分式的复习[3] 2

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分式知识点总结及复习汇总

分式知识点总结及复习汇总一、分式的定义和性质：分式是形如$\frac{a}{b}$的数，其中$a$为分子，$b$为分母，$a$和$b$都为整数且$b \neq 0$。

分式可以表示一个数，也可以表示一个运算过程。

分式可以进行四则运算，包括加减乘除。

分式的相反数：$\frac{a}{b}$的相反数为$-\frac{a}{b}$。

分式的倒数：$\frac{a}{b}$的倒数为$\frac{b}{a}$，其中$a、b$不为零。

分式的化简：将分式化简为最简分式，即分子和分母的最大公约数为1的形式。

二、分式的运算法则：1.加法：两个分式相加，分母相同，分子相加。

2.减法：两个分式相减，分母相同，分子相减。

3.乘法：两个分式相乘，分子相乘，分母相乘。

4.除法：一个分式除以另一个分式，被除数乘以除数的倒数。

三、分式的化简方法：1.求最大公约数：分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数。

2.因式分解：将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。

四、分式与整式的相互转化：1.分式转化为整式：将分式中的分子除以分母，得到的结果为整数。

2.整式转化为分式：将一个整数写成分子，分母为1的形式。

五、分式的应用：1.比例问题：可以利用分式来表示两个比例的关系。

2.部分与整体的关系：可以用分式表示部分与整体的关系。

3.商业问题：例如打折、利润等问题，可以用分式来表示计算。

4.几何问题：例如面积、体积等问题，可以用分式来表示计算。

六、分式的简化步骤：1.因式分解。

2.分子、分母约去最大公约数。

3.整理化简结果。

七、分式的应用举例：1.甲乙两人分别在一段时间内完成一件工作，甲用时5小时完成，乙用时8小时完成，那么甲乙两人一起完成这件工作需要多少小时？解：甲和乙一起完成工作的效率是每小时$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{8}$，所以他们一起完成工作的效率是$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{13}{40}$。

分式复习ppt课件

例4、甲、乙两人分别从相距36千米的 A、B两地同时相向而行，甲从A地出发到1千米时发现有一物品遗忘在A地，立即返回，取过物品后又立即从A地向B地行进，这样两人恰好在A、B两地中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求甲、乙两人的速度。
1、一项工程，若甲队单独做，恰好在规定的日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙合做2天，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定的日期是多少天？
B、x ≠-1且x ≠2 D、x ≠-1或x ≠2
若值为0，则x应满足（ B ）
A、x=2 C、x=-1
B、x =-2 D、x =-1或x =2
2.当x <-2 时,分式 X2+1 的值是负数. X+2
3.当x ≥7
时,分式
X-7 X2+1
的值是非负数.
二、分式的基本性质
1.若把分式 2 x 的y x 和y 都扩大两倍,则分式的值( ) B 3x y
A．扩大2倍 B不变 C缩小2倍 D．缩小2倍
2.若把分式xy 中的 x和 y的值都扩大 3倍， xy
则分式的值
（A）
A．扩大3倍 B．扩大9倍C．扩大4倍D．不变
3、
填空：
x(xy) x2 xy
(x y )
xy
分式的加减
例3、计算：
xxyxxyx2y2xy
xy x
y2
x1 x1
3、 x21x31x261
例2.如果整数Ａ、Ｂ满足等式求Ａ与Ｂ的值。
例3、如果下列关于x的方程有增根，求a的值。
a 112x x4 4x
1、如果下列关于x的方程有正数解，

