贵州2016中考面对面数学课件第21课时

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贵州2016中考面对面数学课件第15课时

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贵州三年中考
常考类型剖析
解：根据题意，得
3 40×60-(4a²-200a+2400)= ×40×60， 8 整理，得a²-50a+225=0,
解得a1=5, a2=45(舍去)， ∴当甬道的宽是5米时，甬道面积是整个长方形空地面积的； 3 8 (3)【思路分析】根据函数图象分别确定y1和y2的表达式，设总造价为w，则w= y1+ y2,然后将y1和y2表达式中的x(面积)用甬道宽度a表示，即w用a表示出来，根据二次函数增减性确定最低造价.
贵州三年中考
常考类型剖析
【温馨提示】二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意.利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润，最节省方案等问题.
常考类型剖析
类型
例
次函数的实际应用
(’15南宁)如图①，为美化校园环境，某校计划在一块长为 60米，
b 30 2a 2 (5)
=3 s时,小球运动到最高点.
(’14 武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出
某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：时间x(天) 售价(元/件) 1≤x<50 x+40 50≤x≤90 90
每天销量(件)
200-2x
已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品每天的利润为y元.
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(1)求出y与x的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少？ (3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果. 解：(1)当1≤x＜50时, y=［(x+40)-30］(200-2x)=-2x²+180x+2000. 当50≤x≤90时,

(贵州)RJ人教版九年级数学上册(教学设计电子教案)第二十一章一元二次方程(全单元教案含反思)

