广东省10大市高三数学 一模试题分类汇编12 复数
2022年广东省高考一模数学试卷及答案解析
2022年广东省高考一模数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜0}，B ＝{x |x 2＜1}，则A ∪B 等于（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜1}B ．{x |﹣2＜x ＜1}C ．{x |﹣1＜x ＜0}D ．{x |x ＜1}2．（5分）已知复数z =12−i ，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝4，DD 1＝2，则该长方体的外接球的体积为（ ）A ．9πB ．12πC ．36πD ．144π4．（5分）函数f （x ）＝sin x 2的图象向左平移k （k ＞0）个单位长度后得到的函数的图象关于y 轴对称，则k 的值可以是（ ） A ．π2B ．πC ．32πD ．2π5．（5分）已知角α与角β的顶点都在坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，则一定成立的是（ ） A ．sin α＝sin βB ．sin α＝cos βC ．cos α＝cos βD ．cos α＝sin β6．（5分）已知函数f （x ）={x 2+2x ，x ≤a x −1，x ＞a，若f （x ）有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0≤a ＜1}B ．{a |﹣1≤a ＜0}C ．{a |﹣1≤a ＜1}D ．{a |a ＜1}7．（5分）已知A ，B 是圆O ：x 2+y 2＝4上的两个动点，且OA ⊥OB ，则A ，B 两点到直线l ：x ﹣y +4＝0的距离之和的取值范围是（ ） A ．[2，2√2]B ．[2，3√2]C ．[2√2，4√2]D ．[2√2，6√2]8．（5分）已知A （0，﹣1），B （1，0），O 为坐标原点，点P 为曲线y ＝e x 上的动点，且OP →=λOA →+μOB →（e ＝2.718…为自然对数的底数，λ，μ∈R ），则λ+μ的最大值是（ ） A ．e ﹣1B ．1﹣eC ．1D ．﹣1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. （多选）9．（5分）已知双曲线C ：x 23−y 2＝1，则（ ）A ．C 的焦点坐标为（−√2，0）和（√2，0）B ．C 的渐近线方程为y =13x 和y =−13xC ．C 的离心率为2√33D ．C 与直线l ：y =√33x +1有且仅有一个公共点（多选）10．（5分）如图，P ，Q 分别是正方形ABCD 的两边AB ，AD 上的动点，则一定成立的是（ ）A ．AP →⋅AC →=AQ →⋅AC →B ．AP →⋅AD →=AQ →⋅AB →C ．DP →⋅DA →=BQ →⋅AC →D ．DP →⋅DC →=BQ →•BA →（多选）11．（5分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k （k ∈N *）局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12．若某人获胜的局数大于k ，则此人赢得比赛．下列说法正确的是（ ）A ．k ＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为14B ．k ＝2时，甲嬴得比赛与乙嬴得比赛的概率均为516C ．在2k 局比赛中，甲获胜的局数的期望为kD ．随着k 的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近12（多选）12．（5分）已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝a ，a n +1＝a n −1n2a n 2．下列说法正确的是（ ）A．0＜a2≤1 4B．a n+1＜a nC．1a n+1−1a n＞1n2D．数列{a n+1﹣a n}为递减数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上.13．（5分）直线l过点（1，0），且与抛物线y2＝4x交于A，B两点．若|AB|＝8，则线段AB 的中点M到y轴的距离是．14．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且在（﹣∞，0]上单调递增，则关于x 的不等式f（|x|+2）＞f（x2）的解集是．15．（5分）英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料提出假设“孤立的生物群体中，生物总数的变化率与生物总数成正比”，并通过此假设于1798年给出了马尔萨斯人口方程N（t）＝N0e r(t−t0)），其中N0为t0时刻的人口数，N（t）为t时刻的人口数，r 为常数．已知某地区2000年的人口数为230万，r＝0.02，用马尔萨斯人口方程预测该地区2035年的人口数（单位：万）约为.（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为平面DBA1内的动点，且AP=√22．设直线BD与AP所成的角为θ，则当θ最小时，cosθ的值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝1，a2＝b1＝2．（1）求{a n}的通项公式；（2）从下列给出的三个条件①、②、③中选择一个作为已知条件，使得{b n}存在且唯一，并求数列{b an}的前n项和S n．条件：①b3＝8；②a b2=4；③a2+b2＝2a3．18．（12分）某科研团队研发针对病毒α的疫苗，并进行接种试验．如果人体在接种疫苗之后的一定时期内产生了针对病毒α的抗体，则称该疫苗有效．该科研团队对其研发的疫苗A 和疫苗B ，分别进行了接种试验，然后在接种了疫苗A 和疫苗B 的人群中分别随机抽取了部分个体，并检测其体内是否产生了针对病毒α的抗体，获得样本数据如表：抽取人数 其中产生抗体人数接种疫苗A 120 80 接种疫苗B10080（1）从接种疫苗A 的人群中任取3人，记产生抗体的人数为X ，用样本数据中产生抗体的频率估计概率，求X 的分布列及其数学期望；（2）根据样本数据，是否有95%的把握认为疫苗A 与疫苗B 的有效性存在差异？说明理由．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P （ χ2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82819．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a sin B =√3b （1﹣cos A ）． （1）求A 的大小；（2）若c 2＝b 2+bc ，求sin C 的值．20．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为线段CD 的中点，AB ＝BC =12CD ＝2，将△DAE 沿AE 折起到△DAE 的位置，使得平面D 1AE ⊥平面ABCE ．（1）求证：AE ⊥D 1B ；（2）在线段D 1B 上是否存在点Q ，使得平面QAC 与平面ABCE 的夹角为60°？若存在，求出D 1Q D 1B的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过A 1（﹣2，0）和B （0，−√3）两点，点A 2为椭圆C 的右顶点，点P 为椭圆C 上位于第一象限的点，直线P A 1与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）比较△MNA1的面积与△NA2B的面积的大小，并说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣a+x﹣2（a∈R）．（1）求证：f（x）仅有一个零点；（2）若a≤1，求证：f（x）≥−12x2+3x−52．2022年广东省高考一模数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|x2＜1}，则A∪B等于（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜1}【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣2＜x＜1}故选：B．2．（5分）已知复数z=12−i，则z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z=12−i=2+i(2−i)(2+i)=25+15i，∴z=25−15i，∴z在复平面内所对应的点（25，−15）位于第四象限．故选：D．3．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，DD1＝2，则该长方体的外接球的体积为（）A．9πB．12πC．36πD．144π【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，DD1＝2，设长方体的外接球的半径为R，故（2R）2＝42+42+22，解得R＝3，所以V 球=43⋅π⋅33=36π． 故选：C ．4．（5分）函数f （x ）＝sin x2的图象向左平移k （k ＞0）个单位长度后得到的函数的图象关于y 轴对称，则k 的值可以是（ ） A ．π2B ．πC ．32πD ．2π【解答】解：函数f （x ）＝sin x 2的图象向左平移k （k ＞0）个单位长度后， 得到的函数y ＝sin （x2+k2）的图象，由于函数y ＝sin （x 2+k 2）的图象关于y 轴对称，则k2=n π+π2，n ∈Z ，即k ＝（2n +1）π，n ∈Z ． 令n ＝0，可得k ＝π， 故选：B ．5．（5分）已知角α与角β的顶点都在坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，则一定成立的是（ ） A ．sin α＝sin βB ．sin α＝cos βC ．cos α＝cos βD ．cos α＝sin β【解答】解：角α与角β的顶点都在坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合， 若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，则α+β＝2k π，k ∈Z ， 故有cos α＝cos β，sin α＝﹣sin β， 故选：C ．6．（5分）已知函数f （x ）={x 2+2x ，x ≤a x −1，x ＞a，若f （x ）有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0≤a ＜1}B ．{a |﹣1≤a ＜0}C ．{a |﹣1≤a ＜1}D ．{a |a ＜1}【解答】解：因为y ＝x 2+2x 有2个零点x ＝﹣2和x ＝0，y ＝x ﹣1有1个零点x ＝1，所以若要使f（x）有3个零点，则0⩽a＜1，故选：A．7．（5分）已知A，B是圆O：x2+y2＝4上的两个动点，且OA⊥OB，则A，B两点到直线l：x﹣y+4＝0的距离之和的取值范围是（）A．[2，2√2]B．[2，3√2]C．[2√2，4√2]D．[2√2，6√2]【解答】解：△AOB是等腰直角三角形，取AB中点C，则|OC|=√2，即点C在以O为圆心，√2为半径的圆上，过点A，B，C分别作直线l：x﹣y+4＝0 的垂线，垂足分别为D，E，F，则|AD|+|BE|＝2|CF|，=2√2，∴|CF|∈[√2，3√2]，圆心O到直线l：x﹣y+4＝0 的距离d=√2∴|AD|+|BE|=2|CF|∈[2√2，6√2]．故选：D．8．（5分）已知A （0，﹣1），B （1，0），O 为坐标原点，点P 为曲线y ＝e x 上的动点，且OP →=λOA →+μOB →（e ＝2.718…为自然对数的底数，λ，μ∈R ），则λ+μ的最大值是（ ） A ．e ﹣1B ．1﹣eC ．1D ．﹣1【解答】解：由题意知，OP →=（x ，e x），OA →=（0，﹣1），OB →=（1，0）， ∵OP →=λOA →+μOB →， ∴（x ，e x ）＝（μ，﹣λ）， 故λ＝﹣e x ，μ＝x ， 故λ+μ＝﹣e x +x ，令f （x ）＝﹣e x +x ，则f ′（x ）＝﹣e x +1，故当x ∈（﹣∞，0）时，f ′（x ）＞0，x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＜0， 故f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减， 故λ+μ的最大值是f （0）＝﹣1+0＝﹣1， 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. （多选）9．（5分）已知双曲线C ：x 23−y 2＝1，则（ ）A ．C 的焦点坐标为（−√2，0）和（√2，0）B ．C 的渐近线方程为y =13x 和y =−13xC ．C 的离心率为2√33D ．C 与直线l ：y =√33x +1有且仅有一个公共点 【解答】解：由双曲线C ：x 23−y 2＝1，则a 2＝3，b 2＝1，∴a =√3，b ＝1，c =√3+1=2，∴C 的焦点坐标为（﹣2，0）和（2，0），故A 错误； 渐近线方程为y ＝±√33x ，故B 错误； 又曲线的离心率为e =2√3=2√33，故C 正确， 直线l ：y =√33x +1与双曲线的渐近线平行，故C 与直线l ：y =√33x +1有且仅有一个公共点，故D 正确． 故选：CD ．（多选）10．（5分）如图，P ，Q 分别是正方形ABCD 的两边AB ，AD 上的动点，则一定成立的是（ ）A ．AP →⋅AC →=AQ →⋅AC →B ．AP →⋅AD →=AQ →⋅AB →C ．DP →⋅DA →=BQ →⋅AC →D ．DP →⋅DC →=BQ →•BA →【解答】解：以D 为原点，DC 为x 轴，DA 为y 轴，建立如图所示的坐标系，设正方形四长为1，P （x ，1），Q （0，y ），（0≤x ≤1，0≤y ≤1）， A （0，1），B （1，1），C （1，0），D （0，0）， AP →=（x ，0），AC →=（1，﹣1），AQ →=（0，y ﹣1）， AD →=（0，﹣1），AB →=（1，0），DP →=（x ，1）， DA →=（0，1），BQ →=（﹣1，y ﹣1），CD →=（﹣1，0）， DC →=（1，0），BA →=（﹣1，0），A ．AP →⋅AC →=x ，AQ →⋅AC →=1﹣y ，∴A 不一定成立， B ．AP →⋅AD →=0，AQ →⋅AB →=0，∴B 一定成立，C ．DP →⋅DA →=1，BQ →⋅CD →=1，∴C 一定成立， D ．DP →⋅DC →=x ，BQ →⋅BA →=1，∴D 不一定成立， 故选：BC ．（多选）11．（5分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k （k ∈N *）局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12．若某人获胜的局数大于k ，则此人赢得比赛．下列说法正确的是（ ）A ．k ＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为14B ．k ＝2时，甲嬴得比赛与乙嬴得比赛的概率均为516C ．在2k 局比赛中，甲获胜的局数的期望为kD ．随着k 的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近12【解答】解：k ＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为2×12×12=12，所以A 错误； k ＝2时，甲赢得比赛的情况为：甲甲甲，甲乙甲甲，乙甲甲甲，甲甲乙甲，其概率为(12)3+3×(12)4=516，所以B 正确； 选项 C ，在2k 局比赛中，甲获胜的局数服从二项分布B(2k ，12)，其期望值为2k ×12=k ；随着k 的增大，比赛平局的概率C 2k k ⋅(12)2k 趋近于0，所以甲乙赢得比赛的概率都会越来越接近12，D 正确．故选：BCD ．（多选）12．（5分）已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝a ，a n +1＝a n −1n 2a n2．下列说法正确的是（ ） A ．0＜a 2≤14 B ．a n +1＜a nC ．1a n+1−1a n＞1n 2D ．数列{a n +1﹣a n }为递减数列【解答】解：对于选项A ：a 2=a 1−a 12＞0，∵−a 12+a 1=−（a 1−12）2+14， ∴当a 1=12时，a 2取得最大值14，∴a 2∈(0，14]，故选项A 正确， 对于选项B ：a n +1﹣a n =−1n 2a n 2＜0，∴a n +1＜a n ，故选项B 正确， 对于选项C ：1a n+1−1a n=a n −a n+1a n a n+1=1n2a n 2a n a n+1=1n 2a na n+1，由B 可知a n ＞a n +1＞0，∴a n a n+1＞1， ∴1n 2a n a n+1＞1n2，即1a n+1−1a n＞1n 2，故选项C 正确，对于选项D ：（a n +1﹣a n ）﹣（a n ﹣a n ﹣1）=−1n 2a n 2+1(n−1)2a n−12＞1n 2(a n−12−a n 2)＞0， ∴数列{a n +1﹣a n }为递增数列，故选项D 错误， 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上.13．（5分）直线l 过点（1，0），且与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点．若|AB |＝8，则线段AB 的中点M 到y 轴的距离是 3 ．【解答】解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0），故直线l 过抛物线的焦点， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AF |＝x 1+1，|BF |＝x 2+1， 由|AB |＝8，∴x 1+1+x 2+1＝8，∴x 1+x 2＝6， 线段AB 的中点M 到y 轴的距离为x 1+x 22=3．故答案为：3．14．（5分）已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，且在（﹣∞，0]上单调递增，则关于x 的不等式f （|x |+2）＞f （x 2）的解集是 （﹣2，2） ．【解答】解：∵函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，且在（﹣∞，0]上单调递增， ∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增， 则f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增， 由f （|x |+2）＞f （x 2）得|x |+2＞x 2， 即x 2﹣|x |﹣2＜0， 得（|x |+1）（|x |﹣2）＜0，得|x |＜2，得﹣2＜x ＜2， 即不等式的解集为（﹣2，2）， 故答案为：（﹣2，2）．15．（5分）英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料提出假设“孤立的生物群体中，生物总数的变化率与生物总数成正比”，并通过此假设于1798年给出了马尔萨斯人口方程N （t ）＝N 0er(t−t 0)），其中N 0为t 0时刻的人口数，N （t ）为t 时刻的人口数，r为常数．已知某地区2000年的人口数为230万，r ＝0.02，用马尔萨斯人口方程预测该地区2035年的人口数（单位：万）约为 460 .（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1）． 【解答】解：根据题意得N 0＝230，r ＝0.02，t 0＝2000，t ＝2035， 代入公式N （t ）＝N 0e r(t−t 0)），得N （t ）＝230×e 0.02×（2035﹣2000）＝230×e 0.7≈230×e ln 2＝230×2＝460，所以用马尔萨斯人口方程预测该地区2035年的人口数（单位：万）约为 460万， 故答案为：460．16．（5分）如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为平面DBA 1内的动点，且AP =√22．设直线BD 与AP 所成的角为θ，则当θ最小时，cos θ的值为√33．【解答】解：设O 为正三角形DBA 1的中心， 则AO =√33，又AP =√22，可得OP =√AP 2−AO 2=√66．所以点P 的轨迹是以O 为圆心，√66为半径的圆．当直线AP 在平面DBA 1内的射影与BD 平行时，直线BD 与AP 所成的角为θ取得最小值，此时cosθ=OPAP =√33．（平面的斜线与平面内的直线所成的角中，线面角最小）．故答案为：√33．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝1，a2＝b1＝2．（1）求{a n}的通项公式；（2）从下列给出的三个条件①、②、③中选择一个作为已知条件，使得{b n}存在且唯一，并求数列{b an}的前n项和S n．条件：①b3＝8；②a b2=4；③a2+b2＝2a3．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．因为a1＝1，a2＝2，所以d＝a2﹣a1＝1．所以数列{a n}的通项公式为a n＝a1+（n﹣1）d＝n．（2）选择条件①，b3＝8，b1＝2，q＝2，b n＝2n，选条件②，设等比数列{b n}的公比为q．由（1）可知a n＝n，所以a b2=b2．因为a b2=4，所以b2＝4．所以q＝2．此时b n=b1q n−1=2n．所以b an=2a n=2n．所以S n=b a1+b a2+⋯+b an=21+22+⋯+2n=2n+1−2．选条件③，由（1）可知a2＝2，a3＝3，又a2+b2＝2a3，所以b2＝2a3﹣a2＝4．所以q＝2．此时b n=b1q n−1=2n．所以b an=2a n=2n．所以S n=b a1+b a2+⋯+b an=21+22+⋯+2n=2n+1−2．18．（12分）某科研团队研发针对病毒α的疫苗，并进行接种试验．如果人体在接种疫苗之后的一定时期内产生了针对病毒α的抗体，则称该疫苗有效．该科研团队对其研发的疫苗A和疫苗B，分别进行了接种试验，然后在接种了疫苗A和疫苗B的人群中分别随机抽取了部分个体，并检测其体内是否产生了针对病毒α的抗体，获得样本数据如表：抽取人数其中产生抗体人数接种疫苗A12080接种疫苗B10080（1）从接种疫苗A 的人群中任取3人，记产生抗体的人数为X ，用样本数据中产生抗体的频率估计概率，求X 的分布列及其数学期望；（2）根据样本数据，是否有95%的把握认为疫苗A 与疫苗B 的有效性存在差异？说明理由．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P （ χ2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【解答】解：（1）在接种疫苗A 的样本中，产生抗体的频率为80120=23，由此估计，从接种疫苗A 的人群中任取1人，产生抗体的概率为23． 所以从接种疫苗A 的人群中任取3人，产生抗体的人数X ～B(3，23)，P(X =k)=C 3k (23)k (1−23)3−k ，其中 k ＝0，1，2，3，所以X 的分布列为：X 0 123P1276271227827数学期望 E(X)=3×23=2．（2）有95%的把握认为疫苗A 与疫苗B 的有效性存在差异．理由如下： 根据样本数据，在接种疫苗A 的120人中，80人产生抗体，40人末产生抗体， 在接种疫苗B 的100人中，80人产生抗体，20人末产生抗体．根据公式，χ2=220×(80×20−40×80)2120×100×160×60=449≈4.889＞3.841．所以有95%的把握认为疫苗A 与疫苗B 的有效性存在差异．19．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a sin B =√3b （1﹣cos A ）． （1）求A 的大小；（2）若c 2＝b 2+bc ，求sin C 的值．【解答】解：（1）因为a sin B =√3b （1﹣cos A ）， 所以由正弦定理可得sin A sin B =√3sin B （1﹣cos A ）， 因为sin B ≠0，所以sin A =√3（1﹣cos A ），可得sin （A +π3）=√32，因为A ∈（0，π），A +π3∈（π3，4π3），所以A +π3=2π3，可得A =π3． （2）因为A =π3，所以由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣bc ， 又c 2＝b 2+bc ，所以解得a 2＝2b 2，a =√2b ，由正弦定理可得sin A =√2sin B =√32，所以sin B =√64，又b ＜a ，B 为锐角，可得cos B =√1−sin 2B =√104，所以sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B =√32×√104+12×√64=√30+√68．20．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为线段CD 的中点，AB ＝BC =12CD ＝2，将△DAE 沿AE 折起到△DAE 的位置，使得平面D 1AE ⊥平面ABCE ．（1）求证：AE ⊥D 1B ；（2）在线段D 1B 上是否存在点Q ，使得平面QAC 与平面ABCE 的夹角为60°？