灰色预测模型
灰色预测模型公式
灰色预测模型公式
灰色预测模型是一种基于历史数据和现有数据的预测方法，它可以用来预测未来某个事件或指标的发展趋势。灰色预测模型的核心思想是利用系统自身的信息和规律，通过建立灰色微分方程来进行预测。
灰色预测模型的公式可以表示为：
$$\hat{X}_{0}^{(k)} = (X_{0}^{(1)} + X_{0}^{(2)} + ... + X_{0}^{(k)}) / k$$
$$\hat{X}_{i}^{(k)} = (X_{0}^{(1)} + X_{0}^{(2)} + ... + X_{0}^{(k)}) / k$$
$$\hat{X}_{i+1}^{(1)} = aX_{i}^{(1)} + b$$
$$\hat{X}_{i+1}^{(k+1)} = aX_{i}^{(k+1)} + b$$
其中，$X_{0}^{(k)}$表示观测数据的累加生成序列，$\hat{X}_{i}^{(k)}$表示预测值，$a$和$b$为待确定的系数。
灰色预测模型的核心思想是将数据分为两个部分：系统的发展规律部分和随机波动部分。系统的发展规律部分可以通过灰色微分方程进行建模和预测，而随机波动部分则通过随机项来表示。
灰色预测模型的建模步骤如下：
1. 数据预处理：对原始数据进行平滑处理，消除随机波动的影响，得到累加生成序列。
2. 确定发展规律：根据累加生成序列，建立灰色微分方程，估计系
统的发展规律。
3. 模型参数估计：通过最小二乘法估计模型的参数，确定$a$和$b$的值。
4. 模型检验和优化：对模型进行检验和优化，确保预测结果的准确性和可靠性。
灰色预测模型※※
灰色预测模型
灰色预测是就灰色系统所做的预测. 所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统. 一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统.
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测.
灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.
一、GM(1,1)模型
灰色系统理论是邓聚龙教授在1981年提出来的，是一种对含有不确定因素系统进行预测的方法. 通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，进行关联分析，并通过对原始数据进行生成处理来寻找系统的变化规律，生成较强规律性数据序列，然后建立相应微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态. 目前使用最广泛的灰色预测模型是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型.
GM(1,1)模型是基于灰色系统的理论思想，将离散变量连续化，用微分方程代替差分方程，按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近，用生成数序列代替原始时间序列，弱化原始时间序列的随机性，这样可以对变化过程作较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型. 其建模的实质是建立微分方程的系数，将时间序列转化为微分方程，通过灰色微分方程可以建立抽象系统的发展模型. 经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间数列呈指数变化规律时，灰色预测GM(1,1)模型的预测将是非常成功的.
灰色预测模型
灰色预测模型建模流程
灰色预测模型建模流程
灰色预测模型是一种基于灰色理论的预测方法，主要用于处理样本数据有限、信息不完整或不确定的情况下的预测问题。灰色预测模型的建模流程包括以下几个步骤：问题描述、数据序列预处理、建立灰色预测模型、模型检验与优化、预测与评价。
在进行灰色预测之前，需要明确问题的描述和目标。例如，我们要预测某个产品的销售量，目标是根据历史数据推测未来一段时间内的销售趋势。明确问题描述和目标有助于确定预测模型的输入和输出。
第二步是数据序列的预处理。预处理的目的是对原始数据进行平滑、去噪和规范化，以提高模型的精度和可靠性。常用的预处理方法有累加生成序列、均值生成序列和一次累加生成序列等。预处理后的数据更符合灰色预测模型的要求。
第三步是建立灰色预测模型。灰色预测模型有多种，常用的有灰色关联度模型、灰色马尔可夫模型和灰色GM(1,1)模型等。根据问题的特点和数据的特征选择适合的模型进行建模。以灰色GM(1,1)模型为例，该模型假设数据序列满足一阶线性累加规律，通过建立累加生成序列和非累加生成序列的微分方程，利用最小二乘法进行参数估计，得到模型的参数。
