1.2.2同角三角函数的基本关系_(修改2)

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高中数学必修四第一章三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系

故 tan ��
1 sin2��
-1
=
tan
��
1-sin2�� sin2��
=
tan
��
cos�� sin��
=
sin�� cos��
·-scions��
=
−1.
(2)证法一:sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α
sin�� 1 + cos�� ∴ 1-cos�� = sin�� .
题型一题型二题型三题型四题型五
题型四已知 tan α 的值求其他代数式的值
【例4】已知tan α=7,求下列各式的值.
(1)
sin��+cos�� 2sin��-cos��
则 sin α=−
1-cos2 ��
=
−
15 17
,
tan
��
=
sin�� cos��
=
185.
反思已知cos α(或sin α)求tan α时,先利用平方关系求出sin α(或 cos α),再利用商关系求出tan α.注意在求sin α(或cos α)时,往往需分类讨论α所在的象限.
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种:
(1)直接法——从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)综合法——由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.

同角三角函数的基本关系与诱导公式

同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin ）（απ-2＝cos α，cos ）（απ-2＝sin α. 公式六：sin ）（απ+2cos α，cos ）（απ+2＝－sin α. 一个口诀：诱导公式的记忆口诀为：（απ±2k ）奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….一、已知某角的一个三角函数值，求其它三角函数值例1：① 已知sinA=23, A 为第二象限的角，求cosA ，tanA 的值；②已知cosA=23, A 为第四象限的角，求sinA ，tanA 的值；③已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________；二、由某角的正切值求该角关于正弦余弦的三角函数式的值例 2：已知tan α=2,求:(1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+;(2)2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin 1αααααα---+;(3)25sin 3sin cos 2ααα+-变式(1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；三、关于某角的正弦与余弦之和，正弦与余弦之差，正弦与余弦之积，知一求二例3：已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15①求sinxcosx 的值， ②求sinx+cosx 的值③求sin 2x －cos 2x 的【试一试】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.四、利用诱导公式求值，化简例4：已知sin）（2πα+＝－55，α∈(0，π)． (1)求)3cos()sin()23cos()2sin(απαπαππα++-+--的值； (2)求cos ）（απ-65的值．(2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.专项基础训练一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12 D.12 2． cos(－2 013π)的值为( ) A.12B ．－1C ．－32D ．03．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32 D ．－324．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4 二、填空题5．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．7. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值．9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．。

1.2.2同角三角函数的基本关系说课稿

同角三角函数的基本关系麻城市第五中学数学组曾令洋各位专家、评委：大家下午好！我今天说课的题目是《同角三角函数的基本关系》，内容选自于高中教材新课程人教A版必修4第一章第1.2.2节，本节课内容为一课时。

下面我将从教材分析、学情分析、教法与学法分析、教学过程设计四个方面来阐述我对本节课的分析和设计。

一、教材分析1、教材的地位和作用本节课选自内容选自于高中教材新课程人教A版必修4第一章第1.2.2同角三角函数的基本关系，是在学生学习了任意角和弧度，并且理解了任意角三角函数的定义和三角函数线等知识的基础上，与圆的几何性质建立联系，来研究同角三角函数的基本关系，从而找到了同一个角的不同三角函数间的联系，渗透了数形结合等重要数学思想，培养学生的数学应用能力，为后续的三角函数的图像与性质的学习打下基础。

2、学情分析根据学生已有的知识，在教材“探究”的引导下，利用几何关系中的勾股定理及三角函数的定义，学生容易得出同角三角函数的基本关系，但灵活应用关系解题是学生感到困难的地方，特别是求三角函数值时符号的确定。

3、教学目标分析知识与技能目标：推导并理解同角三角函数的基本关系；已知某角的一个三角函数值，会求它其余的三角函数值；能初步应用同角三角函数的基本关系化简三角函数，证明三角函数恒等式。

过程与方法目标：牢固掌握同角三角函数的基本关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角问题的思维能力；灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力。

情感态度价值观目标：通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位，训练三角恒等变形的能力，培养学生良好的学习方法，进一步树立化归的数学思想方法。

重点：同角三角函数的基本关系推导及应用.难点：是同角三角函数基本关系式的几何推导，三角函数值符号的确定。

二、教法与学法分析.结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—合作探究—应用”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。

