百校联盟2020届高三5月教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷)理科数学 (解析版)
理科数学-全国名校2020年高三5月大联考(新课标Ⅰ卷)(答案及评分标准)
2
34
4
4
又 A = π ，则当b = c 时，△ABC 为等边三角形， 3
又△ABC 的周长为 12，则b = c = a = 4 ，（10 分）
故 （ 分） Smax =
3 × (4 + 4)2 = 4
4
4
3.
12
．（ 18 12 分）
【解析】（1）由四边形 ABCD 是矩形，得 AB ⊥ BC ，根据平面 ABP ⊥ 平面 ABC ，平面 ABP ∩ 平面
因此 ，即 ， ，当且仅当 [12 − (b + c)]2 = (b + c)2 − 3bc 144 − 24(b + c) = −3bc 48 + bc = 8(b + c) ≥ 16 bc
b=c
时取等号.（8 分）
设 ，则 ， ， bc = t(t > 0) t2 −16t + 48 ≥ 0 (t −12)(t − 4) ≥ 0
sin A sin B sin C
又 ，所以 ， sin B = sin(A + C) = sin AcosC + cos Asin C
cos Asin C + sin C = 3 sin Asin C
又 ，所以 ，即 ， ， sinC ≠ 0
cos A + 1 = 3 sin A
3 sin A − cos A = 1 sin( A − π ) = 1
ABC = AB ， BC ⊂ 平面 ABC ，所以 BC ⊥ 平面 ABP ，则 BC ⊥ AP ，（2 分） 又 AP ⊥ PC ，根据 BC ∩ PC = C ， BC ⊂ 平面 PBC ， PC ⊂ 平面 PBC ，所以 AP ⊥ 平面 PBC ，
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(全国Ⅰ卷) (含答案解析)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(全国Ⅰ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1,2，3，5，8}，B={1,3，5，7，9}，则(∁U A)∩B=()A. {6,9}B. {6,7，9}C. {7,9}D. {7,9，10}2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(−1,2)，则z1+i=()A. −32+32i B. −32+12i C. −12+32i D. 12+32i3.已知向量a⃗=(1,3)，b⃗ =(−1,2)，则(2a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =()A. 15B. 16C. 17D. 184.已知等比数列{a n}的公比q=2，前100项和为S100=90，则其偶数项a2+a4+⋅⋅⋅+a100为()A. 15B. 30C. 45D. 605.已知a=215，，，则()A. b<a<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<c<a6.黄山市某年各月的日均最高气温(℃)数据的茎叶图为：，则这组数据的中位数是()A. 11B. 12C. 13D. 147.将函数y=sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是()A. y=sin4xB. y=sinxC. y=sin(4x−π6) D. y=sin(x−π6)8.已知四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为边长2的等边三角形，BD=DC，BD⊥CD，则异面直线，AC与BD所成角的余弦值为()A. √24B. √23C. 12D. 349.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△ABO的面积为()A. 5B. 52C. 32D. 17810. 已知sinθ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=( )A. 23B. 12C. √33D. √2211. 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=4：3：5，则双曲线的离心率为( )A. √13B. √15C. 2D. √512. 函数f(x)=x ·e x 的最小值是( )A. −1B. −eC. −1eD. 不存在二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 口袋内有大小、形状完全相同的红球、白球各两个，现从中随机摸出两个球，则摸出的两球颜色恰好相同的概率为________．14. 若函数y =f (x )在(0,2)上是增函数，且函数的图象关于直线x =2对称，则f (1)，f (3.5)的大小关系是__________．15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA =−35，sinC =12，c =1，则△ABC 的面积为______ ．16. 如图一个水平放置的无盖透明的正方体容器，高12cm ，将一个球放在容器口，在向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为______ cm 3．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=AB，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角A−BE−C的余弦值．18.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a17=33，S7=49．(1)证明：a1，a5，a41成等比数列；(2)求数列{a n⋅3n}的前n项和T n．19. 基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份 2017.8 2017.9 2017.10 2017.11 2017.12 2018.1 月份代码 x 1 2 3 4 5 6 市场占有率y(%)111316152021(1)求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；(2)根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A ，B 两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：∑i=16 (x i −x )2=17.5，∑i=16 (x i −x )(y i −y )=35，√1330≈36.5.回归直线方程为ŷ=b̂x +a ̂，其中b ̂=i −x )n i=1i −y )∑(x −x )2n ，a ̂=y −b̂x ．20. 已知函数f(x)=(a +1a )ln x −x +1x ，其中a >0．(1)若f(x)在(0,+∞)上存在极值点，求a 的取值范围;(2)设a ∈(1,e]，当x 1∈(0,1)，x 2∈(1,+∞)时，记f(x 2)−f(x 1)的最大值为M(a).那么M(a)是否存在最大值?若存在，求出其最大值;若不存在，请说明理由．21. 在平面直角坐标系中，动点A(x,y)到F 1(−1,0)与F 2(1,0)的距离之和为4．(1)求动点A 的轨迹方程M ；(2)若斜率为12的直线l 与轨迹M 交于C ，D 两点，P(1,32)为轨迹M 上不同与C ，D 的一点，记直线PC 的斜率为k 1，直线PD 的斜率为k 2，试问k 1+k 2是否为定值，若是，求出该值，若不是，说明理由．22. 平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =√3+2cosαy =1+2sinα(α为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P 在射线l ：θ=π3上，且点P 到极点O 的距离为4． (1)求圆C 的普通方程与点P 的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知关于x的不等式x+|x−2c|−2≥0的解集为R．(1)求实数c的取值范围；(2)若实数c的最小值为m，p>0，q>0，r>0，且p+q+r=9m，求证：p2+q2+r2≥27．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：U={n∈N|1≤n≤10}={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则∁U A={4,6，7，9，10}，则(∁U A)∩B={7,9}，故选：C．求出全集的元素，结合交集，补集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，结合补集，交集的定义是解决本题的关键．2.答案：D解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．由已知求得z，代入z1+i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由题意，z=−1+2i，则z1+i =−1+2i1+i=(−1+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=12+32i．故选：D．3.答案：A解析：【试题解析】解：2a⃗+b⃗ =(1,8)；∴(2a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =1⋅(−1)+8⋅2=15．故选A．先求出向量2a⃗+b⃗ 的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可．向量坐标的加法运算，以及向量数量积的坐标运算．4.答案：D解析：本题考查等比数列前n项和公式．利用等比数列前n项和公式即可求出．解：因为S100=90，即a1(2100−1)2−1=90，则a1(2100−1)=90，所以a2+a4+⋅⋅⋅+a100=2a1[(22)50−1]22−1=23a1(2100−1)=23×90=60，故选D．5.答案：C解析：解：a=215>1，0<b=log352<log33=1，，∴a>b>c．故选：C．利用指数函数性质和对数函数性质，判断三个数的范围，即可判断三个数的大小．本题主要考查利用指数函数性质和对数函数性质比较大小，是基础题．6.答案：B解析：本题考查了茎叶图，以及数据的中位数的判断，属于基础题．由茎叶图中的数据得到中位数为：11+132=12．解：由茎叶图可知：中位数为：11+132=12．故选B．7.答案：D解析：本题考查三角函数的平移变换，基本知识的考查，直接利用三角函数图象的平移变换规律求解即可．解：将函数y =sin(2x +π6)的图象向右平移π6个单位，可得y =sin[2(x −π6)+π6)=sin(2x −π6), 再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到y =sin(x −π6). 故选D ．8.答案：A解析：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．以D 为原点，DC 为x 轴，DB 为y 轴，过D 作平面BDC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与BD 所成角的余弦值． 解：四面体ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，△ABD 为边长2的等边三角形，BD =DC ，BD ⊥CD ， 以D 为原点，DC 为x 轴，DB 为y 轴，过D 作平面BDC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，A(0,1，√3)，C(2,0，0)，B(0,2，0)，D(0,0，0)， AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0)， 设异面直线AC 与BD 所成角为θ， 则cosθ=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√8⋅2=√24． ∴异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为√24．故选：A ．9.答案：B解析：本题给出抛物线经过焦点F 的弦AB ，在已知AF 长的情况下求△AOB 的面积．着重考查了抛物线定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．解：根据题意，抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0).设直线AB 的斜率为k ，可得直线AB 的方程为y =k(x −1)， 由{y =k(x −1)y 2=4x消去x ，得y 2−4k y −4=0， 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由根与系数的关系可得y 1y 2=−4． 根据抛物线的定义，得|AF|=x 1+p2=x 1+1=5，解得x 1=4，代入抛物线方程得：y 12=4×4=16，解得y 1=±4，∵当y 1=4时，由y 1y 2=−4得y 2=−1；当y 1=−4时，由y 1y 2=−4得y 2=1， ∴|y 1−y 2|=5，即AB 两点纵坐标差的绝对值等于5． 因此△AOB 的面积为：S △AOB =S △AOF +S △BOF =12|OF|⋅|y 1|+12|OF|⋅|y 2| =12|OF|⋅|y 1−y 2| =12×1×5=52． 故选B .10.答案：C解析：本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键．利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可．解：∵sinθ+sin(θ+π3)=1，∴sinθ+12sinθ+√32cosθ=1，即32sinθ+√32cosθ=1，得√3(12cosθ+√32sinθ)=1，即√3sin(θ+π6)=1，得sin(θ+π6)=√33故选：C．11.答案：D解析：解：设|AF1|=t，|AB|=4x，则|BF2|=3x，|AF2|=5x，根据双曲线的定义，得|AF2|−|AF1|=|BF1|−|BF2|=2a，即5x−t=(4x+t)−3x=2a，解得t=2x，x=23a，即|AF1|=4a3，|AF2|=10a3，∵|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，得△ABF2是以B为直角的Rt△，∴cos∠BAF2=|AB||AF2|=45，可得cos∠F2AF1=−45，△F2AF1中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF1|⋅|AF2|cos∠F2AF1=169a2+1009a2−2×43a×103a×(−45)=20a2，可得|F1F2|=2√5a，即c=√5a，因此，该双曲线的离心率e=ca=√5．故选：D．设|AF1|=t，|AB|=4x，根据双曲线的定义算出t=2x，x=23a，Rt△ABF2中算出cos∠BAF2=|AB||AF2|=45，可得cos∠F 2AF 1=−45，在△F 2AF 1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案． 本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题． 12.答案：C解析：此题考查函数的单调性与最值，属于基础题，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的极小值．解：y′=e x +xe x ，令y′=0可得x =−1，令y′>0，可得x >−1，令y′<0，可得x <−1，∴函数在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，∴x =−1时，函数y =xe x 取得最小值，最小值是−1e ．故选C ．13.答案：13解析：本题考查古典概型的概率公式，属于基础题．根据古典概型的公式直接求解即可．解：由题意可得所求概率为C 22+C 22C 42=13． 故答案为13． 14.答案：∵函数f (x )的图象关于直线x =2对称，∴f (3.5)=f (4−3.5)=f (0.5)∵函数y =f (x )在(0,2)上是增函数，而0.5<1∴f (1)>f (0.5)=f (3.5)故答案为：f (1)>f (3.5)解析：∵函数f (x )的图象关于直线x =2对称，∴f (3.5)=f (4−3.5)=f (0.5)∵函数y =f (x )在(0,2)上是增函数，而0.5<1∴f (1)>f (0.5)=f (3.5)故答案为：f (1)>f (3.5)15.答案：8√3−625解析：解：∵2R=csinC =2，则a=2RsinA=2×45=85，又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=45×√32+(−35)×12=4√3−310，∴S=12acsinB=12×85×1×4√3−310=8√3−625．故答案为：8√3−625．利用正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式即可得出．本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：2197π6解析：解：根据几何意义得出：边长为12的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为：6，∵球面恰好接触水面时测得水深为8cm，∴d=12−8=4，∴球的半径为：R=√(R−4)2+62，R=132∴球的体积为43π×(132)3=2197π6cm3故答案为：2197π6根据图形的性质，求出截面圆的半径，即而求出求出球的半径，得出体积本题考查了球的几何性质，球的体积，属于中档题．17.答案：(1)证明：∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，又∵BC⊥PB，AB∩PB=B，AB，PB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA，同理CD⊥PA，又∵BC∩CD=C，BC，CD⊂平面ABCD，∴PA ⊥平面ABCD ；(2)解： 分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则A(0,0，0)，C(2,2，0)，E(0,1，1)，B(2,0，0)，P(0,0，2)，D(0,2，0)，设m →=(x,y ，z)为平面ABE 的一个法向量，又AE →=(0,1，1)，AB →=(2,0，0)，∴{y +z =02x =0，令y =−1，z =1，得m →=(0,−1,1)， 同理n →=(1,0，2)是平面BCE 的一个法向量，则cos <m →,n →>=√2×√5=√105， ∴二面角A −BE −C 的余弦值为√105．解析：本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．(1)证明CD ⊥PA ，BC ⊥PA.即可得 PA ⊥平面ABCD ；(2)分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系，求出平面BCE 的一个法向量、平面ABE 的一个法向量即可．18.答案：(1)证明：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 17=33，S 7=49，则：{a 1+16d =337a 1+21d =49，解得：a 1=1，d =2，所以：a n =2n −1．则：a 1=1，a 5=9，a 41=81，即：a 52=a 1⋅a 41．所以：a 1，a 5，a 41成等比数列．(2)解：由(1)得：a n ⋅3n =(2n −1)⋅3n ，则：T n =1⋅31+3⋅32+⋯+(2n −1)⋅3n ①，则：3T n =1⋅32+3⋅33+⋯+(2n −1)⋅3n+1②①−②得：−2T n =3+2(32−3n+11−3)−(2n −1)⋅3n+1，整理得：T n =(n −1)⋅3n+1+3．故数列的前n 项和为：T n =(n −1)⋅3n+1+3解析：(1)首先根据通项公式建立方程组，进一步求出数列a 1，a 5，a 41成等比数列．(2)利用(1)的结论，进一步求出a n ⋅3n =(2n −1)⋅3n ，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和． 本题考查的知识要点：等差数列通项公式的应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用． 19.答案：解：(1)∵y =11+13+16+15+20+216=16，∴i =1∑6(y i −y)2=76,∴r =n i=1i −x)(y i −y)√∑(x i −x)i=1∑(y i −y)i=1=√17.5×76=√1330=3536.5≈0.96， ∴两变量之间具有较强的线性相关关系，∴可用线性回归模型拟合两变量之间的关系，∴b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(x −x)2n =3517.5=2， 又x =1+2+3+4+5+66=3.5，∴â=y −b ̂x =16−2×3.5=9， ∴回归直线方程为y ^ =2x +92018年2月的月份代码x =7，∴y=2×7+9=23，∴估计2018年2月的市场占有率为23%；(2)用频率估计概率，A 款单车的利润X 的分布列为：∴E(X)=−500×0.1+0×0.3+500×0.4+1000×0.2=350(元)，B 款单车的利润Y 的分布列为：∴E(Y)=−300×0.15+200×0.4+700×0.35+1200×0.1=400(元)，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B 款车型．解析：本题考查回归直线方程的求法及利用分布列和期望解决问题．(1)作出散点图，判断是否线性相关，根据公式求出回归方程即可；(2)用频率估计概率，分别列出A和B的利润分布列，求出期望，比较期望的大小即可求出．20.答案：解：(1)f′(x)=(a+1a )·1x−1−1x2=−(x−a)(x−1a)x2，x∈(0,+∞)．①当a=1时，f′(x)=−(x−1)2x2≤0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，不存在极值点;②当a>0且a≠1时，f′(a)=f′(1a)=0，经检验，a，1a均为f(x)的极值点，∴a∈(0,1)∪(1,+∞);(2)存在.当a ∈(1,e]时，0<1a <1<a ，由(1)知，当f ′(x)>0时，1a <x <a;当f ′(x)<0时，x >a 或x <1a ，∴f(x)在(0,1a )上单调递减，在(1a ,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减．∴∀x 1∈(0,1)，有f(x 1)≥f(1a )，∀x 2∈(1,+∞)，有f(x 2)≤f(a)，∴[f(x 2)−f(x 1)]max =f(a)−f(1a )，，a ∈(1,e]．M′(a)=2(1−1a 2)lna +2(a +1a )1a +2(−1−1a 2)=2(1−1a 2)lna ，a ∈(1,e]．∴M′(a)>0，即M(a)在(1,e]上单调递增．∴M(a)max =M(e)=2(e +1e )+2(1e −e)=4e ．∴M(a)存在最大值4e ．解析：本题考查利用导数研究函数的极值及最值．(1)求出导数，然后分类讨论函数的单调性求解即可;(2)由(1)得M(a)的表达式，然后利用导数研究单调性求解即可．21.答案：解：(1)由题知|AF 1|+|AF 2|=4，|F 1F 2|=2，则|AF 1|+|AF 2|>|F 1F 2|，由椭圆的定义知点A 轨迹M 是椭圆，其中a =2，c =1，因为b 2=a 2−c 2=3，所以轨迹M 的方程为x 24+y 23=1；(2)设直线l 的方程为y =12x +t ，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立直线l 的方程与椭圆方程，消去y 可得3x 2+4(12x +t)2=12，化简得x 2+tx +t 2−3=0，当Δ>0时，即t 2−4(t 2−3)>0，也即|t|<2时，直线l 与椭圆有两交点，由韦达定理得x1+x2=−t，x1x2=t2−3，所以k1=y1−3 2x1−1=12x1+t−32x1−1，k2=y2−3 2x2−1=12x2+t−32x2−1，则k1+k2=12x1+t−32x1−1+12x2+t−32x2−1=x1x2+(t−2)(x1+x2)+3−2t(x1−1)(x2−1)=t2−3+(t−2)(−t)+3−2t(x1−1)(x2−1)=0，所以k1+k2为定值．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想，属于中档题．(1)由题知|AF1|+|AF2|=4，|F1F2|=2，则|AF1|+|AF2|>|F1F2|，由椭圆的定义知点A轨迹M是椭圆其中a=2，c=1，从而能求出椭圆M的方程；(2)设直线l的方程为y=12x+t，C(x1,y1)，D(x2,y2)，联立直线l的方程与椭圆方程，得x2+tx+ t2−3=0，当Δ>0时，即t2−4(t2−3)>0，直线l与椭圆有两交点，由韦达定理，得x1+x2=−t，x1x2=t2−3，由此能够得到k1+k2为定值．22.答案：解：(1)曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)．(2)(方法一)圆心C(√3,1)，直线OC的方程为：y=√33x⇒x−√3y=0，点P到直线OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2．(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图形利用极坐标的几何含义，可得∠COP=π3−π6=π6，|OC|=2，|OP|=4，所以S△OCP=12|OC|⋅|OP|sin∠COP=12⋅2⋅4⋅sinπ6=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(1)不等式x +|x −2c|−2≥0的解集为R⇔函数y =x +|x −2c|在R 上恒大于或等于2，∵x +|x −2c|={2x −2c,x ≥2c 2c,x <2c， ∴函数y =x +|x −2c|，在R 上的最小值为2c ，∴2c ≥2⇔c ≥1．所以实数c 的取值范围为[1,+∞)；(2)证明：由(1)c min =1，即m =1．∴p +q +r =9，又p ，q ，r 是正实数，所以(p 2+q 2+r 2)(12+12+12)≥(p ×1+q ×1+r ×1)2=(p +q +r)2=81，即p 2+q 2+r 2≥27．当且仅当p =q =r =3等号成立．解析：本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的最值的求法，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查运算和推理能力，属于中档题．(1)由题意可得函数y =x +|x −2c|在R 上恒大于或等于2，求得x +|x −2c|的最小值，解不等式即可得到c 的范围；(2)由(1)知p +q +r =9，运用柯西不等式，可得(p 2+q 2+r 2)(12+12+12)≥(p ×1+q ×1+r ×1)2，即可得证．。
2020年5月百师联盟2020届高三毕业班月考(五)(全国卷I)数学(理)试题及答案解析
绝密★启用前百师联盟2020届高三毕业班下学期月考(五)(全国卷I)数学(理)试题2020年5月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟,满分150分一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P＝{x|1<x<3},集合Q＝{x|y＝ln(x－2)},则P∩(RðQ)＝A.{x|2≤x<3}B.{x|1<x<3}C.{x|1<x≤2}D.{x|1<x<2}2.高一2班有45名学生,学号为01－45,为弘扬中国古诗词文化,现采用随机数表法从该班抽取7名同学参加校园诗词朗诵大赛,从随机数表第5行第15个数开始向右数,如图为随机数表的第5行和第6行,则抽取的第7个同学的学号是A.26B.35C.20D.433.已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞,0]上单调递增,且满足f(2)＝1,则不等式f(x2＋3x)＋1<0的解集为A.(－∞,－2)∪(－1,＋∞)B.(1,2)C.(－∞,1)∪(2,＋∞)D.(－2,－1)4.已知点F是双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点,点P是该双曲线渐近线上一点,若△POF 是等边三角形(其中O 为坐标原点),则双曲线C 的离心率为 A.3 B.2 C.3 D.2335.希尔伯特在1900年提出了孪生素数猜想,其内容是：在自然数集中,孪生素数对有无穷多个其中孪生素数就是指相差2的素数对,即若p 和p ＋2均是素数,素数对(p,p ＋2)称为孪生素数。
