2021届内蒙古呼伦贝尔市莫旗一中高三上学期期中考试文数试题Word版含解析

2021届内蒙古呼伦贝尔市莫旗一中上学期期中考试高三文数试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}3A x N x =∈≤，{}26160B x x x =+-<，则AB =（ ）A ．{}82x x -<<B ．{}1C ．{}0 1，D ．{}0 1 2，， 【答案】C考点：1.集合的表示与运算；2.二次不等式的解法. 2. 已知命题1:sin 2p x =，命题:2 6q x k k Z ππ=+∈，，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由1sin 2x =可得52 2 66x k x k k Z ππππ=+=+∈或，；当26x k ππ=+时，1sin 2x =，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.考点：1.三角函数的图象与性质；2.充分条件与必要条件. 3. 已知31sin cos x x -+=，()0 x π∈，，则tan x =（ ） A ．33 C 3．3【答案】D 【解析】试题分析：因为()0 x π∈，，且310sin cos 1x x -<+=<，所以324x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，由31sin cos x x -+=边平方得32sin cos x x =342sin 22,33x x x ππ===，tan 3x =- D.考点：1.同角三角函数基本关系；2.三角恒等变换.4. 已知等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，若19a =，350a a +=，则6S 的值为（ ） A ．6 B ．9 C.15 D ． 0【答案】B考点：等差数列的性质与求和.5. 已知向量(1,),(3,2)a m b ==-，且()a b b +⊥，则m = A ．8- B ．6- C.6 D ．8 【答案】D 【解析】试题分析：(4,2)a b m +=-,()()0a b b a b b +⊥⇔+⋅=，即43(2)(2)0m ⨯+-⨯-=，解之得8m =，故选D.考点：1.向量的坐标运算；2.向量垂直与向量的数量积.6. 为了得到3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数的图象，只需把3sin y x =上所有的点（ ）A ．先把横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移6π个单位B ．先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左平移6π个单位 C. 先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左右移3π个单位D ．先把横坐标缩短到原来的12倍，然后向右平移3π个单位 【答案】A 【解析】试题分析：把3sin y x =上所有的点横坐标缩短到原来的12倍可得到函数3sin 2y x =的图象，再把3sin 2y x =的图象向左平移6π个单位得到函数3sin 2()3sin(2)63y x x ππ=+=+，故选A.考点：函数图象的平移变换与伸缩变换.7. 已知函数()211log 2xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若0x 是方程()0f x =的根，则0x ∈（ ）A ．10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1 12⎛⎫ ⎪⎝⎭， C.31 2⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．3 22⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】B考点：零点存在定理.8. 已知 x y ，满足约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，目标函数22z x y =+的最大值为（ ）A ．255 B ．45C.13 D ．13 【答案】B 【解析】试题分析：在直角坐标系内作出不等式组220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域，如下图所示，目标函数22z x y =+中z 的几何意义为坐标原点与可行域内点连线距离的平方，由图可知，其最小值为原点到直线220x y +-=距离的平方，所以2min2224512z == ⎪+⎝⎭，故选B.考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划，属基础题；线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．9. 设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2 0x ∈-，时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间( 2 6]-，内关于x 的方程()()()log 2001a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．20 4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝， C.21 42⎛⎫ ⎪ ⎪⎭， D ．1 12⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】C考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.函数与方程.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、函数与方程，属中档题；函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-零点的个数⇔函数()()y f x g x =-在x 轴交点的个数⇔方程()()0f x g x -=根的个数⇔函数()y f x =与()y g x =交点的个数.10. 已知()f x 的定义域是()0 +∞，，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()'f x f x <，则不等式()()2222x xe f x x e f --+>的解集是（ ）A ．()() 2 1 -∞+∞，，B ．()2 1-， C.()() 1 2 -∞-+∞，， D ．()1 2-， 【答案】A考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与不等式.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与不等式，属难题；联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知()f x 的定义域为[]1 1-，，则函数()()()ln 12g x x f x =++的定义域为 ． 