高中数学第二章函数概念与基本初等函数I23映射的概念自我小测苏教版1.

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高中数学第二章函数概念与基本初等函数I函数的概念函数的概念名师导航学案苏教版

2。

1 函数的概念和图象2.1。

1 函数的概念名师导航知识梳理1.函数的概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有__________的数f （x)和它对应,那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的函数，记作y=f （x)，x ∈A.其中x 叫__________，x 的取值范围A 叫做函数y=f （x ）的__________;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{f(x ）|x ∈A ｝(⊆B ）叫做函数y=f(x ）的__________。

函数符号y=f （x)表示“y 是x 的函数"，有时简记作函数__________。

（1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f:A →B ，这里A ，B 为__________的数集.（2)A:定义域；{f(x ）|x ∈A}：值域,其中｛f(x ）｜x ∈A}__________B ；f ：对应法则，x ∈A,y ∈B.(3）函数符号：y=f （x ）↔y 是x 的函数，简记f(x).2。

已学函数的定义域和值域(1)一次函数f （x ）=ax+b(a ≠0):定义域为__________，值域为__________;(2）反比例函数f(x ）=xk （k ≠0）：定义域为__________，值域为__________；（3）二次函数f （x)=ax 2+bx+c （a ≠0）:定义域为__________，值域:当a 〉0时,为__________；当a 〈0时，为__________。

3。

函数的值:关于函数值f(a ）例：f （x)=x 2+3x+1，则f(2)= __________.4。

函数的三要素：对应法则f 、定义域A 和值域{f(x ）|x ∈A}.只有当这三要素__________时,两个函数才能称为同一函数。

疑难突破有关函数概念的理解剖析:(1)如果一个函数需要几条限制时，那么定义域为各限制所得x 的范围的交集。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数的概念2.1.2函数的表示方法自我小测苏教版必修1

2.1.2 函数的表示方法自我小测1．已知x ，y 值的数据如下表：则由表中数据可知，表中表示的函数关系式是________． 2．设21()1xf x x =+，则f (x )＝________. 3．下列所给的四个图象中，可以作为函数y ＝f (x )的图象的序号是________．4．设212,1,()1,1,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪+⎩ 则1(())2f f ＝________.5．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．6．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 7．已知函数φ(x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且1()163ϕ=，φ(1)＝8，求φ(x )的解析式，并指出定义域．8．已知函数2,10,(),01,,12x x f x x x x x --≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≤≤⎩(1)求下列各函数值：f (－8)，1()2f ，3()2f ，2()3f -； (2)作出函数的简图； (3)求函数的值域．如图所示，用长为l 的铁丝弯成下部分为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域．参考答案千里之行 1．y ＝x －12.21x x + 解析：令1t x =.则1x t =，∴()221111t t f t t t ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴()21x f x x =+. 3．③④ 解析：由函数概念知，对定义域内的每一个x 值，y 都有惟一的值与之对应，所以由图象知，①中当1＜x ＜2时，y 值不惟一；②中当x ＝0时，y 值不惟一，故①②不能作为函数y ＝f (x )的图象．4.413 解析：∵112≤，∴11312222f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∵312>，∴2314213312f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 5．[－3,0]∪[2,3) [1,5) [1,2)∪(4,5)6．5(1,)4 解析： 22211,0,2411,0.24x a x y x x a x a x ⎧⎛⎫-+-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=-+=⎨⎛⎫⎪++-< ⎪⎪⎝⎭⎩当其图象如图所示时满足题意．由图知1,11,4a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩解得514a <<. 7．解：由题意设f (x )＝ax ， ()bg x x=，a ，b 为比例常数，∴()b x ax xϕ=+. 由1()163ϕ=，得1111()()()3163333f a b ϕϕ=+=+=.① 由φ(1)＝8，得φ(1)＝f (1)＋g (1)＝a ＋b ＝8，②解①②联立的方程组，得3,5.a b =⎧⎨=⎩ ∴5()3x x x ϕ=+.其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．8．解：函数的定义域为[－1,0)∪([0,1)∪[1,2]＝[－1,2]． (1)∵－－1,2]，∴f (－8)无意义．∵－1≤x ＜0时，f (x )＝－x ，∴222()()333f -=--=. ∵0≤x ＜1时，f (x )＝x 2，∴2111()()224f ==.∵1≤x ≤2时，f (x )＝x ，∴33()22f =.(2)在同一坐标系中分段画出函数的图象，如图所示．(3)由(2)画出的图象可知，函数的值域为[0,2]．百尺竿头解：由题意知此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形，而矩形的长AB ＝2x ，设宽为a ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即22l a x x π=--，半圆直径为2x . 半径为x ，∴面积221()2(2)2222l y x x x x x lx πππ=+--⋅=-++.根据实际意义知022l x x π-->，又x ＞0，解得02lx π<<+.即函数2(2)2x y x lx =-++的定义域为(0,)2lπ+．。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.3映射的概念自我小测苏教版必修1

2.3 映射概念自我小测1．以下对应中，能构成集合A到集合B映射序号是________．①A＝{0,2}，B＝{0,1}，f：；②A＝{－2,0,2}，B＝{4}，f：x→x2；③A＝R，B＝{y|y ＞0}，f：；④A＝B＝R，f：x→2x＋1.⑤A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥0，y∈Z}；f：x→x2－2x＋2.2．映射f：A→B，其中，集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中元素都是A中元素在映射f下象，且对任意a∈A，在B中和它对应元素是|a|，那么集合B中元素个数是________．3．f：x→|x|＋1是集合A＝R到集合B＝{x|x＞0}一个映射，那么B中元素8在A中原象是________．4．A＝{a，b}，B＝{c，d，e}，那么集合A到集合B不同映射f个数为________．5．给出以下两个集合间对应关系①A＝{你班同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己体重；②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：x→2x；③A＝B＝R，f：；④A＝R，B＝{y|y≥0}，f：x→x4；⑤A＝{江苏，浙江、山东、广东}，B＝{南京、杭州、济南、广州}，f：A中每个省对应B中一个省会城市，其中映射个数是________，是函数序号为________．6．为了确保信息平安，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．加密规那么为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文为14,9,23,28时，对应明文为________．7．集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在以下A到B四种对应关系中，是否构成A到B 映射？8．假设f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4,7，a4，a2＋3a}一个映射，求自然数a，k及集合A，B.设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f是A到B映射，并满足f：(x，y)→(－xy，x－y)．(1)求B中元素(3，－4)在A中原象；(2)试探索B中有哪些元素在A中存在原象；(3)求当B中元素(a，b)在A中有且只有一个原象时，a，b所满足关系式．参考答案千里之行1．①④⑤解析：∵A中元素0在B中无对应元素，∴②不是集合A到B映射，∵0无倒数．∴0∈A,0在B中无象，∴③不能构成映射．2．4 解析：由题意，知对应法那么是f：a→|a|，∴A中3和－3对应象是3，－2和2对应象是2，－1和1对应象是1,4对应象是4，∴B＝{1,2,3,4}，故B中元素有4个．3．±7解析：设原象为x，那么|x|＋1＝8，即|x|＝7，∴x＝±7即8对应A中原象为±7.4．9 解析：∵A中有2个元素，B中有3个元素，∴A到B映射共有32＝9个．5．4 ②④解析：①⑤是映射，由于A、B不是数集，故不是函数，②④是映射，也是函数，③A中非正实数在B中无象，所以不是映射，更不是函数．6．6,4,1,7 解析：由题意知解得∴对应明文为6,4,1,7.7．解：(1)是A到B映射．(2)∵A中元素4在B中无对应元素，故该对应不是A到B映射．(3)该对应是A到B映射．(4)A中元素3在B中有两个元素与之对应，故不是A到B映射．8．解：∵1象是4,7原象是2，∴可以判断A中元素3象要么是a4，要么是a2＋3a.由a4＝3×3＋1＝10，且a∈N知，a不存在．∴a2＋3a＝10，解得a＝－5(舍去)，a＝2.又集合A中元素k象3k＋1＝a4＝16.，∴k＝5，∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．百尺竿头解：(1)设(x，y)是(3，－4)原象，于是解之，得或∴(3，－4)在A中原象是(－1,3)，(－3,1)．(2)设任意(a，b)∈B，在A中有原象(x，y)应满足由②式可得y＝x－b.代入①式得x2－bx＋a＝0. ③当且仅当Δ＝b2－4a≥0时，③式有实数根，因此只有当B中元素满足b2－4a≥0时，在A中才有原象．(3)由以上(2)解题过程，知只有当B中元素满足b2＝4a时，它在A中有且只有一个原象，故a、b所满足关系式为b2＝4a.。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I 2.3 映射的概念自主训练苏教版必修1

