两角差的余弦公式教案

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3.1《两角差的余弦公式》教学设计

3.1.1 两角差的余弦公式（名师：郑莹莹）一、教学目标（一）核心素养掌握用向量方法建立两角差的余弦公式. 在探究公式的过程中,逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力,培养学生学会合作交流的能力. （二）学习目标1.通过探索完成两角差余弦公式的推导2.通过公式的简单应用,使学生初步理解公式的结构及其功能,并为建立其他和（差）角公式打好基础. （三）学习重点通过探索得到两角差的余弦公式（四）学习难点探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题等等. 二、教学设计（一）课前设计 1.预习任务已知2cos 45=，3cos30=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=是不是等于cos 45cos30-呢？如果不是，那cos15?=o2.预习自测（1）下列式子中正确的个数是( )①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β； ③cos(π2－α)＝cos α；④cos(π2＋α)＝cos α. A ．0 B ．1C ．2D ．3 答案：A ．解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】①②③④都错点拨：每个都配凑成标准两角差的余弦公式型. （2）计算12sin 60°＋32cos 60°＝________.答案：32 解析：【知识点】特殊角的三角函数值，两角差的余弦公式【解题过程】原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32.点拨：先将常值换成三角函数型，在结合公式.（3）设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A.75 B.15 C ．－75 D ．－15 答案：A ．解析：【知识点】两角差公式的展开形式【解题过程】∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，∴cos α＝45. ∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4＋sin αsin π4＝cos α＋sin α＝45＋35＝75.点拨：先求出需要的三角函数值，再套用公式.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）三角函数的定义（2）两个向量的数量积公式 2.问题探究探究一 ●活动1在预习任务中我们提出的cos15?=o ，同学们发现它并不是直接将cos 45-cos30︒o.下面我们一起来探究一下两角差的余弦公式()cos ?αβ-=在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为p ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）【设计意图】通过已经学习过的三角函数线的基本定义，运用数形结合的思想，和学生一起探索出两角差的几何位置. ●活动2我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ 2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A 、点B 的坐标.证明：在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角αβ、，其中，且[]0,αβ∈、πβα≥，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B ，则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==由向量数量积的坐标表示，有：βαβαββααsin sin cos cos )sin ,(cos )sin ,(cos +=∙=∙由[]π,0,∈βα，且βα≥知[]πβα,0∈-，那么向量OA 的夹角就是βα-，由数量积的定义，有cos()cos()OA OB OA OB αβαβ∙=-=-于是βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- （1）由于我们前面的推导均是在[]0,αβ∈、π，且βα≥的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性.事实上，只要[]πβα,0∈-，βα-所表示的就是向量,OA OB 的夹角.（这一点可以结合图形作出说明.）但是，若[]πβα,0∉-，（1）式是否依然成立呢？当[]πβα,0∉-时，设与的夹角为θ，则cos cos OA OB OA OB θθ∙==βαβαsin sin cos cos +=另一方面，θβπα++=k 2，于是,,2Z k k ∈+=-θπβα所以θβαcos )cos(=-也有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-【设计意图】在探究公式的过程中，教材不要求学生做到一步到位.首先对角选择较为特殊的范围来进行探究，能让学生从整体上感知本节课所要探究的途径与目的，让大部分学生都参与到探究中来，避免部分学生一开始就感觉到困难，提不起向下探究的兴趣. 探究二 ●活动①对任意的()cos cos cos sin sin αβαβαβαβ-=+、，注：1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；3.式子中α、β是任意的.【设计意图】和学生一起记忆新公式，并强调如何能准确熟练的记住. 探究三 ●活动1例1利用差角余弦公式求︒15cos 【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】方法一：cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin 30︒=︒-︒=︒︒+︒︒=方法二：cos15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45︒=︒-︒=︒︒+︒︒=【思路点拨】先找到与15°相关的特殊角，而它的配凑有几种不同形式，都可以尝试用公式计算..同类型训练题：如何求︒75sin ？解析：【知识点】两角差的余弦，诱导公式. 【数学思想】类比【解题过程】sin 75cos15︒=︒=点拨：把没有学过的形式向已经学习过的转化，当然这个题同时也提出了两角和正弦公式.例2化简求值︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（【知识点】两角差的余弦公式的逆用【解题过程】︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（2160cos )2080cos(=︒=︒-︒=（2）1=cos60sin 602︒=︒所以原式cos60cos15sin 60sin15cos(6015)︒︒+︒︒=︒-︒=点拨：根据结构形式，把公式灵活应用，逆用公式，能将特殊值转化成角的三角函数值形式.答案：（1）12（2同类型训练题：化简求值(1)cos cos(15)sin sin(15)x x x x +︒++︒(2)cos32cos77sin 32cos167︒︒-︒︒答案：（1（2解析：【知识点】两角差的余弦公式的逆用【解题过程】cos cos(15)sin sin(15)cos(15)cos15x x x x x x +︒++︒=+︒-=︒（1）cos32cos77sin 32cos13cos32cos77sin 32sin 77=cos45︒︒+︒︒=︒︒+︒︒︒（2）点拨：根据结构形式，把公式灵活应用，逆用公式，能将特殊值转化成角的三角函数值形式. ●活动2例345sin ,(,),cos ,cos()5213πααπββαβ=∈=--已知是第三象限角，求的值答案：3365-解析：【知识点】同角三角函数关系，两角差的余弦公式【解题过程】由⎪⎭⎫⎝⎛∈=ππαα,2,54sin ，得53sin 1cos 2-=--=αα又由ββ,135cos -=是第三象限角，得12sin 13β==-所以βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-所以原式=354123351351365⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点拨：先把公式中需要的单角的正弦和余弦值都求出来，此时要注意正负号的象限问题. 再套用两角差的余弦公式就可以了. 同类型训练题：已知αβ、都是锐角，1411)cos(,71cos -=+=βαα，求 βcos 的值.答案：1cos 2β=解析：【知识点】两角差的余弦公式，两角和的余弦公式，同角三角函数的关系【数学思想】类比归纳【解题过程】法一:由1cos ,0,72παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，得sin α=又由11cos()cos(())cos cos sin sin()=-14αβαβαβαβ+=--=+-所以111cos sin 714ββ⨯=-，同时22cos +sin 1ββ=联立得 1cos 2β=法二:由题知2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以sin()sin αβα+== 1cos cos[()]cos()cos sin()sin =2βαβααβααβα∴=+-=+++点拨：此题是对公式的活用，由学生讨论解决.此题一般有两种方法可以求解.一种方法是把)cos(βα+分解，此公式还没推导，但部分学生可能会把βα+看作βα)(--，然后用两角差的余弦公式分解，再结合同角三角函数的基本关系求解.这种方法虽然较繁，但却让学生在无意当中发现了两角和的余弦公式.另一种方法是把β看做两角差，即αβαβ-+=)(，这种方法显然计算要简单得多.通过不同方法的讲解，鼓励学生从不同的角度思考问题，并指引学生在考试中选择较为简便的方法解题.【设计意图】此题理解公式的基础练习，解此题需要思考使用公式前应作出的必要准备，要作出这些必要的准备，需要运用到同角三角函数的知识.