第四步是模型检验与优化。在建立模型之后，需要对模型进行检验
和优化，以保证模型的准确性和可靠性。常用的检验方法有残差检验、后验差检验和累计误差检验等。如果模型检验结果不理想，则需要对模型进行调整和优化，提高模型的拟合度和预测精度。
最后一步是预测与评价。在模型检验通过后，可以使用建立好的灰色预测模型对未来的数据进行预测。预测结果可以通过计算相对误差、平均相对误差和均方根误差等指标进行评价，以评估模型的预测效果。
数学建模之灰色预测模型
一、灰色预测模型
简介（P372）
特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。
优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。 缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。
1、GM(1,1)预测模型
GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。
1.1模型的应用
①销售额预测 ⑤基于1.2步骤2)，则可用光滑比为序列(0)y 建立模型 (1)
dx dt
③构造数据矩阵B 及数据向量Y
其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,.z k x k x k k n =+-=）
④由 求得估计值ˆa
=ˆb = ⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为
则模型还原值为
⑥精度检验和预测
残差
相对误差
相对误差精度等级表
级比偏差
若()k ρ<0.2则可认为达到一般要求；若()k ρ<0.1，则可认为达到较高要求。
利用matlab 求出模型的各种检验指标值的结果如表
经过验证，给出相应预测预报。
2、新陈代谢模型
灰色新陈代谢模型是一个不断考虑新信息的预测模型，它考虑了随着时间推移相继进入系统的扰动因素带来的影响，在不断补充新信息的同时，及时去掉旧信息，使整个系统一直处于更新和发展的过程中，更符合现实世界的变化。
与优点,2.12.2步骤(0)(2),
,())x n (0)(0)(2),,(),x n x 模型。
3,波形预3.1②运量需求不平衡航线下客流量预测（下载文档）
③网络舆情危机预警（下载文档）
3.2步骤
①求出序列折线
由原始数据列((1),(2),
灰色预测模型原理
灰色预测模型原理
灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种基于灰色系统理论和数学建模方法的预测模型。灰色系统理论是我国学者黄金云教授于1982年提出的一种系统理论，它是研究非确定性和不完备信息系统的一种新方法，可用于研究多变量、小样本和非线性系统。
灰色预测模型主要基于灰色数学建模方法，通过对已知的部分序列数据进行建模和预测，来推测未知的序列数据趋势。它适用于研究数据量小、信息不完备、非线性关系复杂的系统。下面将简要介绍灰色预测模型的原理、模型建立过程以及一些应用案例。
1. 灰色预测模型的原理
灰色预测模型的核心思想是通过对已知数据进行灰色关联度的度量，从而建立出合适的数学模型，进行未来数据的预测。其基本原理可以概括为以下五个步骤：
（1）建立灰色微分方程：根据原始数据的特点，确定合适的灰色微分方程，通常使用一阶或高阶灰色微分方程。
（2）求解灰色微分方程：根据所选择的灰色微分方程，求解其参数，得到模型的特征参数。
（3）模型检验：检验所建立的灰色预测模型的拟合程度和误差是否符合要求。
（4）进行灰色关联度分析：根据已知数据的变化规律，计算各个因素的灰色关联度，确定相关因素的重要性。
（5）进行预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测和分析，得出预测值。
2. 模型建立过程
灰色预测模型的建立过程中，通常包括以下几个步骤：
（1）数据的建立与处理：对原始数据进行筛选、预处理和归一化处理，以满足模型的要求。
（2）建立灰色微分方程：从已知数据中提取主要特征，并根据数据的特点选择合适的灰色微分方程。
灰色预测模型
累加生成简介
累加生成 累加生成,即通过数列间各时刻数据的依个累加以 得到新的数据与数列.累加前的数列称原始数列,累加后 的数列称为生成数列.累加生成是使灰色过程由灰变白 的一种方法,它在灰色系统理论中占有极其重要地位,通 过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱 的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化.累加生 成是对原始数据列中各时刻的数据依次累加,从而生成 新的序列的一种手段.