2.3 映射的概念自主广场我夯基我达标1.在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法正确的是( )A.B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个B.A 中的某一个元素a 的象可能不止一个C.A 中的两个不同元素所对应的象必不相同D.B 中的两个不同元素的原象可能相同思路解析：映射在法则f 的作用下，集合A 中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的.不要求B 中的每一个元素都有原象，也就是说，象集C 是集合B 的子集.答案:A2.设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f:A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n+n ，则在映射f 下，象20的原象是( )A.2B.3C.4D.5思路解析:本题主要考查映射的概念，同时考查了运算能力.因为2n+n =20，用n=2，3或4,5逐个代入，排除A 、B 、D ，得出正确答案.∴选C.答案:C3.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集｛(x,y)｜x ∈R ，y ∈R ｝，映射f:A →B 使集合A 中的元素(x,y)映射成集合B 中的元素(x+y,x-y)，则在映射f 下象(2，1)的原象是( )A.(3，1)B.(23,21) C.(23,-21) D.(1，3) 思路解析：本题主要考查映射的概念及解方程的思想.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=-=+.21,23,1,2y x y x y x 得答案:B4.已知四个从集合A 到集合B 的对应(如下图)，那么集合A 到集合B 的映射是( )A.④B.①④C.②④D.③④ 思路解析:在②中，A 中的元素a 2与B 中的两个元素b 2、b 3对应(“象不唯一”)；在③中，A 中的元素a 2在B 中没有元素与它对应(“没有象”)，故②和③都不是集合A 到集合B 的映射.根据映射的定义，①和④是集合A 到集合B 的映射.答案:B5.下列集合A 到集合B 的对应中，判断哪些是A 到B 的映射,哪些是A 到B 的一一映射.(1)A=N ,B=Z ，对应法则f:x →y=-x,x ∈A,y ∈B.(2)A=R +,B=R +,f:x →y=x1,x ∈A,y ∈B.(3)A={α|0°≤α≤90°},B={x|0≤x ≤1}，对应法则f:取正弦.(4)A=N *，B={0,1}，对应法则f:除以2得的余数.(5)A={-4,-1,1,4}，B={-2,-1,1,2}，对应法则f:x →y=|x|2,x ∈A,y ∈B.(6)A={平面内边长不同的等边三角形}，B={平面内半径不同的圆}，对应法则f:作等边三角形的内切圆.思路解析：解决的起点是读懂各对应中的法则含义，判断的依据是映射和一一映射的概念，要求对“任一对唯一”有准确的理解，对问题考虑要细致、周全.答案:(1)是映射，不是一一映射.因为集合B 中有些元素(正整数)没有原象.(2)是映射，是一一映射.不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数.(3)是映射，是一一映射.因为集合A 中的角的正弦值各不相同，且集合B 中每一个值都可以是集合A 中角的正弦值.(4)是映射，不是一一映射.因为集合A 中不同元素对应集合B 中相同的元素.(5)不是映射.因为集合A 中的元素(如4)对应集合B 中两个元素(2和-2).(6)是映射，是一一映射.因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是一个等边三角形的内切圆.边长不同，圆的半径也不同.说明：此题的主要目的在于明确映射构成的三要素的要求，特别是对于集合A ，集合B 及对应法则f 有哪些具体要求，包括对法则f 是数学符号语言给出时的理解.6.给出下列关于从集合A 到集合B 的映射的论述，其中正确的有_____________. ①B 中任何一个元素在A 中必有原象;②A 中不同元素在B 中的象也不同;③A 中任何一个元素在B 中的象是唯一的;④A 中任何一个元素在B 中可以有不同的象;⑤B 中某一元素在A 中的原象可能不止一个;⑥集合A 与B 一定是数集；⑦记号f:A →B 与f:B →A 的含义是一样的.思路解析：此题是对抽象的映射概念的认识，理论性较强，要求较高，判断时可以让学生借助具体的例子来帮助.答案:③⑤7.(1)A=N ，B=R ，f:x →y=1212+-x x ，x ∈A ，y ∈ B.在f 的作用下，1311的原象是多少?14的象是多少?(2)设集合A=N,B={偶数}，映射f:A →B 把集合A 中的元素a 映射到集合B 中的元素a 2-a ，则在映射f 下，象20的原象是多少？(3)f:A →B 是从A 到B 的映射，其中A=R ，B={(x,y)|x,y ∈R }，f:x →(x+1,x 2+1)，则A 中元素2的象是多少?B 中元素(2,2)的原象是多少?思路解析：通过此题使学生不仅会求指定元素的象与原象，而且明确求象与原象的方法.解答：(1)由1212+-x x =1311，解得x=6，故1311的原象是6; 又292711421142=+⨯-⨯，故14的象是2927. (2)由a 2-a=20解得a=5或a=-4，又a ∈N ，故a=5,即20的原象是5.(3)2的象是(2+1,3)，由⎩⎨⎧=+=+,21,212x x 解得x=1，故(2,2)的原象是1.8.已知集合A={x │x ≠0，x ∈R }，B=R ，对应法则是“取负倒数”.(1)画图表示从集合A 到集合B 的对应(在集合A 中任取四个元素)；(2)判断这个对应是否为从集合A 到集合B 的映射；(3)元素-2的象是什么？-3的原象是什么？(4)能不能构成从集合B 到集合A 的映射？答案:(1)(2)因为每一个非零实数(即A 中任意一个元素)都有唯一的负倒数在实数集中(即在法则“取负倒数”下，都在集合B 中有且只有唯一的元素与之对应)，所以这个对应是从集合A 到集合B 的映射.(3)元素-2的象是-2的负倒实数21，-3的原象是-3的负倒实数31. (4)因为B 中有一个元素“0”，而在集合A 中没有负倒数为0的元素与之对应，即集合B 中不是任意一个元素在A 中都存在非零实数以其为负倒数，所以由集合B 到集合A 构不成映射.9.设集合A={1，2，3，k}，B={4，7，a 4，a 2+3a}，其中a 、k ∈N ，(映射f:A →B ，使B 中元素y=3x+1与A 中元素x 对应，求a 及k 的值.思路解析：∵B 中元素y=3x+1与A 中元素x 对应，A 中元素1的象是-4，A 中元素2的象是7，A 中元素3的象是10，故有a 4=10或a 2+3a=10.而a ∈N ，所以由a 2+3a=10解得a=2；由k的象是a 4，得3k+1=24，解得k=5.答案:a=2；k=5.10.(1)已知集合A=｛a 1,a 2｝，B=｛b 1,b 2｝，试问从集合A 到集合B 的所有不同的映射有多少种?(2)已知集合A=｛a 1,a 2｝，B=｛b 1,b 2，b 3｝，试问从集合A 到集合B 的所有不同的映射有多少种?思路解析:当所给集合中的元素数目不大时，可直接用图示的方法展现所有不同的映射；若不然，可采用分析的方法解之.解答：(1)用图示的方法可以清楚地看到从A 到B 能建立4种不同的映射(见下图).(2)分A 中元素对应B 中同一元素和A 中元素对应B 中不同元素两种情形考虑.A 中2个元素对应B 中相同元素的对应有3个，这时有3种不同的映射；A 中2个元素同时对应B 中2个不同的元素的对应有6个，这时有6种不同的映射.所以，集合A 到集合B 的所有不同的映射一共有9种.我综合我发展11.以下对应不是从集合M 到集合N 的映射的是( )A.M={P|P 是数轴上的点}，N=R ，对应关系f ：数轴上的点与它代表的实数对应B.M={P|P 是平面坐标系中的点}，N={(x ，y)|x 、y ∈R }，对应关系f ：平面坐标系中的点与它代表的坐标对应C.M={x|x 是三角形}，N={x|x 是圆}，对应关系f ：每个三角形都对应它的内切圆D.M={x|x 是新华中学的班级}，N={x|x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每个班级都对应班里的学生思路解析：考查映射的概念.据映射的概念，在对应法则f 下从A 到B 的映射，是指集合A 中任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素与之对应，而集合B 中的元素可以无原象，由此可知四个选项中A 、B 、C 均正确，只有D 不符合要求，故选D.答案:D12.已知集合A=｛1,2,3,a ｝，B=｛4,7,b 4,b 2+3b ｝，其中a ∈N *，b ∈N *.若x ∈A ，y ∈B ，映射f:A →B 使B 中元素y=3x+1和A 中元素x 对应.求a 和b 的值.思路解析:利用原象与象的关系，建立关于a 和b 的方程组.解答：∵A 中元素x 对应B 中元素y=3x+1，∴A 中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10.∴b 4=10或b 2+3b=10.又b ∈N *，∴b 2+3b-10=0.解之，得b=2.∵a 的象是b 4=16，∴3a+1=16.解之，得a=5.我创新我超越13.集合M={a ，b ，c}，N={-1，0，1}，映射f ：M →N 满足f(a)+f(b)+f(c)=0，那么映射f ：M →N 的个数是( )A.3B.4C.5D.7 思路解析：∵f(a)∈N ，f(b)∈N ，f(c)∈N 且f(a)+f(b)+f(c)=0，∴有0+0+0=0+1+(-1)=0.当f(a)=f(b)=f(c)=0时，只有一个映射；当f(a)、f(b)、f(c)中恰有一个为0，而另两个分别为1、-1时，有13C ·22A =6个映射.因此所求映射的个数为1+6=7.答案:D。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.3映射的概念名师导航学案苏教版必修1