若存在，求出D 1Q D 1B的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：设F 是AE 的中点，连接D 1F ，FB ，BE ． 由已知得△DAE ，△ABE ，△BCE 均为边长为2的等边三角形， 所以D 1F ⊥AE ，BF ⊥AE ，又D 1F ∩BF ＝F ， 所以AE ⊥平面D 1FB ，又D 1B ⊂平面 D 1FB ， 所以AE ⊥D 1B ，（2）因为平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ，D 1F ⊥AE ， 所以D 1F ⊥平面ABCE ，又BF ⊂平面ABCE ，所以D 1F ⊥FB ．又BF ⊥AE ，故可建如图所示的空间坐标系 F ﹣xyz ．所以F(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，√3，0)，C(−2，√3，0)，E(−1，0，0)，D 1(0，0，√3)，AC →=(−3，√3，0)，设 D 1Q →=λD 1B →，λ∈[0，1]，则AQ →=AD 1→+D 1Q →=AD 1→+λD 1B →=(−1，0，√3)+λ(0，√3，−√3)=(−1，√3λ，√3−√3λ)． 设平面QAC的一个法向量m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅AC →=0m →⋅AQ →=0，即{−3x +√3y =0−x +√3λy +√3(1−λ)z =0． 显然λ≠1，令x ＝1，则y =√3，z =1−3λ√3(1−λ)m →=(1，√3，1−3λ√3(1−λ))．又平面ABCE 的一个法向量n →=(0，0，1)， 平面QAC 与平面ABCE 的夹角为 60°，所以 cos60°=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=|1−3λ√3(1−λ)|√4+(1−3λ√3(1−λ))=12．化简得5λ2+2λ﹣3＝0．即 （λ+1）（5λ﹣3）＝0．解得λ=35或λ＝﹣1（舍）． 故线段D 1B 上存在点Q ，当D 1Q D 1B =35时，平面QAC 与平面ABCE 的夹角为60°．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过A 1（﹣2，0）和B （0，−√3）两点，点A 2为椭圆C 的右顶点，点P 为椭圆C 上位于第一象限的点，直线P A 1与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ． （1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）比较△MNA 1的面积与△NA 2B 的面积的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）由题意有椭圆经过（﹣2，0），（0，−√3）， 代入可得a =2，b =√3， 所以椭圆方程为x 24+y 23=1，∵a =2，b =√3，∴c ＝1， 故离心率e =12；（2）设P （m ，n ），m ＞0，n ＞0， 且满足m 24+n 23=1⋯①，直线PA 1：y−0n−0=x+2m+2， 令x ＝0，解得M(0，2nm+2)， 直线PB ：√3n+√3=x−0m−0，令y ＝0，解得N(√3n+23m ，0)，所以四边形MNBA 1的面积S =12BM ⋅A 1N =12[(2n m+2+√3)(2+√3n+33m )]， 将①代入化简得S ＝2√3，又因为三角形A 1A 2B 的面积S 1=12×4×√3=2√3， 故S △MNA 1=S −S △A 1NB ，S △NA 2B =S 1−S △A 1NB ， 故S △MNA 1=S △NA 2B ， 故两个三角形面积相等．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣a +x ﹣2（a ∈R ）．（1）求证：f （x ）仅有一个零点；（2）若a ≤1，求证：f （x ）≥−12x 2+3x −52．【解答】解：（1）证明：f ′（x ）＝e x ﹣a +1＞0，所以f （x ）在R 上单调递增，当x →﹣∞时，e x ﹣a →0，所以f （x ）＝e x ﹣a +x ﹣2→﹣∞，当x ＝2时，f （2）＝e 2﹣a ＞0，所以f （x ）有且仅有一个零点． （2）证明：f （x ）＝e x ﹣a +x ﹣2，因为a≤1，所以e x﹣a+x﹣2≥e x﹣1+x﹣2，下面证明e x﹣1+x﹣2≥−12x2+3x−52．需要证e x﹣1+x﹣2+12x2﹣3x+52≥0，即证2e x﹣1﹣4x+1+x2≥0，令g（x）＝2e x﹣1﹣4x+1+x2，则g′（x）＝2e x﹣1﹣4+2x，令h（x）＝2e x﹣1﹣4+2x，则h′（x）＝2e x﹣1+2＞0，所以h（x）单调递增，又h（1）＝0，所以在（﹣∞，1）上，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在（1，+∞）上，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）≥g（x）min＝g（1）＝0，所以e x﹣a+x﹣2≥e x﹣1+x﹣2，所以f（x）≥e x﹣1+x﹣2．。
广东省2023年高考数学模拟(一模)试题按题型难易度分层分类汇编(11套)-01选择题(容易题)
广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-01选择题（容易题）一．元素与集合关系的判断（共1小题）1．（2023•惠州一模）设集合M＝{x∈Z|100＜2x＜1000}，则M的元素个数为（ ）A．3B．4C．9D．无穷多个二．子集与真子集（共1小题）2．（2023•广州一模）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合A的子集个数为（ ）A．3B．4C．8D．16三．交集及其运算（共2小题）3．（2023•高州市一模）已知集合A＝{x|x+1＞0}，B＝{x|3x2+2x﹣1＝0}，则A∩B＝（ ）A．{1}B．{}C．{﹣1，}D．{﹣，1} 4．（2023•茂名一模）设集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣2，﹣1，0，3}，则A∩B＝（ ）A．{﹣1，3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1}D．{0}四．补集及其运算（共1小题）5．（2023•汕头一模）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{x∈U||x﹣2|≥1}，则∁U A＝（ ）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1≤x≤3}C．{2}D．{1，﹣2，3}五．全称命题的否定（共1小题）6．（2023•江门一模）命题“∀x∈Q，x2﹣5≠0”的否定为（ ）A．∃x∉Q，x2﹣5＝0B．∀x∈Q，x2﹣5＝0C．∀x∉Q，x2﹣5＝0D．∃x∈Q，x2﹣5＝0六．抽象函数及其应用（共1小题）7．（2023•高州市一模）已知函数y＝f（x+1）﹣2是奇函数，函数g（x）＝的图象与f（x）的图象有4个公共点P i（x i，y i）（i＝1，2，3，4），且x1＜x2＜x3＜x4，则g （x1+x2+x3+x4）g（y1+y2+y3+y4）＝（ ）A．2B．3C．4D．5七．分段函数的应用（共1小题）8．（2023•广东一模）已知函数f（x）＝若f（a）＜f（6﹣a），则实数a的取值范围是（ ）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（3，+∞）D．（﹣∞，3）八．等差数列的前n项和（共1小题）9．（2023•江门一模）已知等差数列{a n}（n∈N+）的前n项和为S n，公差d＜0，，则使得S n＞0的最大整数n为（ ）A．9B．10C．17D．18九．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）10．（2023•汕头一模）已知向量＝（1，），（﹣1，0），＝（，k）．若＜，＞＝＜，＞，则实数k＝（ ）A．B．﹣3C．﹣D．3一十．平面向量的基本定理（共1小题）11．（2023•茂名一模）在△ABC中，，，若点M满足，则＝（ ）A．B．C．D．一十一．复数的代数表示法及其几何意义（共2小题）12．（2023•茂名一模）复平面内表示复数z＝i（2﹣3i）的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．（2023•佛山一模）设复数z满足（1+i）2z＝5﹣2i，则z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限一十二．复数的运算（共3小题）14．（2023•惠州一模）已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A．﹣2B．﹣2i C．1D．i 15．（2023•湛江一模）已知i为虚数单位，若＝i，则实数b＝（ ）A．1B．﹣1C．2D．﹣2 16．（2023•江门一模）已知i为虚数单位，复数z满足（1﹣i）z＝|1+i|，则z＝（ ）A．+i B．﹣i C．D．i一十三．共轭复数（共2小题）17．（2023•广州一模）若复数z＝3﹣4i，则＝（ ）A．B．C．D．18．（2023•高州市一模）已知复数z＝，则||＝（ ）A．B．C．D．一十四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）19．（2023•惠州一模）如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB ⊥AC．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A1B1C（如图2），则容器的高h为（ ）A．3B．4C．D．6一十五．二项式定理（共2小题）20．（2023•惠州一模）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（ ）A．B．C．D．21．（2023•江门一模）已知多项式，则a7＝（ ）A．﹣960B．960C．﹣480D．480广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-01选择题（容易题）参考答案与试题解析一．元素与集合关系的判断（共1小题）1．（2023•惠州一模）设集合M＝{x∈Z|100＜2x＜1000}，则M的元素个数为（ ）A．3B．4C．9D．无穷多个【答案】A【解答】解：由函数y＝2x在R上单调递增，及26＝64，27＝128，29＝512，210＝1024，可得M＝{7，8，9}，则其元素个数为3．故选：A．二．子集与真子集（共1小题）2．（2023•广州一模）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合A的子集个数为（ ）A．3B．4C．8D．16【答案】C【解答】解：∵集合A＝{x|x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，∴集合A的子集个数为23＝8．故选：C．三．交集及其运算（共2小题）3．（2023•高州市一模）已知集合A＝{x|x+1＞0}，B＝{x|3x2+2x﹣1＝0}，则A∩B＝（ ）A．{1}B．{}C．{﹣1，}D．{﹣，1}【答案】B【解答】解：集合A＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|3x2+2x﹣1＝0}＝{﹣1，}，则A∩B＝{}．故选：B．4．（2023•茂名一模）设集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣2，﹣1，0，3}，则A∩B＝（ ）A．{﹣1，3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1}D．{0}【答案】D【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣2，﹣1，0，3}，则A∩B＝{0}．故选：D．四．补集及其运算（共1小题）5．（2023•汕头一模）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{x∈U||x﹣2|≥1}，则∁U A＝（ ）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1≤x≤3}C．{2}D．{1，﹣2，3}【答案】C【解答】解：∵U＝{0，1，2，3，4}，A＝{x∈U|x≤1或x≥3}＝{0，1，3，4}，∴∁U A＝{2}．故选：C．五．全称命题的否定（共1小题）6．（2023•江门一模）命题“∀x∈Q，x2﹣5≠0”的否定为（ ）A．∃x∉Q，x2﹣5＝0B．∀x∈Q，x2﹣5＝0C．∀x∉Q，x2﹣5＝0D．∃x∈Q，x2﹣5＝0【答案】D【解答】解：原命题为全称量词命题，该命题的否定为“∃x∈Q，x2﹣5＝0”．故选：D．六．抽象函数及其应用（共1小题）7．（2023•高州市一模）已知函数y＝f（x+1）﹣2是奇函数，函数g（x）＝的图象与f（x）的图象有4个公共点P i（x i，y i）（i＝1，2，3，4），且x1＜x2＜x3＜x4，则g （x1+x2+x3+x4）g（y1+y2+y3+y4）＝（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解答】解：根据题意，函数y＝f（x+1）﹣2为奇函数，则函数y＝f（x）关于点（1，2）对称，函数g（x）＝＝+2，其图象也关于点（1，2）对称，则有x1+x2+x3+x4＝4，y1+y2+y3+y4＝8，则g（x1+x2+x3+x4）g（y1+y2+y3+y4）＝g（4）g（8）＝×＝5，故选：D．七．分段函数的应用（共1小题）8．（2023•广东一模）已知函数f（x）＝若f（a）＜f（6﹣a），则实数a的取值范围是（ ）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（3，+∞）D．（﹣∞，3）【答案】D【解答】解：根据函数f（x）的图象，可得f（x）在R上单调递增，若f（a）＜f（6﹣a），则有a＜6﹣a，∴2a＜6，∴a＜3，则实数a的取值范围是（﹣∞，3）．故选：D．八．等差数列的前n项和（共1小题）9．（2023•江门一模）已知等差数列{a n}（n∈N+）的前n项和为S n，公差d＜0，，则使得S n＞0的最大整数n为（ ）A．9B．10C．17D．18【答案】C【解答】解：根据题意，等差数列{a n}中，公差d＜0，必有a10＜a9，又由，必有a10＜0＜a9，同时有a10＜﹣a9，变形可得a9+a10＜0，则有S17＝＝17a9＞0，S18＝＝9（a9+a10）＜0，故使得S n＞0的最大整数n为17；故选：C．九．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）10．（2023•汕头一模）已知向量＝（1，），（﹣1，0），＝（，k）．若＜，＞＝＜，＞，则实数k＝（ ）A．B．﹣3C．﹣D．3【答案】B【解答】解：已知向量＝（1，），（﹣1，0），＝（，k）．又＜，＞＝＜，＞，则，则，即k＝﹣3，故选：B．一十．平面向量的基本定理（共1小题）11．（2023•茂名一模）在△ABC中，，，若点M满足，则＝（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：，，则＝＝＝．故选：A．一十一．复数的代数表示法及其几何意义（共2小题）12．（2023•茂名一模）复平面内表示复数z＝i（2﹣3i）的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解答】解：∵z＝i（2﹣3i）＝2i﹣3i2＝3+2i，∴z所对应的点的坐标为（3，2），∴复平面内z所对应的点位于第一象限．故选：A．13．（2023•佛山一模）设复数z满足（1+i）2z＝5﹣2i，则z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解答】解：∵（1+i）2z＝5﹣2i，∴2i•z＝5﹣2i，∴，∴z在复平面内对应的点位于第三象限．故选：C．一十二．复数的运算（共3小题）14．（2023•惠州一模）已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A．﹣2B．﹣2i C．1D．i【答案】A【解答】解：由z（1+2i）＝|4﹣3i|＝，得z＝，∴复数z的虚部为﹣2．故选：A．15．（2023•湛江一模）已知i为虚数单位，若＝i，则实数b＝（ ）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【答案】A【解答】解：由，得，所以b＝1．故选：A．16．（2023•江门一模）已知i为虚数单位，复数z满足（1﹣i）z＝|1+i|，则z＝（ ）A．+i B．﹣i C．D．i【答案】A【解答】解：由（1﹣i）z＝|1+i|＝，得z＝，故选：A．一十三．共轭复数（共2小题）17．（2023•广州一模）若复数z＝3﹣4i，则＝（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：z＝3﹣4i，则，，故＝．故选：A．18．（2023•高州市一模）已知复数z＝，则||＝（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：复数z＝，则＝＝．故选：A．一十四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）19．（2023•惠州一模）如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB ⊥AC．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A1B1C（如图2），则容器的高h为（ ）A．3B．4C．D．6【答案】A【解答】解：在图1中，在图2中，，∴，∴h＝3．故选：A．一十五．二项式定理（共2小题）20．（2023•惠州一模）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以展开式的总项数为7项，故n＝6，展开式的通项，当r是偶数时该项为有理项，∴r＝0，2，4，6有4项，所以所有项中任取2项，都是有理项的概率为．故选：A．21．（2023•江门一模）已知多项式，则a7＝（ ）A．﹣960B．960C．﹣480D．480【答案】A【解答】解：因为（x﹣1）10＝（﹣2+x+1）10，所以第8项为，所以．故选：A．。
广东省各市高考数学一模试题分类汇编 复数与算法初步 理
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编复数与算法初步一、复数1、（2015届广州市）已知i 是虚数单位，C 是全体复数构成的集合，若映射:f C →R 满足: 对任意12,z z C ∈，以及任意λ∈R , 都有()()()()()121211f z z f z f z λλλλ+-=+-, 则称 映射f 具有性质P . 给出如下映射:① 1:f C →R , ()1f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R );② 2:f C →R , ()22f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R );③ 3:f C →R , ()32f z x y =+, z x y =+i (,x y ∈R );其中, 具有性质P 的映射的序号为A. ① ②B. ① ③C. ② ③D. ① ② ③2、（2015届江门市） i 是虚数单位，=+2) 1 (1iA ．2iB ．2i -C ．21D ．i 23、（2015届揭阳市）已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4、（2015届茂名市）i 为虚数单位，则复数1i ＋i的虚部是（ ）A 、－iB 、iC 、1D 、－15、（2015届梅州市）i 是虚数单位，若(1)z i i +=，则||z 等于A 、1 B、2 C、2 D 、126、（2015届汕头市）若i 为虚数单位，则234i i i i +++的值为（ ）A ．1-B ．iC ．0D ．17、（2015届深圳市）已知复数z 满足1)1(=+i z （其中i 为虚数单位），则=z （）A.21i +-B 。
21i --C 。
21i +D 。
21i-8、（2015届湛江市）已知()212bi i +=（R b ∈，i 是虚数单位），则b =（ ）A ．2B ．1C ．1±D ．1或29、（2015届佛山市）复数3i 1i ++学科网等于( )A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2-D ．i 2+复数参考答案1、B2、B3、B4、D5、C6、C7、D8、B9、C二、算法初步1、（2015届梅州市）对任意非零实数a ，b ，若的运算法则如右图的框图所示，则的值等于A 、14B 、52C 、12D 、942、（2015届深圳市）执行如图2所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 16 B 。
2024届高考广东省各市高三年级一模好题(解三角形)汇编(附答案)
2024届高考广东省各市高三年级一模好题（解三角形）汇编题型01 正、余弦定理1.（2024下ꞏ广东大湾区ꞏ校联考模拟预测）已知在ABC 中，52,1,cos 6AB AC A ===，则BC =（ ）A. 1B.2C.3D.32. （2024下∙广东∙大联考）已知在ABC 中，52,1,cos 6AB AC A ===，则BC =（ ）A. 1B. 2C.3 D.33. （2024下∙广东∙江门一模）在ABC 中，30,2B b == ，c =A 的大小为（ ） A. 45B. 135 或45C. 15D. 105 或154.（2024下∙广东∙梅州市一模）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，10b =，则结合a 的值，下列解三角形有两解的为（ ） A.8a = B. 9a = C. 10a = D. 11a =5.（2024下∙广东∙广州市二中模拟）（多选）已知角A ，B ，C 是三角形ABC 的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）A ．B ．C ．若，则D ．若，则题型02 三角形面积公式1.（2024下∙广东东莞∙六校联考）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()sin sin02A Cb A Bc ++-=. (1)求B ；(2)若5,8b a c =+=，求ABC 的面积.2．（2024下∙广东深圳∙模拟）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为5,,,sin sin π6a b c A B ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭且π6C =. (1)求sin B 的值； (2)若4b =，且π2B >，求ABC 的面积.3．（2024下∙广东中山∙一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=． (1)求a ；(2)若2π3A =，且ABC 的周长为2ABC 的面积．4.（2024下∙广东惠州∙一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin cos sin cos cos a A B b A A C +=． (1)求角C 的大小；(2)若3a =，且1AB AC ⋅=，求ABC 的面积．题型03 解三角形实例应用1．（2024下∙广东清远∙一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（ ） A ．1.73B ．1.41C ．2.24D ．2.452．（2024下∙广东肇庆∙模拟）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''= ，60A B C '∠''= ．由C 点测得B 点的仰角为15 ，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45 ，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为（ ） 1.732≈）.A ．346B ．373C ．446D ．4733．（2024下∙广东深圳∙模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高20米，攀登者们在A 处测得，到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为45,75︒︒，则,A B 的高度差约为（ ）A ．7.32米B ．7.07米C ．27.32米D ．30米5．（2024下∙广东广州∙模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C 点和一建筑物DE 的楼顶E 为测量观测点，已知点A 为塔底，,,A C D 在水平地面上，来雁塔AB 和建筑物DE 均垂直于地面（如图所示）.测得18m,15m CD AD ==，在C 点处测得E 点的仰角为30°，在E 点处测得B 点的仰角为60°，则来雁塔AB 的高度约为（ ） 1.732≈，精确到0.1m ）A ．