性回归方程当 x＝9 时，y ＝0.7×9－2.3＝4，
预测记忆力为 9 的同学的判断力约为 4.
要点二 相关性检验 例2 下面的数据是从年龄在40到60岁的男子中随机抽出的6个 样本，分别测定了心脏的功能水平y(满分100)以及每天花在看电 视上的平均时间x(小时).
看电视的平均时间x 4.4 4.6 2.7 5.8 0.2 4.6
i＝1
a^＝ y －b^ x ≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以 y 对 x 的回归直线方程是y^＝0.625x＋22.05.
(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩. 解 x＝96，则y^＝0.625×96＋22.05≈82， 即可以预测他的物理成绩是82.
规律方法 (1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基 础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图 上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归 分析. (2)求回归直线方程，第一应注意到，只有在散点图大致呈 线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的 回归直线方程毫无意义.
学科
学生 A B CDE
数学成绩(x)
88 76 73 66 63
物理成绩(y)
78 65 71 64 61
(1)画出散点图； 解 散点图如图.
(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程； 解 x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
2.回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实 值吗？ 答 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时 候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系， 但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、 是否喜欢运动等.
高中数学第三章统计3.2回归分析课件新人教B版选修23
第三十四页，共49页。
两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关 系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如 y＝c1ec2x，我们可以通过对数 变换把指数关系变为线性关系，令 z＝ln y，则变换后样本点应该分布在直线 z ＝bx＋aa＝ln c1，b＝c2的周围.
第三十五页，共49页。
第二十五页，共49页。
[再练一题] 2.本题条件不变，若x增加2个单位，^y增加多少？ 【解】 若x增加2个单位，则 ^y＝0.18(x＋2)＋6.34 ＝0.18x＋6.34＋0.36， 故^y增加0.36个单位.
第二十六页，共49页。
非线性回归分析
[探究共研型]
探究1 如何解答非线性回归问题？ 【提示】 非线性回归问题有时并不给出经验公式.这时我们可以画出已知 数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象 作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换， 把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决.其一般步骤为：
第十八页，共49页。
[再练一题] 1.下列有关线性回归的说法，不正确的是________(填序号). ①自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关 系叫做相关关系； ②在平面直角坐标系中，用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的 一组数据的图形叫做散点图； ③线性回归方程最能代表观测值x，y之间的关系； ④任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程.
第五页，共49页。
设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系.根 据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为 ^y ＝ 0.85x－85.71，则下列结论中正确的是________(填序号).
两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关 系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如 y＝c1ec2x，我们可以通过对数 变换把指数关系变为线性关系，令 z＝ln y，则变换后样本点应该分布在直线 z ＝bx＋aa＝ln c1，b＝c2的周围.
第三十五页，共49页。
第二十五页，共49页。
[再练一题] 2.本题条件不变，若x增加2个单位，^y增加多少？ 【解】 若x增加2个单位，则 ^y＝0.18(x＋2)＋6.34 ＝0.18x＋6.34＋0.36， 故^y增加0.36个单位.
第二十六页，共49页。
非线性回归分析
[探究共研型]
探究1 如何解答非线性回归问题？ 【提示】 非线性回归问题有时并不给出经验公式.这时我们可以画出已知 数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象 作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换， 把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决.其一般步骤为：
第十八页，共49页。
[再练一题] 1.下列有关线性回归的说法，不正确的是________(填序号). ①自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关 系叫做相关关系； ②在平面直角坐标系中，用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的 一组数据的图形叫做散点图； ③线性回归方程最能代表观测值x，y之间的关系； ④任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程.
第五页，共49页。
设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系.根 据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为 ^y ＝ 0.85x－85.71，则下列结论中正确的是________(填序号).
高中数学第三章统计案3.2回归分析课件新人教B版选修23
量之间是否具有相关关系,这时就必须利用样本相关系数对其进行相
关性检验,计算中应该特别细心,不能出现计算的错误.
