第三章 数据分布特征的测度
数据分布特征的测度—使用Excel方法
某中学初二(一)班数据分布特征的测度使用excel 方法数据特征的测度众数 中位数 四分位数平均数亠、集中趋势1、众数(mode )— 一组数据中出现次数最多的变 量值.分类数据众数偏态 峰态异众比率 极差 方差 离散系数制作：用frequency 函数求出语文成绩的频数一求 出各个分数段的比例一各个分数段的百分比.原始数据：原始数据一众数・xls2、中位数（median ）-排序后处于中间位置上的值解：这里的变量为“成绩 分数段”，这是个分类变 量，不同的分数段就是变 量值。
所调查的初二一班 60人 中，60-69这个分数段的人 数最多，为23人，占全班 人数的38.33%，因此众数 为“ 60-69这一分数段”。
即：M=60-69这一分数段制作：对语文成绩进行降序排列一根据计算公式求得中位数/插入median函数求得中位数要求得这60名学生语文成绩的中位数有2种方法:方法一：1、首先对学生的语文成绩进行降序排列。
2、由于学生人数为偶数，所以位置计算公式二错误!位置=错误!—错误!= 30。
5语文成绩中位数=错误!= 68方法二：插入median函数一求得语文成绩中位数。
原始数据-中位数：原始数据一中位数。
XlS3、四分位数（quartile）—排序后处于25%和75%位置上的值.要求得这60名学生语文成绩的中位数有2种方法: 方法一：1、首先对学生的语文成绩进行升序排列。
2、由于学生人数为偶数，所以位置计算公式为：Q 位置二错误!=错误!= 15.25Q位置二错误!=错误!= 45。
75Q= 61+0.75 X( 62-61 ) =61。
75Q= 78+0。
25 X( 78—78) =78方法二：使用函数QUARTILE求出语文成绩的四分位数xls 原始数据一四分位数：原始数据-四分位数。
4、平均数（mean）加权平均数一初二（一）班语文总评成绩总评成绩=错误!原始数据一平均数：原始数据一平均数。
第三章 统计数据分布的特征
12.42 6.60
82.2
调和平均数
各变量值的倒数的平均数。又称倒数平均 数。 n x 1 简单调和平均数
x
例题：书77页例3-2 加权调和平均数 x m m为权数 例题：见书78页例
m x
几何平均数
用于计算比率或速度的平均。 在计算社会经济现象时应用较多。 公式： N
i i 1
n
2
样本方差用（n-1）去除，从数学角度看是
因为它是总体方差σ2的无偏估计量。
n 1
k
分组数据
2
i 1
K
( X i X )2 fi
s2
i 1
( xi x ) 2 f i
k
f
i 1
K
i
f
i 1
i
1
标准差(例子)
某工会随机调查了5名工人上月的加班时间 如下表，平均加班时间为13小时。计算数 据的标准差。
1、集中趋势分析 2、离中趋势分析 3、分布偏态与峰度的测度
数据描述的数值方法
数据描述的数值方法
集中趋势
均 值
离散程度
极差 四分位距
分布的形状
偏 态 峰 度
中位数 众 数
方差和标准差 离散系数
2.2 分布集中趋势的测度
众数 中位数 分位数 均值 几何平均数 切尾均值
集中趋势
集中趋势：一组数据向其中 心值靠拢的倾向和程度。 集中趋势测度：寻找数据水 平的代表值或中心值。
特点：
反映了相对于均值的相对离散程度； 可用于比较计量单位不同的数据的离散程度； 计量单位相同时，如果两组数据的均值相差悬殊， 离散系数可能比标准差等绝对指标更有意义。
数据分布特征的描述
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算术平均数的性质
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算术平均数（均值）特征：
1. 集中趋势的最常用测度值； 2. 一组数据的均衡点所在； 3. 易受极端值的影响； 4. 由组距分组资料计算的均值有近似值性质； 5、用于数值型数据，不能用于分类数据和顺
（CM） （人）
152
1
154
2
155
2
156
4
157
1
158
2
159
2
160 12
161
7
162
8
163
4
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身高 人数
（CM） （人）
164
3
165
8
166
5
167
3
168
7
169
1
170
5
171
2
172
3
174
1
总计 83
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STAT