映射概念名师导航知识梳理映射f:A→B定义是：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法那么f，对于集合A中__________一个元素，在集合B中都有__________元素和它对应，那么这样对应(包括集合A、B以及A到B对应法那么f)叫做集合A到集合B映射，记作__________.在映射f:A→B中，如果a∈A，b∈B，且元素a和元素b对应，那么，元素b叫做元素a__________，元素a叫做元素b__________，记作__________.如果映射f:A→B再满足_________________，那么这个映射叫做A到B上一一映射. 4.用映射概念定义函数,函数定义域、值域如果A、B都是__________，那么A到B映射f:A→B就叫做A到B函数，记作y=f(x)(x ∈A，y∈B).原象集合A叫做函数y=f(x)__________；象集合C(C B)叫做函数y=f(x)__________. __________、__________和__________，通常称为函数三要素.疑难突破怎样理解映射概念(1)映射是一种特殊对应.教科书上介绍了一些不同对应，如一对多、一对一、多对一等，而且集合A、B中元素个数也注意了多样化，集合B中有元素没有得到对应.(2)映射定义中两个集合A、B是有先后次序，A到B映射与B到A映射是不同.(3)映射是由集合A、B以及从A到B对应法那么f所确定.(4)在一个映射中，在对应法那么f作用下，集合A中任何一个元素a对应着集合B中元素b，b叫a(在f下)象，并且a象是唯一,a叫做b原象，b原象不要求唯一.B中每一个元素不要求都有原象.(5)记号“f:A→B〞表示集合A到集合B映射，其中对应法那么f具体内容在教材中是用汉字表达，如“求正弦〞“乘以2再加5”等.在专业教材中，一般用比拟抽象符号来表示.(6)在一个映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合，但在确定映射中，集合A、B地位一般是不要求对等.(7)一一映射是一种特殊映射,即映射f:A→B满足两个条件：A中不同元素在B中有不同象；B中每一个元素都有原象，这个映射叫A到B上一一映射.问题探究问题1 请问：对应有几种形式？映射f：A→B和集合A到B对应是一回事吗？探究思路：对应有三种形式：“一对一对应〞“一对多对应〞和“多对一对应〞.严格地讲，映射f：A→B和集合A到B对应不是一回事.根据映射定义，映射f：A→B可以是“一对一对应〞，也可以是“多对一对应〞，而绝不能是“一对多对应〞.问题2 你能用映射概念来刻画函数吗探究思路：用映射概念刻画函数定义可以这样来表达：设A、B都是非空数集，那么A到B映射f：A→B就叫A到B函数，记作y=f(x).其中x∈A，y∈B.原象集合A叫做函数y=f(x)定义域，象集合C叫做函数y=f(x)值域.典题精讲例1 以下对应是不是从集合A到集合B映射为什么？(1)A=R，B={x∈R|x≥0}，对应法那么是“求平方〞；(2)A=R，B={x∈R|x＞0}，对应法那么是“求平方〞；(3)A={x∈R|x＞0}，B=R，对应法那么是“求平方根〞；(4)A={平面α内圆}，B={平面α内矩形}，对应法那么是“作圆内接矩形〞.思路解析只有(1)是映射，因为A中任何一个元素，在B中都能找到唯一元素与之对应.(2)不是从集合A到集合B映射.因为A中元素0，在集合B中没有象.(3)不是从集合A到集合B映射.因为任何正数平方根都有两个值，即集合A中任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应，象不唯一.(4)不是从集合A到集合B映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应，象不唯一.答案:(1)是；(2)不是；(3)不是；(4)不是.例2 A=N*，B=｛正奇数｝，映射f：A→B,使Ａ中任一元素a与B中元素2a-1相对应，那么在f：A→B中，A中元素9与B中元素___________对应；与集合B中元素9对应A中元素为____________.思路解析根据映射定义，在f：A→B中，A中元素9与B中元素2×9-1=17对应，故填17，在这个映射中，设A中元素a与B中元素9对应，那么2a-1=9，解得a=5，因此后一空格应填5.答案:17 5例3 在映射f：A→B中，以下说法正确是( )思路解析根据映射定义可知“对于A中每一个元素，在B中都有唯一元素与之对应〞“集合B中每一个元素都是集合A中元素象〞，由此可知A、B也不对.C是满足映射定义，故C 正确.答案:C例4 映射f:A→B，其中，集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B元素都是A中元素在映射f下象，且对任意a∈A，在B中和它对应元素是|a|，那么集合B中元素个数是( ) A.4 B.5 C思路解析该映射是函数，问题化为求函数值域.映射f:A→B是函数f(x)=|x|，定义域A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，且B是值域，求值域，得B={3，2，1，4}，其元素个数是4，因此，选A.答案:A知识导学这个定义，从以下四点深刻理解它：(1)先记住映射记号“f:A→B〞，它包括集合A、B 以及A到B对应法那么，f(A≠∅，B≠∅).(2)映射f:A→B是有方向，即从A到B，定义中只要求A中每一个元素在B中有怎样“象〞,并不要求B中每一个元素在A中有怎样对应.因此，“从A到B映射〞与“从B到A映射〞是不同.(3)在A到B映射中，集合A中每一个元素在B中都有“象〞，且“象〞唯一.(4)映射是一种特殊“对应〞.而“对应〞与集合一样，也是原始概念，即无定义，但可以“说明〞.对应是两个集合A与B关系，通常以一个集合为主来考虑，对于A中每一个元素来说，有以下三种对应关系：①B中有唯一元素与之对应.②B中有多个元素(不是唯一)与之对应.③B中没有元素与之对应.判别一个对应是映射f:A→B要点是：①A到B；②A中每一个元素都有象，且象唯一.用映射概念定义函数,函数定义域、值域时注意问题：(1)函数是特殊映射，特别注意A、B是非空数集.(2)函数符号y=f(x)表示“y是x函数〞，有简记作函数f(x).而f(a)表示自变量x=a(a∈A)时函数值(象).(3)值域C是B子集，当B中每一元素都有原象时，B=C.(4)应该知道，函数决定性要素有两个：定义域和对应法那么，而值域是由定义域和对应法那么确定，因而今后有“求函数值域〞“无视定义域〞错误.疑难导析“映射〞这一节内容是学完集合及其相关概念后又出现一个新概念，它是集合论中一个极为重要概念，是函数概念推广.本节课主要内容就是映射概念，由于映射概念抽象、乏味、不好理解，因此重点、难点也是映射概念.映射是近代数学中一个极其重要而且应用极其广泛概念，它是函数概念推广.在初中我们初步学习了用变量描述函数概念，从运动变化观点出发，将自变量x每一取值与唯一确定函数值对应起来.但是，有些函数如果只根据变量观点，就很难进展深入研究.例如，著名狄利克雷(Dirchlet)函数f(x)=和高斯(Gauss)函数g(x)=[x](x∈R,[x]表示不超过x最大整数)，对这两个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，但用集合、对应观点来解释，就十分自然.因此，近代数学引入集合与映射概念，是数学开展需要，是为了更好地刻画函数定义，加深对函数概念理解.下节课，我们将学习用映射描述函数概念.同学们要从开展观点去学习数学，才能学好数学，并开展创新.问题导思映射概念是比拟抽象概念，它是在初中所学对应根底上开展而来.教学中应特别强调对应集合B中唯一这点要求理解.映射是学生在初中所学对应根底上学习，对应本身就是由三局部构成整体，包括集合A 和集合B及对应法那么f，由于法那么不同，对应可分为一对一，多对一，一对多和多对多.其中只有一对一和多对一能构成映射，由此可以看到映射必是“对B中之唯一〞，而只要是对应就必须保证让A中之任一与B中元素相对应，所以满足一对一和多对一对应就能表达出“任一对唯一〞.函数与映射区别与联系函数是特殊映射，即当两个集合A、B均为非空数集时，那么从A到B映射就是函数.所以函数一定是映射，而映射不一定是函数.典题导考绿色通道给定两集合A、B及对应法那么f，判断是否是从集合A到集合B映射，其根本方法是利用映射定义.用通俗语言讲：A→B对应有“多对一〞“一对一〞及“一对多〞，前两种对应是A→B映射，而后一种不是A→B映射.典题变式以下对应是不是从A到B映射？是不是函数？(1)A=(-∞,+∞)，B=(0，+∞),f:x→y=|x|;(2)A={x|x≥0},B=R,f:x→y,y2=x;(3)A={x|x≥2,x∈Z},B={y|y≥0,y∈Z},f:x→y=x2-2x+2;(4)A={平面α内矩形}，B={平面α内圆}，f:作矩形外接圆.解答：(1)不是映射，因为0∈A，但|0|=0∈B，当然，(1)更不是函数.(2)不是映射，更不是函数.因为y=±x，当x>0时，元素x象不唯一.(3)是映射.因为y=(x-1)2+1≥0，又当x∈A时，y∈Z，所以(3)是映射.又因为A、B都是数集，所以(3)也是函数.(4)是映射.因为每一个矩形都有唯一外接圆，即A中每一元素在B中都有唯一象，所以(4)是映射.但A、B不是数集，所以不是函数.典题变式点(x ，y)在映射f 下象是(2x-y ，2x+y)，求点(4，6)在映射f 下原象.答案:由映射定义，得⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=-.1,25,62,42y x y x y x 解得所以点(4，6)在映射f 下原象是(25，1). 绿色通道判断f ：A →B 是否是映射，主要依据是定义.要正确理解定义：在映射f ：A →B 中，只要求A 中元素在对应法那么f 作用下，在集合B 中，都有唯一元素和它对应，但B 中每一个元素在集合A 中却未必都有原象.假设B 中每一个元素在集合A 中都有原象，那么称f ：A →B 是集合A 到集合B 上映射；假设B 中至少有一个元素不是A 中元素象，那么称f ：A →B 是集合A 到集合B 内映射.典题变式下面说法正确是( )A.对于任意两个集合A 与B ，都可以建立一个从集合A 到集合B 映射B.对于两个无限集合A 与B ，一定不能建立一个从集合A 到集合B 映射C.如果集合A 中只有一个元素，B 为任一非空集合，那么从集合A 到集合B 只能建立一个映射D.如果集合B 只有一个元素，A 为任一非空集合，那么从集合A 到集合B 只能建立一个映射答案:D绿色通道用映射概念来深刻理解函数，反之，用函数方法来解映射问题，这是把概念与操作相结合现代观点，在本例中，用具体函数来操作映射是最快算法，而不在概念中兜圈子. 典题变式在以下5个对应中：①f ：N →N *，x →|x-3|；②f ：N →Q ，x →2x ；③f ：{1，2，3，4，5，6}→{-4，-3，0，5，12}，x →x(x-4)；④f ：N →{-1，1}，x →(-1)x ；⑤f ：{平面M 内圆}→{平面M 内三角形}，圆→圆内接三角形.其中是映射有( )答案:B。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.2函数的简单性质自主训练苏教版必修.doc

