2017-2018学年(沪科版)八年级数学下册名师导学案：一元二次方程的根与系数的关系

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八年级数学下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系教案 (新版)沪科版

一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点)2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．(难点)一、情境导入解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？(1)x 2－2x ＝0；(2)x 2＋3x －4＝0；(3)x 2－5x ＋6＝0.方程x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2x 2－2x ＝0 x 2＋3x －4＝0 x 2－5x ＋6＝0二、合作探究探究点一：一元二次方程的根与系数的关系利用根与系数的关系，求方程3x 2＋6x －1＝0的两根之和、两根之积．解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得．解：这里a ＝3，b ＝6，c ＝－1.Δ＝b 2－4ac ＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－13.方法总结：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，Δ＝b 2－4ac ≥0，有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用【类型一】利用根与系数的关系求代数式的值设x 1，x 2是方程2x ＋4x －3＝0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x 1＋2)(x 2＋2)； (2)x 2x 1＋x 1x 2.解析：先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2与x 1x 2的值，最后将所求式子做适当变形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体代入求解即可．解：根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－32.(1)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－32＋2×(－2)＋4＝－32；(2)x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 21x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝（－2）2－2×（－32）－32＝－143. 方法总结：先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2与x 1x 2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体带入求解即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型二】已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根已知方程5x 2＋kx －6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值．解析：由方程5x 2＋kx －6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k 的值．解：设方程的另一个根是x 1，则2x 1＝－65，∴x 1＝－35.又∵x 1＋2＝－k5，∴－35＋2＝－k5，∴k ＝－7.方法总结：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】判别式及根与系数关系的综合应用已知α、β是关于x 的一元二次方程x ＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，求m 的值．解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由1α＋1β＝－1建立方程，求m 的值．解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，∴α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2.又∵1α＋1β＝α＋βαβ＝－（2m ＋3）m2＝－1，化简整理，得m 2－2m －3＝0. 解得m ＝3或m ＝－1.当m ＝－1时，方程为x 2＋x ＋1＝0，此时Δ＝12－4＜0，方程无解， ∴m ＝－1应舍去．当m ＝3时，方程为x 2＋9x ＋9＝0，此时Δ＝92－4×9＞0，方程有两个不相等的实数根．综上所述，m ＝3.易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m 的值，但一定要代入判别式验算，字母m 的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计让学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全的归纳验证以及演绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神。

八年级数学下册教案-17.4 一元二次方程的根与系数的关系8-沪科版

《一元二次方程的根与系数的关系》教案
一、基本信息
二、教学目标
知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，能不解方程
求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单
的问题。

过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，使
学生经历观察、思考、猜想、证明、归纳概括等数学活动过程，发展学生的推理能力。

在运用关系解决问题的过程中，培养学
生解决问题能力，渗透整体的数学思想。

情感态度与价值观：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，使学生感受成功的喜悦，激发学生应用数学
的热情。

培养科学探究精神。

三、学习者分析
1．学生已学习一元二次方程的各种解法。

2．本课的教学对象是
初中八年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注
意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征。

这为学生猜想韦
达定理提供必要条件3.学生已掌握基本的公式及相关运算法则，为
证明一元二次方程的根与系数的关系提供必要条件。

四、教学重难点分析及解决措施
重点：一元二次方程的根与系数的关系。

难点：一元二次方程的根与系数的发现及应用。

解决措施：课始，我让学生回顾一元二次方程的各种解法，再让学生练习解方程（完成表格），顺利过渡到观察方程的两根的和与积与方程系数的关系，从而能正确猜想结论。

在教学中，我采用了2人或4人一组，让学生在合作中互相学习，并给学生展示探究结果的机会，鼓励学生大胆猜想，严密论证。

整节课师生在和谐的氛围中教学和学习，身心得到愉悦。

17.4 一元二次方程的根与系数的关系-八年级下册数学教案导学案(沪科版)

17.4 一元二次方程的根与系数的关系-八年级下册数学教案导学案（沪科版）一、教学目标1.掌握求解一元二次方程的根与系数的关系；2.理解一元二次方程的根与系数之间的数学关系；3.能够灵活运用根与系数的关系解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和数学分析能力。

二、教学重点1.掌握求解一元二次方程的根与系数的关系；2.灵活运用根与系数的关系解决实际问题。

三、教学难点能够灵活运用根与系数的关系解决实际问题。

四、教学过程1. 导入（5分钟）老师提问：当一个一元二次方程的两个根相等时，该方程的什么系数相等？学生回答：方程的两个根相等时，该方程的两个解都是相同的值。

所以方程的根相等时，方程的两个解是-a/2b，其中a、b分别是方程的系数。

2. 讲解与演示（10分钟）老师出示一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0，并解释a、b、c的含义。

然后，老师介绍一元二次方程的根与系数的关系公式：根与系数的关系公式1： x1 + x2 = -b/a x1 * x2 = c/a其中，x1和x2表示方程的两个根。

老师通过一个例子演示如何利用根与系数的关系公式求解一元二次方程：2x^2 - 5x + 2 = 0。

1. 根据公式，可以得到：x1 + x2 = -(-5)/2 = 5/2 2. 同样地，根据公式，可以得到：x1 * x2 = 2/2 = 1 3. 所以方程的两个根分别是：5/2和1。

