2018高考数学一轮复习第六章平面向量与复数热点探究课3三角函数与平面向量教师用书

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高考数学一轮复习-三角函数和平面向量的综合应用01课件

三角函数式的化简求值问题
例 1 已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1 (x∈R)． π (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间0，2 上的最大值和最小值；
π π 6 (2)若 f(x0)＝，x0∈4，2 ，求 cos 2x0 的值． 5
(2)原式＝
π π 2sinA＋4 sinπ－A＋4
1－cos 2A π π 2sinA＋4 sinA－4 ＝ 2sin2A 2 2 2 2 2 sin A＋ cos A sin A－ cos A 2 2 2 2 ＝ 2sin2A sin2A－cos2A 7 ＝＝－ . 2sin2A 2
(1)关键是将 f(x)化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式；(2)通过角的拆分将 cos 2x0 与 f(x0)联系起来，即可将问题解决．
解
(1)由 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1，
得 f(x)＝ 3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) π ＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋6 . 所以函数 f(x)的最小正周期为 π.
π π π π 因为 f(x)＝2sin2x＋6 在区间0，6 上为增函数，在区间6，2 上 π π 为减函数，又 f(0)＝1，f6 ＝2，f2 ＝－1，所以函数 f(x)在区间 π 0，上的最大值为 2，最小值为－1. 2 π (2)由(1)，可知 f(x0)＝2sin2x0＋6 . π 3 6 又因为 f(x0)＝，所以 sin2x0＋6 ＝ . 5 5
要点梳理
忆一忆知识要点
3．解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现． 4．平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，求解三角函数式的取值范围，首先要根据三角形内角之间的关系进行化简，然后根据已知条件确定角 A 或角 C 的取值范围，要利用锐角三角形的每个内角都是锐角，构造关于角 A 的不等式确定其取值范围，最后利用三角函数的图象和性质确定三角函数式的取值范围．

2019-2020年高考数学一轮复习第六章平面向量与复数热点探究课3三角函数与平面向量课件

∴a2＝1，b2＝1，a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)．
又|a－b|＝2 5 5， ∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝45.
即 2－2a·b＝45，∴a·b＝35.∴cos(α－β)＝35.
6分
(2)∵0<α<π2，－2π<β<0， ∴0<－β<π2，0<α－β<π. ∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－295＝45. ∴cos β＝ 1－sin2β＝ 1－12659＝1123. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1123＋35×－153＝3635.
∴sin(B＋C)＝2sin(A＋C)．
∵A＋B＋C＝π，
∴sin A＝2sin B，∴ab＝2.
6分
(2)由余弦定理得 cos A＝b2＋2b9·－3 a2＝b2＋69b－4b2＝9－6b3b2<0，
∴b> 3. ①
10 分
∵b＋c>a，即 b＋3>2b，∴b<3， ②
由①②得 b 的范围是( 3，3).
∴tan 2B＝－ 3，∴2B＝23π或53π，∴B＝π3或56π.
∵cos C＝130< 23，∴C>π6，
∴B＝56π(舍去)，∴B＝π3.
∴sin(B－A)＝sin[B－(π－B－C)]
＝sinC－π3＝sin Ccos
π3 23＝
即 AC·cos A＝3BC·cos B．由正弦定理知sAinCB＝sBinCA，
从而 sin Bcos A＝3sin Acos B.
又因为 0<A＋B<π，所以 cos A>0，cos B>0，