2.2 函数的简单性质自主广场我夯基我达标1.若函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.a ≤-3B.a ≥-3C.a ≤5D.a ≥3思路解析：因为函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2有两个单调区间，它在(-∞，-(a-1)］上是减函数，又因为f(x)在区间(-∞，4)上是减函数，因此必有4≤-(a-1)，解得a ≤-3.答案:A2.设f(x)是定义在A 上的减函数，且f(x)＞0，则下列函数中为增函数的个数是( )①y=3-f(x) ②y=1+)(2x f ③y=［f(x)］2 ④y=1-)(x fA.1B.2C.3D.4思路解析：∵f(x)是定义在A 上的减函数，且f(x)＞0,设x 1、x 2∈A ，且x 1＜x 2，则f(x 1)＞f(x 2)＞0.∴3-f(x 1)＜3-f(x 2)，即y=3-f(x)在A 上为增函数.)(21)(21,)(1)(12121x f x f x f x f +<+<, 即y=1+)(2x f 在A 上为增函数. f 2(x 1)＞f 2(x 2)，即y=f 2(x)在A 上是减函数.)(1)(1,)()(2121x f x f x f x f -<->，即y=1-)(x f 在A 上为增函数.答案:C3.函数f(x)在区间(-4，7)上是增函数，则y=f(x-3)的递增区间是( )A.(-2，3)B.(-1，10)C.(-1，7)D.(-4，10)思路解析：∵f(x)在(-4，7)上是增函数,由-4＜x-3＜7，得-1＜x ＜10且u=x-3在(-1，10)上也为增函数，∴f(x-3)在(-1，10)上为增函数.答案:B4.若y=f(x)在x ∈［0，+∞)上的表达式为y=x(1-x)，且f(x)为奇函数，则x ∈(-∞，0］时f(x)等于( )A.-x(1-x)B.x(1+x)C.-x(1+x)D.x(x-1)思路解析：∵x ∈(-∞，0］时，-x ≥0，∴f(-x)=(-x)(1+x)，-f(x)=-x(1+x).∴f(x)=x(1+x).答案:B5.已知函数f(x)=a-121+x .若f(x)为奇函数，则a=______________. 解法一:∵f(x)的定义域为R,又∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,即a-1210+=0.∴a=21. 解法二:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即a-121+-x =121+x -a,解得a=21. 答案:21 6.函数y=62+--x x 的单调递增区间是____________，单调递减区间是____________. 思路解析：由-x 2-x+6≥0，即x 2+x-6≤0,解得-3≤x ≤2,∴y=62+--x x 的定义域是［-3，2］.又u=-x 2-x+6的对称轴是x=-21, ∴u 在x ∈［-3，-21］上递增，在x ∈［-21，2］上递减. 又y=u 是［0，+∞)上的增函数,∴y=62+--x x 的递增区间是［-3，-21］，递减区间是［-21，2］. 答案:［-3，-21］［-21，2］ 7.函数y=f(x)是定义在R 上的减函数，则y=f(|x+2|)的单调减区间是______________. 思路解析：∵y=f(u)在R 上递减,u=|x+2|在［-2，+∞)上递增，在(-∞，-2］上递减,∴y=f(|x+2|)在［-2，+∞)上递减.答案:［-2，+∞)8.若f(x)=2x 2+px+3在(-∞，1］上是减函数，在［1，+∞)上是增函数，则f(1)=_____________.思路解析：∵a=2＞0，f(x)开口向上， -a b 2=-22∙p =1⇒p=-4， ∴f(x)=2x 2-4x+3.∴f(1)=1.答案:19.函数y=x 2-4｜x ｜-1的递增区间为______________.思路解析：图象法，y=⎪⎩⎪⎨⎧>--≤-+.0,14,0,1422x x x x x x 答案:［-2，0］和［2，+∞)10.已知f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数，且定义域为［a-1，2a ］，则a=_________，b=_________.思路解析：定义域关于原点对称，故a-1=-2a ，a=31. 又对于f(x)有f(-x)=f(x)恒成立，∴b=0.答案: 31 0 11.若f(x)=121-x +a(x ∈R 且x ≠0)为奇函数，则a=_____________. 思路解析：特值法：∵f(-1)=-f(1)，1211--+a=-［1211-+a ］⇒a=21. 答案:21 12.已知f(x)=ax 7-bx+2且f(-5)=17，则f(5)=___________.思路解析：整体思想：f(-5)=a(-5)7-b(-5)+2=17⇒(a ·57-5b)=-15，∴f(5)=a ·57-b ·5+2=-15+2=-13.答案:-13我综合我发展 13.函数f(x)=log 9(x+8-xa )在［1,+∞)上是增函数，求a 的取值范围. 思路解析：由函数f(x)=log 9(x+8-xa )在［1,+∞)上是增函数可以得到两个信息：①对任意的1≤x 1<x 2,总有f(x 1)<f(x 2)；②当x ≥1时，x+8-xa >0恒成立. 解答：∵函数f(x)=log 9(x+8-x a )在［1,+∞)上是增函数，∴对任意的1≤x 1<x 2,有f(x 1)<f(x 2)，即log 9(x 1+8-1x a )<log 9(x 2+8-2x a )，得x 1+8-1x a <x 2+8-2x a ，即(x 1-x 2)(1+21x x a )<0. ∵x 1-x 2<0，∴1+21x x a >0,21x x a >-1,a>-x 1x 2. ∵x 2>x 2≥1，∴要使a>-x 1x 2恒成立，只要a ≥1.又∵函数在f(x)=log 9(x+8-xa )在［1,+∞）上是增函数，∴1+8-a>0，即a<9.综上,a 的取值范围为［-1,9).另解：(用导数求解)令g(x)=x+8-x a ，函数f(x)=log 9(x+8-xa )在［1,+∞)上是增函数， ∴g(x)=x+8-x a 在［1,+∞）上是增函数，g ′(x)=1+2xa . ∴1+8-a>0，且1+2x a ≥0在［1,+∞)上恒成立，得-1≤a<9.14.讨论函数f(x)=21xax -(a ≠0)在区间(-1，1)内的单调性. 思路解析:根据函数的单调性定义求解.解答：设-1＜x 1＜x 2＜１，则f(x 1)-f(x 2)=)1)(1()1)((112221212122221x x x x x x a x ax x ax--+-=---.∵x 1、x 2∈(-1，1)，且x 1＜x 2，∴x 1-x 2＜0，1+x 1x 2＞0，(1-x 12)(1-x 22)＞0.于是，当a ＞0时，f(x 1)＜f(x 2)；当a ＜0时，f(x 1)＞f(x 2).故当a ＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a ＜0时，函数在(-1，1)上为减函数. 我创新我超越15.判断函数f(x)=xx x +--|2|12的奇偶性. 思路解析:确定函数的定义域后可脱去绝对值符号.解答：由⎩⎨⎧≠+-≥-,0|2|,012x x x 得函数的定义域为［-1，1］.这时，｜x-2｜=2-x,∴f(x)=212x -.∴f(-x)=212)(122x x -=--=f(x). 且注意到f(x)不恒为零，从而可知f(x)=xx x +--|2|12是偶函数，不是奇函数. 16.已知f(x)是R 上的奇函数，且x ∈(-∞，0)时，f(x)=-xlg(2-x)，求f(x).思路解析：先设x ＞0，求f(x)的表达式，再合并.解答：∵f(x)为奇函数，∴f(0)=0.当x ＞0时，-x ＜0，f(-x)=xlg(2+x)，即-f(x)=xlg(2+x)，∴f(x)=-xlg(2+x)(x ＞0).∴f(x)= ⎩⎨⎧≥+-<--.0),2lg(,0),2lg(x x x x x x 17.下列函数中，在(-∞，0)内是减函数的是( )A.y=1-x 2B.y=x 2+xC.y=-x -D.y=1-x x 思路解析：对于函数增减性的判定，只要画出函数的草图就易于判断了.分别作出y=1-x 2，y=x 2+x ，y=-x -，y=1-x x 的图象，如图(1)—(4)所示.答案:D18.研究二次函数f(x)=2x 2-4x-1的单调性，并加以证明.思路解析：研究函数的单调性，首先得确定函数的单调区间，然后讨论函数在这个区间上是递增还是递减.从二次函数f(x)=2x 2-4x-1=2(x-1)2-3的图象可知，是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=1.因此这个函数的定义域R 分为(-∞，1)和[1，+∞)两个单调区间，在(-∞，1)上递减，在[1，+∞)上递增.证明：设x 1、x 2是[1，+∞)内的任意两个实数，且x 1＜x 2，则有f(x 1)=2x 12-4x 1-1，f(x 2)=2x 22-4x 2-1，f(x 2)-f(x 1)=2(x 22-x 12)-4(x 2-x 1)=2(x 2+x 1)(x 2-x 1)-4(x 2-x 1)=2(x 2-x 1)(x 1+x 2-2).很明显，如能证明2(x 2-x 1)(x 1+x 2-2)＞0，就说明f(x)在[1，+∞)上递增.由于x 1＜x 2时，有x 2-x 1＞0，因此只要证明x 1+x 2-2＞0即可.由于x 1≥1，x 2＞1，有x 1+x 2＞2，即x 1+x 2-2＞0，所以f(x 2)-f(x 1)=2(x 2-x 1)(x 1+x 2-2)＞0，即f(x 2)＞f(x 1).所以f(x)在[1，+∞)上递增.用同样的方法可证明f(x)在(-∞，1)上递减.对于二次函数f(x)=ax 2+bx+c 的单调性，有如下四种情况： (1)当a ＞0时，x ∈(-∞，-a b 2)，f(x)为减函数； (2)当a ＞0时，x ∈[-ab 2，+∞)，f(x)为增函数； (3)当a ＜0时，x ∈(-∞，-ab 2)，f(x)为增函数； (4)当a ＜0时，x ∈[-ab 2，+∞)，f(x)为减函数.。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.3映射的概念学案苏教版必修1

