高二数学 第八章 圆锥曲线方程 8.3双曲线及其标准方程优秀教案
双曲线标准方程教案
双曲线标准方程教案一、教学目标1. 学习者应掌握双曲线的标准方程，充分理解双曲线的基本性质。
2. 学习者应学会使用坐标法解决双曲线的问题，并熟练掌握双曲线方程的应用。
3. 在教学过程中，应培养学习者对数学的兴趣，提高他们解决问题的能力，同时提升他们的数学素养。
二、教学内容1. 讲解双曲线的定义和标准方程。
双曲线是一种二次曲线，定义为平面上与两个固定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹。
这两个固定点称为焦点，焦点之间的距离称为焦距。
双曲线的标准方程是x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b是两个正数，a表示横轴的长度，b表示纵轴的长度。
2. 阐述双曲线的基本性质，如范围、焦点、顶点等。
双曲线的范围是x>0和y可以取任意实数，这意味着双曲线在第一象限内是无限的，而在其他三个象限内是有限的。
双曲线的焦点位于x轴上，离原点的距离为c(c=√a^2+b^2)，焦距为2c。
双曲线的顶点是曲线在x轴上的交点，离原点的距离为a。
3. 讲解并示范使用坐标法解决与双曲线有关的问题。
坐标法是一种通过建立坐标系来解决几何问题的数学方法。
在解决与双曲线有关的问题时，我们通常使用坐标法来找出关键点在坐标系中的位置，并计算出相关的距离和角度。
例如，我们可以使用坐标法来找出双曲线的焦点、顶点、离心率等特征，以及解决与双曲线有关的面积和体积问题。
在示范过程中，我们可以使用具体的例子来说明如何使用坐标法解决与双曲线有关的问题。
三、教学过程1. 通过复习椭圆的定义和标准方程，引导学习者深入思考双曲线是否具有类似的定义和方程，并激发他们的好奇心和探究欲望。
2. 通过具体的实例和图示，详细讲解双曲线的定义和标准方程，同时深入解释其基本性质，包括双曲线的形状、大小、位置等。
3. 通过例题和练习，让学习者掌握如何使用坐标法解决与双曲线有关的问题，包括如何根据双曲线的标准方程计算其焦点位置、顶点位置、离心率等。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其应用。
2. 过程与方法：（1）通过观察实例，培养学生的空间想象能力；（2）运用转化思想，引导学生学会用坐标法研究双曲线。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其探求未知的精神；（2）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其性质；（2）双曲线的标准方程及其应用。
2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的推导；（2）双曲线性质的理解与应用。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究；2. 运用数形结合法，直观展示双曲线的性质；3. 采用分组讨论法，培养学生的合作能力；4. 利用实例讲解，提高学生的应用能力。
四、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关概念：椭圆、抛物线；（2）提问：双曲线是什么？它有哪些特点？2. 自主学习：（1）学生自主探究双曲线的定义及其性质；3. 讲解双曲线的标准方程：（1）引导学生观察双曲线的图形，发现其特点；（2）讲解双曲线标准方程的推导过程；（3）让学生尝试写出常见双曲线的标准方程。
4. 应用拓展：（1）利用双曲线标准方程解决实际问题；（2）引导学生发现双曲线在现实生活中的应用。
五、课后作业1. 复习双曲线的定义及其性质；2. 熟练掌握双曲线的标准方程及其应用；3. 完成课后练习，巩固所学知识。
4. 思考题：（1）双曲线有哪些实际应用场景？（2）如何利用双曲线解决实际问题？六、教学评价1. 课堂讲解：关注学生对双曲线定义、性质和标准方程的理解程度，以及能否运用所学知识解决实际问题。
2. 课后作业：检查学生对双曲线知识点的掌握情况，以及应用能力。
3. 学生互评：鼓励学生之间相互提问、讨论，提高课堂参与度。
七、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
高二数学 第八章 圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质优秀教案
高二数学第八章圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质优秀教案教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2．掌握标准方程中c,的几何意义a,b3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±bya x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222b y a x对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律本节分三个课时：第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时主要内容为离心率、教材中的例1、例2及一道变式例题；第三课时主要讲解教材中的例3、双曲线另一个定义、准线概念教学过程：一、复习引入：二、讲解新课： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-by a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x轴为双曲线12222=-b y a x 的对称轴，0,),0,(21a A a A -称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-b y a x 的实轴长，它的长是2a. 在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。
完整版双曲线及其标准方程教学方案
授课方案方案课题名称双曲线及其标准方程姓名王菲菲工作单位河北黄骅中学年级学科高二数学教材版本人教 A 版一、授课内容解析在高中数学中 ,双曲线及其标准方程的课程, 在解析初等函数之前,是认识笛卡尔坐标图线的重点。
他是为培养学生对于坐标图线认识函数关系打下基础 ,其重点在于认识学生对于图像认识的能力 ,培养学生用数轴图形认识函数信息的能力。
现此刻在数学授课中 ,基本数学修养必定被培养 ,让学生自己成立对于初等数学的理解。
本节重点就是让学生培养用图形认识方程的能力及其解题思路。
二、授课目的1、知识与技术目标：(1) 认识双曲线的定义，几何图形及标准方程的推导.(2)掌握双曲线的标准方程(3)会利用双曲线的定义和标准方程解决一些简单的问题2、过程与方法目标：经过与椭圆的比较推导出双曲线的定义，标准方程3、感神态度与价值观目标：经过本节数学学习，领悟数形结合的数学思想，发展学生数学应妄图识，提升学习兴趣，在不同样的探究活动中形成锲而不舍的研究精神。