分式知识点的总结及复习

分式知识点的总结及复习分式是数学中的一个重要概念，对于理解和解决各种问题非常有帮助。

分式的概念、性质以及操作都是数学中的基础知识点，非常值得我们重视和复习。

下面给出分式的总结及复习，希望能对大家有所帮助。

一、分式的定义和表示方法1.分式是由两个整数用除号连接起来的表达式，形如a/b，其中a和b都是整数，b不等于0。

a被称为分子，b被称为分母。

分子和分母都可以为正整数、负整数或零。

2.分式也可以表示为a÷b，即a除以b。

二、分式的化简1.如果分式的分子和分母都可以被同一个非零整数整除，则可以进行约分。

约分后得到的分式与原分式的值相等。

2.两个分数相加（减）时，要先找到它们的公共分母，然后将分子相加（减），再写上公共分母。

3.两个分数相乘时，将分子相乘，分母相乘。

4.两个分数相除时，将除号转为乘号，即分子乘以分母的倒数。

5.分子和分母同时乘以一个非零整数不改变分数的值。

这也是化简分式中常用的方法。

三、分式的乘除混合运算1.分式的乘法：把分子与分子相乘，分母与分母相乘。

然后可以进行约分。

2.分式的除法：用除号变成乘号，然后求倒数，即分子和分母交换位置。

然后进行乘法运算，可以进行约分。

四、分式的加减混合运算1.分式的加法：确定两个分式的公共分母，然后将分子相加，写上公共分母。

最后可以进行约分。

2.分式的减法：确定两个分式的公共分母，然后将分子相减，写上公共分母。

最后可以进行约分。

五、分式的化简与方程的解1.在代数中，分式经常出现在方程的求解中。

如果方程中含有分式，我们需要对方程进行化简，使得分母消失，然后求解方程。

2.常用的化简方法有通分、去括号、移项等。

六、分式的应用1.在实际生活中，分式的应用非常广泛。

比如：计算机网络中的带宽分配、物资的平均分配等都涉及到分式的应用。

2.分式在商业计算、金融投资等领域也有广泛应用。

七、分式的习题练习1.简化下列分式：(a)12/30(b)-18/12(c)40/802.求下列分式的值：(a)1/4+3/8(b)5/6-2/3(c)2/3×3/4(d)1/2÷2/33.解方程：2/(x-1)-3/(x+2)=1/(x+1)以上是分式知识点的总结及复习，对于掌握分式知识以及应用都有一定的帮助。

初中八年级下册数学分式的复习(3)课件

135 5 = 135 1
2x
5x 2
请完成下面的过程
大：18千米/时小：45千米/时
180
240
=
x
x5
请完成下面的过程
甲：15 乙：20
4.A、B两地相距135千米，有大、小两辆汽车从 A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟. 已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.
解：设大汽车的速度为2x千米/时，则小汽车的速度为5x千米/时，依题意得：
例1、1 （98西安）解方程：x 1
2
4x x2
4
2
2
x
1
解：原方程可化为 1 4x 2 1 x 2 (x 2)(x 2) x 2
两边都乘以 (x2)(x2) ，并整理得；
x2 3x 2 0 解得 x1 1, x2 2
检验：x=1是原方程的根，x=2是增根∴原方程的根是x=1
例2 B
已知
x3 (x 2)2
A B x 2 (x 2)2
求A、
A 1; B 5
解方程：
1. x 5 x 1 0 x3 x1
x2
2.
x x
21 2
8 x2 4
x0
3
1x
3.
2
无解
4x
x4
4. 2 y 5 3y 3 3 yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y2
y4
5.若方程根
3 2x
4
x
2
2
1
有增根，则增
解:设江水每小时的流速是x千米，根据题意列方程
72 48 20 x 20 x
请完成下面的过程
例 3. 某人骑自行车比步行每小时多走 8 千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?

分式知识点总结及复习

分式知识点总结及复习一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是，分母 B 的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式就没有意义。

例如，式子 1/x 就是一个分式，其中 x 是分母；而 2 就不是分式，因为它没有分母。

二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。

例如，对于分式 3/（x 1)，要使其有意义，分母 x 1 不能等于 0，即 x 不能等于 1。

三、分式的值为零的条件分式的值为零，需要同时满足两个条件：分子为零，且分母不为零。

比如，对于分式（x ＋ 2)／（x 3)，当分子 x ＋ 2 ＝ 0 时，x ＝－2，此时分母 x 3 ＝－2 3 ＝－5 ≠ 0，所以当 x ＝－2 时，该分式的值为零。

四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于零的整式）例如，分式 2/3 的分子和分母同时乘以 2，得到 4/6，分式的值不变。

五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

确定公因式的方法：系数取分子和分母系数的最大公因数，字母取分子和分母共有的字母，相同字母的指数取最低次幂。

例如，对于分式 6x²y/8xy²，分子和分母的公因式是 2xy，约分后得到 3x/4y。

六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的方法：一般取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母。

