2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书全套打包下载第13章 选修系列

第十三章选修系列 选修4-4坐标系与参数方程
第1讲 坐标系
1．坐标系 (1)伸缩变换
设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩
⎪⎨⎪
⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到
点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．
(2)极坐标系
在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．
2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和
(ρ，θ)，
则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩
⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2
，
tan θ＝y
x （x ≠0）Ｗ. 3．直线的极坐标方程
若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 4．圆的极坐标方程
若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.
导师提醒
熟记几种简单曲线的极坐标方程
曲线
图形 极坐标方程
圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r
(0≤θ<2π)
圆心为(r ，0)，半径为r 的圆
ρ＝2r cos θ
(－
π2≤θ<π2
) 圆心为(r ，π
2
)，半径为r 的圆
ρ＝2r sin θ
(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线
(1)θ＝α(ρ∈R )或
θ＝π＋α(ρ∈R )，
(2)θ＝α和θ＝π＋α
过点(a ，0)，与极轴垂直的直线
ρcos θ＝a
(－π2<θ<π
2
)
过点(a ，π
2
)，与极轴平行的直线
ρsin θ＝a
(0<θ<π)
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( ) (2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π
3.( )
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )
A ．ρ＝1
cos θ＋sin θ
，0≤θ≤π2
B ．ρ＝
1
cos θ＋sin θ
，0≤θ≤π4
C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
π4
解析：选 A.y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝
1
sin θ＋cos θ
，由0≤x ≤1，得
0≤y ≤1，所以θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，
π2.故选A. 在极坐标系中，已知点P ⎝
⎛⎭
⎫
2，
π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( )
A ．ρsin θ＝1
B ．ρsin θ＝ 3
C ．ρcos θ＝1
D ．ρcos θ＝ 3
解析：选 A.先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2，
π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π
6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平等于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.
在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________．
解析：法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，－
π2. 法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝
⎛
⎭⎪⎫1，－π2. 答案：⎝
⎛⎭⎫1，－π
2
在极坐标系中A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π
3两点间的距离为________．
解析：法一(数形结合)：在极坐标系中，A ，B 两点如图所示，|AB |＝|OA |＋|OB |＝
6.
法二：因为A ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，－π3，B ⎝
⎛⎭⎪⎫
4，2π3的直角坐标为A (1，－3)，B (－2，23)．
所以|AB |＝（－2－1）2＋（23＋3）2＝6.
答案：6
平面直角坐标系中的伸缩变换(自主练透)
1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧
x ′＝12
x ，
y ′＝1
3y
后的图形．
(1)5x ＋2y ＝0； (2)x 2＋y 2＝1.
解：伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12
x
y ′＝1
3y ，则⎩⎨⎧x ＝2x ′
y ＝3y ′
，
(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线．
(2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆． 2．求双曲线C ：x 2－
y 2
64＝1经过φ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． 解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′
3，y ＝2y ′，
代入曲线C ：x 2
－y 2
64＝1，得x ′29－y ′216
＝1，
即曲线C ′的方程为x 29－y 2
16
＝1，
因此曲线C ′的焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)．
3．将圆x 2
＋y 2
＝1变换为椭圆x 29＋y 2
4＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩
⎪⎨⎪⎧X ＝ax （a >0），Y ＝by （b >0），求a ，b 的值．
解：由⎩⎨⎧X ＝ax ，Y ＝by 得⎩
⎨⎧x ＝1
a
X ，y ＝1
b
Y ，代入x 2＋y 2
＝1中得X 2a 2＋Y 2
b 2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4，
因为a >0，b >0，所以a ＝3，b ＝2.
(1)平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx （λ>0），
y ′＝μy （μ>0）
的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′
λ
，
y ＝
y ′
μ
代入y ＝f (x )，
整理得y ′＝h (x ′)为所求．
(2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解．
极坐标与直角坐标的互化(师生共研)
(1)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝
⎛⎭⎫
22，7π4，求点A 到直线l
的距离．
(2)把曲线C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程．
【解】 (1)由2ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4＝2，
得2ρ⎝
⎛
⎭
⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1. 由点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22，
7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)， 所以d ＝
|2＋2＋1|2
＝52
2.