2．3 映射的概念1．理解映射的概念及表达方法．2．会判断一个对应是否为映射．映射的概念一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有惟一的元素与之对应，那么，这样的单值对应就叫集合A到集合B的映射．记作f：A→B．若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则集合A到集合B的映射有m n个．【做一做1－1】根据对应法则f：x→2x－1，写出图中给定元素的对应元素．(1)(2)答案：(1)1 3 5 (2)4 5 6【做一做1－2】已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A中的元素在映射f下的元素，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是________．答案：41．怎样理解映射的概念？剖析：(1)映射定义中的两个集合A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射是不同的．(2)映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的．(3)在一个映射中，在对应法则f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B 中的元素b．(4)符号“f：A→B”表示集合A到集合B的映射，其中对应法则f的具体内容可用汉字叙述，如“求正弦”“乘以2再加5”等．但在专业教材中，一般用比较抽象的符号来表示．(5)在一个映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合，但在确定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求对等的．2．为什么说映射是一种特殊的对应？剖析：(1)映射也是两个集合A与B元素之间存在的某种对应关系．说其是一种特殊的映射，就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多”的对应．(2)映射中所允许的“一对一”与“多对一”这两种对应的特点，从A 到B 的映射f ：A →B 实际是要求集合A 中的任一元素都必须对应于集合B 中惟一的元素．但对集合B 中的元素并无任何要求，即允许集合B 中的元素在集合A 中可能有一个元素与之对应，可能有两个或多个元素与之对应，也可能没有元素与之对应．题型一映射的概念【例1】下列对应是不是从A 到B 的映射？(1)A ＝Q ，B ＝{x ∈Q |x ＞0}，f ：x →|x |；(2)A ＝B ＝N *，f ：x →|x －2|；(3)A ＝{x ∈N |x ≥2}，B ＝{y ∈Z |y ≥0}，f ：x →y ＝x 2－2x ＋1；(4)A ＝{x |x ＞0}，B ＝{y |y ∈R }，f ：x →y ＝±x ．解：(1)中，当x ＝0∈A 时，|x |＝0B ，即A 中的元素0按照对应法则在B 中找不到应该对应的元素，故(1)不是映射．(2)中，当x ＝2∈A 时，|x －2|＝0B ，与(1)类似，(2)也不是映射．(3)中，因为y ＝(x －1)2≥0，所以对任意x ，总有y ≥0；又当x ∈N 时，x 2－2x ＋1必为整数，即y ∈Z ．所以当x ∈A 时，x 2－2x ＋1∈B ，且对A 中每一个元素x ，在B 中都有惟一的y 与之对应，故(3)是映射．(4)中，任意一个x 都有两个y 与之对应，故不是映射．反思：给定两集合A 、B 及对应法则f ，判断是否是从集合A 到集合B 的映射，其基本方法是利用映射的定义．用通俗的语言讲：A →B 的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”，前两种对应是A →B 的映射，而后一种不是A →B 的映射．题型二映射的个数问题【例2】已知M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－2,0,2}，且从M 到N 的映射满足f (a )＞f (b )≥f (c )，试确定这样的映射f 的个数为__________．解析：因为从M 到N 的映射满足f (a )＞f (b )≥f (c )，所以，(1)当f (a )＝2时，有 ⎩⎨⎧ f (b )＝0，f (c )＝0或⎩⎨⎧ f (b )＝－2，f (c )＝－2或⎩⎨⎧f (b )＝0，f (c )＝－2. (2)当f (a )＝0时，有⎩⎨⎧ f (b )＝－2，f (c )＝－2.综上，从M 到N 满足f (a )＞f (b )≥f (c )的映射f 的个数是4．答案：4反思：对于这类有条件的映射问题，求解时要注意考虑周到，注意分情况讨论，切勿遗漏情况．【例3】已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{6,7}，则以A 为定义域，B 为值域的不同函数的个数为__________．解析：当A 中有三个元素对应B 中元素6时，另一个元素必须对应B 中元素7，这样可组成4个满足题意的不同函数；当A 中有三个元素对应B 中元素7时，另一个元素必须对应B 中元素6，这样可组成4个满足题意的不同函数；当A 中有两个元素对应B 中元素6时，剩下两个元素必对应7，这样可组成6个满足题意的函数．所以共可组成4＋4＋6＝14(个)不同函数．答案：14反思：求解此题要特别注意集合B 必须为函数的值域的特别要求，它实际是要求集合B 恰好是集合A 中的所有元素所对应的元素组成的．题型三映射的应用【例4】为了增加破译密文的难度，有一种密码把英文的明文按两个字母一组分组，如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组．例如I am your f riend 添一个o ，分组为：Ia my ou r f ri en do ，得到⎩⎨⎧⎭⎬⎫91，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1325，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1521，⎩⎨⎧⎭⎬⎫186，⎩⎨⎧⎭⎬⎫189，⎩⎨⎧⎭⎬⎫514，⎩⎨⎧⎭⎬⎫415．其中9表示I 在26个英文字母中的序号，1表示a 在26个英文字母中的序号，依此类推，然后用一个公式，比如：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x y ⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2x ＋3y y ′＝x ＋4y 来进行变换．由⎩⎨⎧⎭⎬⎫91⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×9＋3×1＝21y ′＝9＋4×1＝13＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2113， 21÷26＝0余21,21对应字母u,13÷26＝0余13,13对应字母m ，即Ia 变成um ．将⎩⎨⎧⎭⎬⎫1325变成x ′＝2×13＋3×25＝101除以26得余数为23，即w ； y ′＝13＋4×25＝113除以26得余数为9，即i ．试按上述方法及变换公式将明文I am your f riend 写成密文．解：因26的倍数除以26所得的余数为0，英文字母中没有与0对应的字母，故令与0对应的字母为z ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1521⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×15＋3×21＝93≡15(mod 26)y ′＝15＋4×21＝99≡21(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1521，即ou 不变； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫186⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×18＋3×6＝54≡2(mod 26)y ′＝18＋4×6＝42≡16(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫216，即rf 变成bp ； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫189⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×18＋3×9＝63≡11(mod 26)y ′＝18＋4×9＝54≡2(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫112，即ri 变成kb ； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫514⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×5＋3×14＝52≡0(mod 26)y ′＝5＋4×14＝61≡9(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫09，即en 变成zi ； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫415⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×4＋3×15＝53≡1(mod 26)y ′＝4＋4×15＝64≡12(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫112，即do 变成al ．故密文为umwioubpkbzial ．反思：密码学问题涉及到很多的知识，上面的例题只是一种很简单的形式，也是一类很好的映射应用问题，解决此类问题既要读懂题意，又要看准对应法则，按照题目的引例进行计算．1下图中表示的是从集合X 到集合Y 的对应，其中能构成映射的是__________．解析：图象中必须满足对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应．答案：①2若A ＝{(x ，y )|x ∈Z ，|x |＜2，y ∈N *，x ＋y ＜3}，B ＝{0,1,2}，从A 到B 的对应关系f ：(x ，y )→x ＋y ，说明f 是A 到B 的映射，并画出对应图，指出B 中的元素2与A 中的哪个元素对应．分析：按照映射的定义，对于集合A 中的每一元素，在集合B 中都要有惟一的元素与它对应，但要注意集合A 中的多个元素是可以对应于B 中的同一个元素的．解：集合A 的元素共有六个，用列举法表示为{(－1,2)，(－1,3)，(－1,1)，(0,1)，(0,2)，(1,1)}．对应图如下图所示：∵集合A 中的每一元素，集合B 中都有惟一的元素与之对应，∴f 是A 到B 的映射．2与A 中对应的元素有三个，即(－1,3)、(0,2)、(1,1)．3(1)已知集合A ＝{a 1，a 2}，B ＝{b 1，b 2}，试问从集合A 到集合B 的所有不同的映射有多少个？(2)已知集合A ＝{a 1，a 2}，B ＝{b 1，b 2，b 3}，试问从集合A 到集合B 的所有不同的映射有多少个？分析：当所给集合中的元素数目不大时，可直接用图示的方法展现所有不同的映射；若不然，可采用分析的方法解之．解：(1)用图示的方法可以清楚地看到从A 到B 能建立4个不同的映射(见下图)．(2)分A 中元素对应B 中同一元素和A 中元素对应B 中不同元素两种情况考虑．A 中2个元素对应B 中相同元素的对应有3个，这时有3个不同的映射；A 中2个元素同时对应B 中2个不同的元素的对应有6个，这时有6个不同的映射．所以，集合A 到集合B 的所有不同的映射一共有9个．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是A 到B 的映射，规定为：f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，试求2在B 中的对应元素及35,24⎛⎫ ⎪⎝⎭在A 中的对应元素．解：由条件知当x ＝2时，x ＋1＝2＋1，x 2＋1＝3．所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)；再由⎩⎨⎧ x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12，说明点35,24⎛⎫ ⎪⎝⎭在A 中的对应元素为12． 5已知集合A 到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12，13的映射是f ：x →1|x |－1，那么集合A 中的元素最多有几个？并写出元素最多时的集合A ．解：∵f 是映射，∴A 中的每一个元素在B 中都有惟一元素与它对应，但1|x |－1≠0， ∴0在集合A 中不存在元素与它对应．当1|x |－1＝1时，得x ＝±2；当1|x |－1＝12时，得x ＝±3；当1|x |－1＝13时，得x ＝±4． ∴A 中元素最多只能有6个，即A ＝{－4，－3，－2,2,3,4}．。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象自我小测苏教版必修1

