高中数学人教版必修两点间的距离作业(系列四)

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高中数学人教A版选择性必修第一册两点间的距离公式课件

追问3 ：你能利用 , ， , 构造直角三角形，再用
勾股定理推导两点间距离公式吗？与向量法比较，你有什么体会？
y
P2
x
O
∟
P1
A
探究新知
追问4 ：如何求 1 2 ？
y
P2
x
O
∟
P1
A
探究新知
追问5：如果直线与坐标轴平行，或在坐标轴上，两点间距离是否满足
经典例题
题型一
两条直线的交点问题
跟踪训练1
(1)若两直线 2x＋3y－k＝0 和 x－ky＋12＝0 的交点在 y 轴上，则 k＝________；
(2)求经过点 P(1,0)和两直线 l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0 交点的直线方程.
k
k
(1)在 2x＋3y－k＝0 中，令 x＝0，得 y＝3，将(0，3)代入 x－ky＋12＝0，解得 k＝±6.
课堂小结
已知平面内两点 , ， , ，能否说出两点间的距离
公式？
y
P2
能否描述这句话对应的几何图形？
2 −1
证明两点间距离公式的基本方法
x
O
P1
2 − 1
A
课堂小结
回归两道例题的求解过程，总结它们的共同点，谈一谈你的感受？
几何
代数
坐标
几何
随堂检测
1.求下列两点间的距离:
跟踪训练2
(1)已知点 A(－1,2)，B(2， 7)，在 x 轴上求一点 P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值.
(2)已知在等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，对角线为 AC 和 BD.求证：|AC|＝|BD|.
解：

2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册

为AC,另一条小路过点D,问：是否在BC上存在一点M,使得
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解：法一因为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二因为所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法总结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是

高中数学人教版必修2 4.1.2圆的一般方程作业(系列四)

圆的一般方程A 组基础巩固1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．(12，－1) C ．(－1,2) D ．(－12，－1) 解析：将圆的方程化为标准方程，得(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为(－12，－1)．答案：D2．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x解析：由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2.答案：B3．过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x －3y ＝0C ．x 2＋y 2－2x ＋3y ＝0D ．x 2＋y 2＋2x ＋3y ＝0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，分别把A ，B 两点坐标代入四个选项，只有A 完全符合，故选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧ F ＝0，2D ＋F ＝－4，3E ＋F ＝－9，解得⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝－3，F ＝0，故方程为x 2＋y 2－2x －3y ＝0.解法三(几何法)：由题意知，直线过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，由弦AB 所对的圆心角为90°，知线段AB 为圆的直径，即所求的圆是以AB 中点⎝⎛⎭⎫1，32为圆心，12|AB|＝132为半径的圆，其方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫1322，化为一般式得x 2＋y 2－2x －3y ＝0.答案：A4．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析：圆心为(2,2)，则圆心到直线距离为d ＝|2＋2－14|2＝52，R ＝3 2. ∴圆上点到直线的距离最大值为d ＋R ＝82，最小值为d －R ＝2 2.∴(d ＋R)－(d －R)＝82－22＝6 2.答案：C5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0解析：由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a|2＝22得a ＝0或a ＝2.故选C. 答案：C6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：设点P 的坐标为(x ，y)，由|PA|＝2|PB|得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π.答案：B7．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为__________．解析：本题考查圆的一般方程及其面积．因为圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0的面积为π，所以圆的半径为1，即12k 2＋22－4k 2＝124－3k 2＝1，所以k ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，得圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)8．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________解析：由题意可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝⎛⎭⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－29．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是__________．解析：所给圆的半径长为r ＝1＋－2－2m 22＝12－＋2＋3.所以当m ＝－1时，半径r 取最大值32，此时最大面积是3π4. 答案：3π410．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解析：圆心C(－D 2，－E 2)， ∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.① 又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2， ∴D 2＋E 2＝20.② 由①②可得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝－4，或⎩⎨⎧ D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D 2＜0即D ＞0.则⎩⎨⎧D ＝2，E ＝－4. 故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.B 组能力提升11．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上的所有点都在第二象限，则a 的取值范围为A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：本题考查圆的性质．由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a)2＋(y －2a)2＝4，其圆心坐标为(－a,2a)，半径为2，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜02a ＞0|－a|＞2|2a|＞2，解得a ＞2，故选D.答案：D12．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有相异的两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则直线PQ 的斜率k PQ ＝__________.解析：本题考查圆的对称性及两垂直直线的斜率的关系．由题意知圆心(－1,3)在直线kx ＋2y －4＝0上，所以k ＝2，即直线kx ＋2y －4＝0的斜率为－k 2＝－1，又直线PQ 与直线kx ＋2y －4＝0垂直，所以k PQ ＝1.答案：113．已知线段AB 的端点B 的坐标为(8,6)，端点A 在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点P 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解析：设点P 的坐标为(x ，y)，点A 的坐标为(x 0，y 0)，由于点B 的坐标为(8,6)，且P 为AB的中点，所以x ＝x 0＋82，y ＝y 0＋62.于是有x 0＝2x －8，y 0＝2y －6. ∵点A 在圆C 上运动，∴点A 的坐标满足方程：(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4.∴(2x －8＋1)＋(2y －6)2＝4，整理得，(x －72)2＋(y －3)2＝1. ∴点P 的轨迹是以(72，3)为圆心，1为半径的圆． 14．已知以点C(t ，2t)(t ∈R ，t≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．求证：△OAB 的面积为定值．解析：由于圆C 过原点，故可设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0.由于圆心为C(t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4t. 令y ＝0，得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A(2t,0)．令x ＝0，得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B(0，4t)， ∴S △OAB ＝12|OA|·|OB|＝12·|2t|·|4t|＝4(定值)．。

新教材人教B版高中数学选择性必修第四册课时练习-得到不可达两点之间的距离

课时练习(三) 正弦定理与余弦定理的应用数学探究活动：得到不可达两点之间的距离(建议用时：40分钟)一、选择题1．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C之间的距离为()A．2 6 n mile B．3 6 n mileC．5 6 n mile D．6 6 n mileC[在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，∴∠C＝45°.∵ABsin C＝BCsin A，∴BC＝AB·sin Asin C＝10×3222＝56(n mile)．]2．某人向正东方向走x km后向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么x的值是()A. 3 B．23C．23或 3 D．3C[如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠B＝30°.由余弦定理，得(3)2＝x2＋32－2×3×x×32，所以x2－33x＋6＝0，解得x＝3或x＝2 3.]3．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的航行速度是()A．52海里/时B．5海里/时C．102海里/时D．10海里/时D[如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，可得AB＝5海里，于是这艘船的航行速度是10海里/时．]4．有一条与两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船的速度为 2 m/s，为使所走路程最短，小船应朝什么方向行驶()A．与水速成45°B．与水速成135°C．垂直于对岸D．不能确定B[如图所示，AB是水速，AD为船速，AC是船的实际速度，且AC⊥AB，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝ABBC＝ABAD＝22.∴∠ABC＝45°，∴∠DAB＝180°－45°＝135°.则小船的方向应与水速成135°行驶．]5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为()A．200 m B．300 mC．400 m D．100 3 mB[如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600(m)，BC＝DC＝2003 (m)．在△BCD中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∵0°＜2θ＜90°，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin 4θ＝2003×32＝300(m)，故选B.]二、填空题6．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为________．(30＋303)m[由正弦定理得60sin(45°－30°)＝PBsin 30°，∴PB＝30sin 15°，∴树的高度h＝PB sin 45°＝(30＋303)(m)．]7．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C.测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B 两点的距离为________m.502[由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，∴AB＝AC·sin∠ACBsin∠ABC＝50×2212＝502(m)．]8．如图，某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的车速情况，现派交警进行测量．交警小明在山顶A处观测到一辆汽车在这段水平公路上沿直线匀速行驶，交警小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°，若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.50107[分析知∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，∴在△ABD和△ACD中，AB＝200 m，AC＝100 2 m，∴在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC cos∠BAC＝100 000，即BC＝10010 m，∴这辆汽车的速度为BC14＝1001014＝50107(m/s)．]三、解答题9．如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．[解]由题意可知CD＝30，∠BDC＝180°－75°－75°＝30°，∠CBD＝180°－30°－30°＝120°，∠DAC＝45°.在△BDC中，由正弦定理可得，BC＝DC·sin∠BDCsin∠DBC＝30·sin 30°sin 120°＝10.在△ADC中，由正弦定理可得，AC＝DC·sin∠ADCsin∠DAC＝30·sin 60°sin 45°＝3 5.在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(35)2＋(10)2－2×35×10×cos 45°＝25，∴AB＝5.故这两座建筑物之间的距离为5 km.10．如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？[解]设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2cos 120°＝6，∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.∴∠ABC＝45°.∴BC与正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．11．如图，为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，A，B两点的距离为3 km.则C，D间的距离是()A. 3 km B．3 kmC. 5 km D．5 kmC[在△ABD中，因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝30°＋45°＝75°，所以∠ADB＝180°－∠BAD－∠ABD＝180°－75°－45°＝60°.由ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，得AD＝3sin 45°sin 60°＝2，因为∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝45°＋75°＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，所以BC＝AB＝3，所以AC＝AB2＋BC2－2AB×BC cos∠ABC＝3.在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD cos∠DAC＝5，即CD＝ 5.故C，D间的距离为 5 km.故选C.]12．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A．8 km/h B．6 2 km/hC．234 km/h D．10 km/hB[设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎪⎫110v2＝⎝⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v＝6 2.]13．(一题两空)如图，一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了402海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，则此船航行的方向为北偏东______度，航行路程为________海里．8020(6＋2)[由题意，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40 2.根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝402＋(402)2－2×40×402×2－6 4＝3 200＋1 6003，∴AC＝20(6＋2)．根据正弦定理得BCsin∠CAB＝ACsin 105°，∴∠CAB＝45°，∴此船航行的方向和路程分别为北偏东65°，20(6＋2)海里．]14.如图所示，有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角∠ABC＝120°，从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角∠ADC＝150°，从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为________米．10039[在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得BDsin∠DAB＝ADsin∠ABD，所以200sin 30°＝ADsin 120°.所以AD＝200×sin 120°sin 30°＝2003(米)．在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC＝10039(米)．故石竹山这条索道AC长为10039米．]15．如图所示，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以50海里/时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用4小时追上．(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin α的值．[解](1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝50×4＝200，AC＝120，∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC＝280.所以该军舰艇的速度为BC4＝70海里/时．(2)在△ABC中，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC＝200×32280＝5314.。