同角三角函数的基本关系式

2 2
证法二：因为
(1 sin )(1 sin ) 1 sin cos
2 2
由原题可知 1 - sin 0, cos 0, cos 1 sin 所以 1 sin cos
证法三：
cos 0,1 sin 0 cos cos (1 sin ) 原式左边 2 1 sin cos cos (1 sin ) cos (1 sin ) 2 2 1 sin cos 1 sin 右边 cos
同角三角函数基本关系式的应用
1.求值题型
已知某个角的一个三角函数值,求这个角的其余三角函数值.
3 例6 已知 sin ，求 cos ，tan 的值． 5
注意开方运算时根号前正、负号的选取，即根据角所在的象限讨论正负号。
课本P23 练习 1，2，3
2.化简三角函数式. 函数种类要最少，项数要最少，函数次数尽量低，能求出值的要求出数值，尽量使分母不含三角形式和根式。
主客呀."能给咱壹千斤吗?"根汉问道."壹千斤..."在场の十几人都张大了嘴巴,这还是人吗,这小子也太能吃了,买壹千斤腌牛肉吃?（正文贰叁贰7壹千斤）贰叁贰捌赚钱"有!"中年老板立即拍板道："小老弟呀,给你算便宜壹些吧,你给二十二壹斤就好了,壹共是二万二...""好, 谢谢了..."根汉立即就掏出了二万五千星海币,厚厚の壹大叠放在桌上,又说道："再给咱准备十几缸红米酒吧,这里剩下の钱能装多少装多少吧...""好の..."中年老板笑得合不拢嘴,赶紧将这壹大叠钱给收好了,开什么玩笑,这壹天の功夫,就做了两个月の生意.今天真得烧香拜拜财神了,壹斤少说也得赚个八到十块星海币

1.2.2同角的三角函数基本关系式

能力训练(化简)
例3.化简 : 1 2 sin 2 10 cot 10 sin 10 1 sin 2 10
分析 :" 脱" 根号,因此设法把根号内式子配成完全平方式 , 可以从1入手.
2 ) 01 soc 01 ni s( ) 01 soc 01 ni s( 01 soc 01 ni s 2 1 .1 式原 01 soc 01 ni s 01 soc 01 ni s 01 2 ni s 1 01 ni s
分析 : 找与题设条件最接近关系式 : sin 2 cos 2 1, 故 cos 的值最容易求得在求 cos 时需要开方运算因此 , , 应根据角的所在象限确定cos 的符号. 4 对于tan 的负号,是根据商数关系直接运算后的结果 ,
3 不需要根据的是第二象限角来事先确 . 定思路 : 找最接近题设的基本关 ;只有应用平方关系才根系据角的象限来确定开方时符号;应用商数关系倒数关系时不、需要确定符号由运算自然得到符号 , . 本题由于角所在的象限已指定,则求得的只有一组结果 .
1 2
3 2
2 2 2 2
3 2
1
0 1 0
不存在
0
cos
tan
1
0
不存在
1 2
0 1 0
不存在
1
0
不存在
cot
3 3
1 1
不 3 存在
3
3 3
0
0
问题探究(一)
计算下列各式的值: 1. sin 2 90 cos 2 90 ; 2. sin 2 30 cos 2 30 ; 5 5 3. tan 45 cot 45 ; 4. tan cot . 6 6 问题 : 如果把上面具体的数据改为一般角会有同样的结果吗 ?

人教a版必修4学案：1.2.2同角三角函数的基本关系(含答案)