例如，分式 1/2x 和 1/3y 的最简公分母是 6xy，通分后分别为 3y/6xy 和 2x/6xy 。

七、分式的乘除法分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。

分式知识点总结及复习

分式知识点总结及复习一、基本概念分式是指两个整数之间用分数线表示的表达式，其中分数线上方的整数称为分子，下方的整数称为分母。

分子和分母可以是正整数、负整数或零。

二、分数的分类1. 真分数：分子小于分母的分数，如1/2、3/4。

2. 假分数：分子大于等于分母的分数，如7/4、11/3。

3. 带分数：由整数部分和真分数部分组成的复合分数，如2 1/2、33/4。

三、分数的基本运算1. 分数的加法：分母相同时，分子相加；分母不同时，通分后分子相加。

2. 分数的减法：分母相同时，分子相减；分母不同时，通分后分子相减。

3. 分数的乘法：分子相乘，分母相乘。

4. 分数的除法：将除法转化为乘法，即将除数取倒数后与被除数相乘。

5. 分数的约分：将分子和分母的公约数除去，使分数达到最简形式。

6. 分数的比较：分数大小的比较依据是分子和分母的大小关系。

四、分式的应用1. 长度比较：如果表示相同长度的量，分母较大的分数表示的长度较小。

2. 面积比较：如果表示相同形状的图形面积，分母较大的分数表示的面积较小。

3. 比例求解：对于一个比例关系，可以使用分数来表示两个量之间的关系。

4. 混合运算：在实际的数学题中，分式常常与整数、小数一起进行混合运算。

五、常用的分数的表示法1. 百分数：百分数是分数的一种表示形式，以分母为100。

2. 小数：小数是另一种分数的表示形式，可以将分数化为小数进行计算。

六、常见的分数问题1. 分数的相加减问题：根据题意确定分数的运算方式，并进行对应的计算。

2. 分数的乘法除法问题：将乘法转化为分数的相乘运算，将除法转化为分数的相除运算。

3. 分数的约分问题：找到分子与分母的公约数，并进行约分化简。

4. 比较分数大小问题：比较分子与分母的大小关系来确定分数的大小。

七、常见的解分数问题的方法解决分数问题可以通过下面的方法来进行：1. 手算：将分数转化为小数进行计算，或者使用分数与整数的运算规则进行计算。

分式知识点总结及复习

分式知识点总结及复习分式是数学中一个重要的概念，也是许多人在学习数学时感到困惑的内容之一。

本文将对分式的基本概念、运算法则以及应用进行总结与复习，帮助读者更好地理解和掌握分式知识。

一、基本概念分式由分子和分母两部分组成，分子表示分数的被除数，分母表示分数的除数。

分数的值可以是整数、小数或者其他分数。

下面是分式的基本概念：1. 真分数：分子小于分母的分数称为真分数，例如1/2、3/4等。

2. 假分数：分子大于或等于分母的分数称为假分数，例如5/2、7/3等。

3. 常分数：分子为0的分数称为常分数，其值为0。

二、分式的四则运算分式的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面是各种运算的规则和注意事项：1. 加法与减法：- 分式加减法的前提是分母相同，如果分母不同，则需要找到它们的最小公倍数来进行通分。

- 计算分子时，加法取分子相加，减法取分子相减。

- 结果的分子不一定能被整除，可能需要进行约分。

2. 乘法：- 分式乘法直接将分子相乘，分母相乘。

- 结果的分子和分母都需要化简，即约分。

3. 除法：- 分式除法可以转化为乘法求逆的问题，即将被除数的分子和除数的分母互换位置，然后进行乘法运算。

- 运算结束后需化简结果。

三、分式的应用分式在实际问题中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 比例问题：当我们需要比较两个量的大小、计算比例或者解决比例问题时，常常会使用到分式。

2. 混合运算：在一些复杂的算术题中，可能会出现含有分式的运算，我们需要根据题目要求进行正确的计算和化简。

3. 高等数学中的应用：在微积分、线性代数等高等数学中，分式经常用于表示函数、方程组等，是一种重要的数学工具。

四、分式知识点的复习为了更好地巩固分式的知识，建议读者可以通过以下方法进行复习：1. 多做练习题：选择一些分数相关的练习题，分情况进行分类练习，逐步提高解题能力。