高中数学第四章圆与方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式学案含解析新人教A版必修2

4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式知识导图学法指导1.结合长方体、正棱锥等常见几何体，把握建系的方法，并能写出空间中的点在坐标系中的坐标．2．类比平面上两点间的距离，熟记空间两点间的距离公式．3．体会利用空间直角坐标系解决问题的步骤．高考导航1.空间直角坐标系的应用很少单独命题，一般是在解答题中应用建立空间直角坐标系的方法求解，分值为2～3分．2．通过建立空间直角坐标系，计算两点间的距离公式或确定点的坐标，是常考知识点，常与后面将要学习的立体几何等知识相结合，分值为4～6分.知识点一空间直角坐标系的建立及坐标表示1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫作点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，z叫作点M的竖坐标．空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135 °(或45 °)，x 轴与z 轴成135 °(或45 °)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.知识点二空间两点间的距离公式1．空间中任意一点P (x ，y ，z )与原点之间的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2； 2．空间中任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离 |P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.1.空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．2．空间中点坐标公式：设A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22).[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式．( ) (2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式．( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在空间直角坐标系中，下列各点中位于yOz 平面内的是( ) A ．(3,2,1) B ．(2,0,0) C ．(5,0,2) D ．(0，－1，－3)解析：位于yOz 平面内的点，其x 坐标为0，其余坐标任意，故(0，－1，－3)在yOz 平面内．答案：D3．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( ) A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．zOx 平面上 D ．第一象限内解析：点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在zOx 平面上．答案：C4．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：|AB|＝－3－2＋－3－2＋－3－2＝4 3.答案：A类型一空间中点的坐标的确定例1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝3，|AB|＝5，|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标．【解析】如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为长方体的棱长|AD|＝|BC|＝3，|DC|＝|AB|＝5，|DD1|＝|AA1|＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，所以A(3,0,0)；C在y轴上，所以C(0,5,0)；D1在z轴上，所以D1(0,0,4)；B在xOy平面内，所以B(3,5,0)；A1在xOz平面内，所以A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，所以C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，所以B1的横坐标为3，纵坐标为5，因为B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，所以B1的竖坐标为4，所以B1(3,5,4).(1)建立适当的空间直角坐标系．(2)利用线段长度结合符号写出各点坐标．要注意与坐标轴正向相反的坐标为负．方法归纳(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键．跟踪训练1 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．解析：如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，连接BO ，OO 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，OO 1⊥BO ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32，∵点A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1，C 1在yOz 平面内，∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∵点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且BB 1＝1， ∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，∴各点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.建立空间直角坐标系，求出有关线段的长，再写出各点的坐标．类型二空间直角坐标系中的点的对称点例2 在空间直角坐标系中，点P (－2,1,4)关于x 轴对称的点P 1的坐标是________；关于xOy 平面对称的点P 2的坐标是________；关于点A (1,0,2)对称的点P 3的坐标是________．【解析】点P 关于x 轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标和竖坐标均变为原来的相反数，所以点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标为(－2，－1，－4)．点P 关于xOy 平面对称后，它的横坐标和纵坐标均不变，竖坐标变为原来的相反数，所以点P 关于xOy 平面的对称点P 2的坐标为(－2,1，－4)．设点P 关于点A 的对称点的坐标为P 3(x ，y ，z )，由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x2＝1，1＋y2＝0，4＋z 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1，z ＝0.故点P 关于点A (1,0,2)对称的点P 3的坐标为(4，－1,0)．【答案】 (－2，－1，－4) (－2,1，－4) (4，－1,0)利用对称规律解决关于坐标轴、坐标平面的对称问题，利用中点坐标公式解决点关于点的对称问题．方法归纳在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有：①点P关于原点的对称点是P1(－x，－y，－z)②点P关于横轴(x轴)的对称点是P2(x，－y，－z)③点P关于纵轴(y轴)的对称点是P3(－x，y，－z)④点P关于竖轴(z轴)的对称点是P4(－x，－y，z)⑤点P关于xOy坐标平面的对称点是P5(x，y，－z)⑥点P关于yOz坐标平面的对称点是P6(－x，y，z)⑦点P关于xOz坐标平面的对称点是P7(x，－y，z)．跟踪训练2 已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M 关于x轴、y轴对称的点M3，M4.解析：由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x 轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3).方法归纳求对称点的坐标问题一般依据“关于谁对称谁不变，其余均改变”来解决．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．要特别注意：点关于点的对称要用中点坐标公式解决．类型三空间两点间的距离,,例3 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．【解析】由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a . 因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a .根据空间两点间的距离公式，可得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .建立空间直角坐标系，先确定相关点的坐标，然后根据两点间的距离公式求解．方法归纳求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．跟踪训练3 求A (0,1,3)，B (2,0,1)两点之间的距离．解析：|AB |＝－2＋－2＋－2＝3.解答本题可直接利用空间两点间的距离公式.[基础巩固](20分钟，40分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．点M (0,3,0)在空间直角坐标系中的位置是在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．z 轴上 D ．xOz 平面上解析：因为点M (0,3,0)的横坐标、竖坐标均为0，纵坐标不为0，所以点M 在y 轴上．答案：B2．点P (1,4，－3)与点Q (3，－2,5)的中点坐标是( ) A ．(4,2,2) B ．(2，－1,2) C ．(2,1,1) D ．(4，－1,2)解析：设点P 与点Q 的中点坐标为(x ，y ，z )，则x ＝1＋32＝2，y ＝4－22＝1，z ＝－3＋52＝1.答案：C3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：根据空间直角坐标系的概念知，yOz平面上点Q的x坐标为0，y坐标、z坐标与点P的y坐标2，z坐标3分别相等，∴Q(0，2，3)．答案：B4．已知M(4,3，－1)，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则( )A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a解析：借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度．∴a＝10，b＝17，c＝5.答案：B5．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为( )A．(0,0,6) B．(6,0,1)C．(6,0,0) D．(0,6,0)解析：设P(x,0,0)，|PA|＝x－2＋1＋1，|PB|＝x－2＋9＋9，由|PA|＝|PB|，得x＝6.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，所以点B1的坐标为(a，b，c)．答案：(a，b，c)7．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________．解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．答案：(－4,1，－2)8．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________．解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)， ∴|PQ |＝－1－2＋[2－－2＋02＝3 2.答案：3 2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间直角坐标系的中点坐标公式得M (4＋02，0＋42，0＋42)，N (0＋42，0＋02，4＋42)，即M (2,2,2)，N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝2 2.10．已知点P (2,3，－1)，求：(1)点P 关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点P 关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点P 关于坐标原点对称的点的坐标．解析：(1)设点P 关于xOy 坐标平面的对称点为P ′，则点P ′的横坐标、纵坐标与点P 的横坐标、纵坐标相同，点P ′的竖坐标与点P 的竖坐标互为相反数．所以点P 关于xOy 坐标平面的对称点P ′的坐标为(2,3,1)．同理，点P 关于yOz ，xOz 坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1)．(2)设点P 关于x 轴的对称点为Q ，则点Q 的横坐标与点P 的横坐标相同，点Q 的纵坐标、竖坐标与点P 的纵坐标、竖坐标互为相反数．所以点P 关于x 轴的对称点Q 的坐标为(2，－3,1)．同理，点P 关于y 轴，z 轴的对称点的坐标分别为(－2,3,1)，(－2，－3，－1)． (3)点P (2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1)．[能力提升](20分钟，40分)11．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴对称的点在xOz 平面上的射影的坐标为( )A ．(4,0,6)B ．(－4,7，－6)C ．(－4,0，－6)D ．(－4,7,0)解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．答案：C12．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－922＋[z －－2＝3，解得z ＝0或z ＝－4. 答案：0或－413．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解析：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称，故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)；点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)；由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．14．已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求： (1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．解析：(1)根据空间两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以x －2＋y －2＋z －2＝x －2＋y －2＋z －2，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0.。

高中数学第四章圆与方程 4.34.3.2 空间两点间的距离

4.3.2 空间两点间的距离公式A级基础巩固一、选择题1．在空间直角坐标系中，点P(3，1，5)关于平面yOz对称的点的坐标为( )A．(－3，1，5) B．(－3，－1，5)C．(3，－1，－5) D．(－3，1，－5)解析：由于点关于平面yOz对称，故其纵坐标、竖坐标不变，横坐标变为相反数，即对称点坐标是(－3，1，5)．答案：A2．点P(2，3，4)到y轴的距离是( )A.13 B．2 5C．5 D.29解析：点P在y轴的射影P′为(0，3，0)，所以|PP′|＝22＋42＝20＝2 5.答案：B3．若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7C．－1 D．1解析：点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.答案：D4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为( )A．(0，2，0) B．(02，3)C．(1，0，3) D．(1，2，0)解析：点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)．答案：D5．点A(1，2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( )A．2 5 B．4C ．2 2D ．27解析：点A 关于面xOy 对称的点C 的坐标是(1，2，1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2，1)，故|BC |＝（1－1）2＋（2＋2）2＋（1－1）2＝4.答案：B二、填空题6．如图所示的坐标系中，单位正方体顶点A 的坐标是_________．解析：点A 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影分别是B 1、D 1、C ，故A 点坐标为(1，－1，－1)．答案：(1，－1，－1)7．在空间直角坐标系中，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1，2)，其中心M 的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长为________．解析：由A (3，－1，2)，中心M (0，1，2)所以C 1(－3，3，2)．正方体体对角线长为|AC 1|＝[3－（－3）]2＋（－1－3）2＋（2－2）2＝213，所以正方体的棱长为2133＝2393. 答案：23938．给定空间直角坐标系，在x 轴上找一点P ，使它与点P 0(4，1，2)的距离为30，则P 点坐标为______________________________．解析：设点P 的坐标为(x ，0，0)，由题意，得|P 0P |＝30，即（x －4）2＋12＋22＝30. 所以x ＝9或x ＝－1.所以P 点坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)．答案：(9，0，0)或(－1，0，0)三、解答题9．已知A (3，2，1)，B (1，0，4)，求：(1)线段AB 中点的坐标和A 与B 的距离；(2)到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 满足的条件，并指出方程表示什么图形．解：(1)M (x ，y ，z )是AB 的中点，则x ＝3＋12＝2， y ＝2＋02＝1，z ＝1＋42＝52，所以M 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，1，52. 两点间的距离|AB |＝（1－3）2＋（0－2）2＋（4－1）2＝17.(2)由P (x ，y ，z )到A 、B 两点的距离相等．则（x －3）2＋（y －2）2＋（z －1）2＝（x －1）2＋（y －0）2＋（z －4）2，化简得4x ＋4y －6z ＋3＝0.即到A 、B 的距离相等的点的坐标(x ，y ，z )满足的条件是4x ＋4y －6z ＋3＝0.方程表示的图形是线段AB 的垂直平分面．10.如图所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解：以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，所以C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D (1，1，0)，E (0，1，2)，F (1，0，0)，所以|DE |＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5，|EF |＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.B 级能力提升1．在空间直角坐标系中的点P (a ，b ，c )，有下列叙述：①点P (a ，b ，c )关于横轴(x 轴)的对称点是P 1(a ，－b ，c )；②点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(a ，－b ，－c )；③点P (a ，b ，c )关于纵轴(y 轴)的对称点是P 3(a ，－b ，c )；④点P (a ，b ，c )关于坐标原点的对称点为P 4(－a ，－b ，－c )．其中正确叙述的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：对于①，点P (a ，b ，c )关于横轴的对称点为P 1(a ，－b ，－c )，故①错；对于②，点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(－a ，b ，c )，故②错；对于③，点P (a ，b ，c )关于纵轴的对称点是P 3(－a ，b ，－c )，故③错；④正确．答案：C2．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0，1，1)，C (0，1，0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以 |EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：418 3．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝2，CB ＝CC 1＝4，E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、AB 、C 1B 1、CB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)在四边形ABB 1A 1内找一点P ，使△ABP 为正三角形．(2)能否在MN 上求得一点Q ，使△AQB 为以AB 为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)因为EF 是AB 的中垂线，在平面ABB 1A 1内只有EF 上的点与A ，B 两点的距离相等，A (2，0，0)，B (0，4，0)，设点P 坐标为(1，2，z )，由|PA |＝|AB |，得（1－2）2＋（2－0）2＋（z －0）2＝20，所以z 2＝15.因为z ∈[0，4]，所以z ＝15，故平面ABB 1A 1内的点P (1，2，15)使得△ABP 为正三角形．(2)设MN 上的点Q 坐标为(0，2，z )．因为△AQB 为直角三角形，所以|QF |＝12|AB |. 即（0－1）2＋（2－2）2＋（z －0）2＝1220，整理，得z 2＋1＝5，所以z 2＝4.因为z ∈[0，4]，所以z ＝2.故MN 上的点Q (0，2，2)使得△AQB 为直角三角形．。

