二次根式的加减(3)
21.3.3二次根式的加减
21.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．二、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）×解：（）÷÷-例2．计算32（1））（（2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1））（2（2））=）2-2=10-7=3三、巩固练习课本P 20练习1、2．四、应用拓展例3．已知=2-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，））=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式=+x b a-x a b -=+ =（x+1）=4x+2∵=2- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ）∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2∴（a+b ）x=（a+b ）2∵a+b ≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、布置作业1．教材P 21 习题21．3 1、8、9．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》作业设计2(1)x x +-2(1)x x+-x b a-x a b -一、选择题1．的值是（ ）． A ．．C ．．2）．A ．2B ．3 C．4 D ．1二、填空题1．（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________． 2．（）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知，a 2b-ab 2=_________．三、综合提高题1．化简 2．当时，求+的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识20323232031221．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．ACD2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b ）=a 2-b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如与也是互为有理化因式．________；_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1；（2）； （3（44．其它材料：如果n=________=_______．答案:一、1．A 2．D二、1．．-24 3．2 4．三、1．原式＝==-）2=== 2（2x+1）∵+1 原式＝2（+3）+6.=22222(1)()21x x xx+++⨯+2(1)(1)1x x xx++++。
二次根式的加减3
（1）满足下列两个条件的二次根式， 满足下列两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式 最简二次根式： 叫做最简二次根式： 被开方数不含分母； ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式； 或因式； （2）几个二次根式化成最简二次根 ） 式后，如果被开方数相同， 式后，如果被开方数相同，那么这 几个二次根式叫做同类二次根式 同类二次根式。 几个二次根式叫做同类二次根式。
1 1+ 2
1 3+ 2
1 5+2 =
=
1 × ( 2 − 1) ( 2 + 1)( 2 − 1)
= 3− 2
= 2 −1
= 3− 2
( 3 + 2)( 3 − 2)
5−2
( 5 + 2)( 5 − 2)
1 6
= 5−2
试求：（1 试求：（1） 7 + ：（ （2）3 （ 3）
1 2 + 17
1 n +1 + n
二次根式的运算： 二次根式的运算：
二次根式乘法法则 二次根式除法法则
二次根式的加减： 二次根式的加减： 类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。 类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
a× b =
a = b
ab (a ≥ 0 , b ≥ 0)
(a ≥ 0 , b > 0)
a b
二次根式的混合运算： 二次根式的混合运算：
例5.将多项式 2 x 2 − 1 在实数范围内因式 分解的结果为（ ）
A.
(2 x + 1)(2 x − 1)
( 2 x + 1)( 2 x − 1)
B.
2( x + 1)( x − 1)
16..3二次根式的加减法(教案)
3.培养学生的数学建模和数学应用能力，通过实际问题的引入，使学生能够将二次根式加减法应用于现实情境中，提高解决实际问题的能力。
在教学过程中，关注学生个体差异，引导学生主动参与、积极探究，培养学生独立思考、合作交流的良好习惯，全面提升学生的数学核心素养。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对二次根式加减法的概念和应用有了初步的理解，但同时也暴露出一些问题。在讲解理论知识时，我注意到部分学生对于如何合并同类二次根式感到困惑，尤其是在涉及到根号内含有不同数字的情况下。为了帮助学生克服这个难点，我采用了更多的例题进行演示，并强调了化简根式时的关键步骤。
教学内容将围绕以下例题和练习展开：
（1）计算下列各式的值：
$$ \sqrt{3} + \sqrt{5} $$
$$ \sqrt{12} - \sqrt{2} $$
$$ 2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} $$
$$ 5\sqrt{3} - 3\sqrt{2} $$
（2）化简下列各式：
$$ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}} $$
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调同类二次根式的合并和含有不同根号的二次根式的化简这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和步骤讲解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式加减法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用纸片拼凑不同形状的图形，并计算其面积，从而演示二次根式加减法的基本原理。
二次根式的加减运算
二次根式的加减运算一、教材分析1、内容分析：本节内容共一课时。
主要内容是学习二次根式的加减运算。
2、地位与作用：二次根式属于“数与代数”领域的内容，它是在学生在学习了勾股定理、平方根、立方根、实数等概念的基础上进行的，是对“实数”“代数式”内容的延伸和补充。
在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；这说明了前后知识之间的内在联系。
同时本部分内容还是后面学习“锐角三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”的基础.二、学情分析学生已经学习了二次根式的概念及性质等知识，已具备了学习二次根式加减运算的知识基础和心理基础，本节课主要是采用类比的思想来学习二次根式的加减运算，难度不大。
班级学生课堂上能积极参与、有一定的自学能力，好奇心、求知欲、表现欲都非常强；在前面学习的基础上，他们具有一定的观察能力、分析能力、归纳能力，学习新知识速度快模仿能力强，具备一定的探索知识自主创新的能力，但经常因为粗心而出错，同时课后复习巩固的效果较差。
结合以上分析，为了加强他们的自学能力，提高课堂学习效率，根据他们的特点，本节课采用启发引导，讲练结合的方式完成学习,选择联系生活中的实际问题，适合学生的习题，由浅入深的引导，注重培养学生的自学能力，通过一定练习，激发学生的求知欲和提高学生的自信心。
三、目标分析1、了解同类二次根式的概念，会辨别同类二次根式。
2、经历探索二次根式的加法和减法运算法则的过程，理解二次根式的加法和减法算理，进一步发展学生的类比推理能力。
3、能熟练地进行二次根式的加法和减法运算。
四、教学重难点【重点】会辨别同类二次根式，熟练掌握二次根式的加减运算。
【难点】探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算。
