上课用----(2015秋)九年级数学上册(北师大版)第四章_图形的相似

第四章 图形的相似 4．1 成比例线段1．四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b ＝cd ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做__ __，简称__ __．2．如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc .如果ad ＝bc (a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么___．如果a b ＝c d ，那么a ±bb ＝c ±d d .如果a b ＝c d ＝…＝mn (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么____.知识点一：比例线段1．下列各组线段中，成比例线段的一组是( ) A ．1，2，3，4 B ．2，3，4，6 C ．1，3，5，7 D ．2，4，6，82．已知a ＝0.2，b ＝1.6，c ＝4，d ＝12，则下列各式中正确的是( )A ．a ∶b ＝c ∶dB ．a ∶c ＝d ∶bC ．a ∶b ＝d ∶cD ．b ∶a ＝d ∶c3．2013版《中华人民共和国全图》在左下角特别配有一幅放大的钓鱼岛插图，比例尺为1∶1 500 000，已知钓鱼岛东西方长约3.5公里，则在地图上的东西方长约为( )A ．0.002 3 cmB ．0.23 cmC ．4.29 cmD ．0.042 9 cm4．已知点P 是线段AB 上的点，且AP ∶PB ＝1∶2，则AP ∶AB ＝_ _．5．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为____米．6．已知a ，b ，c ，d 四条线段依次成比例，其中a ＝3 cm ，b ＝(x －1)cm ，c ＝5 cm ，d ＝(x ＋1)cm.求x 的值．知识点二：比例的性质7．将式子ab ＝cd (a ，b ，c ，d 都不等于0)写成比例式，错误的是( ) A.a c ＝d b B.c b ＝a d C.d a ＝b c D.a b ＝c d8．若a ∶b ＝2∶3，则下列式子一定成立的是( ) A ．2a ＝3b B ．b －a ＝1 C.a ＋2b ＋2＝23D.a ＋b b ＝53知识点三：等比的性质9．已知a b ＝c d ＝e f ＝23(b ＋d ＋f ≠0)，则a ＋c ＋e b ＋d ＋f＝ ．10．已知线段a ，b ，c ，且a 2＝b 3＝c4.(1)求a ＋bb 的值；(2)若线段a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝27，求a ，b ，c 的值．11．已知a b ＝cd ，则下列式子中正确的是( ) A ．a ∶b ＝c 2∶d 2 B ．a ∶b ＝d ∶cC ．a ∶b ＝(a ＋c )∶(b ＋d )D ．a ∶b ＝(a －d )∶(b －d )12．若2a ＝3b ＝4c ，且abc ≠0，则a ＋bc －2b的值是( )A ．2B ．－2C ．3D ．－313．两条直角边为6和8的直角三角形斜边与斜边上的高之比为( ) A ．3∶4 B ．4∶3 C ．25∶12 D ．12∶2514．在比例尺为1∶2 000 000的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5 cm ，则A ，B 两地间的实际距离为___km.15．△ABC 中，a ，b ，c 分别为它的三边，且a ＋b ＋c ＝60，a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，求△ABC 的面积．16．已知三条线段的长分别为1 cm ，2 cm ， 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长．17．若a ＋23＝b 4＝c ＋56，且2a －b ＋3c ＝21.试求a ∶b ∶c .18．如图所示，若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB ＝10，AP BP ＝AQ BQ ＝32，求线段PQ 的长．19．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且(a －c )∶(a ＋b )∶(c －b )＝－2∶7∶1，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形20．在△ABC 中，AB ＝12，点E 在AC 上，点D 在AB 上，若AE ＝6，EC ＝4，且AD DB ＝AEEC . (1)求AD 的长；(2)试问DB AB ＝ECAC 能成立吗？请说明理由．4.2 平行线分线段成比例1．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__ _．2．平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段__ __．知识点一：平行线分线段成比例定理1．如图，l 1∥l 2∥l 3，下列比例式错误的是( ) A.AC CE ＝BD DF B.AC AE ＝BD BF C.CE AE ＝DF BF D.AE BF ＝BD AC,第1题图) ,第2题图)2．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，已知AG ＝0.6 cm ，BG ＝1.2 cm ，CD ＝1.5 cm ，则CH ＝___cm. 3．已知：如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝3，DE ＝2，EF ＝4，求AC 的长．知识点二：平行线分线段成比例定理的推论4．如图，已知AB ∥CD ，下列结论不成立的是( ) A.AO OD ＝BO OC B.AO AD ＝OB BC C.OA OB ＝OD OC D.OA OB ＝BC AD,第4题图) ,第5题图)5．(易错题)如图，在三角形ABC 中，点E ，F 分别是AB ，AC 边上的点，且有EF ∥BC ，如果EB AB ＝45，则ACFC＝( ) A.94 B.59 C.54 D.956．