3. 练习（20分钟）学生进行练习题，利用根与系数的关系公式解决一元二次方程的题目。

练习题一求解方程：3x^2 + 2x - 5 = 0解答步骤： 1. 根据公式，可得：x1 + x2 = -2/3 2. 同样地，根据公式，可得：x1 * x2 = -5/3 3. 所以方程的两个根分别是：-2/3和-5/3。

练习题二已知一元二次方程的一个根是2/3，另一个根是7/5，求解该方程的系数。

解答步骤： 1. 根据公式，可得：x1 + x2 = 2/3 + 7/5 = 29/15 2. 同样地，根据公式，可得：x1 * x2 = 2/3 * 7/5 = 14/15 3. 根据根与系数的关系，设方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0 4. 根据公式，可得：a = 1，b = -29/15，c = 14/15 5. 所以方程的系数分别是：a = 1，b = -29/15，c = 14/15。

【教学设计】沪科版八年级(下)一元二次方程的根与系数的关系精品教案

沪科版八年级(下) 18.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计(韦达定理和它的逆定理)（1课时）李春楠教学目标(一)知识与技能（1）通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根据.（2）使学生会运用根与系数关系解决有关问题.(二)过程与方法本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用.(三)情感、态度与价值观（1）渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律.（2）培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.教学重点根与系数的关系及其推导.教学难点正确理解根与系数的关系.教学准备多媒体课件、小黑板、彩笔等.教学方法数形结合法、问题教学法、观察法、范例教学法、精讲点拨、合作探究式教学法等.教学过程Ⅰ.课堂导入在前面18.2节中，我们学过，一元二次方程的每一个根都可由它的各项系数通过运算得到.进一步，你是否注意到每个方程中的两根之和（ x1 + x2 ）、两根之积（ x1·x2 ）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？填写下表，然后观察根与系数的关系：根据你的观察，猜想：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根若是 x1、x2，那么 x1+x2=＿,x1·x2=＿.你能证明上面的猜想吗？【设计意图】提出问题，激发学生的学习、探究欲望.Ⅱ.讲授新课知识点：设x1,x2是方程 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的两个根（b2－4ac≥0），则aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-==+21x x aacb b a ac b b 242422---+-+-aacb b ac b b 24422----+-=ab 22-=a b -==⋅21x x aac b b a ac b b 242422---⋅-+-22224)4()(aac b b ---=22244a ac b b +-=a c =【设计意图】培养学生的自主学习能力、勇于探索的精神。

沪科版八年级数学下册：17.4 一元二次方程的根与系数的关系教案

17.4 一元二次方程的根与系数的关系教学目标：1.了解一元二次方程的根与系数的关系；2.会灵活运用根的判别式和根与系数的关系解决问题。

重难点：1.利用根与系数的关系求未知字母的值。

2.利用根与系数的关系求代数式的值。

知识点：一元二次方程根与系数的关系（重点；难点）常称为韦达定理。

知识拓展：一元二次方程根与系数的关系的应用：（1）检验解一元二次方程所得的根是否正确；（2）已知方程的一根，求另一根或方程中的字母系数；（3）已知两个根，求一元二次方程；（4）已知两个根之间的关系，确定方程中字母系数的值；（5）不解方程，判断一元二次方程根的符号。

相关代数式的值时，往往先把代数式变形成两根和与积的形式，再整体求值。

常例1.设x 1，x 2是方程x 2+5x-3=0的两个根，则x 12+x 22的值是（）A.19B.25C.31D.30 例2.一元二次方程x 2-3x-2=0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是（）A. x 1=-1, x 2=2B.x 1=1 ,x 2=-2 B. x 1+x 2=3 D.x 1x 2=2 例3.若方程x 2+x-1=0的两实根为α，β，那么下列说法不正确的是（）A. 例4.已知x 1，x 2是一元二次方程3x 2=6-2x 的两个根，则x 1-x 1x 2+x 2的值是（）A.拓展应用：1.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-6x-11=0的两个实数根，求x12+x22+8的值。

2.3.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0,。

（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。

4.已知x1，x2的关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根。

（1）若（x1-1）(x2-1)=28，求m的值；（2）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长。

八年级数学下册(沪科版)《一元二次方程的根与系数的关系》参考教案

17.4 一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。

2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。

体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

二、重点难点发现并掌握一元二次方程根与系数的关系三、教法与学法（一）教法1、充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思过程，让学生经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。

2、采用“实践（练习）——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。

引导学生发现问题，师生共同解决问题。

3、分小组讨论交流，多渠道信息反馈。

4、问题引探，启发诱导，进行创新教学。

（二）学法指导1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。

2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。

3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。

四、设计理念根据教材内容和《初中数学新课程标准》，注重过程数学，注重创新教学，注重问题意识，关注学生的学习兴趣和经验，让学生主动参与学习活动，主动探索并获取知识，教师是组织者、引导者、参与者。

五、设计意图采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，探究分两步走将探究根与系数关系分为初探、再探两个层次，即将二次项系数为1和非1的一元二次方程分两次出现，这样处理基于如下的原因。

第一，使得每一个学生都能参与探究。

学生的认知能力总是有所差异的，如果将这两类方程同时加以研究的话，有一部分同学很难参与。

事实上，研究事物往往从简单到复杂。

八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系导学案(新版)沪科版

八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系导学案（新版）沪科版1．一元二次方程的根的判别式(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况由b2－4ac来确定．我们把b2－4ac 叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.①Δ是专指一元二次方程的根的判别式，只有确定方程为一元二次方程时，才能确定a，b，c，求出Δ.②要想利用根的判别式求解方程，首先要将方程化为一元二次方程的一般式ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)，以便确定a，b，c并代入b2－4ac计算．(2)一元二次方程的根的情况与根的判别式的关系①利用根的判别式判定根的情况．一般地，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根．②根据方程根的情况，确定Δ的取值范围．当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0.①如果说一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等实数根或有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，切勿丢掉等号．②当b2－4ac＜0时，方程在实数范围内无解(无实数根)，但在复数范围内方程仍有两个解，这将在高中阶段学习．【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)2x2＋3x－4＝0；(2)3x2＋2＝26x；(3)32x2＋1＝22x；(4)ax2＋bx＝0(a≠0)；(5)ax2＋c＝0(a≠0)．分析：一元二次方程的根的情况是由Δ＝b2－4ac的符号决定的，所以判别一元二次方程根的情况即判断“Δ”的符号．尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上(或减去)一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号，从而确定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4.∵Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)将方程转化为一般形式为3x2－26x＋2＝0.a＝3，b＝－26，c＝2.∵Δ＝b2－4ac＝(－26)2－4×3×2＝0，∴原方程有两个相等的实数根．(3)将方程转化为一般形式为32x2－22x＋1＝0.方程两边同乘以2，得3x2－2x＋2＝0，a＝3，b＝－2，c＝2.∵Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×3×2＝2－83＜0，∴原方程没有实数根．(4)ax2＋bx＝0(a≠0)，∵a≠0，∴方程是一元二次方程，∴Δ＝b 2－4·a ·0＝b 2.又∵b 取任何实数，b 2均为非负数，∴Δ≥0恒成立．故原方程有两个实数根．(5)ax 2＋c ＝0(a ≠0)，∵a ≠0，∴方程是一元二次方程，∴Δ＝0－4ac ＝－4ac . 当c ＝0时，Δ＝0，原方程有两个相等实数根；当a 与c 异号时，Δ＞0，原方程有两个不相等的实数根；当a 与c 同号时，Δ＜0，原方程没有实数根．运用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数．2．一元二次方程的根与系数的关系如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a.这个关系通常称为韦达定理．(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件：①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a ≠0；②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a ≠0.(2)如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，这时韦达定理应是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .【例2】不解方程，说明一元二次方程2x 2＋4x ＝1必有实数根，并求出两根之和与两根之积．分析：因为方程2x 2＋4x ＝1是一元二次方程，所以要说明方程有实数根，只要证明其判别式Δ≥0即可．要求两根和与积，用根与系数的关系求解．解：把方程2x 2＋4x ＝1转化成一般形式为2x 2＋4x －1＝0.(1)∵Δ＝b 2－4ac ＝42－4×2×(－1)＝24＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)设该方程的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝－b a ＝－42＝－2，x 1·x 2＝c a ＝－12＝－12.点拨：运用根与系数的关系及运用根的判别式时，都必须把方程化为一般形式，以便正确确定a ，b ，c .3．利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则b 2－4ac ＞0；若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，则b 2－4ac ＝0.从而根据关于字母系数的方程或不等式求出字母系数的值或取值范围．在运用时应注意前提条件：必须是一元二次方程且符合其一般形式．例如，已知关于x 的方程kx 2－4kx ＋k －5＝0有两个相等的实数根，求k 的值，并解这个方程．分析：因为方程有两个实数根，所以有隐含条件二次项系数k ≠0.又因为方程有两个相等的实数根，由此可得Δ＝0.对于二次项系数含有待定字母的一元二次方程，当使用根的判别式时，必须先考虑隐含条件a ≠0.【例3】当k 取何值时，关于x 的一元二次方程kx 2＋9＝12x ， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？解：原方程可化为kx 2－12x ＋9＝0.因为此方程是关于x 的一元二次方程，所以k ≠0，Δ＝b 2－4ac ＝(－12)2－4k ·9＝144－36k .(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以144－36k ＞0，解得k ＜4且k ≠0.即当k ＜4且k ≠0时，方程有两个不相等的实数根．(2)因为方程有两个相等的实数根，所以144－36k ＝0，解得k ＝4. 即当k ＝4时，方程有两个相等的实数根．(3)因为方程没有实数根，所以144－36k ＜0，解得k ＞4.即当k ＞4时，方程没有实数根．在根据一元二次方程根的情况来求字母系数的取值范围时，要注意以下几点：一是必须是一元二次方程，当二次项系数含有字母时一定要确保二次项系数不为0；二是必须符合一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)；三是当方程有实数根时，Δ≥0.4．利用根与系数的关系确定一元二次方程如果实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．(1)利用这一性质比较容易检验一元二次方程的解是否正确．(2)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0.例如，已知一个关于x 的一元二次方程，它的两根为3和4，请你写出这个一元二次方程．由方程的两个根为3和4可知，此方程的两根之和为7，两根之积为12，故根据一元二次方程根与系数的关系可以写出这个一元二次方程．解：设此方程的两个根为x 1，x 2，则根据题意得x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝12.所以所求的一元二次方程为x 2－7x ＋12＝0.已知两根求一元二次方程，其一般步骤是：①先根据两根分别求出两根之和与两根之积；②把两根之和、两根之积代入一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0，求出所要求的方程．【例4】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数．分析：一般求作新的一元二次方程时，设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0的简单形式，其中p＝－(y 1＋y 2)，q ＝y 1·y 2.设法求出p 和q 的值代入y 2＋py ＋q ＝0即得所求方程，当p ，q 两数为分数时，方程最后要化为各项系数均为整数的方程．解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，根据韦达定理，得x 1＋x 2＝－25，x 1·x 2＝－35. 设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，它的两根为y 1，y 2，则y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2.p ＝－(y 1＋y 2)＝－(－1x 1－1x 2)＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1·x 2＝－25－35＝23. q ＝y 1·y 2＝(－1x 1)(－1x 2)＝1x 1·x 2＝－53.∴所求的方程为y 2＋23y －53＝0，即3y 2＋2y －5＝0.所求方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．例如：如果原方程中未知数是x ，那么所求的新方程中未知数就不要用x 了，而改用其他字母y 或z 等．5．一元二次方程根与系数的关系的应用已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则求含有x 1，x 2的代数式的值时，其方法是把含x 1，x 2的代数式通过转化，变为用x 1＋x 2，x 1x 2的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值．解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形：①21x ＋22x ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；②1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2；③(x 1＋a )(x 2＋a )＝x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2；④|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.【例5】已知方程2x 2＋5x －6＝0的两个根为x 1，x 2，求下列代数式的值．(1)(x 1－2)(x 2－2)；(2)x 2x 1＋x 1x 2.解：由一元二次方程根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－52，x 1x 2＝－3，所以，(1)(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2x 1－2x 2＋4＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝－3－2×(－52)＋4＝6；(2)x 2x 1＋x 1x 2＝221212x x x x＋＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝(－52)2－2×(－3)－3＝－4912.。

(沪科版)八年级数学下册名师精品导学案：一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系【学习目标】1．掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会初步应用．2．灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．【学习重点】根与系数的关系及其推导．【学习难点】正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．归纳：一元二次方程根与系数关系揭示了两根与其系数间的奇妙关系，但它的使用必须以b 2－4ac ≥0为前提．情景导入生成问题旧知回顾：1．一元二次方程的一般形式是什么？答：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．2．一元二次方程的求根公式是什么？答：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，求根公式为x ＝－b±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)．它揭示了两根与系数间的直接关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的关系呢？自学互研生成能力知识模块一元二次方程根与系数的关系【自主探究】阅读教材P 37～38，完成下列问题：一元二次方程根与系数的关系是怎样的？如何推导？答：如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a，这个关系通常称为韦达定理．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a，所以x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac 2a ＝－2b 2a ＝－b a，x 1·x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac 2a ＝（－b ）2－（b 2－4ac ）24a 2＝4ac 4a 2＝c a. 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为x 2＋px ＋q ＝0，设它两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q.范例1：(钦州中考)若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋10x ＋3＝0的两个根，则x 1＋x 2和x 1·x 2的值分别是( A )A ．－10，3B ．10，3C ．－3，10D ．3，－10学习笔记：仿例1中，已知α、β为不相等的两根，要注意一元二次方程Δ＞0，即Δ＝(2m ＋3)2－4m 2＞0，12m ＋9＞0，m ＞－34. 利用根与系数关系，求得m ＝3或－1时应去掉m ＝－1的情况，即利用根与系数关系求字母系数值时，要利用根的判别式进行检验．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充、纠错，最后进行总结评分．学习笔记：检测可当堂完成．仿例：(1)已知一元二次方程x 2－6x －5＝0的两根为a ，b ，则1a＋1b 的值是－65； (2)方程x 2－2x －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则(x 1－1)(x 2－1)＝－2；x 21＋x 22＝6．范例2：已知关于x 的一元二次方程x 2－bx ＋c ＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝－2，则b与c 的值分别为( D )A ．b ＝－1，c ＝2B ．b ＝1，c ＝－2C ．b ＝1，c ＝2D ．b ＝－1，c ＝－2仿例1：(呼和浩特中考)已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m 的值是( B ) A ．3或－1 B ．3 C ．1 D ．－1或1仿例2：(玉林中考)已知关于x 的方程x 2＋x ＋n ＝0有两个实数根－2，m.求m ，n 的值．解：∵关于x 的方程x 2＋x ＋n ＝0有两个实数根－2，m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＝n ，－2＋m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，即m ，n 的值分别是1，－2. 仿例3：已知关于x 的方程x 2＋x －m ＝0的一个根为2，则有m ＝6，另一个根是－3．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一元二次方程根与系数的关系检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________ 教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

20172018学年(沪科版)八年级数学下册名师导学案：一元二次方程的解法——因式分解法12999数学网.doc

一元二次方程的解法——因式分解法【学习目标】1．正确理解因式分解法的实质，熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．2．进一步体会转化的思想，能选择恰当的方法解一元二次方程．【学习重点】用因式分解法解一元二次方程．【学习难点】正确理解AB ＝0⇔A ＝0或B ＝0.行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．解题思路：归纳：因式分解法是解一元二次方程最常用的方法，它简单易行，能迅速解题，但它的缺陷是只适用一些特殊的方程，即方程左边能分解因式且右边为0.情景导入生成问题旧知回顾：1．一元二次方程的求根公式是什么？答：求根公式x ＝－b±b2－4ac 2a(a ≠0，b 2－4ac ≥0)． 2．把下列各式因式分解：(1)2x 2－x ；(2)x 2－16y 2；(3)9a 2－24ab ＋16b 2解：(1)原式＝2x(x －1)；(2)原式＝(x ＋4y)(x －4y)；(3)原式＝(3a －4b)2.3．如果a·b ＝0，则可得a ＝0或b ＝0．自学互研生成能力知识模块一因式分解法解一元二次方程【自主探究】阅读教材P28～29，完成下列问题：因式分解法依据的原理是什么？什么是因式分解法？答：依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个是0；反过来，如果两个因式中有一个等于0，则它们的积就等于0.通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法．范例1：用因式分解法解方程：(1)(1＋2)x2－(1－2)x＝0；解：[(1＋2)x－1＋2]x＝0，x1＝0，x2＝－3＋22；(2)(2x－1)2－10(2x－1)＋25＝0；解：(2x－1－5)2＝0，(2x－6)2＝0，x1＝x2＝3；(3)(x－1)(x＋2)＝2x＋4.解：(x－1)(x＋2)－2(x＋2)＝0，(x＋2)(x－1－2)＝0，x＋2＝0或x－3＝0，x1＝－2，x2＝3.学习笔记：归纳：从范例2可看出，符合(x＋n)2＝a(a≥0)的形式选用直接开方法；方程左边能因式分解，且右边为0的形式应该用因式分解法，若不能用因式分解法，再考虑公式法或配方法．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．学习笔记：检测可当堂完成．仿例1：方程(x －3)(x －1)＝x －3的解是( D )A ．x ＝2B ．x ＝3C ．x ＝3或x ＝1D ．x ＝3或x ＝2仿例2：经计算，整式x ＋1与x －4的积为x 2－3x －4，则x 2－3x －4＝0的解为( B )A ．x 1＝－1，x 2＝－4B ．x 1＝－1，x 2＝4C ．x 1＝1，x 2＝4D ．x 1＝1，x 2＝－4 仿例3：用因式分解法解下列方程： (1)3x 2－6x ＝0; (2)(3x ＋2)2－4x 2＝0；解：x 1＝0，x 2＝2；解：x 1＝－25，x 2＝－2；(3)5(2x －1)＝(1－2x)(x ＋3); (4)2(x －3)2＋(3x －x 2)＝0.解：x 1＝12，x 2＝－8; 解：x 1＝3，x 2＝6. 知识模块二选用适当方法解一元二次方程范例2：请选择合适的方法填在横线上．(1)解方程x 2＝23x ，用因式分解法较合理；(2)解方程7x 2－127x ＋2＝0，用公式法较合理；(3)解方程x 2－2x －1999＝0，用配方法较合理；(4)解方程16(x －1)2＝9，用直接开方法较合理．仿例：对方程(1)(2x －1)2＝5；(2)x 2－x －1＝0；(3)x(x －3)＝3－x ，选择合适的解法是( B )A ．因式分解法、公式法、因式分解法B ．直接开平方法、公式法、因式分解法C ．公式法、配方法、公式法D ．直接开平方法、配方法、公式法交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一因式分解法解一元二次方程知识模块二选用适当方法解一元二次方程检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：__________________________________________________________________ ______2．存在困惑：______________________________________________________________ __________。

八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计新版沪科版

八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计新版沪科版一. 教材分析《新版沪科版八年级数学下册》第17.4节主要介绍一元二次方程的根与系数的关系。

通过本节课的学习，学生能够理解一元二次方程的根与系数之间的内在联系，掌握根的判别式、根与系数的关系公式，并能运用这些知识解决实际问题。

教材内容安排合理，逻辑清晰，通过例题和练习题的引导，使学生能够逐步掌握一元二次方程的根与系数的关系。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的解法、判别式的概念以及一些基本的代数运算。

但部分学生对于抽象的数学概念和公式理解不够深入，对于将理论知识应用于实际问题还有一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，针对性地进行教学，帮助学生更好地理解和掌握知识。

三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数的关系，掌握根的判别式和根与系数的关系公式。

2.能够运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，根与系数的关系公式。

2.教学难点：理解和运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：讲解一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式和根与系数的关系公式。

2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题。

3.小组讨论法：分组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高学生的数学思维能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的PPT，展示一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式和根与系数的关系公式。

2.例题和练习题：挑选具有代表性的例题和练习题，巩固学生对知识的理解和运用。

3.教学视频：准备一些教学视频，帮助学生更好地理解一元二次方程的根与系数的关系。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用教学视频或图片引入一元二次方程的根与系数的关系，激发学生的学习兴趣，引导学生思考一元二次方程的根与系数之间是否存在某种联系。

沪科版初二下册数学 17.4 一元二次方程的根与系数的关系教案(教学设计)

当二次项系数为1时，x2+px+q=0的两根为x1, x2，则有___________.
2.从而得出一元二次方程的一般式的解之间的关系：x1+x2= ,x1·x2= ,得出根与系数的关系。
3.已知方程 2x2+kx-4=0的一个根是-4，求它的另一个根及k的值。
四、巩固练习（5分钟）
1.下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
三、合作探究：六、布置作业：
教学反思
（1）x2-3x+1=0；
（2）2x2-9x+5=0；
（3）2x2+3x=02.
2、书本练习
五、课堂小结（3分钟）
一元二次方程根与系数的关系:
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1，x2，则x1+x2= ，x1·x2= .
六、布置作业（10分钟）
讨论补充记录
讨论补充记录
板书
二、自学提纲（10分钟）
自学课本内容，解决以下问题：
1．填表
问题：你发现这些一元二次方程的根与系数a、b、c有什么规律？
当二次项系数为1时，x2+px+q=0的两根x1, x2的关系怎样？
2．任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的x1+x2， x1·x2与系数a，b，c 的关系是 x1+x2=；x1·x2=.
设计
一、学习目标；四、巩固练习；
二、自学提纲；五、课堂小结；
三、合作探究；六、布置作业
教学反思
17.4一元二次方程的根与系数的关系（2）
主备人：
时间
地点
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新泸科版八年级数学下册名师导学案：一元二次方程

【学习目标】1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义．2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．【学习重点】一元二次方程的意义及一般形式．【学习难点】正确识别一般式中的“项”及“系数”．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解．解题思路：判断一个方程是否为一元二次方程，不能光看其表面形式，要根据整理(去括号，移项，合并同类项)以后的结果来确定．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么是一元一次方程？答：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等式两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程．2．根据题意列出方程，并判断是否为一元一次方程？(1)面积为900 m2的一块绿地，长比宽多10 m，求绿地长和宽各为多少米？(2)一个小组的同学元旦见面时，每两人都握手一次，所有人共握手28次，求小组同学数x.解：(1)设绿地宽为x m，列方程得x(x＋10)＝900，整理得x2＋10x－900＝0；(2)由题意得x （x －1）2＝28，整理得x 2－x －56＝0. 以上所列方程均不是一元一次方程．自学互研生成能力知识模块一一元二次方程【自主探究】阅读教材P 19～20，完成下面的问题：什么是一元二次方程？举例说明．答：像x 2＋2x －1＝0，x 2－36x ＋35＝0这样的方程，都是只含有一个未知数，并且未知数最高项次数是2的整式方程叫做一元二次方程．范例1：下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( A )A ．3(x ＋1)2＝2(x ＋1)B .1x 2＋1x－2＝0 C ．x 2－1＝y D ．x 2＋2x ＝x 2－1仿例：方程(m ＋2)x |m|＋3mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则( B )A ．m ＝±2B ．m ＝2C ．m ＝－2D ．m ≠±2范例2：(百色中考)已知x ＝2是一元二次方程x 2－2mx ＋4＝0的一个解，则m 的值为( A )A ．2B ．0C ．0或2D ．0或－2仿例：若m(m ≠0)是关于x 的一元二次方程x 2＋nx ＋m ＝0的根，则m ＋n ＝－1．学习笔记：要注意一元二次方程的定义中二次项系数不能为0，一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)，一定要掌握它的特征．行为提示：在群学后期教师可有意安排每组的展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示，有补充、有质疑、有评价穿插其中．学习笔记：检测可当堂完成.知识模块二一元二次方程的一般形式阅读教材P 20，完成下列问题：一元二次方程的一般形式是什么？答：一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．其中，二次项系数是a ，一次项系数是b ，常数项是c.范例3：一元二次方程x 2－2(3x －2)＋(x ＋1)＝0的一般形式是2仿例：一元二次方程2x 2－1－3x ＝0的二次项系数是2，一次项系数是－是－1．知识模块三根据实际问题列方程范例4：现代化教学设备实现“班班通”，某市2014年安装“班班通”多媒体设备的经费是144万元，2016年安装“班班通”多媒体设备的经费是300万元．若设这两年安装“班班通”多媒体设备的经费平均增长率为x ，则可列方程144(1＋x)2＝300．仿例1：如图是一张长9 cm 、宽5 cm 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12 cm 2的一个无盖长方体纸盒．设剪去的正方形的边长为x cm ，可列出关于x 的方程为(9－2x)(5－2x)＝12，化简得4x 2－28x ＋33＝0．仿例2：有几位同学约定，在新年零点钟声敲响后，互通电话祝福，他们通话的总次数为21次，求参与约定的同学数x.可列方程为x （x －1）2＝21，化简为x 2－x －42＝0. 交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一一元二次方程知识模块二一元二次方程的一般形式知识模块三根据实际问题列方程检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

新泸科版八年级数学下册名师导学案：一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系【学习目标】1．掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会初步应用． 2．灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．【学习重点】根与系数的关系及其推导．【学习难点】正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．归纳：一元二次方程根与系数关系揭示了两根与其系数间的奇妙关系，但它的使用必须以b 2－4ac ≥0为前提．情景导入生成问题旧知回顾：1．一元二次方程的一般形式是什么？答：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．2．一元二次方程的求根公式是什么？答：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，求根公式为x ＝－b±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)．它揭示了两根与系数间的直接关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的关系呢？自学互研生成能力知识模块一元二次方程根与系数的关系【自主探究】阅读教材P 37～38，完成下列问题：一元二次方程根与系数的关系是怎样的？如何推导？答：如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca，这个关系通常称为韦达定理．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a，所以x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac 2a ＝－2b 2a ＝－ba，x 1·x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac 2a ＝（－b ）2－（b 2－4ac ）24a 2＝4ac 4a 2＝ca.当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为x 2＋px ＋q ＝0，设它两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q.范例1：(钦州中考)若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋10x ＋3＝0的两个根，则x 1＋x 2和x 1·x 2的值分别是( A )A ．－10，3B ．10，3C ．－3，10D ．3，－10学习笔记：仿例1中，已知α、β为不相等的两根，要注意一元二次方程Δ＞0，即Δ＝(2m ＋3)2－4m 2＞0，12m ＋9＞0，m ＞－34.利用根与系数关系，求得m ＝3或－1时应去掉m ＝－1的情况，即利用根与系数关系求字母系数值时，要利用根的判别式进行检验．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充、纠错，最后进行总结评分．学习笔记：检测可当堂完成．仿例：(1)已知一元二次方程x 2－6x －5＝0的两根为a ，b ，则1a＋1b 的值是－65； (2)方程x 2－2x －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则(x 1－1)(x 2－1)＝－2；x 21＋x 22＝6．范例2：已知关于x 的一元二次方程x 2－bx ＋c ＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝－2，则b 与c 的值分别为( D )A ．b ＝－1，c ＝2B ．b ＝1，c ＝－2C ．b ＝1，c ＝2D ．b ＝－1，c ＝－2 仿例1：(呼和浩特中考)已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m 的值是( B )A ．3或－1B ．3C ．1D ．－1或1 仿例2：(玉林中考)已知关于x 的方程x 2＋x ＋n ＝0有两个实数根－2，m.求m ，n 的值．解：∵关于x 的方程x 2＋x ＋n ＝0有两个实数根－2，m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＝n ，－2＋m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，即m ，n 的值分别是1，－2. 仿例3：已知关于x 的方程x 2＋x －m ＝0的一个根为2，则有m ＝6，另一个根是－3．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一元二次方程根与系数的关系检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

20172018学年(沪科版)八年级数学下册名师导学案：一元二次方程的解法——公式法12999数学网.doc

一元二次方程的解法——公式法【学习目标】1．掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．2．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．【学习重点】求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．【学习难点】对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．解题思路：公式法实际上是配方法的简写方法，它能解任何形式一元二次方程，但缺点是公式比较复杂，且计算量较大．情景导入生成问题旧知回顾：1．用配方法解方程：6x2－7x＋1＝0.解：移项得：6x2－7x＝－1，二次项系数化为1，得x 2－76x ＝－16，配方得：(x －712)2＝25144，x －712＝±512， x 1＝1，x 2＝16. 2．归纳用配方法解一元二次方程的步骤：答：(1)移项；(2)二次项系数化为1；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)原方程变为(x ＋m)2＝n 的形式；(5)如果右边是非负数，则可以直接开平方求解，若右边是负数，此方程无解．自学互研生成能力知识模块一一元二次方程求根公式的推导【自主探究】阅读教材P 26～27，完成下列问题：一元二次方程求根公式是什么？如何推导？答：用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，移项，得：ax 2＋bx ＝－c ，∵a ≠0，两边同除以a ，x 2＋b a x ＝－c a ，配方得：x 2＋2·b 2a x ＋(b 2a )2＝－c a＋(b 2a )2，即(x ＋b 2a )2＝b2－4ac 4a2，∵a ≠0，4a 2＞0，当b 2－4ac ≥0时，b2－4ac 4a2≥0，将方程两边开平方得x ＋b 2a ＝±b2－4ac 2a ，x ＝－b±b2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)．这就是一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0(a ≠0且b 2－4ac ≥0)的求根公式．范例1：在方程2x 2＋3x ＝1中，b 2－4ac 的值为( C )A ．1B ．－1C ．17D ．－17仿例：把方程(2x x 22bx ＋c ＝0的形式是x 2＋5x －4＝0，b 2－4ac ＝41，方程的根是x 1＝2，x 2＝2学习笔记：归纳：用公式法解一元二次方程，教师可以先引导学生掌握解题的步骤，重点强调先化为一般形式，再写出a ，b ，c 的值，然后求出b 2－4ac 的值，最后代入求根公式求解．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．学习笔记：检测可当堂完成.知识模块二用公式法解一元二次方程阅读教材P 27～28，完成下列问题：什么是公式法？用公式法解一元二次方程一般步骤是什么？答：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法，用公式法解一元二次方程的步骤：(1)将方程化为一般形式；(2)写出系数a ，b ，c 的值；(3)当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 的值代入公式中即求出方程的解．范例2：用公式法解下列方程：(1)4x 2＋4x ＋10＝1－8x ；解：整理原式得：4x 2＋12x ＋9＝0，b 2－4ac ＝122－4×4×9＝0，代入求根公式，得x 1＝x 2＝－32； (2)－t 2＋4t ＝8.解：a ＝－1，b ＝4，c ＝－8，b 2－4ac ＝42－4×(－1)×(－8)＝－16.∵－16＜0，∴原方程没有实数根．仿例1：已知y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当y 1＝y 2时，x 的值为1或－32．仿例2：(1)方程y 2＋2＝22y(2)方程23x －2(x 2＋1)＝0的根是x 1＝2，x 2＝2仿例3：已知a 、b 为实数，若(a 2－b 2)(a 2－b 2－2)＝8，则a 2－b 2的值是( C )A ．4B ．－2C ．4或－2D ．－4或2交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一一元二次方程求根公式的推导知识模块二用公式法解一元二次方程检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：__________________________________________________________________ ______2．存在困惑：______________________________________________________________ __________。