35.0mB ．36.4mC ．38.4mD ．39.6m题型04 解三角形在几何中的应用1.（2024下∙广东∙百校联考）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且πsin sin()3a C c A =+． （1）求角A 的大小；（2）若2b =，3c =，D 是边BC 的中点，求AD 的长．题型05 解三角形有关最值问题1.（2024下·广东·梅州市一模）已知ABC 是锐角三角形，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，2222S b c a =+-，则cb的取值范围为（ ）A. 5⎛ ⎝B. 5⎛ ⎝C. ,25⎛⎫⎪⎪⎝⎭ D. 25⎛⎫⎪⎪⎝⎭2.（2024下∙广东江门∙高三联考）已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()cos cos sin cos 0a B C a A B A -+-=．（1）求A ；（2）若ABC 外接圆的直径为2c b -的取值范围．3.（2024下·广东·茂名市一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 0a B b A a c --+=.（1）求B 的值；（2）若M 为AC 的中点，且4a c +=，求BM 的最小值.3.（2024下∙广东∙广州市一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积为S .已知()2224S a c b =-+-. （1）求B ；（2）若点D 在边AC 上，且π,222ABD AD DC ∠===，求ABC 的周长.题型01 正、余弦定理1.（2024下ꞏ广东大湾区ꞏ校联考模拟预测）已知在ABC 中，52,1,cos 6AB AC A ===，则BC =（ ）A.1B.C.3D.3【答案】D 【答案解析】【过程详解】由余弦定理得22222552?cos 2122163BC AB AC AB AC A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以3BC =．故选：D ．2.（2024下∙广东∙大联考）已知在ABC 中，52,1,cos 6AB AC A ===，则BC =（ ）A.1B.2C.3D.3【答案】D 【答案解析】【过程详解】由余弦定理得22222552?cos 2122163BC AB AC AB AC A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以3BC =．故选：D ．3.（2024下∙广东∙江门一模）在ABC 中，30,2B b ==，c =A 的大小为（）A.45B.135 或45C.15D.105 或15【答案】D 【答案解析】【过程详解】由题意知ABC 中，30,2B b ==，c =参考答案故sin sin b c B C =，即sin sin30sin 22c B C b===， 由于c b >，故30C B >= ，则45C = 或135 ，故A 的大小为1803045105--= 或1803013515--= ， 故选：D4.（2024下∙广东∙梅州市一模）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，10b =，则结合a 的值，下列解三角形有两解的为（ ） A.8a = B. 9a = C. 10a = D. 11a =【答案】B 【答案解析】【过程详解】由正弦定理可得，sin sin a b A B=，所以10sin 2sin b A B a a a⨯===， 因为三角形有两解，所以sin 1B <，且b a >，因此由选项知，只有9a =符合. 故选：B5.（2024下∙广东∙广州市二中模拟）（多选）已知角A ，B ，C 是三角形ABC 的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）A ．B ．C ．若，则D ．若，则【答案】ACD 【过程详解】A 选项，，选项A 正确；B 选项，，选项B 错误；在中，由正弦定理得，故C 和D 正确.故选：ACD题型02 三角形面积公式1.（2024下∙广东东莞∙六校联考）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()sin sin02A Cb A Bc ++-=. (1)求B ；(2)若5,8b a c =+=，求ABC 的面积.【答案】(1)π3B =(2)【过程详解】（1）因为()sin sin02A C b A B c ++-=，所以sin sin sin cos 02BB C C -=.因为sin 0C ≠，所以sin cos2B B =.因为π022B <<，所以cos 02B ≠，所以由sin 2sin cos 22B B B =，得1sin 22B =. 因为0πB <<，所以π3B =.故答案为：π3B =.（2）由余弦定理知22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--.因为π5,8,3b a c B =+==，所以22583ac =-，所以13ac =，故ABC 的面积1sin 2ABC S ac B == .故答案为：.2．（2024下∙广东深圳∙模拟）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为5,,,sin sin π63a b c A B ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，且π6C =. (1)求sin B 的值； (2)若4b =，且π2B >，求ABC 的面积.【答案】(1)2sin 3B =(2)【过程详解】（1）πA B C ++= ，∴由题意得π5sin sin π66B B ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11cos cos 22B B B B ⎫⎛⎫∴+-+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得2sin 3B =.（2）方法一：π2B > ，由（1）可知cos B ==， 在ABC 中，由正弦定理，得sin 3sin b Cc B ==，()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C=+=+ ，sin A ∴=，ABC ∴ 的面积1sin 2S bc A ==方法二：π2B > ，由（1）可知cos B ==， 在ABC 中，由正弦定理，得sin 3sin b Cc B ==，在ABC 中，由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-=， 2116928a a +-∴=，解得a =π2B >，b a ∴>，∴a =ABC ∴ 的面积1sin 2S bc A ==3．（2024下∙广东中山∙一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=． (1)求a ；(2)若2π3A =，且ABC 的周长为2ABC 的面积．【答案】(1)2a =； (2).【过程详解】（1）由题设(cos cos )2a a B b A c +=，由正弦定理有(sin cos sin cos )2sin a A B B A C +=， 所以sin()2sin a A B C +=，而πA B C +=-，故sin 2sin a C C =，又sin 0C >，所以2a =.（2）由（1）及已知，有2222241cos 222b c a b c A bc bc +-+-===-，可得224b c bc ++=，又2a b c ++=b c +=所以2()541b c bc bc bc +-=-=⇒=，故1sin 24ABC S bc A ==△. 4.（2024下∙广东惠州∙一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin cos sin cos cos a A B b A A C +=． (1)求角C 的大小；(2)若3a =，且1AB AC ⋅=，求ABC 的面积．【答案】(1)π3C =(2)2【过程详解】（1）因为sin cos sin cos cos a A B b A A C +=，所以根据正弦定理得sin sin cos sin sin cos cos A A B A B A A C +=， 因为sin 0A ≠，所以sin cos sin cos A B B A C +=，即()sin A B C+=，即sin C C =．因为cos 0C ≠，所以tan C =． 因为0πC <<，所以π3C =．（2） cos 1AB AC bc A ⋅==．因为2222cos a b c bc A =+-，所以2292cos 11b c bc A +=+=①．因为2222cos c a b ab C =+-，所以2222π2cos 23cos 3393b c ab C a b b -=-=⨯⨯⨯-=-②．联立①②可得22320b b --=，解得2b =（负根舍去），故ABC的面积为11sin 3222ab C =⨯⨯=． 题型03 解三角形实例应用1．（2024下∙广东清远∙一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（ ） A ．1.73 B ．1.41C ．2.24D ．2.45【答案】A【过程详解】如图，设观赏者的眼睛在点D 处，油画的上沿在点A 处，下沿在点B 处，点C 在线段AB 延长线上，且保持与点D 在同一水平线上， 则ADB θ∠=即观赏时的视角. 依题意2,1,AB BC AC DC ==⊥，不妨设DC x =，则BD AD ==在ABD △中，由余弦定理，2cos θ====因0x >，则2296x x +≥=，当且仅当49x =时，即x =由2296x x +≥可得2291016x x ++≥，则224109410x x <≤++，则cos θ=≥， 因函数cos y x =在π(0,)2上单调递减，故得π06θ≤≤，即最大视角为π6 1.73≈.故选：A.2．（2024下∙广东肇庆∙模拟）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''= ，60A B C '∠''= ．由C 点测得B 点的仰角为15 ，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45 ，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为（ ）1.732≈）.A ．346B ．373C ．446D ．473【答案】B【过程详解】过C 作CH BB '⊥，过B 作BD AA '⊥，故()100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--='''''-+=+'，由于B 点测得A 点的仰角为45，知ADB 为等腰直角三角形，所以AD DB =， 所以100100AA CC DB A B ''''-=+=+，因为15BCH ∠=，所以100tan15CH C B =''= ，在A B C ''' 中，180604575C A B '''∠=--=，由正弦定理得：100100sin45sin75tan15cos15sin15A B C B ''''===，而()sin15sin 4530sin45cos30cos45sin30=︒-=-=，所以)10041001273A B ⨯⨯==≈''，所以100373AA CC A B ''''-=+≈， 故选：B ．3．（2024下∙广东深圳∙模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高20米，攀登者们在A 处测得，到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为45,75︒︒，则,A B 的高度差约为（ ）A ．7.32米B ．7.07米C ．27.32米D ．30米【答案】A【过程详解】模型可简化为如上图，在Rt ADC 中，45,75BAD CAD ∠=︒∠=︒，所以tan 7520tan 45BDBD ⨯︒-=︒，而()1tan 45tan 30tan 75tan 45301tan 45tan 30+︒+︒︒=︒+︒===-︒⨯︒，代入上式并化简可得7.32BD =米，故选：A.5．（2024下∙广东广州∙模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C 点和一建筑物DE 的楼顶E 为测量观测点，已知点A 为塔底，,,A C D 在水平地面上，来雁塔AB 和建筑物DE 均垂直于地面（如图所示）.测得18m,15m CD AD ==，在C 点处测得E 点的仰角为30°，在E 点处测得B 点的仰角为60°，则来雁塔AB 的高度约为（ ） 1.732≈，精确到0.1m ）A ．35.0mB ．36.4mC ．38.4mD ．39.6m【答案】B【过程详解】过点E 作EF AB ⊥，交AB 于点F ， 在直角三角形ECD 中，因为30ECD ∠=︒，所以tan 18tan30DE CD DCE ∠=⋅=⨯︒= 在直角三角形BEF △中，因为60BEF ∠=︒，所以tan 15tan60BF EF FEB ∠=⋅=⨯︒=则()36.4m AB BF AF BF ED =+=+==≈.故选：B.题型04 解三角形在几何中的应用1.（2024下∙广东∙百校联考）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且πsin sin()3a C c A =+． （1）求角A 的大小；（2）若2b =，3c =，D 是边BC 的中点，求AD 的长．【答案】（1）π3； （2）2.【答案解析】 【小问1过程详解】在ABC 中，由正弦定理及πsin sin(3a C c A =+，得πsin sin sin sin(3A C C A =+，而sin 0C >，则πsin sin(3A A =+，由0πA <<，知π4π033A A <<+<， 因此ππ3A A +=-，解得π3A =， 所以角A 的大小为π3. 【小问2过程详解】由（1）知π3A =，由D 是边BC 的中点，得1()2AD AB AC =+ ，所以||2AD ====.题型05 解三角形有关最值问题1.（2024下·广东·梅州市一模）已知ABC 是锐角三角形，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，2222S b c a =+-，则cb的取值范围为（ ）A. 5⎛⎝B. 5⎛⎝C. ,25⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 25⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【答案解析】【过程详解】依题意，2222sin S bc A b c a ==+-，222sin 22cos ,tan 22b c a A A A bc +-===，由22sin 2cos sin cos 1π02A A A A A ⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪<<⎩解得sin ,cos 55A A ==. ()sin sin sin cos cos sin sin sin sin A B c C A B A Bb B B B ++===15tan 5B =+，由于三角形ABC 是锐角三角形，所以π02π2B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩， 所以ππ022A B <-<<，所以πtan tan 2B A ⎛⎫>- ⎪⎝⎭， 所以πcos 11sin 20tan 2ππtan cos tan sin 22A A A BA A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭<<====⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以110,5tan 555tan 5B B <<<+<.故选：A2.（2024下∙广东江门∙高三联考）已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()cos cos sin cos 0a B C a A B A -+-=．（1）求A ；（2）若ABC外接圆的直径为2c b -的取值范围． 【答案】（1）π3A = （2）()3,6- 【答案解析】 【小问1过程详解】由πA B C ++=可得：()πA B C =-+，所以()cos cos A B C =-+， 所以()()cos cos sin cos a B C a B C B A --+=，cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos a B C a B C a B C a B C B A +-+=，sin sin sin cos a B C B A =，由正弦定理可得sin sin sin sin cos A B C C B A =，因为sin 0,sin 0C B >>，所以sin A A =，所以tan A =因为()0,πA ∈，所以π3A =. 【小问2过程详解】由正弦定理可得2sin sin sin a b cR A B C====，所以,b B c C ==，故)22sin sin c b C B C B -=-=-， 又πA B C ++=，所以2π2π,0,33B C C ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以2π322sin sin sin cos 322c b C C C C ⎫⎡⎤⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎭π6sin 6C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,662C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()π26sin 3,66c b C ⎛⎫-=-∈- ⎪⎝⎭，所以2c b -的取值范围为()3,6-. 3.（2024下·广东·茂名市一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 0a B b A a c --+=.（1）求B 的值；（2）若M 为AC 的中点，且4a c +=，求BM 的最小值.【答案】（1）π3 （2【答案解析】【小问1过程详解】由正弦定理及cos cos 0a B b A a c --+=，得sin cos sin cos sin sin 0A B B A A C --+=，又()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2sin cos sin 0A B A -=，又()0,πA ∈，∴sin 0A ≠，∴2cos 10B -=，即1cos 2B =， 又()0,πB ∈，∴π3B =. 【小问2过程详解】 由M 为AC 的中点，得1122BM BA BC =+ ，而4a c +=，所以22221111122442BM BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭()2221111cos 4424c a ac B a c ac ⎡⎤=++=+-⎣⎦ ()()2221334216a c a c a c ⎡⎤+⎛⎫≥+-=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当4a c a c =⎧⎨+=⎩，即2a c ==时等号成立， 所以BM 的3.（2024下∙广东∙广州市一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积为S .已知()2224S a c b =-+-. （1）求B ；（2）若点D 在边AC 上，且π,222ABD AD DC ∠===，求ABC 的周长. 【答案解析】 （1）12πsin 2cos ,tan 243ac B ac B B B =-⋅==. （2）1233BD BA BC =+ ，12,033AB BD BA BD BA BA BC ⎛⎫⊥∴⋅=⋅+= ⎪⎝⎭ ，21210332c c a a c ⎛⎫∴+⋅⋅-=⇒= ⎪⎝⎭，而221292a c ac ⎛⎫+-⋅-= ⎪⎝⎭，a c ABC ∴==∴的周长为(3+.。
广东省广州市2023届高三一模数学试题
一、单选题二、多选题1.在，的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A．B．C．D．3. 已知向量，，与的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．5. i 为虚数单位，则复数的共轭复数是（ ）A．B．C．D．6. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是6和12，且，则该圆台的体积为（）A．B．C．D．7. 等腰中，，D为线段上的动点，过D 作交于E ．过D 作交于F ，则（ ）A．B．C．D．8.设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为（ ）A．B．C．D．9.已知函数，，则下列说法正确的是（ ）A ．对任意的，的周期都不可能是B ．存在，使得的图象关于直线对称C ．对任意的，D ．对任意的，在上单调递减10. 已知定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（ ）A．是奇函数B ．是周期函数C．D．广东省广州市2023届高三一模数学试题广东省广州市2023届高三一模数学试题三、填空题四、解答题11. 定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（ ）A ．对任意的，有B．存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立C．若与垂直，则与共线D．若与共线，则与的模相等12. 甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型：其中正实数分别为甲､乙两方初始实力，为比赛时间；分别为甲､乙两方时刻的实力；正实数分别为甲对乙､乙对甲的比赛效果系数.规定当甲､乙两方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为.则下列结论正确的是（ ）A ．若且，则B．若且，则C．若，则甲比赛胜利D．若，则甲比赛胜利13. 在平面直角坐标系中，已知,若在以点为圆心，为半径的圆上存在不同的两点,使得，则的取值范围为___．14.函数 最小正周期为______________.15. 设等差数列的前项和为，若，则_________.16. 如图，四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.（1）求的大小；（2）求二面角的余弦值.17.已知四棱锥，底面是梯形，，，侧面底面，为的中点，，，，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.18. 某经销商采购了一批水果，根据某些评价指标进行打分，现从中随机抽取20筐（每筐1kg），得分数据如下：17，23，27，31，36，40，45，50，51，51，58，63，65，68，71，78，79，80，85，95．根据以往的大数据认定：得分在区间，，，内的分别对应四级、三级、二级、一级．(1)试求这20筐水果得分的平均数．(2)用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售：方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级出售；方案2：分等级出售．不同等级水果的售价如下表所示：等级一级二级三级四级售价（万元/2 1.8 1.5 1.2吨）请从经销商的角度，根据售价分析采用哪种销售方案较好，并说明理由．19.已知，，在下列情况下，求的值：（1）；（2）；（3）与的夹角为120°.20. 已知函数．(1)求的最小正周期T；(2)求的最小值以及取得最小值时的集合．21. 已知是一个单调递增的等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.。
广东省高三数学一模试卷附解析
，
设高为 ，那么
.
故答案为：A
【分析】 根据圆锥的体积公式先求出 π 的近似值，然后根据圆锥的外表积公式建立等式求出底面半径， 最后根据体积公式进行求解即可.
8.【解析】【解答】解：
，
而
的展开式的通项公式为
，
故
的展开式中 的系数为
，
那么
，
故答案为：C．
【分析】 式子即
， 再利用二项展开式的通项公式，求得 的系数，根
A. 1023
B. 55
C. 45
D. 35
6. ， 是两个正数，4 是 与 的等比中项，那么以下说法正确的选项是〔 〕
A. 的最小值是 1 B. 的最大值是 1 C.
的最小值是
D.
的最大值是
7.?算数书?是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖〞的术：置如其周，令相乘也，又以 高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式
因为
，当且仅当
等号成立
故
的最小值为 ，无最大值，C 和 D 都错误.
故答案为：B
【分析】 由利用等比数列的性质，根本不等式得 ab≤1，即可判断 A，B；利用根本不等式即可判断 C， D,即可得解.
