珍藏二次函数的对称性学案
二次函数图象对称性的应用说课讲稿
二次函数图象对称性的应用说课稿各位老师，大家好！今天我说课的题目是二次函数图象对称性在解决相关问题中的应用，下面我将从以下几个方面进行阐述：首先，我对本节教材进行简要分析。
1. 说教材本节内容是北师大版九年级数学下册第二章第四节。
在此之前，学生已学习了二次函数的概念和二次函数的图象及其简单性质。
本节内容是对二次函数图象及其性质的相关知识的复习总结和综合运用，是后续研究二次函数图象的变换的基础。
2. 说目标【知识与技能】：(1)．复习巩固二次函数图象及其性质的相关知识：(2)．运用二次函数图象对称性解决相关问题。
【过程与方法】：(1)．通过对二次函数图象及其性质的相关知识的复习，掌握求解二次函数图象及其性质的题目的基本方法和思路，领悟数形结合的数学思想方法；(2)．综合运用所学知识、方法去解决数学问题，培养学生提出、分析、解决、归纳问题的数学能力，改善学生的数学思维品质；(3)．运用数学的思想方法去观察、研究和解决实际问题，体验数学建模的思想。
培养学生运用二次函数对称性及其它相关知识解决数学综合题和实际问题的能力。
【情感与态度目标】：在数学教学中渗透美的教育，让学生感受二次函数图象的对称之美，激发学生的学习兴趣。
运用二次函数解决实际问题，使学生进一步认识到数学源于生活，用于生活的辩证观点。
3.说教学重难点本节课中的教学重点是梳理所学过的二次函数及其性质的相关内容，建构符合学生认知结构的知识体系，教学难点是运用数形结合的思想，选用恰当的数学关系式解决二次函数的问题，以及把实际问题转化成二次函数问题并利用二次函数的性质来解决。
4. 说教学方法学生思考，教师分析，解题小结三个环节。
学法指导：让学生从问题中尝试、归纳、总结，自主探究问题。
5.说教学过程（一）复习引入引导学生复习回忆二次函数的图象及性质，重点回顾二次函数的对称性。
（二）通过回忆对二次函数图象及其性质的相关知识进行重构（三）综合运用二次函数图象及其性质的相关知识和方法解题通过对二次函数图象及其性质的相关知识的复习，让学生运用相关概念、性质进行解题，采用学生思考，教师分析，解题小结三个环节构成的练习题讲解模式，培养学生的解题能力。
最新二次函数图象对称性的应用说课稿电子教案
二次函数图象对称性的应用说课稿各位老师，大家好！今天我说课的题目是二次函数图象对称性在解决相关问题中的应用，下面我将从以下几个方面进行阐述：首先，我对本节教材进行简要分析。
1. 说教材本节内容是北师大版九年级数学下册第二章第四节。
在此之前，学生已学习了二次函数的概念和二次函数的图象及其简单性质。
本节内容是对二次函数图象及其性质的相关知识的复习总结和综合运用，是后续研究二次函数图象的变换的基础。
2. 说目标【知识与技能】：(1)．复习巩固二次函数图象及其性质的相关知识：(2)．运用二次函数图象对称性解决相关问题。
【过程与方法】：(1)．通过对二次函数图象及其性质的相关知识的复习，掌握求解二次函数图象及其性质的题目的基本方法和思路，领悟数形结合的数学思想方法；(2)．综合运用所学知识、方法去解决数学问题，培养学生提出、分析、解决、归纳问题的数学能力，改善学生的数学思维品质；(3)．运用数学的思想方法去观察、研究和解决实际问题，体验数学建模的思想。
培养学生运用二次函数对称性及其它相关知识解决数学综合题和实际问题的能力。
【情感与态度目标】：在数学教学中渗透美的教育，让学生感受二次函数图象的对称之美，激发学生的学习兴趣。
运用二次函数解决实际问题，使学生进一步认识到数学源于生活，用于生活的辩证观点。
3.说教学重难点本节课中的教学重点是梳理所学过的二次函数及其性质的相关内容，建构符合学生认知结构的知识体系，教学难点是运用数形结合的思想，选用恰当的数学关系式解决二次函数的问题，以及把实际问题转化成二次函数问题并利用二次函数的性质来解决。
4. 说教学方法学生思考，教师分析，解题小结三个环节。
学法指导：让学生从问题中尝试、归纳、总结，自主探究问题。
5.说教学过程（一）复习引入引导学生复习回忆二次函数的图象及性质，重点回顾二次函数的对称性。
（二）通过回忆对二次函数图象及其性质的相关知识进行重构（三）综合运用二次函数图象及其性质的相关知识和方法解题通过对二次函数图象及其性质的相关知识的复习，让学生运用相关概念、性质进行解题，采用学生思考，教师分析，解题小结三个环节构成的练习题讲解模式，培养学生的解题能力。
二次函数的对称性
(一)、教学内容1.二次函数得解析式六种形式①一般式y＝ax2 +bx+c(a≠0)②顶点式（a≠０已知顶点)③交点式(a≠0已知二次函数与X轴得交点）④y=ax２(ａ≠0）（顶点在原点）⑤y=ax２＋c(a≠0) (顶点在y轴上)⑥ｙ=ax2 +ｂx (a≠０) (图象过原点)2.二次函数图像与性质对称轴:顶点坐标:与y轴交点坐标(0,c)增减性:当a＞0时，对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,ｙ随x增大而增大ﻩ当a<０时,对称轴左边，y随x增大而增大;对称轴右边，y随x增大而减小☆二次函数得对称性二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴:与抛物线y=ax2 ＋ｂx+c(a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y=ａx２-bｘ+c(a≠0)与抛物线y=ax2 +ｂx+c(a≠0）关于x轴对称得函数解析式:y=-ax2–bx-c(a≠0）当a>0时，离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大；当a＜０时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大;【典型例题】题型 1 求二次函数得对称轴1、二次函数y＝－ｍx+3得对称轴为直线x=３,则m=_＿_____＿。
2、二次函数得图像上有两点(３，-８)与(－5，-8）,则此拋物线得对称轴就是( ) (A) (Ｂ） (C) (D)3、y=２ｘ－４得顶点坐标为___ ___＿_，对称轴为___＿__＿___。
4、如图就是二次函数y＝ａx２+bx＋c图象得一部分,图象过点Ａ(－3,0)，对称轴为x=-１.求它与x轴得另一个交点得坐标( , )5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( )A、 B、C、或D、或6、如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(3,0),则得值为 ( ）A、0B、－1C、 1D、２题型2 比较二次函数得函数值大小1、、若二次函数,当x取，(≠)时，函数值相等,则当x取＋时,函数值为( )(A)a＋c （B）a-c （C)-ｃ (D)ｃ2、若二次函数得图像开口向上,与x轴得交点为(4,0),(-2,0）知,此抛物线得对称轴为直线x=1,此时时,对应得y1 与ｙ２得大小关系就是( )Ａ．y1 <ｙ2Ｂ、 y１=y２Ｃ、 y1＞y２Ｄ、不确定点拨:本题可用两种解法yxO–1 13O–1 331解法1:利用二次函数得对称性以及抛物线上函数值y随x得变化规律确定:a>0时，抛物线上越远离对称轴得点对应得函数值越大;a<0时,抛物线上越靠近对称轴得点对应得函数值越大解法2:求值法:将已知两点代入函数解析式,求出a,b得值再把横坐标值代入求出ｙ1 与y２得值,进而比较它们得大小变式１：已知二次函数上两点,试比较得大小变式２:已知二次函数上两点，试比较得大小变式3:已知二次函数得图像与得图像关于y轴对称,就是前者图像上得两点，试比较得大小题型3 与二次函数得图象关于x、y轴对称:二次函数就是轴对称图形，有这样一个结论:当横坐标为x1，x２其对应得纵坐标相等那么对称轴：与抛物线y＝ax2 +bx+c（a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y＝ａx２-bｘ＋ｃ(a≠０)与抛物线y=aｘ2+bx+ｃ（a≠0)关于x轴对称得函数解析式:y=-aｘ2 –bx-c(a≠０)１、把抛物线y＝-2x2+4x＋３沿x轴翻折后，则所得得抛物线关系式为____ __＿＿2、与y＝ -3x+关于Ｙ轴对称得抛物线_＿_＿_____＿_____＿3、求将二次函数得图象绕着顶点旋转１80°后得到得函数图象得解析式。
二次函数教案设计
二次函数教案设计教案标题：二次函数教案设计教案目标：1. 理解二次函数的概念和性质。
2. 掌握二次函数的图像、顶点、轴对称、零点等基本特征。
3. 能够解决与二次函数相关的实际问题。
4. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教案设计：课时安排：本教案设计为5个课时。
课时一：二次函数的概念和性质1. 引导学生回顾线性函数的概念和性质，并与二次函数进行对比。
2. 介绍二次函数的定义和一般形式：y = ax^2 + bx + c。
3. 解释二次函数的性质：对称性、单调性、最值等。
4. 给出一些例题进行讲解和练习。
课时二：二次函数的图像和顶点1. 引导学生通过改变a、b、c的值，观察二次函数图像的变化。
2. 解释二次函数图像的顶点概念和计算方法。
3. 讲解顶点坐标与二次函数的关系。
4. 给出一些例题进行讲解和练习。
课时三：二次函数的轴对称和零点1. 引导学生观察二次函数图像的轴对称性质。
2. 解释二次函数图像的轴对称轴的概念和计算方法。
3. 讲解二次函数的零点概念和计算方法。
4. 给出一些例题进行讲解和练习。
课时四：二次函数的实际问题1. 引导学生思考与二次函数相关的实际问题，如抛物线运动、面积最大等。
2. 解决一些实际问题的例题，让学生应用二次函数解决问题。
3. 引导学生总结解决实际问题的思路和方法。
课时五：综合练习和评价1. 给学生一些综合练习题，涵盖二次函数的各个知识点。
2. 鼓励学生互相交流和讨论解题思路。
3. 对学生进行个人评价和反馈，鼓励他们继续努力。
教学方法和手段：1. 案例分析法：通过实际问题的案例分析，引导学生理解和应用二次函数的知识。
2. 讨论和合作学习：鼓励学生在小组内进行讨论和合作，促进思维碰撞和知识交流。
3. 图像展示和可视化：利用投影仪或白板等工具展示二次函数的图像，帮助学生直观理解。
4. 提问和解答：通过提问引导学生思考和回答问题，激发他们的学习兴趣和思维能力。
评价方式：1. 课堂表现评价：包括学生的参与度、思考能力和解题方法等。
(完整版)二次函数对称性