【沪科版八年级数学下册导学案】17.3一元二次方程根的判别式

17.3 一元二次方程根的鉴识式一、预习目标1 认识一元二次方程根的鉴识式，理解为何能依据它判断一个一元二次方程根的状况。

2 能用一元二次方程根的鉴识式鉴识方程能否有实数根和两个实数根能否相等。

3 在对求根公式谈论时能知道应用分类谈论。

要点：能用一元二次方程根的鉴识式判断一个一元二次方程根的状况。

难点：理解为何能依据根的鉴识式判断一个一元二次方程根的状况。

二、预习展现1、一元二次方程的一般形式为：。

2、已知方程 2x2-3x+1=0, 则 b 2-4ac=。

3、方程 x2+5x+5=0 的根的鉴识式的值是：。

4、已知关于 x 的方程 x2-mx+2=0 有两个相等的实数根，那么m 的值是：。

5、当 k 等于时，方程 2x2-6x-(k-4)=0没有实数根。

6、不解方程，判断以下方程根的状况。

2（1）2y +5y+6=0；(2)2x 2=3x=1；(3)7t 2-5t+2=0 三、合作交流1、完成以下推导过程：任何一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a ≠0) ，移项，得 ax2+bx=-c,二次项系数化为 1，得 x 2+ 2+b a x=-c a , 2 配方： x + b a x+ b 2a 2 =- c a + b 2a 2 , 即 x b 2a 2 = 2b 4ac24a，由于 a ≠0，因此 4a2＞0. 因此（ 1）当时，x 1 =b2 b 2a4ac ,x 2=b 2 b 2a4ac ； b(2) 当时，x 1=x 2=；2a（3）当时，方程 ax2+bx+c=0(a ≠0) 没有实数根。

2、运用根的鉴识式的意义，填出根的存在状况：（1）当 a ≠0 且△≥ 0 时，方程 ax 2+bx+c=0 ； (2) 当 a ≠0 且△＞ 0 时，方程 ax2+bx+c=0；（3）当 a ≠0 且△ =0 时，方程 ax2+bx+c=0 ；（4）当a≠0 且△＜0 时，方程ax 2+bx+c=0 。

(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程根的判别式

（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程根的判别式一. 教材分析《一元二次方程根的判别式》是沪科版八年级数学下册的一个重要内容。

本节课主要让学生了解一元二次方程的根与判别式之间的关系，掌握判别式的计算方法，并能运用判别式判断一元二次方程的根的情况。

教材通过引入判别式，引导学生探究方程的根与判别式之间的关系，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的定义、解法及其性质。

但部分学生对于根与判别式之间的关系可能还有一定的困惑。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，针对性地进行讲解和辅导，帮助学生理解和掌握判别式的运用。

三. 教学目标1.让学生了解一元二次方程的根与判别式之间的关系。

2.让学生掌握判别式的计算方法。

3.培养学生运用判别式判断一元二次方程的根的情况的能力。

4.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与判别式之间的关系，判别式的计算方法。

2.教学难点：判别式的运用，根的情况的判断。

五. 教学方法1.讲授法：教师讲解判别式的定义、计算方法和运用，引导学生理解和学习。

2.案例分析法：通过具体的一元二次方程实例，让学生分析和判断根的情况。

3.小组讨论法：学生分组讨论，共同探讨判别式的运用和解决问题的方法。

4.练习法：学生进行课堂练习和课后作业，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教学课件：制作涵盖判别式定义、计算方法和运用等方面的课件。

2.练习题：准备一些关于判别式的练习题，用于课堂练习和课后作业。

3.教学道具：准备一些用于展示和分析的一元二次方程实例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的定义、解法及其性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）教师讲解判别式的定义、计算方法和运用，让学生理解判别式与方程根的关系。

3.操练（15分钟）学生根据判别式的计算方法，分组讨论并解答教师提供的练习题，巩固所学知识。