函数单调性的习题及答案

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函数的单调性（一）
一、选择题：
1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（）A．y=2x＋1 B．y=3x2＋1
C
22)上是
A
C
9]1,
-∞
C
10
A
10
（）
A．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3
二、填空题：
13．函数y=(x－1)-2的减区间是____．
14．函数y=x－2x-1＋2的值域为_____．
15、设()
=是R上的减函数，则()3
y f x
=-的单调递减区间为.
y f x
16、函数f (x )=ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__． 三、解答题：
17．f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f (y
x )=f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．
（2）若f (6)=1，解不等式f (x ＋3)－f (x
1)＜2．
181920．＋∞)
21m
22（2二、填空题：13.(1，＋∞)，14.(－∞，3)，15.[)3,+∞，⎥⎦
⎤
⎝
⎛-∞-21,
三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．
②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36(6
36(==∴-=f f f f f
故原不等式为：),36()1()3(f x
f x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，
故不等式等价于：.23
153036
)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<+<>>+x x x x
x 18.解析：f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下： 设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)，x 1＜x 2，则f (x 1)=－x 13＋1，f (x 2)=－x 23＋1． f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋2
2x )2＋4
3x 22］．
19.f (f (x 1)＞
f (x 2)数．
20.=(x 1－x 2)(
1
12
22
12
1++++x x x x －a )
(1)当a ≥1时，∵
1
12
2212
1++++x x x x ＜1，
又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数．
(2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=2
12a a -，满足f (x 1)=f (x 2)=1
∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注：①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中
1
12
22
12
1++++x x x x ＜1利用了
12
1+x ＞|x 1|≥x 1;12
2+x ＞x 2；
③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的
21.22.2
121x x )
，
x 2－1，＋∞)2
7．
设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。