2018年高考数学二轮复习考前专题三三角函数、解三角形与平面向量第3讲平面向量讲学案理

第3讲平面向量1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档．2．考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．热点一平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)(2017届河南息县第一高级中学检测)已知平行四边形ABCD 的对角线分别为AC ，BD ，且AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则( )A.FE →＝－112AB →－512AD →B.FE →＝112AB →－512AD →C.FE →＝512AB →－112AD →D.FE →＝－512AB →－112AD →答案 C解析 AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点， ∴FO →＝14DB →，OE →＝16AC →，∴FE →＝FO →＋OE →＝14DB →＋16AC →，∵AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →， ∴FE →＝14(AB →－AD →)＋16(AB →＋AD →)＝512AB →－112AD →.故选C. (2)(2017届湖南师大附中月考)O 为△ABC 内一点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.13B.14C.12D.23 答案 A解析由AD →＝tAC →，得OD →－OA →＝t (OC →－OA →)，所以OD →＝tOC →＋(1－t )OA →，因为B ，O ，D 三点共线，所以BO →＝λOD →，则2OA →＋OC →＝λtOC →＋(1－t )λOA →，故有⎩⎪⎨⎪⎧2＝(1－t )λ，1＝λt ，t ＝13，故选A.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 5AC →，且AP →＝mAB →＋25AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＝m ，k 5＝25，解得k ＝2，m ＝－1，故选B.(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4) 答案 B解析因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以m ＋4＝0，m ＝－4,2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B. 热点二平面向量的数量积1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，非零向量b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例2 (1)(2017届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则AM →·MB →的值为( ) A ．2 B ．－152C.152D. －2答案 A解析因为AM →＝CM →－CA →，MB →＝CB →－CM →，则AM →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CB →－12CA →⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →，即AM →·MB →＝29CB →2－12CA →·CB →＋14CA →2＝2－94＋94＝2，故选A.(2)(2017届河北省衡水中学六调)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|a ＋2b |等于( ) A ．2 2 B.17 C.15 D ．2 5 答案 B解析向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，可得|a －b |2＝5，即|a |2＋|b |2－2a ·b ＝5，解得a ·b ＝0. |a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋16＝17，所以|a ＋2b |＝17.故选B.思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2 (1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32 C ．－43 D ．－1答案 B解析方法一 (解析法)建立平面直角坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0,3)，B (－1,0)，C (1,0)．图①设P 点的坐标为(x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )， PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y ) ＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－34≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B. 方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →.图②要使PA →·PD →最小，则PA →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2PA →·PD →)min ＝－2|PA →||PD →|，问题转化为求|PA →|·|PD →|的最大值．又|PA →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|PA →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，当且仅当|PA →|＝|PD →|时取等号，∴[PA →·(PB →＋PC →)]min ＝(2PA →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，则|a ＋2b |＝________. 答案 2解析因为|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝2π3，故a ·b ＝2cos 〈a ，b 〉＝－1，则(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4－4＋4＝4，即|a ＋2b |＝2. 热点三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3 (2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.思维升华在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 已知平面向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a·(b －c )． (1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，求sin α的值．解 (1)因为a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，所以b －c ＝(sin x ＋cos x ，sin x －cos x )，f (x )＝a·(b －c )＝sin x (sin x ＋cos x )＋cos x (sin x －cos x )＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z 时，函数f (x )为减函数．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12. 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝±32.又sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32时， sin α＝12×22＋32×22＝2＋64；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－32时， sin α＝12×22－32×22＝2－64.综上，sin α＝2±64.真题体验1．(2017·北京改编)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的___________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案充分不必要解析方法一由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件．方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件．2．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．答案33解析由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 3．(2017·天津)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．答案311解析由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.4．(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．答案 6解析方法一根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ， |AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝|AQ →||AP →|＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]．所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.方法二如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)，所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立．押题预测1．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →等于( )A.12(a ＋b )B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 押题依据平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础．答案 C解析因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ，则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝ADAB.因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．故选C.2．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49押题依据数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式．答案 B解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.3．在△ABC 中，AB →＝(cos 32°，cos 58°)，BC →＝(sin 60°sin 118°，sin 120°sin 208°)，则△ABC 的面积为( ) A.14 B.38C.32 D.34押题依据平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点．答案 B解析 |AB →|＝cos 232°＋cos 258°＝cos 232°＋sin 232°＝1， BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫32cos 28°，－32sin 28°，所以|BC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 28°2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32sin 28°2＝32. 则AB →·BC →＝cos 32°×32cos 28°－sin 32°×32sin 28°＝32(cos 32°cos 28°－sin 32°sin 28°) ＝32cos(32°＋28°)＝32cos 60°＝34，故cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝341×32＝12.又〈AB →，BC →〉∈[0°，180°]，所以〈AB →，BC →〉＝60°，故B ＝180°－〈AB →，BC →〉＝180°－60°＝120°. 故△ABC 的面积为S ＝12·|AB →|·|BC →|sin B＝12×1×32×sin 120°＝38.故选B.4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．押题依据本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中．答案－116解析因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋BP →2.又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，所以∠OBA ＝60°，OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝⎝⎛⎭⎪⎫|BP →|－142－116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →取得最小值－116.A 组专题通关1. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2．(2017届广西省教育质量诊断性联合考试)设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( ) A ．－112 B.112C ．－292 D.292答案 C解析由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，x λ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14⇒λ＋x ＝－292，故选C.3．已知向量a ，b ，其中a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，则b 在a 上的投影为( ) A.43 B ．－43 C.23 D ．－23 答案 C解析由a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，得a ·(a －3b )＝0＝a 2－3a·b ＝4－3a·b ，a·b ＝43，所以b 在a 上的投影为a·b |a |＝432＝23，故选C.4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE →＝2EC →，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝3，则AE →·BF →的值为()A ．4 B.833C ．0D ．－4 答案 D解析如图所示，BE →＝2EC →⇒BE ＝23BC ＝233，AB →·AF →＝3⇒AF cos ∠BAF ＝1⇒DF ＝1，以点A 为原点建立平面直角坐标系，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，则B (0,3)，F (3，1)，E (233，3)，因此BF →＝(3，－2)，AE →·BF →＝233×3－2×3＝2－6＝－4.5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，若B ＝2C ，则向量BC →在BA →方向上的投影是( ) A ．－75 B ．－77125C.77125D.75 答案 B解析由正弦定理得ACsin B ＝AB sin C ⇒6sin 2C ＝5sin C ⇒cos C ＝35，由余弦定理得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22AC ·BC ⇒BC ＝115或5，经检验知BC ＝5不符合，舍去，所以BC ＝115，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－725，则|BC →|cos B ＝－77125，故选B.6．(2017届吉林省普通中学调研)在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，若∠ACD ＝60°，则t 的值为( ) A.3－12B.3－1C.3－22 D.3＋12答案 A解析因为D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，所以BD →＝tBA →，不妨设AC ＝BC ＝1，则AB ＝2，AD ＝2(1－t )，在△ACD 中，∠ACD ＝60°，∠CAD ＝45°，则∠ADC ＝75°，由正弦定理，得1sin 75°＝2(1－t )sin 60°，解得t ＝3－12.故选A.7．(2017届河南南阳一中月考)已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则△ABC 的面积为( ) A.85 B.75C.65 D.45 答案 C解析如图所示，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，由3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，可得3OA →＋4OB →＝－5OC →，两边平方可得9＋24OA →·OB →＋16＝25，所以OA →·OB →＝0，因此OA →⊥OB →.同理3OA →＋5OC →＝－4OB →，4OB →＋5OC →＝－3OA →，两边分别平方可得cos 〈OB →，OC →〉＝－45，cos 〈OA →，OC →〉＝－35，根据同角三角函数基本关系可得sin 〈OB →，OC →〉＝35，sin 〈OA →，OC →〉＝45，所以S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＋S △OBC＝12×1×1＋12×1×1×45＋12×1×1×35＝65，故选C. 8．已知向量OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )，其中O 为原点，若向量OA →与OB →的夹角在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12内变化，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3 解析因为OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )，所以OA →·OB →＝1＋a .又OA →·OB →＝2·1＋a 2cos θ，故cos θ＝1＋a2(1＋a 2)，因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，故cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，即1＋a2(1＋a 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，解得33≤a ≤ 3. 9．(2017·辽宁省大连市双基测试)已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______．答案233解析由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0，∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号，∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233，即m ＋n 的最大值为233. 10．(2017届陕西西安铁一中三模)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S .解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋2，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，由正弦函数图象可知，当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3.所以2A －π6＝π2，A ＝π3.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得12＝b 2＋16－2×4b ×12，所以b ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×2×4sin 60°＝2 3.B 组能力提高11. (2017届江西师大附中、临川一中联考)在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点，AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥PA →·PB →，则λ的最大值是( ) A.2＋22 B. 2－22C ．1 D. 2 答案 C解析因为CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →， PB →＝AB →－AP →＝AB →－λAB →，故由CP →·AB →≥PA →·PB →，可得2λ－1≥－2λ(1－λ)，即2λ－1≥－2λ＋2λ2，也即λ2－2λ≤－12，解得1－22≤λ≤1＋22，由于点P ∈AB ，所以1－22≤λ≤1，故选C.12．(2017届荆、荆、襄、宜四地七校联考)如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10, 记m i ＝AB →2·AP →i (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．15 3B ．45C ．60 3D ．180 答案 D解析因为AB 2与B 3C 3垂直，设垂足为C ，所以AP i →在AB 2→上的投影为AC ，m i ＝AB 2→·AP i →＝|AB 2→||AC →|＝23×33＝18，从而m 1＋m 2＋…＋m 10的值为18×10＝180.故选D. 13.(2017届江西上饶一模)已知在Rt △AOB 中，AO ＝1，BO ＝2，如图，动点P 是在以O 点为圆心，OB 为半径的扇形内运动(含边界)且∠BOC ＝90°.设OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是__________．答案 [－2,1]解析由已知图形可知OP →，OA →的夹角∠AOP ∈[90°，180°]，所以x ≤0， OP →，OB →的夹角∠BOP ∈[0°，90°]，所以y ≥0，由平行四边形法则可知，当点P 沿着圆弧CB 由C 到B 移动时，负数x 逐渐增大，正数y 逐渐增大，所以当点P 在C 处时x ＋y 取得最小值，因为OC ＝2OA ，OC ⊥OB ，所以x ＝－2，y ＝0，所以x ＋y ＝－2，当点P 在点B 处时x ＋y 取得最大值，因为OA ⊥OB ，所以x ＝0，y ＝1，所以x ＋y ＝1，所以x ＋y 的取值范围为[－2,1]．14．(2017届云南曲靖一中月考)已知向量a ＝(－1,0)，b ＝(cos α，sin α)，c ＝(cos β，sin β)．(1)求|a ＋c |的最大值；(2)若α＝π4，且向量b 与向量(a ＋c )垂直，求cos β的值．解 (1)a ＋c ＝(cos β－1，sin β)，|a ＋c |＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2－2cos β，当cos β＝－1时，|a ＋c |＝2，|a ＋c |的最大值为2. (2)若α＝π4，则b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，a ＋c ＝(cos β－1，sin β)，∵向量b 与向量a ＋c 垂直， ∴22(cos β－1)＋22sin β＝0， ∴sin β＋cos β＝1，故sin 2β＝(1－cos β)2＝1－2cos β＋cos 2β， cos 2β－cos β＝0，∴cos β＝0或1.当cos β＝1时，sin β＝0，a ＋c ＝(0,0)不符合条件， ∴cos β＝0.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

【高考数学】第六章平面向量、复数全章课件PPT教师用书

8
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
解析 (2)若b＝0，则a与c不一定平行. (3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√
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知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若 a，b 都是单位向量，则 a
答案
－16
2 3
15
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
考点一平面向量的概念【例 1】下列命题中，不正确的是________(填序号).
a－b＝a＋(－b)
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
求实数λ与数
向量a的积乘
的运算
(1)|λa|＝__|_λ|_|a_|__； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向___相__同___；当λ＜0时，λa的方向与a的方向___相__反_____；当λ＝0时，λa＝__0___
λ(μa)＝__λ_μ_a__； (λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a_； λ(a＋b)＝__λ_a_＋__λ_b_
答案
1 2
12
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
5.(必修 4P92A12 改编)已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且O→A＝a，O→B＝b，则D→C ＝______，B→C＝________(用 a，b 表示).
解析如图，D→C＝A→B＝O→B－O→A＝b－a，B→C＝O→C－O→B＝－O→A－O→B＝－a－b. 答案 b－a －a－b
0的相反向量为0