高中数学必修二 3.3.2两点间的距离公式练习

3.3.2两点间的距离公式练习新人教A版必修2一、选择题1．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为( )A．2 B．1 C． 5 D．5[答案] C[解析] N(－1,2)，|ON|＝－2＋22＝ 5.故选C．2．已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于( )A．－3 B．5C．－3或5 D．－1或－3[答案] C[解析] 由两点间的距离公式知|AB|＝－1－2＋b－2＝b2－2b＋10，由5＝b2－2b＋10，解得b＝－3或b＝5.3．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标为( )A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－2)或(2,7)C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5)[答案] A[解析] ∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( ) A．5 B．4 2C．2 5 D．210[答案] C[解析] 设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝－2＋－2－2＝20＝2 5.5．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )A．26 B．65C．29 D．13[答案] A[解析] AB的中点D的坐标为D(－1，－1)．∴|CD|＝－1－2＋－1－－2＝26；故选A ．6．已知三点A (3,2)，B (0,5)，C (4,6)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形[答案] C [解析] |AB |＝－2＋－2＝32，|BC |＝－2＋－2＝17， |AC |＝－2＋－2＝17，∴|AC |＝|BC |≠|AB |，且|AB |2≠|AC |2＋|BC |2.∴△ABC 是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形．二、填空题7．已知点M (m ，－1)，N (5，m )，且|MN |＝25，则实数m ＝_________. [答案] 1或3 [解析] 由题意得m －2＋－1－m2＝25，解得m ＝1或m ＝3.8．已知A (1，－1)，B (a,3)，C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝_________. [答案] 12[解析] a －2＋＋2＝－a2＋－2，解得a ＝12.三、解答题9．求证：等腰梯形的对角线相等． [证明] 已知：等腰梯形ABCD ．求证：AC ＝BD ．证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )．则|AC |＝－b ＋a2＋c －2＝a －b2＋c 2，|BD |＝b －a2＋－c2＝a －b 2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即：等腰梯形的对角线相等．10．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和A (1，－1)，过点A 作直线l 2与已知直线交于点B 且|AB |＝5，求直线l 2的方程．[解析] 当直线l 2的斜率存在时，设其为k ，则⎭⎪⎬⎪⎫l 2：y ＋1＝k x －又由2x ＋y －6＝0⇒(k ＋2)x ＝k ＋7，而k ≠－2，故解得x ＝k ＋7k ＋2，所以B (k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)，又由|AB |＝5，利用两点间距离公式得k ＋7k ＋2－2＋4k －2k ＋2＋2＝5⇒k ＝－34，此时l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0.而当l 2的斜率不存在时，l 2的方程为x ＝1.此时点B 坐标为(1,4)，则|AB |＝|4－(－1)|＝5，也满足条件综上，l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0或x ＝1.能力提升一、选择题1．已知点A (2,3)和B (－4,1)，则线段AB 的长及中点坐标分别是( ) A ．210，(1,2) B ．210，(－1，－2) C ．210，(－1,2) D ．210，(1，－2)[答案] C [解析] |AB |＝－4－2＋－2＝210，中点坐标为(2－42，3＋12)，即(－1,2)，故选C ．2．已知两点P (m,1)和Q (1,2m )之间的距离大于10，则实数m 的范围是( ) A ．－45＜m ＜2B ．m ＜－45或m ＞2C ．m ＜－2或m ＞45D ．－2＜m ＜45[答案] B[解析] 根据两点间的距离公式 |PQ |＝m －2＋－2m2＝5m 2－6m ＋2＞10⇒5m 2－6m －8＞0⇒m ＜－45或m ＞2.3．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A 、B ，则|AB |等于( )A ．895 B ．175C ．135D ．115[答案] C[解析] 易得A (0，－2)，B (－1，25)．∴|AB |＝－1－2＋25＋2＝135. 4．在直线2x －3y ＋5＝0上求点P ，使P 点到A (2,3)距离为13，则P 点坐标是( ) A ．(5,5)B ．(－1,1)C ．(5,5)或(－1,1)D ．(5,5)或(1，－1)[答案] C[解析] 设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53，由|PA |＝13得(x －2)2＋(2x ＋53－3)2＝13，即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5，当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝5时，y ＝5，∴P (－1,1)或(5,5)．二、填空题5．已知点A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是_________. [答案] 12[解析] 由题意得|AB |＝－a －2＋a －1－a ＋2＝2a 2－2a ＋25＝a －122＋492，所以当a ＝12时，|AB |取得最小值．6．已知点A (4,12)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，则点P 的坐标为_________. [答案] (9,0)或(－1,0) [解析] 设P (a,0)，则a －2＋122＝13，解得a ＝9或a ＝－1，∴点P 的坐标为(9,0)或(－1,0)．三、解答题7．用坐标法证明定理：若四边形ABCD 是长方形，则对平面内任一点M ，等式AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2成立．[解析] 以一个直角所在的两边为坐标轴，建立直角坐标系．证明：如图，取长方形ABCD 的两条边AB 、AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系．设长方形ABCD 的四个顶点分别为A (0,0)、B (a,0)、C (a ，b )、D (0，b )．在平面上任取一点M (m ，n )，则有AM 2＋CM 2＝m 2＋n 2＋(m －a )2＋(n －b )2，BM 2＋DM 2＝(m －a )2＋n 2＋m 2＋(n －b )2，∴AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2.8．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问是否在BC 上存在一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？若存在，则求出小路DM 的长．[分析] 建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．[解析] 以B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD ＝5 m ，AB ＝3 m ，所以C (5,0)，D (5,3)，A (0,3)．设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM ，所以k AC ·k DM ＝－1，即3－00－5·3－05－x＝－1. 所以x ＝3.2，即BM ＝3.2，即点M 的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC 与DM 相互垂直．故在BC 上存在一点M (3.2,0)满足题意．由两点间距离公式得DM ＝－2＋－2＝3534.。

新人教A版必修高中数学第四章《空间两点间的距离公式》

分别为y轴、z轴、x轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意可得∠PEB=120°,∠PEO=180°-120°=60°.
又等边三角形PAD的边长等于2,
所以AE=ED=1,PE=3 .
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所以在 Rt△POE 中,OE=PE·cos 60°= 3 ,PO=PE·sin 60°= 3 .
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3.已知△ABC 的三个顶点分别为 A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1, 2 ),则△ABC 的形状
是( A )
(A)正三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)钝角三角形
解析:由于|AB|=2,|AC|=2,|BC|= 12 12 2 2 =2,所以△ABC 为正三角形.故选 A.
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(2)空间任意两点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离|P1P2|=
x1 x2 2 + y1 y2 2 z1 z2 2 .
特别地,空间任意一点 P(x,y,z)与原点 O 间的距离|OP|= x2 y2 z2 .
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自我检测(教师备用)
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4.点P(-3,2,-1)关于平面xOy的对称点是
.
答案:(-3,2,1)
5.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离|CM|= .
答案: 5 3
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课堂探究
题型一空间中点的坐标的确定
【例1】如图所示,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的等边三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°,G是棱PB的中点,请建立适当的空间直角坐标系,求出点P,A,B,C,D,G的坐标.

高中数学人教版必修2 3.2.2直线的两点式方程作业(系列四)