4.授课重点，难点授课重点：双曲线的定义和标准方程；授课难点：双曲线标准方程的推导及简单应用.4.教法与学法：讲练结合三、学习者特色解析高一学生已经具备了必然的归纳、猜想能力，但在数学的数形结合能力方面尚需进一步培养 . 经过前面的学习，学生已经掌握了椭圆的定义和基本性质. 多数学生对数学学习有必然的兴趣，因此能够积极主动参加自主学习，合作研究，谈论交流，但由于学生各方面能力发展不够均衡，仍有小部分学生这方面能力需要加强. 授课中我采用模拟图像、制作科学小瞧频、自主学习、合作研究、谈论交流，分组显现、思疑的教法和学法，尽可能的增加学生的课堂参加程度，真切做到学生是课堂的主人，教师是课堂的组织者、设计者、引导者。
课前教师注意授课活动的设计，备好各层次学生可能出现的问题，课堂上认真关注学生的活动，将时间、空间还给学生，侧重师生交往的有效化，做好合时引导点拨。
另外，课上采用多媒体辅助授课，加强课堂直观性，增加课堂容量。
高中双曲线数学教案
高中双曲线数学教案
一、教学内容：双曲线
二、教学目标：
1. 了解双曲线的定义及性质；
2. 掌握双曲线的标准方程及相关参数；
3. 能够应用双曲线解决实际问题。
三、教学重点：
1. 双曲线的定义；
2. 双曲线的标准方程及参数；
3. 双曲线的性质。
四、教学难点：
1. 掌握双曲线参数对图像的影响；
2. 能够熟练应用双曲线解决实际问题。
五、教学过程：
1. 先介绍双曲线的定义及基本形态，让学生了解双曲线的特点；
2. 讲解双曲线的标准方程及参数，让学生掌握双曲线的基本表达形式；
3. 通过实例分析，让学生掌握双曲线参数对图像的影响；
4. 给出一些实际问题，让学生应用双曲线解决问题；
5. 总结本节课内容，做一些习题巩固学生的学习成果。
六、教学资源：
1. 教科书
2. 教学PPT
3. 习题集
七、教学评价：
1. 课堂问答
2. 作业检查
3. 实际问题解决能力测试
八、教学反馈：
1. 收集学生对本节课的反馈意见；
2. 根据学生反馈，及时调整教学方法和内容。
以上是本次双曲线数学教案，希望对您的教学有所帮助。
高中数学圆锥曲线教案
高中数学圆锥曲线教案
一、教学目标
1.了解圆锥曲线的定义和基本性质。
2.能够掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
3.能够解决与圆锥曲线相关的问题。
二、教学重点和难点
重点：掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
难点：理解圆锥曲线的定义及性质。
三、教学内容
1.圆锥曲线的定义和基本性质。
2.圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
3.圆锥曲线的相关问题解决方法。
四、教学过程
1.导入新知识：通过引入一个问题或实际应用场景引起学生的兴趣。
2.讲解圆锥曲线的定义和基本性质，包括椭圆、双曲线和抛物线。
3.介绍圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
4.通过实例分析，让学生熟悉解决与圆锥曲线相关的问题的方法。
5.组织学生进行练习和讨论，巩固所学知识。
6.总结本节课内容，提出问题进行思考，激发学生的学习兴趣。
五、课堂作业
1.完成练习题。
2.思考如何将圆锥曲线应用到实际生活中。
六、教学反思
本节课主要对圆锥曲线的定义和基本性质进行了讲解，并通过实例让学生掌握了圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
同时也引导学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。
在教学过程中需要注意引导学生正确理解圆锥曲线的概念，帮助他们建立深刻的认识。
高二数学 第八章 圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质优秀教案
课题：8．4双曲线的简单几何性质教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2．掌握标准方程中cb,的几何意义a,3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±bya x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222b y a x对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律本节分三个课时：第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时主要内容为离心率、教材中的例1、例2及一道变式例题；第三课时主要讲解教材中的例3、双曲线另一个定义、准线概念教学过程：一、复习引入：二、讲解新课： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-b y a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x轴为双曲线12222=-by a x 的对称轴，0,),0,(21a A a A -称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a. 在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。
高二数学第八章圆锥曲线方程：84双曲线的第二定义优秀教案(精品).docx
课题：8. 4双曲线的第二定义教学目的：1.使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质.2.掌握双曲线的另一种定义及准线的概念.3.掌握等轴双曲线，丿〔轨双曲线等概念.4.进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育教学重点：双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程.教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另一种定义的得出过程.授课类型：新授课.课时安排：1课吋.教具：多媒体、实物投影仪.教学过程：一、复习引入：1.范围、对称性2 2由标准方程二-，从横的方向来看，直线x=-a, x=acT b~之间没有图象，从纵的方向來看，随着X的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线.双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的屮心.2 •顶点顶点：A] (d,o), A2 (- 0,0)特殊点:坊(0#),场(0“)实轴长为2a, a叫做半实轴长.虚轴：BQ?长为2b, b叫做虚半轴长.双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异.3 •渐近线9 9过双曲线冷-％"的两顶点九仏，作Y轴的平行线a ox二±0,经过％爲作X轴的平行线y = ±b,四条直线围成一个矩形.