2. 总结归纳：将每个知识点进行总结和分类，形成自己的知识框架，并根据实际问题进行思考和应用。

分式复习大全

分式一、分式的概念定义：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成B A 的形式。

如果B 中含有字母，式子BA 叫做分式。

基中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

二、分式的基本性质一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子： a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

分式复习知识点总结

分式复习知识点总结一、分式的定义分式是指由一个整数或多项式作为分子，一个非零整数或多项式作为分母组成的表达式。

通常表示为a/b，其中a为分子，b为分母，a和b分别为整数或多项式，且b ≠ 0。

分式可以表示有理数，它可以是一个整数、分数或带分数。

二、分式的性质1. 分式的值可以是正数、负数或零，取决于分子和分母的符号。

2. 分式的分子和分母都可以约分，约分后的分式与原分式等值。

3. 分式中的分母不能为0，因为0不能做除数。

4. 分式可以化简为最简形式，即分子和分母没有公因数。

5. 分式可以进行加、减、乘、除以及简单化简等运算。

三、分式的简化对于分式a/b，若a和b有公因数，可以进行约分，使分子和分母互素，即没有公因数。

对于多项式分式，可以进行因式分解，将分子和分母都化为最简形式。

四、分式的运算1. 分式的加法和减法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，d≠0，则a/b + c/d = (ad+bc)/bda/b - c/d = (ad-bc)/bd2. 分式的乘法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，d≠0，则a/b × c/d = ac/bd3. 分式的除法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，c≠0，则a/b ÷ c/d = ad/bc4. 分式的混合运算先将分式化为最简形式，然后进行运算。

五、解分式方程分式方程指含有未知数的分式等式，解分式方程的关键是通分，将分式方程转化为多项式方程，然后求解。

六、分式的应用分式在实际生活中有着广泛的应用，例如在工程、物理、经济等领域都有着重要的作用。

在经济学中，分式可以用来表示利润、成本、收入等比例关系；在物理学中，分式可以用来表示速度、加速度、密度等物理量的关系；在工程学中，分式可以用来表示材料的混合比例、工程测量中的比例关系等。

在学习分式的过程中，要善于把分数化简成最简式，掌握有理数的运算法则，灵活运用有理数的基本性质，加强分数的认识和运用，掌握有理数的相关知识，对于解决有理数问题能够运用有理数的性质和基本运算规律。