直线的两点式方程一、选择题(每小题6分,共30分)1.在x轴,y轴上的截距为3,-4的直线方程为()A.y-2=2(x-1)B.y=43x-4C.y2x13(1)12--=---D.x y43+=12.直线l在x轴上的截距为2,且斜率为1,则直线l在y轴上的截距为()A.2B.-2C.2或-2D.以上都不正确3.两条直线x y1m n-=与x y1n m-=的图象是下图中的()4.设全集I={(x,y)|x∈R,y∈R},M={(x,y)|y3x2--=1},N={(x,y)|y≠x+1},则M与N的并集的补集为()A.∅B.{(2,3)}C.(2,3)D.{(x,y)|y=x+1}5.△ABC的三个顶点是A(0,3),B(3,3),C(2,0),直线l：x=a将△ABC分割成面积相等的两部分,则a的值是()二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·苏州高一检测)过点(2,-3),在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.7.过点A(a,0),B(0,b)及C(1,3)三点且a,b均为正整数的直线方程为.8.直线y=12x+k与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1,那么k的范围是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·金华高一检测)已知△ABC中,A(4,2),B(1,8),C(-1,8).(1)求AB 边上的高所在的直线方程.(2)直线l ∥AB,与AC,BC 依次交于E,F,S △CEF ∶S △ABC =1∶4,求l 所在的直线方程. 10.求分别满足下列条件的直线l 的方程： (1)斜率是34,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6. (2)经过两点A(1,0),B(m,1).11.(能力挑战题)为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪,另外△AEF 内部有一文物保护区不能占用,经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应如何设计才能使草坪面积最大?答案解析1.【解析】选B.因为直线在x 轴,y 轴上的截距为3,-4,所以由直线的截距式得方程为x y 134+=-,即y=43x-4,故选B.2.【解析】选B.因为直线的斜率为1,所以直线在x 轴,y 轴上的截距互为相反数,又因为直线l 在x 轴上的截距为2,所以直线l 在y 轴上的截距为-2.【变式训练】若直线y=43x-4被两坐标轴截得的线段长为1c ,则c 的值为( ) A.1 B.15 C.±15D.±1【解析】选B.由直线的方程y=x-4,可得直线与两坐标轴的交点分别为(3,0),(0,-4),因为直线被两坐标轴截得的线段长为,则=,即c=,故选B.3.【解析】选B.由x y 1m n -=得y=n m x-n,由x y 1n m -=得y=mnx-m,即两直线的斜率k 1,k 2同号且互为倒数. 4.【解析】选B.集合M={(x,y)|y 3x 2--=1}={(x,y)|y=x+1,x≠2},又因为N={(x,y)|y≠x+1},所以M ∪N={(x,y)|x ≠2,y≠3},所以M 与N 的并集的补集为 {(2,3)}.5.【解析】选A.如图,由图可知0<a<3,S △ABC =12×3×3=92,若a<2,则x=a 与AC交于(a,3-32a),所以12×32a 2=94,所以若a>2,则x=a 与BC 交于(a,3a-6),所以12×(3-a)×(9-3a)= 94,所以与a>2矛盾,舍去,故选A. 6.【解析】当直线过原点时,设直线方程为y=kx,把点(2,-3)代入得k=32-,所以所求直线的方程为y=32-x;当直线不过原点时,因为在两坐标轴上的截距互为相反数,设直线的方程为x y1a a+=-,把点(2,-3)代入得231a a -+=-,所以a=5,所以所求直线的方程为x y 155+=-,整理得y=x-5. 答案：y=32-x 和y=x-5【举一反三】若将“在两坐标轴上的截距互为相反数”改为“在两坐标轴上的截距相等”,则直线方程为 .【解析】当直线过原点时,设直线方程为y=kx,把点(2,-3)代入得k=32-,所以所求直线的方程为y=32-x;当直线不过原点时,因为在两坐标轴上的截距相等,设直线的方程为x y a a +=1,把点(2,-3)代入得23a a-+=1,所以a=-1,所以所求直线的方程为x y11+--=1,整理得y=-x-1.答案：y=32-x 和y=-x-17.【解析】因为直线过A(a,0),B(0,b)和C(1,3),所以k AB =k BC ,即0b b 3a 001--=--,整理得3a+b=ab,又a,b 均为正整数,所以a=2,b=6或a=4,b=4.所以由两点式可得所求直线的方程为y=-x+4或y=-3x+6. 答案：y=-x+4或y=-3x+68.【解题指南】根据直线在两坐标轴上的截距,利用k 表示出直线y=12x+k 与两坐标轴所围成的三角形面积,从而得出关于k 的不等式,解得k 的取值范围.【解析】令x=0,得y=k,令y=0,得x=-2k,所以三角形的面积S=12|xy|=k 2.因为S≤1,即k 2≤1,所以-1≤k≤1,又因为k=0时不合题意,所以-1≤k≤1,且k≠0. 答案：-1≤k≤1,且k≠09.【解析】(1)由A(4,2),B(1,8),可知k AB =8214--=-2,所以AB 边上的高所在的直线的斜率k=12,又所求直线过C(-1,8),所以由直线的点斜式方程,可知AB 边上的高所在的直线方程为y=117x 22+. (2)因为S △CEF ∶S △ABC =1∶4,所以E,F 分别是AC,BC 的中点,所以E,F 的坐标分别为(3,52),(0,8),由直线方程的两点式,可得直线EF 的方程为y=-2x+8. 10.【解析】(1)设直线l 的方程为y=34x+b.令y=0, 得x=34-b,所以12|b·(34-b)|=6,b=±3.所以直线l 的方程为y=34x±3. (2)当m≠1时,直线l 的方程是y 0x 110m 1－－＝－－,即y=1m 1－(x-1),当m=1时,直线l 的方程是x=1. 【方法锦囊】两点式方程的注意事项两点式方程的使用范围是不能表示平行或重合于坐标轴的直线,但其变形形式(y 2-y 1)(x-x 1)-(x 2-x 1)(y-y 1)=0可以表示过点(x 1,y 1),(x 2,y 2)的所有直线,因此在已知两点求经过两点的直线方程时,可直接利用上式写出方程,也可通过分类讨论的思想分类求解含参数的直线方程,最后总结.11.【解题指南】求出点E,F 的坐标,利用直线方程的两点式,写出直线EF 的方程,在线段EF 上取点P(m,n),利用点P 的坐标表示出草坪的面积,从而得出答案. 【解析】如图建立坐标系,则E(30,0),F(0,20),所以线段EF 所在的直线方程为x y3020+=1(0≤x≤30),在线段EF 上取点P(m,n),作PQ ⊥BC 于点Q,做PR ⊥CD 于点R,设矩形PQCR 的面积为S,则S=|PQ|·|PR|=(100-m)·(80-n),又因为m n3020+=1(0≤x≤30),所以n=20(m 130-), 所以S=(100-m)(28020m 3-+) =23-(m-5)2+18 0503(0≤m≤30), 于是当m=5,即|EP |5|PF |1=时,草坪面积最大.关闭Word 文档返回原板块。

人教版高中数学必修24 空间两点间的距离公式牛老师

4.3.2 空间两点间的距离公式
1.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法.
2.掌握空间两点间的距离公式及其简单应用.
空间两点间的距离公式
空间中点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=
(1 -2 )2 + (1 -2 )2 + (1 -2 )2 .
regrets take the place of dreams.
只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才算老。
►Suffering is the most powerful teacher of life.
苦难是人生最伟大的老师。
►For man is man and master of his fate.
所以点 M 的坐标为(1,1,2).
由两点间的距离公式,得
|MN|=
3
-1
2
2
+ (3-1)2 + (1-2)2 =
故 M,N 两点间的距离为
21
2
21
2
.
.
反思求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应
用公式的关键在于建立适当的空间直角坐标系,以确定两点的坐标.
确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般来说,要转化到平面中
►So let us seize it, not in fear, but in gladness. ·
命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。
因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰
凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯

高一数学空间两点间的距离公式(201912)

z
O
P
y
x
ห้องสมุดไป่ตู้
M
思考5:在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示什么图形是什么？
z
P
O y
x
知识探究（二）:空间两点间的距离公式
在空间中，设点P1（x1，y1，z1），
P2（x2，y2，z2）在xOy平面上的射影
分别为M、N.
P2
z
O P1 xM
y N
思考1:点M、N之间的距离如何？
知识探究（一）:与坐标原点的距离公式
思考1:在空间直角坐标系中，坐标
轴上的点A（x，0，0），B（0，y，
0），C（0，0，z），与坐标原点O
的距离分别是什么？
z
|OA|=|x| |OB|=|y|
B
O
y
A
C
|OC|=|z|
x
思考2:在空间直角坐标系中，坐标
平面上的点A（x，y，0），B（0，y，
z），C（x，0，z），与坐标原点O
的距离分别是什么？
z
B
C
O
x
y A
思考3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为 M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM| 的值分别是什么？
M(x,y,0)
|PM|=|z|
z
O
P
y
x
M
思考4:基于上述分析，你能得到点 P（x，y， z）与坐标原点O的距离公式吗？
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修2
4.3.2《空间两点间的距离公式》
教学目标
• 通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式

高中数学(自主初探+核心归纳+案例展示)第四章 4.3.2 空间两点间的距离公式课件新人教A版必修

第六页，共38页。
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若D(0,0,0),A(4,0,0), B(4,2,0),A1(4,0,3),则对角线AC1的长为( )
A.9 B. 29 C.5 D.2 6
【解题(jiě tí)探究】1.已知两点的坐标如何求两点间的距离？ 2.怎样求空间一点到坐标轴的距离？ 3.对于空间图形中的两点,应如何求它们间的距离？
第二十四页，共38页。
【解析】假设在y轴上存在点M(0,y,0),使△MAB为等边三角形.
由题意(tí yì)可知y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立,所
以只要再满足|MA|＝|AB|,就可以使△MAB为等边三角形.
因为|MA|＝ 32 y2 12＝ 10 y2 ,
|AB|＝2 5.
于是 10 y2＝解2得5y,＝
所以点P的 3,
第三十三页，共38页。
3.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则
该点到原点的距离是( )
A. 6
B. 3
C. 3
D. 6
【解2析(jiě xī)】选A.设2 该定点的3坐标为(x,y,z),则有x2＋y2＝
1,y2＋
z2＝1,z2＋x2＝1,三式相加得2(x2＋y2＋z2)＝3.所以该点到原
所以|BD|=1,|CD|＝BCcos 30°＝ 3,
所以S△BCD＝1 ×|BD|·|CD|＝ 3 .
2
2
因为A( 3 ,)1,即,0点A到BC的距离( jùlí)为 3 ,
所以三棱2锥D2-ABC的体积为V＝1
2 3 3＝1.
答案：1
32 2 4
4
第三十一页，共38页。
1.点P(1,2,5)到平面xOy的距离是 ( )

人教版高中数学必修二考点练习：有关距离的计算

有关距离的计算一、点到直线的距离1. 求点P0(－1,2)到下列直线的距离：(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.2. 已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a=______．3. 已知点A（a，6）到直线3x-4y=0的距离为4，则a=______．4. 求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．5. 已知直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程．6. 已知点P(2，－1)，求过P点且与原点距离为2的直线l的方程．7. 点P在直线3x+y-5=0上，且点P到直线x-y-1=0的距离为2，则P点坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，2）或（2，-1）D．（2，1）或（-2，1）8. 已知点，求△的面积。