众数
32
注意：
众数不仅适用于测度顺序数据和 数值型数据的集中趋势，而且适用 于测度不能计算平均数的分类数据 的集中趋势。
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3
数据分布的特征：
一、集中趋势:反映数据向其中心靠拢或 聚集
程度；
二、离中趋势；数据远离中心的趋势(又称离散
程度)；
三、偏态和峰态；偏态是对数据分布对称性的度
量；峰度是指数据分布的平峰或尖峰程度
统计学第3章数据分布特征描述
3．分析现象之间的依存关系。 如研究劳动者文化程度与收入的关系。
4．（数值）平均指标是推断统计中的重要 统计量，是进行统计推断的基础。
几种常见的位置特征数
N
MH
N
i 1
1
1 xi
wi
wi
i 1
N
i 1
1 xi
wi
N
wi
i 1
MH
1 N1
N N1
i1 xi i1 xi
N
k0:几何平均数 加权
N
M G i 1w i x 1 w 1x2 w 2 xN w N
简单
M G N x 1x 2 x N
fi
i1
i 1(xifi)254 674 58 012 1110 ％ 01.7 1％
n(xifi) i1 xi
1 2％ 6 56 1 4％ 0 75 1 4％ 2 80 10350
（四）几何平均数（Geometric mean）
简单几何平均数— n个变量值连乘积的n次方根。
n（xi x)2 min
i1
性质（3）证明：
（三）调和平均数（Harmonic mean）
调和平均数，也称倒数平均数。 各变量值倒数（1/xi）的算术平均数的倒数。 计算公式为：
n
xHx11m1x12m12... x1nmn
m1m2... mn
m1m2 ... mn
与单项式分组资料一样，采用加权算术平均数计算。
第3章统计学数据分布特征的描述
第3章统计学数据分布特征的描述统计学是一门研究收集、分析和解释数据的学科。
在统计学中，数据分布特征的描述是指通过一系列统计量和图表来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形态等特征。
数据的集中趋势描述了数据的平均水平或中心。
常用的统计量有平均值、中位数和众数。
平均值是将所有观测值相加然后除以观测值的总数，它能够反映数据的总体平均水平。
然而，当数据包含异常值时，平均值的计算结果可能会受到影响。
因此，中位数和众数在这种情况下被认为是更稳健的集中趋势度量。
中位数是将数据按大小排序，然后找出中间位置的观测值。
众数是数据中出现次数最多的观测值。
数据的离散程度描述了数据的变异程度或分散程度。
常用的统计量有方差、标准差和四分位差。
方差是观测值与均值之间差异的平方的平均值，它反映了数据的总体离散程度。
标准差是方差的平方根，用于衡量数据的波动性。
四分位差是数据的上四分位数和下四分位数之差，它描述了数据的中间50%的变异程度。
数据的分布形态描述了数据的形状和对称性。
常用的分布形态有正态分布、偏态分布和峰态分布。
正态分布是最常见的分布形态，其特点是对称、钟形曲线。
偏态分布是指数据分布不对称的情况，主要分为正偏态和负偏态。
正偏态分布意味着数据的尾部偏向右侧，负偏态分布则意味着数据的尾部偏向左侧。
峰态分布用于描述数据的峰值的尖锐程度，主要分为正态分布、高峰态和低峰态。
除了统计量，还可以使用图表来对数据分布特征进行描述。
常用的图表包括直方图、箱线图和散点图。
直方图是通过将数据分组并在坐标轴上绘制各组的频率或相对频率来展示数据的分布形态。
箱线图通过绘制数据的分位数和异常值来展示数据的中位数、四分位数和离群观测值。
散点图用于展示两个变量之间的关系，特别适用于发现变量之间的相关性和异常值。
综上所述，统计学中的数据分布特征描述是通过一系列统计量和图表来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形态等特征。
这些描述能够帮助我们更好地理解数据，并对数据进行分析和解释。
数据分布特征的统计描述
x xx1x2...xn
n
n
均值，即算术平均数
x 标志值或变量值
见49页例题
20
2、加权法：分组且各组标志值出现的次数 （权数 f ）不相等时，公式：
x xfx1f1x2f2...xnfn
f
f1f2...fn
x 为标志值，又称变量值； f 为各组标志值出现的次数
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21
某厂工人生产情况
第三章 数据分布特征的统计描述