解题时必须强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性. 3.课堂总结知识梳理（1）了解两角差的余弦公式的推导过程；（2）熟练记忆公式和逆用形式；（3）能利用公式进行简单的化简和求值.重难点归纳（1）了解两角差的余弦公式的推导过程；（2）对公式的简单应用. （三）课后作业基础型自主突破1.设(0,)2απ∈,若3sin 5α=,)4απ+=( )A.15B.75C.75-D.15-答案：A解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】∵(0,)2απ∈,3sin 5α=,∴4cos 5α=,原式cos cos -+sin sin -44ααππ⎤⎥⎦（）（）=431cos sin 555αα-=-= 点拨：应用公式展开，将对应的函数值代入 2.sin110sin 40cos 40cos 70+等于( )A.12-C.1 2D.答案：B解析：【知识点】两角差的余弦公式的逆用，诱导公式【解题过程】原式cos40cos70sin40sin(18070)=+-cos40cos70sin40sin70 =+=3 cos(4070)cos(30)-=-=点拨：先统一角的形式，使其与两角差的余弦公式形式一致，再用公式化简. 3.1sin10-的值是( )A.1B.2C.4D.14答案：C解析：【知识点】两角差的余弦公式，诱导公式【解题过程】()()()()()32cos10sin102cos103sin10=2cos60cos10sin60sin10=1cos80cos10sin80sin1022cos6010=41cos80102⎫-⎪-⎝⎡⎤-+-⎣⎦+--=-原式点拨：先将特殊值化为具体三角函数，再将公式结构配凑成标准型4.sin1212ππ-的值是( )B.D.-12答案：B解析：【知识点】特殊角的三角函数值，两角差的余弦公式【解题过程】原式=12sin 12212⎫ππ--⎪⎪⎭=2cos 2cos 1264πππ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭ 点拨：先将常数配凑成特殊角的三角函数值，并让整体符合两角差的余弦公式，再化简.5.已知3sin 5α=-,α是第四象限角,则sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=____________.解析：【知识点】同角三角函数关系，两角差的余弦公式，诱导公式【解题过程】由3sin 5α=-,α是第四象限角,得4cos 5α===,于是有sin cos()cos cos sin sin 4444ππππαααα⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭4355⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 点拨：先求出需要的三角函数值，将正弦化成余弦形式，再结合两角差的余弦公式.能培养将未知的转化成已经学习过的知识的迁移能力. 6.不满足sin αsin β＝22－cos αcos β的一组α，β值是( ) A ．α＝π2，β＝π4 B ．α＝2π3，β＝5π12C ．α＝2π3，β＝π12D ．α＝π4，β＝π2答案：C解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】因为sin αsin β＝22－cos αcos β，所以cos(α－β)＝22，经检验C中的α，β不满足点拨:应用公式展开注意逆用.能力型师生共研7.已知锐角αβ、满足4cos 5α=,1tan(=3αβ--）,求cos β.解析：【知识点】同角的三角函数值的关系，两角差的余弦公式【解题过程】αQ 为锐角,且4cos 5α=,得3sin 5α= 40,0,cos 225ππαβα<<<<=Q ∴22ππαβ-<-<又∵1tan(3αβ-=-） ∴cos()αβ-= 从而sin()tan()cos()αβαβαβ-=--=43cos cos[()]cos cos()+sin sin()(55βααβααβααβ=--=--=+⨯点拨：先求出单角的三角函数值，关键是能将所求角β利用已知的两个整体角αβα-、表示，在求角的时候注意角所在的象限及符号.8.若α为锐角，且cos α＝255，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.答案：31010解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】由α为锐角，且cos α＝255，可得sin α＝55.于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin αsin π4＝22×255＋22×55＝31010 点拨：应用公式展开注意逆用.探究型多维突破9.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0.αβγαβγ++=++=(1)求cos()αβ-的值;(2)若[0,3αβγ4π∈]、、,求sin()αβγ++的值. 答案：sin()sin 2αβγ++=π=0解析：【知识点】同角三角函数的关系，两角差的余弦公式【解题过程】(1)sin sin sin ,cos cos cos ,αβγαβγ+=-+=-22(sin sin )(cos cos )1,αβαβ+++=22cos()1,αβ+-=∴1cos()2αβ-=-. (2)由(1)同理得11cos(),cos()22βγαγ-=--=-, ∵[0,3αβγ4π∈]、、,由对称性,不防设03αβγ4π≥>>≥, 则03αβ4π<-<,03βγ4π<-<,03αγ4π<-≤, 又由(1)知3αβ2π-=,3βγ2π-=,3αγ4π-=,若0γ>,则33αγ4π4π=+>矛盾！ ∴0γ=,有3β2π=,3α4π=, ∴sin()sin 2αβγ++=π=0.点拨：本着消元的思想，消掉γ进一步配凑出αβ-的整体角的余弦.利用对称思想构造已知角的表示形式，进一步推出矛盾.10.若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为( )A.π6B.π4C.3π4D.5π6答案：C解析：【知识点】两角差的余弦公式，配角【解题过程】∵0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0,0<2α<π，∴由cos(α－β)＝55，得sin (α－β)＝－255，由cos 2α＝1010，得sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝()cos 2ααβ--⎡⎤⎣⎦＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎪⎫－255＝－22. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.点拨：公式形式牢记，利用已知角配凑α＋β自助餐 1.cos 110°cos 20°+sin 110°sin 20°= ( )A.122C.0答案：C解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】cos(11020)cos900︒-︒=︒=点拨：公式形式牢记，逆用. 2.2cos10sin 20cos 20-的值是( )C.1D.12答案：A解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】2cos10sin 20cos 20-2cos 3020sin 20=cos 20--o o o o （）点拨：角的拆分，要尽量统一角的形式结合特殊角三角函数值.3.已知A 、B 均为钝角,sin A =sin B =则A +B 的值为( ) A.74π B.54π4D.4π答案：A解析：【知识点】两角差的余弦公式，两角和的余弦公式.【解题过程】,,cos 22A B A B ππ<<π<<π∴==cos()cos cos sin sin =(A B A B A B +=-=724A B A B ππ<+<π∴+= 点拨：将两角和的余弦配成[]cos cos cos sin sin A B A B A B -=-（-）由此题也就推导出了两角和的余弦公式4.函数22sincos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是________. 答案：32π 解析：【知识点】两角差的余弦公式，三角函数图形性质.【解题过程】22222sincos cos sin sin cos cos sin sin 336363636x x x x x y ππππ=+-=+ 22cos(),3362/3x T ππ=-==π,相邻两对称轴的距离是周期的一半点拨：先将函数式化简，要先用到两角和的余弦公式，学生可以通过上面的问题总结出公式，或者也可以将“和”转化为“差”在理解.再逆用两角差的公式收拢.5.若,22sin sin =+βα则cos cos αβ+的取值范围.答案：cos cos αβ≤+≤ 解析：【知识点】同角的三角函数关系，两角差的余弦公式【解题过程】令cos cos t αβ+=,则2221(sin sin )(cos cos ),2t αβαβ+++=+ 221322cos(),2cos()22t t αβαβ+-=+-=-2231722,,222t t t -≤-≤-≤≤≤≤点拨：整体换元的思想，利用同角三角函数的关系，构造两角差的余弦公式，结合函数思想将cos()αβ-表示成t 的函数，通过值域求出t 的范围.6．已知α，β∈[3π4，π]，sin ()α＋β＝－35，sin （β－π4）＝1213，则cos （α＋π4）＝________.答案：－5665解析：【知识点】同角的三角函数关系，两角差的余弦公式【解题过程】∵α，β∈[3π4，π].∴α＋β∈[3π2，2π]，β－π4∈[π2，3π4]，又sin(α＋β)＝－35，sin （β－π4）＝1213，∴cos(α＋β)＝1－sin 2(α＋β)＝45，cos （β－π4）＝－1－sin 2(β－π4)＝－513.∴cos （α＋π4）＝cos[(α＋β)－（β－π4）]＝cos(α＋β)cos （β－π4）＋sin(α＋β)sin （β－π4）＝45×（－513 ）＋（－35 ）×1213＝－5665. 点拨：整体换元的思想，利用同角三角函数的关系，构造两角差的余弦公式.。