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(全国ⅰ卷)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U R =，{|(1)(2)0}A x x x =+->，{|22}x B x =„，则()(U A B =I ð)A ．{|11}x x -<<B ．{|01}x x 剟C ．{|11}x x -剟D ．{|1}x x -„2．（5分）已知i 为虚数单位，复数()12az i a R i=+∈+在复平面内所对应点(,)x y ，则( )A ．21y x =-+B ．21y x =-C ．25y x =-+D ．31y x =-3．（5分）已知向量(2,)a m =-r ，(1,2)b =r ，11(2)2a ab +=r r r g ．则实数m 的值为( )A ．1-B ．12-C ．12D ．14．（5分）已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO ．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是1RO =+确诊病例增长率⨯系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO 据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为( ) A ．81B ．243C ．248D ．3635．（5分）已知23log 4a =，4848log ,log 59b c ==，则( ) A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<6．（5分）2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于( )A ．第3组B ．第4组C ．第5组D ．第6组7．（5分）已知函数()sin()6f x x π=+图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2]π上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是( ) A ．138[,)63B ．138(,]63C ．318[,)123D ．318(,]1238．（5分）已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，COD ∆为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为()A ．14B C D 9．（5分）已知椭圆221:184x y C +=的左，右焦点分别为1F ，2F ，抛物线22:2(0)C y px p =>的准线l 过点1F ，设P 是直线l 与椭圆1C 的交点，Q 是线段2PF 与抛物线2C 的一个交点，则2||(QF = )A ．12(3-B ．12(4-CD ．10．（5分）已知实数a ，b ，满足22182a b +=θθ取最大值时，tan (θ=)A ．12B ．1CD ．211．（5分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l分与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过2F ，且2212MF MN MN =u u u u r u u u u r u u u u r g ，以下结论正确的个数是( )①双曲线C ②双曲线C 的渐近线方程y =；③直线l 的斜率为1． A ．0B ．1C ．2D ．312．（5分）已知定义在R 上的奇函数()2sin x x f x e ae x -=-+满足(3)()(0)(16)()(0)f y f x f f y f x f -⎧⎨-⎩剟剟，则z x lny =-的最小值是( )A ．6ln -B ．2-C ．6lnD ．2二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．（5分）2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为 ．14．（5分）已知函数||1()()2x a f x -=关于1x =对称，则(22)(0)f x f -…的解集为 ．15．（5分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 周长为5，cos (2)cos b C a c B =-，则B ∠= ，若2b =，则ABC ∆的面积为 ．16．（5分）在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm ，高为18cm （底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为285cm 的圆铁棒l （粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为 2cm ． 三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）如图已知Rt PCD ∆、PD CD ⊥，A ，B 分別为PD ，PC 的中点22PD DC ==，将PAB ∆沿AB 折起，得到四棱锥P ABCD '-，E 为P D '的中点． （1）证明：P D '⊥平面ABE ；（2）当正视图方向与向量BA u u u r的方向相同时，P ABCD '-的正视图为直角三角形，求此时二面角A BE C --的余弦值．18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，*n N ∈，56a =，627S =，数列{}n b 的前n 项和n T ，*2()n n T b n n N =-∈．（1）判断{1}n b +是等比数列，并求n b ； （2）求数列{}n n a b g 的前n 项和．19．（12分）2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A ，B 两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年 6年 7年 8年 总计 A 型出租车（辆) 10 20 45 25 100 B 型出租车（辆)15354010100（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计 A 型 B 型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A 和B 的车型中各随机抽1车，以X 表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X 的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？。
2020届百校联盟高三5月教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届百校联盟高三5月教育教学质量监测考试（全国Ⅰ卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集U ＝R ，A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＞0}，B ＝{x |2x ≤2}，则（∁U A ）∩B ＝（ ）A ．{x |﹣1＜x ＜1}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |﹣1≤x ≤1}D ．{x |x ≤﹣1} 答案：C先解出关于集合A ，B 的不等式，求出A 的补集，从而求出其补集与B 的交集. 解：因为()(){}{1202A x x x x x =+-=>或}1x <-所以}1|2{U A x x =-≤≤ð，{|}22{}1|x B x x x ==≤≤， ∴(){}11U A B x x ⋂=-≤≤ð，故选：C.点评：本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A ，B 是解决本题的关键，属于基础题.2．已知i 为虚数单位，复数()12a z i a R i =+∈+在复平面内所对应点（x ，y ），则（ ） A ．y ＝﹣2x +1B ．y ＝2x ﹣1C ．y ＝﹣2x +5D ．y ＝3x ﹣1 答案：A利用复数的运算法则，化简复数为代数形式，求出复数的实部与虚部，列出方程组，消去参数，即可求解.解： 由题意，复数()122112555a i a a a z i i i i -⎛⎫=+=+=+- ⎪+⎝⎭， 因为复数()12a z i a R i=+∈+在复平面内所对应点(,)x y ， 可得5215a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去参数a ，可得y ＝﹣2x +1. 故选：A.点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.3．已知向量()2,a m =-r ，()1,2b =r ，()1122a ab ⋅+=r r r ，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．12 C ．12- D ．-1 答案：C求出向量2a b +r r 的坐标，由()1122a ab ⋅+=r r r ，根据向量数量积的坐标表示，即求实数m 的值.解：()()()2,,1,2,23,22a m b a b m =-=∴+=-+r r r r Q .()()()()11112,232222a ab m m ⋅+=∴-⨯-+⨯+=r r r Q ， 解得12m =-. 故选：C .点评：本题考查向量的坐标运算及数量积的坐标表示，属于基础题.4．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO .它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数.它的简单计算公式是：1RO =+确认病例增长率⨯系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）.根据统计，确认病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数为5天，根据以上RO 数据计算，若甲得这种传染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）A ．81B ．243C ．248D ．363答案：D先求出传播指数RO ，再计算出每轮感染的人数，相加即得．解：记第1轮感染人数为1a ，第2轮感染人数为2a ，…，第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 是等比数列，公比为q RO =，由题意140%53RO =+⨯=，即3q =，所以13a =，29a =，327a =，481a =，5243a =，总人数为5S =392781243363++++=人，故选：D ．点评：本题考查数列的应用，解题关键是理解新概念“传播指数”，可以用数列表示该问题，传播指数就是等比数列的公比，从第一轮开始每轮传播的人数为数列的项，问题就是求等比数列的前5项和．5．已知23log 4a =，44log 5b =，88log 9c =，则（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b << 答案：B 根据对数的运算性质，将44log 5b =，88log 9c =改写为以2为底的对数，然后利用对数函数的单调性比较即可.解： 12242224log 41445log log log 5log 4255b ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，123822228log 81889log log log log 9log 8399c ⎛⎫===== ⎪⎝⎭因为94165<<123445⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以1222234log log log 45⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以a b c <<. 故选：B.点评：本题主要考查对数的运算性质，对数函数的单调性应用，属于基础题.6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计60岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（ ）A ．第3组B ．第4组C ．第5组D ．第6组答案：C 先阅读题意，然后求出数据的极差，再确定组距，然后结合中位数的概念求解即可. 解：解：由如图所示的茎叶图可得：数据的极差为15.18.8 6.3-=，将数据分成7组，则组距为0.9，则第5组的范围是[]12.4,13.3，又由茎叶图可知中位数为12.5，则中位数应位于第5组内.故选：C.点评：本题考查了茎叶图，重点考查了中位数的概念，属基础题.7．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[]0,2π上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ）A ．13863⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．13863⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．318123⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．318123⎛⎤ ⎥⎝⎦， 答案：A 先求出图象变换后的函数解析式，再由题意利用正弦函数的图象和性质，可得9112,622πππωπ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，由此可得结果． 解： 解：∵函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后， 得到的函数为sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,2π上恰有5个不同的x 值，使其取到最值；,2666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∴9112,622πππωπ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭， 则正实数13863ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，， 故选：A ．点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质的应用，属于中档题．8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体τ，CD 是底面圆O 上的弦，COD △为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．24C ．3D ．22 答案：B设OP r =，过点D 作OC 的平行线，与CD 平行的半径交于点E ，找出异面直线OC 与PD 所成角，然后通过解三角形可得出所求角的余弦值.解：设OP r =，过点D 作OC 的平行线，与CD 平行的半径交于点E ，则OE OC CD OD r ====，2PC PD r ==，所以PDE ∠为异面直线OC 与PD 所成的角，在三角形PDE 中，2PE PD r ==，DE r =，所以22cos 2rPDE r∠==. 故选：B.。
百校联盟2020届高考复习全程精练模拟卷理科数全国卷1模拟答案解析(5页)
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2020届高三高中毕业生五月质量检测数学(理科)试卷(含答案)
2020届高中毕业生五月质量检测理科数学 2020.5.25 本试卷共5页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足，i i i z +=++12，则复数z= A ．2+i B ．1 +2i C ．3 +i D ．3-2i2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=031x x x A ，{}2<=x x B ，则A∩B= A ．{}12<<-x x B ．{}23<<-x x C ．{}12≤<-x x D ．{}12≤≤-x x3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，02432=++a a a ，则5S =A ．2B ．0C ． -2D ． -44．若某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为A ．2B ．4C ．24D ．D ．34 5．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ，若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在),0(+∞内取值的概率为A ．0.9B ．0.1C ．0.5D ．0.46．已知函数)22)(3cos()(πϕπϕ<<-+=x x f 图象关于直线185π=x 对称，则函数f （x ）在区间[0，π]上零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量，是互相垂直的单位向量，向量满足1=⋅，1=⋅=A ．2B ．5C ．3D ．78．已知等差数列{}n a 满足：82521=+a a ，则21a a +的最大值为 A ．2 C ．4 B ．3 D ．59．已知直线21-=x y PQ ：与y 轴交于P 点，与曲线)0(:2≥=y x y C 交于M Q ，成为线段PQ 上一点，过M 作直线t x =交C 于点N ，则△MNP 面积取到最大值时，t 的值为A ．161B ．41C ．1D ．45 10．已知函数)(1)(1R a eax e x f x ∈--=-的图象与x 轴有唯一的公共点，则实数a 的取值范围为 A ．{}0≤a a B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤e a a a 10，或 C ．{}e a a a =≤，或0 D ．{}10=≤a a a ，或 11．已知A ，B 分别为双曲线1322=-Γy x ：实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ） ，则直线AP ，BQ 的斜率之比BQ AP k k :=A ．31-B ．3-C ．32-D ．23- 12．在四棱锥ABCD P -中，2=PA ，7===PD PC PB ，7==AD AB ，2==CD BC ，则四棱锥ABCD P -的体积为A ．32B ．3C ．5D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．函数ln 1x y x =+在点P （1，0）处的切线方程为 ． 14．一种药在病人血液中的量保持1500 mg 以上才有疗效；而低于500 mg 病人就有危险。
百师联盟2020届高三考前预测诊断联考全国卷1理科数学试卷及答案解析
百师联盟2020届高三考前预测诊断联考全国卷1理科数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设全集是R ，集合301x A x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤，则()A B =R （ ）A.[]2,1-B.[)2,1- C.(]3,2-D.(],2-∞2.已知复数()12z i i =+⋅，则z =（ ） A.2i --B.2i -+C.2i -D.12i --3.已知向量()2,a t =-，()1,1b =-，若()//a b b -，则实数t =（ ） A.2-B.4-C.2D.44.已知递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若46a =，2a ，4，3a 成等比数列，则6S =（ ） A.36B.32C.28D.305.如图是2020年3月3日至4月8日M 国及该国的N 市新冠肺炎的累计确诊病例（单位：例）的折线图，则下列四种说法中正确的是（ ）①3月15日N 市新冠肺炎的累计确诊病例在M 国总累计确诊病例中占比超过13②3月3日至3月7日M 国的新冠肺炎累计病例的增长率小于4月4日至4月8日的增长率③3月19日至4月4日N 市新冠肺炎的累计确诊病例增加了51例④3月3日至4月8日M 国和N 市的新冠肺炎的累计确诊病例都呈递增趋势 A.①②③④B.①③④C.①③D.②③④6.已知圆()2224:5C x m y m ++=+直线:240l x y --=，若圆C 与直线l 有两个不同的交点，则m 的取值范围为（ ） A.()(),13,-∞-+∞B.[]1,3-C.(][)–,02,∞⋃+∞D.()2,4-7.如图为定义在R 上的函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象，则关于它的导函数()y f x '=的说法错误的是（ ）A.()f x '存在对称轴B.()f x '的单调递减区间为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.()f x '在()1,+∞上单调递增D.()f x '存在极大值8.已知函数()2sin 23f x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是偶函数，且()f x 在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，则满足条件的ϕ的一个值为（ ） A.3π-B.6π-C.3π D.56π 9.我国古代重要的数学著作《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题以及该类问题的具体解法，因其中涉及到余数问题，所以将其称为“中国剩余定理”又名“孙子定理”．若正整数N 除以正整数m 的余数为n ，记为()mod N n m =，例如()122mod5=．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值为（ ）A.16B.17C.22D.2310.已知ABC A B C '''-是体积为54的三棱柱，该三棱柱的五个面所在的平面截其外接球O 所得的截面面积相等，则球O 的表面积为（ ）A.15πB.28πC.30πD.60π11.已知1F 、2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线C 上一点，122PF PF =，若线段1PF 的中点Q 恰好在双曲线C 的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）12.已知定义在()1,+∞上的函数()ln 321x x x f x x +-=-，定义函数()()()(),,f x f x mg x m f x m⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，（其中m 为实数），若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()()g x f x =，则整数m （ ）A.有最大值5B.有最小值5C.有最大值6D.有最小值6第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.为提高网课的教学质量，某省教育厅组织4位优秀教师录制A 、B 、C 三节课的视频，要求每位教师录制其中一节，且每节课至少有一人录制，其中甲、乙两位教师录制同一节视频，则这三节课的不同录制方案有______种．14.已知抛物线()2:20C x py p =>上有三个点()1,1A x a -、()2B y 、()3,1C x a +，其中()0,1a ∈，若A 、B 、C 三点到焦点的距离依次构成等差数列，则p =______．15.已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．三、解答题（题型注释）16.在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量2sin2cos 22,⎛⎫=- ⎪⎝⎭A A m ，3cos cos 22,⎛⎫= ⎪⎭A A n ， m n ⊥．（1）求角A ；（2）若CD 是AB 边上的中线，11cos 12B =，CD =ABC 的面积． 17.如图1中，四边形ABCD 为平行四边形，DP AB ⊥于点P ，且有33AB PB ==，BD =APD △沿DP 边折起至QPD △的位置，如图2，满足6PQB π∠=．（1）证明：QB ⊥平面BCDP ； （2）求二面角P DQ C --的正弦值．18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左焦点()1,0F -，斜率为()0k k ≠的直线l 经过点F 且与椭圆C 交于A 、B 两点，点P 为AB 的中点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线OP 与直线()0x m m =<交于点Q ，且满足FQ FP PQ +=，求m 的值．19.为了提高奶牛产奶的安全性，某大型奶牛场决定定期对奶牛进行X 病毒检测，检验采用对血液样本进行试剂盒检测的方式，该试剂盒不仅操作简单，而且可以准确诊断出牛奶质量是否达标．在试剂盒研制初期，研究人员为验证该试剂盒是否精准，特别选择了已经知道诊断结论的5头奶牛（其中感染X 病毒的奶牛只占少数），做了一次验证性检测，已知在这5头奶牛中任意抽检两头，两头都未感染X 病毒的概率是35． （1）求出这5头奶牛中感染X 病毒的头数？（2）若用该试剂盒检测这5头奶牛，直到感染X 病毒的奶牛全部检出时检测结束，现有两套检测方案：（提前抽取了5份血液样本）方案一：先任取1个样本进行检测，若检测呈阳性（表示该奶牛感染X 病毒），则检测结束；若呈阴性（表示该奶牛未感染X 病毒），则在剩余4个样本中任取2个，并将这2个样本取部分混合在一起检测，若呈阳性，则再在这2个样本中任取一个检测，否则在剩余2个未检测样本中任取一个检测．方案二：先任取2个样本，并将这2个样本取部分混合在一起检测，若检测呈阳性，则再在这2个样本中任取一个检测；若呈阴性，则对剩余3个未检测样本进行逐个检测，直到感染X 病毒的牛全部检出，检测结束．设随机变量1ξ，2ξ分别表示用方案一、方案二进行检测所需的检测次数． （ⅰ）求1ξ，2ξ的分布列和数学期望；（ⅱ）假设每次检测的费用都相同，请说明方案一和方案二哪一个更适合？ 20.已知函数()2ln 2f x x x ax =+-，a ∈R ．（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，求()()122f x f x -的最小值．21.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 是以(为圆心，r 为半径的圆，直线l 的参数方程为8x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），且直线l 与曲线C 相切．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）点P 、Q 为曲线C 上两点，若3POQ π∠=，求POQ △面积的最大值．22.已知函数()11f x x x =+--． （1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）设a 为集合A 中最大的元素，若正数x ，y 满足124a x y+=，证明：4142x y xy ++≥.四、新添加的题型Θ，满足下列性质： ①对任意的m ∈R ，0m m Θ=； ②对任意的m ，n ∈R ，m n n m Θ=Θ；③对任意的m ，n ，t ∈R ，()()()()2m n t t m n n t m t ⎡⎤⎣ΘΘ=Θ⋅+Θ+Θ-⎦； 则24Θ=______，函数()4xxf x e e =Θ的最小值为______．参考答案1.A【解析】1.解分式不等式确定集合A ，然后根据集合运算的定义求解．