常微分方程典型例题 ppt课件
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常微分方程PPT - 第四章第二节
本解组,为此只须证明这些函数线性无关即可,
事实上,假设这些函数线性相关,
则存在不全为零的常常 C (j r )使得
[C
r 1
m
(r ) 0
C t C
(r ) 1
( r ) k r 1 k r 1
t
]e
r t
P (t )e
r 1 r
m
r t
0
(4.27)
不失一般性, 假设多项式Pm (t )至少有一个系数不等于 零, 即Pm (t ) 0, 将恒等式(4.27)除以e1t , 然后对t微分k1次得
n n 1
4.1.1 复值函数与复值解
1 复值函数
如果 (t )与 (t )是区间a t b上定义的实函数 , 我们称z (t ) (t ) i (t )为区间a t b上的复值函数 .
若 (t )与 (t )在区间a t b上连续, 则称z (t )在 a t b上连续.
我们知道,一阶常系数齐线性方程
(4.19)
其中a1 , a2 ,, an为常数, 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.
dx at 0 dt
有解
x ce ,
at
受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解
xe ,
把它代入方程(4.19)得
t
(4.20)
这里是待定常数 , 可以是实数也可以是复 数,
于是方程(4.19)化为
1t
dny d n1 y L1[ y] n b1 n1 bn y 0, (4.23) dt dt 其中b1 , b2 ,, bn仍为常数, 方程(4.23)相应特征方程为
G( ) b1
事实上,假设这些函数线性相关,
则存在不全为零的常常 C (j r )使得
[C
r 1
m
(r ) 0
C t C
(r ) 1
( r ) k r 1 k r 1
t
]e
r t
P (t )e
r 1 r
m
r t
0
(4.27)
不失一般性, 假设多项式Pm (t )至少有一个系数不等于 零, 即Pm (t ) 0, 将恒等式(4.27)除以e1t , 然后对t微分k1次得
n n 1
4.1.1 复值函数与复值解
1 复值函数
如果 (t )与 (t )是区间a t b上定义的实函数 , 我们称z (t ) (t ) i (t )为区间a t b上的复值函数 .
若 (t )与 (t )在区间a t b上连续, 则称z (t )在 a t b上连续.
我们知道,一阶常系数齐线性方程
(4.19)
其中a1 , a2 ,, an为常数, 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.
dx at 0 dt
有解
x ce ,
at
受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解
xe ,
把它代入方程(4.19)得
t
(4.20)
这里是待定常数 , 可以是实数也可以是复 数,
于是方程(4.19)化为
1t
dny d n1 y L1[ y] n b1 n1 bn y 0, (4.23) dt dt 其中b1 , b2 ,, bn仍为常数, 方程(4.23)相应特征方程为
G( ) b1
常微分方程的解法PPT共21页
常微分方程的解法
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百Байду номын сангаас不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百Байду номын сангаас不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
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所以原方程通积分为x y2 (C1 ln | y |)
例 2 y
y
2 y ln y y x
解 原方程可化为dx x 1 2ln y dy y
3
dx x 12lny dy y
这是以 x 为未知函数的一阶线性方程.
对应齐次方程dx x 的通解为x C ，
dy y
y
令 x C( y)，代入原方程，得 y
17
三.将方程从微商形式改为微分形式,或从微分形式改 为微商形式,有时可以把方程变为可解类型.
例 11
解方程dy dx
x y2 x y2 4
解 把方程改写为微分形式
(x y 2)dx (x y2 4)dy 0
因为M 1 N ,所以是全微分方程,
(1)
dy y
对应齐次方程通解为 x Cy2
令 x C( y) y2,代如方程(1),得
C( y) y 2 2 yC( y) 2 C( y) y 2 y y
2
C( y) y 2 2 yC( y) 2 C( y) y 2 y y
化简得C( y) 1 y
积分得C( y) ln | y | C1
此外，y=x 也是方程的一个解.
16
练习
1. ey(dy1)xex dx
2 .(y x y 2 )d x (x x 2 y )d y 0 3. xdyy2x2y(y2x2)
dx 4 .xd yyd x(x2y)2d x
5 .4 e2y(y)2 2 x y 1 0
x
x
6.(xyeyy2)dxx2eydy0
C( y) y 2 y ln y ,积分得C( y) C y2 ln y.