（一）、教学内容1. 二次函数的解析式六种形式① 一般式 y=ax 2+bx+c(a ≠0) ② 顶点式 2()y a x h k =-+（a ≠0已知顶点）③ 交点式 12()()y a x x x x =--（a ≠0已知二次函数与X 轴的交点） ④ y=ax 2(a ≠0) (顶点在原点) ⑤ y=ax2+c (a ≠0) (顶点在y 轴上)⑥ y= ax 2+bx (a ≠0) (图象过原点) 2. 二次函数图像与性质对称轴：2b x a=-顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- 与y 轴交点坐标（0，c ） 增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小☆ 二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:122x x x += 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a ≠0) 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a ≠0)当a>0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大； 当a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；【典型例题】题型 1 求二次函数的对称轴1、 二次函数y=2x -mx+3的对称轴为直线x=3，则m=________。
2、 二次函数c bx x y ++=2的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） （A ）1x =- （B ）1x = （C ）2x = （D ）3x =3、 y=2x 2-4的顶点坐标为___ _____，对称轴为__________。
4、 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．求它与x 轴的另一个交点的坐标（ ， ）y xO5、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则x 的取值范围是（ ）A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x6、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 （ ）A. 0B. －1C. 1D. 2题型2 比较二次函数的函数值大小 1、、若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+时，函数值为（ ）（A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c2、 若二次函数24y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1 <y 2 B. y 1 =y 2 C. y 1 >y 2 D.不确定 点拨：本题可用两种解法解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y 随x 的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大 解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a ，b 的值 再把横坐标值代入求出y 1 与y 2 的值，进而比较它们的大小变式1：已知12(2,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小变式2：已知12(0,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小变式3：已知二次函数2y ax bx m =++的图像与22y x x m =-++的图像关于y 轴对称，12(2,),(3,)q q --是前者图像上的两点，试比较12q q 与的大小题型3 与二次函数的图象关于x 、y 轴对称：y–1 1 3Oxy–1 3 3O xP1二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:122x x x += 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a ≠0) 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a ≠0)1、把抛物线y =-2x 2+4x +3沿x 轴翻折后，则所得的抛物线关系式为____ ____2、与y= 212x -3x+25关于Y 轴对称的抛物线________________3、求将二次函数3x 2x y 2+--=的图象绕着顶点旋转180°后得到的函数图象的解析式。
二次函数的性质与图像教案
二次函数的性质与图像教案一、教学目标：1. 理解二次函数的定义和标准形式；2. 掌握二次函数的性质，包括对称轴、顶点、开口方向等；3. 能够绘制和分析二次函数的图像；4. 能够应用二次函数解决实际问题。
二、教学内容：1. 二次函数的定义和标准形式；2. 二次函数的性质：对称轴、顶点、开口方向；3. 二次函数的图像：抛物线的基本形状；4. 实际问题中的应用。
三、教学方法：1. 讲授法：讲解二次函数的定义、性质和图像；2. 案例分析法：分析实际问题中的二次函数；3. 互动讨论法：引导学生参与课堂讨论，巩固知识点；4. 实践操作法：让学生动手绘制二次函数的图像，加深理解。
四、教学准备：1. 教学PPT：包含二次函数的定义、性质、图像及实际问题；2. 练习题：用于巩固所学知识；3. 绘图工具：如直尺、圆规等，用于绘制二次函数的图像。
五、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题引入二次函数的概念；2. 讲解：讲解二次函数的定义、性质和图像，引导学生理解；3. 案例分析：分析实际问题中的二次函数，让学生学会应用；4. 互动讨论：引导学生参与课堂讨论，巩固知识点；5. 实践操作：让学生动手绘制二次函数的图像，加深理解；6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点；7. 布置作业：让学生通过练习题巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对二次函数定义和性质的理解；2. 练习题：布置针对性的练习题，评估学生对二次函数图像分析的能力；3. 小组讨论：评估学生在团队合作中解决问题的能力；4. 作业反馈：收集学生作业，评估其对课堂所学知识的掌握程度。
七、教学拓展：1. 探讨二次函数在实际生活中的应用，如抛物线镜面、物理运动等；2. 介绍二次函数相关的数学历史故事，激发学生兴趣；3. 引导学生探究二次函数的其它性质，如最大值、最小值等；4. 组织数学竞赛，提高学生的学习积极性。
八、教学反思：1. 反思教学方法：根据学生反馈，调整教学方法，提高教学效果；2. 反思教学内容：确保教学内容符合学生认知水平，适当调整难度；3. 反思教学过程：关注学生在课堂上的参与度，优化教学过程；4. 及时与学生沟通：了解学生的学习需求，调整教学策略。
1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性 学案(含答案)
1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性学案（含答案）1.2.8二次函数的图象和性质对称性学习目标1.能说出奇函数和偶函数的定义.2.会判断具体函数的奇偶性.3.会分析二次函数图象的对称性.4.能求一个二次函数在闭区间上的最值知识链接函数yx的图象关于原点对称，yx2的图象关于y轴对称预习导引1函数的奇偶性1如果对一切使Fx有定义的x，Fx也有定义，并且FxFx成立，则称Fx为偶函数；2如果对一切使Fx有定义的x，Fx也有定义，并且FxFx成立，则称Fx为奇函数2二次函数图象的对称性1二次函数fxax2bxca0的图象的对称轴是直线x；2如果函数fx对任意的h都有fshfsh，那么fx的图象关于直线xs对称.题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性1fxx3x；2fx|x2||x2|；3fxx2；4fx；5fx.解1函数定义域为R，且fxx3xx3xx3xfx，所以该函数是奇函数；2函数定义域为R，且fx|x2||x2||x2||x2|fx，所以该函数是偶函数；3函数定义域是x|x0，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；4函数定义域是x|x1，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；5要使函数有意义，需满足解得x2，即函数的定义域是2，2，这时fx0.所以fxfx，fxfx，因此该函数既是奇函数又是偶函数规律方法1.判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法1定义法若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断fx是否等于fx，或判断fxfx是否等于0，从而确定奇偶性注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定2图象法若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数3还有如下性质可判定函数奇偶性偶函数的和.差.积.商分母不为零仍为偶函数；奇函数的和.差仍为奇函数；奇偶数个奇函数的积.商分母不为零为奇偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数注利用以上结论时要注意各函数的定义域2判断函数奇偶性前，不宜盲目化简函数解析式，若必须化简，要在定义域的限制之下进行，否则很容易影响判断，得到错误结果跟踪演练1判断下列函数的奇偶性1fx；2fx；3fxx21.解1函数定义域为R，且fxfx故该函数是奇函数；2函数定义域为x|x1，关于原点对称，且fxfx故fx是偶函数3函数定义域是x|x1，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数题型二函数奇偶性的简单应用例21设fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fx2x2x，则f1等于A3B1C1D32若函数fxx33xa是奇函数，则实数a________.答案1A20解析1因为当x0时，fx2x2x，所以f121213.