矩形的两条对角线所在直线方程是y = ±^x a(-±^ = o),这两条直线就是双曲线的渐近线.a b4.等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的性质：(1)渐近线方程为：y = ±x ； (2)渐近 线互相垂直；(3)离心率0 =等轴双曲线可以设为：x 2-/=2(2^0),当2〉0时交点 在x 轴，当2 <0时焦点在y 轴上.5. 共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为y = ±—x =± — x(k >0),那么此双曲线方程就一定是: a ka2 2=±1伙〉0)或写成笃-与=2CT6. 双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶 点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲 线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双 曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线7 •离心率双曲线的焦距与实轴长的比=-，叫做双曲线的离 2d a 心率•范围：e > 172塔 _______r_(ka)2双曲线形状与e 的关系:e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此吋知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔.8.共轨双曲线以己知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轨双曲线.区别：三量a,b,c中a,b 不同（互换）c相同.共用一对渐近线.双曲线和它的共饥双曲线的焦点在同一圆上.确定双曲线的共辄双曲线的方法：将1变为・1・共用同一对渐近线y = ±kx的双曲线的方程具有什么样的特2 2征：可设为二-与—（"（）），当2〉0时交点在X轴，当2vO1 k吋焦点在y轴上.二、讲解新课：9.双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线/的距离Z 比为常数“£（C〉Q〉O）的点的轨迹是双曲线.其中，定a点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线.常数e 是双曲线的离心率.10・准线方程：对于务-E —l 来说，相对于左焦点F.（-c,0）对应着左准线 cr Zr2 2/,：% = -—，相对于右焦点F2（c,0）对应着右准线l 2:x = —;C C 2 r 2位置关系：忖,〉仝〉0・焦点到准线的距离防L （也叫焦 C C 参数）・2 2对于耳-二=1來说，相对于上焦点许（0,-C ）对应着上准线x 2x 2=——;相对于F 焦点F 2（o,c ）对应着F 准线z 2：y = —c c11 •双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点件耳的连线段，叫 做双曲线的焦半径.焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线X 2V 2--^- = 1 @>0#>0）， cT 『Fi, F*是其左右焦点.X.2 2同理 \MF 2\ = \ a -ex.即有焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式:a + ex () | a - ex () I同理有焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式:上焦点） 点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其 带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。
双曲线及其标准方程教学设计
《双曲线及其标准方程》教学设计教材分析圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。
本章对双曲线的教学，是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉基础上进行的，所以讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程，最后反思应用。
本课是高二数学§8.4的第一课时，它是学习双曲线的性质及其应用的基础。
双曲线的定义与椭圆的定义很相似，但不容易掌握而又非常重要，学习时要注意和椭圆义联系与区别，为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好充分准备，又可对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。
教学目标：1、知识目标：理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法。
2、能力目标：掌握双曲线的定义、标准方程及其推导方法，培养学生动手能力，分类讨论、类比的数学思想方法3、情感目标：通过对双曲线定义与椭圆定义的比较，是学生认识到比较法是认识事物掌握其实质的一种有效方法。
教学重点：双曲线的定义，求双曲线标准方程教学难点：推导双曲线的标准方程教法：尝试教学法教学过程：尝试探究（二）1、请同学们用准备好的线，画板，图钉，小圈，结合双曲线的定义，设计一个方案来画双曲线。
学生展示设计结果。
2、抛物线的标准方程。
请同学们模访求椭圆标准方程的方法，建立适当的坐标系，推导双曲线的标准方程。
在学生大部分算完之后，课件快速展示推导过程。
用PPT展示两种结果：当焦点在x轴上时，标准方程为：12222=-byax当焦点在y轴上时标准方程为：12222=-bxay其中：222acb-=学生分小组动手画，老师在旁边指导。
课件展示出两种建系的方法。
学生分小组推导公式。
老师展示同学们探究结果。
培养学生的创新能力和动手操作能力。
推导方程，椭圆的时候已经学过了，方法很相似，学生完全可以通过模访，自己算出标准方程，这样做可以培养学生类比的思想和动手能力。
【优秀教案】高中数学第二册上 第八章 圆锥曲线方程： 8.3双曲线及其标准方程