即点A 到直线l 的距离为
52
2
. (2)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ
代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，
得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
极坐标方程与直角坐标方程的互化
(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可． (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．
1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝
⎛⎭⎫θ－
π4＝2
2
(ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，
直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2
2
，
即ρsin θ－ρcos θ＝1，
故直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，
将两方程联立得⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，
x －y ＋1＝0，
解得⎩⎨⎧x ＝0，
y ＝1，
即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，
π2即为所求． 2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
4＝2.
(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，
所以O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
θ－
π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.
所以O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫θ＋
π4＝22.
求曲线的极坐标方程(师生共研)
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos
⎝
⎛⎭⎫θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．
(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 【解】 (1)由ρcos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
θ－π3＝1得 ρ⎝⎛⎭
⎫1
2cos θ＋3
2sin θ＝1.
从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋3
2y ＝1，
即x ＋3y －2＝0.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)．
当θ＝π2时，ρ＝233，
所以N ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫233，π2.
(2)由(1)知，M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝
⎛⎭
⎫
0，
233. 所以P 点的直角坐标为⎝
⎛⎭
⎫1，
33， 则P 点的极坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫233，π6.
所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π
6
(ρ∈R )．
求曲线的极坐标方程的步骤
(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点．
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的极坐标方程．
解：设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4
cos θ
. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 2．圆心C 的极坐标为⎝
⎛⎭
⎫
2，
π4，且圆C 经过极点．求圆C 的极坐标方程． 解：圆心C 的直角坐标为(2，2)，则设圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝r 2， 依题意可知r 2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，
故圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sin θ＋cos θ)＝0， 即ρ＝22(sin θ＋cos θ)．
极坐标方程的应用(师生共研)
(2019·山西八校第一次联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，
y ＝4＋5sin α(α为参
数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求曲线C 的极坐标方程； (2)设l 1：θ＝
π6，l 2：θ＝π
3
，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB 的面积． 【解】 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.
所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，
π6，B ⎝
⎛
⎭⎪⎫ρ2，π3. 把θ＝π
6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋3 3.
所以A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4＋33，
π6. 把θ＝π
3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，
所以B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3＋43，
π3. 所以S △AOB ＝1
2ρ1ρ2sin ∠AOB
＝12(4＋33)(3＋43)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6 ＝12＋2534
.
极坐标应用中的注意事项
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正半轴重合；③取相同的长度单位．
(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．
(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0，2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．
1．(2019·长春质量检测)在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C 1的极坐标方程为ρ2
(1＋3sin 2
θ)＝4，曲线C 2：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．
(1)求曲线C 1的直角坐标方程和C 2的普通方程； (2)极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B (ρ2，θ0＋
π2)都在曲线C 1上，求1ρ21＋1
ρ22
的值． 解：(1)由题意可得，曲线C 1的直角坐标方程为x 24＋y 2
＝1，C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.
(2)由点A ，B 在曲线C 1上，得
ρ21＝
4
1＋3sin 2
θ0
，ρ22＝4
1＋3sin 2
（θ0＋π
2
）
，
则1
ρ21＝1＋3sin 2θ04，1ρ22
＝1＋3cos 2θ0
4，
因此1
ρ21＋1
ρ22
＝1＋3sin 2θ04＋1＋3cos 2θ04＝5
4.
2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ
(其中φ为参数)，曲线C 2：x 28＋y 2
4＝1.以原点
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；
(2)射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (且点A ，B 均异于原点O )，当0<α<π
2时，求|OB |2－|OA |2
的最小值．
解：(1)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 同理，可得C 2的极坐标方程为ρ2＝
8
1＋sin 2θ
.
(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝4cos 2α， 联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝
8
1＋sin 2α
，
则|OB |2－|OA |2＝
81＋sin 2α－4cos 2α＝81＋sin 2α－4(1－sin 2
α)＝81＋sin 2
α
＋4(1＋sin 2α)－8≥2
8
1＋sin 2
α
×4（1＋sin 2α）－8＝82－8(当且仅当sin α＝2－1时取等号)．
所以|OB |2－|OA |2的最小值为82－8.