两角差的余弦公式教案

两角差的余弦公式教案
目标：学生能够理解和应用两角差的余弦公式解决相关问题。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 使用举例的方式引起学生对两角差的兴趣，并引导他们思考两角差的概念。

2. 提问学生：你们知道两角差的余弦公式是什么吗？有什么用途？
二、理论介绍（15分钟）
1. 介绍两角差的概念和符号表示。

2. 说明两角差的余弦公式的推导过程。

3. 引导学生理解公式的意义，并提供实际应用案例。

三、示范与实践（20分钟）
1. 通过具体的示范问题，展示如何使用两角差的余弦公式。

2. 导引学生解决练习题，巩固所学知识。

3. 现场纠正学生的错误答案，并让他们讲解正确答案的解题方法。

四、归纳总结（10分钟）
2. 与学生讨论公式的实际应用，并回答他们的问题。

五、拓展延伸（10分钟）
1. 提供更具挑战性的问题，让学生思考扩展形式。

六、作业布置（5分钟）
1. 布置相关练习题作为课后作业。

评估方法：
1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和回答问题的准确性。

2. 作业完成度：检查学生完成的作业，看是否能正确运用两角差的余弦公式。

教学资源：
1. 投影仪或白板，用于展示教学内容。

2. 复印的练习题和答案。

注意事项：
1. 确保教学步骤的顺序和时长合理，以确保学生的学习效果和兴趣。

2. 鼓励学生互动与讨论，以促进他们的思考和理解。

两角差的余弦公式教案

3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标1．知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2．过程与方法：通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.二、重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.三、教学设计（一）导入新课(复习导入)我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=23,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？ ③利用向量的知识,又能如何推导发现cos(α-β)=?④细心观察C (α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？⑤如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？活动:问题1：出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cosα-cosβ的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°,β=30°,则cos(α-β)=cos30°=23,而cosα-cosβ=cos60°-cos30°=231 ,这一反例足以说明cos(α-β)≠cosα-cosβ.让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.图2问题2：教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B,则OA =(cosα,sinα),OB =(cosβ,sinβ),∠AOB =α-β.由向量数量积的定义有OA ·OB =|OA ||OB |·cos(α-β)=cos(α-β),由向量数量积的坐标表示有OA ·OB =(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ,于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则OA ·OB =c osθ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且OA ·OB =cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).由此可知,对于任意角α、β都有c os(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C (α-β))此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C (α-β).有了公式C (α-β)以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.问题3：:教师引导学生细心观察公式C (α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)= __________等.因此,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了. 问题4：对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=23, cosα=cos ［(α+β)-β］=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.（三）应用示例例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30°=.42621222322+=⨯+⨯ 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45° =21×.426232222+=⨯+ 点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练1.求sin75°,sin15°的值.解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621322322+=⨯+⨯ sin15°= 15cos 12-=2)426(1+-=.426162628-=⨯- 点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C (α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例2 已知sinα=54,α∈(2π,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 解:由sinα=54,α∈(2π,π),得 cosα=.53)54(1sin 122-=--=--a又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 sinβ=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯-点评:本题是直接运用公式C(α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.（四）课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.（五）作业。