于是通积分为x C y ln y. y
4
练习
1. y ln ydx (x ln y)dy 0
2.
y
x2
1 sin y
xy
3.y 1 xy x3 y3
5
2. 引进适当变换（变量替换） (1)形如dy f (ax by c)的方程
11
设
z
C(x) x3
，代入线性方程(1)，得C ( x)
C
x2 2
因此,线性方程(1)的通解为 z
C x3
1 2x
代回原变量，得原方程通解为e y x3 , C 1 x2 2
即 y ln( x3 ) C 1 x2 2
12
(4)形如dy xf (ax b y) y (a,b 是常数)的方程
2
15Βιβλιοθήκη 例 10 dy x( y x) x3( y x)3 1 dx
解 令 y x u，代入原方程得 du xu x3u3 dx
这是伯努利方程，令 z u2，则方程可 化为 dz 2xz 2x3
dx 易求得解为z Cex2 x2 1
原方程通积分为 1 Cex2 x2 1 ( y x)2
9
(3)形如dy p(x) q(x)eay 常数a 0的方程. 令 z eay, dx
可化为关于 z 的伯努利方程 dz ap( x)z aq( x)z2 dx
例 6 求解方程dy 1 xe y 的通解. dx x
解 令z e y, 则 dz e y dy dx dx
原方程化为 dz z xz 2 dx x
习题课
•本章的内容是可用初等积分法求解的各种类型 的微分方程. •要熟练掌握它们的解法，还应学习解微分方程 的各种技巧， 特别要善于根据方程的特点进行变形， 或引进合适的变量替换，把它们变到我们熟悉 的各种类型的方程.
1
1. 交换x与y的地位
例1
求方程 dy dx
2x
y
y2
的通解.
解 方程改写为dx 2 x y
dx
令 z ax by c,
则可将原方程化为变量可分离方程
dz a bf (z) dx
6
例 3 求方程dy x y 1的通解. dx
解 令 z x y 1,则 dz 1 dy , dx dx
原方程化为 dz 1 z ,通解为z 1 Cex, dx
原方程通解为 y 2 x Cex.
解之，再代回，得原方程通解为 y ln(Cx x2 )
10
例7
解方程 dy dx
1 x2
(e
y
3x)
解
作变换u
e y，则方程可化为du dx
3u x
u2 x2
这是n 2的伯努利方程
令z
u 1，代入上式，化简得dz dx
3z x
1 x2
(1)
对应齐次方程 dz dx
3z x
0 的通解为 z
c x3
8
(2)形如dy y f (xy)的方程 dx x
令 z xy,可化为变量可分离方程dz xf (z) dx
例 5 求方程dy y (4x2 y2 1)的通解. dx x
解 令 z xy,原方程可化为dz x(4z 2 1) dx
解之,再代回可得原方程通解 y 1 tan(x2 C) 2x
7
例4 求解方程 dy 2x 3y 4 dx 4x 6y 5
解 令 2x3yz，
则方程可化为
d z 2 3 d y 2 3 (z 4 ) 7 z 2 2 d x d x 2 z 5 2 z 5
分离变量，得
7z 22dz dx 2z 5 即 x7 2z499ln|z272|C1
再代回原来变量可得原方程通积分.
通解为z C
14
ln x
设 z C(x)代入线性方程(1),得C(x) 1 ln x
两边积分得C(x) x C 所以，上述线性方程(1)的通解为z 1 (C x)
ln x 代回原变量，得原方程的通解cos y ln x ，
Cx
此外u 0，即 y n （为整数）也是原方程的解
dx
xx
令 z y ,可化为dz f (ax bz)
x
dx
例 8 求方程dy y x(x y)2的通解.
dx x
x
解 令 z y ,原方程可化为 dz (x z)2
x
dx
令 u x z,则dz 1 u 2 dx
解之,再代回原方程,得通解为 y x tan(x C) x2 13
（5）其它变量替换
例 9 xyln x sin y cos y(1 x cos y) 0
解 令u cos y,代入方程得du u u2 dx x ln x ln x
这是伯努利方程，做变换 z u1，化简得
dz z 1 (1) dx x ln x ln x
这是线性方程，对应齐次方程dz z 0的 dx x ln x
例 2 y
y
2 y ln y y x
解 原方程可化为dx x 1 2ln y dy y
3
dx x 12lny dy y
这是以 x 为未知函数的一阶线性方程.
对应齐次方程dx x 的通解为x C ，
dy y
y
令 x C( y)，代入原方程，得 y
17
三.将方程从微商形式改为微分形式,或从微分形式改 为微商形式,有时可以把方程变为可解类型.
例 11
解方程dy dx
x y2 x y2 4
解 把方程改写为微分形式
(x y 2)dx (x y2 4)dy 0
因为M 1 N ,所以是全微分方程,
(1)
dy y
对应齐次方程通解为 x Cy2
令 x C( y) y2,代如方程(1),得
C( y) y 2 2 yC( y) 2 C( y) y 2 y y
2
C( y) y 2 2 yC( y) 2 C( y) y 2 y y
化简得C( y) 1 y
积分得C( y) ln | y | C1
此外，y=x 也是方程的一个解.