2.1.1 函数的概念自我小测1．给出下列四种说法：①函数就是从定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素；③因为f(x)＝5这个数值不随x的变化而变化，所以f(0)＝5也成立；(4)f(x)表示的意义是与自变量x对应的函数值，而不是f与x的乘积，其中正确的个数是________．2．给出下列对应：①A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→|x|；②A＝B＝N，f：x→|x－3|；③A＝Z，B＝Z，f：x→x的平方根；④A＝B＝Z，f：x→x2；⑤A＝{三角形}，B＝{x|x＞0}，f：“对A中的三角形求面积与B中元素对应”，其中能够表示从A到B的函数的序号是__________．3．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，在下面的图形中，能表示f(x)的图象的只可能是________(填序号)．4．下列各组函数中，表示同一函数的是________．①f(x)＝x，；②f(x)＝x，；③f(x)＝3x＋1，g(t)＝3t ＋1；④f(x)＝|x|，；⑤f(x)＝x＋3，.5．根据函数f(x)＝x2的图象可知，当f(m)＞f(2)时，实数m的取值范围为________．6．已知函数，则f(x)的定义域为________，f(x)的值域为____________．7．画出下列函数的图象：(1)y＝x2－2，x∈Z，且|x|≤2；(2)y＝x－1，x∈[－1,4]；(3)y＝－2x2＋3x，x∈(0,2]．8．(1)求函数的定义域；(2)已知函数的定义域为[0,3]，求f(x＋2)的定义域．已知函数 (a，b为常数，且a≠0)，满足f(2)＝1，方程f(x)＝x有惟一解．求(1)a，b的值；(2)f(f(－3))的值；(3)f(x)的定义域和值域．参考答案千里之行1．4 解析：∵函数是从定义域到值域的对应，∴当定义域中只有一个元素时，值域也只能有一个元素，所以①②正确．∵f(x)＝5是常数函数，解析式与x无关，∴对任意x ∈R，都有f(x)＝5，∴③正确；由f(x)的符号意义知，④正确．2．②④解析：①0∈A，|0|＝0B，∴f：x→|x|不表示从A到B的函数；③当输入值为4∈A，则有两个值±2输出(对应)，∴f：x→x的平方根不是从A到B的函数；⑤A中的元素不是数集，所以该对应不是从A到B的函数．3．④解析：图①中，当时，y∈[0,1)，B中无元素相对应，同理②图中，当x∈(1.5,2]时，y∈[0,1)B也无对应元素，故不是f(x)的图象．图③中对一个x值如x＝1，y有两个值与之对应，所以不是f(x)的图象．只有图④符合．4．③④解析：①中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)，定义域不同不是同一函数；②中，＝|x|与f(x)的对应法则不同，不是同一函数．⑤中，f(x)的定义域为R，.定义域为{x|x≠3}．所以不是同一函数．5．m＜－2或m＞2 解析：由函数f(x)＝x2的图象知，当m＞0时，由f(m)＞f(2)得m＞2；当m＜0时，由f(m)＞f(－2)，∴m＜－2.6．[－1,1] 解析：要使函数f(x)有意义，只需∴－1≤x≤1.即f(x)的定义域为[－1,1]．∵f(x)≥0，∴.∵－1≤x≤1，∴x2∈[0,1]，1－x2∈[0,1]，∴2≤[f(x)]2≤4，∵f(x)≥0.∴，即f(x)的值域为．7．解：(1)∵x∈Z，且|x|≤2，∴函数图象为5个孤立的点分布在抛物线y＝x2－2上．如图(1)．(2)图象为直线y＝x－1在[－1,4]上的一段，即一条线段，如图(2)．(3)∵x∈(0,2]，∴函数图象是抛物线y＝－2x2＋3x介于0＜x≤2之间的一部分．如图(3)．8．解：(1)要使函数有意义，则需∴∴x≤1，且x≠0.∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)∵的定义域为[0,3]，∴0≤x≤3，则1≤x＋1≤4.∴，故f(x)的定义域为[1,2]，∴使f(x＋2)有意义的条件是1≤x＋2≤2.即－1≤x≤0，∴f(x＋2)的定义域为[－1,0]．百尺竿头解：(1)由已知条件f(2)＝1，得，∴2a＋b＝2①.又方程f(x)＝x，即有惟一解．∴x(ax＋b－1)＝0有惟一解．∵ax2＋(b－1)x＝0 (a≠0)的判别式Δ＝(b－1)2－4a×0＝0，∴解得b＝1，将b＝1代入①式，得.∴a、b的值分别为，1.(2)由(1)知，.∴.∴.(3)∵，∴f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．∵，∴f(x)的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象(2)时学案苏教版必修1