又fx是奇函数，所以f1f13，选A.2方法一因为fx是奇函数，所以fxfx对任意xR都成立，即x33xax33xa对任意xR都成立所以a0.方法二因为fx是奇函数且在x0处有定义必有f00，即0330a0，解得a0.规律方法1.利用奇偶性求值时，主要根据fx与fx的关系将未知转化为已知求解，若需要借助解析式求值，代入自变量值时，该自变量值必须在该解析式对应的区间上，否则不能代入求值，而应转化2已知函数是奇函数或偶函数，求解析式中参数值时，通常有两种方法一是利用奇.偶函数的定义建立关于参数的方程求解，二是采用特殊值法，尤其是在x0处有定义的奇函数，还可根据f00求解跟踪演练21已知fx是偶函数，且f45，那么f4f4的值为A5B10C8D不确定2若函数yx1xa为偶函数，则a等于A2B1C1D2答案1B2C解析1fx是偶函数，f4f4f4f42f42510.2fx是偶函数，fxfx对任意xR都成立，即x1xax1xa整理得2a1x0，xR，必有a10，即a1.题型三二次函数的区间最值问题例3已知函数fxx22ax2，x5,5用a表示出函数fx在区间5,5上的最值解函数fxx22ax2xa22a2的图象开口向上，对称轴为xa.当a5，即a5时，函数在区间5,5上递增，所以fxmaxf52710a，fxminf52710a；当5a0，即0a5时，函数图象如图1所示由图象可得fxminfa2a2，fxmaxf52710a；当0a5，即5a0时，函数图象如图2所示，由图象可得fxmaxf52710a，fxminfa2a2；当a5，即a5时，函数在区间5,5上递减，所以fxminf52710a，fxmaxf52710a.规律方法1.对于定义域为R的二次函数，其最值和值域可通过配方法求解2若求二次函数在某闭或开区间非R内的最值或值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论1若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；2若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域跟踪演练3求函数fxx2mx6m0在区间0,2上的最大值解fxx2mx6x26，该函数曲线开口向下，对称轴为直线x.1当2，即m4时，fx在0,2上单调递增，其最大值为f222m.2当02，即4m0时，fx在0,2上的最大值为f6.课堂达标1下列函数为奇函数的是Ay|x|By3xCyDyx24答案C解析A项和D项中的函数为偶函数，B项中的函数是非奇非偶函数，选C.2对于定义在R上的函数fx，给出下列判断1若f2f2，则函数fx是偶函数；2若f2f2，则函数fx不是偶函数；3若f2f2，则函数fx不是奇函数其中正确的判断的个数是A0B1C2D3答案B解析1仅有f2f2不足以确定函数的奇偶性，不满足奇函数.偶函数定义中的“任意”，故1错误；2当f2f2时，该函数就一定不是偶函数，故2正确；3若f2f2，则不能确定函数fx不是奇函数如若fx0，xR，则f2f2，但函数fx0，xR既是奇函数又是偶函数，故3错误3函数yA是奇函数B既是奇函数又是偶函数C是偶函数D是非奇非偶函数答案D解析函数定义域是x|x1，不关于原点对称，是非奇非偶函数，选D.4函数fx2x2x1在区间1,2上的值域是A，B7，4C7，D4，答案C解析由于fx2x2x12x2，而1,2，所以fx最大值是f，最小值为f27，故值域为7，，故选C.5如果定义在区间3a,5上的函数fx为偶函数，那么a________.答案8解析fx为区间3a,5上的偶函数，区间3a,5关于坐标原点对称，3a5，即a8.课堂小结1.在奇函数与偶函数的定义域中，都要求xD，xD，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了作为奇函数或偶函数的条件2解题中可以灵活运用fxfx0对奇偶性作出判断3奇函数fx若在x0处有意义，则必有f00.4奇函数.偶函数的图象特点反映了数和形的统一性5抛物线yax2bxca0的对称轴是直线x，开口方向由a确定，和x轴的位置关系由判别式b24ac确定.。
二次函数的对称性分析
二次函数的对称性分析一、对称轴对称轴是指二次函数图像上的一条直线，对称轴上的点关于该直线对称。
对称轴是二次函数的重要特征之一。
二次函数的标准形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
对称轴的求法如下：1. 先求出二次函数的顶点坐标，顶点坐标的x坐标为x_s = -b / (2a)；2. 对称轴与顶点坐标的x坐标相等；3. 对称轴的解析式为x = x_s。
二、顶点顶点是二次函数图像上的一个点，也是对称轴上的一个点。
顶点是二次函数的另一个重要特征。
1. 顶点的x坐标为 x_s = -b / (2a)，其中a、b、c为二次函数的系数，且a≠0；2. 顶点的y坐标可通过将x_s代入二次函数的解析式计算得出。
三、对称性二次函数具有关于对称轴的对称性。
1. 对于对称轴上的点，其关于对称轴的对称点也在二次函数图像上；2. 对于任意一点P（x, y）在二次函数图像上，它的对称点P'（x', y'）也在二次函数图像上；3. 对称性使得我们可以通过研究对称轴上的点和一侧的点来得出整个二次函数图像的形状。
四、开口方向二次函数的开口方向由二次项系数a的正负确定。
1. 当a > 0时，二次函数的图像开口向上，形状类似于一个"U"；2. 当a < 0时，二次函数的图像开口向下，形状类似于一个"∩"。
五、对称点和特殊情况1. 对称轴上的两个点关于对称轴对称，它们的y坐标相等；2. 在对称轴上，函数图像的两侧对称点的坐标关于对称轴对称；3. 当二次函数的系数满足特殊条件时，比如二次项系数a为0，此时二次函数为一次函数，对称轴和顶点的概念将失去意义。
六、例题分析举例分析一个二次函数图像的对称性：给定二次函数y = -2x^2 + 6x - 4。
1. 求对称轴：对称轴的解析式为x = -b / (2a)，带入a=-2、b=6可得x = -6 / (-4) = 3/2。
二次函数的性质教案
二次函数的性质教案教案主题：二次函数的性质教学目标：1. 了解二次函数的定义和一般形式。
2. 理解二次函数图像的特点和性质。
3. 掌握求解二次函数的顶点、轴对称、零点等常见问题的方法。
教学内容：1. 二次函数的定义和一般形式：- 二次函数定义：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
- 二次函数的一般形式：$y = ax^2 + bx + c$。
2. 二次函数图像的特点和性质：- 对称性：二次函数图像关于过顶点的直线对称。
- 开口方向：若 $a > 0$，则二次函数图像开口向上；若 $a <0$，则二次函数图像开口向下。
- 最值：若 $a > 0$，则二次函数图像的最小值为顶点；若 $a < 0$，则二次函数图像的最大值为顶点。
3. 二次函数的常见问题求解：- 求顶点：顶点的横坐标为 $x = \frac{-b}{2a}$，纵坐标为 $y = f\left(\frac{-b}{2a}\right)$。
- 求轴对称：轴对称为 $x = \frac{-b}{2a}$。
- 求零点：解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $x$ 的解即为零点。
教学步骤：1. 引入二次函数的定义和一般形式，解释二次函数图像的特点和性质。
2. 通过示例以及图形展示，让学生直观感受二次函数图像的对称性、开口方向和最值。
3. 教授如何求解二次函数的顶点、轴对称和零点的方法，让学生进行实践操作，并进行实例讲解。
4. 综合练习：提供一些应用题，帮助学生进一步巩固和运用所学知识。
教学资源和评估：1. 二次函数图像的示例和图形展示材料。
2. 二次函数求解顶点、轴对称和零点的练习题。
3. 学生的课堂表现、练习题的答案和讲解评估。
拓展延伸活动：1. 让学生研究二次函数参数对图像的影响，并画出不同参数下的图像。
2. 让学生探究二次函数的平移、伸缩和翻转等变换规律。
3. 引导学生进一步思考和探索二次函数的应用领域，如抛物线的应用等。
二次函数图像对称性教案
二次函数图像对称性教案一、课程目标本节课程主要讲解二次函数的图像对称性，通过理论讲解和实例演示，提高学生对二次函数图像对称性的认识和应用能力，为日后的学习打下坚实的基础。
二、教学重难点本节课程的重点是让学生理解二次函数的图像对称性，包括二次函数的轴对称和顶点对称；难点是如何灵活运用这些知识，在实际应用中解决实际问题。
三、教学内容1.二次函数的轴对称性轴对称是指图形左右对称，即以一条直线为轴，将图形分成左右两部分，两部分完全相同。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，它的图形在x轴上的对称轴为x = -b/2a。
例：图像为y = x² + 2x - 3，它的对称轴方程为x = -1。
2.二次函数的顶点对称性顶点对称是指图形上下对称，即以某点为中心，将图形分成上下两部分，两部分完全相同。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，它的图形在顶点处对称。
顶点的坐标为(-b/2a，f(-b/2a))。
例：图像为y = -2x² + 4x + 3，它的顶点坐标为(1, 1)。
3.实例演示(1) 已知函数y = x² - 8x + 16，求它的对称轴方程和顶点坐标。
解：将函数化为标准式，得到y = (x - 4)²。
对称轴方程为x = 4，顶点坐标为(4, 0)。
(2) 已知函数y = -3x² - 12x + 9，求它的对称轴方程和顶点坐标。
解：将函数化为标准式，得到y = -3(x + 2)² + 21。
对称轴方程为x = -2，顶点坐标为(-2, 21)。
四、教学过程1.导入新课教师用例子引入此课程的重点内容——二次函数的图像对称性，提示学生此部分的学习目标和难点，并告诉学生后续的学习方法：以例子为基础，理论分析和实践演示相结合。
2.理论讲解教师讲解二次函数的图像对称性，重点讲解轴对称和顶点对称的定义、特点和实现方法。
珍藏二次函数的对称性学案
二次函数的对称性的应用
一、探究活动：
1、（ 1）如图，抛物线的顶点坐标为（ 0，4），与 x 轴的一个交点坐标为
写出抛物线与 x 轴的另一个交点坐标 N(
)
（ 2）若抛物线上有一点 A 的横坐标为 1，则 A 点坐标为（ 1，
M （－ 2， 0），请 ），在抛物线
上与其对称点 B 的坐标是 (
你能写出抛物线的对称轴吗？
抛物线与 x 轴的交点坐标为
-3
0) 的函数值 y 与自变量 x 的对应值 .
0
3
5
6
…
－8
－5
7
16
…
