高考数学二轮专题复习 解答题强化练 第三周 解答题综合练 理

星期六 (解答题综合练)2016年____月____日1．设向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，θ为锐角． (1)若a·b ＝136，求sin θ＋cos θ的值；(2)若a ∥b ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3的值． 解 (1)因为a·b ＝2＋sin θcos θ＝136，所以sin θcos θ＝16.所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝43.又因为θ为锐角，所以sin θ＋cos θ＝233.(2)法一 因为a ∥b ，所以tan θ＝2.所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θtan 2θ＋1＝－35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝12sin 2θ＋32cos 2θ＝12×45＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝4－3310. 法二 因为a ∥b ，所以tan θ＝2. 所以sin θ＝255，cos θ＝55.因此sin 2θ＝2sin θcos θ＝45，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－35.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝12sin 2θ＋32cos 2θ＝12×45＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝4－3310. 2．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PC ⊥AD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC ，点E 在棱PB 上，且PE ＝2EB .(1)求证：平面PAB ⊥平面PCB ； (2)求证：PD ∥平面EAC .证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，PA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面PAB . 又BC ⊂平面PCB ， ∴平面PAB ⊥平面PCB .(2)∵PA ⊥底面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AD .又∵PC ⊥AD ，又PC ∩PA ＝P ， ∴AD ⊥平面PAC ， 又AC ⊂平面PAC ， ∴AC ⊥AD .在梯形ABCD 中，由AB ⊥BC ，AB ＝BC ，得∠BAC ＝π4，∴∠DCA ＝∠BAC ＝π4.又AC ⊥AD ，故△DAC 为等腰直角三角形．∴DC ＝2AC ＝2(2AB )＝2AB .连接BD ，交AC 于点M ，连接EM ，则DM MB ＝DC AB＝2. 在△BPD 中，PE EB ＝DMMB＝2，∴PD ∥EM又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ，∴PD ∥平面EAC .3．某商场对A 品牌的商品进行了市场调查，预计2015年从1月起前x 个月顾客对A 品牌的商品的需求总量P (x )件与月份x 的近似关系是：P (x )＝12x (x ＋1)(41－2x )(x ≤12且x ∈N *)．(1)写出第x 月的需求量f (x )的表达式；(2)若第x 月的销售量g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）－21x ，1≤x ＜7且x ∈N *，x 2e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－10x ＋96，7≤x ≤12且x ∈N *(单位：件)，每件利润q (x )元与月份x 的近似关系为：q (x )＝10exx，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e 6≈403) 解 (1)当x ＝1时，f (1)＝P (1)＝39.当x ≥2时，f (x )＝P (x )－P (x －1)＝12x (x ＋1)(41－2x )－12(x －1)x (43－2x )＝3x (14－x )． ∴f (x )＝－3x 2＋42x (x ≤12，x ∈N *)．(2)设月利润为h (x )，h (x )＝q (x )·g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30e x（7－x ），1≤x ≤7，x ∈N *，103x 3－100x 2＋960x ，7≤x ≤12，x ∈N *，h ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30e x （6－x ），1≤x ＜7，x ∈N *，10（x －8）（x －12），7≤x ≤12，x ∈N *， ∵当1≤x ≤6时，h ′(x )≥0， 当6＜x ＜7时，h ′(x )＜0，∴当1≤x ＜7且x ∈N *时，h (x )max ＝30e 6≈12 090，∵当7≤x ≤8时，h ′(x )≥0，当8≤x ≤12时，h ′(x )≤0， ∴当7≤x ≤12且x ∈N *时，h (x )max ＝h (8)≈2 987.综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元．4．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上，下两个顶点为A ，B ，直线l ：y ＝－2，点P 是椭圆上异于点A ，B 的任意一点，连接AP 并延长交直线l 于点N ，连接PB 并延长交直线l于点M ，设AP 所在的直线的斜率为k 1，BP 所在的直线的斜率为k 2.若椭圆的离心率为32，且过点A (0，1)．(1)求k 1·k 2的值； (2)求MN 的最小值；(3)随着点P 的变化，以MN 为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．解 (1)因为e ＝c a ＝32，b ＝1，解得a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.设椭圆上点P (x 0，y 0)，有x 204＋y 20＝1，所以k 1·k 2＝y 0－1x 0·y 0＋1x 0＝y 20－1x 20＝－14.(2)因为M ，N 在直线l ：y ＝－2上，设M (x 1，－2)，N (x 2，－2)，由方程知x 24＋y 2＝1知，A (0，1)，B (0，－1)，所以k BM ·k AN ＝－2－（－1）x 1－0·－2－1x 2－0＝3x 1x 2，又由(1)知k AN ·k BM ＝k 1·k 2＝－14，所以x 1x 2＝－12，不妨设x 1＜0，则x 2＞0，则MN ＝|x 1－x 2|＝x 2－x 1＝x 2＋12x 2≥2x 2·12x 2＝43，所以当且仅当x 2＝－x 1＝23时，MN 取得最小值4 3. (3)设M (x 1，－2)，N (x 2，－2)， 则以MN 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y ＋2)2＝0，即x 2＋(y ＋2)2－12－(x 1＋x 2)x ＝0，若圆过定点， 则有x ＝0，x 2＋(y ＋2)2－12＝0， 解得x ＝0，y ＝－2±23，所以，无论点P 如何变化，以MN 为直径的圆恒过定点(0，－2±23)．5．已知函数f (x )＝－x 3＋x 2，g (x )＝a ln x ，a ∈R . (1)若对任意x ∈[1，e]，都有g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x 恒成立，求a 的取值范围；(2)设F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＜1，g （x ），x ≥1.若P 是曲线y ＝F (x )上异于原点O 的任意一点，在曲线y＝F (x )上总存在另一点Q ，使得△POQ 中的∠POQ 为钝角，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围． 解 (1)由g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x ，得(x －ln x )a ≤x 2－2x .由于x ∈[1，e]，ln x ≤1≤x ，且等号不能同时取得，所以ln x ＜x ，x －ln x ＞0.从而a ≤x 2－2x x －ln x 恒成立，a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x x －ln x min.设t (x )＝x 2－2x x －ln x ，x ∈[1，e]．求导，得t ′(x )＝（x －1）（x ＋2－2ln x ）（x －ln x ）2.x ∈[1，e]，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x ＞0，从而t ′(x )≥0，t (x )在[1，e]上为增函数．所以t (x )min ＝t (1)＝－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(2)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x ＜1，a ln x ，x ≥1.设P (t ，F (t ))为曲线y ＝F (x )上的任意一点．假设曲线y ＝F (x )上存在一点Q (－t ，F (－t ))，使∠POQ 为钝角，则OP →·OQ →＜0.①若t ≤－1，P (t ，－t 3＋t 2)，Q (－t ，a ln(－t ))，OP →·OQ →＝－t 2＋a ln(－t )·(－t 3＋t 2)．由于OP →·OQ →＜0恒成立，a (1－t )ln(－t )＜1. 当t ＝－1时，a (1－t )ln(－t )＜1恒成立． 当t ＜－1时，a ＜1（1－t ）ln （－t ）恒成立．由于1（1－t ）ln （－t ）＞0，所以a ≤0.②若－1＜t ＜1，且t ≠0，P (t ，－t 3＋t 2)，Q (－t ，t 3＋t 2)， 则OP →·OQ →＝－t 2＋(－t 3＋t 2)·(t 3＋t 2)＜0， 即t 4－t 2＋1＞0对－1＜t ＜1，且t ≠0恒成立．③当t ≥1时，同①可得a ≤0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，0]．6．已知数列{a n }的前三项分别为a 1＝5，a 2＝6，a 3＝8，且数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋m＝12(S 2n ＋S 2m )－(n －m )2，其中m ，n 为任意正整数． (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； (2)求满足S 2n －32a n ＋33＝k 2的所有正整数k ，n .解 (1)在等式S m ＋n ＝12(S 2n ＋S 2m )－(n －m )2中，分别令m ＝1，m ＝2，得S n ＋1＝12(S 2n ＋S 2)－(n －1)2，①S n ＋2＝12(S 2n ＋S 4)－(n －2)2，②②－①，得a n ＋2＝2n －3＋S 4－S 22.在等式S n ＋m ＝12(S 2n ＋S 2m )－(n －m 2)中，令n ＝1，m ＝2，得S 3＝12(S 2＋S 4)－1，由题设知，S 2＝11，S 3＝19，故S 4＝29.所以a n ＋2＝2n ＋6(n ∈N *)，即a n ＝2n ＋2(n ≥3，n ∈N *)．又a 2＝6也适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n ＋2，n ≥2.S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， n ＝1，n 2＋3n ＋1， n ≥2.即S n ＝n 2＋3n ＋1，n ∈N *.(2)记S 2n －32a n ＋33＝k 2(*)．n ＝1时，无正整数k 满足等式(*)．n ≥2时，等式(*)即为(n 2＋3n ＋1)2－3(n －10)＝k 2.①当n ＝10时，k ＝131.②当n ＞10时，则k ＜n 2＋3n ＋1，又k 2－(n 2＋3n )2＝2n 2＋3n ＋31＞0，所以k ＞n 2＋3n . 从而n 2＋3n ＜k ＜n 2＋3n ＋1.又因为n ，k ∈N *，所以k 不存在，从而无正整数k 满足等式(*)． ③当n ＜10时，则k ＞n 2＋3n ＋1，因为k ∈N *，所以k ≥n 2＋3n ＋2. 从而(n 2＋3n ＋1)2－3(n －10)≥(n 2＋3n ＋2)2.即2n 2＋9n －27≤0.因为n ∈N *，所以n ＝1或2.n ＝1时，k 2＝52，无正整数解；n＝2时，k2＝145，无正整数解．综上所述，满足等式(*)的n，k分别为n＝10，k＝131.。