∆ (1) ( x (1) (k + 1)) + a ( x(k + 1)) = u
将上面四式整理后的下面式子
1 (1) x (k + 1) = a[− ( x (k ) + x (1) (k + 1))] + u 2
(0)
GM(1,1)模型
写为矩阵表达式
(1) (1) x (0) (2) − 1 + x x [ (2) (1)] 2 (0) 1 (1) (1) − + x x [ (3) (2)] x (3) = 2 M M (0) 1 (1) (1) − + x N x [ ( ) ( N − 1)] x N ( ) 2
GM(1,1)模型精度检验
GM(1.1)模型的精度检验
模型选定之后,一定要经过检验才能判定其是否合 理,只有通过检验的模型才能用来作预测,灰色模型 的精度检验一般有三种方法:相对误差大小检验法, 关联度检验法和后验差检验法.下面主要介绍后验差 检验法
灰色预测模型的研究及其应用
灰色预测模型的研究及其应用
灰色预测模型（Grey System Prediction Model）是指在不能得到完
全的定性分析或定量关系的基础上，根据历史数据观察研究发展趋势的一
种统计学的预测模型。灰色预测模型由灰色系统理论的预测和模糊系统理
论的分析组成，灰色理论是一种动态系统理论，它可以把一般现象用数学
模型很好地表示出来，从而模拟现象并预测它们的未来发展趋势。目前，
灰色系统理论已经广泛地应用于经济学、管理学、决策学、社会学等领域，用以对复杂系统的研究和预测。例如，可以应用灰色预测模型来预测某一
地区的经济发展情况；可以应用灰色预测模型来预测一种货币的发行情况；可以应用灰色预测模型来预测某一社会团体的发展趋势；还可以应用灰色
预测模型来预测某一股票市场的发展趋势等。灰色预测模型的研究和应用
越来越广泛，已经成为现代管理学领域的一种热门研究话题。
灰色预测模型
7.3 销售额预测
【例7.2】 表7.2列出了某公司1999—2003年逐年的销 售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求 作精度检验。
表7.2 逐年销售额（百万元）
年份 序号
x(0)
1999 1
2.874
2000 2
3.278
2001 3
3.337
2002 4
3.390
2003 5
3.679
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
7.2 灰色系统的模型
对数据累加
x(1) (1) x(0) (1) 6， x(1) (2) x(0) (1) x(0) (2) 6 3 9， x(1) (3) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) 6 3+8 17， x(1) (4) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) 6 3+8+10 27， x(1) (5) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) x(0) (5)
Operational Research
第七章 灰色预测模型及其应用
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是通过少量 的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的 一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决 实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题 的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测 是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助 于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描 述和分析，并形成科学的假设和判断.
灰色预测模型的优化及其应用
04
灰色预测模型优化的未来研究方 向
提高预测精度的方法研究
改进数据预处理
通过改进数据预处理方法，如去 噪、填充缺失值等，提高灰色预
测模型的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ测精度。
模型参数优化
通过优化灰色预测模型的参数，如 累加生成序列的长度、灰色关联度 分析中的阈值等，提高预测精度。
考虑非线性因素
将非线性因素引入灰色预测模型， 如神经网络、支持向量机等，以更 准确地描述实际系统。
灰色马尔科夫预测模型的优化
灰色马尔科夫预测模型的基本原理
利用马尔科夫链的随机过程理论，对灰色预测模型进行优化。
优化方法一
选择合适的转移矩阵：根据历史数据选择合适的转移矩阵，可以更准确地描述原始数据序 列的状态转移。
优化方法二
考虑多种状态转移可能性：在计算转移概率时考虑多种状态转移可能性，可以提高预测精 度。
环境科学领域的应用
总结词
在环境科学领域，灰色预测模型被用于预测环境质量指标、污染物排放等。
详细描述
灰色预测模型可以处理有限的数据信息，因此在环境科学领域中具有广泛的应用。例如，可以使用灰 色预测模型来预测大气污染物浓度、水质指标等环境质量数据。此外，灰色预测模型还可以用于预测 污染物排放趋势、生态保护状况等环境问题。
03
灰色预测模型在各领域的应用
经济学领域的应用
灰色预测模型
灰色预测模型
1.模型建立
灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统。灰色系统的理论实质是将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。由于生成的模型得到的数据通过累加生成的逆运算――累减生成得到还原模型，再有还原模型作为预测模型。
预测模型，是拟合参数模型，通过原始数据累加生成，得到规律性较强的序列，用函数曲线去拟合得到预测值。 灰色预测模型建立过程如下：
1) 设原始数据序列()0X 有n 个观察值，()()()()()()(){}n X X X X 0000,...,2,1=，通过累加生成新序列 ()()()()()()(){}n X X X X 1111,...,2,1=，利用新生成的序列()1X 去拟和函数曲线。
2) 利用拟合出来的函数，求出新生序列()1X 的预测值序列(1)X 3) 利用(0)(1)(1)()()(1)X k X k X k =--累减还原：得到灰色预测值序列： ()()(){}00001,2,...,X X X X n m =+ (共n ＋m 个，m 个为未来的预测值)。 将序列()0X 分为0Y 和0Z ，其中0Y 反映()0X 的确定性增长趋势，0Z 反映()0X 的平稳周期变化趋势。
利用灰色GM （1，1）模型对()0X 序列的确定增长趋势进行预测 2 模型求解
根据2006全国统计年鉴数据整理得到全国历年年度人口统计表如表1.
