2020届湖南长沙市一中新高考原创考前信息试卷(十一)理科数学

2020届湖南长沙市一中新高考原创考前信息试卷（十一）
理科数学
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1．已知集合{}0,1A =，{}0,1,2B =，则A B I 的子集个数为 A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2．i 为虚数单位，复数2
1i
z =+在复平面内对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3.已知f(x)=1,00,01,0x x x x x ->⎧⎪
=⎨⎪+<⎩
,则f[f(3)]=
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
4．下列函数中，任取函数定义域内,x y ，满足()()x f f x f y y ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，且
在定义域内单调递减的函数是
A ．2
)(-=x x f B ．x x f 2
1log )(=
C ．x e x f =)(
D ．x x
e e
x f -=-)(
5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他 在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是 比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项 式值的一个实例.若输入,n x 的值分别为3,3.则输出v 的值为 A ．15 B ．16
C ．47
D ．48
6．函数()()2
0622x x
f x x -=
<≤-的图象大致形状为
7．已知平面向量a b r r ，的夹角为π3
，且a 1
b 2==r r ，，则()
2a b b +⋅=r r r A ．64 B ．36
C ．8
D ．6
8．二项式2n
x x x ⎛- ⎝
⎭的展开式中第7项是常数项，则n 的值是 A ．8
B ． 9
C ．10
D ．11
9．函数()2sin223cos 2f x x x =+-的一条对称轴是 A ．π12x =
B ．π6
x = C ．π3x = D ．π
2x =
10．若347log log log 2x y z ==<-，则
A ．347x y z <<
B ．743z y x <<
C ．437y x z <<
D ．734z x y << 11．双曲线22:4C x y -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若
PO PF =，则PFO ∆的外接圆方程是
A ．22220x y x +-= B
．2220x y x ++=
C ．22220x y x y +-
+= D ．2222220x y x y +--=
12．若0x >，0y >，21x y +=，则2xy
x y
+的最大值为
A ．
14
B ．
15 C ．
19
D ．
112
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则
x y +=______.
14．已知向量a r =（sin2α，1），b r =（cosα，1），若a r ∥b r ， π
02
α<<，则α=______．
15．已知公比为整数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24a =，314S =，若2log n n b a =，
则数列11n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前100项和为______． 16．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与椭圆交
于A 、B 两点，若1F AB V 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准：（单位：吨），用水量不超过x 的部分按平价收费，超过x 的部分按议价收费，为了了解全布市民用用水量分布情况，通过袖样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将
数据按照[0,0.5),[0.5,1) ……[4,4,5] 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图
（1）求频率分布直方图中a 的值；
（2）若该市政府看望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由。

18．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4tan 3A =
，1
tan 3
B =，5a =.
（1）求tan C ；
（2）求ABC ∆中的最长边.
19．（12分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ∆向上折起，D 变为'D ，且平面'D AE ⊥平面ABCE .
（1）求证：'AD BE ⊥； （2）求二面角'A BD E --的大小.
20．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点()2,0P -,直线l 与椭圆C 相交于,A B
两点(异于点P ).当直线l 经过原点时,直线,PA PB 斜率之积为3
4
-. (1)求椭圆C 的方程;
(2)若直线,PA PB 斜率之积为1
4
-,求AB 的最小值.
21．（12分）已知2
()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；
（3）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知直线l
的参数方程是2
{
x y =
=
+（t 是参数），以坐标原点为原点， x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. （1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；
（2）过直线l 上的点作曲线C 的切线，求切线长的最小值.
23．（10分）已知函数()241f x x x =-++. （1）解不等式()9f x ≤；
（2）若不等式()2f x x a <+的解集为{}
2,|30A B x x x =-<，且满足B A ⊆，求实数a 的
取值范围.
理科数学参考答案
1．A 2．D
3．A
4．B
5．D
6．B
7．D
8．B
9．A
10．B
11．A
12．C 13．5
14．
6
π 15．
100
101
16
-
17．（1）由直方图，可得(0.080.160.400.520.120.080.04)0.51a a ++++++++⨯= ， 解得0.30a =.
（2）因为前6组频率之和为
0.080.160.300.400.520.300.50.880.85.+++++⨯=>（）
而前5组的频率之和为
0.080.160.300.400.520.50.730.85.++++⨯=<（）
所以2.53x ≤<.
由0.3 2.50.850.73x ⨯-=-（）
解得 2.9x =.因此，估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准.
18．（1）因为()tan tan tan tan 1tan tan A B C A B A B +=-+=-
-41
333419
+
=-=--. （2）由（1）知C 为钝角，所以C 为最大角， 因为4tan 3A =
，所以4sin 5A =，又tan 3C =-
，所以sin 10
C =
.
由正弦定理得：545=
8c =为最大边.