除了统计图和统计表之外，还可以用少量 的特征值（代表值）对数据分布的数量规 律进行精确、简洁的描述。
1
离中趋势：即反映各数据远离中心值的程度 因为即使现象的集中趋势相同，其离中趋势 也可能不同。
离中趋势 (分散程度)
两个不同的曲线表示两个不同的总体，它们的 集中趋势相同但离中趋势不同。
“150个企业的平均计划完成百分数” 就是“150个企 业总的计划完成百分数”。
企业总计划完成百分数 = 总实际数 / 总计划数
计划完成 百分数％ 105~110 110~120 120~130
合计
企业 数n 30 70 50 150
计划产值 f
5700 20500 22500 48700
x
xf
％ 实际值
m 1m x
46
举例:
某蔬菜单价早中晚分别为0.5、0.4、 0.25（元/斤） （1）早中晚各买1元，求平均价格 （2）早中晚各买1斤，求平均价格 （3）早中晚各买2元、3元、4元，求平均价格 （4）早中晚各买2斤、3斤、4斤，求平均价格
47
（1）问：用调和平均。先求早、中、晚购买的斤 数。早 1/0.5=2(斤) 、中 1/0.4=2.5(斤)、晚 1/0.25=4(斤)
第三章+数据分布特征的描述(教案)
第三章+数据分布特征的描述（教案）第三章数据分布特征的描述（一）教学目的通过本章的自学，并使同学们正确理解各种指标的概念及计算方法，学会运用适当的统计数据指标对数据的原产特征展开分析表明。
（二）基本要求并使学生熟练掌握数据分布特征的叙述方法。
（三）教学要点1、集中趋势的测度指标及其计算方法；2、离散趋势的测度指标及其计算方法；3、总体分布的偏度与峰度的测度。
（四）教学时数9――10课时（五）学习内容本章共分三节：第一节数据分布分散趋势的测量一、定类数据集中趋势的测度――众数(mode)(一)概念要点众数就是指一组数据中发生次数最少的变量值，用mo表示。
从变量分布的角度看，众数就是具备显著分散趋势点的数值，一组数据分布的最高峰点所对应的数值即为为众数。
当然，如果数据的原产没显著的分散趋势或最高峰点，众数也可以不存有；如果存有多个高峰点，也就存有多个众数。
1.集中趋势的测度值之一2.出现次数最多的变量值3.不受极端值的影响4.可能将没众数或存有几个众数5.主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值型数据众数的不唯一性：并无众数原始数据:10591268一个众数原始数据:659855多于一个众数原始数据:252828364242（二）众数的排序根据未分组数据或单变量值分组数据计算众数时，我们只需找出出现次数最多的变量值即为众数。
对于组距分组数据，众数的数值与其相邻两组的频数分布有一定的关系，这种关系可作如下的理解：设众数组的频数为fm，众数前一组的频数为f?1，众数后一组的频数为f?1。
当众数相连两组的频数成正比时，即f?1=f?1，众数组的组中值即为众数；当众数组的前一组的频数多于众数组后一组的频数时，即f?1＞f?1，则众数可以向其前一组依靠，众数大于其组中值；当众数组后一组的频数多于众数组前一组的频数时，即f?1＜f?1，则众数可以向其后一组依靠，1众数大于其组中值。
基于这种思路，借助几何图形而求出的分组数据众数的计算公式如下：下限公式：mo?l?下限公式：fm?f?1??d?l?1?d(fm?f?1)?(fm?f?1)?1??2(3.1)fm?f?1??d?u?2?d(fm?f?1)?(fm?f?1)?1??2(3.2)mo?u?式中：l表示众数所在组的下限；u表示众数所在组的上限；d表示众数所在组的组距。
数据分布趋势的测度值
数据分布趋势的测度值数据分布趋势的测度值是用来描述数据集中数据分布特征的统计指标。
通过这些测度值，我们可以了解数据的分布模式，从而对数据进行进一步的分析和理解。
以下是常见的几种数据分布趋势的测度值。
1. 平均数（Mean）：平均数是最常用的数据分布趋势测度值之一。
它表示数据集的平均值，是所有数据值的总和除以数据个数。
平均数的计算简单直观，但对极值的敏感性较高，一些极端值的存在可能会干扰平均数的表达。
2. 中位数（Median）：中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，处于中间位置的数值。
中位数的计算方式相对简单，不受极端值的影响，适用于数据分布不均匀的情况。
中位数可以提供数据集的位置测度值，可以帮助我们判断数据是否集中在某个范围内。
3. 众数（Mode）：众数是数据集中出现频率最高的数值。
众数可以提供数据集的出现频率测度值，可以帮助我们了解数据集的集中性和数据重复的情况。
一个数据集可能有一个众数，也可能有多个众数，甚至没有众数。
4. 方差（Variance）：方差是数据离散程度的度量，用于测量数据分布的集中性。
方差越大，表示数据的分散程度越高，反之亦然。
方差的计算需要用到每个数据点与均值之间的差值，因此对极值比较敏感。
5. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的正平方根，用于衡量数据的分散程度。
标准差与方差的性质一致，但它的单位与原始数据的单位一致，更容易理解和比较。
6. 四分位数（Quartiles）：四分位数是将一组数据分成四个等分的数值点。
第一个四分位数（Q1）是将数据集分为四个区域后，处于第一区域末尾的数值点；中位数是第二个四分位数（Q2）；第三个四分位数（Q3）是将数据集分为四个区域后，处于第三区域末尾的数值点。
四分位数可以提供数据集的位置测度，帮助我们理解数据集分布的形态、分位间的差异等。
7. 偏度（Skewness）：偏度是用来描述数据分布的偏态程度。
正偏表示数据集右侧的尾部较长，负偏表示数据集左侧的尾部较长。
统计学导论曾五一第三章数据分布特征的描述
统计学导论曾五⼀第三章数据分布特征的描述第三章数据分布特征的描述第⼀节统计变量集中趋势的测定⼀测定集中趋势的指标及其作⽤集中趋势(Central tendency)较⼤和较⼩的观测值出现的频率⽐较低，⼤多数观测值密集分布在中⼼附近，使得全部数据呈现出向中⼼聚集或靠拢的态势。
测度集中趋势的指标有两⼤类：数值平均数——是根据全部数据计算得到的代表值，主要有算术平均数、调和平均数及⼏何平均数；位置代表值——根据数据所处位置直接观察或根据与特定位置有关的部分数据来确定的代表值，主要有众数和中位数。
1．反映变量分布的集中趋势和⼀般⽔平。
如⽤平均⼯资了解职⼯⼯资分布的中⼼，反映职⼯⼯资的⼀般⽔平。
2．可⽤来⽐较同⼀现象在不同空间或不同阶段的发展⽔平。
不受总体规模⼤⼩的影响；在⼀定程度上使偶然因素的影响相互抵消。
3．可⽤来分析现象之间的依存关系。
如研究劳动者的⽂化程度与收⼊的关系。
4．平均指标也是统计推断中的⼀个重要统计量，是进⾏统计推断的基础。
⼆数值平均数（⼀）算术平均数（均值）⼀组数据的总和除以这组数据的项数所得的结果;最常⽤的数值平均数。
1．简单算术平均数把每项数据直接加总后除以它们的项数。
通常⽤于对未分组的数据计算算术平均数。
计算公式：2．加权算术平均数加权算术平均数的计算公式：加权—为了体现各变量值轻重不同的影响作⽤，对各个变量值赋予不尽相同的权数（fi ）。
权数（fi ，也称权重）权数——指在计算总体平均数或综合⽔平的过程中对各个数据起着权衡轻重作⽤的变量。
可以是绝对数形式，也可以是⽐重形式（如频率）来表⽰。
事实上⽐重权数更能够直接表明权数的权衡轻重作⽤的实质。
当权数完全相等（f1 =f2 =…= fn）时，加权算术平均数就成了简单算术平均数。
3．由组距数列计算算术平均数各组变量值⽤组中值来代表。
假定条件是各组内数据呈均匀分布或对称分布。
计算结果是近似值。
4．对相对数求算术平均数由于各个相对数的对⽐基础不同，采⽤简单算术平均通常不合理，需要加权。
第三章 数据分布特征的描述
通过本章内容的学习就能很容易回答这样的问题。
H
2
第三章 数据分布特征的描述
第一节 集中趋势的测定 第二节 离散程度的测定 第三节 偏态与峰态的测定
H
3
集中趋势(central tendency)
H
9
数值型分组数据众数的确定
1、众数的值与相邻两组频数的分布有关
2、相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数 3、相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算
M 0 L d 1d 1 d 2 d M 0 U d 1d 2 d 2 d
式中：L、U－分别表示众数组的下限、上限； d1－表示众数组次数与以前一组次数之差； d2－表示众数组次数与以后一组次数之差； d众数组组距。
此时假定各组数据在组内是均匀分布的
k
xM1f1M2f2
Mkfk
Mi fi i1
f1f2 fk
n
H
26
【例13】计算电脑公司销售量的平均数
按销售量分组
140-150 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-210 210-220 220-230 230-240
哪名运动员的发挥更稳定?
在奥运会女子10米气手枪比赛中，每个运动员首先进行每 组10枪共4组的预赛，然后根据预赛总成绩确定进入决赛的8名 运动员。决赛时8名运动员再进行10枪射击，再将预赛成绩加上 决赛成绩确定最后的名次。
在2008年8月10日举行的第29届北京奥运会女子10米气手枪 决赛中，进入决赛的8名运动员的预赛成绩和最后10枪的决赛成 绩如下表
统计学 第三章 数据分布特征的度量
第三章 数据分布特征的度量第一节 一.集中趋势 （一）概念：指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是要寻找数据一般水平的代表值或中心值。
（二）特点：1.集中趋势测度值是一个代表性值，表示被研究总体的一般水平（数据的共性）2.平均数把被研究总体的数量标志值在各个单位之间的数量差异抽象化了 （三）作用：1.利用集中趋势测度值对比不同总体的一般水平2.利用集中趋势测度值比较.反映同一单位某一标志不同时期一般水平的发展变化，说明事物的发展过程和变化趋势3.利用集中趋势测度值分析现象之间的相互关系，并推算其它有关的指标。
（四）度量Ⅰ.数值均值（μ） 1.算术均值 （1）特点：①集中趋势的最常用测度值 ②一组数据的均衡点所在 ③体现了数据的必然性特征 ④易受极端值的影响 （2）数学性质：①数值观测值与算术均值的离差之和等于0 ∑=-0)(μx 或 ∑=-0)(f x μ ②数值观测值与算术均值的离差平方和最小∑=-min )(2μx 或∑=-min )(2f x μ③均值易受极端值的影响2.调和均值（H ） （1）特点：①调和均值是各个变量值倒数的算术均值的倒数 ②易受极端值的影响3.几何均值（G）（1）特点：①适用于对比率数据的平均②主要用于计算平均速度Ⅱ.位置均值1.众数（M o）（1）概念：一组数据中出现次数最多的变量值,Mo表示（2）特点①众数的值与相邻两组频数的分布有关②用于数值型分组数据，适合于数据量较多时使用③不受极端值的影响④一组数据可能没有众数或有几个众数（不唯一性）2.中位数（M e）（1）概念：依据数据从小到大排序后，处于中间位置上的变量值，用Me表示（2）特点：①不受极端值影响②数据分布偏斜程度较大时应用绝对值之和为最小（中位数与各数据的距离之和最短）③各变量值与中位数的离差3.分位数（Q）（1）概念：是将全部数据排序后等分为若干个分位点，各分位点上的数值称为分位数（五）算术均值与众数和中位数的关系第二节数据离中程度的度量一.离散程度（一）概念：测量一组数据差异程度，反应频数分布数列中各个数据的变动范围或差异程度。
第三章统计数据分布特征的描述
第三章统计数据分布特征的描述统计数据分布特征的描述是统计学中非常重要的一个概念，它用于对数据进行系统化的描述和分析。
统计数据分布特征的描述包括位置参数、散布参数和形状参数。
位置参数描述了数据集中心位置的特征。
最常用的位置参数是均值和中位数。
均值是指所有数据值的总和除以数据个数，它能够反映数据集的平均水平。
中位数是将数据值按大小排序后的中间值，它能够反映数据集的中心位置。
均值对异常值比较敏感，中位数能够较好地排除异常值的干扰。
散布参数描述了数据集的离散程度。
最常用的散布参数是方差和标准差。
方差是指每个数据值与均值之差的平方和的平均值，它能够反映数据集的离散程度。
标准差是方差的平方根，它与数据的单位相一致，常用于衡量数据的波动性。
方差和标准差越大，表示数据的离散程度越大。
形状参数描述了数据集的分布形状。
常用的形状参数包括偏度和峰度。
偏度是指数据分布的不对称程度，大于0表示右偏，小于0表示左偏，等于0表示对称。
偏度能够反映数据集的分布形态。
峰度是指数据分布的尖锐程度，大于0表示尖锐，小于0表示平坦，等于0表示与正态分布相似。
峰度能够反映数据集的尖峰或扁平程度。
除了这些常见的参数之外，还有其他一些描述统计数据分布特征的方法，如四分位数和箱线图。
四分位数是将数据分为四等分的值，它包括上四分位数、下四分位数和中位数。
上四分位数是四分之三分位数，下四分位数是四分之一分位数。
箱线图是以箱子和线段的形式展示数据分布特征，箱子的上边界和下边界分别代表上四分位数和下四分位数，箱子的中线代表中位数，箱子的长度代表数据的离散程度。
统计数据分布特征的描述对于研究数据的特征、提取有效信息以及进行统计推断都非常重要。
了解数据的位置、散布和形状特征能够帮助研究者更好地理解数据集的性质和规律。
在实际应用中，统计数据分布特征的描述还可以帮助决策者进行决策，例如对于质量控制的判断和产品的质量评估等。
综上所述，统计数据分布特征的描述是对数据集进行系统化描述和分析的重要工具。
统计学第三章 数据分布特征的描述.ppt
600 —700 700 以上 合计
职工人数（人）
f
f/∑f
50 16.7
70 23.3
120 40.0
60 20.0
300 100.0
要求：根据资料计算全部职工的平均工资。
统计学课程建设小组
三峡大学
经济与管理学院
例3权数的选择
当分组的标志为相对数或平均数时，经常会遇到 选择哪一个条件为权数的问题。如下例：
女性为63319万人) （三）比较相对指标
甲总体某指标值 比较相对指标=—————————×100%
乙总体同类指标值
统计学课程建设小组
三峡大学
经济与管理学院
（四）强度相对指标
某一总量指标数值
强度相对指标=—————————————
另一有联系而性质不同的总量指标数值
如：2005年一季度城镇居民人均可支配收入为 2938元
___ x1 x2 ... xn x
Xn
n
(2)加权算术平均数
它适合于计算分组数列的平均数。
其计算公式为：
___
X
x1 f1 x2 f2 ... xn fn f1 f2 ... fn
xf
f
xf f
统计学课程建设小组
三峡大学
统计学第三章 数据分布特征的 描述
三峡大学
经济与管理学院
第一节 总量指标 一、总量指标的概念、作用
（一）概念 又称绝对数。它是表明一定时间、地点和
条件下某种社会经济现象总体规模或水平的统 计指标。 （二）作用
1.是反映总体基本状况，社会经济活动绝对 效果的统计指标；
第三章统计数据分布特征的描述
第三章统计数据分布特征的描述统计数据分布特征的描述是统计学中的重要概念之一、它是通过对数据进行整理、组织和分析来了解数据的分布情况，帮助我们更好地理解数据的特点和趋势。
一、数据分布特征的描述方法在统计学中，数据分布特征主要通过以下两种方法进行描述：1.图形描述法：通过绘制图表来展示数据的分布情况。
常见的图形描述方法有直方图、条形图、饼图、箱线图等。
直方图是一种用于展示数据分布的图形。
它将其中一范围内的数据分成若干个等宽的区间，并统计每个区间中数据的频数或频率，然后绘制柱状图来表示。
箱线图是一种用于展示数据分布和异常值的图形。
它将数据划分为四个部分：最大值、上四分位数、中位数、下四分位数和最小值，并通过画出盒子和须来表示数据的分布情况。
2.数值描述法：通过使用统计指标和参数来描述数据的分布情况。
常见的数值描述方法有均值、中位数、众数、标准差、方差等。
均值是指将所有数据相加后再除以数据的总个数的得到的值，代表了数据的平均水平。
中位数是指将数据按大小排序后，处于中间位置的值，代表了数据的中心位置。
众数是指数据集中出现次数最多的值，代表了数据的集中趋势。
标准差是指数据在均值附近的波动程度，代表了数据的离散程度。
方差是指数据与均值之间的平均差的平方的平均值，代表了数据的离散程度。
二、数据分布特征的描述步骤要进行数据分布特征的描述，一般需要进行以下步骤：1.数据的整理和搜集：搜集所需的数据，并将其整理成适合进行分析的形式。
2.确定描述方法：根据数据的特点和目标，选择适当的图形描述法或数值描述法。
3.进行描述分析：根据所选的描述方法，对数据进行分析和计算，得出相应的描述结果。
4.解释和应用：根据描述结果，解释数据的分布特征，并根据需要进行相应的应用。
三、数据分布特征的描述应用数据分布特征的描述在实际应用中有很多用途，以下是几个常见的应用：1.判断数据是否符合其中一种分布：通过对数据的分布特征进行描述，可以判断数据是否符合正态分布或其他特定的分布形式。
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1 简单均值（simple mean）
x1 x2 xn 1 x xi n n i 1
n
2 加权均值(weighted mean) 设：原始数据分成k组，各组组中值 M1, M 2 ,, M k 各组变量值出现的频数
f1 , f 2 ,, f k
k
M1 f1 M 2 f 2 M k f k 1 x M i fi f1 f 2 f k n i 1
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三、数值型数据 ：均值
均值（mean）也称为算术平均数（arithmetic mean）,它 是全部数据的算术平均。均值在统计学中有重要的位置， 是集中趋势的最主要的测度值。它主要适用于数值型数据， 而不适用于分类数据和顺序数据。根据所掌握数据的不同， 均值有不同的计算形式和计算公式。
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（一）简单均值与加权均值
660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 注：中位数是一个位置代表值，其特点是不受极端 值得影响
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2、分位数 中位数是从中间将全部数据分为两部分。与中位数类似的 还有四分位数（quartile）、十分位数(decile)和百分位 数(percentile)等。他们分别是用3个点、9个点和99个点 将数据4等分、10等分和100等分后各分位点上的值。
解：这里的变量为“饮料品牌”，这个是分类变量，不 同的品牌就是变量值，我们看到，在所调查的50人当中， 购买可口可乐的人数最多，为15人，占总数调查人数的 30%，因此众数为可口可乐这一品牌，即M0 =可口可乐。
[例3-2]根据第二章表2-6中的数据，计算顾客“评价等级” 的众数。
解：这里的“回答类别”是一个顺序变量，其变量 值为：好、较好、一般、较差、差。我们看到，在所调查 的100人中，回答“一般”的人数最多，为32人，因此众数 “一般”这一类别，即M0 =一般
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[例3-4] 在某城市中随机抽取9个家庭，调查得到每个家 庭的人均月收入（单位：元）数据为：1500、750、780、 1080、850、960、2000、1250、1630，计算人均月收入 的中位数。
数据排序结果如下： 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 假定在例3-4中我们抽取了10个家庭，每个家庭的人均收 入数据排序后为：
用于作为数值型数据的集中趋势，但不适用 于分类数据。
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中位数位置
未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后 确定中位数的位置，其公式为： 中位数＝（n+1）/2 分组数据，中位数的位置可按照下式确定： 中位数＝n/2
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中位数公式
设一组数据为x1，x2,，…，xn，按从小到大排序后 为x（1），x（2）,，…，x（n），则中位数为：
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用Excel函数计算众数
例表中给出了20家电视网络黄金时间播出的广告时间数 据，求出众数。
常用函数：MODE
函数分类－统计－“MODE”函数
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二、顺序数据：中位数和分位数
1. 中位数：一组数据排序后，处于中间位置上的变量值， 用Me表示。中位数是一个位置代表值，它主
要用于测度顺序数据的集中趋势，当然也适
Hm
xf f
1 1 1 1 1 m1 m2 mn m x1 x2 xn x m m1 m2 mn
（标志总量）
25
1
式中： m xf
[例3-8]某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表所示， 计算三种蔬菜该日的平均批发价格。
蔬菜名称 批发价格 （元/公斤） （x ） 1.2 0.5 0.8 成交额 （元） (m) 18000 12500 6400 成交量 （m/x） 15000 25000 8000
25％ 25％
QL
QM
QU
下四分位数为QL
中间的四分位数为QM
上四分位数为QU
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四分位数位置
对于未分组的原始数据，各分位数的位置分别为： QL位置=（n+1）/4; QM位置=2（n+1）/4; QU位置=3（n+1）/4
对于分组数据，各四分位数的位置分别为：
QL位置=n/4; QM位置=2n/4; QU位置=3n/4 QM=Me。当四分位数的位置不在某一个数值上时，可 根据四分位数的位置，按比例分摊四分位数位置两侧数 值的差值。
第一，变量对称变形，即将变量x 对称变形为作为新变 量(1/x)。
第二，权数对称变形，即将权数总体总量对称变形为标 志总量，作为新权数。 第三，位置对称变形，即将1除以用(1/x)为变量，以标 志总量为权数，计算的加权算术平均数，使其位置颠倒。
经过这三次变形，算术平均数就变形为调和平均数
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加权调和平均数是加权算术平均数的变形。它与加权 算术平均数在实质上是相同的，而仅有形式上的区别， 即表现为变量对称的区别、权数对称的区别和计算位 置对称的区别。因而其计算公式为：
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（二）均值得另一种表现形式：调和平均数
调和平均数是平均数的一种。但统计加权调和平均数， 与数学调和平均数不同，它是加权算术平均数的变形， 附属于算术平均数。 数学调和平均数定义为：数值倒数的平均数的倒数。
x
n
均数 ： 用平均标志值(变量值)的倒数作
为新变量，以标志总量为权数进 行加权的算术平均数的倒数。 数学中“调和”的意思为“对称”，故调和平均数为算 术平均数的对称变形。
甲 乙 丙
合计
36900
48000