高三数学专题复习之平面向量与复数

平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。

复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。

高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。

《高考调研》高三数学第一轮复习第六章《平面向量和复数》课件6-1

→. ＝DC
• (3)不正确，当b＝0时， • a与c可以不共线． • (4)不正确，当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b. • (5)不正确． • 【答案】 (1)不正确 (2)正确 (3)不正确 (4)不正确 (5)不正确
• 探究1 本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想，引导学生在理解的基础上加以记忆．
• 三、实数与向量的积(数乘) • (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，λa与a ＜ λa ＞平行．规定：|λa|＝|λ||a|，当λ__ __0时，的方向与 a的方向；当λ__ 相同__0时，λa的方向与a的方向相反；当 λ＝0时，λa＝0. (λμ)a • (2)运算律：λ(μa)＝， λa＋μa λa＋λb . • ( λ ＋μ ) a＝，λ(a＋b)＝ • 四、向量共线定理： • 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一实数 • λ，使得b＝λa，即b∥a⇔b＝λa(a≠0) ．
相同 • 3．平行向量：方向或相反的非零向量叫做平行向量．规定：0与任何向量平行，平行向量也叫做共线向量 • ．长度相等且方向相同 • 4．相等向量：的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a＝b. • 5．相反向量：模相等方向相反的向量叫做相反向量．
• 二、向量运算 • (1)加2 B．3 C ．4 D．5 答案 B 解析选B.①真命题． ②假命题．当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的． • ③真命题． • ④假命题．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行． • ⑤假命题．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段．