，
如果有一个点为 (m, n) ，则其图象上的对称点为
.
y
4
初中 数学
2、（ 1）若 M是函数 y
x2 4 图象上对称轴右侧 x 轴上方的
Q
M
一个动点，其横坐标为 x ，四边形 MNPQ为矩形， P、N 在 x 轴上，
Q、 M在抛物线上，求四边形的周长 C与 x 之间的函数关系式 .
-2 P -1 0 -1
1 N2
（ 2）如果图象向右平移 3 个单位，设 M点横坐标为 x ，其它条件不变， 求周长 C 与 x 之间的函数关系式， 并求出当 x 取何值时，
y
C 最大？
Q
M
-1 0
1P
N
x
-1
y
通过以上的解题，你认为解决这类对称问题的关键是什么？
).你是怎样求出来的？请说明理由；
（ 3）如果有一点 C 的横坐标为 x ，则 C 点坐标怎么表示？ C（
）
则抛物线上与 C 点对称点的 D 的坐标是 D（
）
二次函数的像与性质教案
二次函数的像与性质教案一、引言二次函数是数学中常见的一种函数类型，具有很多重要的性质和特点。
本教案将介绍二次函数的像与性质，帮助学生深入理解和掌握这一内容。
二、二次函数的定义和性质回顾在开始讲解二次函数的像与性质之前，我们先回顾一下二次函数的定义和一些基本性质。
二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，a ≠ 0。
图像为一个抛物线，开口方向由系数a的正负决定。
基本性质包括：1. 对称轴：二次函数的对称轴为x = -b / (2a)。
2. 零点：二次函数的零点为方程ax^2 + bx + c = 0的解，可以通过求根公式或配方法求得。
3. 顶点：二次函数的顶点坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))。
4. 开口方向：若a > 0，则抛物线开口向上；若a < 0，则抛物线开口向下。
三、二次函数的像1. 范围：根据二次函数的开口方向，可以确定函数的取值范围。
例如，若抛物线开口向上，则函数的像为大于等于顶点的值；若抛物线开口向下，则函数的像为小于等于顶点的值。
2. 图像特点：通过观察二次函数的图像，可以得出以下结论：a) 若a > 0，则函数的像的最小值是顶点的纵坐标；b) 若a < 0，则函数的像的最大值是顶点的纵坐标；c) 若a ≠ 0，则函数的像不会无限制地增大或减小，存在一个上界或下界。
四、二次函数的性质1. 单调性：当二次函数的系数a > 0时，函数图像沿着对称轴从左向右递增；当系数a < 0时，函数图像沿着对称轴从左向右递减。
2. 凹凸性：根据二次函数的开口方向，可以得出以下结论：a) 若a > 0，则函数图像是开口向上的，凹曲；b) 若a < 0，则函数图像是开口向下的，凸曲。
3. 零点和根的关系：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，若其根为x1和x2，则有以下关系：a) x1 + x2 = -b / ab) x1 * x2 = c / a五、练习题为了巩固对二次函数的像与性质的理解，我们提供以下练习题供学生练习：1. 求解二次方程f(x) = 2x^2 + 3x - 2 = 0的根，并求其对称轴和顶点坐标。
高中数学同步学案 二次函数的图象和性质——对称性
1．2.8 二次函数的图象和性质——对称性函数的奇偶性已知两组函数(Ⅰ)f(x)＝x 2与f(x)＝|x|； (Ⅱ)f(x)＝x 与f(x)＝1x.(1)试分别作出它们的图象,并填写下表．表一x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝x 2f(x)＝|x|表二x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝x f(x)＝1x(2)观察这两组函数的图象,你能发现这两组函数各有什么几何特征？ (3)观察上面两个表格,你可以得出什么结论？1．偶函数如果对一切使F(x)有定义的x,F(－x)也有定义,并且F(－x)＝F(x)成立,则称F(x)为偶函数． 2．奇函数如果对一切使F(x)有定义的x,F(－x)也有定义,并且F(－x)＝－F(x)成立,则称F(x)为奇函数．1．对于函数f(x),若存在x,使得f(－x)＝f(x),则f(x)为偶函数,对吗？若使得f(－x)＝－f(x)呢？ [提示] 不对．必须是对定义域内的任意一个x,使得f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))．2．函数y ＝x|x|,x ∈(－1,1]是奇函数,对吗？当x ∈[－1,1]且x≠0时呢？由此你能得出什么结论？[提示] 不对,是非奇非偶函数．因为定义域(－1,1]含1但不含－1,f(－1)无意义．而当x ∈[－1,1]且x≠0时,是奇函数,由此可知,具有奇偶性的函数,其定义域必须关于原点对称.二次函数的对称性二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称性图 象a>0a<0性 质(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸 (2)对称轴是x ＝－b2a ,顶点坐标是－b 2a ,4ac －b 24a(2)对称轴是x ＝－b2a ,顶点坐标是－b 2a ,4ac －b 24a试求二次函数y ＝x 2＋2x －3的开口方向、对称轴、顶点坐标．[提示] 由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4知,a ＝1>0开口向上,对称轴是x ＝－1,顶点坐标为(－1,－4)．判断函数的奇偶性[例1] (1)f(x)＝|x ＋1|－|x －1|. (2)f(x)＝(x －1)·1＋x1－x. (3)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x>0，1－x ，x<0.[思路点拨] 解答本题可以先确定定义域并考察定义域是否关于原点对称,最后确定f(x)与f(－x)的关系并得出结论．[解] (1)函数的定义域为(－∞,＋∞),关于原点对称．因为f(－x)＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f(x)． ∴f(x)＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．(2)由于1＋x1－x ≥0,得－1≤x<1,其定义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)f(x)的定义域是(－∞,0)∪(0,＋∞),关于原点对称．当x>0时,－x<0,f(－x)＝1－(－x)＝1＋x ＝f(x)； 当x<0时,－x>0,f(－x)＝1＋(－x)＝1－x ＝f(x)．综上可知,对于x ∈(－∞,0)∪(0,＋∞),都有f(－x)＝f(x), f(x)为偶函数.借题发挥 判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x),或判断f(－x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称,则函数为偶函数.1．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x －1＋1－x ； (2)f(x)＝|x|＋x 2； (3)f(x)＝1－x 2＋x 2－1； (4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x>0，0，x ＝0，x ＋1，x<0.解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－x≥0，∴x ＝1.定义域为{1}．不关于原点对称, ∴函数f(x)为非奇非偶函数． (2)f(x)＝|x|＋x 2＝2|x|,定义域为(－∞,＋∞),关于原点对称． 具有f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x), ∴f(x)为偶函数．(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0，∴x ＝±1,这时f(x)＝0,定义域{－1,1}． ∴函数f(x)既是奇函数,又是偶函数．(4)法一：显然定义域为(－∞,＋∞),关于原点对称． 当x>0时,－x<0,则f(－x)＝1－x ＝－f(x), 当x<0时,－x>0,则f(－x)＝－x －1＝－f(x)． 而f(－0)＝f(0)＝－f(0)＝0. ∴f(x)为奇函数．法二：作出函数f(x)的图象,可知f(x)的图象关于原点对称,所以f(x)为奇函数.奇偶函数的图象及应用[例2] (1)奇函数y ＝f(x)(x ∈R)的图象必过点( ) A ．(a,f(－a)) B ．(－a,f(a)) C ．(－a,－f(a))D ．(a,f(1a))(2)设偶函数f(x)的定义域为[－5,5],若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是________．[思路点拨] 根据奇函数、偶函数的图象特征(对称性)求解．[解析] (1)根据奇函数图象的特征：奇函数的图象关于原点对称,知点(a,f(a))在其图象上,则它关于原点的对称点(－a,－f(a))也必在其图象上．(2)由于偶函数的图象关于y 轴对称,所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解．∵当x ∈[0,5]时,f(x)<0的解为2<x≤5,所以当x ∈[－5,0]时,f(x)<0的解为－5≤x<－2.∴f(x)<0的解是－5≤x<－2或2<x≤5. [答案] (1)C (2){x|－5≤x<－2或2<x≤5} 借题发挥 (1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形；反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数．(2)如果一个函数是偶函数,则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之,如果一个函数的图象是以y 轴为对称轴的对称图形,则这个函数是偶函数.2．(1)如图①,给出奇函数y ＝f(x)的局部图象,作出y 轴右侧的图象并求f(3)的值； (2)如图②,给出偶函数的局部图象,比较f(1)与f(3)的大小,并作出它的y 轴右侧的图象．解：(1)奇函数的图象关于原点成中心对称,因此图①为补充右侧图象后的图象,由图知f(3)＝－2. (2)偶函数的图象关于y 轴成轴对称,因此图②为补充右侧图象后的图象．