第十二页，共28页。
题型一
题型二
题型三
题型二
非线性回归问题
【例2】 下表是某种旧货物价格的调查资料,若以x表示该种货物的
使用(shǐyòng)年数,y(单位:元)表示相应的年均价格,求y关于x的回归
^
y =e8.165-0.298x.
第十五页，共28页。
题型一
题型二
题型三
反思 非线性回归问题有时并不给出经验公式.这时我们可以画出已知
数据的散点图,把它与幂函数、指数函数、对数函数等的图象作比较,挑
选一种(yī zhǒnɡ)跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量置
换,把问题化为线性回归分析问题,使之得到解决.
解析:①②③正确.
答案:C
第二十四页，共28页。
1
2
3
4
5
2.观测两相关变量得如下数-5
-4
-3
则两变量间的回归(huíguī)直线方程为(
)
^
A. =
1
x-1
2
^
1
C. =2x+3
-1
-9
-2
-7
^
B. y =-2x-11
^
D. =x+1
答案(dáàn):B
第二十五页，共28页。
≈4.134 4, = −
=1
^
≈0.791 7.
^
故 Y 与 t 之间的线性回归方程为 =4.134 4t+0.791 7,故 Y 与 x
^
之间的回归方程为 =
关性检验,计算中应该特别细心,不能出现计算的错误.
第十二页，共28页。
题型一
题型二
题型三
题型二
非线性回归问题
【例2】 下表是某种旧货物价格的调查资料,若以x表示该种货物的
使用(shǐyòng)年数,y(单位:元)表示相应的年均价格,求y关于x的回归
^
y =e8.165-0.298x.
第十五页，共28页。
题型一
题型二
题型三
反思 非线性回归问题有时并不给出经验公式.这时我们可以画出已知
数据的散点图,把它与幂函数、指数函数、对数函数等的图象作比较,挑
选一种(yī zhǒnɡ)跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量置
换,把问题化为线性回归分析问题,使之得到解决.
解析:①②③正确.
答案:C
第二十四页，共28页。
1
2
3
4
5
2.观测两相关变量得如下数-5
-4
-3
则两变量间的回归(huíguī)直线方程为(
)
^
A. =
1
x-1
2
^
1
C. =2x+3
-1
-9
-2
-7
^
B. y =-2x-11
^
D. =x+1
答案(dáàn):B
第二十五页，共28页。
≈4.134 4, = −
=1
^
≈0.791 7.
^
故 Y 与 t 之间的线性回归方程为 =4.134 4t+0.791 7,故 Y 与 x
^
之间的回归方程为 =
20192019学年人教B版高中数学课件选修23：第三章统计案例1回归分析-课时2
10
平方和为 120.53,那么∑ (yi-)2 的值为
=1
x
答案:2 410.6
120.53
解析:依题意有 0.95=1- 10
2
,
∑ ( -)
=1
10
2
所以∑ (yi-) =2 410.6.
=1
x
.
非线性回归问题有时并不给出经验公式,这时我
们可以画出已知数据的散点图,把它与学过的各种
20192019学年
人教B版高中数
学课件选修23：
第三章统计案
例1回归分析课时2
（7）相关系数r与R2
(1)R2是相关系数的平方,其变化范围为[0,1],而相
关系数的变化范围为[-1,1].
(2)相关系数可较好地反映变量的相关性及正相关
或负相关,而R2反映了回归模型拟合数据的效果.
(3)当|r|接近于1时说明两变量的相关性较强,当
产卵数
画出确定好的解释变量
和预报变量的散点图，
观察它们之间的关系．
350
300
250
200
150
100
50
0
20
22
（1）是否存在线性关系？
24
26
28
30
32
图
1.14
非线性关系
（2）散点图具有哪种函数特征？
指数函数、二次函数、三次函数
（3）以指数函数模型为例，如何设模型函数？
34
36
温度
非线性回归模型
15中
的数据
,得到
y关于
t的线性回归方程
ŷ2 0.367
t 202
.54
,即y关于
x的二次回归方程
平方和为 120.53,那么∑ (yi-)2 的值为
=1
x
答案:2 410.6
120.53
解析:依题意有 0.95=1- 10
2
,
∑ ( -)
=1
10
2
所以∑ (yi-) =2 410.6.