课题：8．3双曲线及其标准方程（一）教学目的：1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力；3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）；5．培养学生发散思维的能力教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须而掌握好双曲线标准方程的推导过程又是理解和记应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环节坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题犹如前面学习的圆和圆锥曲线一样，双曲线也是一种动点的轨迹双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将因此我们要充分利用这节教材对双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题教学过程：一、复习引入：1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关 2.椭圆标准方程：（1）2222=+b y a x （2）12222=+b x a y 其中22b c a += 二、讲解新课：1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关2．双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明取过焦点21F F ，的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设P （y x ,）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c （0>c ）则 )0,(),0,(21c F c F -，又设M 与)0,(),0,(21c F c F -距离之差的绝对值等于2a （常数），a 22< {}a PF PF P P 221±=-=∴221)(y c x PF ++= 又， a y c x y c x 2)()(2222±=+--++∴，化简，得：)()(22222222a c a y a x a c -=--，由定义c a 22< 022>-∴a c令222b a c =-∴代入，得：222222b a y a x b =-，两边同除22b a 得：12222=-b y a x ， 此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -， 其中222b a c +=若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y x ,互换，得到12222=-b x a y ，此也是双曲线的标准方程 3．双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-by a x (0>a ,0>b )； 焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b ) (2)c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上三、讲解范例：例1 判断下列方程是否表示双曲线.① 方程② 方程 表示以（０，４）为端点，沿着Ｙ轴正方向一条射线。
高二数学第八章圆锥曲线方程教材分析 新课标 人教版 教案
高二数学第八章圆锥曲线方程教材分析本章是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。
这一章主要学习椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、简单几何性质以及它们的简单应用6个小节，教学时间约为18课时，各小节的教学时间分配如下：8．1椭圆及其标准方程 3课时8．2椭圆的简单几何性质 4课时8．3双曲线及其标准方程 2课时8．4双曲线的简单几何性质 3课时8．5抛物线及其标准方程 2课时8．6抛物线的简单几何性质 2课时小结与复习 2课时一、内容与要求(一)本章的教学内容圆锥曲线这一章研究的对象是图形，包括三种曲线：椭圆、双曲线、抛物线，使用的方法是代数方法，它的基础是第七章学过的曲线和方程的概念我们知道，曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹，在解析几何里用坐标法研究曲线的一般程序是：建立适当的坐标系；求出曲线的方程；利用方程讨论曲线的几何性质；说明这些性质在实际中的应用在第七草里学生已经初步学习了这种方法，不过，“圆锥曲线”这一章中，这种研究曲线的方法和过程以及它的优势体现得最突出所以，“圆锥曲线”一直是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用本章研究的椭圆、双曲线、抛物线的方程，主要是它们在直角坐标系中的标准方程，所谓标准方程就是曲线在标准位置时的方程，即曲线的中心或顶点在坐标原点，对称轴在坐标轴上时的方程，通过对这种方程的讨论得到的曲线的性质，可以利用平移图形推广到曲线的其他位置上去，所以，曲线的标准方程及它们在标准位置上的性质是本章的重点(二)教学要求本章的教学要求归纳起来有以下几点：1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质；2．能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用；3．进一步掌握坐标方法；4．结合本章内容的教学，使学生进一步领会运动变化、对立统一的观点解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高坐标方法是要求学生掌握的，但是，作为普通高中的必修课的教学要求不能过高，只能以绝大多数学生所能达到的程度为标准二、本章的主要特点(一)突出重点1．突出重点内容本章所研究的三种圆锥曲线，都是重要的曲线因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种曲线没有平均使用时间和力量，而是把重点放在椭圆上通过求椭圆的标准方程，使学生掌握列这一类轨迹方程的一般规律，化简的常用办法这样，在求双曲线、抛物线方程的时候，学生就可以独立地，或在教师的指导下比较顺利地完成在讨论椭圆的几何性质时，教材以椭圆为例详细地说明了在解析几何中讨论曲线几何性质的一般程序，以及怎样利用方程研究曲线的X围、对称性，怎样确定曲线上的点的位置等，这样，学生在学习双曲线和抛物线时，就可以练习使用这些方法，从而在掌握解析几何基本方法上得到锻炼和提高在讨论曲线的几何性质时，不求全，有选择地介绍主要性质以便学生集中精力掌握圆锥曲线的最基本的性质2．突出坐标方法要重视数学思想方法的教学，结合教学内容，把反映出来的数学思想方法的教学，作为高中数学教学的一项重要任务来完成根据圆锥曲线这部分内容的特点，在这一章里把训练学生掌握坐标法作为这一章数学方法教学的重点例如教材在第8.6节中选择了一个求正三角形边长的例题，解这个题目时，首先要证明正三角形的对称轴就是抛物线的对称轴，这是用方程证明图形性质的问题，并且是比较典型的(二)注意内容的整体性和训练的阶段性高中数学教材是一个整体，各部分知识和技能之间是有机联系着的，特别是教材采用了“混编”的形式，将代数、立体几何、解析几何合成统一的高中数学，这就更需要加强各章之间的联系，互相配合，发挥整体的效益(三)注意调动学生学习的主动性教材是为教学服务的，归根结底是为学生服务的学生是学习的主人，只有他们有主动性，才能达到学会学好的目的目前，高中学生被动学习的现象比较突出，在调动学生学习的主动性方面，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路例如，在讲椭圆的几何性质时，由于这是第一次出现，所以教材增加了一些说明性的文字，首先说明解析几何里讨论曲线性质