第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式．2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．一、情境导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别下列选项中，是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数关于x的方程(k＋1)x＋kx＋1＝0是一元二次方程，则k的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|k－1|＝2，k＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝3或k＝－1，k≠－1.∴k＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x2－2＝5x；(2)9x2＝16；(3)2x(3x＋1)＝17；(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x2－5x－2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.(2)方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.(3)方程化为一般形式为6x2＋2x－17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.(4)方程化为一般形式为3x2－9x－3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．探究点三：列一元二次方程(2015·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2.已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解析：设花边的宽度为x m，则由图可知剩下部分的长为(2－2x)m，剩下部分的宽为(1.4－2x)m.∵剩下部分面积为1.6m2，∴可列方程(2－2x)(1.4－2x)＝1.6.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．探究点四：一元二次方程的解【类型一】判断一元二次方程的解方程x－2x＝0的解为( )A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝0，x2＝1C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝12，x2＝2解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C中的x1＝0，x2＝2都能使方程x2－2x＝0的左右两边相等，所以选C.方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x＋x＋1＝0的一个根，则m的值是( ) A．1 B．－1C．0 D．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.21．2.1 配方法第1课时直接开平方法1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x ＋m )2＝n 的方程．3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程： (1)4x 2＝9；(2)(x ＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32.(2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝－2－3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a .【类型二】直接开平方法的应用(2014·山东济宁中考)若一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别是m＋1与2m －4，则ba＝________.解析：∵ax2＝b，∴x＝±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1，∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2，∴ba＝2，∴ba＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝________．解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为x cm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．三、板书设计教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.第2课时配方法1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．一、情境导入李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？二、合作探究探究点：配方法【类型一】配方用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( ) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.故选D.方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【类型二】利用配方法解一元二次方程用配方法解方程：x－4x＋1＝0.解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方程，得x－2＝± 3.∴x1＝2＋3，x2＝2－ 3.方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式．【类型三】用配方解决求值问题已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求x－2yx2＋y2的值．解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x＝－2且y＝3，∴原式＝－2－613＝－813.【类型四】用配方解决证明问题(1)用配方法证明2x－4x＋7的值恒大于零；(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式．证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5.∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5，即2x2－4x＋7≥5，故2x2－4x＋7的值恒大于零．(2)x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋8等．【类型五】配方法与不等式知识的综合应用证明关于x的方程(m－8m＋17)x＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程．解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m2－8m＋17的值不等于0.证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1，又∵(m－4)2≥0，∴(m －4)2＋1＞0，即m2－8m＋17＞0.∴不论m为何值时，原方程都是一元二次方程．三、板书设计教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式.21．2.2公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念．2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)x2－x＋14＝0；(3)x2－x＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x2－x＋14＝0，a＝1，b＝－1，c＝14.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根．(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x的一元二次方程(a－1)x－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A．a>2 B．a<2C．a<2且a≠1 D．a<－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况已知：关于x的方程2x＋kx－1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．证明：Δ＝k2－4×2×(－1)＝k2＋8，无论k取何值，k2≥0，所以k2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x2＋kx－1＝0有两个不相等的实数根．方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论．【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”，他的说法对吗？请说明理由．解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长是(10－x)，由题可得，x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．探究点二：公式法解一元二次方程【类型一】用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程：(1)2x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；(3)5x2－4x＋12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算b2－4ac的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解．解：(1)这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x＝－b±b2－4ac2a＝－1±492×2＝－1±74，即原方程的解是x1＝－2，x2＝32.(2)将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝－4±242＝－2± 6.∴原方程的解是x1＝－2＋6，x2＝－2－ 6.(3)∵b2－4ac＝－224<0，∴原方程没有实数根．(4)整理，得4x 2＋12x ＋9＝0.∵b 2－4ac ＝0，∴x 1＝x 2＝－32.方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x 2－10x ＋21＝0的解，则第三边的长为( )A ．7B ．3C ．7或3D ．无法确定解析：解一元二次方程x 2－10x ＋21＝0，得x 1＝3，x 2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x ＜8.所以第三边的长x ＝7.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．三、板书设计教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是Δ≥0.21．2.3因式分解法1．认识用因式分解法解方程的依据．2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．一、情境导入我们知道ab＝0，那么a＝0或b＝0，类似的解方程(x＋1)(x－1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0来解，你能求出(x＋3)(x－5)＝0的解吗？二、合作探究探究点一：用因式分解法解一元二次方程【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x2＋5x＝0；(2)(x－5)(x－6)＝x－5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次三项式，可用因式分解法．解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5；(2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5)＝0，∴(x－5)[(x－6)－1]＝0，∴(x－5)(x －7)＝0，∴x－5＝0或x－7＝0，∴原方程的解为x1＝5，x2＝7.【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x2－6x＝－9；(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.解：(1)原方程可变形为：x2－6x＋9＝0，则(x－3)2＝0，∴x－3＝0，因此原方程的解为：x1＝x2＝3.(2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0，(7x－16)(－3x＋4)＝0，∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，∴原方程的解为x1＝167，x2＝43.方法总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．探究点二：用因式分解法解决问题若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC 的形状．解析：先分解因式，确定a，b，c的关系，再判断三角形的形状．解：∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a－c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c或a ＝b，∴△ABC为等腰三角形．三、板书设计利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力．在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法.*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1．探索一元二次方程的根与系数的关系．2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．一、情境导入一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为已知常数，p2－4q≥0)，试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1·x2的值，你能得出什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值已知m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，则1m＋1n的值为( ) A．－1 B.12C．－12D．1解析：根据根与系数的关系，可以求出m＋n和mn的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，所以m＋n＝12，mn＝－1，1m＋1n＝n＋mmn＝12－1＝－12.故选C.方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( ) A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1·x2＝－20.如果令方程ax2＋bx＋c＝0中，a＝1，则－b＝－1，c＝－20.∴方程为x2＋x－20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解(2014·云南曲靖)已知＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数5，则a的值是( )A．－1或5 B．1C．5 D．－1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，得x21＋x22＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a ＝－1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a ≠6.由根与系数关系得：x1＋x2＝－2aa－6，x1x2＝aa－6.由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，∴－2aa－6＋4＝aa－6，解得a＝24.经检验a＝24是方程－2aa－6＋4＝aa－6的解．即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－2aa－6＋aa－6＋1＝66－a为负整数，则6－a为－1或－2，－3，－6.解得a＝7或8，9，12.三、板书设计教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.21．3实际问题与一元二次方程第1课时传播问题与一元二次方程1．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理．2．联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键．一、情境导入某细菌利用二分裂方式繁殖，每次一个分裂成两个，那么五次繁殖后共有多少个细菌呢？二、合作探究探究点：传播问题与一元二次方程【类型一】疾病传染问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意可知，在第一轮，有x个人被传染，此时，共有(1＋x)人患了流感；到了第二轮，患流感的(1＋x)人作为“传染源”，每个人又传染给了x个人，这样，在第二轮中新增加的患了流感的人有x(1＋x)人，根据等量关系可列一元二次方程解答．解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64，解之，得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)7×64＝448(人)．答：又将有448人被传染．方法总结：建立数学模型，利用一元二次方程来解决实际问题．读懂题意，正确的列出方程是解题的关键．【类型二】分裂增长问题月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂．现有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73.求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得：1＋x＋x2＝73，解得：x1＝8，x2＝－9(舍去)．答：每个支干长出8个小分支．三、板书设计教学过程中，强调利用一元二次方程解应用题的步骤和关键．特别是解有关的传播问题时，一定要明确每一轮传染源的基数.第2课时平均变化率与一元二次方程1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．2．会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题．一、情境导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决增长率问题【类型一】增长率问题某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．答：这种产品产量的年增长率为10%.(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．答：2014年这种产品的产量应达到110万件．方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n.某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)解析：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋以后几个月的收入减去一次性支付640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入－每个月的维护费，然后解不等式．解：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得，x1＝－3.2(舍)，x2＝0.2，所以2月，3月生产收入的月增长率为20%.(2)设m个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，解得，m≥12.所以，使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【类型二】利润问题一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？解析：根据条件设该校共购买了x棵树苗，根据“售价＝数量×单价”就可求解．解：∵60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，∴该校购买树苗超过60棵．设该校共购买了x棵树苗，由题意得x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得x1＝220，x2＝80.当x1＝220时，120－0.5(220－60)＝40＜100，∴x1＝220不合题意，舍去；当x2＝80时，120－0.5(80－60)＝110＞100，∴x2＝80，∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．方法总结：根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【类型三】方案设计问题菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售．由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．分析：第(1)小题设平均每次下调的百分率为x，列一元二次方程求出x，舍去不合题意的解；第(2)小题通过计算进行比较即可求解．解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2＝3.2，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(舍去)．∴平均每次下调的百分率为20%；(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．三、板书设计教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.。