[基础题
组练]
1．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；
(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与直线l 垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，
y ＝2y 1.
由
x 21＋y 2
1＝1，得
x 2
＋⎝⎛⎭⎫
y 22
＝1，
即曲线C 的标准方程为x 2
＋y 2
4
＝1.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2
4＝1，
2x ＋y －2＝0，
解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.
不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线的斜率为k ＝1
2， 于是所求直线方程为y －1＝1
2⎝⎛⎭
⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝
3
4sin θ－2cos θ
.
2．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝
π
4
(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． 解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π
4
代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.
故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.
由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为1
2
.
3．(2019·湖南湘东五校联考)平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.
(1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值．
解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos α，
y ＝－4＋t sin α
(t 为参数)，
ρsin 2θ＝2cos θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的直角坐标方程得y 2＝2x .
(2)把直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得 t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 由一元二次方程根与系数的关系得，t 1t 2＝
20
sin 2α
， 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20
sin 2α
＝40，得α＝π4或α＝3π4.
又Δ＝(2cos α＋8sin α)2
－80sin 2
α>0，所以α＝π
4
.
4．(2019·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝2cos φy ＝sin φ
(φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0，
以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O )．
(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；
(2)当0<α<π
2
时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围．
解：(1)因为⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(φ为参数)，所以曲线C 1的普通方程为x 22
＋y 2
＝1.
由⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ
得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2
θ. 因为x 2＋y 2－2y ＝0，
所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)由(1)得|OA |2＝ρ2＝
2
1＋sin 2
α
，|OB |2＝ρ2＝4sin 2α， 所以|OA |2＋|OB |2＝
21＋sin 2α＋4sin 2
α＝21＋sin 2
α
＋4(1＋sin 2α)－4， 因为0<α<π
2，所以1<1＋sin 2α<2，
所以6<
2
1＋sin 2
α
＋4(1＋sin 2α)<9，
所以|OA |2＋|OB |2的取值范围为(2，5)．
[综合题组练]
1．(应用型)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，
y ＝2＋sin α(α为参
数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求
1|OA |＋1
|OB |
. 解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，
y ＝2＋sin α
(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，
则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，
由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π
3
(ρ∈R )(tan θ＝3)．
(2)由⎩⎨⎧ρ2
－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，
θ＝π
3
得ρ2
－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2
＝23＋2，ρ1ρ2＝7，
所以
1|OA |＋1
|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2
＝23＋27. 2．在直角坐标系中，已知曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋22cos β，y ＝1＋22sin β
(β为参数)，在极坐标系中，直线l 1的方
程为α1＝θ，直线l 2的方程为α2＝θ＋
π2
. (1)写出曲线M 的普通方程，并指出它是什么曲线；
(2)设l 1与曲线M 交于A ，C 两点，l 2与曲线M 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．
解：(1)由⎩⎨⎧x ＝1＋22cos β，
y ＝1＋22sin β
(β为参数)，消去参数β，得曲线M 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝8，
所以曲线M 是以(1，1)为圆心，22为半径的圆． (2)设|OA |＝ρ1，|OC |＝ρ2，
因为O ，A ，C 三点共线，则|AC |＝|ρ1－ρ2|＝
（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 (*)，
将曲线M 的方程化成极坐标方程，得ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)－6＝0，
所以⎩⎨⎧ρ1＋ρ2＝2（sin θ＋cos θ），ρ1ρ2＝－6，
代入(*)式得|AC |＝28＋4sin 2θ.
用θ＋π
2
代替θ，得|BD |＝
28－4sin 2θ，
又l 1⊥l 2，所以S 四边形ABCD ＝1
2|AC |·|BD |，
所以S 四边形ABCD ＝
12
（28＋4sin 2θ）（28－4sin 2θ）＝2
49－sin 22θ，
因为sin 22θ∈[0，1]，所以S 四边形ABCD ∈[83，14]．
3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α
y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－3
2t y ＝3＋12t (t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈(
π
2
，π)． (1)求θ的值；
(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值． 解：(1)由题意知，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，
因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ. 由ρ＝23，得sin θ＝
3
2
， 因为θ∈(π2，π)，所以θ＝2π
3
.
