第1节 Cotes型求积公式

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牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式

( c 02 ) =
1/8 16/45 25/144 34/105
2989/ 17280 10496/ 28350
7/90 25/96 9/280
2989/ 17280 -4540/ 28350
19/288 9/35
1323/ 17280 10496/ 28350
41/840
3577/ 17280 -928/ 28350 751/ 17280 5888/ 28350 989/ 28350
k
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ，作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
当x=a时当x=b时
t=0， t=n，
t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n) Ak = ∫ lk ( x)dx = h∫ dt nk 0 a k !(n k )!(1) (1)nk n = h ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )! nk n (1) =nh ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )!n
Newton-Cotes公式公式
牛顿—柯特斯牛顿柯特斯(Newton-Cotes)求积公式柯特斯求积公式
Newton—Cotes公式是插值型求积公式的特殊形式：公式是插值型求积公式的特殊形式：公式是插值型求积公式的特殊形式

牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式

k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷：求积方法的缺陷求积方法的缺陷：从余项公式可以看出，从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精增加节点个数必须增加节点个数，而节点个数的增加，度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致现象；（1）插值多项式出现）插值多项式出现Runge现象；现象数值稳定性不能保证。（（2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（）数值稳定性不能保证。（n>7））
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )

牛顿-柯特斯求积公式

(n 1)! wn1( x)
wn1( x) ( x x0 )( x x1 )L ( x xn ), a ( x) b
b
f ( x)dx
a
b
a pn ( x)dx
b f (n1) ( ( x))
a (n 1)! wn1( x)dx
bn
1
a i0 f ( xi )li ( x)dx (n 1)!
工程数学
辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成的曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积图
2。
y
y=P2(x)
y=f(x)
0 x0
x1
图2
b
f
x2
(x)dx
b
a
x
(f
(a)
4
f
(a
b)
f
(b))
a
6
2
工程数学
工程数学
例：用梯形公式与辛卜生公式
求
3 x
I e 2 dx
1
b
b
f ( x)g( x)dx f () g( x)dx
a
a
定理3：设f ( x)在[a, b]上有二阶连续导数，则梯形求积
公式的截断误差为
b
ba
RT ( f ) a f ( x)dx 2 ( f (a) f (b))
(b a)3
f ''()
12
工程数学
工程数学
证明: n 1,由截断误差公式(3)有
工程数学
第七章数值积分与数值微分
第一节等距节点的Newton-Cotes求积公式第二节复化求积公式第三节（*）外推算法第四节 Gauss型求积公式

cotes求积公式的余项

cotes求积公式的余项Cotes求积公式是数值分析中常用的数值积分方法之一。

它通过将函数的积分区间划分为若干小区间，并在每个小区间上用一个多项式逼近原函数，从而计算出近似的积分值。

然而，这种逼近方法是有误差的，因此需要引入余项来衡量逼近的精度。

余项是指Cotes求积公式的近似积分值与真实积分值之间的差异。

在实际计算中，我们希望通过控制余项的大小，来确保数值积分的精度达到我们所需的程度。

因此，研究余项的性质和估计余项的大小是非常重要的。

我们来看一下Cotes求积公式的一般形式。

对于一个区间[a, b]上的函数f(x)，我们将其等分成n个子区间，每个子区间的长度为h=(b-a)/n。

然后，我们在每个子区间上用一个n次多项式P(x)来逼近f(x)，并计算出近似的积分值：∫[a, b] f(x) dx ≈ ∑[i=0 to n] wi * f(xi)其中，wi是权重系数，xi是子区间的节点。

Cotes求积公式中的权重系数和节点的选择有许多不同的方法，比如梯形法则、辛普森法则等。

接下来，我们来讨论余项的性质。

根据泰勒展开，我们知道多项式P(x)与原函数f(x)之间存在以下关系：f(x) = P(x) + Rn(x)其中，Rn(x)是余项。

根据Cotes求积公式的定义，我们可以得到余项Rn(x)的表达式：Rn(x) = (1/(n+1)!) * ∫[a, b] f^(n+1)(ξ) * w(x) * (x-x0)(x-x1)...(x-xn) dx其中，f^(n+1)(ξ)是f(x)的(n+1)阶导数，w(x)是Cotes求积公式中的权重函数，x0, x1, ..., xn是子区间的节点。