根据上述数据，建立含有20个观察值原始数据序列()0X ：
()[]
09625998705105851112704
127627128453129988130756X =
(完整版)灰色预测模型
常见的几种灰生成类型：
1. 累加生成算子（AGO） 2. 逆累加生成算子（ IAGO） 3. 均值生成算子（MEAN） 4. 级比生成算子
1. 累加生成算子（AGO）
定义 它是对原序列中的数据依次累加以得到 生成序列。令x(0) 为原序列
X (0) x(0) 1, x(0) 2,L , x(0) n
灰色模型的优点
1、不需要大量的样本。 2、样本不需要有规律性分布。 3、计算工作量小。 4、定量分析结果与定性分析结果不会不一致。 5、可用于近期、短期，和中长期预测。 6、灰色预测精准度高。
2、灰色系统的基本原理
公理1、差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差 异。 公理2、解的非唯一性原理。信息不完全、不确定的解是 非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的 基本法则。 公理3、最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发 利用已占有的“最少信息”。 公理4、认知根据原理。信息是认知的根据。 公理5、新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信 息。 公理6、灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。
通过AGO可以加工成单调增序列：
AGO X (0) X (1) (1, 3, 4.5, 7.5)
10
9
8
X (0)
7
6
5
4
3
2
1
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
预测方法——灰色预测模型
预测⽅法——灰⾊预测模型
灰⾊预测模型
主要特点是模型使⽤的不是原始数据序列，⽽是⽣成的数据序列，核⼼体系为灰⾊模型（GM），即对原始数据作做累加⽣成（累减⽣成，加权邻值⽣成）得到近似指数规律再进⾏建模。
优点：不需要很多数据；将⽆规律原始数据进⾏⽣成得到规律性较强的⽣成序列。
缺点：只适⽤于中短期预测，只适合指数增长的预测。
GM(1,1)预测模型
GM(1,1)模型是⼀阶微分⽅程，且只含⼀个变量。
1. 模型预测⽅法
2. 模型预测步骤
1. 数据检验与处理
为保证建模⽅法可⾏，需要对已知数据做必要的检验处理。
设原始数据列为
x(0)=(x0(1),x0(2),….x0(n))
，计算数列的级⽐
λ(k)=x(0)(k−1)
x(0)(k),k=2,3,...,n
如果所有的级⽐都落在可容覆盖区间
X=(e
−2
n+1,e
2
n+1)
内，则数列可以建⽴GM（1，1）模型且可以进⾏灰⾊预测。否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：
y(0)(k)=x(0)(k)+c,k=1,2,...,n
取c使得数据列的级⽐都落在可容覆盖内。
2. 建⽴模型
根据1中⽅程的解，进⼀步推断出预测值
ˆx(1)(k+1)=(x(0)(1)−b
a)e−ak+
b
a,k=1,2,...,n−1
3. 检验预测值
1. 残差检验
ε(k)=x(0)(k)−ˆx(0)(k)
x(0)(k),k=1,2,...,n
如果对所有的|ε(k)|<0.1|ε(k)|<0.1，则认为到达较⾼的要求；否则，若对所有的|ε(k)|<0.2|ε(k)|<0.2，则认为达到⼀般要求。
灰色模型GM1,N及其应用
考虑多个变量的一阶累加，更适用于多因素分析。
与机器学习模型的比较
机器学习模型
侧重于数据的分类和预测，强调模型的 泛化能力。
VS
GM(1,n)
侧重于数据序列的预测，强调数据间的内 在关系和发展趋势。
05
灰色模型GM(1,n)的改进与 发展
模型参数优化
参数选择
在灰色模型GM(1,n)中，参数的 选择对模型的预测精度和稳定性 具有重要影响。优化参数可以提 高模型的预测精度和稳定性。
预测经济增长
建立灰色预测模型GM(1,n)， 通过分析历史数据，预测未来 经济增长趋势。
选取关键经济指标，如GDP、 工业增加值等，作为模型输入， 以准确反映经济运行状况。
对比实际数据与预测数据，评 估模型精度，不断调整参数以 提高预测准确性。
预测股票价格
利用灰色模型GM(1,n)分析股票市场 历史数据，预测未来股票价格走势。
限制
对于一些具有明显非线性和随机性的数据，灰色模型GM(1,n)可能预测精度有限，需要与其他模型结 合使用。
02
灰色模型GM(1,n)的建立
数据准备与预处理
数据清洗
01
去除异常值、缺失值和重复值，确保数据质量。
数据转换
02
将原始数据进行适当的转换，如对数转换或标准化处理，以改
善模型性能。
灰色预测模型
x (0)(N ) a x (1)(N ) u .
7.2 灰色系统的模型
ax (i) (1)
把
项移到右边，并写成向量的数量积形式
x
(0) (2
)
[
x
(1) ( 2