由图象知f(1)>f(3)．二次函数的对称性与最值[例3] 已知二次函数f(x)＝x 2－2x ＋2. (1)当x ∈[－3,0]时,求f(x)的最值． (2)当x ∈[－3,3]时,求f(x)的最值．(3)当x ∈[t,t ＋1](t ∈R)时,求f(x)的最小值g(t)．[思路点拨] 把二次函数配方确定对称轴,(1)(2)根据区间直接求最值,(3)利用对称轴和区间的关系,展开分类讨论．[解] f(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1,其对称轴为x ＝1,开口向上． (1)当x ∈[－3,0]时,f(x)在[－3,0]上为减函数,故当x ＝－3时,f(x)有最大值f(－3)＝17. 当x ＝0时,f(x)有最小值f(0)＝2. (2)当x ∈[－3,3]时,f(x)是先减后增, 当x ＝1时,f(x)有最小值f(1)＝1. ∵|－3－1|>|3－1|,∴当x ＝－3时,f(x)有最大值f(－3)＝17.(3)①当t ＋1≤1,即t≤0时,由图(1)知,截取减区间上的一段,g(t) ＝f(t ＋1)＝t 2＋1；②当1＜t ＋1≤2,即0＜t≤1时,正巧将顶点截取在内,g(t)＝f(1)＝1(见图(2))； ③当t ＋1＞2,即t ＞1时,由图(3)可知,截取增区间上的一段,g(t)＝f(t)＝t 2－2t＋2.综上可知,g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1， t≤0，1， 0＜t≤1，t 2－2t ＋2， t ＞1.借题发挥二次函数在给定区间[m,n]上的最值求解有以下三种情况：①对称轴与区间[m,n]都是确定的；②动轴定区间,即对称轴不确定,区间[m,n]是确定的；③定轴动区间,即对称轴是确定的,区间[m,n]不确定．对于以上三种情况,①采用数形结合,较易解决；②和③应按对称轴和区间的位置关系分类求解,分轴在区间的左侧、内部、右侧三类.3．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2,x∈[－1,1],求函数f(x)的最小值．解：函数f(x)的对称轴为x＝a,且开口向上,如图所示,当a>1时,f(x)在[－1,1]上单调递减,故f(x)min＝f(1)＝3－2a；当－1≤a≤1时,f(x)在[－1,1]上先减后增,故f(x)min＝f(a)＝2－a2；当a<－1时,f(x)在[－1,1]上单调递增,故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.综上可知,f(x)min＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a，a>1，2－a2，－1≤a≤1，3＋2a，a<－1.1．下列函数中,既是奇函数又是偶函数的是( )A．f(x)＝x2－1＋1－x2B．f(x)＝1－x＋x－1C．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x，x≥0，－x，x＜0D．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≥0，－1，x＜0解析：选A f(x)＝x2－1＋1－x2的定义域为{1,－1},则f(x)＝0.故选A.2．定义在R 上的偶函数f(x),在x>0上是增函数,则( ) A ．f(3)<f(－4)<f(－π) B ．f(－π)<f (－4)<f(3) C ．f(3)<f(－π)<f(－4) D ．f(－4)<f(－π)<f(3)解析：选C f(－4)＝f(4),f(－π)＝f(π)． ∵f(x)在(0,＋∞)上单调递增, ∴f(3)<f(π)<f(4), 即f(3)<f(－π)<f(－4)．3．二次函数y ＝1－6x －3x 2的顶点坐标和对称轴方程分别为( ) A ．顶点(1,4),对称轴x ＝1 B ．顶点(－1,4),对称轴x ＝－1 C ．顶点(1,4),对称轴x ＝4 D ．顶点(－1,4),对称轴x ＝4解析：选B ∵y ＝1－6x －3x 2＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x 2＋2x ＋1)＋4＝－3(x ＋1)2＋4, ∴y ＝1－6x －3x 2的顶点坐标为(－1,4),对称轴方程为x ＝－1.4．若f(x)＝x 2＋(a ＋2)x ＋3,x ∈[a,b]的图象关于x ＝1对称,则b ＝________. 解析：若f(x)＝x 2＋(a ＋2)x ＋3,x ∈[a,b]的图象关于x ＝1对称, ∴a ＋b ＝2.－a ＋22＝1,∴a ＝－4,∴b ＝2－a ＝6. 答案：65．若函数f(x)＝(x ＋1)(x －a)为偶函数,则a ＝________. 解析：∵f(x)为偶函数,∴f(－1)＝f(1)． 即0＝2(1－a),∴a ＝1. 答案：16．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1－m)<f(m),求实数m 的取值范围． 解：因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数, 所以f(x)在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧1－m>m ，－2≤m≤2，－2≤1－m≤2，解得－1≤m<12.所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.通过这节课的学习,你还能总结出奇偶函数的其他一些性质吗？奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．奇(偶)函数除有对称性外,还有在公共的定义域内： ①两个奇(偶)函数的和与差仍为奇(偶)函数； ②两个奇(偶)函数的积是偶函数； ③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数； ④函数f(x)与1f x有相同的奇偶性．一、选择题1．若函数f(x) 是R 上的奇函数,则下列关系式恒成立的是( ) A ．f(x)－f(－x)≥0 B ．f(x)－f(－x)≤0 C ．f(x)·f(－x)≤0D ．f(x)·f(－x)≥0解析：选C ∵f(x)是R 上的奇函数, ∴f(－x)＝－f(x),∴f(x)·f(－x)＝f(x)·[－f(x)] ＝－[f(x)]2≤0.2．下列函数：①y ＝x 2－x ；②y ＝x 2－|x|；③y ＝x 3－xx －1；④y ＝5；⑤y ＝|3x ＋2|－|3x －2|,其中具有奇偶性的为( )A ．①③⑤B ．②③④C ．②④⑤D ．③④⑤解析：选C 对于①,f(－1)＝2,f(1)＝0.∴f(－1)≠f(1),且f(－1)≠－f(1),是非奇非偶函数．对于②,定义域为R,且f(－x)＝x 2－|x|＝f(x),是偶函数；对于③,定义域为(－∞,1)∪(1,＋∞),不关于原点对称,∴不具有奇偶性．④中函数是偶函数．对于⑤,定义域为R,且满足f(－x)＝|－3x ＋2|－|－3x －2|＝－(|3x ＋2|－|3x －2|)＝－f(x)为奇函数．∴②④⑤具有奇偶性．3．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)与(2,5)两点,则这个二次函数( ) A ．过点(0,1)B ．顶点为(1,－4)C ．对称轴为x ＝－1D ．与x 轴无交点解析：选C ∵y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)与(2,5),∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝04＋2b ＋c ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝－3,∴f(x)＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4, ∴对称轴为x ＝－1.4．已知偶函数f(x)在[0,＋∞)上单调递减,则f(1)和f(－10)的大小关系为( ) A ．f(1)>f(－10) B ．f(1)<f(－10)C ．f(1)＝f(－10)D ．f(1)和f(－10)关系不定解析：选A ∵f(x)是偶函数,∴f(－10)＝f(10)． 又f(x)在[0,＋∞)上单调递减,且1<10, ∴f(1)>f(10),即f(1)>f(－10)． 二、填空题5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ∈(－∞,0)时,f(x)＝2x 3＋x 2,则f(2)＝________.解析：由已知得,f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12, 又函数f(x)是奇函数,所以f(2)＝－f(－2)＝12. 答案：126．已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数,且定义域为[a －1,2a],则a ＝________,b ＝________. 解析：∵f(x)为偶函数,∴对定义域内的任意实数x 都有f(－x)＝f(x)． ∴ax 2－bx ＋3a ＋b ＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 恒成立．∴b ＝0.∴f(x)＝ax 2＋3a. 又f(x)的定义域为[a －1,2a], ∴(a －1)＋2a ＝0,∴a ＝13.答案：13 0三、解答题7．已知f(x)是R 上的奇函数,且当x>0时,f(x)＝－x 2＋2x ＋2. (1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象,并指出f(x)的单调区间． 解：(1)设x<0,则－x>0,所以f(－x)＝－(－x)2－2x ＋2＝－x 2－2x ＋2, 又∵f(x)为奇函数,∴f(－x)＝－f(x),∴f(x)＝x 2＋2x －2, 又f(0)＝0,∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x<0，0，x ＝0，－x 2＋2x ＋2，x>0.(2)先画出y ＝f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f(x)(x<0)的图象,其图象如图所示．由图可知,其增区间为[－1,0)和(0,1], 减区间为(－∞,－1]和[1,＋∞)． 8．已知函数y ＝f(x)＝－12x 2－3x －52.(1)求这个函数的顶点坐标和对称轴；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝158,不计算函数值,求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52；(3)不直接计算函数值,试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154的大小．解：y ＝－12x 2－3x －52＝－12(x 2＋6x ＋5)＝－12(x ＋3)2＋2.(1)顶点坐标为(－3,2),对称轴为x ＝－3.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝f(－3.5)＝f(－3－0.5) ＝f(－3＋0.5)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝158.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94, ∵－14,－94∈[－3,＋∞),而f(x)在[－3,＋∞)上是减函数．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154.。