已知线段a，b，c，求作线段x使ax＝bc，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是()7．如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE交AD于点G，则AGAD＝____．8．已知，如图，EG∥BC，GF∥DC，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．9．如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于( )A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．2∶5,第9题图) ,第10题图)10．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别与l 1，l 2，l 3相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，如果AB ＝1，EF ＝3，那么下列各式中，正确的是( )A ．BC ∶DE ＝3B ．BC ∶DE ＝1∶3C ．BC ·DE ＝3D ．BC ·DE ＝1311．如图，l 1∥l 2∥l 3，AB BC ＝23，DF ＝15，则DE ＝____，EF ＝___．,第11题图) ,第12题图)12．如图，△ABC 中有菱形AMPN ，如果AM BM ＝12，那么BPBC ＝____．13．如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，如果AB ＝6，BC ＝8，DF ＝21，求DE 的长．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥BC 于点E .AD ＝5，DB ＝10，CE ＝4.求DE ，AC 的长度．15．如图，点E 是▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，DE 交BC 于点F ，BE AB ＝13，EF ＝2，BF＝1.5.求DF ，BC 的长．16．如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC.小红同学由此得出了以下四个结论：①AN CN＝AMAB；②ADDM＝AMMB；③AMMB＝ANNC；④ADAM＝ANAC.其中正确结论的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个17．如图，点E为AC的中点，点F在AB上，且AF∶AB＝2∶5，FE与BC的延长线交于点D，求EF∶ED的值．4.3相似多边形__相等、_ __成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做__ _．知识点一：相似多边形1．如图，有三个矩形，其中是相似形的是()A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲，乙和丙2．下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角是150°的两个菱形都相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有____．(填序号)3．请将下图中的相似图形的序号写出来：___知识点二：相似多边形的性质4．如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是()A．∠A＝∠CB．∠A>∠CC．∠A<∠CD．无法比较5．两个相似多边形的一组对应边边长分别为3 cm和4.5 cm，那么它们的相似比为()A.23 B.32 C.49 D.946．如图所示，点E ，F 分别为▱ABCD 的边AD ，BC 的中点，且▱ABFE 相似于▱ADCB ，则AB ∶BC 等于( )A ．1∶4B ．4∶1 C.2∶1 D ．1∶ 2,第6题图) ,第8题图)7．若四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′，AB ＝6，A ′B ′＝8，∠A ＝45°，B ′C ′＝8，CD ＝4，则下列说法错误的是( )A ．∠A ′＝45°B ．四边形A ′B ′C ′D ′与四边形ABCD 的相似比为23C ．BC ＝6D ．C ′D ′＝1638．如图，有两个形状相同的星星图案，则x 的值为____.9．如图，已知矩形ABCD 与矩形DEFC 相似，且AB ＝2 cm ，BC ＝5 cm ，求AE 的长．10．如图，已知四边形ABCD 相似于四边形A ′B ′C ′D ′，求∠A 的度数及x 的值．11．在比例尺为1∶8 000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸应为()A．80 m×160 m B．8 m×16 mC．800 m×160 m D．80 m×800 m12．如图，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是()A．2 cm2B．4 cm2C．8 cm2D．16 cm2,第12题图),第13题图) 13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12 cm，BC＝27 cm，点E，F分别在两边AB，CD上，且EF∥AD，若四边形AEFD∽四边形EBCF，那么EF＝____cm.14．如图所示，两个四边形相似，求未知数x，y和角度α的大小．15．在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛AB＝20米，AD＝30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′能与矩形ABCD相似？请说明理由．16．(南京中考题改编)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD内部．AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′，BC与B′C′，CD与C′D′，DA与D′A′之间的距离分别为a，b，c，d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a，b，c，d满足什么条件？请说明理由．17．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是()A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对18．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．4.4探索三角形相似的条件第1课时两角分别相等的判定方法1．三角分别__ __、三边_ __的两个三角形叫做相似三角形．2．两角分别相等的两个三角形相似．知识点：两角分别相等的两个三角形相似1．下列各组条件，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是()A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝12°，∠B′＝78°C．∠A＝∠B，∠B′＝∠A′D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B′，∠A－∠B＝∠A′－∠B′2．下列各组图形中有可能不相似的是()A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形3．在△ABC与△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝30°，则以下条件，不能说明△ABC 与△A′B′C′相似的是()A．∠A′＝30°B．∠C′＝60°C．∠C＝60°D．∠A′＝2∠C′4．(2014·宜昌)如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12 m，由此他就知道了A，B间的距离，有关他这次探究活动的描述错误的是()A．AB＝24 m B．MN∥ABC．△CMN∽△CAB D．CM∶MA＝1∶2,第4题图),第5题图) 5．如图，点E是矩形ABCD的AB边上任意一点，点F是AD边上一点，∠EFC＝90°，图中一定相似的三角形是()A．①与②B．③与④C．②与③D．①与④6．如图，锐角三角形ABC的边AB和AC边上的高CE和BF相交于点D，请写出图中一对相似三角形____．,第6题图),第7题图) 7．(易错题)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点E是DC上一点，∠DAE＝∠BAC，则EC的长为____.8．如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，EF ∥AC ，求证：△ABC ∽△FDE .9．如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，连接CD ，若AD ＝2，BD ＝4，∠ACD ＝∠B ，求AC 的长．10．(2014·毕节)如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于( )A.154B.124C.203D.174,第10题图) ,第11题图)11．如图，菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ，NF ⊥AB ，若NF ＝NM ＝2，ME ＝3，则AN ＝____．12．如图，在▱ABCD 中，点G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有几对，分别写出来．13．(2014·铜仁)如图，BE ⊥AC 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，求证：AD BE ＝ACBC.14．如图，已知A (2，0)，B (0，4)两点，且∠1＝∠2，求点C 的坐标．15．(2014·金华)等边三角形ABC 的边长为6，在AC ，BC 边上各取点E ，F ，连接AF ，BE 相交于点P ，且AE ＝CF.(1)求证：AF ＝BE ，并求∠FPB 的度数； (3)若AE ＝2，求AP·AF 的值．16．(宜昌中考改编)如图①，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AO ⊥BC 于点O ，点F 是线段AO 上的点(与A ，O 不重合)，∠EAF ＝90°，AE ＝AF ，连接FE ，FC ，BE ，BF.(1)求证：BE ＝BF ；(2)如图②，若将△AEF 绕点A 旋转，使边AF 在∠BAC 的内部，延长CF 交AB 于点G ，交BE 于点K.求证：△AGC ∽△KGB.第2课时 两边成比例且夹角相等的判定方法△ABC 与△A ′B ′C ′中，AB A ′B ′＝BCB ′C ′，且__∠B ＝∠B ′__，则△ABC ∽△A ′B ′C ′，依据是__两边成比例且夹角相等的两个三角形相似__．知识点：两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 1．能判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( ) A.AB A ′B ′＝AC A ′C ′ B.AB A ′B ′＝AC A ′C ′且∠A ＝∠A ′ C.AB BC ＝A ′B ′A ′C ′且∠B ＝∠C ′D.AB A ′B ′＝AC A ′C ′且∠B ＝∠B ′2．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是()3．已知线段AD，BC相交于点O，OB∶OD＝3∶1，OA＝12 cm，OC＝4 cm，AB＝30 cm，则CD＝____cm.4．如图，点D是△ABC边AB上的一点，AD＝2BD＝2，当AC＝____时，△ACD∽△ABC.5．如图，线段AC与BD相交于点O，且OA＝12，OC＝54，OD＝36，OB＝18，则△ABO 与△DCO__ __相似．(填“一定”或“不”),第5题图),第6题图)6．