(2)由题，易知直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0，所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0.
又射线OA 的极坐标方程为θ＝
2π
3
(ρ≥0)， 联立，得⎩⎨
⎧θ＝2π3（ρ≥0）
ρcos θ＋3ρsin θ－4
3＝0
，解得ρ＝4 3. 所以点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，
2π3， 所以|AB |＝|ρB －ρA |＝43－23＝2 3.
4．(综合型)(2019·长沙模拟)在极坐标系中，已知曲线C 1：ρcos ⎝
⎛⎭⎫θ＋
π4＝2
2
，C 2：ρ＝1(0≤θ≤π)，C 3：1
ρ2＝cos 2θ
3＋sin 2θ.设C 1与C 2交于点M . (1)求点M 的极坐标；
(2)若直线l 过点M ，且与曲线C 3交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB |
|AB |
的最小值． 解：(1)曲线C 1：ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋
π4＝2
2，可得x －y ＝1，C 2：ρ＝1(0≤θ≤π)，可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎨
⎧x －y ＝1，
x 2＋y 2
＝1（y ≥0），
可得点M 的直角坐标为(1，0)，因此点M 的极坐标为(1，0)． (2)由题意得，曲线C 3的直角坐标方程为x 23＋y 2
＝1.设直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α
(t 为参数)，代入曲
线C 3的直角坐标方程并整理得(3sin 2α＋cos 2α)t 2＋(2cos α)t －2＝0.设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则
t 1＋t 2＝－
2cos α3sin 2α＋cos 2α
，t 1t 2＝－
2
3sin 2α＋cos 2α
，
所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝
2
3sin 2α＋cos 2α
，
|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫－2cos α3sin 2α＋cos 2α2－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23sin 2α＋cos 2α ＝
23
1＋sin 2α
3sin 2
α＋cos 2
α.
所以
|MA |·|MB |
|AB |
＝33
1＋sin 2
α
.
因为0≤α<π，所以0≤sin 2α≤1.
所以当α＝π2时，sin α＝1，此时|MA |·|MB ||AB |有最小值，最小值为6
6
.
第2讲 参数方程
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数
的关系y ＝g (t )，那么⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），
y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范
围保持一致．
2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程
名称 普通方程 参数方程
直线 y －y 0＝k (x －x 0)
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0
＋t sin α (t 为参数)
圆
(x －x 0)2＋(y －y 0)2
＝R 2
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ
(θ为参数且0≤θ<2π)
椭圆
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0)
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t y ＝b sin t (t 为参数且0≤t <2π)
抛物线
y 2＝2px (p >0)
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2pt
2y ＝2pt (t 为参数) 导师提醒
1．关注直线参数方程的三个应用及一个易错点 (1)三个应用：
已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为
⎩⎨
⎧x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α
(t 为参数)． ①若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→| |M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→
|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2；
②若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 2
2
； ③若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.
(2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．
2．掌握圆的参数方程的两种应用
(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．
(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数．( )
(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义
表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量．( )
(3)方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，
y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．( )
(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t
(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π
3，点O 为原点，则直线OM
的斜率为 3.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
曲线⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )
A ．在直线y ＝2x 上
B ．在直线y ＝－2x 上
C ．在直线y ＝x －1上
D ．在直线y ＝x ＋1上
解析：选B.由⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，
sin θ＝y －2.
所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y ＝－2x 上．
在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，
y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，
则常数a 的值为________．
解析：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 2
4
＝1，
所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)， 则3－a ＝0， 所以a ＝3. 答案：3
椭圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，
y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |min ＝
________．
解析：由⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ
(φ为参数)得，x 225＋y 2
9
＝1，
当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值． 所以|AB |min ＝2×95＝18
5.
答案：
185
如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．
解析：圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋1
2cos 2θ＝cos 2θ， y P ＝1
2
sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．
所以圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，
y ＝sin θcos θ
(θ为参数)．
答案：⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)
参数方程与普通方程的互化(自主练透) 1．将下列参数方程化为普通方程．
(1)⎩⎨⎧x ＝1t
，
y ＝1
t
t 2－1
(t 为参数)；
(2)⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． 解：(1)由t 2－1≥0⇒t ≥1或t ≤－1
⇒0<x ≤1或－1≤x <0.由⎩⎨⎧x ＝1
t ①，y ＝1
t t 2
－1②，
①式代入②式得x 2＋y 2＝1.