最新高三教案-函数的对称性奇偶性 精品
函数的对称性、周期性知识点及方法对称性、周期性的概念；函数的奇偶性；二次函数的对称性；对称性、周期性与函数的解析式；化归思想二次函数的对称性1． 已知)(x f 是二次函数，图象开口向上,)2()2(x f x f -=+, 比较)22(),1(f f 大小。
2． 若二次函数)(x f 的图象开口向下，且f(x)=f(4-x),比较)22(),1(),0(f f f -的大小。
3． 二次函数32)(22+-+-=m mx x x f 满足)2()2(--=-x f x f ,求)(x f 的顶点的坐标。
4． 已知)0()(2>++=a c bx ax x f ,且)7()3(x f x f +=-.（1）写出b a ,的关系式 （2）指出)(x f 的单调区间。
5． 设二次函数)(x f 满足)2()2(+=-x f x f ,图象与y 轴交点为（0, 2），与x 轴两交点间的距离为2，求)(x f 的解析式。
函数的对称性、周期性与函数的解析式1． 已知)(x f 是奇函数，当0≥x 时，)1lg()(2++=x x x f ,求)(x f 的解析式. 2． 已知)(x f 是偶函数，当0≤x 时，1)(3+=x x f ,求)(x f 的解析式.3． 已知函数的)(x g 图象与函数29)(2+-=x x x f 的图象关于原点成中心对称, 求)(x g 的解析式。
4． 设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，若当x ≤1时，y =x 2＋1，求当x >1时, ,f (x )的解析式. 5． 设 1)(+=x x f , 求 )1(+x f 关于直线2=x 对称的曲线的解析式. 6． 已知函数)1(-=x f y 是偶函数，且x ∈(0,+∞)时有f (x )=x1, 求当x ∈(－∞,－2)时, 求)(x f y = 的解析式.7． 已知函数)(x f 是偶函数，当)1,0[∈x 时，,1)(x x f -=又)(x f 的图象关于直线1=x 对称，求)(x f 在)6,5[的解析式. 定义在R 上的偶函数)(x f 满足).2()2(x f x f -=+且当]0,2[-∈x 时,45)21()(-=x x f .（1）求)(x f 的单调区间;（2）求)60(log 2f 的值.8． 定义在R 上的函数f (x )以4为周期,当x ∈[－1,3]时,f (x )=|x －1|－1, 求当x ∈[－1621,－1421]时f (x )的最小值。
高中数学 第二章 函数 2.4.2 二次函数的性质问题导学案 北师大版必修1
2.4.2 二次函数的性质问题导学一、二次函数的对称性和单调性活动与探究1已知函数f (x )＝－2x 2－4x ＋c . (1)求该函数图像的对称轴； (2)若f (－5)＝4，求f (3)的值．迁移与应用若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (－2)＝f (4)． (1)求f (x )图像的对称轴；(2)比较f (－1)与f (5)的大小．1．二次函数图像的对称轴通常有以下三种求法：(1)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝－b2a .(2)若二次函数f (x )对任意x 1，x 2∈R 都有f (x 1)＝f (x 2)，则对称轴为x ＝x 1＋x 22.(3)若二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x 都有f (a ＋x )＝f (a －x )，则对称轴为x ＝a (a 为常数)．2．利用对称性，结合开口方向，可以比较二次函数函数值的大小． (1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小； (2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大． 二、二次函数在某区间上的最值(值域)活动与探究2已知函数f (x )＝－x 2＋kx ＋k 在区间[2,4]上具有单调性，求实数k 的取值范围．迁移与应用已知二次函数f (x )＝x 2＋2(m －2)x ＋m －m 2，若函数在区间[2，＋∞)上为增加的，求m 的取值范围．(1)利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的范围，这是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴，通过集合间的关系建立变量之间的关系，进而求解参数的取值范围．(2)函数在区间(a ，b )上单调与函数的单调区间是(a ，b )的含义不同，注意区分．前者只能说明(a ，b )是相应单调区间的一个子集；而后者说明a ，b 就是增减区间的分界点，即函数在a ，b 两侧具有相反的单调性．活动与探究3已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)用a 表示出函数f (x )在区间[－5,5]上的最值．迁移与应用1．函数y ＝3x 2－6x ＋1，x ∈[0,3]的最大值是__________，最小值是__________．2．设f (x )＝x 2－4x －4，x ∈[t ，t ＋1](t ∈R )，求函数f (x )的最小值g (t )的解析式．求二次函数在某区间上的最值问题，要注意：(1)考虑二次函数的对称轴在该区间的两侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；(2)当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．三、二次函数的实际应用问题活动与探究4某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？迁移与应用某动物园为迎接大熊猫，要建造两间一面靠墙的大小相同且紧挨着的长方形熊猫居室，若可供建造围墙的材料长30米，那么宽为__________米时，所建造的熊猫居室面积最大，最大面积是__________平方米．解实际应用问题的方法步骤当堂检测1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则( )．A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝12．函数y＝x2＋bx＋c在x∈[0，＋∞)上是递增的，则( )．A．b≥0 B．b≤0C．b＞0 D．b＜03．函数f(x)＝－2x2＋4x－1在区间[－1,4]上的最大值与最小值分别是( )．A．1，－7 B．1，－17C．－7，－17 D．－7，－164．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y＝－3x2＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为( )．A．10件 B．15件 C．20件 D．30件5．已知函数y＝f(x)＝3x2＋2x＋1.(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴； (2)求函数的最小值；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1，不计算函数值，求f (0)； (4)不直接计算函数值，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫154的大小．答案：课前预习导学 【预习导引】上 下 －b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 低 －b 2a 4ac －b 24a 高 －b 2a 4ac －b 24a 预习交流1 (1)提示：二次函数的单调区间主要取决于其开口方向(与a 有关)和对称轴(与－b2a有关)．(2)提示：二次函数在一个闭区间上一定同时存在最大值与最小值，并且最值都是在该闭区间的端点或二次函数的对称轴处取到．预习交流2 提示：直线x ＝a . 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)通过配方可得对称轴方程；(2)可先由f (－5)＝4求得c 的值，确定解析式后再计算f (3)的值，也可直接利用对称性计算．解：(1)由于f (x )＝－2x 2－4x ＋c ＝－2(x ＋1)2＋c ＋2. 所以其图像的对称轴为x ＝－1.(2)方法一：由f (－5)＝4可得－2×(－5)2－4×(－5)＋c ＝4，于是c ＝34，因此f (x )＝－2x 2－4x ＋34.所以f (3)＝－2×32－4×3＋34＝4.方法二：由于f (x )的图像关于x ＝－1对称， 又－5和3关于x ＝－1对称，所以f (－5)＝f (3)，而f (－5)＝4，故f (3)＝4.迁移与应用 解：(1)由于f (－2)＝f (4)，而－2和4关于x ＝1对称，所以f (x )图像的对称轴是x ＝1.(2)函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 图像的开口向上，对称轴为x ＝1，所以离对称轴越近，函数值越小．而|－1－1|＝2，|5－1|＝4， 所以f (－1)＜f (5)．活动与探究2 思路分析：首先求出f (x )的单调区间，要使f (x )在[2,4]上具有单调性，须使区间[2,4]为f (x )单调区间的子集．从而建立不等式求解k 的取值范围．解：f (x )＝－x 2＋kx ＋k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 22＋k 2＋4k 4，f (x )的图像是开口向下的抛物线，对称轴是直线x ＝k2.要使f (x )在区间[2,4]上具有单调性，须[2,4]⊆⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，k 2或[2,4]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫k2，＋∞.即k 2≥4或k2≤2，解得k ≥8或k ≤4.迁移与应用 解：由题意知：函数图像开口向上且对称轴x ＝－2(m －2)2，函数在区间[2，＋∞)上是增加的，故－2(m －2)2≤2，解得m ≥0.活动与探究3 思路分析：(1)将a ＝－1代入→配方→写最值 (2)配方→写对称轴→分类讨论→结论解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. 因为1∈[－5,5]，故当x ＝1时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝f (1)＝1； 当x ＝－5时，f (x )取得最大值，且f (x )max ＝f (－5)＝(－5－1)2＋1＝37.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2的图像开口向上，对称轴为直线x ＝－a . 当－a ≤－5，即a ≥5时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f (x )max ＝f (5)＝27＋10a ， f (x )min ＝f (－5)＝27－10a .当－5＜－a ≤0，即0≤a ＜5时，函数图像如图(1)所示．由图像可得f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2， f (x )max ＝f (5)＝27＋10a .当0＜－a ＜5，即－5＜a ＜0时，函数图像如图(2)所示，由图像可得f (x )max ＝f (－5)＝27－10a ，f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2. 当－a ≥5，即a ≤－5时，函数在区间[－5,5]上是减少的，所以f (x )min ＝f (5)＝27＋10a ，f (x )max ＝f (－5)＝27－10a .迁移与应用 1．10 －2 解析：y ＝3(x －1)2－2，该函数的图像如图所示．从图像易知：f (x )max ＝f (3)＝10，f (x )min ＝f (1)＝－2.2．解：由f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8，x ∈[t ，t ＋1]，知对称轴为直线x ＝2. 当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8；当t ＋1＜2，即t ＜1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减少的，g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7. 当t ＞2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增加的， g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4.综上，可得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7，t <1，－8，1≤t ≤2，t 2－4t －4，t >2.活动与探究4 思路分析：解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价，先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值可得汽车合适的销售单价．解：(1)因为y ＝29－25－x ， 所以y ＝－x ＋4(0≤x ≤4)．(2)z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋x0.5×4y ＝(8x ＋8)(－x ＋4)＝－8x 2＋24x ＋32(0≤x ≤4)．(3)由(2)知，z ＝－8x 2＋24x ＋32＝－8(x －1.5)2＋50(0≤x ≤4)，故当x ＝1.5时，z max＝50.所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．迁移与应用 5 75 解析：设长方形的宽为x 米，则每个长方形的长为30－3x2米，其中0＜x ＜10.故所求居室面积S ＝x (30－3x )＝3(10x －x 2)＝－3(x －5)2＋75(0＜x ＜10)， 所以当x ＝5时，S max ＝75(平方米)．即当宽为5米时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，为75平方米． 【当堂检测】1．A 解析：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像的对称轴为x ＝－m2，且只有一条对称轴，所以－m2＝1，即m ＝－2.2．A 解析：函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b2；要使该函数在x ∈[0，＋∞)上递增，须－b2≤0，所以b ≥0.3．B 解析：由于f (x )＝－2x 2＋4x －1＝－2(x －1)2＋1，图像的对称轴为x ＝1，开口向下，所以当x ＝1时，f (x )取最大值1，当x ＝4时，f (x )取最小值－17.4．B 解析：由二次函数解析式y ＝－3x 2＋90x ＝－3(x －15)2＋675可知，当x ＝15时，y 取最大值．5．解：y ＝f (x )＝3x 2＋2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋23.(1)顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，对称轴是直线x ＝－13. (2)当x ＝－13时，y min ＝23.(3)∵函数图像关于直线x ＝－13对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋x . ∴f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1. (4)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－512＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋512＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112， 而函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞上是增加的，112＜154， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫154，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫154. 或⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪154－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫154.。
二次函数的对称性
一、引入f x=x2的图像关于y 轴对称,为啥子呢?答案一: 折叠能重合.答案二:f x=x2关于y轴对称的点都在f x=x2上.（作y=x2图像）（线由点构成）讲:设（a,b）是f x=x2上任意一点,则b=f a=a2.而（a,b）关于y轴的对称点为（−a,b），则f−a=a2=b.∴（−a,b）在f x=x2图像上. ∴f x=x2关于 y轴对称.∴f−a=f(a). ﹡对函数f x来讲, 将﹡式用文字语言描述: 自变量互为相反数, 函数值相等, 称之为偶函数. 对所以图像关于轴对称的函数都有此性质吗? 用余弦函数图像说明混脸熟.二、新课1、如果对一切使F x有定义的x, F−x也有定义, 并且F−x=F x成立, 则称F x为偶函数。
类比:如果对一切使F x有定义的x,F−x也有定义, 并且F−x=−F x成立, 则称F x为奇函数.2、从函数三要素来分析奇函数、偶函数.①定义域：在数轴上关于原点对称.②解析式举例: 奇函数: x n（n为奇数），偶函数：x n（n为偶数）.③值域：无限制。
例1. 判断下列函数的奇偶性。
（1）f x=|x+1|+|x−1|.（2）f x=1−x2x+1.（3）f x=12x2+1 x>0;−12x2−1 x<0.（4）f x=1−x2|x+2|.例2. 已知f x为R上奇函数. 当x>0时, f x=−2x2+3x+1.(1) 求f x解析式.(2) 做出函数f x的图像.小结：基本知识: 1.奇、偶、定义域特点.2.判断函数奇偶性的方法.数学习惯: 符号语言, 文字语言, 图形语言的转换.数学思想: 类比, 函数思想——用研究函数的方法研究函数(三要素、性质). 作业：一、复习引入回顾上节小结的内容（具体化）.二、新课1、具有奇偶性的函数, 其单调性如何？举例：f x=x2,g x=1x.结论：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同.偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.2、二次函数f x=a(x−1)2+1a≠0的对称轴是x=1为什么？①图像上观察：1+t,a t2+1,(1−t,a t2+1)②解析式：f1+t=f1−t,t∈R成立.③将上式翻译成文字语言：对来说，自变量和为2，函数值相等.④一般化：f x=a(x−h)2+k关于x=h对称.f x= ax2+bx+c对称轴为x=−b2a.点: 对任意x∈R， f h+t=f h−t.自变量和为2h，则图像关于x=h对称.⑤更一般化：对其它（非二次函数）. 若f a+x=f a−x, x∈R成立，则函数f x图像关于x=a对称.3、二次函数图像的分类y= ax2+bx+c a≠0①②③④⑤⑥课外思考题：从偶函数图像关于y轴对称，解析式满足f−x=f x可得出：一般函数图像关于x=a对称，其解析式满足f a+x=f a−x.用类比方法, 得出函数图像关于a,0对称, 其解析式满足的条件, 并翻译成文字语言.例1. 已知二次函数f x同时满足①f1+x=f1−x②f(x)的最大值为15 ③f x=0的两根立方和等于17, 求f x的解析式.优化方案P35, 随堂自测.(1)、（2）、（3）、（4）小结：（1）f(x)= ax2+bx+c a≠0的对称性.（2）f(x)对称轴x=a f a+x=f a−x对一切x∈R成立.数学思想：①特殊到一般②类比方法上类比结论上类比作业：。