如图，BD平分∠ABC，AB＝2，BC＝3，当BD＝____时，△ABD∽△DBC.7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是AB，AC上的点，且AD·AB＝AE·AC，求证：DE⊥AB.8．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB边上，且AD AC＝13，AE＝BE，连接DE，BD.求证：∠AED＝∠CBD.9．如图，点D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是() A．AC∶BC＝AD∶BDB．AC∶BC＝AB∶ADC．AB2＝CD·BCD．AB2＝BD·BC,第9题图),第10题图) 10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA·OC＝OB·OD，则下列结论中一定正确的是()A．①和②相似B．②和③相似C．①和④相似D．②和④相似11．如图，直线EF分别交△ABC的边AC，AB于点E，F，交边BC的延长线于点D，且AB·BF＝BC·BD.求证：AE·EC＝EF·ED.12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上，且AB＝BD＝DE＝EC.求证：(1)△ADE∽△CDA；(2)∠1＋∠2＋∠3＝90°.13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝14DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若正方形的边长为8，求BG的长．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B 出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1 cm，小虫Q每秒走2 cm.请问：它们同时出发多少秒时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，B，C为顶点的三角形相似？第3课时 三边成比例的判定方法△ABC 与△A ′B ′C ′，如果AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝ACA ′C ′，则__△A ′B ′C ′∽△ABC__，依据是__三边成比例的两个三角形相似__．知识点：三边成比例判定两个三角形相似1．甲三角形的三边分别是1，2，5，乙三角形的三边分别是5，5，10，则甲，乙两个三角形是( )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法判断2．△ABC 与△DEF 满足下列条件，其中能使△ABC ∽△DEF 的是( ) A ．AB ＝1，BC ＝1.5，AC ＝2，DE ＝8，EF ＝12，DF ＝16 B ．AB ＝2，BC ＝3，AC ＝5，DE ＝6，EF ＝3，DF ＝3 C ．AB ＝3，BC ＝4，AC ＝6，DE ＝6，EF ＝8，OF ＝16 D ．AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，DE ＝3，EF ＝2，DF ＝ 53．如图，点O 是△ABC 内任一点，点D ，E ，F 分别为OA ，OB ，OC 的中点，则图中相似三角形有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对4．(易错题)如图，4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( )5．一个三角形的边长分别为5 cm ，8 cm ，12 cm ，另一个三角形的最长边为7.2 cm ，则当另一个三角形的另外两边长是____cm 时，这两个三角形相似．6．△ABC 的三边长分别为2，6，2，△A 1B 1C 1的两边长为1，3，要使△ABC ∽△A 1B 1C 1，那么△A 1B 1C 1的第三边长为____．7．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是CA ，AB ，BC 的中点，求证：△ABC ∽△FDE .8．如图，在1×5的正方形的网格上面有四边形ABCD ，求∠BDC 的度数．9．(易错题)如图，已知在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，点P 是AC 的中点，过点P 的直线交AB 于点Q ，若想得到以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AQ 的长为( )A ．3B ．3或43C ．3或34D.4310．如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC ；②△BCD ；③△BDE ；④△BFG ；⑤△FGH ；⑥△EFK .其中②～⑥中与①相似的是( )A ．②③④B ．③④⑤C ．④⑤⑥D ．②③⑥11．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，在△A ′B ′C ′中，A ′B ′＝8，A ′C ′＝6，则当BC ∶B ′C ′＝___时，△A ′B ′C ′∽__ __．12．一个铝质的三角形框架的三边长分别为24 cm ，30 cm ，36 cm ，要做一个与它相似的铝质三角形的框架，现有长27 cm ，45 cm 的两根铝材，要求以其中的一根为边，从另一根上截下两段(允许有余材)，则截法有__种．13．(教材例3改编)如图，已知AB BD ＝BC BE ＝CAED，求证：∠ABD ＝∠CBE.14．如图，在4×4的正方形的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的正方形的顶点上．(1)填空：∠ABC ＝__135__度，BC ＝__22__； (2)求证：∠C ＝∠E .15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△DEF 边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)试证明△ABC 为直角三角形；(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，它的三个顶点为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5中的3个格点并且与△ABC 相似．