7.【解析】【解答】解：圆锥的体积
，解得
，
那么设所求圆锥的底面直径与母线长为
，那么底面半径为 ，
那么
，解得
B. 假设
，那么以下说法正确的选项是〔 〕 的最小值为－5，那么
〕，那么
使得
成立
C. 假设
， x∈[0， ]
都有
成立，那么
D. 假设函数 在
上存在最大值，那么正实数 的取值范围是
广东省11大市高三数学一模试题分类汇编5 复数
广东省11大市2013届高三数学（理）一模试题分类汇编复数1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））已知11a bi i=+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i =A ．12+iB ．2+iC ．2-iD ．12-i 答案：B2、（江门市2013届高三2月高考模拟）在复平面内，O 是原点，向量OA 对应的复数是i -2（其中， i 是虚数单位），如果点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量对应的复数是A ．i --2B ．i +-2C ．i +2D ．i 21- 答案：C3、（揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟）已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -，则21z z = A ．13i -+ B ．3i-- C ．3i + D ．3i - 答案：C4、（梅州市2013届高三3月总复习质检）设i 是虚数单位，复数1i i+对应的点在 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限答案：A5、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）设x ，y ∈R ，则“x ＝0”是“复数x+yi 为纯虚数”的（ ）A 充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B6、（韶关市2013届高三调研考试）已知i 为虚数单位，则111i+-2（＋i ）＝（ ） A 、－i B 、－1 C 、i D 、1答案：C7、（深圳市2013届高三2月第一次调研考试）已知是虚数单位，则复数()=+i i113A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --1答案：C8、（佛山市2013届高三教学质量检测（一））设i 为虚数单位，则复数i 2i +等于 A ．12i 55+ B ． 12i 55-+C ．12i 55-D ．12i 55-- 答案：A 9、（茂名市2013届高三第一次高考模拟考试）计算：2(1)i i +=( )A ．-2B ．2C ．2iD ．-2i答案：A10、（湛江市2013届高三高考测试（一））复数z 满足z ＋1＝2＋i （i为虚数单位），则z （1－i ）＝A 、2B 、0C 、1＋iD 、i答案：A11、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟考试）设1z i =-（是虚数单位），则2z z+= A ．2 B ．2i + C ．2i - D ．22i +答案：D。
【2022】广东省高三数学(一模)试题(含答案)
2022广东省高三数学（一模）精编试题（含答案）一、单选题（60分）1．已知集合{1,2,3,4,5,6,7},{3,4,5},{1,3,6}U M N ===，则集合{2,7}等于（ ） A ．M N ⋂B ．()UM NC ．()UM N ⋂D ．M N ⋃2．某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为4800人，4000人，2400人．现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本中高中学生人数为（ ） A ．42人B ．84人C ．126 人D ．196人3．直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定4．已知函数ln ,0()0xx x f x e x ⎧=⎨≤⎩＞,，则14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（ ） A ．4B ．2C ．12D ．145．已知向量(2,1),(,2)a b x ==-，若2a b a b +=-，则实数x 的值为（ ） A ．49B ．12C ．94D ．26．如图所示，给出的是计算111124622++++值的程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．i ＞9B ．i ＞10C ．i ＞11D ．i ＞127．设函数()12cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若对于任意的x R ∈都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π8．刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则．提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率π为3.14．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作．其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推．若在圆内随机取一点，则该点取自该圆内接正十二边形的概率为（ ）A B ．32πC ．3πD ．3π9．已知1sin cos ,05αααπ-=<<，则cos 2=α（ ） A ．725-B ．725C ．2425D ．2425-10．已知点()00,P x y 在曲线32:1C y x x =-+上移动，曲线C 在点P 处的切线的斜率为k ，若1,213k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则0x 的取值范围是（ ）A ．75,37⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．7,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．7,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．[7,9]-11．已知O 为坐标原点，设双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的左右焦点分别为12F F ，，点P 是双曲线C 上位于第一象限上的点，过点2F 作12F PF ∠角平分线的垂线，垂足为A ，若122b F F OA =-，则双曲线的离心率为（ ） A ．54B ．43C ．53D ．212．在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．7πB ．8πC ．163πD ．283π二、填空题（20分）13．已知复数22z i =-．则24z z +=_____．14．已知函数()f x=在区间(0,)+∞上有最小值4，则实数k ＝_____． 15．已知直线a ⊥平面α，直线b ⊂平面β，给出下列5个命题①若α∥β，则a ⊥b ；②若α⊥β，则a ⊥b ：③若α⊥β，则a ∥b ：④若a ∥b ，则α⊥β；⑤若a ⊥b 则α∥β，其中正确命题的序号是_____．16．如图，在平面四边形ABCD 中，∠BAC ＝∠ADC 2π=，∠ABC 6π=，∠ADB 12=π，则tan ∠ACD ＝_____．三、解答题（70分）17．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且满足n n a n S =-，设1n n b a =-． （1）求123,,a a a ；（2）判断数列{}n b 是否是等比数列，并说明理由； （3）求数列{}n a 的前n 项和S n ．18．如图1，在边长为2的等边△ABC 中，D ，E 分别为边AC ，AB 的中点．将△ADE 沿DE 折起，使得AB ⊥AD ，得到如图2的四棱锥A ﹣BCDE ，连结BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ．（1）证明：AH BD ⊥；（2）设点B 到平面AED 的距离为h 1，点E 到平面ABD 的距离为h 2，求12h h 的值． 19．某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第1天到第5天的日产卵数据：对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．（1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y 关于x 的回归方程为a bx y e +=（其中e 为自然对数的底数），求实数a ，b 的值（精确到0.1）；（2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间（e 6，e 8）上的时段为优质产卵期，利用（1）的结论，估计在第6天到第10天中任取两天，其中恰有1天为优质产卵期的概率． 附：对于一组数据（v 1，μ1），（v 2，μ2），…，（v n ，μn ），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆn i i i n i i v u nv u v nvβ==∑-⋅=∑-，ˆˆu v αβ=-⋅． 20．已知⊙M 过点A ，且与⊙N ：22(16x y +=内切，设⊙M 的圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）设直线l 不经过点(0,1)B 且与曲线C 相交于P ，Q 两点．若直线PB 与直线QB 的斜率之积为14-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．已知函数()()(0)bx f x x a e b =+≠的最大值为1e，且曲线()y f x =在x ＝0处的切线与直线2y x =-平行（其中e 为自然对数的底数）． （1）求实数a ，b 的值；（2）如果120x x <<，且()()12f x f x =，求证：1233x x +>．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为312x ty t =+⎧⎨=+⎩，(t 为参数)，曲线2C 的参数方程为x y θ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(θ为参数，且322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，)． （1）求1C 与2C 的普通方程，（2）若A B ，分别为1C 与2C 上的动点，求AB 的最小值． 23．已知函数()36f x x x a =-+-， （1）当1a =时，解不等式()3f x <;（2）若不等式()114f x x <-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，求实数a 的取值范围．答 案1．B 2．A 3．A 4．D 5．C 6．C 7．C 8．C 9．A 10．B 11．C 12．D 13．1i -- 14．4 15．①④． 16． 17．（1）123137,,248a a a ===；（2）数列{}n b 是等比数列，理由见解析；（3） 112nn S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．【分析】（1）n n a n S =-，可得111a a =-，解得122122a a a ⎛⎫⋅=-+⎪⎝⎭，解得23331342a a a ⎛⎫⋅=-++ ⎪⎝⎭，解得3a ；（2）,2n n a n S n =-≥时，111n n a n S --=--，相减可得：()11112n n a a --=-，可得：112n n b b -=．即可得出结论；（3）由（2）可得：12nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 可得1n n a b =+，可得n n S n a =-. 【详解】解：（1）11,1n n a n S a a =-∴=-，解得112a =．22122a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得234a =． 3331342a a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，解得378a =．（2）,2n n a n S n =-≥时，111n n a n S --=--，相减可得：121n n a a -=+，变形为：()11112n n a a --=- 由1n n b a =-．可得：112n n b b -=． 11112b a =-=-∴数列{}n b 是等比数列，首项为12-，公比为12．（3）由（2）可得：1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则1112nn n a b ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭． 112n n n S n a n ⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭．18．（1）证明见解析；（2）3．【分析】（1）在图1中，证明BD ⊥AC ，ED ∥BC ，则在图2中，有12DH ED HB BC ==，得DH 13BD ==，然后证明△BAD ∽△AHD ，可得∠AHD ＝∠BAD ＝90°，即AH ⊥BD ； （2）由V B ﹣AED ＝V E ﹣ABD ，得12ABD AEDh Sh S=，分别求出三角形ABD 与三角形AED 的面积得答案． 【详解】（1）证明：在图1中，∵△ABC 为等边三角形，且D 为边AC 的中点，∴BD ⊥AC ， 在△BCD 中，BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝1，∴BD = ∵D 、E 分别为边AC 、AB 的中点，∴ED ∥BC ， 在图2中，有12DH ED HB BC ==，∴DH 133BD ==． 在Rt△BAD 中，BD =AD ＝1，在△BAD 和△AHD 中，∵DB DADA DH==∠BDA ＝∠ADH ∴△BAD ∽△AHD ．∴∠AHD ＝∠BAD ＝90°，即AH ⊥BD ； （2）解：∵V B ﹣AED ＝V E ﹣ABD ，∴121133AED ABD S h S h ⋅=⋅，则12ABD AEDh S h S=．∵△AED 是边长为1的等边三角形，∴AEDS=在Rt △ABD 中，BD =AD ＝1，则AB =∴2ABDS=， 则12h h =．【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明，等体积法的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题． 19．（1）a ≈1.1，b ≈0.7；（2）35【分析】（1）根据y ＝e a +bx ，两边取自然对数得lny ＝a +bx ，再利用线性回归方程求出a 、b 的值； （2）根据y ＝e 1.1+0.7x ，由e 6＜e 1.1+0.7x ＜e 8求得x 的取值范围，再利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 【详解】解：（1）因为y ＝e a +bx ，两边取自然对数，得lny ＝a +bx ， 令m ＝x，n ＝lny ，得n ＝a +bm ；因为21515.9454.755 6.9355ˆ0.693555310b -⨯⨯===-⨯； 所以0.7b ≈；因为15.94ˆˆ0.73 1.0885an bm =-=-⨯=； 所以a ≈1.1；即a ≈1.1，b ≈0.7；（2）根据（1）得y ＝e 1.1+0.7x ， 由e 6＜e 1.1+0.7x ＜e 8，得7＜x 697＜； 所以在第6天到第10天中，第8、9天为优质产卵期； 从未来第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有：(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10)共10种；其中恰有1天为优质产卵期的有：(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,10),(9,10)共6种；设从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的事件为A ， 则63()105P A ==； 所以从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的概率为35． 【点睛】本题考查了非线性回归方程的求法以及古典概型概率的计算，也考查了运算求解能力，属于中档题．20．（1）2214x y +=；（2）存在，直线l 过定点(0,0) 【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线C 的轨迹方程；（2）设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则BP 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程，解得交点P ，同理可得Q 的坐标，考虑P ，Q 的关系，运用对称性可得定点． 【详解】解：（1）设⊙M 的半径为R ，因为圆M 过A ，且与圆N 相切 所以||,||4R AM MN R ==-，即4MN MA +=， 由||4NA <，所以M 的轨迹为以N ，A 为焦点的椭圆．设椭圆的方程为2222x y a b +=1（a ＞b ＞0），则2a ＝4，且c ==，所以a ＝2，b ＝1，所以曲线C 的方程为24x +y 2＝1；（2）由题意可得直线BP ，BQ 的斜率均存在且不为0，设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则BP 的方程为y ＝kx +1，联立椭圆方程2244x y +=， 可得()221480kx kx ++=，解得12280,14kx x k==-+ 则222814,1414k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 因为直线BQ 的斜率为14k-， 所以同理可得222814,1414k k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 因为P ，Q 关于原点对称，（或求得直线l 的方程为2418k y x k-=）所以直线l 过定点(0,0) 【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，椭圆中直线过定点问题，考查化简运算能力，属于中档题． 21．（1）0,1a b ==-；（2）证明见解析 【分析】（1）对原函数求导数，然后利用在x ＝0处切线的斜率为1，函数的最大值为1e列出关于a ，b 的方程组求解；（2）利用()()12f x f x =找到12,x x 的关系式2121x xx x e -=，然后引入21t x x =-，构造关于t 的函数，将123x x +转换成关于t 的函数，求最值即可． 【详解】解：（1）由已知()(1)bx f x bx ab e '=++．则易知(0)11,0f ab ab '=+=∴=，又因为0b ≠，故a ＝0． 此时可得()(0),()(1)bx bx f x xe b f x bx e =≠'=+． ①若b ＞0，则当1x b<-时，()0,()f x f x '<递减； 当1x b>-时，()0,()f x f x '>递增． 此时，函数()f x 有最小值，无最大值． ②若b ＜0，则当1x b<-时，()0,()f x f x '>递增； 当1x b>-时，()0,()f x f x '<递减． 此时1111()max f x f e b be-⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得1b =-． 所以0,1a b ==-即为所求．（2）由120x x <<，且()()12f x f x =得：1212x x x x e e =． ∴2211121x x x x x e x x e e -==．设21(0)t x x t =->，则11t e x x t -=可得1211t t t t te x x e e ==--，，所以要证1233x x +>，即证3311tt t t te e e +--＞．∵t ＞0，所以10t e ->，所以即证(3)330t t e t -++>． 设()(3)33(0)t g t t e t t =-++>，则()(2)3t g t t e '=-+． 令()(2)3t h t t e =-+，则()(1)t h t t e '=-当(0,1)t ∈时，()0,()h t h t '<递减；当(1,)t ∈+∞时，()0,()h t h t '>递增． 所以()(1)30h t h e ≥=->，即()0g t '>，所以()g t 在(0,)+∞上递增． 所以()(0)0g t g >=．1233x x ∴+>．22．（1）1C 的普通方程为2250x y C --=；的普通方程为22133x y -=，x ≤（2【分析】（1）消参即可求出1C 的普通方程；对2C 的参数方程同时平方得()222222223cos sin 3cos cos 3sin cos x y θθθθθθ⎧+⎪==⎪⎨⎪=⎪⎩，再结合322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可得2C 的普通方程； （2）设1C 的平行直线为20x y c -+=，当直线20x y c -+=与2C 相切时，两直线的距离即为AB 的最值，即可得解. 【详解】（1）消参可得1C 的普通方程为250x y --=；又因为2C的参数方程为 cos x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得()222222223cos sin 3cos cos 3sin cos x y θθθθθθ⎧+⎪==⎪⎨⎪=⎪⎩，又322ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，所以x ≤ 所以2C的普通方程为(22133x y x -=≤，（2）由题意，设1C 的平行直线为20x y c -+=，联立2220133x y c x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩消元可得：223430x cx c +++=，令()()2212340c c ∆=+=-，解得3c =±，又因为x ≤3c =时直线与2C 相切，所以min AB ==. 【点睛】本题考查了参数方程和直角坐标方程的转化，考查了圆锥曲线上的点到直线上的点的距离的最值的求解，属于中档题.23．（1）51,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）()85-，． 【分析】（1）由题意()47125,12?472x x f x x x x x -+<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-≥⎩，，，分类讨论即可得解；（2）转化条件得5a <且25a x >-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，根据恒成立问题的求解方法即可得解. 【详解】（1）当1a =时，()47136125,12?472x x f x x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=-+≤<⎨⎪-≥⎩，，，当1x <时，()3f x <即473x -+<，解得1x >（舍）；当12x ≤<时，()3f x <即253x -+<，解得1x >，所以12x <<； 当2x ≥时，()3f x <即473x -<，解得52x <，所以522x ≤<； 综上，()3f x <的解集为51,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）由()36114f x x x a x =-+-<-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 则5 50x a xx ⎧-<-⎨->⎩对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 所以5 5x x a x a x-<-⎧⎨-<-⎩即5a <且25a x >-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，即85a -<<，故a 的取值范围为()85-，.。
2024届广东新高考高三数学一模练习卷+答案