时，通常要讨论哪些性质，然后说明用方程讨论这些性质时的一般方法，这就使学生知道为什么学习，怎样去学习，学习就会变得主动又如，学生学习中遇到的另一个问题是不会分析问题，遇到问题不知从什么地方入手，只好被动地听讲教材注意提高例题的质量，在一些例题中给出了分析或小结(例题解后的注)，通过对一些典型例题的分析，使学生学会分析解题思路,找出问题的关键，减少解题的盲目性；通过小结，指出解决问题的一般规律，提高学生解决问题的能力，提高学习效率三、教学中应注意的问题(一)注意准确地把握教学要求准确地把握教学要求包括两个方面，第一是把握好大纲的精神，第二是学生的实际根据大纲的精神，圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容，但目前由于考试的影响，这一部分教学的要求比较高，题目的难度很大如何控制教学要求是个难点高中的教学时间有限，作为全体学生都必须掌握的必修课程，应以最基础的知识和最基本的技能、能力为主，要使学生切实把基础打好不要过分重视技巧性很强的难题从学生的学习规律来说，训练不能一次完成，要循序渐进，打好基础才能有较大的发展余地，急于求成是不可取的；学生的基础、兴趣、志向都是不同的，要根据学生的实际提出恰当的教学要求，这样学生才有学习的积极性，才能使学生达到预定的教学要求(二)注意形数结合的教学解析几何的特点就是形数结合，而形数结合的思想是一种重要的数学思想，是教学大纲中要求学生学习的内容之一，所以在这一章的教学过程中，要时刻注意这种数学思想的教学，并注意以下几点：1．注意训练学生将几何图形的特征，用数或式表达出来，反过来，要使他们能根据点的坐标或曲线的方程，确定点的位置或曲线的性质，使学生能比较顺利地将形的问题转化为数或式的问题，将数或式的问题转化为形的问题。
《双曲线的定义及标准方程》教学案例
高中数学教案《双曲线的定义及其标准方程》【活动方案】一、说教材学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。
如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。
所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。
二、说学情知识方面，学生已经学习了椭圆和抛物线，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会。
能力方面，学生有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力。
三、教学目标（一）知识与技能目标：理解双曲线的定义，能推导出双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程。
（二）过程与方法目标：培养学生类比推理能力，培养学生数形结合研究解析几何问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标：让学生体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。
四、教学重难点（一）重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程；（二）难点：双曲线标准方程的推导。
五、教学法（一）教法：可采用引导探究法，充分利用青少年富有创造性，对体验成功的渴望的特点，让学生自觉主动地创造性的去分析问题、讨论问题、解决问题；（二）学法：在学习方法的制定上，要充分发挥学生在学习活动中的作用，通过学生主动探索、动手实践调动学生学习的积极性，在与学生的互动交流中注重培养学生类比推理、数形结合解决问题的能力，转变学生的学习方式，形成理性、严谨的解决问题的态度。
六、教学过程（一）回顾椭圆【设置问题】在课的开始可以设置几个问题让学生回答，在学生回答之后，把双取线定义和标准方程的答案展示出来，然后演示椭圆的生成过程。
【设计意图】通过回顾，既检测了学生对前面知识的掌握情况，同时又为下面双曲线的学习做好铺垫，之后告诉学生：我们要学习一种新的曲线——双曲线。
【创设情境】播放一首“悲伤双曲线的MTV”，让学生认识双曲线。
高二数学双曲线及其标准方程教案
高二数学双曲线及其标准方程教案教学目标知识目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。
能力目标：通过与椭圆类比获得双曲线的知识，培养学生类比、分析、归纳、推理等能力和善于寻找数学规律的能力。
德育目标：在类比探究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣及培养学生认真参与积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。
重点：双曲线的定义及其标方程和简单应用。
难点：对双曲线定义的理解，正确运用双曲线定义推导方程。
教学过程：一.复习提问，引入新课。
问题1.椭圆的定义是什么？问题2.椭圆的标准方程是怎样的？c b a 、、关系如何？问题3.如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化？师：（多媒体演示动点轨迹）。
师：同学们观察一下，动点M 所满足的几何条件是什么？ 生：21MF MF ，长度在变，但常数=-21MF MF 。
师：这个常数与21F F 的大小关系如何？为什么？ 生：小于21F F ，三角形中两边之差小于第三边。
师：用同样的方法，使常数=-12MF MF ，就得到另一条曲线，这两条曲线合起来叫做双曲线，每条叫做双曲线的一支。
（板书课题）二.形成概念，推导方程。
师：双曲线上的点应满足的条件是什么？ 生：常数=-21MF MF （小于21F F ）。
师：类比椭圆的定义，请同学概括双曲线的定义。
1.双曲线的定义。
（投影）师：定义中的“绝对值”三字去掉，能否表示双曲线？生：不能，为双曲线的一支。
师：定义中的常数21F F =，轨迹是什么？常数21F F >呢?生：以21F F 、为端点的两条射线。
常数21F F >无轨迹。
2.标准方程的推导。
生：①建系。
使x 轴经过两定点21,F F ，y 轴为线段21F F 的垂直平分线。
②设点。
设),(y x M 是双曲线上任一点，焦距为c 2，那么焦点)0.(),0,(21c F c F -，a MF MF 221=-。
高二数学 双曲线及其标准方程 说课材料 新课标 教案
高二数学“双曲线及其标准方程”说课材料一教材分析（一）本节课在教材中的地位及作用“双曲线及其标准方程”与“椭圆及其标准方程”、“抛物线及其标准方程”是圆锥曲线的三种曲线方程，也是平面解几的核心内容。
双曲线及其标准方程的概念与椭圆及其标准方程相类似。
教材处理也相仿。
在整个平面解几中，所处的地位作用是一样的。
学好本节课内容是学好圆锥曲线关键之一，对后面能进一步理解掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线性质，从而借助形和数的对应关系，把形的问题转化为数来研究。
再把数的研究转化为形来讨论。
这是解几的基本思想和基本方法，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