(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明)第4课时 黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC >BC )，如果AC AB ＝BCAC ，那么线段AB 被点C __黄金分割__．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做__黄金比__．知识点一：黄金分割的有关概念1．已知点E 是线段MN 的黄金分割点(ME >EN )，则下列式子正确的是( ) A.MN ME ＝ME EN B.EM EN ＝EN MN C.MN EM ＝EN MN D.EN EM ＝MN EM2．已知线段AB ＝10 cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点(AC >BC )，则AC 的长为( ) A ．(55－10) cm B ．(15－55) cm C ．(55－5) cm D ．(10－25) cm 3．一条线段的黄金分割点有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个4．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM >BM )，则下列各式中不正确的是( ) A ．AM ∶BM ＝AB ∶AMB ．AM ＝5－12ABC ．BM ＝5－12ABD ．AM ≈0.618AB5．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为( ) A ．(3－5)米 B ．(5－1)米 C ．(1＋5)米 D ．(3＋5)米6．已知点C 是线段AB 上的一个点，且满足AC 2＝BC ·AB ，则下列式子成立的是( )A.AC BC ＝5－12B.AC AB ＝5－12C.BC AB ＝5－12D.BCAC ＝5＋127．如图，点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，若S1表示以AP为边的正方形的面积，S2表示以AB为长，PB为宽的矩形的面积，则S1，S2大小关系为()A．S1>S2B．S1＝S2C．S1<S2D．不能确定知识点二：黄金分割的应用8．当气温与人体正常体温(37 ℃)之比等于黄金分割比0.618时，人体感觉最舒适，这个气温约为____℃.(取整数)9．东方明珠塔高468米，上球体点A是塔身的黄金分割点(如图所示)．则点A到塔顶部的距离约是___米．(精确到0.1米),第9题图),第10题图)10．如图所示，扇形圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金分割设计，若取黄金比为0.6，则α＝____．11．要设计一座2 m高的维纳斯女神雕像(如图)，使雕像的上部AC(肚脐以上)与下部BC(肚脐以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C(肚脐)就叫做线段AB的黄金分割点，试求出雕像下部设计的高度？(结果精确到0.001)12．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为()A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm13．已知M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM.(1)写出AB，AM，BM之间的比例式；(2)如果AB＝12 cm，求AM与BM的长．14．如图的五角星中，AD ＝BC ，且C ，D 两点都是AB 的黄金分割点，AB ＝1，求CD 的长．15．(教材改编题)如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．(1)求AM ，DM 的长；(2)点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？16．(莆田中考改编)定义：如图①，点C 在线段AB 上，若满足AC 2＝BC·AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D.(1)求证：点D 是线段AC 的黄金分割点； (2)若AD ＝5－1，求线段AB 的长．17．若一个矩形的短边与长边的比值为5－12(黄金分割数)，我们把这样的矩形叫做黄金矩形．(1)操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD (AB >AD )中，以短边AD 为一边作正方形AEFD ； (2)探究：在(1)中的四边形EBCF 是不是黄金矩形？并请说明理由；(3)归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论．(不需要证明)4.5 相似三角形判定定理的证明1．相似三角形的判定定理：__两角分别相等__的两个三角形相似；两边__成比例__且夹角__相等__的两个三角形相似；三边__成比例__的两个三角形相似．2．证明相似三角形判定定理时，先作辅助线，再根据平行于三角形__一边的直线__与其他两边相交，截得的对应线段__成比例__进行证明．知识点：相似三角形判定定理1．下列命题中是真命题的是( ) A ．有一个角相等的直角三角形都相似 B ．有一个角相等的等腰三角形都相似 C ．有一个角是120°的等腰三角形都相似 D ．两边成比例且有一角相等的三角形都相似2．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接CE 并延长，与BA 的延长线交于点F ，若AE ＝2ED ，CD ＝3 cm ，则AF 的长为( )A ．5 cmB ．6 cmC ．7 cmD ．8 cm,第2题图) ,第3题图)3．如图，在△ABC 中，如果DE 与BC 不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE ∽△ACB 的是( )A ．