人教版八年级数学上册讲义(全册)

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人教版八年级上册数学第12章全等三角形讲义知识点+典型例题

BPAa【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E求证：DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，求证：DE AD BE =+.EDCBA专题三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形：作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形：作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形：作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。

人教版数学八年级上册全套ppt课件(共1200页)

由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.
例4 如图，D是△ABC 的边AC上一点，AD=BD，试判断AC 与BC 的大小.
三角形的分类问题1：观察下列三角形，说一说，按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
问题2：你能找出下列三角形各自的特点吗？
三边均不相等
有两条边相等
腰
顶角底角
三条边均相等
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
底边
总结归纳
➢三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形； ➢有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； ➢三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
物到微小的分子结构，都有什么样的形象？（2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例.
讲授新课
三角形的概念
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形? A
定义：由不在同一条直线上的三条线段
首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
B
C
问题2：三角形中有几条线段?有几个角?
有三条线段，三个角边：线段AB，BC，CA是三角形的边. 顶点：点A，B，C是三角形的顶点，角：∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角，简称三角
例3 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm, x+2x+2x=18. 解得 x=3.6. 所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.
三角形的三边关系
在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B

人教版八年级上册第1讲三角形的边讲义

第一讲三角形的边三角形的定义：由不在同一直线的三条线段首尾顺次相连组成的图形，叫做三角形。

三角形的表示：记作△ABC顶点：点A 、点B 、点C边：AB 、AC 、BC 或a 、b 、c角：∠A （∠BAC ）、∠B （∠ABC ）、∠C （∠ACB ）例1．如图所示．(1) 图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2) 线段AE 是哪些三角形的边?(3)∠B 是哪些三角形的角?练习：如图所示，(1) 图中共有______个三角形，其中以线段BC 为一边的三角形是______，以∠EAD 为一内角的三角形是__________.(2)在△ABD 中，∠BAD 的对边是______，在△ABE 中，∠ABE 的对边是______.(3)AB 既是△______中∠______的对边，又是△______中∠______的对边，还是△______中∠______的对边。

三角形的分类：按角分：⎪⎩⎪⎨⎧是钝角）钝角三角形（有一个角是直角）直角三角形（有一个角是锐角）锐角三角形（三个角都按边分⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形三边都不相等的三角形注意：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.例2.已知（a-b）2+|b-c|=0，若a、b、c为△ABC的三边，那么△ABC是什么三角形？三角形的三边关系：由“两点之间线段最短”可得AB+AC＞BC 同理可得AB+BC＞AC，BC+AC＞AB即三角形的两边之和大于第三边。

将不等式移项得AB＞BC-AC ，BC＞AC-AB，AC＞AB-BC即三角形的两边之差小于第三边。

【例3--1】.判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8; （4）4,6,7 【例3--2】.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_____________.【例3--3】.设a，b，c是三角形三边，化简：|a-b+c|-|a-b-c|+|-c+b-a|【例3--4】三角形三边为3，5，3-4a，则a的范围是。

人教版八年级数学上册(全册)单元知识点及重点汇总

人教版八年级数学上册（全册）单元知识点及重点汇总第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(n − 2) ·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(n − 3) 条对角线，把多边形分成(n − 2) 个三角形.② n 边形共有n(n − 3)条对角线. 2第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (x, y) 关于x 轴对称的点的坐标为P ' (x, −y) .②点P (x, y) 关于y 轴对称的点的坐标为P " (−x, y) .⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1 条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3 条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.系数，同字式乘以多项整式乘法乘法法则整式除法因式分解②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.4. 基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十四章整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1. 基本运算：⑴同底数幂的乘法： a m ⨯ a n = a m +n⑵幂的乘方： (a m )n = a mn⑶积的乘方： (ab )n= a n b n2. 整式的乘法： ⑴单项式⨯单项式：系数⨯ 等边三角形的性质母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3. 计算公式：⑴平方差公式： (a − b )⨯(a + b ) = a 2 − b 2⑵完全平方公式： (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 ； (a − b )2= a 2 − 2ab + b 24. 整式的除法：⑴同底数幂的除法： a m ÷ a n = a m −n⑵单项式÷ 单项式：系数÷ 系数，同字母÷ 同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷ 单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷ 多项式：用竖式.5. 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6. 因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式： a 2 − b 2 = (a + b )(a − b )②完全平方公式： a 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b )2③立方和： a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 − ab + b 2 )④立方差： a 3 − b 3 = (a − b )(a 2 + ab + b 2 )⑶十字相乘法： x 2 + ( p + q ) x + pq = (x + p )(x + q )⑷拆项法⑸添项法一、知识框架：第十五章分式二、知识概念：1. 分式：形如 A ， A 、B 是整式， B 中含有字母且 B 不等于 0 的整式叫做分式.其中 A 叫做分式的B分子， B 叫做分式的分母.2. 分式有意义的条件：分母不等于 0.3. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变.4. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为 1 的数）约去，这种变形称为约分.b b 5. 通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6. 最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7. 分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为： a ± b = a ± b c c c⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a ± c = ad ± cbb d bd⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为： a ⨯ c = ac b d bd⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为： a ÷ c = a ⨯ d = ad b d b c bc⎛ a ⎫n⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为： ⎪ ⎝ ⎭ = a nbn 8. 整数指数幂：⑴ a m ⨯ a n = a m +n （ m 、n 是正整数）⑵(a m )n= a mn （ m 、n 是正整数） ⑶(ab )n= a n b n （ n 是正整数）⑷ a m ÷ a n = a m −n （ a ≠ 0 ， m 、n 是正整数， m > n ）⎛ a ⎫n ⑸ ⎪ ⎝ ⎭ a n = （ n 是正整数） b n ⑹ a − n = 1 a n（ a ≠ 0 ，n 是正整数） 9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10. 分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程); ②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。

初中数学人教版八年级上册分式的化简求值与证明讲义

分式的化简求值与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1．【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（）A ．－1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（） A ．－7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（） A ．－2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（） A ． 0 B ． 1 C ．－1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。

人教版八年级数学上册全等三角形的判定HL 讲义

斜边直角边（HL ）一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等温馨提示：SSA 、AAA 不能证全等！！1、如图，点C 在∠DAB 的内部，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，CD=CB 那么Rt △ADC ≌Rt △ABC 的理由是（）A ．SSSB. ASAC. SASD. HL 2、如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFD 的理由是（）.A ．SSS B. AAS C. SAS D. HL3、下列说法正确的个数有（）①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等；②有两边对应相等的两个直角三角形全等；③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等；④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等.A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4、在△ABC 和△C B A '''中，如果AB=B A ''，∠B=∠B '，AC=C A ''，那么这两个三角形（）.A ．全等 B. 不一定全等 C. 不全等 D. 面积相等，但不全等5、下列可使两个直角三角形全等的条件是（）A.一条边对应相等B.两条直角边对应相等C.一个锐角对应相等D.两个锐角对应相等6、给出下列条件：①两边一角对应相等②两角一边对应相等③三角形中三角对应相等④三边对应相等，其中，不能判定两个三角形全等的条件是（）A. ①③B. ①②C. ②③D. ②④7、李明同学把一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的三块，现在要到玻璃商店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）.A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去8、如图，点D、E分别在线段AB、AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）∠B=∠CB、AD=AEC、BD=CED、BE=CD9、下列语句中不正确的是（）斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等有两边对应相等的两个直角三角形全等C、有两个角对应相等的两个直角三角形全等D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等10、如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A、∠A=∠DB、BC=EFC、∠ACB=∠FD、AC=DF11、在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，AB=DE，AC=DF，那么Rt△ABC与Rt△DEF_______（填全等或不全等）12、如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC与△ADC全等，还需要补充的条件是________（写一个即可）13、如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件________（写一个即可）14、如图，点B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是:____________（写一个即可）F E D C B A 15、如图，已知AD=BC.EC ⊥AB.DF ⊥AB ， C.D 为垂足，要使ΔAFD ≌ΔBEC ，还需添加一个条件.若以“ASA ”为依据，则添加的条件是_________16、如图,AB=CD,AD 、BC 相交于点O ，要使△ABO ≌△DCO,应添加的条件为_________(添加一个条件即可)17、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，AB=DC ，BE=CF ，试判断AB 与CD 的位置关系18、已知如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，求证：AD ∥BC.A D BC19、如图，Rt△ADC与Rt△BCD，∠A=∠B=90°，AC=BD，求证AD=BC20、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，具有BF=AC，FD=CD（1）求证：BD=AD（2）（八字模型）试探究BE与AC的位置关系21、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线DE经过点C，且AD⊥DE于D，BE⊥DE于E。