2.1.1 函数的概念第2课时函数的图象在实际情境中了解图象法是描述两个变量之间函数关系的一种重要方法．通过函数图象，从“形”的角度进一步加深对函数概念的理解．函数的图象将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．作函数图象，应明确函数定义域，明确函数图象形状，体会定义域对图象的控制作用．k＞0时，图象如下：k＞0，b＞0时，图象如下：b＞0，c＜0时，图象如下：函数新概念，记准要素三；定义域值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见．【做一做1－1】作出函数y ＝x 2－2x 在［0,3］上的图象．解：图象如下：【做一做1－2】在同一直角坐标系中，分别作出直线y 1＝x －2和双曲线y 2＝3x的图象，并根据图象回答x 取何值时，(1)y 1＞y 2；(2)y 1＝y 2；(3)y 1＜y 2．解：图象如图所示．(1)当x ∈(－1,0)∪(3，＋∞)时，y 1＞y 2； (2)当x ＝－1或3时，y 1＝y 2；(3)当x ∈(－∞，－1)∪(0,3)时，y 1＜y 2．函数的图象都是连续的曲线吗？图形都是函数的图象吗？剖析：(1)函数的图象不一定都是连续的曲线．一般来说，如果自变量的取值是连续的，那么它的图象是连续的，如一次函数、二次函数，但如果自变量的取值不是连续的，那么它的图象就是一些孤立点．例如：y ＝3x (x ∈{1,2,3,4,5})．有时函数的图象是由几段线段组成．(2)检查一个图形是否为某个函数的图象，只要用一条垂直于x 轴的直线沿x 轴方向左右平移，观察图形与该直线交点个数，当交点个数为两个或两个以上时，该图形一定不是函数图象．这是因为直线x ＝a (a ∈R )与图形有两个或两个以上交点时，表示变量x 取实数a 时对应两个或两个以上的y 值，这与只有惟一y 值与x 对应矛盾．题型一函数的图象【例1】设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，下面的四个图形中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是__________．解析：由函数的定义知①不是，因为集合M中1＜x≤2时，在N中无元素与之对应；③中x＝2对应的元素y＝3N，所以③不是；④中x＝1时，在N中有两个元素与之对应，④也不是．答案：②【例2】试画出下列函数的图象：(1)f(x)＝2x－1；(2)f(x)＝(x＋1)2－1，x∈(－3,0］．解：描点，作出图象，则函数图象分别如下图(1)(2)所示．(1) (2)反思：当自变量x的定义域为某一区间时，其函数y＝f(x)的图象也是某一局部，本题(2)中，(－3,3)是空心点，(0,0)是实心点．题型二图象的应用【例3】求下列函数的值域：(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；(2)y＝x＋2x－1．解：(1)可以用“图象法”，根据自变量的变化范围(－5≤x ≤－2)来确定y ＝－x 2－2x ＋3的值的变化范围．∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，其图象是开口向下的抛物线，顶点坐标为(－1,4)，当x ∈［－5，－2］时，其图象如图所示． ∴当x ＝－5时，y min ＝－12；当x ＝－2时，y max ＝3．∴y ＝－x 2－2x ＋3(－5≤x ≤－2)的值域是［－12,3］．(2)可以通过“变量代换法”把问题转化成二次函数，再求其值域．要注意在进行换元的过程中，新变量的取值范围．设u u ≥0，且212u x +=，∴2221111(1)2222u y u u u u +=+=++=+．其图象如图所示，由图象可知12y ≥．∴函数y x =1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．反思：本题介绍了两种求函数值域的方法：①图象法：通过图象观察知函数在某一定义域内的最值；②换元法：通过换元，将某些函数化归为我们熟知的函数，再求值域．【例4】如图，已知抛物线与x 轴交于A (－1,0)、E (3,0)两点，与y 轴交于点B (0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)分别写出当x 取何值时，y ＜0，y ＝0，y ＞0； (3)设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积．分析：根据待定系数法，求出二次函数的解析式，再从图象上观察，位于x 轴上方部分的点，其纵坐标y ＞0；下方部分的点，其纵坐标y ＜0．解：(1)设y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.从而y ＝－x 2＋2x ＋3．(2)令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0，x 1＝－1，x 2＝3，所以当x ＞3或x ＜－1时，y ＜0；当x ＝3或x ＝－1时，y ＝0；当－1＜x ＜3时，y ＞0．(3)因为y ＝－(x －1)2＋4，所以点D (1,4)．从而S 四边形AEDB ＝12×3×1＋12×(3＋4)×1＋12×4×2＝9．反思：我们可以利用函数图象来求解形如ax 2＋bx ＋c ＞0和ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的不等式．1二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④b 2－4ac ＞0．其中正确的结论有__________个．解析：图象开口向下，所以a ＜0．图象与y 轴交于正半轴，所以c ＞0．因为－b2a＝1，所以b ＝－2a ＞0．从而abc ＜0，结论①错误；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，得b ＞a ＋c ，结论②错误；由对称性可知，当x ＝2时，4a ＋2b ＋c ＞0，所以结论③正确；又因为抛物线与x 轴有两个交点，所以Δ＝b 2－4ac ＞0．所以结论④正确．答案：22下列各图，可以作为以x 为自变量的函数的图象的有________．答案：②④3已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1__________y 2(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：因为对称轴为x ＝1，所以当x ＝2时与x ＝0时的函数值相等．作出如图所示的大致图象，由图象可知，y 1＞y 2．答案：＞求函数y ＝2x 2－2x ＋2(x ∈［4,5］)的值域．解：f (x )＝2x 2－2x ＋2＝2(x －1)2＋1，∵x ∈［4,5］，∴(x －1)2＋1∈［10,17］．∴2(x －1)2＋1∈21,175⎡⎫⎪⎢⎣⎭．即所求函数的值域为21,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I 2.1 函数的概念 2.1.1 函数的概念和图象(1)学案苏教版必修1

2．1．1 函数的概念和图象第1课时函数的概念1．体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念．2．了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域．函数的概念一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y ＝f (x )，x ∈A ．其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域．若A 是函数y ＝f (x )的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为x 是自变量，它是法则所施加的对象；f 是对应法则，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象、表格或文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一个具体数值时，相应的y 值与之对应．“y ＝f (x )”仅仅是函数符号，还可用“y ＝g (x )”“y ＝F (x )”“y ＝G (x )”等来表示函数关系．【做一做1－1】已知f (x )＝x －3＋x ＋2，则f (7)＝__________．答案：5【做一做1－2】求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝2x；(2)y ＝x －1＋3．解：(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域：(－∞，0)∪(0，＋∞)；(2)定义域：［1，＋∞)，值域：［3，＋∞)．1．三种基本初等函数的定义域和值域剖析：(1)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)的定义域是R ，值域是R ．(2)反比例函数f (x )＝k x(k ≠0)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ．当a ＞0时，值域是244ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，；当a ＜0时，值域是244ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦，． 2．如何判断两个函数是同一函数剖析：只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能惟一地确定函数的对应法则．例如，函数y ＝x ＋1与y ＝x －1，它们的定义域都是R ，值域都是R ，也就是说，这两个函数的定义域和值域都分别相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一函数．由于值域可以由定义域和对应法则惟一确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数．题型一函数的概念【例1】下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的有__________．①f (x )＝4x 4，g (x )＝(4x )4②f (x )＝x ，g (x )＝3x 3③f (x )＝1，g (x )＝1(x ≠0)④f (x )＝x －1，g (x )＝|x －1|解析：若两个函数能表示同一个函数，则必须满足：①定义域相同；②对应法则相同．对于①，两函数的定义域不同，其中f (x )的定义域为{x |x ∈R }，g (x )的定义域为{x |x ≥0}；对于②，定义域、值域和对应法则都相同，所以f (x )与g (x )表示同一函数；对于③，定义域不同，其中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}；④的对应法则不同．答案：②反思：一般地，函数的定义域和对应法则确定，值域就随之确定，因此判断两个函数是否为同一函数，只需判断它们的定义域和对应法则是否分别相同即可．题型二求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域：(1)y ＝2＋3x －2； (2)y ＝3－x ·x －1；(3)y ＝2x ＋1．分析：给定函数时，要指明函数的定义域．对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合．解：(1)要使函数有意义，必须满足x －2≠0成立，即x ≠2，所以这个函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠2}．(2)要使函数有意义，必须满足⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1≥0成立，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |x ∈R ，且1≤x ≤3}． (3)要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，2x ＋1≥0成立，解得x ＞－1，所以这个函数的定义域为{x |x ＞－1}．反思：一般地，求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合：(1)解析式是整式的函数，其定义域为R ；(2)解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合；(3)解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合；(4)如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域是同时使实际问题和解析式有意义的实数的集合；(5)求函数的定义域的步骤通常是先根据题意列不等式(组)，再解不等式(组)，而后得出结论．题型三求函数的值域【例3】求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1x －3；(2)y ＝x 2－2x 2＋1．分析：求函数的值域没有统一的方法．如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值时，则可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如观察法、配方法、换元法等．解：(1)(观察法)y ＝2x ＋1x －3＝2＋7x －3．因为x ≠3，7x －3≠0，所以y ≠2．故所求函数的值域为{y |y ≠2}．(2)(逐步求解法)先分离常数，y ＝x 2－2x 2＋1＝x 2＋1－3x 2＋1＝1－3x 2＋1．∵x 2＋1≥1，∴0＜1x 2＋1≤1．∴－2≤1－3x 2＋1＜1．∴y∈［－2,1)．题型四求已知函数的函数值【例4】已知f (x )＝x 2＋1，g (x )＝12x ＋1， (1)求f (2)和g (a )；(2)求f ［g (1)］和g ［f (x )］．分析：求某个函数的某个函数值，就是将自变量用相应的代数式或数替换，然后化简即可；求f ［g (a )］时，一般遵循先里后外的原则，先求g (a )，然后将f (x )解析式中的x 代换为g (a )，同时要注意函数的定义域．解：(1)f (2)＝22＋1＝5，g (a )＝12a ＋1． (2)f ［g (1)］＝211()=()133f +＋1＝109；g ［f (x )］＝g (x 2＋1)＝12(x 2＋1)＋1＝12x 2＋3．反思：要正确理解f (a )的含义．如果自变量取a ，则由对应法则f 确定的y 的值称为函数在a 处的函数值，记作f (a )；求某个函数的函数值时，还要正确理解对应法则“f ”和“g ”的含义．1已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f ［f (x )］的定义域是__________．解析：由条件得：f ［f (x )］＝11x ＋1＋1，从而由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，1x ＋1＋1≠0，得之．答案：{x |x ≠－1，且x ≠－2}2设f (x )＝1＋x 1－x，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2010(x )等于__________．解析：因f 1(x )＝f (x )＝1＋x 1－x，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x 1－x＝－1x ， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝1－1x 1＋1x＝x －11＋x ， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝1＋x －11＋x 1－x －11＋x＝x ，所以它的规律是以4为周期，从而由2 010＝4×502＋2，得f 2 010(x )＝f 2(x )．答案：－1x3函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R )的值域是______．解析：(方法一)由y ＝x 2x 2＋1，得x 2＝y 1－y ． ∴y 1－y≥0．解之，得0≤y ＜1． (方法二)y ＝x 2x 2＋1＝1－1x 2＋1， ∵x 2＋1≥1，∴－1≤－1x 2＋1＜0．∴0≤y ＜1．答案：［0,1)已知P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列对应不表示从P 到Q 的函数的有__________．(1)f ：x →y ＝12x (2)f ：x →y ＝13x (3)f ：x →y ＝32x (4)f ：x →y ＝x解析：因为当x ＝4时，y ＝6不在集合Q 中，(3)不符合函数的定义，其他均符合．。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数的概念2.1.3函数的简单性质优化训练苏教版必修1