∠ADE ＝∠CB ．∠AED ＝∠B C.AD AB ＝DE BC D.AD AC ＝AE AB4．如图，若A ，B ，C ，P ，Q ，甲，乙，丙，丁都是方格纸的格点，为使△ABC ∽△PQR ，则点R 应是甲，乙，丙，丁4点中的( )A ．甲点B ．乙点C ．丙点D ．丁点,第4题图) ,第5题图)5．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．(2014·黔南)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，若AD ＝4，DB ＝2，则DEBC的值为____．,第6题图) ,第7题图)7．如图，∠C ＝∠E ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，AE ＝2，则AD ＝____．8．如图所示，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，点E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF与△CDE相似，则BF的长是____．,第8题图),第9题图)9．(易错题)如图，正方形ABCD边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M，N分别在CD，AD上滑动，当DM＝__ __时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE.11．(2014·泰安)在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；④若AC＝A1C1，CB＝C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.其中真命题的个数为()A．4个B．3个C．2个D．1个12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA＝90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB.其中相似的为()A．①④B．①②C．②③④D．①②③,第12题图),第13题图)13．在△ABC中，点P是AB上的动点(P异于点A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有___条．14．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，点B ，D ，E 在一条直线上．能得到△ABD ∽△ACE 吗？15．如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，点E 为AB 的中点． (1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF的值．16．(2014·柳州)如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 边上有一动点P ，连接PD ，线段PD 绕点P 顺时针旋转90°后，得到线段PE ，且PE 交BC 于点F ，连接DF ，过点E 作EQ ⊥AB 的延长线于点Q.(1)求线段PQ 的长；(2)问：点P 在何处时，△PFD ∽△BFP ，并说明理由．专题(十一) 利用平行线求比值1．如图，△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ＝2BD ，AE ＝2CE ，则ADAB ＝____，DEBC ＝____．,第1题图),第2题图)2．如图，点D 是EC 的中点，点F 是AC 的中点，AD 与EF 交于点O ，则OFOE ＝____．3．如图，已知点E 是▱ABCD 中AD 边上一点，且AE ∶DE ＝3∶2，CE 交BD 于点F ，BF ＝15 cm ，则DF 的长为__ __．4．如图，△ABC 中，∠B 的平分线BD 交AC 于点D ，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，AB ＝10，BE ＝6，求CE 的长．5．如图，▱ABCD 中，点E 是AB 的中点，在AD 上截取2AF ＝FD ，EF 交AC 于点G ，延长EF 与CD 的延长线交于点H ，求AGGC 的值．6．如图，已知△ABC 中，点F 为底边AB 上一点，BF ∶AF ＝3∶2，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E .过点F 作FG ∥AE 交BC 于点G ，求BE ∶EC .7．如图，△ABD 中，点C ，F 分别为BD ，AB 上一点，AC ，DF 交于点E ，且CD ∶BC ＝2，AE ＝2CE .求DEEF 的值．专题(十二) 比例线段的证明一、三点定型法1．如图，▱ABCD 中，点E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于点F ，求证：DC AE ＝CFAD .2．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，点M 是BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于点D ，交AB 于点E .求证：AM 2＝MD ·ME .3．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠B 的平分线BE 交AC 于点E ，交AD于点F .求证：BF BE ＝ABBC .二、等线段代换法4．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于点F ，∠ECA ＝∠D .求证：AC ·BE ＝CE ·AD .5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，点P 是AD 上一点，过点C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F .求证：BP 2＝PE ·PF .三、等比代换法6．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F .