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由10121x x +>⎧⎨-≤≤⎩得1122x -≤≤，所以函数()g x 的定义域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.考点：1.对数函数的性质；2.函数的定义域.12. 在Rt ABC △中，90A ∠=︒，1AB AC ==，点E 是AB 的中点，点D 满足23CD CB =，则CE AD ⋅= ．【答案】0考点：向量线性运算、数量积的几何运算.【名师点睛】本题考查向量线性运算、数量积的几何运算，属中档题；平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.13. 已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，且()*132n n a S n N +=+∈，则5a = ． 【答案】512 【解析】试题分析：由132n n a S +=+得，当2n ≥时，132n n a S -=+，两式相减得13n n n a a a +-=，即14n n a a +=，即数列的公比4q =，令1n =得，211143232a a S a ==+=+，解得12a =，所以445124512a a q ==⨯=. 考点：1.等比数列的定义与性质；2.n a 与n S 关系. 14. 若正数 a b ，满足121a b +=，则2112a b +--的最小值为 ． 【答案】2考点：基本不等式.15. 定义：()()1f x f x =，当2n ≥且*x N ∈时，()()()1n n f x f f x -=，对于函数()f x 定义域内的0x ，若正在正整数n 是使得()00n f x x =成立的最小正整数，则称n 是点0x 的最小正周期，0x 称为()f x 的n ～周期点，已知定义在[]0 1，上的函数()f x 的图象如图，对于函数()f x ，下列说法正确的是 （写出所有正确命题的编号．①1是()f x 的一个3～周期点； ②3是点12的最小正周期； ③对于任意正整数n ，都有2233n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④若01( 1]2x ∈，，则0x 是()f x 的一个2～周期点.【答案】①②③考点：1.新定义问题；2.函数综合.【名师点睛】本题考查新定义问题与函数性质的综合应用问题，属难题；新定义问题已成为最近高考的热点内容，主要考查学生学习新知识的能力与阅读能力、应用新知识的能力、逻辑思维能力与运算能力，体现数学的应用价值.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分） 已知函数()()23sin cos 30f x x x x ωωωω=⋅>的最小正周期为π. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若 a b c ，，分别为ABC △的三内角 A B C ，，的对边，角A 是锐角，()0 1f A a ==，，2b c +=，求ABC △的面积.【答案】（Ⅰ）()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，；3. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换公式化简函数式可得()sin 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由周期为π可求得1ω=，从而得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可求函数的单调递增区间；（Ⅱ）由()0 f A =先求出角=3A π，由余弦定理整理化简可得1bc =，代入三角形面积公式求之即可.试题解析：（Ⅰ）()23sin cos 3f x x x x ωωω=⋅-+ 131cos 2sin 23sin 2223x x x ωπωω+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭…………………………2分∴22T ππω==，从而得到1ω=………………………………………………3分 ∴()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.…………………………………………………………4分由()222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得：()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，.………………6分考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象和性质；3.余弦定理；【名师点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质与余弦定理，属中档题；三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．17. （本小题满分12分）已知命题()()2:lg 1p f x ax ax =-+函数的定义域是R ；命题()21:a q y x-=幂函数在第一象限为增函数，若“p q ∧”为假，“p q ∨”为真，求a 的取值范围. 【答案】{}1014a a a -<<≤<或考点：1.逻辑联结词与命题；2.对数函数与幂函数的性质. 18. （本小题满分12分）已知函数()()()321213213f x x m x m m x =-++++，其中m 为实数.（Ⅰ）当1m =-时，求函数()f x 在[]4 4-，上的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间. 【答案】（Ⅰ）最大值为793，最小值为23-；（Ⅱ）当1m =时，()f x 的增区间为() -∞+∞，；当1m >时，()f x 的增区间为() 2m -∞+，，()3 m +∞，；当1m <时，()f x 的增区间为() 3m -∞，，()2 m ++∞，.【解析】试题分析：（Ⅰ））当1m =-时， ()221313f x x x x =+-+，()()()'31f x x x =+-，解不等式()'0f x >与()'0f x <可求出函数的单调区间，从而求得函数的极值及区间[]4,4-两端点处的函数值，比较大小即可得到函数的最大值与最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的导数得()()()'32f x x m x m =---，分1m =、1m >、1m <三种情况分别讨论()0f x '=的两根的大小，由导数与单调性关系写出递增区间即可.（Ⅱ）()()()()()2'2213232f x x m x m m x m x m =-+++=---，……………………6分当32m m =+即1m =时，()()2'30f x x =-≥，所以()f x 单调递增；………………7分 当32m m >+即1m >时，由()()()'320f x x m x m =--->可得2x m <+或3x m >；所以此时()f x 的增区间为() 2m -∞+，，()3 m +∞，………………………………9分 当32m m <+即1m <时，由()()()'320f x x m x m =--->可得3x m <或2x m >+；所以此时()f x 的增区间为() 3m -∞，，()2 m ++∞，………………………………11分 综上所述：当1m =时，()f x 的增区间为() -∞+∞，； 当1m >时，()f x 的增区间为() 2m -∞+，，()3 m +∞，； 当1m <时，()f x 的增区间为() 3m -∞，，()2 m ++∞，.