1.2.2 同角三角函数的基本关系自主学习知识梳理1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________________.2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝__________；cos 2α＝__________；(sin α＋cos α)2＝__________；(sin α－cos α)2＝____________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；sin α·cos α＝____________＝____________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝____________； cos α＝____________.自主探究1．利用任意角三角函数的定义推导平方关系．2．已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.对点讲练知识点一已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值例1 已知cos α＝－817，求sin α、tan α.回顾归纳同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．变式训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．知识点二利用同角的三角函数基本关系式化简例2 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.回顾归纳解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．变式训练2 化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.知识点三利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式例3 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.回顾归纳证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简．证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．常用技巧：切化弦、整体代换．变式训练3 求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x.1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.课时作业一、选择题1．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是( )A.14B.12 C ．1 D.322．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－13．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±434．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8二、填空题6．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________. 7．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝ ______________________________________________________________________.8．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．三、解答题9．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．10．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π) 求：(1)m 的值；(2)方程的两根及此时θ的值．1.2.2 同角三角函数的基本关系答案知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ) 2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22(2)cos αtan α sin αtan α自主探究1．解 ∵sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x，x 2＋y 2＝r 2， ∴sin 2α＋cos 2α＝y 2r 2＋x 2r 2＝x 2＋y 2r 2＝1 (α∈R )． sin αcos α＝y r x r＝y x ＝tan α (α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．解关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(1)原式＝4tan α－23tan α＋5＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 对点讲练例1 解 ∵cos α＝－817<0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限的角．(1)如果α是第二象限的角，可以得到sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517. tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)如果α是第三象限的角，可得到：sin α＝－1517，tan α＝158. 变式训练1 解由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α. ① 又sin 2 α＋cos 2α＝1， ②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 例2 解原式＝1cos α 1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α －(1－sin α)21－sin 2α ＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α为第一或第四象限角)，－1－2tan α(α为第二或第三象限角). 变式训练2 解原式＝(1－cos 4 α)－sin 4 α(1－cos 6 α)－sin 6 α＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4 α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4 αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4 α－sin 4 α＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 例3 证明左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边． ∴原式成立．变式训练3 证明左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边．∴原等式成立．课时作业1．C [sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β＝sin 2β＋cos 2β(cos 2β＋sin 2β)＝sin 2β＋cos 2β＝1.]2．B [∵α为第三象限角，cos α<0，sin α<0，∴原式＝cos αcos 2α＋2sin αsin 2α＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.] 3．A [α为第二象限角，sin α＝45，cos α＝－35， tan α＝－43.] 4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)·(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)·(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋1tan α＝－8.] 6．－255 解析由α是第二象限的角且tan α＝－12，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－12cos αsin 2α＋cos 2α＝1，则⎩⎨⎧ sin α＝55cos α＝－255.7．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32.8.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1，∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7. 当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34.9．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α ＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α∴左边＝右边，原式成立．10．解 (1)由韦达定理知⎩⎨⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12①sin θ·cos θ＝m2 ②由①式可知1＋2sin θcos θ＝1＋32， ∴sin θcos θ＝34，∴m2＝34，∴m ＝32， (2)当m ＝32时，原方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， ∴x 1＝32，x 2＝12. ∵θ∈(0,2π)∴⎩⎨⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎨⎧ sin θ＝12cos θ＝32. ∴θ＝π3或θ＝π6.。

1.2.2同角的三角函数的基本关系(2课时)

1.2.2同角的三角函数的基本关系(二课时)学习目标：⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；学习重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式. 学习难点：根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式. 一、知识链接：复习：1.已知角α终边上一点p （x 、y ），r=22y x +，则角α的六个三角函数分别是什么？2.当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tan α、cot α的符号分别是怎样的？二、新课导学自学教材P18-P20，并对相关概念进行勾画。

（思考1）三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?新知1：如图:以正弦线MP ,余弦线构成直角三角形,而且1OP =.221MP OM +=,因此221x y +=,根据三角函数的定义,当(2a k ππ≠+这就是说,同一个角α例题：学习课本19页—20页例6 例7练习1：课本20页练习1、4、5练习2：课本21-22 习题1.2A 组第10、13题小结1：（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠．（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．思考1：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的六个三角函数之间有什么关系？新知2：同角三角函数的基本关系式：1、由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（请把关系式的推导过程写在后面）（1）倒数关系：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1csc sin αααααα（2）商数关系：⎪⎩⎪⎨⎧==ααααααsin cos cot cos sin tan （3）平方关系：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin2.给出右图，你能说明怎样利用它帮助我们记忆三角函数的基本关系吗？（1）在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，有倒数关系。

第一章1.2-1.2.2同角三角函数的基本关系

1＋2sin αcos α－1
2sin α（1＋sin α） 1＋sin α
＝
＝右边．
2sin αcos α
cos α
∴原式成立．法二：左边—右边＝
所以，左边＝右边，原式成立．
[巧妙解法] 由 cos2α＝1－sin2α得－cos2α＝(sin α＋1)(sin α－1),
sin α＋1 －cos α
2．三角函数式化简技巧： (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的； (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
[变式训练]
化简： sin
sin2x x－cos
x－sitnanx2＋x－cos1
x .
解：原式＝ sin
所以 sin α－cos α>0，
又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝197，
所以 sin
α－cos
α＝
17 3.
归纳升华
三角函数求值的常用方法
1．若已知 tan α＝m，求其他三角函数值，其方法
tan α＝m，是解方程组
求出 sin α和 cos α的
sin2α＋cos2α＝1，
[变式训练] 已知 tan α ＝43且角 α 在第三象限，求
sin α ，cos α 的值.
解：由
tan
α
＝csions
α α
＝43，
得 sin α ＝43cos α .
又 sin2α ＋cos2α ＝1，
所以196cos2α＋cos2α ＝1.即 cos2α ＝295.
又角 α 在第三象限，所以 cos α ＝－35，所以 sin α ＝43cos α ＝－45.

21-22版：1.2.2　同角三角函数的基本关系（步步高）

1.2.2 同角三角函数的基本关系学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．知识点同角三角函数的基本关系式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α.(2)tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.1．sin 2α＋cos 2β＝1.( × )提示在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin 2α＋cos 2α＝1.2．sin 2θ2＋cos 2θ2＝1.( √ ) 提示在sin 2α＋cos 2α＝1中，令α＝θ2可得sin 2θ2＋cos 2θ2＝1. 3．对任意的角α，都有tan α＝sin αcos α成立．( × ) 提示当α＝π2＋k π，k ∈Z 时就不成立． 4．若cos α＝0，则sin α＝1.( × )题型一利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值例1 (1)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案 D解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D. (2)已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝ . 考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案－125解析 ∵sin α＋cos α＝713， ∴(sin α＋cos α)2＝49169，即2sin αcos α＝－120169<0，又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α－cos α＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝1713，可得sin α＝1213，cos α＝－513，tan α＝－125. 反思感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，找到解决问题的突破口．跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值例2 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解 ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角．(1)当α是第二象限角时，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158. 反思感悟利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．跟踪训练2 已知cos α＝－45，求sin α和tan α. 考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解 sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝925，因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35， tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35， tan α＝sin αcos α＝34. 题型二齐次式求值问题例3 已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α. 考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简、求值解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 反思感悟 (1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式．跟踪训练3 已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值． (1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简、求三角函数值解由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.(1)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89. (2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310.三角函数式的化简与证明典例 (1)化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α. 考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简解原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α ＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsin αcos α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α. (2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α. 考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式证明证明 ∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．[素养评析] (1)三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．(3)掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，提升逻辑推理的数学核心素养.1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值为( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案 A解析 ∵α为第二象限角，sin α＝45， ∴cos α＝－35，tan α＝－43. 2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35 B ．－15 C.15 D.35考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式化简、求三角函数值答案 A解析 sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35. 3．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简答案 B解析 ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，∴原式＝－cos αcos α－2sin αsin α＝－3. 4．已知tan x ＝－12，则sin 2x ＋3sin x cos x －1的值为( ) A.13B ．2C ．－2或2D ．－2考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案 D5．已知：tan αtan α－1＝－1，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝ . 答案－53解析由已知得：tan α＝12， ∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数名的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．。

1.2.2同角三角函数基本关系

基本变形 2 2 思考：对于平方关系 sin cos 1 可作哪些变形？
sin 1 cos , cos 1 sin , 2 (sin cos ) 1 2 sin cos 2 (sin cos ) 1 2 sin cos
又是第二象限角， cos 0
1 2 2 sin 2 cos t an 3 3 cos 4 2 2 3
三、应用示例
3 例2.已知 sin , 求 cos , tan 的值。 5 解:因为 sin 0, sin 1, 所以是第三或第四象限角.
1的替换 — 3 3 1 3(sin cos )
2 2
1 (1) 2 1 ( 2) 32 20 (3) 13
1的替换 — 看作分母为 1 sin 2 cos 2
cos x 1 sin x 例4 求证 1 sin x cos x
恒等式证明常用方法?
基本思路:由繁到简可以从左边往右边证，
因此
cos 1 sin 1 sin cos
化简
例5．化简
解：原式
1 sin 440
2
2
2

2
1 sin (360 80 ) 1 sin 80

cos 80 cos80
例6．化简解：原式
1 2sin40 cos40

sin 40 cos 40 2sin40 cos40
2 2
2 2
思考：对于商数关系哪些变形？
sin tan 可作 cos
sin cos tan ,
sin cos . tan

1.2.2同角三角函数的基本关系

sin 3 cos 3 １
2 2
练习1.化简下列各式
(1) cos tan
2 cos2 1 (2) 1 2 sin 2
1 cos 2 sin 2 2a 2 2 a
2
1 sin

2
cos
2
sin( ) 6 tan( ) 6 cos( ) 6
M O
你能利用三角函数的定义说明这个平方关系吗？由三角函数定义知： y 2 x 2 2 2 sin α＋cos α＝（）＋（） r r y2＋x2 = r2 r2 = r2 =1 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1.
你还能从三角函数定义出发，找到同一个角的三种三角函数间的联系吗？注意：今后凡没有 π 当α≠kπ+ （k∈Z）时特别注明，我们假定三 2 角恒等式都是在使两边 y sinα y r 都有意义的情况下的恒 = tan α = = x cosα x 等式． r 所以，同一个角的正弦与余弦的商等于这个角的正切.
3 例1：已知sinα= - 5，求cosα，tanα的值．解：因为sinα＜0，sinα≠-1，所以α是第三或第四象限角．由sin2α+cos2α=1，得 32 16 2 2 cos α=1-sin α＝1-（ - ） 5 ＝ 25 如果α是第三象限角，那么cosα＜0，于是 16 - 4 cosα= - 25 = 5 从而 3 5 3 sinα tanα= =（ - 5 ）×（ - 4 ）= 4 cosα
已知某个角的一个三角函数值，可求出它的其余三角函数值. 步骤：
分类讨论
先判断角的象限，再利用平方关系求解
变式二：已知tan 3, 求sin , cos值

高中数学人教A版必修4 第1章 1.2.2同角三角函数的基本关系式(二)

1＋sin α cos α ∴ ＝ cos α . 1－sin α
分析三因为左边分母为 1－sin α，故可将右式分子、分母同乘 1－sin α.
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1＋sin α1－sin α 方法三右边＝ cos α1－sin α 1－sin2α cos2α cos α ＝＝＝＝左边， cos α1－sin α cos α1－sin α 1－sin α
若设 sin α－cos α＝t，则 sin α－cos α＝
2
.
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1.2.2（二）
探究点一
三角函数式的化简
三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其
本课时栏目开关
基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累．化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式，常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角的三角函数与特殊值互化等．
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1.2.2（二）
请按照上述标准化简下列三角函数式：已知 α 是第三象限角，化简：
本答课时栏目＝开关
1＋sin α － 1－sin α
1－sin α . 1＋sin α
原式＝
1＋sin α2 － 1－sin α1＋sin α 1－sin α2 cos2α

21-22版：1.2.2　同角三角函数的基本关系（创新设计）

1.2.2 同角三角函数的基本关系
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学习目标 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系(重点).2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明(难点)．
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知识点同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：__s_in_2_α_＋__c_o_s_2α__＝__1___． (2)商数关系：_t_a_n_α_＝__cs_oi_ns_αα___(α_≠__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z_)________．
答案 B
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2．已知 sin α＝13，tan α＝－ 42，则 cos α＝( )
A．－2
2 3
B．2 3 2
C．－13
D．
2 4
解析由 sin α＝13>0，tan α＝－ 42<0，可知 α 是第二象限角， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－232．
答案 A
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＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
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课堂达标
1．若 cos α＝－45，且 α 是第二象限角，则 tan α 的值等于( )
A．34
B．－34
C．43
D．－43
解析由题意可得 sin α＝ 1－cos2α＝35， ∴tan α＝csoins αα＝－34．
课堂反馈
3．化简1＋cocsoθs θ－1－cocsoθs θ的结果是________．

同角三角函数的基本关系

§1.2.2 同角三角函数的基本关系
一、创设情境：
y P
问题1. 如图1，设是一个任意角，它的
终边与单位圆交于 P(x, y)，那么
sin y ； cos x ； tan
MO
y x (x 0)
A x
T
问题2. 如图1，三角函数线是：
正弦线 MP ；余弦线 OM ；正切线 AT .
问题3. 三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？
求(1) sin 2 cos 2sin 5cos
பைடு நூலகம்
2 13
(2)
1
sin 2 2sin cos
17 24
课本例题7 求证： cos 1 sin 1 sin cos
证明： cos 1 sin 1 sin cos
cos2 (1 sin 2 ) (1 sin ) cos
cos2 cos2 0 (1 sin ) cos
sin 2 cos2 1, R
sin
“1” ，
tan, (
k
）
,k
Z)
cos
2
（前提是“同角”，因此sin2 cos2 1, tan sin ） cos
（2）三角函数值的计算与证明
利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角的所在象限确定符号，即将角所在象限进行分类讨论。
右边 (1 tan x) cos x (1 tan x) cos x
(cos x sin x)2
(cos x sin x)(cos x sin x)
cos x sin x cos x sin x
cos x sin x
左边=右边

1.2.2_同角三角函数的基本关系

证明：证法一：∵sin2α＋cos2α＝1，∴1－cos2α＝sin2α， ∴(1＋cos α)(1－cos α)＝sin2α， 1＋cos α sin α ∴ ＝ . sin α 1－cos α 证法二：∵sin2α＋cos2α＝1，∴1－cos2α＝sin2α， sin α1＋cos α sin α ∴ ＝ 1－cos α 1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α 1＋cos α ＝＝ . sin2α sin α
∴ 1 cos θ＝2
3 sin θ＝ 2
或 cos
1 sin θ＝ 2 3 θ＝ 2
，又∵θ∈(0,2π)，
π π ∴θ＝或 θ＝ . 3 6
化解与证明
(1)化简： 1－2sin 20° cos 20° ； sin α－cos α＋1 1＋sin α (2)求证：＝ . cos α sin α＋cos同角三角函数的基本关系
1.2.2 同角三角函数的基本关系
课标点击
预习导学
典例精析
课堂导练
课堂小结
1．掌握同角三角函数的基本关系式并灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力． 2．灵活运用同角三角函数基本关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法．
证法三：∵sin2α＋cos2α＝1，∴1－cos2α＝sin2α， 1＋cos α sin α ∴ － sin α 1－cos α sin2α－1＋cos α1－cos α ＝ . sin α1－cos α sin2α＋cos2α－1 1－1 ＝＝＝0， sin α1－cos α sin α1－cos α 1＋cos α sin α ∴ ＝ . sin α 1－cos α

1.2.2 同角三角函数关系(2)

１．２．２同角三角函数关系(2)
学习目标
1.掌握同角三角函数的基本关系式; 2.会运用同角三角函数基本关系式进行简单的三角函数式的化简及恒等式证明.
自学指导
１．运用同角三角函数的基本关系式化简三角函数时要注意什么？２．你能从例4的两种方法发现什么？３．你能从课本第17页的图1-2-11中发现例4 的第三种证法吗？还有其他方法吗?
自主检测：P18练习5（1）、6（1）
1 例3.化简 tan 1, 其中是第二象限角. Байду номын сангаас sin
sin 1 cos 例4.求证 : . 1 cos sin
思考：课本第18页的图中隐藏了例４的“图形证明”，你能发现吗？
分层训练
必做题：Ｐ18 练习5(2)、6（2）（3）Ｐ22 : 9(1),10(2) 选做题：Ｐ23: 18（2）作业：Ｐ22 习题1.2: 9(2),10(1),11，18（1）

一年级【数学】1.2.2 同角三角函数的基本关系(人教A版必修4)2---第八版

2
7
sin2 a
3 cos2
a
=
____4____
2= 2sin2a 2cos2a
sina = sina (sin2a cos2a )
（3）sin3
sin a a 3cos3
a
=
____2____
tana
倒数关系
cota
公式运用之一
已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其它几个三角函数值。
sina
sin2 a cos2 a =1
cosa
sina = tana cosa
tana
例题（一）
例1 已知：sina = 0.8，且a 为第三象限角，求：cosa，tana ，cota 的值.
两边
cosa seca =1， a k (k Z)
2
都有意义 sina csca =1， a k (k Z)
1肖铮老师的实践与思考几个月的线上教学结束,通过学生返校复学的测试结果,对比过往的学情,发现本班的学生呈现出5类不同特质,且处在学习程度中段、低段的学生占比过半,调整学生的学习状态成为了当务之急,经过分析和梳理,肖老师开展了逐次递进的三个阶段教学拯救计划，成功不在于一瞬间的爆发，取决于途中的坚持，做企业也是这个道理，深耕教育行业10年,希沃也在此次展会中亮相,为大家带来了交互式教培场景解决方案,帮助教培行业更好地实现疫后信息化转型，惠州别墅 /，假期如有育儿问题，欢迎随时与我们的育儿顾问联系，再次感谢各位对我们的支持与信任，感恩、感谢!美育童优2020 年 6 月 22中高考在即，英语作文提分难，是让很多考生头疼的问题，此次在线研讨会,不仅让在场的教育工作者受益匪浅,更利于推动K12教育模式的改革,为未来教育信息化的普及应用夯实基础，上午九点,热情的客户们已陆续抵达现场,并通过云屏显示的二维码进行签到后落座