求证：AB ·AF ＝AC ·DF .专题(十三) 两次相似问题1．如图，BE ，CD 是△ABC 的高，连接DE. (1)求证：AE·AC ＝AB·AD ；(2)若∠BAC ＝120°，点M 为BC 的中点，求证：DE ＝DM.2．如图，在△PBC 中，∠PCB ＝90°，DA ⊥PB 于点A ，连接AC ，BD 相交于点E . 求证：(1)△PAD ∽△PCB ； (2)∠PCA ＝∠PBD ； (3)△ADE ∽△BCE .3．如图，▱ABCD 中，点E 在直线AB 上，EC 交AD 于点F ，交BD 于点G ，求证：CG 2＝FG ·EG .4．如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高． (1)求证：CE ·CA ＝CD ·CB ；(2)若EC ＝5，BC ＝13，求DEAB 的值．5．如图，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，取AB中点F，DF交AC于点E.求AE AC的值．解：4.6利用相似三角形测高通过学习你知道了可以用__阳光下的影子__、__标杆__、__镜子的反射__来测量旗杆的高度．知识点一：利用阳光下的影子测量高度1．如图，AB∥CD，BO∶CO＝2∶5，AB＝a，则CD＝__ __．2．要测量出一棵树的高度，除了测量出人高与人的影长外，还需测出()A．仰角B．树的影长C．标杆的影长D．都不需要3．一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米，此时一棵水衫树的影长为10.5米，这棵水衫树高为()A．7.5米B．8米C．14.7米D．15.75米4．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA 所在的直线行走14米到点B时，人影的长度()A．增大1.5米B．减小1.5米C．增大3.5米D．减小3.5米,第4题图),第5题图) 5．如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在点C，D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距____米．知识点二：利用标杆测量高度6．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，E，C，A三点共线，则旗杆AB的高度为____米．7．如图，某测量工作人员眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，求电视塔的高ED.解：知识点三：利用镜子的反射测量高度8．如图是一面镜子，则有___∽__ __．,第8题图),第9题图) 9．如图，球从点A处射出，经球台边挡板CD反射到点B，已知AC＝10 cm，BD＝15 cm，CD＝50 cm，则点E到点C的距离是____cm.10．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是()A．6米B．8米C．18米D．24米11．如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为____m.12．雨后初晴，一个学生在运动场上玩耍，在他前面2 m远的一块积水处，他看到了旗杆顶端的倒影．如果旗杆底端到积水处的距离为40 m，该生的眼部高度是1.5 m，那么旗杆的高度是__m.13．如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD＝2 cm，OA＝60 cm，OB＝15 cm，求火焰的高度．14．如图所示，在水平桌面上的两个“E”，当点P1，P2，O在一条直线上时，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同．(1)图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式？(2)若b1＝3.2 cm，b2＝2 cm，①号“E”的测量距离l1＝8 cm，要使测得的视力相同，则②号“E”的测量距离l2应为多少？15．(2014·牡丹江)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.5 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ 的长度为多少m?16．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高CD的长．(结果精确到0.1 m)4.7相似三角形的性质第1课时相似三角形对应线段的比相似三角形的性质定理1：相似三角形__对应高__的比，__对应角平分线__的比，__对应中线__的比都等于相似比．知识点：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比1．若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3，则对应边上的高的比等于()A．2∶3B．3∶2C．4∶9 D．9∶42．两个相似三角形对应高之比为1∶2，那么它们对应中线之比为()A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶83．若两个相似三角形的相似比是7∶3，则这两个三角形对应中线的比是____．4．如果两个相似三角形对应角平分线的比是2∶5，那么它们对应高的比是____．5．已知△ABC∽△A1B1C1，AB∶A1B1＝3∶5，BE，B1E1分别是它们的对应中线，则BE∶B1E1＝__ ．6．两个相似三角形的相似比为1∶4，其中较小三角形某一条边上的中线为3，则较大三角形对应边上的中线为____．7．已知如图，△A′B′C′∽△ABC，且A′E′，AE是角平分线，A′D′，AD是中线．求证：△A′D′E′∽△ADE.8．我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员把食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40 cm，食指的长约为8 cm，根据上述条件计算出敌方建筑物的高度．。