9. ABC ∆中，()()()3,32,27,1,A B C --、、求A ∠平分线AD 所在直线的方程．10. 已知点()()0,2,2,0A B ，若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．111. 已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，1212. 已知直线121010l :x y ,l :x y ++=+-=，则l 1与l 2之间的距离为________________.13. 已知直线12102230l :x y ,l :x y +-=+-=，则l 1与l 2之间的距离为_______________.14. 求与直线3x －4y －2＝0平行且距离为2的直线方程．15. 到直线210l :x y ++=的距离为55的点的轨迹方程是________________.16. 直线l 1过点A(0,1)，l 2过点B(5,0)，如果l 1∥l 2且l 1与l 2的距离为5，求直线l 1与l 2的方程．二、最值问题 1. 已知51260x y +=，求()224x y -+的最小值.2. 函数的最小值为( )A. B. C. D.3. 求函数f (x )＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．4. 过点P （1，2）且与原点O 距离最大的直线方程是____________________.5. 已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)若点A(5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A(5,0)到l 的距离的最大值．6. 若点P （x,y ）在直线l ：x+2y-3=0上运动，则22x y +的最小值为__________________.7. 已知两条互相平行的动直线l1，l2,分别过A（-1，-2），B（2，2），则l1，l2之间的距离最大值为_____________,当l1，l2之间的距离最大值时，直线l1，l2的方程分别为______________,__________________.8. 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d. 求出d的取值范围？当d取最大值时，请求出两条直线的方程．9. 在△ABC中，A(1,0)，B(0，－2)，点C在抛物线y＝x2上，求△ABC面积的最小值．10. 已知△ABC的顶点坐标为A(1,1)、B(m，m)、C(4,2)，1<m<4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？三、应用1. 已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(－7,0)，B(2，－3)，C(5,6)，D(－4,9)，判断这个四边形是哪种四边形．2. 已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，(1)求BC边上的中线A M的长；(2)证明△ABC为等腰直角三角形．参考答案有关距离的计算一、点到直线的距离1. 【解析】(1)由点到直线的距离公式，知d ＝()22|21210|21⨯-+-+＝105＝25.(2)解法一：把直线方程化为一般式为x －2＝0. 由点到直线的距离公式，得d ＝22|1022|10-+⨯-+＝3.解法二：∵直线x ＝2与y 轴平行，∴由图知d ＝|－1－2|＝3.(3)解法一：由点到直线的距离公式，得d ＝22|1021|01-⨯+-+＝1.解法二：∵直线y －1＝0与x 轴平行，∴由图知d ＝|2－1|＝1.2.3.4. 解法一：由于点A(1,1)与B(－3,1)到y 轴的距离不相等，所以直线l 的斜率存在，设为k ，又因为直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0.由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l 的距离相等，得2|12|1k k -++＝()2|312|1k k ⨯--++，解得k＝0或k ＝1.故直线l 的方程是y ＝2或x －y ＋2＝0.解法二：当直线l 过AB 的中点时，直线l 与点A ，B 等距离，∵AB 的中点是(－1,1)，又直线l 过点P (0,2)，∴直线l 的方程是x －y ＋2＝0；当直线l ∥AB 时，直线l 与点A ，B 等距离，∵直线AB 的斜率为0，∴直线l 的斜率为0. 故方程为y ＝2. 综上所述，满足条件的直线l 的方程是x －y ＋2＝0或y ＝2.5. 【解析】当直线l 过点A(1,2)且斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，原点到直线l 的距离为1，满足题意．当直线l 过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.因为原点到直线l 的距离为1，所以2|2|1k k -++＝1，解得k ＝34. 所以所求直线l 的方程为y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0. 综上所述，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y ＋5＝0.6. 【解析】过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件．此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知，得21k +＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0. 综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.7.8. 【解析】设边上的高为，则。

人教版高中数学课件-空间两点间的距离公式

高中数学人教版必修2课件
4．3.2 空間兩點間的距離公式
1．已知空間坐標系中，A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，則線
段 AB 的長|AB|＝( A )
A．4 3
B．2 3
C．4 2
D．3 2
2 ．已知 A( －2,4,0) ，B(3,2,0) ，則線段 AB 的中點座標是 __12_，__3_，__0__.
高中数学人教版必修2课件
空間兩點間距離公式的應用例 2：在 xOy 平面內的直線 x＋y＝1 上確定一點 M，使 M 到點 N(6,5,1)的距離最小．解：由已知，可設 M(x,1－x,0)，则|MN|＝ x－62＋1－x－52＋0－12 ＝ 2x－12＋51. ∴|MN|min＝ 51.
高中数学人教版必修2课件
(1)求 MN 的長； (2)a 為何值時，MN 的長最小？解：(1)∵平面 ABCD⊥平面 ABEF，平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB，AB⊥BE， ∴BE⊥平面 ABCD，則 AB、BE、BC 兩兩垂直．
高中数学人教版必修2课件
以 B 為坐標原點，以 BA、BE、BC 所在直線分別為 x 軸、 y 軸、z 軸，建立空間直角坐標系．
则
M
22a，0，1－
22a，N
22a，
22a，0，
|MN|＝
22a－
22a2＋0－
22a2＋1－
22a－02
＝ a2－ 2a＋1＝
Байду номын сангаас
a－
222＋12.
(2)当 a＝ 22时，MNmin＝ 22，此时 M、N 恰好为 AC、BF
的中点．
高中数学人教版必修2课件
例 4：給定空間直角坐標系，在 x 軸上找一點 P，使它與點 P0(4,1,2)的距离为 30.