（二）教学目标：知识目标：理解双曲线的概念及其标准方程。
能力目标：通过画板演示、数形结合，从运动变化观点来认识、掌握双曲线及其方程，增强学生分析问题，解决问题的能力情意目标：对学生进行辩证唯物主义思想的教育，使学生学会认识事物的运动规律。
培养学生善于探索的思维品质。
（二）教学重难点和关键：重点：双曲线的定义、及其标准方程。
难点：双曲线定义的理解，标准方程的建立。
关键：能正确运用双曲线的定义建立方程。
（三）教学基本思路：由于“双曲线及其标准方程”与“椭圆及其标准方程”从教材地位、作用以及内容极其相似，在建立双曲线及其标准方程概念之前，先复习回顾椭圆的定义、标准方程，再提出问题引入概念。
由于轨迹问题通过板画无法达到意想的效果，又是本节课的教学关键。
在教学中，借助于几何画板演示轨迹，讨论轨迹，引导学生说出轨迹的定义、轨迹的变化情况（即参数关系）从而引出双曲线定义，提高学生分类讨论、数形结合的能力。
二、学法指导：在教学中，注意面向全体学生，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学习积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的学习方法。
调动学生的非智力因素来促进智力因素的发展，引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题。
三、教法选择：教学方法：直观教学法、启发发现法、类比教学法、电化教学法理论根据：为了调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习。
双曲线的定义及其标准方程教案
圆锥曲线教案双曲线的定义及其标准方程教案教学目标1．通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，双曲线的标准方程的探索推导过程．2．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生会合情猜想，进一步提高分析、归纳、推理的能力．3．培养学生浓厚的学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事求是的科学态度．教学重点与难点双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点．定义中的“差的绝对值”，a与c的关系的理解是难点．教学过程师：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？(学生口述椭圆的两个定义，标准方程，教师利用投影仪把椭圆的定义、标准方程和图象放出来．)师：椭圆的两个定义虽然都是由轨迹的问题引出来的，但所采用的方法是不同的．定义二是在认识上已经把椭圆和方程统一起来，在掌握了坐标法基础上利用坐标方法建立轨迹方程．这是通过方程去认识轨迹曲线．定义中设定的常数2a，|F1F2|=2c，它们之间的变化对椭圆有什么影响？生：当a=c时，相应的轨迹是线段F1F2．当a＜c时，轨迹不存在．这是因为a、c的关系违背了三角形中边与边之间的关系．师：如果把椭圆定义中的“平面内与两个定点F1、F2的距离的和”改写为“平面内与两个定点F1、F2的距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程又是怎样的呢？(师生共同做一个简单的实验，请同学们把准备好的实验用具拿出来，一起做实验．教师把教具挂在黑板上，同时板书：平面内与两个定点F1、F2的距离之差为常数的点的轨迹是什么曲线？边画、边操作、边说明．)师：做法是：适当选取两定点F1、F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段AF2(＜F1F2)，作为动点M到两定点F1和F2距离之差．而后把它固定在F2处．这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉锁的逐渐打开铅笔就徐徐画出一条曲线；同理可画出另一支．如图2-36．师：通过这个实验，你们发现了什么？生：所画的曲线不是椭圆，是两条相同的曲线，只是位置不同．其原因都是应用“平面内与两个定点的距离之差|MF1|-|MF2|(或|MF2|-|MF1|)是同一常数的条件画图的．师：所画出图象与椭圆完全不同，能说出属于哪一类曲线吗？生：属于双曲型曲线．师：很好！我们把这类曲线就叫做双曲线．我们思考以下几个问题：1．|MF1|和|MF2|哪个大？生：不一定．当点M在双曲线右支时，有|MF1|＞|MF2|，当点M在双曲线左支时，|MF1|＜|MF2|．师：2．点M与点F1、F2距离之差是否就应是|MF1|-|MF2|？生：未必是．也可以是|MF2|-|MF1|．师：如何表示这两种情况？生：若要同时表示这两种情况，正确的表示是应||MF1|-|MF2||．无论哪种情况总是成立的．师：3．点M与点F1、F2的距离之差的绝对值与|F1F2|的大小关系怎样？生：由三角形的两边之差小于第三边可知，应是小于|F1F2|．否则作不出图形．在上述讨论的基础上，引导学生概括出双曲线的定义，教师板书课题．(学生试叙述，教师协助完成．)一、双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数2a(a＞0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，这两个焦点间的距离叫做焦距，记作2c(c＞0)．通过学生自己动手画图，得到了双曲线定义，同时进一步让学生在实验中观察定义中两个常数间大小关系对于动点M的轨迹的影响．激发学生探求知识的兴趣，调动学生的求知的渴望．师生共同归纳：师：由定义知||MF1|-|MF2||=2a，|F1F2|=2c，并设动点为M，请大家讨论以下几个问题：(1)当0＜a＜c时，动点M的轨迹是什么？学生略思考一下，回答出是双曲线．(2)当a=c时，动点M的轨迹是什么？分析若a=c，也就是||MF1|-|MF2||=2a=2c，如图2-37所示：可以看出，动点M的轨迹是分别以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外侧的两条射线．(3)当a＞c＞0时，动点M的轨迹是什么？由前面归纳已知动点M的轨迹不存在．这是因为a、c的关系违背了三角形中两边之差小于第三边的性质．二、双曲线的标准方程师：现在来研究双曲线的方程．我们可以参照求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．首先建立直角坐标系，即以两定点连线为x轴，两定点的垂直平分线为y轴．然后，观察双曲线的特征，猜测双曲线方程的结构与椭圆方程的结构是否有类似之处？(如图2-38)当点M移动到x轴上点A1、A2时，如何求点A1、A2的坐标？生：点A1、A2是关于原点对称的，所以|A1A2|=|F1F2|-|F1A1|-|F2A2|=|F1F2|-2|F2A2|=|F1A2|-|F2A2|=2a．所以点A1和A2的坐标分别是(-a，0)和(a，0)．师：请同学们对照椭圆的定义及其标准方程推导过程导出双曲线的标准方程．生：1．建立直角坐标系．2．设双曲线上任意一点的坐标为M(x、y)，|F1F2|=2c，并设F1(-c，0)，F2(c，0)．