19．
（Ⅰ）证明：∵AE BE ==，AB 4=， ∴222AB AE BE =+，∴AE EB ⊥，
取AE 的中点M ，连结MD '，则AD D E 2MD AE ''==⇒⊥， ∵ 平面D AE '⊥平面ABCE ，
∴MD '⊥平面ABCE ，∴MD '⊥ BE ， 从而EB ⊥平面AD E '，∴AD EB '⊥
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，
则()A 4,2,0、()C 0,0,0、()B 0,2,0、()
D 3,1,2'，
()E 2,0,0，从而BA u u u v
=（4,0,0），BD'312=-u u u v （，，）
，()BE 2,2,0=-u u u v . 设1n x y z)u u v （，，=为平面ABD '的法向量，
则11n BA 40
n BD'32x x y z ⎧⋅==⎪⇒⎨⋅=-+⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v 可以取1n 0,2,1)=u u v （
设()2n x y z u u v
，，=为平面BD E '的法向量，
则22n BE 220
n BD'320x y x y z ⎧⋅=-=⎪⇒⎨⋅=-+=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v 可以取2n (1,12=-u u v ，）
因此，12n n 0u u v u u v ⋅=，有12n n u u v u u v
⊥，即平面ABD ' ⊥平面BD E '，
故二面角A BD E -'-的大小为90o .
20．(1)当l 经过原点时,2121,x x y y =-=-,此时
2211112
211112244
PA PB
y y y y K K x x x x --⋅=⋅==+-+--, 又222211122
1,1444x y y b A b x +=⇒=--因为在椭圆上所以,223
344
b b -=-⇒=所以所以椭圆方程为22
143
x y +=.
(2)由()
22222
346312014
3x my n m y mny n x y =+⎧⎪
⇒+++-=⎨+=⎪⎩, 122634mn y y m -+=+所以,212
312
34
n y y m -⋅=+,由()()1212121211
422224
PA PB y y y y K K x x x x ⋅=-⇒⋅==-++++,
()()12124220y y my n my n ⇒+++++=,
()
()()()2
212124220m y y m n y y n ⇒++++++=,
(
)
()()22
2
22
312642203434
n mn m mn m n m m --+⋅++++=++所以,()12n n ⇒==-或舍, :1l x my =+所以,l 所以恒过定点()1,0,
AB 所以
=12y -
234
m +=2
134143344m ⎛⎫-≥⨯= ⎪+⎝⎭,
当0m =时,AB 的最小值为3,当直线的斜率为零时,不合题意,综上,min ||3AB =.
21．（1）()()2'212f x x x =-++()
2231
(2)2
x x x x -++=>-+， 当()'0f x <时，2310x x ++<.
解得2x -<<
． 当()'0f x >
时，解得32x -+>．所以()f x
单调增区间为32,2⎛-- ⎝⎭，
单调减区间为⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
． （2）设()()()h x f x g x =-()()()2
2ln 211(1)x x k x x =+-+-+>-，
当2k =时，由题意，当()1,x ∈-+∞时，
()0h x <恒成立．()(
)2231
'22
x x h x x -++=
-+()()2312
x x x -++=+，
∴当1x >-时，()'0h x <恒成立，()h x 单调递减．又()10h -=， ∴当()1,x ∈-+∞时，()()10h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<． ∴对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立．
（3）因为()(
)2231
'2
x x h x k x -++=
-+()2
26222
x k x k x ++++=-+．
由（2）知，当2k =时，()()f x g x <恒成立， 即对于1x ∀>-，()()()2
2ln 2121x x x +-+<+，
不存在满足条件的0x ；当2k >时，对于1x ∀>-，10x +>，
此时()()211x k x +<+．∴()()()()2
2ln 21211x x x k x +-+<+<+，
即()()f x g x <恒成立，不存在满足条件的0x ；
当2k <时，令()()()2
2622t x x k x k =--+-+，可知()t x 与()'h x 符号相同，
当()0,x x ∈+∞时，()0t x <，()'0h x <，()h x 单调递减．∴当()01,x x ∈-时，
()()10h x h >-=，即()()0f x g x ->恒成立．综上，k 的取值范围为(),2-∞．
22．（1）由直线l 的参数方程消去参数t 得l 的方程为y x =+
4cos 4πρθθθ⎛
⎫=+=- ⎪⎝
⎭Q ，
2cos ρθθ∴=-，
∴曲线C 的直角坐标方程为220x y +-+=，
即((2
2
4x y ++=.
Q 圆心
到直线l 的距离为62d =
=>，
∴直线l 与圆C 的相离.
（2）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为
==
即切线长的最小值为23．（Ⅰ）()9f x ≤可化为2419x x -++≤， 即>2,339x x ⎧⎨
-≤⎩或12,59x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或<1,
339,
x x -⎧⎨
-+≤⎩ 解得2<4x ≤或12x -≤≤，或2<1x -≤-； 不等式的解集为[]
2,4-． （Ⅱ）易知()0,3B =；
所以B A ⊆，又241<2x x x a -+++在()0,3x ∈恒成立； 24<1x x a ⇒-+-在()0,3x ∈恒成立；
1<24<1x a x x a ⇒--+-+-在()0,3x ∈恒成立； ()()>30,305>350,35a x x a a a x x a ⎧-∈≥⎧⎪⇒⇒≥⎨⎨-+∈≥⎪⎩⎩
在恒成立在恒成立．。