301x A x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭{|(3)(1)0}x x x =+->{|3x x =<-或1}x >＝()(),31,-∞-⋃+∞，[]3,1A =-R，[]2,2B =-，[]()2,1A B =-R ．故选：A ． 2.A【解析】2.首先根据复数代数形式的乘法法则求出z ，再根据共轭复数的概念计算可得； 解：因为()122z i i i =+⋅=-+，所以2z i =--． 故选：A 3.C【解析】3.首先求出a b -的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； 解：因为()2,a t =-，()1,1b =-，所以向量()3,1a b t -=-+，因为()//a b b -，所以()310t -+=，所以2t =．故选：C 4.D【解析】4.设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，根据题中条件求出公差，得出通项公式，再由求和公式，即可求出结果.由题意，设等差数列{}n a 的公差为()0d d >， 因为46a =，2a ，4，3a 成等比数列， 所以()()2562616a a d d ⋅=-⋅+=， 解得2d =或5-（舍），所以1630,22n a d a n =-==-，()60106302S +⨯==．故选：D. 5.B【解析】5.根据统计拆线图，逐一判断，可得选项.①3月15日N 市新冠肺炎累计确诊病例有33例，M 国总累计病例有87例，占比超过13，①正确；②3月3日至3月7日M 国新冠肺炎累计病例的增长率为3716211616-=，4月4日至4月8日增长率为228214147214214107-==，21716107>，②错误；③3月19日至4月4日N 市新冠肺炎的累计确诊病例增加了994851-=例，③正确； ④3月3日至4月8日M 国和N 市新冠肺炎的累计确诊病例都呈递增趋势，④正确． 故选：B . 6.A【解析】6.求出圆心到直线的距离，由这个距离小于半径可得．圆心是(,0)m -由题意，圆心到直线的距离d =<3m >或1m <-． 故选：A ． 7.D【解析】7.由题意得()f x '是开口向上的抛物线，对选项进行一一验证，即可得答案；由题可知，()y f x '=为二次函数，可知函数()y f x =的极大值点为2-，极小值点为1， 可得0a >，且两根分别是2-和1．所以()f x '存在极小值，对称轴12x =-，单调递减区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．A ，B ，C 正确．故选：D. 8.B【解析】8.先根据()f x 是偶函数得32k ππϕπ-=+，即：56k πϕπ=+，k Z ∈，再对k 取值验证即可.因为()f x 是偶函数，32k ππϕπ-=+，所以56k πϕπ=+，k Z ∈． 当0k =时，56πϕ=，()2cos2f x x =在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，不满足题意； 1k =-时，6πϕ=-，()2cos2f x x =-在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，满足题意． 故选：B . 9.C【解析】9.由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环机构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变换情况，可得答案.解：由题可知该程序框图的功能是：利用循环结构计算并输出大于10的能同时被3除余1和被5除余2的最小整数.由已知中的四个选项的数据可得：故输出的n 为22. 故选：C. 10.D【解析】10.结合图象设底面边长为a ，侧棱长为l ，结合几何体，利用半径相等，建立方程，求解,,a l r 和球的表面积.由题易得该三棱柱为正三棱柱，设其底面边长为a ，侧棱长为l ，结合图形,三棱柱的五个面所在的平面截其外接球O所得的截面面积相等，可知截面圆半径相等，即球心到三棱柱的5个面的距离相等，设为d．外接球的球心在上下底面正三角形中心连线的中点，由球的半径相等可得2222232r d d⎛⎛⎫=+=+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得a=．可得该三棱柱的体积21542V a==⨯，得6a=，r=．所以球O的表面积为2460rππ=．故选：D11.C【解析】11.由双曲线定义求得14PF a=，22PF a=，由中点得OQ a=，12QF a=．直线OQ 是渐近线，得斜率为ba-，从而1tanbQOFa∠=，求得1cosaQOFc∠=，再用余弦定理可建立,a c的关系式，求得离心率．由122PF PF=知点P在双曲线的右支上，由122PF PF=，122PF PF a-=可得14PF a=，22PF a=，因为Q为1PF中点，所以OQ a=，12QF a=．直线OQ是渐近线，斜率为ba-，1tanbQOFa∠=，又111sintancosQOF bQOFQOF a∠∠==∠，设1sin QOF bk∠=，1cos QOF ak∠=，（0k>），则22221b k a k+=，1kc==，所以1cos a QOF c∠=， 在1QOF 中22214cos 2a a c a QOF c ac+-∠==，解得c e a ==．故选：C ． 12.A【解析】12.依题意若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()()g x f x =．则有()m f x ≤在()1,x ∈+∞恒成立，只需()min m f x ≤，利用导数研究函数()f x 的单调性与最值即可得解；解：由题若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()()g x f x =．则有()m f x ≤在()1,x ∈+∞恒成立，只需()min m f x ≤，()()2ln 21f x x x x -+-'=-，令()ln 2h x x x =-+-，()110h x x '=-+>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，又由()3ln310h =-+<，()4ln 420h =-+>，所以()03,4x ∃∈满足()00h x =，即有00ln 2x x =-，此时()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()()()00000000min00232ln 3225,611x x x x x x f x f x x x x -+-+-====+∈--，所以5m ≤．故选：A 13.6【解析】13.由题意可分两步完成，先选一节课甲乙共同录制，剩余两节课安排其余两位老师录制，由分步乘法计数原理可得结果.第一步选一节课甲乙两位老师录制，共有133C =种录制方案，第二步安排另两位老师录制剩余两节课，共有222A =种不同的录制方案，根据分步乘法计数原理可知，共有326⨯=种不同的录制方案， 故答案为：6 14.4【解析】14.设抛物线C 焦点F ，准线方程为2py =-，根据题意，得到2211222p p p y a a ⎛⎫+=-++++ ⎪⎝⎭，求出21y =，代入抛物线方程，即可得出结果.设抛物线C 焦点F ，准线方程为2py =-， 由A 、B 、C 到焦点的距离依次成等差数列得2BF AF CF =+， 所以2211222p p p y a a ⎛⎫+=-++++ ⎪⎝⎭，所以21y =，即()B ，代入22x py =得4p =．故答案为：4. 15.22n n +【解析】15.1=，说明数列是等差数列，再求通项公式.由)211n a =-得)211n a +=1=，即数列2=为首项，公差为1的等差数列，所以()2111n n =+-⨯=+，所以22n a n n =+．故答案为：22n n +16.（1）3A π=；（2）【解析】16.（1）首先根据m n ⊥得到2sin 106A π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，从而得到1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再求角A 即可.（2）首先利用正弦两角和公式得到sin C =::7:5:8a b c =，设7a x =，5b x =，8c x =，利用余弦定理得到1x =，再利用正弦定理求面积即可.（1）因为m n ⊥，所以0m n ⋅=．即223sincos 2cos cos 12sin 102226A A A m n A A A π⎛⎫⋅=⋅-=--=--= ⎪⎝⎭， 所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以5666A πππ-<-<， 所以66A ππ-=，即3A π=．（2）因为11cos 14B =，()0,B π=，所以sin B =()sin co 111s co s s sin in sin 2142147A B A C A B B =+=+=+⨯=，所以::sin :sin :sin 7:5:8a b c A B C ===， 设7a x =，5b x =，8c x =，在ACD △中，2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅， 所以22221251620x x x =+-，所以1x =， 即7a =，5b =，8c =，故12sin ABCSab C ==17.（1）证明见解析；（2）7.【解析】17.（1）根据线面垂直的判定定理，先证明DP ⊥平面PQB ，得到DP QB ⊥，再根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）分别以PB ，PD 为x ，y 轴，过点P 作z 轴//BQ ，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，根据向量夹角公式求出两法向量的夹角，进而可得出结果. （1）证明：因为33AB PB ==，所以2AP =，1PB =．在PQB △中，由余弦定理得2222cos PB PQ BQ PQ BQ PQB =+-⋅∠，得QB =则222BQ PB PQ +=，所以QB PB ⊥．又因为DP PB ⊥，DP QP ⊥，PB QP P ⋂=，且PB ⊂面PQB ，QP ⊂面PQB ， 所以DP ⊥平面PQB ．因为QB ⊂平面PQB ， 所以DP QB ⊥， 又因为PBDP P =，且PB ⊂面BCDP ，DP ⊂面BCDP ，所以QB ⊥平面BCDP ．（2）分别以PB ，PD 为x ，y 轴，过点P 作z 轴//BQ ，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0P ，()0,2,0D，()3,2,0C，(Q ，(1,DQ =-，()0,2,0PD =，()3,0,0DC =．设平面PDQ 的一个法向量为()1,,n x y z =，1100n DQ n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以2020x y y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令1z =，则()13,0,1n =-， 设平面CDQ 的一个法向量为()2,,n x y z =2200n DQ n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以2030x y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令2z =，则()20,2n =．所以121212cos ,27n n n n n n ⋅<>===⋅，因此1242sin ,7n n <>=， 所以二面角P DQ C --的正弦值为7．18.（1）22143x y +=；（2）4m =-.【解析】18.（1）根据题意可得121c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即可解出,a c ，再根据,,a b c 的关系222a b c =+可求出2b ，即可求出椭圆C 的方程；（2）设()11A x y ，，()22B x y ，以及():1AB l y k x =+，将直线方程与椭圆方程联立可得12x x +，即可求出点P 的坐标，再联立直线OP 与直线()0x m m =<的方程可求得点Q的坐标，由FQ FP PQ +=可得FQ FP ⊥，然后根据直线的斜率之积为1-即可解出m ．（1）由题121c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得2,1,a c =⎧⎨=⎩所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）因为焦点()1,0F -，设():1AB l y k x =+， 与椭圆方程联立得，()22224384120k x k x k +++-=，设()11A x y ，，()22B x y ，，则2122843k x x k +=-+．因为P 为AB 的中点，所以21224243P x x k x k +==-+，2343P P k y kx k k =+=+， 即22243,4343k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，∴3:4OPl y x k =-，则3,4m Q m k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由FQ FP PQ FQ FP +==-可得FQ FP ⊥，所以()3141mk k m -⋅=-+，所以4m =-．19.（1）1头；（2）（ⅰ）分布列见解析，()1135ξ=E ；()2125ξ=E ；（ⅱ）方案二更适合．【解析】19.（1）根据两头都未感染X 病毒的概率是35，列式求解； （2）（ⅰ）由题意可知1ξ的可能取值为1，3，2ξ的可能取值为2，3，再依次根据随机变量表示的事件求概率，列出分布列，并计算数学期望；（ⅱ）由（ⅰ）可知，数学期望小的合适.（1）设有x 头奶牛感染X 病毒，则由题意有252535x C C -=，解得1x =或8x =（舍）．所以这5头奶牛中有1头感染X 病毒．（2）（ⅰ）1ξ的可能取值为1，3，()11115115C P C ξ===，()1435P ξ==，所以1ξ的分布列为则()113555E ξ=⨯+⨯=； 2ξ的可能取值为2，3，由（1）可知()214222153235C C P C C ξ===，所以()2325P ξ==， 所以2ξ的分布列为()223555E ξ=⨯+⨯=．（ⅱ）因为()()21E E ξξ<，所以方案二所需的检测次数期望较少，所需的检测费用期望较低，所以方案二更适合． 20.（1）20x y --=；（2）14ln 22+-.【解析】20.（1）求出'(1)f 再利用点斜式方程，即可得答案；（2）由1x ，2x 是函数()f x 的极值点，得1x ，2x 是方程22210x ax -+=的两不等正根，再利用韦达定理得到120x x a +=>，1212x x ⋅=，利用消元法将()()122f x f x -表示成关于2x 的函数，再利用换元法和导数求函数的最小值. 解：（1）当1a =时，()ln 2f x x x x =+-，()122f x x x'=+-， ()11f =-，()11f '=，则11y x +=-，所以2y x =-，即曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为20x y --=．（2）函数()2ln 2f x x x ax =+-，()0,x ∈+∞，()2221x ax f x x-+'=，因为1x ，2x 是函数()f x 的极值点，所以1x ，2x 是方程22210x ax -+=的两不等正根，则有2480a ∆=->，120x x a +=>，1212x x ⋅=，所以a >22a >，即10,2x ⎛∈ ⎝⎭，22x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，且有211221ax x =+，222221ax x =+， ()()()()221211122222ln 2ln 2f x f x x x ax x x ax -=+--+- ()()22221112222ln 21ln 21x x x x x x =+---+--22112222ln ln 1x x x x =-+-+-222222222222111322ln ln 1ln 2ln 212222x x x x x x x ⎛⎫=-+--=---- ⎪⎝⎭令22t x =，则1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()13ln 2ln 2122g t t t t =----，()()()22211131222t t g t t t t --'=+-=， 当1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调递减，当()1,t ∈+∞上单调递增． 所以()()min 14ln 212g t g +==-． 所以()()122f x f x -的最小值为14ln 22+-． 21.（1）4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）【解析】21.（1）根据圆的圆心和半径写出圆的普通方程，再利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩求得圆的极坐标方程；（2）设()1,P ρθ，2,3Q πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，利用三角形的面积公式121sin 23POQ S πρρ=△，再利用三角函数的有界性，即可得答案；解：（1）直线l的参数方程化简为一般式方程为80x +-=，因为直线l 与曲线C 相切，则13822r +-==． 所以圆的方程为()(2214x y -+-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入化简得 曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）设()1,P ρθ，2,3Q πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，121sin 4sin 4sin 23462POQ S πππρρθθ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△1cos cos cos 26226ππθθθθθθ⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭当262ππθ+=，即6πθ=时，POQ △的面积最大，最大值为22.（1）1,2A ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦；（2）证明见解析【解析】22.（1）去绝对值可得()2,12,112,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，然后分1,11,1x x x -≤≤-><三种情况解不等式，进而可求出答案； （2）易知12a =，可得122x y +=，即12xy x y =+，进而4142x y xy xy xy ++=+，然后利用基本不等式可证明结论成立.（1）由题意，()2,1112,112,1x f x x x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪>⎩，解不等式()1f x ≤，即121x <-⎧⎨-≤⎩或1121x x -≤≤⎧⎨≤⎩或121x >⎧⎨≤⎩，解得12x ≤． 即不等式()1f x ≤的解集1,2A ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦.（2）由题可知12a =，则122x y +=，所以22xy x y =+，即12xy x y =+.则4142x y xy xy xy++=+， 因为0,0x y >>，所以0xy >，所以44xy xy +≥=，当且仅当4xy xy=，即1x =，2y =时等号成立. 所以4142x y xy ++≥. 23.12 6【解析】23.利用新定义运算，转化()24240Θ=ΘΘ，再由性质③，①可得；这样可得()00()0022a b a b ab a b ab a b Θ=ΘΘ=Θ+Θ+Θ-=++-，函数4()42x x f x e x=++-，再由基本不等式可得最小值． 根据定义可得()242400802042824212Θ=ΘΘ=Θ+Θ+Θ-=++-=；()444004002x x xx x xf x e e e e e e ⎛⎫=Θ=ΘΘ=Θ+Θ+Θ- ⎪⎝⎭4442226x x x x e e e e =++-=++≥=，当且仅当ln 2x =时等号成立． 故答案为：12；6．。
2020年百校联盟高考(理科)数学(5月份)模拟试卷(全国Ⅰ卷) (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}2．已知i为虚数单位，复数z=a1+2i+i(a∈R)在复平面内所对应点（x，y），则（）A．y＝﹣2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝﹣2x+5D．y＝3x﹣1 3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1B．−12C．12D．14．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．81B．243C．248D．3635．已知a=log234，b=log445，c=log889，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组7．已知函数f(x)=sin(x+π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）A ．[136，83)B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83]8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√229．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2) B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√210．已知实数a ，b ，满足a 28+b 22=1，当√acosθ+√2bsinθ取最大值时，tan θ＝（ ）A ．12B ．1C ．√2D ．211．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，以下结论正确的个数是（ ）①双曲线C 的离心率为√3；②双曲线C 的渐近线方程y =±√2x ；③直线l 的斜率为1． A ．0B ．1C ．2D ．312．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ae ﹣x +2sin x 满足{f(y −3)≤f(x)≤f(0)f(1−6y)≤f(x)≤f(0)，则z ＝x ﹣lny 的最小值是（ ） A ．﹣ln 6B ．﹣2C ．ln 6D ．2二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为 ．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量BA→的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图为直角三角形，求此时二面角A﹣BE﹣C的余弦值．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n，n∈N*，a5＝6，S6＝27，数列{b n}的前n项和T n，T n=2b n−n(n∈N∗)．（1）判断{b n+1}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82820．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m），且x＝0是f（x）的极值点．（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由．21．已知直线l ：y =mx −m 22(m ≠0)与椭圆C ：ax 2+by 2＝1交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，且直线l 与直线OD 的斜率之积为−14，若直线x ＝t 与直线l 交于点P ，与直线OD 交于点M ，且M 为直线y =−14上一点． （1）求P 点的轨迹方程；（2）若F(0，12)为概圆C 的上顶点，直线l 与y 轴交点G ，记S 表示面积，求S △PFGS △PDM的最大．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13（x +1）2． （1）求f （x ）+|f （x ）﹣9|的最小值M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足了f （a ）+f （b ）+f （c ）＝M ，求证：a +b +c ≤6．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＞0}，B ＝{x |2x ≤2}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜1}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |﹣1≤x ≤1}D ．{x |x ≤﹣1}【分析】先解出关于集合A ，B 的不等式，求出A 的补集，从而求出其补集与B 的交集． 解：因为∁U A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）≤0}＝{x |﹣1≤x ≤2}， B ＝{x |2x ≤2}＝{x |x ≤1}， ∴（∁U A ）∩B ＝{x |﹣1≤x ≤1}； 故选：C ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A ，B 是解决本题的关键． 2．已知i 为虚数单位，复数z =a1+2i +i(a ∈R)在复平面内所对应点（x ，y ），则（ ） A ．y ＝﹣2x +1B ．y ＝2x ﹣1C ．y ＝﹣2x +5D ．y ＝3x ﹣1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数的实部与虚部，消参数得答案． 解：∵z =a 1+2i +i =a(1−2i)5+i =a 5+(1−2a5)i ， ∴{x =a5y =1−2a 5，得y ＝﹣2x +1．故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知向量a →=（﹣2，m ），b →=（1，2），a →•（2a →+b →）=112．则实数m 的值为（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出2a →+b →，再根据数量积的坐标运算法则表示出a →•（2a →+b →），从而得到关于m 的方程，解之即可．解：∵a →=（﹣2，m ），b →=（1，2），∴2a →+b →=(−3，2m +2)，∴a →•（2a →+b →）＝6+m （2m +2）=112，即m 2+m +14=0，解得m =−12，故选：B ．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO ．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO ＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO 据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ） A ．81B ．243C ．248D ．363【分析】根据题意求出RO 的值，再计算得病总人数． 解：由题意知，RO ＝1+40%×5＝3， 所以得病总人数为：3+32+33+34+35=3×(1−35)1−3=363（人）．故选：D ．【点评】本题考查了等比数列的前n 项和的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5．已知a =log 234，b =log 445，c =log 889，则（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【分析】先结合对数的换底公式对已知对数式进行化简，然后结合对数函数的单调性即可比较大小．解：b =log 445=12log 245=log 2√5，c =log 889=13log 289=log 2√93， 因为916＜45＜√813，所以34√5√93，所以a ＜b ＜c 故选：B ．