2024新高考数学一模练习卷（一）数学试卷本卷共6页，满分150分，完成时间120分钟．考生注意事项：1．答卷开始前，考生务必将自己的姓名，准考证号正确填涂于答题卡的指定区域；并检查试卷与答题卡的张数与印刷情况．2．在回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡对应标号上将选项涂黑；若需改动，用橡皮擦干净后，再将改动后的选项标号涂黑．3．在回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡的指定区域上填写答案；若需改动，将原答案划掉，再填上改动后的答案，改动后的答案也不得超出指定的答题区域．4．答卷结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合AA={xx|xx2−4xx+3<，BB={xx|yy=ln(xx−1)} ，则CC BB AA= （ * ）．（A）{xx|xx≥1} （B）{xx|xx≥3}（C）{xx|1≤xx≤3} （D）{xx|xx≤3}2. 在复平面中，点ZZ1对应的复数为zz，点ZZ2对应的复数为zz̅，若|ZZ1|=|ZZ1ZZ2|=2 ，则OOZZ1��������⃗·OOZZ2��������⃗= （ * ）．（A）−5（B）−4（C）4（D）53. 已知事件AA，BB，CC相互独立，且PP(AA) ,PP(BB) ,PP(CC)∈(0,1)，则在以下说法中，错误的是（ * ）．（A）事件AA，BB，CC均为随机事件（B）事件AA，BB，CC均与必然事件MM相互独立（C）事件AA，BB，CC均与不可能事件NN不互斥（D）事件AA，BB，CC均与事件AA∩BB∩CC对立4. 记SS nn为数列{aa nn}的前nn项和，若aa1=1 ，SS nn=2aa nn+aa nn+1，则在aa1~aa2024中，整数的个数是（ * ）．（A）1012（B）1011（C）2024（D）20235. 中国是瓷器的故乡．“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为 6cm ）的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为 20cm ，底面直径AABB=10cm ，底面直径CCCC=20cm ，EEEE=16cm ，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（ * ）．图1 图2（A）669ππ cm3（B）1338ππ cm3（C）650ππ cm3（D）1300ππ cm36. 已知椭圆Γ:xx2aa2+yy2bb2=1 (aa>bb>0)过点�32√2,√2�，则下列直线方程不与Γ相切的是（ * ）．（A）3√3xx+4yy−16=0（B）3xx+4yy+12=0（C）4xx+6yy−17=0（D）xx−4yy−10=07. 已知函数ff(xx)=2sin�ωωxx+ππ6�在区间(0,ππ)上有ωω个极值点（ωω∈NN∗），则ωω的最小值是（ * ）．（A）1（B）2（C）3（D）48. 已知aa=1+sin110，bb=√ee10，cc=1.0110，dd=1716，则（ * ）．（A）bb>aa>dd>cc（B）bb>cc>aa>dd（C）bb>aa>cc>dd（D）bb>cc>dd>aa二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 2023年我国的生育率仅为每千人6.2人，再创新低，引发了社会广泛的关注和讨论．某课外小组就“您是否愿意生育孩子？”为问题对某某高校同学随机进行了采访，以下为其采访记录表：您是否愿意生育孩子愿意(XX=1)不愿意(XX=0)男同学40 60女同学60 40考虑到由于大学生的心智发展不成熟，不能完全代表当代年轻人，于是其又对年龄为25至30周岁的市民进行了采访调查，以下为其采访记录表：您是否愿意生育孩子愿意(XX=1)不愿意(XX=0)男士60 40女士70 30则（ * ）．（A）该两次的调查结果均服从两点分布，属于200重伯努利试验（B）高校大学生愿意生育孩子的期望为0.5，25至30周岁的为0.65（Cαα=0.005 的独立性检验，是否愿意生育孩子与年龄有关（D）通过下表的小概率值αα=0.005 的独立性检验，是否愿意生育孩子与性别有关注：χχ2=nn(aadd−bbcc)2(aa+bb)(cc+dd)(aa+cc)(bb+dd)，其中nn=aa+bb+cc+ddαα0.10.050.01 0.005 0.001xxαα 2.706 3.841 6.635 7.897 10.82810. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图3，沿着BBBB1和CCCC1分别作上底面的垂面，垂面经过棱EEPP，PPPP，PPHH，HHEE的中点EE，GG，MM，NN，则两个垂面之间的几何体2如图4所示，若EENN=AABB=EEAA=2 ，则（ * ）．（A）BBBB1=2√2（B）EEGG//AACC（C）BBCC⊥平面BBEEBB1GG（D）几何体2的表面积为 16√3+8图3 图411. 已知椭圆EE:xx24+yy23=1 ，过椭圆EE的左焦点EE1的直线ll1交椭圆EE于AA、BB两点，过椭圆EE的左焦点EE2的直线ll2交椭圆EE于CC、CC两点，则（ * ）．（A）若AAEE1�������⃗=2EE1BB�������⃗，则ll1的斜率kk=√62（B）|AAEE1|+4|BBEE1|的最小值为274（C）以AAEE1为直径的圆与圆xx2+yy2=4 相切（D）若ll1⊥ll2，则四边形AABBCCCC面积的取值范围为�28849,6�图5 12. 已知正实数mm，nn，qq满足：�2mm+3nn=6qq2mm·3nn=5qq，则（ * ）．（A）ln2<qq<1（B）0<mmnn<12（C）√2<mm+nn qq<√6（D）ln5ln6<mm2+nn2<ln5+ln6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在�√xx+1xx�4的展开式中，√xx的系数是________．（用数字作答）14. 函数ff(xx)=sin|xx|+|cos xx| ,xx∈(0,2ππ)的极值点个数为________．15. 已知函数ff(xx)=�(xx+1)2 ,xx≤0ln xx ,xx>0，若方程ff(xx)=mm有三个不同的实根aa，bb，cc，则SS=|aaff(aa)+bbff(bb)+ccff(cc)|的取值范围是__________．16. 若实数aa，bb满足aa2+bb2≤6aa，则(2aa+bb)(2bb−aa+3)≤0 的概率为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知在△AABBCC中，角AA、BB、CC所对的边分别为aa，bb，cc．且有 tan AA+tan BB−√3tan AA tan BB=−√3 ．（1）求 sin CC；（2）若cc=2 ，记AABB的中点为MM，求CCMM的取值范围．18.（12分）在阅读完（选择性必修第三册）课本第53页《贝叶斯公式与人工智能》后，小李同学决定做一个相关的概率试验，试验过程如下：小李同学找来了小王同学；小李同学制作了三张标号，分别为1，2，3的相同规格纸片；每轮开始前，小李同学心里默想1，2，3中的一个随机数字；小王同学先选定一张纸片，小李同学将剩余2张纸片中挑走1张不与自己默想数字相同标号的纸片；小王同学再进行一次选择；小王同学选定最终结果后，若其选择的纸片标号与小李默想的一致，就记录一次1分，否则记录一次0分；重复进行多轮试验．（1）为了尽可能多计分，如果你是小王同学，第二轮选择时你会怎样选？说明理由；（2）在（1）的情境下，求进行2轮试验总计分的数学期望EE(XX2)；19.（12分）记数列{aa nn}的前nn项和为SS nn，已知SS nn=nnaa nn+1−nn2−nn．（1）证明：{aa nn}是等差数列；（2）若aa1=43，证明：1SS1+1SS2+1SS3+⋯+1SS nn<2720．20.（12分）如图6，在四棱柱AABBCCCC−AA′BB′CC′CC′中，底面AABBCCCC和侧面BBBB′CC′CC均为正方形，AABB=2 ．连接BB′CC，点EE、EE分别为BB′CC、CC′CC′的中点．（1）求AA′EE和CC′EE夹角的正弦值；（2）求平面AA′BBEE和平面CCCC′EE的夹角．图6 21.（12分）如图7，已知OO为坐标原点，抛物线的方程为xx2=2ppyy(pp>0)，EE是抛物线的焦点，椭圆的方程为xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)，过EE的直线ll与抛物线交于MM，NN两点，反向延长OOMM, OONN分别与椭圆交于PP，HH两点．（1）求kk OOOO、kk OOOO的值；（2）若|OOPP|2+|OOHH|2=5 恒成立，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，SS△OOOOOO SS△OOOOOO的最小值为1，求抛物线的方程．（其中SS△OOOOOO，SS△OOOOOO 分别是△OOMMNN和△OOPPHH的面积）图7 22.（12分）已知函数ff(xx)=aa ln xx−xx+ln aa−1 ，gg(xx)=aaxx aa ee xx+1−1 .（其中aa>0 ）（1）若∃xx0>0 ，ff(xx0)≥ee2+1 ，求aa的取值范围；（2）若yy=ff(xx)与yy=gg(xx)有且仅有一个交点，求实数aa的值.2024年广东省新高考数学一模练习卷（一）数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D A B C A B二、选择题题号9 10 11 12答案BCD ABC BCD ABC三、填空题题号13 14 15 16 答案 4 4 [0,ee−2]12四、解答题17.（1）由题 tan AA+tan BB−√3tan AA tan BB=−√3⇒tan AA+tan BB=−√3(1−tan AA tan BB)⇒tan AA+tan BB1−tan AA tan BB=−√3⇒tan(AA+BB)=−√3⇒tan CC=−tan(AA+BB)=√3⇒CC=ππ3所以 sin CC=√32.（2）如图所示，构造△AABBCC的外心NN，连接AANN，BBNN，CCNN，MMNN由题得AAMM=BBMM=1 ，AANN=CCNN=BBNN=RR=2cc sin CC=2√33，MMNN=12AANN=√33由三角形三边关系得CCNN−MMNN≤CCMM≤CCNN+MMNN，即√33≤CCMM≤√3 ，故CCMM∈�√33,√3�.18.（1）记事件 AA 1 为“第二次选择时不换纸片”，AA 2 为“第二次选择时换纸片”，BB 1 为“记1分”，BB 2 为“记0分”，由贝叶斯公式得：PP (BB 1|AA 1)=PP (BB 1)PP (AA 1|BB 1)PP (AA 1)=PP (BB 1)PP (AA 1|BB 1)PP (BB 1)PP (AA 1|BB 1)+PP (BB 2)PP (AA 1|BB 2)=13PP (BB 1|AA 2)=1−PP (BB 1|AA 1)=23>PP (BB 1|AA 1)所以如果我是小王同学，我会选择换纸片（2）记2轮的总得分为 XX ，结合（1）得 XX 的分布列为PP (XX =0)=19 ，PP (XX =1)=49 ，PP (XX =2)=49用表格表示 XX 的分布列，如下表所示：XX 012PP19 49 49 EE (XX 2)=0×19+1×49+2×49=43故进行2轮试验总计分的数学期望 EE (XX 2) 为 4319.（1）由题意 SS nn =nnaa nn+1−nn 2−nn ，SS nn +aa nn+1=SS nn+1=(nn +1)aa nn+1−nn 2−nn=(nn +1)(aa nn+1−nn )=(nn +1)aa nn+2−(nn +1)2−(nn +1)=(nn +1)(aa nn+2−nn −2)，所以 aa nn+1−nn =aa nn+2−nn −2 ，即 aa nn+2=aa nn+1+2 ，所以 {aa nn } 是以2为公差的等差数列 （2）由（1）及题意得等差数列 {aa nn } 的前 nn 项和SS nn =nn 2(aa 1+aa nn )=nn 2�23+2nn�=nn �nn +13�1SS nn =1nn �nn +13�=3nn (3nn +1)1SS 1+1SS 2+⋯+1SS nn =3�11×4+12×7+⋯+1nn ×(3nn +1)� 即证 33×4+36×7+⋯+33nn ×(3nn +1)<920易知 (3nn −1)(3nn +2)<3nn (3nn +1)则 33nn (3nn +1)<3(3nn −1)(3nn +2)33×4+36×7+⋯+33nn ×(3nn +1)<14+�35×8+⋯+3(3nn −1)×(3nn +2)�=14+�15−18+18−111+⋯+13nn−1−13nn+2�<14+15=920原题得证，证毕20.（1）如图，以AA′为坐标原点，AA′BB′为x轴，AA′DD′为y轴，AA′AA为z轴，建立空间直角坐标系则AA(0,0,2)，BB(2,0,2)，CC(2,−2,2)，DD(0,−2,2)，BB′(2,0,0)，CC′(2,−2,0)，DD′(0,−2,0)，EE(1,−1,1)，FF(1,−2,0)则AA′FF�������⃗=(1,−2,0)，CC′EE�������⃗=(−1,1,1)，cos<AA′FF�������⃗ ,CC′EE�������⃗>=AA′FF�������⃗·CC′EE�������⃗|AA′FF�������⃗|×�CC′EE�������⃗�=−3√15=−√155sin<AA′FF�������⃗ ,CC′EE�������⃗>=�1−cos2<AA′FF�������⃗ ,CC′EE�������⃗>=2√55（2）设θθ为平面AA′BBFF和平面CCCC′EE的夹角由（1）得AA′BB�������⃗=(2,0,2)，AA′FF�������⃗=(1,−2,0)，设平面AA′BBFF的法向量nn1����⃗=(xx1,yy1,zz1)，则有�2xx1+2zz1=0xx1−2yy1=0，令xx1=2 得�yy1=1zz1=−2，所以nn1����⃗=(2,1,−2)；CC′CC�������⃗=(0,0,2)，CC′EE�������⃗=(−1,1,1)，设平面CC′CCEE的法向量nn2����⃗=(xx2,yy2,zz2)，则有�2zz2=0−xx2+yy2+zz2=0，令xx1=1 得�yy2=1zz2=0，所以nn2����⃗=(1,1,0)；cosθθ=cos<nn1����⃗ ,nn2����⃗>=nn1����⃗·nn2����⃗|nn1����⃗|×|nn2����⃗|=33√2=√22又因为θθ∈�0,ππ2�，所以θθ=ππ4，故平面AA′BBFF和平面CCCC′EE的夹角为ππ421.（1）设直线OOMM的斜率为kk1(kk1>0)，直线OONN的斜率为kk2，由题可知，直线MMNN的斜率不为0，设MM(xx1, yy1), NN(xx2, yy2)，设直线MMNN: yy=kkxx+pp2，则由�yy=kkxx+pp2xx2=2ppyy，可得xx2−2ppkkxx−pp2=0，易知 ΔΔ>0 ，由韦达定理得 xx 1xx 2=−pp 2,yy 1yy 2=(xx 1xx 2)24pp 2=pp 24，则 kk 1kk 2=yy 1xx 1⋅yy 2xx 2=−14 ； （2）设 PP (xx 3,yy 3), QQ (xx 4, yy 4)， 由题可知，ll OO OO : yy =kk 1xx , ll OO OO :yy =kk 2xx ，其中kk 1kk 2=−14，联立方程�yy =kk 1xxxx 2aa 2+yy 2bb 2=1⇒xx 32=aa 2bb 2bb 2+aa 2kk12 ，同理 xx 42=16aa 2bb 2kk 12aa 2+16bb 2kk 12 ，因为：|OOPP |2+|OOQQ |2=xx 32+yy 32+xx 42+yy 42=xx 32+�1−xx 32aa 2�bb 2+xx 42+�1−xx 42aa 2�bb 2=2bb 2+�1−bb 2aa2�(xx 32+xx 42)=2bb 2+�aa 2−bb 2aa 2��aa 2bb 2bb 2+aa 2kk 12+16aa 2bb 2kk 12aa 2+16bb 2kk 12� =2bb 2+�aa 2−bb 2aa 2�⋅aa 2⋅aa 2bb 2+(32bb 4)kk 12+16aa 2bb 2kk 14aa 2bb 2+(aa 4+16bb 4)kk 12+16aa 2bb 2kk 14 =2bb 2+(aa 2−bb 2)aa 2bb 2+(32bb 4)kk 12+16aa 2bb 2kk 14aa 2bb 2+(aa 4+16bb 4)kk 12+16aa 2bb 2kk 14．因为 |OOPP |2+|OOQQ |2=5 为定值，所以上式与 kk 1 无关， 所以当 32bb 4=aa 4+16bb 4 ，即 aa 2=4bb 2 时，此时 aa 2+bb 2=5 ，所以 aa 2=4 , bb 2=1 ，所以椭圆的方程为xx 24+yy 2=1．（3）因为 SS △OOOOOOSS△OOOOOO=12|OOOO ||OOOO |ssss nn ∠OOOOOO 12|OOOO ||OOOO |ssss nn ∠OOOOOO =|OOOO ||OOOO ||OOOO ||OOOO |=�xx 1xx2xx 3xx 4� ，由（2）可知，当aa 2=4， bb 2=1时，xx 32=41+4kk12， xx 42=16kk 121+4kk 12， xx 1xx 2=−pp 2，SS △OOOOOO SS △OOOOOO =�xx 1xx 2xx 3xx 4�=pp 28|kk 1|1+4kk 12=pp 28�1|kk 1|+4|kk 1|�≥pp 22， 故pp 22=1⇒pp =√2，当且仅当kk 1=±12时，等号成立，此时抛物线方程为xx 2=2√2yy .22.（1）ff (xx )=aa ln xx −xx +ln aa −1 ,xx ∈RR + ，ff ′(xx )=aaxx −1=aa−xx xx，令 ff ′(xx )=0 得 xx =aa当 0<xx <aa 时，ff ′(xx )>0 ，ff (xx )↑ ；当 xx >aa 时，ff ′(xx )<0 ，ff (xx )↓ . 所以 ff (xx )max =ff (aa )=aa ln aa −aa +ln aa −1=(aa +1)(ln aa −1) . 令 ℎ(aa )=(aa +1)(ln aa −1) ，ℎ′(aa )=ln aa +1aa =aa ln aa+1aa，再令φφ(aa)=aa ln aa+1 ，φφ′(aa)=1+ln aa，令φφ′(aa)=0 得aa=1ee当 0<aa<1ee时，φφ′(aa)<0 ，φφ(aa)↓；当aa>1ee时，φφ′(aa)>0 ，φφ(aa)↑.所以φφ(aa)min=φφ�1ee�=1−1ee>0 ，即φφ(aa)>0 ，即ℎ′(aa)>0 ，所以ℎ(aa)↑,原题“∃xx0>0 ，ff(xx0)≥ee2+1”等价于“ff(aa)≥ee2+1”，即(aa+1)(ln aa−1)=ℎ(aa)≥ee2+1 ，观察到ℎ(ee2)=ee2+1 ，又由ℎ(aa)↑得：当 0<aa<ee2时，ℎ(aa)<ℎ(ee2)=ee2+1 ；当aa≥ee2时，ℎ(aa)≥ℎ(ee2)=ee2+1所以aa≥ee2，即aa的取值范围为[ee2,+∞).（2）令tt=ff(xx)=aa ln xx−xx+ln aa−1 ，则ee tt=ee aa ln xx−xx+ln aa−1=ee(ln aa+ln xx aa)−(xx+1)=aaxx aa ee xx+1所以gg(xx)=aaxx aa ee xx+1−1=ee tt−1 ，联立ff(xx)=gg(xx)，即tt=ee tt−1 .令Φ(tt)=ee tt−1−tt，所以方程“tt=ee tt−1”的解等价于Φ(tt)的零点.Φ′(tt)=ee tt−1 ，令Φ′(tt)=0 得tt=0 ，当tt<0 时，Φ′(tt)<0 ，Φ(tt)↓；当tt>0 时，Φ′(tt)>0 ，Φ(tt)↑.所以Φ(tt)min=Φ(0)=0 ，所以方程“tt=ee tt−1”的解仅为tt=0 ，再由题意，tt=ff(xx)=0 有且仅有一根，即ff(xx)仅有唯一零点.ff(xx)=aa ln xx−xx+ln aa−1 ff(xx)=aa xx−1=aa−xx xx，令ff′(xx)=0 得xx=aa当 0<xx<aa时，ff′(xx)>0 ，ff(xx)↑；当xx>aa时，ff′(xx)<0 ，ff(xx)↓.所以ff(xx)max=ff(aa)=aa ln aa−aa+ln aa−1=(aa+1)(ln aa−1).又注意到当xx→0 时，ff(xx)−∞；当xx→+∞时，ff(xx)−∞；所以ff(xx)的唯一零点即其极值点，即(aa+1)(ln aa−1)=0 ，得aa=−1 （舍）或aa=ee. 故aa的值为ee.。
高三数学试卷一模广东
高三数学试卷一模广东一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，则f(-1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B为：A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 4}D. {1, 2, 3, 4}3. 已知向量a=(3, -4)，b=(-2, 3)，则向量a·b的值为：A. -17B. 5C. -5D. 174. 已知函数y=x^3-3x^2+2x，求其导数y'：A. 3x^2 - 6x + 2B. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 3x + 2D. x^3 - 6x + 25. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=2，公差d=3，则a_10的值为：A. 28B. 29C. 30D. 316. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，求圆心坐标：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)7. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)为：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)8. 已知抛物线方程为y^2 = 4x，求其焦点坐标：A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (0, 0)9. 已知复数z=1+i，则|z|的值为：A. 1B. √2C. 2D. √310. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求其对称轴方程：A. x = 3B. x = -3C. x = 6D. x = -6二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
）11. 已知函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 6，求f'(x) = ________。
广东2024高三一模数学试题及参考答案(详细)
广东2024届高三一模数学试题及参考答案
(详细)
2024届广东一模数学试题
2024届广东一模数学试题答案
怎样正确对待模拟考
1、千万要自觉遵守考试纪律。
模拟考的目的重在发现问题，以利再战，而不在于评价。
因此成绩必须是真实的，而不能给老师以虚假的信息，从而误导老师做出正确的判断。
有些同学虚荣心强，考试就想，这是“掩耳盗铃”，自欺欺人。
这部分同学还没有真正认识到模拟考的作用，不能正确对待模拟考试。
我们要求同学们尊重自我，高度自觉。
2、千万不要害怕考试。
同学们自上学以来，记不清经过多少次大大小小的考试，可以说久经沙场。
但还是不少同学害怕考试，一考试就紧张，一想到考试心就慌，这也是正常的心理现象。
关键是如何战胜自己，消除怯场，考试是生活在现代社会的学生、甚至部分成人必须面对的现实，是无法躲避的现实，考试是一种竞争，竞争的根源是社会差别。
只要社会差别存在，就存在竞争，考试只是维护公平竞争的手段。
因此同学们要正视竞争，积极投身于竞争，不能害怕竞争。
我们强调“高考意识”，就是投身竞争的积极态度。
高考是一种特殊“仪式”，是真正的成人仪式，当一个高中生通过高考，他就是一个真正的大人了。
高三模拟考试的特点
模拟考试试题的内容也是以考试大纲规定的考查知识范围为依据，题型与真题相似。
模拟考试各方面难易程度较适中;但也可能出现不严谨题目。
模拟考试所用试题是相关考试的专家系统编制的题目或是从题库整编出来的题目。
模拟考试只能作为一种学习后的一种测试，与真实考试情况仍可能不尽相同。
广东省10大市高三数学 一模试题分类汇编12 复数
广东省10大市2013届高三数学（文）一模试题分类汇编复数1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））已知i 是虚数单位，则复数1-2i 的虚部为A ．2B ．C ．1-D ．2-答案：D2、（江门市2013届高三2月高考模拟）已知0 )4()3(=-+-+i y y x ，其中x ，R y ∈， i 是虚数单位，则=xA ．1B ．1-C ．7D ．7-答案：B3、（揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟）已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -，则21z z = A ．13i -+ B ．3i-- C ．3i + D ．3i - 答案：C4、（梅州市2013届高三3月总复习质检）设i 是虚数单位，复数1i i+对应的点在 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限答案：A5、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：A6、（深圳市2013届高三2月第一次调研）已知i 为虚数单位，则(1–i)2 =A. 2iB. -2iC. 2D. -2 答案：B7、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟）设为虚数单位，复数i a z 31-=，bi z +=22，其中a 、b ∈R. 若12z z =，则ab =A ．1-B ．5C ．6-D ．6答案：C8、（佛山市2013届高三教学质量检测（一））设i 为虚数单位，则复数i 2i +等于A ．12i 55+B ． 12i 55-+C ．12i 55-D ．12i 55-- 答案：A 9、（茂名市2013届高三第一次高考模拟）计算：2(1)i i +=( )A ．-2B ．2C ．2iD ．-2i答案：A10、（湛江市2013届高三高考测试（一））复数z 满足z ＋1＝2＋i （i 为虚数单位），则z （1－i ）＝A 、2B 、0C 、1＋iD 、i 答案：A。
2024届广东省各市高三一模数学基础题汇编
2024广东省各市一模数学基础题整理6单选+2多选+2填空一、选择题：每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1(2024·广东·一模)记复数z 的共轭复数为z ，若z (1+i )=2-2i ，则|z |=()A.1B.2C.2D.22【答案】C【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算及共轭复数求出z，再求出复数的模.【详解】依题意，z =2-2i 1+i =(2-2i )(1-i )(1+i )(1-i )=-4i2=-2i ，因此z =2i ，所以|z|=2.故选：C2(2024·广东·一模)已知集合A =x x =k π2,k ∈Z ,B =x x =π2+k π,k ∈Z ，则()A.A =BB.A ∩B =∅C.A ⊆BD.A ⊇B【答案】D【分析】由集合A ,B 的元素特性，可得集合间的关系.【详解】由集合B ={x x =(2k +1)π2,k ∈Z，A ={x x =k π2,k ∈Z ，得A ⊇B .故选：D3(2024·广东·一模)双曲线x 23-y 2=1的顶点到其渐近线的距离为()A.3B.1C.32D.33【答案】C【分析】求出双曲线的顶点坐标及渐近线的方程，再利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】依题意，双曲线x 23-y 2=1的顶点为(±3,0)，渐近线方程为x ±3y =0，所以双曲线x 23-y 2=1的顶点到其渐近线的距离为312+(3)2=32.故选：C4(2024·广东·一模)过A (-1,0)，B (0,3)，C (9,0)三点的圆与y 轴交于M ，N 两点，则|MN |=()A.3B.4C.8D.6【答案】D【分析】设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，代入坐标得D ,E ,F 的值，即可得圆的方程，再令x =0，即可求得与y 轴相交弦长.【详解】设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，代入点A (-1,0)，B (0,3)，C (9,0)，则1-D +F =09+3E +F =081+9D +F =0，解得D =-8,E =0,F =-9，可得x 2+y 2-8x -9=0，整理得x -4 2+y 2=25符合题意，所以圆的方程为x 2+y 2-8x -9=0，故选：D .5(2024·广东·一模)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过( )天，甲的“日能力值”是乙的20倍(参考数据：lg102≈2.0086，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010)A.23 B.100C.150D.232【答案】B【分析】根据给定信息，列出方程，再利用指数式与对数式的互化关系求解即可.【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，n 天后，甲、乙的“日能力值”分别(1+2%)n ,(1-1%)n ，依题意，(1+2%)n (1-1%)n =20，即10299 n =20，两边取对数得n lg 10299=lg20，因此n =1+lg2lg102-lg99≈1+0.30102.0086-1.9956≈100，所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.故选：B6(2024·广东·一模)“α=π4+k π(k ∈Z )”是“3cos 2α+sin 2αsin αcos α=3+1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定条件，求出tan α，再利用齐次式法求值及充分条件、必要条件的定义判断得解.【详解】由α=π4+k π(k ∈Z )，得tan α=1，由3cos 2α+sin 2αsin αcos α=3+1，得tan 2α+3tan α=3+1，解得tan α=1或tan α=3，所以“α=π4+k π(k ∈Z )”是“3cos 2α+sin 2αsin αcos α=3+1”的充分不必要条件，A 正确.故选：A7(2024·广东深圳·一模)若角α的终边过点4,3 ，则sin α+π2=()A.45B.-45C.35D.-35【答案】A【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点4,3 ，所以cos α=442+32=45，所以sin α+π2 =cos α=45.故选：A8(2024·广东深圳·一模)已知i 为虚数单位，若z =2i1+i，则z ⋅z =()A.2B.2C.-2iD.2i【答案】8B【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果.【详解】因为z =2i1+i =2i 1-i 1+i ⋅1-i=2i 1-i 2=1+i ，所以z =1-i ，z ⋅z=1+i ⋅1-i =2.9(2024·广东深圳·一模)已知函数f x 是定义域为R 的偶函数，在区间0,+∞ 上单调递增，且对任意x 1,x 2，均有f x 1x 2 =f x 1 f x 2 成立，则下列函数中符合条件的是()A.y =ln xB.y =x 3C.y =2xD.y =x【答案】D【分析】由指数、对数运算性质结合函数单调性、奇偶性定义逐一判断每个选项即可求解.【详解】对于A ，f x 1x 2 =ln x 1x 2 =ln x 1 +ln x 2 =f x 1 +f x 2 ，故A 错误；对于B ，f -1 =-1=-f 1 ，故y =x 3不是偶函数，故B 错误；对于C ，f x 1 f x 2 =2x 12x 2=2x 1+x 2=f x 1+x 2 ，故C 错误；对于D ，f x 1x 2 =x 1x 2 =x 1 x 2 =f x 1 f x 2 ，又y =f x =x 定义域为全体实数，它关于原点对称，且f -x =-x =x =f x ，即函数f x 是定义域为R 的偶函数，当x >0时，f x =x 单调递增，满足题意.故选：D .10(2024·广东深圳·一模)已知a ,b 是夹角为120°的两个单位向量，若向量a +λb 在向量a上的投影向量为2a ，则λ=()A.-2 B.2C.-233D.233【答案】A【分析】由投影向量计算公式可得答案.【详解】a +λb 在向量a 上的投影向量为a ⃗+λb ⃗ ⋅a⃗a ⃗2a ⃗=2a ⃗⇒a ⃗+λb ⃗ ⋅a⃗a ⃗2=2.⇒a +λb ⋅a =a 2+λa ⋅b cos120o =1-12λ=2⇒λ=-2.故选：A11(2024·广东深圳·一模)由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为a n ，即a 1=0,a 2=2,a 3=4,⋯，若a n =2024，则n =()A.34B.33C.32D.30【答案】B【分析】由题意可知一位自然数有2个，两位自然数有6个，三位自然数有18个，利用列举法列出符合题意得自然数，即可求解.【详解】由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列{a n }，则一位自然数有2个，两位自然数有32-3=6个，三位自然数有33-9=18个，四位自然数有34-27=54个，又四位自然数为2000,2002,2004,2020,2022,2024,⋯2024为四位自然数中的第6个，所以n =1+2+6+18+6=33.故选：B12(2024·广东深圳·一模)已知某圆台的上、下底面半径分别为r 1,r 2，且r 2=2r 1，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为()A.28π3B.40π3C.56π3D.112π3【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解r 1,r 2，然后代入圆台体积公式求解即可.【详解】如图，设圆台上、下底面圆心分别为O 1,O 2，则圆台内切球的球心O 一定在O 1O 2的中点处，设球O 与母线AB 切于M 点，所以OM ⊥AB ，所以OM =OO 1=OO 2=2，所以△AOO 1与△AOM 全等，所以AM =r 1，同理BM =r 2，所以AB =r 1+r 2=3r 1，过A 作AG ⊥BO 2，垂足为G ，则BG =r 2-r 1=r 1，AG =O 1O 2=4，所以AG 2=AB 2-BG 2，所以16=3r 1 2-r 21=8r 21，所以r 1=2，所以r 2=22，所以该圆台的体积为132π+8π+4π ×4=56π3.故选：C13(2024·广东江门·一模)某市高三年级男生的身高X (单位：cm )近似服从正态分布N 175,52 .现随机选择一名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm 的概率是( )参考数据：P μ-σ≤x ≤μ+σ ≈0.6827A.0.6827 B.0.34135C.0.3173D.0.15865【答案】D【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.【详解】由题意，μ=175,σ=5，且P μ-σ≤x ≤μ+σ ≈0.6827，所以P X ≤170 =P X ≤μ-σ ≈1-0.68272=0.15865.故选：D14(2024·广东江门·一模)在△ABC 中，B =30°,b =2，c =22，则角A 的大小为()A.45°B.135°或45°C.15°D.105°或15°【答案】D【分析】利用正弦定理求得角C ，根据三角形内角和，即可求得答案.【详解】由题意知△ABC 中，B =30°,b =2，c =22，故b sin B =c sin C，即sin C =c sin B b =22×sin30°2=22，由于c >b ，故C >B =30°，则C =45°或135°，故A 的大小为180°-30°-45°=105°或180°-30°-135°=15°，故选：D15(2024·广东江门·一模)已知a n 是等比数列，a 3a 5=8a 4，且a 2，a 6是方程x 2-34x +m =0两根，则m =()A.8B.-8C.64D.-64【答案】C根据等比数列下标和性质计算可得.【详解】在a n 是等比数列，a 3a 5=a 24，a 2a 6=a 24，又a 3a 5=8a 4，所以a 4=8，又a 2，a 6是方程x 2-34x +m =0两根，所以m =a 2a 6=a 24=64.故选：C16(2024·广东江门·一模)已知角α的终边上有一点P -35,45 ，则cos π2+α =()A.-45B.45C.-35D.35【答案】A【分析】根据三角函数的定义可求得sin α的值，再利用诱导公式，即可求得答案.【详解】由题意知角α的终边上有一点P -35,45，则|OP |=-352+452=1，故sin α=45，则cos π2+α =-sin α=-45，故选：A17(2024·广东江门·一模)设F 1，F 2为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线C 的渐近线于M 、N 两点，且点M 、N 分别在第一、三象限，若∠MAN =23π，则双曲线的离心率为()A.153B.21C.213D.15【答案】C【分析】先求出点M ，N 的坐标，再利用余弦定理求出a ,c 之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【详解】由题意得圆的方程为x 2+y 2=c 2，不妨设双曲线的渐近线为y =bax ．设点M 的坐标为x 0,y 0 ，则点N 的坐标为-x 0,-y 0 ，由y =b a xx 2+y 2=c2，又c 2=a 2+b 2，解得x =a y =b 或x =-a y =-b ，∴M a ,b ，N -a ,-b ．又A -a ,0 ，∴AM =a +a2+b 2，AN =-a --a2+b 2=b 2，在△MAN 中，∠MAN =23π，由余弦定理得MN |2= AM |2+|AN 2-2AM AN cos 2π3即4c 2=(a +a )2+b 2+b 2-2(a +a )2+b 2⋅b cos 2π3，化简得7a 2=3c 2，∴e =213．故选：C ．18(2024·广东江门·一模)已知1+x 4+1+x 5+⋯+1+x 11=a 0+a 12+x +a 22+x 2+⋯+a 112+x11，则a 0+a 2+a 4+⋯+a 10的值是()【答案】B【分析】利用赋值法，分别令x =-1和x =-3，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案.【详解】令x =-1，则0=a 0+a 1+a 2+⋯+a 11，即a 0+a 1+a 2+⋯+a 11=0令x =-3，则-2 4+-2 5+⋯+-2 11=a 0-a 1+a 2-a 3+⋯-a 11，即a 0-a 1+a 2-a 3+⋯-a 11=(-2)4[1-(-2)8]1-(-2)=-1360，两式相加可得a 0+a 2+a 4+⋯+a 10=-13602=-680，故选：B19(2024·广东汕头·一模)“a >12”是“1a<2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件求解即可.【详解】因为a >12⇒2a >1⇒1a <2，而1a <2推不出a >12，例如a =-1满足1a <2，但a >12不成立，所以“a >12”是“1a<2”的充分不必要条件，故选：A20(2024·广东汕头·一模)在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为()A.21B.24C.27D.30【答案】C【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求解即得.【详解】令插入的3个数依次为a 1,a 2,a 3，即3,a 1,a 2,a 3,15成等差数列，因此2a 2=3+15，解得a 2=9，所以插入的3个数之和为a 1+a 2+a 3=3a 2=27.故选：C21(18-19高一下·江苏南通·期末)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A =60°，b =10，则结合a 的值，下列解三角形有两解的为()A.a =8B.a =9C.a =10D.a =11【答案】B【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.【详解】由正弦定理可得，a sin A=b sin B ，所以sin B =b sin A a =10×32a =53a ，因为三角形有两解，所以sin B <1，且b >a ，因此由选项知，只有a =9符合.故选：B22(2024·广东汕头·一模)1+1x31+x 7展开式中x 3项的系数为()A.42 B.35C.7D.1【答案】A【分析】写出展开式通项，令x 的指数为3，求出参数的值，代入通项后即可得解.因为1+1x 31+x 7=1+x 7+x -31+x 7，在C r 7⋅x r r =0,1,2,⋯,7 中，令r =3，可得x 3项的系数为C 37=35；在x -3C k 7⋅x k =C k 7⋅x k -3k =0,1,2,⋯,7 中，令k -3=3，得k =6，可得x 3项的系数为C 67=7.所以，1+1x31+x 7展开式中x 3项的系数为35+7=42.故选：A .23(2024·广东汕头·一模)已知函数f (x )=ln m +x 1-n -x (m >0,n >0)是奇函数，则1m +2n 的最小值为()A.3B.5C.3+22D.3+42【答案】C【分析】根据函数的奇偶性可得m +n =1，利用基本不等式求最值即可.【详解】令m +x1-n -x>0，得(x +m )(x -1+n )<0，故函数f (x )的定义域为x (x +m )(x -1+n )< 0 ．因为f (x )是奇函数，则其定义域关于原点对称，可得-m +1-n =0，即m +n =1，此时f (x )=ln m +x m -x ，可得f (x )+f -x =ln m +x m -x +ln m -xm +x=ln1=0，可得f (x )是奇函数，即m +n =1符合题意；故1m +2n =1m +2n (m +n )=3+n m +2m n≥3+22，当且仅当n m =2mn ，即m =2-1，n =2-2时等号成立，故1m +2n 的最小值为3+22，故选：C ．24(2024·广东汕头·一模)在复数范围内，下列命题是真命题的为()A.若z ≠0，则z -z是纯虚数 B.若z 2=-z 2，则z 是纯虚数C.若z 21+z 22=0，则z 1=0且z 2=0 D.若z 1、z 2为虚数，则z 1z 2 +z 1 z 2∈R 【答案】D【分析】利用特殊值法可判断ABC 选项；利用共轭复数的定义结合复数的乘法、复数的概念可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取z =1，则z =1，所以，z -z =0，此时，z -z不是纯虚数，A 错；对于B 选项，取z =0，则z 2=-z 2成立，但z 不是纯虚数，B 错；对于C 选项，取z 1=i ，z 2=1，则z 21+z 22=0，但z 1≠0且z 2≠0，C 错；对于D 选项，若z 1、z 2为虚数，设z 1=a +bi ，z 2=c +di a ,b ,c ,d ∈R ，则z 1 =a -bi ，z 2 =c -di ，所以，z 1z 2 +z 1z 2=a +bi c -di +a -bi c +di =ac +bd +bc -ad i +ac +bd +ad -bc i =2ac +bd ∈R ，D 对.故选：D .25(2024·广东湛江·一模)已知函数f x =2x -a2xcos x 是偶函数，则实数a =()A.1B.-1C.2D.-2【答案】B【分析】根据偶函数定义可直接构造方程求得结果.【详解】∵f -x =2-x -a 2-x cos -x =-a ⋅2x+12xcos x ，f x 为偶函数，∴f -x =f x ，则-a =1，解得：a =-1.故选：B .26(2024·广东湛江·一模)已知复数z =7+5i1+i，则z =()A.6+iB.6-iC.1+6iD.1-6i【答案】A【分析】利用复数的除法运算可得z =6-i ，再由共轭复数定义可得z=6+i .【详解】由z =7+5i 1+i 可得z =7+5i 1-i 1+i 1-i=7-7i +5i -5i 21-i 2=12-2i2=6-i ，则z=6+i.故选：A27(2024·广东湛江·一模)已知向量a ，b 均为单位向量，a ⊥b ，若向量c =3a +2b 与向量a的夹角为θ，则cos θ=()A.35B.105C.510D.155【答案】D【分析】由向量的夹角和模长公式求解即可.【详解】因为向量a ，b 均为单位向量，a ⊥b，所以a =b =1，a ⋅b=0，因为c =3a +2b ，所以c ⋅a =3a +2b ⋅a =3a 2+2a ⋅b=3，c =3a +2b2=3a 2+2b 2+26a ⋅b=5，所以cos θ=c ⋅a c ⋅a =35=155.故选：D .28(2024·广东湛江·一模)中国是瓷器的故乡，中国瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献．下图是明清时期的一件圆台形青花缠枝纹大花盆，其上口直径为20cm ，下底直径为18cm ，高为24cm ，则其容积约为()A.1448π cm 3B.1668π cm 3C.2168π cm 3D.3252π cm 3【答案】C【分析】根据上下底面直径分别计算出上、下底面面积，代入公式计算即可得出结果.【详解】依题意可得该圆台形大花盆的上底面面积为S 1=100π cm 2，下底面面积为S 2=81π cm 2，又高为ℎ=24cm ，代入圆台体积公式可得V=13S1+S2+S1S2ℎ=2168π cm3.故选：C29(2024·广东湛江·一模)已知f1x =xe x+sin x+cos x，f n+1x 是f n x 的导函数，即f2x =f1 x ，f3 x =f2 x ，⋯，f n+1x =f n x ，n∈N∗，则f20240 =()A.2021B.2022C.2023D.2024【答案】B【分析】求函数的导数，找到函数f n x 的规律即可.【详解】解：因为f1x =xe x+sin x+cos x，所以f2x =f1 x =x+1e x+cos x-sin x；f3x =f2 x =x+2e x-sin x-cos x；f4x =f3 x =x+3e x-cos x+sin x；f5x =f4 x =x+4e x+sin x+cos x；⋯⋯，由此规律可得：f2024x =f2023 x =x+2023e x-cos x+sin x.所以f20240 =0+2023e0-cos0+sin0=2023-1=2022.故选：B.30(2024·广东湛江·一模)已知函数f x =sinωx+2π3ω>0在区间π12,π6上单调递增，则ω的取值范围是()A.2,5B.1,14C.9,10D.10,11【答案】D【分析】由x的范围可求得ωx+2π3的范围，结合正弦函数单调性，采用整体代换的方式即可构造不等式组求得结果.【详解】当x∈π12,π6时，ωx+2π3∈π12ω+2π3,π6ω+2π3，∵f x 在π12,π6上单调递增，∴π12ω+2π3≥-π2+2kππ6ω+2π3≤π2+2kπk∈Z，解得：ω≥-14+24k ω≤-1+12kk∈Z，又ω>0，∴-14+24k≤-1+12k -1+12k>0，解得：112<k≤1312，又k∈Z，∴k=1，∴10≤ω≤11，即ω的取值范围为10,11.故选：D.31(2024·广东广州·一模)设集合A=1,3,a2,B=1,a+2，若B⊆A，则a=()A.2B.1C.-2D.-1【答案】A【解析】B⊆A，则a+2=3或a+2=a2,a=1或-1或2.a=1时，A=1,3,1，舍；a=-1时，A=1,3,1,舍.∴a=2，选A.32(2024·广东广州·一模)已知复数z满足z-3+4i=1，则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】令z =x +yi ,z -3+4i =1,∴(x -3)2+(y +4)2=1，x ,y 在以3,-4 为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限，选D .33(2024·广东广州·一模)记S n 为等比数列a n 的前n 项和，若a 3a 5=2a 2a 4，则S 4S 2=()A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】a 3a 5=2a 2a 4，则a 24=2a 4a 2,∴a 4=2a 2,∴q 2=2S 4S 2=a 11-q 41-qa 11-q 2 1-q=1-q 41-q2=1+q 2=3，选C .34(2024·广东广州·一模)已知正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的上､下底面边长分别为1和2，且BB 1⊥DD 1，则该棱台的体积为()A.722B.726C.76D.72【答案】B【解析】设上､下底面中心分别为O ,O 1,BB 1与DD 1交于点M ,BD =2,B 1D 1=22，MO =12BD =22,MO 1=12B 1D 1=2,h =22,V =131+4+2 ⋅22=726，选B .35(2024·广东广州·一模)设B ,F 2分别是椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的右顶点和上焦点，点P 在C 上，且BF 2 =2F 2P ，则C 的离心率为()A.33B.6513C.12D.32【答案】A【解析】B b ,0 ,F 20,c ,BF 2 =2F 2P ，则P -b 2,3c 2 ,P 在椭圆上，∴14+94⋅c 2a 2=1，∴e =33，选A .36(2024·广东广州·一模)已知函数f x 的部分图象如图所示，则f x 的解析式可能是()A.f x =sin tan xB.f x =tan sin xC.f x =cos tan xD.f x =tan cos x【答案】D【解析】f 0 ≠0，排除A ,B ,f x 的定义域为R ，排除C ，选D .二、选择题：每小题6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．37(2024·广东·一模)已知向量a=(1,3)，b =(cos α,sin α)，则下列结论正确的是()A.若a ⎳b ，则tan α=3B.若a ⊥b ，则tan α=-33C.若a 与b 的夹角为π3，则|a -b |=3D.若a 与b 方向相反，则b 在a 上的投影向量的坐标是-12,-32 【答案】ABD【分析】利用向量共线的坐标表示判断A ；利用垂直的坐标表示判断B ；利用数量积的运算律求解判断C ；求出投影向量的坐标判断D .【详解】向量a=(1,3)，b =(cos α,sin α)，对于A ，由a ⎳b，得sin α=3cos α，因此tan α=3，A 正确；对于B ，由a ⊥b ，得3sin α+cos α=0，因此tan α=-33，B 正确；对于C ，a 与b 的夹角为π3，|a |=2,|b |=1，a ⋅b =2×1×12=1，因此|a -b |=a 2+b 2-2a ⋅b=3，C 错误；对于D ，a 与b 方向相反，则b 在a 上的投影向量为a ⃗⋅b ⃗|a ⃗|2a ⃗=-12a ⃗=-12,-32，D 正确.故选：ABD38(2024·广东·一模)已知偶函数f (x )的定义域为R ，f 12x +1 为奇函数，且f (x )在0,1 上单调递增，则下列结论正确的是()A.f -32<0 B.f 43>0 C.f (3)<0D.f 20243>0【答案】BD【分析】根据奇函数、偶函数的性质，首先推出函数为周期函数，再根据函数的单调性，判断函数的符号，可得有关的结论.【详解】因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ；因为f 12x +1 是R 上的奇函数，所以f 1 =0，且f x +22 的图象是由f x 2 的图象向左平移2个单位得到的，所以f x 2 的图象关于2,0 点对称，进一步得f x 的图象关于点1,0 中心对称，即f 1+x =-f 1-x .所以f x +2 =f 1+1+x =-f 1-1+x =-f -x =-f x ，所以f x +4 =-f x +2 =f x .所以函数f x 是周期函数，且周期为4；又f x 在0,1 上单调递增，所以在0,1 上，有f x <0.所以函数的草图如下：由图可知：f -32>0，故A 错；f 43 >0，故B 对；f 3 =0，故C 错；f 20243 =f 674+23 =f 4×168+2+23 =f 2+23 >0，故D 对.故选：BD 39(2024·广东深圳·一模)“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的()A.众数为12B.平均数为14C.中位数为14.5D.第85百分位数为16【答案】BC【分析】由众数，中位数，平均数，第百分位数的定义求出即可.【详解】成绩从小到大排列为：8,9,12,12,13,16,16,16,18,20.A ：出现次数最多的数为16，故A 错误；B ：平均数=1108+9+12+12+13+16+16+16+18+20 =14，故B 正确；C ：中位数为：13+162=14.5，故C 正确；D ：第85百分位数为第10×0.85=8.5，即第9位，为18，故D 错误；故选：BC .40(2024·广东深圳·一模)设a >1,b >0，且ln a =2-b ，则下列关系式可能成立的是()A.a =bB.b -a =eC.a =2024bD.ab >e【答案】AC【分析】首先求出1<a <e 2，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可.【详解】由于ln a =2-b ，知b =2-ln a ，及其a >1,b >0，则b =2-ln a >0，解得1<a <e 2，对AB ，b -a =2-ln a -a ，设函数f (a )=2-ln a -a ,1<a <e 2，f (a )=-1a-1<0，故f (a )在1,e 2 上单调递减，则-e 2=f e 2 <f (a )<f (1)=1，即-e 2<b -a <1，故A 对B 错；对C ，由于1<a <e 2,b a =2-ln a a ，设g (a )=2-ln a a ,1<a <e 2，g (a )=ln a -3a 2<0，故g (a )在1,e 2 上单调递减，0=g e 2 <g (a )<g (1)=2，故ba∈(0,2)，若a =2024b ,b a =12024∈(0,2)，故C 对；对D ，ab =a (2-ln a )，设ℎ(a )=a (2-ln a ),a ∈1,e 2 ，ℎ (a )=2-(ln a +1)=1-ln a ，令ℎ (a )=0，则a =e ，则a ∈(1,e )，ℎ (a )>0，则a ∈e ,e 2 ，ℎ (a )<0，则ℎ(a )在(1,e )上单调递增，在e ,e 2 上单调递减，ℎmax (a )=e ,ℎ(1)=2,ℎe 2 =0，故ℎ(a )∈(0,e ]，即0<ab ≤e ，故D 错误.故选：AC .41(2024·广东江门·一模)下列说法正确的是()A.z ⋅z=z 2B.i 2024=-1C.若z =1，z ∈C ，则z -2 的最小值为1D.若-4+3i 是关于x 的方程x 2+px +q =0(p ,q ∈R )的根，则p =8【答案】ACD【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A ；根据虚数单位的性质可判断B ；设z =x +yi ,(x ,y ∈R )，根据复数的模的计算公式，可得x 2+y 2=1，以及z -2 =-4x +5，结合x 的范围可判断C ；将-4+3i 代入方程，结合复数的相等，求出p ，即可判断D .【详解】对于A ，z ∈C ，设复数z =a +bi ,(a ,b ∈R )，则z =a -bi ,(a ,b ∈R )，|z |=a 2+b 2，故z ⋅z=(a +bi )(a -bi )=a 2+b 2=z 2，A 正确；对于B ，由于i 2=-1,i 4=1，故i 2024=(i 4)506=1，B 错误；对于C ，z ∈C ，设z =x +yi ,(x ,y ∈R )，由于z =1，则x 2+y 2=1,∴x 2+y 2=1，故z -2 =(x -2)2+y 2=(x -2)2+1-x 2=-4x +5，由x 2+y 2=1，得-1≤x ≤1，则-4x +5≥1，故当x =1时，z -2 的最小值为1，C 正确；对于D ，-4+3i 是关于x 的方程x 2+px +q =0(p ,q ∈R )的根，故(-4+3i )2+p (-4+3i )+q =0(p ,q ∈R )，即7-4p +q +(3p -24)i =0，故7-4p +q =03p -24=0,∴p =8q =25 ，D 正确，故选：ACD42(2024·广东江门·一模)已知函数f x =sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再结合各选项的条件及正弦函数的性质计算可得.【详解】因为f x =sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =212sin2ωx +32cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ：若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，即T 2=π2，所以T =π，则T =2π2ω=π，解得ω=1，故A 错误；对于B ：当ω=1时f x =2sin 2x +π3，又x ∈0,π2，所以2x +π3∈π3,4π3 ，所以sin 2x +π3 ∈-32,1，则f x 的值域为-3,2 ，故B 正确；π π得到y =2sin 2x +π6+π3 =2sin 2x +2π3 =2sin π2+2x +π6 =2cos 2x +π6 ，故C 正确；对于D ：由x ∈0,π6 ，ω>0，所以2ωx +π3∈π3,π3ω+π3，又f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，所以2π≤π3ω+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确.故选：BCD 43(2024·广东汕头·一模)某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于80,90 内的学生成绩方差为12，成绩位于90,100 内的同学成绩方差为10.则()参考公式：样本划分为2层，各层的容量､平均数和方差分别为：m 、x 、s 21；n 、y 、s 22.记样本平均数为ω ，样本方差为s 2，s 2=m m +n s 21+x -ω 2 +n m +n s 22+y -ω 2 .A.a =0.004B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25【答案】BCD【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，列等式求出实数a 的值，可判断A 选项；利用中位数的定义可判断B 选项；利用总体平均数公式可判断C 选项；利用方差公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，则2a +3a +7a +6a +2a ×10=200a =1，解得a =0.005，A 错；对于B 选项，前两个矩形的面积之和为2a +3a ×10=50a =0.25<0.5，前三个矩形的面积之和为2a +3a +7a ×10=120a =0.6>0.5，设计该年级学生成绩的中位数为m ，则m ∈70,80 ，根据中位数的定义可得0.25+m -70 ×0.035=0.5，解得m ≈77.14，所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14，B 对；对于C 选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为6a 6a +2a ×85+2a6a +2a ×95=87.5分，C 对；对于D 选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为3412+87.5-85 2 +1410+87.5-95 2=30.25，D 对.故选：BCD .44(2024·广东汕头·一模)已知函数f x =cos2x⋅cos2x+π6-34，则()A.曲线y=f x 的对称轴为x=kπ-π6,k∈Z B.f x 在区间π4,π3上单调递增C.f x 的最大值为12D.f x 在区间0,2π上的所有零点之和为8π【答案】BC【分析】由题意利用三角恒等变换整理可得：f x =12cos4x+π6，结合余弦函数性质逐项分析判断.【详解】由题意可得：f x =cos2x⋅cos2x+π6-34=cos2x32cos2x-12sin2x-34=32cos22x-12sin2x cos2x-34=34cos4x-14sin2x=12cos4x+π6.对于选项A：令4x+π6=kπ,k∈Z，解得x=kπ4-π24,k∈Z，所以曲线y=f x 的对称轴为x=kπ4-π24,k∈Z，故A错误；对于选项B：因为x∈π4,π3，则4x+π6∈7π6,3π2，且y=cos x在7π6,3π2内单调递增，所以f x 在区间π4,π3上单调递增，故B正确；对于选项C：当4x+π6=2kπ,k∈Z，即x=kπ2-π24,k∈Z时，f x 取到最大值为12，故C正确；对于选项D：令4x+π6=kπ+π2,k∈Z，解得x=kπ4+π12,k∈Z，可知f x 的零点为x=kπ4+π12,k∈Z，则f x 在区间0,2π上的零点为π12,π3,⋅⋅⋅,11π6，共8个，结合A可知，这些零点均关于直线x=23π24，所以f x 在区间0,2π上的所有零点之和为4×2×2324π=233π，故D错误；故选：BC.45(2024·广东湛江·一模)某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示：性别是否患过某流行疾病合计患过该疾病未患过该疾病男a=20b a+b 女c d=50c+d 合计a+c80110下列说法正确的有()参考公式：χ2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．附表：α0.10.050.0250.010.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.63510.828A.aa+b >cc+dB.χ2>6.635D.根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联【答案】ABC【分析】利用表格中提供数据可判断A 正确，代入计算可判断B 正确，结合附表参考数据可得C 正确，D 错误.【详解】根据列联表中的数据可求得a =20,b =30,c =10,d =50；对于A ，代入计算可得a a +b =25>c c +d=16，正确；对于B ，经计算可得χ2=110×20×50-30×10 230×80×50×60≈7.486>6.635，可得B 正确；对于CD ，结合附表数值以及独立性检验的实际意义，可认为根据小概率值α=0.01的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联，即C 正确，D 错误；故选：ABC46(2024·广东湛江·一模)已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点-1,0 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，设直线l 的斜率为k ，则下列选项正确的有()A.0<k <1B.若以线段AB 为直径的圆过点F ，则AB =43C.若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，则AB =3D.若以线段AB 为直径的圆与x 轴相切，则该圆必与抛物线C 的准线相切【答案】ABC【分析】联立直线l 与抛物线消去x 得y 2-4my +4=0，由Δ>0可判断A ；利用韦达定理和FA ⊥FB 列式可解得m 2=2，再用弦长公式可得弦长可判断B ；若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，则4m 2-2=m 2+1 (4m 2-16 解出m 2=54，再用弦长公式可得弦长可判断C ；由x 0+1=AB 2，可得4m 2=m 4-1无解可判断D .【详解】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，直线l 的方程为x =my -1，m =1k，AB 的中点为M x 0,y 0 ，由y 2=4xx =my -1 消去x 并整理得：y 2-4my +4=0，得y 1y 2=4y 1+y 2=4m ，由题意，Δ>0，所以m 2>1，即m 2=1k2>1，所以k 2<1，则0<k <1，故A 正确；以线段AB 为直径的圆过点F ，所以FA ⊥FB ，所以x 1-1 x 2-1 +y 1y 2=0，又x 1=my 1-1, x 2=my 2-1，所以x 1-1 x 2-1 +y 1y 2=my 1-2 my 2-2 +y 1y 2=m 2+1 y 1y 2-2m y 1+y 2 +4=0，∴4m 2+1 -8m 2+4=0，解得m 2=2满足题意.由AB =m 2+1 (y 1+y 2 2-4y 1y 2 ，得|AB |=43，所以B 正确；若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，则2x 0=AB =m 2+1 (y 1+y 2 2-4y 1y 2 ，又x 1+x 2=m y 1+y 2 -2=2x 0，所以4m 2-2=m 2+1 (4m 2-16 ，解得：m 2=54>1，所以AB =4m 2-2=3，故C 正确；若以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，则x 0+1=AB2，即2x 0+2=AB ，又2x 0+2=m y 1+y 2 =4m 2，所以4m 2=m 4-1无解，所以D 错误.故选：ABC .47(2024·广东广州·一模)已知向量a ,b 不共线，向量a +b 平分a 与b的夹角，则下列结论一定正确的是()A.a ⋅b =0B.a +b ⊥a -bC.向量a 与b 在a +b上的投影向量相等D.|a +b |=|a -b |【答案】BC【解析】a +b 平分a 与b 的夹角，则a = b ,a 与b不一定垂直，AD 错，选BC .对于B a +b a -b =a 2-b 2=0,∴a +b ⊥a -b ，a 在a+b 上的投影向量a a +b |a +b |2a +b =a +a ⋅b |a +b |2a +bb 在a +b 上的投影向量b a +b |a +b |2a +b =b 2+a ⋅b |a +b |2a +b=a 2+a ⋅b|a +b |2∴C 对，选BC .48(2024·广东广州·一模)甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外，没有其他区别).先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A 1和A 2表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B 表示从乙箱中取出的两球都是红球，则()A.P A 1 =35B.P B =1150C.P B ∣A 1 =950D.P A 2∣B =211【答案】ABD【解析】P A 1 =35,A 对.P B =35×C 23C 25+25×C 22C 25=1150,B 对.P B ∣A 1 =P A 1BP A 1 =35×C 23C 2535=310,C 错.P A 2∣B =P A 2BP B=25×C 22C 251150=211,D 对，选ABD .三、填空题：每小题5分.49(2024·广东·一模)随机变量X ~N (μ,σ2)，若P (X ≥70)=P (X ≤90)且P (72≤X ≤80)=0.3，则随机变量X 的第80百分位数是.【答案】88【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出μ，再求出P (X ≤k )=0.8时的k 即可.【详解】随机变量X ~N (μ,σ2)，又P (X ≥70)=P (X ≤90)，则μ=80，因此P (80≤X ≤88)=P (72≤X ≤80)=0.3，则P (X ≤88)=0.5+P (80≤X ≤88)=0.8，所以随机变量X 的第80百分位数是88.故答案为：8850(2024·广东·一模)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)在区间π6,7π12 上单调，且满足f π6=-1，f 3π4=0，则ω=.【答案】67【分析】由单调性确定函数f (x )的最小正周期范围，再结合零点及最小值点求出周期即可得解.【详解】依题意，f (x )min =f π6 =-1，而函数f (x )在π6,7π12上单调，则函数f (x )的最小正周期T ≥27π12-π6 =5π6，又f 3π4 =0，3π4-π6=7π12<T ，因此T 4=7π12，解得T =7π3，所以ω=2πT =67.故答案为：6751(2024·广东深圳·一模)若函数f x =sin ωx +φ ω>0,φ <π2的最小正周期为π，其图象关于点2π3,0中心对称，则φ=．【答案】-π3【分析】由三角函数的周期公式求出ω=2，再由正弦型函数的对称中心即可求出φ.【详解】由T =2πω=πω>0 得，ω=2，所以f x =sin 2x +φ ，又f x =sin 2x +φ 的图象关于点2π3,0 中心对称，所以4π3+φ=k π,k ∈Z ,解得φ=-4π3+k π,k ∈Z ，又φ <π2，所以，k =1,φ=-π3.故答案为：-π352(2024·广东深圳·一模)设点A -2,0 ,B -12,0 ,C 0,1 ，若动点P 满足PA =2PB ，且AP =λAB +μAC ，则λ+2μ的最大值为．【答案】22+43【分析】设P (x ,y )，根据向量的坐标表示和模的概念可得x 2+y 2=1，由题意和相等向量可得x -2=32λ+2μy =μ，进而λ+2μ=23(x +y -2)，结合基本不等式计算即可求解.【详解】设P (x ,y )，则PA =(-2-x ,-y ),PB =-12-x ,-y ，由PA =2PB ，得(-2-x )2+(-y )2=2-12-x 2+(-y )2，整理，得x 2+y 2=1，又AP =(x +2,y ),AB =32,0 ,AC =(2,1)，代入AP =λAB +μAC ⇒x +2=32λ+2μy =μ，有x +y +2=32λ+3μ=32(λ+2μ)，所以λ+2μ=23(x +y +2)，由1=x 2+y 2≥2xy ，得xy ≤12，当且仅当x =y =22时等号成立，所以(x +y )2=x 2+2xy +y 2≤1+1=2，得x +y ≤2，所以λ+2μ=23(x +y +2)≤23(2+2)=22+43.即λ+2μ的最大值为22+43.故答案为：22+4353(2024·广东江门·一模)已知向量a =1,0 ，b =1,1 ，若a +λb 与b 垂直，则λ=.【答案】-12/-0.5【分析】首先求出a +λb 的坐标，再依题意可得a+λb ⋅b =0，即可得到方程，解得即可.【详解】因为a =1,0 ，b =1,1 ，所以a+λb =1+λ,λ ，又a +λb 与b 垂直，所以a +λb ⋅b =1+λ+λ=0，解得λ=-12.故答案为：-1254(2024·广东江门·一模)某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有个面；若被截正方体的棱长是60cm ，那么该几何体的表面积是cm 2.【答案】 1410800+36003【分析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；再根据面积公式即可求出表面积.【详解】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是60cm ，那么石凳的表面积是S =8×12×302×302×sin60°+6×302×302=10800+36003 cm 2 .故答案为：14，10800+3600 3.55(2024·广东汕头·一模)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，⋯，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，⋯，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i =1，2，⋯，n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为.【答案】1【详解】试题分析：由已知，这组样本数据的样本完全正相关，故其相关系数为1.考点：变量的相关性.56(2024·广东汕头·一模)已知C :△ABC 外接圆的半径为1，圆心为点O ，且满足4OC =-2OA-3OB ，则cos ∠AOB =，AB ⋅OA =.【答案】 14/0.25-34/-0.75【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义求出夹角余弦、数量积.【详解】由4OC =-2OA -3OB 两边平方得：16OC 2=4OA 2+9OB 2+12OA ⋅OB，依题意，16=4+9+12cos ∠AOB ，所以cos ∠AOB =14；AB ⋅OA =(OB -OA )⋅OA =OB ⋅OA -OA 2=cos ∠AOB -1=-34.故答案为：14；-3457(2024·广东湛江·一模)已知全集U 为实数集R ，集合A =x x 2≤4 ，B =x log 2x >2 ，则A ∪∁U B =．【答案】-∞,4【分析】解不等式可分别求得集合A ,B ，根据并集和补集定义可得到结果.【详解】由x 2≤4得：-2≤x ≤2，即A =-2,2 ；由log 2x >2得：x >4，即B =4,+∞ ，∴∁U B =-∞,4 ，∴A ∪∁U B =-∞,4 .故答案为：-∞,4 .58(2024·广东湛江·一模)已知点P 为直线x -y -3=0上的动点，过P 作圆O :x 2+y 2=3的两条切线，切点分别为A ，B ，若点M 为圆E :x +2 2+y -3 2=4上的动点，则点M 到直线AB 的距离的最大值为．【答案】7【分析】根据意义可设P x 0,y 0 ，求出直线AB 的方程为x 0x +y -3y -3=0，且恒过定点Q 1,-1 ，所以点M 到直线AB 的距离的最大值为QE +R =7.【详解】设P x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则满足x 0-y 0-3=0,x 21+y 21=3,x 22+y 22=3；易知圆O :x 2+y 2=3的圆心为O 0,0 ，半径r =3；圆E :x +2 2+y -3 2=4的圆心为E -2,3 ，半径R =2，如下图所示：21易知OA ⊥PA ,OB ⊥PB ，所以OA ⋅PA=0，即x 1x 1-x 0 +y 1y 1-y 0 =0，整理可得x 1x 0+y 1y 0-3=0；同理可得x 2x 0+y 2y 0-3=0，即A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是方程x 0x +y 0y -3=0的两组解，可得直线AB 的方程为x 0x +y 0y -3=0，联立x 0-y 0-3=0，即x 0x +y -3y -3=0；令x +y =0-3y -3=0，可得x =1y =-1 ，即x =1,y =-1时等式x 0x +y -3y -3=0与x 0无关，所以直线AB 恒过定点Q 1,-1 ，可得QE =-2-12+3+1 2=5；又Q 在圆O 内，当AB ⊥QE ，且点M 为QE 的延长线与圆E 的交点时，点M 到直线AB 的距离最大；最大值为QE +R =5+2=7；故答案为：759(2024·广东广州·一模)已知数列a n 的前n 项和S n =n 2+n ，当S n +9a n取最小值时，n =.【答案】3【解析】n =1时，a 1=S 1=2,n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n ,n =1时也成立，∴a n =2n ,S n +92n =n 2+n +92n =12n +9n +12≥72，当且仅当n =3时取"="60(2024·广东广州·一模)某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W (单位：克)与脉搏率f (单位：心跳次数/分钟)的对应数据W i ,f i i =1,2,⋯,8 ，根据生物学常识和散点图得出f 与W 近似满足f =cW k(c ,k 为参数).令x i =ln W i ,y i =ln f i ，计算得x =8,y=5,8i =1y 2i =214.由最小二乘法得经验回归方程为y =bx +7.4，则k 的值为；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值yi i =1,2,⋯,8 ，若残差平方和8i =1y i -y i 2≈0.28，则决定系数R 2≈.(参考公式：决定系数R 2=1-ni =1y i -yi2n i =1y i -y2.)【答案】-0.3；0.98【解析】5=8b +7.4,∴b=-0.3,∴k =-0.3，R 2=1-0.28∑8i =1y 2i -8y2=1-0.28214-8×25=0.98.。
广东省高中数学 各地月考联考模拟最新分类汇编 复数、推理与证明 文
复数、推理与证明复数部分【2012年广州市一模文】2．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．2 【答案】D【广东省湛江二中2012届高三第三次月考文】2. 复数3ii-（i 为虚数单位）等于（ ） A. 13i --B. 13i -+C. 13i -D. 13i +【答案】A【广东省桂山中学2012届高三10月月考文】11.复数512i+的共轭复数为 【答案】i 21+【广东省湛江一中2012届高三10月月考文】1．已知i 为虚数单位，则(1)(1)i i +-=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．2i 【答案】C【广东省茂名市2012届高三4月第二次模拟文】11．已知复数z x yi =+（,x y R ∈），且21z -=，则x y 、满足的轨迹方程是__________．【答案】()2221x y -+=【广东省华师附中等四校2012届高三上学期期末联考文】1. 若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1-或1 【答案】A【解析】由210110x x x ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩ 故选A 【广东省惠州市2012届高三一模（四调）文】2．设,a b 为实数，若复数()()112i a bi i +⋅+=+，则（ ） A ．31,22a b == B ．3,1a b == C ．13,22a b == D ．1,3a b == 【答案】A 【解析】1231122i a bi i i ++==++，因此31,22a b ==.故选A. 【广东省揭阳市第二中学2012届高三下学期3月月考文】1．已知复数1211,z i z i=+=，则复数12z z z =在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【广东省华南师大附中2012届高三综合测试文】3．已知复数z 满足i z i 3)33(=+（i 是虚数单位），则z=A.i 2323- B ．i 2323+ C ．i 4343- D ．i 4343+ 【答案】D【广东省东莞市2012届高三模拟（1）文】2．已知复数i z +=21，21z ai =-，a R ∈，若z = 12z z ⋅在复平面上对应的点在虚轴上，则a 的值是 A ．-12 B ．12C ．2D ．-2 【答案】D【广东省广州市2012届高三下学期一模调研（文）】已知复数z 满足(l-i)z=1+3i （i 是虚数单位），则z=A ．-2+iB ．2-iC ．1-2iD ．-1+2i【答案】D【广东省华南师大附中2012届高三综合测试文】2．复数（1-i ）3的虚部为 A ．3 B ．-3 C ．2 D.-2 【答案】D【广东省深圳高级中学2012届高三第一次测试题文】1． =++-i i i 1)21)(1(( )A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +2 【答案】C【广东省韶关市2012届高三第二次模拟考文】1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A.1B.1-C.0D.0或1-【答案】C【广东省潮州市2012届高三上学期期末文】2．设i 是虚数单位，则i1＋i ＝A ．i ＋12 iB ．i －12 iC ．12 ＋12 iD ．12 －12 i【答案】C【解析】i 1＋i ＝i(1－i)(1＋i) (1－i)＝i －i 21－i 2＝i ＋12【广东韶关市2012届高三第一次调研考试文】11． 321i i +-的值等于_________________.【答案】,【广东省深圳高级中学2012届1月月考文.】11．若复数i iaz ++=1为实数，则实数=a 。
广东省各地高三数学上学期 期末考试试题分类汇编 复数
广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编复数1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））设i 为虚数单位,若复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =A ．3-B ．3-或1C ．3或1-D ．1 答案：A2、（广州市2014届高三1月调研测试）已知i 为虚数单位， 则复数i 2i-的模等于A B 答案：D3、（增城市2014届高三上学期调研）复平面内复数11i-对应的点在 （A ）第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 答案：A4、（惠州市2014届高三第三次调研考）若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A .1 B .2 C .1或2 D .1- 答案：B5、（江门市2014届高三调研考试）若复数 i m m m m )3()65(22-++- 是纯虚数（ i 是虚数单位），则实数=mA ．2=mB ．3=mC ．0=mD ．2=m 或3=m 答案：A6、（揭阳市2014届高三学业水平考试）在复平面内，复数(1)i i -对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限 答案：C7、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）复数i i ++121的虚部为_______ 答案：128、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估）设复数31i z i-=-（i 是虚数单位），则复数z的共轭复数z =A ．12i - B. i 21+ C. 2i - D. 2i + 答案：C9、（中山市2014届高三上学期期末考试）设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D10、（珠海市2014届高三上学期期末）若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A 、1B 、2C 、1或2D 、－1答案：B11、（东莞市2014届高三上学期期末调研测试）若复数的实部与虚部相等，则实数a ＝A 、－1B 、1C 、－2D 、2答案：B。
广东省广州市普通高中2021高考高三数学第1次模拟试题精选：复数02 Word版含答案
复数0216、关于x 的方程()R n m n mx x ∈=++,02的一个根是i 23+- ,那么=m _________．【答案】;6=m【解析】因为方程的根为虚根i 23+- ,所以32i --也是方程的根 ,所以32(32)i i m -++--=- ,即6m = .17、在复数范围内 ,方程210x x ++=的根是 ．【答案】12-± 【 解析】因为241430b ac ∆=-=-=-< ,所以方程的根为虚根 ,所以12x =-± .18、复数(2)x yi -+ (,x y R ∈)那么y x的最||大值是 【答案】3 【= ,即22(2)3x y -+= ,所以对应的圆心为(2,0) ,半径为r =设y k x= ,那么y kx = .当直线与圆相切时 ,圆心到直线y kx =的距离为= ,解得k =所以由图象可知y x 的最||大值是3 .19、设复数i a a z )sin 2()cos (θθ-++= (i 为虚数单位 ) ,假设对任意实数θ ,2≤z ,那么实数a 的取值范围为【答案】55a -≤<【解析】2≤z ⇒42≤z ⇒4)sin 2()cos (22≤-++θθa a ,所以5a 2 +1 -a (2cos θ -4sin θ)≤4 ,⇒35)cos(522-≥⋅+a a ϕθ ,此式对任意实数θ成立 ,等价于35])cos(52[2min -≥⋅+a a ϕθ ,① 假设a ≥0 ,那么35522-≥-a a ⇒⎩⎨⎧≤-+≥0352502a a a ⇒550≤≤a ； ② ②假设a<0 ,那么35522-≥a a⇒⎩⎨⎧≤--<0352502a a a ⇒055<≤-a 由①②知：a ≤<20、设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin 4(22θθ ,其中R ∈a ,),0(πθ∈ ,i 为虚数单位．假设z 是方程0222=+-x x 的一个根 ,且z 在复平面内对应的点在第|一象限 ,求θ与a 的值．【答案】方程0222=+-x x 的根为i x ±=1．……………… (3分 )因为z 在复平面内对应的点在第|一象限 ,所以i z +=1 ,……………… (5分 ) 所以⎩⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ,解得21cos -=θ ,因为),0(πθ∈ ,所以32πθ= ,…… (8分 ) 所以43sin 2=θ ,所以4sin 4122=+=θa ,故2±=a ．………… (11分 ) 所以3πθ2=,2±=a ．………… (12分 )21、z C ∈ ,且满足2()52z z z i i ++=+．(1 )求z ；(2 )假设m R ∈ ,w zi m =+ ,求证：1w ≥．【答案】 (1 )设(,)z a bi a b R =+∈ ,那么222z a b =+ ,()2z z i ai += ………… 2分 由22252a b ai i ++=+得22522a b a ⎧+=⎨=⎩ ……………………………4分 解得12a b =⎧⎨=⎩ 或 12a b =⎧⎨=-⎩……………………………… 5分 ∴12z i =+或12z i =-……………………………… 7分(2 )当12z i =+时 ,(12)2w zi m i i m i m =+=++=-++=1≥…………………… 10分 当12z i =-时 ,(12)2w zi m i i m i m =+=-+=++=1≥……………………… 13分 ∴w 1≥ ……………………………… 14分22、复数[]122sin 1(2cos ),0,z z i θθθπ==+∈ (1 )假设12z z R ⋅∈ ,求角θ；(2 )复数12,z z 对应的向量分别是12,OZ OZ ,其中O 为坐标原点 ,求12OZ OZ ⋅的取值范围【答案】 (1 )[]i i z z )cos 2(1)3sin 2(21θθ+-=⋅=R i ∈-++)32sin 2()cos 32sin 2(θθθ……2分232sin =∴θ…………………………4分 又 πθ220≤≤ ,ππθ3232或=∴ , 36ππθ或=∴…………………6分 (2 ))cos 2,1OZ 3sin 2(OZ 21θθ（），，=-=θθcos 32sin 2OZ OZ 21-=⋅ )3sin(4πθ-=………………………10分 3233ππθπ≤-≤- ,4)3sin(432≤-≤-∴πθ[]4,32OZ OZ 21-∈⋅∴………14分。
广东省10大市高三数学 一模试题分类汇编4 不等式
广东省10大市2013届高三数学（文）一模试题分类汇编不等式1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为 A ．3- B ．0 C ． D ．3 答案：C2、（深圳市2013届高三2月第一次调研）已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-082102y x x y x 则x y的取值范围是_____.答案：[26]，3、（梅州市2013届高三3月总复习质检）设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则z ＝x ＋y －3的最小值为＿＿＿＿ 答案：－14、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）如果实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+103233x y x y x ，目标函数z = kx-y 的最大值为6，最小值为O ，那么实数的值为（ )答案：A5、（深圳市2013届高三2月第一次调研）已知x> 0，y> 0，且4xy －x －2y ＝ 4，则 xy 的最小值为答案：D6、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟）设变量,x y 满足20403x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y=+的最大值为A ．B ．9C ．11D ．13 答案：C7、（佛山市2013届高三教学质量检测（一））已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为A ．3-B ．12C ．5D ．6 答案：C8、（茂名市2013届高三第一次高考模拟）目标函数3z x y =+在约束条件302300x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩下取得的最大值是 。
答案：99、（湛江市2013届高三高考测试（一））设变量x ，y 满足约束条件4200x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则其目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为＿＿＿答案：710、（佛山市2013届高三教学质量检测（一））设二次函数2()4()f x ax x c x =-+∈R 的值域为[0,)+∞，则19c a+的最小值为 A ．3 B ．92C ．5D ．7答案：A11、（湛江市2013届高三高考测试（一））13、下列四个论述： （1）线性回归方程（2）已知命题则命题（3）函数在实数R 上是增函数；（4）函数的最小值是4其中，正确的是＿＿＿＿＿（把所有正确的序号都填上）。
2022年广东广州高三一模数学试卷-学生用卷
2022年广东广州高三一模数学试卷-学生用卷1、【来源】 2022年广东广州高三一模第1~1题5分2022年广东广州高三一模第1题已知集合A={x∈Z|−1⩽x⩽1}，B={x|0⩽x⩽2}，则A∩B的子集个数为A. 2B. 3C. 4D. 62、【来源】 2022年广东广州高三一模第2题2022年广东广州高三一模第2~2题5分若复数z=2，则|z−i|=（）．1+iA. 2B. √5C. 4D. 53、【来源】 2022年广东广州高三一模第3~3题5分2022年广东广州高三一模第3题甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（）．A. 在这5天中，甲、乙两人加工零件数的极差相同B. 在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同C. 在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数D. 在这5天，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差4、【来源】 2022年广东广州高三一模第4~4题5分2022年广东广州高三一模第4题曲线y=x3+1在点(−1,a)处的切线方程为（）．A. y=3x+3B. y=3x+1C. y=−3x−1D. y=−3x−35、【来源】 2022年广东广州高三一模第5题2022年广东广州高三一模第5~5题5分(x+3y)(x−2y)6的展开式中x5y2的系数为（）．A. 60B. 24C. −12D. −486、【来源】 2022年广东广州高三一模第6题2022年广东广州高三一模第6~6题5分若函数y=f(x)的大致图像如图，则f(x)的解析式可能是（）．A. f(x)=x 2e xe2x+1B. f(x)=e 2x+1x2e xC. f(x)=x 2e xe2x−1D. f(x)=e 2x−1x2e x7、【来源】 2022年广东广州高三一模第7~7题5分2022年广东广州高三一模第7题设抛物线E:y 2=8x 的焦点为F ，过点M(4,0)的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线交于点C ，点B 在线段AC 上，|BF|=3，则△BCF 与△ACF 之比S △BCFS △ACF=（ ）．A. 14B. 15C. 16D. 178、【来源】 2022年广东广州高三一模第8题 2022年广东广州高三一模第8~8题5分若正实数a ，b 满足a >b ，且lna ⋅lnb >0，则下列不等式一定成立的是（ ）． A. log a b <0 B. a −1b>b −1aC. 2ab+1<2a+bD. a b−1<b a−19、【来源】 2022年广东广州高三一模第9~9题5分 2022年广东广州高三一模第9题已知直线l:x +y −√2=0与圆C:(x −1)2+(y +1)2=4，则（ ）． A. 直线l 与圆C 相离 B. 直线l 与圆C 相交C. 圆C 上到直线l 的距离为1的点共有2个D. 圆C 上到直线l 的距离为1的点共有3个10、【来源】 2022年广东广州高三一模第10题 2022年广东广州高三一模第10~10题5分将函数y =sin2x 的图象向右平移φ个单位，得到函数y =f(x)的图象，则下列说法正确的是（ ）．A. 若φ=π4，则y =f(x)是偶函数B. 若φ=π4，则y =f(x)在区间[0,π2]上单调递减C. 若φ=π2，则y =f(x)的图象关于点(π2,0)对称 D. 若φ=π2，则y =f(x)在区间[0,π2]上单调递增11、【来源】 2022年广东广州高三一模第11题 2022年广东广州高三一模第11~11题5分在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，AA 1=3，AD =4，则下列命题为真命题的是（ ）． A. 若直线AC 1与直线CD 所成的角为φ，则tanφ=52B. 若经过点A 的直线l 与长方体所有棱所成的角相等，且l 与面BCC 1B 1交于点M ，则AM =√29C. 若经过点A 的直线m 与长方体所有面所成的角都为θ，则sinθ=√33D. 若经过点A 的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，则sinμ=√6312、【来源】 2022年广东广州高三一模第12题 2022年广东广州高三一模第12~12题5分十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分成三段，去掉中间的区间段(13,23)，记为第1次操作；再将剩下的两个区间[0,13]，[23,1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；⋯：每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩余的区间集合即是“康托三分集”．若第n 次操作去掉的区间长度记为φ(n)，则（ ）． A.φ(n+1)φ(n)=32B. ln[φ(n)]+1<0 C. φ(n)+φ(3n)>2φ(2n) D. n 2φ(n)⩽64φ(8)13、【来源】 2022年广东广州高三一模第13题 2022年广东广州高三一模第13~13题5分已知sinα=35，π2<α<π，则tanα=．14、【来源】 2022年广东广州高三一模第14~14题5分2022年广东广州高三一模第14题已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60∘，点P在BC边上（包括端点），则AD→⋅AP→的取值范围是．15、【来源】 2022年广东广州高三一模第15~15题5分2022年广东广州高三一模第15题已知三棱锥P−ABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，AP=AB=AC=2√3，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于．16、【来源】 2022年广东广州高三一模第16题2022年广东广州高三一模第16~16题5分如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于−2的位置”的概率为．17、【来源】 2022年广东广州高三一模第17~17题10分2022年广东广州高三一模第17题在等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．(1) 写出a1，a2，a3，并求数列{a n}的通项公式；(2) 若数列{b n}满足b n=a n+(−1)n log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．18、【来源】 2022年广东广州高三一模第18题2022年广东广州高三一模第18~18题12分a2−b2)sinC．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为(12(1) 证明：sinA=2sinB；b，求cosA．(2) 若acosC=3219、【来源】 2022年广东广州高三一模第19题2022年广东广州高三一模第19~19题12分如图，在五面体ABCDE中，AD⊥平面ABC，AD//BE，AD=2BE，AB=BC．(1) 求证：平面CDE⊥平面ACD；(2) 若AB=√3，AC=2，五面体ABCDE的体积为√2，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值．20、【来源】 2022年广东广州高三一模第20~20题12分 2022年广东广州高三一模第20题人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策．某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表．该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y 关于x 的回归模型：y ^=u ^x 2+v ^．参考公式：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归直线y ^=b ^x +a ^的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b ^=(−x )ni=1(−y )∑n (x −x )2，a ^=y −b ^x ．(1) 根据所给数据与回归模型，求y 关于x 的回归方程（u ^的值精确到0.1）；(2) 已知该公司的月利润z （单位：万元）与x ，y 的关系为z =24√x −√x，根据 (1) 的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？21、【来源】 2022年广东广州高三一模第21题 2022年广东广州高三一模第21~21题12分在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(−2,0)，B(2,0)，点M 满足直线AM 与直线BM 的斜率之积为−34，点M 的轨迹为曲线C ．(1) 求C 的方程；(2) 已知点F(1,0)，直线l:x =4与x 轴交于点D ，直线AM 与l 交于点N ，是否存在常数λ，使得∠MFD =λ∠NFD ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．22、【来源】 2022年广东广州高三一模第22~22题12分 2022年广东广州高三一模第22题已知函数f(x)=e x +sinx −cosx ，f ′(x)为f(x)的导数． (1) 证明：当x ⩾0时，f ′(x)⩾2；(2) 设g(x)=f(x)−2x −1，证明：g(x)有且仅有2个零点．1 、【答案】 C;2 、【答案】 B;3 、【答案】 C;4 、【答案】 A;5 、【答案】 B;6 、【答案】 D;7 、【答案】 C;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;D;10 、【答案】 C;A;11 、【答案】 A;C;D;12 、【答案】 B;C;13 、【答案】−34;14 、【答案】[−2,2];15 、【答案】4π3;16 、【答案】1564;17 、【答案】 (1) a1=2，a2=4，a3=8，a n=2n ;(2) S n=2n+1+(−1)n2n+14−94;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) −√24．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √63;20 、【答案】 (1) y^=0.2⋅x2+5;(2) 该公司9月份的月利润预报值最大．;21 、【答案】 (1) x24+y23=1（x≠±2）．;(2) λ=2．;22 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复数
1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））已知i 是虚数单位，则复数1-2i 的虚部为
A ．2
B ．
C ．1-
D ．2-
答案：D
2、（江门市2013届高三2月高考模拟）已知0 )4()3(=-+-+i y y x ，其中x ，R y ∈， i 是虚数单位，则=x
A ．1
B ．1-
C ．7
D ．7-
答案：B
3、（揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟）已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -，则21
z z = A ．13i -+ B ．3i
-- C ．3i + D ．3i - 答案：C
4、（梅州市2013届高三3月总复习质检）设i 是虚数单位，复数1i i
+对应的点在 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
答案：A
5、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：A
6、（深圳市2013届高三2月第一次调研）已知i 为虚数单位，则(1–i)2 =
A. 2i
B. -2i
C. 2
D. -2 答案：B
7、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟）设为虚数单位，复数i a z 31-=，bi z +=22，其中a 、b ∈R. 若12z z =，则ab =
A ．1-
B ．5
C ．6-
D ．6
答案：C
8、（佛山市2013届高三教学质量检测（一））设i 为虚数单位，则复数i 2i +等于 A ．12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55-- 答案：A
9、（茂名市2013届高三第一次高考模拟）计算：2
(1)i i +=( )
A ．-2
B ．2
C ．2i
D ．-2i
答案：A
10、（湛江市2013届高三高考测试（一））复数z 满足z ＋1＝2＋i （i 为虚数单位），则z （1－i ）＝
A 、2
B 、0
C 、1＋i
D 、i
答案：A。