两角差的余弦公式教学设计及点评定稿版

两角差的余弦公式教学设计及点评定稿版教学设计：两角差的余弦公式一、教学目标1.了解两角差的余弦公式的含义和应用背景。

2.掌握两角差的余弦公式的表达方式和解题方法。

3.能够运用两角差的余弦公式解决实际问题。

二、教学内容1.两角差的余弦公式的概念和导出过程。

2.应用例题分析和解答。

三、教学过程1.导入新知识（10分钟）介绍两角差的余弦公式的应用背景和重要性，引起学生对该内容的兴趣和好奇心。

2.概念讲解（15分钟）解释两角差的余弦公式的概念和含义，包括公式的表达方式和在几何图形中的意义。

通过几个简单的例子帮助学生理解公式的实际应用。

3.导出过程（20分钟）4.应用例题演练（30分钟）解答一些简单的例题，让学生动手计算两角差的余弦值，加深对公式的理解。

适当选择一些实际问题的例题，让学生看到公式在实际问题中的应用价值。

5.拓展应用（15分钟）给学生一些更复杂的应用题，让他们运用所学知识解决这些问题。

鼓励学生多思考，发散思维，寻找不同的解题方法。

6.归纳总结（10分钟）总结两角差的余弦公式的应用范围和解题方法，并强化公式的记忆和理解。

鼓励学生用自己的话表达公式的含义，加深对公式的理解。

四、教学点评在拓展应用环节，教师给学生一些更复杂的应用题，让学生运用所学知识解决这些问题。

这是一个很重要的环节，能够培养学生的思考能力和解决问题的能力。

同时，教师鼓励学生多思考，发散思维，寻找不同的解题方法，培养学生的创造力和创新意识。

在总结归纳环节中，教师引导学生用自己的话表达公式的含义，加深对公式的理解。

这种方式能够增强学生对知识的理解和记忆，并培养学生表达能力和思维能力。

同时，教师还进行了复习巩固，加深学生对公式的记忆和理解。

总之，这个教学设计环环相扣，层层深入，既加强了学生对两角差的余弦公式的理解，又培养了学生解决问题的能力和思考能力。

必修4教案3.1两角差的余弦公式

3 3 3
例 4、化简① sin sin 3 cos cos3 （ cos 2 ） ②
1 sin cos （ tan ） 1 sin cos 2
例 5、已知 tan tan
3 求 (2 cos 2 )(2 cos 2 ) 的值（3） 3

= sin cos cos sin ② sin( ) sin cos cos sin ③ tan( )
sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
tan( )
tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan

4
)
4 3 且求 cos ( 2 10 ) 5 4 4
5 10 ， cos 求的值( 4 ) 5 10
例2、
、均为锐角，且 sin
例3、 ①已知 sin sin
2 4 且 cos cos 求 cos( ) ( 1 9 ) 3 3 1 1 ②已知、 (0, ) ， sin sin ， cos cos 2 2 2
求 cos2 的值（ 7 25 ）
例 2、已知 sin 3sin(2 ) 求证： tan( ) 2 tan 0 例 3、①求值
2sin 500 sin100 （ 3） cos100

两角差的余弦公式教学设计

3.1.1 两角差的余弦公式一、教材分析本节课是高中数学必修4（人教A 版）第三章3.1.2两角差的余弦公式的内容，教学安排是1课时。

在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受。

本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式，因此本节内容对于后续内容三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。

二、学生学习情况分析1．有利因素本节课的内容就是“推导两角差的余弦公式”，用到的工具有“单位圆中三角函数的定义”和“平面向量数量积的定义及数量积坐标表示”。

都属于刚刚学过的基础知识，内容简单，容易理解和接受，这是学习本节课的有利因素。

2．不利因素由于使用了“平面向量的数量积”来推导公式，而向量夹角范围是[0,]π，这与两角差αβ-的围并不一致，还要分类计论，这是由使用的推导工具造成的。

分类计论是学生的弱项，客观上也成为学习本节的不利因素，也成为本节课的一个难点。

三、教学目标分析课标要求：了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；理解两角差的余弦公式.1．知识与技能目标理解用向量方法推导两角差的余弦公并能够初步运用.2．过程与方法目标在两角差余弦公式的推导过程中，进一步体会向量方法的作用，体会分类讨论的思想、联系与化归思想的运用。

3．情感、态度与价值观目标感悟事物之间普遍联系和转化的关系。

四、教学重点、难点分析重点：两角差的余弦公式的推导与运用难点：两角差余弦公式的推导过程解决难点的关键是，搞清向量夹角的范围，运用数形结合的思想，使角的关系变得形象直观，容易找到αβ-与向量的夹角θ之间的等量关系()2k αβθπ-+=，从而降代难度，化解难点。

五、教法与学法分析1．教法分析本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此本节课在内容的安排上，特别注意引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化分类讨论的数学思想和转化与化归的方法来惯穿各个环节。

两角差的余弦公式详细教案

两角差的余弦公式详细教案§3.1.1 《两角差的余弦公式》教学设计主讲教师：卫金娟教学目标1、知识目标：通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用其解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。

2、能力目标：通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题、解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力3、情感目标：使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。

学情分析：1、知识分析：必修4前两章刚学习了《平面向量》和《三角函数》的知识，学生对前两章知识尚记忆深刻，为第三章第一节“两角差的余弦公式”的学习做了充足的知识准备；但”两角差的余弦公式”中所涉及的用三角函数线推导公式部分比较难，学生独立探究有一定的困难，需要老师合理引导、并让学生小组讨论合作学习来完成.2、能力分析：从平时的课堂教学中，我已经培养学生具备了一定的小组讨论和探究合作学习的能力，但由于部分学生学习基础薄弱，课堂参与程度不高，所以我合理分组，让学习基础较好且课堂积极活跃的学生带动小组内其他学生一起完成新课学习；从学生的归纳总结和语言表达能力来看，学生具有了一定的归纳总结的能力，但对数学中逻辑严密的一般结论，还不能用严格的数学语言来表达.3、学习习惯与态度：所带班级属于文科班，学习纪律性比较好，听课认真，动笔演算等能力比较好，但作为文科班女生胆子小，回答问题方面不是很活跃，需要合理分组合作学习. 教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式。