人教版八年级上册数学《因式分解--十字相乘法与分组分解法》专题讲义(含答案)

因式分解的基本方法例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】分解因式：268x x ++【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】分解因式：278x x +-【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】把a 视为未知数，其它视为参数。

第十一章三角形讲义2021-2022学年人教版八年级数学上册

第十一章三角形讲义题型一、三角形的三边关系例1、下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（）A．2 cm，2 cm，4 cm B．3 cm，4 cm，3 cmC．4 cm，4 cm，9 cm D．3 cm，4 cm，5 cm例2、若a、b、c是△ABC的三边的长，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是（）A．a＋b＋c B．－a＋3b－c C．a＋b－c D．2b－2c变式1、下列每组数据分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是( )A．2 cm,5 cm,8 cm B．13 cm,12 cm,25 cm C．3 cm,3 cm,6 cm D．13 cm,12 cm,20 cm变式2、已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a，b，c|，|b，a，c|，__________.变式3、如果将长度为a-2、a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是题型二、三角形的稳定性例1、下列选项中，有稳定性的图形是（）A．B．C．D．变式1、为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是．题型三、三角形中的线段例1、下列叙述正确的是（）①三角形的中线、角平分线都是射线②三角形的三条高线交于一点③三角形的中线就是经过一边中点的线段④三角形的三条角平分线交于一点⑤三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形．A．④⑤B．①②④C．②④D．④例2、如图3，AD 是△ABC 的角平分线，已知△C ＝80°，△B ＝40°，则△ADC 的度数为（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°例3、如图4，已知CD 是△ABC 的中线，E 为CD 的中点，若△ABC 的面积为1，则△ACE 的面积为（）A．21 B ．31 C ．41 D ．51变式1、如图，在△ABC 中，∠1=∠2，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于点Ｅ，Ｆ为AB 上一点，CF AD ⊥于Ｈ．下面判断正确的有（1）AD 是ABC ∆的角平分线（2）BE 是ABD ∆的AD 边上的中线（3）CH 为ACD ∆边AD 上的高线（4）AH 是ACF ∆的角平分线和高线变式2、如图，AD 是△ABE 边BE 上的中线，AE 是△ACD 边CD 上的中线，则图中面积相等的三角形有( )A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对变式3、如图，在△ABC 中，∠ABC =56º△∠ACB =44º△AD 是BC 边上的高，AE 是△ABC 的角平分线，求出∠DAE 的度数。

人教版八年级上册数学《三角形》复习讲义

1《三角形》复习一、知识点梳理：1、三角形的有关线段（1）三角形三边关系:三角形的两边之和第三边；两边之差第三边；△ABC 的三边a 、b 、c 中已知a 、b ，求c 的取值范围是：＜c ＜；（2）三角形的高线:从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线. 表示方法:①AD 是△ABC 的BC 边上的高. ②AD ⊥BC 于D. ③∠ADB=∠ADC=90°.几何语言：①∵AD 是ΔABC 的高∴∠ADB=90°； ② ∵∠ADB=90° ∴AD 是ΔABC 的高注意：（1）三角形的高是一条线段；（2）任意一个三角形都有三条高；三条高的交点叫做垂心；（3）锐角三角形的三条高交于一点，交点在三角形的内部；直角三角形的三条高交于一点，交点在三角形的直角顶点处；钝角三角形的三条高交于一点，交点在三角形的外部。