人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件

2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章一元二次方程
课程结束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；

人教版数学九年级上册课程讲义第二十一章：21.2 解一元二次方程-解析版-word

知识梳理讲解用时：30分钟【答案】D【解析】考查了直接开平方法解一元二次方程，由原方程得到：（x ﹣2019）2=﹣2019，∵（x ﹣2019）2≥0，﹣2019＜0，∴该方程无解，故选：D. 讲解用时：2分钟解题思路：先移项，然后利用直接开平方法解方程。

教学建议：形如x 2=p 或（nx+m ）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：余干县校级期末年份：2019秋【练习1】已知一元二次方程mx 2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须（）。

A ．n=0B ．mn 同号C ．n 是m 的整数倍D ．mn 异号【答案】D【解析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，mx 2+n=0，则mx 2=﹣n ，即x 2=﹣mn ， ∵x 2≥0，m≠0，∴mn 异号，故选：D. 讲解用时：2分钟解题思路：由mx 2+n=0移项得mx 2=﹣n ，再两边同时除以m ，可得x 2=﹣mn ，再根据偶次幂的非负性可得mn 异号。

教学建议：解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：海原县校级期中年份：2019秋【例题2】在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2，则方程（4★3）★x=13的根为。

【答案】x1=6，x2=﹣6【解析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，根据新定义可以列方程：（42﹣32）★x=13，则72﹣x2=13，∴49﹣x2=13，则x2=36，∴x1=6，x2=﹣6，故答案为：x1=6，x2=﹣6.讲解用时：3分钟解题思路：根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根。

人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程课件PPT

说明：⑴未知数个数1个。
⑵未知数的最高次数是2次。
一元二次方程
定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程
二次项系数
二次项
一次项
一次项系数
常数项
一般形式
a x2 + b x + c = 0
当b≠0,c ≠0时，
当b=0或c =0时，
方程ax2+b x+c=0 (a≠0)叫一般的～
解：
两边开平方，得：
解：
两边同加上1，得
解：
把方程左边分解因式，得
化简，得
例9 解方程
解：
化简得
解：
化简得
较复杂的方程，先整理化简，再寻找合适的解法
练习1 用适当的方法解下列方程
练习2 用适当的方法解下列方程
（x1=-1+ ，x2=-1- ）
（t1= ，t2= - ）
(a≠0, b2-4ac≥0)
例 6用公式法解方程： x2 – x - =0
解：方程两边同乘以 3 得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2. ∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.
解：
直接开平方法
一元二次方程的第二种解法:配方法
配方法的一般步骤：
1）把方程化成二次项系数是1的形式
2）移项整理使方程左边仅有二次项和一次项，右边仅有常数项。
3）配方：方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方。
4）再把方程左边化成完全平方式
5）最后用直接开平方法求方程的解。
求根公式 : X=
∴x=
即 x1=2, x2= -
例7用公式法解方程： x2 +3 = 2 x