教学难点：两次探究过程的组织和引导。

教学方法：讲授法与讨论法相结合，探究学习与合作学习相结合知识准备：平面向量的数量积、三角函数线、诱导公式教学准备：多媒体、圆规，三角板教学流程：引入问题，提出探究明确途径，组织和引导学生自主探究例题、练习讲解，深化公式的理解与运用小结问题5：夹角θαβ与、有什么关系？（2分钟）（1）（2）-=,-=-,αβθαβθ由图（1）知，由图（2）知根据终边相同的角的性质有：2+k ,k Z αβθπ-=±∈所以，cos()cos(+2)cos()cos .k αβθπθθ-=±=±=结论：对任意角α、β有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+探究2：借助三角函数线来推导cos()αβ-公式（10-11分钟）首先，我们从最简单的情况进行讨论：.αβαβ>设、都为锐角，且作单位圆O ，（在这里我们取单位圆的四分之一）设角α的终边与单位圆O 交于点1P , 即1xOP α∠=,作1POP β∠=,则xOP αβ∠=-.PM x ⊥作轴，垂足为M . 问题1：那么cos()αβ-表示哪条线段长？问题2：如何用线段分别表示sin β和cos β？问题3：cos cos =cos OA βαα，它表示哪条线段长？sin sin =sin AP βαα，它表示哪条线段长？问题4：利用OM OB BM OB CP =+=+，你能得到什么结论？探究过程：①PM x ⊥作轴，垂足为M ，则OM =cos()αβ-。

高中数学必修四《两角差的余弦公式》优秀教学设计

两角差的余弦公式教学设计(第一课时)【三维目标】1.知识与能力：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。

2.过程与方法：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3.情感态度与价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。

【教学难点】两角和与差的余弦公式的推导。

【教学过程】一创设情境，引入课题（1）问题1思考cos (60°-30°) =cos60°-cos30°吗？cos（60°+30 ）=cos60°+cos30°吗？那么cos（α- β）=cos α - cos β吗？（2）我们已经学习了向量的数量积，请用数量积的知识完成下列练习：θo s =⋅ ),,11y x （=),22y x （= 则 2121y y x x +=⋅二层层深入，得出结论。

问题2：（一）两角差的余弦公式设),sin ,cos αα（=),sin ,cos ββ（= 则，βαβαsin sin cos cos b a +=⋅θ=⋅βαβαθsin sin cos cos cos +=∴如果],0[πβα∈-，那么βαθ-=。

故，βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-思考：当βα-任意角时，βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-吗？由诱导公式总可以找到一个角都可转化)2,0[πθ∈，使)cos(cos βαθ-=。

综上所述，βαβαβαsin sin cos cos )-cos(+= ，对于任意的角βα,都成立。

三自主探索，小试牛刀。

两角差的余弦公式详细教案

两角差的余弦公式详细教案第一章：引言1.1 教学目标让学生了解两角差的余弦公式的概念和应用。

培养学生对数学公式的理解和运用能力。

1.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的定义和推导过程。

通过实例解释两角差的余弦公式的应用。

1.3 教学方法使用多媒体演示和讲解两角差的余弦公式的推导过程。

提供实例让学生亲自尝试运用两角差的余弦公式进行计算。

第二章：两角差的余弦公式定义及推导2.1 教学目标让学生掌握两角差的余弦公式的定义和推导方法。

培养学生对数学公式的记忆和理解能力。

2.2 教学内容给出两角差的余弦公式的定义：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB。

解释两角差的余弦公式的推导过程，包括使用三角恒等式和图形解释。

2.3 教学方法使用图形和三角恒等式进行讲解，帮助学生直观地理解两角差的余弦公式的推导过程。

提供练习题让学生巩固两角差的余弦公式的记忆和理解。

第三章：两角差的余弦公式的应用3.1 教学目标让学生能够运用两角差的余弦公式解决实际问题。

培养学生对数学公式的运用和创新能力。

3.2 教学内容给出实例，展示如何使用两角差的余弦公式解决几何问题和物理问题。

引导学生通过两角差的余弦公式进行角度计算和图形分析。

3.3 教学方法提供实例和练习题，让学生亲自尝试运用两角差的余弦公式解决实际问题。

鼓励学生提出问题，引导学生进行思考和创新。

第四章：练习题及解答4.1 教学目标让学生通过练习题巩固两角差的余弦公式的运用。

培养学生对数学公式的应用能力和解决问题的能力。

4.2 教学内容提供一系列练习题，涵盖不同难度级别的题目。

让学生独立完成练习题，并在课堂上进行解答和讨论。

4.3 教学方法引导学生独立完成练习题，培养学生的自主学习能力。

组织课堂讨论，鼓励学生分享解题思路和经验。

第五章：总结与拓展5.1 教学目标让学生总结两角差的余弦公式的关键概念和运用方法。

培养学生对数学公式的总结和拓展能力。

5.2 教学内容与学生一起总结两角差的余弦公式的定义、推导过程和应用。

两角差的余弦公式教案

两角差的余弦公式
教学目标
（一）知识目标
1、理解两角差的余弦公式的推导过程，并会利用两角差的余弦公式解决简单问题。

（二）能力目标
通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，学生体会利用已有知识解决问题的一般方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

（三）情感目标
使学生经历数学知识的发现、探索和证明的过程，体验成功探索新知的乐趣，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。

教学重点与难点
重点：两角差的余弦公式的探索和简单应用
难点：两角差的余弦公式的猜想与推导，探索过程的组织和引导
教学方法与手段
教学方法：探究教学法
学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

教学手段：多媒体辅助教学
教学过程
在_____=∆OB OAB Rt 中，
在____=∠∆PAC OAP Rt 中，______=CP _____=BM 在=∆OM OPM Rt 中，__________=+=BM OB OM __________)cos(=-∴βα
板书设计。

两角差的余弦公式教案

两角差的余弦公式一、教材分析1、教材的地位和作用本节课教学内容是人教版《高中数学》必修４第三章３.１.１《两角和与差的余弦》（要三个课时），这是第一课时。

本节内容是三角函数公式的推广，它还涉及到平面向量的内容。

同时，它又是本节及其后面各节公式的“源头”。

因此，两角和与差的余弦公式起着承上启下的核心作用。

两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。

2、教学目标知识与技能：能够推导两角差的余弦公式，了解单角与复角三角函数间的联系，理解两角差的余弦公式，并且能够运用两角差的余弦公式求非特殊角的余弦。

过程与方法：通过猜想、探索等数学活动，发现并推导“两角差的余弦公式”，体会化归、数形结合等数学思想在数学当中的运用，学生树立联系与转化的辨证唯物主义观点，提高分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过创设问题情景，学生体验科学探索的过程，感受科学探索的乐趣，激励科学探索的勇气，培养学生的创新精神和激发学生的学习兴趣。