), 1]
a
u
（3）输入题目名称及元素个数后，点击“下一步”键，得到原始数据序列
x ( 0 ) 的输入表格. 见图7.5.
7.3 销售额预测
（4）点击“运行”键，输出分析数据如下： 题目:123
预测结果如下：
[2]时间响应方程：
[3]残差E(k)： (1) 0.00000000 (3) -0.01754976 (4) -0.09170440 [4]第一次累加值: (1) 2.874000 (3) 9.489000 (4) 12.879000 [5]相对残差e(k)：(1) 0.00000000
灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统所做的预 测.目前常用的一些预测方法（如回归分析等），需要较大的样本.若样本较小，常造成较大误差，使预测 目标失效.灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛的应用，是 处理小样本预测问题的有效工具.
数学建模-灰色预测模型(讲解
灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、 预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统 所做的预测.目前常用的一些预测方法（如回归分 析等），需要较大的样本.若样本较小，常造成较 大误差，使预测目标失效.灰色预测模型所需建模 信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领 域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的 有效工具.
一、灰色系统的定义和特点
1. 灰色系统的定义
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信 息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端， 我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统； 称信息完全确定的系统为白色系统. 区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是 否具有确定的关系。
1灰色系统的定义和特点
（2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时 刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生 在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。
（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定 值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模 型预测该定值所发生的时点。
（5）系统预测. 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰 色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
2 灰色系统的模型
在灰色系统理论中，把一切随机变量都看作灰色数，
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说明：表头第一行中的数字1、2、3分别指每天每间120~160元、 161~200元、201~300元三种不同价格的房间。合住是指要求两人合 住一间。独住是指可安排单人间，或一人单独住一个双人间。
附表3 以往几届会议代表回执和与会情况
第一届 发来回执的代表数量 发来回执但未与会的代表数 量 未发回执而与会的代表数量 315 89 57
第二届 356 115 69
第三届 408 121 75
第四届 711 213 104
每年的与会人数和年份之间没有太多的内在联系，因此可以 看做一个灰色系统！！！！
(7.8)
当k
(1) ˆ x 由(7.8)式算得的 (k 1) 是拟合值； 1, 2,, N 1时，
ˆ (1) (k 1) 为预报值.这是相对于一次累加序列 当k N时，x
x (1) 的拟合值，用后减运算还原， 当k 1, 2,, N 1时，
就可得原始序列 x
(0)
当k N时， ˆ (0) (k 1)； 的拟合值 x
7.2 灰色系统的模型
对数据累加
x (1) (1) x (0) (1) 6， x (1) (2) x (0) (1) x (0) (2) 6 3 9， x (1) (3) x (0) (1) x (0) (2) x (0) (3) 6 3+8 17， x (1) (4) x (0) (1) x (0) (2) x (0) (3) x (0) (4) 6 3+8+10 27， x (1) (5) x (0) (1) x (0) (2) x (0) (3) x (0) (4) x (0) (5) 6 3+8+10+7 34.