人教版初三九年级数学第二十一章《一元二次方程复习PPT课件》

七楼A座办公家园
典型例题：
x2 -8x-9=0.
解：移项，得 x 2-8x=9,
两边都加一次项系数一半的平方，
x 2-8x+4 2=q+4 2,
配方，得
(x-4) 2=25,
解这个方程，得 x-4=±5，
移项，得
x=4±5.
即 x 1=9,x2 =-1. (口头检验，是不是原方程的根)
典型例题：
(1)x2-10x+24=0; (2)x2-8x+15=0;
(3)x2+2x-99=0; (4)y2+5y+2=0;
(5)3x2-1=4x;
(6)2x2+2x-30=0;
(7)x2+px+q=0 (p2-4q≥0)；
七楼A座办公家园
公式法：
x b b2 4ac 2a
强调公式的条件：
七楼A座办公家园
应用
七楼A座办公家园
a 0,b2 4ac 0
七楼A座办公家园
根与系数关系
c x1 x2 a
b x1 x2 a
七楼A座办公家园
1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式. 2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当
b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系. 3.可以通过一元二次方程系数判断方程根的情况.
一元二次方程复习
七楼A座办公家园
一元二次方程概念？一般形式？问题1：剪一面积为20cm2的长方
形纸片，且长比宽多1cm，则纸片长、宽各为多少？
七楼A座办公家园
问题2：如图：如果
用一正方形纸片，在

《中考面对面》2016中考数学训练：第21课时湖南三年中考.doc

5. <?14怀化19题10分）如图，在平行四边形ABCD 中，ZB= ZAFE, EA 是ZBEF 的角平分线，求证： (1) AABE^AAFE-,第五单元四边形第21该时年的磁区砂与多0彩湖南三年中考命题点1平行四ii 形的性质计算及判定（2015年考查6次，2014年考查9次, 2013年考查71. （，14长沙4题3分）平行四边形的对角线一定具有的性质2. 3. 4. A.相等 B.互相平分 C.互相垂直D.互相垂直且相等（，13益阳6题4分）如图,在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是A. Z1 = Z2B. ZBAD=ZBCD D. AC±BD（，14娄底20题3分）如图，CJABCD 的对角线AC 、3D 交于点。

，点E AD 的中点，△BCD 的周长为8 cm,则△DE 。

的周长是. cm. <?13 郴州 23 题 8 分）如图，已知 ZADF=ZCBE, AF=CE,求证: 四边形DE3F 是平行四边形. 第4题图(2) ZFAD=ZCDE.第5题图6.（43长沙24题9分）如图，在UABCD中，M, N分别是AD、BC的中点,ZAND=90。

,连接CM交DN于点0.（1）求证：AABN^ACDM-,（2）过点。

作CE—MN于点E,交DN于点、P,若PE=1,Z1=Z2,求AN的长.第6题图命题点2多讥形及其性质（2015年考查6次，2014年考查1次，2013年考查5 次）1.（'13长沙8题3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形2.（，15邵阳15题3分）某正〃边形的一个内角为108。

，贝"=.3.（'15岳阳14题4分）一个"边形的内角和是1800°,贝.4.（，15娄底16题3分）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数为【答案】命题点1平行四边形的性质计算及判定1. B选项选项分析正误2. D..•四边形A3CD是平行四边形，A ZBAD=ZBCD, AB=CD,故B, C选项正确；无法得出ACLBD,故D选项错误.3.4【解析】•..£为AD的中点，。

2016届中考数学一轮复习课件：第21课-三角形(新人教版)(北京专用)

第8页京，考共2探0页究。
第21课时┃三角形
热考京讲
热考一三角形的三边关系
例 1 [2014·海淀初一期末复习] 两根木棒长分别
为 5 cm 和 7 cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一
个三角形，如果第三根木棒长为偶数，那么第三根木
棒的取值情况有( B ) A．3 种
B．4 种
C．5 种
D．6 种
一半
中点
平行
考点聚焦
第5页京，考共2探0页究。
第21课时┃三角形
考点4 三角形的三边关系
大于小于
考点聚焦
第6页京，考共2探0页究。
第21课时┃三角形考点5 三角形的内角和定理及推论
180°
不相邻的两个内角
不相邻
互余
360
考点聚焦
第7页京，考共2探0页究。
第21课时┃三角形
京考探究
考情分析
考点聚焦
考点聚焦
第10京页，考共2探0页究。
第21课时┃三角形
思想方法
分类讨论思想——求三角形的周长已知等腰三角形两边的长求它的周长，或已知周长和一条边的长求另外两边的长，当题目条件中没有明确告诉哪条边是腰，哪条边是底边时，往往要进行分类讨论．其结果有可能是两种情况，也有可能只有一种情况．判断的依据是三角形的三边关系定理．已知 a，b(a<b)是等腰三角形的两边长，那么当 2a≤b 时，腰长只能为 b，周长为 2b＋a；当 2a>b 时，腰长既能为 a，又能为 b，周长有两种，分别为 2a＋b 和 2b＋a.
考点聚焦
第9页京，考共2探0页究。
第21课时┃三角形
变式题
(1)[2014·西城初一下册期末] 若一个等腰三角形的两边长分别为 4 和 10，则这个三角形的周长为 __2_4_____．

人教版数学九年级上册课程讲义第二十一章：21.2 解一元二次方程-学生版-精选文档

解一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是一元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法，为后面一元二次方程的应用奠定良好基础.知识梳理讲解用时：30分钟【练习1】已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须（）.A．n=0 B．mn同号C．n是m的整数倍D．mn异号【例题2】在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2，则方程（4★3）★x=13的根为.【练习2】定义新运算“⊗”，对于非零的实数a，b，规定a⊗b=b2，若2⊗（x﹣1）=3，则x=.【例题3】三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根，则三角形的周长是.【练习3】已知a，3是直角三角形的两条直角边，第三边的长满足方程x2﹣9x+20=0，则a 的值为.【例题4】将一元二次方程﹣x2+6x﹣5=0化成（x﹣m）2=n的形式，则﹣（m﹣n）2019=.【练习4】若方程2x2+8x﹣32=0能配方成（x+p）2+q=0的形式，则直线y=px+q不经过的象限是.【例题5】小明同学用配方法推导关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c=0的求根公式时，对于b 2﹣4ac ＞0的情况，他是这样做的：小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是 .【练习5】等腰三角形的边长是方程x 2﹣x 22+1=0的两根，则它的周长为 .【例题6】解方程：（1）（2x ﹣1）2=9（2）x 2+3x ﹣4=0（用配方法）（3）3x 2+5（2x+1）=0（用公式法）（4）7x （5x+2）=6（5x+2）【练习6】（1）用配方法解方程：3x 2﹣12x+9=0；（2）用公式法解方程：3x 2﹣9x+4=0．【例题7】关于x 的一元二次方程mx 2+nx=0的一根为x=3，则关于x 的方程m(x+2)2+nx+2n=0的根为 .【练习7】若m ＞n ＞0，m 2+n 2=4mn ，则mn n m 22 的值等于 .【例题8】已知方程x 2﹣3x+1=0（1）求x+x1的值；（2）求x ﹣x1的值；（3）若a 为方程x 2﹣3x+1=0一个根，求2a 2﹣6a+2019的值．【练习8】阅读下列材料：（1）关于x 的方程x 2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以x 1得：013=+-x x 即31=+x x ，21121122222++=⋅⋅++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x x x ，211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x （2）a 3+b 3=（a+b ）（a 2﹣ab+b 2）；a 3﹣b 3=（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x 2﹣4x+1=0（x≠0），则x x 1+= ，=+221x x ，=+441xx ；（2）2x 2﹣7x+2=0（x≠0），求331x x +的值. 课后作业【作业1】方程x 2+m=0有实数根的条件是（）.A ．m ＞0B ．m≥0C ．m ＜0D ．m≤0【作业2】等腰三角形的边长是方程x 2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是 .【作业3】定义22b a b a +=*，则方程（x*x 2）﹣（x 2*x ）=2的解为 .。

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