由于Rn(x)中包含了f^(n+1)(ξ)这一项，如果我们能够控制f^(n+1)(ξ)的变化范围，就可以估计余项的大小。

通常情况下，我们可以通过计算f(x)在区间[a, b]上的高阶导数，来得到f^(n+1)(ξ)的上界。

数值分析 -牛顿-科特斯公式

f
( x ) g( x )dx
f (2)18 ab g(8b( x0a )d)5xf(4)()
余项的一般形式
n
定理设 Q[f](ba) Ci(n)f(xi)，则有
i0
(1) 若 n 为偶数， f (x) Cn+2[a, b] ，则存在 (a, b) 使得
a b f(x )d x Q [f] ( b n a n ) 3 n ( 3 n f (n 2 ) 2 )(! )0 n t2 ( t 1 ) ( t n )d t
i0
i0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
R T a b f(x )d x T a bf''2 ( !x )(x a )x ( b )d x
中值定理 1 2f''()a b(xa)x (b)d x
积分中值定理
112(ba)3f''()
Simf (pxso),ng公( x式)均的在余[项a , b]上连续，
6
2
6
与精确值 0.6321 相比得误差分别为 0.0518 和 0.0002。
复合求积公式
提高积分计算精度的常用两种方法
✓ 用复合公式 ✓ 用非等距节点
复合求积公式：将积分区间分割成多个小区间，然后在每个小区间上使用低次牛顿－科特斯求积公式。
将[a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ，其中节点 xiaih, hb na (i = 0, 1, …, n)
解：T8116 f(x0)2i 71f(xi)f(x8)0.9456909
S 4 2 1 f ( 4 x 0 ) 4 f ( x 1 ) f ( x 3 ) f ( x 5 ) f ( x 7 ) 2 f(x 2 ) f(x 4 ) f(x 6 ) f(x 8 ) 0 .9460

三角函数积分常用公式

三角函数的积分常用公式如下：
1.正弦函数的积分：
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
2.余弦函数的积分：
∫cos(x) dx = sin(x) + C
3.正切函数的积分：
∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C
4.余切函数的积分：
∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C
5.正割函数的积分：
∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C
6.余割函数的积分：
∫csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C
7.正弦的幂函数积分：
∫sin^n(x) dx = -1/n * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-1)/n * ∫sin^(n-2)(x) dx，其中n ≠1
8.余弦的幂函数积分：
∫cos^n(x) dx = 1/n * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-1)/n * ∫cos^(n-2)(x) dx，其中n ≠1
9.正切的幂函数积分：
∫tan^n(x) dx = 1/(n-1) * tan^(n-1)(x) + ∫tan^(n-2)(x) dx，其中n ≠1
10.反正切函数的积分：
∫arctan(x) dx = x * arctan(x) - 1/2 * ln(1+x^2) + C
这些是一些常见的三角函数积分公式。

需要注意的是，在使用这些公式时，可能需要考虑定义域、常数项、积分限等因素，以确保正确计算积分。

同时，积分中的常数C 表示积分常数。

Newton-Cotes求积公式

n
推论1 求积系数满足: Aj b a j0
(可用此检验计算求积系数的正确性)
证：
b
b
n
a f (x)dx a Ln (x)dx Ak f (xk )
k 0
当节点为n 1个时，插值求积公式有n次代数精度,
对于f (x) xn ,上式严格相等,
所以取f (x) 1时，上式也严格相等，
解决方法：
4.2.1 插值型求积法
1、方法
插值多项式
插值基函数
已知 (xi,
f (xi ))，求得 Ln (x)
n i0
f
(xi )li (x)，其中li (x)
n l0
x xl xi xl
,
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。
使积分公式具有通用性
我们的目的就是根据一定原则, 选择求积节点xk和系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同时又计算简单。
记
n
In[ f ] Ak f (xk )
k 0
(4.2.2)
b
n
R( f ) I[ f ] In[ f ] a f (x)dx Ak f (xk ),
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )

三角函数及积分公式

三角函数及积分公式三角函数（Trigonometric functions）是数学中常见的一类函数，主要与角度（或弧度）相关。

它们被广泛用于解决各种几何、物理、工程和数学问题。

常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。

在本文中，我们将探讨这些函数的性质以及它们的基本积分公式。

首先，让我们来了解一下正弦函数和余弦函数。

这两个函数被定义为单位圆上从x轴正方向逆时针旋转一个角度所对应的点的纵坐标和横坐标。

正弦函数（Sin）:若点 P 在单位圆上的角度为θ，则sin(θ)等于点 P 的纵坐标。

余弦函数（Cos）:若点 P 在单位圆上的角度为θ，则cos(θ)等于点 P 的横坐标。

正弦函数和余弦函数具有以下性质：1. 周期性：sin(θ) 和cos(θ) 的周期都为2π（或360°）。

2. 对称性：sin(-θ) = -sin(θ)，cos(-θ) = cos(θ)。

3. 互余关系：sin(θ) = cos(π/2 - θ)，cos(θ) = sin(π/2 - θ)。

4. 互补关系：sin(θ) = cos(π/2 + θ)，cos(θ) = sin(π/2 + θ)。

接下来，让我们来了解正切函数和余切函数。

正切函数（Tan）: tan(θ) 定义为sin(θ) / cos(θ)。

余切函数（Cot）: cot(θ) 定义为cos(θ) / sin(θ)。

正切函数和余切函数的性质如下：1. 周期性：tan(θ) 和cot(θ) 的周期都为π（或180°）。

2. 对称性：tan(-θ) = -tan(θ)，cot(-θ) = -cot(θ)。

3. 互补关系：tan(θ) = cot(π/2 - θ)，cot(θ) = tan(π/2 - θ)。

最后，我们来了解正割函数和余割函数。

正割函数（Sec）: sec(θ) 定义为1 / cos(θ)。

newton-cotes求积公式

f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt

f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
R1
(b a)3 12
f (),
(a,b)

1 x2
1
ex
f
( x)

(
2 x3

1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1

(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
2 1
e x dx

2
1 (e

1
4e1.5
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出 C0(n) , C1(n) , , Cn(n)
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]

7.1 牛顿-科特斯求积公式

f
]
2(b a) 945
(
b
4
a
)6
f
(6)
( )
[ (a, b)]
计算方法
牛顿-科特斯求积公式几何意义（单击播放）
计算方法
例：分别用梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式计算
1 sin x dx
0x
准确值为：0.9460831
x 0 0.25
0.5
0.75
1
f(x) 1 0.9896158 0.958851 0.9088516 0.8414709
注：不难验证，若求积公式对1，x, x2, xn均准确成立，则其对任意次数 n的多项式准确成立。
例1 考察求积公式
计算方法
1
1
f (x)dx
1f
2
(1)
2
f
(0)
f
(1)
的代数精度。
可以验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等,
再将f(x)=x2代入公式
k0
求积系数
b
Ak a lk ( x)dx
计算方法
（一）公式的推导
设将积分区间[a,b]n等分，求积节点为 { xk }nk0
那么，
x0
a, xn
b, xj
a
jh,
j 0,1,, n, h b a n
令x=a+th，则t=(x-a)/h，且由 x [a, b]
可知 t [0, n]．
解：利用梯形公式可得：
1 sin x dx 1 0 ( f (0) f (1))
0x
2
1 (1 0.8414709) 0.9207355

newton-cotes计算积分近似值

newton-cotes计算积分近似值
Newton-Cotes求积公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。

其基本思想是将积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为代表点，用该点的函数值乘以子区间的宽度，再将所有代表点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，最后将求和结果作为积分值的近似值。

具体来说，Newton-Cotes求积公式可以分为以下几种形式：
梯形公式：将积分区间分成n个等长的子区间，每个子区间的宽度为h，然后在每个子区间的中点处取值并乘以相应的宽度h/2，将所有中点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，即可得到积分值的近似值。

辛普森公式：将积分区间分成n个等长的子区间，每个子区间的宽度为h，然后在每个子区间的左端点和右端点处取值并乘以相应的宽度h/3，将所有端点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，即可得到积分值的近似值。

复合梯形公式：将整个积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上采用梯形公式进行计算，最后将所有子区间的近似值相加即可得到积分值的近似值。

复合辛普森公式：将整个积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上采用辛普森公式进行计算，最后将所有子区间的近似值相加即可得到积分值的近似值。

需要注意的是，Newton-Cotes求积公式的收敛性和误差估计取决于子区间的数目和选择的位置，因此在实际应用中需要选择适当的子区间数目和位置以提高近似值的精度。

此外，Newton-Cotes求积公式适用于被积函数在积分区间上连续的情况，如果被积函数在积分区间上不连续或者存在奇点，则可能需要采用其他数值积分方法进行处理。

牛顿-柯特斯求积公式

b
n
n
f ( x)dx
a
Ai f ( xi ) R( f )
Ai f ( xi ) (1)
i0
i0
其中
b
Ai a li ( x)dx i 0,1,L , n
(2)
li(x)为Lagrange插值基函数。
截断误差或余项为
R( f ) 1
(n 1)!
b a
f
(n1) ( ( x))wn1( x)dx
工程数学
辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成的曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积图
2。
y
y=P2(x)
y=f(x)
0 x0
x1
图2
b
f
x2
(x)dx
b
a
x
(f
(a)
4
f
(a
b)
f
(b))
a
6
2
工程数学
工程数学
例：用梯形公式与辛卜生公式
求
3 x
I e 2 dx
1
(3)
工程数学
工程数学
数值求积公式的一般形式
b
n
f ( x)dx
a
Ai f ( xi )
i0
Ai (i=0,1,…,n)称为求积系数， xi (i=0,1,…,n)称为求积节点。
工程数学
工程数学
第一节等距节点的牛顿—柯特斯求积公式
当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes) 求积公式。
例如，对概率积分 2 t e x2 dx
0
t [0, )
由于被积函数的原函数F(x)不可能找到，牛顿莱布尼兹公式也就无能为力了。

牛顿-柯特斯公式

) f ( b )] (2.7)
( ),
[ a , b ].
证明：在[a, b]区间上构造三次多项式H(x)，让H(x) 满足插值条件（带导数插值）：
H ( a ) f ( a ), H ( ab 2 ) f( ab 2 ), H ( b ) f ( b ), H ( ab 2
i0 b n 1 x i 1
f ( x )d x [ f ( xi ) f ( xi 1 )] i0 2
n 1 i 1
n 1 h

h 2
[ f ( a ) 2 f ( xi ) f ( b )].
记为
Tn [ f ( xi ) f ( xi 1 )] [ f ( a ) 2 f ( xi ) f ( b )]. 2 i0 2 i0
(a, b )
3 . 柯特斯公式的余项
若f
( x ) 在 [ a , b ]上连续 , 则柯特斯公式的余项为
6 (6)
2 (b a ) b a R4 [ f ] I C f 945 4
( ), [ a , b ]. (2.8)
四复化求积公式
§2
牛顿—柯特斯公式
ba n
一、Newton-Cotes公式的导出
将求积区间 [ a , b ]做 n 等分，步长 h 上的插值型求积公式
b
a f ( x ) d x A k f k
b k 0
nБайду номын сангаас
A k a l k ( x )d x
b
, 在等距节点 x k a kh
n (n)
2 n 2
h
n n n n n

牛顿-科特斯(Newton-Cotes)求积公式

教案一牛顿－科特斯（Newton-Cotes ）求积公式基本内容提要1 数值积分的基本思想2 代数精度的概念3 牛顿－科特斯求积公式及其余项4 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学目的和要求1 理解机械型求积公式的意义及代数精度的概念2 掌握插值型求积公式基本思想及基本的牛顿－科特斯求积公式: 梯形求积公式、辛普森(Simpson)求积公式或抛物线求积公式、牛顿求积公式、柯特斯求积公式及其余项公式3 了解牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学重点1 插值型求积公式的基本思想2 牛顿－科特斯求积公式的构造过程3 分析牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性4 低阶牛顿－科特斯求积公式及其积分余项公式教学难点1 数值积分公式代数精度概念的理解和应用2 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性的证明课程类型新知识理论课教学方法结合提问，以讲授法为主教学过程问题引入我们可以构造一个多项式近似代替某个未知函数或复杂函数。