3．由两点间距离公式，得4．由双曲线定义，得|MF1|-|MF2|=±2a，即5．化简方程两边平方，得化简得：两边再平方，整理得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．(为使方程简化，更为对称和谐起见．)由2c-2a＞0，即c＞a，所以c2-a2＞0．设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式，得b2x2-a2y2＝a2b2，也就是师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质．这一简化的方程称为双曲线的标准方程．结合图形再一次理解方程中a＞b＞0的条件是不可缺少的．b的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有实际的几何意义．具有c2=a2+b2与椭圆中a2=b2+c2的不同之处．师：与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y轴上，这时双曲线的标准方程形式又怎样呢？我们可以从所画的图形上观察，对比来看一看互相间的转化．(图2-39、图2-40)生：从图形的对称来看，只要交换一下x轴、y轴的名称，然后逆时针翻转90°使之y轴向上、下，x轴水平放置即可得到焦点在y轴上的双曲线．师：从方程上来分析，只要将方程(1)的x、y互换就可以得到它的方程此方程也是双曲线的标准方程．师：如何记忆这两个标准方程？生：双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为实轴，焦点在该轴上，且分母为a2．负项相应的坐标轴为虚轴，且分母为b2．师：用一句话概括“以正负定实虚”．三、举例例1 已知两点F1(-4，0)和F2(4，0)，曲线上的点到两个焦点的距离之差为6，求曲线方程．解由焦点坐标可知c=4，2a=6，所以a=3，而b2=c2-a2=16-9=7．所以，所求的双曲线方程为例2 求满足下列条件的双曲线方程1．若a=4，b=3，焦点在x轴上；解(1)因为a=4，b=3，并且焦点在x轴上，所以所求的双曲线方程为(2)由题意设双曲线的标准方程为：所以代入双曲线方程得所以b2=16，所以所求的双曲线的标准方程为例1和例2可由学生自行解答，黑板上板演，并对照检查对错．四、小结(师生共同参与完成)1．知识方面双曲线的定义和双曲线的标准方程；方程中的3个常数a、b、c间的关系：c2=a2+b2．理解“以正负定实虚”的意义，会确定实轴、虚轴、焦点所在位置，会求双曲线的标准方程．2．在教学中体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美．五、作业：第89页习题七1，2．六、课后思考题2．结合图形的演示，试讨论||MF1|-|MF2||=2a，在2a趋近于零的过程中双曲线的变化趋势．设计说明1．关于教学目标(1)由于双曲线的定义及其标准方程是本章的重点之一，因而作为本节课的教学目标之一．(2)MM教育方式的基本要求，其课堂教学要师生共同参与．每个环节都应给学生创设一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会．运用教具的演示，增强了数学教学的直观性，有助于培养学生观察、比较、分析、抽象、归纳及数学语言的运用能力．对全面提高学生素质起着十分重要作用，待此制定了教学目标2和3．2．关于教学重点为实现教学目标，把充分展现双曲线的定义及其标准方程的探索、发现、推理的思维过程和知识形成过程作为本节课的重点．3．关于教学方法按照MM教育方式“学习、教学、研究同步协调原则”和“二主方针”，在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用．运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，使学生在开放、民主、愉悦和谐的教学氛围中获取新知识，提高能力，促进思维发展．因此，采用讨论式、启发式的教学方法．4．关于教学过程(1)利用学生已清楚的知识，转换条件提出问题，通过自己动手和联想，为类比地探索双曲线的定义奠定基础，最后推出双曲线的定义．(2)在双曲线的标准方程的推导过程中，揭示科学实验的规律，巧妙地把学生从旧知识引向新知识，使知识过渡那么自然，学生学起来不感到困难．体现数学发现的本质，培养学生合情推理能力、逻辑思维能力、科学思维方式、实事求是的科学态度及勇于探索的精神．(3)例题比较简单，由学生自行解答，同时由学生板演，在解题过程中培养学生合理地思考问题，清楚地表达思想和有条不紊的学习习惯．同时随时注意纠正学生在学习过程中的偏差．(4)以学生为主，教师协助的方式进行本节课的小结，充分发挥学生的主观能动性，提高学生分析、概括、综合、抽象能力，注意把学生本节课所学到的新知识纳入学生已有知识体系中，使学生学习解析几何内容形成一个知识结构，对学生掌握解析几何的学习是大。
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课题：8．3双曲线及其标准方程（一）教学目的：1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力；3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）；5．培养学生发散思维的能力教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握而掌握好双曲线标准方程的推导过程又是理解和记忆标准方程的关键应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环节坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具犹如前面学习的圆和圆锥曲线一样，双曲线也是一种动点的轨迹双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题教学过程：一、复习引入：1椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关2.椭圆标准方程：（1）12222=+b y a x （2）12222=+bx a y 其中222b c a += 二、讲解新课：1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关2．