专题三三角函数与平面向量的综合应用

专题三三角函数与平面向量的综合应用1．三角恒等变换(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式．(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系．(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围． 2．三角函数的性质(1)研究三角函数的性质，一般要化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数．(2)在讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设t ＝ωx ＋φ，y ＝A sin t ，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的． 3．解三角形解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现． 4．平面向量平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性．1．已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．答案－34解析cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin (9π2＋α)＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34.所以cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝－34.2．已知f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)的一条对称轴为y 轴，且θ∈(0，π)，则θ＝________.答案 π6解析 f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3，由θ＋π3＝k π＋π2 (k ∈Z )及θ∈(0，π)，可得θ＝π6.3. 如图所示的是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|∈⎝⎛⎭⎫0，π2)图象的一部分，则f (x )的解析式为____________．答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π6＋1解析由于最大值和最小值之差等于4，故A ＝2，B ＝1. 由于2＝2sin φ＋1，且|φ|∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得φ＝π6. 由图象知ω(－π)＋φ＝2k π－π2 (k ∈Z )，得ω＝－2k ＋23(k ∈Z )．又2πω>2π，∴0<ω<1.∴ω＝23.∴函数f (x )的解析式是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π6＋1.4． (2012·四川改编)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、ED ，则sin ∠CED ＝________. 答案1010解析方法一应用两角差的正弦公式求解．由题意知，在Rt △ADE 中，∠AED ＝45°，在Rt △BCE 中，BE ＝2，BC ＝1， ∴CE ＝5，则sin ∠CEB ＝15，cos ∠CEB ＝25.而∠CED ＝45°－∠CEB ， ∴sin ∠CED ＝sin(45°－∠CEB ) ＝22(cos ∠CEB －sin ∠CEB ) ＝22×⎝⎛⎭⎫25－15＝1010.方法二利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解．由题意得ED ＝2，EC ＝12＋22＝ 5.在△EDC 中，由余弦定理得cos ∠CED ＝CE 2＋DE 2－DC 22CE ·DE ＝31010，又0<∠CED <π， ∴sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED＝1－⎝⎛⎭⎫310102＝1010.5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，AB＝3，P 是BC 上的一个动点，当PD →·P A →取得最小值时，tan ∠DP A 的值为________．答案1235解析如图，以A 为原点，建立平面直角坐标系xAy ，则A (0,0)， B (3，0)，C (3,2)，D (0,1)，设∠CPD ＝α，∠BP A ＝β， P (3，y ) (0≤y ≤2)．∴PD →＝(－3,1－y )，P A →＝(－3，－y )， ∴PD →·P A →＝y 2－y ＋9＝⎝⎛⎭⎫y －122＋354， ∴当y ＝12时，PD →·P A →取得最小值，此时P ⎝⎛⎭⎫3，12，易知|DP →|＝|AP →|，α＝β. 在△ABP 中，tan β＝312＝6，tan ∠DP A ＝－tan(α＋β)＝2tan βtan 2β－1＝1235.题型一三角恒等变换例1 设π3<α<3π4，sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，求sin α－cos 2α＋1tan α的值．思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系．解方法一由π3<α<3π4，得π12<α－π4<π2，又sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45. 所以cos α＝cos[(α－π4)＋π4]＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4sin π4＝210，所以sin α＝7210.故原式＝sin α＋2sin 2αsin αcos α＝cos α(1＋2sin α)＝14＋5250.方法二由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，得sin α－cos α＝325，两边平方，得1－2sin αcos α＝1825，即2sin αcos α＝725>0.由于π3<α<3π4，故π3<α<π2.因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝3225，故sin α＋cos α＝425，解得sin α＝7210，cos α＝210.下同方法一．探究提高三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简，角的转化是三角变换的“灵魂”．要注意角的范围对式子变形的影响．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( )A ．－235B.235 C ．－45D.45答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 题型二三角函数的图象与性质例2 (2011·浙江)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．思维启迪：三角函数图象的确定，可以利用图象的周期性、最值、已知点的坐标列方程来解决．解 (1)由题意得T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )．由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－(9＋4A 2)2A ·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3.又A >0，所以A＝ 3.探究提高本题确定φ的值时，一定要考虑φ的范围；在三角形中利用余弦定理求A 是本题的难点．已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A ，B ，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π，又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2 (k ∈Z )，φ＝2k π＋π6 (k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. (2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2 (k ∈Z )，解得x ＝k ＋13，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163. 题型三三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例3 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4. (1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．思维启迪：(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值．(2)在△ABC 中，求出∠A 的范围，再求f (A )的取值范围．解 (1)m·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x4＝32sin x2＋1＋cosx22＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，∵m·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12. cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1. 又∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12. ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32. 探究提高 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0.(1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(n －m )＝14，求a ，b ，c 的值．解 (1)因为lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0，所以a b ＝cos B cos A ≠1，所以sin 2A ＝sin 2B 且a ≠b .因为A ，B ∈(0，π)且A ≠B ，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2且A ≠B .所以△ABC 是非等腰的直角三角形． (2)由m ⊥n ，得m·n ＝0.所以2a 2－3b 2＝0.① 由(m ＋n )·(n －m )＝14，得n 2－m 2＝14，所以a 2＋9b 2－4a 2－b 2＝14，即－3a 2＋8b 2＝14.② 联立①②，解得a ＝6，b ＝2.所以c ＝a 2＋b 2＝10.故所求的a ，b ，c 的值分别为6，2，10.高考中的平面向量、三角函数客观题典例1：(5分)(2012·山东)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3考点分析本题考查三角函数的性质，考查整体思想和数形结合思想．解题策略根据整体思想，找出角π6x －π3的范围，再根据图象求函数的最值．解析由题意－π3≤πx 6－π3≤7π6.画出y ＝2sin x 的图象如图，知，当π6x －π3＝－π3时，y min ＝－ 3. 当π6x －π3＝π2时，y max ＝2. 故y max ＋y min ＝2－ 3. 答案 A解后反思 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)可看作由函数y ＝A sin t 和t ＝ωx ＋φ构成的复合函数．(2)复合函数的值域即为外层函数的值域，可以通过图象观察得到．典例2：(5分)(2012·天津)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ等于( )A.13B.23C.43D ．2考点分析本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积和运算求解能力．解题策略根据平面向量基本定理，将题中的向量BQ →，CP →分别用向量AB →，AC →表示出来，再进行数量积计算．解析 BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →， CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23.答案 B解后反思 (1)利用平面向量基本定理结合向量的线性运算表示向量是向量问题求解的基础；(2)本题在求解过程中利用了方程思想．方法与技巧1．研究三角函数的图象、性质一定要化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后利用数形结合思想求解．2．三角函数与向量的综合问题，一般情况下向量知识作为一个载体，可以先通过计算转化为三角函数问题再进行求解．失误与防范1．三角函数式的变换要熟练公式，注意角的范围．2．向量计算时要注意向量夹角的大小，不要混同于直线的夹角或三角形的内角．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·大纲全国)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →等于( )A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35bD.45a －45b 答案 D解析利用向量的三角形法则求解．如图，∵a ·b ＝0，∴a ⊥b ， ∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝ 5.又CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB ，∴AD ＝455.∴AD →＝45AB →＝45(a －b )＝45a －45b .2．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a·b 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π答案 B解析 f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，T ＝2π2＝π. 3．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为 ( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3答案 C解析由m ⊥n 得m·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，即2cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝0， ∵π6<A ＋π6<7π6，∴A ＋π6＝π2，即A ＝π3. 又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.4．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB→的夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，512π C.⎣⎡⎦⎤512π，π2D.⎣⎡⎦⎤π12，512π答案 D解析由题意，得：OA →＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，所以点A 的轨迹是圆(x －2)2＋(y －2)2＝2，如图，当A 位于使向量OA →与圆相切时，向量OA →与向量OB →的夹角分别达到最大、最小值，故选D. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012·北京)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．答案 π2解析利用正弦定理及三角形内角和性质求解．在△ABC 中，由正弦定理可知a sin A ＝b sin B，即sin B ＝b sin Aa＝3×323＝12. 又∵a >b ，∴∠B ＝π6.∴∠C ＝π－∠A －∠B ＝π2.6．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若AB →⊥OC →，则x 的值为______．答案 π2或π3解析因为AB →＝(2cos x ＋1，－2cos 2x －2)，OC →＝(cos x,1)，所以AB →·OC →＝(2cos x ＋1)cos x ＋(－2cos 2x －2)·1 ＝－2cos 2x ＋cos x ＝0，可得cos x ＝0或cos x ＝12，所以x 的值为π2或π3.7．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin 2x＝________. 答案－195解析由题意知，f ′(x )＝cos x ＋sin x ，由f ′(x )＝2f (x )，得cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，得tan x ＝3，所以1＋sin 2xcos 2x －sin 2x ＝1＋sin 2xcos 2x －2sin x cos x＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195.三、解答题(共22分)8． (10分)已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解 (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC →2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，由|AC →|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.9． (12分)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．解 (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12，由△ABC 为锐角三角形可得B ＝π6.(2)由(1)可知A ＋C ＝π－B ＝5π6，故C ＝5π6－A . 故cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝32cos A ＋32sin A ＝3⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，由△ABC 为锐角三角形可得，0<C <π2，故0<5π6－A <π2，解得π3<A <5π6，又0<A <π2，所以π3<A <π2.故2π3<A ＋π3<5π6，所以12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32，所以32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32，即cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·江西)已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1答案 C解析将函数整理，利用奇函数性质求解．由题意知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝1＋sin 2x 2，令g (x )＝12sin 2x ，则g (x )为奇函数，且f (x )＝g (x )＋12，a ＝f (lg 5)＝g (lg 5)＋12，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝g ⎝⎛⎭⎫lg 15＋12，则a ＋b ＝g (lg 5)＋g ⎝⎛⎭⎫lg 15＋1＝g (lg 5)＋g (－lg 5)＋1＝1，故a ＋b ＝1. 2．已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝(1，3)，则|a ＋t b | (t ∈R )的最小值等于( )A ．1 B.32C.12D.22答案 B解析方法一 a ＋t b ＝⎝⎛⎭⎫－12＋t ，32＋3t ，∴|a ＋t b |2＝⎝⎛⎭⎫－12＋t 2＋⎝⎛⎭⎫32＋3t 2 ＝4t 2＋2t ＋1＝4⎝⎛⎭⎫t ＋142＋34，∴当t ＝－14时，|a ＋t b |2取得最小值34，即|a ＋t b |取得最小值32. 方法二如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，在OB 上任取一点T ，使得OT →＝－t b (t <0)，则|a ＋t b |＝|TA →|，显然，当AT ⊥OB 时，取最小值．由TA →·OB →＝(a ＋t b )·b ＝a·b ＋t b 2＝0，得t ＝－14，∴当t ＝－14时，|a ＋t b |取得最小值32.3．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S △ABC ∈⎣⎡⎦⎤32，32，则AB →与BC →夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π4，π3B.⎣⎡⎦⎤π6，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π3D.⎣⎡⎦⎤π3，π2答案 B解析记AB →与BC →的夹角为θ，AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos θ＝3，|AB →|·|BC →|＝3cos θ，S △ABC ＝12|AB→|·|BC →|·sin(π－θ)＝12|AB →|·|BC →|sin θ＝32tan θ，由题意得tan θ∈⎣⎡⎦⎤33，1，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4，正确答案为B.二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是__________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1， ∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． 5．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13， cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝________. 答案593 解析 ∵0<α<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝232， ∵－π2<β<0，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos[⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2] ＝13×33＋232×63＝593.6． (2012·山东)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．答案 (2－sin 2,1－cos 2)解析利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解．设A (2,0)，B (2,1)，由题意知劣弧P A 长为2，∠ABP ＝21＝2.设P (x ，y )，则x ＝2－1×cos ⎝⎛⎭⎫2－π2 ＝2－sin 2，y ＝1＋1×sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝1－cos 2， ∴OP →的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．三、解答题7． (13分)已知f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫sin 2x 2－sin 4x2(a >0且a ≠1)，试讨论函数的奇偶性、单调性．解 f (x )＝log a ⎣⎡⎦⎤sin 2x 2⎝⎛⎭⎫1－sin 2x 2 ＝log a 1－cos 2x8.故定义域为cos 2x ≠1，即{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称且满足f (－x )＝f (x )，所以此函数是偶函数．令t ＝18(1－cos 2x )，则t 的递增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )；递减区间为⎣⎡⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z )．所以，当a >1时，f (x )的递增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )；递减区间为⎣⎡⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z )．当0<a <1时，f (x )的递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z )；递减区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )．。

近年高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第32课复数教师用书(2021年最新整理)

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第32课复数[最新考纲］要求内容A B C复数的概念√复数的四则运算√复数的几何意义√1．复数的有关概念（1）复数的概念：形如a＋b i(a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋b i为实数,若b≠0,则a＋b i为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋b i为纯虚数．(2）复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔a＝c,b＝d(a,b，c，d∈R）．(3)共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＝－d（a，b，c，d∈R）．(4）复数的模:向量错误!的模r叫作复数z＝a＋b i的模，即｜z|＝｜a＋b i|＝错误!。

2．复数的几何意义复数z＝a＋b i错误!复平面内的点Z(a，b)错误!平面向量错误!＝(a，b）．3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则:设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b,c，d∈R.z±z2＝（a＋b i)±（c＋d i)＝(a±c)＋(b±d）i.1z·z2＝（a＋b i）(c＋d i)＝（ac－bd)＋（bc＋ad）i.1错误!＝错误!＝错误!＋错误!i(c＋d i≠0)．（2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图321所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ ＝OZ1＋OZ2，错误!＝错误!－错误!.图32。