2.1.3 函数的简单性质5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.右图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上它是增函数还是减函数？解:函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5].其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，在函数[-2，1)，[3，5]上是增函数.2.物理学中的玻意耳定律p=Vk （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大，试用函数的单调性证明之.解:根据单调性的定义，设V 1、V 2是定义域（0，＋∞）上的任意两个实数，且V 1＜V 2，则p （V 1）-p （V 2）＝21V k V k -=k 2112V V V V -. 由V 1、V 2∈（0，＋∞），得V 1V 2＞0；由V 1＜V 2，得V 2-V 1＞0.又k ＞0，于是p （V 1）-p （V 2）＞0，即p （V 1）＞p （V 2）.∴函数p=Vk ，V∈（0，＋∞）是减函数，也就是说，当体积V 减小时，压强p 将增大. 3.已知函数f(x)＝211x +，判断f(x)的奇偶性. 思路解析:判断函数的奇偶性，即需要判断f(-x)与f(x)的关系.解:∵f(x)的定义域为R ，又f(-x)=2211)(11xx +=-+=f(x)，∴f(x)为偶函数. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若函数f(x)＝x 2＋2(a-1)x ＋2在区间(-∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.a≤-3B.a≥-3C.a≤5D.a≥3思路解析:因为函数f(x)＝x 2＋2(a-1)x ＋2有两个单调区间，它在(-∞，-(a-1)］上是减函数，又因为f(x)在区间(-∞，4)上是减函数，因此必有4≤-(a-1)，解得a≤-3. 答案:A2.设f(x)是定义在A 上的减函数，且f(x)＞0，则下列函数中为增函数的个数是( ) ①y＝3-f(x) ②y＝1+)(2x f ③y＝［f(x)］2 ④y＝)(x fA.1B.2C.3D.4思路解析：∵f(x)是定义在A 上的减函数，且f(x)＞0,设x 1、x 2∈A，且x 1＜x 2，则f(x 1)＞f(x 2)＞0.∴3-f(x 1)＜3-f(x 2)，即y=3-f(x)在A 上为增函数.同理，可证1+)(21x f <1+)(22x f , f 2(x 1)＞f 2(x 2)，1-)(1x f <1-)(2x f .∴y=1＋)(2x f 在A 上为增函数. y=f 2(x)在A 上是减函数.y=1-)(x f 在A 上为增函数. 答案：C3.若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞］时，f(x)=x-1，则f(x-1)＜0的解集是____________. 思路解析:偶函数的图象关于y 轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法.画图可知f(x)＜0的解集为｛x ｜-1＜x ＜1}，∴f(x -1)＜0的解集为｛x ｜0＜x ＜2}.答案:｛x ｜0＜x ＜2}4.证明函数f(x)=2x+1在区间（-∞，+∞）上是增函数.思路解析:根据函数单调性进行证明即可. 证明:设x 1、x 2是区间（-∞，+∞）内任意两个实数，且x 1<x 2,f(x 1)-f(x 2)=2x 1+1-2x 2-1=2(x 1-x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴f(x)在（-∞，+∞）上是增函数.5.已知f(x)=(21121+--x )x, (1)证明f(x)＞0；(2)设F(x)=f(x+t)-f(x-t)，判断F(x)的奇偶性，并证明你的结论.(1)证明:∵f(x)的定义域是｛x ｜x∈R 且x≠0｝，又∵f(x)-f(-x)=(21121+--x )x-(21121+--x )(-x)=(122121---x x x +1)x=0， ∴f(x)为偶函数.当x ＞0时，显然f(x)＞0；当x ＜0时，f(x)=f(-x)＞0.∴当x∈R 且x≠0时，f(x)＞0.(2)解:由x+t≠0且x-t≠0,可知F(x)的定义域为｛x ｜x≠±t｝.∵F(-x)=f(-x+t)-f(-x-t)=f(x-t)-f(x+t)=-F(x)，∴F(x)为奇函数.快乐时光童言童语一年级的老师教小朋友认识家禽动物.老师：“有一种动物两只脚，每天早上太阳公公出来时，它都会叫你起床，而且叫到你起床为止，是哪一种动物？”小朋友：“妈妈！”30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.函数f(x)=2x 2-mx+3,当x∈［-2,+∞］时是增函数,当x∈(-∞,-2)时是减函数,则f(1)等于( )A.-3B.13C.7D.由m 而定的常数思路解析:由题意可知x=-2是f(x)=2x 2-mx+3的对称轴,即-4m -=-2. ∴m=-8.∴f(x)=2x 2+8x+3.∴f (1)=13.答案:B2.若y=f(x)在x∈［0，+∞)上的表达式为y=x(1-x)，且f(x)为奇函数，则x∈(-∞，0］时f(x)等于( )A.-x(1-x)B.x(1+x)C.-x(1+x)D.x(x-1)思路解析:x∈(-∞，0］，-x≥0，∴f(-x)=(-x)(1+x)，-f(x)=-x(1+x).∴f(x)=x(1+x).答案:B3.函数f(x)在区间(-4，7)上是增函数，则y ＝f(x-3)的递增区间是( )A.(-2，3)B.(-1，10)C.(-1，7)D.(-4，10)思路解析:∵f(x)在(-4，7)上是增函数，由-4＜x-3＜7，得-1＜x ＜10.且u ＝x-3，在(-1，10)上也为增函数，∴f(x -3)在(-1，10)上为增函数.答案:B4.已知f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数，且定义域为［a-1，2a ］，则a=_________，b=_________.思路解析:定义域关于原点对称，故a-1=-2a ，∴a=31. 又对于f(x)有f(-x)=f(x)恒成立，∴b=0.答案: 31 0 5.已知f(x)=ax 7-bx+2且f(-5)=17，则f(5)=__________.思路解析:整体思想:f(-5)=a(-5)7-b(-5)+2=17⇒ (a·57-5b)=-15，∴f(5)=a·57-b·5+2=-15+2=-13.答案:-136.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且单调递减,若a 满足f(1-a) +f(1-a 2)<0,求实数a的取值范围.解:∵定义域为[-1,1],∴⎩⎨⎧≤-≤-≤-≤-.111,1112a a解得⎩⎨⎧≤≤-≤≤.22,20a a ∴0≤a≤2. ① ∵f(x)是奇函数,且a 满足f(1-a) -f(1-a 2)<0，∴f(1-a) <-f(1-a 2)= f(a 2-1).∵f(x)在定义域上单调递减，∴1-a > a 2-1,即-2<a<1. ②由①②得0≤a<1. 7.设a>0，f(x)=x x ea a e +是R 上的偶函数, （1）求a 的值；（2）证明f(x)在(0,+∞)上为增函数.（1）解：依题意，对一切x∈R ，有f(-x)=f(x)，即x ae1+ae x =x x e a a e +. ∴(a -a 1)(e x -x e 1)=0对一切x∈R 成立.则a-a1 =0.∴a=±1.∵a>0，∴a=1. （2）证明：设0<x 1<x 2，则f(x 1)-f(x 2)=1x e -2x e +2111x x e e -=(2x e -1x e )(1121-+x x e )=1x e (12x x e --1)12121x x x x e e ++-. 由x 1>0,x 2>0,x 2-x 1>0，得x 1+x 2>0，12x x e--1>0，1-12x x e +<0,∴f(x 1)-f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2).∴f(x)在(0,+∞)上为增函数. 8.已知函数f(x)=cbx ax ++12(a 、b 、c∈Z )是奇函数，又f(1)=2，f(2)＜3，求a 、b 、c 的值. 解:由f(-x)=-f(x),得-bx+c=-(bx+c).∴c=0.又f(1)=2，得a+1=2b ，而f(2)＜3，得114++a a ＜3，解得-1＜a ＜2. 又a∈Z ，∴a=0或a=1.若a=0，则b=21∉Z ，应舍去；若a=1，则b=1∈Z .∴a=1，b=1，c=0. 9.已知f （x ）=131-x +a 为奇函数, （1）求a 的值；（2）求函数的单调区间.解:（1）∵f（-x ）=131--x +a=x x 313-+a=-1+a-131-x =-1+2a-f （x ），由f （-x ）=-f （x ），得-1+2a=0. ∴a=21. （2）对于任意x 1≠0，x 2≠0，且x 1<x 2,f （x 1）-f （x 2）=1311-x -1312-x =)13)(13(332112---x x x x . 当x 1<x 2<0时, 23x >13x , 13x <1, 23x <1.∴f(x 1)-f(x 2)>0;当0<x 1<x 2时, 23x >13x ,13x >1, 23x >1.∴f（x 1）-f （x 2）>0.∴函数的单调递减区间为（-∞，0），（0，+∞）.10.已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1、x 2都有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2)，且当x>1时f(x)>0,f(2)=1,（1）求证：f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,+∞)上是增函数；（3）解不等式f(2x 2-1)<2.（1）证明:令x 1=x 2=1，得f(1)=2f(1).∴f(1)=0.令x 1=x 2=-1，得f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).∴f(x)是偶函数.（2）解:设x 2>x 1>0，则f(x 2)-f(x 1)=f(x 1·12x x )-f(x 1)=f(x 1)+f(12x x )-f(x 1)=f(12x x ). ∵x 2>x 1>0,∴12x x >1. ∴f(12x x )>0,即f(x 2)-f(x 1)>0. ∴f(x 2)>f(x 1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.（3）解:∵f(2)=1，∴f(4)=f(2)+f(2)=2.∵f(x)是偶函数,∴不等式f(2x 2-1)<2可化为f(|2x 2-1|)<f(4).又∵函数在(0,+∞)上是增函数，∴|2x 2-1|<4.解得-210<x<210，即不等式的解集为(-210,210).。