其中⎩⎨⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎨⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.
(2)由x ＝2＋sin 2θ，0≤sin 2θ≤1 ⇒2≤2＋sin 2θ≤3⇒2≤x ≤3，
⎩⎨
⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ⇒⎩⎨⎧x －2＝sin 2θ，
y ＝－1＋1－2sin 2
θ⇒ ⎩
⎨
⎧x －2＝sin 2θ
y ＝－2sin 2
θ⇒2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． 2．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，
y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．
解：曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：
x 264＋y 2
9
＝1， 曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；
曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋22t ，
y ＝5＋2
2
t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；
(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的1
2，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，
求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．
解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4. 直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.
(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4，即(x －1)2
＋y 2
4＝1，
再将所得曲线向左平移1个单位长度， 得曲线C 1：x 2
＋y 2
4
＝1，
则曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，
y ＝2sin θ
(θ为参数)．
设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)， 则点P 到直线l 的距离 d ＝
|cos θ－2sin θ＋25|
2
＝
|25－5sin （θ＋φ）|
2
≥
102⎝
⎛
⎭⎫其中tan φ＝－12，
所以点P 到直线l 的距离的最小值为
102
.
将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．
参数方程的应用(师生共研)
(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ
y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参
数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α
y ＝2＋t sin α(t 为参数)．
(1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率． 【解】 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 2
16
＝1.
当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0. ①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝0.
又由①得t 1＋t 2＝－
4（2cos α＋sin α）
1＋3cos 2α
，
故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.
(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．
(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：
过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|；
②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.
1．已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．
解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数)．
直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝5
5
|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝
d sin 30°
＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝4
3.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为225
5
. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为
25
5
. 2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，
y ＝1－t (t
为参数)．
(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .
解：(1)曲线C 的普通方程为x 2
9
＋y 2＝1.
当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29
＋y 2＝1
解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－21
25
，y ＝24
25.
从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭
⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|
17.
当a ≥－4时，d 的最大值为
a ＋917.
由题设得a ＋917
＝17，
所以a ＝8；
当a <－4时，d 的最大值为
－a ＋117
，
由题设得－a ＋117
＝17，所以a ＝－16.
综上，a ＝8或a ＝－16.
参数方程与极坐标方程的综合应用(师生共研)
(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为
⎩⎨⎧x ＝a ＋
2t
2
，y ＝1＋2t 2
(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2
θ＋4cos θ－ρ＝0.
(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值．
【解】 (1)因为曲线C 1
的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t 2，
y ＝1＋2t
2
(t 为参数，a ∈R )，
所以曲线C 1的普通方程为x －y －a ＋1＝0.
因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， 所以ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， 又ρcos θ＝x ，ρ2＝x 2＋y 2， 所以x 2＋4x －x 2－y 2＝0，
即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x . (2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，
由
⎩⎨⎧y 2＝4x ，
x ＝a ＋2t 2，y ＝1＋2t 2，
得t 2
－22t ＋2－8a ＝0.
Δ＝(22)2－4(2－8a )>0，即a >0，
所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝22，t 1t 2＝2－8a ，
根据参数方程中参数的几何意义可知|PA |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|， 所以由|PA |＝2|PB |得t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，
所以当t 1＝2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝3t 2＝22，
t 1t 2＝2t 2
2＝2－8a ，
解得a ＝
1
36
>0，符合题意， 当t 1＝－2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－t 2＝22，
t 1t 2＝－2t 2
2＝2－8a ，
解得a ＝9
4>0，符合题意．
综上所述，a ＝
136或a ＝94
.
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当
然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
1．(2019·长沙模拟)平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝3＋t cos
π
4
，y ＝t sin π
4
(t 为参数)，以x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是
ρ2cos 2θ
4
＋ρ2sin 2θ＝1.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．
解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程是x 24＋y 2
＝1.