五、教具准备多媒体投影、实物展台、课件、学案、六、活动流程《数学课程标准》明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。
”为了向学生提供更多从事数学活动的机会，我将本节课的教学过程设定为以下六个环节：活动3：探索交流活动4：例题分析活动5：随堂练习活动6：课堂小结，活动7：达标测试先独立完成，再探索交流，得出新的概念和法则运用法则进行计算，加深对运算法则的理解通过练习，巩固所学知识学生归纳小结，教师评价，形成系统学生测试，检验本节课的掌握情况教学过程问题与情境师生行为设计意图【活动一】情境引入如图，两个长方形的宽都是a m，它们的长分别是2 m和3 m，用不同的方法求这两个长方形的面积的和。
二次根式的性质
二次根式的性质在数学中，二次根式是指具有形如√a的数，其中a是一个非负实数。
二次根式在代数和几何中有着广泛的应用，特别是在求解方程、计算面积和体积等问题中。
一、二次根式的定义二次根式通常表示为√a，其中a≥0。
如果a>0，则√a被称为正根式，如果a=0，则√a=0；如果a<0，则二次根式不存在，因为它不是一个实数。
二、二次根式的性质1. 二次根式的平方二次根式的平方等于它本身，即(√a)^2 = a。
这是因为二次根式表示的是一个数的正平方根，而正平方根的平方等于被开方数本身。
2. 二次根式的加减运算如果两个二次根式的被开方数相同，那么它们可以进行加减运算。
例如，√2 + √2 = 2√2。
当然，如果两个二次根式的被开方数不同，则无法进行加减运算。
3. 二次根式的乘法两个二次根式可以进行乘法运算，即(√a) * (√b) = √(a * b)。
这个性质可以通过平方的方式进行证明。
例如，(√2) * (√3) = (√2^2) * (√3^2) = √(2 * 3) = √6。
4. 二次根式的除法两个非零的二次根式可以进行除法运算，即(√a) / (√b) = √(a / b)。
这个性质也可以通过平方的方式进行证明。
5. 二次根式的化简将一个二次根式化简为最简形式是一种常见的操作。
例如，将√8化简为√(4 * 2)，再进一步化简为2√2。
也可以将√32化简为√(16 * 2)，再化简为4√2。
化简后的二次根式更加简洁明了。
6. 二次根式的大小比较当两个二次根式的被开方数相同时，它们的大小关系取决于它们的系数。
例如，2√3和3√2，由于√3>√2，所以2√3<3√2。
但如果被开方数不同，则无法直接比较大小。
7. 二次根式的乘方一个二次根式可以进行乘方运算，例如(√2)^3 = (√2) * (√2) * (√2) = √(2 * 2 * 2) = 2√2。
这个性质是由乘法的性质推导而来。
人教初中数学八下 16.3 二次根式的加减课件3 【经典初中数学课件汇编】
【归纳】
一般地，正比例函数 y=kx (k是常数，k≠0 )的图 象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx .当 k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即 函数值y随x的增大而增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、 四象限，从左向右下降，即函数值y随x的增大而减小．
? 通过以上学习，画正比例函数图象有无简便的
_______________。 • （2）合并二次根式时，只有被开方数________的二次根
式才能合并，合并的依据是__________。 • （3）合并被开方数相同的二次整式，就等同于整式加减
的__________，把被开方数相同的二次根式看成各项的 字母部分，合并时根指数及被开方数_________，只把系 数_________。
(2) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：
天)之间有什么关系？
【解析】 y=200x（0≤x≤128）.
(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程 大约是多少千米？ 【解析】当x=45时，y=200×45=9 000（千 米）.
【想一想】
下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？
【想一想】
下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？
（1）圆的周长L随半径r大小的变化而变化； L=2πr
（2）铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m（单位:g）随它 的体积V（单位:cm3）大小的变化而变化；
m=7.8V
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本撂在一起的总 厚度h（单位:cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；
办法？
y
y=kx(k＞0)
y
y=kx
k
3.3 二次根式的加减(3)
3.3二次根式的加减(3)班级 姓名 学号教学目标：1、能较熟练地运用乘法公式进行有关二次根式加、减、乘混合运算；2、在运算中进一步体会运用乘法公式计算的简捷性和有效性. 例题分析： 例1 计算：(1)()()18342334-+ (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x 52352322 (3)236223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 分析：第(1)题把2318写成后，可直接用平方差公式，第(2)题可把232+x 看成整体，用平方差公式，第(3)题可直接用完全平方公式.解 (1)原式＝301848)23()34()2334)(2334(22=-=-=-+.(2)原式＝(232+x )2－(5x )2＝3x 2＋2－25x 2＝－22x 2＋2.(3)原式＝2236362232223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝32631323229-=+-. 说明：判断一个二次根式的计算能否用乘法公式是解题的关键.有时，初看起来不能用，但略加变形后则可用公式.例如，计算())12(623-+时，原式＝6)12(6)12)(12(6=-=-+.例2 计算：(1))6322)(6322(-++- (2)910)103()103(+-(3)22)632()623(+---+分析：第(1)题的两个因式中都有三项，且它们或相等或互为相反数，故可用平方差公式.第(2)题无法求得910)103()103(+-和的值，此时可先逆用积的乘方公式后再计算.第(3)题如分别求出两个三项式的平方比较复杂，但如把它看成两数平方差，则逆用平方差公式较简单.解 (1)原式＝)]632(2)][632(2[-+--＝()22)632(2--＝2－(12－122＋6)＝－16＋122.(2)原式＝9229]103[)103()]103)(103[(-=-+-)103(-⋅ ＝310)103(1-=-⋅-.(3)原式＝)]632()623)][(632()623[(+---++-+-+ ＝(3864)63(24623222-=-=-⋅.说明：熟练运用乘法公式进行二次根式的计算是检测运算能力的重要标准之一，解题时的“整体意识”显得尤为重要.如第(1)题中632-应看成“整体”；第(3)题中的两个多项式都应看成整体.类似地，通过思考下面的计算也比较容易：()1235+-+()1235++-；)6315)(6210(-+-+；()()()()22y x y x y x yx ++-+等.同学们不妨一试.例3 计算：(1)23233223223++⨯-- (2)yx xy y x yx y x 24439--+-+-分析：对于分母中含多项的二次根式的化简，目的还难以完成.但若注意到分子和分母的关系，可通过先约分，再计算. 解 (1)原式＝623)23(6)32(623-=++⨯--初三数学教学案(2)原式＝()()yx y xy x yx y x 2)2(4)(332222-+--+-＝yx y x yx y x y x 2)2(3)3)(3(2---+-+＝y x y x 23+-- ＝y -.说明：运用约分方法常能使类似例3的计算变得非常容易，这一点实际上都与乘法公式密切相关，同学们如对这一些公式的变式，如x －y ＝()()22y x -，a ＋b 2)(2b a a ±=±，x 2＋()))((q x p x pq x q p +++=+等很熟悉的话，运用也就得心应手了.备注：1、公式用错，如计算⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2213222132时，应该用完全平方公式，不能用平方差公式.2、没有用公式的意识，而直接计算，造成过程繁锁导致错误.如计算(633-+)(1＋32-)时，看不出可用平方差公式. 课后作业： 1、填空题：(1))154)(154(-+＝ .(2))2)(2(y x y x +-＝ .(3)22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x xy ＝ . (4))3)(2(++x x ＝ . 2、计算题：(1)22)32()32(++- (2)22)37()37(+--(3))83)(322(-- (4)2)23()122)(4818(---+(5))4)(4(22q q p q p p ----+-3、计算题：(1)2)352(-+ (2))875)(5227(-+-+(3))32524)(52432(+--- (4))1632)(1632(+---+-4、计算题(1)1312)52()52(-+(2)22)321()321(+---+(3))21)(21)(21)(21(-+--+++-x x x x(4)22)12()22(+-x x完成《100分闯关》P49-50。
九年级数学二次根式的加减3(PPT)4-3
原法： SbO + C → 4Sb + CO 低品味的矿石在高炉中还原，而高品味的则在反射炉中还原。 [4] 历史编辑 锑的一种炼金术符号为♀形 早在公元前年的埃及 前王朝时代，化妆品刚被发明，三硫化二锑就用作化妆用的眼影粉。 在迦勒底的泰洛赫（今伊拉克），曾发现一块可追溯到公元前年的锑制史前花瓶碎片；
二次根式加减法的步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式。
一化 二找 三合并
哈萨克斯坦 Kazzinc , 吉尔吉斯斯坦 Kadamdzhai 老挝 SRS 墨西哥 美国锑业 7 缅甸 许多 , 俄罗斯 GeoPDroMining , 南非 默奇森联合公司 , 塔吉克斯坦 YUnzob , 泰国 未知 储量 根据美国地质调查局的统计数据，世界的锑矿藏将在年内枯竭。但美国地质调查局期待这期间会发现更多锑矿。 年的世界锑储量 全球 ,, . 国家 储量（吨） 占比（%） 中华人； 足球比分 / 足球比分 ；民共和国 , . 俄罗斯 , . 玻利维亚 , . 塔吉克斯坦 , .7 南非 , . 其他国家 , . 生产过程 从矿石中提取锑的方法取决于矿石的质量与成分。大部分锑以硫化物矿石形式存在。低品位矿石可用泡沫浮选的方法富集，而高品位 矿石加热到–℃使辉锑矿熔化，并得以从脉石中分离出来。锑可以用铁屑从天然硫化锑中还原并分离出来： SbS + Fe → Sb + FeS 三硫化二锑比三氧化二锑 稳定，因此易于转化，而焙烧后又恢复成硫化物。这种材料直接用于许多应用中，可能产生的杂质是砷和硫化物。 将锑从氧化物中提取出来可使用碳的热还
二次根式的加减
2
（3）10 2 + (3 8 − 7 2) =9_______；
4 3−6 2
（4）5 12 − 3 8 + 2 27 = __________.
随堂训练
8.若最简根式
2+1
3 − 2 与 3 可以合并，求 的值.
2 + 1 = 2,
解：积为（2+3） 2=5 2（2 ）.
2 2+3 2= （2+3） 2
也可由分配律得出：
2 2+3 2= （2+3） 2= 5 2.
新课导入
议一议
问题2：如果两个正方形的面积分别是18和8，那么大正
方形的边长比小正方形的边长大多少？
此问题需要计算 18 − 8，但由于 18， 8不是最简二次根式，先把它们
上面提到的3 2与2 2， 18与 8都是同类二次根式.
同类二次根式可以像同类项那样进行合并.
知识讲解
思考： 观察新课导入两个问题的计算过程，你能总结出二次根式
加减计算的过程吗？
二次根式的加减
一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根
式，然后再将同类二次根式分别合并.有括号时，要先去括号.
1
1
＝ 48 − 4
−3
+ 4 0.5
8
3
＝2 11 − 3 11 − 11 2
2
3
2
＝4 3 − 4 ×
−3×
+4×
4
3
2
＝ − 11 − 11 2.
＝4 3 − 2 − 3 + 2 2
＝3 3 + 2.
随堂训练
21.3二次根式的加减教案
§21.3 二次根式的加减教学目标【知识与技能】1. 掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2. 掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.【情感态度与价值观】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，能运用所学的知识解决问题.【教学重点】能正确地合并同类二次根式，进行二次根式加减法.【教学难点】能根据同类二次根式的定义，判断几个二次根式是否是同类二次根式.【教学过程】一、导入计算下列各式：．1.当x_______时，2-x 有意义．二、探究新知（一）同类二次根式观察第4题猜想：二次根式的被开方数相同是可以合并的． 思考：3233与是同类二次根式，那么218与是同类二次根式吗？是同类二次根式与218232918∴=⨯=归纳：同类二次根式：（1）被开方数相同；（2）二次根式不能再化简；（3）与二次根式的系数无关.练习：判断下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？27631与）（ （二）二次根式的加减.____423)2(___;3233)1(:.4_____;423)2(____;23)1(:.3_____;24____;31:.2=+-=-=+-=-==a a a y y y x x 猜想计算化简272322与）（二次根式的加减,与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式合并.思考：这里的三个“加数”中有同类二次根式吗？将它们化简后再看一看分析：（先化简，再合并同类二次根式，请同学们自己完成）归纳：二次根式加减计算步骤：（1）化成最简二次根式；（2）合并同类二次根式．例2：1832225)2(;451227)1(-++-计算： 例3：2)12)(2();12)(12)(1(--+计算：三、运用课本第12页 练习1、2四、课堂总结1、什么是同类二次根式？2、二次根式加减运算的步骤？3、怎么合并同类二次根式？五、应用拓展五、作业布置1、课本 第12页 第1题（1）（3）)333()2223(-+-=原式3322323--+计算：322-=12188++计算：第2题（1）（4）2、练习册必做：第9-10页A、B组选做：C组。
八年级数学下册-专题. 二次根式的加减【十大题型】(举一反三)(沪科版)(解析版)
【题型 8
二次根式混合运算的实际应用】 ...........................................................................................................19
【题型 9
二次根式的新定义类问题】 ...................................................................................................................23
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
【题型 1
判断同类二次根式】
【例 1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？
∵ �2 > 0，则 5� + 8 > 0，
∴当� = 1 时，5� + 8 = 7，解得� =− 0.2，不是正整数，舍去；
当� = 2 时，5� + 8 = 28，解得� = 4，符合题意，
即�的最小正整数为 4．
【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，根据题意列出
1
3
+ 48 ÷ 2 3
(2) 2 6 + 3 × 2 6 − 3 − (3 3 − 2)2 +
【答案】(1)
14
4
6− 2
3
(2)−8 + 7 6 + 2
(完整版)二次根式的加减法
二次根式的加减法一、知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．三、典型例题讲解例1、计算：．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．解：．例2、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．例3、计算下列各题：．思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．例4、计算下列各题．解：例5、化简：总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样则为1，继续运算可避免错误．例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．解：，于是即a＋b=3∴a=2，b=1或a=1，b=2，故x=222，y=888或x=888，y=222．∴x＋y=1110，总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．思路分析：由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．解：原等式两边分别乘以，得两式相加得，所以．A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是( )A．B．C．D．2、下列计算正确的是( )A．B．C．D．3、下列各式化简结果不正确的是（）A．B．C．D．4、下列计算正确的是（）A．B．C．D．5、计算等于（）A．·1 B．3C．D．6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）A．A B．BC．A、B的中点D．不能确定B 卷二、填空题7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．8、若成立，则xy的值为______．9、若，则______．10、已知正数a、b，有下列结论：(1)若a=1，b=1，则；(2)若，则；(3)若a=2，b=3，则；(4)若a=1，b=5，则．根据以上几个命题提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则______．三、解答题11、计算或化简下列各题：12、计算：13、已知，求代数式的值．14、计算．[15、先观察下列等式，再回答问题：（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．一．选择题DDCBDB二．填空题7、△ABC的周长大于6且小于10．8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．9、．10、=13．三．解答题11.12.13..14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为（2）换元法：设，两边同时平方得，所以x2=10，又因为x＞0，所以，即．15.。
九年级数学二次根式的加减3
8
75
18 32
50
Байду номын сангаас1 12
45
1 2
你可要细心吆!
1、两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两 +3x=5x(吨) 列火车共运多少？2x _______________ 2、两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两 列火车共运多少？_______________ (2x +3y)吨 以下问题你能用同样的方法计算吗？
(1)2 75 3 27 3 2 75 9 3 3 10 3 10 3 0
错在没有 按照二次根式 加减混算从左 向右依次进行 的运算顺序计 算。
3 2 ( 2) 72 18 2 3 2 6 2 3 2 2 3 2 9 2 2
运算不完 全，能合并的 没有合并。
初中数学九年级上册 （苏科版）
3.3.1 二次根式的加减
如图，学校要砌一个正方形花坛， 已知外边的正方形边长为 2 2 cm，里面 的正方形的边长为 2cm，两个正方形的 周长和为多少？ 两个正方形的周长和为： 2 2
2
4(2 2 2 ) 8 2 4 2
若两个正方形的面积分别为 27cm2、12cm2，则两正方形的周 长和为多少？ 两个正方形的周长和为：
15 2 2
练一练:
计算:
(1) 50 32 ( 2) 27 2 3 45
巩固练习
计算: (1)5 2
( 2 )3 40 (3) 12 ( 4 )2 12 4 8 7 18 2 1 2 5 10 1 3 1 27
1 3 48 27
拓展与延伸：
15
2 8 7 18
4 2 8 2
16_3二次根式的加减【2021-2022人教八下数学新课寒假预习精讲精练(自学自练)】(解析版)
专题16.3 二次根式的加减【教学目标】1、同类二次根式2、二次根式的加减运算3、二次根式的混合运算4、分母有理化5、二次根式的应用【教学重难点】1、同类二次根式2、二次根式的加减运算3、二次根式的混合运算4、分母有理化5、二次根式的应用【知识亮解】知识归纳：1、二次根式的加减二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．二次根式的加减步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．2、二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．①与实数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个单项式，多个不同类的二次根式的和可以看作多项式．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式或整式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3、二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．亮题一：同类二次根式1．（2021·）B C DA【答案】C【分析】化成最简二次根式，判断是否是同类二次根式即可.【详解】===∴故选C.【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式即化为最简二次根式后，被开方数相同的根式，熟练掌握定义是解题的关键.2．（2021·广东·江门市第二中学二模）下列运算正确的是（）A B．C．x5•x6＝11x D．（x2）5＝7x【答案】C【分析】根据同类二次根式的定义，二次根式的乘法法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则逐个判断即可．【详解】解：A不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；B、12a，故B选项错误；C、x5•x6＝11x，故C选项正确；D、（x2）5＝10x，故D选项错误，故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，二次根式的乘法法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则，熟练掌握相关定义及运算法则是解决本题的关键．3．（2021·河南息县·八年级期末）已知最简二次根式a+a，b的值分别为（）A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2【答案】C【分析】根据最简二次根式和合并同类二次根式的法则得出方程组，求出方程组的解即可．【详解】∵最简二次根式a+∴12 33a ba b++=⎧⎨-=⎩，解得：a＝1，b＝0，故选：C．【点睛】本题考查最简二次根式和同类二次根式，二元一次方程组的解法，掌握这些知识点是关键.4．（2020·河北·育华中学七年级阶段练习）计算|1|2|++的值为（）A．1 B．﹣1 C．1﹣D．﹣1【答案】A【分析】直接利用绝对值的性质分别化简，然后合并同类二次根式即可得出答案．【详解】解：原式121=．故选：A．【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，正确去掉绝对值，然后合并同类二次根式是解题关键．5．（2021·河北永年·合并，则a的值不可以是（）A．12B．8 C．18 D．28【答案】D【分析】是同类二次根式，是否为同类二次根式即可．【详解】当a=12是同类二次根式，故该项不符合题意；当a=8=当a=18=当a=28故选：D．【点睛】此题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，化简二次根式，正确化简二次根式是解题的关键．6．（2021·全国·）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】到此方程的正整数解的组数有三组．【详解】解：x，y为正整数，====∴113 27x y =⎧⎨=⎩，224812xy=⎧⎨=⎩，331473xy=⎧⎨=⎩，共有三组正整数解．故选：C．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．7．（2021·全国·八年级专题练习）那么下列各数中，n可以取的数为（）．A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】是同类二次根式．【详解】解：A2=BC是同类二次根式，正确；D故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义．要化简为最简二次根式后再判断．8．（2019·同类二次根式的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念解答即可．【详解】被开方数相同，故是同类二次根式；2个，故选：B．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．9．（2020·全国·x≥0是同类二次根式的个数是（）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】各式化简后，利用同类二次根式定义判断即可．【详解】x≥0）中，（x≥0）共2个，故选B【点睛】本题考查同类二次根式，熟练掌握二次根式的基本性质是解题关键.10．（2020·全国·八年级课时练习）那么a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】D【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解．【详解】由题意，得7-2a=3，解得a=2，故选D．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．亮题二：二次根式的加减运算11．（2021·湖南·衡阳市实验中学九年级期中）下列计算正确的是（ ）A B ．3=C 3-D 2= 【答案】D【分析】根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断，根据二次根式的性质对C 进行判断，根据二次根式的除法法则对D 进行判断．【详解】解：A A 选项不符合题意；B ．=B 选项不符合题意；C 3，所以C 选项不符合题意；D 2==，所以D 选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．12．（2021·上海市罗南中学八年级阶段练习）若0a <，0b <，化简 ）A ．(23-b aB ．(23--b aC ．(23-+b aD ．(23+b a 【答案】C 【分析】a 化简 ，注意0a <，0b <，最后加减运算即可． 【详解】解：223,ab a ab =- 0a <，0b <，(2223332ab a abb a ∴-=-=-+ 故选：C ．【点睛】a是解题关键．13．（2021·江西·南昌市心远中学八年级期末）己知0a ≥，那么下列等式中一定不成立的是（ ）A．0= B．0=C D=【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件、二次根式的性质判断即可．【详解】A.==0a =时0=式子成立，而0a ≠，所以本选项一定不成立；B. 0=，对于任意a 的值都成立；C.20a -≥，解得0a =，此时本选项成立；D.，只有当0a =时成立；故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式的性质，掌握二次根式有意义的条件、二次根式的性质是解题的关键． 14．（2021·全国·10=，则x 的值等于（ ） A ．4B ．2±C ．2D ．4±【答案】C【分析】先化简、合并等号左边的二次根式，再将系数化为，继而两边平方，进一步求解可得．【详解】解：原方程化为10=，合并，得2=，即24=x ，∴2x =．故选：C【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．15．（2021·河北沧县·12)2+的结果是（ ）A ．1B 1C ．1D ．3【答案】B【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式1412⨯-21-1． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减、绝对值的应用，正确化简各数是解题关键．16．（2021·河北沧县·八年级期中）如图为小明的答卷，他的得分应是（ ）A．40 B．60 C．80 D．100【答案】B【分析】根据二次根式的基本性质及二次根式的运算法则逐个计算即可得答案．【详解】解：1、255=，故该题正确；2、2(2)2-=，故该题正确；3、623÷=，故该题错误；4、233266⨯=，故该题正确；5、92535834a a a a a a+=+=≠，故该题错误，故小明答对3题，答错2题，他的得分是3×20＝60（分），故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的化简及加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．17．（2021·湖北十堰·八年级期末）如图，数轴上与1，2对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为点C，设点C表示的数为x，则|x﹣2|＋2x＝（）A2B．2C．2D．2【答案】C【分析】根据题意A点表示的数是B，C两点表示的数的平均数，可求出x的值为22计算，即可得出结论．【详解】解：∵点B 关于点A 的对称点为点C ，∴AB ＝AC ．∴1﹣x 1，解得，x ＝2∴点C 表示的数x 为2∵|x ＝﹣2，2x＝2，∴2＋2，故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值的化简、二次根式的化简等知识点．利用对称的性质求出x 的值是解决本题的关键． 18．（2021·河南开封·一模）下列运算正确的是（ ）A ．824x x x ÷=B =C ．()32628a a -=-D ．101(1)32-⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ 【答案】C【分析】分别根据同底数幂的除法法则，二次根式的加法法则，积的乘方运算法则以及零指数幂、负整数指数幂的运算法则逐一判断即可．【详解】A 、826x x x ÷=原计算错误，不符合题意；B 、 235=+=≠C 、()32628a a -=-正确，符合题意；D 、101(1)1212-⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭原计算错误，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，二次根式的运算，零指数幂、负整数指数幂的运算，熟记二次根式的运算、幂的运算法则是解答本题的关键．19．（2021·北京·九年级专题练习）下列计算正确的是（ ）A ．=B 6=C ．-=D 5=【答案】D【分析】根据二次根式的运算法则和性质进行计算，然后判断即可．【详解】 解：33-=A 错误，不符合题意；选项B B 错误，不符合题意；233-=C 错误，不符合题意；5，故选项D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的运算和性质，解题关键是熟练运用二次根式运算法则准确计算．20．（2021·全国·八年级专题练习）下列运算正确的有（ ）个.①6-=7==2=④⑤=5=A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】 根据二次根式的运算法则分别进行计算，计算出正确结果即可作出判断．【详解】①-===①错误.1122===②错误.=22=-2=，故③错误.④==④错误.⑤12=⨯122=⨯24=，故⑤错误.==5=，故⑥正确. ∴①②③④⑤⑥中只有⑥1个正确.故选A.．【点睛】本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是能熟练运用二次根式的性质和运算法则进行计算．亮题三：二次根式的混合运算21．（2021·重庆一中八年级期中）估计 ） A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间 【答案】A【分析】根据乘法分配律先化简，然后估算即可． 【详解】解：原式1， ∵459，∴23<<，∴112<，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的计算，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．22．（2021·江西婺源·八年级阶段练习）计算：（3－）2020（3＋）2021的结果是（）A．3－B．3＋C．1 D．2021【答案】B【分析】先根据积的乘方得到原式=（3－2020×（3＋）2020×（3＋）=[(3－(3＋2020×(3＋，然后利用平方差公式计算．【详解】解, 原式=（3－）2020×（3＋）2020×（3＋=[(3－(3＋2020×(3＋=(9-8) 2020×(3＋=3＋故答案为:B【点睛】本题考查了积的乘方，平方差公式，二次根式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力．23．（2021·河北·石家庄市第四十二中学八年级期中）下列运算中正确的是（）A B．C D．）1）=3【答案】C【分析】根据二次根式的运算法则注意判断即可.【详解】解：A不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．C ．6÷2=3，此选项正确；D ．（2+1）（2﹣1）=2﹣1=1，此选项错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则.24．（2021·河南·郑州外国语学校经开校区八年级阶段练习）如图，数轴上与1，3对应的点分别为A ，B ，点B 与点C 的到点A 的距离相等，设点C 表示的数为x ，则|x ﹣33|+x 2等于（ ）A 3B ．3C ．3D ．5【答案】D【分析】根据题意，以及数轴上的点的位置，求得点C 表示的数，进而求得代数式的值．【详解】数轴上与13A ，B ，点B 与点C 的到点A 的距离相等，设点C 表示的数为x ，311x =-， 解得23x =∴|x ﹣3x 222333(23)=32433=+- 5=．故选D ．【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的混合运算，求得点C 表示的数是解题的关键．25．（2021·福建莆田·八年级期末）下列计算中，正确的是（ ）A 358B ．22＝2C ．232D 6÷23【答案】D【分析】根据二次根式的加减法对A、B、C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【详解】解：AB、2C、与-3不能合并，所以选项不符合题意；D2故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解题关键．26．（2021·湖南龙山·八年级期末）下列计算中正确的是（）A=B．3=C．已知a＜0＜b，则|a bD．当a＝2，b＝﹣8，c＝5=【答案】D【分析】先利用二次根式的加减，计算A、B，利用二次根式、绝对值的性质化简C，利用二次根式的混合运算计算D．最后得结论．【详解】=，故选项A错误；≠，故选项B错误；3当a＜0＜b时，||a＝﹣a+b﹣a＝b﹣2a≠﹣b，故选项C错误；当a＝2，b＝﹣8，c＝5D正确．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式及绝对值，掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则是解决本题的关键．27．（2021·浙江浙江·八年级期末）若使算式○表示的运算符号是（）A．+ B．-C．×D．÷【答案】C【分析】分别把四个选项中的符号代入计算，再比较结果，选取结果最大的运算符号即可．【详解】解：因为12,45<<<，所以57；=<；=，89<<；<；1∵>>>“×”的运算结果最大，∴故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．28．（2021·广东·中考真题）设6a，小数部分为b，则(2a b的值是（）A．6 B．C．12 D．【答案】A【分析】首先根据10的整数部分可确定a 的值，进而确定b 的值，然后将a 与b 的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】 ∵3104<<，∴26103<-<，∴610-的整数部分2a =，∴小数部分6102410b =--=-，∴()()()()()210221041041041016106a b +=⨯+-=+-=-=．故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定610-的整数部分a 与小数部分b 的值是解题关键．29．（2021·内蒙古·中考真题）若21x =+，则代数式222x x -+的值为（ ）A ．7B ．4C ．3D ．322- 【答案】C【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：()()22222=1121113x x x -+-+=+-+=． 故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x 的值直接代入计算．30．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）如图，在ABC 中，4,45,30,AC B C AD AB =∠=︒∠=︒⊥交BC 于点,D DE 平分ADB ∠交AB 于点E ，则AE 的长为（ ）A ．2B ．22C ．42D ．422-【答案】D【分析】 分别过点A 、E 作AF ⊥BC ，EG ⊥BC ，分别交BC 于点F ，G ，由题意易得AF =2，则有22AB =，设EG =BG =AE =x ，进而可得2EB x =，然后可得222x x +=，最后问题可求解．【详解】解：分别过点A 、E 作AF ⊥BC ，EG ⊥BC ，分别交BC 于点F ，G ，如图所示：∵45,B AD AB ∠=︒⊥，∴△AFB 、△BEG 、△BAD 都为等腰直角三角形，∴EG =BG ，AF =BF =DF ，2,2AB AF BE EG ==，∵4,30AC C =∠=︒，∴122BF AF AC ===， ∴222AB AF ==∵DE 平分ADB ∠，∴EG =AE ，设EG =BG =AE =x ，则有2EB x =，∵AE BE AB +=，222x x +=422x =-∴422AE =-故选D ．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形及含30°直角三角形的性质、角平分线的性质定理及二次根式的运算，熟练掌握等腰直角三角形及含30°直角三角形的性质、角平分线的性质定理及二次根式的运算是解题的关键．亮题四：分母有理化b则a与b的关系是（）31．（2021·江苏·常熟市第一中学八年级阶段练习）已知：aA．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2【答案】C【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项．【详解】解：分母有理化，可得a b∴a-b=（-（A选项错误，不符合题意；a+b=（+（=4，故B选项错误，不符合题意；ab=（×（=4-3=1，故C选项正确，符合题意；∵a2=（2b2=（2∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．32．（2021·全国·八年级专题练习）下列二次根式的运算：==，2-；其中运算正确的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】由二次根式的性质、二次根式的混合运算进行计算，再进行判断，即可得到答案．【详解】=①正确；==②正确；22555=，故③正确；()222-=，故④错误；∴正确的3个；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．33．（2021·全国·八年级专题练习）已知，在ABC中，D是BC边上一点，30,45ABC ADC∠=∠=．若D 是BC边的中点，则ACB∠的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】C【分析】过A作AE⊥BC于E，在AE上取点F，连接CF，使得∠CFE=30°，设DE=x，即可得出CE=DE-CD=()23x，进而得到AE=(23CE，再根据3，CF=2CE，得到AF=AE-EF=2CE=CF，即可得到∠ACE的度数，从而得到结果．【详解】解：如图所示，过A作AE⊥BC于E，在AE上取点F，连接CF，使得∠CFE=30°，设DE=x，∵∠ABE=30°，∠ADE=45°，∴AE=x，3，BD=CD=)31x，∴CE=x-)31x=(23x，∴AECE=23AE=(23CE，又∵Rt△CEF中，3，CF=2CE，∴AF=AE-EF=2CE=CF ，∴∠FAC=∠FCA=12∠CFE=15°，∴∠ACE=∠ACF+∠ECF=15°+60°=75°，∴∠ACB=105°，故选C ．