…………………………12分 考点：导数与函数的单调性、极值、最值.19. （本小题满分12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足：()()222*233230 n n S n n S n n n N -+--+=∈，.（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设13n n n a b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）13a =；（Ⅱ）3n a n =；（Ⅲ）323443n n n T +=-⋅.试题解析： （Ⅰ）由()()222*233230 n n S n n S n n n N -+--+=∈，可得： ()()222112313123110S S -⋅+⋅--+=，又11S a =，所以13a =.………………3分（Ⅱ）由()()222*233230 nn S n n S n n n N -+--+=∈，可得： ()()21230n n S S n n ⎡⎤+⋅-+=⎣⎦， *n N ∈，又0n a >，所以0n S >， ∴()232n S n n =+……………………………………………………5分 ∴当2n >时，()()22131132n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+----=⎣⎦，……6分 由（Ⅰ）可知，此式对1n =也成立，∴3n a n =……………………………………………………7分考点：1. n a 与n S 关系；2.错位相减法求和.20. （本小题满分13分）某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足()y mf x =，其中()()()22 052519 522x x f x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪-⎩，，，当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化.（Ⅰ）如果投放的药剂质量为5m =，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（Ⅱ）如果投放的药剂质量为m ，为了使在9天（从投放药剂算起包括9天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值.【答案】（Ⅰ）21天；（Ⅱ）207. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）当5m =时，()()210 055595 522x x y x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪-⎩，，,这时05x <≤时，21055x +≥显然符合题意，当5x >时，由595522x x +≥-可得521x <≤，由此可得到受益人天数；（Ⅱ）当投放的药剂质量为m 时，()() ()()22052519522mxm xy mf xm xxx⎧+<≤⎪⎪==⎨+⎪>⎪-⎩，，，当05x<≤时，225mxy=2m+在区间(0 5]，上单调递增，当5x>时，由导数知识可知函数在(5 9]，上单调递减，为使510y≤≤，解不等式75430mm⎧≥⎪⎨⎪≤⎩可求m的取值范围，从而求出其最小值.（Ⅱ）由()()()()22052519522mxm xy mf xm xxx⎧+<≤⎪⎪==⎨+⎪>⎪-⎩，，……………………………………7分当05x<≤时，225mxy=2m+在区间(0 5]，上单调递增，所以23m y m<≤；………………2分当5x>时，()240'022myx-=<-，所以函数在(5 9]，上单调递减，从而得到734my m≤<，综上可知：734my m≤≤，…………………………………………11分为使510y≤≤恒成立，只要75430mm⎧≥⎪⎨⎪≤⎩即可，所以201073y≤≤，……………………………………………………12分所以应该投放的药剂质量m的最小值为207.…………………………13分考点：1.函数建模问题；2.导数与函数的单调性、最值.21. （本小题满分14分）已知函数()21ln12f x x x ax=+-，且()'11f=-.（Ⅰ）求函数()f x的解析式；（Ⅱ）若对任意()0 x ∈+∞，，都有()210f x mx -+≤，求m 的取值范围； （Ⅲ）证明函数()2y f x x =+的图象在()21x g x xe x =--图象的下方.【答案】（Ⅰ）()2ln 1f x x x x =--；（Ⅱ）1[ )2-+∞，；（Ⅲ）见解析.试题解析： （Ⅰ）易知()'ln 1f x x ax =++，所以()'11f a =+，又()'11f =-………………1分 ∴2a =-………………………………………………………………2分∴()2ln 1f x x x x =--.………………………………………………3分（Ⅱ）若对任意的()0 x ∈+∞，，都有()210f x mx -+≤， 即2ln 20x x x mx --≤恒成立，即：11ln 22m x x ≥-恒成立………………4分 令()11ln 22h x x x =-，则()111'222x h x x x-=-=，…………………………6分 当01x <<时，()1'02x h x x -=>，所以()h x 单调递增； 当1x >时，()1'02x h x x-=<，所以()h x 单调递减；……………………8分 ∴1x =时，()h x 有最大值()112h =-， ∴12m ≥-，即m 的取值范围为1[ )2-+∞，.…………………………10分 （Ⅲ）要证明函数()2y f x x =+的图象在()21x g x xe x =--图象的下方，即证：()221x f x x xe x +<--恒成立，即：ln 2x x e <-……………………………………………………11分由（Ⅱ）可得：()111ln 222h x x x =-≤-，所以ln 1x x ≤-， 要证明ln 2x x e <-，只要证明12x x e -<-，即证：10x e x -->………………12分令()1x x e x ϕ=--，则()'1x x e ϕ=-，当0x >时，()'0x ϕ>，所以()x ϕ单调递增，∴()()00x ϕϕ>=，即10x e x -->，…………………………………………13分所以12x x e -<-，从而得到ln 12x x x e ≤-<-，所以函数()2y f x x =+的图象在()21x g x xe x =--图象的下方.…………14分考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值以及函数与不等式，属难题；近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。