16
练习
1. ey(dy1)xex dx
2 .(y x y 2 )d x (x x 2 y )d y 0 3. xdyy2x2y(y2x2)
dx 4 .xd yyd x(x2y)2d x
5 .4 e2y(y)2 2 x y 1 0
x
x
6.(xyeyy2)dxx2eydy0
C( y) y 2 y ln y ,积分得C( y) C y2 ln y.
于是通积分为x C y ln y. y
4
练习
1. y ln ydx (x ln y)dy 0
2.
y
x2
1 sin y
xy
3.y 1 xy x3 y3
5
2. 引进适当变换（变量替换） (1)形如dy f (ax by c)的方程
11
设
z
C(x) x3
，代入线性方程(1)，得C ( x)
C
x2 2
因此,线性方程(1)的通解为 z
C x3
1 2x
代回原变量，得原方程通解为e y x3 , C 1 x2 2
即 y ln( x3 ) C 1 x2 2
12
(4)形如dy xf (ax b y) y (a,b 是常数)的方程
2
15Βιβλιοθήκη 例 10 dy x( y x) x3( y x)3 1 dx
解 令 y x u，代入原方程得 du xu x3u3 dx
这是伯努利方程，令 z u2，则方程可 化为 dz 2xz 2x3
dx 易求得解为z Cex2 x2 1
原方程通积分为 1 Cex2 x2 1 ( y x)2
9
(3)形如dy p(x) q(x)eay 常数a 0的方程. 令 z eay, dx
可化为关于 z 的伯努利方程 dz ap( x)z aq( x)z2 dx
例 6 求解方程dy 1 xe y 的通解. dx x
解 令z e y, 则 dz e y dy dx dx
原方程化为 dz z xz 2 dx x
习题课
•本章的内容是可用初等积分法求解的各种类型 的微分方程. •要熟练掌握它们的解法，还应学习解微分方程 的各种技巧， 特别要善于根据方程的特点进行变形， 或引进合适的变量替换，把它们变到我们熟悉 的各种类型的方程.
1
1. 交换x与y的地位
例1
求方程 dy dx
2x
y
y2
的通解.
解 方程改写为dx 2 x y
dx
令 z ax by c,
则可将原方程化为变量可分离方程
dz a bf (z) dx
6
例 3 求方程dy x y 1的通解. dx
解 令 z x y 1,则 dz 1 dy , dx dx
原方程化为 dz 1 z ,通解为z 1 Cex, dx
原方程通解为 y 2 x Cex.
解之，再代回，得原方程通解为 y ln(Cx x2 )
10
例7
解方程 dy dx
1 x2
(e
y
3x)
解
作变换u
e y，则方程可化为du dx
3u x
u2 x2
这是n 2的伯努利方程
令z
u 1，代入上式，化简得dz dx
3z x
1 x2
(1)
对应齐次方程 dz dx
3z x
0 的通解为 z
c x3
8
(2)形如dy y f (xy)的方程 dx x
令 z xy,可化为变量可分离方程dz xf (z) dx
例 5 求方程dy y (4x2 y2 1)的通解. dx x
解 令 z xy,原方程可化为dz x(4z 2 1) dx
解之,再代回可得原方程通解 y 1 tan(x2 C) 2x
7
例4 求解方程 dy 2x 3y 4 dx 4x 6y 5
解 令 2x3yz，
则方程可化为
d z 2 3 d y 2 3 (z 4 ) 7 z 2 2 d x d x 2 z 5 2 z 5
分离变量，得
7z 22dz dx 2z 5 即 x7 2z499ln|z272|C1
再代回原来变量可得原方程通积分.
通解为z C
14
ln x
设 z C(x)代入线性方程(1),得C(x) 1 ln x
两边积分得C(x) x C 所以，上述线性方程(1)的通解为z 1 (C x)
ln x 代回原变量，得原方程的通解cos y ln x ，
Cx
此外u 0，即 y n （为整数）也是原方程的解
dx
xx
令 z y ,可化为dz f (ax bz)
x
dx
例 8 求方程dy y x(x y)2的通解.
dx x
x
解 令 z y ,原方程可化为 dz (x z)2
x
dx
令 u x z,则dz 1 u 2 dx
解之,再代回原方程,得通解为 y x tan(x C) x2 13
（5）其它变量替换
例 9 xyln x sin y cos y(1 x cos y) 0
解 令u cos y,代入方程得du u u2 dx x ln x ln x
这是伯努利方程，做变换 z u1，化简得
dz z 1 (1) dx x ln x ln x
这是线性方程，对应齐次方程dz z 0的 dx x ln x