平均价格=成 交额÷成交量 =0.769
Hm
1 1 0.769 1 48000 x m 36900 m
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（三）一种特殊的均值：几何平均数
Gm x1 x2 xn
n
n
x
i 1
n
i
几何平均数主要适用于计算比率的平均。在实际 应用中主要用于计算社会经济的年平均增长率
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例3－9 某水泥生产企业1999年的水泥产量为100万吨，2000 年与1999年相比增长率为9％，2001年与2000年相比的增长 率为16％，2002年与2001年相比增长率为20％。求各年的平 均增长率。 9%
16%
20%
1999
2000
2001
2002
解：各年与前一年相比的比值（即发展速度）分别为109％、 116％、120％，则平均发展速度等于：
x n 1 ( ) 2 Me 1 x n ＋x n ( ) ( ＋1) 2 2 2
n奇 n偶
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[例3-3]根据第2章表2-6的数据，计算顾客“评价等级” 的中位数。 解：这是一个顺序数据，变量为顾客对超市服务状况的 “评价等级”，其中的五个选项即为变量值，由于变量 值本身就是顺序的，根据中位数的位置确定公式有：中 位数位置=100/2=50。从表2-6的累积次数中可以很容易 看到，中位数在“一般”这一类中，因此中位数是“一 般”这一类别，即M0 =一般。这就是说，我们可以用 “一般”作为对超市服务状况评价的一个代表值。当然， 其代表性如何还需要进一步分析。
从分布的角度看，众数是具有明显集中趋势点的数值， 一组数据分布的最高峰值点所对应得数据即为众数，当 然，如果数据的分布没有明显的集中趋势或最高峰点， 众数也不可能存在：如果有两个最高峰点，也可以有两 个众数。
众数的特点是不受数据中极端值的影响。
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[例3-1]根据第2章表2-5中的数据，计算“饮料品牌”的众 数。
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[ 例 3-6] 根据表 3-1 中的数据，计算保险业务员月销售额的 下四分位数和上分位数。
解：QL位置=（n+1）/4=（160+1）/4=40.25，即QL在第40 个数值（1.57）和第41个数值（1.58）0.25的位置上，因此， QL=1.57+0.25×（1.58-1.57）=1.5725（万元）。 QU位置=3（n+1）/4=3 × （160+1）/4=120.75，即QU在第 120个数值（2.15）和第121个数值（2.16 ）0.75的位置上， 因此， QU=2.15+0.75 × （2.16-2.15）=2.1575（万元）。
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[例3-5] 根据第2章表2-6中的数据，计算顾客“评价等 级”的四分位数。
解：下四分位数的位置=100/4=25，从累积次数表可 以看出，下四分位数在“较好”这一类中，因此 QL=较好；上四分位数的位置=（3×100）/4=75， 从累积次数表可以看出，上四分位数在“较差”这 一类中，因此QU=较差。
QL和QU之间包含50%的数据，因此，我们可以说有一半 的营业员销售额在1.5725万元和2.1575（万元）之间。
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用Excel计算中位数、四分位数
中位数：函数分类－统计－MEDIAN 四分位数：函数分类－统计－QUARTILE “Array”：存放数据的位置
“Quart”：决定计算哪个四分位数（0,1,2,3,4）
Gm n x1 x2 xn 3 109% 116% 120% 114.91%
年平均增长率为114.91％－100%＝14.91％。
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设开始的数值为 y0 ，逐年增长率为G1, G2 ,, Gn 第n年的数值为：
yn y0 (1 G1 )(1 G2 ) (1 Gn ) y0 (1 Gi )
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几种常见的集中趋势度量指标
集中趋势 测量指标
特点
适用范围
众数
不受数据中极端值的影响
分类数据、顺序数 据和数值型数据等 顺序数据和数值型 数据等
中位数和 分位数
不受数据中极端值的影响
均值
利用了全部数据的信息， 有优良的数学性质，但易 受数据中极端值的影响