（3）三角形的中线:在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.表示方法：①AD 是△ABC 的BC 上的中线. ②BD=CD=12BC. ③BC=2BD=2CD 几何语言：① ∵AD 是三角形的中线 ∴ BD = CD ； ②∵ BD = CD ∴AD 是三角形的中线注意：（1）三角形的中线是一条线段；（2）任意一个三角形都有三条中线；三条中线的交点叫做重心；（3）三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部；（4）三角形的一条中线把三角形分成两个相等的小三角形。

（4）三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.表示方法：①AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. ②∠1=∠2=12∠BAC. 几何语言：①∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ；②∵∠BAD=∠CAD ∴AD 是角平分线注意：（1）三角形的角平分线是一条线段；（2）任意一个三角形都有三条角平分线；三条角分线交于一点，叫做内心，在三角形的内部。

2020年秋人教版八年级数学上册第11章《三角形的三线及面积》(讲义、随堂练习、习题及答案)

人教版八年级数学上册第11章三角形的三线及面积（讲义）➢ 课前预习1. 三角形有关的性质和定理：定义：由___________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形，三角形可以用符号“_______”表示．性质：边：三角形两边之和______第三边，两边之差______第三边；角：三角形的内角和等于_______；直角三角形两锐角________；三角形的一个外角等于______________________________． 2. 如图，在△ABC 中，（1）若点D 是BC 的中点，则S △ABD :S △ACD =__________；（2）若BD :CD =2:1，则S △ABD :S △ACD =__________；（3）若BD :CD =a :b ，则S △ABD :S △ACD =__________．DCBA➢ 知识点睛1. 三角形的三线：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________．（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．如图，在△ABC中，作出AC边上的高线．CA________即为所求．2.面积问题：（1）处理面积问题的思路①_____________________________；②_____________________________；③_____________________________．（2）处理面积问题方法举例①利用平行转移面积21如图，满足S△ABP =S△ABC的点P都在直线l1，l2上．②利用等分点转移面积两个三角形底相等时，面积比等于_____之比；高相等时，面积比等于_____之比．➢精讲精练1.如图，△ABC的角平分线AD、中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABC的中线．其中（）A．①②都正确B．①②都不正确C ．①正确，②不正确D ．①不正确，②正确AC DE OE DAF第1题图第2题图2. 如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高是_______，AB 边上的高是_______；在△BCE 中，BE 边上的高是________，EC 边上的高是_________；在△ACD 中，AC 边上的高是________，CD 边上的高是________．3. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点H ，交AB 于点F ．下列说法：①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的中线；③CH 为△ACD 边AD 上的高；④AH 是△ACH 边CH 上的高；⑤AH 是△ACF 的角平分线．其中正确的说法有_______（填序号）．ABCDEF G H第3题图第4题图4. 如图，在正方形ABCD 中，BC =2，∠DCE 是正方形ABCD 的外角，P 是∠DCE 的平分线CF 上任意一点，则△PBD 的面积等于_________．5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，延长DC 到E ，使CE =AB ，连接BD ，BE ．若梯形ABCD 的面积为25cm 2，则△BDE 的面积为__________．EDC BA第5题图第6题图6. 正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为____________． 7. 在如图所示4×4的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个．第7题图第8题图8. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2，则满足条件的格点C 的个数是_______个． 9. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD，CE 的中点，且S △ABC =16，则S △DEF =_____________．10. 如图，在△ABC 中，E 是BC 边上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF -S △BEF =（） A ．1B ．2C ．3D．4F ED CA第10题图第11题图11. 如图所示，S △ABC =6，若S △BDE =S △DEC =S △ACE ，则S △ADE =______．12. 如图，设E ，F 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，线段BE ，CF 交于点D ．若△BDF ，△BCD ，△CDE 的面积分别是3，7，7，则△EDF 的面积是_______，△AEF 的面积是______．EFDCBAC 1B 1A 1CBA第12题图第13题图13. 如图，对面积为1的△ABC 进行以下操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，顺次连接A 1，B 1，C 1，则△A 1B 1C 1的面积为______．14. 如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，已知△AOB 和△BOC 的面积分别为25cm 2和35cm 2，那么梯形的面积是_____________．15. 如图，在长方形ABCD 中，△ABP 的面积为20cm 2，△CDQ 的面积为35cm 2，则阴影四边形EPFQ 的面积是_________．