=1
x
.
非线性回归问题有时并不给出经验公式,这时我
们可以画出已知数据的散点图,把它与学过的各种
20192019学年
人教B版高中数
学课件选修23：
第三章统计案
例1回归分析课时2
（7）相关系数r与R2
(1)R2是相关系数的平方,其变化范围为[0,1],而相
关系数的变化范围为[-1,1].
(2)相关系数可较好地反映变量的相关性及正相关
或负相关,而R2反映了回归模型拟合数据的效果.
(3)当|r|接近于1时说明两变量的相关性较强,当
产卵数
画出确定好的解释变量
和预报变量的散点图，
观察它们之间的关系．
350
300
250
200
150
100
50
0
20
22
（1）是否存在线性关系？
24
26
28
30
32
图
1.14
非线性关系
（2）散点图具有哪种函数特征？
指数函数、二次函数、三次函数
（3）以指数函数模型为例，如何设模型函数？
34
36
温度
非线性回归模型
15中
的数据
,得到
y关于
t的线性回归方程
ŷ2 0.367
t 202
.54
,即y关于
x的二次回归方程
人教B版高中数学选修2-3课件3.1回归分析(三).pptx
2019/7/15
郑平正 制作
最好的模型是哪个?
比 一 比
2019/7/15
函数模型 线性回归模型
相关指数R2 0.7464
二次函数模型
0.802
指数函数模型
郑平正 制作
0.985
小结
用身高预报体重时，需要注意下列问题： ——这些问题也使用于其他问题。 1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体； 2、我们所建立的回归方程一般都有时间性； 3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围； 4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。
价格x 14 16
18
20
22
需求量Y 12 10
7
5
3
求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。 列出残差表为
yi yˆi 0
0.3
-0.4
-0.1
0.2
yi y 4.6
2.6
-0.4 -2.4
-4.4
5
5
( yi yˆi )2 0.3, ( yi y)2 53.2,
（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们 之间的关系（如是否存在线性关系等）。
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性 关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差 过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则 检查数据是否有误，或模型是否合适等。
程201拟9/7/1合5 的越差。
郑平正 制作
5、残差分析与残差图的定义：
在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线 性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。
高中数学 第三章 统计案例 1.1 回归分析同步测控 北师大版选修2-3(2021年最新整理)
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高中数学第三章统计案例 1.1 回归分析同步测控北师大版选修2—3我夯基，我达标1。
对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y=a+bx中，回归系数b（）A。
可以小于0 B.大于0C。
能等于0 D。
只能小于0解析：b可能大于0，也可能小于0，但当b=0时,x、y不具有线性相关关系.答案:A2.设有一个回归方程为y=2—2。
5x，则变量x增加一个单位时，则（）A。
y平均增加2.5个单位 B.y平均增加2个单位C。
y平均减少2.5个单位 D。
y平均减少2个单位解析:斜率的估计值为—2。
5，即x每增加1个单位时，y平均减少2。
5个单位.答案：C3。
工人月工资y（元）依劳动生产率x（千元)变化的回归方程y=50+80x，下列判断不正确的是（ )①当劳动生产率为1 000元时,工资为130元②劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元③劳动生产率提高1 000元，则工资提高130元④当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元A.①B.② C。
③ D.④答案:C4.在一次实验中，测得（x,y）的四组值分别是A（1，2）,B（2,3），C（3，4），D（4,5)，则y与x之间的回归直线方程为（ )A.y=x+1B.y=x+2 C。
y=2x+1 D.y=x-1解析：A、B、C、D四点共线，都在直线y=x+1上.答案：A5。
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