据此，可以推导用来近似计算该未知函数或复杂函数的定积分或导数的公式。

这就是数值积分与数值微分的基本内容.推导积分和导数的数值计算公式的重要性是显而易见的。

以定积分的计算为例，要计算定积分∫b a dx x f )( 理论上可以用Newton-Leibniz 公式： ()()()ba f x dx Fb F a =−∫其中)(x F 是被积函数的某个原函数。

但对很多实际问题，上述公式却无能为力。

这是因为：1）被积函数)(x f 的原函数理论上存在，但无法知道它可用于计算的表达式,如2x e sin ,x x等初等函数。

2）被积函数)(x f 本身没有可用于计算的表达式，而仅仅是一种数表函数，即只知道该函数在部分特殊点的函数值。

因此，借助于插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一。

§3.1 牛顿-柯特斯求积公式3.1.1 数值积分的基本思想首先利用积分中值定理：()()(),[,]ba f x dx fb a a b ξξ=−∈∫导出矩形求积公式、梯形求积公式。

cotes公式

cotes公式
桑塔科茨（Cotes）公式是17th世纪英国数学家桑塔科茨（Roger Cotes）提出，是用于评估函数积分的一个常见方程。

李勒·圣玛丽（Leibniz）发现桑塔科茨（Cotes）公式非常有用，因而使其得以在数学史上保留下来。

桑塔科茨（Cotes）公式被广泛应用于数学家们对函数和积分的研究中，它的
公式如下：
$ $\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{(b-a)}{2}\left[ f(a)+f(b) \right] +\frac{(b-
a)^3}{12}\int_a^b xf''(x)\,dx $
其基本思想是根据函数在积分区间的两个端点位置和曲线的曲率通过三角函数和平方根函数估计函数在积分区间内的行为。

利用桑塔科茨（Cotes）公式可以比
较准确地求得函数在积分区间的实际值，从而更容易算出精确的积分值。

桑塔科茨（Cotes）公式还可以用于计算复杂函数的积分值。

如果被积函数是
一个参数曲线，我们将两个参数曲线拆分为等距曲线，可以使桑塔科茨（Cotes）
公式更加合理有效，也更容易给出准确的积分值结果。

因此，桑塔科茨（Cotes）公式非常有效，它不仅可以节省数学家们研究函数
积分时的计算时间，而且也使得研究函数积分更加有效率和准确。

究竟，桑塔科茨（Cotes）公式完美地体现出了19世纪当代数学家如何利用现代数学理论来研究函数积分的先进思想。

三角函数求积分万能公式

三角函数求积分万能公式三角函数积分是数学中常见的积分类型之一、它涉及到三角函数的各种形式，如正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在求解三角函数积分时，我们可以使用一些万能公式，这些公式可以将不同类型的三角函数积分转化为更简单的形式。

首先，我们来探讨正弦函数、余弦函数的积分。

对于正弦函数和余弦函数，我们可以使用以下两个万能公式：1. ∫ sin^n(x) dx = -1/n * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-1)/n * ∫ sin^(n-2)(x) dx2. ∫ cos^n(x) dx = 1/n * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-1)/n *∫ cos^(n-2)(x) dx这两个公式是通过逐步积分和凑微分的方法得到的。

通过反复使用这些公式，可以将任意次幂的正弦函数和余弦函数积分转化为次数更低的积分。

例如，我们可以通过使用第一个公式将∫ sin^2(x) dx转化为∫sin(x) dx。

我们可以再次使用第一个公式将∫ sin^4(x) dx转化为∫sin^2(x) dx，然后再进一步转化为∫ sin(x) dx。

通过不断递归使用这些公式，可以将任意次幂的正弦函数和余弦函数积分转化为一次幂的积分。

最后，我们可以直接求出一次幂的积分结果。

接下来，我们来讨论正切函数的积分。

对于正切函数的积分，我们可以使用以下万能公式：3. ∫ tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C这个公式是通过换元法得到的。

我们可以将tan(x)分数形式为sin(x)/cos(x)，然后通过替换sin(x)和cos(x)，将整个积分转化为对cos(x)的积分。

最后，我们可以通过计算对cos(x)的积分来得到结果。

此外，在计算三角函数积分时，还可以结合使用欧拉恒等式（Euler's formula），也就是e^(ix) = cos(x) + i · sin(x)。

4.1-4.2Newton-Cotes求积公式

b
a

n
Ak f ( x k )
(1 )
k 0
(1)为数值求积公式. Ak为求积系数, 且仅与求积节(结)点xk有关.
R[ f ] I [ f ] 称为求积余项。

n
Ak f ( x k )
(2 )
k 0
I [ f ] b f ( x )dx I R [ f ] n a n I n Ak f ( x k ) k 0 插值型求积公式 b Ak a lk ( x ) d x b 1 ( n 1 ) R[ f ] f ( ) n 1 ( x ) d x a ( n 1) !
i 1 i 0
(2)
A0
1 2
h, A1 A2 An 1 h, An
1 2
h
数值积分的一般形式
数值积分的一般形式是：

其中，
b
a
f ( x )dx Ai f i Rn
i 0
n
(3)
fi ----是函数f(x)在节点 xi 上的函数值，它可能以列表形式给出，也可以是由函数的解析式计算出的函数值； Ai ----称为节点 xi 上的权系数。正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积分的不同方法。
数值积分的基本思想
数值积分----是计算定积分的具有一定精度的近似值的各种计算方法。
从几何上看，就是计算曲边梯形面积的近似值。最简单的办法，是用许多小矩形之和近似曲边梯形的面积，如图4-0所示，这就是----矩形公式：

b
a
f ( x )dx f ( xi )h Ai f i
1
0

第1节 Cotes型求积公式

ik

n
0
f ( n1) ( )t (t 1)( t 2)(t n)dt
Ak yk Rn [ f ]
k 0
n
从而得到Newton-Cotes型求积公式：

b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
b a ( 1)n k n n Ak 0 (t i )dt n k! ( n k )! i 0
a a
b
b

(
b a k 0 i 0 ik
n
n
x xi ) yk dx xk xi
f ( n1) ( ) ( x x0 )( x x1 )( x xn )dx a ( n 1)! ba 由变换： x a th, xi a ih xk a kh , h n
(a , b)
为了估计误差限，设
M 2 max f ( x )
a x b
则得到
R1 f
M2 (b a ) 3 12
二、抛物线(辛普森-Simpson)公式（n=2）

b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
则由
n
Π
i= 0 i¹ k
n n ti x - xi (a th) (a ih) ki xk - xi ii 0 (a kh) (a ih) ii 0 k k
xi=a+ih, xk=a+kh
得到

i 0 ik
n
n n x xi (a th) (a ih) t i xk xi i 0 (a kh) (a ih) i 0 k i i k ik

科特斯公式

( i = 0, 1, … , n) 时，有
i i i 0= i 0 = n n
− f (x ) ≤ δ f i i
∑ A f − ∑ A f ( x ) ≤ ε
i i
则称该求积公式是稳定的。
定理：若 Ai > 0, i = 0, 1, … , n，则下面的求积公式是稳定的 n b
∫
a
f ( x )dx ≈ ∑ Ai f ( xi )
一般地，用 f(x) 在 [a, b] 上的一些离散点上的函数值的加权平均作为 f (ξ) 的近似值，可得
a ≤ x0 < x1 < ··· < xn ≤ b
n
∫
b a
f ( x )dx ≈ ∑ Ai f ( xi )
i =0
机械求积公式
求积系数
求积节点
将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算无需求原函数易于计算机实现
当 n 较大时，由于Runge现象，收敛性也无法保证。
一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式当 n ≤ 7 时，Newton-Cotes 公式是稳定的
20
N-C 公式代数精度
定理：n 阶 Newton-Cotes 公式至少有 n 阶代数精度定理：当 n 为偶数时，Newton-Cotes 公式至少有 n+1 阶代数精度
第四章数值积分与数值微分
— 基本概念 — Newton-Cotes 公式
1
内容提要
数值积分基本概念 Newton-Cotes 求积公式复合求积公式 Romberg 求积公式 Gauss 求积公式自适应积分方法多重积分数值微分
2
本讲内容
数值积分基本概念

牛顿科特斯公式的特点总结

牛顿-科特斯公式∑⎰=-≈ni i n i bax f C a b x x f 0)()()(d )( 科特斯(Cotes)系数)(n i C ，特点：Cotes 系数仅取决于 n 和 i ，可通过查表得到。

与被积函数 f (x) 及积分区间 [a, b] 均无关。

n = 1: 21,21)1(1)1(0==C C 为梯形求积公式)]()([2)(b f a f ab dx x f ba+-≈⎰梯形求积公式的几何意义：用梯形面积近似代替曲边梯形的面积梯形公式的余项为 )(12)(3ηf a b ''--代数精度 = 1n = 2:61,32,61)2(2)2(1)2(0===C C C Simpson 求积公式（为抛物线求积公式）)]()(4)([6)(2b f f a f ab dx x f ba ba++-≈+⎰ 辛普森公式的余项为 )()2(180)4(4ηf ab a b ---代数精度 = 3n = 4:科特斯(Cotes)求积公式（五点公式）)](7)(32)(12)(32)(7[90)(43210x f x f x f x f x f ab dx x f ba++++-≈⎰4/)( ,a b h h i a x i -=⋅+=柯特斯公式的余项为 )()4(495)(2)6(6ηf a b a b ---柯特斯公式具有5次代数精度科特斯系数具有以下特点：(1)10)(=∑=nin i C(2) )()(n i n n iC C -=(3) 当 n ≥ 8 时，出现负数，稳定性得不到保证。

而且当 n 较大时，由于Runge 现象，收敛性也无法保证。

一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。

当 n ≤ 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。

当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n +1 阶代数精度。

牛顿-柯特斯公式的舍入误差只是函数值误差的倍)(a b -复化求积公式特点固定时1而节点个数,的长度较大],[当积分区间+n b a 直接使用牛顿-柯特斯公式余项将会较大增加时1即,而如果增加节点个数+n 当n>8时，公式的舍入误差又很难得到控制此时，使用复化方法，分成若干个子区间],[即将积分区间b a 然后在每个小区间上使用低阶牛顿-柯特斯公式，最后将每个小区间上的积分的近似值相加，这种方法称为复化求积法复化梯形求积公式n baT dx x f ≈⎰)( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑-=)()(2)(211b f x f a f h n k k复化梯形公式余项为 )(12)(2ηf h a b ''--误差是2h 阶⎰=→∞→ba n h n dx x f T )(lim 0即复化梯形公式是收敛的复化辛普森求积公式n ba S dx x f ≈⎰)( )]()(2)(4)([611121b f x f xf a f hn k k n k k +++=∑∑-=-=+公式的余项为复合,足够大时则Simpson nn n S I f R -=)( ()b a f h a b ,),(2180)4(4∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=ηη 误差是h4阶，⎰=→∞→ba nh n dx x f S )(lim复化辛普森公式是收敛的复化柯特斯求积公式nba C dxx f ≈⎰)()](7)(14)](32)(12)(32[)(7[90111434241b f x f xf xf x f a f na b n k k n kk k k +++++-=∑∑-=-=+++公式的余项同样可得复合],,[)(若6Cotes b a C x f ∈n C I - )(4945)(2)6(6ηf h a b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= ∞→n 时，复化柯特斯公式也是收敛的],[b a ∈η三种复化公式的的余项n T I - ∑=''⋅⋅-=nkk f h h2)(12η )(2h O =n S I - ∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=nkk f h h 0)4(4)(2180η )(4h O =n C I - )(494520)6(6∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nk k f h h η )(6h O = 阶无穷小量6，4，2的分别是h 的速度依次更快趋于定积分,,即I C S T n n n。