于是得到一个新数据序列
x {6, 9,17, 27, 34}
(1)
7.2 灰色系统的模型
归纳上面的式子可写为 i
j 1
Байду номын сангаас
x(1) （i） { x(0) ( j ) i 1, 2, N}
称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生 成，简称为一次累加生成.显然有 x(1) (1) x(0) (1). 将上述例子中的 x (0)，x (1) 分别做成图7.1、图7.2. 可见图7.1上的曲线有明显的摆动，图7.2呈现逐渐 递增的形式，说明原始数据的起伏已显著弱化.可以 设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成 数列 x (1) .
u a (t t0 ) u (1) x (t ) x (t0 ) e . a a
(1)
对等间隔取样的离散值 (注意到 t0 1）则为
u ak u x (k 1) [ x (1) ]e . a a
(1) (1)
(7.4)
灰色建模的途径是一次累加序列（7.2）通过最小二乘法来 估计常数a与u.
针对2009年D题来做预测：
不难的到本届发来的回执为755份，通过前四届的情况计 算缺席率和未知与会率如下： 未知与会率=未发回执但参加会议人数/发来回执的代表数量 缺席率=发来回执但未参加人数/发来回执的代表数量
第一届 缺席率 未知与会率 0.28254 0.18095 第二届 0.32303 0.19382 第三届 0.29657 0.18382 第四届 0.29958 0.14627
(7.5)
(i ) x (i) 替换为 取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将
x (1) (1) (1) 由于 x 的两个时刻的值，因此， (i) t 涉及到累加列 x
7.2 灰色系统的模型
1 (i ) [ x (i ) x (i ) (i 1)], (i 2,3,..., N ). 2
灰色系统的模型
通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解到，有 了一个时间数据序列后，如何建立一个基于模型的灰色 预测。 1. 数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题. 【例1】 设原始数据序列
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) ( N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
1 1 a . 1 u 1
(7.6)
令
y ( x(0) (2), x(0) (3), , x(0) ( N ))T .
这里，T表示转置.令
7.2 灰色系统的模型
(1) (1) 1 [ x (2) x (1)] 1 2 1 (1) (1) 1 a 2 [ x (3) x (2)] , U , u 1 (1) (1) 2 [ x ( N ) x ( N 1)] 1
1. 灰色系统的定义
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信 息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端， 我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全 确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要
标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
2. 灰色系统的特点
（1）用灰色数学处理不确定量，使之量化. （2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律. （3）灰色系统理论能处理贫信息系统.