(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos π
4，y ＝t sin π
4
代入x 2
4＋y 2
＝1得，52t 2
＋
6t －1＝0，
Δ＝(6)2－4×5
2×(－1)＝16>0.
设方程的两根是t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－265，t 1t 2＝－2
5
， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝
（t 1＋t 2）2
－4t 1t 2＝
⎝⎛⎭
⎫－2652
－4×⎝⎛⎭⎫－25＝
6425＝8
5
. 2．(2019·西安模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，
y ＝－4t －2(t 为参数)，以坐标原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝
2
1－cos θ
.
(1)求曲线C 2的直角坐标方程；
(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值． 解：(1)因为ρ＝
2
1－cos θ
，
所以ρ－ρcos θ＝2， 即ρ＝ρcos θ＋2.
因为x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2，
所以x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2－4x －4＝0.
所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0.
(2)因为⎩⎨⎧x ＝2t －1，
y ＝－4t －2，
所以2x ＋y ＋4＝0.
所以曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＋4＝0.
因为M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，
所以|M 1M 2|的最小值等于点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值． 不妨设M 2(r 2－1，2r )，点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，
则d ＝2|r 2
＋r ＋1|5＝2[（r ＋12）2＋3
4]5≥325＝3510
，当且仅当r ＝－1
2时取等号．
所以|M 1M 2|的最小值为
35
10
. [基础题
组练]
1．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，
y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，
y ＝
m k
(m
为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .
(1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．
解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1
k
(x ＋2)．
设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），
y ＝1k （x ＋2）.
消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．
所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．
(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．
联立⎩⎨⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，
ρ（cos θ＋sin θ）－2＝0
得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝1
10
，
代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.
2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ
y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)
且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π
2
时，l 与⊙O 交于两点．
当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
2
1＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，3π4.
综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4，3π4.
(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α
(t 为参数，π4＜α＜3π
4
)．
设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B
2
，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.
又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，
y ＝－2＋t P sin α，
所以点P 的轨迹的参数方程是
⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－2
2cos 2α
(α为参数，π4＜α＜3π
4)． 3．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛
⎭⎫π4－θ.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)已知直线l 过点P (1，0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.
解：(1)由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝
2.
故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.
(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，
y ＝t sin α
(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，
设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，
则t 1＋t 2＝2sin α，t 1t 2＝－1，|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，
解得sin α＝12或sin α＝－1
2(舍去)，故α＝π6或5π6
.
4．(2019·合肥质检)在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝
⎛⎭⎫θ－π
6.
(1)写出曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程； (2)若过点A ⎝
⎛⎭
⎫
22，
π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求
|AP |
|AM |·|AN |
的值．
解：(1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 2
4
＝1，
将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ
代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4
＝1.
因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π6，
所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－
π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ， 所以曲线C 的极坐标方程为
ρ2cos 2θ9
＋
ρ2sin 2θ
4
＝1；曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.
(2)点A ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2
2，π4，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22cos π
4＝2，
y ＝2
2sin π
4
＝2，
所以A (2，2)．
因为直线l 过点A (2，2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos π
3，y ＝2＋t sin π
3
(t 为参数)，代入x 2
9＋y
2
4＝1
可得，
314
t 2
＋(8＋183)t ＋16＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，
由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝64
31
，
所以
|AP |
|AM |·|AN |
＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝
4＋93
16
.
[综合题组练]
1．(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋1
2t ，
y ＝2＋3
2t
(t 为参数)．在以坐标原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ.
(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)已知点M 在直角坐标系中的坐标为(2，2)，若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB |的值．
解：(1)由⎩⎨⎧x ＝2＋12
t ，
y ＝2＋3
2t
消去参数t 可得y ＝
3(x －2)＋2，
所以直线l 的普通方程为3x －y ＋2－23＝0. 因为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ，所以ρ2sin 2θ＋4ρsin θ＝ρ2. 因为ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .
(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋12
t ，
y ＝2＋3
2
t 代入抛物线方程x 2
＝4y 中，可得(2＋12t )2
＝4(2＋32t )，即t 2
＋(8－8
3)t －16＝0.
因为Δ>0，且点M 在直线l 上，
所以此方程的两个实数根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2，所以t 1t 2＝－16， 所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝16.
2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos。