第7讲 比例法解行程(学生版)
六年级奥数-第七讲.行程问题(一).教师版
第七讲行程问题（一）教学目标：1比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：发车问题（1）、一般间隔发车问题。
用3个公式迅速作答；汽车间距=（汽车速度+行人速度）X相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）X追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度X汽车发车时间间隔（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：画图一一尽可能多的列3个好使公式一一结合s全程=vXt-结合植树问题数数。
（3）当出现多次相遇和追及问题一一柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法⑴ 火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和•⑶ 火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度•对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行接送问题根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图+列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。
时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。
第7讲函数、一次函数与正比例函数(原卷版)
第7讲函数、一次函数与正比例函数2.初步理解函数的概念，能判断两个变量间的关系，初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识3.理解一次函数和正比例函数的概念;4.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.5.了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基础上，掌握一次函数图象及其简单性质;6.经历对一次函数图象变化规律的探究过程,学会解决一次函数问题知识精讲1.变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
2.函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3.函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4.一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。
特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。
这时，y 叫做x 的正比例函数。
5.一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线6.一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。
7.正比例函数的性质一般地，正比例函数kx y =有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。
(完整版)六年级奥数比例解行程问题
_________________个性化辅导讲义年 级：时 间年 月 日课 题比例解行程问题教学目标1.了解物体匀速运动的特点。
2.掌握运用比例知识解决行程问题的方法。
3.培养想像力，增强思维力。
教 学 内 容【知识梳理】我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用来表示，大体可分为以下两种情况：,,v v t ts s 乙乙乙甲甲甲，；；1.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。
，这里因为时间相同，即,所以由s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙t t t ==乙甲s s t t v v ==甲乙乙甲乙甲，得到，，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比s s t v v ==甲乙乙甲s vs v=甲甲乙乙2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。
，这里因为路程相同，即，由s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙s s s ==乙甲s v t s v t =⨯=⨯乙乙乙甲甲甲，得，，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。
s v t v t =⨯=⨯乙乙甲甲v tv t =甲乙乙甲比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。
从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。
比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
【例题精讲】例题1 甲、乙两人同时地出发，在、两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，A A B甲每次到达地、地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在之间行走方向不会改变，A B AB已知两人第一次相遇的地点距离地米，第三次的相遇点距离地米，那么第二次相遇B1800B800的地点距离地。
行程比例关系
路程相同的情况下：速度比等于时间的反比速度相同的情况下：路程比等于时间的正比时间相同的情况下：路程比等于速度的正比实践出真知例1. 甲、乙两车的速度之比是5：3，两车分别从A、B两地同时出发并匀速行驶。
如果两车相向而行，则经过0.5小时相遇；如果两车同向而行，甲车追上乙车需要几小时？［分析与解］因为甲、乙两车的速度之比是5：3，所以可把A、B 两地之间的路程平均分为8小段，则当甲、乙两车相向而行相遇时，甲车行了5小段路程，乙车行了3小段路程，即0.5小时内甲车比乙车多行了2小段路程。
当甲、乙两车同向而行甲车追上乙车时，甲车要比乙车多行8小段路程，结合前面的分析，用比例法可求得甲多行这8小段路程需要（小时），即甲车追上乙车需要2小时。
例2. 一队伍以8千米/时的速度前进，队尾的一名战士有事要报告给队首的队长，当他以10千米/时的速度向前追上队长后，立即以同样的速度返回队尾，共用去10分，求队伍有多长？［分析与解］分析题意，可知队尾这名战士追及的路程和他返回队尾所行的路程都等于队伍的长。
这样，根据“追及问题”和“相遇问题”的计算关系式：追及路程＝速度差×追及时间、相遇路程＝速度和×相遇时间，可得：速度差×追及时间＝速度和×相遇时间，进而根据比例知识可得：相遇时间：追及时间＝速度差：速度和＝（10-8）：（10+8）＝1：9。
根据题意可知，相遇时间与追及时间的总和是10分，故可求得相遇时间是（分），追及时间是（分）。
所以，这个队伍长（千米）。
甲、乙，丙三个机器人参加跑步比赛，当甲跑到终点时，已离终点还有20千米，丙离终点还有40千米；当乙跑到终点时，丙离终点还有24千米。
问题：这次比赛要跑多少千米？问题：这次比赛要跑多少千米？看题后知道：乙跑到终点时，丙离终点还有40千米，而乙跑到终点时，丙离终点还有24千米，那么乙跑20千米的时间丙只跑了16千米，由此可知它们的速度比是5：4，时间比是4：5。
比例法解行程问题
比例法解行程问题
比例法解行程问题是一种常见的数学方法，可以用来解决有关行程问题的问题。
比例法的基本思想是将复杂的行程问题转化为简单的比例关系。
具体来说，如果一个行程问题中涉及到两个量，比如路程和时间，我们可以将它们的比例关系表示出来，然后通过比例关系来推导出问题的答案。
下面是比例法解行程问题的三个步骤:
1. 找到两个量的比例关系。
通常可以通过比较它们的长度、时间、体积等来找到它们的比例关系。
2. 根据比例关系列出比例式。
例如，如果两个量的比例关系是3:4，那么可以列出比例式 3/4。
3. 利用比例式推导出问题的答案。
例如，如果问题要求总共需要多少时间，可以利用比例式推导出答案:4 小时 = 总共需要时间
× 3，因此总共需要时间 = 4 ÷ 3 = 1.33 小时 (保留两位小数)。
比例法不仅可以解决常见的行程问题，还可以解决其他相似的问题，比如机械效率、生产率等问题。
比例行程问题
1. 会解一些简单的方程.2. 掌握寻找等量关系的方法来构建方程．比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。
从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。
比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，；；来表示，大体可分为以下两种情况：1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。
s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s st t v v ==甲乙乙甲乙甲， 得到s st v v ==甲乙乙甲，s v s v =甲甲乙乙，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。
s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =⨯=⨯乙乙乙甲甲甲， 得s v t v t =⨯=⨯乙乙甲甲，v tv t =甲乙乙甲，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。
模块一：比例初步——利用简单倍比关系进行解题【例 1】 甲、乙两车从相距330千米的A 、B 两城相向而行，甲车先从A 城出发，过一段时间后，乙车才从B 城出发，并且甲车的速度是乙车速度的56。
当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米，则甲车开出 千米，乙车才出发。
知识精讲教学目标比例解行程问题【例 2】甲乙两地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司机距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的13加上未走路程的2倍，恰好等于已走的路程，又知出租车的速度是30千米/小时，那么现在的时间是。
用比例法解行程问题
了 全 程 的 詈 × 吾 ＝ ， 乙 车 距 中 点 还 有 全 程 的 吾 一 ＝ ， 由 此 可 以
求出Ａ 、 Ｂ 两地的路程是 ３ ６ ＋杀 ＝ ２ ４ ０ （ 千米） 。
【 例２ 】 从 甲地到 乙地 ， Ａ车需要 行驶 １ ０小时 ， Ｂ车 需要 行驶 ８小 时。 现
在 两车 分别从 甲、 乙两地 同时 出发 ， 相 向而行 ， 相遇 时 ， Ａ车 离 中点还 有 ３ ０
间： 追及 时 间＝速 度差 ： 速度 和 …（ １ ０ ８ ） ： （ １ ０＋ ８ ） ＝１ ： ９ 。根据 题 意可 知 ， 相
１
遇 时 间与 追及 时间的总和 是 １ ０ 分钟 ， 故可求得 相遇 时间是 １ ０ ｘ
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＝１ （ 分）
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钟， 追 及 时间是 １ ０ ｘ
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・ ～ 用 ， ＂ １ ４ 比例 法解 行程 问题
。
江西
文 辉
在 行程 问题 中， 如果 时间一 定 ， 那 么路程 和速度 成正 比例 ； 如 果路程 一
定， 那 么 时间和速 度成 反 比例 ； 如 果速度 一 定 ， 那么 路程 和时 间成 正 比例 。
利用这 些性 质 ， 可 以很 方便地 解答 一些较 复 杂 的行 程 问题 。
还有 ３ ０千米 ” 可知， 相遇 时 Ｂ车 比 Ａ车 多行 了 ３ ０ ｘ ２ ＝６ ０ （ 千米 ） 。所 以甲、
乙 两地相距６ ０ ＋ ￣ － ＝ ５ ４ ０ （ 千米） 。
铸
浙江 陶 云娥
在学 习 《 长方体 和 正方体 》 时， 双胞 胎 马大虎 和 马小虎 都 出现 了错误 。 现在， 让 我们 一起 来看 看他俩 错 在哪 儿 了。 【 例１ 】 一 个 长方体 由 ３个 同样 大小的正 方体拼 成 ， 如 果去掉 旁边 的一 个 正 方体 ，长方体 的表 面积 就减 少 ２ ４ ｃ ｍ 。原 长方体 的 表 面积是 多少平
2012第7讲—比例与行程问题
2012小升初数学第7讲——比例法解行程问题应用题【要点】行程问题中：1、路程一定，时间和速度成反比；2、时间一定，路程和速度成正比；3、速度一定，路程和时间成正比。
【例1】一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶50千米，返回时每小时行60千米，已知去时用6小时，那么返回时用几小时？【自我完成】一辆汽车从甲地到乙地，去时每小时行驶45千米，返回时每小时行50千米，问这辆汽车去时和返回时所用的时间比。
【例2】一辆汽车从甲地到乙地，每小时行40千米，返回时每小时行50千米，已知去时比返回时多用151小时，那么去时用了多少时间？甲、乙两地相距多少千米？（两种方法）【自我完成】一辆汽车从甲地到乙地，每小时行48千米，返回时每小时行60千米，返回时比去时少用了48分钟，那么去时用了多少时间？甲、乙两地相距多少千米？（两种方法）【强化提高】一辆汽车从甲地到乙地，每小时行60千米，返回时速度减小了51，已知去时比返回时多用151小时，那么去时用了多少时间？甲、乙两地相距多少千米？（两种方法）【例3】甲、乙两辆汽车从A 、B 两地相向而行，当甲车行了全程的41时，乙车行了全程的31，当乙车行完全程时，甲车距终点还有20千米。
问A 、B 两地相距多少千米？【自我完成】甲、乙两辆汽车从A 、B 两地相向而行，当甲车行了全程的52时，乙车行了全程的31，当甲车行完全程时，乙车距终点还有15千米。
问A 、B 两地相距多少千米？【强化提高】A 、B 两地相距380千米，甲、乙两车同时分别从A 、B 两地出发相向而行，当甲车行了全程的32时，乙车行了全程53的。
那么甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？作业：1、一辆汽车从甲地到乙地，每小时行40千米，返回时每小时行50千米，已知去时比返回时多用1小时，那么去时用了多少时间？甲、乙两地相距多少千米？（两种方法）2、甲、乙两辆汽车从A 、B 两地相向而行，当甲车行了全程的53时，乙车行了全程的43，当甲车行完全程时，乙车距终点还有30千米。
小学六年级奥数专项-行程问题(包括解题过程).
第七讲行程问题〔一〕教学目标：1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：发车问题〔1〕、一般间隔发车问题。
用3个公式迅速作答；汽车间距=〔汽车速度+行人速度〕×相遇事件时间间隔汽车间距=〔汽车速度-行人速度〕×追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔〔2〕、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。
（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.接送问题根据校车速度〔来回不同〕、班级速度〔不同班不同速〕、班数是否变化分类为四种常见题型：〔1〕车速不变-班速不变-班数2个〔最常见〕〔2〕车速不变-班速不变-班数多个〔3〕车速不变-班速变-班数2个〔4〕车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图＋列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。
时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。
(完整版)比例解行程问题
巧用比例解行程问题精品教案〖学情分析〗〖教学重点〗掌握比例法解行程问题的思路方法〖教学难点〗正确判断和转化题中成比例的量〖考点分析〗属课外拓展内容，用来对付较棘手的行程问题〖教学过程〗巧用比例解行程问题一、教学链接1、了解家长的反馈意见；2、检查学生的作业，及时指点3、捕捉学生的思想动态4、课前小测10分背∏值.二、教学内容方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识：速度一定，时间和路程成正比；时间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比。
分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。
也可以从题意的叙述中找出等量关系,从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关系求解。
例1：甲、乙两车的速度比是4：7，两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？甲乙两车的速度比是4:7，同一时间内两个物体经过的路程的比等于它们的速度的比，所以相遇时，甲乙两车所行的路程比也是4:7。
相遇时乙比甲多行了15*2=30千米两地相距（15+15）÷（7-4）=10 （4+7）×10=110千米边讲边练：1、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，AB两地相距多少千米？例2：两列火车同时从两个城市相对开出,6。
5小时相遇.相遇时甲车比乙车多行52千米，乙车的速度是甲车的错误!。
求两城之间的距离.6。
5×(52×2+52×3）=1690边讲边练:1、甲、乙两车分别从AB两地同时相向而行，3小时相遇。
已知甲车行1小时距B地340千米,乙车行1小时距A地360千米。
AB两地相距多少千米？(420）2、客车由甲城到乙城需行10小时，货车从乙城到甲城需行15小时,两车同时相向开出，相遇时客车距离乙城还有192千米，求两城间的距离。
例3:甲、乙两车同时从AB 两地相对而行，5小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是2：3，甲车行完全程需多少小时?已知甲、乙两车速度的比是2：3,则甲乙两车的时间比是3：2边讲边练：甲、乙两车同时从AB 两地相对而行，4小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是3:5，乙车行完全程需多少小时？例4：客车和货车同时从AB 两地相对开出，客车每小时行60千米，货车每小时行全程的错误!,相遇时客车和货车所行路程的比是5：4。
(完整版)比例解行程问题题库doc
比例解行程问题比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。
从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。
比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，；；来表示，大体可分为以下两种情况： 1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。
s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s s t t v v ==甲乙乙甲乙甲， 得到s s t v v ==甲乙乙甲，s v s v =甲甲乙乙，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比 2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。
s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =⨯=⨯乙乙乙甲甲甲， 得s v t v t =⨯=⨯乙乙甲甲，v t v t =甲乙乙甲，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。
模块一：比例初步——利用简单倍比关系进行解题【例 1】 （难度等级 ※※※）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追知识精讲他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【解析】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。
五年级奥数-用比例解行程问题(含答案解析)
1. 理解行程问题中正比例和反比例关系．2. 用比例和份数思想解行程问题．本讲是在秋季所学的火车过桥和流水行船的行程问题基础上，讲解运用比例性质解多次相遇追及行程问题．体会比例解决问题的优势．距离、速度、时间这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度⨯时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量，这是我们在小学课堂中经常解决的问题．同时对于三者之间的关系，我们还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S 甲、S 乙；速度分别为V 甲、V 乙；所用时间分别为T 甲、T 乙时，由于S V T =⨯甲甲甲，S V T =⨯乙乙乙，有如下关系：⑴当时间相同即T T =乙甲时，有::S S V V =乙乙甲甲； ⑵当速度相同即V V =乙甲时，::S S T T =乙乙甲甲； ⑶当路程相同即S S =乙甲时，::V V T T =乙乙甲甲．【例 1】 甲、乙二人分别从A 、B 两地同时相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲到B 地、乙到A 地后立即返回．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A 、B 两地相距＿＿＿千米．用比例解行程问题用比例解多次相遇问题乙21BA【分析】 因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此:30:203:2S V V ===乙乙甲甲:S ，设全程为5份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了2份，所以C 是第一次相遇地点，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB ，因此从开始到第二次相遇，甲、乙共走了3个全程，一个全程甲走3份，3个全程甲共走339⨯=份，所以D 是第二次相遇地点，由图看出DC 是2份．但已知DC 是20千米，所以AB 的长度是20÷2⨯(2+3)=50(千米)．(也可以用乙进行计算)［铺垫］ 甲、乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？［分析］ (方法一)10分钟两人共跑了(3+2)⨯60⨯10=3000 米 3000÷100=30个全程．我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇(不包括追上)1，3，5，7，，29共15次． (方法二)第一次两个人相遇需要100÷(3+2)=20(秒),从第一次开始到第二次相遇要走两个全程需要：200÷(3+2)=40(秒)所以一个相遇：(10⨯60-20)÷40+1=15.5(次)，即为15次．［拓展］ 老师可以把【例 1】的问题改为：已知两个人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么A 、B 两地相距多少千米？［分析］ 由此推出,第三次相遇甲乙共走：3⨯2-1=5(个全程)，甲走了：3⨯5=15(份)在B 点，第四次相遇甲乙共走：4⨯2-1=7(个全程)，甲走了：3⨯7=21(份)在D 点,已知BD 是20千米，所以AB 的长度是20÷4⨯(2+3)=25(千米)．【例 2】 甲、乙二人同时从A 地出发同向而行去往B 地，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲、乙到B 地后立即返回A 地．已知二人第三次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米(两人相遇指迎面相遇)，那么，A 、B 两地相距＿＿＿千米．FE乙甲21DCBA【分析】 因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此::30:203:2S S V V ===乙乙甲甲，设全程为5份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了2份，第一次相遇，甲、乙一共行了两个全程，一个全程甲走3份，2个全程甲共走了326⨯=(份)所以C 是第一次相遇地点，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB ，因此从开始到第二次相遇，甲、乙共走了4个全程，一个全程甲走3份，4个全程甲共走3412⨯=份，所以D 是第二次相遇地点，由图看出DC 是2份．但已知DC 是20千米，所以AB 的长度是20÷2⨯(2+3)=50(千米)．(也可以用乙进行计算)［拓展］ 老师可以把【例 2】的问题改为：已知两个人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么A 、B 两地相距多少千米？［分析］ 由此推出,第三次相遇甲乙共走：3⨯2=6(个全程)，甲走了：3⨯6=18(份)在第D 点，第四次相遇甲乙共走：4⨯2=8(个全程)，甲走了：3⨯8=24(份)在F 点,已知DF 是20千米，所以AB 的长度是20⨯(2+3)=100(千米)．［总结］ 设一个全程中甲走的路程为M ,乙走的路程为N⑴甲乙二人从两端出发的直线型多次相遇问题： ⑵ 同一出发点的直线型多次相遇问题【例 3】 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，在A 、B 两地之间不断往返行驶．甲车速度是乙车速度的37，并且甲、乙两车第2008次相遇的地点和第2009次相遇的地点恰好相距120千米(注:当甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇)，那么，A 、B 两地之间的距离是多少千米？ 20092008甲DBA【分析】 因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此3:7S V V ==乙乙甲甲：S ：，设全程为10份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了7份，通过总结的规律分析第2008次相遇时，甲走：(2008⨯2-1)⨯3=12045(份)，120451012045÷=，所以第2008次相遇地点是在从A 地向右数5份的C 点，第2009次相遇时甲走：(2009⨯2-1)3⨯=12051(份)，120511012051÷=，所以第2009次相遇地点在从B 点向左数1份的D 点，由图看出CD 间距离为4份，A 、B 两地之间的距离是120410300÷⨯=(千米)．［总结］ 对于份数比较大找相遇地点时，用甲走的总份数除以全程份数，得到商和余数，当商为偶数时，从甲的出发点向终点数余数的份数即为相遇地点，当商为奇数时，从终点向甲的起点数余数的份数即为相遇地点［巩固］ 甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，往返跑步．甲每分跑180米，乙每分跑240米．如果他们的第100次相遇点与第101次相遇点的距离是160米，求A 、B 两点间的距离为多少米？101100乙甲A相遇次数 甲乙共走的路程和 甲共走的路程 乙共走的路程1 1 M N2 3 3M 3N3 5 5M 5N… … … …n 21n - (21)n M - (21)n N - 相遇次数 甲乙共走的路程和 甲共走的路程 乙共走的路程1 2 M N 2 4 4M 4N 3 6 6M 6N … … … … n2n 2nM 2nN［分析］因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此180:2403:4S V V====乙乙甲甲：S：，设全程为7份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了4份，通过总结的规律分析第100次相遇时，甲走：(100⨯2-1)⨯3=597(份)，5977852÷=，所以第100次相遇地点是在从B地向左数2份的C点，第101次相遇时甲走：(101⨯2-1)3⨯=603(份)，6037861÷=，所以第101次相遇地点在从A点向右数1份的D点，由图看出CD间距离为4份，A、B两地之间的距离是16047280÷⨯=(米)．【例 4】小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走(到达另一村后就马上返回)，他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第六次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)？【分析】画示意图如下.2123.5乙甲第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了3.5⨯3=10.5(千米).从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是10.5-2=8.5(千米).第六次相遇时，两人已共同走了两村距离26111⨯-=倍的行程.其中张走了3.51138.5⨯=(千米)，38.58.54 4.5÷=，就知道第六次相遇处，离乙村4.5千米.［巩固］甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.［分析］第二次相遇两人总共走了3个全程，所以甲一个全程里走了4千米，三个全程里应该走4⨯3=12千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米，所以两次相遇点相距9-(3+4)=2千米．【例 5】A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑．甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动．甲、乙两人在第几次相遇时距A地最近？最近距离是多少米？【分析】(300240)302400 6.75+⨯÷=(个)，即甲乙共行了6.75个全程，共相遇了3次，甲乙两人的速度比是300:2405:4=，设全程为9份，第一次相遇甲行5份，乙行4份，所以第一次相遇地点距A地是全程的59，第二次相遇时两人共行了３个全程，甲行的距A地9(359)3-⨯-=份，所以第二次相遇地点距A地是全程的13，第三次相遇时两人共行了5个全程，55927⨯÷=甲行的距A地7份，所以第三次相遇地点距A地是全程的79，所以第二次相遇距A地最近，最近距离是124008003⨯=(米)【例 6】A、B是一圈形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙两人分别从A、B两点同时沿相反方向绕道匀速跑步(甲、乙两人的速度未必相同)，假设当乙跑完100米时，甲、乙两人第一次相遇，当甲差60米跑完一圈时，甲、乙两人第二次相遇，那么当甲、乙两人第二十一次相遇时，甲跑完几圈又几米？【分析】 甲、乙第一次相遇时共跑0.5圈，乙跑了100米；第二次相遇时，甲、乙共跑1.5圈，则乙跑了1003300⨯=米，此时甲差60米跑一圈，则可得0.5圈是30060240-=米，一圈是480米． 第一次相遇时甲跑了240100140-=米，以后每次相遇甲又跑了1402280⨯=米，所以第二十一次相遇时甲共跑了：140280(211)5740+⨯-=(米)，574048011460÷=．即跑完11圈又460米．［铺垫］ 甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇．求此圆形场地的周长？［分析］ 第一次相遇，两人共走了0.5圈；第二次相遇，两人共走了1.5圈．所以第二次相遇时，乙一共走了BAD 1003300=⨯=(米)，又知到AD 60=(米)，所以圆形场地的半周长为30060240-=(米)，那么，周长为2402480⨯=米．【例 7】 A 、B 两地相距13.5千米，甲、乙两人分别由A 、B 两地同时相向而行，往返一次，甲比乙早返回原地，途中两人第一次相遇于C 点，第二次相遇于点D ，CD 相距３千米，则甲．乙两人的速度比是为多少？【分析】 方法一：根据题意画图如下乙甲21DB设甲、乙第一次相遇时分别走的路程为x 千米，y 千米，依题意列方程组得，3313.53313.5x y y x --=⎧⎨+-=⎩解得7.56x y =⎧⎨=⎩，所以甲乙的速度比，即为甲乙路程比7.5:65:4==方法二：用甲、乙代表两个人第一次相遇走的路程，可以整体的分析从开始到第二次相遇甲走的路程为：3⨯甲，乙走的路程为：3⨯乙，甲乙二人的路程差为：3⨯(甲-乙)；分开考虑甲一共走的路程为：一个全程+乙+3，乙一共走的路程为：一个全程+甲-3，两个人的路程差为：(一个全程+乙+3)－(一个全程+甲-3)=乙-甲+6.综合列式为：3(甲-乙)=乙-甲+6，得到：甲-乙=1.5，由于，甲+乙=13.5，所以甲=7.5(千米)，乙=6(千米)，所以甲乙的速度比，即为甲乙路程比7.5:65:4==．【例 8】 两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米．甲、乙两车同时分别从相距90米的A ，B 两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B 点时，甲车过B 点后恰好又回到A 点．此时甲车立即返回(乙车过B 点继续行驶)，再过多少分与乙车相遇？DC 甲B A乙甲ABC乙甲AB【分析】 设右图中C 表示甲、乙第一次相遇地点．因为乙从B 到C 又返回B 时，甲恰好转一圈回到A ，所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C 点距B 点809090-=(米)．因此相同时间内，甲乙所行路程比为180:902:1=，所以甲乙二人的速度比为2:1，因此乙每分行驶20210÷=(米)，甲、乙第二次相遇，即分别同时从A ，B 出发相向而行相遇需要90(1020)3÷+=(分)．［拓展］ 如图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形．甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？乙甲［分析］ 甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长，当甲追上乙一条边(300米)需300(9070)15÷-=(分)，此时甲走了9015300 4.5⨯÷=(条)边，甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙．甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可看到乙，共需2300590163⨯÷=分钟，即16分40秒．【例 9】 甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A 、B 两地的距离．【分析】 先画图如下：C262666乙甲BA方法一: 若设甲、乙二人相遇地点为C ，甲追及乙的地点为D ，则由题意可知甲从A 到C 用6分钟.而从A 到D 则用26分钟，因此甲从C 走到D 之间的路程时，所用时间应为：26620-=(分)．用比例解其他行程问题同理乙从C走到D之间的路程时，所用时间应为：26632+=(分)，所以相同路程内甲乙所用时间比为20:325:8=，因此甲、乙二人的速度比为8:5，所以甲的速度为505880÷⨯=(米/分)，A、B两地的距离为(8050)6780+⨯=(米)，或(8050)26780-⨯=(米)方法二：设甲的速度是x米/分钟那么有(50)26(50)6x x-⨯=+⨯解得80x=A、B两地的距离为(8050)6780+⨯=(米)，或(8050)26780-⨯=(米)［拓展］甲、乙两人分别从Ａ、B两地同时相向出发．相遇后，甲继续向B地走，乙马上返回，往Ｂ地走．甲从Ａ地到达B地．比乙返回Ｂ地迟0.5小时．已知甲的速度是乙的34．甲从Ａ地到达地Ｂ共用了多少小时?［分析］相遇时，甲、乙两人所用时间相同．由题意知，甲乙二人速度比为3:4，所以甲乙二人所行的路程比为3:4，从相遇到返回B地，甲乙所行路程相同，所以返回所用时间比为4:3，又知甲从Ａ地到达B地比乙返回B地迟0.5小时，即从相遇点到B地这同一段路程中，甲比乙多用0.5小时．可求出从相遇点到B地甲用了0.542⨯=(小时)，相遇时，甲乙二人所行的路程比为3:4，甲用时为243 1.5÷⨯=(小时)甲从Ａ地到达地Ｂ共用2 1.5 3.5+=(小时)【例10】一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20％，可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30％，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？【分析】设原速度是1. 后来速度为(120%) 1.2+=，速度比值：1:(120%)5:6+=这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.时间比值6:5这样可以把原来时间看成6份，后来就是5份，这样就节省1份，节省1个小时．原来时间就是1⨯6=6小时．同样道理，车速提高30％，速度比值：1:(130%)10:13+=时间比值：13:10这样节省了3份，节省1小时，可以推出行驶一段时间后那段路程的原时间为13 3所以前后的时间比值为(6-133):1335:13=．所以总共行驶了全程的5135=+518.［巩固］(第三届走美试题)从上海开车去南京，原计划中午11：30到达．但出发后车速提高了17，11点钟就到了．第二天返回，同一时间从南京出发．按原速行驶了120千米后，再将车速提高16，到达上海时恰好11：10．上海、南京两市的路程是千米．［分析］由题意设原来速度和车速提高了17后速度比为7:8，则所用时间比为8:7，设原计划用时8份，提速后用时7份，差的一份正好是30分钟，,则原计划用时为240分钟,返回时间缩短20分钟，是由于车速提高16，原来计划速度与返回提速后速度比为6:7，则返回提速后这段路程内所用时间比为7:6，设这段路程原计划用时7份，提速后用时为6份，差的一份正好是20分钟，所以返回提速后用时120分钟，原计划用时140分钟，则原速行驶120千米用时240140100-=(分钟)，上海、南京两市的路程是120100240288÷⨯=(千米)【例11】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:2,他们第一次相遇后甲的速度提高了20﹪，乙的速度提高了30﹪，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？【分析】 因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为3:2，设第一次相遇时甲、乙两人行的路程分别是3份，2份相遇后，甲、乙两人的速度比为[][]3(120%):2(130%)18:13⨯+⨯+=，到达B 地时，即甲又行了2份的路程，这时乙行的路程和甲行的路程比是13:18，即乙的路程为21318⨯=419．乙从相遇后到达A 还要行3份的路程，还剩下4531199-=(份)，正好还剩下14千米，所以1份这样的路程是514199÷=(千米)．A 、B 两地有这样的325+=(份)，因此A 、B 两地的总路程为：9545⨯=(千米)【例12】 (第五届走美决赛试题)小王8点骑摩托车从甲地出发前往乙地，8点15追上一个骑车人．小李开大客车8点15从甲地出发前往乙地，8点半追上这个骑车人．小张8点多也从甲地开小轿车出发前往乙地，速度是小李的1.25倍．当他追上骑车人后，速度提高了20％．结果小王、小李、小张三人一同于9点整到达乙地．小王、小李、骑车人的速度始终不变．骑车人从甲地出发时是 点 分，小张从甲地出发时是8点 分 秒．【分析】9：009：009：009：00骑车人小张小李8：15小王8：00乙地15分15分由题意知小王与小李从甲地到乙地所用时间分别是60分、45分，因此小王与小李的速度比是3:4，又小张速度是小李的1.25倍，因此小王、小李、小张的速度比为3:4:5，设小王、小李、小张的速度分别为3、4、5.由上图可以看小李比小王15分钟多行的路程恰是骑车人15分钟的路程，因此骑车人的速度为(43)15151-⨯÷=，即小王的速度是骑车人的3倍，而小王追上骑车人要15分钟，所以骑车人行这段路程要45分钟，因此骑车人是8点30分出发的．小王从甲地到乙地要1小时，可知全程为603180⨯=，因此骑车人到乙地要3小时，骑车人在9点时恰好行了全程的一半，由题意小张追上骑车人后速度变为6，从追上骑车人到到达乙地小张比骑车人多行了180290÷=，因此小张以速度6行驶路程所用时间为90(61)18÷-=(分)，所行路程为186108⨯=，则追赶骑车人所用时间为(180108)514.4-÷=(分)，因此小张从甲地到乙地共用时间为1814.432.4+=(分)=32分24秒，即小张从甲地出发时是8点27分36秒［巩固］ 甲从A 出发步行向B ．同时，乙、丙两人从B 地驾车出发，向A 行驶．甲乙两人相遇在离A 地3千米的C 地，乙到A 地后立即调头，与丙在C 地相遇．若开始出发时甲就跑步，速度提高到步行速度的2.5倍，则甲、丙相遇地点距A 地7.5千米．求AB 两地距离． ［分析］ 设BC 间的路程为S ，甲的速度为v 甲，乙的速度为v 乙，丙的速度为v 丙，由题意知，3v v S=甲乙，6v S v S +=乙丙,则36)v S v S S ⨯+=⨯甲丙（，甲提速后速度变为2.5v 甲．则2.57.5(7.53)v v S =--甲丙，即34.5v v S =-甲丙，所以36)34.5S S S S ⨯+=⨯-（，解得18S =，所以AB 两地间路程为18321+=(千米)1.甲、乙两车同时分别从相距55千米的AB 两地相向开出，甲行驶了23千米后跟乙相遇，相遇后两车继续前进，到达对方出发地后立刻返回．问：⑴ 第2次相遇点距B 地多少千米？⑵第6次相遇点距A 地多少千米？【分析】 通过分析，我们可以发现：一个全程里甲走23千米，⑴ 第2次相遇共3全程，故甲走了23⨯3=69(千米)，甲走了一个全程多了一点，故距离B 地就是69-55=14(千米)．⑵第6次相遇总共是11个全程，故甲走了23⨯11=253(千米)，25355433÷=，甲走了4个全程多点，多的那部分就是我们要求的距A 的距离为：33千米．2. 甲、乙两列车同时从A 、B 两地相对开出，第一次在离A 地75千米处相遇．相遇后继续前进，到达对方出发地后都又立刻返回，第二次相遇在离B 地55千米处，求A 、B 两地相距多远．【分析】 通过画图找出行程之间的关系．第一次相遇就相当于甲车和乙车一共走了一个全程，根据总结：第2次相遇总共走了3个全程，则甲就走了3个75千米，3⨯75=225千米，画图可以知道甲走了一个全程多了那55千米，所以全程为225-55=170千米．3. 甲、乙两车分别从A 、B 两地出发，并在A 、B 两地间不断往返行驶，已知甲车的速度是15千米／小时，乙车的速度是25千米／小时，甲乙两车第三次相遇地点与第四次相遇的地点相差100千米，求A 、B 两地的距离是多少千米？【分析】 甲、乙两车的速度比为：15:253:5=，所以可以把全程分成8份，每走一个全程甲走3份，乙走5份，第三次相遇甲乙共走：3215⨯-=(个全程)，甲走了：3515⨯=(份)，第四次相遇甲乙共走：4217⨯-=(个全程)，甲走了：3721⨯=(份),画图知到两次相遇点100米是4份，所以AB 的长度是10048200÷⨯=(千米)．4. 甲、乙两车的速度分别为52千米／时和40千米／时．他们同时从A 地出发去B 地，在A 、B 两地间往返而行，从开始走到第三次相遇，共用了6小时．A 、B 两地相距多少千米？【分析】 从开始走到第一次相遇，两车走的路程是两个AB 之长；而到第三次相遇，两车走的路程总共就是6个AB 之长是：(52+40)⨯6=552(千米)，A 、B 两地相距的路程是：552÷6=92(千米)．5. 一列火车从甲地开往乙地，如果将车速提高，可以比原计划提前1小时到达；如果先以原速度行驶240千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.求甲、乙两地之间的距离及火车原来的速度.【分析】 根据题意可知车速提高后与原来速度比为(1+20％) :1=6:5,由于所行路程相同，所以所用时间比为5:6，所差时间是1小时，即1份是1小时，所以原来行完全程需要6小时，同理可求出行完240千米后所用时间为40⨯5=200(分钟)=133(时)，所以行240千米所用时间为6-133=83(时)，火车速度为240÷83=90(千米/时)，甲乙两地间的距离为90⨯6=540(千米)6.一只小船第一次顺流航行65千米，逆流航行21千米，一共用了10小时；第二次顺流航行20千米，逆流航行12千米，用了4小时．那么船在静水中航行64千米需要多长时间？【分析】如果把第二次航行中顺流和逆流的航程增加到2.5倍，显然时间会变成：4 2.510⨯=小时；顺流航行20 2.550⨯=千米；逆流航行12 2.530⨯=千米．而第一次航行也是花了10小时，但是顺流航程和逆流航程分别是65和21千米．通过比较很容易看出第二次航行比第一次少了，655015-=千米的顺流航程，但是多了30219-=千米的逆流航程．顺流走15千米所花的时间和逆流走9千米所花的时间相等，由此可知顺流速度和逆流速度比应该是15:95:3=，因此相同时间内顺水路程和逆水路程比为5:3，逆流航行21千米相当于顺流航行35千米，所以顺水速度为(6535)1010+÷=(千米/时)，逆水速度为10536÷⨯=(千米/时)，静水速度为(106)28+÷=(千米/时)，船在静水中航行64千米需要6488÷=(小时)。
小学数学比例解行程课件六年级小升初讲课上课PPT教学课件
比例解行程（笔记）
☆行程的正比模型
②当......时，时间相同，考虑路程与速度的正比例关系！
比例解行程（笔记）
☆行程的正比模型
②当......时，时间相同，考虑路程与速度的正比例关系！
例：②当甲行全程的一半时,乙还剩30%。
比例解行程（笔记）
☆行程的正比模型
①相遇、追及，考虑路程与速度的正比例关系！ （并画线段图找全程的份数关系） ②当......时，时间相同，考虑路程与速度的正比例关系！
探索新知
练：甲从A地到B地要行10小时，乙从B地到A地要6小时。 现在两人同时从AB两地出发，相向而行，结果在离中点24 千米的地方相遇。求AB两地之间共多少千米？
探索新知
例8：甲、乙两人同时从A地去B地,他们各自的速度不变。 当甲行全程的一半时,乙还剩30%,当乙行完全程时，甲离B 地还有200千米。求A、B两地相距多少千米?
比例解行程（笔记）
☆行程的正比模型
比例解行程（笔记）
☆行程的正比模型
①相遇、追及，考虑路程与速度的正比例关系！ （并画线段图找全程的份数关系）
比例解行程（笔记）
☆行程的正比模型
①相遇、追及，考虑路程与速度的正比例关系！ （并画线段图找全程的份数关系）
例：①小明和小军同时从甲乙两地相向而行,他们的速度比是6:5
探索新知
练：哥哥和弟弟同时从家出发到学校,哥哥与弟弟的速度比 是5:4,弟弟到学校要要20分钟,哥哥到学校需要多少分钟?
探索新知
例4：小军上山每分钟行40米,沿原路下山每分钟行60米,比 上山少用8分钟,求上山走了多少米?
探索新知
练：小军上山每分钟行60米,沿原路下山每分钟行100米,比 上山少用10分钟,求下山走了多少米?
比例解行程
4、学生将路程看成分数，自主探究，求出A、B两
3、求出甲乙二人是速度比， 二人的路程比。
地的总路程，
4、利用份数法求全程。
总结：路程相同时间与速度成反比，时间相同速度 5、做出总结
与路程成正比。
教 学 过 程
授 新 课
经
典 解 析
例五、行程问题中，路程相同速度与时间成反比的 运用。
例五、1、读题后找到题中相 等的量，判断应该是正比的
卓众教育
授课 教师
陈雪
课题
铺学生金榜题名路，圆家长望子成龙梦
卓众教育.教案设计
行程问题：方程与比例 （一）
授课班级
五年级精英班
教
学 目
1、正比例与反比例 2、行程问题中的正比与反比关系 3、相遇、追及：两个人的时间是相等的
标
教
学 重
行程问题中的正比与反比关系。 时间相等：速度与路程成正比 速度相同：时间与路程成正比
正比：人吃的越多就长得越胖，吃的越少就越瘦。
同时增加或减少
反比：人吃的越到就跑的越慢，吃的越少就跑的越
快。一个增加另一个减少
2、行程问题的基本公式：路程=速度×时间
（1）路程相等，速度与时间成反比。跑的越快用
授 新
பைடு நூலகம்
的时间就越少。
学生记录教师讲解知识点，
课
如甲速：乙速=1:2 甲时：乙时=2:1
做好正反比例的例子。
我型我秀2、3题
出 门 测
课 后 落 实
教 学 反 思
行程问题中的三个比例关系
1、讲解例1、例4 2、收获拓展大检阅，书面作业
（2）时间相等，路程与速度成正比。跑的越快跑 回答行程问题的基本公式，
五年级奥数.行程.发车问题(ABC级).学生版
发车问题要注意的是两车之间的距离是不变的。
可以用线等距离连一些小物体来体会进车队的等距离前进。
还要理解参照物的概念有助于解题。
接送问题关键注意每队行走的总时间和总路程，是寻找比例和解题的关键。
一、 常见发车问题解题方法间隔发车问题，只靠空间理想象解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助，但是一旦掌握了3个基本方法，一般问题都可以迎刃而解。
（一）、在班车里——即柳卡问题不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间——距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
（二）、在班车外——联立3个基本公式好使（1）汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔（2）汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔（3）汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔（三）、三个公式并理解汽车间距=相对速度×时间间隔二、综上总结发车问题可以总结为如下技巧（1）、一般间隔发车问题。
用3个公式迅速作答；（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s 全程＝v ×t -结合植树问题数数。
（3） 当出现多次相遇和追及问题——柳卡知识框架发车问题【例 1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？【考点】行程问题之发车间隔 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．他先画了如下一幅图：这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．【答案】15艘【巩固】 甲、乙两站从上午6时开始每隔8分同时相向发出一辆公共汽车，汽车单程运行需45分。
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【例题6】 甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度相等都是 千米/小时，学校有一 辆汽车，它的速度是每小时 千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生在 最短时间内到达公园，设两地相距 千米，那么各个班的步行距离是 千米．
【例题7】 如图， ， 为 的三等分点； 点整时甲从 过几分钟后丙也从 出发匀速向 行走；甲，乙在 点相遇时丙恰好走到 点， 甲、丙 相遇时乙恰好到 ．那么，丙出发时是 点__________分．
三、模块3 行程中的反比例
【例题8】 一辆车从甲地开往乙地．如果车速提高 驶 米． 千米后，再将车速提高 ，可以比原定时间提前 小时到达;如果以原速行 千
【练习2】 艾迪和薇儿从学校出发去公园，二人的速度比为 儿走到公园要用 分钟？ ，艾迪走到公园用了 分钟，请问薇
【例题2】 回答下列问题： （1）甲乙两人的速度比为 ，两人同时出发，行走的时间比为 ，则甲，乙走的路程比为 : ； ，甲乙的速度比为 ，则甲乙的时间比为
（2）甲乙两人要走的路程比为 : ；
【作业2】 客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货 车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的 ，甲、乙两城相距 千米.