类似地有
x(1) (3) x(1) ( N ) (0) x (3),..., x(0) ( N ). t t
(0) (1) ì ï x (2) + ax (2) = u, ï ï ï (0) (1) ï x (3) + ax (3) = u, ï ï í ï .............................. ï ï ï (0) (1) ï x ( N ) + ax (N ) = u . ï ï î
经一次累加得
（7.1）
x
(1)
{x (1), x (2), , x ( N ) }
(1) (1) (1)
（7.2）
设 x (1) 满足一阶常微分方程
dx (1) + ax = u dt
(1)
（7.3）
7.2 灰色系统的模型
其中是常数，称为发展灰数；称为内生控制灰数，是对 系统的常定输入.此方程满足初始条件 (7.3)’ 当t t0时x(1) x(1) (t0 ) 的解为
则(7.6)式的矩阵形式为
y BU
(7.6)’
方程组(7.6)’的最小二乘估计为
ˆ a T 1 T ˆ U ( B B) B y ˆ u
(7.7)
7.2 灰色系统的模型
ˆ与u ˆ 代入（7.4）式得时间响应方程 把估计值 a
ˆ ak ˆ u u (1) ˆ (1) ˆ x (k 1) x (1) e ˆ ˆ a a
将（7.5）写为矩阵表达式
(1) (1) x (0) (2) 1 [ x (2) x (1)] 2 (0) 1 (1) (1) [ x (3) x (2)] x (3) 2 (0) 1 (1) (1) [ x ( N ) x ( N 1)] x ( N ) 2
例子：预测与会代表人数（高教杯2009D题）
此题要求为会议筹备组制定一个预定宾馆客房，租借会议室，租用 客车的合理方案，为了解决这些问题，首先要先预测与会代表人数。预 测的依据为代表回执数量及往届的与会人员数据。已知本届会议的回执 情况及以往几届会议代表回执与与会情况，见下表，根据这些数据预测 本届与会代表人数。
7.2 灰色系统的模型
4.GM(1,1)的建模步骤
综上所述，GM(1,1)的建模步骤如下：
注： 在进行数据叠加之前，为了消除数据的波动变化，减少数据 的随机性以及调整数据的变化态势，要对原式数据进行预处理。 预处理的方式一般有以下几种：
开n次方（n根据经验选取）；
数据取对数；
数据平滑；（一般为三点平滑） 运用序列算子弱化或者强化原始数据列等。
7.2 灰色系统的模型
图7.1
图7.2
为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算 或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中
7.2 灰色系统的模型
x (1) (5) x (1) (5) x (1) (4) 34 27 7， x (4) x (4) x (3) 27 17 10，
2012年暑期建模培训
灰色预测模型及其应用
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是通过少量 的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的 一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决
实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题
的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测 是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助 于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描 述和分析，并形成科学的假设和判断.
7.2 灰色系统的模型
因 x (1) (1) 留作初值用，故将 x(1) (2), x(1) (3),..., x(1) ( N ) 分别代入方程(7.3),
t (t 1) t 1, 故得 用差分代替微分，又因等间隔取样，
x(1) (2) x(1) (2) x(1) (2) x (1) (1) x (0) (2), t
x (1) (i) x(1) (i) x (1) (i 1) x (0) (i)
其中
i 1, 2,..., N，x (0) 0.
(0)
7.2 灰色系统的模型
2. 建模原理 给定观测数据列
x (0) {x (0) (1), x (0) (2), , x (0) ( N ) }
灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决 策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统所做的预测.目前 常用的一些预测方法（如回归分析等），需要较大的样本. 若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效.灰色预
测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种
预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有 效工具. 缺点：不考虑系统内在机理，有时会出现较大的错误。 因此，对于内在机理明确的系统，一般不建议使用灰色 预测模型。
可得原始序列 x ( 0 ) 预报值.
7.2 灰色系统的模型
3.精度检验
(1)残差检验：分别计算
7.2 灰色系统的模型
（3）预测精度等级对照表，见表7.1.
7.2 灰色系统的模型
由于模型是基于一阶常微分方程（7.3）建立的，故称为 一阶一元灰色模型，记为GM(1,1).须指出的是， 建模时 先要作一次累加，因此要求原始数据均为非负数.否则， 累加时会正负抵消，达不到使数据序列随时间递增的目的. 如果实际问题的原始数据列出现负数，可对原始数据列进 行“数据整体提升”处理. 注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁，在我 们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必求解一阶常 微分方程（7.3）.
(1) (1) (1)
x (1) (3) x (1) (3) x (1) (2) 17 9 8， x (1) (2) x (1) (2) x (1) (1) 9 6 3， x (1) (1) x (1) (1) x (1) (0) 6 0 6. 归纳上面的式子得到如下结果：一次后减
于是，由式（7.3）有
7.2 灰色系统的模型
把 ax
(1)
(i) 项移到右边，并写成向量的数量积形式
(0) a (1) x (2) [ x (2), 1] u a (0) (1) x (3) [ x (3), 1] u (0) a (1) x ( N ) [ x ( N ), 1] u