2016高中数学人教A版必修四第二章 71点到直线的距离公式72向量的应用举例练习题含答案

§7向量应用举例7、1点到直线的距离公式7、2向量的应用举例,)1、问题导航(1）已知直线l的方向向量（M,N)或法向量（A,B),如何设l的方程?（2)向量可以解决哪些常见的几何问题？（3)向量可以解决哪些物理问题？2、例题导读P102例1、通过本例学习，学会利用点到直线的距离公式计算点到直线的距离、试一试:教材P102练习T1,T2,T3您会不?P102例2、通过本例学习，学会利用向量方法解答平面几何问题的方法步骤、试一试:教材P104习题2－7 B组T1您会不？P103例3，例4、通过此两例学习,学会利用向量方法解答物理中位移、力等问题、试一试:教材P104习题2－7 A组T3，B组T2您会不？1、直线l:Ax＋By＋C＝0的法向量（1）与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量、（2）若直线l的方向向量v＝(B,－A）,则直线l的法向量n＝(A,B)、（3）与直线l的法向量n同向的单位向量n0＝错误!＝错误!、2、点到直线的距离公式点M（x0,y0）到直线l:Ax＋By＋C＝0的距离d＝错误!、3、用向量解决平面几何中的问题（1）证明线段平行或相等，可以用向量的数乘、平行向量定理、(2)证明线段垂直，可以用向量数量积运算、（3）利用向量数量积运算，可以求线段的长度、夹角及平面图形的面积、4、用向量解决解析几何中的问题解析几何就是在平面直角坐标系内研究图形的性质,这类问题大多适用于向量的坐标运算,建立适当的平面直角坐标系，设出向量的坐标,将几何问题转化为向量的线性运算或数量积的运算、5、向量在物理中的应用向量有着丰富的物理背景,向量的物理背景就是位移、力、速度等，向量数量积的物理背景就是力所做的功，因此，利用向量可以解决一些物理问题、用向量法解决物理问题时,要作出相应的几何图形,以帮助我们建立数学模型、向量在物理中的应用，如求力的合成与分解,力做功等,实际上就是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题，最后再用获得的结果解释物理现象、1、判断正误、(正确的打“√"，错误的打“×")(1）求力F1与F2的合力可按照向量加法的三角形法则求解、()（2）若△ABC为直角三角形,则有错误!·错误!＝0、（)（3）若向量错误!∥错误!,则AB∥CD、()解析：（1）正确、物理中的力既有大小又有方向,所以力可以瞧作向量,F1，F2的合力可按照向量加法的三角形法则求解、（2)错误、因为△ABC为直角三角形,角A并不一定就是直角,有可能就是角B或角C 为直角、（3)错误、向量错误!∥错误!时,直线AB∥CD或AB,CD重合、答案：（1）√（2)×(3)×2、已知A,B,C，D四点的坐标分别为（1，0）,(4，3),（2,4),（0,2)，则此四边形为（)A、梯形B、菱形C、矩形D、正方形解析:选A、错误!＝(3,3），错误!＝（－2,－2)，所以错误!＝－错误!错误!,错误!与错误!共线,但｜错误!|≠｜错误!｜,故此四边形为梯形、3、两个大小相等的共点力F1,F2,当它们间的夹角为90°时合力大小为20 N,则当它们的夹角为120°时，合力的大小为________N、解析：根据题意，当F1,F2夹角为90°时,|F1｜2＋|F2｜2＝202,因为｜F1｜＝|F2|，所以|F1｜＝|F2|＝102，则当F1,F2夹角为120°时，它们的合力大小为|错误!|＝10错误!、答案：10错误!4、在△ABC中，若C＝90°，AC＝BC＝4,则错误!·错误!＝________、解析：因为C＝90°,AC＝BC＝4,所以△ABC为等腰直角三角形，所以BA＝42,∠ABC＝45°,所以错误!·错误!＝16、答案：161、对直线l:Ax＋By＋C＝0的方向向量及法向量的两点说明（1)设P1(x1,y1)，P2(x2，y2）为直线上不重合的两点,则错误!＝（x2－x1,y2－y1)及其共线的向量λ错误!均为直线的方向向量、显然当x1≠x2时,向量错误!与错误!共线,因此向量错误!＝错误!（B,－A)为直线l的方向向量，由共线向量的特征可知(B，－A）为直线l的方向向量、(2)结合法向量的定义可知，向量（A，B）与(B，－A）垂直,从而向量（A，B)为直线l 的法向量、2、向量法在几何证明与计算中的几个主要应用(1）A、B、C三点共线的证法只需证错误!＝λ错误!或错误!＝(x1,y1），错误!＝（x2，y2)满足x1y2－x2y1＝0、(2）证明AB⊥AC的方法只需证错误!·错误!＝0、(3)求A、B两点间距离的方法可把错误!表示成λa＋μb或者求坐标（x，y）,然后利用向量的运算求解、（4)求∠AOB的方法利用数量积定义的变形cos∠AOB＝错误!、3、向量在物理中应用时应注意的三个问题(1）把物理问题转化为数学问题，也就就是将物理量之间的关系抽象成数学模型、(2)利用建立起来的数学模型解释与回答相关的物理现象、(3）在解决具体问题时，要明确与掌握用向量方法研究物理问题的相关知识：①力、速度、加速度与位移都就是向量；②力、速度、加速度与位移的合成与分解就就是向量的加、减法;③动量m v就是数乘向量；④功就是力F与在力F的作用下物体所产生的位移s的数量积、向量在解析几何中的应用（1）经过点A（－1，2）,且平行于向量a＝（3，2）的直线方程就是________、(2)已知圆C：（x－3）2＋(y－3）2＝4及点A（1，1），M就是圆C上的任一点，点N在线段MA的延长线上,且错误!＝2错误!,求点N的轨迹方程、[解］（1)在直线上任取一点P(x，y）,则错误!＝(x＋1,y－2)，由错误!∥a,得(x＋1）×2－（y－2)×3＝0,即2x－3y＋8＝0、故填2x－3y＋8＝0、(2)设N(x,y），M（x0，y0)、因为错误!＝2错误!，所以(1－x0，1－y0)＝2（x－1，y－1）,所以错误!即错误!又因为点M(x0,y0)在圆C:（x－3）2＋（y－3)2＝4上，所以（x0－3）2＋（y0－3)2＝4,所以（2x)2＋(2y）2＝4，即x2＋y2＝1,所以点N的轨迹方程为x2＋y2＝1、将本例(1)中的“平行于向量”改为“法向量为”结果如何?解：由法向量a＝(3，2)，设直线的方程为3x＋2y＋c＝0,又A（－1，2)在直线上,所以3×(－1）＋2×2＋c＝0，得c＝－1,即3x＋2y－1＝0、方法归纳向量在解析几何中的应用问题向量与解析几何的综合就是高考的热点、主要题型有:（1)向量的概念、运算、性质、几何意义与解析几何问题结合、（2）将向量作为描述问题或解决问题的工具、（3)以向量坐标运算为工具,考查直线与曲线相交、轨迹等问题、1、(1)已知两点A(3，2)，B（－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝________、（2）已知点P（－3，0)，点A在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线AQ上，满足错误!·错误!＝0，错误!＝－错误!错误!、当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程、解:(1)由已知得直线的一个法向量为n＝（m,1）,其单位向量为n0＝错误!＝错误!(m，1)，在直线上任取一点P(0,－3）,则错误!＝(－3,－5），错误!＝(1，－7)、依题意有｜错误!·n0｜＝｜错误!·n0|，即错误!＝错误!,解得m＝错误!或m＝－6、故填错误!或－6、（2）设点M(x，y)为轨迹上的任一点，设A（0，b)，Q(a,0)（a＞0)，则错误!＝（x,y －b），错误!＝(a－x，－y)、因为错误!＝－错误!错误!,所以(x，y－b)＝－错误!(a－x,－y）、所以a＝错误!,b＝－错误!,即A错误!，Q错误!、错误!＝错误!，错误!＝错误!、因为错误!·错误!＝0,所以3x－错误!y2＝0、即所求轨迹方程为y2＝4x（x＞0)、向量在平面几何中的应用如图正三角形ABC中,D、E分别就是AB、BC上的一个三等分点,且AE、CD交于点P、求证：BP⊥DC、(链接教材P100例2)[证明］设错误!＝λ错误!,并设三角形ABC的边长为a,则有：错误!＝错误!＋错误!＝λ错误!＋错误!错误!＝λ错误!＋错误!错误!＝错误!（2λ＋1）错误!－λ错误!、又错误!＝错误!－错误!错误!,错误!∥错误!,所以错误!（2λ＋1）错误!－λ错误!＝k错误!－错误!k错误!,于就是有错误!解得λ＝错误!、所以错误!＝错误!错误!、所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!,错误!＝错误!错误!－错误!、所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!a2－错误!a2－错误!a2cos 60°＝0、所以由向量垂直的等价条件知BP⊥DC、方法归纳用向量解决平面几何问题的两种常见思路(1)向量的线性运算法错误!―→错误!―→利用向量的线性运算或数量积找相应关系―→错误!(2）向量的坐标运算法建立适当的平面直角坐标系―→错误!―→错误!―→错误!2、（1）如图，在▱ABCD中，E，F在对角线BD上,且BE＝FD，则四边形AECF的形状就是________、(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°,作AE⊥BD交BC于点E,求BE∶EC的值、解:（1）由已知可设错误!＝错误!＝a，错误!＝错误!＝b，故错误!＝错误!＋错误!＝a ＋b，错误!＝错误!＋错误!＝b＋a，又a＋b＝b＋a，则错误!＝错误!，即AE，FC平行且相等，故四边形AECF就是平行四边形、故填平行四边形、（2）法一:设错误!＝a,错误!＝b,|a｜＝1,|b|＝2，则a·b＝|a||b｜cos 60°＝1，错误!＝a＋b、设错误!＝λ错误!＝λb，则错误!＝错误!－错误!＝λb－a、由AE⊥BD,得错误!·错误!＝0，即(λb－a)·(a＋b）＝0，解得λ＝错误!,所以BE∶EC＝错误!∶错误!＝2∶3、法二：以B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设B（0，0),C（2,0），则A错误!，D错误!、设E(m,0)，则错误!＝错误!，错误!＝错误!，由AE⊥BD，得错误!·错误!＝0,即错误!（m－错误!）－错误!×错误!＝0，解得m＝错误!,所以BE∶EC＝错误!∶错误!＝2∶3、向量在物理中的应用一个物体受到同一平面内三个力F1，F2,F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m、已知｜F1｜＝2 N，方向为北偏东30°，|F2｜＝4 N，方向为北偏东60°，｜F3|＝6 N,方向为北偏西30°,求这三个力的合力F所做的功、（链接教材P103例4）［解]以三个力的作用点为原点,正东方向为x轴正半轴,正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系，如图所示、由已知可得F 1＝（1，错误!),F 2＝（2错误!,2),F 3＝(－3，3错误!）、所以F ＝F 1＋F 2＋F 3＝（2错误!－2,4错误!＋2)、又位移s ＝（4错误!,4错误!)，所以F ·s ＝(23－2）×4错误!＋（4错误!＋2)×4错误!＝24错误!（J)、故这三个力的合力F 所做的功就是24错误! J 、方法归纳利用向量解决物理问题的思路及注意问题(1）向量在物理中的应用,实际上就是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题，最后用所获得的结果解释物理现象、(2）在用向量法解决物理问题时，应作出相应图形,以帮助建立数学模型,分析解题思路、（3）注意问题:①如何把物理问题转化为数学问题，也就就是将物理之间的关系抽象成数学模型；②如何利用建立起来的数学模型解释与回答相关的物理现象、3、（1）一质点受到平面上的三个力F 1,F 2,F 3(单位:牛顿）的作用而处于平衡状态、已知F 1,F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2与4,则F 3的大小为( )A 、6B 、2C 、2错误!D 、2错误!(2)点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)（即点P 的运动方向与v 相同,且每秒移动的距离为|v ｜个单位)、设开始时点P 0的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为( )A 、(－2,4）B 、（－30,25）C 、(10,－5）D 、(5,－10)(3）已知两恒力F 1＝（3，4）、F 2＝(6,－5)作用于同一质点,使之由点A （20,15)移动到点B (7,0)，试求:①F 1、F 2分别对质点所做的功；②F 1,F 2的合力F 对质点所做的功、解：（1）选D 、因为力F 就是一个向量,由向量加法的平行四边形法则知F 3的大小等于以F 1,F 2为邻边的平行四边形的对角线的长,故|F 3|2＝|F 1|2＋｜F 2|2＋2｜F 1||F 2|·cos 60°＝4＋16＋8＝28,所以｜F 3|＝2错误!、(2)选C 、由题意知，P 0P ，→＝5v ＝（20,－15），设点P 的坐标为（x ，y )，则错误!解得点P 的坐标为（10,－5）、(3）设物体在力F 作用下的位移为s ,则所做的功为W ＝F ·s ，错误!＝(7，0)－(20，15)＝（－13,－15)、①W 1＝F 1·错误!＝（3，4)·（－13,－15）＝3×(－13）＋4×(－15）＝－99（J ），W 2＝F 2·错误!＝(6，－5）·（－13，－15）＝6×(－13）＋(－5）×(－15）＝－3(J ）、②W ＝F ·错误!＝(F 1＋F 2）·错误!＝[（3，4)＋(6,－5）］·(－13，－15)＝(9，－1）·（－13,－15)＝9×（－13）＋（－1）×(－15)＝－117＋15＝－102（J ）、易错警示向量在几何应用中的误区在△ABC 中,已知向量错误!与错误!满足错误!·错误!＝0且错误!＝错误!，则△ABC 的形状为________、［解析] 因为向量错误!，错误!分别表示与向量错误!，错误!同向的单位向量，所以以错误!，错误!为邻边的平行四边形就是菱形、根据平行四边形法则作错误!＝错误!＋错误!（如图所示)，则AD 就是∠BAC 的平分线、因为非零向量满足错误!·错误!＝0，所以∠BAC 的平分线AD 垂直于BC ，所以AB ＝AC ,又cos ∠BAC ＝错误!＝错误!,且∠BAC ∈(0，π),所以∠BAC ＝错误!,所以△ABC 为等边三角形、［答案] 等边三角形［错因与防范］（1)解答本题常会给出错误的答案为“直角三角形”,原因在于未能正确分析挖掘题设中的条件，直接根据数量积为零,就判断△ABC 为直角三角形、（2）为杜绝上述可能发生的错误,应该:①注意知识的积累向量线性运算与数量积的几何意义就是解决向量问题的依据，如本例中错误!,错误!的含义,邻边相等的平行四边形就是菱形,菱形的对角线平分对角、②树立数形结合意识推导图形的形状时要以题目条件为依据全面进行推导,回答应力求准确，如本例求解时，以图形辅助解题，较为形象直观、4、（1）设A 1,A 2，A 3,A 4就是平面直角坐标系中两两不同的四点,若错误!＝λ错误!(λ∈R ）,错误!＝μ错误!（μ∈R ），且错误!＋错误!＝2,则称A 3，A 4调与分割A 1，A 2、已知平面上的点C ,D 调与分割点A ,B ，则下面说法正确的就是（ )A 、C 可能就是线段AB 的中点B 、D 可能就是线段AB 的中点C 、C 、D 可能同时在线段AB 上D 、C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上（2)设O 为△ABC 所在平面上一点，动点P 满足错误!＝错误!＋λ错误!，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A 、重心B 、垂心C 、外心D 、内心解析：（1)选D 、因为C ,D 调与分割点A ，B ，所以错误!＝λ错误!，错误!＝μ错误!,且错误!＋错误!＝2（*），不妨设A （0,0)，B （1,0）,则C (λ,0），D （μ，0）,对A ，若C 为AB 的中点,则错误!＝错误!错误!,即λ＝错误!,将其代入(＊)式，得错误!＝0,这就是无意义的,故A 错误；对B ，若D 为AB 的中点,则μ＝错误!,同理得错误!＝0，故B 错误;对C ,要使C ,D 同时在线段AB 上,则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，所以错误!＞1，错误!＞1，所以错误!＋错误!＞2,这与错误!＋错误!＝2矛盾;故C 错误;显然D 正确、（2)选C 、设线段BC 的中点为D ，则错误!＝错误!、所以错误!＝错误!＋λ 错误!＝错误!＋λ 错误!，所以OP →－错误!＝λ 错误!＝错误!,所以错误!·错误!＝λ 错误!·错误!＝λ 错误!＝λ 错误!＝λ（－｜错误!｜＋｜错误!|）＝0,所以DP ⊥BC ，即点P 一定在线段BC 的垂直平分线上,即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心、1、已知直线x ＋3y ＋9＝0,则直线的一个法向量为（）A 、a ＝(1，3)B 、a ＝(3，1)C 、a ＝（3，－1）D 、a ＝（－3，－1）解析：选A 、直线Ax ＋By ＋C ＝0的法向量可以为(A ,B ）、2、在△ABC 中,若错误!·错误!＋|错误!|2＝0,则△ABC 的形状就是( ）A 、锐角三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、钝角三角形解析：选C 、因为AB →·错误!＋|错误!|2＝0,所以错误!·错误!＋错误!2＝0，即错误!·（错误!＋错误!）＝0、所以错误!·错误!＝0,所以错误!⊥错误!,即AB ⊥AC 、所以A ＝90°、所以△ABC 就是直角三角形、3、一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度就是40 m/s ，则鹰的飞行速率为( )A 、错误! m/sB 、错误! m/sC 、错误! m/sD 、错误! m/s解析:选C 、设鹰的飞行速度为v 1，鹰在地面上的影子的速度为v 2,则v 2＝40 m/s ,因为鹰的运动方向就是与水平方向成30°角向下，故｜v 1｜＝错误!＝错误!（m/s ）,故选C 、, ［学生用书单独成册］）［A 、基础达标]错误!一个人骑自行车行驶速度为v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度的大小为( )A 、v 1－v 2B 、v 1＋v 2C 、|v 1|－｜v 2｜D 、错误!解析:选C 、根据速度的合成可知、错误!若错误!＝(2，2)，错误!＝(－2，3)分别表示F 1，F 2,则｜F 1＋F 2｜为（）A 、（0，5）B 、25C 、2错误!D 、5解析：选D 、因为F 1＋F 2＝（0,5）,所以｜F 1＋F 2｜＝错误!＝5、3、过点A （2，3）且垂直于向量a ＝(2，1)的直线方程为（ )A 、2x ＋y －7＝0B 、2x ＋y ＋7＝0C 、x －2y ＋4＝0D 、x －2y －4＝0解析：选A 、设所求直线上任一点P (x ，y ）,则错误!⊥a 、又因为错误!＝（x －2,y －3),所以2(x －2）＋（y －3）＝0,即所求的直线方程为2x ＋y －7＝0、错误!若A i （i ＝1,2，3,4,…，n)就是△AOB 所在平面内的点，且错误!·错误!＝错误!·错误!、给出下列说法:①｜错误!|＝｜错误!|＝…＝|错误!｜＝|错误!｜；②｜错误!|的最小值一定就是｜错误!|；③点A 、A i 在一条直线上、其中正确的个数就是（ )A 、0B 、1C 、2D 、3解析：选B 、由错误!·错误!＝错误!·错误!，可得（错误!－错误!)·错误!＝0,即错误!·错误!＝0，所以错误!⊥错误!，即点A i 在边OB 过点A 的垂线上、故三个命题中,只有③正确,故选B 、5、已知△ABC 中,A(2，－1），B(3，2)，C(－3,－1），BC 边上的高为AD ，则错误!等于（ )A 、(－1,2）B 、(1，－2）C 、(1,2）D 、（－1,－2)解析:选A 、设D （x ，y ),则错误!＝（x －2，y ＋1）,错误!＝（x －3，y －2)，错误!＝(－6,－3）、因为错误!⊥错误!，错误!∥错误!、所以错误!解得错误!所以错误!＝（－1,2）、错误!已知三个力F 1＝（3,4），F 2＝(2,－5）,F 3＝（x ，y ),满足F 1＋F 2＋F 3＝0,若F 1与F 2的合力为F ,则合力F 与力F 1夹角的余弦值为________、解析：因为F 1＋F 2＋F 3＝0，F 1＋F 2＝F ,所以F ＝－F 3,因为F 3的坐标为(－5，1），所以F ＝－F 3＝(5,－1),设合力F 与力F 1的夹角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝错误!、答案:错误!错误!已知直线的方向向量为a ＝(3,1）,且过点A （－2,1），则直线方程为____________、解析:由题意知,直线的斜率为错误!，设直线方程为x －3y ＋c ＝0,把（－2,1）代入得c ＝5,故所求直线方程为x －3y ＋5＝0、答案：x －3y ＋5＝08、已知｜a |＝错误!,｜b ｜＝4,｜c ｜＝2错误!,且a ＋b ＋c ＝0,则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________、解析:(a ＋b ＋c ）2＝|a ｜2＋|b ｜2＋｜c |2＋2（a ·c ＋b ·c ＋a ·b ）＝0，所以a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－错误!、答案：－错误!9、在△ABC 中，错误!·错误!＝｜错误!－错误!|＝6,M 为BC 边的中点，求中线AM 的长、解:因为|错误!－错误!｜＝6，所以（错误!－错误!)2＝36、即错误!2＋错误!2－2错误!·错误!＝36、又因为错误!·错误!＝6，所以错误!2＋错误!2＝48、又因为错误!＝错误!（错误!＋错误!）,所以AM →2＝错误!（错误!2＋错误!2＋2错误!·错误!）＝错误!×（48＋12)＝15，所以｜错误!｜＝错误!，即中线AM 的长为错误!、10、已知点A （－1,0),B (0,1），点P (x ，y )为直线y ＝x －1上的一个动点、（1）求证:∠APB 恒为锐角;(2）若四边形ABPQ 为菱形,求错误!·错误!的值、解:（1）证明：因为点P （x ，y ）在直线y ＝x －1上,所以点P （x ,x －1），所以错误!＝(－1－x ，1－x ）,错误!＝(－x ，2－x ），所以错误!·错误!＝2x 2－2x ＋2＝2(x 2－x ＋1)＝2错误!＞0，所以cos ∠APB ＝错误!＞0,若A ，P ，B 三点在一条直线上，则错误!∥错误!，得到（x ＋1)（x －2)－（x －1）x ＝0,方程无解，所以∠APB ≠0,所以∠APB 恒为锐角、（2)因为四边形ABPQ 为菱形,所以｜错误!|＝｜错误!｜，即错误!＝错误!,化简得到x 2－2x ＋1＝0，所以x ＝1,所以P （1，0），设Q (a ，b )，因为错误!＝错误!,所以（a －1，b )＝（－1,－1）,所以错误!所以错误!·错误!＝（0，－2）·(1,－1）＝2、［B 、能力提升]1、水平面上的物体受到力F 1，F 2的作用,F 1水平向右,F 2与水平向右方向的夹角为θ，物体在运动过程中,力F 1与F 2的合力所做的功为W ，若物体一直沿水平地面运动,则力F 2对物体做功的大小为（ )A 、错误!WB 、错误!WC 、错误!WD 、错误!W解析:选D 、设物体的位移就是s ，根据题意有（｜F 1｜＋|F 2|·cos θ)｜s ｜＝W ,即|s ｜＝错误!,所以力F 2对物体做功的大小为错误!W 、2、记max{x ,y ｝＝错误!min ｛x ,y }＝错误!设a ,b 为平面向量，则( )A 、min{|a ＋b ｜,｜a －b |｝≤min ｛|a ｜,｜b |｝B 、min ｛|a ＋b|，|a －b ｜}≥min{|a ｜，|b ｜｝C 、max{|a ＋b|2,|a －b ｜2｝≤|a|2＋｜b|2D 、max{｜a ＋b ｜2,|a －b ｜2}≥｜a|2＋|b|2解析：选D 、对于min ｛|a ＋b|,｜a －b ｜}与min ｛｜a ｜，|b|｝,相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较，它们的大小关系不确定，因此A ,B 均错,而｜a ＋b ｜，|a －b ｜中的较大者与｜a ｜,|b ｜可构成非锐角三角形的三边，因此有max ｛|a ＋b ｜2,|a －b|2}≥｜a ｜2＋|b|2、3、已知△ABC 的面积为10,P 就是△ABC 所在平面上的一点,满足P A ，→＋错误!＋2错误!＝3错误!，则△ABP 的面积为________、解析：由错误!＋错误!＋2错误!＝3错误!,得错误!＋错误!＋2错误!＝3（错误!－错误!），所以4错误!＋2（错误!－错误!）＝0，所以2错误!＝错误!,由此可得P A 与CB 平行且|CB |＝2｜P A ｜,故△ABP 的面积为△ABC 的面积的一半，故△ABP 的面积为5、答案:54、在平面直角坐标系中,O 为原点，A (－1,0），B (0,3)，C (3，0)，动点D 满足|错误!｜＝1,则|错误!＋错误!＋错误!|的最大值就是________、解析：设D (x ，y ）,由｜错误!|＝1，得(x －3）2＋y 2＝1,向量错误!＋错误!＋错误!＝（x －1，y ＋错误!），故｜错误!＋错误!＋错误!｜＝错误!的最大值为圆（x －3）2＋y 2＝1上的动点到点（1，－错误!）距离的最大值，其最大值为圆（x －3）2＋y 2＝1的圆心（3，0)到点（1，－错误!)的距离加上圆的半径，即错误!＋1＝1＋错误!、答案:1＋错误!5、在平面直角坐标系xOy 中,已知向量AB →＝(6，1）,错误!＝(x ，y ），错误!＝(－2,－3)，且错误!∥错误!、（1）求x 与y 间的关系；（2)若错误!⊥错误!,求x 与y 的值及四边形ABCD 的面积、解：（1）由题意得错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝（x ＋4,y －2），错误!＝(x ，y ), 因为错误!∥错误!，所以(x ＋4)y －（y －2）x ＝0，即x ＋2y ＝0、①（2）由题意得错误!＝错误!＋错误!＝(x ＋6,y ＋1)，错误!＝错误!＋错误!＝（x －2,y －3)，因为错误!⊥错误!,所以错误!·错误!＝0,即(x ＋6）（x －2)＋(y ＋1)（y －3)＝0，即x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，②由①②得错误!或错误!当错误!时，错误!＝(8，0)，错误!＝(0,－4），则S 四边形ABCD ＝错误!｜错误!||错误!|＝16,当错误!时，错误!＝(0,4），错误!＝(－8,0)，则S 四边形ABCD ＝错误!｜错误!｜｜错误!|＝16，综上错误!或错误!四边形ABCD 的面积为16、6、（选做题)已知e 1＝(1,0），e 2＝（0，1）,现有动点P 从P 0(－1，2）开始，沿着与向量e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动,速度为｜e 1＋e 2|;另一动点Q 从Q 0(－2,－1)开始，沿着与向量3e 1＋2e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e 1＋2e 2｜,设P 、Q 在t ＝0 s 时分别在P0、Q0处，问当错误!⊥错误!时所需的时间为多少？解：e1＋e2＝(1,1）,｜e1＋e2｜＝2,其单位向量为错误!；3e1＋2e2＝(3，2)，｜3e1＋2e2｜＝错误!，其单位向量为错误!、依题意，|错误!|＝错误!t,｜错误!|＝错误!t,所以错误!＝｜错误!｜错误!＝(t,t)，错误!＝|错误!｜错误!＝(3t,2t)，由P0（－1,2）,Q0（－2，－1），得P（t－1，t＋2），Q(3t－2,2t－1）,所以错误!＝(－1，－3),错误!＝(2t－1，t－3)，因为错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0，即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2、即当错误!⊥错误!时所需的时间为2 s、。

【创新设计】高中数学（人教版必修二）配套练习：第4章习题课（含答案解析）

习题课圆与方程【课时目标】 1．巩固圆的方程的两种形式，并熟练应用圆的方程解决有关问题．2．熟练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用．练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用．1．圆的方程îïíïì①圆的标准方程：①圆的标准方程：，其中其中为圆心，r 为半径.②圆的一般方程：②圆的一般方程：其中( >0).2．直线与圆的位置关系的判定(d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆半径)îïíïì相交⇔d<r ；相离⇔ ；相切⇔ .3．圆与圆的位置关系(d 表示两圆圆心距，R 、r 表示两圆半径且表示两圆半径且R≥r)îïíïì外离⇔d>R ＋r ；外切⇔d ＝R ＋r ；相交⇔R －r<d<R ＋r ；内切⇔d ＝R －r ；内含⇔d<R －r.一、选择题一、选择题1．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(1，－2)，5 B ．(1，－2)， 5 C ．(－1,2)，5D ．(－1,2)， 5 2．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝83．直线x －3y ＝0绕原点按逆时针方向旋转30°所得直线与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0的位置关系是( )A ．相交且过圆心．相交且过圆心B ．相交但不过圆心．相交但不过圆心C ．相切．相切D ．相离．相离4．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，则直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限．第一象限B ．第二象限．第二象限C ．第三象限．第三象限D ．第四象限．第四象限5．直线l 与直线3x ＋4y －15＝0垂直，与圆x 2＋y 2－18x ＋45＝0相切，则直线l 的方程是( )A ．4x －3y －6＝0B ．4x －3y －66＝0C ．4x －3y －6＝0或4x －3y －66＝0D ．4x －3y －15＝06．方程4－x 2＝k(x －2)＋3有两个不等实根，则k 的取值范围为( )A ．èæûù512，34B ．ëéøö34，＋∞C ．èæûù－∞，512D ．èæøö512，34二、填空题二、填空题7．过点M(0,4)，且被圆(x －1)2＋y 2＝4截得的线段长为23的直线方程为____________．8．一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射到圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路程为________．9．集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y)|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r>0，若A∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是________．三、解答题三、解答题10．有一圆C 与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的标准方程．准方程．11．已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；总相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．截得的弦长的最小值及此时的直线方程．能力提升12．已知曲线C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－1,0)及点B(2，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C拦住，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－33)∪(33，＋∞)13．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两面积的最小值．条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形P ACB面积的最小值．初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆有关问题时收到意想不到的效果．收到意想不到的效果．圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：面几何性质．那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．三个顶点等等．(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．满足勾股定理．(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．对的圆周角是直角．习题课习题课圆与方程圆与方程答案答案知识梳理知识梳理1．(1)(x －a)2＋(y －b)2＝r 2 (a ，b) (2)x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 D 2＋E 2－4F2．d>r d ＝r 作业设计作业设计 1．D2．B [线段AB 两端点为(0,2)、(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径r ＝2，∴选B ．] 3．C [直线旋转后为y ＝3x ，圆心(2,0)到该直线距离d ＝r ．∴选C ．] 4．D [圆的标准方程为(x －a)2＋èæøöy ＋32b 2＝a 2＋94b 2．圆心为èæøöa ，－32b ．∴a<0，b>0．∴y ＝－1a x －ba 不过第四象限．]5．C [设直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由直线与圆相切得m ＝－6或－66．] 6．A [在同一平面直角坐标系中分别画出y ＝4－x 2(就是x 2＋y 2＝4，y≥0)和y ＝k(x －2)＋3的图象．如图所示，问题就转化为两条曲线有两个交点的问题，需k P A <k≤k PB ．k PB ＝3－02－(－2)＝34，对于k(x －2)－y ＋3＝0，因为直线与圆相切，所以d ＝r ，即|－2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k P A ＝512．所以k 的取值范围为èæûù512，34．]7．x ＝0或15x ＋8y －32＝0解析解析设直线方程为x ＝0或kx －y ＋4＝0．当直线方程为x ＝0时，弦长为23符合题意；当直线方程为kx －y ＋4＝0时，d ＝|k －0＋4|k 2＋1＝22－(3)2＝1，解得k ＝－158，因此直线方程为15x ＋8y －32＝0．8．4解析解析点A 关于x 轴的对称点A′(－1，－1)，转化为求A′(－1，－1)到圆上的点的距离的最小值问题，其最小值为(2＋1)2＋(3＋1)2－1＝4．9．3或7解析解析这是以集合为载体考查两圆位置关系．这是以集合为载体考查两圆位置关系． ∵A∩B 中有且仅有一个元素，中有且仅有一个元素，∴两圆x 2＋y 2＝4与(x －3)2＋(y －4)2＝r 2相切，相切， O(0,0)，C(3,4)，|OC|＝5，r 1＝2，r 2＝r ，故2＋r ＝5，或r －2＝5，∴r ＝3或7．10．解．解设所求圆的圆心为O ，则OA ⊥l ，又设直线OA 与圆的另一交点为P ．所以直线OA 的斜率为－34．故直线OA 的方程为y －6＝－34(x －3)，即3x ＋4y －33＝0．又因为k AB＝2－65－3＝－2，从而由平面几何知识可知k PB ＝12，则直线PB 的方程为x －2y －1＝0．解方程组îïíïì 3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得îïíïìx ＝7，y ＝3. 即点P 的坐标为(7,3)．因为圆心为AP 的中点èæøö5，92，半径为OA ＝52，故所求圆的标准方程为(x －5)2＋èæøöy －922＝254．11．(1)证明证明把直线l 的方程改写成(x ＋y －4)＋m(2x ＋y －7)＝0，由方程组îïíïì x ＋y －4＝02x ＋y －7＝0，解得îïíïìx ＝3y ＝1，所以直线l 总过定点(3,1)．圆C 的方程可写成(x －1)2＋(y －2)2＝25，所以圆C 的圆心为(1,2)，半径为5．定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为(3－1)2＋(1－2)2＝5<5，即点(3,1)在圆内．所以过点(3,1)的直线总与圆相交，即不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交．总相交．(2)解设直线与圆交于A 、B 两点．当直线l 过定点M(3,1)且垂直于过点M 的圆C 的半径时，l 被截得的弦长|AB|最短．最短．因为|AB|＝2|BC|2－|CM|2＝225－[(3－1)2＋(1－2)2]＝220＝45，此时k AB ＝－1k CM＝2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －3)，即2x －y －5＝0．故直线l 被圆C 截得的弦长最小值为45，此时直线l 的方程为2x －y －5＝0． 12．B解析解析视线即切线，切线与直线x ＝2交点以下部分和以上部分即为视线看得见的部分，圆的切线方程为y ＝±33(x ＋1)．当x ＝2时，y ＝±3，所以a ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)，故选B ．13．解．解方法一方法一从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，右下方无穷远处运动时，直角三角形直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝12|PA|·|PA|·|AC||AC|＝12|P A|越来越大，越来越大，从而从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值，此时|PC|＝|3×|3×11＋4×4×11＋8|32＋42＝3，从而|P A|＝|PC|2－|AC|2＝22． ∴(S 四边形P ACB )min ＝2×12×A|×|P A|×|AC||AC|＝22．方法二方法二利用等价转化的思想，设点P 坐标为(x ，y)，则，则 |PC|＝(x －1)2＋(y －1)2，由勾股定理及|AC|＝1，得，得 |P A|＝|PC|2－|AC|2＝(x －1)2＋(y －1)2－1，从而S四边形P ACB ＝2S △P AC ＝2·12|PA|·|PA|·|AC||AC|＝|P A|＝(x －1)2＋(y －1)2－1，从而欲求S 四边形P ACB 的最小值，只需求|P A|的最小值，只需求|PC|2＝(x －1)2＋(y －1)2的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x ，y)距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离的平方，这个最小值d 2＝(|3×|3×11＋4×4×11＋8|32＋42)2＝9，∴(S 四边形P ACB )min ＝9－1＝22．。

【参考教案】《两点间的距离》(数学人教A版高中必修)

《3.3.2两点间的距离公式》教学设计【教学目标】1.知识与技能：（1）通过推导，了解两点间的距离的求法；（2）理解两点间距离的几何意义；（3）利用两点间的距离公式解决实际问题.法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.3.情感态度价值观：（1）本节核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。

培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想【重点难点】1.教学重点：通过逐步诱导推导出两点间距离公式2.教学难点：灵活应用距离公式解决实际问题.【教学策略与方法】1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．2.教具准备：多媒体【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：引入如何判定两条直线平行？垂直？1.在平面直角坐标系中，根据直线的方程可以确定两直线平行、垂直等位置关系，以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置关系.2.平面上点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系来反映？结合问题情境展开思考利用问题引入，激发学生学习兴趣环节二：思考1 在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？学生思考作答通过思考引出本节所学新知。

新课讲解|P 1P 2|=|x 1－x 2|思考2 在y 轴上，已知点P 1(0，y 1)和P 2(0，y 2)，那么点P 1和P 2的距离为多少？ |P 1P 2|=|y 1－y 2| 思考3 已知x 轴上一点P 1(x 0，0)和y 轴上一点P 2(0，y 0)，那么点P 1和P 2的距离为多少？221200||PP x y =+思考4 在平面直角坐标系中，已知点P 1(2，－1)和P 2(－3，2)，如何计算点P 1和P 2的距离？22221212||5334PP PM P M =+=+=思考 5 一般地，已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，利用上述方法求点P 1和P 2的距离可得什么结论？22122121||()()PP x x y y =-+-思考6 当直线P 1P 2与坐标轴垂直时，上述结论是否成立？思考7 特别地，点P(x ，y)与坐标原点的距离是什么？ 22||OP x y =+知识探究（二）：距离公式的变式探究思考1 已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，直线P 1P 2的斜率为k ，则y 2－y 1可怎样表示？从而点P 1和P 2的距离公式可作怎样的变形？21221||||1PP x x k=-⋅+思考 2 已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，直线P 1P 2的斜率为k ，则x 2－x 1可怎样表示？从而点P 1和P 2的距离公式又可作怎样的变形？122121||||1PP y y k =-⋅+21221212||||11||1PP x x ky y k =-⋅+=-⋅+思考3 上述两个结论是两点间距离公式的两种变形，其使用条件分别是什么？思考4 若已知12x x + 和12x x ⋅，如何求21||x x -？2211212||()4x x x x x x -=+-例1 已知点(1,2)A - 和(2,7)B ，在x 轴上求一点P ，使|P A |=|PB |，并求|P A |的值.例2 已知△ABC 的三个顶点是A(－1，0)，B(1，0)，C(1/2，3/2)，试判断三角学生思考作答。