二次函数图象对称性的应用教案设计
二次函数图象对称性的应用教学设计教学目标：一. 知识与技能：1. 通过对二次函数性质习题的讲评，使学生熟练掌握二次函数的图象与性质。
2. 懂得从图象中获取有关的性质信息。
3. 使学生会通过二次函数图象的对称性解决相应问题。
二. 过程与方法：通过数形结合理解二次函数的对称性性质。
三. 情感态度与价值观：培养数形结合思想，体验函数具体解决现实问题的功能。
教学重点：如何在图象中获取有用的信息。
教学难点：对称性质的综合应用 教学过程：一. 引入：华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”要真正的研究数学就应该数形结合，研究函数就是用数形结合的思想二次函数是函数问题中的主要内容，中考试题中年年考查，可以出简单题、中档题甚至于综合性难题，但实际上有相当一部分的题型都跟二次函数的图象与性质有关，本节课通过对我们做过的习题进行讲评，使同学们熟练掌握二次函数的图象与性质尤其对称性这一性质。
二.讲评：1.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的性质：总结抛物线()20y ax bx c a =++≠的性质： 0 0b 同号 b=0 b 异号 0 0= 040ac抛物线与40ac = 抛物线与40ac抛物线与0时，顶点纵坐标最小值。
0时，顶点纵坐标最大值。
当0y =时，即2ax +轴的2244,0,,022b b ac b b ac a a ⎛⎫⎛⎫-+----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【练习】 已知反比例函数xky =的图象如下右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）【总结】灵活运用二次函数中24a b c b ac -、、、的性质在图象中解题，也就是根据抛物线确定二次函数解析式中字母系数的取值范围，很好地体现了数形结合的数学思想，这就需要大家对于二次函数的性质与图象要比较熟悉，并能在图象中从这些性质来思考解决问题的思路。
2.图象对称性例：二次函数y=ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(-1, 0)和(5, 0)两点, 则该抛物线的对称轴是【总结】二次函数的对称性：二次函数的图象是一个关于对称轴2bx a =-对称的轴对称图形，当抛物线上两点的纵坐标相同，即()()12,,,x y x y 时，1222x x ba+=-。
二次函数的对称性
（一）、教学内容1.二次函数的解析式六种形式① 一般式 y=ax 2 +bx+c(a ≠0) ② 顶点式 2()y a x h k =-+（a ≠0已知顶点）③ 交点式 12()()y a x x x x =--（a ≠0已知二次函数与X 轴的交点） ④ y=ax 2 (a ≠0) (顶点在原点) ⑤ y=ax 2+c (a ≠0) (顶点在y 轴上) ⑥y= ax 2 +bx (a ≠0) (图象过原点)2.二次函数图像与性质 对称轴：2bx a=-顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- 与y 轴交点坐标（0，c ）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小☆ 二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:122x x x +=与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a ≠0)与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a ≠0)y xO当a>0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大； 当a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；【典型例题】题型 1 求二次函数的对称轴1、 二次函数y=2x -mx+3的对称轴为直线x=3，则m=________。
2、 二次函数c bx x y ++=2的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） （A ）1x =- （B ）1x =（C ）2x = （D ）3x =3、 y=2x 2-4的顶点坐标为___ _____，对称轴为__________。
4、 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．求它与x 轴的另一个交点的坐标（ ， ） 5、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则x 的取值范围是（ ）A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x6、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 （ ）A. 0B. －1C. 1D. 2题型2 比较二次函数的函数值大小1、、若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+时，函数值为（ ）（A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）cy–1 1 3 Oxy–1 3 3 O xP12、 若二次函数24y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1 <y 2 B. y 1 =y 2 C. y 1 >y 2 D.不确定 点拨：本题可用两种解法解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y 随x 的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a ，b 的值 再把横坐标值代入求出y 1 与y 2 的值，进而比较它们的大小变式1：已知12(2,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小变式2：已知12(0,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小变式3：已知二次函数2y ax bx m =++的图像与22y x x m =-++的图像关于y 轴对称，12(2,),(3,)q q --是前者图像上的两点，试比较12q q 与的大小题型3 与二次函数的图象关于x 、y 轴对称：二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:122x x x +=与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a ≠0)与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a ≠0)1、把抛物线y =-2x 2+4x +3沿x 轴翻折后，则所得的抛物线关系式为____ ____2、与y= 212x -3x+25关于Y 轴对称的抛物线________________3、求将二次函数3x 2x y 2+--=的图象绕着顶点旋转180°后得到的函数图象的解析式。
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初中 数学
二次函数的对称性的应用
一、探究活动：
1、（1）如图，抛物线的顶点坐标为（0，4），与x 轴的一个交点坐标为M （－2，0），请写出抛物线与x 轴的另一个交点坐标N( )
（2）若抛物线上有一点A 的横坐标为1-，则A 点坐标为（1-， ），在抛物线上与其对称点B 的坐标是( ).你是怎样求出来的？请说明理由；
（3）如果有一点C 的横坐标为x ，则C 点坐标怎么表示？C （ ） 则抛物线上与C 点对称点的D 的坐标是D （ ） （4）观察以上各组对称点 M （ ） A （ ） C （ ） N （ ） B （ ） D （ ） 对称点的坐标有何特点？
2、（1）如图，抛物线顶点坐标为（3，4），它的图象与x 轴的一个交点坐标为M （1，0），请写出抛物线与x 轴的另一个交点坐标N （ )；
（2）若抛物线上有一点A 的横坐标为2，则A 点坐标为( ).你是怎样求出A 点
坐标的？写出A 点在抛物线上的对称点B 的坐标，B ( ) . （3）如果有一点C 在抛物线上，其横坐标为x ，则C 点怎样表示？C （ ）
其对称点D 怎样表示？D （ ） （4）M （ ） A （ ） C （ ）
N （ ） B （ ） D （ ） 对称点的坐标与抛物线的对称轴之间有什么关系？
二、应用：
1、如图是二次函数
的函数值y 与自变量x 的对应值. 根据表格你能找出抛物线图象上的对称点吗？ 你能写出抛物线的对称轴吗？
抛物线与x 轴的交点坐标为 ， 如果有一个点为 ),(n m ，则其图象上的对称点为 .
c bx ax y ++=2
（2）如果图象向右平移3个单位，设M 点横坐标为x ，其它条件不变， 求周长C 与x 之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，
C 最大？
3、(1)如图是一个边长为2C 三点，请写出其表达式.
(2)如图是一个边长为2的等边三角形，有一条抛物线过A 、B 、C 三点，请写出其表达式
4、如图, A （－1，0），B(5,0),以AB
为直径画一个⊙O,抛物线的顶点在⊙O 上，且经过A 、B 两点，求其表达式.。