高二数学选修第(一、二)章测试题

高二数学选修第（1－2）单元测试题
试卷满分150考试时间120分钟
第Ⅰ卷（共100分）
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
1.对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：),2211n n y ，则下列说法中不正确的是( )
A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
必过样本点的中心),(y x B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C ．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好
D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.9362，则变量y 和x 之间具有线性相关关系 2.下面使用类比推理正确的是 A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”
C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“
a b a b
c c c
+=+ （c ≠0）” D.“
n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n
（b ）” 3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4.设)()(,sin )('
010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x = '1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2007()f x = A.sin x
B.－sin x
C.cos x
D.－cos x
5右面是一个2×2列联表：则表中a 、b 处的值分别为( ) A ．52、60 B ．52、50 C ．94、96 D ．54、52 6.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^
约等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( ) A ．63.5万元 B ．64.5万元
C ．65.5万元
D ．66.0万元 7.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。

(A)假设三内角都不大于60度；
(B) 假设三内角都大于60度； (C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。

8.
算得，2
K ≈7.81．参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．再犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B ．再犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.
9.设 ()|1|||f x x x =--, 则1[()]2
f f =
A. 12
-
B. 0
C.
12
D. 1
10.已知2()
(1),(1)1()2f x f x f f x +=
=+ *x N ∈（）
，猜想(f x ）的表达式为 A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2
()21
f x x =+
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11、 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长
之间满足关系：2
22BC AC AB =+。

若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，
则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 ____________________________________________ . 12、设平面内有ｎ条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用
)(n f 表示这ｎ条直线交点的个数，则)4(f = ____________________ ；
当ｎ＞４时，)(n f ＝ ______________________________（用含n 的数学表达式表示）。

13. 经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出y (万元)具有线性相关关系，并得到y 关于
x 的线性回归直线方程：y
ˆ=0．226x +0．321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加l 万元，年饮食支出平均增加________________元．
14．若由一个2×2列联表中的数据计算得有99.9%的把握认为两个变量有关系．
那么2
K 的取值范围为_________________．（根据参照表）
二.解答题：本大题共6小题，共80分.
15.(13分）证明：5,3,2不能为同一等差数列的三项.
16（13分）某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元) 之间有如下对应数据：
求y 关于x 的回归直线方程．
并预测广告费支出700万元的销售额大约是多少万元？ 17、（14分）观察以下各等式：
2020003
sin 30cos 60sin 30cos 604++= 2020003
sin 20cos 50sin 20cos504++=
2020003sin 15cos 45sin15cos 454++=
，
19.（14分）研究某新药的疗效，利用简单随机抽样法给100个患者服用此药，跟踪调查后得如下表的数据。

请问：（1）请分别估计服用该药品男患者和女患者中有效者所占的百分
比？
（2）是否有99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关？（写出必要过程）
（3）根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来更准确估计服用该药的患者中 有效者所占的比例？说明理由． 参考附表：
K 2＝
n (ad －bc )
2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
20.（14分）在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=
n n n a a S 121 （1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3） 求n S
第Ⅱ卷（共50分）
三．填空题.本大题共4小题，每空4分，共16分，把答案填在题中横线上。

18. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：222BC AC AB =+。

若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .
19.从2
2112343=++=2，
，3+4+5+6+7=5中，可得到一般规律为 (用数学表达式表示)
20.函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .
21.设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用
()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f = ；
当ｎ＞４时，()f n ＝ （用含n 的数学表达式表示）
四.解答题. （每题13分，共26分.选答两题，多选则去掉一个得分最低的题后计算总分） 22.在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
n n n a a S 121 （1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3） 求n S
23.自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用n x 表示某鱼群在第n 年年初的总量，+
∈N n ，且1x ＞0.不考虑其它因素，设在
第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与n x 成正比，死亡量与2
n x 成正比，这些比例系数依次为正常数
c b a ,,.
（Ⅰ）求1+n x 与n x 的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当1x ，c b a ,,满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
24. 设函数)(sin )(R x x x x f ∈=.
（1）证明：Z k x k x f k x f ∈=-+,sin 2)()2(ππ；
（2）设0x 为)(x f 的一个极值点，证明2
40
2
01)]([x x x f +=.
五.解答题. （共8分.从下列题中选答1题，多选按所做的前1题记分） 25. 通过计算可得下列等式：
1121222+⨯=- 1222322+⨯=- 1323422+⨯=-
┅┅
12)1(22+⨯=-+n n n
将以上各式分别相加得：n n n +++++⨯=-+)321(21)1(22 即：2
)
1(321+=
++++n n n 类比上述求法：请你求出2
222321n ++++ 的值.
26. 直角三角形的两条直角边的和为a ，求斜边的高的最大值 27.已知))((R x x f ∈恒不为0，对于任意R x x ∈21, 等式()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅
⎪⎭⎫
⎝⎛+=+222212121x x f x x f x f x f 恒成立.求证：)(x f 是偶函数. 28.已知ΔABC 的三条边分别为a b c ，，求证：11a b c
a b c
+>+++
高二数学选修1-2 推理与证明测试题答案（2006.4）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将答案直接填入下列表格内.）
二13.证明：假设2、3、5为同一等差数列的三项，则存在整数m,n 满足
3=2+md ① 5=2+nd ②
①⨯n-②⨯m 得：3n-5m=2(n-m) 两边平方得： 3n 2+5m 2-215mn=2(n-m)2 左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数 所以，假设不正确。

即
2、3、5不能为同一等差数列的三项
14. ∆ABC 是直角三角形； 因为sinA=
C
B C
B cos cos sin sin ++
据正、余弦定理得 ：（b+c ）(a 2-b 2-c 2)=0； 又因为a,b,c 为∆ABC 的三边，所以 b+c ≠0 所以 a 2=b 2+c 2 即∆ABC 为直角三角形.
15.平行； 提示：连接BD ，因为E ，F 分别为BC ，CD 的中点， EF ∥BD. 16.提示：用求导的方法可求得)(x f 的最大值为0
222a c b +-22ac b -2b 2b b
,,a b c 为△ABC 三边，a c ∴+b >，1b
a c
∴-
+0>cos B ∴0> ∴B 090<. 三．填空题.本大题共4小题，每空4分，共16分，把答案填在题中横线上。

18. 2
222AD B ACD ABC BCD S S S S ∆∆∆∆++= .
19. 2(1)(2)......(32)(21)n n n n n ++++++-=- 20. f(2.5)>f(1)>f(3.5) 21. 5； 1
2
（n+1）(n-2)．
四.解答题. （每题13分，共26分.选答两题，多选则去掉一个得分最低的题后计算总分） 22.（1）23,12,1321-=-=
=a a a ；
（2）1--=n n a n ；（3）n S n =. 23.解（I ）从第n 年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax n ，被捕捞量为b x n ，死亡量为
221,,*.(*)n n n n n n cx x x ax bx cx n N +-=--∈因此 1(1),*.(**)n n n x x a b cx n N +=-+-∈即
（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则x n 恒等于x 1， n ∈N*，从而由（*）式得 ..0*,,0)(11c
b
a x cx
b a N n cx b a x n n -==--∈--即所以恒等于 因为x 1>0，所以a >b. 猜测：当且仅当a >b ，且c
b
a x -=
1时，每年年初鱼群的总量保持不变. 24. 证明：1）(2)()22f x k f x x k x k x x πππ+-=++（）sin()-sin
=
2x k x x x π+（）sin -sin =2k x πsin 2) ()sin cos f x x x x '=+
0000()sin cos 0f x x x x '=+= ① 又2200sin cos 1x x += ②
由①②知2
0sin x =20201x x + 所以24222200000022
00[()]sin 11x x f x x x x x x ===
++ 五.解答题. （共8分.从下列题中选答1题，多选按所做的前1题记分）
25.[解] 1131312233+⨯+⨯=- 12323232
33+⨯+⨯=-
1333334233+⨯+⨯=- ┅┅
133)1(233+⨯+⨯=-+n n n n
将以上各式分别相加得：n n n n ++++⨯+++++⨯=-+)321(3)321(31)1(2
22233
所以： ]2
131)1[(3132132
222n n n n n +---+=
++++ )12)(1(6
1
++=
n n n
27.简证：令12x x =，则有()01f =，再令12x x x =-=即可 28.证明：设(),(0,)1x
f x x x
=
∈+∞+ 设12,x x 是(0,)+∞上的任意两个实数，且210x x >≥，
1212
121212()()11(1)(1)
x x x x f x f x x x x x --=
-=
++++ 因为210x x >≥，所以12()()f x f x <。

所以()1x
f x x
=+在(0,)+∞上是增函数。

由0a b c +>>知()()f a b f c +> 即11a b c
a b c
+>+++.。