【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．34．（2020·广东·深圳市宝安中学（集团）九年级期中）已知三个数224如果再添加一个数，使这四个数成比例，则添加的数是（ ）． A ．22B ．222 C ．24282．22或42【答案】D【分析】运用比例的基本性质，将所添的数当作比例式a ：b =c ：d 中的任何一项，进行计算即可，【详解】设添加的这个数是x 当224:x =时，242x =2x = 当2:42x =时，242x =2x = 当2:42x =422x =2x = 当22:4x =28x =， 解得42x =故选D ．【点睛】本题考查比例的基本性质，注意写比例式的时候，一定要按照顺序写，顺序不同，结果不同.35．（2021·全国·八年级课时练习）已知a =b ，则a 与b 的大小关系是（ ）． A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．无法确定 【答案】B【分析】 将a =b =进行分母有理化，再比较即可． 【详解】 解：451451515151a ， 462462626262b ，1<1< ∴a b <．故选B ．【点睛】 本题考查了分母有理化，不等式的性质，实数比较大小等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．36．（2021·全国·八年级课时练习）已知1a =，b =a 与b 的关系为（ ） A ．a b =B ．1ab =C ．=-a bD ．1ab =-【答案】A 【分析】根据分母有理化的知识，即可得解．【详解】解:1a =，b =1，a b ∴=，故选A ．【点睛】本题考查了分母有理化的法则，正确找出有理化因式是解题的关键．37．（2020·河北·八年级期末）若a ，2b =a b 的值为（ ） A ．12B ．14CD 【答案】B【分析】将a 乘以可化简为关于b 的式子, 从而得到a 和b 的关系, 继而能得出a b 的值 【详解】解：4b a === 14a b ∴= 故选：B .【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b 的形式．38．（2020·全国·八年级课时练习）下列结论正确的是（ ）ABC 1=D ．不等式(21x >的解集是(2x >- 【答案】A【分析】根据二次根式的性质、最简二次根式的概念和不等式的解法逐项判断即可.【详解】解：A.B.C.11==，故本选项错误；D. 不等式(21x >的解集(2x -＜，故本选项错误故选A【点睛】本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是关键.39．（2020·全国·八年级课时练习）已知1a =,b =则a 与b 的关系是（ ） A ．1ab = B ．0a b += C ．1ab =- D ．a b =【答案】D【分析】先化简b 再找关系即可．【详解】b =4∵1a =，∴a b =，故选D. 【点睛】此题考查分母有理化，解题关键在于掌握运算法则.40．（2020·辽宁营口·八年级期中）已知a 2b =则a 与b 的关系是()A ．a b =B ．1ab =C ．=-a bD ．1ab =-【答案】C 【分析】将a 分母有理化，然后求出a+b 即可得出结论．【详解】解：2a ====∴()220a b +=-+=∴=-a b故选C ．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键．亮题五：二次根式的应用41．（2021·湖北利川·八年级期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为218cm和232cm的两个小正方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（）A．260cm C．298cm B．238cm48cm D．2【答案】C【分析】如图，由题意知S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)，得BC=32=42（cm），HG=18=32（cm），进而求得S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF．【详解】解：如图．由题意知：S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)．∴BC32=42cm），HG18=32cm）．∵四边形BCDM是正方形，四边形HMFG是正方形，∴BC=BM=MD2，HM=HG=MF2cm．∴S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF=BM•HM+MD•MF222×2=48（cm 2）．故选：C ．【点睛】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．42．（2021·福建·厦门市集美区乐安中学八年级阶段练习）若实数x ，y 2440y y -+=，则y x 的值是( )A ．3-B ．19C ．9D ．3【答案】C【分析】直接利用非负数的性质得出x ，y 的值，进而得出答案．【详解】解：2440y y -+=，2(2)0y -=，30x ∴+=，20y -=，解得：3x =-，2y =，则2(3)9y x =-=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，正确得出x ，y 的值是解题的关键．43．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）秦九是我国南宋著名的数学家，他与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中记录了三斜求积术，即三角形的面积S =a ，b ，c 用公式计算出它的面积为（ ）A ．132BCD ．2【答案】B【分析】直接把已知数据代入进而化简二次根式得出答案．【详解】∴它的面积是：S =∴S∴S =∴S == 故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．44．（2021·河北沧县·八年级期中）我们把形如b （a ，b型无理数，如12是（ ）AB C D【答案】D【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式8=+【详解】解：2358=+=+所以2故选：D ．【点睛】本题考查了完全平方公式在二次根式中的计算，也考查了无理数，熟练掌握完全平方公式及二次根式的运算法则是解决本题的关键．45．（2021·四川江油·八年级期末）已知1a a -=1a a +的值是（ ）A ．23B ．23±C ．23-D ．6±【答案】B【分析】 根据21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭211=+4a a a a ⎛⎫-⋅⋅ ⎪⎝⎭，求21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，即可求得1a a +的值 【详解】解：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 211=+4a a a a ⎛⎫-⋅⋅ ⎪⎝⎭ ()2224=+=12所以，123a a +=±． 故选B ．【点睛】本题考查完全平方公式和二次根式的的运用，解题的关键是21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的关系． 46．（2021·辽宁朝阳·八年级期中）《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“三角形的面积＝底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为：S ＝2222221()42a b c a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦（其中a 、b 、c 为三角形的三条边长，S 为三角形的面积）．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝6，AD ＝3，对角线BD ＝5，则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．11B ．14C ．142D ．72【答案】B【分析】 根据已知条件的公式计算即可；【详解】根据题意可知：a ＝6，b ＝3，c ＝5，∴S ＝2222221()42a b c a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦， ＝216+3563()42-⎡⎤⨯-⎢⎥⎣⎦， ()11844=-， 72=， 142=， ∴△142ABD S =， ∴平行四边形△=214ABCD ABD S S =；故答案选B ．【点睛】 本题主要考查了二次根式的应用，准确分析计算是解题的关键．47．（2021·河北宽城·八年级期末）如图．从一个大正方形中裁去面积为8m 2和18cm 2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（ ）A ．22B ．12cm 2C ．8cm 2D ．24cm 2【答案】D【分析】直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．【详解】解：∵两个小正方形面积为8cm 2和18cm 2，∴=∴大正方形面积为（2=50，∴留下的阴影部分面积和为：50-8-18=24（cm 2）故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键．48．（2021·江苏·九年级专题练习）已知实数x y ，满足50x -=，则x y ，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ．21或18B ．21C ．18D ．以上均不对．【答案】A【分析】根据非负数的意义列出关于x 、y 的方程并求出x 、y 的值，再根据x 是腰长和底边长两种情况讨论求解．【详解】解：根据题意得 5080x y -=⎧⎨-=⎩ 解得58x y =⎧⎨=⎩1（）若5是腰长，则三角形的三边长为：5、5、8，能组成三角形，周长为55818++=；2（）若5是底边长，则三角形的三边长为：5、8、8，能组成三角形，周长58821++=； 即等腰三角形的周长是21或18．故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断，根据题意列出方程是正确解答本题的关键．49．（2021·湖南岳阳·八年级期末）如图，在长方形ABCD 中无重叠放入面积分别为216cm 和212cm 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）2cmA ．1683-B ．1283-+C ．843-D ．423-【答案】B【分析】 先根据正方形的面积公式求出两张正方形纸片的边长，从而可得长方形ABCD 的长与宽，再利用长方形ABCD 的面积减去两个正方形的面积即可得．【详解】面积为216cm 164()cm ，则4CD cm =，面积为212cm 1223()cm =， 则(423)BC cm =+， 因此，图中空白部分面积为21612168316128312()BC CD cm ⋅--=+-=，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的几何应用，正确求出两个正方形的边长是解题关键．50．（2021·全国·八年级单元测试）设n ，k 为正整数，A 1(3)(1)4n n +-+，A 21(5)4n A ++A 3＝2(7)4n A ++…A k 1(21)4k n k A -+++A 100＝2005，则n ＝（ ）A ．1806B ．2005C ．3612D ．4011【答案】A【分析】利用多项式的乘法把各被开方数进行计算，然后求出A 1、A 2、A 3的值，从而找出规律并写出规律表达式，再把k ＝100代入进行计算即可求解．∵（n＋3）（n−1）＋4＝n2＋2n−3＋4＝n2＋2n＋1＝（n＋1）2，∴A1n＋1，（n＋5）A1＋4＝（n＋5）（n＋1）＋4＝n2＋6n＋5＋4＝n2＋6n＋9＝（n＋3）2，∴A2n＋3，（n＋7）A2＋4＝（n＋7）（n＋3）＋4＝n2＋10n＋21＋4＝n2＋10n＋25＝（n＋5）2，A3n＋5，…依此类推A k＝n＋（2k−1），∴A100＝n＋（2×100−1）＝2005，解得n＝1806．故选：A．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，对被开方数整理，求出A1、A2、A3，从而找出规律写出规律的表达式是解题的关键．【亮点训练】1．（2021·）A B．C D【答案】D【分析】先将各选项进行二次根式的化简，再根据同类二次根式的概念求解即可．【详解】解：A==B=-C=D=【点睛】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．2．（2021·吉林德惠·a等于（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5【答案】A【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程解即可．【详解】解：∵∴3a=5-2a，解得，a=1．故选：A．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．3．（2021·江苏昆山·八年级期中）下列运算或叙述正确的是（）A B．4的平方根是C．面积为12的正方形的边长为D±【答案】C【分析】根据合并同类二次根式，平方根，二次根式的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：A：被开方数不同，不能合并二次根式，故本选项不合题意；B：4的平方根是±2，故本选项不合题意；C：面积为12∴符合题意；D故选：C．本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．4．（2021·河北·＝±2；②立方根是本身的数为0，1；x ＞3；④210.0×104精确到千位，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据算术平方根，立方根，二次根式有意义的条件，分母有理化，近似数的定义逐个分析判断即可【详解】解：2=，故①不正确；②立方根是本身的数为0，±1，故②不正确；③有意义，则x ≥3，故③不正确；④2④正确； ⑤10.0×104100000=∴近似数10.0×104精确到千位，故⑤正确故正确的有④⑤，共计2个故选B【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，二次根式有意义的条件，分母有理化，近似数的定义，掌握以上知识是解题的关键．5．（2021·浙江嘉兴·中考真题）能说明命题“若x 为无理数，则x 2也是无理数”是假命题的反例是（ ）A ．1xB ．1x =C ．x =D ．x =【答案】C【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断．【详解】解：A 、)221=3x =-。
21.3 二次根式的加减
考点名称：同类二次根式∙化成最简二次根式后的被开方数相同,这样的二次根式叫做同类二次根式。
一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。
要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。
∙同类二次根式与同类项的异同：同类二次根式与同类项无论在表现形式上还是运算法则上都有极类似之处，因此我们把二者的区别和联系列出，学习时注意辨析、对比来应用。
相同点1. 两者都是两个代数式间的一种关系。
同类项是两个单项间的关系，字母及相同字母的指数都相同的项；同类二次根式是两个二次根式间的关系，指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。
2. 两者都能合并，而且合并法则相同。
我们如果把最简二次根式的根号部分看做是同类项的指数部分，把根号外的因式看做是同类项的系数部分，那么同类二次根式的合并法则与同类项的合并法则相同，即“同类二次根式（或同类项）相加减，根式（字母）不变，系数相加减”。
不同点1. 判断准则不同。
判断两个最简二次根式是否为同类二次根式，其依据是“被开方数是否相同”，与根号外的因式无关；而同类项的判断依据是“字母因式及其指数是否对应相同”，与系数无关。
2. 合并形式不同。
考点名称：二次根式的定义∙二次根式:我们把形如叫做二次根式。
二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
确定二次根式中被开方数的取值范围：要是二次根式有意义，被开方数a必须是非负数，即a≥0，由此可确定被开方数中字母的取值范围。
∙二次根式性质：（1）a≥0 ；≥0 （双重非负性)；（2）；（3）0(a=0);（4）；（5）。
∙二次根式判定：①二次根式必须有二次根号，如，等；②二次根式中，被开方数a可以是具体的一个数，也可以是代数式；③二次根式定义中a≥0 是定义组成的一部分,不能省略;④二次根式是一个非负数;⑤二次根式与算术平方根有着内在的联系,(a≥0 )就表示a的算术平方根。