3、教学的重点和难点教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式；教学难点：探索过程的组织和恰当引导。

二、教法与学法分析教法：启发引导学生自主学习，调动学生的积极性学法：积极主动探究问题三、教学流程1、提出问题，引入课题如图所示,一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力F 与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F 的作用下物体沿斜坡运动了３m,求力F 作用在物体上的功W ．解：co s(60)W F S F S β=⋅=⋅⋅︒-=30cos(60)β⋅︒-6m Sβ β 8m F提问：1）解决问题需要求什么？2）你能找到哪些与β有关的条件?3）能否利用这些条件求出)60cos(β-︒？2、分析问题，猜想结论要求()β-60cos ︒我们可以转化到求()βα-cos从特殊情况去猜测公式的结构形式令ββπβαπαcos )cos()cos(,-=-=-=则：令ββπβαπαsin )2cos()cos(,2-=--=--=则：请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜想．令︒=︒=30,120βα则：︒=︒-︒=-90cos )30120cos()cos(βα＝0 学生思考、交流、猜想：我们的公式的形式应该与αcos ，βcos ，αsin ，βsin 均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢？会不会是“＋”、“－”、“⨯”、“÷”？3、引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的余弦值可用余弦线来表示．我们先来讨论最简单的情况：βα、为锐角，且βα>方法一：（利用三角函数线）证明：在单位圆O 中，作α=∠OXP 1，交单位圆于点1P ，作1P O P β∠=， y O P 1 βα-B αβc o s xM βs i n C α 1 P β1 A则βα-=∠XOP ．过点P 作PM 垂直x 轴于M ，A OP PA 于点1⊥，过B OM AB A 于点作点⊥ ，过点C AB PC P 于点，作⊥，则：βcos =OA ，βsin =AP ，且α=∠=∠OX P PAC 1co s sin co s co s sin sin O M O B B M O B C PO A A P ααβαβα=+=+=+=+∴βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-（βα、为锐角，且βα>）提问：当αβ、取任意角的时候，结果又会怎样呢？大家思考一下．方法二：（利用向量）启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？证明：在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角βα、，它们终边与单位圆O 的交点分别为A 、B ，则：OA =)sin ,(cos αα，OB =)sin ,(cos ββco s()||||(co s ,sin )(co s ,sin )O A O B O A O B αβααββ⋅-===αβαβsin sin cos cos +y-1 -1 1 1B )sin ,(cos ββ )sin ,(cos αα αβx 0∴)cos(βα-=αβαβsin sin cos cos + （0≤βα-≤π）公式称两脚差的余弦公式，简记作()βα-C4、运用结论，多方练习1）解决引例中的问题2）例：利用差角余弦公式求cos15°的值。

两角差的余弦公式详细教案

两角差的余弦公式详细教案第一章：两角差的余弦公式的引入1.1 教学目标理解两角差的余弦公式的概念和意义。

掌握两角差的余弦公式的推导过程。

1.2 教学内容引入两角差的余弦公式的概念，即对于任意实数α和β，两角差的余弦公式可以表示为cos(αβ) = cosαcosβ+ sinαsinβ。

解释两角差的余弦公式的意义，即求两个角的差的余弦值可以通过求两个角的余弦值和正弦值的乘积来计算。

1.3 教学方法通过举例和实际问题引入两角差的余弦公式，让学生感受到公式的实际应用。

通过图形和几何解释两角差的余弦公式的推导过程，让学生直观地理解公式。

1.4 教学活动举例说明两角差的余弦公式的应用，如计算一个角度与参考角度的差的余弦值。

引导学生通过图形和几何推理来推导两角差的余弦公式。

第二章：两角差的余弦公式的推导2.1 教学目标掌握两角差的余弦公式的推导过程。

理解两角差的余弦公式的几何意义。

2.2 教学内容推导两角差的余弦公式，通过构造一个直角三角形，利用三角形的边长关系和余弦定理。

解释两角差的余弦公式的几何意义，即两个角的差的余弦值等于这两个角的余弦值的乘积加上这两个角的正弦值的乘积。

2.3 教学方法通过图形和几何推理推导两角差的余弦公式，让学生直观地理解公式的推导过程。

通过实际例子和计算，让学生巩固两角差的余弦公式的应用。

2.4 教学活动引导学生通过构造直角三角形，利用三角形的边长关系和余弦定理推导两角差的余弦公式。

让学生通过实际例子和计算，运用两角差的余弦公式计算角度的差的余弦值。

第三章：两角差的余弦公式的应用3.1 教学目标掌握两角差的余弦公式的应用。

能够灵活运用两角差的余弦公式解决实际问题。

3.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的应用，包括解决三角函数的和差问题、计算向量的夹角余弦值等。

通过实际例子和计算，展示两角差的余弦公式的应用方法和步骤。

3.3 教学方法通过实际例子和计算，让学生掌握两角差的余弦公式的应用方法。

两角差的余弦公式教案

两角差的余弦公式教案教案：余弦公式的两角差1.教学目标：-学生能够理解两角差的概念和性质；-学生能够运用余弦公式求解两角差的值；-学生能够应用余弦公式解决实际问题。

2.教学重点：-余弦公式的概念和性质；-余弦公式的推导和运用；-实际问题的解答方法。

3.教学准备：-教学用书或其他参考资料；-教学投影仪或黑板；-纸板和彩色粉笔。

4.教学流程：步骤一：引入本课-通过举例，引导学生思考什么是两个角的差。

步骤二：讲解两角差的概念-在黑板上绘制一个平面直角坐标系，标出角A和角B。

-通过示意图，解释角A和角B的差是指从角A逆时针旋转到角B所需的旋转角度。

-引导学生观察并总结出两角差的概念。

步骤三：引入余弦公式-提问：“如何计算两个角的差？”-引导学生回顾正弦定理和余弦定理的内容。

-提醒学生可以通过推导余弦公式，来计算两个角的差。

步骤四：推导余弦公式-在黑板上绘制一个平面直角坐标系，标出角A和角B。

-让学生观察并总结出余弦公式的推导过程。

-引导学生将角A和角B的余弦用三角函数表示，并使用三角函数的定义进行推导。

步骤五：运用余弦公式-在黑板上绘制几个示意图，引导学生计算两个角的差。

-指导学生使用余弦公式计算两个角的差，并解释计算步骤。

步骤六：解决实际问题-提供一些实际问题，要求学生运用余弦公式进行求解。

-指导学生分析问题，建立数学模型，并通过计算求解问题。

步骤七：总结与归纳-从概念、推导、运用和实际问题的角度总结两角差的余弦公式。

-引导学生发现两角差的余弦公式的应用领域和重要性。

5.巩固练习：-在课后布置练习题，要求学生独立完成，并在下一堂课上进行讲解和答疑。

6.拓展延伸：-引导学生思考如何应用余弦公式计算多个角的差；-提出一些复杂的实际问题，让学生独立运用余弦公式解决。

7.课堂小结：-回顾本堂课的重点内容和难点；-强调同学们在课后复习并完成练习题。

8.参考资料：-教材或参考书中关于两角差的内容；-有关余弦公式和应用的相关资料和习题。

两角差的余弦公式详细教案

两角差的余弦公式详细教案一、教学目标1.理解余弦公式的基本概念和原理；2.掌握利用余弦公式解决两角差问题的方法；3.能够灵活运用余弦公式解决实际问题；4.培养学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学重点1.余弦公式的概念和原理；2.掌握利用余弦公式解决两角差问题的方法。

三、教学难点1.理解余弦公式的原理和推导过程；2.能够灵活运用余弦公式解决实际问题。

四、教学过程步骤一：导入新知识1.引入：通过一个例子引入余弦公式的概念和应用，例如：已知三角形的两边长度和它们夹角的余弦值，求第三边的长度。

2.提问：学过正弦定理的同学，你们能说说余弦公式和正弦定理有什么区别吗？步骤二：讲解余弦公式的原理和推导过程1.从图形的角度解释余弦公式的原理：已知三角形的三个边长度a、b、c，求它们对应的角A、B、C的余弦值。

2.利用余弦定理，推导出两角差的余弦公式。

步骤三：讲解应用举例1.通过具体的例子和计算过程，讲解如何利用余弦公式解决两角差问题。

例如：已知两角和一条边的长度，求另一条边的长度。

2.提供更多的练习题，让学生通过练习提高运用余弦公式的能力。

步骤四：梳理归纳知识点1.整理余弦公式的公式表达；2.归纳余弦公式的适用条件和注意事项。

步骤五：拓展延伸1.提供更多的实际问题让学生运用余弦公式解决；2.引导学生思考如何利用余弦公式解决更复杂的问题。

步骤六：小结概括1.总结余弦公式的基本原理和应用方法；2.强调学生在实际问题中的应用能力和解决问题的思维方式。

五、教学反思通过引入例子、讲解原理、举例解题等多种教学方法，能够帮助学生更好地理解和应用余弦公式。

同时，在教学中提供大量的练习题和实际问题，可以提高学生运用余弦公式解决问题的能力。

在讲解过程中，要注重对学生的巩固和拓展，引导学生提高解决问题的思维方式和能力。

教学设计2：5.5.1 第1课时两角差的余弦公式

5.5.1 第1课时两角差的余弦公式【教学目标】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．【要点梳理】两角差的余弦公式温馨提示：右边是两项的和，第一项是cosα与cosβ的积，第二项是sinα与sinβ的积，口诀为“余余正正号相反”．【思考诊断】1．平面上，已知点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，那么两点间距离如何计算？[答案]利用公式|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)22．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．()(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．()(4)求cosα时，有时把角α看成角α＋β与角β的差．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√【课堂探究】题型一给角求值【典例1】计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.[思路导引](1)将－15°用两特殊角之差表示，再正用公式求值；(2)逆用公式．[解](1)解法一：原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝32×22＋12×22＝6＋24.解法二：原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.[名师提醒]利用公式C (α－β)求值的思路方法(1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值．(2)如果函数名称不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称，构造公式的结构形式然后逆用公式求值．[针对训练]1．cos15°cos45°＋cos75°sin45°的值为( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32[解析] 原式＝cos15°cos45°＋sin15°sin45°＝cos(15°－45°)＝cos30°＝32，故选B. [答案] B2．化简cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α＝________.[解析] cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α＝cos(α＋45°－α)＝22. [答案] 22 题型二给值求值【典例2】已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值． [思路导引] 考虑到β＝[α－(α－β)]这一关系，所以先求α角的余弦和α－β角的正弦，然后代入两角差的余弦公式．[解] ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝817<12，∴0<α<π6，又∵α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32， ∴－π2<α－β<－π6， ∴cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517，sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫21292＝－2029， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝1517×2129＋817×⎝⎛⎭⎫－2029＝155493. [名师提醒]给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．[针对训练]3．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为( ) A.3365 B ．－3365 C.5465 D ．－5465[解析] 因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，所以cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A. [答案] A4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，则cos α的值为________． [解析] 因为sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，所以π3＋α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－513. 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π3＋α－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋αcos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫π3＋αsin π3＝－513×12＋1213×32＝123－526. [答案] 123－526题型三给值求角【典例3】已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则β＝________. [思路导引] 将β用(α＋β)－α表示，先求β的余弦值，再求角β.[解析] ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3. [答案] π3[变式] 若本例变为：已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值． [解] 由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝⎛⎭⎫13142＝3 314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，因为0<β<π2，所以β＝π3. [名师提醒]解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值．(2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．[针对训练]5．已知0<α<π2，－π2<β<0，且α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α－β. [解] 因为0<α<π2，－π2<β<0，且sin α＝55，cos β＝31010，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－15＝255， sin β＝－1－cos 2β＝－1－910＝－1010，故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×31010＋55×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 由0<α<π2，－π2<β<0得，0<α－β<π，又cos(α－β)>0，所以α－β为锐角，所以α－β＝π4. 【课堂小结】1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.【随堂验收】1．cos165°等于( )A.12B.32C ．－6＋24 D ．－6－24[解析] cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°) ＝－⎝⎛⎭⎫22·32＋22·12＝－6＋24.[答案] C2．cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是( )A ．0 B.12 C.22 D.32[解析] cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6 ＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12sin π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝cos π4＝22.[答案] C3．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32[解析] 原式＝cos(45°－α＋α＋15°)＝cos60°＝12.故选A.[答案] A4．若cos(α－β)＝55，cos2α＝1010，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为()A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6[解析] ∵0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0,0<2α<π.由cos(α－β)＝55，得sin(α－β)＝－255. 由cos2α＝1010，得sin2α＝31010. ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22. 又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. [答案] C5．已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. [解析] 由cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，得 sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝45×22＋⎝⎛⎭⎫－35×22＝210. [答案]210。

两角差的余弦公式教学设计

两角差的余弦公式教学设计
一、教材分析
两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。

本课时的中心任务是建立两角差的余弦公式。

通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并建立其他和(差)角公式打好基础。

二、教学重点、难点
重点：通过探索得到两角差的余弦公式。

难点：探索过程的组织和适当引导。

这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等。

三、教学基本流程。

两角差的余弦公式教案

§3.1.1两角差的余弦公式教案一．教材分析和目标：本节课选自人教版.必修四.第三章第一节,是学习了第一章三角函数和第二章平面向量后的内容,其的中心任务是通过以知的向量和三角恒等变换知识,探索建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构.功能及其运用，同时本节内容也是第三章其他十个公式的推导基础。

1. 知识与技能(1)掌握两角差的余弦公式,并能用之解决简单的问题。

(2)通过对公式的推导,对学生渗透探究思想、类比思想以及分类讨论思想。

2. 过程与方法目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。

3. 情感与态度目标：通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。

二．教学重点、难点：重点：用向量法推导两角差的余弦公式以及公式的简单应用。

难点：两角差的余弦公式探索与证明。

教法：问题诱思法，探究法，演练结合法。

学法：自主探究法三．教学流程：四．教学情境设计1.建立联系，引起注意简单回顾：问题1：= 60cos = 45cos ()=- 4560cos ？为何？联系，注意什么？猜测，探索何用？例题，示范如何？练习，作业问题2：cos( 2π —β)＝ cos( π —β)＝ =⎪⎭⎫⎝⎛-βπ2cos =⎪⎭⎫⎝⎛-βπ4cos ？产生疑问，归结探索任意角βα,，()βα-cos 的结果，引出课题 2.猜测，探索猜测：cos(α－β)＝cos α－cos β？反例说明不一定成立，“恒等”的要求猜想结果应该由cos α，cos β，sin α，sin β组成，寻找之间的关系可以回归定义，用三角函数线探究探索：一．用单位圆上的三角函数线探究：角α的终边与单位圆交于点P ，则：αcos =OM 余弦线αsin =MP 正弦线过程提问：①如何作角βαβα-,,的终边②如何作角βα-的余弦线以及角βα,的正弦线，余弦线③如何利用几何直观寻求OM 的表达式先带领学生探索，再用动画演示过程前提为βαβα-,,为锐角，用几何画板演示非锐角时的情况二．用向量的数量积探索：独立思考以下问题：(1)向量的数量积__________b a =⋅),,a 11y x （=),b 22y x （= 则 __________b a =⋅（2）单位圆上的点的坐标表示由图可知：==→a OP 1( ) , ==→b 2OP ( )则=⋅b a _____________a =→_____________b =→过程：①结合图形，选择哪几个向量，如何表示？②如何利用向量数量积的概念和计算公式得到探索结果③对探索结果进一步严格的思考和处理结合几何画板的图形展示α―β与向量夹角的联系与区别如果],0[πβα∈-，那么βαθ-=实际上，当βα-为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可转化)2,0[πθ∈，使)c o s (c o s βαθ-=。

两角差的余弦公式教案

两角差的余弦公式教案教案标题：两角差的余弦公式教案教案目标：1. 学生能够理解和运用两角差的余弦公式。

2. 学生能够解决与两角差的余弦公式相关的问题。

3. 学生能够应用两角差的余弦公式解决实际问题。

教学重点：1. 两角差的余弦公式的推导和理解。

2. 运用两角差的余弦公式计算角度的大小。

3. 运用两角差的余弦公式解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备白板、黑板笔、投影仪等教学工具。

2. 学生准备教科书、笔记本和计算器。

教学过程：步骤一：导入（5分钟）教师通过引入一个实际问题，例如“在三角形ABC中，已知边AB和边AC的长度分别为5cm和8cm，夹角BAC为60度，求角度CAB的大小。

”，引发学生对两角差的余弦公式的兴趣。

步骤二：讲解（15分钟）教师通过黑板或投影仪展示两角差的余弦公式的推导过程，并解释每一步的含义和原理。

教师可以使用几何图形和代数表达式相结合的方式进行讲解，以帮助学生更好地理解公式的意义。

步骤三：示范（10分钟）教师通过几个简单的例题演示如何使用两角差的余弦公式计算角度的大小。

教师可以逐步引导学生进行推导和计算过程，注重解题思路和方法的讲解。

步骤四：练习（15分钟）学生进行个人或小组练习，解决与两角差的余弦公式相关的练习题。

教师可以提供一些不同难度的题目，以满足不同学生的需求。

教师在练习过程中积极引导学生，及时纠正他们的错误并解答疑惑。

步骤五：拓展（10分钟）教师提供一些与两角差的余弦公式相关的实际问题，例如航空导航、建筑设计等，鼓励学生应用所学知识解决问题。

教师可以组织学生进行讨论或小组合作，培养学生的解决问题的能力和团队合作精神。

步骤六：总结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并强调两角差的余弦公式的重要性和应用价值。

教师鼓励学生将所学知识应用到实际生活中，培养他们的数学思维和解决问题的能力。

步骤七：作业布置（5分钟）教师布置相关的作业，要求学生运用两角差的余弦公式解决一些实际问题，并在下节课前完成。

两角差的余弦公式教案

3.1《两角差的余弦公式》教学设计

两角差的余弦公式教案

两角差的余弦公式教案

两角差的余弦公式教学设计及点评定稿版

必修4教案3.1两角差的余弦公式

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高中数学必修四《两角差的余弦公式》优秀教学设计

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教学设计2：5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式

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