【点评】本题主要考查了对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础试题． 6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（ ）A ．第3组B ．第4组C ．第5组D ．第6组【分析】求出数据的极差，分成7组，可求组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，即可求得中位数为12.5应位于第5组内．解：数据的极差为15.1﹣8.8＝6.3，分成7组，组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，中位数为12.5应位于第5组内． 故选：C ．【点评】本题考查茎叶图的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．7．已知函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ） A ．[136，83) B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83] 【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2ωπ+π6∈[9π2，11π2），由此可得结果．解：∵函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数为 y ＝sin （ωx +π6）在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值； ωx +π6∈[π6，2ωπ+π6]，∴2ωπ+π6∈[9π2，11π2），则正实数ω∈[136，83），故选：A ．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．√24C ．√34D ．√22【分析】设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ，则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角，由此能求出异面直线OC 与PD 所成角的余弦值．解：设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ， 则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∴∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角， 在△PDE 中，PE ＝PO =√2r ，DE ＝r ， ∴cos ∠PDE =r 22r=√24． 故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 9．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2)B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√2【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF 2|的值．解：由题意，F 1（﹣2，0），则抛物线方程为y 2＝8x ． 计算可得|PF 1|=√2，|PF 2|＝2a −√2=4√2−√2=3√2． 过Q 作QM ⊥直线l 与M ，由抛物线的定义知，|QF 2|＝|QM |． ∵|F 1F 2||PF 2|=|MQ||PQ|，∴3√2=3√2−|MQ|，解得：|MQ |＝12（3﹣2√2）．∴|QF 2|＝|MQ |＝12（3﹣2√2）． 故选：A ．【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 10．已知实数a ，b ，满足a 28+b 22=1，当√acosθ+√2bsinθ取最大值时，tan θ＝（ ）A ．12B ．1C ．√2D ．2【分析】根据辅助角公式可得√acosθ+√2bsinθ=√a +2b sin （θ+φ）≤√a +2b ≤√2√a 2+4b 22=2，进而可求得答案解：由a 28+b 22=1得a 2+4b 2＝8，利用辅助角公式可得：√acosθ+√2bsinθ=√a +2b sin （θ+φ）≤√a +2b ≤√2√a 2+4b 22=2，其中tan φ=√a 2b ， 所以最大值为2，当且仅当a ＝2b ＝2时成立， 所以√acosθ+√2bsinθ=2sin （θ+π4）， 则θ=π4+2k π，k ∈Z ，则tan θ＝1， 故选：B ．【点评】本题考查三角函数的恒等变形，关键是用三角函数表示a 、b ．11．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，以下结论正确的个数是（ ）①双曲线C 的离心率为√3；②双曲线C 的渐近线方程y =±√2x ；③直线l 的斜率为1． A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】由题意可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合双曲线的离心率公式和渐近线方程，直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论． 解：由MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，由|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|NF 2|﹣|NF 1|＝2a ，两式相减可得|NF 1|﹣|MF 1|＝|MN |＝4a ，即有m ＝2√2a ，设H 为MN 的中点，在直角三角形HF 1F 2中，可得4c 2＝4a 2+（2a +2√2a ﹣2a ）2，化为c 2＝3a 2，e =ca =√3，故①正确； 又√1+b 2a 2=c a=√3，可得ba =√2，故②正确；因为|HF 2|=12|MN |＝2a ，所以|HF 1|=√|F 1F 2|2−|HF 2|2=2√c 2−a 2，所以直线l 的斜率为|HF 2||HF 1|=2√c 2−a 2=√22，故③错误． 故选：C ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ae ﹣x +2sin x 满足{f(y −3)≤f(x)≤f(0)f(1−6y)≤f(x)≤f(0)，则z ＝x ﹣lny 的最小值是（ ）A ．﹣ln 6B ．﹣2C ．ln 6D ．2【分析】由已知可求a ，然后对函数求导，结合导数可判断函数的单调性，进而可得关于x ，y 的不等式组，结合线性规划知识即可求解． 解：由题意f （0）＝1﹣a ＝0可得a ＝1，所以f （x ）＝e x ﹣e ﹣x +2sin x ，f′(x)=e x +1e x+2cosx ≥2+2cos x ≥0， 故f （x ）在R 上单调递增，则{y −3≤x ≤01−6y ≤x ≤0，作出可行域如图所示，其中A （0，16），B （0，3），C （−177，47）， 设y ＝e x ﹣z ，则由图象可知，设y ＝x +3与y ＝e x ﹣z 相切于点D （x 0，y 0），由y ′＝e x ﹣z ，令e x 0−z =1可得x 0＝z ，y 0=1∈(47，3)，故y ＝x +3与y ＝e x ﹣z 相切于点D （﹣2，1）时，z 取得最小值z min ＝﹣2． 故选：B ．【点评】本题综合考查了导数与单调性的关系的应用及利用线性规划知识求解目标函数的最值，体现 了转化思想及数形结合思想的应用． 二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为15．【分析】由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，由此能求出这两项来自影响稍弱区的概率．解：由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项， 则这两项来自影响稍弱区的概率是： P =C 32C 62=315=15． 故答案为：15．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，则f （2x ﹣2）≥f （0）的解集为 [1，2] ． 【分析】先求出a 的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及f （2x ﹣2）≥f （0），求出x 的范围．解：∵函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称， ∴a ＝1，f （x ）=(12)|x−1|∈（0，1]，则由f （2x ﹣2）≥f （0）=12，结合图象可得 0≤2x ﹣2≤2，求得 1≤x ≤2， 故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题． 15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 周长为5，b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，则∠B ＝π3，若b ＝2，则△ABC 的面积为√312．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sin A ≠0，可得cos B =12，结合范围B ∈（0，π），可求B =π3，进而根据余弦定理可求ac 的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，∴由正弦定理可得：sin B cos C ＝（2sin A ﹣sin C ）cos B ，可得sin B cos C +cos B sin C ＝2sin A cos B ， ∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，∵sin （B +C ）＝sin （π﹣A ）＝sin A ，且sin A ≠0， ∴可得cos B =12， ∵B ∈（0，π）， ∴B =π3，又∵b ＝2，a +c ＝3， ∴a 2+c 2﹣2ac cos B ＝b 2， ∴（a +c ）2﹣3ac ＝4， ∴ac =53，∴S △ABC =12ac sin B =5√312．故答案为：π3，5√312．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm ，高为18cm （底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm 的圆铁棒l （粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为1849π16cm 2．【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h 构成直角三角形求出容器内水面的高度h ，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积． 解：如图所示，六棱柱笔筒的边长为6cm ，高为18cm ，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长h 构成直角三角形， 所以2√85=√122+h 2，解得h ＝14， 所以容器内水面的高度为14cm ，设球的半径为R ，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为r =√62−32=3√3，球心到截面圆的距离为R ﹣4，所以R 2＝（R ﹣4）2+(3√3)2，解得R =438； 所以球的表面积为4π×(438)2=1849π16（cm 2）． 故答案为：1849π16．【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题． 三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt △PCD 、PD ⊥CD ，A ，B 分別为PD ，PC 的中点PD ＝2DC ＝2，将△PAB沿AB 折起，得到四棱锥P '﹣ABCD ，E 为P 'D 的中点． （1）证明：P 'D ⊥平面ABE ；（2）当正视图方向与向量BA →的方向相同时，P '﹣ABCD 的正视图为直角三角形，求此时二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值．【分析】（1）由平面图可知，AB ⊥P ′A ，AB ⊥AD ，得到AB ⊥平面P ′AD ，得AB ⊥P ′D ，再由已知可得AE ⊥P ′D ．由直线与平面垂直的判定可得P ′D ⊥平面ABE ； （2）由P '﹣ABCD 的正视图与△P ′AD 全等，为直角三角形，得P ′A ⊥AD ，以A 为原点，分别以AB 、AD 、AP ′所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BEC 的一个法向量与平面ABE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值．【解答】（1）证明：由平面图可知，AB ⊥P ′A ，AB ⊥AD ， 又P ′A ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面P ′AD ，得AB ⊥P ′D ． ∵E 为P ′D 的中点，P ′A ＝AD ，∴AE ⊥P ′D ． ∵AE ∩AB ＝A ，∴P ′D ⊥平面ABE ；（2）解：∵P '﹣ABCD 的正视图与△P ′AD 全等，为直角三角形， 故P ′A ⊥AD ，以A 为原点，分别以AB 、AD 、AP ′所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． 则A （0，0，0），D （0，1，0），P ′（0，0，1）， B （12，0，0），C （1，1，0），E （0，12，12），P′D →=(0，1，−1)，BE →=(−12，12，12)，BC →=(12，1，0)． 设平面BEC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅BE →=−12x +12y +12z =0n →⋅BC →=12x +y =0，取x ＝2，得n →=(2，−1，3)．∴P′D →为平面ABE 的一个法向量，设二面角A ﹣BE ﹣C 为θ，∴cos ＜P′D →，n →＞=P′D →⋅n→|P′D →|⋅|n →|=−2√77． ∵二面角A ﹣BE ﹣C 为钝角，∴cos θ=−2√77，故二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值为−2√77．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，n ∈一、选择题*，a 5＝6，S 6＝27，数列{b n }的前n 项和T n ，T n =2b n −n(n ∈N ∗)． （1）判断{b n +1}是等比数列，并求b n ； （2）求数列{a n •b n }的前n 项和．【分析】（1）T n =2b n −n(n ∈N ∗)．n ≥2时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1，化为：b n ＝2b n ﹣1+1，变形为：b n +1＝2（b n ﹣1+1），进而证明结论．利用通项公式考点b n ．（2）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 5＝6，S 6＝27，利用通项公式可得：a 1+4d ＝6，6a 1+15d ＝27，联立解得：a 1，d ，可得a n ．可得a n •b n ＝（n +1）•2n ﹣（n +1）．利用错位相减法与等差数列得求和公式即可得出． 解：（1）T n =2b n −n(n ∈N ∗)．∴n ≥2时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1＝2b n ﹣n ﹣（2b n ﹣1﹣n +1），化为：b n ＝2b n ﹣1+1， ∴b n +1＝2（b n ﹣1+1），n ＝1时，b 1＝2b 1﹣1，解得b 1＝1．∴b 1+1＝2．∴{b n+1}是等比数列，首项与公比都为2，∴b n＝2n﹣1．（2）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5＝6，S6＝27，∴a1+4d＝6，6a1+15d＝27，联立解得：a1＝2，d＝1，∴a n＝2+n﹣1＝n+1．∴a n•b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）．∴数列{（n+1）•2n}的前n项和A n＝2×2+3×22+4×23+……+（n+1）•2n．∴2A n＝2×22+3×23+……+n•2n+（n+1）•2n+1．相减可得：﹣A n＝4+22+23+……+2n﹣（n+1）•2n+1＝2+2(2n−1)2−1−（n+1）•2n+1．化为：A n＝n•2n+1．∴数列{a n•b n}的前n项和＝n•2n+1−n(3+n)2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 参考数据： P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【分析】（1）先补充完整2×2列联表，然后根据K 2的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；（2）X 的可能取值为0，1，2，先求出两种车型使用寿命不低于7年和低于7年的占比数，然后依据相互独立事件的概率逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（3）先求出两款出租车型的每辆车的利润，然后结合频数分布列求两种车型的平均利润，比较大小后，取较大者即可．解：（1）补充完整的2×2列联表如下所示，使用寿命不高于6年 使用寿命不低于7年总计 A 型 30 70 100 B 型 50 50 100 总计80120200∴K 2=200×(50×30−70×50)2100×100×80×120≈8.33＞6.635，∴有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关． （2）由题可知，A 型车使用寿命不低于7年的车数占710，低于7年的车数占310；B 型车使用寿命不低于7年的车数占12，低于7年的车数占12． ∴X 的可能取值为0，1，2， P （X ＝0）=310×12=320，P （X ＝1）=710×12+310×12=12，P （X ＝2）=710×12=720． ∴X 的分布列为X12P32012720∴数学期望E（X）=0×320+1×12+2×720=65．（3）∵平均每辆出租车年上交公司6万元，且A，B两款车型的采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆，∴两款出租车型的每辆车的利润如下表：使用寿命年数5年6年7年8年A型6×5﹣11＝196×6﹣11＝256×7﹣11＝316×8﹣11＝37B型6×5﹣8＝226×6﹣8＝286×7﹣8＝346×8﹣8＝40用频率估计概率，这100辆A型出租车的平均利润为1100×(19×10+25×20+31×45+37×25)=30.1（万元），这100辆B型出租车的平均利润为1100×(22×15+28×35+34×40+40×10)=30.7（万元），∵30.7＞30.1，故会选择采购B款车型．【点评】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列与数学期望、平均数的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．20．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m），且x＝0是f（x）的极值点．（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）由已知结合极值存在条件可求m，然后结合导数单调性及最值的关系即可求解；（2）由已知不等式代入整理可得ln（1+x）＜bx，可考虑构造函数h（x）＝ln（x+1）﹣bx ，结合导数与单调性的关系对b 进行分类讨论可求．解：（1）f′(x)=e x −1x+m， 由x ＝0是f （x ）的极值点可得1−1m =0，即m ＝1，经检验m ＝1符合题意， f′(x)=e x −11+x =e x (x+1)−1x+1， 设g （x ）＝e x （x +1）﹣1，则g ′（x ）＝e x （x +2）＞0在x ＞﹣1时恒成立，故g （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增且g （0）＝0，所以，当x ＞0时，g （x ）＞0即f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增，当﹣1＜x ＜0时，g （x ）＜0即f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，故当x ＝0时，f （x ）取得最小值f （0）＝1，（2）由e x ＜bx +f （x ）在（0，+∞）上恒成立可得ln （1+x ）＜bx ，设h （x ）＝ln （x +1）﹣bx ，则h′(x)=11+x −b ， （i ）若b ≥1，则x ＞0时，h′(x)=11+x−b ≤0，h （x ）单调递减， 所以h （x ）＜h （0）＝0，符合题意，（ii ）若b ≤0，则x ＞0时，h′(x)=11+x −b ＞0，h （x ）单调递增，h （x ）＞h （0）＝0，不符合题意，（iii ）若0＜b ＜1，则h′(x)=11+x −b =0时，x =1b −1， 当x ∈(0，1b −1)时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，此时h （x ）＞h （0）＝0，不满足题意，综上，b 的范围[1，+∞）．【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值和最值，还考查了由不等式的恒成立求参数的范围问题，体现了分类讨论思想的应用．21．已知直线l ：y =mx −m 22(m ≠0)与椭圆C ：ax 2+by 2＝1交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，且直线l 与直线OD 的斜率之积为−14，若直线x ＝t 与直线l 交于点P ，与直线OD 交于点M ，且M 为直线y =−14上一点．（1）求P 点的轨迹方程；（2）若F(0，12)为概圆C 的上顶点，直线l 与y 轴交点G ，记S 表示面积，求S △PFG S △PDM 的最大． 【分析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0），联立两方程，结合韦达定理可得x 1+x 2=m 3b bm 2+a ，则x 0=x 1+x 22=m 3b 2bm 2+2a，再带回直线方程进而得到b ＝4a ，从而t ＝m ，消去m 后可得x 2＝2y ；（2）结合（1）表示出P （m ，m 22），F （0，12），D （2m 34m +1，−m 22(4m 2+1)），M （m ，−14），再分别表示出两三角形的面积，利用换元思想得最值．解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0），联立{y =mx −m 22ax 2+by 2=1得（bm 2+a ）x 2﹣m 2bx +bm 44−1＝0， 则x 1+x 2=m 3b bm 2+a ，则x 0=x 1+x 22=m 3b 2bm 2+2a， 将其代入y ＝mx −m 22得y 0=−m 2a 2bm 2+2a， 因为y 0x 0•m =−a b ，所以−a b=−14，即b ＝4a ， 故OD 方程为y =−14m x ， 则−14=−14mt ，故t ＝m ， 代入y ＝mx −m 22，得P （m ，m 22），消去m ， 可得P 点的轨迹方程为x 2＝2y （x ≠0）；（2）由题得b ＝4，所以椭圆C 的方程为x 2+4y 2＝1，由（1）知x 0=x 1+x 22=2m 34m 2+1，y 0=−m 22(4m 2+1)， 对于直线l ，令x ＝0，y =−m 22，则G （0，−m 22）， 所以P （m ，m 22），F （0，12），D （2m 34m 2+1，−m 22），M （m ，−14）， 所以S △PFG =12|GF ||m |=14|m |（m 2+1）S △PDM =12|PM |•|m ﹣x 0|=|m|(2m 2+1)28(4m 2+1)， 则S △PFGS △PDM =2(4m 2+1)(m 2+1)(2m 2+1)2，令n ＝2m 2+1，则S △PFGS △PDM=(2n−1)(n+1)n 2=−1n 2+1n +2， 当1n =12，即n ＝2时，S △PFGS △PDM 取得最大值94，此时m ＝±√22，满足△＞0． 【点评】本题考查点的轨迹方程，考查直线与椭圆的综合，转化思想、换元思想、函数思想等，综合性强，属于难题请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k 1+k 2y =2(1−k 2)1+k 2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k 2y =2(1−k 2)1+k 2（k 为参数），整理得y 2+1=21+k ，又x +1=4k1+k 2，两式相除得：k =x+1y+2，代入x +1=4k 1+k 2，得到（x +1）2+y 2＝4（y ≠﹣2）． （2）曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x ﹣y ﹣4＝0．设圆心C 1（﹣1，0）到直线l 的距离为d ，则|AB |=2√4−d 2=2√3，解得d ＝1．所以：|PD|=√|PC1|2−1，当|PC1|最小时，|PD|最小，由于|PC1|的最小值为圆心C1到直线C2的距离．根据|PC1|=2=5√22，所以|PD|min=√252−1=√462．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=13（x+1）2．（1）求f（x）+|f（x）﹣9|的最小值M；（2）若正实数a，b，c满足了f（a）+f（b）+f（c）＝M，求证：a+b+c≤6．【分析】（1）由f（x）≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|，由绝对值不等式的性质，可得所求最小值M；（2）由条件可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证．解：（1）由f（x）=13（x+1）2≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|≥|f（x）﹣f（x）+9|＝9，当0≤f（x）≤9时，取得等号，则最小值M＝9；（2）证明：由a，b，c＞0，f（a）+f（b）+f（c）＝9，可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，由柯西不等式可得（12+12+12）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，当且仅当a+1＝b+1＝c+1，即a＝b＝c时，取得等号，则a+b+c+3≤√3[(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2]=√3×27=9，即a+b+c≤6．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020届联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷(三)数学(理)试题(解析版)
画出 g x 与 y x 图象，得出结论.
用，属于中档题.
11．已知三棱柱 ABC A1B1C1 内接于一个半径为 3 的球，四边形 A1ACC1 与 B1BCC1
均为正方形，M , N
分别是
A1B1 ，A1C1 的中点，C1M
1 2
A1B1 ，则异面直线 BM
与
AN
所成角的余弦值为（ ）
3
A．
10
B． 30 10
7
C．
10
D． 70 10
的大小关系 0 x 1 y z ，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.
【详解】
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∵a＞b＞0， ab 1 ，
∴可得 a= 1 ，且 a＞1＞b＞0， b
∴x
b 2a
1 a 2a
1
，
2
y log2 (a b) log2 2 ab log2 2 1 ，
【详解】
因为 A, B 关于 x 轴对称，所以 A, B 纵坐标为 2 ，
横坐标为 1，代入 y2 2 px( p 0) ，
可得 y2 2x .设点 P x1, y1 ， Q x2, y2 .
则
y12 y22
2x1, 2x2 ,
则
y1
y2
y1
y2
2 x1
x2
，
kPQ
2 y1
∴ a2 a2 a2 2 3 ，解得 a=2，
∴BC=CA=CC1=2,
CO=1,AO= 5 ,AN= 5 , NO MB B1M 2 BB12
2 2 22 6 ，
在△ANO 中,由余弦定理可得：
cosANO AN 2 NO2 AO2
2020届高三5月质量检测数学理科试卷(解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|√2x−4≤2}，则B∩（∁U A）＝（）A．[2，3]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（3，4]D．[3，4]2．已知复数z=a2−i+1（i为虚数单位，a∈R）为纯虚数，则实数a＝（）A．52B．−52C．0D．23．已知函数f（x）={e x，x＜14−mx，x≥1，若f（m）＝1，则实数m的值是（）A．0B．√3C．0或√3D．0或√3或−√3 4．若l，m，n是三条不相同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若l∥m，m∥α，则l∥αB．若α⊥β，n⊥α，m∥n，则m∥βC．若α⊥β，l⊥α，m∥β，则l∥m D．若l⊥α，l∥n，n⊥β，则α∥β5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a为松长、b为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（）A ．a ＜b ？；a ＝a +a2 B ．a ＜b ？；a ＝a +2aC ．a ≥b ？；a ＝a +a2D ．a ≥b ？；a ＝a +2a6．在等比数列{a n }中，已知a 1a 3＝4，a 9＝256，则a 8＝（ ） A ．128或﹣128B ．128C ．64或﹣64D ．647．2020年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的12名医护人员支援湖北省黄冈市，现将这12人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医院，则甲、乙不在同一组的概率为（ ）A ．511B ．611C ．12D ．238．函数f （x ）=5(x 2−cosx)e x +e−x 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．直线l ：x ﹣y +√2=0将圆O ：x 2+y 2＝4分成的两部分的面积之比为（ ） A ．（4π−√3）：（8π+√3） B ．（4π﹣3√3）：（8π+3√3） C ．（2π﹣2√3）：（10π+2√3）D ．（2π﹣3√3）：（10π+3√3）10．设无穷等差数列{a n }的各项都为正数，且其前n 项和为S n ，若S 2017＝2017，则下列判断错误的是（ ） A ．a 1009＝1B ．a 1010≥1C ．S 2016＞2016D ．S 2019≥201911．函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，先将函数f （x ）图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7π2个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则下列结论 正确的是（ ）A ．函数g （x ）是奇函数B ．函数g （x ）在区间[﹣2π，0]上单调递增C ．函数g （x ）图象关于（3π，0）对称D ．函数g （x ）图象关于直线x ＝﹣3π对称12．定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足：f （x ）+f '（x ）=√x ex ，f(12)=√12e ．其中f '（x ）表示f （x ）的导函数，若存在正数a ，使得f(x 2−x 4)≥1a +a 8e成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，2] B ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） C ．[﹣1，0]∪[1，2]D ．[﹣2，﹣1]∪[1，2]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（﹣2，1），b →=（4，3），c →=（﹣1，λ），若（a →+b →）∥c →，则λ＝ ． 14．二项式(1x −3x 2)6的展开式中的常数项是 ．（用数字作答） 15．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝120°且AB ＝AC ＝3，BB 1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为 ．16．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，且椭圆C 与双曲线C '：2x 2a −y 2=1共焦点，若椭圆C 与双曲线C '的一个交点M 满足|MF 1|•|MF 2|＝2，则△MF 1F 2的面积是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos(B+C)cosC=a 2b+c．（1）求角A 的大小；（2）若a =4√3，b =4√2，求△ABC 的面积．18．现有一种水上闯关游戏，共设有3个关口，如果在规定的时间内闯过了这3个关口，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏．假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的概率分别为23，12，12，且各关口能否顺利闯过相互独立．（1）求小张、小王、小李分别闯关成功的概率；（2）记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19．如图，四边形ABCD 为正方形，PA ∥CE ，AB ＝CE =12PA ，PA ⊥平面ABCD ． （1）证明：PE ⊥平面DBE ；（2）求二面角B ﹣PD ﹣E 的正弦值的大小．20．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点P （2，0）的直线l 交抛物线C 于A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）两点．（1）当x 1+x 2＝8时，求直线l 的方程；（2）若过点P （2，0）且垂直于直线l 的直线l '与抛物线C 交于M ，N 两点，记△ABF 与△MNF 的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的最小值．21．已知函数g （x ）＝e x ﹣ax 2﹣ax ，h （x ）＝e x ﹣2x ﹣lnx ．其中e 为自然对数的底数． （1）若f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）． ①讨论f （x ）的单调性；②若函数f （x ）有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．（2）已知a ＞0，函数g （x ）恰有两个不同的极值点x 1，x 2，证明：x 1+x 2＜ln(4a 2)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点A （﹣1，﹣2）且斜率为1的直线l 1与曲线C ：{x =3+4cosα，y =4+4sinα（α是参数）交于P ，Q 两点，与直线l 2：ρcos θ+2ρsin θ+4＝0交于点N ． （1）求曲线C 的普通方程与直线l 2的直角坐标方程；（2）若PQ 的中点为M ，比较|PQ |与|MN |的大小关系，并说明理由． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝3|x ﹣2|﹣3．（1）求不等式13[f(x)+3]＞|x +1|的解集；（2）若关于x 的不等式f （x ）≥mx +m 恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，B ＝{x |√2x −4≤2}，则B ∩（∁U A ）＝（ ） A ．[2，3] B ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） C ．（3，4]D ．[3，4]【分析】求出集合B ，∁U A ，由此能求出B ∩（∁U A ）． 解：∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣2＜x ＜3}， B ＝{x |√2x −4≤2}＝{x |2≤x ≤4}， ∴∁U A ＝{x |x ≤﹣2或x ≥3}， ∴B ∩（∁U A ）＝{x |3≤x ≤4}， 故选：D ．2．已知复数z =a2−i +1（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则实数a ＝（ ） A ．52B ．−52C ．0D ．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0，且虚部不为0列式求解． 解：∵z =a2−i +1=a(2+i)(2−i)(2+i)+1=2a+55+a5i 为纯虚数， ∴{2a+55=0a 5≠0，解得a =−52．故选：B ．3．已知函数f（x）={e x，x＜14−mx，x≥1，若f（m）＝1，则实数m的值是（）A．0B．√3C．0或√3D．0或√3或−√3【分析】讨论字母m的范围，求出f（m）的表达式，列出方程求出符合条件的m值．解：因为函数f（x）={e x，x＜14−mx，x≥1，当m＜1时，有f（m）＝e m，e m＝1解得m＝0满足条件；当m≥1时，有f（m）＝4﹣m2，∴4﹣m2＝1解得m=√3（−√3舍）总之，m=√3或0；故选：C．4．若l，m，n是三条不相同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若l∥m，m∥α，则l∥αB．若α⊥β，n⊥α，m∥n，则m∥βC．若α⊥β，l⊥α，m∥β，则l∥m D．若l⊥α，l∥n，n⊥β，则α∥β【分析】对于A，l∥α或l⊂α；对于B，m∥β或m⊂β；对于C，l与m相交、平行或异面；对于D，由面面垂直的判定定理得α∥β．解：对于A，若l∥m，m∥α，则l∥α或l⊂α，故A错误；对于B，若α⊥β，n⊥α，m∥n，则m∥β或m⊂β，故B错误；对于C，若α⊥β，l⊥α，m∥β，则l与m相交、平行或异面，故C错误；对于D，若l⊥α，l∥n，n⊥β，则由面面垂直的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a为松长、b为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（）A．a＜b？；a＝a+a2B．a＜b？；a＝a+2aC．a≥b？；a＝a+a2D．a≥b？；a＝a+2a【分析】由程序框图模拟程序的运行，结合题意即可得解．解：竹逾松长，意为竹子比松高，即a＜b，但这是一个含当型循环结构的程序框图，当不满足条件时，退出循环，故菱形框中条件应为a≥b？，松日自半，则表示松每日增加一半，即矩形框应填a＝a+a 2．故选：C．6．在等比数列{a n}中，已知a1a3＝4，a9＝256，则a8＝（）A ．128或﹣128B ．128C ．64或﹣64D ．64【分析】由已知结合等比数列的性质可求a 2，然后结合等比数列的通项公式即可求解． 解：由等比数列的性质可得，a 1a 3=a 22=4， ∴a 2＝2或﹣2，∵a 9＝256，当a 2＝2时，q 7＝128即q ＝2，则a 8＝128， 当a 2＝﹣2时，q 7＝﹣128即q ＝﹣2，则a 8＝﹣128， 故选：A ．7．2020年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的12名医护人员支援湖北省黄冈市，现将这12人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医院，则甲、乙不在同一组的概率为（ ）A ．511B ．611C ．12D ．23【分析】设“甲、乙不在同一组”为事件M ，12名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为n =C 126=924，甲、乙在同一组包含的基本事件个数m =2C 104=420，由此能求出甲、乙不在同一组的概率．解：设“甲、乙不在同一组”为事件M ，12名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为n =C 126=924， 甲、乙在同一组包含的基本事件个数m =2C 104=420， ∴甲、乙不在同一组的概率P ＝1−mn =1−420924=611． 故选：B ．8．函数f （x ）=5(x 2−cosx)e x +e−x 的大致图象是（ ）A．B．C．D．【分析】直接利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．解：函数的定义域为R，且f(−x)=5[(−x)2−cos(−x)]e−x+e x =5(x2−cosx)e x+e−x=f(x)，∴函数f（x）为偶函数，故排除B选项；又f(0)=−52，故排除C选项；当|x|＞1时，x2＞cos x，故当|x|＞1时，f（x）＞0，故排除D选项．故选：A．9．直线l：x﹣y+√2=0将圆O：x2+y2＝4分成的两部分的面积之比为（）A．（4π−√3）：（8π+√3）B．（4π﹣3√3）：（8π+3√3）C．（2π﹣2√3）：（10π+2√3）D．（2π﹣3√3）：（10π+3√3）【分析】根据题意，设直线l与圆O：x2+y2＝4交于点M、N，过点O作OP⊥MN，垂足为点P，求出|OP|的值，结合直线与圆的位置关系可得∠MON=2π3以及|MN|＝2√3；进而计算可得S△MON和S扇形OMN的值，据此可得直线l将圆O分成的两部分的面积，计算即可得答案．解：根据题意，设直线l与圆O：x2+y2＝4交于点M、N，过点O作OP⊥MN，垂足为点P，则点O到直线l的距离|OP|=|√2|1+1=1，又由圆O ：x 2+y 2＝4的半径|OM |＝r ＝2，则∠MOP =π3，则∠MON =2π3； 同时|MP |=√|OM|2−|OP|2=√4−1=√3，则|MN |＝2√3， 且S △MON =12×|OP |×|MN |=√3， 则S 扇形OMN =12×2π3×r 2=4π3， 则劣弧对应的弓形的面积S 1=4π3−√3，另一部分的面积S 2＝πr 2﹣S 1＝4π﹣（4π3−√3）=8π3+√3， 故两部分的面积之比S 1S 2=4π3−√38π3+√3=√38π+3√3=（4π﹣3√3）：（8π+3√3）；故选：B ．10．设无穷等差数列{a n }的各项都为正数，且其前n 项和为S n ，若S 2017＝2017，则下列判断错误的是（ ） A ．a 1009＝1B ．a 1010≥1C ．S 2016＞2016D ．S 2019≥2019【分析】由S 2017＝2017=2017(a 1+a 2017)2=2017a 1009，可得a 1009．由无穷等差数列{a n }的各项都为正数，可得公差d ≥0．进而判断出结论．解：S 2017＝2017=2017(a 1+a 2017)2=2017a 1009，∴a 1009＝1．∵无穷等差数列{a n }的各项都为正数，∴公差d ≥0．∴a 1010≥1． S 2016=2016(a 1+a 2016)21008（a 1009+a 1008）≤1008×2＝2016，S 2019＝S 2017+a 2018+a 2019≥2017+2＝2019， 综上可得：只有C 错误． 故选：C ．11．函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，先将函数f （x ）图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7π2个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则下列结论 正确的是（ ）A ．函数g （x ）是奇函数B ．函数g （x ）在区间[﹣2π，0]上单调递增C ．函数g （x ）图象关于（3π，0）对称D ．函数g （x ）图象关于直线x ＝﹣3π对称【分析】首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用求出函数g （x ）的关系式，最后利用函数的性质的应用求出结果．解：根据T =4×(7π12−π3)=π，所以ω=2ππ=2，由于函数的图象过（7π12，−1），所以2×7π12+φ=2kπ+3π2，由于|φ|＜π2，解得φ=π3， 故f （x ）＝sin （2x +π3），先将函数f （x ）图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7π2个单位长度，得到g （x ）＝sin[13×(x +7π2)+π3]=−cos 13x ．①故函数g （x ）为偶函数，故错误．②令13x ∈[2kπ，2kπ+π]，所以x ∈[6k π，3π+6k π]，故[﹣2π，0]⊄[6k π，3π+6k π]，故错误． ③令13x =π2+kπ（k ∈Z ），解得x =3π2+3kπ（k ∈Z ），所以函数的对称中心为（3π2+3kπ，0）（k ∈Z ），故错误④令13x =kπ解得x ＝3k π，当k ＝﹣1时，x ＝﹣3π，故正确． 故选：D ．12．定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足：f （x ）+f '（x ）=√xex ，f(12)=√12e．其中f '（x ）表示f （x ）的导函数，若存在正数a ，使得f(x 2−x 4)≥1a +a 8e成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，2] B ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） C ．[﹣1，0]∪[1，2]D ．[﹣2，﹣1]∪[1，2]【分析】由已知可得[e x f （x ）]′=√x ，结合其结构特点考虑构造函数g （x ）＝e x f （x ），结合导数可判断相应函数的单调性，结合单调性即可求解不等式．解：由f （x ）+f '（x ）=√xex ，可得，e x [f(x)+f′(x)]=√x ，即[e x f （x ）]′=√x ，令g （x ）＝e x f （x ），则f （x ）=g(x)e x，且g′(x)=√x ， 故f′(x)=√x−g(x)e x， 令h （x ）=√x −g(x)，x ＞0，则h′(x)=2x， 当x ∈(0，12)时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，当x ∈(12，+∞)时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，故h （x ）max ＝h （12）＝0，则f ′（x ）≤0，故f （x ）在（0，+∞）上单调递减，因为1a+a 8e≥√12e，当且仅当1a=a 8e即a ＝2√2e 时取等号，由题意f(x 2−x 4)≥√12e=f （12），因为f （x ）在[0，+∞）上单调递减，则0≤x 2−x 4≤12，解可得，﹣1≤x ≤0或1≤x ≤2， 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（﹣2，1），b →=（4，3），c →=（﹣1，λ），若（a →+b →）∥c →，则λ＝ ﹣2 ．【分析】根据题意，用坐标表示出a →+b →，根据两直线平行的坐标表示列式子计算即可得答案．解：由题，a→+b→=(2，4)，c→=(−1，λ)，∵（a→+b→）∥c→，∴2λ＝﹣4，λ＝﹣2．故答案为：﹣2．14．二项式(1x−3x2)6的展开式中的常数项是−1352．（用数字作答）【分析】先求出其通项公式，再令x的指数为0即可求解．解：因为二项式(1x−3x2)6的展开式得通项为：T r+1=∁6r•（1x）6﹣r•(−3x2)r=（−32）r•∁6r•x2r﹣6；令2r﹣6＝0得r＝3；故二项式(1x−3x2)6的展开式中的常数项是：（−32）3•∁63=−1352．故答案为：−135 2．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝120°且AB＝AC＝3，BB1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为52π．【分析】由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，AA1＝4，底面ABC的小圆半径为2，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出三棱柱的外接球的表面积．解：由题意可知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝120°，AA 1＝4， ∴底面小圆ABC 的半径r 满足：2r =3sin30°=6，即r ＝3， 连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：R =√32+22=√13∴三棱柱的外接球的表面积为：4π•R 2＝52π； 故答案为：52π．16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，且椭圆C 与双曲线C '：2x 2a 2−y 2=1共焦点，若椭圆C 与双曲线C '的一个交点M 满足|MF 1|•|MF 2|＝2，则△MF 1F 2的面积是 1 ．【分析】先将双曲线的方程化成标准形式，再由椭圆和双曲线的定义可得{|MF 1|+|MF 2|=2a |MF 1|−|MF 2|=2⋅√22a =√2a，解得{|MF 1|=2+√22a|MF 2|=2−√22a，再代入|MF 1|•|MF 2|＝2，即可解得a 的值，从而得|MF 1|、|MF 2|和|F 1F 2|的长，由勾股定理可知，△MF 1F 2是直角三角形，因此S △MF 1F 2=12⋅|MF 1|⋅|MF 2|．解：将双曲线C '：2x 2a −y 2=1化成标准形式为x 2a 22−y 2=1，不妨设点M 在双曲线的右支上，则根据椭圆和双曲线的定义，有{|MF 1|+|MF 2|=2a |MF 1|−|MF 2|=2⋅√22a =√2a，解得{|MF 1|=2+√22a|MF 2|=2−√22a． ∵|MF 1|•|MF 2|＝2， ∴2+√22a ⋅2−√22a =2，解得a ＝2或﹣2（舍负）， ∴|MF 1|=2+√2，|MF 2|=2−√2，双曲线的焦距|F 1F 2|=2√a 22+1=2√3．显然有|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2，∴△MF1F2是直角三角形，∴S△MF1F2=12⋅|MF1|⋅|MF2|=12×(2+√2)×(2−√2)=1．故答案为：1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos(B+C)cosC=a2b+c．（1）求角A的大小；（2）若a=4√3，b=4√2，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合余弦定理可求c，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵cos(B+C)cosC=a2b+c=−cosAcosC，由正弦定理可得，sinA2sinB+sinC =−cosAcosC，所以2sin B cos A+sin C cos A＝﹣sin A cos C，所以2sin B cos A+sin C cos A+sin A cos C＝0，即2sin B cos A+sin（C+A）＝0，所以2sin B cos A+sin B＝0，因为sin B≠0，故cos A=−1 2，因为A 为三角形的内角，故A =2π3， （2）∵a =4√3，b =4√2，由余弦定理可得，48=32+c 2−2×4√2c ×(−12)， 解可得c =2√6−2√2，∴S △ABC =12bcsinA =12×4√2×(2√6−2√2)×√32=12﹣4√318．现有一种水上闯关游戏，共设有3个关口，如果在规定的时间内闯过了这3个关口，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏．假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的概率分别为23，12，12，且各关口能否顺利闯过相互独立．（1）求小张、小王、小李分别闯关成功的概率；（2）记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 【分析】（1）记小张、小王、小李闯关成功的事件分别为：A ，B ，C ，求出概率． （2）易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3；求出概率，得到随机变量的分布列，然后求解期望即可．解：（1）记小张、小王、小李闯关成功的事件分别为：A ，B ，C ，则P （A ）=(23)3=827；P （B ）=(12)3=18；P （C ）=(12)3=18；（2）易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3；P （X ＝0）=1927×78×78=9311728；P （X ＝1）=827×78×78+1927×18×78+1927×78×18=6581728； P （X ＝2）=827×18×78+827×78×18+1927×18×18=1311728， P （X ＝3）=827×18×18=81728．所有随机变量的分布列为：X0123P93117286581728131172881728故E（X）＝0×9311728+1×6581728+2×1311728+3×81728=59108．19．如图，四边形ABCD为正方形，PA∥CE，AB＝CE=12PA，PA⊥平面ABCD．（1）证明：PE⊥平面DBE；（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小．【分析】（1）连结AC，推导出BD⊥AC，PA⊥BD，PA⊥AD，从而BD⊥平面APEC，进而BD⊥PE，推导出PE⊥DE，由此能证明PE⊥平面DBE．（2）以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣E的正弦值．【解答】（1）证明：连结AC，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，PA⊥AD，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面APEC，∵PE⊂平面APEC，∴BD⊥PE，设AB＝1，则AD＝1，PA＝2，∴PD=√5，同理解得DE=√2，要梯形PACE中，解得PE=√3，∴PE2+DE2＝PD2，∴PE⊥DE，∵BD ∩DE ＝D ，∴PE ⊥平面DBE ．（2）解：以A 为原点，AD ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 令AB ＝1，则CE ＝，AP ＝2，∴P （0，0，2），E （1，1，1），D （1，0，0），B （0，1，0），EP →=（﹣1，﹣1，1），DP →=（﹣1，0，2），BP →=（0，﹣1，2），BD →=（1，﹣1，0），设平面DPE 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅EP →=−x −y +z =0n →⋅DP →=−x +2z =0，取z ＝1，得n →=（2，﹣1，1），设平面BPD 的法向量m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅BD →=a −b =0m →⋅DP →=−a +2c =0，取c ＝1，得m →=（2，2，1），设二面角B ﹣PD ﹣E 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√66，∴二面角B ﹣PD ﹣E 的正弦值sin θ=1−(66)2=√306．20．