中考数学一轮复习专题解析—分式的运算

中考数学一轮复习专题解析—分式的运算复习目标1.了解分式的概念2.会利用分式的基本性质进行约分和通分。

3.会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算4.能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程5.会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；考点梳理一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.【归纳总结】分式的概念需注意的问题：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B ≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0．②当B =0时，分式无意义；当分式无意义时，B =0．③当B ≠0且A =0时，分式的值为零．例1、若把x ，y 的值同时缩小x 为原来的13倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．xy x y+B ．22y x ++C ．()22x y x +D ．222x y x -【答案】C 【解析】A.1111333==11333x y xyxy x y x y x y⨯⨯+++，选项说法错误，不符合题意；B.61263=3616233y y x x y x +++=+++，选项说法错误，不符合题意；C.22222222111()()()33311()()33x y x y x y x x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==，选项说法正确，符合题意；D.22222213112261())(33()3xx xy x y x y x ⨯==---⨯，选项说法错误，不符合题意故选C二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．例2、计算22111m mm m----的结果是（）A．1m+B．1m-C．2m-D．2m--【答案】B【解析】解：()222121211 1111mm m m m mm m m m---+-===-----；故选B．【归纳总结】约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．【特别提醒】通分注意事项(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．【特别提醒】1.解分式方程注意事项(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．2.列分式方程解应用题的基本步骤(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．例3、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．6000x＝840080x+B．6000x+80＝8400xC．8400x＝6000x﹣80D．6000x＝840080x-【答案】A【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意得：6000x＝840080x+，故选：A．综合训练1．（2022·全国九年级课时练习）若代数式13x x -+有意义，则x 的取值范围是（）A ．3x ≠B ．1x ≠C ．3x ≥-D ．3x ≠-【答案】D【分析】根据分式有意义的条件分析即可．【详解】数式13x x -+有意义，30x ∴+≠，解得3x ≠-．故选D ．2．（2022·老河口市教学研究室九年级月考）化简2b a ba a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭的结果是（）A ．-a bB ．a b +C ．1a b-D ．1a b+【答案】A【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：2b a ba a a ⎛⎫+-÷⎪⎝⎭=22a b aa a b-⨯+=()()a b a b aaa b+-⨯+=-a b ．故选：A ．3．（2022·厦门市第九中学九年级二模）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，则可列方程为（）A ．1705532.5x x-=B ．5517032.5x x-=C ．17055 2.53x x ⨯-=D ．1705532.5x x-=【答案】D【分析】设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出分式方程．【详解】解：设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，依题意得：1705532.5x x-=故选D ．4．（2022·哈尔滨市第十七中学校）分式方程1x x +12x +-＝1的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【答案】A【分析】观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．【详解】解：112x x x ++-＝1，去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得：（x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2），x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ，x ＝1，经检验，x ＝1是原分式方程的解．故选：A ．5．（2022·四川九年级期中）关于x 的方程244x ax x -=++有增根，则a 的值为（）A ．－4B ．－6C ．0D ．3【答案】B【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根求得4x =-，代入整式方程即可．【详解】解：244x ax x -=++两边同时乘4x +得：2x a -=①∵244x ax x -=++有增根∴4x =-代入方程①得：6a =-故答案为B ．6．（2022·全国）已知实数a ，b 满足1a b ⋅=，那么221111a b +++的值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵•1a b =，∴()2221a b ab ==，∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ．7．（2022·日照市田家炳实验中学九年级一模）已知关于x 的方程2222x mm x x+=--无解，则m 的值是___．【答案】12或1【分析】分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母20x -=，得到2x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值和方程没有增根两种情况进行讨论.【详解】解：①当方程有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，∴最简公分母20x -=，解得2x =，当2x =时，1m =故m 的值是1，②当方程没有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，解得221mx m =-，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时210m -=，解得12m =，∴综上所述，当12m =或1时，方程无解.故答案为：12或1.8．（2022·山东滨州市·九年级其他模拟）已知关于x 的分式方程3522x mx x=+--的解为非负数，则m 的取值范围为______．【答案】10m ≥-且6≠-m 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．【详解】解：3522x m x x=+--去分母，得：35(2)x m x =-+-，移项、合并，得：210x m=+系数化为1得：102mx +=∵分式方程的解为非负数，∴1002m +≥且1022m +≠，解得：10m ≥-且6≠-m ，故答案为：10m ≥-且6≠-m ．9．（2022·云南九年级期末）先化简，再求值：212(1)11x x x ++÷+-，其中2x =．【答案】x -1，1【分析】根据分式的混合运算法则化简原式然后代值计算即可．【详解】解：原式=2111()12x x x x ++-⨯++=2(1)(1)12x x x x x ++-⨯++=1x -，∵2x =，∴原式=211-=．10．（2022·河南三门峡市·）下面是小锐同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++()()()()23321233x x x x x +-+=-++…第一步()321323x x x x -+=-++…第二步()()()23212323x x x x -+=-++…第三步()()262123x x x --+=+…第四步()262123x x x --+=+…第五步526x =-+…第六步（1）填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______；②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．（2）请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简；（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】（1）①三，分式的基本性质；②五，括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）见解析；（3）最后结果应化为最简分式或整式【分析】（1）①分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，通分的依据是分式的基本性质，据此即可进行判断；②根据分式的运算法则可知：第五步开始出现错误，然后根据去括号法则解答即可；（2）根据分式的混合运算法则解答；（3）可从分式化简的最后结果或通分时应注意的事项等进行说明．【详解】解：（1）①在以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变）；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）原式()262172326x x x x ---==-++；（3）答案不唯一．如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等．。

