泛函分析在控制系统及算法中的应用

课程:应用法泛函分析题目:泛函分析在控制系统及算法中的应用

学院：自动化与电气工程学院

专业：控制理论与控制工程

姓名：

学号：

指导老师：

二○一三年十二月十日

泛函分析在控制系统及算法中的应用

【摘要】泛函分析的理论、思想和方法在应用数学、物理理论、现代工程技术等众多领域都有广泛的应用。它不仅为控制算法优化以及系统性能分析等建立了严密的理论体系，而且为控制工程实用的数值计算和控制算法的建立，提供了明确的理论依据，并对算法实现的有效性、收敛性提供了各种实用方法。本文从遗传算法的优化，控制系统性能分析和最优控制三方面简要分析了泛函在控制理论与控制工程中的应用。

【关键词】泛函分析控制理论与控制工程遗传算法最优控制

【中图分类号】O177.92- TL361

Through the study of functional analysis, knowing that functional analysis is widely used in many fields, it not only builds a strict theoretical system for the optimization of controlling algorithm and the analysis of systematic performance but also provides a definite theoretical basis for the establishment of numerical calculation and control algorithm of the useful Controlling Engineering.At the same time,a variety of practical methods are put into the algorithm’s effectiveness and convergence. In order to grasp and understand the application of the theory of functional analysis and learn the methods of application of functional analysis. From the point of genetic algorithm , the analysis of performance of controlling system and optimal control briefly analyse that functional is applied in the fields of controlling theory and controling engineering 一、遗传算法的优化

设一个系统的种群为

12

,.....

n

X x x x

⎡⎤

=⎣⎦

（1-1）

满足约束条

()

()

01,2,,

01,2,,

01,2,,

j

k

i

X j l

X k m

i n

g

h

x

⎧≤=

⎪

⎪

≤=

⎨

⎪

≥=

⎪⎩

（1-2）

使目标函数：

()min

W X→（1-3）上述问题称为遗传算法的一个优化问题，其中约束条件是一个工程结构中的各项参数，（如系统的动态性能指标、静态性能指标）应该满足的条件。目标函数是用来评价系统的优劣；在寻求目标函数满足约束条件下达到最小值，传统的遗传算法，按照适者生存的原理从给出的种群中不断进化寻求满足约束条件的新解，最后找出收敛的最优解。寻求最优解的过程汇总，当变量增多或者种群取值范围大时，寻求收敛的速度就会相应降低，无法精确的确定最优解的位置。因此采用一解空间到另一解空间的映射, 改进遗传算法求解的迭代过程，从映射角度对分析遗传算法的收敛性，上述问题可以得到相应的解决。

定义 1 度量:

d S S R

⨯→，其中 d 的表达式定义如下：

()()

()()

()

22

,

i i i i

d c f c f

x x x x

++

=--- (1-4) 其中i

x,2i S

x+∈ ,c 是一个大的正数。

首先证明(),S d 是度量空间，事实上(),S d 满足以下条件： S 位非空集合，d 为S S ⨯上的实值函数，对S 中的任意两个元素i

x

，

2i x

+对应

一个实数()2,i i d x x +满足： ()2

2

,0,,i

i i

i d S x x x x

++≥∈ (1-5)

且当仅当

2

i

i x x

+=时，()2,0i i d x x += 满足非负性；

()()()()(

)()()()

(

)22|2

,i i i i i i d c f c f c f c f x x x x x x +++=---=--- (1-6)

满足对称性

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()

22

1

1

2

1

1

2

112,,,i i i i i

i i i i

i i i i i i i d c f

c f c f c f c f c f c f c f c f c f

d d x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++++=---=

---+---≤

---+---=+ (1-7)

满足三角不等式，所以(),S d 为度量空间。其次证明(),S d 是完备度量空间，S 是一有限状态空间，即 S 中染色体的数目是有限的，对于任意染色体的柯西列

{}i

x 以及任意0ξ>，存在自然数 N ，当自然数 n, m > N 时，(),n

m

d x x ξ>，

当 n →∝ 时，

n

x x

→，因此, (),S d 是完备的度量空间。最后证明(),S d 是

可分的，设G 是S 的子集，由于S 为有限集合，因此G 为可数子集，又G 的闭包包含S 中所有元素，所以G 在S 中稠密，这就证明了(),S d 是可分的，因此(),S d 是完备可分的度量空间。

定义 2 随机算子:T S S Ω⨯→称为随机压缩算子，如果存在非负实值随机变量

()1,..K a s ω<使

()()()()

()()111

,,,,1,

,i i i i i

i p d T T K d S x x x x x x

ωωωω+++≤=∈ (1-8)

定理 1 改进遗传算法所形成的映射T 是随机压缩算子。

证明：根据改进遗传算法运行机理，从理论上讲，如果采用 ELITIST 策略，每迭代一次就会产生比上 一迭代更好的个体，所以存在一个非负实值随机变量，

()01,..K a s ω≤<使得：

()()()

()()()()()

()()()()()()()

1111

1

,,,,,i i i i i i i i

i i

d T T d c f c f K c f c f K d x x x x x x x x x x ωωωω-++--==---≤

---=(1-9)

()()(){}0

1

1

.(,),(,),i i

i i

d T T k d x x x x ωωωω--=≤⊆ΩΩ (1-10)

()1p Ω= (1-11)

定义 3 设映射:T S S Ω⨯→为一随机算子，若可测映射:g S S Ω⨯→ 满足：存在非负实数1K

<，使得

()()()

()111

,,,,,,i i i i i i d T T kd S x x x x x x ωω+++≤∀∈ (1-12)

则有唯一的不动点S ξ

∈，且0,,1,2,,i i S T i x x x ∈==则必有,i i x ξ→→∞满

足(16)的映射，称之为压缩映射或压缩算子。

定理 2 设随机算子:T S S Ω⨯→满足对几乎所有的(),T ωω∈Ω均为压缩算子，即存在

⊂ΩΩ

，()01p =Ω，使任一0ω∈Ω，有：