16. 如图，若梯形ABCD 面积为6，E ，F 为AB 的三等分点，M ，N 为DC 的三等分点，则四边形EFNM 的面积是_________．E F DCBA MNO C D BA 2535【参考答案】➢课前预习1.不在同一条直线上，首尾顺次相接，△大于，小于180°互余和它不相邻的两个内角的和2.（1）1:1（2）2:1（3）a:b➢知识点睛1.（1）线段，在三角形内部，重心．（2）线段，在三角形内部，内心．（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部．作图略2.（1）①公式法；②割补法；③转化法．（2）②对应高，对应底．➢精讲精练1. C2.AF，CE；CE，BE；DC，AC．3. ③④⑤4. 25. 25 cm 26. 167. 68. 59. 2 10. B 11. 112. 3，15 13. 1914. 144 cm 2 15. 55 cm 2 16. 2三角形的三线及面积（随堂测试）1. 下列四个图形中，线段BD 是△ABC 的高的是（）A ．B ．C ．D ．2. 如图，正方形ABCD 和正方形BEFG 的位置如图所示，点E 在线段AB 上，已知正方形ABCD 的面积为50cm 2，则△AFC 的面积是___________．3. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个（在图中标出点C 的位置）．DCBA C DA BA BD C DC AAB EFG CD4. 如图，在△ABC 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，连接EF ，若△ABC的面积是8cm 2，则△BEF 的面积是______．【参考答案】1. D2. 25cm²3. 64. 2 cm²三角形的三线及面积（习题）➢ 例题示范例1：已知在4×4的正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数为__________个．【思路分析】连接AB ，则AB 作为△ABC 的底，要使△ABC 的面积为1，利用同底等高，即平行转移面积即可．具体操作：①先在AB 的一侧找一个点C ，使△ABC 的面积为1，过点C 作AB 的平行线； ②再在AB 的另一侧找一个点C ，使△ABC 的面积为1，过点C 作AB 的平行线．如图所示：F E CBA共6个．➢巩固练习正确的是（）A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高3.在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形中，有两条高在三角形外部的是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能4.如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④∠BDC=∠BAC．其中正确的有______________（填序号）．第4题图第5题图5. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2，则满足条件的格点C 的个数是_______个．6. 如图，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE =4，BD =8，△ABD 的面积为16，则△ACE 的面积为___________．7. 如图，在△ABC 中，已知点D ，E，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =4cm 2，那么阴影部分的面积是_________．8. 已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，BD =2CD ，AD ，BE ，CF 交于一点G ，S △BGD =8，S △AGE =3，那么△ABC 的面积是____________．F E DC BAA DEF G9. 如图，将△ABC 的三边AB ，BC ，CA 分别延长至D ，E ，F ，且使BD =AB ，CE =2BC ，AF =3AC ．若S △ABC =1，则S △DEF =____．10. 如图，两条对角线把梯形分割成四个三角形，若S △EDC =6，S △BEC =18，则△AEB的面积是____________，△AED 的面积是___________．11. 如图所示，在△ABC 中，点D是AB 的中点，点E 在边BC 上，CE =2BE ，12. 部分的面积是______________．【参考答案】1. D2. C3. B4.①②③5. 56.87. 1 cm²8.309.1810.6 211.112.6 cm²。

人教版八年级上册数学讲义教学内容

八年级数学讲义第11章三角形一、三角形的概念1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示△ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b．顶点：A，B，C ．内角：∠A ，∠B ，∠C．．二、三角形的边1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.1.2 确定三角形第三边的取值范围:两边之差<第三边<两边之和.2.三角形的主要线段2.1三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；②直角三角形三条高线交于直角顶点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点2.2三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三条角平分线交于三角形内部一点.2.3三角形的中线连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。

AC BAD三角形的三条中线交于三角形内部一点.三、三角形的角1 三角形内角和定理结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数2三角形外角和定理2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角．2.2性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补2.3外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角四、三角形的分类(1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形(2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形五多边形及其内角1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。