【作业3】 甲、乙两人分别从 、 地走．甲从 地到达 达 地共用了 两地同时相向出发．相遇后，甲继续向 地．比乙返回 小时． 地迟 地走，乙马上返回，往
小时．已知甲的速度是乙的 ．甲从 地到
【作业4】 甲、乙两列火车的速度比是 ，乙车先出发，从 站开往 站，当走到离 站 千米的地 ，那么， 、
方时，甲车从 站出发开往 站．两车相遇的地方离 、 两站的距离比是
两站之间的距离是
千米．
【作业5】 小明跑步速度是步行速度的 倍，他每天从家到学校都是步行．有一天由于晚出发 分钟， 他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样．那么小 明每天步行上学需要时间 分钟．
【例题5】 早上 ，菲菲从家步行去上学， 分钟后，狗狗出发跑去追她，在离家 米的地方追上
了她;追上后立刻往家跑去，到家后又立刻回去追菲菲，在离家
米的地方再次追上了
她，追上后又立刻往家跑去，到家后又立刻去追菲菲，刚好在学校追上．请问： （1）狗的速度是菲菲的多少倍? （2）菲菲家到学校的距离为多少?
（3）菲菲到校时间是 点多少分?
【例题3】 甲乙两人的路程比为 千米/时． ，两人用的时间比为 ，甲的速度为 千米/时，则乙的速度为
二、模块2 行程中的正比例
【例题4】 甲、乙两车分别从 、 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 遇后甲的速度减少 那么 、 两地相距 ，乙的速度增加 千米． ，相
．这样当甲到达 地时，乙离 地还有 千米．
，则可以提前 分钟到达．那么甲、乙两地相距
【练习3】 一辆汽车从 地去 地，原计划 小时到达． 但是这辆车在以原计划速度行驶了 千米时， 突然接到了紧急通知，速度提升了 千米． ，最终提前 小时到达 地，那么
、
两地全长是
【例题9】
如图，甲、乙分别从 、 两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度之比为
【教学提示】 直接从公式入手，可以举例： 若 若 若
甲 乙 ，则 甲 乙 乙 乙 甲 甲 甲 甲 甲 甲 乙 乙 甲 乙 乙 乙 乙 乙 乙 甲 甲 乙； 乙； 甲．
甲 甲
乙 ，则 甲 乙 ，则 甲
【例题1】 、 两地距离 千米，甲乙两车分别从 、 两地同时出发，相向而行． 千米． 千米．
（1）甲车的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时．相遇时距 地 （2）甲车的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时．相遇时距 地
第7讲 比例法解行程
一、模块1 行程中的比例关系
知识剖析
根据“路程=速度×时间”的公式，可以得到三组比例关系： 1. 2. 3. 当时间一定时，路程之比等于速度之比，即 当速度一定时，路程之比等于时间之比，即
甲 乙 时， 甲 乙 乙 乙 甲 甲 乙 乙． 乙． 甲．
甲 甲
乙 时， 甲 乙 时， 甲
当路程一定时，时间之比等于速度的反比，即
，相遇于
地后，甲继续以原来的速度向 地前进，而乙则立即调头返回，并且乙的速度比相遇前降 低 ，这样当乙回到 地时，甲恰好到达离 地 千米的 处，那么 、 两地之间的距离是 千米．
四、本讲巩固
【作业1】 甲、乙两人从 ， 两地同时出发，相向而行．甲走到全程的 每小时走 千米，乙每小时走全程的 ．则 、 之间的距离为 的地方与乙相遇．已知甲 千米．
【作业6】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 离后，再将速度提高 几？ 可以提前 小时到达．如果按原速行驶一段距
，也可以提前 小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之
【作业7】 某天早上 点甲从 地出发，同时乙从 地出发追甲，结果在距离 地 千米的地方追上．如 果乙把速度提高一倍，而甲的速度不变，那么将在距离 地 千米处追上．问： 、 两地相 距 千米．
（3）甲车的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时．各自走完全程，两车行驶的时 间之比是 ．
（4）如果两地距离未知，甲车的速度是 千米/小时，乙车的速度是 千米/小时．相遇 时甲走了全程的 ．各自走完全程，两车行驶的时间之比是 ．
【练习1】 甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行．甲走到全程的 每小时走 千米，那么乙的速度是 千米/时？ 的地方与乙相遇，已知甲