2018届高三文科数学复习讲义三角函数与平面向量

2018届高三文科数学复习讲义-三角函数与平面向量高考定位一．考场传真1. 【2017课标1，文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B2．【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（） A ．65B ． 1C ．35D ．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,函数的最大值为65 .所以选A.3．【2017课标II ，文3】函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.π2【答案】C【解析】由题意22T ππ==，故选C. 4．【2017课标3，文4】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===-- .所以选A.5．【2017课标3，文15】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b c =3，则A =_________. 【答案】75°6．【2017课标II ，文4】设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A【解析】由||||a b a b +=- 平方得2222()2()()2()a ab b a ab b ++=-+ ，即0ab = ，则a b ⊥，故选A.7．【2017课标3，文13】已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥ ，则m = .【答案】2【解析】由题意可得：2330,2m m -⨯+=∴=.8．【2017课标II ，文16】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos bc B a C c A =+,则B =【答案】3π 【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒= 9．【2017课标II ，文13】函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .【解析】()f x ≤=10．【2017课标1，文13】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】由题得(1,3)a b m +=- ，因为()0a b a +⋅=，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =11．【2017课标1，文15】已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．二．高考研究【考纲解读】1.考纲要求三角函数：①了解任意角、弧度制的概念，理解任意角三角函数的定义；②理解同角三角函数的基本关系式，能用诱导公式进行化简求值证明；③掌握三角函数的图像与性质，了解函数()ϕω+=x A y sin 的图像，了解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响；④掌握和差角、二倍角公式，能运用公式进行简单的恒等变换；⑤掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，并能解决一些简单的三角形度量问题. 平面向量：掌握向量的加法和减法，掌握实数与向量的积，解两个向量共线的充要条件，解平面向量基本定，解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件. 【命题规律】(1)高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面：一是用五点法作图，二是图象变换，三是已知图象求解析式或求解析式中的参数的值，常以选择题或填空题的形式考查．(2)高考对三角函数性质的考查是重点，以解答题为主，考查y ＝Asin(ωx ＋φ)的周期性、单调性、对称性以及最值等，常与平面向量、三角形结合进行综合考查，试题难度属中低档．（3）三角恒等变换包括三角函数的概念，诱导公式，同角三角函数间的关系，和、差角公式和二倍角公式，要抓住这些公式间的内在联系，做到熟练应用.（4）解三角形既是对三角函数的延伸又是三角函数的主要应用，因此，在一套高考试卷中，既有选择题、填空题，还有解答题．（5）平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中.3．学法导航1. 已知函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．2. 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．3. 函数y＝A sin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路：第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝A sin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝A sin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．4. (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．5．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．6．(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．7．数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．8．在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．主干整合归纳拓展一．基础知识整合1．三角函数的图象及常用性质(表中k ∈Z )2.(1)y ＝sin x ――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin (ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．y ＝sin ωx ――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移⎪⎪⎪⎪φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．3．正弦型函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，对称轴是过函数图象的最高点或者最低点且与x 轴垂直的直线；正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象是中心对称图形，不是轴对称图形.4．三角形面积公式：(1)S ＝12ah a (h a 为BC 边上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝abc4R (R 为△ABC 外接圆的半径)；(4)S ＝2R 2sin A sin B sin C (R 为△ABC 外接圆的半径)；(5)S ＝ p (p －a )(p －b )(p －c )⎝⎛⎭⎫p ＝12(a ＋b ＋c )；(6)S ＝12(a ＋b ＋c )r ＝pr (p ＝12(a ＋b ＋c )，r 为△ABC 内切圆的半径)．5．四边形面积公式：S ＝12l 1l 2sin θ(l 1，l 2为对角线长，θ为对角线夹角)．6．正弦定理及其变形：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的半径)．7．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 8．常用边角互化方法：sin A ＝a 2R ；sin B ＝b 2R ；sin C ＝c2R ；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.9．平面向量中的四个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与a 同向的单位向量为a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影．10．平面向量的两个重要定理：(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 11．两非零向量平行、垂直的充要条件：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则： (1)若a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)；a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0； (2)若a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.12．平面向量的三个性质：(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.13．平面向量的三个锦囊：(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP ＝λ1OA ＋λ2 OB(其中λ1＋λ2＝1)．(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP 与向量OA ，OB 的关系是OP ＝12(OA ＋OB)．(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔0GA GB GC ++= ⇔G ⎝⎛⎭⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.二．高频考点突破考点1 三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式的应用【例1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，(2)(0)P m m m -≠，是角α终边上的一点，则tan()4απ+的值为（）A.3B.13C.13- D.3-【答案】C【例2】已知1cos sin cos 2sin -=+-αααα，则=αtan .【答案】21 【解析】sin 2cos tan 21sin cos tan 1αααααα--==-⇒++=αtan 21．【规律方法】1、利用三角函数定义将角的终边上点的坐标和三角函数值建立了联系，但是注意角的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴.2. 正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起，即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±，2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.sin cos αα、的求值技巧：当已知sin 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有sin cos x x +或sin cos αα-，这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sin cos αα，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出sin cos αα、的值．或者把sin cos αα+、sin cos αα-与22sin cos αα+=1联立，通过解方程组的方法也可以求出sin cos αα、的值． 3.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，进行求值.常见的结构有:① sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解； ②sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αααα++）的问题常采用分式的基本性质进行变形．（2）切化弦：利用公式tan α=sin cos αα，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.4．温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解.（2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号. 5. 利用诱导公式求值：i.给角求值的原则和步骤：(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为02π:之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：ii.给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现2π的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解. 常见的互余与互补关系(1)常见的互余关系有：3πα+与6πα-；3πα-与6πα+；4πα+与4πα-等.(2)常见的互补关系有：3πα+ 与23πα-;4πα+与34πα-等.遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题. 6. 利用诱导公式化简、证明i.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少.(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.ii.证明三角恒等式的主要思路(1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子.(3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.7．提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如()()cos 5cos cos παπαα-=-=-.【举一反三】已知α为锐角，且4sin 5α=，则()cos πα+=（）． A ．35- B ．35 C ．45- D ．45【答案】A考点2 三角函数的图像与性质【例3】【四川省内江市2018届第一次模拟】已知函数()2sin cos f x x x x =，则A. ()f x 的最小正周期为2πB. ()f x 的最大值为2C. ()f x 在5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 D. ()f x 的图象关于直线6x π=对称【答案】C【解析】∵函数()21cos21sin cos sin 2262x f x x x x x x π-⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为22ππ=，故A 错误，()f x 的最大值为13122+=，故B 错误，当6x π=时， 1sin 216662f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图象不关于直线6x π=对称，故D 错误，由3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得536k x k ππππ+≤≤+，令0k =，可得()f x 的一个单调减区间为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 正确，故选C 【例4】【广西玉林市2018届期中】已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ，且sin sin sin B A C -=，若将函数()()22f x sin x B =+的图像向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则()g x 的解析式为（） A. 22sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭ B. 22cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C. 2sin2x D. 2cos2x 【分析】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.【答案】D向右平移6π个单位长度单位，得到()522222cos2662g x sin x sin x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D.【规律方法】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在其定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解．(2)对于形式y ＝asin ωx ＋bcos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)对于y ＝Asin(ωx ＋φ)函数求单调区间时，一般将ω化为大于0的值．【举一反三】【内蒙古包钢2018届月考】函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图象如图所示,则()f x 的单调递减区间为A. 13π,π,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z B. 132π,2π,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z C. 13,,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z D. 132,2,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 【答案】D考点3 三角恒等变换【例5】若13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．25-B ．25C ．210-D ．210【答案】D【规律方法】1.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路与基本的技巧基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点. 基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等.(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切.(3)公式变形使用：如()()cos cos sin sin cos αββαββα+++=,()()tan 1tan tan tan tan αβαβαβ+-=+()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+--,()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+++=+,sin cos 24πααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭,21sin 212sin cos (sin cos )x x x x x ±=±=±等 (4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式:ααα2sin 21cos sin =；21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=.(5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x=-=⋅tan sin 42ππ=== 等.（7）辅助角公式：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a b 、的符号确定，θ的值由tan b aθ=确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角θ为特殊角的情况即可.如sin cos ),sin 2sin(),cos 2sin()436x x x x x x x x x πππ±=±±=±±=±等. 2.题型与方法:题型一,利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-，()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222，，()ββα+-2，()()()ααβββαβαβαβα=-+=+-=--+，，等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角，给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β2＋α－β2等题型二，三角函数式的化简与证明：三角函数式的化简：常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等.（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明.题型三. 辅助角公式：函数()sin cos f a b ααα=+(,a b 为常数)，可以化为()()22sin f a b ααϕ=++或()()22cos f a b ααϕ=+-，其中ϕ可由,a b 的值唯一确定．【举一反三】【四川省内江市2018届第一次模拟】0000sin20cos40cos20sin140+= A. 3- B. 3 C. 12- D. 12 【答案】B故选B考点4解三角形【例6】【安徽省淮南市2018届高三第四次联考】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222b a bc =-， 23A π=，则角C 等于( ) A. 6π B. 4π或34π C. 34π D. 4π 【答案】A【规律方法】 1.在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角(或直角)，这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦值为正，该角一定为锐角，且有唯一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量求余弦值．2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【举一反三】【四川省成都市2018届一诊】已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2cos cos cos 0.a b c C a C c A b ++=，（1）求角C 的大小；（2）若2,b c ==，求ABC ∆的面积.【解析】(1) ()2cos cos cos 0C a C c A b ++= ，由正弦定理可得()20cosC sinAcosC sinBcosA sinB ∴++=，()20,20cosCsin A C cosCsinB sinB ∴+=∴+=即，又10180,sin 0,cos ,120.2B BC C <<∴≠∴=-= 即（2）由余弦定理可得(2222222cos12024a a a a =+-⨯=++ ，又10,2,sin 2ABC a a S ab C ∆>=∴== ABC ∴∆ 考点5 解三角形在实际生活中应用【例7】 “郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员求出，地面指挥中心的在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为,,B C D ）．当返回舱距地面1万米的P 点的时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．（1）求,B C 两救援中心间的距离；（2）D 救援中心与着陆点A 间的距离．分析：（1）在Rt PAC ∆中，01,60PA PCA =∠=⇒AC =．在Rt PAB ∆中，01,30PA PBA =∠=， ⇒BC ==2）sin sinACD ACB ACD ∠=∠=∠=⇒ ()0sin sin 30ADC ACD ∠=+∠=⇒sin sin AC ACD AD ADC ∠==∠【规律方法】三角形应用题的解题要点：解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中寻找出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得出所要求的量，从而得到实际问题的解．有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等．正确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少的．把握解三角形应用题的四步：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．求距离问题的注意事项：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．解决测量角度问题的注意事项：(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．【举一反三】如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB .位于该市的某大学M 与市中心O 的距离OM =，且AOM β∠=.现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M .其中tan 2α=，cosβ=15AO km =. （Ⅰ）求大学M 与A 站的距离AM ；（Ⅱ）求铁路AB 段的长AB .（II ）∵cosβ=β为锐角，∴sin β=AOM ∆中，由正弦定理得，sin sin AM OM MAO β=∠=sin 2MAO ∠=，∴4MAO π∠=，∴4ABO πα∠=-，∵tan 2α=，∴sinα=，cos α=，∴sin sin()4ABO πα∠=-=AOB πα∠=-，∴sin sin()AOB πα∠=-=，在AOB ∆中，15AO =，由正弦定理得，sin sin AB AOAOB ABO =∠∠，即15AB =，∴AB =AB 段的长AB为. 考点6 平面向量的线性运算【例8】【2018辽宁庄河两校联考】已知直线分别于半径为的圆相切于点，若点在圆的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.分析：一般动点在圆内可转化为与圆心距离小于半径，因此写出向量，再根据向量的平方运算，求出，令其小于半径即可求出．【答案】B【规律方法】用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式即可得λ1，λ2的值．向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：①1()3PG PA PB PC =++ ⇔G 为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心；(),[0,)AB AC λλ+∈+∞是BC 边上的中线AD 上的任意向量，过重心；()1,2AD AB AC =+ 等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线.②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔ 为ABC ∆的垂心；()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ+[0,)λ∈+∞是△ABC 的边BC 的高AD 上的任意向量，过垂心.③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ ABC ∆的内心；向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线).④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +⋅=+⋅=+⋅=，222OA OB OC OA OB OC ⇔==⇔==⇔ O 为ABC ∆的外心.向量与平行四边形相关的结论向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形ABCD 中，设,AB a AC b ==，则有以下的结论：①,AB AC a b AD +=+=通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若C AB D = ,可判断四边形为平行四边形；②,,a b AD a b CB +=-=若0a b a b a b +=-⇔⋅= 对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；()()0a b a b a b +⋅-=⇔=对角线垂直.则平行四边形为菱形；③222222a b a b a b ++-=+ 说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；④||||||||||||a b a b a b -≤±≤+ ，特别地，当 a b 、同向或有0 ⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=-；当 a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+；当 a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ (这些和实数比较类似).【举一反三】【内蒙古呼和浩特市2018届质调】已知,,A B C 是平面上不共线的三点， O 是ABC 的重心，动点P 满足： 1112322OP OA OB OC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则P 一定为ABC 的A. 重心B. AB 边中线的三等分点（非重心）C. AB 边中线的中点D. AB 边的中点【答案】B考点7 平面向量的数量积【例9】如图，在ABC ∆中，,3,1AD AB BC BD AD ⊥== ，则AC AD的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4分析：本题考查向量的数量积的定义和性质，同时考查诱导公式和正弦定理的运用，是关于向量数量积的常考题型，属于中档题；运用向量的数量积的定义，结合条件可得CAD AC AD ∠=⋅，再由诱导公式可得BAC AC AD ∠=⋅，结合三角形ABC 中的正弦定理和直角三角形的锐角三角函数的定义，计算即可得到所求值. 【答案】C【规律方法】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.计算向量b 在向量a 方向上的投影有两种思路：思路1，用|b |cos θ计算;思路2，利用∙a b|a |计算. 3.注意向量的数量积不满足消去率和结合律.4.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.【举一反三】【内蒙古呼和浩特市2018届质调】在ABC 中， 60A ∠= ， 3AB AC ==， D 是ABC 所在平面上的一点，若3BC DC = ，则DB AD ⋅=A. 1-B. 2-C. 5D.92【答案】A【解析】如图， ()2222,3333DB CB AB AC AD AB BD AB AB AC ==-=+=-- 1233AB AC =+. ∴2222122413333999DB AD AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2429933cos601999=⨯-⨯+⨯⨯⨯︒=-.选A .考点8 平面向量和三角函数的综合问题【例10】【2018河北衡水武邑中点二调】已知锐角ABC ∆的外接圆的半径为1， 6B π∠=，则BA BC ⋅的取值范围为__________．分析：解题时先由正弦定理把△ABC 的边a ，c 用含有A 的代数式表示，再由三角形为锐角三角形求出角A 的范围，把向量的数量积利用三角变换转化为关于A 的三角函数，最后利用三角函数的取值范围求解．【答案】33,2⎛ ⎝【规律方法】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．【举一反三】【】浙江省台州中学2018届第三次统练】已知向量,14x m ⎫=⎪⎭ ,2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，记()f x m n =⋅ ．(1) 若()1f x = ，求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值；。

(完整版)高三一轮复习平面向量知识点整理.doc

平面向量知识点整理1、概念（1）向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．（2）单位向量：长度等于1个单位的向量．（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有零向量 )④三点 A、 B、 C共线AB、AC 共线（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量．（5）相反向量：长度相等方向相反的向量。

a 的相反向量是 -a（6）向量表示：几何表示法AB ；字母a表示；坐标表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.uuur r uuur的长度叫做向量r r（7）向量的模：设OA a ，则有向线段OA a 的长度或模，记作：| a | .rx2 r 2 rx2 y2。

）（ | a | y2 , a | a |2（8）零向量：长度为0 的向量。

a＝O ｜ a｜＝O.r r r r【例题】 1.下列命题：（ 1）若a b ，则a b 。

（2）两个向量相等的充要条件是uuur uuur它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC ，则 ABCD 是平行四边形。

（4）若uuur uuur r r r r r r r r r r ABCD 是平行四边形，则 AB DC 。

（5）若 a b,b c ，则 a c 。

（6）若 a // b,b// c ，r r则 a // c 。

其中正确的是_______r r uur r （答：（4）（5））2. 已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为60o，那么 | a 3b | ＝_____（答：13 ）；2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．Crarbr r uuur uuur uuur a b C Cr rrrrr⑶三角形不等式：．⑷运算性质：①交换律： r r rr r r r r r r；a b ba ；②结合律： a bc a bc ③ r r r r r ．a 0 0 a a⑸坐标运算：设 rrx 2 , y 2r rx 1 x 2 , y 1 y 2 ．a x 1, y 1 ， b，则 a b3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设 r r x 2 , y 2 ，则 r r x 1 x 2 , y 1 y 2 ．a x 1, y 1 ，b a b设、两点的坐标分别为x 1 , y 1 ， x 2 , y 2 ，则 uuurx 1x 2 , y 1y 2 ．【例题】uuur uuur uuuruuur uuur uuur；（ 1） ① AB BC CD ___；② AB AD DCuuur uuur uuuruuur ruuur uuur _____③ ( AB CD ) ( AC BD) （答：① AD ；② CB ；③ 0 ）；uuur r uuur r uuur r r r r（ 2）若正方形 ABCD 的边长为 1， AB a, BC b, AC c ，则 | a b c |＝_____（答： 2 2 ）；（ 3）已知作用在点uur uuruurA(1,1)的三个力 F 1 (3,4), F 2 (2, 5), F 3(3,1) ，则合力uruuruur uurF F 1F 2 F 3 的终点坐标是（答：（9,1））4、向量数乘运算：r ⑴实数r的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作与向量 aa ．① r r ； a a②当 0 时， r r 的方向相同；a 的方向与 a r当 0 时， r r 的方向相反；当r a 的方向与 a 0 时， a 0 ．⑵运算律：① r r ；②r r r ；③ r r r r aa a a a ab ab ．r x, y ，则 r x, y x, y ．⑶坐标运算：设 a a【例题】（）若（ -3 ，），（，），且 MP 1MN1 M -2 N 6 -1 3，则点 P 的坐标为 _______（答： ( 6,7) ）；r rrr35、向量共线定理：向量，使a a 0 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数 r rr x 1 , y 1r x 2 , y 2r r r r 2r r2。

江苏专用高考数学一轮复习第六章平面向量与复数热点探究训练3三角函数与平面向量

三角函数与平面向量第六章平面向量与复数热点探究训练3基础达标A组)分钟(建议用时：30BABCABA1. ＝tan tan ．(2017·南通二调)在斜三角形＋中，tan tan ＋1C 求的值；(1)ABCAAB＝＝15°，2，求△(2)若的周长．BABABABA，1－，即tan tan ＋[解](1)因为tan tan ＋tan tan ＋tan tan ＝＝1BABCA－tan ≠0，因为在斜三角形tan 中，1BA tan tan ＋BA 1，)所以tan(＝＋＝BA tan tan －1CC，＝－tan(180°－1)＝1，亦即tan 即CC <180°，所以分因为0°<＝135°.6CCABAABC＝135°，则－＝15°，＝180°－(2)在△＝30°，中，CACAABBCBC2 2，＝＝，得＝＝＝由正弦定理CAB sin 135°sin 30°sin sin sin 15°sin)(45°－30°BC in 15°＝2sin＝2s故26－)(sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝＝2，2CA1.＝2sin 30°＝2＋＋66－22CAABABCBC＝2＋1＋所以△分的周长为＝＋.14＋222xfxxx. (ω>0)cos 2．(2017·扬州期末)已知函数ω(的周期为)＝3cosωsin ＋ωππ????，0 的值域；ω的值，并求函数在求(1)??2A????afbacABCABC，且＝，，分别为△3的三个内角对应的边长，若，(2)在已知，??2ABCcb＝4，62172178＋5＝，求△】的面积. 【导学号：π331??x??xfxx ＋ω2 )＝＝sinω＋，(1＋cos 2[解]ω (1)()＋sin 2??3222π32π??x??xffx＋2 ＋)＝sin∵，解得(的周期为)π，且ω>0，∴＝πω＝1，∴，(??3ω22π34πππ??x??xx ＋2 0≤又≤1，≤，得≤2π＋≤，－≤sin??322333ππ??333????x??????xfxy，02＋.8上的值域为＝在()∈，0≤sin＋＋≤1即函数10，＋????2322??2 1分Aπ3????A????f＋＝3(2)∵，∴sin，＝????2324ππAAπ，π)，知<，＋由<∈(0333ππ2AA解得＝＋＝π，所以，33322222bccAbbcabc，即16＝－＝＋＋2－，由余弦定理知：cos2bcbcbcbc＋，＝5)－3，所以，因为＝∴16(＝＋331AbcS sin 3.14＝分∴＝ABC△42 能力提升B组)15分钟(建议用时：ππ??????AA??????m ABC＋＋，已知△cos是锐角三角形，向量，＝sin．(2017·苏州模拟1)??????33nmn BB.⊥)＝(cos ，且，sinBA－(1)求的值；3BCBAC的长. 若cos 【导学号：＝，62172179＝8，求】(2)5πππ??????BAAA??????－＋＋＋BB mnmn coscos ＝因为＋⊥，所以sin·sin ＝cos[解] (1) ??????333 ，＝0π5ππππππ??????BA??????BAABBA，＋，－－0.6∈－＝又＝，∈，，所以＋，所以－即??????6326632 分π43????BBB，0 ∈＝sin cos ，＝，，所以(2)因为??255πππ??B??BAB＋ sin ＝sin cos 所以sin ＋＝sincos ??6663＋143343. ＝＝·＋·10552233＋410A sin ACBC＝×8＝43＋3.14由正弦定理，得·＝分B4sin5ABCABCabcCA＝－，2．在△cos 2中，角，，且满足，所对的边分别为cos 2，ππ????CC????－＋. ·sin2sin????33 2A求角的值；(1)cbaab－，求(2)若2＝3且的取值范围．≥13??2222CC??CA sin－cos 分，解[](1)由已知得2sin＝－2sin23??44π3π2AAA分＝sin .6，故＝＝或化简得332acbCBbc，8＝2sin 2sin 分(2)由正弦定理，＝＝＝2，得＝ACB sin sin sinπ2??B??BCcbB－－4sin ＝22sin－＝4sin －2sin 故??3π??B??BB－分23sin－3cos .10＝＝3sin ??6πππππ2BBab，，因为≥≤，所以≤<－<23366π??B??cb－，23).142所以－2＝3sin3∈[分??6 320XX—019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。

《高考调研》高三数学第一轮复习第六章《平面向量和复数》课件64

【解析】解法一设 P(x，y)是 y＝x2＋2x－1 的上任意一点，平移后函数 y＝x2 上的对应点为 P′(x′， y′)，由平移公式，得
x′＝x＋h， y′＝y＋k.
将它代入 y′＝x′2，得，y＋k＝(x＋h)2. 整理得 y＝x2＋2hx＋h2－k.
它应与 y＝x2＋2x－1 是同一函数．比较系数是 h＝1，k＝2. ∴a＝(1,2)．
1 3 【解析】 (1)f(x)＝2sinx( cosx＋ sin x)－ 3cos2x＋ 2 2 sin xcos x ＝sin 2x＋ 3(sin2x－cos2x) π ＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin (2x－3)． 2π ∴函数 f(x)的最小正周期 T＝ 2 ＝π，f(x)max＝2.
式、共线向量、相等向量等基础知识以及数形结合能力，利用定比分点坐标公式或共线向量求解． 1→ → 方法 1：设 P 的坐标为(x，y)，若AP＝3AB 1 则由(x＋1，y－6)＝3(4，－6)得 4 x＋1＝ 3 y－6＝－2 1 x＝解得 3 y＝4
1 ∴P 点坐标为( ，4)． 3 1→ 1 → 若AP＝－3AB，则由(x＋1，y－6)＝－3(4，－6)， 4 x＋1＝－ 3 得 y－6＝2 7 ∴P(－3，8)． 1 7 综上所述，P 点为( ，4)或(－，8)． 3 3 7 x＝－ 3 解得 y＝8
y＝－(x－h)2＋k
－ 2＝－ ∴ 2＝－－
2－h2＋k 2－h2＋k
1 9 解得 h＝－，k＝ 2 4
例 4
2
π (2011· 成都诊断)函数 f(x)＝2sin xcos(x－3)－
π 3cos x＋sin(x＋2)sin x. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值； (2)若将函数 f(x)按向量 a 平移后得到函数 g(x)，而且 π 当 x＝时，g(x)取得最大值 3，求 a 和 g(x)． 3

高考数学一轮复习之三角函数与平面向量

高考数学一轮复习之三角函数与平面向量
1.三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一。

近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考察三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等。

高考对三角函数与三角恒等变换内容的考察，一是设置一道或两道客观题，考察三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等外容；二是设置一道解答题，考察三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实践运用，普通出如今前两个解答题的位置。

无论是客观题还是解答题，从难度来说均属于中高档标题，所占分值在20分左右，约占总分值的13.3%。

2.平面向量是衔接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一。

高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识停止片面的考察，其分值约为10分，约占总分的7%。

近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考察向量的概念、性质及其几何意义；二是考察向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等效果中的运用。

1.2021年高考试题预测
(1)剖析近几年高考对三角函数与三角恒等变换局部的命题特点及开展趋向，以下仍是今后高考的主要内容：
①三角函数的图象与性质是高考考察的中心内容，经过图象求解析式、经过解析式研讨函数性质是罕见题型。

②解三角函数标题的进程普通是经过三角恒等变换化简三角函数式，再研讨其图象与性质，所以熟练掌握三角恒等变换的方法和技巧尤为重要，比如升幂(降幂)公式、asinx＋bcosx的常考内容。

③经过实践背景考察同窗们的数学建模才干和数学应意图识。

《高考调研》高三数学第一轮复习第六章《平面向量和复数》课件62

→ ＝i－2j，BC → ＝i＋mj，其中，i，思考题 3 如果向量AB j 分别为 x 轴，y 轴正方向上的单位向量，试确定实数 m 的值，使 A，B，C 三点共线．
→ 与BC →共【解析】解法一 A，B，C 三点共线，即AB → ＝λBC → ，即 i－2j＝λ(i＋mj)，线．∴存在实数 λ，使得AB
• 2．(2011·衡水调研Ⅰ)如图，已知＝ma＋nb，且点P位于 Ⅰ区域，则( )
• A．m>0，n>0 • C．m<0，n>0 • 答案 C
B．m>0，n<0 D．m<0，n<0
• 3．(09·北京卷)已知向量a、b不共线，c＝ka＋ b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( ) • A．k＝1且c与d同向 • B．k＝1且c与b反向 • C．k＝－1且c与d同向 • D．k＝－1且c与d反向 • 答案 D
→ 根据平面向量基本定理．一定存在实数 m， n，使得AD → ＋ CD → ＝ m· → ＋ n· → ，所以 ( － 12,8) ＝ m(1,3) ＋＋ BD AB AC n(2,4) ．即 ( － 12,8) ＝ (m ＋ 2n,3m ＋ 4n) ，可得
m＋2n＝－12， 3m＋4n＝8. m＝32，解得 n＝－22.
1 → → → 解析 AO＝2(AB＋AC) 1 → → 1→ → → → MO＝AO－AM＝2(AB＋AC)－mAB 1 1 → 1→ ＝(2－m)AB＋2AC 1 → → 1→ → → → NO＝AO－AN＝ (AB＋AC)－ AC 2 n 1→ 1 1 → ＝ AB＋( － )AC 2 2 n
1．解题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量 e1、e2，平面上的任何一个向量 a 都可以用 e1、 e2 惟一表示为 a＝λ1e1＋λ2e2，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有 e1、e2 的代数运算． 2．根据向量共线的充要条件，若 A、B、C 三点共线，只 → ＝λBC → (或AC → ＝λAB → )，就可以列方程求出 k 的值要满足AB 或利用向量平行的充要条件求出 k 的值

《高考调研》高三数学第一轮复习第六章《平面向量和复数》课件63

→ ＝(1,2)， (2)如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC → ＝(－3,2)，则AD →· → ＝________. BD AC
【解析】由于四边形 ABCD 为平行四边形，设 O 为 → ＝2OE → AC 与 BD 的交点，连结 O 点与 DC 的中点 E，则AD
→ → 1 AC BD 1 → → )＝(－1,2)，所以 AD →· → ＝－1 ＝2 ＋＝ (AC ＋BD AC 2 2 2 2
a＋2b· a－b 3 1 cosθ＝＝＝2. |a＋2b||a－b| 12× 3
• 题型三向量的模 • 例3 已知向量a、b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，求|a＋b|和|a－ 3b|. • 【分析】本例题介绍两种求向量模的方法： • (1)利用|a＋b|2＝(a＋b)·(a＋b)；(2)构造模型，利用向量的加法和减法求模．
(2)△ABC 中，∠BAC＝120° ，AB＝2，AC＝1，D 是 →· → ＝________. 边 BC 上一点，DC＝2BD，则AD BC 【思路分析】积运算．考查平面向量的基本定理及向量数量
1→ → → → → 【解析】 AD＝AB＋BD＝AB＋3BC 1 → → 1→ 2→ → ＝AB＋ (AC－AB)＝ AC＋ AB， 3 3 3 → ＝AC → －AB → ，AC →2＝1，AB →2＝4，又∵BC →· → ＝2×1×cos120° ∴AB AC ＝－1， 1 → → → → )· → －AB →) ∴AD· BC＝3(AC＋2AB (AC 1 →2 2 →2 1 → → 8 ＝3AC －3AB ＋3AC· AB＝－3， 8 故填－3.
• ⑤非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.

2018高考数学一轮复习第六章平面向量与复数热点探究课3三角函数与平面向量教师用书

高考数学一轮复习-三角函数和平面向量的综合应用01课件

2019-2020年高考数学一轮复习第六章平面向量与复数热点探究课3三角函数与平面向量课件

2018年高考数学二轮复习 考前专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第3讲 平面向量讲学案 理

【高考数学】第六章 平面向量、复数全章课件PPT教师用书

高三数学专题复习之平面向量与复数

《高考调研》高三数学第一轮复习 第六章《平面向量和复数》课件6-1

专题三 三角函数与平面向量的综合应用

近年高考数学一轮复习 第六章 平面向量与复数 第32课 复数教师用书(2021年最新整理)

2018届高三文科数学复习讲义 三角函数与平面向量