双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明取过焦点21F F ，的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设P （y x ,）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c （0>c ）则 )0,(),0,(21c F c F -，又设M 与)0,(),0,(21c F c F -距离之差的绝对值等于2a （常数），c a 22<{}a PF PF P P 221±=-=∴221)(y c x PF ++= 又， a y c x y c x 2)()(2222±=+--++∴，化简，得：)()(22222222a c a y a x a c -=--，由定义c a 22< 022>-∴a c令222b a c =-∴代入，得：222222b a y a x b =-，两边同除22b a 得：12222=-b y a x ， 此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -， 其中222b a c +=若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y x ,互换，得到12222=-b x a y ，此也是双曲线的标准方程 3．双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-by a x (0>a ,0>b )； 焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b ) (2)c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为b a b a b a ><=,,4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上三、讲解范例：例1 判断下列方程是否表示双曲线.① 方程② 方程 表示以（０，４）为端点，沿着Ｙ轴正方向一条射线。
例2:已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P 到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线 的标准方程.变题1:将条件改为双曲线上一点P 到F1,F2的距离的差等于6,如何?差等于0,如何? ()()6442222=+--++y x y x ()()8442222=+--++x y x y变题2:将条件改为双曲线上一点P 到F1,F2的距离的差的绝对值等于10,如何?例3 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值 ①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y （1232222=-x y ） 分析：双曲线标准方程的格式：平方差，2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，2x 项的分母是2a ；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上，2y 项的分母是2a 解：①是双曲线，6,2,2===c b a ；② 是双曲线，2,2,2===c b a ； ③是双曲线，6,2,2===c b a ； ④是双曲线，13,2,3===c b a例4 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=-by a x (0>a ,0>b )∵102,62==c a ∴5,3==c a ∴1635222=-=b 所求双曲线标准方程为116922=-y x 例5 一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ．(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知A 、B 两地相距800m ，并且此时声速为340 m ／s ，求曲线的方程．分析：解应用题的关键是建立数学模型根据本题设和结论，注意到在A 处听到爆炸声的时间比B 处晚2s,这里声速取同一个值解：(1)由声速及A 、B 两处听到爆炸声的时间差，可知A 、B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A 、B 为焦点的双曲线上因为爆炸点离A 处比离B 处更远，所以爆炸点应在靠近B 处的一支上．(2)如图，建立直角坐标系xoy ，使A 、B 两点在x 轴上，并且点O 与线段AB 的中点重合设爆炸点P 的坐标为),(y x ，则 |PA|－|PB|=340×2=680，即 2a ＝680，a ＝340．又|AB|=800， ∴ 2c=800，c=400，222a c b -=＝44400 ∵ |PA|－|PB|＝680＞0，∴ x ＞0所求双曲线的方程为14440011560022=-y x （x ＞0） 例2说明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C ，利用B 、C(或A 、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用想一想，如果A 、B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸点应在线段AB 的中垂线上）点评：本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学”的意识，后面对“想一想”的教学处理，有利于调动学生的学习主动性和积极性，培养他们的发散思维能力四、课堂练习：练1： a=4,b=3,焦点在x 轴上;练2：双曲线 上一点P 到F1的距离为15,求一点P 到F2的距离?练3．求与圆A 和圆 B都外切的圆的圆心P 的轨迹方程。
4．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程5．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程6．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同7．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、()49522=++y x ()49522=++y x 116922=-y x第四象限8．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ）A ．7 B.23 C.5或23D.7或23练习答案：5. 191622=-y x ; 6 1162022=-x y ; 7. 22525922=+y x ⇒ )0,4(192522±⇒=+F y x , 151522=-y x ⇒ )0,4(111522±⇒=-F y x ; 8 .D.1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线⇒Ⅳ∈⇒⎩⎨⎧><ααα0cos 0sin ,所以选D. 5. D. =⇒==-d a d 82|15|7或23课后练习答案1．判断方程13922=---k y k x 所表示的曲线。
解：①当⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<->-390309k k k k 时，即当3<k 时，是椭圆；②当0)3)(9(>--k k 时，即当93<<k 时，是双曲线；2．求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点A （-5，2）的双曲线的标准方程。