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线l交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点．（1）当x1+x2＝8时，求直线l的方程；（2）若过点P（2，0）且垂直于直线l的直线l'与抛物线C交于M，N两点，记△ABF 与△MNF的面积分别为S1与S2，求S1S2的最小值．【分析】（1）判断直线l的斜率一定不为0，可设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程，运用韦达定理和直线方程，化简整理，解方程可得m，进而得到所求直线方程；（2）设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，可得S1，同理可得S2，化简整理，由基本不等式，可得S1S2的最小值．解：（1）直线l过定点P（2，0），在x轴上，且直线l与抛物线相交，则斜率一定不为0，可设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣8＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，所以x1+x2＝my1+2+my2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，因为x1+x2＝8，所以4m2+4＝8，解得m＝±1，所以直线l的方程为x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；（2）设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程可得y2﹣4my﹣8＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，则S1=12|PF|•|y1﹣y2|=12√(y1+y2)2−4y1y2=12√16m2+32=2√m2+2，因为直线MN与直线l垂直，且当m＝0时，直线l的方程为x＝2，此时直线l'的方程为x＝0，但此时直线l'与抛物线C没有两个交点，所以不符题意，所以m≠0，所以直线l的斜率为1m ，因此直线MN的斜率为﹣m（m≠0），由点斜式方程可得直线l'的方程为y﹣0＝﹣m（x ﹣2），即mx+y﹣2m＝0，联立抛物线的方程y2＝4x，消去y，可得m2x2﹣（4m2+4）x+4m2＝0，设M（x3，y3），N（x4，y4），可得x3+x4=4m 2+4m2，x3x4＝4，则y3﹣y4＝m（2﹣x3）﹣m（2﹣x4）＝﹣m（x3﹣x4），因此|y3﹣y4|＝|m|•|x3﹣x4|＝|m|•√(x3+x4)2−4x3x4=|m|•√(4m2+4m2)2−4×4= |m|m2√(4+4m2)2−16m2=1|m|√16+32m2，所以S2=12|PF|•|y3﹣y4|=12×1×1|m|√16+32m2=2|m|√2m2+1，所以S1S2＝2√m2+2•2 |m|√2m2+1=4√(m2+2)(2m2+1)m2=4√5+2m2+2m2≥4√5+2√2m2⋅2m2=4√5+2×2=12，当且仅当2m2=2m2即m＝±1时等号恒成立，所以S1S2的最小值为12．21．已知函数g（x）＝e x﹣ax2﹣ax，h（x）＝e x﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．（1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．①讨论f（x）的单调性；②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（2）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：x1+x2＜ln(4a2)．【分析】（1）①求出f（x）并求导，解关于导函数的不等式即可得到单调区间；②显然a＞0，分析可知只需f（x）的最小值小于0即可满足条件，进而得解；（2）依题意，将所证不等式转化为证明(x1−x2)ex1−x22＞e x1−x2−1，再通过换元构造新函数即可得证．解：（1）f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）＝e x ﹣2x ﹣lnx ﹣e x +ax 2+ax ＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx （x ＞0），①f′(x)=2ax +(a −2)−1x =2ax 2+(a−2)x−1x =(2x+1)(ax−1)x（x ＞0）， （i ）当a ≤0时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（0，+∞）上递减；（ii ）当a ＞0时，令f ′（x ）＞0，解得x ＞1a ；令f ′（x ）＜0，解得0＜x ＜1a ，∴函数f （x ）在(0，1a )递减，在(1a ，+∞)递增；综上，当a ≤0时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时，函数f （x ）在(0，1a )上单调递减，在(1a ，+∞)上单调递增；②由①知，若a ≤0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，不可能有两个不同的零点，故a ＞0；且当x →0时，f （x ）→+∞；当x →+∞时，f （x ）→+∞；故要使函数f （x ）有两个不同的零点，只需f(x)min =f(1a )=a ⋅(1a )2+a−2a −ln 1a ＜0，即lna −1a+1＜0， 又函数y =lnx −1x +1在（0，+∞）上为增函数，且ln1−11+1=0，故lna −1a+1＜0的解集为（0，1）．故实数a 的取值范围为（0，1）；（2）证明：g ′（x ）＝e x ﹣2ax ﹣a ，依题意，{e x 1−2ax 1−a =0e x 2−2ax 2−a =0，两式相减得，2a =e x 1−e x 2x 1−x 2(x 1＜x 2)， 要证x 1+x 2＜ln(4a 2)，即证x 1+x 22＜ln2a ，即证e x 1+x 22＜e x 1−e x 2x 1−x 2，两边同除以e x 2，即证(x 1−x 2)ex 1−x 22＞e x 1−x 2−1， 令t ＝x 1﹣x 2（t ＜0），即证te t 2−e t +1＞0，令h(t)=te t 2−e t +1(t ＜0)，则h′(t)=−e t 2[e t 2−(t 2+1)]， 令p(t)=e t 2−(t 2+1)，则p′(t)=12(e t 2−1)， 当t ＜0时，p ′（t ）＜0，p （t ）在（﹣∞，0）上递减，∴p （t ）＞p （0）＝0，∴h ′（t ）＜0，∴h （t ）在（﹣∞，0）上递减，∴h （t ）＞h （0）＝0，即te t 2−e t +1＞0，故x 1+x 2＜ln(4a 2)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点A （﹣1，﹣2）且斜率为1的直线l 1与曲线C ：{x =3+4cosα，y =4+4sinα（α是参数）交于P ，Q 两点，与直线l 2：ρcos θ+2ρsin θ+4＝0交于点N ．（1）求曲线C 的普通方程与直线l 2的直角坐标方程；（2）若PQ 的中点为M ，比较|PQ |与|MN |的大小关系，并说明理由．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和弦长公式的应用求出|MN |和|PQ |的长，进一步比较出结果．解：（1）曲线C ：{x =3+4cosα，y =4+4sinα（α是参数）转换为直角坐标方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16．直线l 2：ρcos θ+2ρsin θ+4＝0根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x +2y +4＝0．（2）已知过点A （﹣1，﹣2）且斜率为1的直线l 1的直角坐标方程为x ﹣y ﹣1＝0．所以{x −y −1=0(x −3)2+(y −4)2=16，整理得x 2﹣8x +9＝0， 设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），所以中点M （x 1+x 22，y 1+y 22），根据一元二次方程根和系数关系式的应用，解得x 1+x 2＝8，x 1x 2＝9，整理得：M （4，3）．联立{x +2y +4=0x −y −1=0，解得{x =−23y =−53，即N （−23，−53）， 所以|MN |=√(−23−4)2+(−53−3)2=14√23． 根据弦长公式：|PQ |=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+12⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√14．由于14√23−2√14=2√2(√499−√7)＜0，所以|PQ |＞|MN |．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝3|x ﹣2|﹣3．（1）求不等式13[f(x)+3]＞|x +1|的解集； （2）若关于x 的不等式f （x ）≥mx +m 恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）不等式13[f(x)+3]＞|x +1|化为|x ﹣2|＞|x +1|，去掉绝对值求出x 的取值范围；（2）画出函数f （x ）与函数y ＝mx +m 的图象，结合图象求出满足条件时m 的取值范围．解：（1）由函数f （x ）＝3|x ﹣2|﹣3，则不等式13[f(x)+3]＞|x +1|可化为13[3|x ﹣2|﹣3+3]＞|x +1|，得|x ﹣2|＞|x +1|，等价于（x ﹣2）2＞（x +1）2，整理得6x ＜3，解得x ＜12，所以所求不等式的解集为（﹣∞，12）；（2）函数f （x ）＝3|x ﹣2|﹣3={3x −9，x ≥23−3x ，x ＜2； 画出函数f （x ）={3x −9，x ≥23−3x ，x ＜2与函数y ＝mx +m 的图象，如图所示；由图象知函数y ＝f （x ）图象的最低点N （2，﹣3），函数y ＝mx +m 可化为y ＝m （x +1），其图象恒过点M （﹣1，0），又直线MN的斜率为−3−02−(−1)=−1，．直线y＝m（x+1）以M（﹣1，0）为中心，在直线l和MN之间转动时（含边界）满足条件；否则不满足条件；所以﹣3≤m≤﹣1，即不等式f（x）≥mx+m恒成立时，实数m的取值范围是[﹣3，﹣1]．。
2020届普通高中教育教学质量监测考试全国i卷数学(理)(解析版)
故 f (x) 在 (0,ln 2) 上单调递减，在 (ln 2, ) 上单调递增，
所以当 a b 1 时， f (a) f (b) ，即 ea 2a eb 2b ,
即“ a b 1 ”是“ ea 2b eb 2a ”的充分条件；
但当 0 a b ln 2 时，有 f (a) f (b) ,即 ea 2a eb 2b ,
2020 届百校普通高中教育教学质量监测考试全国 i 卷数学 （理）
一、单选题
1．已知集合 A {x | x 3k 1,k N} , B y y 4k 1,k ，
C {1, 2,3, 4,5,6,7,8} ，则 A B C （ ）
A． 7
B． {1，4，7}
C． 1，3，7
调性进行判断;属于中档题.
4．已知函数 f (x) 满足 f (x 2) 1 f (x) f (x 2), f (0) 2 ，则
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f (2018) f (2020) （ ）
A．-1 【答案】D
B．2
C．1
D． 1 2
【解析】由已知得出递推式：
f
(x
2)
1
1 f (x)
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
10
A．
3
【答案】C
B． 8 3
C．2
7
D．
3
【解析】由三视图还原出原几何体，可以看作是由一个直三棱柱削去两个三棱锥得到的。
【详解】
该几何体为一个直三棱柱削去两个三棱锥后剩下的几何体 ACM－DE，故体积为
V 1222 1 1 1222 1 1222 2.
故 ( A B) C {1,3,4,7} ,
2020届百师联盟高三5月月考(全国卷I)理科数学试卷及答案
2020届百师联盟高三5月月考（全国卷I）数学（理）试卷★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟,满分150分一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P＝{x|1<x<3},集合Q＝{x|y＝ln(x－2)},则P∩(RðQ)＝A.{x|2≤x<3}B.{x|1<x<3}C.{x|1<x≤2}D.{x|1<x<2}2.高一2班有45名学生,学号为01－45,为弘扬中国古诗词文化,现采用随机数表法从该班抽取7名同学参加校园诗词朗诵大赛,从随机数表第5行第15个数开始向右数,如图为随机数表的第5行和第6行,则抽取的第7个同学的学号是A.26B.35C.20D.433.已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞,0]上单调递增,且满足f(2)＝1,则不等式f(x2＋3x)＋1<0的解集为A.(－∞,－2)∪(－1,＋∞)B.(1,2)C.(－∞,1)∪(2,＋∞)D.(－2,－1)4.已知点F是双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点,点P是该双曲线渐近线上一点,若△POF是等边三角形(其中O为坐标原点),则双曲线C的离心率为。
【联考命题】2020届高三5月联考数学(理科)试题 (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则∁B A＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，0]C．（﹣1，2）D．（﹣1，0）2．已知z=5a2+i(a＞0)，若z⋅z=5，则a＝（）A．1B．√5C．√3D．53．已知a=30.3，b=(12)π，c=log5√6，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c4．某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计并得到如图折线图．下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是（）A．甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元B．根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在[20，25]内C．根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势D．乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元5．若x ，y 满足约束条件{3x −y +3≥0x +y −3≤03x −5y −9≤0，则z ＝x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．3D ．46．某几何体的三视图如图所示，则其体积是（ ）A ．(45+9√2)πB ．36πC ．63πD ．216+9π7．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO 为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ ）A ．f(x)=sin5x2−x −2x B ．f(x)=cosx2x−2−x C ．f(x)=cos5x |2x −2−x |D ．f(x)=sin5x |2x −2−x |8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π4，若∀x ∈R ，f(x)≤|f(π6)|，则正数φ的最小值为（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．π49．若(ax x )8的展开式中x 2的项的系数为358，则x 5的项的系数为（ ） A ．74B ．78C ．716D ．73210．抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为√3的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为抛物线C 上的动点，且点P 在l 的左侧，则△PMN 面积的最大值为（ ） A ．√3B ．2√3C ．2√33D ．16√3911．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿矩形对角线BD 将△BCD 折起形成四面体ABCD ，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD 中，当DA ⊥BC 时，BC ⊥AC ； ②四面体ABCD 的体积的最大值为245；③在四面体ABCD 中，BC 与平面ABD 所成角可能为π3； ④四面体ABCD 的外接球的体积为定值． 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①④B ．①②C ．①②④D ．②③④12．若对任意的x 1，x 2∈[﹣2，0），x 1＜x 2，x 2e x 1−x 1e x 2x 1−x 2＜a 恒成立，则a 的最小值为（ ） A ．−3e 2B ．−2e 2C ．−1e 2D ．−1e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知向量a →=（m ，1），b →=（4，m ），向量a →在b →方向上的投影为√5，则m ＝ ． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =2√7，b =4，A =120°，则△ABC 的面积为 ．15．若sinα1−cosα=13，则2cosα+3sinα−2sin 2α2= ．16．双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ，一个焦点为F （0，﹣8），则该双曲线的标准方程为 ．已知点A （﹣6，0），若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△PAF 的周长的最小值为 ．三、解答题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．设{a n }是一个首项为2，公比为q （q ≠1）的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且√S n −√S n−1=1（n ≥2），求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，AB ＝1，AA 1＝3，BE →=2EB 1→，A 1M →=2MA →，N 是棱C 1D 1的中点，平面AEC 1与直线DD 1相交于点F ． （1）证明：直线MN ∥平面AEC 1F ． （2）求二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值．19．已知0＜m ＜2，动点M 到两定点F 1（﹣m ，0），F 2（m ，0）的距离之和为4，设点M 的轨迹为曲线C ，若曲线C 过点N(√2，√22)．（1）求m 的值以及曲线C 的方程；（2）过定点(65，0）且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．证明：以AB 为直径的圆过曲线C 的右顶点． 20．已知函数f （x ）＝lnx ﹣tx +t ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当t ＝2时，方程f （x ）＝m ﹣ax 恰有两个不相等的实数根x 1，x 2，证明：x 1+x 22x 1x 2＞2−a ．21．2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了．在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始．为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A ，B 两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下： ①单独投给A 方案，则A 方案得1分，B 方案得﹣1分； ②单独投给B 方案，则B 方案得1分，A 方案得﹣1分； ③弃权或同时投票给A ，B 方案，则两种方案均得0分．前1名物业人员的投票结束，再安排下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案．假设A ，B 两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为23和12．（1）在第1名物业人员投票结束后，A 方案的得分记为ξ，求ξ的分布列； （2）求最终选取A 方案为小区管理方案的概率．选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =−1+√14cosφy =1+√14sinφ（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C3的极坐标方程为ρ=3√1+8sinθ，曲线C1与曲线C2的交线为直线l．（1）求直线l和曲线C3的直角坐标方程；（2）直线l与x轴交于点M，与曲线C3相交于A，B两点，求|1|MA|−1|MB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝2x﹣1﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜3的解集；（2）若方程f（x）＝x2+ax有两个不等实数根，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则∁B A＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，0]C．（﹣1，2）D．（﹣1，0）【分析】先求出集合A，B，再利用补集的定义即可算出结果．解：∵集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁B A＝{x|﹣1＜x≤0}，故选：B．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2．已知z=5a2+i(a＞0)，若z⋅z=5，则a＝（）A．1B．√5C．√3D．5【分析】z=5a(2−i)(2+i)(2−i)=2a﹣ai，利用互为共轭复数的性质可得z•z=√(2a)2+(−a)2，a＞0，解得a．解：z=5a(2−i)(2+i)(2−i)=2a﹣ai，∴5＝z•z=√(2a)2+(−a)2，a＞0，解得a＝1．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、互为共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知a=30.3，b=(12)π，c=log5√6，则（）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 解：∵30.3＞30＝1，∴a ＞1， ∵0＜(12)π＜(12)1=12，∴0＜b ＜12，∵log 5√6＞log 5√5=12，且log 5√6＜log 55=1，∴12＜c ＜1，∴a ＞c ＞b ， 故选：C ．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4．某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计并得到如图折线图．下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是（ ）A ．甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元B ．根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在[20，25]内C ．根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势D ．乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元【分析】据折线图分别判断ABCD 的正误即可．解：对于A ，甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，最高营业额远低于32万元，A 错误．对于B ，甲门店的营业额的平均值为12+18+21+28+32+25+24+18+169=1949≈21.6，即该门店营业额的平均值在区间[20，25]内，B 正确．对于C ，根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势，C 正确． 对于D ，乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元，最小值为5万元，则极差为25万元，D 正确． 故选：A ．【点评】本题考查了频率分布折线图，考查数形结合，是一道基础题． 5．若x ，y 满足约束条件{3x −y +3≥0x +y −3≤03x −5y −9≤0，则z ＝x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．3D ．4【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数z ＝x ﹣2y 为直线方程的斜截式，可知当直线在y 轴上的截距最小时z 最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求z 的最大值．解：由x ，y 满足约束条件{3x −y +3≥0x +y −3≤03x −5y −9≤0，作出可行域如图，由z ＝x ﹣2y ，得y =12x −12z ，由图可知，当直线y =12x −12z 过可行域内点A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最大．联立{3x −y +3=03x −5y −9=0，解得A （﹣2，﹣3）．∴目标函数z＝x﹣2y的最大值为﹣2+2×3＝4．故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题．6．某几何体的三视图如图所示，则其体积是（）A．(45+9√2)πB．36πC．63πD．216+9π【分析】由三视图知该几何体是圆柱与圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．解：由三视图知，该几何体是圆柱与圆锥的组合体，如图所示；则该组合体的体积为V＝V柱+V锥＝π•32•6+13π•32•3＝63π．故选：C．【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体的体积问题，是基础题．7．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（）A．f(x)=sin5x2−x−2xB．f(x)=cosx2x−2−xC．f(x)=cos5x|2x−2−x|D．f(x)=sin5x|2x−2−x|【分析】由函数的对称性及特殊点的函数值，利用排除法得解．解：观察图象可知，函数的图象关于y轴对称，而选项B，D为奇函数，其图象关于原点对称，不合题意；对选项A而言，当x∈(0，π5)时，f（x）＜0，不合题意；故选：C ．【点评】本题考查函数的图象及其性质，考查运算求解能力，属于基础题．8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π4，若∀x ∈R ，f(x)≤|f(π6)|，则正数φ的最小值为（ ） A ．π6B ．5π6C ．π3D ．π4【分析】根据函数f （x ）的性质可知，相邻的与x 轴的两个交点距离是半个周期，由此可求得ω，然后π6是最值点，求出φ的值．解：因为函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π4，所以12⋅2πω=π4，解得ω＝4，故f （x ）＝sin （4x +φ），又因为∀x ∈R ，f(x)≤|f(π6)|，∴x =π6是f （x ）的一条对称轴，所以4×π6+φ=π2+kπ，k ∈Z ，∴φ=kπ−π6，k ∈Z ． 令k ＝1，得φ=5π6为最小值． 故选：B ．【点评】本题考查据图求式问题的基本思路，注意抓住特殊点、特殊线去求周期、ω、φ的值等，属于中档题．9．若(ax √x )8的展开式中x 2的项的系数为358，则x 5的项的系数为（ ） A ．74B ．78C ．716D ．732【分析】先写出展开式的通项并化简，然后根据x 2的系数为358求出a 的值，然后再求x 5的系数．解：由已知得Tk+1=C8k a8−k x8−32k，k＝0，1，..，8，令8−3k2=2，解得k＝4，∴C84a4=358，解得a=±12．令8−3k2=5，得k＝2，故x5的系数为C82a6=716．故选：C．【点评】本题考查二项式展开式的通项以及系数的求法，还考查了学生的运算能力，属于基础题．10．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为√3的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P为抛物线C上的动点，且点P在l的左侧，则△PMN面积的最大值为（）A．√3B．2√3C．2√33D．16√39【分析】由题意可得直线l的方程与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得弦长MN的值，设与直线l平行的直线与抛物线相切时，平行线间的距离最大，即△PMN 的面积最大，求出面积的最大值．解：由题意可知直线l的方程为：y=√3（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线的方程可得3x2﹣10x+3＝0，x1+x2=10 3，由抛物线的性质可得|MN|＝x1+x2+p=103+2=163；设与直线l平行的直线为：y=√3x+m，代入抛物线的方程可得3x2+（2√3m﹣4）x+m2＝0，当直线：y=√3x+m与抛物线相切时，P到直线l的距离有最大值，所以△＝（2√3m−4）2﹣4×3×m2＝0，解得m=√33，直线l与直线y=√3x+√33的距离d=2√33，所以△PMN 面积的最大值为12×163×2√33=16√39， 故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题． 11．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿矩形对角线BD 将△BCD 折起形成四面体ABCD ，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD 中，当DA ⊥BC 时，BC ⊥AC ； ②四面体ABCD 的体积的最大值为245；③在四面体ABCD 中，BC 与平面ABD 所成角可能为π3； ④四面体ABCD 的外接球的体积为定值． 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①④B ．①②C ．①②④D ．②③④【分析】①由线面垂直的判定定理可证明BC ⊥平面DAC ，再由线面垂直的性质定理可知BC ⊥AC ；②当平面BCD ⊥平面ABD 时，四面体ABCD 的体积最大，再利用棱锥的体积公式进行运算即可得解；③当平面BCD ⊥平面ABD 时，BC 与平面ABD 所成的角最大，为∠CBD ，求出sin ∠CBD ，并与sin π3比较大小即可得解；④在翻折的过程中，△ABD 和△BCD 始终是直角三角形，外接球的直径为BD ，于是四面体ABCD 的体积不变．解：如图，当DA ⊥BC 时，∵BC ⊥DC ，∴BC ⊥平面DAC ， ∵AC ⊂平面DAC ，∴BC ⊥AC ，即①正确；当平面BCD ⊥平面ABD 时，四面体ABCD 的体积最大，最大值为13×12×3×4×125=245，即②正确；当平面BCD ⊥平面ABD 时，BC 与平面ABD 所成的角最大，为∠CBD ，而sin ∠CBD =CD BD =45＜√32=sin π3，∴BC 与平面ABD 所成角一定小于π3，即③错误；在翻折的过程中，△ABD 和△BCD 始终是直角三角形，斜边都是BD ，其外接球的球心永远是BD 的中点，外接球的直径为BD ， ∴四面体ABCD 的外接球的体积不变，即④正确． ∴正确的有①②④， 故选：C ．【点评】本题考查立体几何中的综合，涉及线面垂直的判定定理与性质定理、线面夹角、棱锥和球的体积公式等，考查学生的空间立体感和推理论证能力，属于中档题．12．若对任意的x 1，x 2∈[﹣2，0），x 1＜x 2，x 2e x 1−x 1e x 2x 1−x 2＜a 恒成立，则a 的最小值为（ ） A ．−3e 2B ．−2e 2C ．−1e 2D ．−1e【分析】不等式恒成立转化为函数f （x ）=e x +ax在[﹣2，0）为减函数，则f ′（x ）=e x (x−1)−ax2≤0，即a ≥e x （x ﹣1），构造函数g （x ）＝e x （x ﹣1），利用导数和函数最值的关系即可求出．解：对任意的x 1，x 2∈[﹣2，0），x 1＜x 2，可知x 1＜x 2＜0，则x 2e x 1−x 1e x 2x 1−x 2＜a 恒成立等价于x 2e x 1−x 1ex 2＞a （x 1﹣x 2），即e x 1+a x 1＞e x 2+a x 2，∴函数f （x ）=e x +ax在[﹣2，0）为减函数， ∴f ′（x ）=e x (x−1)−ax 2≤0，∴a ≥e x （x ﹣1），设g （x ）＝e x （x ﹣1），x ∈[﹣2，0）， ∴g ′（x ）＝xe x ＜0，∴g （x ）在[﹣2，0）为减函数，∴g （x ）max ＝g （﹣2）=−3e 2， ∴a ≥−3e 2， 故选：A ．【点评】本题考查了导数和函数单调性和最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知向量a →=（m ，1），b →=（4，m ），向量a →在b →方向上的投影为√5，则m ＝ 2 ．【分析】本题根据向量a →在b →方向上的投影公式为a →⋅b →|b →|，然后代入进行计算可解出m 的值，注意将m 的值代入进行检验得到正确的m 的值． 解：由题意，可知向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|=√42+m 2=√16+m 2=√5，两边平方，可得25m216+m=5，整理，得m2＝4，解得m＝﹣2，或m＝2，当m＝﹣2时，√16+m2=−√5，不符合题意，∴m＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查利用向量求投影的问题．考查了转化思想，方程思想，向量的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2√7，b=4，A=120°，则△ABC的面积为2√3．【分析】由已知利用余弦定理可得c2+4c﹣12＝0，解得c＝2，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：∵a=2√7，b=4，A=120°，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得28＝16+c2﹣2×4×c×(−12)，可得c2+4c﹣12＝0，解得c＝2，∴S△ABC=12bc sin A=12×4×2×√32=2√3．故答案为：2√3．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．15．若sinα1−cosα=13，则2cosα+3sinα−2sin2α2=﹣2．【分析】由已知可得3sinα＝1﹣cosα，代入所求利用三角函数恒等变换的应用即可化简求解．解：∵sinα1−cosα=13，∴3sin α＝1﹣cos α，∴2cosα+3sinα−2sin 2α2=2(2cosα+1−cosα−2)1−cosα=−2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，考查了运算求解能力，属于基础题．16．双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ，一个焦点为F （0，﹣8），则该双曲线的标准方程为y 216−x 248=1 ．已知点A （﹣6，0），若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△PAF 的周长的最小值为 28 ．【分析】由双曲线的渐近线方程及焦点坐标得关于a ，b 的方程组，求解可得双曲线的标准方程；设双曲线的上焦点为F ′（0，8），则|PF |＝|PF ′|+8，利用双曲线的定义转化，再由A ，P ，F ′共线时，|PF ′|+|PA |最小，从而求得△PAF 的周长的最小值解：∵双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ，一个焦点为F （0，﹣8），∴{a 2b 2=13√a 2+b 2=8，解得a ＝4，b ＝4√3．∴双曲线的标准方程为y 216−x 248=1；设双曲线的上焦点为F ′（0，8），则|PF |＝|PF ′|+8， △PAF 的周长为|PF |+|PA |+|AF |＝|PF ′|+|PA |+|AF |+8．当P 点在第二象限，且A ，P ，F ′共线时，|PF ′|+|PA |最小，最小值为|AF ′|＝10． 而|AF |＝10，故，△PAF 的周长的最小值为10+10+8＝28．故答案为：y 216−x 248=1；28．【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，考查双曲线的几何性质，考查数学转化思想方法，是中档题．三、解答题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．设{a n }是一个首项为2，公比为q （q ≠1）的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且√S n −√S n−1=1（n ≥2），求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．【分析】（1）由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）运用等差数列的定义和通项公式可得S n ，再由数列的递推式可得a n ，则a n •b n ＝2（2n ﹣1）•3n ﹣1，结合数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简计算可得所求和．解：（1）{a n }是一个首项为2，公比为q （q ≠1）的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列，可得4a 2＝3a 1+a 3，即4×2q ＝3×2+2q 2，解得q ＝3（1舍去），则a n ＝2•3n ﹣1，n ∈N*；（2）由√S 1=√b 1=1，且√S n −√S n−1=1（n ≥2），可得{√S n }是首项和公差均为1的等差数列，可得√S n =1+n ﹣1＝n ，即S n ＝n 2，可得n ＝1时，b 1＝S 1＝1；n ≥2时，b n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2﹣（n ﹣1）2＝2n ﹣1，对n ＝1时，该式也成立，则b n ＝2n ﹣1，n ∈N*，可得a n •b n ＝2（2n ﹣1）•3n ﹣1，则T n ＝2[1•1+3•3+5•9+…+（2n ﹣1）•3n ﹣1]，3T n ＝2[1•3+3•9+5•27+…+（2n ﹣1）•3n ]，上面两式相减可得﹣2T n ＝2[1+2（3+9+…+3n ﹣1）﹣（2n ﹣1）•3n ] ＝2[1+2•3(1−3n−1)1−3−（2n ﹣1）•3n]，化简可得T n ＝2+2（n ﹣1）•3n ．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推式和数列的错位相减法求和，以及化简运算能力，属于中档题．18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，AB ＝1，AA 1＝3，BE →=2EB 1→，A 1M →=2MA →，N 是棱C 1D 1的中点，平面AEC 1与直线DD 1相交于点F ． （1）证明：直线MN ∥平面AEC 1F ． （2）求二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值．【分析】（1）推导出C 1E ∥AF ，D 1F ＝2FD ，设点G 为D 1F 的中点，连结GM ，GN ，推导出GN ∥平面AEC 1F ，GM ∥平面AEC 1F ，从而平面MNG ∥平面AEC 1F ，由此能证明MN ∥平面AEC 1F ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值． 解：（1）证明：∵平面BB 1C 1C ∥平面AA 1D 1D ，平面AEC 1F ∩平面BB 1C 1C ＝EC 1，平面AEC 1F ∩平面AA 1D 1D ＝AF ， ∴C 1E ∥AF ，由题意得D 1F ＝2FD ， 设点G 为D 1F 的中点，连结GM ，GN ， ∵N 是棱C 1D 1的中点，∴GN ∥FC 1，∵GN ⊄平面AEC 1F ，FC 1⊂平面AEC 1F ，∴GN ∥平面AEC 1F ， ∵D 1F ＝2FD ，A 1M →=2MA →，∴GM ∥AF ，∵GM ⊄平面AEC 1F ，AF ⊂平面AEC 1F ，∴GM ∥平面AEC 1F ， ∵GN ∩GM ＝G ，∴平面MNG ∥平面AEC 1F ， ∵MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面AEC 1F ．（2）解：∵AB ＝1，DD 1＝3，如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A （1，0，0），C （0，1，0），F （0，0，1），E （1 1，2）， ∴AC →=（﹣1，1，0），AE →=（0，1，2），AF →=（﹣1，0，1）， 设平面ACE 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AC →=−x +y =0m →⋅AE →=y +2z =0，取z ＝1，得m →=（﹣2，﹣2，1）， 设平面ACF 的法向量n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅AC →=−a +b =0n →⋅AF →=−a +c =0，取a ＝1，得n →=（1，1，1），设二面角E﹣AC﹣F的平面角为θ，由|cosθ|=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=3×3=√33，∴sinθ=1−(33)2=√63，∴二面角E﹣AC﹣F的正弦值为√6 3．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．19．已知0＜m＜2，动点M到两定点F1（﹣m，0），F2（m，0）的距离之和为4，设点M的轨迹为曲线C，若曲线C过点N(√2，√22)．（1）求m的值以及曲线C的方程；（2）过定点(65，0）且斜率不为零的直线l与曲线C交于A，B两点．证明：以AB为直径的圆过曲线C的右顶点．【分析】（1）先利用定义法判断出点M的轨迹为椭圆，再利用题设条件求出方程即可；（2）设直线l：x＝ty+65，曲线C的右顶点为P，由直线l与曲线C的方程联立得到y1+y2与y1y2，再证PA→⊥PB→即可．解：（1）解：设M（x，y），因为|MF1|+|MF2|＝4＞2m，所以曲线C是以两定点F1，F2为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a＝2．设椭圆C 的方程为x 24+y 2b =1（b ＞0），代入点N(√2，√22)得b 2＝1，由c 2＝a 2﹣b 2，得c 2＝3，所以m ＝c =√3，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1；（2）证明：设直线l ：x ＝ty +65，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 椭圆的右顶点为P （2，0），联立方程组{x =ty +65x24+y 2=1消去x 得（t 2+4）y 2+125ty −6425=0．△＞0，y 1+y 2=−12t 5(t 2+4)，y 1y 2=−6425(t 2+4)， 所以PA →⋅PB →=（x 1﹣2）（x 2﹣2）+y 1y 2＝（t 2+1）y 1y 2−45t （y 1+y 2）+1625=−64t 2−64+48t 2+16t 2+6425(t 2+4)=0，∴PA →⊥PB →，故点P 在以AB 为直径的圆上，即以AB 为直径的圆过曲线C 的右顶点．【点评】本题主要考查轨迹方程的求法及动圆过定点的问题，属于中档题． 20．已知函数f （x ）＝lnx ﹣tx +t ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当t ＝2时，方程f （x ）＝m ﹣ax 恰有两个不相等的实数根x 1，x 2，证明：x 1+x 22x 1x 2＞2−a ．【分析】（1）由已知求得f ′（x ）=1x−t ，可得当t ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当t ＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在不同区间内的符号可得原函数的单调性；（2）由f （x ）＝m ﹣ax ，得lnx +（a ﹣2）x +2﹣m ＝0．令g （x ）＝lnx +（a ﹣2）x +2，则g （x 1）＝g （x 2）＝m ．得到a ﹣2=ln x2x 1x 1−x 2．不妨设0＜x 1＜x 2，把证x 1+x 22x 1x 2＞2−a 转化为证x 1x 2−x 2x 1＜−2lnx 2x 1．令x 2x 1=c （c ＞1），则g （c ）＝2lnc ﹣c +1c，利用导数证明g （c ）＜0，即可得到x 1+x 22x 1x 2＞2−a 成立．【解答】（1）解：f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=1x−t ， 当t ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当t ＞0时，令f ′（x ）＞0，得0＜x ＜1t，令f ′（x ）＜0，得x ＞1t．∴f （x ）在（0，1t）上单调递增，在（1t，+∞）上单调递减．综上所述，当t ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当t ＞0时，f （x ）在（0，1t）上单调递增，在（1t，+∞）上单调递减．（2）证明：由f （x ）＝m ﹣ax ，得lnx +（a ﹣2）x +2﹣m ＝0． 令g （x ）＝lnx +（a ﹣2）x +2，则g （x 1）＝g （x 2）＝m ． 即lnx 1+（a ﹣2）x 1＝lnx 2+（a ﹣2）x 2，∴a ﹣2=ln x2x 1x 1−x 2．不妨设0＜x 1＜x 2，要证x 1+x 22x 1x 2＞2−a ，只需证x 1+x 2x 1x 2＞2（2﹣a ）=−2ln x2x 1x 1−x 2，即证x 1x 2−x 2x 1＜−2lnx 2x 1．令x 2x 1=c （c ＞1），g （c ）＝2lnc ﹣c +1c，∵g ′（c ）=2c −1−1c2=−(1c −1)2＜0．∴g （c ）在（1，+∞）上单调递减，则g （c ）＜g （1）＝0．故x 1+x 22x 1x 2＞2−a 成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数证明函数不等式，考查数学转化思想方法，属难题．21．2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了．在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始．为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A ，B 两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下： ①单独投给A 方案，则A 方案得1分，B 方案得﹣1分； ②单独投给B 方案，则B 方案得1分，A 方案得﹣1分； ③弃权或同时投票给A ，B 方案，则两种方案均得0分．前1名物业人员的投票结束，再安排下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案．假设A ，B 两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为23和12．（1）在第1名物业人员投票结束后，A 方案的得分记为ξ，求ξ的分布列； （2）求最终选取A 方案为小区管理方案的概率．【分析】（1）ξ的所有可能取值为﹣1，0，1，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列；（2）记M 1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，M 2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，M 3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，然后根据独立重复事件的概率逐一求出每种事件对应的概率，最后将三种事件的概率相加即可得解．解：（1）由题意知，ξ的所有可能取值为﹣1，0，1，P（ξ＝﹣1）＝（1−23）×12=16，P（ξ＝0）=23×12+13×12=12，P（ξ＝1）=23×(1−12)=13，∴ξ的分布列为ξ﹣101P161213（2）记M1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，由（1）知，P(M1)=[p(ξ=1)]2=(13)2=19，记M2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，P(M2)=C21[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)=2×(13)2×12=19，记M3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，①若A方案比B方案多4分，有两类：第一类，A方案前三次得了一次1分两次0分，最后一次得1分，其概率为C31⋅[P(ξ= 1)]2⋅[P(ξ=0)]2=112；第二类，A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，后两次均得1分，其概率为C21⋅P(ξ=−1)⋅[P(ξ=1)]3=181，②若A方案比B方案多2分，有三类：第一类，A方案四次中得了一次1分，其他三次全0分，其概率为C41⋅[P(ξ=0)]3⋅P(ξ= 1)=16；第二类，A方案前三次得了一次1分，一次0分，一次﹣1分，最后一次得了1分，其概率为A33⋅[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)⋅P(ξ=−1)=118；第三类，A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，第三次得1分，第四次得0分，其概率为C21⋅[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)⋅P(ξ=−1)=154．故P(M3)=112+181+16+118+154=109324，∴最终选取A方案为小区管理方案的概率为P=P(M1)+P(M2)+P(M3)=19+19+109 324=181 324．【点评】本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列，考查学生对数据的分析能力和处理能力，属于中档题．选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为{x=−1+√14cosφy=1+√14sinφ（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C3的极坐标方程为ρ=√1+8sinθ，曲线C1与曲线C2的交线为直线l．（1）求直线l和曲线C3的直角坐标方程；（2）直线l与x轴交于点M，与曲线C3相交于A，B两点，求|1|MA|−1|MB||的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）已知曲线C1的参数方程为{x=−1+√14cosφy=1+√14sinφ（φ为参数），转换为直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝14①．曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．整理得ρ2＝4ρcos θ，根据{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2转换为直角坐标方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4②． 所以①②两个方程相减得：3x ﹣y ﹣6＝0．曲线C 3的极坐标方程为ρ=√1+8sin θ，根据{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2转换为直角坐标方程为x 29+y 2=1．（2）直线l 与x 轴交于M （2，0）所以直线l 的参数方程为{x =2+√1010ty =3√1010t （t 为参数），代入x 29+y 2=1，得到：41t 2−2√10t −25=0．所以t 1+t 2=2√1041，t 1t 2=−2541故|1|MA|−1|MB||=|t 1−t 2t 1t 2|=√(t1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|═(2√1041)+41004122541=√45004122541=30√525=6√55． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝2x ﹣1﹣|x ﹣1|． （1）求不等式f （x ）＜3的解集；（2）若方程f （x ）＝x 2+ax 有两个不等实数根，求a 的取值范围．【分析】（1）将f （x ）写为分段函数的形式，然后由f （x ）＜3，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据方程f （x ）＝x 2+ax ，可得a =−x 2+2x−|x−1|−1x，然后构造函数g （x ）=−x 2+2x−|x−1|−1x，利用数形结合法求出a 的取值范围．解：（1）f （x ）＝2x ﹣1﹣|x ﹣1|={3x −2，x ≤1x ，x ＞1，∵f （x ）＜3，∴{3x −2＜3x ≤1或{x ＜3x ＞1，∴x ≤1或1＜x ＜3，∴x ＜3， ∴不等式的解集为（﹣∞，3）；（2）方程f （x ）＝x 2+ax ，即2x ﹣1﹣|x ﹣1|＝x 2+ax ，显然x ＝0不是方程的根，故a =−x 2+2x−|x−1|−1x，令g （x ）=−x 2+2x−|x−1|−1x ={1−x ，x ∈[1，+∞)−x −2x +3，x ∈(−∞，0)∪(0，1)， 当x ＜0时，−x −2x+3=(−x +2−x)+3＞2√2+3， 作出g （x ）的图象，如图所示：∵方程f （x ）＝x 2+ax 有两个不等实数根， ∴由图象可知a ∈(−∞，0)∪(2√2+3，+∞)．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属中档题．。
百师联盟2020届高三月考五(全国卷1)数学(理)试题含解析
C。 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质先判断奇函数的单调性，再根据单调性和奇函数的性质进行求解即可。
【详解】由奇函数图象性质知 的图象在 上单调递增， ，
则 ，即 ，所以 ，解得 ．
故选:D
【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了利用单调性求解不等式解集问题，考查了数学运算能力.
【详解】（1）在数列 中， ，
当 时， ，即 ，
所以 ，化简得 .
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ，解得 .
当 时, .
当 时不满足,
所以 。
（2)由(1）知 ,
所以 。
。
若 ，即 ，解得 。
所以满足 的最小的 值为20。
【点睛】本题考查利用 求数列的通项公式，裂项求和法求数列的前 项和，属综合中档题.
故选：B
【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，考查了等边三角形的性质，考查了数学运算能力.
5.希尔伯特在1900年提出了孪生素数猜想，其内容是：在自然数集中，孪生素数对有无穷多个．其中孪生素数就是指相差2的素数对，即若 和 均是素数，素数对 称为孪生素数．从15以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为（ ）．
4。已知点 是双曲线 的左焦点，点 是该双曲线渐近线上一点，若 是等边三角形（其中 为坐标原点），则双曲线 的离心率为（ ）．
A. B. 2C。 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质，结合双曲线渐近线方程、离心率公式、 之间的关系进行求解即可。
【详解】由 在渐近线上且 是等边三角形,其中一条渐近线的斜率 ,所以离心率 ．
在 中，由正弦定理得, ，
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2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}2．已知i为虚数单位，复数在复平面内所对应点（x，y），则（）A．y＝﹣2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝﹣2x+5D．y＝3x﹣13．已知向量（﹣2，m），（1，2），•（2）．则实数m的值为（）A．﹣1B．C．D．14．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．81B．243C．248D．3635．已知，，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组7．已知函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知椭圆C1：的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（）A．B．C．D．10．已知实数a，b，满足，当取最大值时，tanθ＝（）A．B．1C．D．211．设双曲线的左，右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l分与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且•，以下结论正确的个数是（）①双曲线C的离心率为；②双曲线C的渐近线方程；③直线l的斜率为1．A．0B．1C．2D．312．已知定义在R上的奇函数f（x）＝e x﹣ae﹣x+2sin x满足，则z ＝x﹣lny的最小值是（）A．﹣ln6B．﹣2C．ln6D．2二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为．14．已知函数关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图为直角三角形，求此时二面角A﹣BE﹣C的余弦值．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n，n∈N*，a5＝6，S6＝27，数列{b n}的前n项和T n，．（1）判断{b n+1}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82820．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m），且x＝0是f（x）的极值点．（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由．21．已知直线与椭圆C：ax2+by2＝1交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为，若直线x＝t与直线l交于点P，与直线OD交于点M，且M为直线上一点．（1）求P点的轨迹方程；（2）若为概圆C的上顶点，直线l与y轴交点G，记S表示面积，求的最大．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程（k为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程；（2）过曲线C2上一点P作直线l与曲线C1交于A，B两点，中点为D，，求|PD|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）（x+1）2．（1）求f（x）+|f（x）﹣9|的最小值M；（2）若正实数a，b，c满足了f（a）+f（b）+f（c）＝M，求证：a+b+c≤6．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}【分析】先解出关于集合A，B的不等式，求出A的补集，从而求出其补集与B的交集．解：因为∁U A＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|2x≤2}＝{x|x≤1}，∴（∁U A）∩B＝{x|﹣1≤x≤1}；故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．已知i为虚数单位，复数在复平面内所对应点（x，y），则（）A．y＝﹣2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝﹣2x+5D．y＝3x﹣1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数的实部与虚部，消参数得答案．解：∵，∴，得y＝﹣2x+1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知向量（﹣2，m），（1，2），•（2）．则实数m的值为（）A．﹣1B．C．D．1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出2，再根据数量积的坐标运算法则表示出•（2），从而得到关于m的方程，解之即可．解：∵（﹣2，m），（1，2），∴，∴•（2）＝6+m（2m+2），即，解得，故选：B．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．81B．243C．248D．363【分析】根据题意求出RO的值，再计算得病总人数．解：由题意知，RO＝1+40%×5＝3，所以得病总人数为：3+32+33+34+35363（人）．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的前n项和的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5．已知，，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】先结合对数的换底公式对已知对数式进行化简，然后结合对数函数的单调性即可比较大小．解：b，c log2，因为，所以，所以a＜b＜c故选：B．【点评】本题主要考查了对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础试题．6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组【分析】求出数据的极差，分成7组，可求组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，即可求得中位数为12.5应位于第5组内．解：数据的极差为15.1﹣8.8＝6.3，分成7组，组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，中位数为12.5应位于第5组内．故选：C．【点评】本题考查茎叶图的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．7．已知函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2ωπ∈[，），由此可得结果．解：∵函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数为y＝sin（ωx）在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值；ωx∈[，2ωπ]，∴2ωπ∈[，），则正实数ω∈[，），故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8．已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】设OP＝r，过点D作OC的平行线交与CD于行的半径于点E，则OE＝OC＝CD＝OD＝r，PC＝PD，∠PDE（或其补角）为其异面直线OC与PD所成角，由此能求出异面直线OC与PD所成角的余弦值．解：设OP＝r，过点D作OC的平行线交与CD于行的半径于点E，则OE＝OC＝CD＝OD＝r，PC＝PD，∴∠PDE（或其补角）为其异面直线OC与PD所成角，在△PDE中，PE＝PO，DE＝r，∴cos∠PDE．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．已知椭圆C1：的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（）A．B．C．D．【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF2|的值．解：由题意，F1（﹣2，0），则抛物线方程为y2＝8x．计算可得|PF1|，|PF2|＝2a．过Q作QM⊥直线l与M，由抛物线的定义知，|QF2|＝|QM|．∵，∴，解得：|MQ|＝12（3﹣2）．∴|QF2|＝|MQ|＝12（3﹣2）．故选：A．【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知实数a，b，满足，当取最大值时，tanθ＝（）A．B．1C．D．2【分析】根据辅助角公式可得sin（θ+φ）2，进而可求得答案解：由得a2+4b2＝8，利用辅助角公式可得：sin（θ+φ）2，其中tanφ，所以最大值为2，当且仅当a＝2b＝2时成立，所以2sin（θ），则θ2kπ，k∈Z，则tanθ＝1，故选：B．【点评】本题考查三角函数的恒等变形，关键是用三角函数表示a、b．11．设双曲线的左，右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l分与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且•，以下结论正确的个数是（）①双曲线C的离心率为；②双曲线C的渐近线方程；③直线l的斜率为1．A．0B．1C．2D．3【分析】由题意可得MF2⊥NF2，且|MF2|＝|NF2|，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合双曲线的离心率公式和渐近线方程，直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论．解：由MN为直径的圆过F2，且•，可得MF2⊥NF2，且|MF2|＝|NF2|，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF2|﹣|NF1|＝2a，两式相减可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有m ＝2a，设H为MN的中点，在直角三角形HF1F2中，可得4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，化为c2＝3a2，e，故①正确；又，可得，故②正确；因为|HF2||MN|＝2a，所以|HF1|2，所以直线l的斜率为，故③错误．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12．已知定义在R上的奇函数f（x）＝e x﹣ae﹣x+2sin x满足，则z ＝x﹣lny的最小值是（）A．﹣ln6B．﹣2C．ln6D．2【分析】由已知可求a，然后对函数求导，结合导数可判断函数的单调性，进而可得关于x，y的不等式组，结合线性规划知识即可求解．解：由题意f（0）＝1﹣a＝0可得a＝1，所以f（x）＝e x﹣e﹣x+2sin x，2+2cos x≥0，故f（x）在R上单调递增，则，作出可行域如图所示，其中A（0，），B（0，3），C（，），设y＝e x﹣z，则由图象可知，设y＝x+3与y＝e x﹣z相切于点D（x0，y0），由y′＝e x﹣z，令1可得x0＝z，，故y＝x+3与y＝e x﹣z相切于点D（﹣2，1）时，z取得最小值z min＝﹣2．故选：B．【点评】本题综合考查了导数与单调性的关系的应用及利用线性规划知识求解目标函数的最值，体现了转化思想及数形结合思想的应用．二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为．【分析】由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，由此能求出这两项来自影响稍弱区的概率．解：由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，则这两项来自影响稍弱区的概率是：P．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知函数关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为[1，2]．【分析】先求出a的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及f（2x﹣2）≥f （0），求出x的范围．解：∵函数关于x＝1对称，∴a＝1，f（x）∈（0，1]，则由f（2x﹣2）≥f（0），结合图象可得0≤2x﹣2≤2，求得1≤x≤2，故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sin A≠0，可得cos B，结合范围B∈（0，π），可求B，进而根据余弦定理可求ac的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵b cos C＝（2a﹣c）cos B，∴由正弦定理可得：sin B cos C＝（2sin A﹣sin C）cos B，可得sin B cos C+cos B sin C＝2sin A cos B，∴sin（B+C）＝2sin A cos B，∵sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sin A，且sin A≠0，∴可得cos B，∵B∈（0，π），∴B，又∵b＝2，a+c＝3，∴a2+c2﹣2ac cos B＝b2，∴（a+c）2﹣3ac＝4，∴ac，∴S△ABC ac sin B．故答案为：，．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h构成直角三角形求出容器内水面的高度h，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积．解：如图所示，六棱柱笔筒的边长为6cm，高为18cm，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长h构成直角三角形，所以2，解得h＝14，所以容器内水面的高度为14cm，设球的半径为R，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为r3，球心到截面圆的距离为R﹣4，所以R2＝（R﹣4）2，解得R；所以球的表面积为4π（cm2）．故答案为：．【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题．三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图为直角三角形，求此时二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【分析】（1）由平面图可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，得到AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D，再由已知可得AE⊥P′D．由直线与平面垂直的判定可得P′D⊥平面ABE；（2）由P'﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，为直角三角形，得P′A⊥AD，以A为原点，分别以AB、AD、AP′所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BEC的一个法向量与平面ABE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：由平面图可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，又P′A∩AD＝A，∴AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D．∵E为P′D的中点，P′A＝AD，∴AE⊥P′D．∵AE∩AB＝A，∴P′D⊥平面ABE；（2）解：∵P'﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，为直角三角形，故P′A⊥AD，以A为原点，分别以AB、AD、AP′所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），D（0，1，0），P′（0，0，1），B（，0，0），C（1，1，0），E（0，，），，，．设平面BEC的一个法向量为，由，取x＝2，得．∴为平面ABE的一个法向量，设二面角A﹣BE﹣C为θ，∴cos．∵二面角A﹣BE﹣C为钝角，∴cos，故二面角A﹣BE﹣C的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n，n∈一、选择题*，a5＝6，S6＝27，数列{b n}的前n项和T n，．（1）判断{b n+1}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和．【分析】（1）．n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1，化为：b n＝2b n﹣1+1，变形为：b n+1＝2（b n﹣1+1），进而证明结论．利用通项公式考点b n．（2）设等差数列{a n}的公差为d，由a5＝6，S6＝27，利用通项公式可得：a1+4d＝6，6a1+15d ＝27，联立解得：a1，d，可得a n．可得a n•b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）．利用错位相减法与等差数列得求和公式即可得出．解：（1）．∴n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1＝2b n﹣n﹣（2b n﹣1﹣n+1），化为：b n＝2b n﹣1+1，∴b n+1＝2（b n﹣1+1），n＝1时，b1＝2b1﹣1，解得b1＝1．∴b1+1＝2．∴{b n+1}是等比数列，首项与公比都为2，∴b n＝2n﹣1．（2）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5＝6，S6＝27，∴a1+4d＝6，6a1+15d＝27，联立解得：a1＝2，d＝1，∴a n＝2+n﹣1＝n+1．∴a n•b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）．∴数列{（n+1）•2n}的前n项和A n＝2×2+3×22+4×23+……+（n+1）•2n．∴2A n＝2×22+3×23+……+n•2n+（n+1）•2n+1．相减可得：﹣A n＝4+22+23+……+2n﹣（n+1）•2n+1＝2（n+1）•2n+1．化为：A n＝n•2n+1．∴数列{a n•b n}的前n项和＝n•2n+1．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【分析】（1）先补充完整2×2列联表，然后根据K2的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；（2）X的可能取值为0，1，2，先求出两种车型使用寿命不低于7年和低于7年的占比数，然后依据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（3）先求出两款出租车型的每辆车的利润，然后结合频数分布列求两种车型的平均利润，比较大小后，取较大者即可．解：（1）补充完整的2×2列联表如下所示，使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型3070100B型5050100总计80120200∴，∴有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关．（2）由题可知，A型车使用寿命不低于7年的车数占，低于7年的车数占；B型车使用寿命不低于7年的车数占，低于7年的车数占．∴X的可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2）．∴X的分布列为X012P∴数学期望E（X）．（3）∵平均每辆出租车年上交公司6万元，且A，B两款车型的采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆，∴两款出租车型的每辆车的利润如下表：使用寿命年数5年6年7年8年A型6×5﹣11＝196×6﹣11＝256×7﹣11＝316×8﹣11＝37B型6×5﹣8＝226×6﹣8＝286×7﹣8＝346×8﹣8＝40用频率估计概率，这100辆A型出租车的平均利润为（万元），这100辆B型出租车的平均利润为（万元），∵30.7＞30.1，故会选择采购B款车型．【点评】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列与数学期望、平均数的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．20．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m），且x＝0是f（x）的极值点．（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）由已知结合极值存在条件可求m，然后结合导数单调性及最值的关系即可求解；（2）由已知不等式代入整理可得ln（1+x）＜bx，可考虑构造函数h（x）＝ln（x+1）﹣bx，结合导数与单调性的关系对b进行分类讨论可求．解：（1），由x＝0是f（x）的极值点可得10，即m＝1，经检验m＝1符合题意，，设g（x）＝e x（x+1）﹣1，则g′（x）＝e x（x+2）＞0在x＞﹣1时恒成立，故g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增且g（0）＝0，所以，当x＞0时，g（x）＞0即f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0即f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，故当x＝0时，f（x）取得最小值f（0）＝1，（2）由e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立可得ln（1+x）＜bx，设h（x）＝ln（x+1）﹣bx，则，（i）若b≥1，则x＞0时，0，h（x）单调递减，所以h（x）＜h（0）＝0，符合题意，（ii）若b≤0，则x＞0时，0，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）＝0，不符合题意，（iii）若0＜b＜1，则时，x，当x时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，此时h（x）＞h（0）＝0，不满足题意，综上，b的范围[1，+∞）．【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值和最值，还考查了由不等式的恒成立求参数的范围问题，体现了分类讨论思想的应用．21．已知直线与椭圆C：ax2+by2＝1交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为，若直线x＝t与直线l交于点P，与直线OD交于点M，且M为直线上一点．（1）求P点的轨迹方程；（2）若为概圆C的上顶点，直线l与y轴交点G，记S表示面积，求的最大．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），联立两方程，结合韦达定理可得x1+x2，则x0，再带回直线方程进而得到b＝4a，从而t＝m，消去m后可得x2＝2y；（2）结合（1）表示出P（m，），F（0，），D（，），M （m，），再分别表示出两三角形的面积，利用换元思想得最值．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），联立得（bm2+a）x2﹣m2bx1＝0，则x1+x2，则x0，将其代入y＝mx得y0，因为•m，所以，即b＝4a，故OD方程为y x，则t，故t＝m，代入y＝mx，得P（m，），消去m，可得P点的轨迹方程为x2＝2y（x≠0）；（2）由题得b＝4，所以椭圆C的方程为x2+4y2＝1，由（1）知x0，y0，对于直线l，令x＝0，y，则G（0，），所以P（m，），F（0，），D（，），M（m，），所以S△PFG|GF||m||m|（m2+1）S△PDM|PM|•|m﹣x0|，则，令n＝2m2+1，则，当，即n＝2时，取得最大值，此时m＝±，满足△＞0．【点评】本题考查点的轨迹方程，考查直线与椭圆的综合，转化思想、换元思想、函数思想等，综合性强，属于难题请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程（k为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程；（2）过曲线C2上一点P作直线l与曲线C1交于A，B两点，中点为D，，求|PD|的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的参数方程（k为参数），整理得，又，两式相除得：，代入，得到（x+1）2+y2＝4（y≠﹣2）．（2）曲线C2的极坐标方程为．根据转换为直角坐标方程为x﹣y﹣4＝0．设圆心C1（﹣1，0）到直线l的距离为d，则|AB|，解得d＝1．所以：|PD|，当|PC1|最小时，|PD|最小，由于|PC1|的最小值为圆心C1到直线C2的距离．根据，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）（x+1）2．（1）求f（x）+|f（x）﹣9|的最小值M；（2）若正实数a，b，c满足了f（a）+f（b）+f（c）＝M，求证：a+b+c≤6．【分析】（1）由f（x）≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|，由绝对值不等式的性质，可得所求最小值M；（2）由条件可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证．。