分式复习

【特别提示】 (1)在分式运算中，有整式时，可将整式看作是分母为1 的分式，然后依照法则进行运算；(2)如果分子、分母是多项式，那么先将其因式分解，再进行运算．
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考点2 分式的化简及求值（6年考查3次）
3．分式化简求值的一般步骤 (1)有括号的先计算括号里的． (2)有乘方，将乘方转化到分子、分母上． (3)除法变乘法，再分别对每个乘式中的分子、分母约分． (4)加减运算：分母通分、分子合并同类项． (5)代入数值，求代数式的值．
x( x 1) x ( x 1)( x 1) x 1
1 1 2 1 当x＝－时，原式＝ 1 . 2 1 3 2
考查
分式的化简(求值)
2a b b a 2b 2．[2012陕西，17]化简： ( ) . a b a b ab
(2a b)(a b) b(a b) a b 解：原式＝ (a b)(a b) a 2b
3 2 ( ) 3 2 9 当a＝－时，原式＝ . 3 10 2 1 2
考点1 分式的相关概念及性质（6年内未考查）
1．分式满足的条件(两个条件缺一不可) A (1)A÷B可以表示成①________ 的形式(A、B表示两个整 B 式)． (2)B中含有字母．【特别提示】 (1)分式与整式的区别：分母中是否含有字母；(2)判断分式是否有意义的条件：当分母B≠0时 A A ，分式有意义；当分母B＝0时，分式没有意义； B B (3)分式值为零的条件是分子A＝0，且分母B≠0.
4．分式符号变化法则：
A A A A . B B B B
考点2 分式的化简及求值（6年考查3次）
1．分式的运算法则

分式的复习

同分母分式加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先将它们化为相同分母的分式，然后进行加减。
计算：
2 3 1 a (1) ; ( 2) 2 ; t 1 t 1 a3 a 9 1 x2 1 1 ( 3) 2 ; ( 4) . x 3 x 5x 6 ax ay bx by
分式的意义当分式的分母不等于零时,分式才有意义.
1. x取什么值时下列分式才有意义？
x 1 (1) ; x 5
| x | 3 (2) . 2x 5
1 2.什么时候分式 2 有意义 ? x 1
分式的为零的条件
A 若分式的值为零,则 B
（ 1 ）当x为何值时，分式
A 0, B 0.
练习：下列各方程中哪些是分式方程：
1 2 (1) x 3; (2) 2; 5 3x 2x 4 2 1 (3) 4; (4) ; x 2 x 1
解分式方程的关键是_________,将其转化为学过的_________再求解；一元方程的解也叫方程的______,使分式方程分母为零的根叫做_____；解分式方程必须检验，检验的方法只需看所得的解是否使__________。
的值为零？
x 3 x 3
（2）当x为何值时，分式 2 的值为零？ x x2 2 x 1 (3)当x为何值时，分式的值为零？ x 1
x 1
拓展
x2 1) 分式的值可能等于零吗 ? ( x 2)(x 3)
2) 什么时候分式 1 x 2 xy y
2 2
有意义 ?
3 ) 设x,y是实数，分式
分式的复习
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分式复习教案

分式复习教案Part 1: 什么是分式？在我们的生活中，有很多数量、部分、比例都可以表示为分式。

但是，对于初中生来说，分式是一门新的知识。

那么，什么是分式呢？分式是指有分数形式的式子。

其中，分母表示每份的大小，分子表示所要表示的数量或部分的大小。

在分式中，分母不能为零，因为任何数除以零是无法进行的，也没有意义。

例如，$\frac{1}{2}$ 表示一个圆形蛋糕被平均分成了两份，其中一份就是 $\frac{1}{2}$。

同样地，$\frac{3}{4}$ 表示一个圆形蛋糕被平均分成了四份，其中三份就是 $\frac{3}{4}$。

Part 2: 分式的基本运算在分式的运算中，最基本的有四种：加、减、乘、除。

下面我们分别来看一下。

对于分式的加减，我们需要先找到它们的公共分母，然后再将分子相加（减），分母不变。

例如：$\frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{9}{10}$$\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} =\frac{5}{12}$值得一提的是，对于分式的加减，我们需要将它们约分到最简式，即分子和分母的最大公约数都为 $1$。

（二）分式的乘法对于分式的乘法，我们直接将分子相乘，分母相乘即可。

例如：$\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{10}{21}$对于分式的除法，我们需要将第二个分式倒数（即将分子和分母的位置互换），然后再将它们相乘即可。

例如：$\frac{2}{3} \div \frac{5}{7} = \frac{2}{3} \times\frac{7}{5} = \frac{14}{15}$Part 3: 分式的化简在分式的化简中，最常见的是约分和通分。

下面我们分别来看一下。

（一）约分约分是指将一个分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数，使得这个分式变为最简式的过程。

分式中考专题复习基础知识点

分式
1.定义：形式 A 的式子，其中B中有字母，B 0 B
①分子分母都是整式
分式的概念 ②分母中含有字母
③分母不能为零
2. A 有意义的条件：B 0 B A 无意义的条件：B=0 B
3. A =0的条件：A=0且B 0 B
4.分式的基本性质：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
5.分式约分：（1）把分子与分母分解因式（2）找到分子与分母公因式（3）约掉公因式（4）结果最简分式或整式
6.分式通分：（1）找到最简公分母（2）各分式化成分母相同的分式
寻找最简公分母，方法：
（1）系数：把各分式分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
（2）因式：凡出现过的字母（或因式分解后得到的因式）都要取到；
（3）指数：相同因式取指数最高的。
通分
1
1 2a 2
b
与
a-b 3ab2c
最简公分母
6a 2 b2c
1 2a 2 b
1g3bc 2a 2 bg 3bc
3bc 6a 2 b2c
a-b 3ab2c
a-b g2a
3ab2cg 2a
2a2 2ab
6a 2 b2c
1、把下列各式通分： (P121随堂练习)
(1) x 1 , 2 , 3x2 ax
最简公分母 3ax2
a x 1
3x2
x 1g
3x2 g a
a x 1
3ax2
2 2g3x ax axg 3x
6x 3ax 2
1
a
x 1
3ax2
,
6x 3ax2
1、把下列各式通分： (P121随堂练习)

分式知识点总结及复习

分式知识点总结及章末复习知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。

知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）经典例题1、代数式14x-是（） A.单项式 B.多项式 C.分式 D.整式 2、在2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24x y -中，分式的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 3、总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果便宜1元，比乙种糖果贵0.5元，设乙种糖果每千克x 元，因此，甲种糖果每千克元，总价9元的甲种糖果的质量为千克.4、当a 是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（） A.1a a + B.21a a + C.211a a ++ D.211a a +- 5、当1x =时，分式①11x x +-，②122x x --，③211x x --，④311x +中，有意义的是（） A.①③④ B.③④ C.②④ D.④6、当1a =-时，分式211a a +-（）A.等于0 B.等于1 C.等于－1 D.无意义 7、使分式8483x x +-的值为0，则x 等于（） A.38 B.12- C.83 D.12 8、若分式2212x x x -+-的值为0，则x 的值是（） A.1或－1 B.1 C.－1 D.－2 9、当x 时，分式11x x +-的值为正数. 10、当x 时，分式11x x +-的值为负数. 11、当x = 时，分式132x x +-的值为1. 12、分式1111x ++有意义的条件是（） A.0x ≠ B.1x ≠-且0x ≠ C.2x ≠-且0x ≠ D.1x ≠-且2x ≠-13、如果分式33x x --的值为1，则x 的值为（） A.0x ≥ B.3x > C.0x ≥且3x ≠ D.3x ≠14、下列命题中，正确的有（）①A 、B 为两个整式，则式子A B 叫分式； ②m 为任何实数时，分式13m m -+有意义； ③分式2116x -有意义的条件是4x ≠； ④整式和分式统称为有理数. A.1个 B .2个 C.3个 D.4个15、在分式222x ax x x ++-中a 为常数，当x 为何值时，该分式有意义？当x 为何值时，该分式的值为0？知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

初三数学下册分式的复习资料

初三数学下册分式的复习资料初三数学下册关于分式的复习资料初三数学下册关于分式的复习资料分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

( )3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的`分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。

能用运算率简算的可用运算率简算。

5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即 ;当n为正整数时，(6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.(m,n是整数)(1)同底数的幂的乘法(2)幂的乘方(3)积的乘方(4)同底数的幂的除法：( a≠0)(5)商的乘方：()(b≠0)7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母)，把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根.增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。

列方程应用题的步骤是什么? (1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答.应用题有几种类型;基本公式是什么?基本上有五种：(1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.(2)数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法. (3)工程问题基本公式：工作量=工时×工效. (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水. v逆水=v静水-v水.8.科学记数法：把一个数表示成的形式(其中，n是整数)的记数方法叫做科学记数法.用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。

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