人教版七年级数学上册-4.3.3 余角和补角精品课件

117°37′ (180－x)°
观察可得结论： 锐角的补角比它的余角大__9_0_°_.
二 余角和补角的性质
思考：∠1 与∠2，∠3都互为补角， ∠2 与∠3 的大小有什么关系？
1
2
3
= ∠2=180°－∠1 ∠3=180°－∠1
结论：同角 (等角) 的补角相等. 类似地，可以得到：同角 (等角) 的余角相等.
例3 如图，点A，O，B在同一直线 上，射线 OD 和射线 OE 分别平分 D
∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互
为余角？
C E
解：因为点A，O，B在同一直线 A O
B
上，所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角.
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和
∠BOC，所以∠COD+∠COE= 1∠AOC+
所以 1 (180 - x) 1 x 40 ,
2
2
解得x=50°，则180°-x=130°.
即∠AOB=50°，
∠AOC=130°.
C
B
M N
DO
A
观察与思考
∠α
∠α的余角
5°
85°
32°
58°
45°
45°
77°
13°
62°23′ 27°37′
x°(0＜x＜90) (90－x)°
∠α的补角 175° 148° 135° 103°
∠A+∠2=90°
∠1+∠B=90°
A
∠1+∠2=90°
C 21
DB
(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
答案：∠B=∠2 ( 同角的余角相等 ) ∠A=∠1 ( 同角的余角相等 )
6. 垃圾打捞船 A 和 B 都停驻在湖边观测湖面，从 A 船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物， 同时，从 B 船也发现该白色漂浮物在它的北偏 西30°方向.
(3) 射线 OC 表示的方向 西 为 南偏西 45°(西南) .
(4) 射线 OD 表示的方向
C
为 南偏东 20°.
北 A
65° 40°
O
70° 东
45°20°
南D
例4 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它
南偏东60°的方向上. 同时，在它北偏东40°，南
偏西10°，西北(即北偏西45°)
方向上又分别发现了客 轮B，货轮C和海岛D. ● D 仿照表示灯塔方位的
∠COD的余角是__∠__C__O_E_、__∠__B__O_E__;
（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
解：OE平分∠BOC，理由如下：
D
C
∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，
E

∴∠COD+∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，
∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，A
数量关系 (1 90 2)
互补
1 2 180 (1 180 2)
对应图形
性质
同角或等角的 余角相等
同角或等角的 补角相等
定义 方位角
物体运动的方向与正北、正南方向之 间的夹角称为方位角，一般以正北、 正南为基准，用向东或向西旋转的角 度表示方向
书写 通常要先写北或南，再写偏东或偏西
3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，
则∠C的度数是__1_5_0___. °
4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= 62°，∠2= 28°.
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
(1) 图中有哪几对互余的角？
答案：∠A+∠B=90°
2
1 ∠BOC = 1 (∠AOC+∠BOC ) = 90°.
2
2
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，
∠COD和∠BOE也互为余角. D
C E
AO
B
变式训练 如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，
∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_∠__C_O__E_、__∠__B_O__E_，
O
B
∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．
练一练
如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与 ∠AOC互余的角有__∠__B_O__C_和___∠__A_O__D__.
AC
D
O
B
三 方位角
互动探究
观看下列视频，议一议其中蕴含的数学知识.
E 西
C F
北 D
45° 45°
O
45° 45°
●
远望一号
●
远望二号
●
60°
●
远望一号
30°
●
远望二号
当堂练习
1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（ A ） A．30° B．45° C．60° D．75°
2.下列说法正确的是（ D ） A．一个角的补角一定大于它本身 B．一个角的余角一定小于它本身 C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角 D．一个角的余角一定小于其补角
北 ●B
40°
方法画出表示客轮B， 西
●O
东
货轮C和海岛D方向的 射线.
60°
10° C ●南
●A
练一练
费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时， 我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测. 其中 远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别 测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向， 你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？
如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或 ∠2 是 ∠1的余角，或 ∠1和 ∠2互余.
图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o
46.2o
75o
66o
43.8o
4 3
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这 两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ).
如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4 是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补.
(1) 试在图中确定白色漂浮物C的位置；
北 60°
A
C
北
30°
B
(2) 点 C 在点 A 的北偏东60°的方向上，那么点 A 在点 C 的__D____方向上.
A. 南偏东30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60° 北
60°
北
C 60°
北 30°
A
B
课堂小结
互余
两角间的 1 2 90
互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
解：设∠AOB=x，
因为∠AOC与∠AOB互补， 则∠AOC=180°-x．
C
M
因为OM，ON分别为∠AOC，
∠AOB的平分线，
DO
所以∠AOM=
1 (180 2
-
x) ，∠AOM=
1 2
x.
B N
A
2
沿一个角折叠后，折痕与 1
长方形的边形成了4个角.
4
3
思考：
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？
∠1+∠2 = 90°
2. ∠3与∠4有什么数量关系？ ∠3+∠4 = 180°
讲授新课
一 余角和补角的概念
2 1
如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这 两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ).
答：这个角的度数是 60 °.
练一练
已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数.
解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为 (3x+30)°. 根据题意得： x + ( 3x+30 ) = 90. 解得 x=15. 故 ∠B 的度数为15°.
例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB
B 南
八大方位
正东：射线 OA
H
正南：射线 OB
正西：射线 OC
正北：射线 OD
A 东 西北方向：射线 OE
西南方向：射线 OF
G
东北方向：射线 OH
东南方向：射线 OG
如图，说出下列方位
(1) 射线 OA 表示的方向
为 北偏东 40°.
(2) 射线 OB 表示的方向 B
为 北__偏_ 西 65_°.
第四章 图形初步认识
4.3 角
4.3.3 余角和补角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质， 并能利用余角、补角的知识解决相关问题.(重点、 难点)
2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些 简单的实际问题.(难点)
导入新课
情境引入
将一张长方形纸片，
图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
典例精析
例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这 个角的度数.
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°， 余角是 ( 90－x )° . 根据题意，得 180－x = 4 ( 90－x ) . 解得 x = 60.